Issuu on Google+

ht

rig

py

Co Ed .

fb .v

ie

ct

u'A

Colofon

1


Colofon Titel: Xact groen Wiskunde deel 2 ISBN: 978 90 3720 834 4 NUR: 124 Trefwoord: Wiskunde groen

fb .v

.

Uitgeverij: Edu’Actief b.v. Meppel Auteurs: E. Benthem, J. Broekhuizen, H. La Poutré, J. Bruinsma, G. Schoemaker Redactie: Edu’Actief b.v. Inhoudelijke redactie: Edu’Actief b.v. Vormgeving: Edu’Actief b.v.

Ed

u'A

Edu'Actief b.v. Meppel Postbus 1056 7940 KB Meppel Tel.: 0522-235235 Fax: 0522-235222 E-mail: info@edu-actief.nl Internet: www.edu-actief.nl

ct

ie

Copyright © 2012

ht

Eerste druk/eerste oplage

py

rig

Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt door middel van druk, microfilm, fotokopie of op welke andere wijze ook, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. No part of this book may be reproduced in any form, by print, photoprint, microfilm or any other means, without written permission from the publisher.

Co

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t/m 16m Auteurswet 1912 jo. Besluit van 27 november 2002, Stb. 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (Postbus 3060, 2130 KB) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

2


Colofon

Inhoudsopgave 5

fb .v

.

1. Letterrekenen 2. Lineair verband

15 27

4. Vergelijkingen met twee onbekenden

36 45

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

5. Tweedegraads functies

ie

3. Functies en vergelijkingen

3


4

ht

rig

py

Co Ed .

fb .v

ie

ct

u'A


Letterrekenen

Letterrekenen

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Heel veel problemen kun je oplossen met logisch nadenken. Soms is een probleem hiervoor te ingewikkeld, wiskunde kan dan een handig hulpmiddel zijn. Met wiskunde kun je gegevens vaak heel kort noteren waardoor het probleem overzichtelijker wordt.

Voorbeeld: Kort noteren

rig

ht

In een supermarkt zijn appels verpakt in zakken, maar ze zijn ook los te koop. In het schap liggen 80 zakken en 30 losse appels. Kort je ‘zakken’ af tot ‘z’, dan is de voorraad dus te noteren als 80z + 30. Bereken de voorraad als er 5 zakken verkocht worden.

py

Antwoord 80z + 30 – 5z = 75z + 30

Opdracht 1: Sinaasappels

Co

1.

In een supermarkt zijn sinaasappels verpakt in netjes, maar ze zijn ook los te koop. In het schap liggen 50 netjes en 25 losse sinaasappels. Kort ‘netjes’ af tot ‘n’. 1. 2. 3. 4.

Noteer de voorraad kort. Noteer de voorraad kort als er 20 netjes verkocht worden. Noteer de voorraad kort als er bovendien 7 losse sinaasappels verkocht worden. In een netje zitten 7 sinaasappels. Bereken het totaal aantal sinaasappels als de voorraad geslonken is tot 10n + 5.

Opdracht 2: Knoflook In een supermarkt worden bolletjes knoflook verkocht in netjes, maar ze zijn ook los te koop. In het schap liggen 120 netjes en 40 losse bolletjes. Kort ‘netjes’ af tot ‘n’.

5


. fb .v

Noteer kort: 80z + 30 – 3z = 40z + 3 – 10z – 2 = 12n + 15 – 3n – 8 = 4n + 8 + 9n + 6 = 8n + 3n + 10 =

Ed

1. a. b. c. d. e.

u'A

Opdracht 3: Kort noteren

ct

ie

1. Noteer de voorraad kort. 2. Noteer de voorraad kort als er 53 netjes en 12 losse bolletjes verkocht worden. 3. In een netje zitten 3 bolletjes. Bereken het totaal aantal bolletjes knoflook als de voorraad geslonken is tot 20n + 8.

Theorie: Notatie

py

rig

ht

Twee belangrijke afspraken: • Als er voor een letter geen getal staat, staat er eigenlijk een ‘1’, maar die laat men gemakshalve weg. Zo is 3z + z = 4z. • In plaats van het keerteken ‘×’ gebruikt men vaak een punt of een ‘*’. Zo is dus 6 * 2 = 12.

Voorbeeld: Notatie

Co

In een tuin wordt een pad aangelegd met vierkante tegels (x bij x cm). Het pad wordt 1 tegel breed. De randen van het pad worden afgewerkt met opsluitband van 5 cm breed en 100 cm lang. Noteer kort de breedte van het pad (in cm). Antwoord x + 2 * 5 = x + 10

Opdracht 4: Tuinpad In een tuin wordt een terras aangelegd met vierkante tegels (x bij x cm). Het pad wordt 8 tegels diep. De randen van het terras worden afgewerkt met opsluitband van 5 cm breed en 100 cm lang.

6


fb .v

.

Letterrekenen

1. Noteer kort de diepte van het terras (in cm). 2. Bereken de diepte van het terras als het formaat van de tegels 60 cm * 60 cm is.

Voorbeeld

ct u'A

Noteer kort: 1. 5x + x = 2. 8x + 5 + x + 7 = 3. 2x + 4 – x – 1 = 4. x + 10 – x – 1 =

ie

Opdracht 5: Kort noteren

ht

Ed

In een supermarkt zijn uien verpakt in grote en kleine netjes, maar ze zijn ook los te koop. In het schap liggen 50 grote netjes, 20 kleine netjes en 35 losse uien. Kort genoteerd is de voorraad dus 50g + 20k + 35. Bereken de voorraad als drie klanten elk 2 grote netjes kopen.

rig

Antwoord 50g + 20k + 35 – 3 * 2g = 44g + 20k + 35

py

Opdracht 6: Uien

Co

In een supermarkt zijn uien verpakt in grote en kleine netjes, maar ze zijn ook los te koop. In het schap liggen 40 grote netjes, 30 kleine netjes en 15 losse uien. 1. Noteer de voorraad kort. 2. Noteer de voorraad kort als 5 klanten elk 3 grote netjes per persoon kopen. 3. In een groot netje zitten 12 uien, in een klein netje 8. Bereken het totaal aantal uien als de voorraad geslonken is tot 3g + 2k + 2

Opdracht 7: Kort noteren Noteer kort: 1. 30z + 50 – 3 * 4z = 2. 20z + 25 – 5 * 2z – 3 = 3. 25g + 10k + 20 + 2 * g – 8 = 4. n + 8 + 3 * 4n + 3 = 5. 60g + 30k + 9 – 7 * g – 8k – 10 = 6. n + 3 * 2n + 4 =

7


Theorie: Haakjes wegwerken Op de basisschool leer je hoe je 4 * 23 zonder rekenmachine kunt uitrekenen. Splits 23 in: 20 + 3. Bereken dan: 4 * 20 en 4 * 3 en tel die bij elkaar op. Schematisch is dat 4 * (20 + 3) = 4 * 20 + 4 * 3. We noemen dit: haakjes wegwerken.

Voorbeeld: Haakjes wegwerken

fb .v

.

In een supermarkt zijn sinaasappels verpakt in netjes, maar ze zijn ook los te koop. Twee klanten kopen elk 3 netjes en 4 losse sinaasappels. Noteer kort hoeveel zij samen gekocht hebben.

Opdracht 8: Sinaasappels

ct

ie

Antwoord Elke klant koopt 3n + 4. Samen kopen ze dus 2 * (3n + 4). Werk nu de haakjes weg: 2 * (3n + 4) = 2 * 3n + 2 * 4 = 6n + 8.

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

In een supermarkt zijn sinaasappels verpakt in netjes, maar ze zijn ook los te koop.

