Separacion de variables y homogeneas

EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES Separación de Variables Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden por separación de variables

(a 2  y 2 )dx  2 x ax  x 2 dy  0, y(a)  0 Solución Separando variables de la ecuación diferencial tenemos que

(a 2  y 2 )dx  2 x ax  x 2 dy  0  (a 2  y 2 )dx  2 x ax  x 2 dy  dx dy  2  (a  y 2 ) 2 x ax  x 2 dx 2 x ax  x 2



dy 0 a  y2 2

Integrando tenemos

 2x

dx ax  x 2

2

dy  y2

 0  ...................(1)

2 Sustitución Trigonometrica

1 Cambio de Variable

1

a



1 dt   Sea x   dx   2 t t 2 x ax  x  dx

2

Reemplazando en la integral tenemos

 2x

dx



dx

 a  2 x x   1 x  dt  2 dx t  2 a    1 2 a  2x 1 2  1 x  t  1   t  ax  x

2

2

t2 dt  2 dt    2t ta  1 2 ta  1

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EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

Resolviendo la integral



dt 1 1/2     at  1 dt  2 2 ta  1

1  at  1  2a  1    2

1/2

 at  1 

1/2

a



1/2

 1   a  1 x   t  1/ x    a

2

..............(2)

dy  a  y2 2

1  y tan 1   ...........(3) a a Sustituimos (3), (2) en (1) y tenemos que 1/2

 1   a  1 x   a



1  y tan 1    C , con y( a)  0; x  a, y  0  a a



1 0 tan 1    C  C  0  0  C  0 a a

1/2

 1   a  1 a   a

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EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

Por lo tanto tenemos que 1/2

 1   a  1 x   a



1  y tan 1    0  a a 1/2

 1   a  1 1 x  1  y  tan     a a a



  1 1/2    a  1  y x    a tan  a     a a     1/2

 1  y  a tan  a  1  x 

Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a Ellas Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden por el método de ecuaciones homogéneas.

y' 

2 xy 3x 2  y 2

Solución

2 xydx   3x 2  y 2  dy  0 , es homogénea entonces: Utilizamos y  ux  dy  udx  xdu , reemplazando en la ecuación diferencial tenemos

2 x 2udx   3x 2  x 2u 2   udx  xdu   0  2 x 2udx  3x 2udx  3x3du  x 2u 3dx  x 3u 2 du  0 Agrupando términos

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EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

2 x 2udx  3x 2udx  3 x3du  x 2u 3dx  x3u 2 du  0  x 2 dx  2u  3u  u 3   x 3du  3  u 2   0  x 2 dx  u 3  u   x 3du  u 2  3  0  x 2 dx  u 3  u    x3 du  u 2  3 

 u  3 du x 2 dx  3 x u3  u 2

Integramos ambos lados y tenemos

u 2  3 du  x 2 dx  x3    u 3  u  u 2  3 du  dx  x   u  u 2  1  ln x  

u2  3 du  u  u  1 u  1 Fracciones Parciales

Resolvemos la integral de fracciones parciales y tenemos

u2  3 A B C  u  u  1 u  1 du   u   u  1   u  1 u2  3 A B C     u  u  1 u  1 u u  1 u  1 u 2  3  A(u 2  1)  Bu  u  1  Cu  u  1 u 2  3  Au 2  A  Bu 2  Bu  Cu 2  Cu u2  3  u2  A  B  C   u  B  C   A Esto produce las siguientes ecuaciones

u2  3  u2  A  B  C   u  B  C   A  A  B  C  1  B  C  2 B C  0 A3 Si sumamos las primeras dos ecuaciones tenemos que B  1 y C  1 por lo tanto

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EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

u2  3 3 1 1  u  u  1 u  1 du   u du   u  1du   u  1du  du du du    u u 1 u 1  3ln u  ln  u  1  ln  u  1  3

La resolución dela ecuación diferencial seria

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EXAMEN RAPIDO 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

ln x  3ln u  ln  u  1  ln  u  1  C  ln x  3ln u  ln  u 2  1  C

y  x   y 2   y ln x  3ln    ln     1  C   x   x   2 2  y x   y ln x  3ln    ln  C 2 x  x 

 y  ux  u 

 y3   y 2  x2  ln x  ln  3   ln  C 2 x   x   y3  x   3  ln  2 x 2   C   y x     x2    y3 x2 C ln  2 2  x  y  x2      y3  ln  2 C 2   y x  Aplicamos una exponencial de ambos lados

e

 y3  ln  2 2   y x 

 eC 

y3  C  y3  C  y 2  x2  y 2  x2

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