continuité by Tekaya Habib

ContinuitĂŠ Tekaya Habib IHEC de sousse

Semestre I

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Semestre I 2011

1 / 30

ContinuitĂŠ en un point

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ContinuitĂŠ en un point Prolongement par continuitĂŠ

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2 / 30

Continuité en un point Prolongement par continuité

Continuité sur un intervalle

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2 / 30

Continuité en un point Prolongement par continuité

Continuité sur un intervalle Opérations sur les fonctions continues

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2 / 30

Continuité en un point Prolongement par continuité

Continuité sur un intervalle Opérations sur les fonctions continues

Théorèmes généraux

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2 / 30

Continuité en un point Prolongement par continuité

Continuité sur un intervalle Opérations sur les fonctions continues

Théorèmes généraux

Exercices

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2 / 30

Dans tout ce chapitre, I est un intervalle de R ou R tout entier, a est un réel de I et f est un élément de F (I , R), où F (I , R) désigne l’ensemble des fonctions de I dans R. Définition 1

On suppose que a n’est pas l’extrêmité gauche de I. On dit que f est continue à gauche en a si et seulement si lim− f (x ) = f (a) x →a

On suppose que a n’est pas l’extrêmité droite de I. On dit que f est continue à droite en a si et seulement si lim+ f (x ) = f (a) x →a

On dit que f est continue en a si et seulement si lim f (x ) = f (a) x →a

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Dans tout ce chapitre, I est un intervalle de R ou R tout entier, a est un réel de I et f est un élément de F (I , R), où F (I , R) désigne l’ensemble des fonctions de I dans R. Définition 1

On suppose que a n’est pas l’extrêmité gauche de I. On dit que f est continue à gauche en a si et seulement si lim− f (x ) = f (a) x →a

On suppose que a n’est pas l’extrêmité droite de I. On dit que f est continue à droite en a si et seulement si lim+ f (x ) = f (a) x →a

On dit que f est continue en a si et seulement si lim f (x ) = f (a) x →a

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3 / 30

Dans tout ce chapitre, I est un intervalle de R ou R tout entier, a est un réel de I et f est un élément de F (I , R), où F (I , R) désigne l’ensemble des fonctions de I dans R. Définition 1

On suppose que a n’est pas l’extrêmité gauche de I. On dit que f est continue à gauche en a si et seulement si lim− f (x ) = f (a) x →a

On suppose que a n’est pas l’extrêmité droite de I. On dit que f est continue à droite en a si et seulement si lim+ f (x ) = f (a) x →a

On dit que f est continue en a si et seulement si lim f (x ) = f (a) x →a

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3 / 30

Dans tout ce chapitre, I est un intervalle de R ou R tout entier, a est un réel de I et f est un élément de F (I , R), où F (I , R) désigne l’ensemble des fonctions de I dans R. Définition 1

On suppose que a n’est pas l’extrêmité gauche de I. On dit que f est continue à gauche en a si et seulement si lim− f (x ) = f (a) x →a

On suppose que a n’est pas l’extrêmité droite de I. On dit que f est continue à droite en a si et seulement si lim+ f (x ) = f (a) x →a

On dit que f est continue en a si et seulement si lim f (x ) = f (a) x →a

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Exemples p

La fonction racine carrée est continue à droite en 0 car lim+ x = 0. x →0

x 7−→ sinx est continue en 0. x 7−→ |x | est continue en 0. Une fonction polynômiale est continue en tout point réel.

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Exemples p

La fonction racine carrée est continue à droite en 0 car lim+ x = 0. x →0

x 7−→ sinx est continue en 0. x 7−→ |x | est continue en 0. Une fonction polynômiale est continue en tout point réel.

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4 / 30

Exemples p

La fonction racine carrée est continue à droite en 0 car lim+ x = 0. x →0

x 7−→ sinx est continue en 0. x 7−→ |x | est continue en 0. Une fonction polynômiale est continue en tout point réel.

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Exemples p

La fonction racine carrée est continue à droite en 0 car lim+ x = 0. x →0

x 7−→ sinx est continue en 0. x 7−→ |x | est continue en 0. Une fonction polynômiale est continue en tout point réel.

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Exemples p

La fonction racine carrée est continue à droite en 0 car lim+ x = 0. x →0

x 7−→ sinx est continue en 0. x 7−→ |x | est continue en 0. Une fonction polynômiale est continue en tout point réel.

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4 / 30

Exemples p

La fonction racine carrée est continue à droite en 0 car lim+ x = 0. x →0

x 7−→ sinx est continue en 0. x 7−→ |x | est continue en 0. Une fonction polynômiale est continue en tout point réel.

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Remarques 1

Si a est intérieur à I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim− f (x ) = lim+ f (x ) = f (a). x →a

x →a

Si a est l’extrêmité gauche de I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim+ f (x ) = f (a). x →a

Si a est l’extrêmité droite de I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim− f (x ) = f (a). x →a

Définition Si f n’est pas continue en a, on dit que f est discontinue en ce point.

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Remarques 1

Si a est intérieur à I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim− f (x ) = lim+ f (x ) = f (a). x →a

x →a

Si a est l’extrêmité gauche de I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim+ f (x ) = f (a). x →a

Si a est l’extrêmité droite de I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim− f (x ) = f (a). x →a

Définition Si f n’est pas continue en a, on dit que f est discontinue en ce point.