1. Vier klanten kopen elk 5 netjes en 2 losse sinaasappels. Noteer kort hoeveel zij samen gekocht hebben. 2. Drie klanten kopen elk 2 netjes en 1 losse sinaasappel. Noteer kort hoeveel zij samen gekocht hebben. 3. Twee klanten kopen elk 4 netjes en 3 losse sinaasappels. Noteer kort hoeveel zij samen gekocht hebben.

Opdracht 9: Werk de haakjes weg 1. 7 * (3n + 5) = 2. 2 * (6n + 2,5) =

8


Letterrekenen

3. 4. 5. 6.

2,5 * (x + 4) = 3 * (7y – 2) = 8 * (2,5z – 6) = 3 * (n + 1) =

Theorie: Haakjes wegwerken In voorraad zijn 30 netjes grapefruits en 20 losse grapefruits. Noteer kort de nieuwe voorraad als twee klanten elk 3 netjes en 4 losse grapefruits kopen. Voorbeeld

Stap 1 Noteer kort de oude voorraad.

30n + 20

Stap 2 Noteer kort de verkoop.

2 * (3n + 4)

Stap 3 Noteer kort de nieuwe voorraad.

30n + 20 - 2 * (3n + 4)

fb .v

ie

30n + 20 - 6n - 8 = 24n + 12

u'A

ct

Stap 4 Werk de haakjes uit.

.

Werken met haakjes

Opdracht 10: Grapefruits

Co

py

rig

ht

Ed

In een supermarkt worden grapefruits in netjes verkocht, maar ze zijn ook los te koop. In het schap liggen 70 netjes en 25 losse grapefruits. Drie klanten kopen elk 2 netjes en 3 losse grapefruits.

1. Noteer kort de nieuwe voorraad. 2. Bereken het aantal grapefruits in de nieuwe voorraad als er 4 grapefruits in een netje zitten.

Opdracht 11: Haakjes wegwerken en kort noteren Werk de haakjes weg en noteer kort. 1. 70n + 30 – 4 * (2n + 1) = 2. 25n + 10 – 2 * (n + 4,5) =

9


3. n + 30n + 40 – 7 * (3n + 4) = 4. 9n + 8n + 20 + 4 – 2,5 * (n + 5) =

Theorie: Machten Met 103 wordt bedoeld: 10*10*10. Met n4 wordt bedoeld: n*n*n*n.

Voorbeeld: Machten

Antwoord 20x * 5x + 6x * 4x = 100x * x + 24x * x = 124 x2

ie

Opdracht 12: Terras

fb .v

.

In een tuin worden twee terrassen aangelegd met vierkante tegels (x bij x cm). Het ene terras wordt 20 tegels breed en 5 tegels diep, het andere terras wordt 6 tegels breed en 4 tegels diep. Noteer kort de oppervlakte van de twee terrassen samen (in cm2).

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

In een tuin worden twee terrassen aangelegd met vierkante tegels (x bij x cm). Het ene terras wordt 25 tegels breed en 8 tegels diep, het andere terras wordt 6 tegels breed en 6 tegels diep.

1. Noteer kort de oppervlakte van de twee terrassen samen (in cm2). 2. Bereken de oppervlakte van de twee terrassen samen als het formaat van de tegels 50 cm * 50 cm is.

Opdracht 13: Kort noteren 1. 2. 3. 4.

10

5x * 3x + 2x * 8x = 2x * 4x + 3x * 10x= x * 6x + 8x * 3x = 9x * x + 7x * x =


Letterrekenen

Opdracht 14: Kort noteren 1. 2. 3. 4.

2x2 + 5x2 = 4x2 + 3x * 5x = x * x + 3x2 = x * 7x – 3x2 =

Theorie: Vermenigvuldigen

.

Op de basisschool leer je hoe je 17 * 23 zonder rekenmachine kunt uitrekenen: Splits 17 in: 10 + 7 en splitst 23 in: 20 + 3.

fb .v

Bereken dan: 10 * 20 , 10 * 3 , 7 * 20 , 7 * 3 en tel dat allemaal bij elkaar op.

ie

Schematisch is dat: (10 + 7) * (20 + 3) = 10 * 20 + 10 * 3 + 7 * 20 + 7 * 3

Voorbeeld: Vermenigvuldigen

ct

Het rekenen met letters gaat op precies dezelfde manier.

Ed

u'A

In een tuin wordt een terras aangelegd met vierkante tegels (x bij x cm). Het terras wordt 20 tegels breed en 8 tegels diep. De randen van het pad worden afgewerkt met opsluitband van 5 cm breed en 100 cm lang. Noteer kort de oppervlakte van het terras (in cm2).

Haakjes wegwerken

Voorbeeld

Stap 2 Noteer kort de oppervlakte.

(20x + 10) * (8x + 10)

Stap 3 Haakjes wegwerken.

(20x + 10) * (8x + 10)

Co

py

rig

ht

Stap 1 Breedte = 20x + 2 * 5 = 20x + 10 Noteer kort de breedte en Diepte = 8x + 2 * 5 = 8x + 10 de diepte

= 20x * 8x + 20x * 10 + 10 * 8x + 10 * 10 = 160x2 + 200x + 80x + 100 = 160x2 + 280x + 100

Opdracht 15: Tuinterras In een tuin wordt een terras aangelegd met vierkante tegels (x bij x cm). Het terras wordt 15 tegels breed en 10 tegels diep. De randen van het pad worden afgewerkt met opsluitband van 5 cm breed en 100 cm lang.

11


. fb .v

(3x + 5) * (2x + 4) = (5x + 2) * (6x + 3) = (x + 2) * (2x + 2) = (x + 3) * (x + 1) =

Ed

1. 2. 3. 4.

u'A

Opdracht 16: Kort noteren

ct

ie

1. Noteer kort de oppervlakte van het terras (in cm2). 2. Bereken de oppervlakte van het terras als het formaat van de tegels 40 cm * 40 cm is.

Theorie: Weglaten vermenigvuldigingsteken

rig

ht

Het vermenigvuldigingsteken wordt vaak gemakshalve weggelaten: • Tussen een getal en een letter. Zo is 3 * x = 3x. • Tussen een getal en een stel haakjes. Zo is 3 * (x+5) = 3(x+5). • Tussen een letter en een stel haakjes. Zo is x * (3x+5) = x(3x+5). • Tussen een stel haakjes en nog een stel haakjes. Zo is (x+5)*(x+4) = (x+5)(x+4).

Voorbeeld: Haakjes uitwerken met een minteken

Co

py

(x – 2)(3x + 5) = x * 3x + x * 5 – 2 * 3x – 2 * 5 = 3x2 + 5x – 6x – 10 = 3x2 – x – 10

Opdracht 17: Kort noteren 1. 2. 3. 4.

(x + 5)(2x + 3) = (x – 1)(x + 3) = (x + 4)(x – 2) = (x – 3)(x – 1) =

Opdracht 18: Kort noteren 1. 2. 3. 4.

12

x(3x + 5) = 5x(2x – 1) = (x + 8)(2x – 1)= (x – 2)(x – 2) =


Letterrekenen

Theorie: Rekenen met machten De macht ‘x3’ bestaat uit het grondtal ‘x’ en de exponent ‘3’. De exponent is het aantal keren dat het grondtal met zichzelf vermenigvuldigd wordt. Twee machten met hetzelfde grondtal kun je gemakkelijk vermenigvuldigen. Zo is x3 * x2 = x * x * x * x * x = x5 Je kunt de exponenten bij elkaar optellen.

.

