Fracciones Parciales

FUNDAMENTOS

[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS Fracciones Parciales Es un Proceso algebraico que se utiliza para descomponer una expresión racional como

3x  7 en fracciones parciales a este procedimiento se le llama descomposición en  x  5 x  1 fracciones parciales.

P( x) , Q( x)  0 es una fracción impropia o Q( x) una expresión racional propia esto es el grado de P( x) es menor que el grado de Q( x) . También supondremos una vez más que los polinomios P( x) es menor que el grado de Q( x) . También supondremos una vez más que los polinomios P( x) y Q( x) no tienen factores comunes.

Por comodidad supondremos que la función racional

A continuación examinaremos cuatro pasos de descomposición de P( x) / Q( x) en fracciones parciales. Estos casos dependen de los factores en el denominador Q( x) . También supondremos una vez más que los polinomios P( x) y Q( x) no tienen factores comunes.

Caso 1

Q( x) Solo contiene factores lineales no repetidos si se puede factorizar por completo el denominador en factores lineales.

a( x)  (ax1  b1 )(ax2  b2 )......  an x  bn  Donde todos los ai x  bi , i  1, 2.......n son distintos (es decir, no hay factores iguales), entonces se pueden determinar constantes reales únicas C1 , C2 ,...........Cn , tales que:

C3 C1 C2 P( x)    ...  Q( x) a1 x  b1 ax2  b2 axn  bn En la práctica usaremos las letras A, B, C........ en lugar de los coeficientes con subíndice

C1 , C2 , C3 ...........Cn . El Ejemplo siguiente ilustra este primer caso.

Ejemplo 1 Descomponer en fracciones parciales la siguiente función

2x 1  x  1 x  3 Se puede escribir de la siguiente forma Profesor: Gerson Villa González

Página 1

FUNDAMENTOS

[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS 2x 1 A B    x  1 x  3 x  1 x  3 2 x  1  A( x  3)  B( x  1) 2 x  1  Ax  Bx  3 A  B Por lo tanto obtenemos las siguientes dos ecuaciones

A B 1

(1)

3A  B  1

(2)

Sumando la ecuación (1) y (2) Obtenemos A  3 / 4 sustituyendo este valor en la ecuación 1 tenemos B  5 / 4 Por consiguiente la descomposición que se busca es

2x 1 3/ 4 5/ 4   ( x  1)( x  3) x  1 x  3 Caso 2

Q( x) Contiene factores lineales repetidos Si el denominador Q( x) contiene un factor lineal repetido (ax  b)n , n  1 entonces si se pueden determinar constantes reales únicas C1 , C2 ,......., Cn tales que la descomposición de

P( x) / Q( x) en fracciones parciales contenga los términos:

Cn C1 C2   ...  2 n ax  b  ax  b   ax  b  Ejemplo 2 Descomponer en Fracciones Parciales

6x 1 x  2 x  1 3

Profesor: Gerson Villa González

Página 2

FUNDAMENTOS

[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS 6x 1 A B C D   2 3 x  2 x  1 x x x 2x 1 3

6 x  1  Ax 2 (2 x  1)  Bx(2 x  1)  C (2 x  1)  Dx 3 6 x  1  2 Ax3  Ax 2  2 Bx 2  Bx  2Cx  C  Dx 3 6 x  1  (2 A  D) x 3  (2 B  A) x 2  (2C  B) x  C De lo anterior resultan 4 ecuaciones las cuales son las siguientes:

2A  D  0

(3)

2B  A  0

(4)

2C  B  6

(5)

C 1

(6)

Haciendo el algebra adecuada en las ecuaciones obtenemos lo siguiente:

A  8, B  4, C  1, D  16 La descomposición en fraccione parciales es:

6x 1 8 4 1 16   2  3  x  2 x  1 x x x 2x 1 3

Caso 3. Factores Cuadráticos irreducibles y no repetidos Si el denominador Q( x) contiene factores cuadráticos irreducibles no repetidos ai x 2  bi x  ci , se pueden encontrar constantes reales únicas A1 , A2 ......... An , B1 , B2 ,......., Bn tales que la descomposición de P( x) / Q( x) en fracciones parciales contenga los términos

An x  Bn A1 x  B1 A2 x  B2   ...  2 2 a1 x  b1 x  c a2 x  b2 x  c2 an x 2  bn x  cn Ejemplo 3 descomponer en fracciones parciales

4x Ax  B Cx  D  2  2 2  x  1 x  2 x  3 x  1 x  2 x  3 2

4 x  Ax  B  2 Ax 2  3 Ax  Bx 2  2 Bx  3B  Cx3  Cx  Dx 2  D 4 x  ( A  B) x3  (2 A  B  D) x 2  (3 A  2 B  C ) x  (3B  D) Por lo tanto resultan 4 ecuaciones las cuales son: Profesor: Gerson Villa González

Página 3

FUNDAMENTOS

[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS

AC  0

(7)

2A  B  D  0

(8)

3 A  2B  C  4

(9)

3B  D  0

(10)

Haciendo el algebra adecuada de las ecuaciones tenemos:

A  1, B  1, C  1, D  3 La descomposición en fracciones parciales es:

4x x 1 x3  2  2 2 ( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3 2

Caso 4. Q( x) Contiene factores cuadráticos irreducibles repetidos Si el denominador Q( x) contiene un factor cuadrático, irreducible repetido (ax 2  bx  c)n , n  1 , entonces se pueden encontrar constantes reales únicas A1 , A2 ,......., An y B1 , B2 ,....., Bn tales que la descomposición de P( x) / Q( x) en fracciones parciales contenga los términos

An x  Bn A1 x  B2 A2 x  B2   ...  2 n 2 ax  bx  c  ax 2  bx  c   ax2  bx  c  Ejemplo 4 Descomponer

x

x2 2

 4

2



x

x2 2

 4

2

en fracciones parciales

Ax  B Cx  D  x 2  4  x 2  4 2

x 2  Ax  B( x 2  4)  Cx  D x 2  Ax3  4 Ax  Bx 2  4 B  D Se obtienen las ecuaciones siguientes

A0 B 1 4A  C  0

(11)

4B  D  0

Profesor: Gerson Villa González

Página 4

FUNDAMENTOS

[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS Haciendo el álgebra adecuada en las ecuaciones obtenemos

A  0, B  1, C  0, D  4 La descomposición en fracciones parciales queda de la siguiente manera:

x

x2 2

 4

2



1 4  x  4  x 2  4 2 2

Nota. En toda descripción anterior se supuso que el grado del numerador P( x) es menor que el grado del denominador Q( x) . Sin embargo si el grado de P( x) es mayor o igual al grado de

Q( x) entonces P( x) / Q( x) es una fracción impropia. Todavía se puede hacer descomposición de ella en fracciones parciales, pero el proceso comienza dividiendo los polinomios hasta que se llegue a un cociente polinomial y una fracción propia.

Por ejemplo

Fracción impropia 

x3  x  1 10 x  1  x 3  Fracción propia se trabaja solo con el residuo 2 x  3x x( x  3)

Profesor: Gerson Villa González

Página 5