Funzione e calcolatore: ambiti, campi, applicazioni. Inchiesta

FUNZIONE E CALCOLATORE. AMBITI, CAMPI, APPLICAZIONI Di Rosanna Festa

Funzione e calcolatore. Ambiti, campi, applicazioni Domande & Risposte Di Rosanna Festa

Come si introduce l’universale?

L’informatica introduce l’induzione di grandi numeri. In questo modo l'induzione è sinonimo di elaborazione e l'elaborazione è sinonimo, a sua volta, di processi intelligenti, di computer, di microelettronica, di universo matematico. Ciascun campo che tratta questi tipi di numeri è trattato in filosofia matematica come ipotesi di filosofia matematica.

Universale e particolare formano un’entità?

L'informazione, invece, è in grado di indurre grandi serie di numeri. Se associamo grandi numeri e grandi serie di problemi si è in grado di ricavare lo sviluppo della filosofia contemporanea ed anche problemi analoghi. Nella realtà affrontiamo sempre problemi di spazio e di tempo, ad una dimensione o nelle dimensioni multiple dello spazio oppure una funzione associata nel tempo o delle informazioni nel tempo.

La filosofia matematica è capace di enunciare un’autonomia?

E' necessario creare, per questo, una stabilità introspettiva e considerare la filosofia matematica metadati prospettici, sia che essi siano metafisicamente rilevanti o che, al contrario, siano “prestati” dalla fisica. Gli enunciati vengono tradotti e elaborati dall'utente generico, oltre che in un linguaggio osservativo, in linguaggi pre-formali, o in estensionalità di tipo diverso, oppure ancora in diverse modalità. Le modalità appartengono a particolari connettivi che generano una quantità o una qualità non stabilita. Esse servono per quantificare, e tradurre, in logiche intensionali.

Allora è necessaria una conversione di aspetti analitici e sintetici?

Possiamo tradurre serie di numeri, algoritmi, significati e componenti logiche, sicché per quantificare grandi quantità di numeri per esempio, nell'ingegneria delle strutture e delle architetture, prendiamo in riferimento sempre una traduzione del termine o dell'algoritmo appartenente alla serie numerica. Nei complessi e nella sintesi in chimica e in fisica il termine di conversione in ingegneria non sempre permette che l'equazione si risolva in una unica serie. Si può prendere però in considerazione la teoria formalista, oltre alla teoria classica, per stabilire che la serie sia tradotta in linguaggio di estensione. Troviamo così che sistemi lineari e sistemi fisici permettono diversi tipi di dimostrazione, sia dal punto di vista sintetico, sia come unità divisibili.

Come questi aspetti analitici e sintetici si applicano alla matematica?

I sistemi lineari sono osservabili come punti di misurazione, mentre sono definiti per sistemi di coordinate, oppure venivano, per esempio, con Descartes, divisi per numeri e grandezze stabilite, o ancora, in fisica e fisico-chimica, ripartiti in serie, partendo da (a,b) e (c,d) seguendo le istruzioni, per derivare sistemi speciali, valide anche per un calcolatore.

La matematica più complessa ammette funzioni analitiche?

Per esempio, il sistema di Leibniz deve coerentemente tradurre elementi della fisica in elementi in corrispondenza di enti matematici, come, per esempio, enti matematici semi-algebrici, componenti booleiane, funzioni esponenziali. La differenza minima in questo caso è utile per elaborare un'unità di calcolo, (1) però troviamo delle equazioni esponenziali che sono spazialmente definite (2).

L'equazione di Dirac ha a che fare con numeri complessi perché bisogna stabilire sempre quale misurazione dobbiamo svolgere in un tempo breve e se la serie permette di stabilire la frequenza dei numeri complessi.

(1) L. Krauss, L'uomo dei quanti, La vita scientifica di Richard Feynman, Le Scienze, 2011, pag. 24. Il principio di Fermat è un modo matematico elegante di determinare il cammino percorso dalla luce senza ricorrere ad alcuna definizione meccanicistica in termini di onde o di particelle. L'unico problema è che quando uno pensa a una base fisica di questo risultato sembra quasi suggerire “intenzionalità”: proprio come un pendolare nel traffico del lunedì mattina che ascolta le notizie sul traffico, sembra quasi che la luce consideri tutti i possibili cammini prima di imbarcarsi nel suo viaggio, e finisca per scegliere quello che lo porterà a destinazione più velocemente. [..] Il principale contributo di Lagrange alla fisica, comunque, è probabilmente la sua riformulazione delle leggi del moto. Le leggi di Newton mettono in relazione il moto dei corpi con le forze agenti su di essi. Lagrange riuscì a dimostrare che le leggi di Newton si possono derivare anche nel seguente modo: scrivendo la quantità matematica descritta sopra [la quantità che stabilisce esattamente un rapporto per definirne le traiettorie e le descrive ottimizzandole] (che ora possiamo chiamare con cognizione di causa “lagrangiana”) e determinando precisamente quale traiettoria avrebbe il risultato di minimizzare questa quantità. Il processo di minimizzazione, che richiede l'analisi differenziale (anche questa inventata da Newton) diede luogo a descrizioni matematiche molto diverse del moto da quelle date dalle leggi di Newton, ma, nello spirito di Feynman, erano matematicamente identiche, anche se “psicologicamente” differenti.

(2) L. Krauss, L'uomo dei quanti, La vita scientifica di Richard Feynman, Le Scienze, 2011, pag. 105. Una complicazione della teoria di Dirac è che una singola equazione è in realtà composta di quattro componenti separate, una per descrivere gli elettroni con spin su, una per gli elettroni con spin giù, una per i positroni con spin su e una per i positroni con spin giù. Visto che il concetto normale di spin richiede tre dimensioni (un piano in cui ruotare e un asse perpendicolare attorno a cui ruotare), Feynman pensò che le cose avrebbero dovuto essere più semplici considerando dapprima un mondo con una sola dimensione spaziale e una temporale, in cui anche i vari cammini permessi fossero banali; un mondo in cui ci si può muovere solo avanti e indietro.

Riuscì a ricavare una versione semplificata dell'equazione di Dirac adatta a quel mondo a due dimensioni a patto che a ogni “inversione di marcia” di un elettrone l'ampiezza di probabilità del corrispondente cammino venisse moltiplicata per un “fattore di fase” che in questo caso era un “numero complesso”, ossia un numero esotico che coinvolge la radice quadrata di -1. I numeri complessi possono comparire nelle ampiezze di probabilità perché, ricordiamo, le probabilità vere e proprie dipendono dal quadrato delle ampiezze, cosicché nei risultati finali compaiono solo numeri reali.

L'idea che lo spin potesse in qualche modo produrre “fasi” aggiuntive nel calcolo delle probabilità fu una premonizione.

Tuttavia quando Feynman cercò di andare oltre il caso unidimensionale associando fattori di fase più complicati a elettroni che svoltavano ad angoli qualunque, trovò risultati privi di senso e non riuscì ad arrivare a nulla di analogo all'equazione di Dirac.

Le varie e disparate alternative esplorate per riformulare la teoria portarono a pochi progressi, ma c'è un settore in cui la somma sui cammini di Feynman si rivelò particolarmente utile. La relatività speciale ci dice che l'”adesso”di una persona può non essere l'”adesso” di un'altra, e in particolare che osservatori in moto relativo hanno concetti diversi di simultaneità. La relatività speciale spiega come questo concetto locale di simultaneità sia miope, e come le leggi fisiche siano indipendenti dalle preferenze degli osservatori individuali riguardo all'“adesso”.

Il problema della rappresentazione convenzionale della meccanica quantistica era però la sua esplicita dipendenza dalla definizione dell'”adesso” in cui si stabilisce una data configurazione quantistica per poi determinarne l'evoluzione in tempi futuri. Così facendo si nasconde l'invarianza delle leggi fisiche, perché nel momento in cui si sceglie un particolare riferimento spaziale per definire la funzione d'onda iniziale e un istante temporale da chiamare t=0, si perde il contatto diretto con la soggiacente bellezza relativistica, indipendente dal sistema di riferimento, dalla teoria.

La rappresentazione spazio-temporale di Feynman, tuttavia, era precisamente calibrata per rendere manifesta l'invarianza relativistica. Anzitutto era definita in termini di funzioni, le lagrangiane, che si possono scrivere in forma esplicitamente invariante.

Il prolungamento analitico di una funzione analitica è stato già discusso da Popper?

Nella Nota sulla probabilità (1938) Popper configura diverse interpretazioni di un sistema formale presupponendo che il sistema stesso sia dato come parte di assiomi e che sia soggetto a una certa probabilità. Dunque la legge distributiva delle frequenze osservabili sarà complessa, e si può scomporre in diversi sistemi. Questi sistemi prevedono da una parte la corroborabilità di alcuni elementi di corrispondenza ad alcuni ingressi del sistema, che viene assunta come probabilità relativa, dall'altra parte viene semplificata un'equazione lineare, in altre parole un sistema di probabilità che dia due soluzioni, e che permetta di ottenere un'uscita o una possibile soluzione al sistema. Noi prevediamo nel sistema formale che alcun soluzioni siano date, e che alcuni settlement siano suddivisibili per se stessi, come in una configurazione elettronica. Il sistema formale in questo caso è la modalità con cui le frequenze hanno un periodo o una successione nel sistema indipendente, dato che Popper assume che le probabilità si comportano nel modo richiesto dagli assiomi circa la frequenza di rilevazione dopo essere stato comparato con un sistema precedentemente identificato.

La probabilità del sistema in ingresso prevede un registro e un protocollo di comunicazione?

Il modello di riferimento è un controller, e quindi esistono osservatori di stato che si comportano in modo diverso in base all'interpretazione logica e all'osservazione di dati iniziali. Nel linguaggio, per esempio, ciò comporta modalità operative dallo scheduling a parametri di sincronizzazione del linguaggio, oltre al feedback, comportandosi in modo molto simile a un controllo adattivo. (1) Questa procedura computazionale viene applicata alla filosofia della matematica?

Nella filosofia analitica, alcune logiche di descrizione del mondo fisico applicano sistemi diversi in base a dei calcoli sulla prospettiva di trovare dei linguaggi osservativi, si tratta di stabilire qual'é il

nesso inferenziale tra due sistemi equiparati nella logica del secondo ordine e nei superlativi riconducibili alla logica matematica in Godel, come nelle forme polinomiali, si possono stabilire due ipotesi, cioè che esistano forme di logiche di descrizione del mondo fisico in grado di essere risolte in un'equazione di primo grado e che il sistema sia equiparato a sistemi derivati, come per l'induzione, o la deduzione, abbiamo quindi dei sistemi che vengono sottoposti a un'interpretazione dello stessa frequenza di variazione degli schemi, che in logica hanno una variazione in base a logiche di ordine superiore, e si può stabilire se i sistemi derivabili attraverso logiche del primo ordine hanno la probabilità di svilupparsi entro un limite, alla sola sequenza delle ipotesi di derivabilità di 2n + k in altre forme, come 3n + k -1. (2) Questa procedura computazionale chiamata pi calcolo si applica alla filosofia della scienza?

In chimica e in fisica, infatti, a partire dalle conoscenze sulla materia, abbiamo trovato in fisica che le teorie ondulatorie riconducono oltre a una scientificità in senso stretto, e in chimica che le proporzioni semplici raffigurano comunque dei composti, rendendo una significatività del termine fisico e chimico in relazione alla modalità di anteporre il termine stabilito tramite il termine noto, come nel modus ponens, come nella filosofia empirista. Ovviamente, ciò comporta sia la modifica dei linguaggi osservativi, sia lo sviluppo di probabilità statistiche. Questo particolare è stato profondamente discusso nelle teorie del Positivismo nella filosofia della scienza nel 19° secolo.

“Le scoperte fatte dopo il 1890 condussero alla detronizzazione della fisica classica in favore della fisica dei quanti; che – a circa 100 anni di distanza dalla scoperta, nel 1803, di John Dalton (1766 – 1844) dell'atomo chimico, da lui considerato la più piccola unità indivisibile della materia - Ernest Rutherford (1871 – 1937) avrebbe dimostrato, nel suo lavoro sulla radioattività, che gli atomi si possono spezzare; e si aggiunga che le idee newtoniane del tempo e dello spazio assoluti – che per duecento anni avevano dominato la fisica – furono abbattute (1905) dalla teoria della relatività di Albert Einstein, secondo la quale tempo e spazio sono relativi all'osservatore. A mano a mano che la scienza faceva tali balzi innanzi, si andava aprendo un abisso sempre più vasto fra scienziati e filosofi, così che alcuni fisici, verso la fine del secolo, tentarono di riunire le due discipline e di elaborare una filosofia strettamente scientifica. Fra i più arditi e influenti fu Ernst Mach (1838 – 1916), il quale cercò di reinstaurare l'antica tradizione empirista del Locke, del Berkeley e di Hume. […] Un programma simile veniva intanto proposto anche da William Kingdon Clifford (1845-79), il quale, come Mach, credeva che la filosofia dovesse rivedere Hegel e le innovazioni hegeliane e ritornare a Locke, Berkeley e Hume, se voleva riconciliarsi con la nuova scienza. Clifford, di professione cultore di geometria, sostenne, alla luce delle nuove scoperte della geometria noneuclidea che questa scienza è una “scienza fisica”, i cui assiomi non sono a priori o metafisici, ma basati sull'esperienza. L'opera di Clifford fu continuata da Karl Pearson (1857-1936), il quale diede un'analisi empiristica del concetto di “legge scientifica” sotto forma di probabilità statistiche.

In Francia il fisico Jules-Henri Poincarè (1854-1912) cercò di epurare la scienza dalla metafisica.

Poincarè fu anche più pronto di Mach a considerare tutti i concetti astratti della scienza come puramente convenzionali; egli sostenne che principi come quello secondo cui la natura è uniforme sono per larga parte estetici”. (3)

(1) K. P opper, Logica della scoperta scientifica, pag. 352.

(2) K. Popper, Logica della scoperta scientifica, pag. 156.(1) (3) I mondi dell'uomo, Pensiero, pag. 180

Come distinguiamo la filosofia della matematica dalla filosofia della scienza?

Uno dei criteri di demarcazione delle teorie fisiche nel materialismo materialistico presupponeva che la fisica, oltre a essere alla base delle altre scienze, fosse un sistema di assiomi attraverso cui è possibile dedurre le cause materiali. L'incompatibilità tra meccanicismo e materialismo era separata da principi di determinismo metafisico: due sistemi si contrapponevano nel meccanicismo materialistico, da una parte la fisica classica e le nuove teorie fisico-chimiche, dall'altra il metodo scientifico e il rigorismo probabilistico. Questo rigorismo venne considerato come base per la probabilità classica, a causa del legame tra aritmetica e geometria.

Gli sviluppi della Relatività e della meccanica quantistica introdussero lo stesso numero di fasi meccaniche in relazione alla probabilità di trovare un sistema meccanico in uno stato fisico. Per questo le scienze moderne legate all'ottimizzazione (informatica, fisica, teoria della computazione) prevedono l'appartenenza a un sistema deterministico, ma è necessario separare la probabilità dalla matematica laplaciana e così l'assiomatizzazione della geometria dalla logica e dalla geometria classica. Gli altri tipi di materialismo sono il materialismo scientistico-sociologico e il materialismo evoluzionistico-psicofisico. Questi tipi di materialismo entrano a far parte di un sistema di filosofia descrittiva con l'intento di separare la fisica classica dalla fisica atomica. L'aspetto linguistico, così come quello metafisico, come in logica modale, separa nel meccanicismo materialistico le categorie

dalle proposizioni, indicandole come proprietà con un significato più vasto, definendone la teoria fondazionale. Il sistema, così, appare un sistema “probabilistico”, oppure un sistema di variabili numeriche, per cui il termine “analitico” fa parte della distinzione tra mondo fisico e universo dei termini fisici e chimici. Per uno di questi motivi anche spazio e tempo fanno parte di una concezione classica , normalmente quella newtoniana, mentre la base scientista è quella storicocomparativa tra fisica aristotelica e scienza moderna.

Come la filosofia della scienza ha superato la rivoluzione scientifica di Galileo, Cartesio, Bacone?

Infatti il logicismo, che rappresenta un riduzionismo metodologico, prevede una definizione del concetto fondamentale di assioma nella logica. La mathesis universalis, a opera di Leibniz, costituisce una delle metodologie su cui basare la matematica, oppure un sistema deduttivo e al tempo stesso una teoria fondamentale delle relazioni dinamiche o statiche nella fisica classica. Il tentativo di Leibniz di una “mathesis universalis” avvalorò le seguenti ipotesi: – il metodo ipotetico-deduttivo è ontologicamente valido, infatti la fisica prevede tutti e sei i tipi di riduzionismo – è possibile dimostrare teoremi a partire da ipotesi indotte attraverso il metodo deduttivo, così per mezzo del filosofo Nagel queste ipotesi devono essere verificate anche per mezzo della geometria – una geometria coerente come quella analizzata da Gauss forma delle eccezioni al concetto di matematica e alla geometria degli spazi curvi.

L'enumerazione nel campo della definizione del numero e altri concetti, oltre a costituire un sistema nominalista, parte dalla definizione della nozione elementare di “insieme” per poi essere esteso alla teoria della probabilità e alle funzioni composte.

Come nella filosofia della scienza si è ceduto alla verità per i fatti importanti e centrali?

Nella descrizione di quanto la macchina osserva, simulando un'attività percettiva, si contengono rapporti di selezione dati dalla rotazione e dall'accensione di interruttori, e unità di semantizzazione, ordini di indicazione e la situazione linguistica, il riferimento alla costruzione attraverso un'attività di analisi mediante induzione per cui è importante dotarsi di un calcolatore dotato dell'unità programmi, e costituito dalle usuali unità di controllo, di elaborazione e di memoria mediante di un dispositivo in grado di tradurre linguisticamente degli osservatori, costituisce una parte del progetto di calcolo delle matrici, come in una descrizione delle varianti esponenziali. L'uso delle correlazioni è sempre uguale al numero dei correlatori che passano attraverso l'unità del calcolatore, calcolandone una media.

Come la verità della filosofia verrebbe applicata al calcolatore?

La parte del calcolatore oppure fase di placement deve combinare un'unità del calcolatore con la parte logica e la parte logico-combinatoria della macchina. Questo consiste anche nell'aspetto analogico, per cui in logica si devono formare nuove classi e stabilirne un ordine per quelle già formate. (1) (1) Russell, Introduzione alla filosofia matematica, pag. 99. Il numero ordinale della classe di tali ordinali, si può dimostrarlo, è maggiore di Na; è il numero che Cantor chiamava N1. Il numero ordinale della serie di tutti gli ordinali che si possono scegliere da un N0 in ordine di grandezza, si chiama ω1. Pertanto una serie in cui numero ordinale è ω1, ha un campo il cui numero cardinale è N1. Possiamo passare da ω1 e N1 a ω2 e N2 con un procedimento esattamente analogo a quello con il quale siamo passati da ω e N0 a ω1 e N1. E non c'è nulla che ci impedisca di passare indefinitamente in questo modo a nuovi cardinali e nuovi ordinali.

Non si sa se 2N0 sia uguale a uno qualsiasi dei cardinali della serie degli Aleph. Non si sa neppure se sia paragonabile in ordine di grandezza ad essi; tutto ciò che sappiamo è che non può essere né uguale né maggiore né minore di uno qualsiasi degli Aleph. Questo problema è connesso con l'assioma moltiplicativo, di cui tratteremo tra breve.

Tutte le serie considerate in questo capitolo sono dette “ben ordinate”. Una serie ben ordinata è una serie che ha un inizio, termini consecutivi, e un termine successivo dopo che si è operata una selezione qualsiasi dei suoi termini, purché non vi siano altri termini dopo la selezione. Questo esclude, d'altra parte, le serie compatte, nelle quali esistono termini tra due termini qualsiasi, e le serie che non hanno inizio, o nelle quali parti subordinate non hanno inizio. La serie degli interi negativi, in ordine di grandezza, che non hanno inizio, ma che finisce con -1, è ben ordinata, essendo di fatto una progressione. La definizione è: Una serie è “ben ordinata” quando ogni sua sub classe (ad eccezione naturalmente della classe nulla) ha un primo termine.

Un numero “ordinale” esprime il numero--relazione di una classe ben ordinata. È pertanto una specie di numero seriale.

Tra le serie ben ordinate, si applica una formula generalizzata dell'induzione matematica. Si dice che una proprietà è “transfinitamente ereditaria” se, appartenendo a una certa selezione dei termini di una serie, appartiene anche al loro immediato successore, a condizione che esista.

In una serie ben ordinata, una proprietà transfintamente ereditaria che appartiene al primo termine della serie appartiene alla serie intera. Questo fatto rende possibile dimostrare molte proposizioni concernenti serie ben ordinate che non sono vere per tutte le serie. È facile disporre i numeri induttivi in serie che non sono ben ordinate e in serie compatte. Ad esempio, possiamo adottare il seguente criterio: consideriamo i numeri decimali da 0,1 (incluso) a 1 (escluso), disposti in ordine di grandezza. Essi formano una serie compatta; tra due termini qualsiasi ne esistono infiniti altri.

Togliamo ora la virgola a ogni decimale; otterremo così una serie compatta di tutti gli interi finiti ad eccezione di quelli divisibili per 10. Se volessimo includere anche quelli divisibili per 10 non incontreremmo difficoltà alcuna; invece di partire da 0,1, consideriamo tutti i decimali minori di 1, ma, quando togliamo la virgola, portiamo alla destra ogni zero che stia all'inizio del decimale. Ma, tralasciando questo caso, e tornando ai decimali che non hanno zeri all'inizio, possiamo stabilire la regola per la disposizione degli interi nel modo seguente: di due interi che non iniziano con la stessa cifra quello che comincia con la cifra più piccola viene prima. Tra due numeri che iniziano con la stessa cifra mentre differiscono per la seconda, quello con la seconda cifra minore viene prima, ma prima di tutti viene il numero senza seconda cifra; e così via.

In generale, se due interi coincidono nelle prime n cifre, ma non nella (n+1)-sima, quella che viene prima è quello che non ha la (n+1)-sima cifra, ovvero la contiene minore del secondo. Questa reogla di disposizione, dà origine a una serie compatta che contiene tutti gli interi non divisibili per 10.

(1.1)

Russell, Introduzione alla filosofia matematica, pag. 128. E'facile dimostrare che una classe riflessiva contiene sottoclassi con N0 termini. (La classe stessa può avere, naturalmente, N0 termini). Dobbiamo provare, possibilmente, che data una classe non induttiva qualsiasi, è possibile scegliere dai suoi termini una progressione. Non esiste alcuna difficoltà nella dimostrazione che una classe non induttiva deve contenere più termini di una classe induttiva o, il che è la stessa cosa, che se a è una classe non induttiva ed n è un numero induttivo qualsiasi, esistono sub-classi di a che hanno n termini. Possiamo formare quindi insiemi di sottoclassi finite di a: prima una classe senza termini, poi le classi che hanno un termine (tante quante sono i membri di a), quindi le classi che hanno 2 termini, e così via. Otteniamo così una progressione di insiemi di sottoclassi, ogni insieme consistendo di tutte quelle classi che hanno un certo numero definito di termini.

Finora non abbiamo usato l'assioma moltiplicativo, ma abbiamo dimostrato solamente che il numero degli insiemi di sottoclassi di a è un numero riflessivo, cioè che, se m è il numero dei membri di a e 2m è il numero degli insiemi di sottoclassi, allora, purché m non sia induttivo, 2²m deve essere riflessivo. Ma questo sta molto lontano da quello che abbiamo stabilito di dimostrare. Per andare oltre questo punto, dobbiamo usare l'assioma moltiplicativo. Da ciascun insieme di sottoclassi scegliamone uno, omettendo la sub-classe formata dalla sola classe nulla. Cioè a dire, selezioniamo una sottoclasse contenente un termine, diciamo a(1); una contenente due termini, a(2); una contenente tre termini, a(3); e così via. (Possiamo fare questo se ammettiamo l'assioma moltiplicativo; altrimenti non sappiamo se è possibile farlo sempre o no). Abbiamo ora una progressione, a(1), a(2), a(3) di sottoclassi di a, invece di una progressione di insiemi di sottoclassi, siamo quindi un passo più vicini alla nostra meta. Sappiamo ora che, ammettendo l'assioma moltiplicativo, se m è un numero noninduttivo, 2m deve essere un numero riflessivo. Il passo successivo consiste nel notare che, anche se non possiamo essere sicuri che nuovi membri di a si aggiungono ad ogni passaggio alla progressione a(1), a(2), a(3).., possiamo comunque essere certi che nuovi membri si aggiungono ogni tanto. Facciamo un esempio. La classe a(1) che consiste di un termine, sta all'inizio; supponiamo che il suo solo termine sia x(1). La classe a(2) che consiste di due termini, può contenere o non contenere x(1), se lo contiene, introduce un nuovo termine; se non lo contiene, deve introdurre due nuovi termini, diciamo x(2) e x(3). In questo caso è possibile che a(3) consista di x(1), x(2), e x(3), e non introduce così nuovi termini, ma in tal caso deve essere a(4) a introdurre un nuovo termine. Le prime n classi a(1), a(2), a(3)..a(n) contengono al massimo 1+2...+n termini, cioè n(n+1)/2 termini; sarebbe quindi possibile se non vi fossero ripetizioni nelle prime n classi, andare avanti con sole ripetizioni dalla (n+1)-esima classe alla (n+1)n/2-esima classe. Ma a questo punto i vecchi termini non sarebbero più sufficienti per formare un'altra classe con il numero giusto di membri, cioè [n(n+1/2]+1, e quindi

altri termini devono ora, se non prima, essere aggiunti. Ne segue che se togliamo alla progressione a(1), a(2), a(3).., tutte le classi che sono composte esclusivamente di membri presenti in classi precedenti, avremo ancora una progressione. Chiamiamo la nuova progressione b(1), b(2), b(3)..(avremo a(1)=b(1) e a(2)=b(2), perché a(1) e a(2) “devono” introdurre nuovi termini. Possiamo ora avere o non avere che a(3)=b(3), ma, generalmente parlando, b(m) sarà a(n) dove n è un numero maggiore di m, cioè le m sono alcune delle a).

Alcuni termini delle affermazioni di Peirce sulle serie continue sono riduttive, perché le quantità di infinitesimi possiedono proprietà distinte ma soprattutto delle quantità reali. Poiché Kant teorizza che per parlare in termini di numeri non bisogna tralasciare la matematica che si presuppone essere una vera scienza, e quindi il teorema di Fermat è valido, se associati a insiemi numerabili (finiti) si ottengono delle relazioni algebriche, se denumerabili (infiniti numerabili) si ottengono delle quantità più precise, e questi ricorrono più spesso nelle serie continue e nel calcolo di potenze (e nel continuo). (1) La parte della filosofia matematica di Peirce per cui le quantità infinitesime, che costituiscono la struttura della continuità, non sono esattamente esprimibili e discriminabili e quindi la collocazione in una serie lineare consiste in una affermazione critica, infatti, nella teoria della complessità bisogna fare riferimento all'origine della funzione se questa viene estesa a più punti, infatti questa collocazione può essere antitetica. La matematica è lo studio degli indefiniti (infinitives) mentre la logica è lo sviluppo degli indicatori (indicators) oppure degli stati (signs) in cui la definizione logica è assunta come vera o probabile. In matematica esistono anche entità indefinite (undefined) perché l'ente matematico è considerato affine al calcolo matematico di natura statica. Cosa si intende per referenze dell'infinito matematico e delle sue relazioni formali, oltre ai ragionamenti condizionali, che insieme formano le relazioni con una certa validità o anche la struttura algebrica? Intese come relazioni biunivoche, a partire da ciò che viene dedotto dal concetto di infinito, abbiamo ricavato risultati dall'ipotesi di dati dimostrabili più in generale a partire dall'equazione fondamentale, cioè dalla formula stabilita dal connettivo condizionale. (2) La teoria degli insiemi è un argomento importante per la matematica applicata, perché in matematica applicata possiamo applicare diversi tipi di generalizzazione di numero. (3) I fondamenti nella risoluzione peirceiana riguardanti le proprietà associate si trovano nell'analisi matematica, in particolare le relazioni di identità, e sono parte del significato del termine matematico, anche in epistemologia. Così in filosofia della matematica si utilizzano gli indici matematici come indici del termine ricavato dal punto di vista strettamente matematico. Peirce non avverte la crisi dei fondamenti della matematica perché basata esclusivamente su un criterio “matematico-sintetico”, e non “logico-analitico”. Il problema è descrivere il sistema delle relazioni della matematica all'interno di un processo, oppure di una filosofia analitica, rendendo chiara la distinzione tra logico-analitico e analitico in senso stretto.

