Fiche de cours Angles orientĂŠs Tekaya Habib IHEC de sousse
5 dĂŠcembre 2009
Angle inscrit- Angle au centre Définition On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition
C
O b
On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
C
O b
b
b
A
B
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition
b
C
On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
M
O b
b
b
A
B
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition
b
C
On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
M
O b
b
b
A
B
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition
C b
O b
b
A
B
On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition
C b
B
O b
M b
A
On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
C
O b
b
b
A
B
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre Définition On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle lorsque son sommet appartient à ce cercle et ses côtés recoupent ce cercle ; l’un des côtés pouvant être tangent au cercle.
C
O b
b
B T
+ b
A
est l’angle au AOB, centre associé à l’angle inscrit A MB AOB, est l’angle au centre associé à d l’angle inscrit TAB
Angle inscrit- Angle au centre
Théorème
C
O b
Soit C un cercle de centre O dans le plan orienté dans le sens direct. Pour tous points distincts A, B et ³ M du cercle ´ ³ C on a´:
−→ −→ á á − → −→ OA, OB ≡ 2 MA, MB [2π]
Si la droite (AT ) est tangente au cercle C en A, alors
³á ³á −→ −→´ −→ −→´ OA, OB ≡ 2 AT , AB [2π]
Angle inscrit- Angle au centre
C b
M
Théorème Soit C un cercle de centre O dans le plan orienté dans le sens direct.
α
O b
2α b
b
A
³− á → −→´ α ≡ MA, MB [2π]
B
Pour tous points distincts A, B et ³ M du cercle ´ ³ C on a´:
−→ −→ á á − → −→ OA, OB ≡ 2 MA, MB [2π]
Si la droite (AT ) est tangente au cercle C en A, alors
³á ³á −→ −→´ −→ −→´ OA, OB ≡ 2 AT , AB [2π]
Angle inscrit- Angle au centre
Théorème
C b
B
O b
2α
α b
A
³− á → −→´ α ≡ MA, MB [2π]
M
Soit C un cercle de centre O dans le plan orienté dans le sens direct. Pour tous points distincts A, B et ³ M du cercle ´ ³ C on a´:
−→ −→ á á − → −→ OA, OB ≡ 2 MA, MB [2π]
Si la droite (AT ) est tangente au cercle C en A, alors
³á ³á −→ −→´ −→ −→´ OA, OB ≡ 2 AT , AB [2π]
Angle inscrit- Angle au centre
Théorème
C
Soit C un cercle de centre O dans le plan orienté dans le sens direct.
O b
2α b
α
B T
+ b
A
³− á → −→´ α ≡ MA, MB [2π]
Pour tous points distincts A, B et ³ M du cercle ´ ³ C on a´:
−→ −→ á á − → −→ OA, OB ≡ 2 MA, MB [2π]
Si la droite (AT ) est tangente au cercle C en A, alors
³á ³á −→ −→´ −→ −→´ OA, OB ≡ 2 AT , AB [2π]
Angle inscrit- Angle au centre
Propriété Dans le plan orienté dans le sens direct, soient A, B , M et N quatre points distincts d’un cercle C . • Si M et N appartiennent à l’arc alors : orienté AB,
³− á −→ −→´ → −→´ ³á MA, MB ≡ NA, NB [2π] et N • Si M appartient à l’arc AB appartient à l’arc BA, alors : ³− á → −→´ ³á −→ −→´ MA, MB ≡ NA, NB + π[2π]
C b
N
M b
O b
b
B b
A
Angle inscrit- Angle au centre
Propriété Dans le plan orienté dans le sens direct, soient A, B , M et N quatre points distincts d’un cercle C . • Si M et N appartiennent à l’arc alors : orienté AB,
³− á −→ −→´ → −→´ ³á MA, MB ≡ NA, NB [2π] et N • Si M appartient à l’arc AB appartient à l’arc BA, alors : ³− á → −→´ ³á −→ −→´ MA, MB ≡ NA, NB + π[2π]
C b
N
M b
O b
b
B b
A
Angle inscrit- Angle au centre
Propriété Dans le plan orienté dans le sens direct, soient A, B , M et N quatre points distincts d’un cercle C . • Si M et N appartiennent à l’arc alors : orienté AB,
³− á −→ −→´ → −→´ ³á MA, MB ≡ NA, NB [2π] et N • Si M appartient à l’arc AB appartient à l’arc BA, alors : ³− á → −→´ ³á −→ −→´ MA, MB ≡ NA, NB + π[2π]
