Problemas de Aplicación de Ecuaciones Diferenciales

[PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES] UNIDAD 3

Problema 2 La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cualquier momento t . Su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población en 30 años?

Planteamiento del Problema Con P  P(t ) la población en el tiempo t Con la ecuación diferencial

dP  kt dt

y

P(0)  P0  500

nosotros

obtenemos d  kt e P   0  e kt P  c dt P  cekt  P  500e kt

Si consideramos la condición inicial tenemos lo siguiente P(10)  575 575 10 k e 500 1.15  e10 k  Ln(1.15)  Ln  e10 k 

 575  500e10 k 

1 ln(1.15)  k  k  0.013976164 10

Por lo tanto calculamos la población que será en 30 años P(30)  500

Geología

30 ln1.15 10

 760años

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Problema 3 Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada, es decir, de carbón vegetal encontradas en el sitio, para fechar las pinturas prehistóricas y rupestres, en las paredes y los techos de una caverna en Lascaux, Francia. Determine la edad aproximada de un trozo de madera, si se encontró que había desaparecido el 85.5% del carbono 14.

Planteamiento del Problema dA  kA, dt

Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial de primer orden: A(t )  A0ekt

Si se ha desintegrado 85.5%, queda 14.5% El punto de partida es, de nuevo A(t )  A0ekt . Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que A0 / 2  A(5600) 1, el cual es el periodo medio, valor que corresponde A0 / 2 .

1

Dotación de radiocarbono. Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que emplea el carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría de la datación (fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa en el isotopo carbono 14, se produce en l atmosfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-14 al carbono ordinario en la atmosfera parece ser constante y en consecuencia, la cantidad proporcional del isotopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmosfera. Cuando muere un organismo la absorción del C-14 sea por respiración o alimentación cesa. Así, si se compara la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en la atmosfera, es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se sabe que el periodo medio del C-14 radiactivo es aproximadamente, 5600 años. Por este trabajo, Libby ganó el Premio Nobel de química en 1960. Su método se uso para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto.

Geología

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O sea A0 / 2  A0e5600 k .

1 Entonces, 5600k  ln   ln 2 , de donde k  (ln 2) / 5600  0.00012378 2 por consiguiente tendremos el siguiente planteamiento: Por lo tanto la constante de decaimiento k es: k  0.00012378 , Por lo tanto A(t )  0.145 Ao entonces: A(t )  0.145 A0  0.145 A0  A0e 

 0.00012378t 

0.145  e 0.00012378t Ln(0.145)  Ln  e 0.00012378t  Ln  0.145   t  t  15,600años   0.00012378 

Mezclas Al mezclar dos filtros a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras, se supone que la razón con que cambia la cantidad de sal, A '(t ) , en el tanque de mezcla tiene una rapidez neta: dA   Rapidez con entra la sal   (Rapidez que sale la sal)  Ri  R0 dt

Problema 4 Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30g de sal y le entran 4L / min de solución con 1g de sal por litro, bien mezclado de el sale liquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t ) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t .

Planteamiento del Problema Geología

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dA   Rapidez con entra la sal    Rapidez con que sale la sal   Ri  R0 dt

La concentración de la solución entrante era 4L / min por consiguiente la entrada era: Ri  (4L / min) 1g / L   4 g / min

Mientras que salía con la rapidez  A  A R0  (4 L / min)  L / g   g / min  200  50

Para hallar A(t ) resolvemos el problema de valor inicial dA A  4  , A(0)  30 dt 50 d   Aet /50   4et /50 dt Aet /50  200et /50  C 200et /50 C  t /50 t /50 e e  t /50 A  200  Ce A

Si consideramos la condición inicial A(0)  30  30  200  Ce0/50 30  200  C C  170

Por lo tanto cantidad A(t ) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t será: A  200  170et /50

Circuitos en serie Geología

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Cuando un circuito en serie solo contiene un resistor y un inductor (circuito LR ), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las

caídas de voltaje a través de inductor  L  di / dt   y del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado, ( E (t )) , al circuito.

Figura 1.

Circuito LR en serie

Con lo anterior se obtiene la ecuación diferencial lineal que describe la corriente i (t ) , L

di  Ri  E (t ) dt

(1)

La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t ) / C , donde q es la carga del capacitor; por lo tanto, para el circuito en serie de la figura 1 (circuito RC), la segunda ley de Kirchhoff establece Ri 

Geología

1 q  E (t ) C

(2)

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Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante i  dq / dt , así la ecuación (2) se transforma en la ecuación diferencial lineal R

dq 1  q  E (t ) dt C

(3)

Problema 5 Se aplica una fuerza electromotriz 120,0  t  20 E (t )    0, t  20

A un circuito en serie LR , en que la inductancia es 20h y la resistencia es de 2 . Determine la corriente, i(0)  0 .

Planteamiento del Problema La ecuación diferencial lineal que describe la corriente i (t ) , L

di  Ri  E (t ) dt

Tomando en cuenta que la inductancia es L  20h y la resistencia R  2 , la ecuación diferencial en el intervalo 0  t  20 es: 20

di  2i  120 dt

Por lo tanto el factor integrante de la siguiente ecuación diferencial es: d t /10 e i   6et /10 dt

e

i  60  c1et /10 .

