Coordenadas esfericas

[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Coordenadas Esféricas Las coordenadas esféricas  p, ,  de un punto P en el espacio se ilustran en la siguiente figura 2

Figura 1.

Coordenadas Cilíndricas

Donde P  OP es la distancia del origen a P ,  es el mismo ángulo que las coordenadas cilíndricas, y 

es el ángulo entre el semieje

positivo z y el segmento de la recta OP .

Note que:

  0,0     El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Por ejemplo:

Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Esfera p  c

Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I z

x

y

semiplano vertical   c

Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

  Semicono :   c  0  c   2  Para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares empleamos las ecuaciones: x   sen cos y  sen sen , z   cos

(1.1)

Del mismo modo, la fórmula de la distancia muestra que:

 2  x2  y 2  z 2

(1.2)

Ejercicios Propuestos Ejercicio 1 El punto dado esta dado en

coordenadas esféricas

 2, / 4, / 3

encuentre sus coordenadas rectangulares Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I (rho,theta,phi) = (2,pi/4,pi/3)

z

x

y

De las ecuaciones anteriores tenemos  3  1   3      x   sen cos  2sen   cos    2    2  3 4 2 2           3  1   3      y   sen sen  2sen   sen    2    2  2 2 3 4         1 z   cos   2cos    2    1 3 2

Por lo tanto el punto  2, / 4, / 3 es





3 / 2, 3 / 2,1

en coordenadas

rectangulares.

Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

Ejercicio 2 El punto P(0,2 3, 2) esta dado en coordenadas rectangulares.

Encuentre sus coordenadas esféricas. (x,y,z) = (0,2sqrt(3),-2) z x

y

De las ecuaciones anteriores tenemos que:

  x2  y 2  z 2  0  12  4  4 Y por lo tanto las ecuaciones dan:

Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

cos   cos 

z





2 1 2     4 2 3

x  0    sen 2

Por lo tanto las coordenadas esféricas del punto dado son

 4, / 2,2 3 Ejercicio 3 Encuentre

una

ecuación

en

coordenadas

esféricas

para

el

hiperboloide de dos hojas con ecuación x2  y 2  z 2  1 Solución

Sustituyendo una ecuación en coordenadas esféricas para el hiperboloide de dos hojas con ecuación anteriores Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

 2 sen 2 cos 2    2 sen 2 sen 2   2 cos 2   1  2  sen2  cos 2  sen2   cos 2    1  2  sen2 cos 2  cos 2    1 Ejercicio 4 Hallar una ecuación de coordenadas cilíndricas para la superficie presentada para la siguiente ecuación rectangular y 2  x Solución

La gráfica de la superficie y 2  x es un cilindro parabólico con rectas generatrices paralelas al eje z Sustituyendo y

2

como se muestra en la figura.

por r sen  y x por r cos , se obtiene la ecuación 2

2

siguiente en coordenadas cilíndricas

Coordenadas Esféricas

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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I

y2  x r 2 sen 2  r cos r  rsen 2  cos   0 rsen 2  cos  0 cos sen 2 r  csc cot ecuación cilindrica r

Coordenadas Esféricas

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