Ecuaciones exactas

[ECUACIONES EXACTAS] Unidad I

Ecuaciones Exactas Definición de una expresión diferencial M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0

Es una diferencial exacta en una región R

del plano xy

si

corresponde a la diferencial total alguna función. Una ecuación: M ( x, y)dx  N ( x, y)dy

Se dice que es exacta si la expresión del miembro izquierdo es una diferencial exacta.

El siguiente teorema es un criterio para determinar si una diferencial es exacta.

Teorema Supongamos que M ( x, y) y N ( x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región del plano xy .

Entonces una condición necesaria y suficiente para que M ( x, y)dx  N ( x, y)dy

Sea una diferencial exacta es que

M N  y x Método de solución Primero demuestre que

M N  y x

Suponga entonces que

f  M ( x, y ) x

Así podremos encontrar integrando M ( x, y) con respecto a x mientras se mantiene y constante. Escribimos Prof. Gerson Villa González

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f ( x, y)   M ( x, y)dx  g ( y)

Donde la función arbitraria g ( y) Derive

ahora

(1.1)

con

(1.1)

es la “constante” de integración.

respecto

a

y

y

suponga

que

f    M ( x, y)dx  g '( y)  N ( x, y) y y

De esto resulta g '( y )  N ( x, y ) 

 M ( x, y )dx y 

(1.2)

Nota. En el procedimiento anterior podríamos perfectamente haber empezado por suponer que

f  N ( x, y ) y Las análogas de (1.1) y (1.2) serían: f ( x, y )   N ( x, y )dy  h( x) y h '( x)  M ( x, y ) 

 N ( x, y )dy x 

Respectivamente.

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Problemas Propuestos En los problemas siguientes determine si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es resuélvala.

Problema 1 y  1  ln x   dx  1  ln x  dy x  y M ( x, y )  1  ln x  x M 1  y x N ( x, y )   1  ln x  N 1  x x

En consecuencia la ecuación es exacta por lo tanto existe una función f ( x, y) tal que f y  1  ln x  x x

y

f  1  ln x y

Al integrar la segunda de estas ecuaciones obtenemos: f y y   h '( x)  1  ln x  x x x h '( x)  1  ln x

 h '( x)   1  ln x dx h( x)  x  x ln x  x h( x)  x ln x

Sustituyendo tenemos C   y  y ln x  x ln x

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Problema 2 1 1  t y  t    dt  ye      dy  0 2 t 2  y2  t 2  y2  t t  1 1 y M ( x, y )   2  2 t t t  y2 2 2 M  t  y  1  y  2 y  2 y 2  t 2  y 2 y2  t 2    2 2 2 y t 2  y2  t 2  y 2  t 2  y 2 

N ( x, y )  ye y 

t t  y2 2

2 2 N  t  y  1  t  2t  y2  t 2   2 2 2 2 t t  y   t 2  y 2 

En consecuencia es exacta por lo tanto existe una función f ( x, y) tal que f 1 1 y   2 2 t t t t  y2 f t  ye y  2 y t  y2

Al integrar la primera de estas ecuaciones obtenemos: f ( x, y )   M ( x, y )dt  h( y ) 1 1 y  f ( x, y )     2  2 dt  h( y ) 2  t t t  y    1 f ( x, y )  ln t   tan 1  t 

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t   h( y ) y

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La integral en azul se desarrolla a continuación  y a 2  x 2  a sec u  t 2  y 2 dt   tan u  x / a ó bien x  a tan u t 2  y 2  a 2 sec2 u t 2  y 2  y 2 sec2 u t  y tan u  dt  y sec 2 udu  u  tan 1   

t  y

y 2 1  y sec u du  du  u  tan     y 2 sec2 u 

t  y

Calculamos la derivada parcial con respecto a y

e igualamos el

resultado a N ( x, y) y obtenemos t Dy   f  x, y   y   h '( y )  ye y  t  2 y t 2  y2 t 1    y t f  x, y  t y2  2 2  h '  y   ye y  2 y t y t  y2 y2 f  x, y  t t  2 2  h '  y   ye y  2 y y t t  y2 h '( y )  ye y h( y )  ye y  e y t 1 ln t   tan 1    ye y  e y  C t  y

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Problemas Suplementarios 1.  4t 3 y  15t 2  y  dt   t 4  3 y 2  t  dy  0 sol. t 4 y  5t 3  ty  y 3  C 2.

x

3. x

2

 y 2dx    x 2  2 xy  dy  0 sol. no es exacta

dy  2 xe x  y  6 x 2 sol. ln x  e y / x  1 dx

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