Ejemplo de serie de maclaurin exponencial

Ejemplo 1 Algoritmo Computacional para Cálculos iterativos

Las estimaciones de error para los métodos iterativos

Planteamiento del problema. En matemáticas, a menudo las funciones se pueden representar mediante series infinitas.

Por ejemplo, la función exponencial puede ser calculada utilizando

x2 x2 xn e 1 x    ...  2 3! n! x

(1.1)

Por lo tanto, a medida que se agregan más términos en la secuencia, la aproximación se hace una estimación mejor y mejor del verdadero valor de la

ex

.

La ecuación (1.1) se llama una serie de Maclaurin.

Comenzando con la versión más simple, fin de estimar

e0.5

e x  1 , añadir los términos uno a la vez a

. Después de añadir cada nuevo término, calcular los errores

verdaderos y el error relativo porcentual aproximado en relación con las ecuaciones.

 valor verdadero  valor aproximado    100 valor verdadero   Error Relativo Aproximado

(1.2)

 presente aproximación  aproximacion anterior  a     100 presente aproximación   Error relativo porcentual

(1.3)

t  

Respectivamente.

También es conveniente para relacionar estos errores al número de cifras significativas en la aproximación.

Se puede demostrar que, si se cumple el siguiente criterio, se puede asegurar que el resultado es correcto con las cifras al menos n significativas.

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Ejemplo 1 Algoritmo Computacional para Cálculos iterativos

 s   0.5  102n  %

(1.4)

e0.5  1.648721 ... Añadir términos hasta que el valor absoluto de la estimación del error aproximado  a cae por debajo de un Tenga en cuenta que el valor real es

criterio de error especificado previamente

s

conforme a tres cifras significativas.

En primer lugar, la ecuación. (1.4) puede ser empleado para determinar el criterio de error que asegura un resultado que es correcto al menos a tres cifras significativas:

 s   0.5  102 3  %  0.05% Por lo tanto, vamos a añadir términos a la serie hasta

a

cae por debajo de este

nivel.

La primera estimación es simplemente con un único término. Por lo tanto, la primera estimación es igual a 1. La segunda estimación se genera a continuación mediante la adición del segundo término como se denota a continuación:

ex  1  x Para x  0.5

e0.5  1  0.5  1.5 Esto representa un error relativo porcentual verdadero de

t 

1.648721  1.5  100%  9.02% 1.648721

La ecuación (1.3) se puede utilizar para determinar una estimación aproximada del error, como

a 

1.5  1  100%  33.3% 1.5

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Ejemplo 1 Algoritmo Computacional para Cálculos iterativos

Debido

a

no es menor que el valor requerido de

s ,

continuaríamos el cálculo

x2 mediante la adición de un nuevo termino, , y repitiendo los cálculos de error. El 2! proceso continúa hasta que

a  s

. Todo el cálculo se puede resumir como

Términos

Resultado

t %

1

1

39.3

2

1.5

9.02

33.3

3

1.625

1.44

7.69

4

1.645833333

0.175

1.27

5

1.648437500

0.0172

0.158

6

1.648697917

0.00142

0.0158

a %

Por lo tanto, después de se incluyen seis términos, el error aproximado cae por debajo de

 s  0.05% , y el cálculo se termina. Sin embargo, observe que, en lugar

de tres cifras significativas, el resultado es una precisión de cinco.

Es decir, se aseguran de que el resultado es al menos tan bueno como lo especifican. Aunque, este no es siempre el caso para la ecuación. (1.3), es cierto la mayor parte del tiempo.

Algoritmo computacional para Cálculos iterativos Muchos de los métodos numéricos descritos en posteriores clases implican cálculos iterativos de la clase ilustrada en el Ejemplo 1. Todos ellos implican la solución de un problema matemático mediante el cálculo de aproximaciones sucesivas a la solución a partir de una estimación inicial.

