Coeficientes Indeterminados - Enfoque de Superposición

[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2 Coeficientes Indeterminados - Enfoque de Superposición Para obtener la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea se deben de llevar a cabo dos cosas: a. Hallar la función complementaria b. Encontrar cualquier solución particular y p de la ecuación no homogénea.

Recordemos que una solución particular es cualquier función, libre de constantes arbitrarias, que satisface la ecuación diferencial idénticamente. La solución general de una ecuación no homogénea en un intervalo es y  yc  y p .

El método de coeficientes indeterminados presentado no esta limitado a ecuaciones de segundo orden, si se limita a ecuaciones lineales no homogéneas: 

Que tengan coeficientes constantes, y



Donde g ( x) es una constante k , una función algebraica, una función x

exponencial e

, sen x , cos  x , o sumas de productos finitos de estas

funciones.

Nota. Estrictamente hablando g ( x)  k (una constante) es una función algebraica.

Como probablemente una función constante no es en lo primero que se piensa cuando nos referimos a funciones algebraicas por énfasis se continua usando la redundancia “funciones constantes, polinomios,……”

Los siguientes son algunos ejemplos de este tipo de funciones de entrada g ( x) que son apropiadas para este tema: 

g ( x)  10



g ( x)  x 2  5 x



g ( x)  15x  6  8e4 x



g ( x)  sen3x  5x cos2 x



g ( x)  e x cos x   3x 2  1 e x

Y así sucesivamente. Esto es g ( x) es una combinación lineal de funciones del tipo:

k (cons tan te), x n , x ne x , x ne n cos  x y x ne n sen x , donde n es un

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[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2 entero no negativo y

 y  son números reales. El método de coeficientes

indeterminados no es aplicable a ecuaciones de la forma:

ay " by ' cy  g ( x)

(1)

Cuando: 

g ( x)  ln x



1 x g ( x)  tan x



g ( x)  sen1x



g ( x) 

Y así sucesivamente. x

El conjunto de funciones consisten de constantes, polinomios, exponenciales e , senos y cosenos, tienen la propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son nuevamente sumas y productos de constantes, polinomios, x

exponenciales e derivadas

, senos y cosenos. Puesto que la combinación lineal de las

ay " p  by ' p  cy p deben ser idénticamente igual a g ( x) . Esta

suposición puede caracterizarse propuesta.

mejor como una conjetura o una adecuada

Se deben considerar los siguientes casos los cuales son fundamentales para la aplicación de este método de solución.

Caso I Ninguna función que se suponga como solución particular es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

En la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos específicos de g ( x) en (1) junto con la forma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, se da por hecho, que ninguna función en la solución particular propuesta y p se duplica con una función en la función complementaría yc .

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Tabla 1. Propuesta de Soluciones particulares

g ( x)

Forma de y p

2. 5x  7

A Ax  B

3. 3x  2

Ax 2  Bx  C

4. x  x  1

Ax3  Bx2  Cx  D Acos4 x  Bsen4 x A cos4 x  B cos4 x

1. 1 (cualquier constante) 2

3

5. sen4 x 6. cos4x 7. e 8.

5x

 9 x  2  e5 x

Ae5x

 Ax  B  e5x

2 5x

 Ax

3x

Ae3 x cos4 x  Be3 x sen4 x

9. x e

10. e sen4 x

2

 Bx  C  e5x

2

 Ax

3x

 Ax  B  e3 x cos4 x  Cx  D  e3 x sen4x

11. 5 x sen4 x 12. xe cos4 x

2

 Bx  C  cos 4 x   Dx 2  Ex  F  sen4 x

Si g ( x) consiste de una suma, digamos, de m términos de la clase mostrada en la tabla anterior, entonces la suposición de una solución particular y p consiste en la suma de propuestas de la forma y p1 , y p 2 ,........ y pm correspondientes a esos términos:

y p  y p1  y p 2  ......  y pm Puesto de otra forma: La forma de y p es una combinación lineal de todas las funciones linealmente independientes que se generan al derivar repetidamente a g ( x) .

Caso II Ecuaciones Diferenciales

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[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2 Una función en la solución particular propuesta es también una solución de la ecuación diferencial homogénea.