Dus x5 * x10 = x5+10 = X15

fb .v

Voorbeeld: Rekenen met machten

In een gunstig milieu kunnen bacteriën zich gemakkelijk vermenigvuldigen. Zo kan het aantal E. coli, dat zijn darmbacteriën, zich in 20 minuten verdubbelen.

ct

ie

Begin om 12.00 uur met een kolonie van 100.000 bacteriën. a. Bereken het aantal bacteriën om 13.00 uur. b. Bereken het aantal bacteriën om 17.00 uur.

Ed

u'A

Antwoord a. Het aantal bacteriën heeft zich 3 keer verdubbeld, dus 100.000 * 2 * 2 * 2 = 100.000 * 23 = 800.000. b. Het aantal bacteriën heeft zich 15 keer verdubbeld, dus 100.000 * 215 = 3.276.800.000.

Opdracht 19: Bacteriegroei

Co

py

rig

ht

Om 09.00 uur zit op een ei een kolonie van 30.000 salmonellabacteriën. Deze kolonie verdubbelt in 30 minuten.

1. Bereken het aantal bacteriën om 10.00 uur. 2. Bereken het aantal bacteriën om 12.00 uur.

13


Opdracht 20: Kort noteren 1. 2. 3. 4. 5. 6.

X 5 * x8 = n3 * n4 = x6 * x8 * x2 = z * z2 = x4 * x * x = n * n2 * n =

3x * 2x * x2 = 5n2 * n4 * 3n = -x * -2x * 3x6 = 4n * - 3n * 2n =

fb .v

1. 2. 3. 4.

.

Opdracht 21: Kort noteren

ie

Theorie: Niet korter noteren

u'A

ct

Korter noteren is niet mogelijk bij: • het optellen van ongelijke machten. Zo is 3x2 + 3x niet korter te noteren. • het vermenigvuldigen van ongelijke grondtallen. Zo is x2 * n2 niet korter te noteren.

Opdracht 22: Kort noteren en controleren 2x3 * 4x * n2 = x * x * n * n2 = 32 * n2 *32 = -5x3 * 42 *x2 =

Ed

1. 2. 3. 4.

2x2 * x + 4x * x * x = 5x2 + 8 + 3x2 = 2x3 + 7 + 3x * 4x = 8x4 + 9x -2x4 + 3x =

py

rig

1. 2. 3. 4.

ht

Opdracht 23: Kort noteren en controleren

Opdracht 24: Kort noteren (x+5)(x – 3) + 2x2 = 7(x + 5) + (x + 2)(x + 2) = 9(x – 4) – x (2x – 3) = 2x * 3x + (x – 2) (x – 2) =

Co

1. 2. 3. 4.

Opdracht 25: Goede en foute berekeningen Kloppen de volgende berekeningen? Leg uit waarom wel of niet. 1. 6x + 3x2 = 9x3 2. 2x + 3y = 5xy 3. 5z + 5z2 + 3z2 = 5z + 8z2

14


Lineair verband

Lineair verband

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Je wilt wat extra zakgeld verdienen. Je hebt het plan opgevat om zonnebloemen te gaan verbouwen. In een bloemenwinkel op het internet zag je een boeket zonnebloemen te koop staan voor € 47,50. Zonnebloemzaad kost € 0,50 per zakje! Pure winst!

ht

Je kunt bij een bevriende boer waar je vaak meehelpt een verwaarloosde moestuin (afmetingen: 12 m bij 25 m) gebruiken. Dit is gratis. Je denkt 5 zakjes zaad nodig te hebben en bij de boer mag je gratis mest halen. Je informeert naar afzetmogelijkheden bij een aantal bloemisten in de buurt en zij willen de zonnebloemen wel afnemen voor € 0,50 per stuk. De zonnebloemen moet je ongeveer één meter uit elkaar zaaien.

rig

Alle gegevens op een rij

py

Aanloopkosten: • zaad 5 x € 0,50 = € 2,50 • 12 x 25 = 300 m2 tuin, ruimte voor 300 zonnebloemen. De verwachte winst is: 0,50 * verkochte aantal – 2,50. In formule: W = 0,50 * v – 2,50.

Co

2.

Als we hier een grafiek van tekenen, ziet deze er als volgt uit:

15


. fb .v

ie

Dit noemen we een lineair verband omdat het een rechte lijn is, lineair betekent rechtlijnig.

ct

Opdracht 26: Zonnebloemen

Ed

u'A

1. Teken de winstgrafiek als je de zonnebloemen zelf op de markt voor € 0,75 per stuk verkoopt. 2. Teken in dezelfde grafiek de winstlijnen voor een verkoopprijs van € 0,40 en € 0,25 per stuk. 3. Wat is het verschil tussen deze lijnen?

Opdracht 27: Bamboestokken

Co

py

rig

ht

Een bloementeler vertelt je dat de zonnebloemen plat gaan liggen als ze groot worden. Je moet ze ondersteunen met bamboestokken. Deze stokken kosten € 0,20 per stuk. Je hebt er 300 nodig. Je verkoopt de zonnebloemen weer op de markt voor € 0,75 per stuk.

1. Teken opnieuw de winstgrafiek. 2. Wat is het verschil met de lijn (voor de verkoopprijs van € 0,75) uit opdracht 1?

16


Lineair verband

Theorie: Coรถrdinaten en assenstelsel Je hebt nu gezien hoe je een rechte lijn kunt gebruiken in een economisch probleem. In andere bedrijfstakken spelen ze ook een rol. In de wiskunde willen we de formules en de bijbehorende grafieken zo beschrijven dat we ze in alle bedrijfstakken kunnen toepassen. Daarvoor is het eerst nodig een aantal afspraken te maken over de wiskundige notatie van punten en het tekenen van grafieken. We tekenen grafieken in een assenstelsel. Dit zijn een horizontale en een verticale lijn die loodrecht op elkaar staan, met hierop een maatverdeling. De horizontale as noemen we de x-as en de verticale de y-as.

fb .v

.

We delen de assen in gelijke stapjes in, meestal met een geodriehoek of liniaal in gelijke stappen (meestal van 1 cm). In dit assenstelsel kun je punten weergeven.

Voorbeeld

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

ie

Teken het punt A(4,2). We noemen deze 2 getallen de coรถrdinaten van punt A. Het eerste getal is de x, het tweede de y.

Opdracht 28: Punt B Punt A is in het assenstelsel van het voorbeeld al getekend. Teken punt B(2,4) in het assenstelsel van het voorbeeld.

Opdracht 29: Coรถrdinaten In het assenstelsel hieronder zie je de punten C, D en E staan.

17


. fb .v ie ct u'A

Ed

Wat zijn de coรถrdinaten van deze punten?

Opdracht 30: Tekenen

Co

py

rig

ht

Teken in het onderstaande assenstelsel de punten P(1,3) en Q(-2,5).

18


Lineair verband

Theorie: Van een formule naar een grafiek In het begin van dit hoofdstuk hebben we de volgende formule gebruikt om de winst uit te rekenen: W = 0,50 * verkochte aantal -2,50 Om de gegevens te verwerken in een assenstelsel wordt de formule:

.

y = 0,50*x - 2,50

ht

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

De winst werd immers verticaal in de grafiek uitgezet, dus dat wordt de y. Het verkochte aantal werd horizontaal uitgezet, dus dat wordt de x.

Voorbeeld

rig

Teken de grafiek van y = 2x + 1 voor x = -5 tot x = 5.

Co

py

We pakken zo’n opdracht weer aan met een stappenplan:

19


20

ht

rig

py

Co Ed .

fb .v

ie

ct

u'A


ht

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Lineair verband

Theorie: Rechte lijn

rig

Om een rechte lijn te tekenen, heb je eigenlijk maar 2 punten nodig. Om jezelf te beschermen voor rekenfouten is het verstandig om er altijd minstens 3 te berekenen.

py

Opdracht 31: Tekenen Teken de grafiek van y = ½x – 1.

