Ecuaciones Lineales Homogeneas con Coeficientes Constantes y Mathematica 8

[ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Y MATHEMATICA 8] UNIDAD 1

Coeficientes Indeterminados Método de Superposición Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea n n 1 an y   an1 y   ...  a1 y ' ao y  g ( x)

(1.1)

Debemos pasar por dos etapas: I.

Determinar la función complementaria yc

II.

Encontrar cualquier solución particular de la ecuación diferencial.

Entonces como vimos anteriormente la solución general de la ecuación diferencial en un intervalo es y  yc  y p . En este tema examinaremos un método para obtener una solución particular.

Entonces como vimos anteriormente la solución general de la ecuación diferencial en un intervalo es y  yc  y p . En este tema examinaremos un método para obtener una solución particular.

Método de los coeficientes indeterminados La función complementaria yc es la solución general de la ecuación homogénea asociada: n n 1 an y   an1 y   ...  a1 y ' ao y  0

El primero de dos métodos que debemos considerar para obtener una solución particular y p se llama método de los coeficientes indeterminados.

La idea básica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de y p originada por los tipos de funciones que forman la función de entrada g ( x) . El método es básicamente directo, pero esta limitado a ecuaciones lineales no homogéneas, como la ecuación diferencial donde:  Los coeficientes ai , i  0,1........n son constantes Ecuaciones Diferenciales

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

g ( x) es una constante k una función polinomial, una función

exponencial e x , funciones seno o coseno como sen x,cos  x o sumas o productos finitos de funciones.

Nota. Hablando con propiedad g ( x)  k (una constante) es una función polinomial como es probable que una función constante no sea lo primero que se viene a la mente con el concepto de funciones para recordar, citaremos la redundancia “Funciones constantes, polinomios……..”.

A continuación veremos algunos ejemplos de las clases de funciones g ( x) adecuadas para nuestra descripción. g ( x)  10, g ( x)  x 2  5 x, g ( x)  15 x  6  8e  x





g ( x)  sen3x  5 x cos 2 x, g ( x)  xe x senx  3x 2  1 e 4 x

P( x)  an xn  an1x n1  ...  a1x  ao , P( x)e x , P( x)e xsenx, P( x)e x cos  x En donde n es un elemento entero no negativo y  y  son números reales. El método de los coeficientes indeterminados no se aplica a ecuaciones de la forma cuando: 1 g ( x)  ln x, g ( x)  , g ( x)  tan x, g ( x)  sen 1x x

El conjunto de funciones formado por constantes, polinomios, exponenciales, senos y cosenos tienen la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos de constantes y como la combinación lineal de las derivadas

an y p ( n)  an1 y p ( n1)  ...  a1 y ' p  ao y p debe ser idéntica a g ( x) , parece lógico suponer que y p tiene la misma forma que g ( x) .

Ecuaciones Diferenciales

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Caso I Ninguna función en la solución particular supuesta es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

En la tabla siguiente se muestra algunos ejemplos específicos de g ( x) con

la

forma

correspondiente

de

la

solución

particular

yp .

Naturalmente suponemos, que ninguna función, en la solución particular y p supuesta, esta duplicada (o reproducida) por una función en la solución complementaria yc .

Tabla de Soluciones Particulares tentativas

g ( x)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Forma de y p 1 (una constante) 5x  7 3x 2  2 x3  x  1 sen4 x cos4x e5 x  9 x  2  e5 x

9. x 2e5x

A Ax  B Ax2  Bx2  C Ax3  Bx2  Cx  E Acos4 x  Bsen4x Acos4 x  Bsen4x Ae5x  Ax  B  e5x

 Ax

2

 Bx  C  e5x

10.

11.

e3 x sen4 x 5x 2 sen4 x

Ae3 x cos4 x  Be3 x sen4 x  Ax2  Bx  C  cos 4x   Ex2  Fx  G  sen4x

12.

x3e3 x cos4 x

 Ax  B  e3x cos4 x  Cx  E  e3x sen4x

Regla de Formación para el caso I. La forma de y p es una combinación lineal de todas las funciones linealmente independientes generadas por diferenciaciones repetidas de g ( x) .

