Dérivabilité Tekaya Habib IHEC de sousse
Semestre I
Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
Cours Maths Analyse
Semestre I 2011
1 / 48
1
Dérivée en un point
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1
Dérivée en un point
2
Opérations sur les fonctions dérivables
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1
Dérivée en un point
2
Opérations sur les fonctions dérivables Exercices
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1
Dérivée en un point
2
Opérations sur les fonctions dérivables Exercices
3
Dérivées successives
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Dérivée en un point
2
Opérations sur les fonctions dérivables Exercices
3
Dérivées successives Exercices
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Dérivée en un point
2
Opérations sur les fonctions dérivables Exercices
3
Dérivées successives Exercices
4
Fonctions de classe C p
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Dérivée en un point
2
Opérations sur les fonctions dérivables Exercices
3
Dérivées successives Exercices
4
Fonctions de classe C p Théorèmes généraux
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Dérivée en un point
2
Opérations sur les fonctions dérivables Exercices
3
Dérivées successives Exercices
4
Fonctions de classe C p Théorèmes généraux Exercices
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Définition Soit f une fonction réelle définie au voisinage d’un point x0 . f (x ) − f (x0 ) existe et est un nombre On dit que f est dérivable en x0 ssi lim x →x0 x − x0 réel. Dans ces conditions, cette limite se note f 0 (x0 ), et s’appelle le nombre dérivé de f en x0 . Exemple f (x ) = x 3 + x 2 − 2. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f 0 (1). f (x ) − f (1) x 3 + x 2 − 2 (x − 1)(x 2 + 2x + 2) = = = x 2 + 2x + 2. ∀x 6= 1; x −1 x −1 x −1 f (x ) − f (1) D’où : lim = lim (x 2 + 2x + 2) = 5. x −1 x →1 x →1 D’où f est dérivable en 1 et f 0 (1) = 5. Soit
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Définition Soit f une fonction réelle définie au voisinage d’un point x0 . f (x ) − f (x0 ) existe et est un nombre On dit que f est dérivable en x0 ssi lim x →x0 x − x0 réel. Dans ces conditions, cette limite se note f 0 (x0 ), et s’appelle le nombre dérivé de f en x0 . Exemple f (x ) = x 3 + x 2 − 2. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f 0 (1). f (x ) − f (1) x 3 + x 2 − 2 (x − 1)(x 2 + 2x + 2) = = = x 2 + 2x + 2. ∀x 6= 1; x −1 x −1 x −1 f (x ) − f (1) D’où : lim = lim (x 2 + 2x + 2) = 5. x −1 x →1 x →1 D’où f est dérivable en 1 et f 0 (1) = 5. Soit
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Définition Soit f une fonction réelle définie au voisinage d’un point x0 . f (x ) − f (x0 ) existe et est un nombre On dit que f est dérivable en x0 ssi lim x →x0 x − x0 réel. Dans ces conditions, cette limite se note f 0 (x0 ), et s’appelle le nombre dérivé de f en x0 . Exemple f (x ) = x 3 + x 2 − 2. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f 0 (1). f (x ) − f (1) x 3 + x 2 − 2 (x − 1)(x 2 + 2x + 2) = = = x 2 + 2x + 2. ∀x 6= 1; x −1 x −1 x −1 f (x ) − f (1) = lim (x 2 + 2x + 2) = 5. D’où : lim x −1 x →1 x →1 D’où f est dérivable en 1 et f 0 (1) = 5. Soit
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Définition Soit f une fonction réelle définie au voisinage d’un point x0 . f (x ) − f (x0 ) existe et est un nombre On dit que f est dérivable en x0 ssi lim x →x0 x − x0 réel. Dans ces conditions, cette limite se note f 0 (x0 ), et s’appelle le nombre dérivé de f en x0 . Exemple f (x ) = x 3 + x 2 − 2. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f 0 (1). f (x ) − f (1) x 3 + x 2 − 2 (x − 1)(x 2 + 2x + 2) = = = x 2 + 2x + 2. ∀x 6= 1; x −1 x −1 x −1 f (x ) − f (1) = lim (x 2 + 2x + 2) = 5. D’où : lim x −1 x →1 x →1 D’où f est dérivable en 1 et f 0 (1) = 5. Soit
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Exemple Soit f (x ) = ex + x 2 + 1. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé. f (x ) − f (0) ex + x 2 − 1 ex − 1 ∀x 6= 0; = = +x. x x x x f (x ) − f (0) e −1 = lim [ + x ] = 1. D’où : lim x →0 x x →0 x D’où f est dérivable en 0 et f 0 (0) = 1. Exemple
p
La fonction f : x 7−→ x est-elle dérivable en 0. p f (x ) − f (0) x 1 = lim = lim p = +∞. lim+ + + x − 0 x x →0 x →0 x →0 x La limite en 0+ du taux d’accroissement n’est pas finie, alors f n’est pas dérivable en 0 à droite. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exemple Soit f (x ) = ex + x 2 + 1. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé. f (x ) − f (0) ex + x 2 − 1 ex − 1 ∀x 6= 0; = = +x. x x x x f (x ) − f (0) e −1 D’où : lim = lim [ + x ] = 1. x →0 x x →0 x D’où f est dérivable en 0 et f 0 (0) = 1. Exemple
p
La fonction f : x 7−→ x est-elle dérivable en 0. p f (x ) − f (0) x 1 = lim = lim p = +∞. lim+ + + x − 0 x x →0 x →0 x →0 x La limite en 0+ du taux d’accroissement n’est pas finie, alors f n’est pas dérivable en 0 à droite. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exemple Soit f (x ) = ex + x 2 + 1. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé. f (x ) − f (0) ex + x 2 − 1 ex − 1 = = +x. ∀x 6= 0; x x x x f (x ) − f (0) e −1 D’où : lim = lim [ + x ] = 1. x →0 x x →0 x D’où f est dérivable en 0 et f 0 (0) = 1. Exemple
p
La fonction f : x 7−→ x est-elle dérivable en 0. p f (x ) − f (0) x 1 = lim = lim p = +∞. lim+ + + x − 0 x x →0 x →0 x →0 x La limite en 0+ du taux d’accroissement n’est pas finie, alors f n’est pas dérivable en 0 à droite. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exemple Soit f (x ) = ex + x 2 + 1. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé. f (x ) − f (0) ex + x 2 − 1 ex − 1 = = +x. ∀x 6= 0; x x x x f (x ) − f (0) e −1 = lim [ + x ] = 1. D’où : lim x →0 x x →0 x D’où f est dérivable en 0 et f 0 (0) = 1. Exemple
p
La fonction f : x 7−→ x est-elle dérivable en 0. p f (x ) − f (0) x 1 = lim = lim p = +∞. lim+ + + x − 0 x x →0 x →0 x →0 x La limite en 0+ du taux d’accroissement n’est pas finie, alors f n’est pas dérivable en 0 à droite. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exemple Soit f (x ) = ex + x 2 + 1. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé. f (x ) − f (0) ex + x 2 − 1 ex − 1 = = +x. ∀x 6= 0; x x x x f (x ) − f (0) e −1 = lim [ + x ] = 1. D’où : lim x →0 x x →0 x D’où f est dérivable en 0 et f 0 (0) = 1. Exemple
p
La fonction f : x 7−→ x est-elle dérivable en 0. p f (x ) − f (0) x 1 lim+ = lim = lim p = +∞. + + x − 0 x x →0 x →0 x →0 x La limite en 0+ du taux d’accroissement n’est pas finie, alors f n’est pas dérivable en 0 à droite. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exemple Soit f (x ) = ex + x 2 + 1. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé. f (x ) − f (0) ex + x 2 − 1 ex − 1 = = +x. ∀x 6= 0; x x x x f (x ) − f (0) e −1 = lim [ + x ] = 1. D’où : lim x →0 x x →0 x D’où f est dérivable en 0 et f 0 (0) = 1. Exemple
p
La fonction f : x 7−→ x est-elle dérivable en 0. p f (x ) − f (0) x 1 lim+ = lim = lim p = +∞. + + x − 0 x x →0 x →0 x →0 x La limite en 0+ du taux d’accroissement n’est pas finie, alors f n’est pas dérivable en 0 à droite. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exemple Soit f (x ) = ex + x 2 + 1. Montrer que f est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé. f (x ) − f (0) ex + x 2 − 1 ex − 1 = = +x. ∀x 6= 0; x x x x f (x ) − f (0) e −1 = lim [ + x ] = 1. D’où : lim x →0 x x →0 x D’où f est dérivable en 0 et f 0 (0) = 1. Exemple
p
La fonction f : x 7−→ x est-elle dérivable en 0. p f (x ) − f (0) x 1 = lim = lim p = +∞. lim+ + + x − 0 x x →0 x →0 x →0 x La limite en 0+ du taux d’accroissement n’est pas finie, alors f n’est pas dérivable en 0 à droite. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Une fonction f est dérivable en x0 si et seulement si, son graphe (Γ) admet au point M0 (x0 , f (x0 )) une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées. La dérivée f 0 (x0 ) est le coefficient directeur de la tangente en M0 à Γ. L’équation de cette tangente est :
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) .
Définition (Dérivée à droite et à gauche) Soit f une fonction définie à droite ( respectivement gauche ) d’un réel x0 . f (x ) − f (x0 ) f est dérivable en x0 à droite ( respectivement gauche ) ssi lim+ x − x0 x →x0 f (x ) − f (x0 ) ) existe et est finie. ( resp. lim− x →x0 x − x0 Cette limite s’appelle nombre dérivé à droite ( resp. gauche ) en x0 et est noté fd0 (x0 ) ( resp. fg0 (x0 )). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Une fonction f est dérivable en x0 si et seulement si, son graphe (Γ) admet au point M0 (x0 , f (x0 )) une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées. La dérivée f 0 (x0 ) est le coefficient directeur de la tangente en M0 à Γ. L’équation de cette tangente est :
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) .