Co

Opdracht 32: Vergelijken 1. Teken de grafiek van y = -2x + 2. 2. Wat valt je op aan deze grafiek als je deze vergelijkt met vorige opgave?

Opdracht 33: Twee grafieken 1. Teken de grafieken van y = 2x en y = 3x in één assenstelsel. 2. Wat valt je op?

Opdracht 34: Twee grafieken 1. Teken de grafieken van y = 2x + 1 en y = 2x + 2 in één assenstelsel. 2. Wat valt je op?

21


Theorie: Van een grafiek naar een formule Op de vorige pagina’s hebben we geleerd hoe je de grafiek kunt tekenen als je de formule weet. Hoe gaat dat omgekeerd? Je hebt dus de grafiek en wilt de bijbehorende formule opstellen. Hiervoor hebben we twee nieuwe begrippen nodig: richtingscoëfficiënt en hoogte van de grafiek. De formule y = 2x + 1

fb .v

Het getal 1 geeft de hoogte van de grafiek aan bij x = 0.

Voorbeeld

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

ie

Stel de formule op van de lijn in het volgende assenstelsel.

Opdracht 35: Formules opstellen Hieronder zie je vier grafieken in hetzelfde assenstelsel.

22

.

Het getal 2 is de richtingscoëfficiënt. Dit getal geeft aan hoeveel de grafiek stijgt als x één groter wordt (of daalt als dit getal negatief is).


u'A

ct

ie

fb .v

.

Lineair verband

ht

Ed

Stel voor elke rechte lijn de formule op. 1. Formule lijn a is? 2. Formule lijn b is? 3. Formule lijn c is? 4. Formule lijn d is?

Theorie: Snijpunten van rechte lijnen tekenen

Co

py

rig

Na de zonnebloemkwekerij uit het begin van het hoofdstuk wil je nu de zaken wat groter aanpakken. Je gaat meer bloemen kweken en je gaat ze zelf bezorgen. Daar heb je een bestelwagen voor nodig. Welk type, benzine of diesel, wat kost zoiets? Hoeveel kilometer ga je rijden? Vragen genoeg. Tijd om er een berekening op los te laten.

23


Je hebt je oog laten vallen op het merk Citroën, type Berlingo. Dit type kun je in benzineen dieseluitvoering krijgen. Op internet vind je de volgende gegevens: Diesel

Vermogen

70 kW

55 kW

Nieuwprijs

17.269

17.015

Verzekering

400

400

Wegenbelasting

328

908

Brandstofprijs per l

€ 1,68

€ 1,36

Afschrijving

15 % = 2590

fb .v

.

Benzine

15 % = 2552

ie

Om uit te rekenen bij hoeveel kilometer de diesel goedkoper wordt, gaan we voor de kosten van beiden types een tabel maken: Benzine (€)

Diesel (€)

0

400 + 328 + 2590 = 3318

400 + 908 + 2552 = 3860

3318 + 5000 * 0,12 = 3918

3860 + 5000 * 0,08 = 4260

u'A

ct

Gereden km

5000 10000

3318 + 10.000 * 0,12 = 4518 3860 + 10.000 * 0,08 = 4660 3318 + 15.000 * 0,12 = 5118 3860 + 15.000 * 0,08 = 5060

Ed

15000

3318 + 20.000 *0,12 = 5718 3860 + 20.000 * 0,08 = 5460

ht

20000

Co

py

rig

Met de gegevens uit deze tabel tekenen we een grafiek voor beide kosten in één figuur. In de grafiek zie je dat de lijnen elkaar snijden net onder 14.000 km. Als je meer kilometers rijdt, is de dieselauto voordeliger, rij je minder, dan is de benzineauto goedkoper.

24


Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Lineair verband

Opdracht 36: Verbruik

Co

py

rig

ht

De verbruiksgegevens van de bestelwagens zijn de opgegeven fabriekswaarden. In werkelijkheid loopt de benzineauto 1 op 12,5 en de dieselauto 1 op 15,0.

Teken voor deze waarden de grafiek uit de theorie opnieuw.

Opdracht 37: Gelijke kosten Lees de grafiek van de vorige opdracht zo nauwkeurig mogelijk af. Bij hoeveel gereden kilometers zijn de kosten gelijk?

25


Opdracht 38: Tekenen Teken in ĂŠĂŠn assenstelsel de lijnen y1 = x + 1 en y2 = 2x.

Opdracht 39: Snijpunt

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Lees in de grafiek zo nauwkeurig mogelijk het snijpunt af. Noteer dit snijpunt volgens de afgesproken methode: S (..., ...).

26


Functies en vergelijkingen

Functies en vergelijkingen In de dagelijkse praktijk kom je veel zaken tegen die van iets anders afhankelijk zijn, zoals de groei van gewassen in de kas. De groei is onder andere afhankelijk van het CO2- gehalte van de lucht, van de temperatuur en van de lichtintensiteit.

fb .v

.

Als je een dergelijke relatie uitdrukt in een formule, dan wordt dat een functie genoemd. Een functie is een lineair verband en drukt de afhankelijkheid uit van één element van een ander element. Zo kan de ideale stikstofgift voor suikerbieten in de volgende functie worden uitgedrukt:

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

ie

N = 200 – 1,7 * V, waarbij N staat voor de stikstofgift in kg/ha en V voor de bodemvoorraad stikstof, in kg per ha.

Opdracht 40: Bieten bemesten

Co

3.

Jaap wil zijn bieten bemesten met stikstof. De bodemvoorraad blijkt, in het voorjaar gemeten, 48 kg te zijn. 1. Hoeveel kg moet hij per ha bemesten? Zijn buurman weet dat zijn grond gemiddeld 15 kg stiksof meer bevat. 2. Hoeveel kg stikstof moet hij zijn bieten geven? Het advies voor pootaardappelen luidt: N = 140 – 0,6 * V. 3. Hoeveel kg stikstof moeten Jaap en zijn buurman aan hun gewas pootaardappelen geven?

27


Theorie: Eerstegraads functie Bij eerstegraads functies worden de twee factoren vaak aangeduid met x en y, zoals je dat ook in het voorgaande hoofdstuk hebt gezien. De afspraak is dat de onafhankelijke factor op de x-as wordt uitgezet en de afhankelijke op de y-as. In de situatie van de vorige opdracht is het duidelijk dat de stikstofgift afhankelijk is van de bodemvoorraad en niet andersom!

Opdracht 41: x of y-as?

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Als je van de volgende onderwerpen een grafiek zou moeten maken, geef dan aan wat op de x-as en wat op de y-as moet worden uitgezet. 1. de tijd van het jaar en de vraag naar bloemen 2. je longinhoud en de hoeveelheid sigaretten die je gemiddeld per dag rookt 3. het aantal zonuren per dag en de gewasgroei 4. de hoeveelheid verkochte trekkers aan akkerbouwers en de prijs van de aardappelen.

Theorie: Waarde van y berekenen

Co

Omdat de waarde van y afhankelijk is van de waarde van x, wordt in plaats van y ook wel f(x) genoteerd; y is een functie van x. Dus met y = 2x - 1 wordt hetzelfde bedoeld als met f(x) = 2x – 1. Als je de waarde van y moet uitrekenen bij een gegeven waarde van x, moet je x ‘vervangen’ door die waarde. Als y = 2x - 1 en x heeft de waarde 5, dan is y = 2 * 5 – 1 = 10 – 1 = 9. Je kunt dat dan ook als volgt noteren: f(x) = 2x – 1; bereken f(5). f(5)= 2 * 5 – 1 = 9 Als er meerdere functies in één grafiek worden weergegeven, worden er ook wel andere letters gebruikt, bijvoorbeeld g(x).