Ecuaciones Diferenciales

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Caso II. Una función en la solución particular supuesta también es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

Regla de Multiplicación para el Caso II. Si alguna contiene términos que duplican los términos en yc , entonces esa y pi se debe multiplicar por x n , donde n es el entero positivo mínimo que elimina esa duplicación.

Ejemplos Ejemplo 1

y '' y '

1 y  3  e x /2 4

Solución Obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea  y ''  m 2 1 y '' y ' y  0   4  y'  m  m2  m 

1 1  1   0   m   m    0 4 2  2 

1 m1  m2   Raices Reales Repetidas 2 Por lo tanto la solución complementaria seria: yc  C1e x /2  C2 xe x /2

Ecuaciones Diferenciales

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Obtenemos la solución particular de la ecuación lineal no homogénea g ( x)  3  e x /2 1 x /2  y '' y ' y  3  e   2 x /2 4  y p  Ax e  B Obtenemos las primera y segunda derivada de la solución particular x 2 x /2 y p '  2 xAe  A e 2 x x A y p ''  2 Ae x /2  2 A e x /2  A2 e x /2  x 2e x /2  2 2 4 A y p ''  2 xAe x /2  2 Ae x /2  x 2e x /2 4 x /2

Posteriormente sustituimos la primera y segunda derivada de la solución particular propuesta en la ecuación diferencial lineal no homogénea 2 xAe 

x /2

 2 Ae

x /2

A 2 x /2  x 2 x /2  x /2  x e   2 xAe  A e  4 2  

1 Ax 2e x /2  B   3  e x /2  4

2 xAe

x /2

 2 Ae

x /2

A 2 x /2 x 2 x /2 x /2  x e 2 xAe  A e 4 2

1 1  Ax 2e x /2  B  3  e x /2  4 4 2 A  1  A  1 / 2 ,1 / 4 B  3  B  12

Por lo tanto la solución particular sería: yp 

1 2 x /2 x e  12 2

Ecuaciones Diferenciales

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Por lo tanto la solución general es: 1 y  yc  y p  y  C1e x /2  C2 xe x /2  x 2e x /2  12 2

Ejemplo 2

y '' 4 y ' 4 y  e x  x 2 Solución Obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea  y ''  m 2 y '' 4 y ' 4 y  0    y'  m  m 2  4m  4  0   m  2  m  2   0 m1  m2  2 Raices Reales Repetidas Por lo tanto la solución complementaria seria: yc  C1e 2 x  C2 xe 2 x

Obtenemos la solución particular de la ecuación lineal no homogénea y '' 4 y ' 4 y  e  x x

2

y

g ( x)  e x  x 2 p

 Axe x  Bx 2  Cx  D



Obtenemos las primera y segunda derivada de la solución particular y p '  Ae x  2 xB  C y p ''  Ae x  2 B

Posteriormente sustituimos la primera y segunda derivada de la solución particular propuesta en la ecuación diferencial lineal no homogénea

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Ae x  2 B  4  Ae x  2 xB  C   4  Ae x  Bx 2  Cx  D   e x  x 2  Ae x  2 B 4 Ae x  8 xB  4C 4 Ae x  4 Bx 2  4Cx  4 D  e x  x 2  Ae x  2 B  4C  4 D  x  4C  8B   4 Bx 2  e x  x 2 A  1 ,4 B  1  B  1 / 4 ,2 B  4C  4 D  0  2(1 / 4)  4(1 / 2)  4 D  0  1 / 2  2  4 D  0  4D  2  1 / 2  4D  3 / 2  D  3 / 8 , 4C  8B  0  4C  8 1 / 4   0  4C  2  C  1 / 2

Por lo tanto la solución particular sería: x2 x 3 yp  e    4 2 8 x

Por lo tanto la solución general es: y  yc  y p  y  C1e

Ecuaciones Diferenciales

2x

 C2 xe

2x

x2 x 3 e    4 2 8 x

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