Come avviene la spiegazione dei concetti in epistemologia insieme alla filosofia della conoscenza?

Quindi l'esistenza di ipotesi circa le relazioni, in modo simile a un sistema di classificazione, suggeriscono che si limita la costruzione umana della matematica alla possibilità di inventare diagrammi che formalizzano relazioni che di per sé sono più numerose e più varie di quelle catturabili dalla matematica; in questo modo si evitano i paradossi come quello di Russell. In filosofia della matematica ciò impone che le proiezioni siano parte del costruttivismo e di una matematica più vasta, e che esista una separazione nelle variabili indipendenti, come nella statistica e nella probabilità.

(1) Perché la definizione kantiana possa avere un certo valore occorrerà interpretarla in combinazione con il carattere aristotelico della continuità. L'aristotelicità del continuo consiste nel definire un continuo come “ciò le cui parti hanno un limite in comune”, il che significa affermare che “un continuo contiene un punto terminale appartenente a ogni serie interminabile di punti che esso contiene”. L'implicazione dal punto di vista geometrico è che “fra due punti qualsiasi, può essere presa una serie abnumerabile di punti”. Due sono i corollariche Peirce ricava da questa definizione. Il primo è che “la continuità suppone quantità infinitesimali”, ossia che per spiegare la duplice proprietà della kanticità e dell'aristotelicità in termini di numeri occorra ammettere la presenza di quantità tali da sfuggire sia al sillogismo della quantità trasposta sia al teorema di Fermat, la cui applicabilità è il discrimine rispettivamente per gli insiemi enumerabili (finiti) e denumerabili (infiniti numerabili).

(2) G. Maddalena, Metafisica per assurdo, Peirce e i problemi dell'epistemologia contemporanea, pag.141 (3) G. Maddalena, Metafisica per assurdo, Peirce e i problemi dell'epistemologia contemporanea, pag. 144-145

Il secondo metodo di partizione riguarda l'appartenenza della teoria a un modello di casistica semplice che presenta probabilità disgiunte negli eventi secondari.

“Poi, quando introdusse [alla National Academy of Sciences] la sua idea dei positroni visti come elettroni che viaggiano indietro nel tempo, gli fu chiesto se questo implicasse che in alcuni dei cammini spazio-temporali presenti nei calcoli potevano comparire diversi elettroni dello stesso stato quantico, in chiara violazione del principio di Pauli. Feynman rispose affermativamente, perchè dopo tutto in questo caso i diversi elettroni non erano diverse particelle distinte, ma la stessa particella che andava avanti e indietro nel tempo. Feynman ricordò in seguito il disturbo che quella risposta provocò.

Tutto ciò indusse Bohr a mettere in discussione la stessa fondatezza fisica della rappresentazione spazio-temporale di Feynman, sostenendo che l'idea di cammini spazio-temporali violava i

fondamenti della meccanica quantistica. A questo punto Feynman rinunciò a convincere l'uditorio della correttezza del suo schema. Bohr si sbagliava, naturalmente. La somma sui cammini di Feynman metteva bene in chiaro che si devono considerare simultaneamente molte traiettorie diverse nel calcolare i risultati fisici, e infatti il figlio di Bohr andò poi a scusarsi da Feynman, dicendogli che suo padre aveva capito male. Ma il tipo di domande rifletteva chiaramente il profondo scetticismo dell'uditorio e il crescente dubbio sulla coerenza del metodo sviluppato da Feynman, il quale stava semplicemente chiedendo troppo: nonostante la presenza di una delle menti più brillanti della fisica del XX secolo, infatti, non ci si poteva adattare che il pubblico si adattasse in una sola presentazione a questo modo totalmente nuovo e ancora incompleto di pensare ai processi fondamentali. Dopo tutto, lo stesso Feynman aveva impiegato anni e migliaia di pagine di conti, per svilupparlo. […] Con il suo metodo della somma sui cammini, Feynman sentiva di essere nel giusto Aveva calcolato già quasi tutto quello che si poteva calcolare nella QED e i risultati concordavano con quelli ottenuti con altri metodi, quando questi ultimi esistevano. Costruiva le sue tecniche strada facendo, per poter affrontare i problemi specifici di volta in volta.[...] Durante l'estate del 1948 raffinò le sue idee di calcolo, le generalizzò e ne sviluppò di più potenti. In questo modo, sospetto, sentiva che avrebbe potuto comunicare più facilmente i suoi risultati alla comunità dei fisici. Rendendo le tecniche di calcolo più concise e più generali, forse poteva riuscire a far mantenere la visione d'insieme senza che ci si perdesse nei dettagli. Finalmente nella primavera del 1949 Feynman arrivò al sofferto completamento dei suoi epocali articoli Theory of Positrons e Space-time approach to QED, che esponevano essenzialmente le basi delle sue idee e dei calcoli eseguiti nei due anni precedenti.”

Il terzo metodo era di suddividere le proprietà in modo lineare, usando metodi avanzati e riversando i calcoli matematici in un prospetto d'insieme basato su scalabilità, previsione, attendibilità.

“Nello stesso periodo, nel 1981, Feynman iniziò anche a pensare più in dettaglio ai fondamenti teorici del calcolo, e tenne un corso, insieme ai suoi colleghi del Caltech John Hopfield e Carver Mead, su argomenti che spaziavano dal riconoscimento dellae forme alla computabilità stessa. Il primo lo aveva sempre affascinato, e su questo aveva fatto proposte avventate e al tempo non attuabili per i computer. Il riconoscimento degli schemi è tuttora al di là delle capacità di quasi tutti i computer, che è la ragione per cui quando si entra in molti siti bisogna scrivere una parola che viene presentata sottoforma di figura, con le lettere alternate, per verificare che siano al contempo prodotti in serie e non un programma automatico.

A catturare la sua attenzione fu proprio quest'area, la fisica del calcolo, e la questione correlata, il calcolo della fisica, e Feynman scrisse una serie di articoli scientifici […] Gli automi cellulari sono fondamentalmente un insieme di oggetti discreti su una griglia, che si possono programmare secondo semplici regole, che a ogni unità di tempo determinano lo stato degli oggetti, a seconda dello stato degli oggetti vicini. Perfino regole molto semplici generano schemi estremamente complicati. Feynman era senza dubbio interessato a scoprire se il mondo reale si comportasse così, con regole locali semplici in ogni punto nello spazio tempo, che globalmente producono la complessità che vediamo su larga scala. Ma la sua attenzione si rivolse a operazioni sul calcolo e la meccanica quantistica. Si chiese come si potessero definire algoritmi per un computer per simulare un sistema quantomeccanico, invece di uno classico. Dopo tutto, le leggi fondamentali della fisica erano diverse. Si sarebbe dovuto trattare il sistema in questione in modo probabilistico e, come aveva già mostrato nella sua riformulazione del mondo quantistico, per seguire la sua evoluzione nel tempo bisognava calcolare le ampiezze di probabilità (e non le probabilità) di diversi cammini alternativi allo stesso tempo. Ancora una volta la meccanica quantistica, come l'aveva formulata lui, sembrava richiedere un computer che potesse fare calcoli diversi in parallelo, combinando i risultati alla fine dei calcoli.

Le sue affascinanti ipotesi in materia, contenute in una serie di articoli scritti tra il 1981 e il 1985, lo portarono in una nuova direzione, che si rifaceva alla sua ipotesi del 1959. Invece di usare un computer classico per simulare il lavoro quantomeccanico, si poteva forse progettare una macchina

i cui elementi erano così piccoli da essere essi stessi governati dalle leggi della meccanica quantistica. In questo caso, come sarebbe cambiato il modo di fare i calcoli?

L'interesse di Feynman su questo argomento ebbe apparentemente origine dal suo interesse per la meccanica quantistica. […] Per indagare sulla questione, Feynman cercò di pensare se fosse possibile simulare con precisione il comportamento quantistico con un sistema di calcolo classico, che opera con le probabilità classiche. La risposta deve essere negativa, perché se non fosse così sarebbe come dire che il mondo quantistico è matematicamente equivalente a un mondo classico in cui alcune grandezze non vengono misurate. In un mondo del genere si riuscirebbe a determinare solo i risultati probabilistici delle variabili che si possono misurare, perché non si saprebbe il valore delle “variabili nascoste”. In questo caso la probabilità di un qualunque evento osservabile dipenderebbe dal valore ignoto della grandezza inosservabile.”

Queste partizioni sono necessarie alla storia della filosofia della scienza?

Questo comporta ovviamente un notevole sforzo al livello delle grandezze osservabili, ma ciò riguarda sia la probabilità di trovarci in uno stato del computer che oscilli tra il sistema quantomeccanico, lo spintometro, e lo stato negativo dell'osservazione del calcolo semi-automatico.

Poiché, se l'operazione deve essere compiuta dal computer in automatico, anche la serie che è una grandezza osservabile ridurrà gli stati dell'osservazione a diversi modi di “spingere” la particella verso un operazione di calcolo automatico. Qui le grandezze inosservabili hanno la funzione di annullare alcune operazioni in automatico del computer non programmato, sia per le grandezze dei numeri, sia per la quantomeccanica.

Si dice che c'è una probabilità elevatissima di elevare al quadrato un bit di un computer, e si afferma anche che il calcolo in parallelo nei computer non può equivalere a quello dei supercomputer.

Questo, per motivi di programmazione standard, ma anche per lo status di definizione delle variabili nascoste.

In seguito, in ingegneria quantistica, sono stati scoperti dei super programmatori o dei programmi di compilazione i quali determinano la configurazione di un modello fisico al pari di quello di un computer, perché esistono delle variabili “da comporre”. Come dire, che la quantomeccanica permette di soffermarsi su punti analoghi alla meccanica, ma con molta più elasticità ed usabilità.

Normalmente, l'induzione (1) è giustificata da un principio di induzione o di uniformità della natura.

(2) utilizza delle probabilità o sistemi di induzione programmmabile (3) altre forme di induzione come il metodo statistico-induttivo riconducibili alla simmetria.

Ciò richiede però che Hume possa rispondere alla domanda che oltre alla informazione contenuta nel dato che noi siamo indotti a dedurre, esista un dato oppure dei dati i quali sono contraddistinti da una componente automatica per tipo di informazione. Ovviamente, non è possibile, ma sappiamo per la reductio ad absurdum che esistono diversi tipi di informazione, e questi per lo più sono costituiti da dati meccanici.

“Molti filosofi hanno cercato di risolvere il problema dell'induzione ricorrendo alla teoria matematica della probabilità. I tentativi più dettagliati e sistematici sono forse quelli di Rudolf Cannap (1891-1970) e di Hans Reichenbach (1891-1953), due tra i maggiori filosofi della scienza del XX secolo. Entrambi hanno cercato di elaborare una teoria a priori della logica deduttiva attraverso la quale poter calcolare il grado di conferma di ogni particolare ipotesi. Il problema di questa strategia è che è impossibile applicare risultati tecnici di tipo matematico alla conoscenza del mondo senza fare assunzioni sostanziali sul modo in cui si comporta, e che tali assunzioni non sono suscettibili di essere giustificate su base puramente logica e matematica.[...] Una risposta al problema dell'induzione, disponibile in varie forme, consiste nell'adottare qualche principio e nell'utilizzarlo come premessa negli argomenti induttivi, in modo da renderli deduttivamente validi. [...] Qualsiasi numero si scelga sembrerà arbitrario e, inoltre, il nostro argomento avrà la seguente caratteristica fortemente controintuitiva: indipendentemente da quante evidenze avremo collezionato, non avremo alcuna ragione per credere che tutti gli A siano B finché non avremo

raggiunto un numero N di osservazioni; quando lo avremo raggiunto saremo completamente certi del fatto che tutti gli A siano B” Sulla base dell'osservazione, il carattere generale della condizione logica viene ammesso perché oltre a costituire un dato, esistono condizioni molto diverse ed equiprobabili di osservare un campione del dato.

N A sono stati osservati in condizioni molto diverse e tutti sono risultati essere B. Non si è osservato alcun A che fosse non-B Se si sono osservati in condizioni molto diverse N A, e tutti sono risultati B, e nessuno è risultato non-B, tutti gli A sono B. Tutti gli A sono B. Esistono poi delle leggi scientifiche di coesistenza, da cui ricaviamo il tipo di informazione tramite il campione N, e una particolare osservazione di A. Questo in logica matematica si chiama modello statistico-induttivo che contiene estensionalità diverse in base al modello con cui i dati sono stati divisi. (1) Nei casi di frequenze ridotte a una frequenza di probabilità, ossia la probabilità di trovare il caso al 68%, p è un numero infinito di osservazioni e q è la probabilità di effettuare una partizione (o una normalizzazione). Date le leggi di coesistenza, avremo uguali possibilità per p per q del verificarsi dell'evento, mentre nel modello statistico-induttivo esistono probabilità al 34%, che in una seconda spiegazione consideriamo parte di B una coesistenza di A in p.

(1) ”Molte leggi scientifiche sono leggi di coesistenza, cioè impongono dei limiti a ciò che può realizzarsi simultaneamente. Le leggi dei gas hanno questa forma, perché vincolano i valori della pressione, del volume e della temperatura di un gas a ogni singolo istante. Il problema, in un caso del genere, è che si possono dare casi in cui due eventi sembrano spiegarsi l'un l'altro.[...] Hempel accetta la “tesi dell'identità strutturale”, secondo la quale le spiegazioni e le previsioni hanno esattamente la stessa struttura; sono argomenti che, come premesse, hanno leggi di natura e descrizioni delle condizioni iniziali.” Filosofia della scienza, pag. 212. A differenza del modello ND, o modello statistico-induttivo, esistono delle reali possibilità di compiere operazioni di calcolo che in logica risultano deduttivamente validi.

I cambiamenti messi in atto da Newton hanno messo in rilievo la filosofia della fisica, come affrontiamo una delle grandezze fondamentali della fisica come il tempo?

Da una visione d'insieme del meccanicismo o del determinismo, seguono importanti relazioni circa la verifica delle geometrie non euclidee. Il principio di indeterminazione di Heisenberg è un principio dimostrativo, partendo dal principio di indeterminazione delle costanti fisiche si assume una costante all'interno di leggi e previsioni statistiche. La teoria della relatività e la fisica

quantistica sono poste su un livello di comparazione ma sia per quanto riguarda i sistemi complessi che per l'analisi modulare presentano dei principi di equiparazione con una differenza minima o non del tutto determinabile all'interno delle teorie meccanicistiche e del realismo. In Cantor questo concetto di insieme e quello di comparazione statistica viene assunto come un criterio di appartenenza di molte logiche procedurali. “In particolare, il riferimento alle facoltà dell'intuizione e del pensiero, che serve per spiegare come si venga a creare il rapporto tra gli oggetti e il loro raggruppamento in insiemi (criterio di appartenenza), mette in luce le implicazioni epistemologiche che gravano sul concetto stesso di insieme. Emerge così che il legame epistemologia-teoria degli insiemi è il nesso fondamentale di tutto l'impianto che si sviluppa a partire dal concetto di insieme.

Non a caso, come Wittgenstein renderà evidente nel Tractatus, il rifiuto dell'epistemologia sarà spesso connesso con quello della teoria degli insiemi intesa come fondazione della logica. [..]

Secondo Peirce un insieme si definisce come tale perché le sue proprietà sono possedute da certi individui primari (ineunts) e non da altri (exeunts). Se un insieme non ha uno dei due termini, non è un insieme. Peirce chiama questo principio “schema di alterità”[..]. (1) Ad esempio, nessuna teoria può affermare che non esista una differenza minima se una particella si muove in uno spazio vuoto la quale è descritta da una funzione d'onda costituita da un pacchetto d'onda centrato in una posizione media. Ciò vuol dire che viene equiparata nel suo insieme sia la particella che gli effetti derivanti dall'osservazione della stessa in base al principio di indeterminazione. Infatti, al passare del tempo il centro del pacchetto d'onda cambia, in modo che la particella può successivamente essere localizzata in una posizione differente. L'evoluzione temporale della funzione d'onda è così descritta dall'equazione di Schrödinger. Si afferma anche che alcune funzioni d'onda descrivono distribuzioni di probabilità che sono costanti nel tempo. Molti sistemi trattati in meccanica classica possono essere descritti da queste onde stazionarie, con le implicazioni derivanti dal criterio di appartenenza della funzione d'onda alla sua distribuzione di probabilità in una posizione. Ciò ci fa venire in mente come la particella assumi un significato preciso e la funzione d'onda serva per descrivere lo spazio per la sua funzione di distribuzione. Ci viene quindi in mente un moltiplicatore, oppure un fattore quadro per stabilire alcune leggi e la posizione della particella. Il principio di indeterminazione non fa parte, sotto certi aspetti, dell'interpretazione della meccanica quantistica, a causa della quantizzazione dei livelli di energia, e per il significato dei sistemi fisici descritti.

Il metodo ipotetico-deduttivo è un metodo associato al significato teorico del termine in associazione. La teoria della gravitazione universale di Newton venne dimostrata nelle sue leggi attraverso dei metodi quantitativi, ma non può essere inferita attraverso la teoria del calcolatore di Descartes, quindi non può essere falsificata per associazionismo e non è completamente dimostrabile nell'analisi logica del controllo osservativo e sperimentale, in quanto se TΔA → e , ovvero T, con un insieme di assunzioni ausiliarie che implica e. Le assunzioni ausiliarie spiegano problemi empiricamente dimostrabili, infatti, come dimostrato dal logicismo contemporaneo, le verità analitiche e le verità sintetiche sono sempre associate in vista di un principio dimostrativo. (2)

(1) Metafisica per assurdo, pag. 170-174. Molto spesso la stessa teoria può contenere una contraddizione senza perdere il significato del termine nella sua identità. Altrove (pag. 186): “i diversi gradi transfiniti che raggiungiamo sono degli “pseudo-continui”, i quali, pur superando sempre la potenza degli insiemi precedenti, non riescono a racchiudere in un unico insieme la totalità degli insiemi pensabili”.

(2) Popper, Logica della scoperta scientifica, pag. 150-156.

Russell, Introduzione alla filosofia matematica, pag. 112. Molte funzioni sono discontinue per uno o più valori della variabile mentre sono continue per gli altri valori. Prendiamo come esempio sen (1/x). La funzione sen (t) prende tutti i valori da -1 a 1 quando t prende tutti i valori da - π/2 a π/2 o da π/2 a 3π/2, o in generale da (2n-1) π/2 a (2n+1) π/2 dove n è un numero intero. Se consideriamo 1/x quando x è molto piccolo, vediamo che quando x diminuisce ancora, 1/x diventa sempre più grande, di modo che, quando x diventa sempre più piccolo, passa sempre più rapidamente per il ciclo di valori da un multiplo di π/2 ad un altro. Di conseguenza sen (1/x) passa sempre più frequentemente da -1 a 1, man mano che x diventa più piccolo. Ora, se prendiamo un intervallo qualsiasi che contenga lo 0, diciamo l'intervallo da -ε a +ε, dove ε è un numero molto piccolo, sen (1/x) compirà in questo intervallo un numero infinito di oscillazioni, e le oscillazioni non diminuiscono se si rende più piccolo l'intervallo. Intorno all'argomento 0 della funzione abbiamo quindi una discontinuità. E' facile costruire funzioni che siano discontinue in molti punti, o in N0 punti, o ovunque discontinue.

Esempi se ne potranno trovare in ogni libro di teoria delle funzioni di una variabile reale.

Possiamo dare ora una precisa definizione del significato della continuità di una funzione (per un dato argomento), quando argomento e valore della funzione sono entrambi reali.

Definiamo prima l'”intorno” di un numero x come l'insieme costituito da tutti i numeri da x-ε a x+ε, dove ε è un numero che in pratica sarà molto piccolo. E' chiaro che la continuità in un punto dipende da quello che succede in ogni intorno di quel punto, per quanto piccolo esso sia. In sostanza ciò che vogliamo è questo: se a è l'argomento per il quale la nostra funzione deve essere continua, definiamo prima un intorno (chiamiamolo α), contenente il valore f(a) che la funzione prende per l'argomento a; desideriamo che, prendendo un intorno sufficientemente piccolo contenente a, tutti i valori per gli argomenti compresi entro questo intorno siano contenuti nell'intorno α, non importa quanto piccolo esso sia stato preso.

Cioè, se decidiamo che la nostra funzione non deve differire da f(a) più di una quantità molto piccola, dobbiamo essere in grado di trovare una sezione di numeri reali che abbia a nel mezzo e tale che in tutta la sezione f(x) non differisca da f(a) più della piccola quantità assegnata. Notiamo sopratutto che questo deve valere per quanto piccola si sia scelta questa quantità. Giungiamo alla seguente definizione: la funzione f(x) è continua per l'argomento a, se per ogni numero positivo σ differente da 0, ma piccolo a piacere, esiste un numero positivo ε, differente da 0, tale che, per tutti i valori di δ che sono numericamente minori di ε², la differenza tra f (a+δ)-f(a) è minore di σ. In questa definizione, σ definisce un intorno di f(a), l'intorno cioè compreso tra f(a)-σ e f(a)+σ.

La definizione ci dice quindi che possiamo definire un intorno per mezzo di ε, l'intorno cioè da a-ε ad a+ε, tale che, per tutti gli argomenti in questo intorno, il valore della funzione giace entro l'intorno che ha per estremi f(a) e – σ e f(a) +σ.

Se questo avviene, qualsiasi sia σ, la funzione è “continua” per l'argomento a. Finora non abbiamo definito il limite di una funzione per un dato argomento. Se lo avessimo fatto, avremmo definito la continuità di una funzione in modo differente: una funzione, infatti, è continua in un punto se il suo valore è lo stesso del limite dei suoi valori quando la variabile della funzione si approssima all'argomento da destra o da sinistra. In verità solo funzioni eccezionalmente “docili” hanno un limite definito quando la variabile della funzione si approssima ad un dato argomento.

La regola generale è che le funzioni oscillano, e che, dato un intorno di un numero, per quanto piccolo tale intorno sia, si ha un certo insieme di valori della funzione per gli argomenti contenuti in questo intorno. Dato che questa è la regola generale, esaminiamola subito. Consideriamo ciò che succede quando la variabile della funzione tende ad un argomento a dai valori inferiori. Consideriamo cioè, ciò che succede per argomenti contenuti nell'intervallo compreso da a-ε ad a, dove ε è un numero che, in pratica, sarà molto piccolo. I valori della funzione per argomenti da a-ε ad a (escluso) saranno un insieme di numeri reali che definirà una certa sezione dell'insieme dei numeri reali, la sezione cioè formata dai numeri che sono non maggiori di tutti i valori della funzioni per gli argomenti da a-ε ad a. Dato un numero qualsiasi in questa sezione, esistono valori grandi almeno come questo numero per argomenti compresi tra a-ε ed a, cioè per argomenti che sono poco distanti da a (se ε è molto piccolo).

Russell, Introduzione alla filosofia matematica, pag.122. Quel che si applica all'elevamento a potenza si applica anche al prodotto di due cardinali. Possiamo definire “mxn” come la somma dei numeri di n classi ciascuna con m termini, ma preferiamo definirlo come il numero di coppie ordinate da formarsi con un membro di a seguito da un membro di b, dove a ha m termini e b ha n termini. Questa definizione, inoltre, riesce ad evitare la necessità di assumere l'assioma moltiplicativo. Con le nostre definizioni, possiamo dimostrare le usuali leggi formali della moltiplicazione e dell'elevamento a potenza. Ma c'è una cosa che non possiamo dimostrare: non possiamo dimostrare che un prodotto è nullo solo nel caso che sia nullo uno dei fattori. Possiamo dimostrarlo quando il numero dei fattori è finito, ma non quando è infinito.

In altre parole, non possiamo provare che, data una classe di classi nessuna delle quali sia nulla, debbano esistere dei loro selettori; o che, data una classe di classi vicendevolmente esclusive, debba esserci almeno una classe formata da un termine che sta al di fuori di ciascuna delle classi date.

Il modello di programmazione di Turing nasce come si afferma tuttora dall'interpretazione più ampia del concetto di macchina a programma memorizzato. Il concetto di funzione qui nel lambda calcolo, che egli adottò nel lavoro sulle logiche ordinali, prevede inoltre delle logiche procedurali della programmazione funzionale che incidono successivamente sulla programmazione strutturata.

Infatti, l'unità di controllo non è una parte della struttura logica della macchina, infatti, si tratta di logiche di finalismo matematico.

Dalla natura sintetica a priori dell'aritmetica al rifiuto dell'infinito attuale di Cantor la programmazione funzionale è la struttura del processore fino a che la microprogrammazione non fornisca un operazionismo completo o un riduzionismo nella programmazione dei dati.

Attraverso un procedimento della logica più accurato, come affermava Poincarè, l'ossessione verso una filosofia sistematica attraverso lo studio dei fondamenti della matematica fu uno dei motivi per cui i teoremi di indecidibilità rendono una parte del “meccanicismo” delle parti, dimostrando in parte un sistema formale. (1) Tra programmazione strutturata e non strutturata il sistema formale restringe il campo dell'applicabilità dei computer alle funzioni dei microprocessori, come si si parla di demarcabilità e di restrizione numeraria delle funzioni meccaniche che sono tipiche dell'ACE, in mezzo c'è la programmazione neostrutturata, che prevede la simultaneità di alcuni elementi nella teoria delle classi.

Queste funzioni meccaniche sono le seguenti e sono fondamentali per la notazione delle parti logiche: 1) il trasferimento da una zona della memoria ad un'altra 2) le operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione) su due registri di memoria temporanea (TS) stabiliti, con il risultato posto in un altro registro TS definito 3) alcune operazioni logiche (A&B, AvB (OR inclusivo); -< A, A=B), sempre svolte su due TS fissati il cui risultato era riportato in un altro registro TS definito; 4) un'operazione di trasferimento di memoria alle schede perforate – dispositivo usato per l'output e per l'input – e viceversa; 5) il salto incondizionato verso un'istruzione successiva specificata evitando di eseguire le istruzioni in stretta sequenza con le precedenti.

La programmazione standard, di conseguenza, era in grado di eseguire calcoli seguendo una logica intensionale, puramente indeterministico, ancora, dal punto di vista logico, rappresenta un'architettura logica sillogistica che contiene una pre-configurazione delle funzioni di ingegneria elettronica, in quanto, se immaginiamo le procedure meccaniche come sistemi procedurali semplici, che in logica Gödel rende distinguibili fra di loro per entità, sono basati sulla stessa meccanicizzazione dei numeri.