C b
N
O b
b
B b b
A
M
Angle inscrit- Angle au centre
Propriété
C M b
O b
b
B T
b
bc
A
Dans le plan orienté dans le sens direct, soient A, B et M trois points distincts d’un cercle C . Soit (AT ) la demi-droite tangente à C au point A. Si Alors M appartient à l’arc BA : ³ ´ ´ ³
á á −→ −→ − → −→ MA, MB ≡ AT , AB [2π]
Angle inscrit- Angle au centre
Propriété
C M b
O b
b
B T
b
bc
A
Dans le plan orienté dans le sens direct, soient A, B et M trois points distincts d’un cercle C . Soit (AT ) la demi-droite tangente à C au point A. Si Alors M appartient à l’arc BA : ³ ´ ´ ³
á á −→ −→ − → −→ MA, MB ≡ AT , AB [2π]
Lieux géométriques
Propriété
½ ¾ ³− á → −→´ • E = M ∈ P ; MA, MA ≡ 0[2π] = (AB ) \ [AB ] ½ ¾ ³− á → −→´ • F = M ∈ P ; MA, MA ≡ π[2π] = [AB ]\ {A, B } bc
A bc
B
Lieux géométriques
Propriété
½ ¾ ³− á → −→´ • E = M ∈ P ; MA, MA ≡ 0[2π] = (AB ) \ [AB ] ½ ¾ ³− á → −→´ • F = M ∈ P ; MA, MA ≡ π[2π] = [AB ]\ {A, B } bc
A bc
B
Lieux géométriques
Théorème Soient A et B deux points distincts du plan orienté dans le sens direct, θ 6= k π, k ∈ Z et T un point du plan tel que
³á −→ −→´ AT , AB ≡ θ [2π]. Il existe un unique cercle C passant par A et B et tangent à (AT ) en A. L’ensemble des points M tels ³− á → −→´ que MA, MB ≡ θ [2π] est l’un des deux arcs orientés ou BA privé des points AB A et B.
b
B
b
A
Lieux géométriques
Théorème Soient A et B deux points distincts du plan orienté dans le sens direct, θ 6= k π, k ∈ Z et T un point du plan tel que
³á −→ −→´ AT , AB ≡ θ [2π]. Il existe un unique cercle C passant par A et B et tangent à (AT ) en A. L’ensemble des points M tels ³− á → −→´ que MA, MB ≡ θ [2π] est l’un des deux arcs orientés ou BA privé des points AB A et B.
b
B T
θ b
A
Lieux géométriques
Théorème Soient A et B deux points distincts du plan orienté dans le sens direct, θ 6= k π, k ∈ Z et T un point du plan tel que
³á −→ −→´ AT , AB ≡ θ [2π]. Il existe un unique cercle C passant par A et B et tangent à (AT ) en A. L’ensemble des points M tels ³− á → −→´ que MA, MB ≡ θ [2π] est l’un des deux arcs orientés ou BA privé des points AB A et B.
b
C
B
b
T O
θ b
A
Lieux géométriques
Théorème Soient A et B deux points distincts du plan orienté dans le sens direct, θ 6= k π, k ∈ Z et T un point du plan tel que
³á −→ −→´ AT , AB ≡ θ [2π]. Il existe un unique cercle C passant par A et B et tangent à (AT ) en A. L’ensemble des points M tels ³− á → −→´ que MA, MB ≡ θ [2π] est l’un des deux arcs orientés privé des points ou BA AB A et B.
b
C
B
b
T O
θ b
A
Lieux géométriques
Théorème Soient A et B deux points distincts du plan orienté dans le sens direct, θ 6= k π, k ∈ Z et T un point du plan tel que
³á −→ −→´ AT , AB ≡ θ [2π]. Il existe un unique cercle C passant par A et B et tangent à (AT ) en A. L’ensemble des points M tels ³− á → −→´ que MA, MB ≡ θ [2π] est l’un des deux arcs orientés privé des points ou BA AB A et B.
b
C
B
b
T O
θ b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´
vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA. b
O
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
c
b
O
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
c
b
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
g A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
g A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O
b
g A
Construction du cercle C
Les étapes de construction du cercle C passant par A et B et tangent à la droite (AT ) telle
³á −→ −→´
que : AT , AB ≡ θ [2π] sont : • Construire ∆ la médiatrice de [AB ]. • Construire la demi-droite [AT )
³á −→ −→´ vérifiant AT , AB ≡ θ [2π].