28


Functies en vergelijkingen

Opdracht 42: Rekenen aan functies Gegeven zijn de functies f(x) = ½ x + 4 en g(x) = -3x – 3. Bereken: 1. f(4) 2. g(8) 3. f(-5) 4. g(-5) 5. f(3) + g(3)

.

Theorie: Snijpunten van rechte lijnen berekenen

fb .v

Het tekenen van een grafiek om het snijpunt te bepalen is een hele klus. Bovendien is het antwoord niet erg nauwkeurig. Wiskundigen hebben daarom rekentechnieken ontwikkeld om het antwoord sneller en nauwkeuriger te bepalen. Dit heet: het oplossen van een vergelijking.

ct

ie

Een vergelijking is een wiskundige term die aangeeft dat twee formuleringen gelijkwaardig zijn, er staat dan ook een ‘= ‘-teken tussen. Bijvoorbeeld 3x + 5 = 7x – 3. Dit betekent dat 3x + 5 dezelfde waarde heeft als 7x – 3.

u'A

Om een vergelijking op te lossen, gebruiken we de zogenaamde balansmethode. Dat betekent dat, wanneer je aan beide zijden van een vergelijking dezelfde verandering aanbrengt, bijvoorbeeld hetzelfde getal erbij optelt of ervan aftrekt of door een zelfde getal deelt, er in feite niets verandert. De balans blijft in evenwicht.

Co

py

rig

ht

Ed

Immers: als 3 + 2 = 4 + 1 dan ook: 3 + 2 + 5 = 4 + 1 + 5!

Voorbeeld Bereken de waarde van x.

29


. fb .v ie ct u'A Ed ht rig

Opdracht 43: Vergelijkingen oplossen

Co

py

Los de waarde van x op uit de volgende vergelijkingen: 1. 3x + 8 = 2x + 5 2. 7 – 2x = x - 17 3. -4x – 12 = 8 4. 4x = 6x – 5

Opdracht 44: Haakjes wegwerken en vergelijkingen oplossen 1. 2. 3. 4.

5(x + 3) = 8x + 12 -x + 2(x + 3) = x + 6 6(x + ½ ) = -x + 7½ 5(x – 6) = 10(2x – 21)

Theorie: Balansmethode Naarmate je vaker met de balansmethode hebt gewerkt, zie je dat het wat sneller kan. Neem het volgende voorbeeld:

30


Functies en vergelijkingen

Het effect van het van beide zijden 4 aftrekken is dat je de 4 van de linkerkant verplaatst naar de rechterkant, waarbij 4 verandert in -4.

fb .v

.

We lossen de vergelijking verder op:

ie

Ook hierbij hadden we dezelfde werkwijze kunnen toepassen: verplaats -x van de rechter- naar de linkerzijde, waarbij -x wordt veranderd in x.

u'A

ct

Algemene regel In vergelijkingen mag je alle factoren van de ene zijde naar de andere zijde verplaatsen. Daarbij verandert het teken: + wordt - en - wordt +.

Co

py

rig

ht

Voorbeeld

Ed

Je moet er door het verplaatsen van de factoren dus voor zorgen dat de onbekenden aan de ene kant en de getallen aan de andere kant van de vergelijking komen te staan.

31


Opdracht 45: Versneld oplossen Los op de versnelde manier de volgende vergelijkingen op. 1. 6x + 7 = -5 2. x = 4x – 12 3. -4x + 12 = 6x – 18 4. 3x + 5 = -2x + 40

Theorie: Het snijpunt van twee lijnen berekenen

fb .v

.

In het vorige hoofdstuk heb je geleerd hoe je door twee lijnen in een grafiek te tekenen het snijpunt kunt aflezen. In veel gevallen is het aflezen van de coördinaten van het snijpunt voldoende nauwkeurig. Maar stel dat je een snijpunt precies wilt weten, dan kun je het door een vergelijking op te lossen uitrekenen.

Voorbeeld

ie

De gegeven de lijnen:

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

y1 = 2x - 3 en y2 = -x + 9

Je wilt het snijpunt van deze twee lijnen bepalen, dus de x- en y-coördinaten van het punt waar deze lijnen elkaar snijden.

32


De coördinaten van het snijpunt zijn dus: (4,5).

ie

Opdracht 46: Snijpunt 1

fb .v

.

Functies en vergelijkingen

u'A

Opdracht 47: Snijpunt 2

ct

1. Teken in één assenstelsel de lijnen y = -x + 4 en y = x – 1. Lees zo nauwkeurig mogelijk het snijpunt af. 2. Bereken nu met een vergelijking het snijpunt. Gebruik hiervoor het stappenplan.

Opdracht 48:

Ed

1. Teken in één assenstelsel de lijnen y = 3x + 1 en y = - ½x + 2. Lees zo nauwkeurig mogelijk het snijpunt af. 2. Bereken met een vergelijking het snijpunt van de lijnen.

rig

ht

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de volgende functies. 1. f(x) = 2x – 1 en g(x) = -x + 8 2. h(x) = 4x - 8 en k(x) = 2x - 5 3. l(x) = 3x - 1 en m(x) = -x - 10 4. p(x) = 1½x en q(x) = -x - 12

py

Voorbeeld

Co

We hebben in het vorige hoofdstuk grafisch bepaald dat het tot ± 14.000 km per jaar voordeliger is om een benzineauto te hebben in plaats van een dieselauto. We gaan dit met een vergelijking nog wat nauwkeuriger bepalen.

33


. fb .v ie ct

u'A

Kb zijn de kosten van een benzineauto en Kd die van een dieselauto. De formules luidden: Kb = 0,12k + 3318 en Kd = 0,08k + 3860

Co

py

rig

ht

Ed

We gaan dit oplossen volgens het stappenplan

Dus niet bij 14.000 km per jaar, maar al vanaf 13.550 km is een dieselauto goedkoper!

Opdracht 49: Bloemenzaak Je begint een bloemenzaak met als service het bestellen van bloemstukken. Je besluit om voorlopig eerst een bedrijfsauto te huren. Er zijn twee bedrijven die beide een offerte leveren. Beide bedrijven werken met maandcontracten:

34

Bedrijfsauto bv

€ 150,- per maand plus € 0,60 voor elke gereden kilometer

Doedens Bussen

€ 200,- per maand plus € 0,55 voor elke gereden kilometer


Functies en vergelijkingen

u'A

ct

ie

fb .v

.

Je hebt nog geen idee hoeveel km je per week ongeveer zult afleggen, maar je wilt wel graag weten bij hoeveel km het ene bedrijf een aantrekkelijker aanbod heeft dan het andere.

rig

ht

Ed

1. Stel de formules op van de beide offertes. De kosten van bedrijf 1 = K1 en de kosten van bedrijf 2 = K2. De afstand die je per week zult gaan rijden = A km. 2. Teken beide functies in één grafiek. 3. Lees af bij hoeveel km de lijnen elkaar snijden. 4. Bereken bij welke afstand per maand de kosten van beide bedrijven hetzelfde zijn en hoeveel je dan per maand betaalt. 5. Na een maand blijkt dat je gemiddeld 850 km per week rijdt. Met welke firma kun je het best het contract afsluiten?

Opdracht 50: Snel en veilig

Co

py

Er is nog een derde bedrijf, SNEL EN VEILIG bv, waar je een offerte hebt opgevraagd. Dat bedrijf vraagt alleen een vergoeding per kilometer en wel € 0,78. 1. Teken deze functie in de grafiek van opdracht 10. 2. Bereken de twee snijpunten met de andere lijnen. 3. Welk bedrijf is de goedkoopste aanbieder als je uitgaat van die 850 km/maand?

35


4.