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Remarques 1

Si a est intérieur à I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim− f (x ) = lim+ f (x ) = f (a). x →a

x →a

Si a est l’extrêmité gauche de I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim+ f (x ) = f (a). x →a

Si a est l’extrêmité droite de I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim− f (x ) = f (a). x →a

Définition Si f n’est pas continue en a, on dit que f est discontinue en ce point.

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Remarques 1

Si a est intérieur à I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim− f (x ) = lim+ f (x ) = f (a). x →a

x →a

Si a est l’extrêmité gauche de I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim+ f (x ) = f (a). x →a

Si a est l’extrêmité droite de I, alors on a : f est continue en a si et seulement si lim− f (x ) = f (a). x →a

Définition Si f n’est pas continue en a, on dit que f est discontinue en ce point.

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Définition Soit g une fonction dont le domaine de définition est I \{a}. On dit que g est prolongeable par continuité en a si la limite de g en a existe et est finie. Cela équivaut à dire que l’application f

−→

7−→

R    f (x ) = g(x )

si x ∈ I \{a}

  f (a) = ` = lim g(x ) x →a

est une fonction continue en a.

si x = a

On dit que l’application f est le prolongement par continuité de g en a.

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−→

7−→

R    f (x ) = g(x )

si x ∈ I \{a}

  f (a) = ` = lim g(x ) x →a

est une fonction continue en a.

si x = a

On dit que l’application f est le prolongement par continuité de g en a.

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−→

7−→

R    f (x ) = g(x )

si x ∈ I \{a}

  f (a) = ` = lim g(x ) x →a

est une fonction continue en a.

si x = a

On dit que l’application f est le prolongement par continuité de g en a.

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Application Soit f une fonction définie par f (x) =

ln(1 − 2x) + ln(1 + 2x) x2

Déterminer Df . Peut-on prolonger f par continuité ? Solution    1     x< 1 − 2x > 0     2     x ∈ Df ⇔ 1 + 2x > 0 ⇔ x > − 1     2        x 6= 0   x 6= 0 ¸ · 1 1 © ª − , \ 0

· · ¸ ¸ 1 1 ∩ − ,+∞ ∩ R∗ = ⇔ x ∈ −∞,

2 2

5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

1 1 D’où Df = − ;0 ∪ 0; . 2 2 ¸

· ¸

Application Soit f une fonction définie par f (x) =

ln(1 − 2x) + ln(1 + 2x) x2

· · ¸ ¸ 1 1 ∩ − ,+∞ ∩ R∗ = ⇔ x ∈ −∞,

2 2

5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

1 1 D’où Df = − ;0 ∪ 0; . 2 2 ¸

· ¸

Application Soit f une fonction définie par f (x) =

ln(1 − 2x) + ln(1 + 2x) x2

· · ¸ ¸ 1 1 ⇔ x ∈ −∞, ∩ − ,+∞ ∩ R∗ =

2 2

5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

1 1 D’où Df = − ;0 ∪ 0; . 2 2 ¸

· ¸

Application Soit f une fonction définie par f (x) =

ln(1 − 2x) + ln(1 + 2x) x2

Déterminer Df . Peut-on prolonger f par continuité ? Solution    1     x< 1 − 2x > 0     2     x ∈ Df ⇔ 1 + 2x > 0 ⇔ x > − 1     2        x 6= 0   x 6= 0 · ¸ 1 1 © ª \ 0 − ,

· ¸ · ¸ 1 1 ⇔ x ∈ −∞, ∩ − ,+∞ ∩ R∗ =

2 2

5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

1 1 D’où Df = − ;0 ∪ 0; . 2 2 ¸

· ¸

Application Soit f une fonction définie par f (x) =

ln(1 − 2x) + ln(1 + 2x) x2

· ¸ · ¸ 1 1 ∩ − ,+∞ ∩ R∗ = ⇔ x ∈ −∞,

2 2

5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

1 1 D’où Df = − ;0 ∪ 0; . 2 2 ¸

· ¸

Application Soit f une fonction définie par f (x) =

ln(1 − 2x) + ln(1 + 2x) x2

· · ¸ ¸ 1 1 ∩ − ,+∞ ∩ R∗ = ⇔ x ∈ −∞,

2 2

5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

1 1 D’où Df = − ;0 ∪ 0; . 2 2 ¸

· ¸

Solution 

 lim lim ³ ´− f (x) = ³ ´−

x → 21

x → 12

 



1    × lim ³ ´− ln(1 + 2x) + lim ³ ´− ln(1 − 2x) = −∞. x2 x→ 1 x→ 1 2

La limite étant infinie, f n’est donc pas prolongeable par continuité en 

 lim ³ ´+ f (x) = 

x → − 12

lim ³

x → − 21

 

´+

1 . 2



1    lim  ×  lim ³ ´+ ln(1 − 2x) + ³ ´+ ln(1 + 2x) = −∞. x2 1 1 x→ − x→ − 2

1 La limite de f étant infinie, donc elle n’est pas prolongeable par continuité en − . 2

Étude en 0 : ³ ´ 2 ln(1 − 2x) (1 + 2x) ln 1 − 4x −4x 2 ∼ f (x) = = = −4. 0 x2 x2 x2 Alors lim f (x) = −4 , cette limite est finie, donc f est prolongeable par continuité en 0. x →0

