Ejercicios de Laplace para resolver

Gerson Villa González

Ecuaciones Diferenciales

1

Ejercicios Tema 15: Transformada de Laplace. Aplicaciones 1. Hallar, usando la definici´on, la transformada de Laplace de (a) f (t) = tp , p > −1. (b) f (t) = eat .

Sol.: (a) F (s) =

Γ(p+1) ; sp+1

(b) F (s) =

1 s−a ,

s > a.

2. Hallar, mediante desarrollo en serie, la transformada de Laplace de (a) f (t) = e−t . (b) f (t) = sen t.

Sol.: (a) F (s) =

1 s+1 ,

s > −1; (b) F (s) =

1 . s2 +1

3. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on que se obtiene al expandir peri´odicamente, con periodo 1, la funci´on f (t) = t, 0 ≤ t < 1. −s .

Sol.: F (s) = 1−(1+s)e s2 (1−e−s ) 4. Hallar, usando convoluci´ on, la transformada inversa de Laplace de F (s) = Sol.: f (t) =

1 (s2 + 4s + 13)2

(sen 3t−3t cos 3t)e−2t .

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5. Hallar:

µ −1

L

3s + 1 (s − 1)(s2 + 1)

¶

Sol.: f (t) = 2et − 2 cos t + sen t.

6. Hallar, mediante transformadas de Laplace, la siguiente integral Z ∞ sen t dt t 0 Sol.: π/2.

7. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace, calcular: Rt (a) L[s(t)], siendo s(t) = 0 senu u du. ³ ´ ´ ³ 2 ´ ³ 1 t s −1 = t sen (b) L−1 (s2s+1)2 y L−1 (s2 +1) 2 , sabiendo que L 2 2 2 . (s +1) ´ ³ 2s2 −4 . (c) L−1 (s+1)(s+2)(s−3)

Gerson Villa González

Ecuaciones Diferenciales

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(d) L[fi (t)], siendo fi (t), i = 1, 2, la funci´on cuya gr´afica es: 6

3

6

2

¡@ ¡ @ ¡ @ f2 ¢ A ¢ A ¢ A ¢ A

f1

1 ¡

1

1

@

¡ ¡

@ @

2

3

-

¢ ¢

A A -

1

2

3

4

Sol.: (a) F (s) = 1s arctan 1s ; (b) f (t) = (sen t + t)/2 y g(t) = (sen ¡ t cos−s ¢ t 2− t cos t)/2; 4 −2t 7 3t 1 −t −2s −3s + 10 e ;¢ (d) F1 (s) = 1 − e − e = 2e + 5e +e /s y F2 (s) = ¡(c) f (t) 2 − e−s − 2e−2s − e−3s + 2e−4s /s2 .

8. Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales: R ∞ −t −3t dt. (a) 0 e −e t ´ ³ R∞ 1 (b) 0 t 1 − e− 2 t + e−2t cos t dt.

R∞ 2 (c) 0 e−t dt. √ Sol.: (a) ln 3; (b) −2/5; (c) π/2.

9. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas: ½  2 , si 0 < t ≤ 1  0000  x (t) =   ½ 00 0 , si 1 < t ≤ 2  y − 3y 0 + 2y = 2e3t 0 x(t) + y (t) = 0 ; (a) ; (e) y(0) = 0 , y 0 (0) = 1  0 (0) = x00 (0) = x000 (0) = 0  x(0) = x    y(0) = 3  0 ½ 00  x = −7x − 6y + t y + y = et y 0 = 12x + 10y (b) ; (f) ; y(1) = 1 , y 0 (1) = 0  x(3) = 1 ; y(3) = −8    0 , si 0 < t < 2    ½  0−y =  1 , si 2 < t < 3 1 , si 0 < t < 2 x   0 y +y =  0 , si t > 3 0 , si t ≥ 2 ; (c) ; (g)   0−x=1  y y(0) = 0    x(1) = y(1) = 1 ½  1 , si 0 < t < 1   x0 − y =   ½ 00  ½ 0 , si t > 1 ty + 4y 0 + 9ty = cos 3t ; t > 0 0 , si 0 < t < 2 ; (h) . (d) 0 y(0) = 0 ; y 0 (0) = 1/4  y −x=  1 , si t > 2    x(0) = y(0) = 0

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Sol.: (a)(y = e3t − e2t ; (b) y = [et + (2 − e) cos(t − 1) − e sen(t − 1)]/2; 1 − e−t , si 0 < t < 2 (c) y = ; 2 −t (e − 1)e , si t ≥ 2   , si 0 < t < 1 sh t (d) x = sh t − sh(t − 1) , si 1 < t < 2 ;   sh t − sh(t − 1) + ch(t − 2) − 1 , si t > 2   , si 0 < t < 1 ch t − 1 y = ch t − ch(t − 1) , si 1 < t < 2 ;   ch t − ch(t − 1) + sh(t − 2) , si t > 2 (e) x = [t4 − (t − 1)4 h(t − 1)]/12; y = [180 + t5 − (t − 1)5 h(t − 1)]/60; (f) x = −8 − 5t − et−3 + 25e2(t−3) ; y = 9 + 6t + 4et−3 − 39e2(t−3) ; (g) x = [et−1 − 1 + ch(t − 1)]h(t − 1) − sh(t − 2)h(t − 2) + sh(t − 3)h(t − 3); y = [ch(t − 1) + 2 sh(t − 1)]h(t − 1) − [ch(t − 2) − 1]h(t − 2) + [ch(t − 3) − 1]h(t − 3); 3t (h) y = sen 12 .

10. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas:  0 Rt  x + 2x + 6 0 y(u) du = −2 (a) x0 + y 0 + y = 0  x(0) = −5 ; y(0) = 6 ½  0 , si 0 < t < 1  0 0   9x − 32y − 32y = 1 , si t ≥ 1 Rt (b)  −2x0 + 0 x(u) du + 8y 0 + 8y = 0   x(0) = 32 ; y(0) = 9 sen 2(t−1); Sol.: (a) x = 2−3e−4t −4e¢t ; y ¡= 4e−4t +2et ; (b) x = 32 cos 2t+ h(t−1) 2 ¡ ¢ y= 1 1−t 9 9 9 −1 −t + 4 cos 2t − 2 sen 2t + 32 − 40 e + 160 cos 2(t − 1) + 80 sen 2(t − 1) h(t − 5 e 1).

11. Utilizando transformadas de Laplace: (a) Resolver:

½

(b) Demostrar que:

Z

x00 − 5x0 + 4x = 4 , t ≥ 0 x(0) = 0 , x0 (0) = 2 t

sen y cos(t − y) dy = 0

Sol.: (a) x(t) = 1 −

2et

+

e4t ,

t sen t 2

t ≥ 0.

12. Usando transformadas de Laplace, resolver el problema de Cauchy:  0  x − 2x + 3y = 4 − 2t y 0 + 2y − x = 2 − t  x(0) = −1 , y(0) = 0 para t ≥ 0.

Sol.: x(t) = t − e−t , y(t) = 1 − e−t , t ≥ 0.

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13. Resolver, utilizando la Transformada de Laplace, el problema de Cauchy: ½ 00 Rt y − 2y 0 + y − 2 0 y(u) du = 5 , t > 0 y(0) = 1 , y 0 (0) = 0 Sol.: y(t) = e2t − 2 sen t, t ≥ 0.

14. Resolver el problema de Cauchy ½  1 , si 0 < t < 2  0  x −y =    ½ 0 , si 2 < t 0 , si 0 < t < 2 y 0 − x0 =   1 , si 2 < t    x(0) = 1 ; y(0) = 0 Sol.: x(t) = et h(t) − (t − 2)h(t − 2); y(t) = (et − 1)h(t).

15. Dada la funci´on f (t) = n, si (n − 1)α < t < nα, para n ≥ 1, siendo α un n´ umero real positivo y no nulo, se pide: (a) Trazar su gr´afica y obtener para f (t) una f´ormula que la exprese como una serie cuyos t´erminos sean funciones de Heaviside. (b) Calcular la transformada de Laplace de f (t). (c) Aplicando convoluci´ on, calcular la transformada inversa de F (s) =

1 s2 (s2

+ 4)

(d) Resolver, mediante transformadas de Laplace, el problema de Cauchy ( x00 = 8 − 4t + 2 sen(2t − 4) x(2) = 1 , x0 (2) = 0 P∞

− nα); (b) L (f (t)) = s(1−e1−αs ) ; (c) L−1 (F (s)) = ¡ ¢ 2t−sen 2t h(t); (d) x(t) = t − 1 − 32 (t − 2)3 − 21 sen 2(t − 2) h(t − 2).

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Sol.: (a) f (t) =

n=0 h(t

16. Dada la funci´on ( 0 , si 4ka < t < (4k + 2)a, k ≥ 0 f (t) = a , si (4k + 2)a < t < 4(k + 1)a, k ≥ 0 con a > 0, se pide: (a) Obtener su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy ( x00 − 2x0 + x = f (t) (h(t) − h(t − 3a)) x(0) = x0 (0) = 2

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a ; (b) x(t) = 2et h(t)+ Sol.: (a) L (f (t)) = s(e2as +1) £¡ ¢ ¡ ¢ ¤ +a 1 + et−2a (t − 2a − 1) h(t − 2a) − 1 + et−3a (t − 3a − 1) h(t − 3a) .

17. Dada la funci´on

( f (t) =

cos 4t , si 0 ≤ t < 4π 0 , si t ≥ 4π

se pide: (a) Expresarla mediante la funci´on de Heaviside y hallar, aplicando las propiedades, su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy ( x00 + 16x = f (t) x(0) = x0 (0) = 0 Sol.: (a) f (t) = h(t) cos 4t − h(t − 4π) cos 4t, L (f (t)) = (b) x = 18 (th(t) sen 4t − (t − 4π)h(t − 4π) sen(t − 4π)).

s(1−e−4πs ) ; s2 +16