Ecuaciones Homogeneas Clase 3 Ecuaciones Diferenciales

[ECUACIONES HOMOGENEAS] Unidad I

Soluciones por Sustitución Para resolver una ecuación diferencial, primero identificamos como una ecuación de cierto tipo (separable, por ejemplo), y a continuación desarrollamos un procedimiento formado por pasos matemáticos específicos al tipo de la ecuación que produzca una función suficientemente diferenciable la cual satisfaga la ecuación. A menudo comenzamos transformando una ecuación diferencial dada a en otra ecuación diferencial mediante una sustitución.

Ecuaciones Homogéneas. Cuando una función f f  tx, ty   t f  x, y  , para un número real 

tiene la propiedad

se dice que f

es una

función homogénea de grado  .

Por ejemplo: f  x, y   x3  y3 Es homogénea de grado 3 porque:





f  tx, ty    tx    ty   t 3 x3  y3  t 3 f  x, y  3

3

Mientras que f ( x, y)  x3  y3  1 no es homogénea.

Una ecuación diferencial de primer orden M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0

(1.1)

Es homogénea si los coeficientes M y N a la vez son funciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras la ecuación (1) es homogénea si: M  tx, ty   t M  x, y  N  tx, ty   t N ( x, y )

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Además si M y N son funciones homogéneas de grado  , también es posible escribir: M ( x, y )  x M (1, u )  y  u   x N ( x, y )  x N (1, u )  

Ó M ( x, y )  y M (v,1)  x  v   y N ( x, y )  y N (v,1)  

Las propiedades anteriores parecen indicar las sustituciones que se pueden hacer para resolver una ecuación diferencial homogénea. En forma especifica, algunas de las sustituciones y  u / x ó x  vy donde u y v son nuevas variables dependientes, esto reducirá una ecuación homogénea a una ecuación diferencial de variables separables de primer orden.

Por lo tanto las sustituciones sugeridas serán las siguientes: y  ux  dy  udx  xdu x  vy  dx  vdy  ydv

Ejemplos Problema 1 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada. x

dy  y  x2  y 2 dx

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Solución Haciendo y  ux tenemos dy  y  x2  y 2 dx con y  ux  dy  udx  xdu dy x  x2  y 2  y dx xdy   x 2  y 2  y  dx   x

 x 2  y 2  y  dx  xdy  0      x 2  u 2 x 2  y  dx  x udx  xdu  0       x 2  u 2 x 2 dx  uxdx  xudx  x 2du  0 x 2 1  u 2 dx  x 2du  0 x 1  u 2 dx  x 2du  0 x 1  u 2 dx  x 2du dx du  x 1  u2

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Integramos ambos lados dx x



   u  tan  ,      du  sec2  d  2 2  2 1 u  1  tan 2   sec  du

sec2  d 1  u2 u  sec   sec d  ln sec  tan   ln 1  1 ln x  ln 1  u 2  u  c1 ln 1  u 2  u  ln x  c1 1  u2  u ln  c1 x ln

e

1 u 2  u x

 ec1

Aplicamos una exponencial de ambos lados para eliminar el logaritmo natural ec  c1 1  u2  u  c  1  u 2  u  xc x u 

 y2  y  1   2   cx x  x  

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Por lo tanto haciendo las reducciones pertinentes a la función tenemos lo siguiente y y2  1  2  cx x x y  x

x2  y 2

y  x

x2  y 2

y  x

x2  y 2 y  x2  y 2  cx   cx  y  x 2  y 2  c x x

x

2

x2

 cx  cx

Problema 2 Resuelva la siguiente ecuación diferencial homogénea, con alguna sustitución adecuada de valores iniciales

 x  ye y / x  dx  xe y / xdy  0, y(1)  0 Solución Tenemos

xdx  ye y / x  xe y / x dy  0 Haciendo y  ux  dy  udx  xdu

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xdx  uxeu dx  xeu  udx  xdu   0 xdx  uxeu dx  xeu udx  x 2eu du  0 xdx  x 2eu du dx  eu du x Integrando ambos lados tenemos dx u u  x   e du  ln x  e  c u  y / x ln x  e y / x  c

Usando las condiciones iniciales  x 1 y (1)  0   y  0 ln 1  e0/1  c  0  1  c  c  1 Por lo tanto la solución particular será ln x  e y / x  1

Problema 3 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada.

dy y  x  dx y  x Solución Tenemos u  y / x  y  ux dy  udx  xdu

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udx  xdu ux  x du x  u  1  u x  dx ux  x dx x  u  1 ux x

du  u  1 du u  1  x  u dx  u  1 dx u  1

du u  1  u  u  1 du u  1  u 2  u  x  dx u 1 dx u 1



2 du 1  u 2 du  1 1  u x  x  dx u 1 dx u 1 u 1 dx du   x u2  1



Integramos ambos lados u 1

dx x 2  

 u 2  1du  

1 1 Tenemos dos integrales u  tan   du  sec 2  d  caso u 2  1   a   2 du  2 u  1  u  1  sec 2    tan 1  u  1

sec2  d 1  sec   d    tan  u 

b 

u u 1 2

du  

u dw 1 dw 1 1     ln w  ln u 2  1 w 2u 2 w 2 2

wu 2 1 dw  2udu dw du  2u

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Por lo tanto

Problema 4 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada 4 x  3 y  y '(2 y  3x)  0

Solución Observamos que la ecuación es homogénea, entonces: Sea y  ux  dy  udx  xdu , la ecuación diferencial la escribiremos así:

 4 x  3 y  dx  (2 y  3x)dy  0

, ahora reemplazando se tiene

 4 x  3ux  dx   2ux  3x udx  xdu   0

, simplificando y agrupando

 4  3u  xdx  x  2u  3 udx  xdu   0

4 xdx  3uxdx  x  2u 2 dx  2uxdu  3udx  3xdu   0 4 xdx  3uxdx  2u 2 xdx  2ux 2 du  3uxdx  3x 2 du  0 xdx  4  3u  2u 2  3u   x 2 du  2u  3  0 xdx  2u 2  6u  4   x 2 du  2u  3  0 xdx  2u 2  6u  4    x 2 du  2u  3 xdx  2u  3 du   x2  2u 2  6u  4  dx  2u  3 du  x 2  u 2  3u  2  2

dx  2u  3 du  2 x  u  3u  2 

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,

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Integramos ambos lados 2

dx  2u  3 du   2 x  u  3u  2

2ln x  ln  u 2  3u  2   c  ln x 2  ln  u 2  3u  2   c ln  x 2  u 2  3u  2    c

Aplicando una exponencial de ambos lados tenemos e

 



ln  x 2 u 2 3u  2   

 ec 

 ec  k

 x u 2

2

 3u  2   k

Pero sabemos que y  ux  u 

 x  u 2

2

y x

 3u  2   k 

  y 2   x    x   3 xy   2   k    y2 y x 2 2  3x 2  2 x2  k  x x 2

y 2  3 xy  2 x 2  k

Problema 5 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada xy '  y 2  x 2

Solución xdy  y 2  x 2 , es homogénea y  ux  dy  udx  xdu Prof. Gerson Villa González

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x  udx  xdu  

 ux 

2

 x 2 dx , simplificando y agrupando

xudx  x 2 du  u 2 x 2  x 2 dx  xudx  x 2 du  x 2  u 2  1dx 

u

xudx  x 2 du  x 2

u

xudx  x 2 du  x xudx  x 2 du  x

u

 1dx 

 1dx 

2

2

du 2

2

 1dx 

 u  1dx   u  1dx  udx  xdu  dx  u

udx  xdu  xdu 

u

2

2

 1  u



2



 1  u 

dx x

Racionalizamos la función de lado derecho e integramos ambas despues du



u u

 u  1  u  u  1  u  du 2

2 2

 1  u  1  u



dx x

2

dx  u 1 u x  u 2  1  u du   dxx 2





2





1

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2

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Resolviendo las integrales tenemos

  u 

2



 1  u du  

u

2

 1du   udu

u  sec  du  sec tan  d u 2  1du  u 2  1  tan  

 tan  sec tan  d   tan  sec d    sec   1 sec   sec  d   sec d 2

2

3

 u  sec x  dv  sec 2 xdx  sec  d du  sec x tan xdx  v  tan x  ln sec  tan  3

sec tan   sec tan 2  d   ln sec  tan    

sec tan   sec  sec 2   1 d   ln sec  tan     sec tan   sec3  d  sec d   ln sec  tan      1  sec tan   ln sec  tan    ln sec  tan  2 1 1 u2 1 1  sec tan   ln sec  tan    1 sec tan   ln sec  tan   u 2   2 2 2 2 2  1 1 u2  sec tan   ln sec  tan   2 2 2

Regresamos  a la variable u , mediante el triangulo rectángulo correspondiente al caso trigonométrico

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1 u u2 1 1  u u2 1  u2   ln     21 1 2  1 1  2





1 1 u2 2 2  u u  1  ln u  u  1   2 2 2 1 u u 2  1  ln u  u 2  1  u 2     2





1  y  2 x  1 y  2  x 1  y  2  x2   1 y 2   1 y 2 

 

2 2 y  y2  y  y      1  ln      1   2   x x  x x    y 2  x2 y y 2  x2 y 2     2 x2 x x2 x  2 y  y2  y  2 2  y  x  ln    1  2   x  x  x    2 y2  x2  y y  y   ln      1   2 x  x x    y2  x2  y  y  y 2  x 2    ln     x2 x   

 

Por lo tanto esto lo igualamos a la integral del lado derecho y tenemos lo siguiente

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 1 y 2 



y2  x2  y

  ln  y 

y2  x2 x

 

x2





    ln x  c    

2 2   y  y 2  x 2   1 y y  x  y  ln    ln x  ln c    2 x2 x       y y2  x2  y 2 2   y  y  x   ln     2  ln x  ln c   2    x x    





y   



y2  x2  y

  ln  y   

x2

 y  y 2  x2 ln   x 

y    2ln xc   



y2  x2  y x2





ln y  y 2  x 2  ln x  ln x 2c 



ln y  y  x 2

2



 ln x c  ln x  2





ln y  y 2  x 2  ln x 3c 

e



ln y  y 2  x 2

 e

ln x3c 

y



y 2  x2  y x

y



y  y  x  x ce 2

2

3

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y



y

 



x2 y2  x2  y x2





y2  x2  y

x2

y 2  x2  y x

y

y2  x2  y

e

2

    2ln xc    

y2  x2 x

ln y  y 2  x 2

 



  eln x ce 3

y



y 2  x2  y x

2

 



2

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Problemas Suplementarios Verifique que la ecuación diferencial respectiva sea homogénea, si lo es resuélvala, resuélvala.

1. ax 2  2bxy  cy 2  y '  bx 2  2cxy  fy 2  ; sol. fy3  3cxy 2  3bx2 y  ax3  c 2.

y

3.

 y - xy '

4

 3x 2  dy   xydx sol. x 2  y 4  cy 6 2

 x 2  y 2 ; sol. y  x 2  y 2  k

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