Se, infatti, nel calcolatore c'è un meccanismo che termina rendendo le precedenti delle operazioni note, la capacità della macchina di simulare un'automazione dell'Intelligenza artificiale contiene in sé i termini di abilità e di meccanismi di successione automatica. Cosa si intende per successione automatica? Se nel calcolo binario abbiamo delle istruzioni, la parte logica viene a costituire un

dominio della funzione, e quindi l'applicabilità delle funzioni successive è per così dire trasferita secondo un risultato operativo che deve essere di per sé una successione di numeri. L'antinomia delle classi, distinguendo in teorie normali e teorie subderivanti, è costruita su teorie ed appartiene a una classe stessa delle dimostrazioni di equipotenza nell'insieme dei numeri razionali Q, dei naturali N, dei relativi Z o alla classe completa con la medesima potenza del numerabile. Questo dovrebbe rendere implicita la relazione insiemistica di inclusione, oltre a convalidare i presupposti delle strutture algebriche nel programma formalista di Hilbert. (2)

(1) Alan Turing e l'intelligenza delle macchine, pag. 138. “Il calcolatore, seguendo l'obiezione della logica, sarebbe incapace di adattamento, in particolare nella ricerca del metodo per stabilire in modo meccanico se una formula appartenga o meno all'insieme dei teoremi di un sistema formale. In alcuni casi, infatti, il metodo meccanico non saprebbe dare risposta. Secondo questo argomento, sarebbe proprio la soluzione negativa al problema dell'indecidibilità a sancire la superiorità del matematico sulla macchina. Lo studioso, infatti, qualora si trovasse in una simile situazione, cercherebbe nuovi metodi di dimostrazione per arrivare a una decisione su qualsiasi formula gli venisse proposta. Secondo Turing questo ragionamento presupponeva una mancanza di fair play, di onestà e lealtà nei confronti delle macchine. “Possiamo aggiustare le cose in modo tale che invece di non dare nessuna risposta, in qualche caso essa [la macchina] dia occasionalmente risposte sbagliate” (Turing 1947/1994; 86).

“La macchina di Turing era in grado di manipolare solo un alfabeto finito di simboli discreti che non potevano presentare alcuna ambiguità. Anche sotto questo aspetto essa dimostrava la propria origine logica, pur se il formalismo del linguaggio di una macchina di Turing non potrebbe essere identificato con quello dei sistemi formali alla Hilbert tout court. Quando si passò dal modello teorico di computabilità offerto da Turing alla costruzione pratica di dispositivi per la manipolazione di simboli che pure aveva la sua fondazione in quel concetto logico, si presentò il problema di allentare alcune caratteristiche dell'approccio fondazionale e proprie di una notazione astratta, come per esempio la garanzia di ottenere un risultato corretto, la completezza del sistema adottato, la stabilità del sistema di assiomi per la dimostrazione di qualsiasi teorema e altro ancora. La macchina di Turing tuttavia fornì un modello teorico già pronto e funzionante alla nascita dell'informatica, come sostiene autorevolmente anche Martin Davis. [..] Nonostante sia complicato districarsi nella distinzione tra logica formalista hilbertiana e teoria della computabilità, possiamo affermare che la nuova scienza dei calcolatori deve molto alla definizione della nozione di computabilità effettiva in termini assoluti e alla sua origine nel contesto della logica. Nell'approccio di Turing alla computabilità c'era in un certo senso una via d'uscita dalla logica nella quale il progetto era nato, ma nello stesso tempo la macchina astratta permetteva anche una prima definizione condivisa dell'idea chiave di sistema formale”.

“Von Neumann introdusse l'approccio logico all'architettura delle macchine, come risulta anche da prese di posizione sue e dei suoi più stretti collaboratori. “Un altro punto che merita considerazione è questo: una parte importante della macchina non è aritmetica, ma logica nella sua natura”(Burks, Goldstein e von Neumann: 1946). ipotizzare un modello di calcolatore basato sulla logica permetteva di evitare il rallentamento dovuto alla necessità di programmare meccanicamente la macchina dall'esterno, e di sfruttare la memoria per contenere insieme dati e programmi scritti usando lo stesso linguaggio. Von Neumann aveva subito l'influenza del modello della Macchina universale. Essa poteva emulare tutte le altre macchine, scrivendo la loro tavola di istruzioni (cioè il loro programma) sul nastro che ne costituisce la memoria. Dal modello del dispositivo di Turing discende una delle tante accezioni di “programma memorizzato”, ma non l'unica. Questa nozione, infatti, è molteplice e a ogni sua accezione produce conseguenze diverse sul modello del calcolatore. Una prima formulazione del concetto coincideva con la semplice intuizione dell'inserimento dei programmi in memoria e, come sostenne forse a ragione Eckert, egli aveva già immaginato questa soluzione, adducendo la prova di un memorandum scritto prima dell'entrata di von Neumann nel gruppo della Moore School. Un'altra definizione del concetto prevedeva l'uso diretto dell'output di un'operazione come input di un nuovo compito. Questa caratteristica è alla base dell'uso dell'elettronica e, come abbiamo visto, valeva anche nell' ENIAC. Un'altra interpretazione prevedeva l'immagazzinamento di dati e programmi nelle medesime aree della memoria, come se fossero tutti dati numerici, come suggeriva già il metodo dell'aritmetizzazione usato da Godel.

(2) Il punto di partenza è l'assiomatizzazione della geometria euclidea (Fondamenti della geometria, 1889) con l'indipendenza della geometria pura dei numeri, mostrando che tutta la geometria piana (euclidea) può essere rappresentata come una particolare, astratta struttura algebrica detta campo commutativo. Appunti Dalla metalogica alla metafisica.

Il principio di identità aristotelico presuppone l'uguaglianza di due elementi perché considerati equivalenti, in logica l'inverso dei fattori, del tipo A/B contiene dati necessari, Leibniz partendo dai meccanismi del calcolatore di produrre dei dati o dei risultati che in matematica chiamiamo prodotti, si presuppongono nel XVII secolo, secondo l'empirismo inglese, delle entità fondamentali. Nella metodologia del calcolatore che si aveva quando si pensava che il calcolatore fosse una macchina alquanto semplice, e si considerava che l'analisi di una macchina fosse un meccanismo di calcolo per delle frequenze da elaborare come unità e grandezze da tradurre simultaneamente e che fosse secondo un procedimento matematico, un calcolo rapido perché in filosofia della scienza le teorie meccaniche sono calcoli di serie matematiche generali, partendo da dati fisici. Leibniz quindi teorizza che a partire da sistemi fisici i calcolatori possono quindi essere considerati come macchine in un sistema che viene considerato dato e che viene dedotto attraverso delle leggi semplici, oppure delle equazioni matematiche. I sistemi fisici vengono analizzati a partire da dati empirici, il principio di non contraddizione che deve contenere dati matematici viene largamente interpretato partendo dal generale al particolare, mentre l'induzione di questi dati deve essere trattata separatamente. Nella fisica moderna dato che viene separato il concetto di divisibilità, in questi termini, da quello di automazione del processo meccanico, dovremo partire da delle probabilità di trovare un numero casuale da punti iniziali del calcolo aritmetico. In logica matematica ciò si chiama numero finito delle classi dei numeri, e viene successivamente elaborato tramite un metodo di elaborazione in serie di numeri cardinali. Newton si era accontentato di descrivere il comportamento gravitazionale dei corpi come un fatto bruto, senza tentare di spiegarlo; Einstein invece lo fece derivare dalla configurazione geometrica dello spazio.

Elaborata questa idea, Einstein concluse che lo spazio non era euclideo (abbandonando il presupposto che la luce viaggi secondo linee rette, dobbiamo accertare la geometria noneuclidea – o “ellittica” - del Riemann). La concezione riemanniana dello spazio propria di Einstein fu confermata sperimentalmente nel 1919, e una delle sue conseguenze fu che lo spazio, sebbene non delimitato, è finito, più o meno nel senso in cui lo è la superficie bidimensionale di una sfera.

Gli studi astronomici suggerivano intanto l'ipotesi che anche il tempo sia finito: poiché la natura della luce emessa da lontane galassie implicava che esse stessero allontanandosi dalla nostra, era naturale concludere che tutto quanto l'universo fisico fosse emerso, per così dire, esplosivamente, a una certa determinata data del passato, dando inizio alla propria espansione. (la recessione delle galassie trova però una diversa spiegazione presso altri scienziati). Il mondo si presentava quindi ora spazio-temporalmente finito.

Nella chimica e nella fisica gli sviluppi del XIX secolo avevano condotto gli scienziati a credere di stare per avvicinarsi a una sintesi matematica di tutti i fenomeni fisici: infatti, sia la teoria atomica degli elementi del Dalton – per il quale ogni elemento era composto di una sua propria specie di atomi e ogni composto di una sua propria specie di “atomi composti” (molecole) -, sia le leggi dell'elettricità e del magnetismo espresse da M. Faraday (1791-1867) e da J. C. Maxwell – per i quali tutti quei fenomeni, e la luce, erano moti ondulatori in un etere che tutto permea di sé piuttosto che correnti di corpuscoli minimi - , sia il nuovo modo di studiare l'energia nella scienza della termodinamica, parevano tutti voler indicare o la presenza di un ordine intelligibile o la possibilità di intendere ogni processo come movimenti della materia oppure dell'etere. Tuttavia, il XX secolo recò scoperte che furono fatali alle concezioni accettate circa la materia e la causalità. Nel 1900 il fisico tedesco Max Plank (1858-1947) dimostrò con la sua teoria dei quanti che la materia irraggia calore e luce non in un flusso continuo, ma in masse determinate che egli chiamò quanti. Nello stesso tempo lo studio della radioattività rivelò la complessità interna dell'atomo – e le differenze tra le molte specie diverse di atomi furono spiegate in termini di particelle elettriche di carica positiva e negativa (chiamate ora protoni ed elettroni) di cui tutti gli atomi sono composti. Fra il 1910 e il 1914, E. Rutherford e il danese N. Bohr descrissero la configurazione dell'atomo come quella di una specie di sistema planetario nel quale gli elettroni – di carica negativa – orbitano intorno a un nucleo molto più pesante, di carica positiva. Inoltre, poiché la teoria planckiana dei quanti affermava che il comportamento dei singoli elettroni non poteva essere previsto (era solo possibile prevedere, in base alle statistiche del comportamento di un grande numero di essi, come verosimilmente si sarebbero comportati), la tanto familiare causalità meccanica si presentava ora come la risultante di numerosi avvenimenti casuali”. I mondi dell'uomo, enciclopedia per argomenti, Pensiero, 1965.

In sintesi, i sistemi logici costruiti mediante linguaggi modali possono essere considerati da tre punti di vista differenti: come sistemi in grado di descrivere correttamente strutture relazionali; come sistemi in grado di descrivere completamente strutture relazionali; come sistemi intepretabili su strutture su strutture descrivibili in linguaggi differenti. A questi tre punti di vista sono connessi tre tipi di problemi: i) il problema della correttezza: dato un sistema modale, indicare un insieme di strutture, definito da specifiche proprietà, su cui interpretare il sistema ii) il problema della completezza: dato un insieme di strutture, definito da specifiche proprietà, indicare un sistema modale in grado di descrivere l'insieme iii) infine, il problema della corrispondenza: dato un sistema modale indicare le proprietà, descrivibili in linguaggi differenti, delle strutture per il sistema.

Enciclopedia filosofica Bompiani, voce logica modale proposizionale, pag. 6681.

Cosa si intende per funzione del calcolatore?

Correlazione nella teoria dei sistemi significa che un principio scientifico contiene dei campi logici con un certo grado di precisione nella misurazione (asserti probabilistici) e i principi metodologici (come il principio cosmologico) sono validi per mezzo di metodi puramente qualitativi. (1) La sottodeterminazione debole tratta argomenti antitetici, ma eguali sul piano quantitativo.

La geometria è applicata come in analisi matematica poiché siamo in grado di generare condizioni ipotetiche e misurazioni sia attraverso metodi di analisi delle frequenze, e quindi tramite principi di comparazione, sia attraverso l'explanans per mezzo dell'explanandum. (2) L'ipotetico-deduttivismo è una metodologia che rende necessario l'uso di un numero di parametri sempre più probabili (nel senso classico) per un numero di parametri molto più piccolo. La teoria della gravitazione universale e così molte altre teorie di Newton possono essere dedotte anche attraverso la teoria del calcolatore a più fasi, che fu elaborato da Descartes nel XVI secolo. Non completamente dimostrabile nell'analisi dal controllo osservativo e sperimentale, o per associazionismo, teorie di derivazione del tipo TΔA → e , ovvero T sono trattate separatamente, perché in logica sono contenuti intensionali.

Le assunzioni ausiliarie spiegano problemi empiricamente dimostrabili. Le verità analitiche o le verità sintetiche sono sempre associate a delle variabili in vista di un principio dimostrativo. (3) Come sviluppiamo questa funzione del calcolatore?

Il problema di Duhem presenta meccanismi di gran lunga evidenti per le probabilità relative, perché vengono equiparati per mezzo di uno schema sinottico per misurare la frequenza nelle teorie elementari. La filosofia della scienza tratta la conoscenza scientifica in vista di una conferma scientifica e di funzioni di generalizzazione. (4) Gli eventi di tipo A sono spazialmente ridotti per gli eventi di tipo B, così come X è causa necessaria per Y, il significato viene esteso a più termini della classe in logica e in logica matematica.

I modelli multipli sono determinanti soprattutto nella spiegazione fisica. Per la negazione di alcune considerazioni di fisica nell'analisi di Musgrave e il realismo strutturale, Putnam ha risolto problemi metodologici “necessari”.

Da una visione d'insieme del meccanicismo e del determinismo il principio di determinazione delle asserzioni statistiche è un principio di dimostrazione assunto regolarmente come base all'interno di leggi e previsioni statistiche. La teoria della relatività e la fisica quantistica si pongono su un livello di comparazione per gradi più elevati, e sia per i sistemi complessi che per l'analisi modulare presentano una equiparazione con una differenza minima o determinabile solo in parte all'interno del meccanicismo o del realismo in fisica. (5) La legge di gravitazione universale, che asserisce che tutti i corpi dotati di massa si attraggono l'un l'altro con una forza (F) direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse (m¹m²) e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza (r) F = m¹m² G/2 (dove G è una costante) è un principio di induzione deduttivamente valido, valido sia per la logica matematica che per la fisica, con la generalizzazione per tutti gli elementi della teoria.

Nella teoria dei sistemi la generalizzazione viene presa in considerazione tramite una regola molto evidente: N A sono stati osservati in condizioni molto diverse e tutti sono risultati essere B.

Non si è osservato alcun A che fosse non-B. Se si sono osservati in condizioni molto diverse N A, e tutti sono risultati B, e nessuno è risultato non-B, tutti gli A sono B. Tutti gli A sono B, dove A e B sono rappresentazioni, come A con “campione di sodio” e B “oggetti facilmente infiammabili” che convalidano la generalizzazione.

Dalla tradizione cartesiana della res cogitans, la fenomenologia è studiata attraverso le cause di individualizzazione e di processo, di cui la metafisica neoclassica è una reazione, soprattutto per l'immanentismo metafisico. (6) L'empirismo costruttivo di Van Frassen può essere contestato perché la componente semantica e la componente metafisica possono non essere accettate, rifiutando la componente epistemica, perché non sappiamo quale delle tre debba essere esclusa. Il metodo nomologico-deduttivo è fondamentale per l'analisi di funzioni complesse, soprattutto la tesi che la deduzione deve fare un uso essenziale di leggi generali. Se è falso, è perché nella condizione non ci sono abbastanza assunzioni di tipo scientifico valide nella scelta.

Il principio di relatività galileiana è capace di distinguere aspetti filosofici da aspetti fisici?

Da neoidealismo e neocritica possiamo comprendere l'uso dell'epistéme all'interno della scienza, per separazione delle determinanti individuali e della logica matematica che interessa campi sempre più vasti della scienza e della filosofia. Se, infatti, si parte dal presupposto che xfx ∑gx la funzione (x) fx = fg (x) è reale e diversamente interpretabile e parte del convenzionalismo e del principio di verificazione sono teorie che vengono confermate. (7) L'antinomia delle classi, distinguendo in teorie normali e teorie subderivanti, appartiene esclusivamente al campo della matematica ed appartiene ad un momento fondamentale della filosofia o a una classe stessa della filosofia. (8) La geometria secondo Galilei, per il quale abbiamo una rappresentazione universale dello spazio reale, è una geometrizzazione secondo canoni fisici, che interpreta la natura come antitesi alle possibilità della conoscenza reale.

Le geometrie non euclidee tuttavia devono essere negate perché la dimostrazione contiene principi di verità, essendo questi basati su principi di logica semantica o concettuale. Da qui deriva anche la distinzione tra enti geometrici ed enti non geometrici. (9) La geometria iperbolica è sempre una funzione della geometria ellittica in quanto le prove sperimentali non sussistono nella forma ma nel contenuto. “Su questa base vengono dimostrati tutti i teoremi geometrici – dove il tipo più rilevante di dimostrazione, quello “per assurdo” è tipico dell'epistéme e consiste nel mostrare che la negazione di una certa proposizione (che è appunto il teorema che si intende dimostrare) implica la negazione di questo o quell'elemento della base immediatamente vera del discorso geometrico. La dimostrazione di tale proposizione consiste appunto nel mostrare questa sua relazione con la verità immediata”. Di qui l'evidenza dei 5 postulati di Euclide. La teoria della relatività contiene, per associazione con le geometrie non euclidee, principi di asserzione che devono essere confermabili sempre al limite di tutte le affermazioni possibili. Se lo spazio è curvo, la geometria non euclidea non ammette altre soluzioni al di fuori della limitatezza dell'area (10). L'associazione che viene dovuta alla teoria della relatività alle geometrie non euclidee viene fatta a causa delle variazioni e attraverso il principio di esclusione.

Da una visione di insieme del meccanicismo o del determinismo il principio d'indeterminazione è un principio dimostrativo assunto regolarmente all'interno di leggi e previsioni statistiche. Fisica quantistica e teoria della relatività vengono comparati su due piani diversi, inoltre, sia per i sistemi complessi che per l'analisi modulare presentano principi di equiparazione con una differenza minima o determinabile nell'ambito della teoria stessa. (11)

(1) Popper, Logica della scoperta scientifica, pag. 123 (2) Popper, Logica della scoperta scientifica, pag. 130-195, dove si tratta in particolare l'ipotesi frequenziale.

(3) Sheldon Lee Glashow, Maxwell, elettricità, magnetismo e luce, una sola famiglia, La biblioteca di Repubblica, 2012, pag. 79, sulle formule di induzione.

(4) Popper, logica della scoperta scientifica, pag. 150-156.

“La teoria classica (laplaciana) della probabilità definisce il valore numerico di una probabilità come il quoziente che si ottiene dividendo il numero dei casi favorevoli per il numero dei casi egualmente possibili.[...] Un'interpretazione soggettivistica della teoria della probabilità è suggerita dal frequente uso di espressioni di sapore psicologico, come “aspettativa matematica”, “legge normale dell'errore”, ecc. nella sua forma originale tale interpretazione è psicologistica. Tratta il grado di probabilità come misura dei sentimenti di certezza o di incertezza, di credenza o di dubbio che possono essere suscitati in noi da certe asserzioni o da certe congetture. Questo modo di tradurre la parola “probabile” può rivelarsi abbastanza soddisfacente in relazione ad alcune asserzioni non-numeriche; non mi sembra però che un'interpretazione, che segua queste linee, sia molto soddisfacente per le asserzioni probabilistiche numeriche. […]

Una terza interpretazione, l'interpretazione oggettivistica, tratta ogni asserzione di probabilità numerica come un'asserzione intorno alla frequenza relativa con cui un certo evento compare all'interno di una sequenza di accadimenti.

Secondo quest'interpretazione, l'asserzione “la probabilità che il prossimo lancio di questo dado dia cinque è uguale a 1/6” non è propriamente un'asserzione intorno al prossimo lancio; si tratta piuttosto, di un'asserzione intorno a un'intera classe di lanci, di cui il prossimo lancio è soltanto un elemento. L'asserzione in questione non dice niente di più se non che la frequenza relativa del cinque, all'interno di questa classe di lanci, è uguale a 1/6.

Stando a questo punto di vista le asserzioni numeriche di probabilità sono ammissibili soltanto se possiamo darne un'interpretazione in termini di frequenza. Quelle asserzioni probabilistiche per le quali non è possibile dare un'interpretazione in termini di frequenza e, in particolare le asserzioni probabilistiche non numeriche, sono di solito lasciate in disparte dai sostenitori della teoria frequenziale.”

(5) Popper, logica della scoperta scientifica, pag. 120-130 (6) G. Maddalena, Metafisica per assurdo, Peirce e i problemi dell'epistemologia contemporanea, Rubbettino, 2009, pag. 169-186.

“Cantor elabora il concetto di equipotenza nel 1878 nell'articolo “Contributo alla teoria delle molteplicità”. Con esso Cantor completa un'intuizione precedente, del 1874, che l'aveva portato, attraverso lo studio delle serie convergenti, a stabilire la differenza di dimensione tra l'insieme dei numeri interi (e tutti i tipi di numero che possono essere posti in una relazione biunivoca con essi) e l'insieme dei numeri reali, che non possono essere messi in una relazione biunivoca con i numeri interi (Cantor, 1992; 17-22). Qui Cantor si avvaleva del concetto di limite o punto di accumulazione presupponendo che tale limite esista sempre e che costituisca ciò che sempre eccede la numerazione dei punti di un intervallo”.

“La conclusione teoretica di Peirce è che non si può parlare di “vera continuità”. I diversi gradi transfiniti che raggiungiamo sono degli “pseudo-continui” i quali, pur superando sempre la potenza degli insiemi precedenti, non riescono a racchiudere in un unico insieme la totalità degli insiemi pensabili. Il che non significa che tale totalità non esista, ma semplicemente che essa si trova al di là delle possibilità di presa di una teoria degli insiemi. [..]

(7) La metafisica è ritenuta impossibile come scienza da che, a partire da Cartesio, si presuppone la realtà come esterna al pensiero; ma l'idealismo toglie questo presupposto e rende nuovamente possibile il discorso metafisico – epistemico sull'essere. L'immanentismo metafisico della filosofia idealistica, per Bontadini, è quindi qualcosa di estrinseco e di separabile dal guadagno compiuto dall'idealismo nei confronti del dualismo presupposto e del fenomenismo. E. Severino, La filosofia dai greci al nostro tempo. La filosofia contemporanea, pag. 413. Vedi anche Metafisica per assurdo, pag. 186. In filosofia matematica questo si traduce nella scoperta delle antinomie. “La conclusione teoretica di Peirce è che non si può parlare di “vera continuità”. I diversi gradi transfiniti che raggiungiamo sono degli “pseudocontinui” i quali, pur superando sempre la potenza degli insiemi precedenti, non riescono a racchiudere in un unico insieme la totalità degli insiemi pensabili”.

(8) E. Severino, La filosofia dai greci al nostro tempo. La filosofia moderna, BUR, 2004, pag. 306. d) Proprio perché spazio e tempo sono forme a priori, essi non rappresentano proprietà delle cose in sé, che (come invece ritenevano Galilei, Cartesio, Locke a proposito appunto delle qualità primarie) rimangono quando si sia fatta astrazione dal nostro modo di percepire. Se spazio e tempo rappresentassero proprietà delle cose in sé, sarebbero intuizioni empiriche e quindi non potrebbero essere intuizioni a priori, cioè universali e necessarie. Ne risulta che i giudizi sintetici a priori fondati sulle intuizioni pure di spazio e di tempo non possono essere riferiti a ciò che sta al di là degli oggetti e dei sensi L'”estetica trascendentale”

(questa espressione è anche il titolo della parte iniziale della Critica della ragion pura) è appunto quel settore della “scienza” (epistéme) che considera le forme a priori della sensibilità. L'etimo greco di “estetica”, è infatti àisthesis, “sensazione”, e Kant ritiene opportuno non abbandonare l'antica terminologia che contrappone gli aistheta' (le cose sensibili) ai noeta' (le cose intelligibili). Appunto ai noeta' è dedicata, come ora vedremo, la Logica trascendentale.

(9) c) I giudizi che costituiscono la geometria e la matematica sono per Kant sintetici a priori. Che la linea retta – ad esempio – sia la più breve tra due punti è un giudizio universale e necessario e quindi a priori, ma il concetto di “retta” non include il concetto di “più breve tra due punti”, e quindi il giudizio è sintetico.

Ebbene la geometria può determinare le proprietà dello spazio mediante giudizi sintetici a priori, solo perché lo spazio è intuito a priori dello spirito, ossia perché lo spirito produce la forma che unifica a priori, e quindi universalmente e necessariamente, le determinazioni molteplici del senso esterno. Come lo spirito può conoscere gli oggetti sensibili perché li intuisce, così può conoscere universalmente e necessariamente le loro proprietà spazio-temporali, perché intuisce a priori quell'orizzonte puro dello spazio e del tempo, in cui tali oggetti sono accolti e unificati.

Il concetto di retta viene esteso così a sistemi proposizionali, in termini brevi, e quindi si parla di logiche intensionali.

(10)[..] La rappresentazione originaria dello spazio (e del tempo) non è un concetto, ma una intuizione pura (a priori), perché lo spazio è un unico spazio, che contiene in sé tutte le proprie parti, le quali non possono precedere lo spazio unico universale (ci sarebbero altrimenti oggetti spaziali prima dello spazio in cui essi si trovano), ma possono esistere solo all'interno di esso. Invece un concetto non contiene in sé, ma sotto di sé l'infinita molteplicità di rappresentazioni di cui esso è la nota comune. Ad esempio, i singoli alberi non sono parti del concetto universale di albero e quindi questo concetto non contiene in sé, bensì sotto di sé i singoli alberi; nel senso, appunto, che esso esprime quanto i singoli individui hanno in comune. Invece “tutte le parti dello spazio coesistono nello spazio infinito”, che pertanto è intuizione a priori e non concetto.

(11) a) Se ci si rende conto che al fondamento del pensiero kantiano si trova la consapevolezza che il conoscere non può uscire da se stesso, per confrontare la concordanza tra le proprie rappresentazioni e le cose in sé, e che quindi quest'ultime sono inconoscibili, allora si scorge che tutto il contenuto della conoscenza è soggettivo, cioè esiste solo in quanto esiste il soggetto conoscente (e dire che tale contenuto è “soggettivo” equivale a dire, nella terminologia cartesiana, che è soltanto “essere soggettivo”. [..]

11.1 P. Odifreddi, Le menzogne di Ulisse, L'avventura della logica da Parmenide a Amartya Sen, Tea, 2004, pag. 169.

L'imposizione di una formulazione teorica simile alla legge di Hume rese possibile la distinzione e la definizione degli spazi. “Hilbert lasciò un segno ancora più profondo nella logica con i Grundlagen der Geometrie, “Fondamenti della geometria”, che nel 1899 fornirono una versione riveduta e corretta degli Elementi di Euclide. Nel corso dei secoli il capolavoro della matematica greca aveva infatti cominciato a far acqua da tutte le parti, per due motivi complementari.

Da un lato, si era scoperto che i famosi cinque postulati non erano affatto sufficienti a derivare tutti i teoremi del libro.

Il primo a trovare delle imperfezioni nell'opera di “Euclide geometra” era stato Leibniz, notando che neppure la prima proposizione del primo libro segue dei postulati. Euclide cerca infatti di costruire un triangolo equilatero su un segmento, e fa quello che farebbe qualunque studente: traccia, cioè, due archi di cerchio aventi per raggio il segmento e per centri gli estremi, e prende come terzo vertice il punto di intersezione. Nessun postulato, però, assicura che i due archi di cerchio si incontrino. A sua volta, Schopenhauer aveva notato, nel Mondo come volontà e rappresentazione, che nemmeno la quarta proposizione del primo libro segue dai postulati. Per dimostrare il criterio di uguaglianza per due triangoli che abbiano due lati e l'angolo compreso uguali, Euclide li sposta infatti l'uno sull'altro. Nessun postulato, però, assicura che un triangolo spostato nel piano non si deformi, né permette di ribaltarlo nel caso esso abbia un orientamento opposto a quello del triangolo al quale dovrebbe essere sovrapposto.

