Regla de la cadena

Segundo departamental 1 REGLA DE LA CADENA

Recordemos que la regla de la cadena para funciones de una sola variable da la regla para derivar una función compuesta regla para derivar una función compuesta. Si

y  f(x) y g(t)  x , donde f y g

son funciones diferenciales, entonces y

es

indirectamente una función diferencial de t y

dy dy dx  dt dx dt

(1)

Para funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferentes casos.

Caso I Suponga que z  f(x,y)

es una función diferencial de x

y y

donde x  g(t) y

y  h(t) son funciones diferenciales de t .

Entonces z es una función diferencial de t y

dz z dx z dy   dt x dt y dt

(2)

Ejercicio 1 Utilice la regla de la cadena para hallar

dz dw ó dt dt

w  xy  yz2, x  et ,y  etsent, z  et cost 1|Página

Solución

w  xy  yz2,x  et ,y  etsent,z  et cost dw w dx w dy w dz    dt x dt y dt z dt w dx  y,  et x dt w dy  x  z2,  e t cos t  e t sent y dt w dz  2yz,  et sent  e t cos t z dt Sustituyendo las derivadas parciales y ordinarias tenemos que

dw w dx w dy w dz     dt x dt y dt z dt









dw  yet  x  z 2 e t cos t  e t sent  2yz e t sent  e t cos t dt dw  et  y  x  z 2  cos t  sent   2yz  cos t  sent   dt







Ejercicio 2 Utilice la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales indicadas

w  x 2  y 2  z2, x  st, y  s  cos t  , z  s  sent 

2|Página

Solución

w w x w y w z    s x s y s z s w x  2x, t x s w y  2y,  cos t y s w z  2z,  sent z s Sustituyendo las derivadas parciales y ordinarias tenemos que

w  2xt  2y cos t  2zsent cuando s

s  1,t  0 nosotros tenemos x  0,y  1 y z  0 por lo tanto

w  2cos  0   2 s Similarmente

w  2xs  2sysent  2szsent t w w x w y w z    t x t y t z t

w x  2x, s x t w y  2y,    s  sent y t w z  2z,   s  cos t z t 3|Página

Cuando s  1, t  0 nosotros tenemos x  0, y  1, z  0 por lo tanto

w 0 t Caso II Suponga que z  f(x,y) es una función diferenciable de x y y donde x  g(s,t) y

y  h(s,t) son funciones diferenciales de s y t , entonces:

z z x z y   s x s y s z z x z y   t x t y t

(3)

El caso 2 de la regla de la cadena contiene tres tipos de variables s y t son variables independientes x y y

se denominan variables intermedias y z

es la variable

dependiente.

Para recordar la regla de la cadena, es útil trazar el diagrama de árbol de la siguiente figura. Trazamos ramas desde la variable dependiente z a las variables intermedias x y y para indicar que z es una función de x y y . Entonces trazamos ramas de x y y a las variables independientes

s y t . En cada rama escribimos la correspondiente

derivada parcial.

z calculamos el producto de las derivadas parciales a lo largo de cada s trayectoria de z a s y sumamos estos productos: Para hallar

z z x z y   s x s y s Análogamente encontramos

z al usar las trayectorias de z a t . t

4|Página

Regla de la cadena (versión general) Suponga que u es una función diferenciable de las n variables x1,x 2 ,x 3 ,...,xn y cada

x j es una función diferenciable de las m variables t1,t 2,t 3 ,...,t m y u u x1 u x 2 u xn    ...  ti x1 ti x 2 ti xn ti

(4)

para cada i  1,2,...,m Ejercicios Complementarios Problema 1 En los ejercicios (a) exprese dw / dt como función de t ; use la regla de la cadena y exprese w en términos de t ; derive en forma directa con respecto a t . Luego (b) evalué

dw / dt en el valor dado de t .

w  x2  y2, x  cost, y  sent; t   Solución 5|Página

w w dx dy  2x,  2y,  sent,  cos t  x y dt dt a.

b.

dw  2xsent  2y cos t  2cos tsent  2sent cos t  0; dt dw w  x 2  y 2  cos2 t  sen2t  1  0 dt

dw    0 dt

Problema 2

w  x2  y2, x  cost  sent, y  cost  sent; t  0 Solución

w w dx dy dw  2x,  2y,  sent  cos t,  sent  cos t  x y dt dt dt   2x  sent  cos t    2y  sent  cos t  a.  2  cos t  sent  cos t  sent   2  cos t  sent  sent  cos t 



 



 2cos2 t  2sen2t  2cos2 t  2sen2t  0;  w  x 2  y 2   cos t  sent    cos t  sent   2cos2 t  2sen2t  2  2

b.

