Ecuaciones con variable separable y ecuaciones reducibles a ellas

[ECUACIONES DIFERENCIALES] UNIDAD 1

Equation Chapter 1 Section 1Ecuaciones Con Variable Separable y Ecuaciones Reducibles a ellas Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer

grado

dy = g ( x, y ) dx

, se reduce a la forma:

M ( x) dx + N ( y )dy = 0 x

M

\* MERGEFORMAT (.) y

N

Donde es una función solo de y es una función sola de , a esta ecuación se conoce con el nombre de “Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable” y la solución general se obtiene por integración directa, es decir:

∫ M ( x)dx + ∫ N ( y )dy = c Donde

c

\* MERGEFORMAT (.)

es una constante cualquiera.

La ecuación diferencial de la forma: dy = f ( ax + by + c ) dx \* MERGEFORMAT (.)

Donde

a, b, c

son constantes, se reduce a una ecuación con variable

separable haciendo la sustitución

z = ax + by + c

.

Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales a través de los métodos mencionados anteriormente.

Variables Separables

Página 1

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(y

2

+ xy 2 ) y '+ x 2 − yx 2 = 0

1)

Solución

(y

2

+ xy 2 ) y '+ x 2 − yx 2 = 0

y2 ( 1 + x)

dy + x2 ( 1 − y ) = 0 dx

y 2 dy x 2 dx + = 0, 1− y 1+ x

, agrupando términos

. Separando variables tenemos:

Integrando ambos miembros

y 2dy x 2dx ∫ 1− y + ∫1+ x = c

. De donde se tiene:

− ( 1 − y ) ( y + 1) y 2 dy y2 + 1 −1 1 = = ∫ 1 − y ∫ ( 1 − y ) ∫ ( 1 − y ) dy + ∫ ( 1 − y ) dy ⇒ −∫ (

1 y2 y + 1) dy + ∫ dy ⇒ − − y − ln 1 − y 2 (1− y)

( x + 1) ( x − 1) x 2 dy x2 + 1 − 1 1 = = dy + ∫ 1 + x ∫ (1 + x) ∫ ( 1+ x) ∫ ( 1 + x ) dy ⇒ 1 x2 ∫ ( x + 1) dy + ∫ ( 1 + x ) dy ⇒ 2 + x − ln 1 + x Por lo tanto

Variables Separables

Página 2

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−

y2 x2 − y − ln 1 − y + − x + ln 1 + x = c 2 2

Si multiplicamos por 2 a toda la expresión tenemos − y 2 − 2 y − 2ln 1 − y + x 2 − 2 x + 2ln 1 + x = c ó

( x + y ) ( x − y − 2 ) + 2ln

( xy

2

1+ x =c 1− y

− y 2 + x − 1) dx + ( x 2 y − 2 xy + x 2 + 2 y − 2 x + 2 ) dy = 0

2)

Solución Agrupando términos tenemos  y 2 ( x − 1) + ( x − 1)  dx +  y ( x 2 − 2 x + 2 ) + ( x 2 − 2 x + 2 )  dy = 0   Factorizando tenemos

(y

2

+ 1) ( x − 1) dx + ( y + 1) ( x 2 − 2 x + 2 ) dy = 0

Separando las variables

( x + 1) dx x2 − 2x + 2

+

Variables Separables

y +1 dy = 0 y2 + 1

Integrando Página 3

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( x + 1) dx

∫x

2

− 2x + 2

+∫

y +1 dy = k y2 + 1

de donde

 u = x2 − 2 x + 2 ( x − 1) dx  ∫ x 2 − 2 x + 2 du = ( 2 x − 2 ) dx ⇒ dx = du  2 ( x − 1)  1 ( x − 1) du 1 du 1 1 ⇒ = ln u ⇒ ln x 2 − 2 x + 2 ∫ ∫ 2 u ( x − 1) 2 u 2 2  u = y2 + 1  y = a tan θ ⇒ tan θ ⇒ dy = sec 2 θ dθ   y 1 du = 2 ydy dy + dy   a 2 + y 2 = a secθ ⇒ secθ 2 2 ∫ y +1 ∫ y +1  dy = du θ = arctan y   2y 1 2y sec 2 θ dθ dy + ∫ sec 2 θ 2 ∫ y2 + 1 1 2 y du 1 + d θ ⇒ ln u + θ 2 ∫ u 2y ∫ 2 1 1 ∴ ln y 2 + 1 + arctan y 2 2 Dado lo anterior tenemos 1 1 ln ( x 2 − 2 x + 2 ) + ln y 2 + 1 + arctan y = k 2 2 ln ( x 2 − 2 x + 2 ) ( y 2 + 1) = −2arctan y + k ⇒ ( x 2 − 2 x + 2 ) ( y 2 + 1) = e(

Variables Separables

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2 arctan y + k )

c

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(1− y) ey 3)

dy y2 + =0 dx x ln x

Solución Separando variables

( 1 − y ) e y dy + y

2

dx =0 x ln x

Integrando tenemos

∫

( 1 − y ) e y dy + y2

dx ( y − 1) e ∫ x ln x = c ⇒ − ∫ y 2 dy + ln ( ln x ) = c y

d  ey  − ∫  ÷+ ln ( ln x ) = c dy  y  De donde −

ey ey + ln ( ln x ) = c ∴ ln ( ln x ) = + c y y

Ejercicios Complementarios

y ' = ax + by + c, a, b, c a.

b.

sol. b ( ax + by + c ) + a = cebx constantes

3 3 2 2 xy 2 ( xy '+ y ) = a 2 sol. 2 x y = 3a x + k

1

(1+ x y ) 2

2

xy − 1 sol. ln cy = xy − ⇒ cy 2 = e xy 2 y + ( xy − 1) xy ' = 0 xy 2

c.

Variables Separables

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( x + y) y '+ 1 = n p ( x + y) + ( x + y) m

d.

z n−m+1 z p −m +1 sol. + = x + c, n − m ≠ −1, p − m ≠ −1 n − m +1 p − m +1

Variables Separables

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