11.2 Enciclopedia Filosofica Bompiani, Logica del discorso etico, pag. 6578. “Nel linguaggio delle teorie scientifiche il possesso da parte degli oggetti di determinate qualità viene espresso attraverso concetti di natura classificatoria, comparativa, o metrica. In generale, mentre i concetti classificatori indicano semplicemente l'appartenenza o meno della proprietà all'oggetto, quelli comparativi consentono di stabilire, oltre a ciò, che un oggetto possiede quella proprietà in grado più o meno elevato rispetto a un altro oggetto. I concetti comparativi sono perciò più espressivi di quelli classificatori e il loro maggior potere informativo è di gran lunga accresciuto se sono trasformati in concetti metrici, in quanto quest'ultimi consentono comparazioni anche quantitative tra oggetti. E' noto peraltro che il passaggio dalle strutture comparative a quelle metriche richiede la soddisfazione di precise condizioni matematiche che non tutte le strutture comparative ammettono.

Perché l’impossibilità della metafisica come scienza?

Nella filosofia analitica è possibile ridurre il termine a una serie di elementi in dati che si presuppongono essere delle macro, oppure dei campi, oppure dei termini categoriali, che rendono la proposizione vera nei termini che indichiamo e può essere meglio spiegato se configuriamo una configurazione di senso. La metodologia di calcolo di dati fenomenologici in chimica sta a significare che esistono degli elementi “convalidanti”, come sappiamo non tutti i dati in informatica vengono trattati in unità distinte, e quindi esistono diverse configurazioni degli elementi in analisi di fattibilità. Nell'analisi di primo ordine del linguaggio un sistema di informazione è anche un sistema per descrivere un'elaborazione per la sintesi dal punto di vista della programmazione. Un microelaboratore di calcolo può effettuare dei sequenziamenti rapidi isolandone una parte e trattando quella restante in modalità intermedie. (1) La prima definizione che viene in mente è quella di una serie di numeri cardinali, allo stesso modo di quelli trattati da Cantor per le serie finite.

A partire da logiche che si effettuano prima della dimostrazione, esistono delle relazioni simili alla riduzione di n interi nella logica del primo ordine che sono la frazione di un intero. Si tratta di un problema analogo a quello trattato da Popper nel metodo per costruire modelli di sequenze casuali*.

Si tratta anche di separare in logica attraverso i connettivi quei numeri che dobbiamo indicare e vengono in un certo senso “decostruiti” e ridotti alle possibili separazioni, come le “sezioni” dei numeri razionali così chiamati da Dedekind, per enumerare quindi e separare le unità. Allo stesso modo se prendiamo un calcolatore, esso registra prima i dati in ingresso e poi ne effettua una separazione in base a frazioni, oppure a serie continue, o ancora in base a dei traccianti.

Nella stessa unità il numero degli interi non è lo stesso di quello dei numeri razionali, ma è comunque un numero minore come N: 2. (2) in questo modo si ottiene, tra l'altro, la riduzione dell'informazione in sequenze che variano in base a percorsi minimi. “La riduzione dell'informazione (da 12 a 10 bit) qualora gli 0 e gli 1 siano usati nella stessa proporzione non è sensibile, e diventa minima per sequenze ancora più lunghe. La perdita è invece molto più sensibile se uno dei simboli ricorre più spesso dell'altro. Possiamo applicare questi concetti per stabilire la velocità di informazione di un messaggio nel linguaggio normale? Non con precisione, ma alcune valutazioni elaborate dagli esperti l'hanno definita molto bassa, e cioè di 1 bit per lettera, mentre una scelta senza restrizioni delle lettere accrescerebbe di 5 volte la quantità di informazione. Tutti gli elementi del linguaggio contribuiscono infatti a ridurre il contenuto dell'informazione, perché le regole ortografiche – ad esempio l'obbligo della “u” dopo la “q” - , la necessità di combinazioni pronunciabili, le regole grammaticali e perfino l'effetto del contesto su parecchie frasi limitano la scelta. Nella teoria dell'informazione tali limitazioni di scelta producono la cosiddetta ridondanza, perché se il testo dà meno informazione di quanta ne potrebbe dare vuol dire che, in teoria, una parte di esso non è necessaria. Un esempio di ridondanza nel corpo di una sola parola è dato da con, l'unica parola italiana ad avere le consonanti c, n in quest'ordine.

Nella pratica una certa ridondanza è essenziale per una trasmissione fedele perché, se è vero che in teoria si potrebbe inventare un codice che abolisca ogni ridondanza restringendo il linguaggio normale a un quinto del suo ingombro, c'è però da chiedersi che cosa succederebbe se usassimo tale codice per inviare un telegramma. Se fosse commesso un solo errore nella trasmissione, la macchina che all'estremità ricevente traduce dal codice darebbe un messaggio errato e magari perfettamente corrente quanto al significato. […] Estendendo la teoria dell'informazione ai segnali continui, sorge il problema che non esiste alcuna suddivisione soddisfacente del tempo in “gradini” successivi, i quali possono essere però inseriti campionando il segnale, cioè misurando l'intensità del segnale solo a intervalli fissi (tali tecniche trovano applicazione pratica in alcuni strumenti di comunicazione, come i moderni sistemi telefonici, ma ora queste applicazioni non ci riguardano

direttamente, perché il campionamento per noi è un esercizio del tutto teorico che ci permette semplicemente di misurare l'informazione contenuta in un segnale continuo). Ogni misurazione è come un singolo segnale in un sistema a notazione binaria.

Lo schema che spiega il campionamento dimostra anche che l'informazione ricavabile da tali campioni aumenta con l'aumentare della velocità dei campioni; ma ciò solo fino a un certo punto, perché esiste un termine oltre il quale è inutile aumentare la velocità del campionamento e oltre il quale non si ottiene alcuna informazione supplementare. Tale punto limite è determinato dalla frequenza del segnale che deve essere campionato.” (3)

(1) ”Uno dei fatti basilari che riguardano la teoria dell'informazione è che il ritmo con il quale possono essere trasmessi i messaggi attraverso un cavo per radio è limitato dall'ampiezza della banda disponibile (dipende cioè dalla capacità di informazione). Per un messaggio del tipo più semplice , del tipo inserito-disinserito come l'alfabeto Morse, basta una banda molto stretta, mentre un programma televisivo, in cui sono trasmessi milioni di “campioni” al secondo per la riproduzione dell'immagine, richiede una banda di frequenze molto ampia.

Come possiamo notare , un piccolissimo mutamento di lunghezza d'onda, nel settore delle onde ultracorte dello spettro, produce un fortissimo mutamento di frequenza: in questa parte dello spettro dunque c'è posto per un gran numero di trasmettitori di grande potenza, ciascuno con la sua assegnazione di frequenze. La teoria dell'informazione si occupa anche delle interferenze che disturbano le comunicazioni. […] Nelle reti telegrafiche e telescopiche, sia via filo che via radio, il disturbo può venire da varie cause , come per esempio dagli amplificatori o “ripetitori” di un cavo telefonico.

Altre cause di interferenze sono le tempeste e il bombardamento dell'atmosfera ad opera di particelle provenienti dal Sole. Persino il fluire degli elettroni in un filo può provocare disturbo, tanto che molte ricerche hanno per scopo la costruzione di apparecchi elettronici che possano mantenere il rapporto segnale-disturbo ad un livello soddisfacente.

Uno di questi strumenti è il maser, un cristallo capace di essere “caricato” di energia elettronica; quando si trova così caricato esso è in grado di ricevere segnali molto deboli e di ritrasmetterli enormemente amplificati. Il maser è molto silenzioso rispetto all'amplificazione che produce, e può essere reso ancora più silenzioso se tenuto a temperatura molto bassa (-268°C), in elio liquido.”

(2) K. Popper, Logica della scoperta scientifica, pag. 323.

(3) I mondi dell'uomo, Comunicazioni, pag. 335. In linguaggio informatico l'analisi si traduce da uno schema a una configurazione, attraverso l'uso di connettivi.

3.1 ”Ciascuna voce del dizionario occupa un numero fisso di “pacchetti” del calcolatore, un cosiddetto blocco. Nel nostro caso il blocco è costituito da 10 pacchetti contrassegnati con numeri consecutivi che vanno da 1000 a 1009. La parola precedente avrebbe i numeri dal 990 al 999 e quella seguente dal 1010 al 1019 e così via. Anche all'interno di ogni blocco c'è un ordine fisso: nel nostro caso, i primi 3 pacchetti – contrassegnati dal numero finale 0,1,2 – contengono il codice per la parola russa, i 3 seguenti – contrassegnati dal numero finale 3,4,5 – contengono il codice per la parola italiana; i rimanenti blocchi, terminanti con 6,7,8,9 - contengono le istruzioni grammaticali e idiomatiche necessarie per la traduzione della parola (ad esempio, “sostantivo con declinazione del tipo 17” o “verbo che vuole il complemento oggetto al genitivo” o “la forma idiomatica corrispondente ha il numero di codice.., e così via). Questo è il modello base per ogni voce del dizionario, cosicché tutte le parole russe avranno come contrassegno i numeri terminanti con 0, 1 2 e l'equivalente nell'altra lingua avrà sempre numeri terminanti con 3,4,5; anche le informazioni grammaticali, sintattiche e idiomatiche saranno nell'ordine indicato. Quando cerca una parola nel dizionario, il calcolatore non fa che paragonare il numero di codice di quella parola con i numeri di codice del dizionario (sottrae cioè una sequenza di numeri dall'altra, e se il risultato è 0 vuol dire che la parola è localizzata esattamente; ciò spiega anche come il calcolatore elettronico possa eseguire le varie fasi della traduzione senza “capire” quello che fa). Una volta trovati tutti i corrispondenti delle parole sul dizionario, questi vengono rimessi nell'ordine di partenza e raccolti nella memoria ognuno con le informazioni grammaticali inerenti e con le interpretazioni dei suffissi precedentemente separati. Se poi è necessario qualche altro dato, ad esempio un'informazione idiomatica, questo viene ricercato altrove nel dizionario e aggiunto alla parola cui si riferisce”. Vedere anche K. Popper, Logica della scoperta scientifica, pag.

331, su un procedimento di misurazione non predittivo. “Ora, l'assunzione che la posizione delle particelle nella direzione del loro cammino possa essere disturbata in qualche modo imprevedibile da una selezione secondo un dato impulso, non significa altro che la coordinata indicante la posizione di una particella risulterebbe alterata in qualche modo imprevedibile da questa selezione. Ma siccome la velocità della particella è rimasta immutata, quest'assunzione deve essere equivalente all'assunzione che, a causa di questa selezione, la particella deve essere saltata in modo discontinuo (con velocità superiore alla velocità della luce) a un punto diverso della traiettoria. Tuttavia

quest'assunzione è incompatibile con la teoria dei quanti, quale è accettata attualmente. Infatti, sebbene la teoria permetta salti discontinui, li permette soltanto in caso di particelle all'interno di un atomo (nell'ambito di Eigen-valori discontinui, ma non nel caso di particelle libere nell'ambito di Eigen-valori continui). È presumibilmente possibile (allo scopo di sfuggire alle conclusioni raggiunte qui sopra, o di sfuggire al principio di indeterminazione) escogitare una teoria che alteri la teoria dei quanti in modo tale da rendere compatibile con essa l'assunzione di un disturbo della posizione causato dalla selezione dell'impulso; ma anche questa teoria – che io chiamerei “teoria dell'indeterminazione” - potrebbe derivare, dal principio di indeterminazione, soltanto conseguenze statistiche e potrebbe pertanto essere corroborata soltanto statisticamente. All'interno di questa teoria il principio di indeterminazione sarebbe soltanto un'asserzione probabilistica formalmente singolare, anche se il suo contenuto andrebbe oltre quelle che ho chiamato le “relazioni statistiche di dispersione”. Infatti, come mostreremo più sotto con l'aiuto di un esempio, queste relazioni sono compatibili con l'assunzione che scegliere l'impulso non disturbi la posizione. Dunque, quest'ultima assunzione non ci permette di inferire l'esistenza di un “caso super puro”, quale è vietato dalle relazioni di dispersione. Quest'asserzione mostra che il metodo di misurazione che ho esaminato non modifica le formule di Heisenberg, se queste vengono interpretate statisticamente. Si può dunque dire che esso occupa, all'interno della mia interpretazione statistica, lo stesso “posto logico”, per così dire, che occupa, all'interno della sua interpretazione, l'asserzione di Heisenberg che nega la “realtà fisica” delle misurazioni esatte. In realtà, si potrebbe interpretare la mia asserzione come la traduzione in linguaggio statistico dell'asserzione di Heisenberg.”

La fine del periodo delle prime macchine calcolatrici è stata avvertita da una controtendenza nella scienza contemporanea basata soprattutto sulle tecniche della complessità, seguendo la definizione che ne dà Villani: “Dal più piccolo al più grande, in ogni livello di complessità, esistono degli enti la cui esistenza giustifica quel livello e le cui proprietà e trasformazioni, intese in senso lato, permettono di capire le situazioni e il divenire in quello ed in altri livelli di complessità. Questo, storicamente, ha portato alla nascita di specifiche discipline scientifiche. Per esempio nel livello molecolare di complessità gli enti sono le molecole, e con le loro proprietà e trasformazioni (reazioni chimiche) la chimica spiega tanto gli eventi del mondo microscopico quanto di quello macroscopico. La disciplina scientifica che fa capo al livello di complessità molecolare è, quindi, la chimica. Ovviamente i vari livelli di realtà sono interconnessi. Di sicuro i livelli a più alta complessità, presuppongono quelli più semplici. E' chiaro che le molecole presuppongono gli atomi e questi le particelle elementari, come è altrettanto evidente che le nazioni presuppongono gli individui, ecc. Tuttavia le proprietà degli enti di un determinato grado di complessità non possono essere completamente predette senza che gli enti di un piano d'inferiore complessità si uniscano, divenendo parti di un insieme più ampio, un sistema, e generino le specifiche proprietà sistematiche globali. In pratica, le molecole sono senz'altro costituite di atomi, ma alcune loro proprietà, come la fondamentale struttura molecolare, emergono solo a livello della molecola globale”. Da meccanismi e autovalori, quindi, è rilevante la conversione dei valori fisici in entità di calcolo, e questa tecnica di implementazione può essere utilizzata nella costruzione di sistemi di corroborazione attraverso metodi logici. Il meccanismo di sintesi delle entità fisiche indica che le priorità del funzionamento di queste macchine appartengono a principi scientifici nel primo e nel secondo ordine, che escludono quelle metafisiche, sottolineando l'importanza dei meccanismi di conversione. Si può inserire una probabilità di grado superiore a priori, essendo la probabilità di un risultato atteso un calcolo assegnato dagli autovalori. Si può inserire, anche, il complemento, dove in questi casi il valore rimane sé stesso oppure si trasforma in un autovalore.

Esistono macchine calcolatrici con meccanismi molto simili dal punto di vista dell'elaboratore in ricerca sequenziale finita, che era stato applicato da Leibniz e altri suoi contemporanei, per misurare la distanza tra due esperimenti ottici. Il meccanismo delle macchine calcolatrici rispetto alle macchine basate sul valore atteso (autopoiesi) che sono sia dal punto di vista statistico che quello algebrico finalistici escludono principi di semi-decidibilità. La sintesi è che la costruzione del prospetto fisico ritrae un microsistema, e esistono elementi di transazione tra l'uno e l'altro. Il “matematismo” cartesiano è stato lungamente discusso in età moderna perché attraverso caratteri assiomatici e deduttivi possiamo pervenire a un'ipotesi o ad un'altra. Poiché tra i fondamenti della struttura molecolare si associano componenti della struttura molecolare più elementare, il metodo è quello di utilizzare le fasi successive di questa macchina. E' ovvio che a questa si associano le funzioni che si presentano come un elenco o quote, per esempio, nell'ambiente di calcolo distribuito

(1). Esistono poi diversi ordini di grandezza per il secondo ordine, per il metodo di distribuzione.

(2) In Cartesio la res extensa fa riferimento alla geometria, gli attributi reali della res extensa sono quelli che è possibile misurare e calcolare in matematica, ma non quelli che è possibile misurare attraverso dati sensibili. Anche nel funzionalismo computazionale si riconducono indirizzi filosofici pertinenti allo schematismo. Il reale funzionamento delle macchine è rappresentato da valori numerici e non numerici, inoltre in filosofia si passa dalla filosofia computazionale alla scienza computazionale. Il pragmatismo, per esempio, tra le scienze computazionali, vede la macchina artificiale come puro strumento di calcolo. Il razionalismo intende invece il rapporto uomomacchina come un esperimento visivo o logico o implicazionale con la macchina stessa.

(1) G. Villani, Complesso e organizzato, sistemi strutturati in fisica, chimica, biologia ed oltre, pag. 94 (2) G. M. Schneider, J. L. Gersting, Informatica, Apogeo, 2007, pag. 239. “Verso la fine degli anni '80 e l'inizio degli anni '90 l'informatica cambiò rapidamente, passando dall'ambiente centralizzato tipico dei sistemi batch, multiprogramma e time-sharing, a un ambiente distribuito in cui gran parte dell'attività di elaborazione era svolta in remoto in uffici, laboratori, classi scolastiche e fabbriche. Si passò dal centro di calcolo ai luoghi in cui era

effettivamente svolto il lavoro reale. Per i primi personal computer erano disponibili semplici sistemi operativi monoutente che fornivano a un unico utente l'accesso totale all'intero sistema. Poiché i personal computer erano economici, non vi era grande necessità che più utenti condividessero le proprie risorse, e i progetti time-sharing e multiprogramma della terza generazione persero di importanza.”

2.1 G. M. Schneider, J. L. Gersting, Informatica, Apogeo, 2007, pag. 175-179 a proposito dell'unità aritmetico-logica.

“Nella terminologia informatica la macchina, il robot, la persona o l'entità che esegue i passaggi dell'algoritmo si chiama agente di calcolo. L'informatica può essere considerata come la scienza della risoluzione di problemi mediante algoritmi. Gran parte del lavoro di ricerca e sviluppo in questa disciplina consiste nello scoprire algoritmi efficienti e corretti per un'ampia varietà di problemi interessanti, studiare le loro proprietà, progettare linguaggi di programmazione in cui tali algoritmi possano essere codificati, pianificare e costruire computer in grado di eseguire automaticamente tali algoritmi in maniera efficiente”.

I connettivi logici vengono utilizzati sia per definire le funzioni proposizionali del linguaggio, che per tradurre modelli numerabili tramite anche dei quantificatori. Alle stesse derivazioni arrivò Hilbert provando a costruire delle geometrie che trovassero in un punto applicazioni tramite dei logaritmi che potessero ridursi (tramite la geometria euclidea) fino ad arrivare ad equazioni finite.

Problema, questo, che riguarda la matematica e l'analisi, perché permettono di risolvere per esempio gli stati energetici per le onde elettromagnetiche che vengono dimostrate in analisi come onde stazionarie. Allo stesso modo, troviamo figure in geometria che vengono proiettate all'interno di una formula matematica, per esempio i postulati del piano si risolvono senza ricorrere alle equazioni diofantee, per esempio le equazioni di secondo grado ad una incognita. In informatica esistono, invece, diversi tipi di proiezione. Il calcolatore numerico riceve segnali in diverse fasi, che sono fasi analoghe per il calcolatore analogico. Il problema della riduzione e dell'equivalenza della transizione fu affrontato anche da Popper nella Logica della scoperta scientifica (breve schizzo dell'interpretazione statistica della teoria dei quanti), e per la frequenza delle classi finite (il calcolo generale della frequenza nelle classi finite). (1) Le onde elettromagnetiche allo stato energetico iniziale passano per stati energetici medi che utilizziamo in un calcolatore analogico per mezzo di logaritmi. Maggiore in generale sarà la quantità di energia, minore è la capacità che hanno di trasmettere stati amplificati dell'energia. Per le leggi della relatività, molti risultati non spiegabili dalla fisica newtoniana non sono calcolabili attraverso delle serie di informazioni elaborate attraverso un programmatore, ma attraverso un calcolatore che inverta i segnali in entrata. La teoria degli insiemi può essere molto utile per classificare le frequenze, in senso lato, in base alla teoria frequentista. Esiste anche una suddivisione degli insiemi che si ottiene reinterpretando i parametri del sistema indipendente, o addirittura risolvendoli in un sistema unico di equazioni, tipicamente le equazioni lineari. (2) La programmazione standard era in grado di eseguire calcoli in logica intensionale, deterministici, e rappresenta in ambito logico l'architettura logica sillogistica (Kant) che siamo in grado di calcolare tramite delle istruzioni e dei segnali. Esiste poi la superprogrammazione, che isola le componenti tramite una logica delle sequenze.

(1) K. Popper, Logica della scoperta scientifica, Il carattere autocorrettivo della scienza, pag. 240 e pag. 317.

(2) Analisi matematica 2, pag. 377-380.

Dato che nella teoria speciale della relatività 1) la velocità della luce è la stessa per tutti, qualunque sia il metodo utilizzato per misurarla, e 2) le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di riferimento stazionario o che si muova a velocità costante, il calcolatore viene comparato esattamente al programmatore, quando lo schema di calcolo numerico è lo stesso per il programmatore. A questo punto invertendo lo schema di calcolo il risultato è diverso per il programmatore e il calcolatore numerico registra tutte le informazioni perché tutti i dati vengono tradotti in un codice numerico sia per la memoria del calcolatore che per il controllo. (1) Nel calcolatore analogico esiste un'unità di controllo che il codice numerico registrato su un disco magnetico che assume l'unità elabora attraverso delle variazioni del programmatore. Per questo la teoria generale della relatività non presuppone che esiste una determinata velocità a una certa curvatura dello spazio, che è molto simile al paragonare un programmatore a un calcolatore analogico in grado di sviluppare fasi di calcolo nell'unità numerica, come in un sistema di algoritmi nel sistema binario in un calcolatore veloce.

Il significato del termine di informazione elettronica non prevede lo stesso procedimento matematico e logico per la teoria delle potenze (2). Nelle informazioni ricevute da un ricevitore telescrivente a codice alfanumerico, per esempio, gli stati sono enumerati ma non è ancora possibile parlare di “universalità numerica”, come nel caso degli oscillatori di quantità di energia minore. Per enumerare è necessaria una formula, oppure delle asserzioni che escludono quelle “strettamente universali”, ma ciò naturalmente non è possibile a causa del sistema di verificazione adottato e del metodo scientifico per canalizzare i segnali, e soprattutto a causa delle equazioni matematiche atte a tradurre in segnali positivi, oppure per il teorema moltiplicativo. Per uno di questi motivi la teoria dell'informazione si basa sul comportamento dei segnali, per tradurre al calcolatore l'unità di controllo deve enumerare in più fasi (3) per enumerare più tipologie di canali convertendo in un'unità numerica.

“Per vedere come si possano misurare le diverse capacità dei canali, prendiamone due, di cui uno – che chiameremo A – è un semplice circuito di telescrivente, e l'altro – B – è ancora più semplice, perchè costituito da un interruttore collegato a una lampadina. Quando si schiacciano i tasti all'estremità trasmittente del canale A, le lettere corrispondenti a quei tasti vengono riprodotte sulla telescrivente di un'altra stazione. Per comodità supponiamo che i tasti siano 31, così da comprendere anche i tasti per i segni di interpunzione e per lo spazio di separazione delle parole. Si può schiacciare solo un tasto alla volta e ogni tasto schiacciato va considerato come un segnale possibile. Questa tastiera dispone in realtà di 32 diverse posizioni, o stati, giacché si deve considerare anche lo stato in cui non viene schiacciato alcun tasto, il che è pur sempre un segnale (col significato di “non scrivere nulla”), come tutti gli altri trasmissibili lungo quel canale. Fissiamo la velocità del canale A supponendo si possano schiacciare 5 tasti, e quindi scrivere 5 lettere, al secondo – una velocità ragionevole. L'idea fondamentale di Shannon, molto semplice ma anche molto importante, è che l'informazione effettivamente inviata attraverso un canale può essere misurata contando quanti diversi messaggi possono essere inviati per suo mezzo alternativamente.

L'idea è un po' più complicata di quanto sembri a prima vista: sul canale A nel primo quinto di secondo si può inviare uno dei 32 messaggi – A, B, C.. (compreso il messaggio senza tasto).

Per un quinto di secondo abbiamo dunque 32 alternative; nel successivo quinto di secondo abbiamo ancora 32 alternative, ma il messaggio che può essere inviato in questi due quinti di secondo è una qualsiasi delle coppie possibili di tasti – AA, AB, AC...; BA, BB, BC..; CA.. - e si tratta, compresa l'alternativa senza tasto, di un numero pari a 32x32, cioè 1024 alternative. In tal modo, ogni susseguente quinto di secondo moltiplica il numero delle alternative per l'intero messaggio per 32: dopo tre quinti di secondo il numero è 1024x32, cioè 32.768 e così via.”

(1) I mondi dell'uomo, categoria Tecnica, pag. 324.“Supponiamo di voler conoscere la velocità di fuga di un determinato pianeta, cioè la velocità minima che un corpo, ad esempio un razzo, deve raggiungere per sfuggire all'attrazione gravitazionale del pianeta. Non possiamo misurare la velocità di fuga direttamente, ma conoscendo la formula giusta e avendo il raggio del pianeta e la sua gravità, possiamo calcolarla: v = √2r x g in cui v è la velocità, r il raggio e g l'accelerazione di gravità.

Il calcolo riportato ci dice che per la Terra la velocità di fuga è di km 11,2 al secondo, mentre per la Luna è di soli km 2,38 al secondo. Un tecnico spaziale sa così che un razzo avrà bisogno di molto meno combustibile per ritornare dalla Luna di quanto non gliene sia occorso per partire dalla Terra, e dovrà tenerne conto, naturalmente, nei progetti e nei calcoli nella costruzione del razzo stesso”.

V = √2 x 6378 x 0,00981 km al sec log 2 = 0,30103 log 6378 = 3,80468 log 0,00981 = 3,99167 sommare = 2, 09738 dividere per 2 = 1,04869 antilog = 11,19 v = 11,2 km al sec (2) Metafisica per assurdo, pag. 159-162 (3) I mondi dell'uomo, categoria Comunicazioni, pag. 328. “Ora che disponiamo del sistema per dividere il tempo di un segnale continuo ci occorre un sistema per dividerne anche l'intensità o ampiezza. Con quanta precisione dobbiamo definire l'intensità di ogni campione? Supponiamo che l'intensità massima di un segnale sia di un'unità: un segnale che diremo di mezza unità sarà veramente di cinque decimi, o di otto sedicesimi, o di 500.000 milionesimi? Queste espressioni rappresentano infatti tutte “mezze unità”, ma ciascuna dà una definizione sempre più particolareggiata

dell'intensità di quel segnale. Se i nostri canali di informazione fossero perfetti non ci sarebbe limite alla precisione della definizione, ma in pratica in qualsiasi canale c'è sempre qualche rumore la cui intensità limita la precisione della definizione che possiamo scegliere. [..]

Nei calcolatori tutti i numeri sono di solito raccolti e tradotti in unità di lunghezza fissa, dette tecnicamente parole. Per evitare confusioni, tuttavia, chiameremo ora queste “parole “ del calcolatore pacchetti, lasciando al primo vocabolo il suo senso solito. La lunghezza di tali pacchetti è determinata dalla capacità dell'unità aritmetica utilizzata: pertanto, se la sua capacità è tale che può trattare fino a 15 cifre in qualsiasi operazione, la lunghezza del pacchetto è di 15 cifre. Se i pacchetti sono a lunghezza fissa, quando una sequenza di numeri è inferiore a tale lunghezza lo spazio superfluo sarà riempito da zeri; allo stesso modo, quando la sequenza è più lunga ciò che avanza va nel pacchetto seguente e gli spazi in più saranno ugualmente riempiti con degli zeri. La memoria di un calcolatore elettronico può dunque essere immaginata schematicamente come un complesso di caselle, ognuna delle quali ha la lunghezza del pacchetto.”

