Percolación: la ley del todo o nada

El fenómeno de percolación ha sido estudiado desde hace varias décadas y describe de una manera simple una variedad de sistemas complejos y auto – organizados en el ámbito de la física, química, biología, matemática y actualmente en ciencias sociales. Los estudios canónicos están dentro de la física estadística y su gran mérito consiste en su simplicidad para determinar criticalidad y transiciones de fase.

La teoría de percolación fue introducida en 1956 por John Michael Hammersley (1920-2004) y Simón Ralph Broadbent (1894-1977) como un modelo para estudiar la propagación aleatoria de un fluido (líquido o gas) a través de un medio. Cuando el mecanismo aleatorio es asociado al fluido, se trata de un proceso de difusión.

Existen ejemplos simples de este proceso, cuando se siente el aroma a un perfume o el olor del humo de cigarro (fluidos) que se difunden de manera aleatoria en el aire (medio). Sin embargo, cuando el mecanismo aleatorio está asociado al medio, entonces se trata de un proceso de percolación. Para ejemplificar esta última idea, el proceso de percolación permite la formación de napas subterráneas, en efecto, las precipitaciones (fluido) cuando llegan a la superficie de la Tierra, descienden de manera aleatoria por la fuerza de gravedad a través de distintas capas y rocas (medio) que componen el suelo hasta llegar al acuífero donde se almacena. En este sentido, se puede afirmar que el proceso de percolación, más adelante percolación, es un concepto relacionado con la transmisión, propagación o filtración de una propiedad (fluido) a través del medio, eso sí, considerando las propiedades del medio. Se pueden mencionar otros ejemplos de percolación (no son los únicos), propagación de: a) epidemias, donde el virus representa el fluido y los individuos contagiados el medio, b) un incendio forestal en el bosque, c) un rumor por redes sociales, etc. Todos estos ejemplos tienen algo en común y es la conectividad, correspondiente a la forma como el fluido se transmite a través del medio.

El proceso de difusión en física y también en química, se conoce desde hace mucho tiempo, incluso un completo marco teórico sustenta sus leyes y ecuaciones, no así la percolación, que es un fenómeno nuevo y actualmente se sigue investigando para formular una teoría robusta y que permita modelar una serie de fenómenos cotidianos. Para ser honesto, hay que destacar que las primeras ideas sobre percolación fueron establecidas por Paul Flory (1910-1985) y Walter Stockmayer (1914-2004), ambos químicos y que desarrollaron su trabajo en crecimiento de polímeros. Se destaca el trabajo de Paul Flory que recibió el premio nobel de Química en 1974 en el ámbito de la físico-química.

La conectividad en los modelos de percolación clásicos es un concepto importante y tiene dos elementos esenciales. Por un lado, representa el medio y por otro, se caracteriza mediante una red. La red más conocida, es la que tiene geometría cuadrada, cuyas propiedades de conectividad depende si el observador está en el vértice o en la arista. Cuando se observa a vecinos cercanos, en el primer caso es 4 y en el segundo 6, respectivamente. De esta manera, la percolación en la red cuadrada y en otras geometrías, depende si el estudio se realiza a través de los vértices (sitios) o aristas (enlaces). De este modo, la información puede propagarse en una red a través de los sitios, como los enlaces y si esta información conecta un extremo con el otro de la red, se dice que la red percola. y pequeñas agrupaciones que han compartido su propia información y otras agrupaciones que han compartido la información de contingencia. En un tiempo posterior, se forman nuevas agrupaciones y otras agrupaciones crecen compartiendo su propia información o la información de contingencia si fuese el caso. Sin embargo, todas las agrupaciones no comparten toda la información de contingencia.

Imagine un individuo que desea compartir una información contingente y relevante con otros individuos que tienen información nula o parcial. Él elige un espacio cerrado para hacerlo y se pone aleatoriamente en una de las 400 sillas en un arreglo cuadrado de 20 sillas de largo y 20 sillas de ancho. A continuación, entran al espacio cerrado, los individuos de uno en uno y comienzan a ubicarse de manera aleatoria en cada silla no ocupada. Sólo pueden compartir información aquellos individuos que están con sus sillas cercanas (percolación de sitios).

Propagación en una red cuadrada de acuerdo a la disposición del observador en vértices o aristas (izquierda). Conectividad de vertices (arriba) indicando 4 sitios cercanos y conectividad de aristas indicando 6 enlaces cercanos (abajo). A la derecha, se ilustra la dinámica de la ocupación en una red cuadrada de sitios, mostrando agrupaciones de distinto tamaño.

En otro momento, un individuo que posee la información de contingencia entra al espacio cerrado y comparte esta información con un pequeño grupo de la sala. De manera casi inmediata, la información de contingencia se propaga a la gran mayoría de sus individuos (pero no toda), cruzando de un extremo al otro la sala, la red ha percolado y se ha producido una transición de fase. La teoría de percolación predice que esto ocurre cuando se alcanza el 60% de la población con la información de contingencia.

La transición de fase ocurre para un valor crítico muy específico y se llama umbral de la percolación y depende de la conectividad y otras propiedades. De esta manera, si existen agrupaciones dispersas que manejan cierta información y el porcentaje está por debajo del umbral de percolación, la red no está conectada (nada). Por el contrario, si existe al menos una agrupación que maneja cierta información y el porcentaje está por sobre el umbral de percolación, la red está conectada (todo). En el caso de la red cuadrada, el umbral de percolación de sitios es 0.5927 (conectividad 4) y para la red triangular el umbral de percolación de sitios es 0.5000 (conectividad 6). Así, un arreglo cuadrado de sitios evita el contagio (mayor umbral de percolación), en cambio, un arreglo triangular de sitios favorece el aprendizaje (menor umbral de percolación).

En las cercanías y en el umbral de percolación ocurren algunos sucesos extraños y complejos. Uno de ellos, es que la agrupación conectada tiene dimensión fractal. Esto significa que su tamaño crece como una ley de potencias y no por la multiplicación de largo por ancho. Por otra parte, se encuentra un carácter de universalidad en algunos números denominados exponentes críticos, que caracterizan la transición de fase de los parámetros de orden (del todo y nada). Estos números no varían si la geometría es diferente (cuadrada, triangular, hexagonal, etc.) o si se trata de un problema de percolación de sitios o enlaces.

Los estudios recientes en teoría de percolación permiten determinar umbrales de percolación en redes más complejas denominadas “Arquimedianas” y en sistemas de múltiple ocupación, tales como dímeros, trímeros y k-meros. Además, cuando se considera el caso más complejo de percolación mixta, esto es, la red percola por sitios y/o enlaces, el punto crítico se transforma en una frontera crítica y sigue siendo válido el carácter de universalidad de los exponentes críticos.

La mayoría de la literatura relacionada a teoría de percolación menciona, como ejemplo, la preparación de un buen café de grano: comienza con el proceso de percolación cuando el agua se filtra por los granos de café y termina con el proceso de difusión, cuando su aroma se propaga por el espacio circundante. Queda claro que, una cafetera, debe considerar todos los aspectos desarrollados en este escrito, para generar un buen café.