Números reais
Antes de ler o capítulo
Sugerimos que você revise:
• as quatro operações aritméticas elementares : soma, subtração, multiplicação e divisão;
• os números negativos;
• a representação decimal dos números.
Neste capítulo , revisamos alguns conceitos fundamentais de aritmética e á lgebra, com o propósito de preparar o leitor para os capítulos que virão na sequência. Os tópicos aqui abordados são aqueles indispensáveis para se compreender a Matemática cotidiana, ou seja, aquela que usamos quando vamos ao supermercado ou ao banco , ou quando lemos um jorna l, por exemplo .
Aritmética elementar é o ramo da Matemática que trata dos números e de suas operações. Por ser a base sobre a qual são erguidos os demai s ramos , seu conhecimento é imprescindível para a compreensão da maioria dos tópicos da Matemática. Já na álgebra elementar, uma parte dos números é representada por outros símbolos , geralmente letras do alfabeto romano ou grego.
É provável que você já domine grande parte dos conceitos aritméticos e algébricos aqui apresentados. Ainda que seja esse o caso , não deixe de faze r uma leitura rápida das seções para refrescar sua memória. Ao final da revisão, você deve estar preparado para trabalhar com números reais, frações, potências e ra ízes.
1.1 Conjuntos de números
Deixamos para o próximo capítulo a apresentação dos principais conceitos associados a conjuntos . Por hora , é suficiente conhecer os pr incipais conjuntos numéricos
Você sab ia?
Em algumas culturas antigas, só os números 1, 2 e 3 possuíam nomes específicos. Qualquer quantidade acima de três era tratada genericamente como "muitos". Por outro lado, os egípcios, há milhares de anos, já possuíam hieroglifos particulares para representar números entre 1 e 9.999.999 na forma decimal.
Os números usados rotineiramente em nossas vidas são chamados números reais . Esses números são divididos em d iversos conjuntos , cada qual com uma origem e um emprego específicos.
Ao homo sapiens de épocas remotas , por exemplo, os números serviam apenas para contar aquilo que era caçado ou coletado como alimento. Ass im, para esse homem rudimentar bastavam os números naturais : 1; 2; 3; 4 ; 5;
Os números naturais também estão associados ao conceito de número ordinal , que é aquele que denota ordem ou posição (primeiro, segundo, terceiro, quarto, )
IO conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo N
Um membro de um conjunto de números é chamado e lemento do conjunto. Dizemos , portanto, que o número 27 é um elemento do conjunto de números naturais , ou simplesmente 27 E N A Tabe l a 1.1 fornece a notação usada para indicar a relação de pertinência entre um número a qualquer e um conjunto numérico S.
Alguns autores consideram o zero um número natural , enquanto outros preferem não incluí-lo nesse conjunto. Este livro segue a segunda vertente, considerando que o zero não é natural, ou seja, que O N
Quando aplicadas a números naturais, algumas operações geram outros números naturais Assim, por exemplo , quando somamos ou multiplicamos dois números naturais , sempre obtemos um número natural. Entretanto , o mesmo não ocorre
•
Observe que todo número inte iro é também racional , pois pode ser escrito como uma fração na qual o denominador é igual a I
Se você não está familiarizado com a manipulação de frações, não se preocupe, pois retornaremos ao assunto ainda neste capítulo
Atenção
Lembre-se de que a divisão de um número por zero não está definida, de modo que não podemos escrever o por exemplo.
TABELA 1.1 Notação de pertinência a conjunto.
Notação Significado Exemplos
aES a é um elemento de S. 132 E N a pertence a S. 9756431210874 E N
a"S a não é um elemento de S 12 ,5 N a não pertence a S. - 1 " N
quando calculamos 50- 100 Ou seja, para que a subtração sempre possa se r feita , precisamos dos números negati vos e do zero.
Na prática, o zero costuma ser usado como um valo r de referência e os números negativos representam valores inferiores a ela. Quando usamo s, por exe mplo, a escala Celsius para indicar a temperatura, o zero rep resenta a temperatura de congelamento da água, e os números negativos correspondem a temperaturas ainda mais frias.
Considerando todos os números que podem ser gerados pela subtração de números naturais, obtemos o conjunto dos números inteiros : ... ; -5; - 4 ; -3; -2; -1; O; 1; 2; 3; 4; 5 ;
IO conjunto dos números inteiros é representado pelo símbolo Z.
