Conceptos básicos

Problemas Problema 1 Encuentre las longitudes de los lados del triangulo con vértices en A 3, 4,1 , B(5, 3,0) y C (6, 7,4) . ¿Es ABC un triangulo rectángulo isósceles?

Solución Podemos encontrar los lados de un triangulo usando la formula de la distancia entre los pares de vértices:

AB 

 5  3

BC 

 6  5

CA 

3  6

2

  3   4     0  1  4  1  1  6 2

2

2

  7   3    4  0   1  16  16  33

2

  4   7    1  4   9  9  9  27  3 3

2

2

2

2

El Teorema de Pitágoras se satisface por AB  CA  BC , ABC es 2

2

2

un triangulo rectángulo. ABC No es isósceles, además dos de sus lados no tienen la misma longitud.

Problema 2 Describa verbalmente la región de 3 representada por la desigualdad 1  x2  y 2  z 2  25 .

Solución La inecuación 1  x2  y 2  z 2  25 es equivalente a 1  x 2  y 2  z 2  5 , por lo tanto la región consiste en los puntos que van del origen en el rango de 1 a 5. Es decir son todos los puntos concéntricos a la esfera con radio 1 y 5 y centro C (h, , k )  C  0,0,0  .

Problema 3 Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos extremos  2,1,4  y  4,3,10  .

Solución A través de los medios puntos del diámetro (el diámetro de la esfera) es C  3,2,7   x  x y  y2 z1  z2  Q 1 2 , 1 ,  2 2   2  4  2 3  1 10  4  Q , ,  2 2 2   Q   3,2,7 

El radio es la mitad del diámetro, por lo tanto

r

1 2

 4  2   3  1  10  4  2

2

2



1 44  11 2

Entonces la ecuación de la esfera es

 x  3   y  2    z  7  2

2

2

 11

Problema 4 Encuentre la ecuación de la esfera con centro  0,1, 1 y radio 4. ¿Cuál es la intersección de esta esfera con el plano yz ?

Solución Tenemos que C  h, , k 

 x  h

2

  y  1   z  1  16   x    y  1   z  1  16 2

2

2

Con la condición de que   x  0     La intersección 2 2 y  1  z  1  16        

2

2