Vergelijkingen met twee onbekenden

ht

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Akkerbouwer Piet wil zijn pootaardappelen bemesten met stikstof en met fosfaat, de kalibemesting heeft hij al eerder uitgevoerd. Volgens advies moet hij per ha 90 kg stikstof en 75 kg fosfaat geven.

py

rig

In voorraad heeft hij twee mengmeststoffen: 23 + 23 + 0 en 26 + 14 + 0 (de getallen staan voor het percentage stikstof, fosfaat en kali, de rest bestaat uit vulstoffen). Om maar één keer over het land te hoeven rijden, wil hij graag een goede mix van de twee meststoffen maken. Hoeveel moet hij van beide meststoffen bij elkaar mengen zodat het precies uitkomt?

Co

Voordat je een dergelijk complex vraagstuk kunt oplossen, moet je eerst de werkwijze van het oplossen van vergelijkingen met twee onbekenden goed beheersen. Later in het hoofdstuk vinden we de oplossing voor het bovenstaande probleem.

Voorbeeld Los x en y op uit de volgende twee vergelijkingen: • 4x = 1 + y • 2x – 5 = -y.

36


rig

ht

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Vergelijkingen met twee onbekenden

Opdracht 51: x en y oplossen

py

Los x en y op uit de volgende vergelijkingen. 3y + 1 = 2x

2x + 4 = 4y

2.

4x + 6 = 2y

y – 4x – 2 = 0

3.

3y = 2x – 7

2y + 2x = -18

4.

6x – 1 = 4y

4y + 2x = -9

5.

2x = 3 = -y + 10

6 + y = 2y + 11x

6.

3x – 4y = x + 8 - 6y

4x + 3y -7 = 6 + 3x + 5y

Co

1.

Complexe vergelijkingen In vorige opdrachten is het zo dat bij het optellen automatisch een van de twee onbekenden verdwijnt wanneer je de twee vergelijkingen eerst in de goede volgorde onder elkaar zet. Natuurlijk is dat niet altijd zo, zie het volgende voorbeeld.

37


. fb .v ie ct u'A Ed

Voorbeeld

ht

Los x en y op uit de volgende twee vergelijkingen. a. 2y + 1 = -x b. 3x = 7 - y

rig

Eerst in goede volgorde zetten:

py

Nu houd je een vergelijking over met nog steeds twee onbekenden, en die kun je niet oplossen.

Co

Wat moet je dan doen? Nadat je de vergelijkingen in goede volgorde onder elkaar hebt gezet, moet je een van de twee vergelijkingen met een zodanig getal vermenigvuldigen dat na het optellen een van de twee onbekenden wegvalt. We gaan uit van bovenstaand voorbeeld.

38


fb .v

.

Vergelijkingen met twee onbekenden

ct

ie

We hebben ervoor gekozen om met -2 te vermenigvuldigen. We hadden natuurlijk ook vergelijking a. met -3 kunnen vermenigvuldigen waardoor de factor x wegvalt. Let er goed op dat je alle factoren dan met -3 vermenigvuldigt!

u'A

Opdracht 52: Complexe vergelijkingen Los x en y op uit de volgende vergelijkingen. 2x – 3y = -4

2.

6x = 31 + 2y

3y + 2x – 3 = 0

3.

2y + 1 = -x

5x + 5 = 3y

4.

4x + y + 5 = 20 + 2x - 2y

5x - y = 16

38 + 4x + y = 3y -3x + 16

rig

ht

Ed

1.

Voorbeeld

py

Soms lukt het niet met een enkele vermenigvuldiging en moet je beide vergelijkingen met een getal vermenigvuldigen.

Co

3x – 6y = 15 4x + 5y = -6 Het gaat dan als volgt:

Opdracht 53: Waarde x Bereken zelf de waarde van x uit het voorgaande voorbeeld.

39


Opdracht 54: x en y oplossen 3x + 15 = 6y

34 + 4y = -2x

2.

5x = 9 + 6y

9y – 30 = -7x

3.

3y + 7x + 30 = 0

3x – 8 = 8y + 7

4.

3x – y = -9x - 4y – 6

20x + 25 = 2x + 7y – 30

5.

3(x + y) = y + 42

2(2x – y) – 9 = 3(y + 8)

6.

4(x – y +20) = 2(y + 3)

6x - 3(-y + 2) = -4(x + y) -11

fb .v

.

1.

ie

In de gemaakte opgaven heb je steeds te maken gehad met ronde getallen. In werkelijkheid kunnen er natuurlijk ook niet-ronde getallen voorkomen. De opgaven worden dan wat moeilijker, maar de manier om ze op te lossen verandert niet!

ct

Voorbeeld

u'A

a. 2,1x = 21,27 + 5,3y b. 3,8 y = 5x – 40,06

Ed

Zet alles eerst in de goede volgorde: a. 2,1x - 5,3y = 21,27 b. -5x + 3,8 y = -40,06

ht

We kiezen ervoor om de factor x te laten verdwijnen. Om dat te laten gebeuren vermenigvuldigen we vergelijking a. met 5 en vergelijking b. met 2,1.

rig

a. 2,1x - 5,3y = 21,2 |*5| b. -5x + 3,8 y = -40,06 |*2,1|

Opdracht 55: Voorbeeld oplossen

py

Werk de vergelijkingen in het voorgaande voorbeeld uit.

Co

Opdracht 56: Oplossen

40

1.

2,1 x – 3,5y = -12,04

-6,2x + 4,8y = 6,22

2.

8,4 x + 15 = -2,6y + 11,42

3y + 8,1 = -2,4x + 22,2

3.

84,54 = 7,8x -12,3

5,3x + 18,1y + 12 = -46,97

4.

-1,9y + 6,748 = -6,7x

3,4x – 13,2 + 3,4y = -3y + 28,52


Vergelijkingen met twee onbekenden

We begonnen dit hoofdstuk met de vraag hoeveel een akkerbouwer van twee soorten mengmeststof moet strooien om precies op de gewenste hoeveelheid uit te komen.

fb .v

.

Als je vanuit een context twee vergelijkingen met twee onbekenden moet opstellen en oplossen, is dat nog niet zo makkelijk. Het eerste probleem is: wat zijn de twee onbekenden? Vervolgens moet je, door het verhaal goed te lezen, de twee wiskundige vergelijkingen opstellen.

u'A

ct

ie

Een tip: bedenk welke twee onbekenden je eigenlijk wilt weten en geef die een logische letter.

Voorbeeld

Co

py

rig

ht

Ed

Een vader feliciteert zijn zoon met zijn verjaardag: “Ik ben nu twee keer zo oud als jij en dertien jaar geleden was ik nog drie keer zo oud.�

Hoe oud zijn de vader en de zoon nu?

41


. fb .v ie ct

u'A

Opdracht 57: Voorbeeld oplossen

Los de waarden van v en z uit het voorgaande voorbeeld op.

Ed

Opdracht 58: Groenten

Een dame koopt bij de groentewinkel 1½ kg uien en 6 kg aardappelen. Zij betaalt daarvoor € 4,20 Haar buurvrouw heeft bij dezelfde winkel 4 kg uien en 10 kg aardappelen gekocht. Zij betaalde € 8,20.

ht

Wat kosten de uien en wat kosten de aardappelen per kilo?

Co

py

rig

Opdracht 59: Manege

42


Vergelijkingen met twee onbekenden

Een vader en zijn dochter gaan naar de manege. In de manege bevinden zich mensen en paarden. Vader kijkt over de staldeur heen en telt 26 hoofden. Dochter kijkt onder de deur door en telt 90 benen. Hoeveel mensen en hoeveel paarden bevinden zich in de manege?

Opdracht 60: Rapport

fb .v

.

