Ley de Senos

[LEY DE SENOS] UNIDAD 3 Introducción En esta sección se resuelven triángulos oblicuángulos, no tienen ángulos rectos.

Como notación estándar, los ángulos de un triangulo se denotan con las letras

 ,  y  y sus lados opuestos con a, b y c , como se ve en la siguiente figura 1:

Figura 1.

Para resolver un triangulo oblicuángulo se necesita conocer la medida de un lado y otros dos de sus elementos: estos dos elementos pueden ser dos lados, dos ángulos o un ángulo y un lado. Se tienen los cuatro casos siguientes: 1.

2.

3.

4.

Dos ángulos y un lado (AAL o ALA) Dos lados y un ángulo no comprendido (LLA) Tres lados (LLL) Dos lados y el ángulo comprendido entre esos lados (LAL)

Los primeros dos casos se pueden resolver empleando la ley de senos, en tanto los últimos requieren la ley de los cosenos.

Ley de los senos Si ABC es un triangulo de lados a, b y c a b c   senA senB senC

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[LEY DE SENOS] UNIDAD 3 C

C

b

a

a h

A

b

B

B A

c A es agudo

c

A es obtuso

La ley de los senos también se puede escribir en forma reciproca. senA senB senC   a b c

Ángulos de elevación y de depresión El ángulo entre la visual del observador a un objeto y la horizontal tienen un nombre especial.

En el caso de la figura

Figura 2. Angulo de Elevación y Depresión Si la visual es hacia un objeto arriba de la horizontal, el ángulo se llama ángulo de nivel y en el caso general se llama ángulo de elevación, mientras que si la visual es hacia un objeto debajo de la horizontal, el ángulo se llama ángulo de depresión.

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[LEY DE SENOS] UNIDAD 3 Problemas Propuestos Problema 1 Un topógrafo usa un instrumento llamado teodolito para medir el ángulo de elevación entre el nivel del piso y la cumbre de una montaña. En un punto se mide un ángulo de elevación de 41°. Medio kilometro mas lejos de la base de la montaña, el ángulo de elevación medido es de 37°. ¿Qué altura tiene la montaña?

Solución Planteamiento Sea h la altura de la montaña de acuerdo a la siguiente figura:

Muestra que hay dos triángulos que comparten un lado común h, entonces se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas, h y z.

h  tan 37 z  0.5

y

h  tan 41 z

De ambas ecuaciones se despeja h y se obtiene:

h   z  0.5 tan 37 h  z tan 41 Se igualan los dos últimos resultados y se llega a una ecuación con la que podemos determinar la distancia z:

 z  0.5 tan37  z tan 41 Fundamentos Matemáticos

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[LEY DE SENOS] UNIDAD 3 Al despejar z se ve que:

z

0.5tan 37 tan 37  tan 41

Ahora se puede calcular h con la ecuación h  z tan 41

h

0.5tan 37 tan 41  2.83km tan 37  tan 41

Problema 2 Distancia. Un bote navega al este, paralelo a la línea costera, a una velocidad de 10 millas por hora. En un instante dado, el rumbo hacia el faro es S70°E y 15 minutos después el rumbo es de S63°E (vea la figura). El faro esta ubicado en la línea costera. ¿Cuál es la distancia desde el bote hasta la línea costera?

N

O d

70°

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E

63°

S

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[LEY DE SENOS] UNIDAD 3 Solución

 1  10 En 15 minutos el barco ha viajado d  v  t  10mph   hr   millas 4  4

  180   90  20   70   180  70  110   180  110  63   7 ó

  180  20  (90  63)   7 10 / 4 y  sen7 sen20 y  7.0161 d 7.0161 d  3.2millas sen27 

Problema 3 Trayectoria de aterrizaje. Un piloto ha iniciado la trayectoria de descenso para aterrizar en la pista de un aeropuerto de 3000 metros de longitud. Los ángulos de depresión desde el avión hasta los extremos de la pista son de 17.5° y 18.8°. a. Dibuje un diagrama que represente el problema. b. Encuentre la distancia, desde el aire, que debe viajar el avión para aterrizar en el extremo cercano de la pista. c. Determine la distancia, en tierra, que debe recorrer el avión hasta aterrizar. d. Determine la altura del avión cuando el piloto inicia el descenso.

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[LEY DE SENOS] UNIDAD 3

Solución a.

17.5° 18.8° 71.2 1.3°

3000m

x 3000  b. sen17.5 sen1.3 x  39, 763.04metros  39.8km

y x  c. sen71.2 sen90 y  xsen71.2  39.8sen71.2  37.67km d. z  xsen18.8  37.7sen18.8  12.14km

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