Al fine di costruire una misurazione dobbiamo limitare le sottoclassi del dominio di applicazione, se esse sono funzione della teoria in modo tale da produrre degli eventi, o degli spazi metrici. Spesso le sottoclassi fanno parte di sottospazi in un insieme che utilizziamo tramite spazi di R. Esistono importanti relazioni degli spazi topologici per la cognizione di sottospazi algebrici: 1) Ogni intervallo chiuso e limitato in R è un compatto. In Rn, in più, un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato (vedi il teorema di Heine-Borel).

2) Ogni immagine continua di uno spazio compatto è compatta.

3) Un sottospazio compatto di un sottospazio di Hausdorff è chiuso.

4) Uno spazio metrico è anche uno spazio di Hausdorff, e anche normale e paracompatto.

5) Il teorema di estensione di Tietze: in uno spazio normale, ogni funzione continua a valori reali definita su un sottospazio chiuso può essere estesa ad una mappa continua definita sull'intero spazio.

Le altre importanti relazioni nelle sottoclassi sono: 1) Teorema di Tychonoff: qualunque prodotto di spazi compatti è compatto.

2) Ogni successione di punti in uno spazio metrico compatto ha (almeno) una sottosuccessione convergente.

3) Ogni intervallo in R è connesso.

4) L'immagine continua di uno spazio connesso è connessa.

5) Teorema del punto fisso di Brouwer: ogni funzione continua che mandi la palla unitaria in sé stessa ha un punto fisso.

6) Il teorema di metrizzazione fornisce condizioni necessarie e sufficienti per una topologia su uno spazio metrico.

7) Il teorema delle categorie di Baire: se X è uno spazio metrico completo o uno spazio di Hausdorff localmente compatto, allora l'interno di ogni unione di insiemi numerabili discreti è vuoto.

8) Su uno spazio di Hausdorff paracompatto, ogni ricoprimento aperto ammette una partizione di unità subordinata alla copertura.

9) Ogni spazio connesso per archi, localmente connesso per archi e semi-localmente semplicemente connesso ha un rivestimento universale.

Le soluzioni dell'equazioni di campo, le quali dipendono dal sistema adottato nelle situazioni in cui tutti i parametri hanno valori che le equazioni di Maxwell del campo elettro-magnetico risolvono tramite un operatore minimo, o nullo, mentre le equazioni del campo di Einstein possiedono valori molto più alti, utilizziamo in cosmologia tipi diversi di metrica, - m diverso da 0, a = 0, Q = 0 (corpo dotato di massa, non rotante, scarico) soluzione di Schwarzschild – m diverso da 0, a diverso da 0, Q = 0 (corpo dotato di massa, rotante, scarico) soluzione di Kerr – m diverso da 0, a = 0, Q diverso da 0 (corpo dotato di massa, non rotante, carico) soluzione di Reissner-Nordstrom – m, a e Q diversi da 0 (corpo dotato di massa, rotante, carico) soluzione di Kerr-Newman

La metrica di Kerr-Newman è equivalente sia per il sistema assiale che per il tensore metrico, e quindi è una rappresentazione lineare delle coordinate nel loro posizionamento per intero nel sistema locale (di riferimento).

Allo stesso modo possiamo dedurre le dimensioni di una geometria piana sia quando la dimensione dell'insieme di curve è un elemento dello spazio, sia quando contiene elementi lineari della retta.

Nonostante si tratti di un termine quadratico, ds² può assumere valore negativo: seguendo l'impostazione di Minkowski, se ds²<0 l'elemento ha natura di uno spazio (termini spaziali prevalenti su quello temporale); viceversa, se ds²>0, l'elemento ha natura di un tempo. In definitiva, non c'è una netta demarcazione fra spazio e tempo, ma appunto un “continuum”: si dice che è uno spazio o un tempo, a seconda che l'elemento è “più uno spazio” o “più un tempo”, in base alla componente che prevale. Analoga conferma viene dalla radice simmetrica del tensore fondamentale [..] nella quale in presenza di un campo gravitazionale compaiono componenti miste, che appartengono a due delle 4 dimensioni del continuum. (1) Propriamente, un punto non ha significato fisico. L'elemento base della teoria è detto punto piccolo infinitesimale, che in realtà è un segmento piccolo arbitrariamente che tende a una lunghezza zero, ossia due punti che tendono a coincidere in uno solo.

Il passo successivo è la definizione di una geodetica, ossia di una traiettoria “naturale” del punto nello spazio tempo. Come l'elemento lineare ds, essa è una linea che unisce che unisce due punti dello spazio tempo.

La particolarità è che per una geodetica si ha un estremo per integrale ds. La geodetica pertanto non dipende dal sistema di riferimento, in quanto legata, nella sua definizione, ad una somma (integrale nel continuo) di elementi lineari ds la cui definizione non dipende dal sistema di coordinate.

(1) Se il criterio di appartenenza potrebbe ancora rientrare all'interno di uno studio diagrammatico che non si occupa di investigare di investigare le ipotesi fondamentali (logica utens), la generalizzazione certamente non può evitare di sviluppare criteri che appartengono alla logica intesa come teoria dei tipi di ragionamento e delle garanzie di conoscenza che essi offrono (logica docens). Infatti, la generalizzazione che si ottiene con l'elevamento a potenza esige dei criteri di identità e di comparazione (come il concetto di equipotenza) che esulano della esclusiva “fattività” della matematica pura. G. Maddalena, Metafisica per assurdo, pag. 145.

Dalle formule e regole di inferenza, possiamo costruire un sistema assiomatico se le ipotesi sono dedotte contingentemente tramite la deduzione, mentre possiamo costruire un'assiomatica quando le regole del sistema vengono dedotte insieme dal sistema assiomatico e da principi deduttivamente validi. Ricordiamo che l'assiomatica è la disciplina che indica qualunque sistema deduttivo, che in logica definiamo logica delle funzioni. La riduzione ontologica fa parte del sistema assiomatico, per indicare una riduzione delle proprietà. Quella delle proprietà è basata sui linguaggi descrittivi, tipico il caso delle particelle atomiche, attraverso la quantificazione dei singoli atomi (o molecole).

La riduzione teorica è un tipo di riduzionismo applicato alla fisica e alla chimica, e quindi vale per i principi fisico-chimici ed è largamente utilizzata anche nella teoria dei sistemi complessi.

La riduzione logica o definitoria estende il concetto di insieme, dedotto nelle sue varie parti, a un'estensione del concetto e delle proprietà logiche. Se si tratta di logiche estensionali, oppure di logica induttiva, abbiamo diverse argomentazioni a favore o no di questo tipo di riduzionismo. Per esempio, è possibile applicare una generalizzazione di tipo numero. Anche in logica matematica, questo tipo di riduzionismo pone diversi problemi a livello di entità e classi di definizione.

La riduzione causale è frequente nelle funzioni di denotazione. Il tipo di comprensione della logica riduzionista che viene utilizzata, infatti, dipende dalla completezza del sistema.

(1) Dal modo in cui Newton e soprattutto Hilbert impiegano questa terminologia sembrano emergere la volontà di definire assioma qualunque premessa sulla quale possa essere costituito un sistema deduttivo, rinunciando del tutto a parlare di postulati.

Un mondo così indecidibile presuppone le contraddizioni della filosofia contemporanea e l’impossibilità di porre limiti alla filosofia del digitale?

Gödel costruì la sua affermazione indecidibile trovando una versione formale del paradosso logico “questa affermazione è falsa” o , più precisamente, di “questa affermazione non ammette una dimostrazione”. Però in logica matematica un'affermazione non può riferirsi a se stessa: “questa affermazione” non significa niente nel sistema formale in cui si lavora. Gödel trovò un modo ingegnoso per ottenere lo stesso risultato senza violare le regole, associando un codice numerico a ogni affermazione formale. Quindi una dimostrazione di un'affermazione corrispondeva a una sequenza di trasformazioni del corrispondente numero di codice. E così il sistema formale poteva dare un modello dell'aritmetica....e quindi l'aritmetica poteva anche dare un modello del sistema formale. All'interno di questa costruzione, e ammettendo che il sistema formale sia non contraddittorio, l'affermazione P la cui interpretazione era essenzialmente “questa affermazione non ammette una dimostrazione” deve essere indecidibile. Se P ammette una dimostrazione, allora P è vera, e quindi in base a come è definita P non ammette una dimostrazione: contraddizione. Ma il sistema è non contraddittorio, e quindi questo non può succedere. D'altra parte, se P non ammette una dimostrazione, allora è vera. Quindi non-P non ammette una dimostrazione. Quindi né P né non-P ammettono una dimostrazione.

1) l'insieme che ha B come ineunt e A come exeunt.

Nel 1859 Georg Riemann scrisse un articolo breve e incredibilmente innovativo in cui mostrava che le proprietà analitiche della funzione zeta rivelano profonde caratteristiche statistiche dei numeri primi, tra cui il teorema dei numeri primi di Gauss.

1) l'insieme che non ha ineunt e ha A e B come exeunt 2) l'insieme che ha A come inieunt e B come exeunt La costruzione di Gauss dipende da due semplici fatti circa il numero 17: è primo, ed è uno più di una potenza di 2. Tutto il problema si riduce più o meno a scoprire quali numeri primi corrispondono a poligoni costruibili, e le potenze di 2 c'entrano perchè ogni costruzione euclidea consiste nell'estrarre una serie di radici quadrate: questo implica in particolare che le lunghezze di tutti i segmenti che compaiono nella costruzione devono soddisfare equazioni algebriche il cui grado sia una potenza di 2. L'equazione chiave per il 17-gono è x16+x15+x14+x13+x12+x11+x10+x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1 = 0 dove x è un numero complesso.

1) l'insieme che ha A e B come inieunt e nessun exeunt Attorno al 1675 sia James Gregory sia Gottfried Leibniz scoprirono che

π/4= 1 – 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 - …. questa formula converge troppo lentamente per essere utile per calcolare π: una buona approssimazione richiederebbe un'enormità di termini. Ma altre serie strettamente imparentate furono usate nel XVIII e nel XIX secolo per trovare varie centinaia di cifre di π. Nel XVII secolo Lord Brouncker scoprì una “funzione continua” infinita e furono scoperte varie formule da parte di Eulero sulla divisibilità del π, mentre le funzioni di convergenza per calcolare specifiche cifre del π.

1) l'insieme che ha B come inieunt e A come exeunt.

– In un sistema formale che sia sufficientemente ricco da includere l'aritmetica esistono affermazioni indecidibili, cioè affermazioni che non possono essere né dimostrate né confutate all'interno di quel sistema – se un sistema formale che sia sufficientemente ricco da includere l'aritmetica è logicamente non contraddittorio, è impossibile dimostrare la sua non-contraddittorietà all'interno del sistema.

1) l'insieme che ha non ha ineunts e ha A e B come exeunts 2) l'insieme che non ha inieunt e ha A e B come exeunt Per Cantor la teoria degli insiemi appartiene alla matematica pura e non a quella applicata perchè secondo lui ogni applicazione richiede dei presupposti metafisici e, visto che la teoria degli insiemi non deve controllare la “verità transiente” delle proprie asserzioni, cioè non deve appoggiarsi a nessuna metafisica, essa è libera o pura per Peirce, invece, l'applicazione comincia con l'inserimento della logica, cioè non appena si formula un paragone tra due grandezze implicando una concettualizzazione o una generalizzazione del puro “gesto matematico”: l'applicazione comincia dal concetto di insieme e dal fatto che esso abbia una certa grandezza.

Per la definizione di insieme, 1) le proprietà dell'insieme possono consistere nel possesso di certe proprietà da parte di certi individui primari, chiamati i suoi inieunts o membri, e quindi 2) le proprietà dell'insieme possono consistere nel possesso di certe proprietà da parte di certi altri individui, diversi dai suoi inieunts ma della stessa categoria, chiamati i suoi exeunts.

Dopo aver stabilito i punti dati, il sistema è definito in geometria. Il sistema non appartiene più all'intorno da quella distanza del punto dato, o appartiene a uno specifico punto dell'insieme in una certa posizione nel sistema. Perché è impossibile calcolare in serie i numeri razionali, i decimali sono espressi sempre in cifre e hanno dei punti sulla linea retta e sono sempre funzioni di matematica applicata. I termini di successione si ripetono per intervalli decimali, il sistema è definito all'interno di un punto. Il sistema non possiede più la stessa distanza dal punto geometricamente dato.

A partire, quindi, da una proiezione della matematica che permetta di classificare e ordinare le varie tipologie di numeri, e le loro relative proprietà (1), bisogna – stabilire dei diversi punti di un intervallo – porre questi segmenti in una relazione biunivoca – utilizzare il concetto di limite – considerare degli elementi di probabilità o statistica – porre una cardinalità superiore al numerabile in un ruolo centrale

– definire la scala delle potenze La “continuità analitica della teoria delle funzioni” (2), considerando che la geometria proiettiva è una geometria iperpiana, e quindi non ci sia un solo punto per ogni distanza dall'origine, quindi non è risolvibile in termini puramente matematici, si verifica quasi sempre come una costante in quanto la funzione ha entrambe le proprietà della geometria descrittiva che di quella iperpiana.

Gran parte delle teorie moderne nei sistemi con cardinalità superiore devono tenere conto sia di una misurazione accurata, sia della definizione di un sistema aperto. (3) “Le antiche definizioni – il fatto che parti adiacenti abbiano i limiti in comune (Aristotele), l'infinità divisibilità (Kant), il fatto che tra due punti ce ne sia un terzo (che è vero del sistema dei numeri razionali) sono inadeguate”, quindi tra matematico-sintetico e logico-analitico nasce una suddivisione delle forme matematiche importante per la fisica e la filosofia della scienza, legata alle distanze finite e alle serie continue.

“Per superarla Cantor applica lo stesso principio di produzione all'intero insieme dei numeri ordinali che hanno la stessa potenza. Se si dà ad essi lo stesso “numero di classe” che servirà per definire l'insieme ben ordinato di tutti gli ordinali, avremo, al di fuori della successione di numeri già stabilita, un ω che è il primo ordinale maggiore di tutti gli ordinali. Se chiamiamo No la potenza della serie di tutti gli ordinali numerabili, possiamo allora costruire la classe N1 che corrisponde alla classe di tutti gli ordinali più che numerabili.” (4) Allora, a questo punto, ci si avvale della definizione di enumerazione e del concetto stesso di divisibilità.

(1) G. Maddalena, Metafisica per assurdo, Peirce e i problemi dell'epistemologia moderna, pag. 177-184. Si considera la parte più importante che riguarda la dimensione di partenza, la teoria dei numeri, le proprietà degli insiemi numerici infiniti, il principio di equipotenza.

(2) pag. 201 (3) pag. 201 (4) pag. 182. “Chiaramente Cantor cercò di stabilire una corrispondenza tra questa classe così ottenuta dalla scala degli ordinali e la classe dei 2(No) ottenuta attraverso la scala delle potenze ma la corrispondenza non ha potuto essere dimostrata facendo rimanere allo stadio di ipotesi il concetto di continuo, che infatti può anche essere espresso dalla formula 2 (No) = N1”. Si tratta, questo, di un problema classico di filosofia della matematica.

Se il primo esperimento di costruzione delle immagini di corpi estesi per lenti convergenti biconvesse (1) è un fenomeno di diffrazione, allora il secondo è un fenomeno di interferenza con distanza eguale dal raggio e reversibilità dei coefficienti di asse di gravità (diottro sferico), per cui la lente divergente biconcava presenta molte difficoltà di applicazione, essendo statisticamente equiparabile.

(1) K. Popper, Logica della scoperta scientifica, pag. 349, A proposito della cosiddetta “logica dell'induzione” e della “probabilità delle ipotesi”. “Le teorie scientifiche non possono essere mai essere “giustificate” o verificate. Ma, a dispetto di ciò, un'ipotesi A può, in certe circostanze, realizzare di più di quanto non realizzi un'altra ipotesi, B, magari perché B è contraddetta da certi risultati delle osservazioni, e perciò “falsificata” da tali risultati, mentre A non è falsificata, o forse perché con l'aiuto di A si può derivare un numero di previsioni maggiore di quello che si può derivare con l'aiuto di B. Il meglio che possiamo dire di un'ipotesi è che finora è stata capace di mostrare quello che vale, e che ha avuto più successo di quanto non ne abbiano avuto altre ipotesi benché, in linea di principio, non possa mai essere giustificata o verificata, e neanche si possa mostrare che è probabile. Questa valutazione delle ipotesi si affida unicamente alle conseguenze deduttive (predizioni) che si possono trarre dall'ipotesi: non c'è neppure bisogno di menzionare l'induzione. L'errore che si compie di solito in questo campo può essere spiegato storicamente: la scienza era spiegata come un sistema di conoscenza, di conoscenza certa fin dove era possibile renderla tale. L'”induzione” doveva garantire la verità di questa conoscenza. Più tardi divenne chiaro che la verità assolutamente certa è irraggiungibile. Così si tentò di ottenere, al posto suo, almeno qualche specie di certezza o di verità annacquate: cioè a dire si tentò di ottenere la “probabilità”.

Ma il parlare di “probabilità” invece che di “verità” non ci aiuta a sfuggire al regresso infinito o all'apriorismo. Il concetto di probabilità si usa in fisica e nella teoria dei giochi d'azzardo in un modo ben definito, che può essere in modo soddisfacente con l'aiuto del concetto di frequenza relativa (seguendo in ciò von Mises). I tentativi compiuti da Reichenbach, di allargare questo concetto in modo da fargli comprendere la cosiddetta “probabilità induttiva” o la “probabilità delle ipotesi” è destinato a mio parere al fallimento, anche se, per parte mia, non ho alcuna obiezione contro l'idea di una “frequenza della verità” all'interno di una sequenza di asserzioni, idea che Reichenbach tenta di invocare. Le ipotesi infatti non possono essere interpretate soddisfacentemente come frequenze di asserzioni, ed anche se si accetta quest'interpretazione non si guadagna proprio nulla: si è solo trascinati a svariate definizioni, profondamente insoddisfacenti, della probabilità di un'ipotesi. Ad esempio, si è condotti a una definizione che attribuisce la probabilità ½ - invece della probabilità 0 – a un'ipotesi che sia stata falsificata molte volte; questa infatti, è la probabilità che si dovrebbe attribuire all'ipotesi se questa risultasse falsificata da un risultato sì e uno no dei controlli ai quali viene sottoposta. Si potrebbe forse prendere in considerazione la possibilità di interpretare l'ipotesi non come una frequenza di asserzioni, ma piuttosto come un elemento di una sequenza di ipotesi e di attribuirle un certo valore di probabilità in quanto elemento di una tale sequenza (anche se non in base a una “frequenza di verità” ma piuttosto in base a una “frequenza di falsità” all'interno di quella sequenza). Ma anche questo tentativo è alquanto insoddisfacente. Semplici considerazioni ci conducono al risultato che in questo modo è impossibile arrivare a un concetto di probabilità che soddisfi anche la modestissima richiesta che un'osservazione falsificante produca un'accentuata diminuzione della probabilità delle ipotesi.

Esistono poi diverse configurazioni geometriche, quindi è possibile che delle ipotesi riguardanti una serie geometrica, possono avere diversi gradi di comparazione. Tuttavia, è difficile effettuare una comparazione tra serie matematiche e serie che non riguardano la matematica. In questo caso, le differenze, ovviamente, possono riguardare gli strumenti che vengono adottati in questo metodo di misurazione, e quali risultati si devono ottenere. In logica questi argomenti riguardanti le serie matematiche sono stati trattati attraverso i teoremi di completezza, la riduzione, un modello geometrico di piano (1) e altre diverse configurazioni. Non tutto, ovviamente, rientra in un modello di logica formale che ponga sullo stesso piano le teorie moltiplicative e gli assiomi di Euclide.

(1) P. Odifreddi, pag. 167, Le menzogne di Ulisse, L'avventura della logica da Parmenide ad Amartya Sen

Il principio di Huygens - Fresnel dimostra che le equazioni fondamentali della statica hanno anch'esse una sorgente d'onda, stabilita una circonferenza a una superficie d'onda principale variabile. Per cui l'interferenza contiene su due piani diversi di derivazione una successione statistica che risponde sempre e comunque alla prima definizione, e raramente alla seconda legge.

Quindi le sorgenti coerenti nell'interferenza possono essere anche decoerenti per k*ƛ/2. Per la diffrazione, i sievert rispondono a lunghezze d'onda in direzione di propagazione, ma anche l'interferenza, come il presupporre che in geometria sferica esistano piani perpendicolari, che vengono calcolati attraverso il binomio di un quadrato, direttamente legata alla radioastronomia.

Dal punto di vista formale, è una definizione circolare: richiede che i casi possiedano tutti la medesima probabilità, che è però ciò che si vuole definire, che è anche valido per il presupposto di B, cioè che non definisce la probabilità in caso di eventi non equiprobabili. La definizione assiomatica definisce nell'insieme delle parti tutta la classe dei suoi sottoinsiemi per mezzo di teoremi, per questo definisce anche una definizione semplice di equiprobabilità. Il possibile uso sia per l'uso oggettivista che per l'uso soggettivista prevede un tipo particolare di asserzioni probabilistiche, che riguardano sia la probabilità di A che la funzione stessa a due stadi.

1. Gli eventi sono sottoinsiemi di uno spazio omega e formano una classe additiva A, ovvero se 2. L'intersezione tra due eventi appartiene a insiemi diversi A e B In termini di randomness [assioma del disordine, in cui una sequenza di eventi è definita secondo delle “propensioni regolari” delle frequenze in un collettivo] la logica definisce comunque un'equiprobabilità e un uso scientifico della probabilità, in altre parole restituisce la probabilità di eventi equiprobabili, ma occorre comunque che la funzione di probabilità sia “letta” all'interno della classe di riferimento.

Si perviene al teorema della probabilità composta, che consente di calcolare la probabilità dell'intersezione di due o più eventi, ovvero la probabilità che essi si verifichino tutti.

Nel caso che la probabilità di A dato B, P(A|B), sia uguale a P(A), i due eventi vengono definiti indipendenti stocasticamente (o probabilisticamente) e dalla stessa definizione segue una diversa formulazione della probabilità composta, caso particolare del precedente: P(A∩B)=P(A)P(B).

Il teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità a posteriori di un evento Ai, quando si sappia che si è verificato un evento E. Se Ai appartiene ad un insieme finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, e se E si verifica allora si verifica necessariamente uno degli eventi di tale insieme (ed uno solo, dato che sono incompatibili), allora, conoscendo le probabilità a priori degli eventi Ai e le probabilità condizionate P(E|Ai) e sapendo che si è verificato E, si può calcolare la probabilità a posteriori di un particolare Ai: Più discorsivamente: se si conoscono sia le probabilità a priori delle diverse possibili "cause" di E (ma non si sa per effetto di quale di esse E si è verificato), sia le probabilità condizionate di E data ciascuna delle cause, è possibile calcolare la probabilità che E si sia verificato per effetto di una particolare causa.

L'impostazione assiomatica della probabilità venne proposta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov nel 1933 in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Concetti fondamentali del calcolo delle probabilità), sviluppando la ricerca che era ormai cristallizzata sul dibattito fra quanti consideravano la probabilità come limiti di frequenze relative (cfr. impostazione frequentista) e quanti cercavano un fondamento logico della stessa.

Va notato che la definizione assiomatica non è una definizione operativa e non fornisce indicazioni su come calcolare la probabilità. È quindi una definizione utilizzabile sia nell'ambito di un approccio oggettivista che nell'ambito di un approccio soggettivista.

Il nome deriva dal procedimento per "assiomatizzazione" quindi nell'individuare i concetti primitivi, da questi nell'individuare i postulati da cui poi si passava a definire i teoremi.

L'impostazione assiomatica muove dal concetto di σ-algebra, o classe additiva. Dato un qualsiasi esperimento casuale, i suoi possibili risultati costituiscono gli elementi di un insieme non vuoto Ω, detto spazio campionario, e ciascun evento è un sottoinsieme di Ω. La probabilità viene vista, in prima approssimazione, come una misura, cioè come una funzione che associa a ciascun sottoinsieme di Ω un numero reale non negativo tale che la somma delle probabilità di tutti gli eventi sia pari a 1.

Se Ω ha cardinalità finita n o infinita numerabile, l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi, detto insieme delle parti, ha, rispettivamente, cardinalità 2n o la cardinalità del continuo. Tuttavia, se Ω ha la cardinalità del continuo, il suo insieme delle parti ha cardinalità superiore e risulta "troppo grande" perché si possa definire su di esso una misura.

Nei termini di analisi, vi rientrano le variabili dei linguaggi di concetto stessi, per cui risulta ovvio che i sistemi terminologici sono parte dell'analisi matematica se costruiti anche attraverso i sistemi computazionali. (1) L'algebra viene estesa a congiunzioni e quantificatori dello stesso termine di appartenenza, mentre la geometria non permette un sistema terminologico tale da estendere la logica alle strutture di rete. Il logicismo è basato invece sul concetto generico di enumerazione. Il tentativo di ridurre la matematica alla logica non è plausibile perché la logica da sola non è sufficiente. Il sistema di classificazione delle scienze quindi permette di fondare l'aritmetica e la logica sulle basi dimostrative di alcune tesi del formalismo di Hilbert, riferendosi a più concetti.

Dall'altra parte il tentativo di derivare la matematica dalla logica fallisce perché, come Kurt Gödel ha dimostrato con i suoi teoremi di incompletezza, ogni sistema sufficientemente complesso da fondare l'aritmetica, può consistere in un sistema dedotto a partire da alcune logiche sottostrutturali.

Allora è naturale chiedersi se la descrizione effettuata attraverso il predicativismo della logica declinata da Russell nella teoria dei tipi, è ammissibile nei termini della logica formale, a fronte del non predicativismo della matematica. Altri punti della riduzione logicista, ad opera di Russell, sono l'assioma dell'infinito, per cui esistono infiniti individui distinti, e l'assioma della scelta, o moltiplicativo. Il costruttivismo, invece, si basa sul valore nominale dell'affermazione che la matematica può essere costruita partendo da numeri che è possibile calcolare attraverso funzioni e asserzioni controllabili. “Il costruttivismo ha inizio, come dice Bridges, con l'introduzione di un'idea comune ad alcuni dei più importanti matematici costruttivisti: Knonecker, Brouwer, Markov e Bishop. Questa idea è espressa dall'asserzione secondo la quale, la frase esiste deve essere rigorosamente interpretata come possiamo costruire e la frase possiamo costruire deve essere a sua volta interpretata come un sinonimo di siamo in grado di calcolare”. È importante notare che nell'equivalenza stabilita dal costruttivista tra esistenza e computabilità, è tale da estendere il dominio in logica, e lo stesso concetto di computabilità non deve essere interpretato in modo classico. “Un'altra caratteristica importante della matematica costruttivista è la critica dell'uso fatto all'interno della matematica classica degli insiemi infiniti, i quali vengono considerati dal matematico classico come delle totalità gli elementi delle quali sono tutti dati. Dal momento che per il costruttivista le asserzioni d'esistenza sono equivalenti ad asserzioni circa la possibilità di effettuare procedure di computo, ne segue che per il costruttivista si può asserire l'esistenza di un insieme A soltanto nel caso in cui è in grado di produrre una funzione computabile f il cui codominio (insieme di valori) sia A”. E' importante quindi per il costruttivista pervenire ad alcuni concetti della matematica e soprattutto della funzione con numero positivo, infatti a partire dall'intuizionismo, e così la scuola costruttivista, l'iperfinitismo il nominalismo, il funzionalismo, la matematica deve essere studiata nelle formule che spiegano la struttura della matematica sia dal punto di vista di sistemi convergenti che nelle tavole numeriche, cioè nelle “abbreviazioni”. (2) Quindi, nella scelta tra un sistema già configurato per mezzo di leggi deterministiche, in linea di principio, e un sistema di successioni, o altre costruzioni matematiche, possiamo affermare la validità del primo, che considera legittime anche quelle costruzioni che possono essere effettuate solo in linea di principio, ma non in realtà.