Définition (Dérivée à droite et à gauche) Soit f une fonction définie à droite ( respectivement gauche ) d’un réel x0 . f (x ) − f (x0 ) f est dérivable en x0 à droite ( respectivement gauche ) ssi lim+ x − x0 x →x0 f (x ) − f (x0 ) ) existe et est finie. ( resp. lim− x →x0 x − x0 Cette limite s’appelle nombre dérivé à droite ( resp. gauche ) en x0 et est noté fd0 (x0 ) ( resp. fg0 (x0 )). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Une fonction f est dérivable en x0 si et seulement si, son graphe (Γ) admet au point M0 (x0 , f (x0 )) une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées. La dérivée f 0 (x0 ) est le coefficient directeur de la tangente en M0 à Γ. L’équation de cette tangente est :
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) .
Définition (Dérivée à droite et à gauche) Soit f une fonction définie à droite ( respectivement gauche ) d’un réel x0 . f (x ) − f (x0 ) f est dérivable en x0 à droite ( respectivement gauche ) ssi lim+ x − x0 x →x0 f (x ) − f (x0 ) ) existe et est finie. ( resp. lim− x →x0 x − x0 Cette limite s’appelle nombre dérivé à droite ( resp. gauche ) en x0 et est noté fd0 (x0 ) ( resp. fg0 (x0 )). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Une fonction f est dérivable en x0 si et seulement si, son graphe (Γ) admet au point M0 (x0 , f (x0 )) une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées. La dérivée f 0 (x0 ) est le coefficient directeur de la tangente en M0 à Γ. L’équation de cette tangente est :
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) .
Définition (Dérivée à droite et à gauche) Soit f une fonction définie à droite ( respectivement gauche ) d’un réel x0 . f (x ) − f (x0 ) f est dérivable en x0 à droite ( respectivement gauche ) ssi lim+ x − x0 x →x0 f (x ) − f (x0 ) ) existe et est finie. ( resp. lim− x →x0 x − x0 Cette limite s’appelle nombre dérivé à droite ( resp. gauche ) en x0 et est noté fd0 (x0 ) ( resp. fg0 (x0 )). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Soit f une fonction définie sur un voisinage de x0 . f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en x0 et fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ) . Remarque f n’est pas dérivable en x0 si et seulement si :
ou ou
f
non dérivable à droite en x0
f
non dérivable à gauche en x0
f
est dérivable à gauche et à droite en x0
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mais
fg0 (x0 ) 6= fd0 (x0 )
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Théorème Soit f une fonction définie sur un voisinage de x0 . f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en x0 et fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ) . Remarque f n’est pas dérivable en x0 si et seulement si :
ou ou
f
non dérivable à droite en x0
f
non dérivable à gauche en x0
f
est dérivable à gauche et à droite en x0
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mais
fg0 (x0 ) 6= fd0 (x0 )
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Théorème Soit f une fonction définie sur un voisinage de x0 . f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en x0 et fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ) . Remarque f n’est pas dérivable en x0 si et seulement si :
ou ou
f
non dérivable à droite en x0
f
non dérivable à gauche en x0
f
est dérivable à gauche et à droite en x0
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mais
fg0 (x0 ) 6= fd0 (x0 )
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Théorème Soit f une fonction définie sur un voisinage de x0 . f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en x0 et fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ) . Remarque f n’est pas dérivable en x0 si et seulement si :
ou ou
f
non dérivable à droite en x0
f
non dérivable à gauche en x0
f
est dérivable à gauche et à droite en x0
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mais
fg0 (x0 ) 6= fd0 (x0 )
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Théorème Soit f une fonction définie sur un voisinage de x0 . f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en x0 et fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ) . Remarque f n’est pas dérivable en x0 si et seulement si :
ou ou
f
non dérivable à droite en x0
f
non dérivable à gauche en x0
f
est dérivable à gauche et à droite en x0
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mais
fg0 (x0 ) 6= fd0 (x0 )
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Exemple Soit la fonction
f
:
[−1, +∞[
−→ 7−→
x
R
f (x ) =
Étudier la dérivabilité de f en 0.
p
.
x3 +x2
p
On a : f (x ) = |x | 1 + x et f (0) = 0. p f (x ) − f (0) p = 1 + x ⇒ lim Pour x ∈]0, +∞[; 1 + x = 1 = fd0 (0). x x →0+ p f (x ) − f (0) = lim (− 1 + x ) = −1 = fg0 (0). Pour x ∈ [−1, 0[; lim− − x x →0 x →0 0 0 Conclusion : fg (0) = −1 6= fd (0) = 1, donc f n’est pas dérivable en 0. • C’est le cas d’une fonction dérivable à gauche et à droite en 0 sans être
dérivable en 0.
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Exemple Soit la fonction
f
:
[−1, +∞[
−→ 7−→
x
R
f (x ) =
Étudier la dérivabilité de f en 0.
p
.
x3 +x2
p
On a : f (x ) = |x | 1 + x et f (0) = 0. p f (x ) − f (0) p = 1 + x ⇒ lim Pour x ∈]0, +∞[; 1 + x = 1 = fd0 (0). x x →0+ p f (x ) − f (0) = lim (− 1 + x ) = −1 = fg0 (0). Pour x ∈ [−1, 0[; lim− − x x →0 x →0 0 0 Conclusion : fg (0) = −1 6= fd (0) = 1, donc f n’est pas dérivable en 0. • C’est le cas d’une fonction dérivable à gauche et à droite en 0 sans être
dérivable en 0.
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Exemple Soit la fonction
f
:
[−1, +∞[
−→ 7−→
x
R
f (x ) =
Étudier la dérivabilité de f en 0.
p
.
x3 +x2
p
On a : f (x ) = |x | 1 + x et f (0) = 0. p f (x ) − f (0) p = 1 + x ⇒ lim Pour x ∈]0, +∞[; 1 + x = 1 = fd0 (0). x x →0+ p f (x ) − f (0) = lim (− 1 + x ) = −1 = fg0 (0). Pour x ∈ [−1, 0[; lim− − x x →0 x →0 0 0 Conclusion : fg (0) = −1 6= fd (0) = 1, donc f n’est pas dérivable en 0. • C’est le cas d’une fonction dérivable à gauche et à droite en 0 sans être
dérivable en 0.
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Exemple Soit la fonction
f
:
[−1, +∞[
−→ 7−→
x
R
f (x ) =
Étudier la dérivabilité de f en 0.
p
.
x3 +x2
p
On a : f (x ) = |x | 1 + x et f (0) = 0. p f (x ) − f (0) p = 1 + x ⇒ lim Pour x ∈]0, +∞[; 1 + x = 1 = fd0 (0). x x →0+ p f (x ) − f (0) = lim (− 1 + x ) = −1 = fg0 (0). Pour x ∈ [−1, 0[; lim− − x x →0 x →0 0 0 Conclusion : fg (0) = −1 6= fd (0) = 1, donc f n’est pas dérivable en 0. • C’est le cas d’une fonction dérivable à gauche et à droite en 0 sans être
dérivable en 0.
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Exemple Soit la fonction
f
:
[−1, +∞[
−→ 7−→
x
R
f (x ) =
Étudier la dérivabilité de f en 0.
p
.
x3 +x2
p
On a : f (x ) = |x | 1 + x et f (0) = 0. p f (x ) − f (0) p = 1 + x ⇒ lim Pour x ∈]0, +∞[; 1 + x = 1 = fd0 (0). x x →0+ p f (x ) − f (0) = lim (− 1 + x ) = −1 = fg0 (0). Pour x ∈ [−1, 0[; lim− − x x →0 x →0 0 0 Conclusion : fg (0) = −1 6= fd (0) = 1, donc f n’est pas dérivable en 0. • C’est le cas d’une fonction dérivable à gauche et à droite en 0 sans être
dérivable en 0.
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7 / 48
Exemple Soit la fonction
f
:
[−1, +∞[
−→ 7−→
x
R
f (x ) =
Étudier la dérivabilité de f en 0.
p
.
x3 +x2
p
On a : f (x ) = |x | 1 + x et f (0) = 0. p f (x ) − f (0) p = 1 + x ⇒ lim Pour x ∈]0, +∞[; 1 + x = 1 = fd0 (0). x x →0+ p f (x ) − f (0) = lim (− 1 + x ) = −1 = fg0 (0). Pour x ∈ [−1, 0[; lim− − x x →0 x →0 0 0 Conclusion : fg (0) = −1 6= fd (0) = 1, donc f n’est pas dérivable en 0. • C’est le cas d’une fonction dérivable à gauche et à droite en 0 sans être
dérivable en 0.
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7 / 48
Exercice Étudier la dérivabilité de la fonction précédente à droite en (-1). Interpréter graphiquement le résultat. Solution p
f (x ) − f (−1) x3 +x2 −x lim + = +∞. = lim = lim p x +1 x +1 x →−1 x →−1+ x →−1+ x + 1 Alors f n’est pas dérivable à droite en −1. Graphiquement cela veut dire que Cf possède une demi-tangente parallèle à l’axe des ordonnées au point d’abscisse −1. Voir le graphique suivant.
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8 / 48
Exercice Étudier la dérivabilité de la fonction précédente à droite en (-1). Interpréter graphiquement le résultat. Solution p
f (x ) − f (−1) x3 +x2 −x lim + = +∞. = lim = lim p x +1 x +1 x →−1 x →−1+ x →−1+ x + 1 Alors f n’est pas dérivable à droite en −1. Graphiquement cela veut dire que Cf possède une demi-tangente parallèle à l’axe des ordonnées au point d’abscisse −1. Voir le graphique suivant.
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Exercice Étudier la dérivabilité de la fonction précédente à droite en (-1). Interpréter graphiquement le résultat. Solution p
f (x ) − f (−1) x3 +x2 −x lim + = +∞. = lim = lim p x +1 x +1 x →−1 x →−1+ x →−1+ x + 1 Alors f n’est pas dérivable à droite en −1. Graphiquement cela veut dire que Cf possède une demi-tangente parallèle à l’axe des ordonnées au point d’abscisse −1. Voir le graphique suivant.
