Cauchy euler variación de parametros

Cauchy – Euler y Variación Parámetros Ecuación de Cauchy – Euler Una ecuación diferencial de la forma

an x

n

dny dx n

 an 1x

n 1

d n 1 dx

 ...  a1x n 1

dy  ao y  g ( x) dx

(1.1)

Donde an , an1,......ao son constantes se llama ecuación de Cauchy – Euler.

Método de Solución Probamos una solución de la forma y  x m , donde m

debe ser

determinado, las derivadas primera y segunda son: dy  mx m 1 dx dy  m(m  1) x m  2 dx

(1.2)

De modo que la ecuación diferencial se transforma en ax

2

d2y dx

2

 bx

dy  cy  ax 2  m  m  1 x m  2  bx  mx m 1  cx m dx  am(m  1) x m  bmx m  cx m  x m  am  m  1  bm  c 

Así y  x m será solución de la ecuación diferencial cada vez que m sea solución de la ecuación auxiliar. am(m  1)  bm  c  0 ó

(1.3)

am2  (b  a)m  c  0

Hay que considerar tres casos diferentes dependiendo de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas reales e iguales o complejas conjugadas.

Ecuaciones Diferenciales

Página 1

Cauchy – Euler y Variación Parámetros Caso I Sean m1 y m2 raíces reales de (1.3) tales que m1  m2 , entonces:

y1  xm1 e

y2  x m2

(1.4)

Forman un conjunto fundamental de soluciones, por lo tanto la solución general es:

y  C1x m1  C2 x m2

(1.5)

Caso II Si m1  m2

obtenemos una solución a saber, y  x m1 , cuando las

raíces de la ecuación cuadrática am2  (b  a)m  c  0 , son iguales, el discriminante de los coeficientes es necesariamente cero. Por lo tanto la solución general es:

y  C1x m1  C2 xm2 ln x

(1.6)

Caso III Si m1 y m2 son complejas conjugadas, digamos:

m1     i, m2     i

(1.7)

Donde  y  son reales, entonces una solución formal es:

y  C1x   i  C2 x   i

(1.8)

Con

 

x  i  eln x

i

 ei ln x

(1.9)

La cual por la formula de Euler es la misma que x  i  cos   ln x   isen   ln x  Ecuaciones Diferenciales

Página 2

Cauchy – Euler y Variación Parámetros Se deduce que la solución general es:

y  x C1 cos   ln x   C2sen   ln x 

(1.10)

Variación de Parámetros Vimos que la solución general de la ecuación lineal

dy  P( y )  f ( x) dx

(1.11)

Para motivar un método adicional para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden, mediante un método conocido como método de variación de parámetros.

Resumen del Método En general no es recomendable memorizar formulas en lugar de tratar de comprender un procedimiento. Sin embargo el procedimiento precedente es demasiado largo y complicado para usarlo cada vez que queramos resolver una ecuación diferencial.

En este caso es más eficiente usar simplemente las siguientes formulas:

0 y2 f ( x) y '2 y f ( x) U '1   2 y1 y2 W y '1 y '2 y y1 0 y ' f ( x) y1 f ( x) U '2  1  y1 y2 W y '1 y '2 W  Wroskiano Ecuaciones Diferenciales

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Cauchy – Euler y Variación Parámetros En consecuencia para resolver ay '' by ' cy  g ( x) , donde a, b y c son constantes, primero encuentre la función yc  C1 y1  C2 y2 y luego calcule el wroskiano.

W

Dividiendo por a

y1

y2

y '1

y '2

complementaria

(1.12)

la ecuación de la forma y '' Py ' Qy  f ( x) , para

determinar f ( x) . Encuentre U 1 y U 2 integrando, es decir:

U '1   

y2 f ( x) W

y

U '2  

y1 f ( x) W

(1.13)

Finalmente, forme la solución particular y p  U1 y1  U 2 y2

(1.14)

En consecuencia tenemos que:

y  yc  y p yc  complementaria y p  particular Ejemplo 1 Resuelva mediante variación de parámetros

x2 y '' 2 xy ' 2 y  x 4e x Solución La sustitución y  x m conduce a la ecuación auxiliar

Ecuaciones Diferenciales

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Cauchy – Euler y Variación Parámetros y  x m , y '  mx m 1, y ''  m(m  1) x m  2 





x 2 m  m  1 x m x 2  2 xmx m x 1  2 x m  0 

 m2  m  xm  2mxm  2xm  0  x m  m 2  m  2m  2   0    x m  m 2  3m  2   0    x m  m  2  m  1   0

Por lo tanto las raíces son m2  2, m1  1 por lo tanto de acuerdo al caso I tenemos:

yc  C1x m1  C2 x m2  yc  C1x  C2 x 2 Antes de usar variación de parámetros recordemos que las formulas: U '1  

y2 f ( x ) W

y U '2 

y1 f ( x) W

Fueron deducidas en el supuesto de la ecuación diferencial ha sido reducida a la forma y '' P( x) y ' Q( x) y  f ( x) por lo tanto dividimos la ecuación dada por x 2 y hacemos la identificación f ( x)  x 2e x .

