Guia examen de calculo vectorial primer departamental

2016

Guía de Calculo Vectorial

PRIMER DEPARTAMENTAL GRUPO: 1GM4

ESIA TICOMAN | IPN

GUIA DE CÁLCULO VECTORIAL

SISTEMA DE COORDENADAS EN TRES DIMENSIONES 1. ¿Cuál de las proyecciones del punto (2,3,5) en los planos xy. yz y xz ?

Trace una caja rectangular con vértices opuestos en el origen y en el punto (2,3,5) y con sus caras paralelas a los planos coordenados. Escriba las coordenadas de los vértices de la caja. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja.

2. Describa y trace la superficie en 3 representada por la ecuación x  y  2 3. Determine si los puntos dados se encuentran en una línea recta. a. K (0,3, 4), L(1,2  2), M (3,0,1) b. A(5,1,3), B (7,9, 1), C (1, 15,11) 4. Encuentre la distancia de (3,7, 5) en cada uno de los siguientes planos y ejes a. El plano xy b. El plano yz c. El plano xz d. El eje x e. El eje y f. El eje z 5. Encuentre la ecuación de la esfera con centro  0,1, 1 y radio 4. ¿Cuál es la intersección con cada uno de los planos coordenados?

6. Encuentre la ecuación de la esfera con centro (6,5, 2) y radio 7 .

Describa su intersección con cada uno de los planos coordenados.

7. Encuentre la ecuación de la esfera que pasa por el punto (4,3, 1) y tiene su centro en (3,8,1) .

8. Encuentre la ecuación de la esfera que pasa por el origen y cuyo centro está en 1,2,3 9. Demuestre que la ecuación representa una esfera y encuentre su centro y radio. a. x 2  y 2  z 2  2 x  8 y  4 z  28 b. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y c. x 2  y 2  z 2  x  y  z 1

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d. 2 x 2  2 y 2  2 z 2  4 y  2 z  1 10.Determine lo siguiente: a. Demuestre que el punto medio del segmento de recta de P1  x1 , y1 , z1  a P2  x2 , y2 , z2  es:

 x1  x2 y1  y2 z1  z2  , ,   2 2   2 b. Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo con vértices A(1,2,3), B(2,0,5) y C (4,1,5) 11.Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos extremos A(2,1, 4) y B (4,3,10) 12.Encuentre la ecuación de la esfera con centro (2,3, 6) y que son tangentes: a. Al plano xy b. Al plano yz c. Al plano xz 13.Escriba las desigualdades para describir las regiones dadas a. El semiespacio formado por los puntos que se encuentran a la izquierda del plano xz b. La caja rectangular sólida que se encuentra en el primer octante acotado por los planos x  1, y  2 y z  3 c. La región formada por los puntos que se encuentran entre (pero no en) las esferas de radio r y R , con centro en el origen donde r  R . d. La semiesfera superior sólida de la esfera de radio 2 concentro en el origen.

14.Considere que los puntos P tales que la distancia de P a A  1,5,3 es el doble de la distancia de P a B  6,2, 2  . Demuestre que el

conjunto de esos puntos es una esfera y encuentre su centro y su radio.

15.Encuentre la ecuación del conjunto de puntos equidistantes de los puntos A  1,5,3 y B  6,2  2  . Describa ese conjunto.

16.Encuentre el volumen del solido que se encuentra dentro de las esferas x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  4 z  5  0 y x 2  y 2  z 2  4 2

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VECTORES 17.Una mujer camina al oeste en la cubierta de una nave a 3mi/h. La na ve se mueve al norte a 22 mi/h. Encuentre la rapidez y la dirección de la mujer con respecto a la superficie del agua.

18. La decoración festiva que se cuelga en la plaza de un pueblo se sujeta con cuerdas de 3 y 5 m de longitud. La decoración tiene una masa de 5kg. Las cuerdas, sujetas a diferentes alturas, forman ángulos de 52o y 40o con la horizontal. Encuentre la magnitud de la tensión en cada cuerda.

19.Un tendero se amarra entre dos postes que distan 8m entre sí. La cuerda está suficientemente tensa y tiene una curvatura insignificante. Cuando una camisa húmeda de 0.8 kg de masa se cuelga de la parte media de la cuerda, el punto medio de esta baja 8 cm. Encuentre la tensión en cada mitad de la cuerda.