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Exercice Étudier la dérivabilité de la fonction précédente à droite en (-1). Interpréter graphiquement le résultat. Solution p
f (x ) − f (−1) x3 +x2 −x lim + = +∞. = lim = lim p x +1 x +1 x →−1 x →−1+ x →−1+ x + 1 Alors f n’est pas dérivable à droite en −1. Graphiquement cela veut dire que Cf possède une demi-tangente parallèle à l’axe des ordonnées au point d’abscisse −1. Voir le graphique suivant.
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5
4
3
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1 −2 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Semestre I 2011
9 / 48
5
Cf
4
3
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1 −2 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
Cours Maths Analyse
Semestre I 2011
9 / 48
f n’est pas dérivable en −1 à
5
droite et f (x ) − f (−1) = +∞ lim x +1 x →−1+ donc la courbe Cf admet une demi-tangente
parallèle
Cf
4
3
à 2
(Oy ). 1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1 −2 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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9 / 48
f n’est pas dérivable en −1 à
5
droite et f (x ) − f (−1) = +∞ lim x +1 x →−1+ donc la courbe Cf admet une demi-tangente
parallèle
Cf
4
3
à 2
(Oy ). 1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1 −2 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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f n’est pas dérivable en 0 mais 5
dérivable à droite et à gauche en 0, donc Cf admet deux demi-
4
tangentes qui sont portées par
3
Cf
deux droites distinctes d’équa2
tions : 1
y = x et y = −x . −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
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f n’est pas dérivable en 0 mais 5
dérivable à droite et à gauche en 0, donc Cf admet deux demi-
4
tangentes qui sont portées par
3
Cf
deux droites distinctes d’équa2
tions : 1
y = x et y = −x . −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
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Le point O(0, 0) est appelé point 5
anguleux. Cf
4
3
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
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Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[. On dit que f est dérivable sur ]a, b[ lorsque f est dérivable en tout point de ]a, b[. Si de plus f est définie en a et si fd0 (a) existe, on dit que f est dérivable sur [a, b[. Si f est définie en b et si fg0 (b) existe, on dit que f est dérivable sur ]a, b]. Si les trois conditions sont réalisées, on dit que f est dérivable sur [a, b]. Définition On dit que f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si f est dérivable en tout point de I. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[. On dit que f est dérivable sur ]a, b[ lorsque f est dérivable en tout point de ]a, b[. Si de plus f est définie en a et si fd0 (a) existe, on dit que f est dérivable sur [a, b[. Si f est définie en b et si fg0 (b) existe, on dit que f est dérivable sur ]a, b]. Si les trois conditions sont réalisées, on dit que f est dérivable sur [a, b]. Définition On dit que f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si f est dérivable en tout point de I. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[. On dit que f est dérivable sur ]a, b[ lorsque f est dérivable en tout point de ]a, b[. Si de plus f est définie en a et si fd0 (a) existe, on dit que f est dérivable sur [a, b[. Si f est définie en b et si fg0 (b) existe, on dit que f est dérivable sur ]a, b]. Si les trois conditions sont réalisées, on dit que f est dérivable sur [a, b]. Définition On dit que f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si f est dérivable en tout point de I. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[. On dit que f est dérivable sur ]a, b[ lorsque f est dérivable en tout point de ]a, b[. Si de plus f est définie en a et si fd0 (a) existe, on dit que f est dérivable sur [a, b[. Si f est définie en b et si fg0 (b) existe, on dit que f est dérivable sur ]a, b]. Si les trois conditions sont réalisées, on dit que f est dérivable sur [a, b]. Définition On dit que f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si f est dérivable en tout point de I. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[. On dit que f est dérivable sur ]a, b[ lorsque f est dérivable en tout point de ]a, b[. Si de plus f est définie en a et si fd0 (a) existe, on dit que f est dérivable sur [a, b[. Si f est définie en b et si fg0 (b) existe, on dit que f est dérivable sur ]a, b]. Si les trois conditions sont réalisées, on dit que f est dérivable sur [a, b]. Définition On dit que f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si f est dérivable en tout point de I. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[. On dit que f est dérivable sur ]a, b[ lorsque f est dérivable en tout point de ]a, b[. Si de plus f est définie en a et si fd0 (a) existe, on dit que f est dérivable sur [a, b[. Si f est définie en b et si fg0 (b) existe, on dit que f est dérivable sur ]a, b]. Si les trois conditions sont réalisées, on dit que f est dérivable sur [a, b]. Définition On dit que f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si f est dérivable en tout point de I. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Si une fonction est dérivable en x0 , alors elle est continue en x0 . Si f est dérivable sur un intervalle I alors f est continue sur I. Démonstration f (x ) − f (x0 ) 0 − f (x0 ) pour x 6= x0 x − x0 Posons h(x ) = h(x0 ) = 0.
(1)
On a lim h(x ) = 0 = h(x0 ), donc h est continue en x0 . x →x0
Multiplions dans (1) les deux membres par (x − x0 ), on obtient : Pour tout x 6= x0 (x − x0 )h(x ) = f (x ) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) ⇔ f (x ) = f (x0 ) + (x − x0 )[h(x ) + f 0 (x0 )] D’où : lim f (x ) = f (x0 ) par suite f est continue en x0 . x →x0
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Théorème Si une fonction est dérivable en x0 , alors elle est continue en x0 . Si f est dérivable sur un intervalle I alors f est continue sur I. Démonstration f (x ) − f (x0 ) 0 − f (x0 ) pour x 6= x0 x − x0 Posons h(x ) = h(x0 ) = 0.
(1)
On a lim h(x ) = 0 = h(x0 ), donc h est continue en x0 . x →x0
Multiplions dans (1) les deux membres par (x − x0 ), on obtient : Pour tout x 6= x0 (x − x0 )h(x ) = f (x ) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) ⇔ f (x ) = f (x0 ) + (x − x0 )[h(x ) + f 0 (x0 )] D’où : lim f (x ) = f (x0 ) par suite f est continue en x0 . x →x0
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Théorème Si une fonction est dérivable en x0 , alors elle est continue en x0 . Si f est dérivable sur un intervalle I alors f est continue sur I. Démonstration f (x ) − f (x0 ) 0 − f (x0 ) pour x 6= x0 x − x0 Posons h(x ) = h(x0 ) = 0.
(1)
On a lim h(x ) = 0 = h(x0 ), donc h est continue en x0 . x →x0
Multiplions dans (1) les deux membres par (x − x0 ), on obtient : Pour tout x 6= x0 (x − x0 )h(x ) = f (x ) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) ⇔ f (x ) = f (x0 ) + (x − x0 )[h(x ) + f 0 (x0 )] D’où : lim f (x ) = f (x0 ) par suite f est continue en x0 . x →x0
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Remarque BLa réciproque du théorème 3 précédent est fausse.
En effet, la fonction x 7−→ |x | est continue en 0 et n’est pas dérivable en ce point.
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Remarque BLa réciproque du théorème 3 précédent est fausse.
En effet, la fonction x 7−→ |x | est continue en 0 et n’est pas dérivable en ce point.