La aplicación informática de tales soluciones iterativas implica bucles. Existen dos tipos de clase: conteos-controlados y bucles de decisión. La mayoría de las soluciones iterativas utilizan bucles de decisión. Por lo tanto, en lugar de emplear un número pre-especificado de iteraciones, el proceso típicamente se repite hasta

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Ejemplo 1 Algoritmo Computacional para Cálculos iterativos

que una estimación de error aproximado cae por debajo de un criterio de detención como como se muestra en el siguiente ejemplo 1.

La expansión de la serie se puede expresar como

xn e  i 0 n! n

x

Un archivo-m que crearemos para aplicar esta fórmula se muestra en la figura siguiente. La función se pasa el valor a ser evaluado

 x  junto con un criterio  es 

de error de detención y un número máximo permitido de iteraciones

 maxit  . Si el

usuario omite cualquiera de los dos últimos parámetros, la función asigna valores predeterminados.

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Ejemplo 1 Algoritmo Computacional para Cálculos iterativos

function [fx,ea,iter] = IterMeth(x,es,maxit) % Maclaurin series of exponential function % [fx,ea,iter] = IterMeth(x,es,maxit) % input: % x = value at which series evaluated % es = stopping criterion (default = 0.0001) % maxit = maximum iterations (default = 50) % output: % fx = estimated value % ea = approximate relative error (%) % iter = number of iterations % defaults: if nargin<2|isempty(es),es=0.0001;end if nargin<3|isempty(maxit),maxit=50;end % initialization iter = 1; sol = 1; ea = 100; % iterative calculation while (1) solold = sol; sol = sol + x ^ iter / factorial(iter); iter = iter + 1; if sol~=0 ea=abs((sol - solold)/sol)*100; end if ea<=es | iter>=maxit,break,end end fx = sol; end Figura1. Un archivo-m para resolver un cálculo iterativo. Este ejemplo está configurado para evaluar la expansión de la serie de Maclaurin para

ex

cómo

se describe en el Ejemplo 1 La función inicializa tres variables: a. iter, que mantiene un registro del número de iteraciones, b. Sol, que tiene la estimación actual de la solución, y c. una variable, ea, que tiene el error relativo porcentual aproximado. Tenga en cuenta que ea Inicialmente se establece en un valor de 100 para asegurar que el bucle se ejecuta al menos una vez.

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Ejemplo 1 Algoritmo Computacional para Cálculos iterativos

Estas inicializaciones son seguidas por un bucle de decisión que en realidad implementa el cálculo iterativo. Antes de generar una nueva solución, el valor previo, sol, primero se asigna a solold. A continuación, un nuevo valor del sol se calcula y el contador de iteración se incrementa.

Si el nuevo valor del sol es distinto de cero, el error relativo porcentual, ea, se determina.

A continuación, se ponen a prueba los criterios evaluados. Si ambos son falsos, el bucle se repite. Si bien es cierto, el ciclo termina y la solución final se envía de nuevo a la función que se llamó.

Cuando se implementa el archivo-M, se genera una estimación de la función exponencial que se devuelve junto con el error aproximado y el número de iteraciones. Por ejemplo,

e1

se puede evaluar como

>> format long >> [approxval, ea, iter] = IterMeth(1,1e-6,100) approxval = 2.718281826198493 ea = 9.216155641522974e-07 iter = 12 Podemos ver que después de 12 iteraciones, se obtiene un resultado de 2.7182818 con una estimación de error aproximado de

9.2162 107% . El resultado se puede

verificar utilizando la función incorporada de exp para calcular directamente el valor exacto y el verdadero porcentaje relativo de error, >> trueval=exp(1)

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Ejemplo 1 Algoritmo Computacional para Cรกlculos iterativos

trueval = 2.718281828459046 >> et=abs((trueval- approxval)/trueval)*100 et = 8.316108397236229e-08 Como era el caso con el Ejemplo 1, se obtiene el resultado deseable de que el verdadero error es menor que el error aproximado.

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