Ecuaciones Lineales Homogeneas con Coeficientes Homogeneas

[ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES] UNIDAD 2

Ecuaciones Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden ay '' by ' cy  0

(1.1)

Si probamos con una solución de la forma y  emx , entonces después de sustituir y '  memx y y ''  m2emx , la ecuación anterior se transforma en:





am2emx  bmemx  cemx  0 o sea emx am2  bm  c  0 Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es cuando se elige una m como una raíz de la ecuación cuadrática.

am2  bm  c  0 Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial.

Como las dos raíces de la ecuación son: m1   b  b 2  4ac  / 2a   m1   b  b 2  4ac  / 2a  

Habrá tres formas de la solución general de al ecuación diferencial, que corresponden a los tres casos siguientes:





A. m1 y m2 reales y distintas b2  4ac  0 .





B. m1 y m2 reales e iguales b2  4ac  0 .



C. m1 y m2 números complejos conjugados b2  4ac  0

Ecuaciones Diferenciales

 Página 1

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Caso I. Raíces Reales Distintas Si la ecuación tiene dos raíces reales distintas m1 y m2 llegamos a dos soluciones, y1  em1 x y y2  em2 x .

Estas funciones son linealmente independientes en

 ,  

y en

consecuencia forman un conjunto fundamental entonces, la solución general de la ecuación diferencial en este intervalo es:

y  C1em1 x  C2em2 x

(1.2)

Caso II. Raíces Reales Repetidas Cuando m1  m2 llegamos necesariamente solo a una solución exponencial

y1  em1 x . Según la formula cuadrática m1  b / 2a ,

porque la única forma de que m1  m2 es que b2  4ac  0 .

La solución general es en consecuencia

y  C1em1 x  C2 xem2 x

(1.3)

Caso III. Raíces Complejas Conjugadas Si m1 y m2 son complejas podremos escribir m1    i y m2    i , donde  y  son reales e i 2  1 . No hay diferencia formal entre este caso y el caso I por ello:  i   x  i  x y  C1e  C2e

(1.4)

Usando al formula de Euler llegamos

ei  cos  isen y  e x  C1 cos  x  C2sen x  Ecuaciones Diferenciales

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Problemas Determine la solución general de cada ecuación diferencial de segundo orden.

Problema 1 y '' 8 y ' 16 y  0

Solución y '' 8 y ' 16 y  0  m 2  8m  16  0 

 m  4  m  4   0 m1  4 m2  4

Por lo tanto la solución general es:

y  C1e4 x  C2 xe4 x Problema 2 y '' 9 y  0

Solución y '' 9 y  0  m2  9  0  m   9   1 9  3i m1  3i m2  3i

Por lo tanto la solución general es: Ecuaciones Diferenciales

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y  C1 cos3x  C2sen3x

Problema 3 y ''' 4 y '' 5 y '  0

Solución y ''' 4 y '' 5 y '  0  m 3  4 m 2  5m  0  m(m 2  4m  5)  0  m1  0

 m  1 m  5  0 m2  1 m3  5

Por lo tanto la solución general es:

y  C1  C2e x  C2e5 x

Ecuaciones Diferenciales

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