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Définition Soit f une fonction dérivable en tout point d’un intervalle I. La fonction définie sur I, et notée f 0 , par : x 7−→ f 0 (x ) est appelée fonction dérivée de f . Théorème (Dérivées des fonctions usuelles) La fonction u : x 7−→ x n , n ∈ N\ 0, 1 est dérivable sur R et u 0 (x ) = nx n−1 . ©
ª
La fonction sin : x 7−→ sin x est dérivable sur R et (sin)0 (x ) = cos x . La fonction cos : x 7−→ cos x est dérivable sur R et (cos)0 (x ) = − sinx . La fonction tan : x 7−→ tanx est dérivable sur R\ (tan)0 (x ) = 1 + tan2 (x ) =
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1 . cos2 x Cours Maths Analyse
nπ
2
o + k π, k ∈ Z et
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Définition Soit f une fonction dérivable en tout point d’un intervalle I. La fonction définie sur I, et notée f 0 , par : x 7−→ f 0 (x ) est appelée fonction dérivée de f . Théorème (Dérivées des fonctions usuelles) La fonction u : x 7−→ x n , n ∈ N\ 0, 1 est dérivable sur R et u 0 (x ) = nx n−1 . ©
ª
La fonction sin : x 7−→ sin x est dérivable sur R et (sin)0 (x ) = cos x . La fonction cos : x 7−→ cos x est dérivable sur R et (cos)0 (x ) = − sinx . La fonction tan : x 7−→ tanx est dérivable sur R\ (tan)0 (x ) = 1 + tan2 (x ) =
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1 . cos2 x Cours Maths Analyse
nπ
2
o + k π, k ∈ Z et
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Définition Soit f une fonction dérivable en tout point d’un intervalle I. La fonction définie sur I, et notée f 0 , par : x 7−→ f 0 (x ) est appelée fonction dérivée de f . Théorème (Dérivées des fonctions usuelles) La fonction u : x 7−→ x n , n ∈ N\ 0, 1 est dérivable sur R et u 0 (x ) = nx n−1 . ©
ª
La fonction sin : x 7−→ sin x est dérivable sur R et (sin)0 (x ) = cos x . La fonction cos : x 7−→ cos x est dérivable sur R et (cos)0 (x ) = − sinx . La fonction tan : x 7−→ tanx est dérivable sur R\ (tan)0 (x ) = 1 + tan2 (x ) =
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1 . cos2 x Cours Maths Analyse
nπ
2
o + k π, k ∈ Z et
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13 / 48
Définition Soit f une fonction dérivable en tout point d’un intervalle I. La fonction définie sur I, et notée f 0 , par : x 7−→ f 0 (x ) est appelée fonction dérivée de f . Théorème (Dérivées des fonctions usuelles) La fonction u : x 7−→ x n , n ∈ N\ 0, 1 est dérivable sur R et u 0 (x ) = nx n−1 . ©
ª
La fonction sin : x 7−→ sin x est dérivable sur R et (sin)0 (x ) = cos x . La fonction cos : x 7−→ cos x est dérivable sur R et (cos)0 (x ) = − sinx . La fonction tan : x 7−→ tanx est dérivable sur R\ (tan)0 (x ) = 1 + tan2 (x ) =
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1 . cos2 x Cours Maths Analyse
nπ
2
o + k π, k ∈ Z et
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Définition Soit f une fonction dérivable en tout point d’un intervalle I. La fonction définie sur I, et notée f 0 , par : x 7−→ f 0 (x ) est appelée fonction dérivée de f . Théorème (Dérivées des fonctions usuelles) La fonction u : x 7−→ x n , n ∈ N\ 0, 1 est dérivable sur R et u 0 (x ) = nx n−1 . ©
ª
La fonction sin : x 7−→ sin x est dérivable sur R et (sin)0 (x ) = cos x . La fonction cos : x 7−→ cos x est dérivable sur R et (cos)0 (x ) = − sinx . La fonction tan : x 7−→ tanx est dérivable sur R\ (tan)0 (x ) = 1 + tan2 (x ) =
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1 . cos2 x Cours Maths Analyse
nπ
2
o + k π, k ∈ Z et
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Théorème (Dérivées des fonctions usuelles) La fonction exp : x 7−→ ex est dérivable sur R et (exp)0 (x ) = ex . La fonction ln : x 7−→ lnx est dérivable sur R∗+ et
(ln)0 (x ) =
1 . x
p
La fonction racine carrée x 7−→ x est dérivable sur R∗+ et ¡p ¢0 1 x = p . 2 x
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14 / 48
Théorème (Dérivées des fonctions usuelles) La fonction exp : x 7−→ ex est dérivable sur R et (exp)0 (x ) = ex . La fonction ln : x 7−→ lnx est dérivable sur R∗+ et
(ln)0 (x ) =
1 . x
p
La fonction racine carrée x 7−→ x est dérivable sur R∗+ et ¡p ¢0 1 x = p . 2 x
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14 / 48
Théorème (Dérivées des fonctions usuelles) La fonction exp : x 7−→ ex est dérivable sur R et (exp)0 (x ) = ex . La fonction ln : x 7−→ lnx est dérivable sur R∗+ et
(ln)0 (x ) =
1 . x
p
La fonction racine carrée x 7−→ x est dérivable sur R∗+ et ¡p ¢0 1 x = p . 2 x
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Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, et λ un réel quelconque. On a alors : La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g)0 (x ) = f 0 (x ) + g 0 (x ) . La fonction λf est dérivable sur I et (λf ) (x ) = λ · f 0 (x ) . La fonction f × g est dérivable sur I et
(f × g) (x ) = f 0 (x ) × g 0 (x ) .
Si de plus la fonction g ne s’annule pas sur I, alors la fonction dérivable sur I et
f est g
µ ¶0
f 0 (x ) × g(x ) − f (x ) × g 0 (x ) f . (x ) = g g 2 (x )
Pour tout n ∈ N\ 0, 1 , la fonction f n est dérivable sur I et 0
©
ª
(f n ) (x ) = nf 0 (x ) × f n−1 (x ). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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15 / 48
Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, et λ un réel quelconque. On a alors : La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g)0 (x ) = f 0 (x ) + g 0 (x ) . La fonction λf est dérivable sur I et (λf ) (x ) = λ · f 0 (x ) . La fonction f × g est dérivable sur I et
(f × g) (x ) = f 0 (x ) × g 0 (x ) .
Si de plus la fonction g ne s’annule pas sur I, alors la fonction dérivable sur I et
f est g
µ ¶0
f 0 (x ) × g(x ) − f (x ) × g 0 (x ) f . (x ) = g g 2 (x )
Pour tout n ∈ N\ 0, 1 , la fonction f n est dérivable sur I et 0
©
ª
(f n ) (x ) = nf 0 (x ) × f n−1 (x ). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, et λ un réel quelconque. On a alors : La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g)0 (x ) = f 0 (x ) + g 0 (x ) . La fonction λf est dérivable sur I et (λf ) (x ) = λ · f 0 (x ) . La fonction f × g est dérivable sur I et
(f × g) (x ) = f 0 (x ) × g 0 (x ) .
Si de plus la fonction g ne s’annule pas sur I, alors la fonction dérivable sur I et
f est g
µ ¶0
f 0 (x ) × g(x ) − f (x ) × g 0 (x ) f . (x ) = g g 2 (x )
Pour tout n ∈ N\ 0, 1 , la fonction f n est dérivable sur I et 0
©
ª
(f n ) (x ) = nf 0 (x ) × f n−1 (x ). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, et λ un réel quelconque. On a alors : La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g)0 (x ) = f 0 (x ) + g 0 (x ) . La fonction λf est dérivable sur I et (λf ) (x ) = λ · f 0 (x ) . La fonction f × g est dérivable sur I et
(f × g) (x ) = f 0 (x ) × g 0 (x ) .
Si de plus la fonction g ne s’annule pas sur I, alors la fonction dérivable sur I et
f est g
µ ¶0
f 0 (x ) × g(x ) − f (x ) × g 0 (x ) f . (x ) = g g 2 (x )
Pour tout n ∈ N\ 0, 1 , la fonction f n est dérivable sur I et 0
©
ª
(f n ) (x ) = nf 0 (x ) × f n−1 (x ). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, et λ un réel quelconque. On a alors : La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g)0 (x ) = f 0 (x ) + g 0 (x ) . La fonction λf est dérivable sur I et (λf ) (x ) = λ · f 0 (x ) . La fonction f × g est dérivable sur I et
(f × g) (x ) = f 0 (x ) × g 0 (x ) .
Si de plus la fonction g ne s’annule pas sur I, alors la fonction dérivable sur I et
f est g
µ ¶0
f 0 (x ) × g(x ) − f (x ) × g 0 (x ) f . (x ) = g g 2 (x )
Pour tout n ∈ N\ 0, 1 , la fonction f n est dérivable sur I et 0
©
ª
(f n ) (x ) = nf 0 (x ) × f n−1 (x ). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème Soient f et g deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, et λ un réel quelconque. On a alors : La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g)0 (x ) = f 0 (x ) + g 0 (x ) . La fonction λf est dérivable sur I et (λf ) (x ) = λ · f 0 (x ) . La fonction f × g est dérivable sur I et
(f × g) (x ) = f 0 (x ) × g 0 (x ) .
Si de plus la fonction g ne s’annule pas sur I, alors la fonction dérivable sur I et
f est g
µ ¶0
f 0 (x ) × g(x ) − f (x ) × g 0 (x ) f . (x ) = g g 2 (x )
Pour tout n ∈ N\ 0, 1 , la fonction f n est dérivable sur I et 0
©
ª
(f n ) (x ) = nf 0 (x ) × f n−1 (x ). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Théorème (Dérivée des fonctions composées) Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I et g est une fonction dérivable sur un intervalle J contenant I, alors la fonction composée g ◦ f est dérivable sur I et on a : (g ◦ f )0 (x ) = f 0 (x ) × g 0 [f (x )] , pour tout x ∈ I Exercice Sans chercher à déterminer le domaine de définition, calculer la dérivée des fonctions suivantes : f (x ) = tan
p
1 − x 2.
f (x ) = ln ¯x − ex tan x ¯. ¯
2
f (x ) = (1 + x )x . Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
¯
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16 / 48
Exercice Soit la fonction f
:
R
x
−→
R
7−→
f (x) =
µ ¶ 1 x 2 sin
x
0
si
x 6= 0
si
x =0
Montrer que f est dérivable sur R puis caculer f 0 (x) pour tout x ∈ R. p
La fonction u : x 7−→ cos x est-elle dérivable en 0 ? Quel est son domaine de dérivabilité ? Justifier. Soit f : R∗ −→ R la fonction définie par f (x) = 1
e−x sin x . x
Montrer que f se prolonge en une fonction g continue et dérivable sur R ( on donne e−x sinx − x ∼ −x 2 ). 0
2 3
Déterminer la tangente (T ) au graphe de g au point d’abscisse 0. x3 On admet que e−x sin x + x 2 − x ∼ . 0 3 Déterminer la position de la courbe de g par rapport à la tangente (T ).
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17 / 48
Exercice Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f (x ) =
q
g(x ) =
1 + (x cos x )2 . 1
ex +1
. 1 ex −1 h(x ) = ln (tanx ). k (x ) =
x4
(1 + x )4
.
Exercice Soit f une fonction dérivable sur R. h
i
³ ³
´´
Calculer la dérivée de u : x 7−→ sin f 2 (x ) et v : x 7−→ sin f x 2 . On suppose que f (x ) 6= 0 pour tout x ∈ R . Calculer la dérivée de ¯
¯
w : x 7−→ ln(¯f (x )¯).
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18 / 48
Exercice Pour tout λ ∈ R , on considère les fonctions fλ : x 7−→
x +λ
x2 + 1
.
1
Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions fλ sont parallèles.
2
Justifier que les tangentes en 1 aux fonctions fλ sont concourantes.
Solution La fonction fλ est dérivable sur R et on a fλ0 (x) = 1
−x 2 − 2 λ x + 1 ¡ ¢2 . x2 + 1
On déduit du résultat précédent que fλ0 (0) = 1 et ceci pour tout λ ∈ R, alors les tangentes aux fonction fλ au point d’abscisse 0 ont toutes le même coefficient directeur 1, donc elles sont toutes parallèles.
2
1+λ λ et fλ (1) = , alors les tangentes en 1 ont pour équations 2 2 λ 1+λ ∆λ : y = − (x − 1) + . 2 2 µ ¶ 1 D’où, toutes les tangentes sont concourantes au point 2, . 2
On a fλ0 (1) = −
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19 / 48
Exercice Pour tout λ ∈ R , on considère les fonctions fλ : x 7−→
x +λ
x2 + 1
.