• Tracer ∆0 la perpendiculaire à (AT ) en A. • C est le cercle de centre O point d’intersection de ∆ et ∆0 , et de rayon OA.
b
c
b
B
O g
bb
H A
n
π −→ −→ [2π] Construction de l’arc M ∈ P /(à MA, MB ) ≡ 4
o
• On construit la médiatrice ∆ de
[AB ] • On construit la demi-droite ³á −→ −→´ π [AT ) telle que AT , AB ≡ 4 [2π]
•On construit la droite ∆0 perpendiculaire à (AT ) et passant par A. ∆ ∩ ∆0 = {O }, où O est le centre du cercle C et de rayon OA. •L’ensemble cherché est l’arc situé dans le demi-plan de AB frontière (AB ) ne contenant pas [AT ) privé des points A et B.( en rouge sur la figure).
A b
b
B
n
π −→ −→ [2π] Construction de l’arc M ∈ P /(à MA, MB ) ≡ 4
o
• On construit la médiatrice ∆ de
[AB ] la demi-droite • On construit ³á −→ −→´ π [AT ) telle que AT , AB ≡ 4 [2π]
•On construit la droite ∆0 perpendiculaire à (AT ) et passant par A. ∆ ∩ ∆0 = {O }, où O est le centre du cercle C et de rayon OA. •L’ensemble cherché est l’arc situé dans le demi-plan de AB frontière (AB ) ne contenant pas [AT ) privé des points A et B.( en rouge sur la figure).
A
b b
∆
B
n
π −→ −→ [2π] Construction de l’arc M ∈ P /(à MA, MB ) ≡ 4
o
• On construit la médiatrice ∆ de
[AB ] la demi-droite • On construit ³á −→ −→´ π [AT ) telle que AT , AB ≡ 4 [2π]
•On construit la droite ∆0 perpendiculaire à (AT ) et passant par A. ∆ ∩ ∆0 = {O }, où O est le centre du cercle C et de rayon OA. •L’ensemble cherché est l’arc situé dans le demi-plan de AB frontière (AB ) ne contenant pas [AT ) privé des points A et B.( en rouge sur la figure).
A b
b
π 4
b
∆
T
B
n
π −→ −→ [2π] Construction de l’arc M ∈ P /(à MA, MB ) ≡ 4
o
• On construit la médiatrice ∆ de ∆0
[AB ] • On construit la demi-droite ³á −→ −→´ π [AT ) telle que AT , AB ≡ 4 [2π]
•On construit la droite ∆0 perpendiculaire à (AT ) et passant par A. ∆ ∩ ∆0 = {O }, où O est le centre du cercle C et de rayon OA. •L’ensemble cherché est l’arc situé dans le demi-plan de AB frontière (AB ) ne contenant pas [AT ) privé des points A et B.( en rouge sur la figure).
b
A b
O
b
π 4
b
∆
T
B
n
π −→ −→ [2π] Construction de l’arc M ∈ P /(à MA, MB ) ≡ 4
o
C
• On construit la médiatrice ∆ de
∆0
[AB ] • On construit la demi-droite ³á −→ −→´ π [AT ) telle que AT , AB ≡ 4 [2π]
•On construit la droite ∆0 perpendiculaire à (AT ) et passant par A. ∆ ∩ ∆0 = {O }, où O est le centre du cercle C et de rayon OA. •L’ensemble cherché est l’arc situé dans le demi-plan de AB frontière (AB ) ne contenant pas [AT ) privé des points A et B.( en rouge sur la figure).
b
A b
O
b
π 4
b
∆
T
B
n
π −→ −→ [2π] Construction de l’arc M ∈ P /(à MA, MB ) ≡ 4
o
C
• On construit la médiatrice ∆ de
∆0
[AB ] • On construit la demi-droite ³á −→ −→´ π [AT ) telle que AT , AB ≡ 4 [2π]
•On construit la droite ∆0 perpendiculaire à (AT ) et passant par A. ∆ ∩ ∆0 = {O }, où O est le centre du cercle C et de rayon OA. •L’ensemble cherché est l’arc situé dans le demi-plan de AB frontière (AB ) ne contenant pas [AT ) privé des points A et B.( en rouge sur la figure).
b
A b
O
b
π 4
b
∆
T
B