20.La magnitud de la tensión T en cada extremo de la cadena es de 25N. ¿Cuál es el peso de la cadena?

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21.Encuentre, aproximando el grado más cercano, los tres ángulos del triángulo con vértices en el punto dado.

P  0, 1,6  , Q  2,1, 3 , R  5,4,2  22.Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguna de estas dos cosas. a. a  6, 1,5 , b  4,9, 3 b. a  5,3,7 , b  6, 8,2 c. a  i  2 j  5k , b  3i  4 j  k d. a  2i  6 j  4k , b  3i  9 j  6k 23.Halle los valores de x tales que los vectores 3 x,2 x y 4, x sean ortogonales 24.¿Para qué valores de c el ángulo entre los vectores 1,2,1 y 1,0,c es igual a 60o ?

25.Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una de sus aristas.

26.Halle el ángulo entre una diagonal de un cubo y una diagonal de una de sus caras.

27.Una molécula de metano, CH 4 está estructurada con los cuatro átomos de hidrógeno en los vértices del tetraedro regular y el átomo de carbono en el centroide. El ángulo de enlace es el ángulo formado por la combinación H‐C‐H; esto es, el ángulo entre las rectas que unen el átomo de carbono a dos de los átomos de hidrogeno. Demuestre que el ángulo de enlace es de unos 109.5o (sugerencia tome los vértices del tetraedro como los puntos 1,0,0  ,  0,1,0  ,  0,0,1 y 1,1,1 como se ve

1 1 1 en la figura. Así que el centroide está en  , ,  . 2 2 2

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28.Encuentre: a. Un vector ortogonal al plano que pasa por los puntos P, Q, R y b. Encuentre el área del triángulo PQR P  0,0,0  , Q 1, 1,1 , R  4,3,7  P  2,0, 3 , Q  3,1,0  , R  5,2,2 

29.Encuentre el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes PQ, PR y PS a. P 1,1,1 , Q  2,0,3 , R  4,1,7  , S  3, 1, 2  b. P 1,1,1 , Q  2,0,3 , R  4,1,7  , S  3, 1, 2 

30.Utilice el producto escalar triple para determinar si los puntos P (1,0,1), Q (2,4,6), R (3, 1,2), S (6,2,8) se encuentra en el mismo plano.

PLANOS y RECTAS

31.Encuentre ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas para la recta: 5

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 1  a. La recta que pasa por los puntos  0, ,1 y  2,1, 3  2  b. La recta de intersección de los planos x  y  z  1 y x  z  0 32.Determine si las rectas L1 y L2 son paralelas, oblicuas o se cortan. Si se cortan, encuentre el punto de intersección. x  4 y  5 z 1 x  2 y 1 z a. L1 :     L2 : 2 4 3 1 3 2 b. L1 : x  1  t , y  2  t , z  3t L2 : x  2  s, y  1  2s, z  4  s 33.Encuentre una ecuación del plano a. El plano que pasa por le punto  1,2,1 y contiene a la recta de intersección de los planos x  y  z  2 y 2 x  y  3z  1 b. El plano que pasa por la recta de intersección de los planos x  z  1 y y  2 z  3 y es perpendicular al plano x  y  2 z  1 34.Encuentre el punto donde la recta corta al plano a. x  1  2t , y  2t , z  3t ; x  y  z  1 b. x  1  t , y  t , z  1  t ; z  1  2 x  y 35.Determine si los planos son paralelos, perpendiculares o ninguna de las dos cosas. Si se cumple lo último, encuentre el ángulo entre ellos. a. 2 x  4 y  2 z  1, 3 x  6 y  3 z  10 b. 2 x  5 y  z  3,4 x  2 y  2 z  1 36.Hallar la distancia del punto a la recta dada a. 1,2,3 ; x  2  t , y  2  3t , z  5t b. 1,0, 1 ; x  5  t , y  3t , z  1  2t

37.Halle la distancia del punto al plano a.  2,8,5  ; x  2 y  2 z  1 b.  3, 2,7  ;4 x  6 y  z  5

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