Conclusion : f est prolongeable par continuité en 0 et son prolongement F est défini par : ¸ · 1 1 F : − , −→ R 2 2 ¸ ·  ln(1 − 2x) + ln(1 + 2x) 1 1 © ª   si x ∈ − , \ 0 2 2 x2 x 7−→ F (x) =   −4 si x = 0

Solution 

 lim lim ³ ´− f (x) = ³ ´−

x → 21

x → 12

 



1    × lim ³ ´− ln(1 + 2x) + lim ³ ´− ln(1 − 2x) = −∞. x2 x→ 1 x→ 1 2

La limite étant infinie, f n’est donc pas prolongeable par continuité en 

 lim ³ ´+ f (x) = 

x → − 12

lim ³

x → − 21

 

´+

1 . 2



1    lim  ×  lim ³ ´+ ln(1 − 2x) + ³ ´+ ln(1 + 2x) = −∞. x2 1 1 x→ − x→ − 2

1 La limite de f étant infinie, donc elle n’est pas prolongeable par continuité en − . 2

Étude en 0 : ³ ´ 2 ln(1 − 2x) (1 + 2x) ln 1 − 4x −4x 2 ∼ f (x) = = = −4. 0 x2 x2 x2 Alors lim f (x) = −4 , cette limite est finie, donc f est prolongeable par continuité en 0. x →0

Solution 

 lim lim ³ ´− f (x) = ³ ´−

x → 21

x → 12

 



1    × lim ³ ´− ln(1 + 2x) + lim ³ ´− ln(1 − 2x) = −∞. x2 x→ 1 x→ 1 2

La limite étant infinie, f n’est donc pas prolongeable par continuité en 

 lim ³ ´+ f (x) = 

x → − 12

lim ³

x → − 21

 

´+

1 . 2



1    lim  ×  lim ³ ´+ ln(1 − 2x) + ³ ´+ ln(1 + 2x) = −∞. x2 1 1 x→ − x→ − 2

1 La limite de f étant infinie, donc elle n’est pas prolongeable par continuité en − . 2 Étude en 0 : ³ ´ 2 ln(1 − 2x) (1 + 2x) ln 1 − 4x −4x 2 ∼ f (x) = = = −4. 0 x2 x2 x2 Alors lim f (x) = −4 , cette limite est finie, donc f est prolongeable par continuité en 0. x →0

Solution 

 lim lim ³ ´− f (x) = ³ ´−

x → 21

x → 12

 



1    × lim ³ ´− ln(1 + 2x) + lim ³ ´− ln(1 − 2x) = −∞. x2 x→ 1 x→ 1 2

La limite étant infinie, f n’est donc pas prolongeable par continuité en 

 lim ³ ´+ f (x) = 

x → − 12

lim ³

x → − 21

 

´+

1 . 2



1    lim  ×  lim ³ ´+ ln(1 − 2x) + ³ ´+ ln(1 + 2x) = −∞. x2 1 1 x→ − x→ − 2

Solution 

 lim lim ³ ´− f (x) = ³ ´−

x → 21

x → 12

 



1    × lim ³ ´− ln(1 + 2x) + lim ³ ´− ln(1 − 2x) = −∞. x2 x→ 1 x→ 1 2

La limite étant infinie, f n’est donc pas prolongeable par continuité en 

 lim ³ ´+ f (x) = 

x → − 12

lim ³

x → − 21

 

´+

1 . 2



1    lim  ×  lim ³ ´+ ln(1 − 2x) + ³ ´+ ln(1 + 2x) = −∞. x2 1 1 x→ − x→ − 2

1 La limite de f étant infinie, donc elle n’est pas prolongeable par continuité en − . 2

Étude en 0 : ³ ´ 2 ln(1 − 2x) (1 + 2x) ln 1 − 4x −4x 2 ∼ f (x) = = = −4. 0 x2 x2 x2 Alors lim f (x) = −4 , cette limite est finie, donc f est prolongeable par continuité en 0. x →0

Solution 

 lim lim ³ ´− f (x) = ³ ´−

x → 21

x → 12

 



1    × lim ³ ´− ln(1 + 2x) + lim ³ ´− ln(1 − 2x) = −∞. x2 x→ 1 x→ 1 2

La limite étant infinie, f n’est donc pas prolongeable par continuité en 

 lim ³ ´+ f (x) = 

x → − 12

lim ³

x → − 21

 

´+

1 . 2



1    lim  ×  lim ³ ´+ ln(1 − 2x) + ³ ´+ ln(1 + 2x) = −∞. x2 1 1 x→ − x→ − 2

1 La limite de f étant infinie, donc elle n’est pas prolongeable par continuité en − . 2

Étude en 0 : ³ ´ 2 ln(1 − 2x) (1 + 2x) ln 1 − 4x −4x 2 ∼ f (x) = = = −4. 0 x2 x2 x2 Alors lim f (x) = −4 , cette limite est finie, donc f est prolongeable par continuité en 0. x →0

Solution 

 lim lim ³ ´− f (x) = ³ ´−

x → 21

x → 12

 