Si

consideramos

la

siguiente

condición inicial tenemos, i(0)  0  c1  60 e i  60  60et /10 Ahora consideramos t  20 la ecuación diferencial es:

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di  2i  0 por lo tanto el factor integrante de la ecuación diferencial dt d t /10 e i   0 e i  c2et /10 es dt 20

Ahora con t  20 , nosotros tenemos 60  60et /10  cet /10  c2e2  60  60e2 por lo tanto c2  60  e2  1 . Por lo

tanto la corriente en i(0)  0 será: 60  60et /10 ,0  t  20; i (t )   2  t /10  60  e  1 e , t  20

Ley de Newton Enfriamiento Se puede observar que la formulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden dT  k T  Tm  dt

En que k

(4)

es una constante de proporcionalidad, T (r ) es la

temperatura del objeto cuando t  0 y Tm es la temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio que rodea al objeto.

Problema propuesto Problema 1 Un termómetro que indica a 70°F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio del horno,

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1 2 minuto y de 145°F después de 1 minuto. ¿A que temperatura esta el horno? un observador registra que la temperatura es de 110°F después de

Solución Planteamiento del Problema Tenemos la ecuación lineal de primer orden dT  k (T  Tm ) dt

Usando separación de variables para resolver la ecuación diferencial anterior tenemos que: dT  kdt  T  Tm dT  T  Tm  k  dt  ln T  Tm  kt  C1 e

ln T Tm

 e kt C1  e

ln T Tm

 e kt eC1

T  Tm  C2e kt  T  C2e kt  Tm

Usando la condición inicial T (0)  70 , nosotros encontramos

T (t )  Tm  C2e kt  70  Tm  C2e    k 0

70  Tm  C2  C2  70  Tm Por lo tanto

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T (t )  C2ekt  Tm  T (t )   70  Tm  ekt  Tm

Usando las observaciones que fueron registradas acerca de las temperaturas tenemos 1 T    Tm   70  Tm  ek /2  110 2 T 1  Tm   70  Tm  ek  145

Por lo tanto  e k /2  110  Tm  /  70  Tm  ek   e

2

  Tm  145  Tm    110   70  T 70  Tm m  

k /2 2

110  Tm   145  T   2

70  Tm

m

12100  220Tm  Tm2  10150  250Tm  Tm2  Tm  390

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Problema 2 Un termómetro se lleva al interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5F . Después de un minuto, el termómetro indica 55°F, cinco minutos después marca 30°F. ¿Cuál es la temperatura del interior?

Solución Planteamiento del Problema De la ecuación diferencial de primer orden dT  k (T  Tm ) dt

Asumimos que dT  k (T  5) dt

Por lo tanto, aplicando separación de variables a la ED anterior tenemos: dT  kdt  (T  5) dT  (T  5)   kdt  Ln T  5  kt  C1  e

Ln T 5

 e kt C1 

T  5  e kt eC1 T (t )  5  C2e kt

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Utilizamos las condiciones iniciales del Problema T (1)  55 T (5)  30

T (t )  5  C2e kt  T (1)  55 55  5  C2e   50  C2e k .............(1) 1k

T (5)  30 30  5  C2e   25  C2e5 k ...........(2) 5k

Dividiendo la ecuación (1) entre la ecuación (2) 50  C2e k  2  e 4 k  ln 2  ln e 4 k  ln 2  4k 5k 25  C2e 1  k   ln 2 4

Utilizamos la segunda condición para calcular C2 T (t )  5  C2e kt  30  5  C2e   25  C2e5 k 5k

1 5 0.173286795  con k   ln 2  25  C2e  4 25  C2 (0.420448207) C2  59.46035575

Por lo tanto en T (0) tenemos: T (t )  5  C2ekt T (0)  5   59.46035575  e(0)( 0.173286795) T (0)  64.4611

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Problema 3 Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70F y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10F . Después de 1 minuto el termómetro indica 50F . ¿Cuál es la lectura cuando 2 t  1min ? ¿Cuanto tiempo se necesita para que le termómetro llegue a 15F ?

Solución Planteamiento del Problema De la ecuación diferencial de primer orden dT  k (T  Tm ) dt

Asumimos que dT  k (T  10) dt

Por lo tanto, aplicando separación de variables a la ED anterior tenemos: dT  kdt  (T  10) dT  (T  10)   kdt  Ln T  10  kt  C1  e

Ln T 10

 e kt C1 

T  10  e kt eC1 T (t )  10  C2e kt

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Utilizamos las condiciones iniciales del Problema T (0)  70 T (1 / 2)  50

Con T (0)  70 T (t )  10  C2ekt  70  10  C2e   60  C2 0k

Utilizamos la segunda condición para calcular k T (t )  10  C2e kt  50  10  60e

1/2 k



 40  60e(1/2) k

40 k 1/2 e   60

2 2 2 1  e(1/2) k  ln  ln e(1/2) k  ln  k 3 3 3 2 k  2ln

2 3

Por lo tanto en T (1) tenemos: T (t )  10  C2e kt T (1)  10   60  e(1)( 0.810930216)  36.66 T (1)  36.66

Por lo tanto en T (t )  15 tenemos:

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T (t )  10  C2e kt 15  10   60  e(t )( 0.810930216)  5  60e0.810930216t 1 1  e0.810930216t  ln  ln e0.810930216t 12 12 ln

1  0.810930216t  t  3.06min 12

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