Note que todo número natural é também um número inteiro, mas o co ntrário não é verdade.
Apesar de serem suficientes para que efetuemos a subtração de núme ros naturais, os números inteiros ainda não permitem que d efi namos outras operações, como a divisão Para que essa operação seja feita com quaisquer números inteiros, definimos outro conjunto, com posto de números racionais .
O termo "racional " deriva da palavra " razã o" que, em Matemática , denota o quociente entre dois números . Assim, todo número racional pode ser representado pe la divis ão de dois números inteiros , ou seja, por uma fração na qual o numerador e o denominador são inteiros Alguns números racionais são dados a seg uir :
Os exemplos dados ilustram outra característica dos números racionais: a possibi l idade de representá- los na forma decimal , que pode ser finita- como observamos para },1 3 0 , f ou periódica - como exibido para te+· O termo "periódico" indica que , apesar de haver um número infi nito de algarismos depoi s da vírgula, estes aparecem em grupos que se repetem , como o 3 em l ,333 , ou 142857 em 0 , 142857142857
IO co njunto dos número s racionais é represe nta do pelo símbolo Q! .
Infelizmente, os números racionais ainda não são suficientes para rep rese ntar alguns números com os quais traba lhamos com frequência, como .J2 ou 7C. Números como esses são chamados irracionais , pois não podem ser escritos co mo a razão de dois números inteiros .
A forma decimal do s irracionais é infinita e não é periódica, ou seja, ela inclui um núm ero infinito de a lgarismos, mas estes não formam grupo s que se repetem. Assim , não é possível rep re sentar exatamente um número irraciona l na forma decimal , embora seja possível apresentar va lores aproximados, que são indicado s neste livro pelo símbo lo"""". Dessa forma, são vá lidas as expressões: e 7r ""'3, 14 15926536
2 • PRÉ-CÁLCULO- Operaçõe s. equações. funções e trigonometria
.!. = 02 5 , 4 3=1 , 333 _2_=-0 3 10 , 375 8 , I I - = O, 142857 142857 7
Trataremos com mais detalhe as raízescomo .fi e J3 - na Seção 1 9
No computador
O Wolfram A lph a (www.wolframalpha.com) é um mecanismo gratuito que facilita a res ol ução de problemas matemáticos.
Usando oA iph a , podemos determinar uma aproxi m ação para 7C com qualquer precisão (fin ita). Por exemp lo, a a proximação com 100 algarismos
é 3,1415926535897932384626433
83279502884197 1693993751058
209749445923078164062862089
98628034825342117068
Reais
Naturais
CAPÍTULO 1- Números rea i s • 3
A seguir são apresentados os números irracionais populares, acompanhados de a lgumas de s uas aproximações decimais:
J2 ::::: 1,4142136
log2 (3) ::::: 1, 5849625
Exemplo 1. O número n
.j3 ::::: 1, 732050 8
e ::::: 2 ,7182818
Quando dividimos o comprimento de uma circunferência pela medida de seu diâmetro , obtemos um número constante (ou seja, um va lo r que não de pende da circ unferência e m questão) , representado pela letra grega 7C ( lê-se " pi ")
comprimento da circunferência 1[ = -----'.---------diâmetro da circunferên cia
FIGURA 1.1 Uma c irc unferê ncia
Exemplo 2 Diagonal de um quadrado de lado inteiro
Suponha que um g_uadrado tenha lados com I m de co mprim ento . Nesse caso, sua diagonal mede ..J2 m , um número irracional. Todo quadrado com lado inteiro tem diagonal de m edida irracional (a medida da diagona l será sempre o produto do lado por .fi).
Frações não inteiras Negativos e zero
FIGURA 1.3 O conjunto dos números rea is e seus su bconjuntos.
FIGURA 1.2
Unindo o co njun to dos núJ!1eros racionais ao conjunto dos números irracionais , obtemos o conjunto dos números reais.
IO conjunto dos números reais é representado pel o símbo lo R
A Figura 1.3 mostra os números reais e os conjuntos que o form am (que são chamados s ubconjunto s de IR).
É possível realizar qualquer operação de adjção, subtração e multiplicação entre números reais. Também é possível realizar a di visão de qua lquer número real por outro número diferente de zero. A seguir, rev isaremos as propriedades dessas operações.
e seu diâmetro.
lm
lm
Um quadrado cujos lados medem l m.