1
Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions fλ sont parallèles.
2
Justifier que les tangentes en 1 aux fonctions fλ sont concourantes.
Solution La fonction fλ est dérivable sur R et on a fλ0 (x) = 1
−x 2 − 2 λ x + 1 ¡ ¢2 . x2 + 1
On déduit du résultat précédent que fλ0 (0) = 1 et ceci pour tout λ ∈ R, alors les tangentes aux fonction fλ au point d’abscisse 0 ont toutes le même coefficient directeur 1, donc elles sont toutes parallèles.
2
1+λ λ et fλ (1) = , alors les tangentes en 1 ont pour équations 2 2 λ 1+λ ∆λ : y = − (x − 1) + . 2 2 µ ¶ 1 D’où, toutes les tangentes sont concourantes au point 2, . 2
On a fλ0 (1) = −
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19 / 48
Exercice Soit f : R −→ R une fonction dérivable en a ∈ R . xf (a) − af (x ) Étudier la limite lim . x →a x −a Solution Pour tout x ∈ R\ {a} , xf (a) − af (x ) (x − a)f (a) − a(f (x ) − f (a)) f (x ) − f (a) = = f (a) − a × . x −a x −a x −a f (x ) − f (a) xf (a) − af (x ) = f (a) − a × lim = f (a) − af 0 (a) D’où : lim x →a x →a x −a x −a Exercice Soit f : x 7−→ ln (ln x ) . Déterminer Df . Étudier la dérivabilité de f . Calculer f 0 (x ). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exercice Soit f : R −→ R une fonction dérivable en a ∈ R . xf (a) − af (x ) Étudier la limite lim . x →a x −a Solution Pour tout x ∈ R\ {a} , xf (a) − af (x ) (x − a)f (a) − a(f (x ) − f (a)) f (x ) − f (a) = = f (a) − a × . x −a x −a x −a f (x ) − f (a) xf (a) − af (x ) = f (a) − a × lim = f (a) − af 0 (a) D’où : lim x →a x →a x −a x −a Exercice Soit f : x 7−→ ln (ln x ) . Déterminer Df . Étudier la dérivabilité de f . Calculer f 0 (x ). Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exercice Soit f : x 7−→ ln [ln(lnx )]. Déterminer Df . Étudier la dérivabilité de f . Calculer f 0 (x ). Exercice
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Définition Soient n ∈ N et f une fonction définie sur un intervalle I. On pose f (0) = f . On définit la dérivée d’ordre n ( ou dérivée nème de f , qu’on note f (n) par récurrence de la manière suivante : ³
f (0) = f et f (n) = f (n−1)
´0
Remarques L’existence de f (n) sur I entraine l’existence et la continuité sur I de toutes les dérivées d’ordre strictement inférieur, c.a.d. f , f 0 , f 00 , · · · f (n−1) . Si elle existe, la dérivée nème de f est aussi la dérivée (n − 1)ème de f 0 c.a.d. ³
(n−1)
(f 0 )
³
´
, et plus généralement la dérivée pème de f (n−p) , pour 0 ≤ p ≤ n
c.a.d. f (n−p)
´(p)
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Définition Soient n ∈ N et f une fonction définie sur un intervalle I. On pose f (0) = f . On définit la dérivée d’ordre n ( ou dérivée nème de f , qu’on note f (n) par récurrence de la manière suivante : ³
f (0) = f et f (n) = f (n−1)
´0
Remarques L’existence de f (n) sur I entraine l’existence et la continuité sur I de toutes les dérivées d’ordre strictement inférieur, c.a.d. f , f 0 , f 00 , · · · f (n−1) . Si elle existe, la dérivée nème de f est aussi la dérivée (n − 1)ème de f 0 c.a.d. ³
(n−1)
(f 0 )
³
´
, et plus généralement la dérivée pème de f (n−p) , pour 0 ≤ p ≤ n
c.a.d. f (n−p)
´(p)
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Définition Soient n ∈ N et f une fonction définie sur un intervalle I. On pose f (0) = f . On définit la dérivée d’ordre n ( ou dérivée nème de f , qu’on note f (n) par récurrence de la manière suivante : ³
f (0) = f et f (n) = f (n−1)
´0
Remarques L’existence de f (n) sur I entraine l’existence et la continuité sur I de toutes les dérivées d’ordre strictement inférieur, c.a.d. f , f 0 , f 00 , · · · f (n−1) . Si elle existe, la dérivée nème de f est aussi la dérivée (n − 1)ème de f 0 c.a.d. ³
(n−1)
(f 0 )
³
´
, et plus généralement la dérivée pème de f (n−p) , pour 0 ≤ p ≤ n
c.a.d. f (n−p)
´(p)
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Définition Soient n ∈ N et f une fonction définie sur un intervalle I. On pose f (0) = f . On définit la dérivée d’ordre n ( ou dérivée nème de f , qu’on note f (n) par récurrence de la manière suivante : ³
f (0) = f et f (n) = f (n−1)
´0
Remarques L’existence de f (n) sur I entraine l’existence et la continuité sur I de toutes les dérivées d’ordre strictement inférieur, c.a.d. f , f 0 , f 00 , · · · f (n−1) . Si elle existe, la dérivée nème de f est aussi la dérivée (n − 1)ème de f 0 c.a.d. ³
(n−1)
(f 0 )
³
´
, et plus généralement la dérivée pème de f (n−p) , pour 0 ≤ p ≤ n
c.a.d. f (n−p)
´(p)
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Application Soit f (x ) = sin(ax + b) , où a et b sont deux réels non nuls. Montrer par récurrence sur n ,que : ³ π´ ∀x ∈ R, ∀n ∈ N : f (n) (x ) = an sin ax + b + n
2
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Solution ³
Initialisation : Pour n = 0, on a f (0) (x) = f (x) = sin(ax + b) = a0 sin ax + b + 0 × propriété est vérifiée.
π´
2
, et donc la
π Hérédité : Supposons que f (n) (x) = an sin ax + b + n et montrons que 2 ³ ´ π ( n +1) n +1 f (x) = a sin ax + b + (n + 1) . 2 En effet ³
´
0 f (n+1) (x) = f (n) (x)( on dérive )f (n)
³
´
³ π´ = a × an cos ax + b + n ×
2
³ ³ π π´ π´ = an+1 sin ax + b + n × + car cos x = sin x +
2
2
2
³ π´ = an+1 sin ax + b + (n + 1) ×
2
D’où, la propriété est vraie à l’ordre (n + 1). Conclusion : D’après le principe de raisonnement par récurrence , on a : ³ π´ ∀n ∈ N, f (n) = an sin ax + b + n ×
2
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Exercice Soient g(x) = cos (ax + b) et h(x) = lnx, où a et b sont deux réels non nuls. Montrer par récurrence sur n ,que : ∀x ∈ R,
³ π´ ∀n ∈ N : g (n) (x) = an cos ax + b + n
∗ ∀x ∈ R∗ + , ∀n ∈ N
2
:
(n − 1)! h(n) (x) = (−1)n+1 xn
Solution Comme on l’a fait dans l’application précédente ,on démontre cette propriété, on utilisant le ³
fait que :sin x = − cos x +
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π´
2
.
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Exercice Soient g(x) = cos (ax + b) et h(x) = lnx, où a et b sont deux réels non nuls. Montrer par récurrence sur n ,que : ∀x ∈ R,
³ π´ ∀n ∈ N : g (n) (x) = an cos ax + b + n
∗ ∀x ∈ R∗ + , ∀n ∈ N
2
:
(n − 1)! h(n) (x) = (−1)n+1 xn
Solution Comme on l’a fait dans l’application précédente ,on démontre cette propriété, on utilisant le ³
fait que :sin x = − cos x +
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π´
2
.
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Solution Initialisation : Pour n = 1, h(1) (x) = f 0 (x) =
(1 − 1)! 1 0! 1 et (−1)1+1 × = , et alors la = 1× x x x x1
propriété est vérifiée. Hérédité : Supposons que h(n) (x) = (−1)n+1
(n)! (n − 1)! . et montrons que h(n+1) (x) = (−1)n+2 xn x n+1
En effet ³
´0
h(n+1) (x) = h(n) (x) Ã
nx = (−1)n+1 × (n − 1)! −
n−1
x 2n
!
= (−1)(n+1)+1 × (n · (n − 1)!) × = (−1)n+2 ×
n! x n+1
1 x 2n−(n−1)
(n · (n − 1)! = n!)
Et la propriété est vraie à l’ordre (n + 1), par suite on a : ∀n ∈ N∗ , h(n) (x) = (−1)n+1 × Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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(n − 1)! xn Semestre I 2011
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Solution Initialisation : Pour n = 1, h(1) (x) = f 0 (x) =
(1 − 1)! 1 0! 1 et (−1)1+1 × = , et alors la = 1× x x x x1
propriété est vérifiée. Hérédité : Supposons que h(n) (x) = (−1)n+1
(n)! (n − 1)! . et montrons que h(n+1) (x) = (−1)n+2 xn x n+1
En effet ³
´0
h(n+1) (x) = h(n) (x) Ã
nx = (−1)n+1 × (n − 1)! −
n−1
x 2n
!
= (−1)(n+1)+1 × (n · (n − 1)!) × = (−1)n+2 ×
n! x n+1
1 x 2n−(n−1)
(n · (n − 1)! = n!)
Et la propriété est vraie à l’ordre (n + 1), par suite on a : ∀n ∈ N∗ , h(n) (x) = (−1)n+1 × Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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(n − 1)! xn Semestre I 2011
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Solution Initialisation : Pour n = 1, h(1) (x) = f 0 (x) =
(1 − 1)! 1 0! 1 et (−1)1+1 × = , et alors la = 1× x x x x1
propriété est vérifiée. Hérédité : Supposons que h(n) (x) = (−1)n+1
(n − 1)! (n)! . et montrons que h(n+1) (x) = (−1)n+2 xn x n+1
En effet ³
´0
h(n+1) (x) = h(n) (x) Ã
nx = (−1)n+1 × (n − 1)! −
n−1
x 2n
!
