Solucion Examen Tipo B Ecuaciones Diferenciales

2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1GM6 gvilla@ipn.mx

Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: 1GM6 Ecuaciones Diferenciales

Calificación Fecha:12-04-2012

Instrucciones: 

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%

Problemas de Coeficientes Indeterminados Resuelva las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados.

y '' 5 y '  2 x3  4 x2  x  6 Solución La ecuación auxiliar es:

m 2  5m  0 Por lo tanto sus raices serían m1  5 m2  0 Entonces la solucion complementaria seria yc  c1e5 x  c2 Ahora, puesto que la función de entrada g ( x)  2 x  4 x  x  6 es una función 3

2

senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de

y  Ax3  Bx2  Cx  E suponemos con esto una solución particular que tiene también la forma de senoidal, considerando que hay una duplicación obvia en los términos senx y cos x en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar y p por x :

y p  Ax 4  Bx3  Cx 2  Dx Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original obtenemos:

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Ecuaciones Diferenciales 20 A  2 12 A  15 B  4 6 B  10C  1 2C  5 D  6 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene el valor de las constantes:

1 14 53 697 , B  ,C  ,D   10 75 250 625 1 14 53 2 697 y p   x 4  x3  x  x 10 75 250 625

A

Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:

y  c1e5 x  c2 

1 4 14 3 53 2 697 x  x  x  x 10 75 250 625

Forma Gráfica

y '' 5 y '  2 x3  4 x2  x  6 Solución general

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Resuelva el problema de valor inicial respectivo

d 2x   2 x  Fo sent , x(0)  0, x '  0   0 2 dt Solución La ecuación auxiliar es:

m2  1  0 Entonces la raices de la ecuación serían: m1  i m2  i Por lo tanto la solución complementaria seria xc  c1 cos wt  c2 senwt Ahora, puesto que la función de entrada h  Fo sewt es una función senoidal con un

polinomio

de

segundo

grado,

nuestra

tentativa

lógica

seria

de

x p1  A cos wt  Bsenwt , considerando que hay una duplicación obvia en el término senwt en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar x p1 por t :

x p  At cos wt  Btsenwt Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original obtenemos:

A

 Fo ,B  0 2w

Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma: Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales  x  c1 cos wt  c2 senwt   Fo / 2w t cos wt De las condiciones iniciales nosotros obtenemos

c1  0 y c2  Fo / 2w2 Por lo tanto:

x   Fo / 2w2  senwt   Fo / 2w2  t cos wt Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros

4 y '' 4 y ' y  e x /2 1  x 2 Solución La ecuación auxiliar es :

4m 2  4m  1   2m  1  0 2

Por lo tanto la solución complementaria seria: yc  c1e x /2  c2 xe x /2 y e x /2 W  1 x /2 e 2

xe x /2  ex 1 x /2 x /2 xe  e 2

Identificando la función

1 f ( x)  e x /2 1  x 2 4 por lo tanto obtenemos xe x /2e x /2 1  x 2 1 u '1     x 1  x2 x 4e 4 e x /2e x /2 1  x 2 1 u '2   1  x2 x 4e 4

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Ecuaciones Diferenciales 3/2 1 x 1 1  x 2  , u2  1- x 2  sen-1 x y  12 8 8 Por lo tanto la solución general es

u1 

y  c1e x /2  c2 xe x /2 

3/2 1 x /2 1 1 e 1  x 2   x 2e x /2 1  x 2  xe x /2 sen 1 x 12 8 8

Método Grafico

4 y '' 4 y ' y  e x /2 1  x 2

Ecuaciones de Cauchy-Euler Resuelva la ecuación diferencial respectiva

25x2 y '' 25xy ' y  0 Solución La ecuación auxiliar será con su solución general:

1  1  25m2  1  0  y  c1 cos  ln x   c2  ln x  5  5  Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales Método Gráfico

25x2 y '' 25xy ' y  0

Use la sustitución x  e para transformar la ecuación respectiva de cauchy-euler en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de la nueva ecuación. t

x2 y '' 3xy ' 13 y  4  3x Solución

d2y dy  4  13 y  4  3et 2 dt dt Por lo tanto la ecuación auxiliar será:

m2  4m  13  0 Por lo tanto la solución complementaria será:

yc  e2t  c1 cos3t  c2 sen3t  Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales Usando coeficientes indeterminados se sugiere que la solución particular sea de la forma:

y p  A  Bet Por lo tanto obtenemos las siguientes ecuaciones para obtener el valor de los coeficientes:

13 A  10Bet  4  3et Por lo tanto los coeficientes:

A  4 / 13, B  3 / 10 Entonces la solución general será:

y  e2t  c1 cos3t  c2 sen3t  

4 3 t  e 13 10

Método Gráfico

x2 y '' 3xy ' 13 y  4  3x

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Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Determine la solución general de la ecuación diferencial de orden superior.

d 3u d 2u   2u  0 dt 3 dt 2 Solución Obtenemos la solución particular la cual será la siguiente:

m3  m2  2  0 y obtenemos las raíces del polinomio característico que son los siguientes

m  1 y m  1  i Por lo tanto la solución general es:

u  c1et  et  c2 cos t  c3sent  Método Grafico

d 3u d 2u   2u  0 dt 3 dt 2

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Reducción de orden La función y1 ( x) es una solución a las ecuaciones diferenciales. Use la reducción de orden o la formula, para encontrar una segunda solución y2 ( x)

x2 y '' 2 xy ' 6 y  0;

y1 ( x)  x 2

Solución Identificamos P( x)  2 / x nosotros tenemos   2/ x dx e 1 y2  x  dx  x 2  x 6dx   x 3 4 x 5 2

Por lo tanto una segunda solución será:

y2  1

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