• PRÉ-CÁLCULO- Operaçõe s, equações, funçõe s e trigonometria
Exercícios 1.1
1. Indique quais frases a seg uir são verdadeiras.
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número rac ional pode se r escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturai s.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
2. Forneça doi s exemplos de número s:
3. Dentre os números reai s a seguir:
3 indique quais são
a) naturais ; b) inteiros ; c) racionais d) irracionai s.
4. Usando uma calculadora , reescreva os números racioa) naturai s; nai s a seg uir na forma decimal : b) inteiros ;
negativos;
irracionais ;
que não são naturais.
1.2 Soma, subtração e multiplicação de números reais
Uma da 3 características mais importa ntes dos seres humanos é a capacidade de abstração Exercitamos essa capacidade o tempo inte iro , sem nos darmos conta di sso. Quando alguém diz " flor ", imediatamente reconhecemos do que se trata. Compreendemos o significado desse termo porque já vimos muitas flores , e somos capazes de associar pala v ras aos objetos que co nhecemos , sem dar importância, por exemplo , à espécie da flor. Se não empregássemos essa generalização , escolhendo uma única palavra para representar a estrutura reprodutora de várias plantas , seríamos incapazes de dizer frases como " Darei flores no dia das mães ".
Na Matemática , e, consequenteinente , na linguagem matemática , a abstração ocorre em vários níveis e em várias situações. O uso de números naturais para contar objetos diferentes é a forma mais simples e antiga de abstração. Outra abstração corriqueira consiste no uso de letras , como a, b, x e y, para representar números. Nesse caso , a letra serve apenas para indicar que aquilo a que ela se refere pode ser qualquer número Assim, ao escrevermos a+b
para representar uma soma , indicamos que essa operação é válida para dois núm e ro s a e b quaisquer, que suporemos reais . Além di sso, a própria escolha da s letras a e b é arbitrária, de modo que a mesma soma poderia ter sido escrita na forma w+ v.
O leitor deve ter sempre em mente que , ao trabalhar com letras , está trabalhando com os números que elas representam , mesmo que , no momento, esses números não tenham sido especificados Vejamos , a seguir, um exemp lo no qual d efinimos a área e o perímetro de um retângulo , mesmo se m conhecer seus lado s .
Exemplo 1. Pe rímetro e área de um retângulo
Suponha que um retângulo tenha arestas (lados) de comprimento b e h . Nesse caso , definimos o perímetro (P) do retân g ulo como a so m a do s comprimentos das arestas , ou seja:
p = b+b+h+ h = 2b+ 2h.
4
5
2 10000000 J5 632 J2 75
, 3 -
o
-8,75 J4 125 , 666 ...
c) racionais
a) 7 c) 13 e) 42 g) 19 i) 32 2 6 5 8 99 d)
e) reais
b) I d) 4 f) 5 h ) 2 j) 432 16 3 11 9 999
b
FIGURA 1.4 Um terreno retangular.
Atenção
Não se esqueça de incluir um par de parênteses (podem ser colchetes ou chaves, também) quando quiser indicar que uma operação deve ser efetuada antes de outra que , normalmente , a precederia
Observe que usamos o sina l = para definir o termo P que aparece à sua esquerda.
Definimos também a área (A) do retângulo como o produto
A=b h.
Dadas essas fórmulas para o perímetro e a área, podemos usá-las para qualquer retângu lo, quer ele represente um terreno cercado , como o da Figura 1.4, quer um quadro pendurado na parede. No caso do terreno , o perímetro corresponde ao comprimento da cerca, enquanto o perímetro do quadro fornece o comprimento da moldura
Embora não tenhamos dito explicitamente, fica subentendido que as medidas b e h deve m ser números reais maiores que zero.
• A precedência das operações e o uso de parênteses
Para calcular uma expressão aritmética envolvendo as quatro operações elementares , é preciso seguir algumas regras básicas. Em primeiro lugar, deve-se efetuar as multiplicações e divisões da esquerda para a direita Em seguida, são efetuadas as somas e subtrações, também da esquerda para a direita.