1    × lim ³ ´− ln(1 + 2x) + lim ³ ´− ln(1 − 2x) = −∞. x2 x→ 1 x→ 1 2

La limite étant infinie, f n’est donc pas prolongeable par continuité en 

 lim ³ ´+ f (x) = 

x → − 12

lim ³

x → − 21

 

´+

1 . 2



1    lim  ×  lim ³ ´+ ln(1 − 2x) + ³ ´+ ln(1 + 2x) = −∞. x2 1 1 x→ − x→ − 2

1 La limite de f étant infinie, donc elle n’est pas prolongeable par continuité en − . 2

Étude en 0 : ³ ´ 2 ln(1 − 2x) (1 + 2x) ln 1 − 4x −4x 2 ∼ f (x) = = = −4. 0 x2 x2 x2 Alors lim f (x) = −4 , cette limite est finie, donc f est prolongeable par continuité en 0. x →0

Exercice Dire dans chacun des cas suivants, si la fonction f admet un prolongement par continuité en a, si oui le définir. f : x 7−→

sinx + 4x ; a = 0. x

x3 − 1 ; a=1 x −1 1 − cos x f : x 7−→ ; a = 0. x2 f : x 7−→

f : x 7−→

tan(sin x) × ln(1 + x 2 ) 3

ex − 1

; a = 0.

1 − cos2 x f : x 7−→ p ; a = 0. 1 + x2 − 1 f : x 7−→ f : x 7−→

ecos x − e ; a = 0. x4 q

1 + sin2 (x 2 + x) − 1

x2 sin(x lnx) ; a = 0. f : x 7−→ x Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

; a = 0.

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9 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

La fonction x 7−→ x est continue sur [0,+∞[. Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R. La fonction ln est continue sur ]0,+∞[. La fonction exp : x 7−→ ex est continue sur R. La fonction x :7−→ |x | est continue sur R. La fonction x :7−→

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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10 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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10 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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10 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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10 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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10 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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10 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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10 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

Cours Maths Analyse

Semestre I 2011

10 / 30

Définition On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Théorème Une fonction polynômiale est continue sur R. p

p n

x est continue sur [0,+∞[.

Proposition Si f est continue sur I, alors la restriction de f à tout intervalle J ⊂ I est continue sur J. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

Cours Maths Analyse

Semestre I 2011

10 / 30

Exemple La fonction exp est continue sur R donc elle est continue sur tout intervalle de R, par exemple elle continue sur [1, +∞[, [5, 11], [−2, 42[ etc.

Remarques Si f est continue sur ]a, b[, sur ]b, c[ et en b, alors f est continue sur ]a, c[. Une fonction est continue sur un intervalle [a, b] si elle est continue sur ]a, b[, à droite en a et à gauche en b. Une fonction est continue sur un intervalle [a, b[ si elle est continue sur ]a, b[, à droite en a . On définit de façon analogue la continuité d’une fonction sur les intervalles ]a, b] , [a, +∞[ et ] − ∞, a]. Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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Semestre I 2011

11 / 30

Exemple La fonction exp est continue sur R donc elle est continue sur tout intervalle de R, par exemple elle continue sur [1, +∞[, [5, 11], [−2, 42[ etc.

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Semestre I 2011

11 / 30

Exemple La fonction exp est continue sur R donc elle est continue sur tout intervalle de R, par exemple elle continue sur [1, +∞[, [5, 11], [−2, 42[ etc.

Cours Maths Analyse

Semestre I 2011

11 / 30

Exemple La fonction exp est continue sur R donc elle est continue sur tout intervalle de R, par exemple elle continue sur [1, +∞[, [5, 11], [−2, 42[ etc.

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Semestre I 2011

11 / 30

Exemple La fonction exp est continue sur R donc elle est continue sur tout intervalle de R, par exemple elle continue sur [1, +∞[, [5, 11], [−2, 42[ etc.

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Semestre I 2011

11 / 30

Proposition Soient f et g deux applications continues sur I . Alors : ∀α, β ∈ R, αf + βg est continue sur I.

f × g est continue sur I. Si g ne s’annule pas sur I, alors

1 f et sont continues sur I. g g

|f | est continue sur I.

Proposition Soient f : I −→ R une fonction continue sur I et g : J −→ R une fonction continue sur J avec f (I) ⊂ J . Alors g ◦ f est continue sur I.

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Semestre I 2011

12 / 30

Proposition Soient f et g deux applications continues sur I . Alors : ∀α, β ∈ R, αf + βg est continue sur I.

f × g est continue sur I. Si g ne s’annule pas sur I, alors

1 f et sont continues sur I. g g

|f | est continue sur I.

Proposition Soient f : I −→ R une fonction continue sur I et g : J −→ R une fonction continue sur J avec f (I) ⊂ J . Alors g ◦ f est continue sur I.

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Semestre I 2011

12 / 30

Proposition Soient f et g deux applications continues sur I . Alors : ∀α, β ∈ R, αf + βg est continue sur I.

f × g est continue sur I. Si g ne s’annule pas sur I, alors

1 f et sont continues sur I. g g

|f | est continue sur I.

Proposition Soient f : I −→ R une fonction continue sur I et g : J −→ R une fonction continue sur J avec f (I) ⊂ J . Alors g ◦ f est continue sur I.