= (−1)(n+1)+1 × (n · (n − 1)!) × = (−1)n+2 ×
n! x n+1
1 x 2n−(n−1)
(n · (n − 1)! = n!)
Et la propriété est vraie à l’ordre (n + 1), par suite on a : ∀n ∈ N∗ , h(n) (x) = (−1)n+1 × Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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(n − 1)! xn Semestre I 2011
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Proposition Si f et g sont deux fonctions n fois dérivables sur un intervalle I et λ et µ sont deux réels alors la fonction (λf + µg) est n fois dérivable sur I et on a : (λf + µg)(n) = λf (n) + µg (n) . Démonstration On démontre la proposition facilement par récurrence. Proposition (Formule de Leibniz) Soient u et v deux fonctions n fois dérivables sur un intervalle I ⊂ R. Alors u × v est n fois dérivable sur I et on a : (u × v )(n) (x ) =
n X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) où Ùkn =
k =0
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n! k !(n − k )!
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Proposition Si f et g sont deux fonctions n fois dérivables sur un intervalle I et λ et µ sont deux réels alors la fonction (λf + µg) est n fois dérivable sur I et on a : (λf + µg)(n) = λf (n) + µg (n) . Démonstration On démontre la proposition facilement par récurrence. Proposition (Formule de Leibniz) Soient u et v deux fonctions n fois dérivables sur un intervalle I ⊂ R. Alors u × v est n fois dérivable sur I et on a : (u × v )(n) (x ) =
n X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) où Ùkn =
k =0
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n! k !(n − k )!
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Proposition Si f et g sont deux fonctions n fois dérivables sur un intervalle I et λ et µ sont deux réels alors la fonction (λf + µg) est n fois dérivable sur I et on a : (λf + µg)(n) = λf (n) + µg (n) . Démonstration On démontre la proposition facilement par récurrence. Proposition (Formule de Leibniz) Soient u et v deux fonctions n fois dérivables sur un intervalle I ⊂ R. Alors u × v est n fois dérivable sur I et on a : (u × v )(n) (x ) =
n X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) où Ùkn =
k =0
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n! k !(n − k )!
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Application Calculer la dérivée nème de la fonction f définie par : f (x ) = x 2 ex . Posons u(x ) = x 2 et v (x ) = ex . u 0 (x ) = 2x , u 00 (x ) = 2 et ∀n ≥ 3, u (n) (x ) = 0.De plus ∀n ∈ N, v (n) (x ) = ex . D’après la formule de Leibniz : f (n) (x ) = (u × v )(n) (x ) =
n X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x )
k =0
n 2 X X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) + = k =0
k =3
= u (0) (x )v (n) (x ) + nu 0 (x )v (n−1) (x ) +
n(n − 1) 00 u (x )v (n−2) (x ) + 0 2
= x 2 ex + 2nxex + n(n − 1)ex = (x 2 + 2nx + n(n − 1))ex . ∀x ∈ R. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Application Calculer la dérivée nème de la fonction f définie par : f (x ) = x 2 ex . Posons u(x ) = x 2 et v (x ) = ex . u 0 (x ) = 2x , u 00 (x ) = 2 et ∀n ≥ 3, u (n) (x ) = 0.De plus ∀n ∈ N, v (n) (x ) = ex . D’après la formule de Leibniz : f (n) (x ) = (u × v )(n) (x ) =
n X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x )
k =0
n 2 X X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) + = k =0
k =3
= u (0) (x )v (n) (x ) + nu 0 (x )v (n−1) (x ) +
n(n − 1) 00 u (x )v (n−2) (x ) + 0 2
= x 2 ex + 2nxex + n(n − 1)ex = (x 2 + 2nx + n(n − 1))ex . ∀x ∈ R. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Application Calculer la dérivée nème de la fonction f définie par : f (x ) = x 2 ex . Posons u(x ) = x 2 et v (x ) = ex . u 0 (x ) = 2x , u 00 (x ) = 2 et ∀n ≥ 3, u (n) (x ) = 0.De plus ∀n ∈ N, v (n) (x ) = ex . D’après la formule de Leibniz : f (n) (x ) = (u × v )(n) (x ) =
n X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x )
k =0
n 2 X X Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) Ùkn u (k ) (x )v (n−k ) (x ) + = k =0
k =3
= u (0) (x )v (n) (x ) + nu 0 (x )v (n−1) (x ) +
n(n − 1) 00 u (x )v (n−2) (x ) + 0 2
= x 2 ex + 2nxex + n(n − 1)ex = (x 2 + 2nx + n(n − 1))ex . ∀x ∈ R. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exercice Soit f (x) = x 2 lnx. Montrer, en utilisant la formule de Leibniz, que : (−1)n [−(n − 1)! + 2n × (n − 2)! − [n(n − 1)](n − 3)!] f (n) (x) = x n−2 Solution Posons u(x) = x 2 et v (x) = lnx. Les fonctions u et v sont n fois dérivables sur R∗+ . On a u 0 (x) = 2x , u 00 (x) = 2 et ∀k ≥ 3 , u (k ) (x) = 0. (−1)k (k − 1)! . Montrons par récurrence sur k que v (k ) = − xk La propriété est vraie pour k = 1. En effet v 0 (x) = v (1) (x) = Supposons que v (k ) (x) = −
(−1)k (k − 1)! xk
et montrons que v (k +1) (x) = −
En effet ³
´0
Ã
v (k +1) (x) = v (k ) (x) = −
(−1)k × (k − 1)!
Alors on a ∀k ≥ 1, v (k ) (x) = − Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
xk
!0
=−
(−1)k × (k − 1)! xk
1 . x
(−1)k +1 × k × (k − 1)! x k +1
(−1)k +1 × k !
=−
x k +1
.
(−1)k +1 × k ! x k +1
.
.
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Exercice Soit f (x) = x 2 lnx. Montrer, en utilisant la formule de Leibniz, que : (−1)n [−(n − 1)! + 2n × (n − 2)! − [n(n − 1)](n − 3)!] f (n) (x) = x n−2 Solution Posons u(x) = x 2 et v (x) = lnx. Les fonctions u et v sont n fois dérivables sur R∗+ . On a u 0 (x) = 2x , u 00 (x) = 2 et ∀k ≥ 3 , u (k ) (x) = 0. (−1)k (k − 1)! . Montrons par récurrence sur k que v (k ) = − xk La propriété est vraie pour k = 1. En effet v 0 (x) = v (1) (x) = Supposons que v (k ) (x) = −
(−1)k (k − 1)! xk
et montrons que v (k +1) (x) = −
En effet ³
´0
Ã
v (k +1) (x) = v (k ) (x) = −
(−1)k × (k − 1)!
Alors on a ∀k ≥ 1, v (k ) (x) = − Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
xk
!0
=−
(−1)k × (k − 1)! xk
1 . x
(−1)k +1 × k × (k − 1)! x k +1
(−1)k +1 × k !
=−
x k +1
.
(−1)k +1 × k ! x k +1
.
.
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Solution ( suite) La formule de Leibniz donne alors : f (n) (x ) = (u × v )(n) (x ) =
n X Ùkn u (k ) (x ) × v (n−k ) (x )
k =0
= Ù0n u(x ) × v (n) (x ) + Ù1n u 0 (x )v (n−1) (x ) + Ù2n u 00 (x )v (n−2) (x )
(−1)n × (n − 1)! (−1)n (n − 2)! (−1)n × (n − 3)! + 2n × − n(n − 1) × x n −2 x n −2 x n −2 n (−1) [−(n − 1)! + 2n × (n − 2)! − [n(n − 1)](n − 3)!] = x n −2
=−
Exercice Soit
³
´
f (x ) = x 2 + 3x + 12 sinx .
Montrer,en utilisant la formule de Leibniz, ³
´
que : f (4) (x ) = x 2 + 3x sinx − 4(2x + 3) cosx . Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Solution ( suite) La formule de Leibniz donne alors : f (n) (x ) = (u × v )(n) (x ) =
n X Ùkn u (k ) (x ) × v (n−k ) (x )
k =0
= Ù0n u(x ) × v (n) (x ) + Ù1n u 0 (x )v (n−1) (x ) + Ù2n u 00 (x )v (n−2) (x )
(−1)n × (n − 1)! (−1)n (n − 2)! (−1)n × (n − 3)! + 2n × − n(n − 1) × x n −2 x n −2 x n −2 n (−1) [−(n − 1)! + 2n × (n − 2)! − [n(n − 1)](n − 3)!] = x n −2
=−
Exercice Soit
³
´
f (x ) = x 2 + 3x + 12 sinx .
Montrer,en utilisant la formule de Leibniz, ³
´
que : f (4) (x ) = x 2 + 3x sinx − 4(2x + 3) cosx . Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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30 / 48
Solution Posons u(x) = x 2 + 3x + 12 et v (x) = sinx. Les deux fonctions sont de classe C ∞ sur R, donc f = u × v est dérivable à tout ordre sur R, en particulier, f est 4-fois dérivable sur R. u 0 (x) = 2x + 3 , u 00 (x) = 2 et donc u (k ) (x) = 0,∀k ≥ 3. ³
On a montré, au 3.1, que v (k ) (x) = sin x + k × Alors
π´
2
,∀k ∈ N.
f (4) (x) = (u × v )(4) (x) =
4 X Ùk4 u (k ) (x) × v (4−k ) (x)
k =0
(4) (x) + Ù1 u 0 (x) × v (3) (x) + Ù2 u 00 (x) × v 00 (x) + Ù3 u (3) (x) × v 0 (x) + Ù4 u (4) (x) × v (x) = Ù0 4 4 4 4 u(x)v 4
³ ´ ³ ³ ³ π´ π´ π´ = x 2 + 3x + 12 sin x + 4 × + 4(2x + 3)sin x + 3 × + 6 × 2sin x + 2 × +0+0
2
³
´
= x 2 + 3x + 12 sin(x) − 4(2x + 3)cos (x) − 12sin (x) ³ ´ = x 2 + 3x sinx − 4(2x + 3)cos x
2
2
Exercice (Newton à partir de Leibniz) Soient a et b deux réels non nuls. On pose f (x ) = eax , g(x ) = ebx et h = fg. 1
Rappeler la formule du binôme de Newton.
