Solucion Examen Tipo C Fundamentos Matematicos

2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Fundamentos Matemรกticos

Fundamentos Matemรกticos

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1PM1 gvilla@ipn.mx

Fundamentos Matemáticos Nombre: SOLUCIÓN Grupo: 1PM1 Fundamentos Matemáticos

Calificación Fecha:12-04-2012

Instrucciones: 

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%

Problemas propuestos Uso de identidades fundamentales Utilice identidades fundamentales para simplificar la expresión. Hay más de una forma correcta para cada respuesta.

1.

cos x 1  senx  1  senx cos x

Solución

1 1 1  cos x  1  cos x   1  cos x 1  cos x 1  cos x 1  cos x  2 1  cos 2 x 2  sen 2 x  2 csc 2 x 

Verifique la identidad 1.

  sent csc   t   tan t 2 

Solución Utilizando la identidad de cofunción siguiente:

  csc   u   sec u 2 

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Fundamentos Matemáticos   sent csc   t   sent sec t 2   1   sent    cos t  sent   tan t cos t Problema de Ley de Senos Trayectoria de aterrizaje. Un piloto ha iniciado la trayectoria de descenso para aterrizar en la pista de un aeropuerto de 3000 metros de longitud. Los ángulos de depresión desde el avión hasta los extremos de la pista son de 17.5° y 18.8°. a. Dibuje un diagrama que represente el problema. b. Encuentre la distancia, desde el aire, que debe viajar el avión para aterrizar en el extremo cercano de la pista. c. Determine la distancia, en tierra, que debe recorrer el avión hasta aterrizar. d. Determine la altura del avión cuando el piloto inicia el descenso.

Solución a.

17.5° 18.8° 71.2 1.3°

3000m

b.

x 3000  sen17.5 sen1.3 x  39, 763.04metros  39.8km

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c.

y x  sen71.2 sen90 y  xsen71.2  39.8sen71.2  37.67km

d.

z  xsen18.8  37.7sen18.8  12.14km

Problema de Ley de Cosenos Topografía. Una parcela triangular tiene lados con longitudes de 725 metros, 650 metros y 575 metros. Determine la medida del ángulo mayor.

Solución

Por lo tanto la medida del ángulo mayor es

Forma Alterna a 2  b2  c2 2ab 6502  5752  7252 cos C  2  650  575  cos C 

C  72.3

Sistema de ecuaciones de 1 ó 2 Variables Resuelva en forma grafica o algebraica los siguientes sistemas de ecuaciones 1.

 y  x4  2x2  1  2  y  1 x

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Fundamentos Matemáticos Solución de Forma Algebraica

 y  x4  2x2  1  2  y  1 x

Ecuación 1 Ecuación 2

Substituyendo por y en la ecuación 1 tenemos: 1  x2  x4  2 x2  1

Solucionando para x tenemos:

x 4  x 2  0  x 2  x 2  1  0  x  0, 1

Sustituimos el valor de x en la ecuación 2:

x  0; 1  x 2  1  02  1 x  1; 1  x 2  1  12  1 x  1; 1  x 2  1   1  0 2

Por lo tanto las soluciones son:

 0,1 ,  1, 0  Solución de forma gráfica

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Problemas de Sistemas de Ecuaciones Elección de Trabajos. Suponga que le ofrecen dos trabajos vendiendo suministros dentales. Una compañía le ofrece una comisión directa del 6% de las ventas. La otra compañía le ofrece un salario de 350 dólares por semana más 3% de las ventas. ¿Cuánto tendrá que vender en una semana a fin de mejorar la oferta de la comisión directa?

Solución

0.06 x  0.03x  350 0.03x  350 x  $11, 666.67 A fin de mejorar la oferta de la comisión directa tendría que vender mas de $11,666.67 dólares Sistemas de ecuaciones con tres variables Resuelva el sistema de ecuaciones por Gauss Jordan y verifique cualquier solución

 2x  y  z  7   x  2 y  2 z  9  3x  y  z  5  Solución Intercambiamos ecuaciones

 x  2 y  2 z  9   2x  y  z  7  3x  y  z  5  Empezamos el proceso de eliminación renglones, para obtener la matriz siguiente:

 x  2 y  2 z  9    2 Eq.1  Eq.2  5 y  5 z  25    5 x  5 z  32  3Eq.1  Eq.3  

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Fundamentos Matemáticos Continuando con las reducciones obtenemos la siguiente matriz

 x  2 y  2 z  9     5 y  5 z  25    Eq.2  Eq.3   07  

Por lo tanto es un sistema inconsistente que no tienen solución Problemas de sistemas de ecuaciones de tres ó más variables Finanzas. Una corporación pequeña solicito un préstamo de 775,000 dólares para ampliar su línea de ropa. Parte del dinero se pago al 8%, parte al 9% y parte al 10%. ¿Cuánto se pago a cada tasa si el interés anual total fue 67,500 dólares y la cantidad al 8% fue cuatro veces la cantidad al 10%?

Solución Haciendo x  cantidad del 8% Haciendo y  cantidad del 9% Haciendo z  cantidad del 10% Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones

 x  y  z  775, 000  0.08 x  0.09 y  0.10 z  67,500  x  4z 

Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3

Sustituyendo la Eq. 3 en la Eq. 1 y Eq.2 tenemos

 y  5 z  775, 000  0.09 y  0.42 z  67,500   

Ecuación 4 Ecuación 5

Trabajando de manera algebraica las ecuaciones resultantes tenemos: Multiplicando por 0.09 a la ecuación 4 tenemos:

    

 0.09 y  0.45z  69, 750 0.09 y  0.42 z  67,500

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Fundamentos Matemáticos Sumamos ambas ecuaciones y obtenemos:

z  75,000 Sustituyendo en la ecuación 4 y ecuación 3 obtenemos:

y  775, 000  5 z y  775, 000  5(75, 000)  400, 000 x  4 z  300, 000 $300,000 fue tomado en préstamo al 8% $400,000 fue tomado en préstamo al 9%

$75,000 fue tomado en préstamo al 10%

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