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GUIA DEL SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE CÁLCULO VECTORIAL Agosto-Diciembre 2013


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Vectores tangentes unitarios y longitudes de curvas Encuentre el vector tangente unitario a la curva. Además, calcule la longitud de la parte indicada de la curva. 1. r (t )  (6cos2t )i  (6sen2t ) j  5tk ,0  t   2. r (t )   2  t  i   t  1 j  tk ,0  t  3 Parámetro de longitud de arco Determine el parámetro de longitud de arco a lo largo de la curva desde el punto en que t  0 , evaluando la integral t

s   v   d 0

Luego calcule la longitud de la parte indicada de la curva. 1. r (t )  (cos t  tsent )i  (sent - t cos t ) j,  / 2  t   2. r (t )  (1  2t )i  (1  3t ) j  (6 - 6t )k , 1  t  0 Curvas Planas Determine T, N,

para las curvas planas de los ejercicios siguientes:

1. r (t )  (lnsect)i tj,  / 2  t   / 2 2. r (t )  (cos t  tsent )i (sent  tcost) j, t  0 Curvas Espaciales Determine T, N,

para las curvas espaciales de los ejercicios siguientes:

1. r (t )  (cosht)i (senht) j tk

 

2. r (t )  cos t i  sen t j ,0  t   / 2 3

3

Componentes tangencial y normal de la aceleración Determine r ,T , N y B en el valor dado de t . Luego, determine las ecuaciones para los planos osculador, normal y rectificarme en ese valor de t . 1. r (t )  (cost)i (sent) j k, t   / 4 2. r (t )  (cos t )i  ( sent ) j  tk , t  0 Dominio, rango y curvas de nivel a. Determine el dominio de la función b. Determine el rango 1


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c. d. e. f.

1.

Describa las curvas de nivel Determine la frontera del dominio Determine si el dominio es una región abierta, cerrada o ninguna de las dos Decida si el dominio está o no acotado

f ( x, y)  y / x 2

2. f ( x, y )  e

 x2  y 2

Límites con dos variables Encuentre los límites de los siguientes ejercicios: 1. 2.

lim

x2  y2  1

lim

e x y

 x , y  3,4 

 x , y  0,ln 2

Límites con coeficientes Calcule los límites de los ejercicios. Primero reescriba las fracciones de otra forma 1.

x2  y 2  x , y 1,1 x  y lim x y

2.

lim

 x , y  4,3

x  y 1 x  y 1

x  y 1

Derivadas parciales cruzadas Verifique que wxy  wyx 1. w  e  x ln y  y ln x x

2. w  xseny  ysenx  xy Calculo de derivadas parciales de segundo orden Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de los siguientes ejercicios 1. h( x, y)  xe  y  1 y

1

2. s( x, y)  tan ( y / x) Derivación implícita 2


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1. Determine el valor de z / x

en el punto (1,1,1) , si la ecuación

xy  z 3 x  2 yz  0 define a z como función de las dos variables independientes x y y , y la derivada parcial existe. 2. Determine el valor de x / z en el punto (1, 1,3) si la ecuación xz  y ln x  x2  4  0 define a x como una función de las dos variables independientes y z , y la derivada parcial existe. Regla de la cadena: dos o tres variables independientes a. Exprese z / u y z / v como funciones de u

y v , use la regla de la

cadena y exprese z directamente en términos de u y de v antes de derivar.

b. Luego evalué z / u y z / v en el punto dado  u, v 

1. w  xy  yz  xz, x  u  v, y  u  v, z  uv;

u, v   1/ 2,1

Teoría y ejemplos 1. Cambio de dimensiones de una caja. Las longitudes a,b y c de las aristas de una caja rectangular cambian con el tiempo. En el instante en cuestión, a  1m / s, y dc / dt  3m / s . ¿Qué valores tienen las razones de cambio instantáneas del volumen V y del área de la superficie total S en ese instante? ¿La longitud de las diagonales interiores de la caja, aumenta o disminuye?

Evaluación de integrales dobles Trace la región de integración, invierta el orden de integración y evalué la integral 2 2

1.

 2 y senxydydx 2

0 x 3

2.

1

 0

3

e y dydx

x /3

Volumen debajo de una superficie z  f ( x, y ) 1. Determine el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados, el cilindro x  y  4 , y el plano z  y  3 2

2

3


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Evaluación de integrales polares

Cambie la integral por una integral polar equivalente. Luego evalué la integral polar. 1

1.

1 x 2

 

1  1 x 2 1

2.

1 

2

1  x2  y 2 

2

dydx

4 x2  y 2  2 1  x 2  y 2 dxdy 1 y 0

Extremos de funciones de dos o más variables Hallar los puntos críticos y determinar los extremos relativos. Indicar los puntos críticos en los cuales el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente. 1.

f ( x , y )  x f ( x, y )  x 3  y 3

2.

f ( x, y )  x3  y 3  6 x 2  9 y 2  12 x  27 y  19

Hallar los puntos críticos de la función y, por la forma de la función, determinar si se presenta un máximo o un mínimo relativo en cada punto

3.

f ( x, y, z )  x 2   y  3   z  1

4.

f ( x, y, z )  4   x  y  1 z  2  

2

4

2

2

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