Ahora bien W

x

x2

 2 x2  x2  x2

1 2x

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Cauchy – Euler y Variación Parámetros De modo que integramos y obtenemos:

U '1  

y2 f ( x ) x2  x2  e x    x 2e x 2 W x

y y1 f ( x) x  x 2  e x U '2    xe x 2 W x

U '1   

 u  x 2 dv  e x x e dx   x du  2dx v  e 2 x



 u  x dv  e x U1  x e  2  xe dx   v  ex du  dx 2 x

x





U1   1 x 2e x  2 xe x  2e x  U1   x 2e x  2 xe x  2e x 



 U1  e x   x 2  2 x  2 

U1  e x x 2  2 x  2 

 u  x dv  e x U '2   xe dx  du  dx v  e x  x

U 2  xe x   e x dx  U 2  e x  x  1

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Cauchy – Euler y Variación Parámetros Luego

y p  U1 y1  U 2 y2 





y p  e x x 2  2 x  2 x  e x  x  1 x 2 y p   x3e x  2 x 2e x  2 xe x  x3e x  x 2e x y p  x 2e x  2 xe x Finalmente tenemos:

y  yc  y p  y  C1x  C2 x 2  x 2e x  2 xe x Relación con coeficientes constantes la semejanza entre las formas de las soluciones a las ecuaciones de Cauchy – Euler y a las ecuaciones lineales con coeficientes constantes no es mera coincidencia: por ejemplo, cuando las raíces de las ecuaciones auxiliares de

ax2 y '' bxy ' cy  0 son distintas y reales, las soluciones respectivas generales son:

y  C1em1 x  C2em2 x

y y  C1xm1  C2 x m2 , x  0

(1.15)

En vista de la identidad eln x  x, x  0 , la segunda solución se puede expresar en la misma forma que la primera

y  C1em1 ln x  C2em2 ln x  C1em1t  C2em2t

(1.16)

Donde t  ln x . Este último resultado ilustro que toda ecuación de Cauchy Euler. Siempre se puede escribir en la forma de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, mediante la sustitución x  et . La idea es resolver la nueva ecuación diferencial en términos de la variable t siguiendo los métodos de las secciones anteriores y una vez obtenida la solución general restituir t  ln x . Este método que

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Cauchy – Euler y Variación Parámetros ilustramos en el último ejemplo requiere la aplicación de la regla de la cadena, de la diferenciación.

Ejemplo 2 Resolver la siguiente ecuación diferencial

x2

d2y dy  10 x  8 y  x 2 dt dt

Solución x  et y por la regla de la cadena se tiene que la primera y segunda derivada:

dy dy dt  Regla de la Cadena dt dt dx x  et ó t  ln x  dy dy 1  Primera Derivada dx dt x d2y dx 2 d2y dx 2 d2y dx 2



1 d  dy  dy  1      x dx  dt  dt  x 2 



1 d  dy  dy  1      x dt  dx  dt  x 2 



1 d  dy 1  dy  1      x dt  dt x  dt  x 2 

1  d 2 y dy      Segunda Derivada dx 2 x 2  dt 2 dt 

d2y

Sustituyendo la primera y segunda derivada tenemos:

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Cauchy – Euler y Variación Parámetros  1  d 2 y dy    dy 1  x  2  2     10 x   8 y  et    dt    dx x   x  dt

 

2

d2y dt 2 d2y dt 2



2



dy dy  10  8 y  e2t  dt dt

9

dy  8 y  e 2t dt

Puesto que la ultima ecuación obtiene coeficientes constantes, su ecuación auxiliar es:

m 2  9m  8  0 ó

 m  8 m  1  0 Por consiguiente obtenemos:

yc  C1et  C2e8t Usando coeficientes indeterminados suponemos que una solución particular es: y p  Ae2t  y ' p  2 Ae2t , y '' p  4 Ae2t

Por lo tanto sustituyendo en la ecuación diferencial en términos de t tenemos:

4 Ae2t  9(2 Ae2t )  8 Ae2t  e2t  4 Ae2t  18 Ae2t  8 Ae2t  e2t  30 Ae2t  e2t  30 A  1  A 

1 30

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Cauchy – Euler y Variación Parámetros Luego tenemos:

y  yc  y p  y  C1et  C2e8t 

1 2t e 30

La ecuación de Cauchy – Euler puede ser reducida a una ecuación con coeficientes constantes por medio de la sustitución x  et .

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