Como exemplo, vamos calcular a expressão 25-8 x 2 + 15 7 3:
25 8 X 2 + 15 3
25 16 + 15 3
16 + 5
+
Quando desejamos efetuar as operações em outra ordem , somos obrigados a usar parênteses. Nesse caso, a expressão que está entre parênteses é calcu lada em primeiro lugar, como mostra o exemplo a seguir:
5 X ( 10 - 3) = 5 X 7 = 35.
Se não tivéssemos usado os parênteses nesse exemplo, teríamos que efetuar a multiplicação antes da soma, de modo que o resu ltado seria bastante diferente :
5 X )Q - 3 = 50 - J = 47 '--v---' 50
Um exemplo mais capcioso é dado a seguir. Como se vê, na expressão da esquerda, os parênteses indicam que a multiplicação deve ser efetuada antes da divisão. Já na expressão da direita, que não contém parênteses, a divisão é calculada em primeiro lugar.
lQQ 7 (2 X 5) '---...---"'
7 10 '--..---'
100 7 2 x 5
X 5
Por outro lado , é permitido usar parênteses em situações nas quais eles não seriam necessários. Como exemplo, a expressão 100-(75 75)+ (12x 6)
1\ oiS d
D D D D D
h
D cerca
CAPÍT ULO 1 - Números reais • 5
'-.r----'
'-v---'
'-v--' 9
5 14
25
'------.-----' 7
10
'--v---' 250
100
'---v----' 50
Operações, equações, Funções e trigonometria
é equivalente a
Na calculadora
As calculadoras científicas modernas permitem o uso de parênteses . Efetue a conta ao lado em sua calcu ladora, substituindo as chaves e os colchetes por parênteses , e verifique se você obtém o mesmo resultado.
FlGURA 1.5
28 carteiras organizadas em 4 fileiras de 7 carteiras.
FIGURA 1.6
28 carteiras organizadas em 7 fileiras d e 4 carteiras .
100 - 75 + 5+12 x 6.
Podemos escrever expressões mais comp licadas colocando os parênteses dentro de colchetes , e estes dentro de chaves , como no exemplo a seguir:
5 x {3 x [(20 - 4) +(9 - 7) + 2] + 6} = 5 x {3 x [l6 +2 + 2]+ 6} = 5 x {3 x l0+6} = 5 x 36 = 180.
• Propriedades da soma e da multiplicação Foge ao objetivo deste livro definir as operações aritméticas e lementares que supomos conhecidas pelo leitor. Entretanto , nos deteremos nas propriedades dessas operações , nem sempre bem exploradas no Ensino Fundamental. Comecemos , então , analisando as propriedades mais importante s da soma e da multiplicação.
Propriedades da soma e da multiplicação
Suponha que a, b e c sejam números reais
Propriedades
1. Comutatividade da soma a+b=b+a
2. Associatividade da soma (a+b)+c=a+(b+c)
3. Comutatividade da multiplicação axb=bxa
4. Associatividade da multiplicação (a X b) X C =a X (b X c)
5. Distributividade a x (b + c) =a x b +a x c
+ 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
X 3) X 6 = 4 X (3 X 6)
+ 8) = 5 X 12 + 5 X 8
A Propriedade comutativa da multiplicação pode ser facilmente compreendida se considerarmos , por exemplo , duas possibilidades de dispor as carteiras de uma sala de aula. Como ilustrado nas figuras 1 5 e 1.6 , não importa se formamos 4 fileiras com 7 carteiras ou 7 fileira s de 4 carteiras , pois o número total de carteiras será sempre 28 , ou seja ,
4 X 7 = 7 X 4 = 28.
A Propriedade 5 , formalmente conhecida como propriedade distributiva, é populannente chamada de "regra do chuveirinho ", pois costuma ser apresentada da seguinte forma:
h\ a x (b + c ) = a x b + a x c.
O problema a s e guir, que também envo lv e assentos , mostra uma aplicação dessa propriedade.
Problema 1. Contagem das poltronas de um auditório
Um pequeno auditório é formado por dois conjuntos de poltronas separados por um corredor, como mostra a Figura 1 7. Determine o número de poltronas da sala.
6 • PRÉ-CÁLCULO-
Exemplos 2+3=3+2 (2
15
(4
5(12
X 9 = 9 X 15
Solução
uuuuuu Fileira I uuuu uuuuuu Fil eira 2 uuuu uuuuuu F il eira 3 uuuu uuuuoo Fileira 4 uuuu
UULAJUU Fil e ira 5 ULJUU uuuuuu Fil e ira 6 uuuu
LDUOUO Fil e ira 7 uuuu
000000
Fileira 8 0000
FIGURA 1.7 Poltronas de um aud itório.
