[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Reducción de Orden Uno de los hechos matemáticos mas interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, y2 , de la ecuación homogénea:
a2 ( x) y '' a1 ( x) y ' a0 ( x) 0
(1.1)
En un intervalo I siempre que se conozca una solución y1 no trivial en I. El concepto básico en la explicación que sigue es que la ecuación diferencial anterior, se puede reducir a una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante una sustitución en la que interviene y1 . Una segunda solución y2 de (1.1) aparece entonces, después de resolver esta ecuación diferencial de primer orden. Método de Solución Suponga que y1 representa una solución no trivial de la ecuación (1.1) y que y1 esta definida en un intervalo I, se trata de encontrar una segunda solución y2 tal que y1 y y2 sea un conjunto linealmente independiente en I. La función u ( x) se puede determinar sustituyendo y2 x u x y1 x en la ecuación diferencial dada. A este método se le
llama reducción de orden porque solo hay que resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para determinar u . Por lo tanto un método alternativo para encontrar una segunda solución sería: p ( x ) dx e y2 x y1 x 2 dx y1 x
(1.2)
Ejercicios La función y1 ( x) indica que es una solución de la ecuación homogénea asociada. Aplique el método de reducción de orden para determinar
Ecuaciones Diferenciales
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