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Semestre I 2011

12 / 30

Proposition Soient f et g deux applications continues sur I . Alors : ∀α, β ∈ R, αf + βg est continue sur I.

f × g est continue sur I. Si g ne s’annule pas sur I, alors

1 f et sont continues sur I. g g

|f | est continue sur I.

Proposition Soient f : I −→ R une fonction continue sur I et g : J −→ R une fonction continue sur J avec f (I) ⊂ J . Alors g ◦ f est continue sur I.

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Semestre I 2011

12 / 30

Proposition Soient f et g deux applications continues sur I . Alors : ∀α, β ∈ R, αf + βg est continue sur I.

f × g est continue sur I. Si g ne s’annule pas sur I, alors

1 f et sont continues sur I. g g

|f | est continue sur I.

Proposition Soient f : I −→ R une fonction continue sur I et g : J −→ R une fonction continue sur J avec f (I) ⊂ J . Alors g ◦ f est continue sur I.

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Semestre I 2011

12 / 30

Proposition Soient f et g deux applications continues sur I . Alors : ∀α, β ∈ R, αf + βg est continue sur I.

f × g est continue sur I. Si g ne s’annule pas sur I, alors

1 f et sont continues sur I. g g

|f | est continue sur I.

Proposition Soient f : I −→ R une fonction continue sur I et g : J −→ R une fonction continue sur J avec f (I) ⊂ J . Alors g ◦ f est continue sur I.

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Semestre I 2011

12 / 30

Remarque Toute fonction obtenue par des sommes, des produits, des quotients et des composées de fonctions usuelles comme : polynôme, sin, cos,ln, exp ,

, ···

qui sont continues sur leur domaine de définition, est continue sur tout intervalle où elle est définie. Application Soit la fonction

f : x 7−→ f (x ) =

 µ ¶ 1    x 2 sin

   0

Montrer que f est continue sur R.

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si x ∈ R∗ si x = 0

Semestre I 2011

13 / 30

Remarque Toute fonction obtenue par des sommes, des produits, des quotients et des composées de fonctions usuelles comme : polynôme, sin, cos,ln, exp ,

, ···

qui sont continues sur leur domaine de définition, est continue sur tout intervalle où elle est définie. Application Soit la fonction

f : x 7−→ f (x ) =

 µ ¶ 1    x 2 sin

   0

Montrer que f est continue sur R.

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si x ∈ R∗ si x = 0

Semestre I 2011

13 / 30

Solution Continuité sur R∗ : 1 est rationnelle donc elle est continue sur R∗ . x La fonction sin est continue sur R , en particulier elle est continue sur R∗ . µ ¶ 1 est continue sur R∗ La fonction v : x 7−→ (sin ◦u)(x ) = sin (u(x )) = sin x comme composée de deux fonctions continues. La fonction u : x 7−→

La fonction g : x 7−→ x 2 est polynômiale, donc elle est continue sur R et en particulier sur R∗ . Conclusion : La fonction f = g · v est donc continue sur R∗ comme produit de deux fonctions continues sur R∗ .

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14 / 30

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14 / 30

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14 / 30

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14 / 30

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14 / 30

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14 / 30

Solution Continuité en 0 : ¯ ¯

On a : ∀x ∈ R∗ |f (x )| = ¯¯x 2 sin

µ ¶¯ 1 ¯¯ ≤ |x 2 | = x 2 et lim x 2 = 0 , alors x ¯ x →0

lim f (x ) = 0 = f (0) et par conséquent la fonction f est continue en 0.

x →0

Conclusion : La fonction f étant continue sur R∗ et en 0, alors elle est continue sur R. 2.0 1.5 1.0 0.5 6.0−5.5−5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 −0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

−1.0 −1.5 −2.0 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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15 / 30

Solution Continuité en 0 : ¯ ¯

On a : ∀x ∈ R∗ |f (x )| = ¯¯x 2 sin

µ ¶¯ 1 ¯¯ ≤ |x 2 | = x 2 et lim x 2 = 0 , alors x ¯ x →0

lim f (x ) = 0 = f (0) et par conséquent la fonction f est continue en 0.

x →0

Conclusion : La fonction f étant continue sur R∗ et en 0, alors elle est continue sur R. 2.0 1.5 1.0 0.5 6.0−5.5−5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 −0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

−1.0 −1.5 −2.0 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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15 / 30

Solution Continuité en 0 : ¯ ¯

On a : ∀x ∈ R∗ |f (x )| = ¯¯x 2 sin

µ ¶¯ 1 ¯¯ ≤ |x 2 | = x 2 et lim x 2 = 0 , alors x ¯ x →0

lim f (x ) = 0 = f (0) et par conséquent la fonction f est continue en 0.

x →0

Conclusion : La fonction f étant continue sur R∗ et en 0, alors elle est continue sur R. 2.0 1.5 1.0 0.5 b

6.0−5.5−5.0−4.5−4.0−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 −0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0

−1.0 −1.5 −2.0

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15 / 30

Exercice Soit la fonction f : x 7−→ f (x ) =

   ln |x |

  sin(πx )

Montrer que f est continue sur R.

