Ecuaciones diferenciales lineales no homogeneas de segundo orden ok

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN Segundo Departamental

MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS PARA OBTENER yp Una ecuación diferencial lineal no homogenea de coeficientes constantes, es de la forma:

y '' f(x)y ' g(x) y  r(x)

(1)

donde f(x) , y g(x) son constantes.

La diferencia con las anteriores ecuaciones estudiadas estriba en que esta igualada a una función de la variable independiente x . Esto nos sugiere una relación entre:

y '' f(x)y ' g(x)y  0 y y '' f(x)y ' g(x)y  r(x) Llamaremos yh a la solución general de la ecuación homogenea correspondiente y yp a una solución particular de la no homogenea que podamos encontrar de alguna manera; entonces, se puede establecer el siguiente teorema: TEOREMA 4 Si yh es la solución general de y '' f(x)y ' g(x)y  0 y yp es cualquier solución particular de (1), entonces, y  yh  yp es la solución general de (1).

DEMOSTRACIÓN Supongamos y  yh  yp es la solución general de (1):

 y '  y 'h  y 'p   y ''  y 'h  y ''p Sustituyendo en (1):

y ''h  y ''p  f(x)  y 'h  y 'p   g(x)  yh  yp   r(x)

Agrupando:

1

 y ''h  f(x)y 'h  g(x)yh    y ''p  f(x)y 'p  g(x)yp   r(x) Como yh es la solución de la homogénea, el primer paréntesis se hace cero, y como yp es solución de la no homogénea (1), el segundo paréntesis se convierte en r(x) , por lo que:

0  r(x)  r(x) Por lo tanto, y  yh  yp satisface la ecuación (1).

Conocida la solución yh por los métodos anteriores, el problema se reduce a encontrar la solución yp son: coeficientes indeterminados y variación de parámetros.

El método de variación de parámetros, llamado también método general supone el cambio de constantes c1 y c 2 de la solución yh , por funciones de x .

El método de coeficientes indeterminados es más sencillo y se usa para ciertos tipos de la función

r(x) .

Aquí, se centra la atención en la búsqueda de yp , por lo que, para hallar yh , se puede recurrir a

Mathematica , con el comando Dsolve . Por ejemplo, yh de y '' 5y ' 6y  sen  x  es:

2

METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS PARA OBTENER yp Se usa para tres formas de r(x) : r(x)  polinomio, r(x)  exponencial, r(x)  función trigonométrica, o combinaciones de ellas, que pueden resumirsem en form ageneral, de la siguiente manera:

3

r(x)  e x Pm  x  cos  x  Qn  x  sen x 

Donde

    i es raiz de la ecuación auxiliar y Pm  x  y Qn  x  son polinomios de grado m y

n , respectivamente. Se busca una solución particular yp de la forma:

yp  x ze x pk  x  cos  x  qk  x  sen x  Donde k  máx  m,n  ,pk y qk (x) son polinomios en x indeterminados, y z es la multiplicidad de la raíz

de grado k , cuyos coeficientes estan

    i de la ecuación auxiliar. La forma de yp ,

se puede resumir en el siguiente cuadro: Raíces de la Forma de y para k  máx(m,n) p ecuación auxiliar

Forma de r(x)

Pm  x  Pm  x  e

x

Pm cos  x  Qn  x  sen x

i  0,i  1,2,...,z Alguna i  0  no es raíz  es raíz repetiza

Pm (x) Pm  x  e x x zpm  x  e x

z veces (de orden z) i no son raíces pk  x  cos  x  qk  x  sen x

i son raices de xz pk  x  cos  x  qk  x  sen x  orden z x e Pm  x  cos  x  Qn  x  sen x    i no son e x pk  x  cos  x  qk  x  sen x  raíces

  i son raices xze x pk  x  cos  x  qk  x  sen x 

de orden z EJEMPLO 1

Encontrar yp dada la ecuación y'' 2y' 4y  5x  3x  x 4

2

SOLUCIÓN

 r(x)  5x 4  3x 2  x y  2  2  4  0;   1  i 3 Por lo tanto, la solución yp tendrá la forma de un polinomio de grado cuarto:

yp  Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E Nótese que aunque faltan terminos del polinomio en r(x) , en la yp deben aparecer todos.