2

dw 0  0 dt

Problema 3

w

x y  , x  cos2 t, y  sen2t, z  1/ t; t  3 z z

Solución

6|Página

dw 0 dt

w 1 w 1 w   x  y  dx dy dz 1  ,  ,  ,  2cos tsent,  2sent cos t,  2 2 x z y z z z dt dt dt t dw 2 2 x  y cos2 t  sen2t   cos tsent  sent cos t  2 2   1; a.  dt z z zt  1 2  2 t t 

 

w

b.

x y cos2 t sen2t dw    t 1 z z dt  1  1     t t

dw 3  1 dt

En los ejercicios (a) exprese z / u y z / v como funciones de u y v ; use la regla de la cadena y exprese z directamente en términos de u y v antes de derivar. Luego (b) evalué z / u y z / v en el punto dado  u,v  .

Problema 4

z  4e x ln y, x  ln(ucos v), y  usenv; (u,v)   2,  / 4  Solución a.

7|Página

x z z x z y 4e x ln y 4e xsenv  cos v   4e  x    4e ln y     senv    u x u y u u y  ucos v   y 





4  ucos  ln  usenv  4 ucos v  senv     4 cos v  ln  usenv   4 cos v; u usenv x z z x z y  usenv   4e  x    4e ln y    ucos v    v x v y v  ucos v   y  





4e xucos v   4e ln y  tan v    y



x



  4  ucos v  ln usenv    tan v  

4  ucos v ucos v   usenv

4e xucos v   4e ln y  tan v   y



x



También podemos comprobar las derivadas de la siguiente manera:

z  4e x ln y  4 ucos v  ln usenv  

z  senv    4cos v  ln usenv   4 ucos v    u usen v  

z   4cos v  ln usenv   4cos v u También:

z  ucos v    4usenv  ln usenv   4 ucos v    v  usenv  z 4ucos2 v   4usenv  ln usenv   v senv b. Tenemos que  u,v    2, / 4 

8|Página

 z        2, / 4    4 cos    ln  2sen     4 cos    2 2 ln 2  2 2  u  4    4  4  z  2, / 4   2 ln 2  2  u   4  2  cos2    z      4   2, / 4    4  2  sen    ln   2  sen     v    4    4   sen   4 z  2, / 4   4 2 ln 2  4 2  2 2 ln 2  4 2 v Problema 5 Exprese w / u y w / v como funciones de u y v ; use la regla de la cadena y exprese w directamente en términos de u y v antes de derivar. Luego (b) evalué

w / u y w / v en el punto dado  u,v 

w  xy  yz  xz, x  u  v, y  u  v, z  uv; (u,v)  1/ 2,1 Solución

w w x w y w z      y  z 1   x  z 1   y  x  v   u x u y u z u w  x  y  2z  v  y  x   u  v   u  v   2uv  v  2u   2u  4uv; u w w x w y w z      y  z 1   x  z  1   y  x u   x v y v z v a. v w  y  x   y  x  u  2v   2u  u  2v  2u2; v



 

 



w  xy  yz  xz  u2  v 2  u2 v  uv 2  u2v  uv 2  u2  v 2  2u2 v  w w  2u  4uv y  2v  2u2 u v b. Con  u,v   1/ 2,1 9|Página

2

w w 3  1  1  1  2    4   1  3 y  2 1  2     u v 2 2 2 2 Problema 6 Trace un diagrama de árbol y escriba una fórmula con la regla de la cadena para cada derivada 1.

dz para z  f(x,y), x  g(t), y  h(t) dt

Solución

dz z dx z dy   dt x dt y dt

y

2.

w w para w  h(x,y,z) , x  f  u,v  , y  g  u,v  , z  k  u,v  y u v

Solución

10 | P á g i n a

w w x w y w z    u x u y u z u

w w x w y w z    v x v y v z v

11 | P á g i n a

Problema 7 Cambio de dimensiones de una caja. Las longitudes a,b y c de las aristas de una caja

rectangular

cambian

con

el

tiempo.

En

el

instante

en

cuestión,

a  1m,b  2m,c  3m,da/ dt  db/ dt  1m / s y dc / dt  3m / s . ¿Qué valores tienen las razones de cambio instantáneas del volumen V y del área de la superficie total S en ese instante? ¿La longitud de las diagonales interiores de la caja, aumenta o disminuye?

Solución

12 | P á g i n a

V  abc  dV V da V db V dc da db dc      bc    ac    ab  dt a dt b dt c dt dt dt dt dV    2m  3m 1m / sec   1m  3m 1m / sec   1m  2m  3m / s   3m3 / sec dt a 1,b  2,c 3

y el volumen está aumentando

dS S da S db S dc    dt a dt b dt c dt da db dc dS S  2 b  c   2 a  c   2 a  b   dt dt dt dt a1,b2,c 3 S  2ab  2ac  2bc 

S  2  5m 1m / sec   2  4m 1m / sec   2  3m  3m / sec   0m2 / sec

Y el área superficial no está cambiando

dD D da D db D dc     dt a dt b dt c dt 1 db dc  dD  da  a b c    dt dt  dt a1,b2,c 3 a2  b2  c 2  dt

D  a2  b2  c 2 

 1    1m 1m / sec    2m 1m / sec    3m  3m / sec    14m  6  m / sec  0  14 las diagonales están disminuyendo en longitud

13 | P á g i n a