si |x | ≥ 1 si |x | < 1

Solution La fonction x :7−→ ln |x | est continue sur R∗ comme composée de deux fonctions continues, en particulier sur ] − ∞, −1[∪]1, +∞[. La fonction x 7−→ sin(πx ) est continue sur R, en particulier sur ] − 1, 1[. lim

f (x ) =

lim

f (x ) =

x →(−1)− x →(−1)+

D’où :

lim

x →(−1)−

lim

ln |x | = ln(1) = 0.

lim

sin(πx ) = sin(−π) = 0

x →(−1)− x →(−1)+

f (x ) =

Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

lim

x →(−1)+

f (x ) = 0 = f (−1) et donc f est continue en −1. Cours Maths Analyse

Semestre I 2011

16 / 30

Exercice Soit la fonction f : x 7−→ f (x ) =

   ln |x |

  sin(πx )

Montrer que f est continue sur R.

si |x | ≥ 1 si |x | < 1

f (x ) =

lim

f (x ) =

x →(−1)− x →(−1)+

D’où :

lim

x →(−1)−

lim

ln |x | = ln(1) = 0.

lim

sin(πx ) = sin(−π) = 0

x →(−1)− x →(−1)+

f (x ) =

Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

lim

x →(−1)+

f (x ) = 0 = f (−1) et donc f est continue en −1. Cours Maths Analyse

Semestre I 2011

16 / 30

Exercice Soit la fonction f : x 7−→ f (x ) =

   ln |x |

  sin(πx )

Montrer que f est continue sur R.

si |x | ≥ 1 si |x | < 1

f (x ) =

lim

f (x ) =

x →(−1)− x →(−1)+

D’où :

lim

x →(−1)−

lim

ln |x | = ln(1) = 0.

lim

sin(πx ) = sin(−π) = 0

x →(−1)− x →(−1)+

f (x ) =

Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

lim

x →(−1)+

f (x ) = 0 = f (−1) et donc f est continue en −1. Cours Maths Analyse

Semestre I 2011

16 / 30

Exercice Soit la fonction f : x 7−→ f (x ) =

   ln |x |

  sin(πx )

Montrer que f est continue sur R.

si |x | ≥ 1 si |x | < 1

f (x ) =

lim

f (x ) =

x →(−1)− x →(−1)+

D’où :

lim

x →(−1)−

lim

ln |x | = ln(1) = 0.

lim

sin(πx ) = sin(−π) = 0

x →(−1)− x →(−1)+

f (x ) =

Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

lim

x →(−1)+

f (x ) = 0 = f (−1) et donc f est continue en −1. Cours Maths Analyse

Semestre I 2011

16 / 30

Exercice Soit la fonction f : x 7−→ f (x ) =

   ln |x |

  sin(πx )

Montrer que f est continue sur R.

si |x | ≥ 1 si |x | < 1

f (x ) =

lim

f (x ) =

x →(−1)− x →(−1)+

D’où :

lim

x →(−1)−

lim

ln |x | = ln(1) = 0.

lim

sin(πx ) = sin(−π) = 0

x →(−1)− x →(−1)+

f (x ) =

Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

lim

x →(−1)+

f (x ) = 0 = f (−1) et donc f est continue en −1. Cours Maths Analyse

Semestre I 2011

16 / 30

Exercice Soit la fonction f : x 7−→ f (x ) =

   ln |x |

  sin(πx )

Montrer que f est continue sur R.

si |x | ≥ 1 si |x | < 1

f (x ) =

lim

f (x ) =

x →(−1)− x →(−1)+

D’où :

lim

x →(−1)−

lim

ln |x | = ln(1) = 0.

lim

sin(πx ) = sin(−π) = 0

x →(−1)− x →(−1)+

f (x ) =

Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

lim

x →(−1)+

f (x ) = 0 = f (−1) et donc f est continue en −1. Cours Maths Analyse

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16 / 30

Solution lim f (x) = lim sin(πx) = sin(π) = 0.

x →1−

x →1+

lim f (x) = lim ln |x | = ln(1) = 0.

D’où lim f (x) = lim f (x) = 0 = f (1) et donc f est continue en 1. x →1−

x →1+

Conclusion : La fonction f est continue sur ] − ∞,−1[ , ] − 1, 1[ , ]1,+∞[ , en −1 et en 1, alors elle est continue sur R.

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2

Solution lim f (x) = lim sin(πx) = sin(π) = 0.

x →1−

x →1+

lim f (x) = lim ln |x | = ln(1) = 0.

D’où lim f (x) = lim f (x) = 0 = f (1) et donc f est continue en 1. x →1−

x →1+

Conclusion : La fonction f est continue sur ] − ∞,−1[ , ] − 1, 1[ , ]1,+∞[ , en −1 et en 1, alors elle est continue sur R.

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2

Solution lim f (x) = lim sin(πx) = sin(π) = 0.

x →1−

x →1+

lim f (x) = lim ln |x | = ln(1) = 0.

D’où lim f (x) = lim f (x) = 0 = f (1) et donc f est continue en 1. x →1−

x →1+

Conclusion : La fonction f est continue sur ] − ∞,−1[ , ] − 1, 1[ , ]1,+∞[ , en −1 et en 1, alors elle est continue sur R.

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2

Solution lim f (x) = lim sin(πx) = sin(π) = 0.

x →1−

x →1+

lim f (x) = lim ln |x | = ln(1) = 0.