Esempio 1. Per ogni n appartenente a N è possibile determinare in linea di principio se n è primo oppure no: dividi n per 2, poi per 3, ecc. fino n-1; se nessuno dei numeri considerati divide n allora n è primo, altrimenti n è composto. Quella appena illustrata è un tipo di costruzione che nella gran parte dei casi può essere effettuata soltanto in linea di principio, perchè se n è sufficientemente grande l'universo potrebbe cessare di esistere prima che noi siamo in grado di determinare se n è primo oppure no.

Infatti, possiamo asserire P o non-P soltanto in cui abbiamo una dimostrazione di non-P. Questa è la prima proprietà, o uno dei casi in cui si verifica P. Nel secondo caso per qualche Q noi non abbiamo né una dimostrazione di Q né una dimostrazione di non-Q – nel caso in cui Q, per esempio, è la congettura di Goldbach – possiamo asserire che Q ha una qualche dimostrazione all'interno di non-

Q. Questa è la seconda proprietà, per cui bisogna dimostrare che non-P abbia una qualche relazione, ma può essere dimostrato per ogni proposizione P.

(1) ”La ricerca nell'ambito delle logiche descrittive iniziò con lo studio dei sistemi terminologici per enfatizzare che il linguaggio utilizzato per la rappresentazione della conoscenza doveva caratterizzare la terminologia di base adottata nella modellazione del dominio di interesse. Più tardi l'enfasi fu spostata sui costrutti ammessi dal linguaggio che descrivevano i concetti, da cui il nome di linguaggi di concetto. In anni più recenti dopo che l'attenzione degli esperti è stata rivolta verso le proprietà dei sistemi logici, ha preso sempre più piede nella terminologia comune il concetto di logica descrittiva”.

(2) Russell, Introduzione alla filosofia matematica, pag. 43-53.

Come si sviluppa la concettualizzazione di concetti che forma un sistema complesso?

La parte tecnologica del progetto dell'ENIAC rappresenta la programmazione tecnica tramite la standardizzazione delle macchine a cifratura o a numerazione binaria. Prevedeva infatti una parte per così dire aritmetica e un'organizzazione della macchina tramite un metodo di programmazione estremamente basato su singole unità. L'ENIAC (1943-1946) era basato su un'architettura costituita da un'analizzatore differenziale e le macchine IBM a schede perforate (IBM plugboard) per l'organizzazione, da un circuito meccanico e elettromeccanico, dall'elettronica e da un circuito a risonanza altamente complesso, che veniva a comunicare con un computer. (1) A differenza dei cambiamenti successivi, la commutazione era un procedimento basilare per la sintesi dei risultati, infatti, la computabilità era un sistema centrale nella parte dei dati sottoposti all'unità del calcolatore. Le macchine computazionali, infatti, basate già sulla reverse engeneering, era considerate basandosi sull'antitesi tra parte condizionata e quella incondizionata del processo di memoria del calcolatore. (2) Nel registro, in forma numerica, l'istruzione è il dato centrale prodotto dalla moltiplicazione per la commutazione di valori secondari, si tratta di un'operazione tradizionale per spiegare le operazioni sussidiarie. Gli esempi di calcolo di macchine automatiche per questo tipo di calcolatore sono numerosi con l'uso di macchine di codificazione di numeri.

Le soluzioni tecniche al problema di istruzioni e dati nei registri per l'analizzatore differenziale presentava anche la centralità di un'analisi al problema della computabilità per livelli, che in fisica è molto importante sia perché è basata sui principi della meccanica sia perché esegue un lavoro di partizione in analisi della parte tecnologica. (3) Il fisicalismo delle macchine intelligenti dipende dai concetti di processo “meccanico” e processi “empirici”, ma anche sulla tesi che la programmazione delle macchine è costituita da fasi per intero avvalorate da principi di logica i cui termini sono costituiti da fasi ricorsive o in fase biunivoca, o sulla base dei costituenti di un tipo di informazione parallela. (4) Si parla, infatti, della conversione della numerazione binaria e quella decimale e quindi sulle parti fisicamente rilevanti del calcolo in fase di costruzione meccanica.

(1) Alan Turing e l'intelligenza delle macchine, pag. 87.

(2) Alan Turing e l'intelligenza delle macchine, pag. 93

(3) Alan Turing e l'intelligenza delle macchine, pag. 104.

(4) Alan Turing e l'intelligenza delle macchine, pag. 131

Nel software di sistema il criterio di localizzazione consente nel calcolo computazionale la permutazione, oltre a questa, che calcola numeri con ordinamento crescente, il fattore esponenziale è simile a un registro perché nell'ordine di grandezza individua per dimensione, consentendo al software di calcolare, tramite forme di risoluzione matematica, come bisogna lavorare sui dati in ingresso. (1) Il software di sistema consente di elaborare per gradi e calcola anche i valori medi (2).

La macchina di Turing, prendendo una macchina per l'addizione unaria, prevede lo stesso tipo di registro, e comunque il fattore di successione calcola l'ordine in sottosistemi tramite una sequenza di numeri che prendono in considerazione gli stati risolvendo il problema in tempi brevi. Il software di sistema è dotato di due interfacce, che comunicano con l'hardware, e la struttura interna consente di calcolare tramite l'aritmetica degli spazi per la formattazione. (3) L'interazione consente di acquisire risorse in disposizione spaziale. (4) Anche in fisica le disposizioni spaziali consistono di determinare criteri di equivalenza. Le differenze tra la relatività ristretta e la relatività generale, tra gli altri, consistono nelle assunzioni circa la relatività ristretta di validità per i sistemi inerziali, e solo per questi, invece in quella generale lo schema della prima è ampliato fino a tenere conto della gravità, ossia dell'attrazione reciproca di tutti i corpi dotati di massa; la relatività ristretta usa la matematica di Lorentz, quella generale usa il calcolo tensoriale di Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita e il sistema matematico per la gravitazione elaborato da Hilbert. Questi non prevedono dei sistemi fisici se si calcola che un sistema può essere dipendente da un altro sistema, però sono dei sistemi lineari, perciò bisogna calcolarne le transizioni come nella geometria di Riemann. (5) Nel Novecento si afferma la necessità di una nuova fisica, e dunque una nuova matematica e una nuova geometria. Questa crisi dei fondamenti scientifici, nella seconda metà del Novecento, si è concentrata intorno a due concetti suggestivi, quello di caos e complessità. (6) Ci si chiede, allora, se la meccanica ondulatoria ci può fornire dati aggiuntivi provenienti o non dalla meccanica delle matrici. Se ci sono informazioni ulteriori, esistono elevate indicazioni circa una complessità in fisica. I sistemi di equazioni che descrivono delle equazioni indefinite consentono comunque la trattazione matematica. (7) Essa fa parte di un programma scientifico, e quindi conferma la validità del piano scientifico. “Qui ci si riferisce a quale ambito di indagine divenga oggetto del programma scientifico galileiano e newtoniano. Entrambi gli scienziati intendono spiegare gli stessi fenomeni fisici e astronomici: Galileo aveva già intuito il primo principio che Newton pone a fondamento della fisica moderna (della dinamica) e aveva già formulato il secondo dei tre principi della dinamica. Un altro punto di contatto tra i due programmi scientifici è la critica di quei sistemi ipotetico-deduttivi che non si basino su un rigoroso riscontro con l'esperienza; per Galileo ciò risponde alla critica dell'aristotelismo, per Newton alla critica della fisica cartesiana”. Il piano metodologico, che include una procedura analitica, quindi induttiva, e quella sintetica, e dunque ipotetico-deduttiva, per la comprensione delle leggi generali, di tipo matematico, viene posto su un piano costruttivista, soprattutto per i seguenti punti nella fisica moderna: – la relatività ristretta usa la geometria lineare rielaborata da Minkowski, la relatività generale usa quella dello spazio tempo curvo di Riemann – la relatività ristretta è confermata da innumerevoli esperimenti, mentre quella generale non è confermata in modo definitivo. Tuttavia essa è la teoria maggiormente adottata nella descrizione dell'universo in quanto coerente dal punto di vista della sintassi logicomatematica con cui è costruita ed elegante da un punto di vista estetico. È necessario quindi utilizzare un linguaggio osservativo. (8) La domanda su ipotesi circa la meccanica ondulatoria è un problema di come le relazioni si sovrappongono sulla frequenza e sulla lunghezza d'onda. In particolare, se il sistema descritto dalla meccanica quantistica è un sistema fisico, ci deve permettere di calcolarne le relazioni ab+c oppure a+b+c. La sintassi di teorie come quella di Maxwell sull'elettromagnetismo e quella di Einstein sul sistema di equazioni che descrivono le variazioni del campo gravitazionale nello spazio e nel tempo, oltre a utilizzare un

linguaggio matematico, descrivono la geometria in corrispondenza dell'identità della materia con l'estensione indefinita, (9) il che è diverso dal proposito di Cartesio, cioè quello di definire la geometria in termini di estensione e la divisibilità all'infinito della materia, qui la materia è estesa perché esistono proprietà come la curvatura o nuove geometrie (10) che hanno principi simili a quelli della meccanica analitica. (11)

(1) G. M. Schneider, J. L. Gersting, Informatica, Apogeo, 2007, pag. 85, in riguardo all'ordine di grandezza n².

(2) G. Villani, Complesso e organizzato, Sistemi strutturati in fisica, chimica, biologia ed oltre, Francoangeli, 2008, pag.

95-98. La chimica, allora, può seguire due strade differenti. Può decomporre la molecola in atomi, studiarli con la meccanica quantistica e fornirci delle informazioni sulla “situazione” atomica di tale molecola: la loro disposizione spaziale, la loro carica elettrica, i loro legami interatomici, ecc. In pratica la molecola è sezionata in parti e spiegata tramite queste affinché possa essere rapportata ad altre molecole, egualmente sezionate. In quest'ottica, una tipica questione è, per esempio, se la carica elettrica dell'idrogeno dell'acqua è maggiore o minore di quella di un'altra molecola e da questo ragionare sull'acidità di tale atomo. Con l'approccio riduttivo non si possono poi “ricomporre” tutte le caratteristiche della molecola, ma si possono ottenere un certo numero di proprietà che consentono di classificare tali enti e di raggrupparli, cioè rimuovere parzialmente la sua individualità e raggiungere il generale su certe caratteristiche. In tale approccio esistono delle ben note difficoltà per “ridistribuire” una proprietà globale negli enti riducenti, dalla molecola agli atomi. Per esempio, per ridistribuire la nuvola elettronica molecolare sui singoli atomi per determinarne la carica atomica, cioè il passaggio da una caratteristica globale ad una ridotta, occorre assumere un criterio di localizzazione e non ne esiste uno “oggettivo”, ma uno che di volta in volta è più o meno ragionevole per le caratteristiche che si vogliono studiare. Un'altra strada che la chimica può seguire nello studio delle molecole è di non applicare il metodo riduttivo della decomposizione atomica e lavorare con la molecola in sé.

(3 Informatica, pag. 207 (4) Galileo, Newton, Einstein, Il pensiero scientifico moderno, Liberamente, 2009, pag. 121 (5) Galileo, Newton, Einstein, Il pensiero scientifico moderno, pag. 117.

(6) G. Villani, Complesso e organizzato, Sistemi strutturati in fisica, chimica, biologia ed oltre, pag. 132. “Un'ultima definizione di meccanicismo si ricollega a “meccanica”: cioè, spiegazione con i concetti della meccanica. Tale definizione non è circolare perché che cosa si debba intendere per meccanica è ben definito da un punto di vista storico.

Dopo aver definito la meccanica come la scienza del movimento, al fine di differenziarla dalla fisica aristotelica, si può caratterizzare la meccanica da Galileo in poi come quella branca della fisica che si occupa del movimento con l'uso della trattazione matematica. Il famoso detto di Galileo il libro della natura è scritto in linguaggio matematico racchiude questo modo di pensare. Oggi, può sembrare un'affermazione banale, scontata. Tuttavia, questa assunzione, come mostrato, non è priva di conseguenze ad alcune si sono protratte fino ai giorni nostri. Da questo punto di vista si capisce

perché la meccanica relativistica e quella quantistica della fisica contemporanea siano meccanica né più né meno che quella newtoniana, mentre la trattazione antica del movimento, quella d'Aristotele per esempio, non rientra nella definizione di meccanica. Né l'obiettivo della scienza teorica né il suo metodo hanno subito alcuna modificazione nel passaggio dalla fisica moderna a quella contemporanea.”

(7) Filosofia della scienza, pag. 127-128. “E' chiaro quindi che la scienza, prima di iniziare, presuppone una qualche suddivisione tipologica dei fenomeni, e che tali tassonomie possono essere riviste quando vengono adottate nuove teorie. E' parimenti chiaro che per una scienza matura l'idea che l'osservazione debba essere priva di presupposti non è desiderabile, perché ciò significherebbe ricominciare da zero invece che procedere sulla base dei precedenti successi.

Anche se le teorie esistenti ci guidano nella formulazione di nuove teorie, ci indicano quali osservazioni siano scientificamente rilevanti ecc., comunque, è possibile invocare la distinzione tra il contesto della scoperta e il contesto della giustificazione per sostenere che le teorie scientifiche siano controllate empiricamente. Molti filosofi empiristi hanno tracciato una netta distinzione tra il teorico e l'osservativo, e tanto i positivisti logici quanto Popper, quanto meno nelle sue prime opere, ne assumono la validità. Secondo la concezione standard i fatti osservativi, essendo indipendenti dalla teoria o neutrali, forniscono una base adeguata alla fondazione della conoscenza scientifica, o quanto meno al controllo delle teorie. [..] Ernest Nagel (1901-1985), nel suo influente libro La struttura della scienza (Nagel 1984), sostiene ad esempio che ogni termine osservativo è associato ad almeno una procedura esplicita per la sua applicazione a qualche proprietà identificabile osservativamente al realizzarsi di certe condizioni. La proprietà di essere rosso, ad esempio, è attribuita a un oggetto quando questo sembra rosso a un osservatore in normali condizioni fisiche, in condizione di luce normali. L'analisi della logica del controllo teorica proposta da molti filosofi riposa sulla distinzione tra termini osservativi e termini teorici. Al contrario, Kuhn è stato tra quelli che hanno posto in risalto la natura carica di teoria, come poi è stata detta, dell'osservazione. L'idea è riassunta dal filosofo N. R. Hanson (1924-1967) nei termini seguenti: “vedere non consiste solo nell'avere un'esperienza visiva, bensì anche nel modo in cui si ha quell'esperienza visiva” (Hanson, 1978, p. 27). Questi sosteneva che l'esperienza visiva di due osservatori può essere diversa anche se le immagini retiniche di entrambi sono le stesse. Credeva infatti che l'osservazione fosse inseparabile dall'interpretazione.

In generale, secondo Hanson, “l'osservazione di x è condizionata dall'anteriore conoscenza di x” (ivi, pag. 31). Alcuni celebri esempi mostrano che in certi casi la natura dell'esperienza percettiva dipende dall'esperienza passata e dai concetti”.

(8) Einstein, La teoria della relatività, Lo spazio è una questione di tempo, Grandi idee della scienza, 2014, pag. 108. Si parla di ipersuperficie, sistemi estesi e dinamica concettuale per definire grandezze in un rapporto molto grande di correlazioni.

(9) G. Villani, Complesso e organizzato, Sistemi strutturati in fisica, chimica, biologia ed oltre, pag. 135.

“Riassumendo, la fisica cartesiana è studiata per mezzo di ragioni ricavate dalla meccanica (des raisons de mechanique) e, quindi, essa ha un carattere meccanicistico. Ciò implica che essa non ricorra ad altri principi esplicativi che non siano i concetti impiegati nella meccanica: concetti geometrici come forma, dimensione, quantità, i quali sono usati dalla meccanica nella misura in cui essa è una branca della matematica e il concetto di movimento, che costituisce il suo argomento specifico. Essa riconosce come effettivamente esistente in natura soltanto quelle cose che possono essere descritte e spiegate per mezzo di questi concetti. Essa non solo esclude ogni idea di animazione, di spontaneità interna e di scopo, ma nega anche ogni movimento interno nelle particelle di materia, le quali vengono da essa considerata come gli elementi costruttivi ultimi dei corpi percepibili; essa bandisce dalla fisica anche tutte le qualità secondarie della materia, che considera come puri stati di coscienza. In Cartesio questo significato di meccanicismo implica già “riproducibile in un modello meccanico”.

(10-11) Galileo, Newton, Einstein, pag. 119-120.

Esiste un ambito teoretico della filosofia come voluto da Kant e quale? È chiaro che è inutile dare i limiti dell'intervallo a meno che a loro volta questi limiti non possano essere definiti con un grado di precisione che supera largamente quello che possiamo aspettarci di ottenere per la misurazione originale; a meno, cioè, che non possano essere definiti entro i loro propri intervalli d'imprecisione, che dovrebbero perciò essere più piccoli, d diversi ordini di grandezza, dell'intervallo che determinano per il valore della misurazione originale. In altre parole, i confini dell'intervallo non sono confini rigorosi ma sono, in realtà, intervalli molto piccoli, i cui confini, a loro volta, sono intervalli ancor più piccoli, e così via. In questo modo arriviamo all'idea di quelli che possono essere chiamati i “limiti non rigorosi”, o “limiti di condensazione” dell'intervallo. Queste considerazioni non presuppongono la teoria matematica dell'errore, né la teoria della probabilità. Si tratta, piuttosto, del contrario: analizzando l'idea di un intervallo di misurazione esse forniscono un sottofondo senza il quale la teoria statistica dell'errore avrebbe ben poco senso. Se misuriamo molte volte una grandezza otteniamo valori che sono distribuiti con densità differenti su un intervallo, l'intervallo di precisione dipendendo dalla tecnica di misurazione che si usa. Soltanto se sappiamo che cosa stiamo cercando, cioè i limiti di condensazione dell'intervallo, possiamo applicare a questi valori la teoria dell'errore, e determinare i limiti

dell'intervallo. Ora, penso che tutto ciò getti un po' di luce sulla superiorità dei metodi che impiegano misurazioni sopra i metodi puramente quantitativi. È vero che pure nel caso di stime qualitative, come la stima dell'intensità di un determinato suono musicale, può essere possibile qualche volta dare un intervallo di accuratezza delle stime. Ma, se mancano le misurazioni, qualunque intervallo di questo genere non può che essere vago, perché in questo caso non è possibile applicare i concetti di limiti di condensazione.

Uno dei punti che hanno avuto parte preponderante nella maggior parte delle discussioni sulla teoria della relatività è stata la semplicità della geometria euclidea. Nessuno ha mai dubitato che la geometria euclidea come tale sia più semplice di qualsiasi geometria non-euclidea a curvatura costante data, per non menzionare le geometrie non euclidee a curvature varianti da luogo a luogo.

A prima vista il tipo di semplicità indicato qui sembra aver poco da fare con i gradi di falsificabilità: ma le asserzioni in discussione vengono formulate come ipotesi empiriche, troviamo che i due concetti, semplicità e falsificabilità, coincidono anche in questo caso. Consideriamo quali esperimenti ci possono aiutare a controllare le ipotesi: “Nel nostro mondo dobbiamo impiegare una certa geometria metrica a raggio di curvatura così e così”. Un controllo è possibile solo se si identificano certe curve geometriche con certi oggetti fisici; ad esempio, linee rette, con raggi, o punti con intersezioni di fili. Adottando un'identificazione di questo genere (una definizione che metta in relazione le due classi di enti o, forse, una definizione ostensiva) si può mostrare che l'ipotesi della validità di una geometria euclidea dei raggi di luce ha un grado di falsificabilità superiore a quello di qualunque altra ipotesi contraria che asserisca la validità di qualche geometria non-euclidea. Infatti, se misuriamo la somma degli angoli di un triangolo i cui lati siano costituiti da raggi luminosi, ogni deviazione significante da 180° falsificherà l'ipotesi euclidea, mentre, d'altra parte, l'ipotesi di una geometria di Bolyai-Lobacevskij a curvatura data, sarebbe compatibile con qualsiasi misurazione particolare che non superasse i 180°.

I valori ammissibili delle “incognite”(o variabili) che compaiono in un sistema di equazioni sono determinati, in un modo o nell'altro, dal sistema stesso. Anche se non è sufficiente a fornire una soluzione unica, il sistema di equazioni non permette che alle “incognite” (variabili) si sostiuisca ogni combinazione concepibile di valori. Piuttosto, il sistema di equazioni caratterizza certe combinazioni di valori, o sistemi di valori come ammissibili, mentre ne caratterizza altri come inammissibili; distingue la classe di sistemi di valori ammissibili dalla classe di sistemi di valori inammissibili. In modo analogo, i sistemi di concetti possono essere distinti in ammissibili e inammissibili mediante quella che si potrebbe chiamare un'”equazione assertoria”. Un'equazione assertoria si ottiene da una funzione proposizionale, o funzione assertoria cioè, da un'asserzione incompleta in cui compaiono uno o più “posti vuoti”. Due esempi di tali funzioni proposizionali o funzioni assertorie, sono: “Un isotopo dell'elemento x ha peso atomico 65”; o “x+y=12”. Tutte queste funzioni assertorie si trasformano in un'asserzione sostituendo certi valori ai loro posti vuoti, x e y. L'asserzione che ne risulta sarà vera o falsa secondo i valori (o le combinazioni di valori) sostituiti. Così, nel primo esempio, sostituendo ad “x” le parole “rame” o “zinco” si ottiene un'asserzione vera, mentre altre sostituzioni danno luogo ad asserzioni false. Ora, se decidiamo, rispetto a qualche funzione assertoria, di ammettere soltanto quei valori che in seguito a sostituzione trasformano questa funzione in un'asserzione vera, otteniamo ciò che chiamo un'”equazione assertoria”. Per mezzo di questa “equazione assertoria” si definisce una classe ben determinata di sistemi di valori ammissibili, e precisamente la classe di quei sistemi di valori che la soddisfano.

L'analogia con un'equazione matematica è chiara. Interpretandolo non come una funzione assertoria, ma come un'equazione assertoria, il nostro secondo esempio diventa un'equazione nel senso ordinario (matematico) del termine. Siccome le sue idee fondamentali indefinite, o termini primitivi, possono essere considerati come posti vuoti, un sistema d'assiomi può, tanto per cominciare, essere trattato come un sistema di funzioni assertorie. Ma se decidiamo che possano essere sostituiti soltanto quei sistemi, o combinazioni, di valori che lo soddisferanno, allora diventa un sistema di equazioni assertorie. Come tale definisce implicitamente una classe di sistemi

(ammissibili) di concetti. Ogni sistema di concetti che soddisfi un sistema di assiomi può essere chiamato un modello di quel sistema di assiomi.

Tentando di dimostrare le strutture algebriche (1), l'intuizionismo discute di significati circa le entità matematiche in cui bisogna ricercare la fondatezza di serie continue e soprattutto provare se essi sono entità finite. Allora, tra le dimostrazioni assolute della consistenza nella matematica, che riprende il programma formalista di Hilbert, bisogna provare algoritmicamente la consistenza dell'aritmetica dall'interno dell'aritmetica stessa, usandola cioè autoreferenzialmente, senza cadere in contraddizione. “Per gli intuizionisti dire che AvB equivale a dire che è possibile provare A oppure è possibile provare B. In particolare il principio del terzo escluso, Av-A, è rifiutato dall'intuizionismo poiché l'assunzione che è sempre possibile provare A o la sua negazione -A non è giustificata”. Così la logica consiste nel nell'assunzione di una qualche validità circa la proprietà di un numero razionale. Nella teoria degli insiemi è possibile trovare funzioni ovunque definite, e quindi gli algoritmi finiti devono essere per così dire “compilati”, in un'attività molto simile alla compilazione automatica per i calcolatori analogici. Dall'altra parte, vale anche la regola di usare l'aritmetica formale, estesa ai reali, come metalinguaggio per provare algoritmicamente la consistenza delle altre teorie matematiche (2). D'altra parte, la logica formale permette di esemplificare le relazioni a partire dagli assiomi stessi, e quindi bisogna usare a priori l'aritmetica formale, estesa ai reali, come metalinguaggio per provare algoritmicamente la consistenza delle altre teorie matematiche. L'intuizionismo rifiuta anche l'astrazione dell'infinito attuale; per esempio non considera come oggetti dati quelli che hanno proprietà di coesistenza, come un'algebra della logica relazionale, e quindi non considera l'insieme di tutti i numeri naturali o una sequenza arbitraria di numeri razionali. Questo fa parte, però, dell'aritmetica formale, mentre la ricostruzione di gran parte della teoria degli insiemi deve essere provata, o almeno in parte, facendo coesistere gli elementi principali come relazioni e quantificatori.

L'applicazione alla dimostrazione indiretta della consistenza degli assiomi della geometria costruendo un modello sintattico di essa definito sui numeri reali vengono dimostrati a priori quando: – In tale modello, tutti gli assiomi della geometria piana divengono proposizioni riguardanti i numeri reali, cioè equazioni o sistemi di equazioni che sono dimostrabili algebricamente – così però non si è dimostrato che tali assiomi sono assolutamente veri, bensì semplicemente che sono dimostrabili nella teoria dei numeri reali. La verità (consistenza) di questi assiomi e dei teoremi da essi derivabili è così una verità solo relativa – supposta la non contraddittorietà della teoria dei numeri reali, allora sono non contraddittorie anche tutte le proposizioni isomorfe (corrispondenti biunivocamente) a proposizioni costruite su n-uple (coppie, terne, ecc.) di numeri reali e sulle loro relazioni, come per esempio gli assiomi della geometria – si noti la differenza con Riemann: egli aveva costruito un modello semantico della geometria non-euclidea in una geometria euclidea dello spazio curvo. Hilbert costruisce a sua volta un modello sintattico della geometria euclidea nella teoria dei numeri reali (algebrici), che prescinde dal riferimento ai numeri in quanto tali, bensì afferma solo la corrispondenza fra strutture algebriche di questi numeri e strutture geometriche.

L'aritmetica formale quindi si estende alle definizioni di numero e ai metodi che estendono a loro volta la definizione di stringa del numero, a rappresentazioni sintetiche delle equazioni algebriche.

Altri metodi di elaborazione utilizzano il calcolo dei predicati, l'intuizionismo, il formalismo e la rappresentazione delle strutture algebriche, oltre alla logica formale. Esempi di rappresentazioni delle strutture algebriche e quindi di modelli numerabili e di consistenza sono: - la costruzione degli elementi di consistenza del numero, così come “figura”, “funzione”, “continuo”, a partire dalla nozione elementare di insieme, usando metodi finitari (ricorsivi) di dimostrazione della consistenza di tali nozioni.

- Definizione costruttiva della nozione di insieme come sottoinsieme del suo insiemepotenza - Trattabilità attuale degli stessi insiemi infiniti, cioè la dimostrazione dell'equipotenza dell'insieme dei numeri razionali Q, dei naturali N, dei relativi Z, tutti con la medesima potenza del numerabile (= possono essere messi in corrispondenza biunivoca con N), simbolizzata con N0, in consistenza di ciò l'insieme di tutti i numerabili è numerabile.

- dimostrazione della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali e quindi della non-costruibilità del continuo matematico .

– Ipotesi del continuo: come insieme di potenza immediatamente successiva al numerabile con cardinalità 2nº.

La riduzione teorica (3) si svolge attraverso il problema di come provare la coerenza dei sistemi assiomatici, una volta che non si suppone più la verità dei postulati.

Riemann tentò una dimostrazione della consistenza della sua geometria non-euclidea ellittica costruendone un modello euclideo come geometria dello spazio curvo. Se è coerente la geometria euclidea sono coerenti anche le geometrie non-euclidee, per cui si ottiene una dimostrazione nonfinitaria che fa appello di nuovo all'evidenza.