Podemos contar as poltronas de duas fonnas diferentes. A primeira consiste em contar as poltronas de cada grupo e depois som á -las. Nesse cas o, temos:
+ = 48 + 32 =8 0. esquerda direita
A segunda maneira consiste em multiplicar o número de fileiras pelo número de poltronas de cada fileira , ou seja,
8 x (6+4)=8 x 10= 80.
Como o número de poltronas é o mesmo , não importando o mé to do usado para contá-las , concluímos que
8 x (6+4) = 8 x 6 + 8 x 4 , que é exatamente aquilo que diz a propriedade distributiva.
Apesar de simples , a propriedade distributiva costuma gerar algumas dúvidas , particularmente pela má interpretação do significado dos parênteses Al g uns erros comuns são apresentados na Tabela 1 2
TABELA 12 Aplicações incorretas da propri edade distributiva .
Observe que, no primeiro exemplo da Tabela 1. 2, bá um sinal de multiplicação dentro dos parênteses , de modo que a propried ade distributi va não pode ser aplicada De forma análoga, não podemos aplicar a propriedad e distributiva no segundo e no terceiro exemplos , pois há um sinal de soma for a dos parê nteses. No quarto, deve-se perceber que o produto de 5 por 2 · x fornece , simplesmente, 5 · 2 · x = 1Ox. Finalmente , a expressão do último exemplo não contém parênteses , de modo que a multiplicação deve ser efetuada antes da soma, com o vimos na página 5, não cabendo o uso da propriedade distribu ti va.
CAPÍTULO 1 - Números rea is • 7
Expressão Errado Correto 2·(5·x ) 2·5+ 2·x = 10 +2x 2 ·5 x = 10x 4+ (15 +5) 4 + 15 + 4 + 5 = 28 4+ 15+5 = 24 9 +( 10 8) 9 ·10 +9 ·8 = 162 9 +80 = 89 5 ·(3 + 2 · x ) 5 ·3+5·2·5 ·x = 15 + 50x 5 ·3 + 5 · 2x = 15 + 1Ox 3 4
6 3·4+3·6=30 12+6=18
+
Operações. equações . funções e trigonometria
Voltaremos a essas dificuldades quando tratarmos das expressões algébricas. Vejamos , agora , alguns problemas um pouco mais complicados sobre aPropriedade 5
Note qu e o pro dut o de a po r b p o d e se r exp resso de t rês m a ne iras di fere nt es: a x b , a · b e s imp les m e nt e ab
Problema 2. Propriedade distributiva Quando possível , aplique a propriedade distributi va às expressões a seguir:
a) 2(x+8)
b) 4(9 · x)
Solução
a)
c) 7+(ll+ x)
d) 6(3+5x - 8y )
2(x + 8) = 2 · x + 2 ·8 =2 x +l6.
e) 5[4+2(x+3)]
No probl e ma (d) há um a so ma de três ter-
b) Nesse caso , não é possível aplicar a propriedade distributiva, já que há apenas um produto dentro dos parênteses. De fato, os parênte ses podem ser suprimidos , de modo que :
4(9 ·X) = 4 ·9 ·X = 36x.
c) Nesse problema , também não é possível aplicar a propriedade distributiva , já que há um a so ma fora do s parênteses. Mais uma vez , os parênteses podem ser suprimidos , ou seja ,
7 + (11 +X) = 7 + lJ +X = 18 +X. m os de ntro dos parê nteses. Nesse caso , o d) va lo r 6 é multipli ca d o po r todos os te rm os
Já n o pro b le m a (e) , a pro pri e d ad e di s tributi va é a pli cad a du as vezes : uma con s i- e) d era nd o os ter m os e ntre co lc hetes , e outra in c lu ind o os te rm os e ntre p a rê nteses.
Vo lta re m os a pô r te m1 os e m ev id ê n c ia ao t ra ta rm os d a f ato ração de ex pressões a lgébri cas , na Seção 2.9 .
Não se es qu eça d e qu e, nesse exe mpl o , as letras x, y , z, s e t re prese nta m núm e ro s rea is. O bse r ve q ue 15 = 5 x 3 e 2 5 = 5 x 5 .