4

El metodo consiste en derivar dos veces la yp y sustituir yp y sus derivadas en la ecuación dada, igualando despues los coeficientes. Así:

y 'p  4Ax3  3Bx 2  2Cx  D y ''p  12Ax 2  6Bx  2C Sustituyendo en la ecuación dada:

12Ax 2  6Bx  2C  8Ax3  6Bx 2  4Cx  2D  4Ax 4  4Bx 3  4Cx 2  4Dx  4E y ''

2y '

4y

 5x  3x  x 4

2

Dado que los coeficientes del primer miembro de la igualdad han de ser igual que los coeficientes del segundo miembro, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

4A  5 8A  4B  0 12A  6B  4C  3 6B  4C  4D  1 2C  2D  4E  0 Donde A 

 yp 

5 5 3 11 7 ; B ; C ; D ; E 4 2 4 4 4

5 4 5 3 3 2 11 7 x  x  x  x 4 2 4 4 4

EJEMPLO 2 Encontrar yp dada la ecuación 9y'' 6 y' y  9  x

3

SOLUCIÓN 2

1   r(x)  9  x y 9  6  1  0;      0 3  3

2

Por lo tanto, la solución yp tendrá la forma de un polinomio de grado tres:

yp  Ax 3  Bx 2  Cx  D

5

El metodo consiste en derivar dos veces la yp y sustituir yp y sus derivadas en la ecuación dada, igualando despues los coeficientes. Así:

y 'p  3Ax 2  2Bx  C y ''p  6Ax  2B Sustituyendo

54Ax  18B  18Ax 2  12Bx  6C  Ax 3  Bx 2  Cx  D y ''

9x

6y '

y

3

Agrupando terminos semejantes:

Ax3   18A  B  x 2   54A  12B  C  x  18B  6C  D   9  x 3 Dado que los coeficientes del primer miembro de la igualdad han de ser igual que los coeficientes del segundo miembro, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

A  1 18A  B  0 54A  12B  C  0 18B  6C  D  9 A  1; B  18; C  162; D  639  yp   x 2  18x 2  162x  639 EJEMPLO 3 Encontrar yp dada la ecuación y '' y  8 SOLUCIÓN

 r(x)  8 y  2  1  0;    1   1  0 Por lo tanto, la solución yp tendrá la forma de una constante:

yp  A

6

El metodo consiste en derivar dos veces la yp y sustituir yp y sus derivadas en la ecuación dada, igualando despues los coeficientes. Así:

y 'p  0 y ''p  0 Sustituyendo

0  A  8  A  8 y ''

y

 yp  8 EJEMPLO 4 Hallar yp de la ecuación diferencial y'' 4y  2e

x

SOLUCIÓN Observamos que k  1 La ecuación auxiliar es:

2  4  0

Con raíces

  2i; 1  2i; 2  2i

Como k 

1 y k  2 , la solución yp tiene la forma yp  Ae x ; usando el método de coeficientes

indeterminados se hallan las derivadas, se sustituyen en la ecuación dada y se igualan los coeficientes:

yp  Ae  x y 'p   Ae  x y ''p  Ae  x Ae  x  4Ae  x  2e  x 5Ae  x  2e  x  5A  2;A 

 yp 

2 5

2 x e 5

7

EJEMPLO 5 Hallar yp de la ecuación diferencial y'' y' 6 y  5e

2x

SOLUCIÓN Observamos que k  2 La ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es: Con raíces

2    6  0

1  3 y 2  2  2  k; por tanto, la solución yp tiene la forma yp  Axe2x

Derivando

y 'p  2Axe2x  Ae2x y ''p  4Axe2x  4Ae2x Sustituyendo en la ecuación no homogénea e igualando coeficientes:

4Axe2x  4Ae2x  2Axe2x  Ae2x  6Axe2x  5e2x y ''

6y

y'

5A  5  A  1  yp   xe2x

EJEMPLO 6 Hallar yp de la ecuación diferencial y '' 2y' y  3e

x

SOLUCIÓN Observamos que k  1 y la ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es:

 2  2  1     1  0  1  2  1 2

Por tanto, yp tiene la forma y p  Ax e 2

x

Derivando:

y ''p  Ax 2e x  2Axe x  2Ae x  2Axe x

8

y 'p   Ax 2e x  2Axe x

Sustituyendo en la ecuación dada:

Ax 2e x  4Axe x  2Ae x  2Ax 2e  x  4Axe  x  Ax 2e  x  3e  x y ''

2A  3  A   yp 

2y '

y

3 2

3 2 x xe 2

EJEMPLO 7 Hallar yp de la ecuación diferencial y  5y''' 9 y'' 7 y' 2y  2e  x iv

x

SOLUCIÓN La ecuación homogénea correspondiente es:

yiv  5y''' 9 y'' 7 y' 2 y  0 Cuya ecuación característica es: Con raíces

 4  5 3  9 2  7  2  0

1  2  3  1 y 4  2

La parte exponencial de r(x) con k  1, sugiere una solución del tipo Ax e puesto que hay tres 3

x

lambdas iguales a k , y la parte polinomial de r(x) debe ser Bx  C un polinomio de primer grado, entonces:

yp  Ax 3e x  Bx  C Derivando:

y 'p  Ax 3e x  3Ax 2e x  B y ''p  Ax 3e x  6Ax 2e x  6Axe x y '''p  Ax 3e x  9Ax 2e x  18Axe x  6Ae x yiv p  Ax3e x  12Ax 2e x  36Axe x  24Ae x Sustituyendo:

9

Ax 3e x

 12Ax 2e x  36Axe x  24Ae x

5Ax 3e x  45Ax 2e x  90Axe x  30Ae x 9Ax 3e x  54Ax 2e x  54Axe x 7Ax 3e x  21Ax 2e x

 7B

2Ax 3e x

 2C  2Bx  2e x  x

0

0

6A  2  A  

 6Ae x  2Bx  2C  7B  2e x  x

0

2 3

1 2 7 2C  7B  0  C  4 1 1 7  yp   x 3e x  x  3 2 4 2B  1  B 

EJEMPLO 8 Hallar yp de la ecuación diferencial

y''

3 y' 2 y  3cos x 2

SOLUCIÓN Donde m  1 La ecuación homogénea correspondiente es:

y''

3 y' y  0 2

Y su auxiliar o característica es:

3 2

2    1  0

Con raíces

10

1 2  1  m y 2  m

1  2 y 2  

Por tanto, la forma de yp  A cos x  Bsenx

yp  Ax 3e x  Bx  C Derivando:

y 'p   Asenx  Bcos x y ''p   A cos x  Bsenx Sustituyendo:

3 3 Asenx  Bcos x  A cos x  Bsenx  3cos x 2 2 3 3       A  B  A  cos x   B  A  B  senx  3cos x 2 2      A cos x  Bsenx 

Igualando coeficientes

2A 

3 3 2

3 A  2B  0 2 24 18 A y B 25 25 24 18  yp   cos x  senx 25 25 EJEMPLO 9 Hallar yp de la ecuación diferencial

y'' 4y  12sen2x SOLUCIÓN

11

Donde m  2

La ecuación homogénea correspondiente es:

y'' 4 y  0 Y su auxiliar o característica es:

2  4  0

Con raíces

  2i donde   0 y   2 Como m   , la solución yp tendrá la forma:

yp  x  A cos 2x  Bsen2x 

Derivando:

yp  Ax 3e x  Bx  C Derivando:

y 'p  x  2Asen2x  2Bcos2x    A cos2x  Bsen2x  y ''p  x  4A cos2x  4Bsen2x   4Asen2x  4Bcos2x Sustituyendo en la ecuación dada:

4Ax cos 2x  4Bxsen2x  4Asen2x  4Bcos 2x 4Ax cos 2x  4Bxsen2x  12sen2x Igualando coeficientes

4A  12  A  3; B  0  yp  3x cos 2x

EJEMPLO 10 Hallar yp de la ecuación diferencial

12

y'' 2 y' y  8cos x

SOLUCIÓN Donde m  1 La ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es:

 2  2  1  0

   1

2

0

1  2  m  1 yh  c1e x  c 2 xe x Como 1  i Tomamos yp  A cos x  Bsenx

Derivando:

y 'p   Asenx  Bcos x y ''p   A cos x  Bsenx Sustituyendo en la ecuación dada:

 A cos x  Bsenx  2Asenx  2Bcos x  A cos x  Bsenx  8cos x 2B  8  B  4 2A  0  A  0  yp  4senx Comprobación:

y 'p  4cos x, y ''p  4senx  4senx  8cos x  4senx  8cos x

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