D’où lim f (x) = lim f (x) = 0 = f (1) et donc f est continue en 1. x →1−

x →1+

Conclusion : La fonction f est continue sur ] − ∞,−1[ , ] − 1, 1[ , ]1,+∞[ , en −1 et en 1, alors elle est continue sur R.

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2

Solution lim f (x) = lim sin(πx) = sin(π) = 0.

x →1−

x →1+

lim f (x) = lim ln |x | = ln(1) = 0.

D’où lim f (x) = lim f (x) = 0 = f (1) et donc f est continue en 1. x →1−

x →1+

Conclusion : La fonction f est continue sur ] − ∞,−1[ , ] − 1, 1[ , ]1,+∞[ , en −1 et en 1, alors elle est continue sur R.

x 7−→ ln |x |

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2

Solution lim f (x) = lim sin(πx) = sin(π) = 0.

x →1−

x →1+

lim f (x) = lim ln |x | = ln(1) = 0.

D’où lim f (x) = lim f (x) = 0 = f (1) et donc f est continue en 1. x →1−

x →1+

Conclusion : La fonction f est continue sur ] − ∞,−1[ , ] − 1, 1[ , ]1,+∞[ , en −1 et en 1, alors elle est continue sur R.

x 7−→ ln |x |

−6

−5

−4

−3

−2

−1

x 7−→ sin(πx )

1 −1 −2

Théorème L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Remarque En général il n’y a aucun lien entre la nature ( ouvert, semi-ouvert, fermé ) de l’intervalle de départ I et celle de l’image f (I). Exemple Soit la fonction f définie par f (x ) = x 3 − 3x + 1. Dresser le tableau de variation de f . Déterminer : f [−1, 1] , f ]−1, 3] et f [−1, 3].

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Semestre I 2011

18 / 30

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18 / 30

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Semestre I 2011

18 / 30

Solution ∀x ∈ R; f 0 (x ) = 3(x 2 − 1). Le tableau de variation de f est :

−2

−∞

f 0 (x )

−1 +

−

+∞

3 f (x )

+∞

−1 −1

−∞

D’après le tableau de variation précédent on a : f ([−1, 1]) = [−1, 3]; Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

f (]1, 2]) =] − 1, 3] ; Cours Maths Analyse

f (] − 2, 2[) = [−1, 3]. Semestre I 2011

19 / 30

Solution ∀x ∈ R; f 0 (x ) = 3(x 2 − 1). Le tableau de variation de f est :

−2

−∞

f 0 (x )

−1 +

−

+∞

3 f (x )

+∞

−1 −1

−∞

D’après le tableau de variation précédent on a : f ([−1, 1]) = [−1, 3]; Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

f (]1, 2]) =] − 1, 3] ; Cours Maths Analyse

f (] − 2, 2[) = [−1, 3]. Semestre I 2011

19 / 30

Solution ∀x ∈ R; f 0 (x ) = 3(x 2 − 1). Le tableau de variation de f est :

−2

−∞

f 0 (x )

−1 +

−

+∞

3 f (x )

+∞

−1 −1

−∞

D’après le tableau de variation précédent on a : f ([−1, 1]) = [−1, 3]; Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

f (]1, 2]) =] − 1, 3] ; Cours Maths Analyse

f (] − 2, 2[) = [−1, 3]. Semestre I 2011

19 / 30

Solution ∀x ∈ R; f 0 (x ) = 3(x 2 − 1). Le tableau de variation de f est :

−2

−∞

f 0 (x )

−1 +

−

+∞

3 f (x )

+∞

−1 −1

−∞

D’après le tableau de variation précédent on a : f ([−1, 1]) = [−1, 3]; Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

f (]1, 2]) =] − 1, 3] ; Cours Maths Analyse

f (] − 2, 2[) = [−1, 3]. Semestre I 2011

19 / 30

Solution ∀x ∈ R; f 0 (x ) = 3(x 2 − 1). Le tableau de variation de f est :

−2

−∞

f 0 (x )

−1 +

−

+∞

3 f (x )

+∞

−1 −1

−∞

D’après le tableau de variation précédent on a : f ([−1, 1]) = [−1, 3]; Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

f (]1, 2]) =] − 1, 3] ; Cours Maths Analyse

f (] − 2, 2[) = [−1, 3]. Semestre I 2011

19 / 30

Théorème L’image d’un intervalle fermé borné [a, b] par une fonction continue est un intervalle fermé borné [m, M]. Le réel m est le minimum de f sur [a, b]. Le réel M est le maximum de f sur [a, b].

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Semestre I 2011

20 / 30

−6

−5

−4

−3

−2

−1

−1 −2 −3 −4 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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Semestre I 2011

21 / 30

f (a) b

f (b)

2 b

−6

−5

−4

−3

−2

−1

−1 −2 −3 −4 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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Semestre I 2011

21 / 30

M b

f (a) b

f (b)

2 b

−6

−5

−4

−3

−2

b b

−1

−1 −2 −3 b

−4 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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Semestre I 2011