6(3+ 5x + 8y) = 6 ·3 + 6 ·5x +6 ·8y = 18+30x+ 48 y
5[4 + 2( x + 3)] = 5 4 + 5 · 2(x + 3) =2 0+10( x+3) = 20+10x+30 = 50+ LO x
A propriedade distributiva também é muito usa da na direção contrária àquela apresentada no s Prob lemas 1 e 2 , ou seja, I Se a , b, e c forem números reais , podemo s su bstituir ab + ac por a(b +c).
Quando essa substituição é feita , dizemos que o termo a é p osto e m evi d ência . Esquematicamente , temos:
a· c+ a· b =a· (b +c)
Exemplo 2. Pondo números em evidência
a) 10x + 10y= IO(x+y)
b) 3x+3=3(x+l)
c) Sx+ xy=x(S+ y )
d) 15 x + 25 = 5(3x + 5)
8 • PRÉ-CÁLCULO -
CAPÍTULO 1 - Número s
Observe que 8 = 2 x 4.
e) 8s-2t=2(4s-t)
t) 7xy-7 y z=7y(x-z)
Agora, tente o Exercício 4.
O núm ero O (zero) é c h amado elemento neutro da soma , pois , se a é um número real , e ntão :
E m uma so ma , podemos e limin ar as par- 1 a + 0 =a celas igua is a O.
E m um produ to , podemos e liminar os fatores igu a is a I , mas não aqueles iguais a O
Exemplo: 37 + O = 37.
De for m a a ná lo ga, o número 1 (um ) é c hamado elemento neutro da multiplicação , pois , se a é um número real, então:
I a· 1 = a.
Exe mplo : 12 8 · I = 128
Pode parecer inútil d efin ir esses elementos neutros, m as , como vere mos ao longo deste e do s pró ximos capítu los , eles são muito e mpregad os na sim plifi cação de expressões e equações
• Números negativos
Todo número real a possui um número oposto o u simétrico (-a), ta l que a + (- a) = O. Ass im , p or exemplo,
o número - 3 é o s im é trico d e 3 , pois 3 + ( - 3) =O ;
o núm e ro 3 é o simétrico d e - 3, poi s (- 3)+3 = O
Observe que a operação de s ubtração equivale à soma d e um número pel o s imétrico do ou tro , ou seja,
Ia-b = a+(- b)
Usan d o essa equivalência, pode-se m ostr ar que a propriedade distributiva se aplica à s ubtração:
a(b - c)=ab-ac.
As principais propri e d ades dos núm eros negativos estão resumidas no qu ad ro a seguir.
Propriedades que envolvem o sinal negativo
Suponha que a e b sejam números reais . Propriedades
is • 9
rea
1.
= -a 2.
a 3. (-a)b =a(-b) = -(ab) 4.
= ab 5.
b 6.
b
Exemplos ( -1 )32 = -32 - ( - 27) = 27 (-3)4 = 3(- 4) = - (3 X 4) =- 12 (- 5)(- 14) = 5 X 14 = 70 -(7 + 9) = - 7 - 9 = - 16 - ( 1o - 3) = -1 o+ 3 = 3 -1 o= -7
(-1)a
-(-a)=
(- a)(- b)
- (a + b) = -a-
-(a - b) = -a + b =
-a
TABELA 1.3 Expressões incorretas com números negativos.
A primeira propriedade nos diz que , para obter o simétrico de um número , basta trocar o se u sinal, o que corresponde a multiplicá-lo por -l. A segunda propriedade indica que o simétrico do simétrico de um número a é o próprio a. Usando essas duas propriedade s, bem como as propriedades da soma e da multiplicação apresentadas na subseção anterior, podemos provar facilmente as demais Para provar a primeira parte da Propriedade 3 , escrevemos:
(-a)b =[(-1) ·a] ·b Pro pri e da de I.
= [a · ( -1)] · b Pro pri ed a de co mutati va d a mult iplica ção
=a · [( -1) · b] Propr ied ad e asso ci ati va d a multiplicação.
=a · ( -b) Pro pri e da de I.
Já a Propriedade 6 pode ser deduzida por meio do seguinte raciocínio:
-(a- b) = ( -1) · (a - b) Pro pri eda de I.
= ( -1) a - ( - 1) b Pro pri edad e di stributi va d a multipli cação.
= ( - a) -( -b) Pro pri e da d e I.
= -a + b Pro pri ed a de 2.