2
Appliquer la formule de Leibniz à h pour calculer la dérivée nème de fg.
3
Retrouver la formule du binôme.
Exercice Soit f : x 7−→ (x − a)n (x − b)n où a et b sont deux réels. 1
2
3
À l’aide de la formule de Leibniz, déterminer f (n) (x ). Calculer d’une autre façon f (n) (x ) lorsque a = b. En déduire que :
n ³ ´2 X Ùkn = Ùn2n .
k =0 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exercice (Newton à partir de Leibniz) Soient a et b deux réels non nuls. On pose f (x ) = eax , g(x ) = ebx et h = fg. 1
Rappeler la formule du binôme de Newton.
2
Appliquer la formule de Leibniz à h pour calculer la dérivée nème de fg.
3
Retrouver la formule du binôme.
Exercice Soit f : x 7−→ (x − a)n (x − b)n où a et b sont deux réels. 1
2
3
À l’aide de la formule de Leibniz, déterminer f (n) (x ). Calculer d’une autre façon f (n) (x ) lorsque a = b. En déduire que :
n ³ ´2 X Ùkn = Ùn2n .
k =0 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Exercice 1
2
Soit u : x 7−→ x n où n ∈ N∗ . Montrer par récurrence que : n! x n −p . u (p) (x ) = (n − p)! En déduire la dérivée nème de la fonction f : x 7−→ x 2n .
3
En utilisant la formule de Leibniz retrouver la dérivée nème de la fonction f .
4
Montrer alors que
n ³ ´2 X (2n)! Ùkn = = Ùn2n . 2
(n!)
k =0
Exercice 1
Soit la fonction f : x 7−→ ex
p
3
sin x .
Montrer par récurrence que : f (n) (x ) = 2n ex 2
Calculer la dérivée nème de x 7−→ Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
1 1−x
, x 7−→
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p
3
³
sin x + 1
1+x
nπ ´ . 6
puis x 7−→
1 . 1−x2
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33 / 48
Exercice 1
Soit f : x 7−→ ex sinx . Calculer la dérivée nème de la fonction f en utilisant la formule de Leibniz. n
³
Montrer par récurrence que : f (n) (x) = 2 2 e x sin x + Montrer alors que :
µ ¶ ³ n X n kπ nπ ´ Ùkn sin x + . = 2 2 sin x +
k =0 2
nπ ´ . 4
2
4
3
Soit la fonction g : x 7−→ cos x . Montrer que cos3 x =
1 3 cos(3x) + cos x. 4 4
Calculer alors la dérivée nème de la fonction g. 3
4
Calculer la dérivée nème de la fonction h : x 7−→ x 2 (1 + x )n . ³
´
Calculer la dérivée nème de la fonction k : x 7−→ x 2 + 1 ex .
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34 / 48
Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I ⊂ R et p ∈ N. On dit que f est de classe C p sur I si f est p fois dérivable sur I et que f (p) est continue sur I. Si f est de classe C p pour tout p ∈ N , on dit qu’elle est indéfiniment dérivable ou de classe C ∞ sur I. Notations L’ensemble des fonctions de classe C p sur I est noté C p (I). L’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur I est noté C ∞ (I) =
\
C p (I).
p ∈N
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35 / 48
Remarques Une fonction est continue sur I si et seulement si elle de classe C 0 sur I. Une fonction f est de classe C 1 sur I si et seulement si elle est dérivable sur I et sa fonction dérivée f 0 est continue sur I. On dit aussi que f est continûment dérivable sur I. Théorème Les fonctions suivantes sont de classe C ∞ sur R : 1
x 7−→ e x
2
x 7−→ sinx
3
x 7−→ cos x
4
Les fonctions polynômiales
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Remarques Une fonction est continue sur I si et seulement si elle de classe C 0 sur I. Une fonction f est de classe C 1 sur I si et seulement si elle est dérivable sur I et sa fonction dérivée f 0 est continue sur I. On dit aussi que f est continûment dérivable sur I. Théorème Les fonctions suivantes sont de classe C ∞ sur R : 1
x 7−→ e x
2
x 7−→ sinx
3
x 7−→ cos x
4
Les fonctions polynômiales
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Remarques Une fonction est continue sur I si et seulement si elle de classe C 0 sur I. Une fonction f est de classe C 1 sur I si et seulement si elle est dérivable sur I et sa fonction dérivée f 0 est continue sur I. On dit aussi que f est continûment dérivable sur I. Théorème Les fonctions suivantes sont de classe C ∞ sur R : 1
x 7−→ e x
2
x 7−→ sinx
3
x 7−→ cos x
4
Les fonctions polynômiales
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Remarques Une fonction est continue sur I si et seulement si elle de classe C 0 sur I. Une fonction f est de classe C 1 sur I si et seulement si elle est dérivable sur I et sa fonction dérivée f 0 est continue sur I. On dit aussi que f est continûment dérivable sur I. Théorème Les fonctions suivantes sont de classe C ∞ sur R : 1
x 7−→ e x
2
x 7−→ sinx
3
x 7−→ cos x
4
Les fonctions polynômiales
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Remarques Une fonction est continue sur I si et seulement si elle de classe C 0 sur I. Une fonction f est de classe C 1 sur I si et seulement si elle est dérivable sur I et sa fonction dérivée f 0 est continue sur I. On dit aussi que f est continûment dérivable sur I. Théorème Les fonctions suivantes sont de classe C ∞ sur R : 1
x 7−→ e x
2
x 7−→ sinx
3
x 7−→ cos x
4
Les fonctions polynômiales
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Remarques Une fonction est continue sur I si et seulement si elle de classe C 0 sur I. Une fonction f est de classe C 1 sur I si et seulement si elle est dérivable sur I et sa fonction dérivée f 0 est continue sur I. On dit aussi que f est continûment dérivable sur I. Théorème Les fonctions suivantes sont de classe C ∞ sur R : 1
x 7−→ e x
2
x 7−→ sinx
3
x 7−→ cos x
4
Les fonctions polynômiales
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Remarques Une fonction est continue sur I si et seulement si elle de classe C 0 sur I. Une fonction f est de classe C 1 sur I si et seulement si elle est dérivable sur I et sa fonction dérivée f 0 est continue sur I. On dit aussi que f est continûment dérivable sur I. Théorème Les fonctions suivantes sont de classe C ∞ sur R : 1
x 7−→ e x
2
x 7−→ sinx
3
x 7−→ cos x
4
Les fonctions polynômiales
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Théorème 1
2
3
La fonction x 7−→ Log x est de classe C ∞ sur R∗+ . p
La fonction x 7−→ x est de classe C ∞ sur R∗+ . Les fonctions rationnelles sont de classe C ∞ sur leurs domaine de définition.
Exemple 1 − cos x ex − 1 Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = 0
Montrer que f est de classe C 1 sur R.
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si
x 6= 0
si
x =0
.
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Théorème 1
2
3
La fonction x 7−→ Log x est de classe C ∞ sur R∗+ . p
La fonction x 7−→ x est de classe C ∞ sur R∗+ . Les fonctions rationnelles sont de classe C ∞ sur leurs domaine de définition.
Exemple 1 − cos x ex − 1 Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = 0
Montrer que f est de classe C 1 sur R.
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si
x 6= 0
si
x =0
.
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Théorème 1
2
3
La fonction x 7−→ Log x est de classe C ∞ sur R∗+ . p
La fonction x 7−→ x est de classe C ∞ sur R∗+ . Les fonctions rationnelles sont de classe C ∞ sur leurs domaine de définition.
Exemple 1 − cos x ex − 1 Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = 0
Montrer que f est de classe C 1 sur R.
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si
x 6= 0
si
x =0
.
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Théorème 1
2
3
La fonction x 7−→ Log x est de classe C ∞ sur R∗+ . p
La fonction x 7−→ x est de classe C ∞ sur R∗+ . Les fonctions rationnelles sont de classe C ∞ sur leurs domaine de définition.
Exemple 1 − cos x ex − 1 Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = 0
Montrer que f est de classe C 1 sur R.
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si
x 6= 0
si
x =0
.
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Solution La fonction f est continue sur R : En effet f est continue sur R∗ , comme quotient de deux fonctions continues sur R∗
(1).
x2 x x On a : f (x) ∼ 2 = , donc lim f (x) = lim = 0 = f (0), et donc la fonction f est 2 x →0 x →0 2 0 x
continue en 0
(2).