Sebbene questa dimostrazione servì molto alla diffusione delle nuove teorie perché le rese di facile fruibilità almeno intuitiva, essa era gravemente insufficiente perché faceva appello all'evidenza nella quale si era persa fiducia.

La rivoluzione concettuale della nuova matematica assiomatica comporta la necessità di una teoria dei fondamenti delle matematiche.

L'assiomatizzazione della geometria euclidea (Fondamenti della geometria, 1889) presuppone l'indipendenza della geometria pura dai numeri, mostrando che tutta la geometria piana (euclidea) può essere rappresentata come una particolare, astratta struttura algebrica detta campo commutativo.

La teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZF), la teoria degli insiemi di von Neumann-GodelBernays (NGB), la teoria degli insiemi generici di P. J. Cohen (1965), la teoria del forcing sono tutte ipotesi che legano la logica con la matematica. I gradi nelle conclusioni che sono una parte consistente del logicismo per l'individuazione dei connettivi logici, partono dalla soluzione di limitare le dimensioni della totalità (insiemi, classi..) costruibili tramite il principio della teoria generale dei tipi logici, che presuppone una logica delle classi, analogo nelle logiche intensionali è il principio dei gradi semantici (Husserl) e la teoria dei tipi semplici di Ramsey (1903-1930), che è la soluzione generalmente accettata in logica delle classi, che evita i problemi della teoria dei tipi di Russell mediante opportuni assiomi di esistenza per ciascuno degli elementi individui (Urelement) di un dato sistema formale, che vengono formalizzati tramite pesanti analisi di consistenza di ciascuno di tali sistemi.

(1) “Secondo Brouwer, l'intuizionismo si basa su due atti fondamentali, entrambi alinguistici e in diretto riferimento all'intuizione temporale. Il primo atto riconosce che l'origine dell'attività matematica deriva dalla percezione di un passaggio di tempo, cioè dalla scissione dell'unità immediata in due distinte unità “una delle quali cede il posto all'altra ma è conservata dalla memoria”; la biunità ottenuta, considerata astraendo da ogni considerazione qualitativa, costituisce la pura e vuota forma quantitativa dell'entità di numero. Il secondo atto riconosce la possibilità di generare successioni di scelte libere procedenti all'infinito, scegliendo i termini tra le entità matematiche già costruite.”

(2) L'intuizionismo rifiuta anche l'astrazione dell'infinito attuale: per esempio non considera come oggetti dati le collezioni infinite di oggetti come l'insieme di tutti i numeri naturali o una sequenza arbitraria di numeri razionali. Ciò comporta la ricostruzione di gran parte della teoria degli insiemi. I risultati sono teorie profondamente diverse dalla loro versione tradizionale; ad esempio, la matematica intuizionista rifiuta esplicitamente di trattare funzioni su R definite ovunque discontinue (secondo Brouwer infatti “non esiste alcuna funzione definita ovunque discontinua”).

(3) Searle definisce poi la riduzione teorica. “Una relazione tra due teorie, una delle quali viene ridotta ad un caso particolare dell'altra, dimostrando che le leggi della prima possono essere (più o meno) dedotte dalle leggi della seconda”. E' questa una procedura molto generale, tanto più impegnativa quanto più vasto è il dominio empirico coperto dalla teoria che deve essere ridotta. La faccenda è presente in casi limitati come la legge di Hess, che può essere dedotta dal primo principio della termodinamica (più il concetto di funzione di stato, ecc.). Il caso che ci interessa più da vicino,

la pretesa della fisica di ridurre le regolarità della chimica alle proprie leggi, è stato discusso a fondo da Giovanni Villani in una sua recente opera. Vi sono fondamenti filosofici previsti che rendono la riduzione impraticabile, ed essi richiamano proprio le proprietà dei livelli ontologici in discussione.

Esistono infiniti numeri di induzione meccanica che simulano la funzione proposizionale complessa per f(x), y(x) implica che f(x)>0. Nel campo di esistenza di x, se è contenuto un numero di ordinali positivi, esiste un dominio della funzione maggiore di 0, e ogni altra funzione proposizionale è capace di contenere gli y della serie con i numeri maggiori di 1. Si tratta di un principio di induzione che conterrà tutti gli x della serie dei numeri che sono in successione appartenenti a f(x).

Ciò non permette però il codominio di x e y, e quindi viene considerata una funzione proposizionale normale. Almeno un insieme di x quindi deve contenere un numero maggiore di valori possibili di n, e la funzione di valore conterrà insieme tutti i valori di y. Questa funzione proposizionale in logica viene utilizzata per calcolare quante volte è possibile stabilire se esiste un numero capace di quantificare per x>y.

Russell, Introduzione alla filosofia matematica, pag. 153. Lo studio delle condizioni di significatività appartengono alla dottrina dei tipi, che non approfondiremo oltre l'accenno dato nel capitolo precedente. Non soltanto i principi della deduzione, ma tutte le proposizioni primitive della logica si riducono ad affermazioni che certe funzioni proposizionali sono sempre vere. Se non fosse così, si riferirebbero a cose o concetti particolari – Socrate, o colore rosso, o est o ovest, o non so cos'altro – e chiaramente non è compito della logica fare affermazioni che sono vere se si applicano a questo o a quest'altro concetto ma non ad un altro. È parte della definizione della logica stessa (non l'intera definizione) che tutte le sue proposizioni siano completamente generali, che cioè comportino tutte le affermazioni che una certa funzione proposizionale che non ha termini costanti è sempre vera. Torneremo nel capitolo finale alla discussione delle funzioni proposizionali che non contengono termini costanti. Per il momento andiamo avanti con l'altra cosa che si può fare con una funzione proposizionale, l'affermazione cioè che è “vera qualche volta”, vera cioè almeno in un caso. Quando si dice “esistono uomini” il vero significato della frase è che la funzione proposizionale “x è un uomo” è talvolta vera.

Quando diciamo “alcuni uomini sono Greci” si vuol dire che la funzione proposizionale “x è un uomo ed un Greco” è talvolta vera. Quando diciamo “alcuni uomini sono Greci” si vuol dire che la funzione proposizionale “x è un uomo ed un Greco” è talvolta vera. Quando diciamo “esistono ancora i cannibali in Africa” diciamo che la funzione proposizionale “x è un cannibale ora in Africa” è qualche volta vera, è vera cioè per certi valori di x. Dire “esistono almeno n individui al mondo” è la stessa cosa dell'affermazione che l'affermazione proposizionale “a è una classe di individui ed un membro del numero cardinale n” è talvolta vera o, come potremmo dire, è vera per certi valori di a.

Questa forma dell'espressione è più utile quando è necessario indicare la componente variabile che abbiamo preso come argomento della nostra funzione proposizionale. Per esempio, la funzione proposizionale che abbiamo abbreviato in “a è una classe di n individui” contiene due variabili, a e n. L'assioma dell'infinito, nel linguaggio delle funzioni

proposizionali è “la funzione proposizionale “se n è un numero induttivo, è vero per certi valori di a che a è una classe di n individui” è vera per tutti i valori possibili di n”. Qui esiste una funzione subordinata, “a è una classe di n individui”,che deve essere, rispetto ad a, “talvolta” vera; mentre l'affermazione che questo succede se n è un numero induttivo deve essere, rispetto ad n, “sempre vera”.

Il problema è che il concetto di numero non ammette infinite classi di intervalli al di fuori di intervalli che non contengono nessun insieme, ciò vuol dire che possono contenere tutti gli insiemi, oppure contenere fino a un certo numero di x che determinano la funzione x-y=2. Per questo una meccanicizzazione delle funzioni da x a y contiene una serie che può contenere al suo interno tutti gli y che non possiedono proprietà o infinitesimi pari al valore della funzione x, oltre a una serie indefinita. Il che vuol dire che la traduzione meccanica di una macchina segue sempre le stesse operazioni, e conterrà degli infinitesimi nel percorso da y a x, e viceversa, in quanto Q (rispetto a P) tende alla convergenza verso un termine che segue al primo, come a e b. di conseguenza il numero finito n conterrà anche le proprietà di x, ma soprattutto possiede delle correlazioni, come il fatto che esso sarà capace di stabilire se P contiene tutti gli x e y-1/2, cioè tutte le serie che si è capaci di stabilire prima di aver stabilito un segmento capace di misurare se l'infinitesimo conterrà tutti i valori di x, o y, e se il numero ordinale appartiene al valore della funzione con il dominio di P e altri valori della funzione stessa.

Russell, Introduzione alla filosofia matematica, pag. 117. Diremo che la funzione R è continua per l'argomento a se, dato un intervallo α sulla serie P che contiene il valore della funzione per l'argomento a, esiste un intervallo sulla serie Q che contiene a non come punto finale ed è tale che, in tutto questo intervallo, la funzione ha valori che sono membri di α. (Con “intervallo” intendiamo tutti i termini tra due termini dati; cioè, se x e y sono due membri del campo di P, e x ha la relazione P con y, intenderemo con “P-intervallo x a y” tutti i termini z tali che x ha la relazione P con z e z ha la relazione P con y, insieme, in questo caso, con x ed y stessi). La definizione di “sezione finale” e di “oscillazione finale” è facile. Per dare una definizione di “sezione finale” quando si tende all'argomento a da sotto, prendiamo un argomento y che preceda a (che abbia cioè la relazione Q con a), prendiamo i valori della funzione per tutti gli argomenti fino ad y compreso, e formiamo la sezione di P definita da questi valori, cioè dai membri della serie P che vengono prima e che sono identici ad un certo valore. Formiamo tutte le sezioni di questo tipo per tutte le y che precedono a, e prendiamo la loro parte comune; questa sarà la sezione finale.

La sezione finale superiore e la oscillazione finale si definiscono allora esattamente come nei casi precedenti.

Adattare la definizione di convergenza e la definizione alternativa di continuità che ne risulta non offre difficoltà alcuna.

Diremo che una funzione R è “finalmente Q-convergente in α” se esiste un membro x del dominio inverso di R e del campo di Q tali che il valore della funzione per l'argomento x e per ogni argomento con cui x ha la relazione Q è membro di α. Diremo che “R Q-converge in α quando l'argomento tende ad un dato argomento a” se esiste un termine y che ha la relazione Q con a, appartiene al dominio inverso di R ed è tale che il valore della funzione per ogni argomento nel Q-intervallo da y (incluso) ad a (escluso) appartengono ad α.

Delle quattro condizioni che una funzione deve rispettare per essere continua per l'argomento a, la prima, ponendo b per valore della funzione nel punto considerato, si enuncia così: Dato un termine che ha la relazione P con b, R Q-converge nei successori di b (rispetto a P) quando la variabile tende all'argomento da sotto. La seconda condizione si ottiene sostituendo P con la sua inversa; la terza e la quarta si ottengono dalla prima e dalla seconda sostituendo Q con la sua inversa.

Non c'è nulla nelle nozioni di limite di una funzione o di continuità di una funzione, che comporti in modo essenziale il concetto di numero. Entrambe le nozioni si possono definire in modo generale, e molte proposizioni ad esse relative possono dimostrarsi per due serie qualsiasi (formando una la serie degli argomenti e l'altra la serie dei valori). Si è anche visto che le definizioni date non richiedono la nozione di infinitesimo: esse comportano l'introduzione di infinite classi di intervalli che divengono sempre più piccoli e vicini a zero oltre ogni limite, ma, di fatto, non si introducono intervalli che non siano finiti.

Tutto ciò è analogo al fatto che, se dividiamo un segmento di un centimetro a metà e poi lo dimezziamo ancora, e così ancora indefinitamente, non giungiamo mai in questo modo a degli infinitesimi: dopo n bisezioni, la lunghezza del

nostro segmento sarà 1/2n centimetri, e questa è una quantità infinita qualsiasi sia il numero finito n. Il procedimento delle bisezioni successive non porta a divisioni il cui numero ordinale sia infinito, poiché è, in modo essenziale, un processo uno a uno. Per questa via, pertanto, non si raggiungono infinitesimi. La confusione che esiste su questi argomenti ha creato molte difficoltà nella discussione dell'infinito e della continuità.

Parlando delle particelle, dobbiamo riferire puntualmente a degli indicatori linguistici, in particolare agli indicatori semantici, poiché è possibile riconoscere l'entità linguistica a partire dalla semantica di origine ma non la semantica algebrica, che è un'altra cosa. Spinoza ne parla molto, oppure ne fa spesso riferimento, relativamente alle connessioni tra sostanze chimiche e all'ordine di queste. In matematica ciò si chiama algebra commutativa, oppure semplicemente algebra. (1) Si parla di un indicatore qualsiasi che stabilisce la connessione tra il connettivo, o source, e il nesso inferenziale.

(1) ”Secondo la teoria di Putnam, si devono discriminare quattro componenti del significato dei termini di genere naturale. Prendiamo il termine “acqua”, come esempio. In primo luogo c'è l'indicatore sintattico, in questo caso quello di “nome non enumerabile”.[...] Poi c'è l'indicatore semantico, l'idea cioè di un liquido comune, e lo stereotipo: l'acqua cade dal cielo in forma di pioggia, è potabile, trasparente, ecc. Infine, l'estensione, cioè la cosa reale a cui “acqua” si riferisce, il genere naturale H²O. Putnam difende una “teoria causale del riferimento” per i termini di genere naturale, come acqua, oro, ed elettrone; secondo tale teoria l'acqua è qualunque cosa causi le esperienze da cui trae origine la prassi linguistica di parlare dell'acqua. Il riferimento non è fissato tramite una descrizione associata al termine, ma dalla causa responsabile dell'uso del termine.

Questa teoria spiega come il riferimento si mantenga inalterato al cambiare delle teorie. Le teorie scientifiche contribuiscono a fissare lo stereotipo associato a termini come “elettrone”; ma anche se le teorie sugli elettroni sono cambiate, e quindi è cambiato il significato del termine, Putnam sostiene che “elettrone” abbia sempre continuato a riferirsi alla causa dei fenomeni che ne hanno sollecitato l'introduzione, ad esempio la conduzione

elettrica dei metalli (nel XIX secolo il termine elettrone fu introdotto per designare la più piccola parte di una carica elettrica; adesso però i fisici pensano che alcuni quark abbiano una carica che è un terzo dell'intensità della carica di un elettrone). Dalla teoria di Putnam segue che il riferimento dei termini teorici possa davvero essere molto stabile.”

Quali sono i criteri per stabilire che una funzione è valida cioè vera?

Con un generatore di numeri casuali, avvengono processi stocastici in una Practical Computing Machine, PCM, che presentava delle differenze rispetto al Logical Computing Machine, LCM, sopratutto rispetto al ruolo centrale dei tempi e dello spazio da allocare nella memoria per svolgere una determinata attività. La pratica della programmazione, inoltre, aveva tra gli obiettivi quello di favorire l'accesso rapido ai dati e alle istruzioni da elaborare. La tecnica dell'optimum coding, inventata da Turing per la programmazione dell'ACE, che consisteva in una strategia di programmazione che, attraverso un'attenta pianificazione nell'allocazione di dati e istruzioni nella memoria, aumentava l'efficienza nell'esecuzione delle procedure (1). Le istruzioni hanno il simbolo funzionale /W. La programmazione lineare in modalità deterministica sulla base della tavola di istruzioni e del programma memorizzato, svolge delle operazioni di numeri casuali sulla base di istruzioni, di alcuni algoritmi prodotti dalla macchina casuale e della distribuzione. Quando avviene una transizione di fase, il programma viene determinato sulla base degli algoritmi e delle fasi di pianificazione. I numeri casuali sono stabiliti sulla base di meccanismi prestabiliti dalle macchine elettroniche e sono determinanti per stabilire come la macchina deve decidere sulla base di alcune funzioni autonome. La teoria dell'informazione presupponeva una computazione per esteso, cioè eseguibile attraverso un solo canale di comunicazione di tipo numerazione anziché esecuzione. (2) Invece l'aritmetizzazione dell'analisi è sia una modalità di descrizione che di encoding (3). I description number eseguono l'aritmetizzazione sui campioni di simboli per verificare le operazioni astratte e le successioni di numeri nelle istruzioni in fase di programmazione. (4) Inoltre, il problema delle basi statistiche per le macchine elettromeccaniche che eseguivano operazioni stabilite come un indice, utilizzando un sistema duale e non unico, determina anche il problema dell'esecuzione effettiva della sorgente dei dati. Infine, la calcolabilità non viene dimostrata perché è basata su enumerazione e numerazione ordinale. (5) La questione delle enumerazioni era stato già trattato: Wittgenstein parla della sintesi delle funzioni calcolabili, ma per un sistema si tratta anche del problema della dimostrazione nell'ordine di micrograndezze sia per metodi di strumentazione che per la programmazione logica. (6) Per il fondazionalismo, la proposizione A può essere in grado di determinare equivalenze estensionali, il numero di Godel (7) prevede un'unità di input uguale a 1 e la proposizione K, mentre i dati (CA) fanno parte del calcolo fisico.

(1) Il modello di programmazione: nel progetto dell'EDVAC era possibile eseguire operazioni complesse direttamente al livello di unità di controllo. In quello dell' ACE invece le procedure erano descritte come una successione di istruzioni elementari e i programmi erano per Turing strutture modulabili – proprio come le tavole di istruzioni della sua macchina astratta – le quali si ripetevano ricorsivamente, tanto che per tenere sotto controllo la chiamata dal programma centrale alle subroutine propone l'uso dell'automa a pila.

(2) T. Numerico, Turing e l'intelligenza delle macchine, FrancoAngeli, pag. 74-79 (3) T. Numerico, Turing e l'intelligenza delle macchine, FrancoAngeli, pag. 30-35 (4) T. Numerico, Turing e l'intelligenza delle macchine, FrancoAngeli, pag. 38. “Il valore della coerenza della tavola di istruzioni, per esempio, pur non essendo strettamente prescritto dal funzionamento della macchina era insito nel modello di calcolo adottato. Tale modello presupponeva l'esecuzione di operazioni a partire da assiomi e regole di inferenza che garantivano la correttezza delle operazioni. Un altro elemento proprio della logica e in parte assorbito nell'orizzonte concettuale della Macchina di Turing era la mancanza di sorprese nell'esecuzione della procedura: data una tavola di istruzioni, uno specifico stato nel quale la macchina si trovava e i simboli del nastro non erano previste non erano previste incertezze sull'operazione da eseguire. Questo non varrebbe per le macchine non deterministiche (quelle in cui cade l'obbligo che ad ogni coppia stato/simbolo osservato dalla macchina corrisponda al più una sola istruzione).Il modello della calcolabilità, tuttavia, era basato sulle macchine deterministiche, per le quali esisteva una tavola di istruzioni – parte integrante del dispositivo – che identificava univocamente la funzione che metteva in relazione lo stato e il simbolo in lettura con l'operazione da eseguire”.

(5) T. Numerico, Turing e l'intelligenza delle macchine, FrancoAngeli, pag. 60 (6) T. Numerico, Turing e l'intelligenza delle macchine, FrancoAngeli, pag. 63-69

(7) T. Numerico, Turing e l'intelligenza delle macchine, FrancoAngeli, pag. 27. “Gödel adottò un metodo di rappresentazione delle proposizioni di un sistema formale, detto aritmetizzazione, che consiste nell'attribuire, seguendo una complessa procedura, un numero ad ogni segno elementare che appartiene all'alfabeto del sistema formale in modo da codificare mediante un numero naturale (il cosiddetto numero di Gödel) ogni formula ben formata e ogni dimostrazione del sistema. Questo procedimento rese possibile esprimere proposizioni che avevano per oggetto il sistema formale dei Principia Matematica (PM) di Russell entro il sistema PM stesso.

Russell: “Supponiamo di conoscere i cinque principi formali della deduzione enunciati nei Principia Mathematica (M. Nicod li ha ridotti a uno, ma poiché si ottengono delle espressioni complicate, cominciamo con tutti e cinque). Queste cinque funzioni proposizionali sono: 1. “p o q” implica p, cioè, sia p vera o falsa, p è vera; 2. q implica “p o q”, cioè la disgiunzione “p o q” è vera quando è vera una delle sue alternative; 3. “p o q” implica “q o p”. Non sarebbe una proposizione necessaria se possedessimo una notazione teoricamente più perfetta, giacché nel concetto di disgiunzione non è implicito alcun ordine, di modo che “p o q” o “q o p” dovrebbero essere identici. Ma dato che i nostri simboli, in qualsiasi forma utile, introducono inevitabilmente un ordine, abbiamo bisogno di opportune assunzioni per dimostrare la inessenzialità dell'ordine.

4. Se è vera p o è vera “q o r”, allora o è vera q o è vera “p o r”. (La complicazione di questa proposizione è necessaria per aumentare il suo potere deduttivo).

5. Se q implica r, allora “p o q” implica “p o r”.

Questi sono i principi formali della deduzione impiegati nei Principia Mathematica. Un principio formale della deduzione ha un doppio uso, ed è proprio per rendere chiaro questo fatto che abbiamo citato le cinque precedenti proposizioni. Si usano come premessa di una deduzione, e si usano per stabilire il fatto che la premessa implica le conclusioni. Nello schema di una deduzione abbiamo una proposizione p, ed una proposizione “p implica q”, dalla quale deduciamo q. Ora, quando trattiamo dei principi della deduzione, l'apparato delle proposizioni primitive deve valere sia per il p che per “p implica q” della deduzione. Cioè le regole della deduzione che abbiamo devono essere usate, “non solo” come regole, uso che consiste nello stabilire “p implica q”, ma anche come premesse effettive, cioè come il p del nostro schema”.

Popper: 1. La dottrina fondamentale, che corre sotto tutte le teorie dell'induzione, è la dottrina del primato delle ripetizioni. Tenendo presente l'atteggiamento di Hume, possiamo distinguere due varianti di questa dottrina. La prima (criticata da Hume) può essere chiamata la dottrina del primato logico delle ripetizioni. Secondo questa dottrina, la ripetizione dei casi fornisce una specie di giustificazione all'accettazione di una legge universale. (L'idea di ripetizione è collegata, di regola, a quella di probabilità). La seconda (che Hume sosteneva) può essere chiamata la dottrina del primato temporale (e psicologico) delle ripetizioni. Stando a questa seconda dottrina le ripetizioni, anche se non dovessero riuscire a procurare una qualsiasi specie di giustificazione a una legge universale e alle aspettative e alle credenze che essa reca con sé [entails], tuttavia di fatto inducono e suscitano in noi queste aspettative e queste credenze, per quanto poco “giustificato” o “razionale” sia questo fatto ( o questa credenza).

Entrambe le varianti di questa dottrina del primato delle ripetizioni è la seguente. Tutte le ripetizioni che esperiamo sono ripetizioni approssimative; e dicendo che una ripetizione è approssimativa intendo che la ripetizione B di un evento A non è identica ad A, o indistinguibile da A, ma è più o meno simile ad A. Ma se la ripetizione è basata, così, su una pura e semplice similarità, dovrà essere partecipe di una delle principali caratteristiche della similarità, cioè a dire della relatività. Due cose che sono simili sono sempre simili per certi aspetti. [..] Possiamo aggiungere l'osservazione che dato un qualsiasi gruppo o insieme finito di cose, per quanto variamente le abbiamo scelte, possiamo sempre, con un po' di ingegnosità, trovare punti di vista

tali che tutte le cose che appartengono a quell'insieme, considerate da uno di questi punti di vista, siano simili (o parzialmente eguali): ciò vuol dire che di una ripetizione di una cosa qualsiasi si può dire qualsiasi cosa. Ciò mostra quanto sia ingenuo considerare la ripetizione come qualcosa di definitivo, o di dato. Il punto qui fatto valere è strettamente connesso con il fatto (menzionato nell'appendice VII, nota 9 – cfr. la proprietà B) che per qualsiasi sequenza finita data di zeri e di uno è possibile trovare una regola o “legge” matematica per costruire una sequenza infinita tale che cominci con la sequenza finita data.

Vengo ora alla mia seconda argomentazione contro il primato delle ripetizioni. Eccola. Ci sono leggi e teorie che hanno un carattere completamente diverso da quello di “Tutti i cigni sono bianchi”, anche se possono essere formulate in modo simile. Si prenda l'antica teoria atomistica.

Non c'è dubbio che essa possa venire espressa (in una delle sue forme più semplici) come “Tutti i corpi materiali sono composti di corpuscoli”. E' chiaro tuttavia che la forma “tutti” è, nel caso di questa legge, relativamente insignificante. Ecco che cosa intendo. Il problema consistente nel mostrare che un singolo corpo fisico – poniamo, un pezzo di ferro – è composto di atomi o “corpuscoli” è almeno tanto difficile quanto quello consistente nel mostrare che tutti i cigni sono [..]. Lo stesso accade con quasi tutte le teorie scientifiche. Nemmeno di un solo corpo fisico possiamo mostrare direttamente che in assenza di forze si muove secondo una linea retta, o che attrae (o è attratto da) un altro corpo fisico secondo la legge dei quadrati inversi. Tutte queste teorie descrivono quelle che potremmo chiamare le proprietà strutturali del mondo e tutte trascendono ogni possibile esperienza. Le difficoltà , con queste teorie strutturali, non è tanto quella di fondare l'universalità della legge sulla base della ripetizione dei casi, quanto piuttosto quella di giustificare il fatto che la legge vale anche per un solo caso singolo.

Questa difficoltà è stata scorta da molti induttivisti. La maggior parte di quelli che la scorsero tentarono, come fece Berkeley, di tracciare una netta distinzione fra le pure generalizzazioni dell'osservazione e teorie più “astratte” o “occulte” quali la teoria corpuscolare, o la teoria di Newton; e tentarono, di regola, di risolvere il problema dicendo, come disse Berkeley, che le teorie astratte non sono asserzioni genuine intorno al mondo, ma non sono null'altro che strumenti: strumenti per la predizione dei fenomeni osservabili. Ho dato a questa dottrina il nome di “strumentalismo” e l'ho criticata abbastanza dettagliatamente in altri miei scritti. Qui mi limiterò a dire che rifiuto lo strumentalismo, e darò una sola delle ragioni per cui lo rifiuto: la ragione è che lo strumentalismo non risolve il problema delle proprietà “astratte” o “occulte” o “strutturali”. Tali proprietà, infatti, non ricorrono soltanto nelle teorie “astratte” a cui pensano Berkeley e i suoi successori, ma vengono menzionate in ogni momento, da tutti, e nel discorso ordinario. Quasi tutte le asserzioni che facciamo trascendono l'esperienza. Non c'è nessuna linea netta di divisione fra un “linguaggio empirico” e un “linguaggio teorico”: teorizziamo continuamente, anche quando facciamo la più banale asserzione singolare. Con questa osservazione sono arrivato al problema principale che intendo esaminare in quest'appendice.

2. E'incontestabile che se diciamo “Tutti i cigni sono bianchi”, la bianchezza che predichiamo è una proprietà osservabile; e nella misura in cui lo è, si può dire che un'asserzione singolare quale “Questo cigno qui è bianco” è basata sull'osservazione. Tuttavia quest'asserzione trascende l'esperienza: non per via della parola “bianco”, ma per via della parola “cigno”. Infatti, chiamando “cigno” una certa cosa, le attribuiamo proprietà che vanno molto al di là della pura e semplice osservazione, quasi tanto quanto le proprietà che le attribuiamo quando asseriamo che è composta di “corpuscoli”.

Così non soltanto le teorie esplicative più astratte, ma anche le asserzioni singolari più ordinarie, trascendono l'esperienza. Infatti, anche le asserzioni singolari ordinarie sono sempre interpretazioni dei “fatti” alla luce di teorie. (E lo stesso vale per i “fatti” in questione. Essi contengono universali, e gli universali implicano sempre un comportamento conforme a leggi [lawlike]).