= b + (-a) Pro pri ed ad e co mutat iva d a so ma.
= b- a S ubtração c omo a so ma d o s imétrico
Exemplo 3 . Trabalhando com números negativos
3 +-2 3+ (-2) 10 - -4 10 - ( - 4)
6 - 5 6 (-5)
g)
+ ( - 2,75)x =
Agor a, tente o Exercício 2
- 2,75x
- 3x ) =x-18 + 3x = 4x -18
Observe que , frequentemente, é necessário usar parênteses e colchetes em expressões que envolvem números negativos A Tabe la 1.3 mostra expressões nas quais , por preguiça de inc luir os parênteses , um operador(+,- ou x ) foi erroneamente sucedido pelo sinal negati vo, o que não é adequado na notação matemática
Problema 3. A escola de Atenas
Sócrates , que morreu em 399 a.C ., foi retratado por Rafae l Sanzio em seu famoso afresco A escola de Atenas, concluído em 151 O d C. Quanto tempo após a morte de Sócrates a pintura foi concluída?
Solução
O ano 399 a.C. , quando ocorreu a morte de Sócrates, é equivalente ao ano - 398 da era comum (pois o ano 1 a C..,..sem_q.ue.-tenh
10 • PRÉ-CÁ LCU LO- Operações equações Funçõe s e
trigonometria
Er
C
r a d o
or r eto
a) ( - 1)12 + 30 =- 12 +30=30- 12 = 18 h) 56-( - 3)y = 56 + 3y b) 52 - (- 10 , 5) = 52 + 10 , 5 = 62,5 i) 144, 2 -(-4 ,2)(-w) = 144 ,2 - 4 ,2w c) 70 + ( - 5)6=70 - 30 = 40 j) (-x)(-8)(- 11) =- 88x d) 70 - (- 5)6 = 70-(- 30) =7 0 + 30 = 100 k) (-3)( - 2y)(7) = 42y e) 70+(
= 70 + 30 = 100 I) (- 5z)( 3x)( 4y
f) 70
6) = 70- 30 = 40 m) - (18 +x ) =- 18 -x
- 5)(-6)
) =-60xyz
- ( - 5)( -
25
25
n)
x-( 18
FIGURA 1.8 A escola de Atenas, afresco do Museu do Vaticano, pintado por Rafae l Sanzio , 151 O d .C.
havid o o ano O d.C.). Como o afresco foi concluído em 1510 , os visitantes do Vaticano puderam ver essa magnífica obra decorrido s
1510 -(-398) = 1510 +398 = 1.908 anos
da morte do famoso filósofo ateniense.
Agora , tente o Exercício 8 .
Problema 4. Propriedade distributiva com números negativos Aplique a propriedade distributiva às expressões a seguir:
a) 7(6 - 5w- 2t)
Solução
a)
b)
b) -3[(4-2x)-2(3x-l)]
7(6 - 5w-2t) = 7 6 - 7 ·5w -7 · 2t = 42- 35w-l4t.
-3 [(4 - 2x)- 2(3x-1)] = -3 ·(4-2x) + ( -3) ·( - 2)(3x - 1)
= - 3(4-2x) + 6(3x-1)
= - 3-4 + (- 3) · ( -2x) + 6 · 3x- 6 1
= - 12 + 6x + 18 x - 6 = 24x-18.
Agora , tente o Exercício 3
Exercícios 1.2
1. Calcule os pares de expressões a seguir, observando o papel dos parênteses :
a) 10 + 5 - 12+3 - 7 +23-6 e 10 +5-( 12 + 3) - (7+23) - 6
b)10+6 x l2-8 -;-2 e (10+6) x( 12 -8)-;-2
c) 38-6x 4 -28-;-2 e [(38 -6)x 4 -28 ]-;-2
d) 2+10 x 2+10x2+10 x 2+10 e
2 + lü x {2 + 10 x [2 + lü x (2 + 10)]}
CAPÍTULO 1- Números reais • 11
2. Calcule as expressões a seguir:
a) -(-3,5) I) (-7x)·(- 4y) (3)
b) - (+4) m) (-12) ·(-6)
c) 2+( - 5,4)
d) 2 - ( -5,4)
e) ( - 32,5) + ( - 9 , 5)
f) -32,5-9 , 5
g) ( - 15 , 2) + ( + 5,6)
h) (-15 , 2) + 5 , 6
i) 4·(-25) 13
5.