(1) et (2), entrainent que f est continue sur R. f est dérivable sur R : En effet f est dérivable sur R∗ comme quotient de deux fonctions dérivables sur R∗ (3).
x
f (x) f (x) − f (0) 1 = lim = lim 2 = ∈ R, alors f est dérivable en 0 et x −0 2 x →0 x x →0 x x →0 1 f 0 (0) = (4). 2
On a
lim
(3) et (4), entrainent que f est dérivable sur R. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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Solution ( suite) La fonction dérivée f 0 est définie sur R comme suit : f0
:
R
x
−→ 7−→
R (e x − 1)sinx − (1 − cosx) e x (e x − 1)2 f 0 (x) = 1
2
si
x 6= 0
si
x =0
La fonction f 0 est continue sur R∗ comme quotient de deux fonctions continues sur R∗ . 2
x ex (1 − cos x)e x 1 x sinx 2 − lim − lim = 1 − = f 0 (0), et = lim 2 x →0 x x →0 x 2 x →0 x →0 e x − 1 x →0 (e x − 1)2 par suite la fonction f 0 est continue en 0.
lim f 0 (x) = lim
Les deux derniers résultats, prouvent que la fonction f 0 est continue sur R. Conclusion : f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f 0 est continue sur R, alors f est de classe C 1 sur R. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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39 / 48
Graphiques de f et f 0
3
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1 −2 −3
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40 / 48
Graphiques de f et f 0
3
2
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
Cf
−2 −3
Tekaya Habib (IHEC de Sousse)
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40 / 48
Graphiques de f et f 0
3
2
Cf 0 1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
Cf
−2 −3
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Exercice On considère la fonction f définie par f (x) =
1 x 2 sin
x
0
si x 6= 0 si x = 0
Montrer que f est dérivable sur R mais n’est pas de classe C 1 sur R. Solution •f est continue sur R∗ , car c’est le produit de deux fonctions continues sur R∗ .
f est continue en 0. En effet : −1 ≤ sin
1 1 ≤ 1 ⇒ −x 2 ≤ x 2 sin ≤ x 2 ⇒ lim f (x) = 0 = lim x 2 = lim (−x 2 ) = f (0) x x x →0 x →0 x →0
•f est dérivable sur R∗ comme produit de deux fonctions dérivables sur R∗ .
f est dérivable en 0. En effet : f (x) − f (0) 1 = lim x sin = 0. lim x x x →0 x →0
D’autre part : ∀x ∈ R∗ , f 0 (x) = 2x sin
Comme cos
1 1 − cos . x x
1 n’admet pas de limite en 0, alors f 0 n’est pas continue en 0. x
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Exercice On considère la fonction f définie par f (x) =
1 x 2 sin
x
0
si x 6= 0 si x = 0
Montrer que f est dérivable sur R mais n’est pas de classe C 1 sur R. Solution •f est continue sur R∗ , car c’est le produit de deux fonctions continues sur R∗ .
f est continue en 0. En effet : −1 ≤ sin
1 1 ≤ 1 ⇒ −x 2 ≤ x 2 sin ≤ x 2 ⇒ lim f (x) = 0 = lim x 2 = lim (−x 2 ) = f (0) x x x →0 x →0 x →0
•f est dérivable sur R∗ comme produit de deux fonctions dérivables sur R∗ .
f est dérivable en 0. En effet : f (x) − f (0) 1 = lim x sin = 0. lim x x x →0 x →0
D’autre part : ∀x ∈ R∗ , f 0 (x) = 2x sin
Comme cos
1 1 − cos . x x
1 n’admet pas de limite en 0, alors f 0 n’est pas continue en 0. x
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Exercice On considère la fonction f définie par f (x) =
1 x 2 sin
x
0
si x 6= 0 si x = 0
Montrer que f est dérivable sur R mais n’est pas de classe C 1 sur R. Solution •f est continue sur R∗ , car c’est le produit de deux fonctions continues sur R∗ .
f est continue en 0. En effet : −1 ≤ sin
1 1 ≤ 1 ⇒ −x 2 ≤ x 2 sin ≤ x 2 ⇒ lim f (x) = 0 = lim x 2 = lim (−x 2 ) = f (0) x x x →0 x →0 x →0
•f est dérivable sur R∗ comme produit de deux fonctions dérivables sur R∗ .
f est dérivable en 0. En effet : f (x) − f (0) 1 lim = lim x sin = 0. x x x →0 x →0
D’autre part : ∀x ∈ R∗ , f 0 (x) = 2x sin
Comme cos
1 1 − cos . x x
1 n’admet pas de limite en 0, alors f 0 n’est pas continue en 0. x
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Exercice On considère la fonction f définie par f (x) =
1 x 2 sin
x
0
si x 6= 0 si x = 0
Montrer que f est dérivable sur R mais n’est pas de classe C 1 sur R. Solution •f est continue sur R∗ , car c’est le produit de deux fonctions continues sur R∗ .
f est continue en 0. En effet : −1 ≤ sin
1 1 ≤ 1 ⇒ −x 2 ≤ x 2 sin ≤ x 2 ⇒ lim f (x) = 0 = lim x 2 = lim (−x 2 ) = f (0) x x x →0 x →0 x →0
•f est dérivable sur R∗ comme produit de deux fonctions dérivables sur R∗ .
f est dérivable en 0. En effet : f (x) − f (0) 1 = lim x sin = 0. lim x x x →0 x →0
D’autre part : ∀x ∈ R∗ , f 0 (x) = 2x sin
Comme cos
1 1 − cos . x x
1 n’admet pas de limite en 0, alors f 0 n’est pas continue en 0. x
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Exercice On considère la fonction f définie par f (x) =
1 x 2 sin
x
0
si x 6= 0 si x = 0
Montrer que f est dérivable sur R mais n’est pas de classe C 1 sur R. Solution •f est continue sur R∗ , car c’est le produit de deux fonctions continues sur R∗ .
f est continue en 0. En effet : −1 ≤ sin
1 1 ≤ 1 ⇒ −x 2 ≤ x 2 sin ≤ x 2 ⇒ lim f (x) = 0 = lim x 2 = lim (−x 2 ) = f (0) x x x →0 x →0 x →0
•f est dérivable sur R∗ comme produit de deux fonctions dérivables sur R∗ .
f est dérivable en 0. En effet : f (x) − f (0) 1 = lim x sin = 0. lim x x x →0 x →0
D’autre part : ∀x ∈ R∗ , f 0 (x) = 2x sin Comme cos
1 1 − cos . x x
1 n’admet pas de limite en 0, alors f 0 n’est pas continue en 0. x
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Exercice On considère la fonction f définie par f (x) =
1 x 2 sin
x
0
si x 6= 0 si x = 0
Montrer que f est dérivable sur R mais n’est pas de classe C 1 sur R. Solution •f est continue sur R∗ , car c’est le produit de deux fonctions continues sur R∗ .
f est continue en 0. En effet : −1 ≤ sin
1 1 ≤ 1 ⇒ −x 2 ≤ x 2 sin ≤ x 2 ⇒ lim f (x) = 0 = lim x 2 = lim (−x 2 ) = f (0) x x x →0 x →0 x →0
•f est dérivable sur R∗ comme produit de deux fonctions dérivables sur R∗ .
f est dérivable en 0. En effet : f (x) − f (0) 1 = lim x sin = 0. lim x x x →0 x →0
D’autre part : ∀x ∈ R∗ , f 0 (x) = 2x sin
Comme cos
1 1 − cos . x x
1 n’admet pas de limite en 0, alors f 0 n’est pas continue en 0. x
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Solution ( suite) Conclusion : f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f 0 n’est pas continue sur R alors, f n’est pas de classe C 1 sur R. Proposition Soient f et g deux fonctions de classe C n (respectivement C ∞ ) sur un intervalle I de R. Alors : f + g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. f · g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. ∀n ∈ N∗ , f n est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
Si de plus g ne s’annule pas sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. g Si de plus f est strictement positive sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
p
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Solution ( suite) Conclusion : f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f 0 n’est pas continue sur R alors, f n’est pas de classe C 1 sur R. Proposition Soient f et g deux fonctions de classe C n (respectivement C ∞ ) sur un intervalle I de R. Alors : f + g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. f · g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. ∀n ∈ N∗ , f n est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
Si de plus g ne s’annule pas sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. g Si de plus f est strictement positive sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
p
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Solution ( suite) Conclusion : f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f 0 n’est pas continue sur R alors, f n’est pas de classe C 1 sur R. Proposition Soient f et g deux fonctions de classe C n (respectivement C ∞ ) sur un intervalle I de R. Alors : f + g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. f · g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. ∀n ∈ N∗ , f n est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
Si de plus g ne s’annule pas sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. g Si de plus f est strictement positive sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
p
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Solution ( suite) Conclusion : f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f 0 n’est pas continue sur R alors, f n’est pas de classe C 1 sur R. Proposition Soient f et g deux fonctions de classe C n (respectivement C ∞ ) sur un intervalle I de R. Alors : f + g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. f · g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. ∀n ∈ N∗ , f n est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
Si de plus g ne s’annule pas sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. g Si de plus f est strictement positive sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
p
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Solution ( suite) Conclusion : f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f 0 n’est pas continue sur R alors, f n’est pas de classe C 1 sur R. Proposition Soient f et g deux fonctions de classe C n (respectivement C ∞ ) sur un intervalle I de R. Alors : f + g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. f · g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. ∀n ∈ N∗ , f n est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
Si de plus g ne s’annule pas sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. g Si de plus f est strictement positive sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
p
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Solution ( suite) Conclusion : f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f 0 n’est pas continue sur R alors, f n’est pas de classe C 1 sur R. Proposition Soient f et g deux fonctions de classe C n (respectivement C ∞ ) sur un intervalle I de R. Alors : f + g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. f · g est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. ∀n ∈ N∗ , f n est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
Si de plus g ne s’annule pas sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I. g Si de plus f est strictement positive sur I, alors : f est de classe C n (respectivement C ∞ ) sur I.
p
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Proposition Soient f une fonction de classe C n (resp. C ∞ ) sur un intervalle I de R, et g une fonction de classe C n (resp. C ∞ ) sur un intervalle J de R telles que f (I) ⊂ J, alors la fonction composée g ◦ f est de classe C n (resp. C ∞ ) sur I.
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Exercice Soit f la fonction définie par : f : x 7−→ f (x) = Montrer que f est de classe C 1 sur R+ .
x 2 lnx 0
si
x >0
si
x =0
Exercice On considère la fonction f définie sur R par : f : x 7−→ f (x) = Montrer que f est de classe C 1 sur R.
1 − cos x
x
0
si
x 6= 0
si
x =0
Exercice Soit la fonction f définie sur R par f (x) = Sachant que sinx ∼ x −
x3
0
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6
sinx
x
1
si
x 6= 0
si
1
, montrer que f est de classe C 2 sur R.
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