Piet komt met zijn rapport thuis. Pa vraagt naar zijn cijfers op wiskunde en scheikunde. Een tien zegt Piet. Dat is geweldig zegt pa. Ja, maar dat is op de twee vakken samen zegt Piet. En als ik bij wiskunde twee punten optel, is dat cijfer drie keer zo hoog als scheikunde. Welk cijfer had Piet op wiskunde en welk cijfer op scheikunde?

Opdracht 61: Voetbal

u'A

ct

ie

Voetbalclub FC Schwalbe had dit jaar met 22 punten een beter seizoen dan vorig jaar, toen ze 18 punten scoorden. Het viel de voorzitter op dat ze dit jaar net zo veel winstpartijen hadden als vorig jaar gelijke spelen en omgekeerd. Een winstpartij levert 3 punten op en een gelijkspel 1 punt. Hoeveel keer heeft FC Schwalbe dit jaar gewonnen?

Voorbeeld

ht

Ed

Na zo veel oefeningen wordt het tijd om ons probleem van het begin van het hoofdstuk op te lossen: Een akkerbouwer wil weten hoeveel kg van de meststoffen 26 + 14 + 0 en 23 + 23 + 0 hij moet combineren om op 90 kg stikstof en 75 kg fosfaat uit te komen.

rig

De onbekenden zijn de hoeveelheden die we van de meststoffen moeten strooien. We noemen a de hoeveel 26 + 14 + 0 in kg en b de hoeveelheid 23 + 23 + 0 in kg.

Co

py

Als we a kg strooien, dan zit daar 26% * a = 0,26a kg stikstof in en 14% * a = 0,14a kg fosfaat. Voor de tweede meststof geldt dan: 23% * b = 0,23b kg stikstof en 23% * b = 0,23b kg fosfaat. De totale hoeveelheid stikstof die hij strooit, is dan 0,26a + 0,23b. De totale hoeveelheid fosfaat die hij strooit, is 0,14a + 0,23b. De gewenste hoeveelheden waren 90 en 75 kg, dus we hebben de volgende twee vergelijkingen: a. 0,26a + 0,23b = 90 b. 0,14a + 0,23b = 75 We kunnen makkelijk b laten wegvallen door vergelijking b. te vermenigvuldigen met -1.

43


fb .v

.

Hij moet dus 125 kg van de meststof 26 + 14 + 0 strooien en 250 kg 23 + 23 + 0.

Opdracht 62: Uien

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

ct

Rond de hoeveelheden af op hele kg!

ie

Willem wil op zijn gewas uien 110 kg stikstof en 65 kg fosfaat strooien. Hij heeft de meststoffen 26 + 7 + 0 en 23 + 23 + 0 in voorraad. Welke combinatie moet hij maken?

Opdracht 63: Witlof Er bestaan ook meststoffen met alleen fosfaat en kali. Een akkerbouwer heeft de volgende twee soorten in voorraad: PK 15 + 30 PK 16 + 36. Hij wil op zijn gewas witlof 70 kg fosfaat en 145 kg kali strooien. Hoeveel van beide meststoffen moet hij strooien?

44


Tweedegraads functies

Tweedegraadsfuncties

u'A

ct

ie

fb .v

.

Longeren is je paard trainen vanaf de grond door het paard cirkels om jou heen te laten lopen. Dit gebeurt meestal in een longeercirkel.

ht

Ed

Longeercirkels kunnen variëren in diameter van zo’n 8 meter tot wel 25 meter. De oppervlakte van zo’n longeercirkel kun je berekenen met de formule:

rig

We noemen dit een tweedegraads functie omdat er ‘ r2 ‘ in de formule voorkomt.

Voorbeeld

py

Evelien wil een longeercirkel met een 15 cm dikke laag wit zand op de bodem. Stel de formule op waarmee je kunt berekenen hoeveel m3 zand nodig is voor een longeercirkel met een straal van x meter. Teken de grafiek van deze formule voor x tussen de 8 en de 25 meter. Bereken de straal van de cirkel als er 25 m3 zand wordt gebruikt.

Co

5.

Antwoord 1. De oppervlakte van een cirkel kun je berekenen met de formule:

2. Maak een tabel: kies voor x een paar getallen en bereken de bijbehorende y’s. X (in m)

8

10

15

20

25

Y (in m3)

30

47

106

188

294

45


3.

Een straal van -7,3 m kan natuurlijk niet, dus het antwoord is: x = 7,3 m.

Opdracht 64: Longeercirkel

fb .v

.

Margriet wil een longeercirkel met een 10 cm dikke laag wit zand op de bodem.

ie

1. Bereken hoeveel m3 zand Margriet nodig heeft voor een longeercirkel met een straal van 4 meter. 2. Stel de formule op waarmee je kunt berekenen hoeveel m3 zand nodig is voor een longeercirkel met een straal van x meter. 3. Teken de grafiek van deze formule voor x tussen de 8 en de 25 meter.

u'A

x2 = 36 4x2 = 120 x2 = 0 x2 = -20 3x2 – x2 = 80 3x2 + 5x2 = 100

Ed

1. 2. 3. 4. 5. 6.

ct

Opdracht 65: Oplossen

Opdracht 66: Biedermeier

Co

py

rig

ht

Een biedermeierbloemstuk heeft de vorm van een halve bol. Het oppervlak van die (denkbeeldige) halve bol is helemaal bedekt met bloemen. Hoe groter de diameter, hoe meer bloemen hiervoor nodig zijn, hoe duurder het bloemstuk is.

46


Tweedegraads functies

De oppervlakte van een halve bol is:

Hierbij stelt r de straal voor. Voor zo’n bloemstuk met slechts rode rozen (1,10 per stuk) zijn ongeveer 80 rozen per m2 nodig.

Een klant bestelt zo’n bloemstuk voor € 150,-. 3. Bereken de straal van dit bloemstuk.

fb .v

.

1. Bereken de prijs voor een biedermeierbloemstuk met een diameter van 75 cm. 2. Stel de formule op waarmee je de prijs van een bloemstuk met een straal van x m kunt berekenen.

ct

ie

Een andere klant bestelt zo’n bloemstuk voor € 70,-. 4. Bereken de straal van dit bloemstuk.

Voorbeeld: Buiten haakjes halen

u'A

x * (2x + 3) = 2x2 + 3x

Ed

Precies het omgekeerde hiervan heet ‘buiten haakjes halen’: 5x2 + 7x = x * (5x + 7) Je schrijft ‘5x2 + 7x’ dan dus als het product van twee factoren, namelijk: ‘x’ en ‘5x + 7’

Co

py

rig

ht

Aanpak buiten haakjes halen Oplossen ax2 + bx = 0

Opdracht 67: Oplossen 1. 2. 3. 4. 5. 6.

2x2 + 7x = 0 3x2 – 9x = 0 -2x2 + 18x = 0 x2 + 5x = 0 6x – 2x2 = 0 -2x – x2 = 0

47


Opdracht 68: Nog meer oplossen 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x2 = 7x 2x2 + x + 6x = 0 -2x2 + 18x = x2 x2 + 5x = x 6x = -3x2 -x – x2 = x

.

Opdracht 69: Longeercirkel

Co

py

rig

ht

Ed

u'A

Opdracht 70: Grasveld

ct

ie

fb .v

Erica wil een longeercirkel aanleggen waarvan alleen op de buitenste 3 meter een 10 cm dikke laag wit zand ligt. Op de rest ligt een 5 cm dikke laag. 1. Bereken hoeveel m3 zand Erica nodig heeft voor een longeercirkel met een straal van 9 meter. 2. Stel de formule op waarmee je kunt berekenen hoeveel m3 zand nodig is voor een longeercirkel met een straal van x meter. 3. In de formule staan haakjes. Werk die haakjes weg en vereenvoudig de formule zover mogelijk. 4. Teken de grafiek van deze formule voor x tussen de 8 en 25 meter.