Alla fine del paragrafo 25 ho mostrato brevemente come accada che l'uso di universali quali “bicchiere” o “acqua” vengono usate per caratterizzare il comportamento conforme a leggi di certe cose, e questo si può esprimere dicendo che queste parole sono “parole disposizionali”. Ora,

siccome ogni legge trascende l'esperienza – e questo è semplicemente un altro modo per dire che la legge non è verificabile – ogni predicato che esprima un comportamento conforme a leggi trascende esso pure l'esperienza: ecco perché l'asserzione “Questo recipiente contiene acqua” è un'ipotesi controllabile ma non verificabile, che trascende l'esperienza. Per questa ragione è impossibile “costituire” un qualsiasi termine universale vero (come tentò di fare Carnap), cioè a dire, definirlo in termini puramente empirici o osservativi: infatti tutti gli universali sono disposizionali e non possono essere ridotti all'esperienza. Dobbiamo introdurli come termini non definiti, ad eccezione di quelli che possiamo definire in termini di altri universali non-empirici (quali “acqua” se scegliamo di definire l'acqua come “un composto di due atomi di idrogeno e di uno d'ossigeno”).

3. Il fatto che tutti gli universali siano disposizionali viene spesso trascurato per il fatto che gli universali possono essere disposizionali in vari gradi. Così “solubile”o “fragile” sono chiaramente disposizionali ad un grado più alto che non “sciolto” o “rotto” sono disposizionali. Nessun chimico direbbe che lo zucchero o il sale si siano sciolti in acqua, se non si aspettasse di poter riottenere lo zucchero o il sale facendo evaporare l'acqua. Così “sciolto” indica uno stato disposizionale. E per quanto riguarda “rotto” non dobbiamo far altro che considerare il modo in cui procediamo quando abbiamo dubbi se una certa cosa (ad esempio qualcosa che abbiamo lasciato cadere, o un osso del nostro corpo) sia rotta o no: controlliamo il comportamento della cosa in questione tentando di scoprire se non mostri una certa, indebita mobilità. Così “rotto”, come “sciolto”, descrive disposizioni a comportarsi in un certo modo regolare, o conforme a leggi. Analogamente, diciamo che una superficie è rossa, o bianca, se ha la disposizione a riflettere la luce rossa o quella bianca, e di conseguenza, a sembrare rossa o bianca alla luce del giorno. In generale, il carattere disposizionale di una qualsiasi proprietà universale diventerà chiaro se consideriamo quali controlli dobbiamo intraprendere quando siamo in dubbio se la proprietà sia o no presente in qualche caso particolare.

Così, il tentativo di distinguere tra predicati disposizionali e predicati non-disposizionali è errato, proprio come lo è il tentativo di fare una distinzione fra termini (o linguaggi) teorici e termini ( o linguaggi) non teorici, o empirici, o osservativi o fattuali o ordinari. Le cose stanno, forse, più o meno così: gli uomini sono inclini a considerare come fattuale o “ordinario” ciò che hanno imparato prima di aver raggiunto una certa età critica; invece, quello che vengono a sapere più tardi sono propensi a considerarlo teorico, o magari “puramente strumentale”.

4. Le leggi universali trascendono l'esperienza, se non altro perché sono universali e trascendono qualsiasi numero finito dei loro casi osservabili; e le asserzioni singolari trascendono l'esperienza perché i termini universali, che normalmente compaiono in esse, implicano disposizioni a comportarsi in maniera conforme a leggi cosicché implicano leggi universali (di regola appartenenti a qualche ordine di universalità più basso). Di conseguenza, le leggi universali trascendono l'esperienza in almeno due modi: per via della loro universalità e perché in esse compaiono termini universali o disposizionali. E trascendono l'esperienza a un grado più alto se i termini disposizionali che compaiono in essi sono disposizionali a un grado più alto, o più astratto. Ci sono strati di gradi sempre più alti di universalità, e perciò di trascendenza. (Nel paragrafo 15 del Postscript si fa un tentativo di spiegare il senso in cui ci sono anche strati di quella che si potrebbe chiamare “profondità”).

Naturalmente, proprio a causa di questa trascendenza le leggi e le teorie scientifiche sono nonverificabili, e la controllabilità o confutabilità è l'unica cosa che le distingua, in generale, dalle teorie metafisiche. [..]

8. Ma credo che sia un errore sottovalutare le differenze fra questa necessità naturale o fisica e altre specie di necessità, per esempio la necessità logica. Possiamo grossomodo descrivere come logicamente necessario ciò che varrebbe in ogni mondo concepibile. Ma anche se, per quanto possiamo concepire, la legge newtoniana dei quadrati inversi è una

vera e propria legge di natura in qualche mondo, e, in questa natura, naturalmente necessaria in questo mondo, è perfettamente concepibile un mondo in cui non sia valida.

Kneale ha criticato questo tipo di argomentazione mettendo in evidenza il fatto che l'ipotesi di Goldbach (secondo la quale ogni numero pari maggiore di due è la somma di due numeri primi) può essere, per quanto possiamo concepire, vera, o, per quanto possiamo concepire, falsa pur potendo benissimo darsi che sia dimostrabile (o confutabile) e, in questo senso, matematicamente o logicamente, necessaria (o impossibile); ed argomenta che “la concepibilità della contraddittoria non deve essere presa come una prova dell'inesistenza della necessità in matematica”. Ma se le cose stanno così, perché, si chiede, “dovrebbe fornire...una prova negativa[disproof] nella scienza naturale”? Ora io credo che questo ragionamento metta un accenno troppo forte sulla parola “concepibile”. Inoltre, opera con un senso di “concepibile” diverso da quello che si intende; una volta che siamo in possesso di una prova del teorema di Goldbach, possiamo dire che la prova stabilisce con precisione che un numero pari maggiore di due, che non sia la somma di due primi, è inconcepibile, nel senso che conduce a risultati contraddittori. In un'altro senso, 0=1 può essere perfettamente concepibile: può addirittura essere usata, come qualsiasi altra asserzione matematicamente falsa, come un'assunzione in una prova indiretta. In realtà, una prova indiretta potrebbe benissimo essere messa così: “Si concepisca che a è vera. Allora dobbiamo ammettere che b è vera. Ma sappiamo che b è assurda. Dunque è inconcepibile che a sia vera”. È chiaro che, sebbene l'uso di “concepibile” e “inconcepibile”sia un po' vago e ambiguo, sarebbe fuorviante il dire che questo modo di ragionare deve essere non valido perché la verità di a non può essere inconcepibile, visto e considerato che siamo partiti concependo proprio la verità di a.

Così in logica e in matematica “inconcepibile” è semplicemente un'altra parola per “che conduce a un'ovvia contraddizione”. Logicamente possibile o “concepibile” è ogni cosa che non conduca a un'ovvia contraddizione, e logicamente impossibile o “inconcepibile” è qualsiasi cosa che vi conduca. Quando Kneale dice che la contraddittoria di un teorema può essere “concepibile” usa la parola in un' altro senso, e, quanto a questo, in un senso ottimo.

11. Il risultato di questa discussione è che sono pronto ad accettare le critiche di Kneale nella misura in cui sono pronto ad accettare il punto di vista secondo cui esiste una categoria di asserzioni – le leggi di natura – che sono logicamente più forti delle asserzioni universali corrispondenti. Secondo me questa dottrina è incompatibile con qualsiasi teoria dell'induzione. Per la mia metodologia, comunque, questo fa ben poca differenza. Al contrario, è perfettamente chiaro che u principio proposto, o congetturato, che dichiari la impossibilità di certi eventi, dovrebbe essere controllato tentando di mostrare che questi eventi sono possibili; cioè a dire, tentando di produrli. Ma questo è né più né meno il metodo di controllo di cui io sono l'assertore.

Dunque, dal punto di vista adottato qui, non c'è bisogno di nessun cambiamento metodologico. Il cambiamento si situa interamente su un livello ontologico, metafisico. Può essere descritto dicendo che se congetturiamo che a sia una legge di natura, congetturiamo che a esprima una proprietà strutturale del nostro mondo; una proprietà che impedisce l'occorrenza di certi eventi singolari logicamente possibili, o di certi stati di cose di un certo genere (proprio come si è spiegato nei paragrafi 21-23 del libro, e anche nei paragrafi 79, 83 e 85).

13. Introduciamo ora il simbolo “N” come nome della classe delle asserzioni che sono necessariamente vere nel senso della necessità fisica o naturale: che sono vere, cioè, quali che possano essere le condizioni iniziali.

Con l'aiuto di “N” possiamo definire “an → b” (in parole: “se a allora necessariamente b”) mediante la seguente definizione, piuttosto ovvia: D) an → b è vera se, e solo se (a → b) appartiene a N. In parole, forse: “Se a, allora necessariamente b”, vale se, e solo se, “se a allora b” è necessariamente vera. Qui, naturalmente, “a → b” è il nome di un condizionale ordinario il cui antecedente è a e il conseguente è b. Se fosse nostra intenzione il definire l'implicazione [entailment] logica, o “implicazione stretta”, allora potremmo usare D), ma dovremmo

interpretare “N” come “logicamente necessario” ( e non come “naturalmente o fisicamente necessario”).

Per la definizione D) possiamo dire che “an → b” è il nome di un'asserzione con le seguenti proprietà.

A) an → b non è sempre vera se a è falsa, a differenza di quanto accade per a → b.

B) an → b non è sempre vera se b è vera, a differenza di quanto accade per a → b.

A') an → b è sempre vera se a è impossibile o necessariamente falsa o la sua negazione, a^, è necessariamente vera sia per necessità logica sia per necessità fisica. (Cfr. le ultime tre pagine di questa appendice e la nota 26).

B')an → b è sempre vera se b è necessariamente vera (sia per necessità logica sia per necessità fisica).

Qui a e b possono essere asserzioni o funzioni assertorie. An →b può essere chiamata “condizionale necessario” o “condizionale nomico”. Esprime, io credo, quello che alcuni autori hanno chiamato i “condizionali congiuntivi” o “condizionali controfattuali”. (Sembra però che alcuni autori – ad esempio Kneale – intendessero, con “condizionale controfattuale”, qualcos'altro: usarono questo nome per implicare che a è in realtà falsa. Non penso che quest'uso sia da raccomandarsi).

Basta riflettere un po' per vedere che la classe N delle asserzioni naturalmente necessarie comprende non soltanto la classe di tutte quelle asserzioni che, come le vere leggi universali di natura, si possono descrivere intuitivamente dicendo che non sono influenzate dai cambiamenti nelle condizioni iniziali, ma anche tutte quelle asserzioni che seguono dalle vere leggi universali di natura, o dalle teorie strutturali vere intorno al mondo. Tra queste ci saranno asserzioni che descrivono un insieme finito di condizioni iniziali; ad esempio, asserzioni della forma “se in questo recipiente si mescolano idrogeno e ossigeno a temperatura ambiente ordinaria, e a una pressione di 1000 g per cm²,...allora...”. Se dalle leggi vere di natura sono deducibili asserzioni condizionali, allora la loro verità sarà anche invariante rispetto a tutti i cambiamenti di condizioni iniziali: o le condizioni iniziali descritte nell'antecedente saranno soddisfatte, nel qual caso il conseguente sarà vero (e sarà perciò vero l'intero condizionale) o le condizioni iniziali descritte nell'antecedente non saranno soddisfatte e perciò fattualmente non-vere (“controfattuali”). In questo caso il condizionale sarà vero, in quanto soddisfatto in modo vuoto. Così il tanto discusso soddisfacimento vuoto adempie la sua funzione appropriata nell'assicurare che le asserzioni deducibili da leggi naturalmente necessarie siano esse pure “naturalmente necessarie” nel senso della nostra definizione.

In realtà, avremmo semplicemente potuto definire N come la classe delle leggi di natura e delle loro conseguenze logiche. Ma il definire N con l'aiuto dell'idea di condizioni iniziali (di una classesimultaneità di asserzioni singolari) presenta un leggero vantaggio su quest'altro tipo di definizione. Definendo N come, ad esempio, la classe delle asserzioni che sono vere in tutti i mondi che differiscono dal nostro (se ne differiscono) solo rispetto alle condizioni iniziali, evitiamo l'uso di espressioni congiuntive (o controfattuali) quali “che rimarrebbe vera (nel nostro mondo) anche se valessero condizioni iniziali differenti da quelle che effettivamente valgono”.

Nondimeno, la frase in N0), “tutti i mondi che differiscono (se differiscono) dal nostro mondo solo rispetto alle condizioni iniziali” contiene implicitamente l'idea di leggi di natura. Quello che intendiamo è “tutti i mondi che hanno la stessa struttura (o le stesse leggi naturali) del nostro mondo”. Nella misura in cui il nostro definiens contiene implicitamente l'idea di leggi di natura, si può dire che N0) è circolare. Ma tutte le definizioni non possono non essere circolari in questo senso, proprio come sono circolari tutte le derivazioni (in quanto contrapposte alle prove) ad esempio tutti i sillogismi; la conclusione deve essere infatti contenuta nelle premesse.[..]

15. Per uno studioso di metodologia, che si opponga alla dottrina dell'induzione e aderisca alla teoria della falsificazione, non c'è molta differenza tra il punto di vista secondo cui le leggi universali non sono altro che asserzioni rigorosamente universali e il punto di vista che sono “necessarie”: in entrambi i casi non possiamo far altro che controllare la nostra congettura mediante tentativi di confutarla.[..]

Russell: Un numero induttivo m si dice che è minore di un altro numero n quando n possiede ogni proprietà ereditaria posseduta dal successore di m. E' facile vedere, e non è difficile dimostrare, che la relazione “minore di”, definita in questo modo è asimmetrica transitiva e connessa, ed ha i numeri induttivi per campo. Per mezzo quindi di questa definizione i numeri induttivi acquistano un ordine nel senso in cui abbiamo definito il termine ordine, e questo ordine è il cosiddetto ordine naturale, ovvero ordine di grandezza.

La formazione di serie a mezzo di relazioni più o meno simili a quella tra n ed n+1 è molto comune.

La serie dei re d'Inghilterra, per esempio, è generata dalla relazione di ogni termine al suo successore. Probabilmente questo è il modo più semplice, quando è applicabile, di concepire di concepire la formazione delle serie. Con questo metodo, passiamo da ciascun termine al successivo, finché esista un successivo o torniamo al precedente, purché un precedente esista. [..]

Il metodo della consecutività, come quello del contare per scoprire il numero degli elementi di un insieme, è valido per il finito; può anche essere esteso ad alcune serie infinite, quelle cioè in cui sebbene il numero dei termini sia infinito, il numero dei termini tra due scelti a caso è finito; ma non è questo il caso generale. Non solo, ma bisogna anche riuscire a sradicare dalla nostra mente ogni abitudine a pensare partendo dalla ipotesi che questo metodo sia generale. Se non ci si riesce, le serie in cui non vi sono termini consecutivi, appariranno difficili ed imbarazzanti.

Queste serie sono per altro di vitale importanza per la comprensione della continuità, dello spazio, del tempo e del movimento.

Esistono molti modi di formare delle serie, ma dipendono tutti dalla scoperta e dalla invenzione di una relazione asimmetrica, transitiva e connessa. Alcuni di questi modi sono di considerevole importanza. A scopo illustrativo, prenderemo la formazione di serie attraverso una relazione a tre termini che potremo chiamare “tra”.

Il metodo è utilissimo in geometria, e può servire come introduzione a relazioni che hanno più di due termini; è meglio introdurre il metodo in connessione con la geometria elementare.

Popper: Supponiamo che e sia un explicandum, o, più precisamente, un insieme di fatti singolari o dati che desideriamo spiegare con l'aiuto di una legge universale. Ci sarà, in generale, un numero infinito di spiegazioni possibili – e addirittura un numero infinito di spiegazioni (che si escludono a vicenda, dati i dati e) – tali che la somma delle loro probabilità (data e) non può essere maggiore dell'unità.

Ma ciò significa che la probabilità di quasi tutte le spiegazioni in parola dev'essere zero, a meno che non possiamo ordinare le possibili leggi in una sequenza infinita, in modo da poter attribuire a ciascuna di esse una probabilità positiva cosicché la loro somma converga e non superi l'unità. E significa, inoltre, che alle leggi che compaiono per prime in questa sequenza si deve (in generale) attribuire una probabilità maggiore che non alle leggi che, nella sequenza, compaiono più tardi.

Dovremmo perciò assicurarci che sia soddisfatta l'importante condizione di non contraddittorietà che segue: Il nostro metodo per ordinare le leggi non deve mai porre una legge prima di un'altra, se è possibile provare che la probabilità di quest'ultima legge è maggiore della probabilità della prima. [..]

Non può esserci alcun dubbio che il contenuto, o la forza logica, di una teoria universale può differire molto da quello di un'altra teoria universale. Si prendano le due leggi: a¹ = “Tutti i pianeti si muovono secondo cerchi” e a² = “Tutti i pianeti si muovono secondo ellissi”. Per il fatto che tutti i cerchi sono ellissi (con eccentricità zero) a¹ implica logicamente [entails] a², ma non viceversa. Il contenuto di a¹ è di gran lunga maggiore del contenuto di a². (Naturalmente ci sono teorie diverse e logicamente più forti di a¹, per esempio: “Tutti i pianeti si muovono in cerchi concentrici intorno al Sole”. [..] Il fatto che ci siano queste differenze di contenuto e di probabilità logica assoluta, che non possono essere espresse immediatamente dalle misure corrispondenti, si può esprimere dicendo che

esiste una “microstruttura” di contenuto e di probabilità logica, che può permetterci di differenziare tra contenuti e probabilità logiche maggiori e minori, anche in casi in cui le misure C (a) e p (a) siano troppo grossolane e insensibili alle differenze; cioè anche nei casi in cui tali misure darebbero come risultato l'eguaglianza.

Russell: E' facile allora accorgersi (o dimostrare) che (m+p)/(n+q) è maggiore di m/n e minore di p/q. Nella serie dei rapporti quindi, non esistono due termini consecutivi, ma esistono sempre altri termini tra due termini qualsiasi. Poiché esistono tra di questi altri termini ancora, e così ad infinitum, è ovvio che c'è un numero infinito di frazioni tra due frazioni qualsiasi, vicine quanto si vuole.

Una serie che ha la proprietà di avere sempre altri termini tra due qualsiasi, di modo che non esistano termini consecutivi, si dice “compatta”. Quindi i rapporti, in ordine di grandezza, formano una serie compatta. Queste serie hanno molte importanti proprietà, ed è notevole osservare che i rapporti forniscono un esempio di serie compatta generata in modo puramente logico, senza richiami allo spazio ed al tempo, o ad altro dato empirico.

Rapporti positivi e negativi possono definirsi in un modo del tutto analogo a quello usato per definire gli interi positivi e negativi. Definendo prima la somma di due rapporti m/n e p/q come la quantità (mq+pn)/nq, definiamo +p/q come la relazione di m/n + p/q a m/n, in cui m/n è un rapporto qualsiasi ; e -p/q è ovviamente l'inverso di +p/q. Non è questa l'unica definizione possibile di rapporti positivi e negativi, ma è un modo che, per i nostri fini, ha il merito di essere un facile adattamento della definizione usata nel caso dei numeri interi. [..]

Supponiamo che sia possibile che m/n sia la radice quadrata di 2, di modo che m²/n² = 2 cioè m²= 2n². Allora m² è un numero pari, e quindi m deve essere un numero pari, perché il quadrato di un numero dispari è dispari. Ora se m è pari, m² può essere diviso per 4 perché se m =2p allora m² = 4p². Dovremmo pertanto avere 4p² = 2n² in cui p è la metà di m. Quindi 2p² = n² ed anche n/p sarà la radice quadrata di 2. Possiamo però allora ripetere il ragionamento, se n = 2q, p/q sarà la radice quadrata di 2 e così via, per una serie senza fine di numeri che sono ognuno la metà del proprio predecessore. Ma questo è impossibile: se dividiamo un numero per 2, e poi dimezziamo la metà ottenuta, e così via, dobbiamo raggiungere un numero dispari dopo un numero finito di passaggi.

Potremmo anche svolgere l'intero ragionamento in modo più semplice assumendo che la frazione m/n con cui parliamo è già ridotta ai suoi minimi termini. In questo caso, m ed n non possono essere entrambi pari, mentre abbiamo visto che se m²/n² = 2 essi lo dovrebbero essere. In definitiva, non può esistere una frazione il cui quadrato è 2. Nessuna frazione così esprimerà la lunghezza della diagonale di un quadrato il cui lato ha lunghezza unitaria. Sembra questa davvero una sfida lanciata alla natura stessa dell'aritmetica.

Per quanto un aritmetico (come Pitagora) possa vantare il potere dei numeri, la natura sembra schernirlo mostrando l'esistenza di lunghezze che nessun numero riesce a stimare in termini di unità. Il problema non rimase in questa forma geometrica. Appena fu inventata l'algebra, lo stesso problema si presentò per la soluzione di equazioni, anche se qui prese una forma più ampia, implicando anche il concetto di numeri complessi.

Popper: Tuttavia è ancora possibile confrontare i gradi di composizione delle asserzioni-base, e perciò anche di altre asserzioni. Lo si può fare scegliendo arbitrariamente una classe di asserzioni relativamente atomiche, che si possono prendere come base per il confronto. Questa classe di asserzioni relativamente atomiche può essere definita per mezzo di uno schema generatore o matrice. [..] Possiamo definire quindi come relativamente atomiche, e perciò equicomposite, la classe di tutte le asserzioni ottenute da questo tipo di matrice ( o funzione assertoria) per sostituzione di valori definiti. La classe di queste asserzioni, insieme con tutte le congiunzioni che si possono formare a partire da esse, può essere chiamata un “dominio” [field]. Una congiunzione di n differenti asserzioni relativamente atomiche di un dominio può essere chiamata una “n-upla del dominio” e possiamo dire che il suo grado di composizione è uguale al numero n.

Se per una teoria t esiste un dominio di asserzioni singolari (che non necessariamente devono essere asserzioni-base) tali che, per qualche numero d, la teoria t non può essere falsificata da qualsiasi d-upla del dominio pur potendo essere falsificata da certe d+1-uple, diremo che d è il numero caratteristico della teoria rispetto a quel dominio. Tutte le asserzioni del dominio, il cui grado di composizione è minore o eguale a d, saranno compatibili con la teoria, e permesse da essa, quale che sia il loro contenuto.

Ora è possibile basare su questo numero caratteristico, d, il confronto fra i gradi di controllabilità delle teorie. Ma al fine di evitare contraddizioni, che potrebbero sorgere a causa dell'uso di domini differenti, è necessario usare un concetto un po' più ristretto del concetto di dominio; cioè a dire il concetto di dominio di applicazione. Data una teoria t diciamo che un dominio è un dominio di applicazione della teoria t se esiste un numero caratteristico d della teoria t rispetto a questo dominio e se, oltre a ciò, questo numero soddisfa certe condizioni ulteriori (che sono spiegate nell'Appendice 1).

Chiamo il numero caratteristico d di una teoria t , rispetto a un dominio di applicazione: dimensione di t rispetto a questo dominio di applicazione. L' espressione “dimensione” è suggerita dal fatto che possiamo pensare tutte le n-uple del dominio come disposte spazialmente (in uno spazio di configurazione di dimensioni infinite). Se, per esempio, d =3, le asserzioni, ammissibili perché la loro composizione è troppo bassa, formano un sottospazio tridimensionale di questa configurazione. Il trapasso da d =3 a d= 2, corrisponde a un trapasso da un solido a una superficie. Quanto più piccola è la dimensione d tanto più rigorosamente ristretta è la classe di tutte quelle asserzioni permesse che, indipendentemente dal loro contenuto, non possono contraddire la teoria per via del loro basso grado di composizione; e tanto più alto è il grado di falsificabilità della teoria.

Il concetto di dominio di applicazione non è tanto ristretto alle asserzioni-base, ma tra le asserzioni appartenenti a un dominio di applicazione si sono ammesse asserzioni di ogni genere.

Russell: Dal punto di vista della classificazione delle relazioni, l'asimmetria è una caratteristica molto più importante di quella dell'implicare diversità. Le relazioni asimmetriche implicano diversità, ma non avviene il contrario. “Diseguale”, ad esempio, implica diversità, ma è simmetrica.

Generalmente parlando si può dire che, se si vuole, per quanto è possibile, evitare proposizioni relazionali e sostituirle con altre che siano predicati attribuiti a soggetti, ci si riesce finché ci si limita a relazioni simmetriche; le relazioni che non implicano diversità, se sono transitive, possono essere considerate come proposizioni che esprimono un attributo comune, mentre quelle che implicano diversità possono essere considerate come proposizioni che enunciano attributi incompatibili. Consideriamo ad esempio, la relazione di “similitudine tra classi”, con la quale siamo pervenuti ad una definizione del concetto di numero.

Questa relazione è simmetrica e transitiva e non implica diversità. Sarebbe possibile, anche se costituirebbe un procedimento meno semplice di quello adottato, considerare il numero di un insieme come un attributo dell'insieme; due classi simili sono allora due classi che hanno lo stesso attributo numerico, mentre due classi non simili avranno due attributi numerici differenti. Questo modo di sostituire relazioni con attributi è formalmente possibile (anche se molto spesso poco conveniente) finché le relazioni di cui si tratta sono simmetriche, in quanto sia l'identità che la differenza degli attributi sono simmetrici. Le relazioni simmetriche sono, potremmo dire, le più caratteristicamente relazionali tra le relazioni e le più importanti per il filosofo che voglia penetrare la natura logica più profonda delle relazioni.

Popper: Come nel paragrafo 55, assumiamo che per ogni numero finito n si possa costruire un periodo generatore che sia n libero (da retroeffetti) e che mostri distribuzione eguale. In ogni periodo siffatto, ogni x-upla (per x<n+1) di uno e di zeri, possibile da un punto di vista combinatorio, comparirà almeno una volta. a) Costruiamo, nel modo seguente, una sequenza-modello, che sia “assolutamente libera” (da retroeffetti). Scriviamo un periodo n libero per un n arbitrariamente scelto. Questo periodo avrà un

numero finito di termini – poniamo n¹. Ora scriviamo un periodo che sia almeno n¹-1 libero.

Supponiamo che il nuovo periodo abbia la lunghezza n². In questo nuovo periodo deve comparire almeno una sequenza identica al periodo dato precedentemente di lunghezza n¹; riordineremo il nuovo periodo in modo da farlo cominciare con questa sequenza (ciò è sempre possibile, d'accordo con l'analisi del paragrafo 55). Chiameremo questo nuovo periodo il secondo periodo. Ora scriviamo un nuovo periodo che sia almeno n²-1 libero e cerchiamo, in questo terzo periodo, quella sequenza che è identica al secondo periodo (dopo che è stato riordinato), dopo di che riordiniamo il terzo periodo in modo che cominci col secondo, e così via. In questo modo otteniamo una sequenza la cui lunghezza cresce molto rapidamente e il cui periodo iniziale è il periodo che è stato scritto per primo. Prescrivendo una particolare sequenza iniziale, insieme con alcune particolari condizioni (come, ad esempio, che i periodi che scriviamo non siano mai più lunghi del necessario, cosicché siano esattamente ni-1 liberi) possiamo migliorare questo metodo di costruzione fino a farlo diventare non ambiguo e a renderlo capace di definire una sequenza definita in modo da poter calcolare, per ogni termine della sequenza, se sia uno o uno zero. Abbiamo così una sequenza (definita) costruita secondo una regola matematica, con frequenze i cui limiti sono αF'(1) = αF'(0) = ½ Usando il procedimento impiegato nella prova della terza formula della formula binomiale (paragrafo 60) o del teorema di Bernoulli (paragrafo 61), si può mostrare (con qualsiasi grado di approssimazione), per qualsiasi valore di frequenza scegliamo, che esistono sequenze che sono “assolutamente libere” - purché si assuma (e quest'assunzione è stata appena provata) che esiste almeno una sequenza che è assolutamente libera. b) Si può ora usare un metodo di costruzione analogo per mostrare che esistono sequenze che possiedono una frequenza mediana “assolutamente libera” (cfr. paragrafo 64) pur non avendo alcun limite di frequenza. [..]