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[GUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] Tercer Departamental   

Modelado de Ecuaciones Lineales Diferenciales de Primer Orden Ley de Enfriamiento y Calentamiento de Newton 1. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de 20ºC, se deja caer en un recipiente con agua hirviente, ¿Cuánto tiempo tardara en alcanzar 90ºC si se sabe que su temperatura aumento 2ºC en un segundo? ¿Cuanto tiempo tardará en llegar a 98ºC? Solución Asumimos que la ecuación diferencial de primer orden será: 100 Por lo tanto usando separación de variables para resolver la ecuación diferencial anterior tenemos que: ⇒ | |

|

⇒ | ⟹

|

|

Usando la primera condición inicial encontramos 100 20

100

⟹ 20 ⟹

20

100 0

20

100

100 ⟹

80

, nosotros

Por lo tanto 80

100

Utilizamos la segunda condición inicial 1 22 tenemos que: 22 80 100 ⟹ 22 80 100 ⟹ 78 39 ⟹ ⟹ 78 80 ⟹ 80 40 39 ⟹ ≅ 0.02531780798 40 Geólogos  

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Tenemos que la ecuación que determinará el tiempo dada una temperatura es: 80 100 ⟹ 80 100 Por lo tanto para determinar el tiempo que tardara en alcanzar la temperatura de 90 será: 80 90 100 80

100 ⟹ 90 80 100 ⟹ 1 . ⟹ ⟹ 8 1 1 |⟹ | . 0.02531780798 ⟹ 8 8 ≅ 82.13 Por lo tanto para determinar el tiempo que tardara en alcanzar la temperatura de 98 será:

1 40

80 98 100 80 |

.

100 ⟹ 98 1 ⟹ 40

80

100 ⟹

.

1 40 ≅ 145.70 |⟹

⟹ 0.02531780798 ⟹

Sistemas masa-resorte: movimiento libre no amortiguado 2. Una masa de 400N estira 2m un resorte. Después, al extremo de ese resorte se fija una masa de 50kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento. Solución Planteamiento del Problema Según la ley de Hooke, 400 resorte es

2 implican que la constante del

200; por tanto, la ecuación: ⟹ 50

Geólogos  

200 ⟹

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50

200

0⟹

4

0⟹

4 4

Por lo tanto las raíces de la ecuación auxiliar 4⟹

0 0 son:

2

El desplazamiento y la velocidad iniciales son: 0

0,

0

10 , donde el sino negativo en la primera

condición es consecuencia de que la masa recibe una velocidad en dirección negativa o hacia arriba. De modo que la solución general de la ecuación diferencial es: 2

2 ′

Al aplicar las condiciones iniciales a 2 0

0

, se obtienen

2 0 ⟹0

Y 2

2

2

2 0 10

2 ⟹

2 0 2

2 0 ⟹

2

10

5

Por lo tanto la solución particular dadas las condiciones iniciales sería: 5

Geólogos  

2

10

2

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Transformada de Laplace Utilice la definición de la transformada de Laplace para determinar L  f (t ) 3. f (t )  et senht Solución La Transformada de Laplace de una función

se define mediante:

Por lo tanto

1

Por lo tanto resolviendo la integral por partes tenemos:

1

1

1

⇒ 1

1

1

Geólogos  

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1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1 1 1

1

1

Utilice las tablas para obtener la transformada de Laplace 4. f (t )  cosh kt Solución La transformada del cos

Geólogos  

es

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Determine la transformada inversa de Laplace

 1 5. L  2 2  s 1 s 1  1 



    

Solución Por lo tanto nuestra transformada inversa quedaría denotada de la siguiente manera: 1

1

1

1

1

Utilizando de tablas la siguiente transformada inversa de Laplace tenemos:

1 2

cos

2

cos

De acuerdo a tablas tenemos que 1 1

1 1

1

,

1

1 2

Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial 6. 2

dy  y  0, y (0)  3 dt

Solución Primero sacamos la transformada de cada término de la ecuación diferencial: Geólogos  

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2

0

De acuerdo con la ecuación de la transformada de una derivada tenemos: ′

0

Tenemos que del lado izquierdo tendremos que 2

3

3⟹

2

0

Por lo tanto 2

3 2

1 2

1

3

3⟹ 3 2

2

1

1 1 2

Por lo tanto la transformada de Laplace inversa seria la siguiente: 3 2

Geólogos  

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Ecuaciones Diferenciales Tercer Departamental Solución 2012  

Ecuaciones Diferenciales Tercer Departamental Solución 2012

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