Victor moet voor een opdrachtgever een tuin van 10 meter bij 5 meter opnieuw inrichten. De opdrachtgever wil in het midden gras en langs alle randen een even brede borderrand. Victor legt het grasveld aan met behulp van graszoden. 1. Bereken hoeveel m2 graszoden nodig zijn bij een 60 cm brede borderrand. 2. Stel de formule op waarmee je het aantal m2 graszoden kunt berekenen voor een x meter brede borderrand.

48


Tweedegraads functies

3. In de formule staan haakjes. Werk die haakjes weg en vereenvoudig de formule zover mogelijk. 4. Teken de grafiek van deze formule. 5. Bepaal uit de grafiek de breedte van de borderrand als het grasveld precies 30 m2 groot is.

Voorbeeld: ontbinden in factoren Een voorbeeld van haakjes wegwerken: (x + 7) * (x + 3) = x2 + 3x + 7x + 21 = x2 + 10x + 21

rig

ht

Ed

u'A

ct

ie

fb .v

.

Die ‘10’ is de som van 3 en 7. Die ‘21’ is het product van 3 en 7. Precies het omgekeerde hiervan heet ontbinden in factoren.

Opdracht 71: Oplossen x2 + 8x + 7 = 0 x2 + 8x + 12 = 0 x2 - 8x + 12 = 0 x2 - 2x - 15 = 0 x2 + 4 +3x = 0 x2 - 6 + x = 0

Co

py

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Opdracht 72: Nog meer oplossen 1. 2. 3. 4. 5. 6.

x2 + 10x = -16 x2 + 2x = 5 - 2x x2 - 8x + 1 = 10 14 + 3x2 - 9x = 2x2 8 - 4x + x2 = 2 + x x2 - 20 = x

Theorie: abc-formule Soms is het erg lastig om ‘ax2 + bx + c = 0’ te ontbinden in factoren.

49


Gebruik dan een alternatieve methode. Deze methode wordt de abc-formule genoemd. Hierbij gebruik je eerst een hulpformule, de zogenaamde discriminant D = b2 - 4 * a * c.

u'A

ct

ie

fb .v

.

Aanpak: oplossen van een tweedegraads vergelijking

Ed

Opdracht 73: Oplossen

ht

1. Los op door te ontbinden in factoren: x2 + 3x +2 = 0. 2. Los op met de abc-formule: x2 + 3x +2 = 0. 3. Vergelijk je antwoord van vraag 1. met dat van vraag 2.

Opdracht 74: Nog meer oplossen

py

rig

1. Los op door te ontbinden in factoren: x2 - 5x - 6 = 0. 2. Los op met de abc-formule: x2 - 5x - 6 = 0. 3. Vergelijk je antwoord van vraag 1. met dat van vraag 2.

Opdracht 75: Oplossen met de abc-formule

Co

1. x2 + 8x + 6 = 0 2. 2x2 + 5x - 3 = 0 3. -3x2 - 6x + 12 = 0

Opdracht 76: Longeercirkel met omheining Peter wil een longeercirkel aanleggen met een 12 cm dikke laag wit zand op de bodem (â‚Ź 13,50 per m3), omgeven door een houten omheining (â‚Ź 26,- per m).

50


ct

ie

fb .v

.

Tweedegraads functies

Ed

u'A

1. Bereken de kosten voor een longeercirkel met een straal van 10 meter. 2. Stel de formule op waarmee je de kosten kunt berekenen voor een longeercirkel met een straal van x meter. 3. Teken de grafiek van deze formule voor x tussen de 8 en de 25 meter. Duurder dan â‚Ź 500,- mag de longeercirkel niet worden. 4. Bereken de maximale straal van de longeercirkel. Controleer de uitkomst in je grafiek.

Theorie: Parabool

Co

py

rig

ht

De grafiek van een tweedegraads functie heet een parabool. Elke parabool heeft een symmetrieas, dat wil zeggen: een lijn waarlangs je de parabool kunt dubbelvouwen zodat beide helften precies op elkaar vallen. Bij een bergparabool wordt het hoogste punt de top genoemd. Bij een dalparabool wordt het laagste punt de top genoemd.

51


. fb .v ie ct u'A Ed ht rig

py

Opdracht 77: Dalparabool tekenen Teken de grafiek van y = 2x2 + 5x – 6.

Co

Opdracht 78: Bergparabool Teken de grafiek van y = – 0,5 x2 + 2x + 3.

Opdracht 79: Oogstopbrengst Een goed oogstjaar betekent vaak niet alleen een grotere oogst, maar daardoor ook een lagere prijs! In een oogstjaar waarbij de oogst x% hoger is dan normaal, is de prijs van 1 kg aardappelen p = 0,20 – 0,015x.

52


ie

fb .v

.

Tweedegraads functies

ct

Een aardappelveld brengt normaal 50 ton per ha op.

ht

Ed

u'A

1. Bereken de opbrengst (in euro) per ha in een normaal jaar. 2. Bereken de opbrengst (in euro) per ha in een jaar waarbij de oogst 5% hoger is dan normaal. 3. Stel de formule op waarmee je de opbrengst (in euro) per ha kunt berekenen als de oogst x% hoger is dan normaal. 4. Teken de grafiek van deze formule. 5. Is de grafiek een bergparabool of een dalparabool? 6. Bereken voor welke x de opbrengst (in euro) per ha het grootst is.

Theorie: Discriminant

rig

Een tweedegraads vergelijking heeft niet altijd twee oplossingen. Hoeveel oplossingen er zijn, hangt af van de discriminant D = b2 – 4 * a * c. twee oplossingen één oplossing geen oplossingen.

py

D>0 D=0 D<0

Co

Opdracht 80: Vergelijkingen oplossen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

x2 – 25 = 0 x2 + 3x + 1 = 0 3x2 + 14x + 8 = 0 x2 + 3 = -x 2x2 + 9x = 5 7x2 - x - 1 = 0 -5x2 + 12x - 4 = 0 -2x2 - 16x - 32 = 0 x2 + 2x = 1 + 4x2

53


Opdracht 81: Containers

u'A

ct

ie

fb .v

.

In de economie komen veel tweedegraads functies voor. Zo zijn kostenfuncties en opbrengstfuncties vaak tweedegraads functies.

Ed

De verkoop van containers met trekkeronderdelen door een importeur blijkt ongeveer te verlopen volgens de volgende opbrengst- en kostenfuncties: O(q) = 60q - ¼ q2 de opbrengstfunctie (in euro) 2 K(q) = 36 + q de kostenfunctie (in euro). Met q als het aantal verkochte containers.

py

rig

ht

1. Teken de grafieken van O en K in hetzelfde assenstelsel. 2. Bepaal de coördinaten van de break-evenpoints (dat wil zeggen de momenten dat het bedrijf quitte speelt). 3. Bij de verkoop van hoeveel containers wordt er winst gemaakt? 4. Bij (ongeveer) hoeveel verkochte containers is de winst maximaal?

Opdracht 82: Speerwerpen

Co

Bij veel bal- en werpsporten kunnen bewegingen beschreven worden met tweedegraads functies. Die kunnen gebruikt worden om de ideale werphoek te bepalen. Een speerwerper werpt zijn speer met een mooie gelijkmatige boog vanaf 1,50 m boven de grond. De baan die de speer aflegt, heeft (ongeveer) de vorm van een parabool met het functievoorschrift: • h(m) = 1,5 + m – 0,014 * m2 • h is de hoogte in meters • m is het aantal meters in horizontale richting. 1. Teken de grafiek van h. 2. Bepaal welke afstand deze speerwerper gooit.

54


Xact groen Wiskunde deel 2