Supóngase una vez más que g ( x) consiste de m términos de la clase dada en la tabla mencionada anteriormente y suponga que la propuesta para una solución particular es:

y p  y p1  y p 2  ....  y pm Donde y pi

i  1,2,...., m, son de las formas de las soluciones particulares

correspondientes de estos términos. Bajo la circunstancia descrita en el Caso II, se puede diseñar la siguiente regla general: Si cualquier y p contiene términos que se duplican en yc , entonces esa y p , debe n

multiplicarse por x , donde n es el entero positivo más pequeño que eliminar esa duplicación.

Problemas Propuestos En los siguientes problemas resuelva la ecuación diferencial dada por coeficientes constantes.

1. y '' 3 y ' 2 y  6 Planteamiento Paso

1.

Primero

se

resuelve

la

ecuación

homogénea

asociada

y '' 3 y ' 2 y  0 Proponiendo y  e

mx

, se obtiene la ecuación auxiliar m  3m  2  0 , por 2

lo tanto sus raíces serian m1  1 y m2  2 de modo que la solución complementaria de la ecuación diferencial dada es:

yc  c1e x  c2e2 x Paso 2. Ahora, puesto que la función de entrada g ( x) es un constante, supóngase una solución particular que tiene también la forma de una constante: Ecuaciones Diferenciales

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[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2

yp  A Se busca determinar el coeficiente específico A para el cual y p es una solución de la ecuación diferencial. Sustituyendo y p y las derivadas:

y 'p  0

y

y '' p  0

Se obtiene:

0  0  2A  6 6 2A  6  A   A  3 2 Paso 3. La solución general de la ecuación dada es

y  yc  y p  c1e x  c2e2 x  3

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[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2 Muestra en Mathematica 8 que la solución que se obtuve anteriormente es correcta.

2. y '' 4 y  3sen2 x Planteamiento Paso 1. Primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y '' 4 y  0 Proponiendo y  e

mx

, se obtiene la ecuación auxiliar m  4  0 , por lo 2

tanto sus raíces serian m1  2i y m2  2i de modo que la solución complementaria de la ecuación diferencial dada es:

yc  c1 cos2 x  c2 sen2 x Ecuaciones Diferenciales

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[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2 Paso 2. Ahora, puesto que la función de entrada g ( x)  3sen2 x es una función senoidal, nuestra tentativa lógica seria de y p1  A cos 2 x  Bsen2 x suponemos con esto una solución particular que tiene también la forma de senoidal de acuerdo a nuestra tabla 1 de propuestas de soluciones particulares y considerando que hay una duplicación obvia en los términos senx y cos x en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar y p1 por x :

y p  Ax cos2 x  Bxsen2 x Se busca determinar el coeficiente específico A y B para el cual y p es una solución de la ecuación diferencial. Sustituyendo y p y las derivadas:

y ' p  2 Axsen2 x  A cos 2 x  2 Bx cos 2 x  Bsen2 x

y

y '' p  4 Ax cos 2 x  2 Asen2 x  2 Asen2 x  4 Bxsen2 x  2 B cos 2 x  B cos 2 x y '' p  4 Ax cos 2 x  4 Asen2 x  4 Bxsen2 x  3B cos 2 x Sustituyendo en la ecuación diferencial dada, se obtiene:

4 Ax cos 2 x  4 Asen2 x  4 Bxsen2 x  3Bcos 2 x  4  Ax cos 2 x  Bxsen2 x   3sen2 x 4 Ax cos 2 x  4 Asen2 x  4 Bxsen2 x  3B cos 2 x  4 Ax cos 2 x  4 Bxsen2 x  3sen2 x Eliminando términos semejantes

4 Ax cos 2 x  4 Asen2 x 4 Bxsen2 x  3B cos 2 x 4 Ax cos 2 x 4 Bxsen2 x  3sen2 x 4 Asen2 x  3B cos 2 x  3sen2 x

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[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2 Y así

4 A  3  A  

3 4

3B  0  B  0 En consecuencia de nuestro sistema de ecuaciones se obtiene

3 y p   x cos 2 x 4 Paso 3. La solución general de la ecuación dada es

3 y  yc  y p  c1 cos 2 x  c2 sen2 x  x cos 2 x 4

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[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2 Muestra en Mathematica 8 que la solución que se obtuve anteriormente es correcta

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