21 / 30

Théorème (des valeurs intermédiaires) Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a < b. Pour tout réel λ compris entre f (a) et f (b) l’équation f (x ) = λ possède au moins une solution dans l’intervalle [a, b]. C f (a) b

a −3

−2

−1

b 2

−1

f (b) b

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Semestre I 2011

22 / 30

a −3

−2

−1

b 2

−1

f (b) b

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Semestre I 2011

22 / 30

−3

x0 x1 b

−2

−1

x2 b b

λ b

−1

f (b) b

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Semestre I 2011

22 / 30

Interprétation graphique Soit (C ) la courbe de f sur [a, b].Sur toute droite (D) parallèle à (Ox) d’équation y = λ ∈ [f (b), f (a)] ( on a supposé que f (a) > f (b)), il existe au moins un point de (C ). Ici (D) coupe (C ) en trois points, c.a.d. l’équation f (x) = λ a trois solutions qui sont x0 , x1 et x2 . C f (a) b

a −3

−2

−1

b 2

−1

f (b)

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Semestre I 2011

23 / 30

a −3

−2

−1

b 2

−1

f (b)

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Semestre I 2011

23 / 30

−3

x0 b

−2

x1 b

−1

x2 b b

λ b

−1

f (b)

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23 / 30

Corollaire Soit f une fonction continue sur un intervalle I.S’il existe a, b ∈ I tel que    f (a) × f (b) < 0   a<b

, alors, il existe au moins un réel c ∈]a, b[ tel que : f (c) = 0.

Théorème Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a < b. Alors, pour tout réel λ compris entre f (a) et f (b) l’équation f (x ) = λ admet une unique solution dans [a, b].

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Corollaire Soit f une fonction continue sur un intervalle I.S’il existe a, b ∈ I tel que    f (a) × f (b) < 0   a<b

, alors, il existe au moins un réel c ∈]a, b[ tel que : f (c) = 0.

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Application On considère l’équation

(E) : x 3 + x 2 − 1 = 0.

Montrer que l’équation (E) admet au moins une solution α ∈]0, 1[. En effet la fonction f ;x 7−→ f (x) = x 3 + x 2 − 1 est continue sur [0, 1] et on a : f (0) × f (1) = −1 × 1 = −1 < 0, alors d’après le corollaire précédent il existe au moins un réel α ∈]0, 1[ tel que f (α) = 0.

C.a.d. l’équation (E) admet au moins une solution appartenant à ]0, 1[.

3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

−1

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Application On considère l’équation

(E) : x 3 + x 2 − 1 = 0.

C.a.d. l’équation (E) admet au moins une solution appartenant à ]0, 1[.

3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

−1

−2 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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Application On considère l’équation

(E) : x 3 + x 2 − 1 = 0.

C.a.d. l’équation (E) admet au moins une solution appartenant à ]0, 1[.

3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

−1

−2 Tekaya Habib (IHEC de Sousse)

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Application Montrer que les courbes Cf et Cg où f (x) = ln(1 + x) et g(x) = point d’abscisse α ∈]0, 1[.

1 (2 + x)2

En effet, considérons la fonction h(x) = f (x) − g(x) = ln(1 + x) −

1 (2 + x)2

se coupent en un seul

h est dérivable sur ] − 1,+∞[, en particulier sur [0, 1] 1 2 > 0, ∀x ∈ [0, 1]. et h0 (x) = + x + 1 (x + 2)3 µ ¶ 1 1 Alors h est continue sur [0, 1] et h(0) × h(1) = − × ln2 − < 0, alors d’après le corollaire 4 9 précédent , il existe au moins un réel α ∈]0, 1[ tel que h(α) = 0. Comme h est strictement monotone sur [0, 1], alors α est unique. Conclusion : Il existe alors un unique point d’abscisse α ∈]0, 1[ où les courbes Cf et Cg se coupent.

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Application Montrer que les courbes Cf et Cg où f (x) = ln(1 + x) et g(x) = point d’abscisse α ∈]0, 1[.

1 (2 + x)2

En effet, considérons la fonction h(x) = f (x) − g(x) = ln(1 + x) −

1 (2 + x)2

se coupent en un seul

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1 x 7−→ (2 + x )2 −3

−2

−1

x 7−→ ln(1 + x ) −2

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1 x 7−→ (2 + x )2 −3

−2

f (α)

b b

−1

x 7−→ ln(1 + x ) −2

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1 x 7−→ (2 + x )2 −3

−2

Ch f (α) b

A b

−1

x 7−→ ln(1 + x ) −2

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Exercice Montrer que les fonctions suivantes, définies sur R∗ , sont continues sur R∗ et étudier si on peut les prolonger par continuité sur R. (1 + x )3 − 1 . x |sinx | . g(x ) = x p p 1 + sin x − 1 − sin x h(x ) = . x 1 k (x ) = x 2 cos . x 1 `(x ) = sin x sin . x 1 e x + e −x p(x ) = ln . x 2 1 2 q(x ) = . − 1−x 1−x2 f (x ) =

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Exercice Soit (a, b) ∈ R2 et f la fonction définie sur R par :    f (x ) = x 2 + b

  f (x ) = sin(ax )

si x ≤ 0

si x > 0 x Étudier la continuité de f sur R en fonction des paramètres a et b. Exercice Étudier la continuité de la fonction f définie par :  ¡ ¢  ln 1 + x 2  

x  cosx   ex

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si x < 0 si x ≥ 0

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Exercice Montrer que chacune des équations suivantes admet au moins une solution dans l’intervalle indiqué : x 5 − x 4 + 1 = 0 sur I = [−1, 0]. sin(x ) + 1 = x sur I =

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iπ

h ,π .

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