Ecuación de Bernoulli y Ricatti

[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Ecuación de Bernoulli A la ecuación diferencial dy  P( x) y  f ( x) y n dx

(1.1)

Donde n es un número real cualquiera se le llama ecuación de Bernoulli en honor del matemático suizo Jacobo Bernoulli (1654 1705). Para n  0 y n  1 , la sustitución w  y1n lleva a la ecuación lineal. Observe que cuando n  0 y n  1 la ecuación (1.1) es lineal. dw  1  n  P( x) w  1  n  f ( x) dx

(1.2)

Ejercicios Resuelva la ecuación de Bernoulli Ejercicio 1 x2

dy 1  2 xy  3 y 4 , y(1)  dx 2

Solución Acomodamos la ecuación diferencial en la forma estándar de una ecuación de Bernoulli dy 2 y 3 y 4   2 dx x x

2 3 Identificamos a p( x)   , f ( x)  2 y n  4 x x

En consecuencia sabemos que w  y 1 y tenemos

Ecuaciones Diferenciales

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 dw 3  2  1  4     w  1  4  2  dx x  x dw 6 9  w 2 dx x x

El factor integrante de esta ecuación lineal es: 6

dx ln x6 6ln x e x  e e  x6

Por lo tanto d 6 9 d  x w   2 x6   x 6 w  9 x 4 dx x dx

Por lo tanto integramos ambos lados 9 9 x6 w   x5  c  w   x 1  cx 6 5 5

Como w  y1n obtenemos w  y 3  1 9 1   x  cx 6 3 y 5

Sustituimos los valores de la condición inicial para encontrar c x 1 1 y (1)   1 2 y  2 3

9 1 6 1     1  c 1 5 2 9 9 49 49 8  cc 8   c 5 5 5 5 9 49 6 Por lo tanto tenemos que la solución y 3   x 1  x 5 5 Ecuaciones Diferenciales

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Ejercicio 2 x2

dy  y 2  xy dx

Solución Por lo tanto acomodándola de acuerdo a la forma estándar de Bernoulli tenemos:

dy dy y y2 2 x  xy   y    2 dx dx x x 2

Identificamos 1 1 p ( x)   , f ( x)   2 y n  2 x x

En consecuencia haciendo la sustitución llegaremos a una ecuación lineal de primer orden como se denota a continuación: dw  1  1  1  2     w  1  2    2  dx  x  x  dx dw w 1 ln x    2  e x  e ; u ( x)  x dx x x xw  ln x  c

con w  y12  w  y 1  w 

1 y

Por lo tanto sustituimos el valor de w x x  ln x  c   ln x  ln c  e x / y  xc y y

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Ecuación de Ricatti La ecuación diferencial no lineal dy  P( x)  Q( x ) y  R ( x ) y 2 dx

(1.3)

Se llama ecuación de Ricatti. Si y1 es una solución particular conocida de (1.3) entonces las sustituciones y  y1  u

y

dy dy1 du   dx dx dx

Aplicadas estas sustituciones a la ecuación diferencial (1.3) producen la siguiente ecuación diferencial en términos de u : du   Q  2 y1R  u  Ru 2 dx

(1.4)

Como la ecuación (1.4) es una ecuación de Bernoulli con n  2 , puede entonces reducirse a la ecuación lineal siguiente: dw   Q  2 y1R  w   R dx

(1.5)

Al sustituir w  u 1 Nota. En muchos casos una solución de una ecuación de Ricatti no puede ser expresada en términos de funciones elementales.

Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones de Ricatti Ejercicio 1 dy  2  y  y 2 , y1  2 dx

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Solución Se identifican que P( x)  2, Q( x)  1, R( x)  1 y después se resuelve la ecuación lineal: dw   1  2  2 1  w  1  dx  dw  3w  1 dx

Resolvemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden 3 dx e   e3 x

d 3x d e w  e3 x   e3 x wdx   e3 x dx  dx dx 3x e e3 x w   c 3

Pero con w  u 1  e3 x 1 1 e u   c     c 3 x 3 u 3 3x

1

u

1 1   ce3 x 3

Entonces la solución de la ecuación es y 2u y 2

1 ce3 x 

1 3

Ejercicio 2 dy 1  2 x 2  y  2 y 2 , y1  x dx x Ecuaciones Diferenciales

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Solución 1 Se identifican que P( x)  2 x 2 , Q( x)  , R( x)  2 y después se resuelve x la ecuación lineal: dw  1     2  x  2   w  2  dx  x  dw  1     4x  w  2 dx  x 

Resolvemos la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden 1



  x 4 x dx

ln x  2 x 2

e e  e e 2 x  xe 2 x 2 2 2 d  2 x2  d xe w  2 xe2 x    xe 2 x wdx   2 xe 2 x dx    dx  dx 





ln x



2

2







xe2 x w   2 xe 2 x dx 2

2

Resolvemos la integral

 2 xe

2 x 2



z  2 x 2 dx  dz  4 xdx

dz  z z z 2 x 2 2 xe    2 e dz   2 e  c   2 e c     4 

Por lo tanto wxe2 x  2e2 x  c 2

2

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Pero con w  u 1  2 1 2 x2 xe  2e 2 x  c u

u

xe 2 x

2

2e 2 x  c 2

Entonces la solución de la ecuación es y  xu y  x

Ecuaciones Diferenciales

xe2 x

2

2e2 x  c 2

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