n) - ( 12 · 6)
o) - [12 ·(-6)]
p) -15 ( - 6) + 15 ( - 6)
q) - 15 ·( - 6)-( - 10)·( - 3)
r) 3-(5 + x)
s) 24-(8 - 2y)
j) 13 ( - 25) 4 t) 2x - (6+x)
k) -10·( - 18) ·(- 5) u) y- (8 - 2y)
3. Aplique a propriedade distributiva e s implifique as expressões sempre que possível :
a) 5 (6+x)
b) 7 (5 - x)
c) -3(x + 8)
d) -4( 1O - 2x)
e) (3x - 4) · 2
f) - 2(3x- 4)
g) 15(2+5x - 6y)
h ) - 6(x - 2y + 7z - 9)
i) 3(x-6) + 2(4x - l)
j) 4(6-5x)-2(2x - 12)
k) (3-5x)·(2-4y)
I) 2 [x - 2 - 4( 5 - 2x)]
m) - 5[4 - 2(2 - 3x)]
n) - 4[(2 - 3x)+3(x+l)]
4. Aplicando a propriedade distributiva , ponha algum termo em evidência:
a) 5x + 5w f) xy + 2sx - 5xv
b) 12x + 12 g) 2 + 2x
c) 3x - 3y + 3z h) 30 + 5x
1.3 Divisão e frações
6.
d) xy - yz i) 35 -7x
e) 2xw- 2xv j ) - lO - 2x
Calcule as expressões a seguir :
a) 2 + (x + 3) e) 4 + (3 · x) i) ( - 2x) · ( 8y)
b) 6 - (5 + x) f) 8 - ( y . 5) j ) ( - 5x)·( - 2y )
c) 3 (8·y) g) 9 · X · ( 3 ·y)
d) 7 · ( -2 · x) h) (3x) ·( - 6y)
Você possui R$ 300,00 em s ua conta bancária , que dispõe do sistema de cheque especial. Se der um cheque no valor de R $ 460 ,00 , qu a l será se u saldo bancá rio ?
7. Um termômetro marca 8 ° C. Se a temperatura baixar 12 °C , quanto o termôm e tro irá marcar?
8. A câmara funerária de Tutancâmon foi aberta em 1923 d .C. Sabendo que o famoso rei egípcio morreu em 1324 a C., qu a nto tempo sua múmia permaneceu preservad a ?
9. Após decolar de uma cidade na qual a temperatura era de 20 ,5 °C, um avião p asso u a viajar a 20.000 pés de altura , a uma temperatura de - 32 ,2 °C. Qual foi a variação de temperatura nesse caso ? Forneça um número positivo , se tiver havido aumento, ou um número negativo se tiver havido redução da temperatura .
I O. Antes da sua última partida , na qual perd e u por 7 a O, o Chopotó Futebol Clube tinha um saldo de 2 gols no campeonato da terceira divisão. Qual é o sa ld o atual do glorioso time ?
Observe que , multiplicando o número de jogadores em cada time pelo número de equipes , obtemos 5 x 6 = 30 , que é o número de alunos da turma
Divisão é a operação aritmética in ve rsa da multiplicação Ela repre se nta a repartição de certa quantidade em porções iguais
Exemplo 1. Times de basquete
Em uma aula de Educação Física, o professor precisar dividir uma turma que tem 30 alunos em times de basquete , cada qual com 5 alunos. O número de equipes a se rem formadas será igual a
30..;-5 = 6.
Exemplo 2. Água para todos
Durante um período de seca , o prefeito d e uma pequ e na cidade contratou um ca minhão-pipa para distribuir água potável aos 1 250 munícipes. Se o camjnhão-pip a comporta 16 .000 litros e todo s os habitante s receb e rão o mesmo vo lume , caberá a cada habitante
16000 ..;-1250 = 12 ,8 litros.
12 • PRÉ-CÁLCULO-
e
Operações . equações. funções
trigonometria
Na fração ::!.. , o termo a, que está acima do traço , é num e ra d o r . enq uanto o termo b , abaixo do traço , é chamado d enomin a d o r .
Você se lembra de que, ao dividirmos um número por ele mesmo , obtemos sempre o valor 1?
CAPÍTULO 1- Números reais • 13
Supondo que a e b sejam números inteiros , com b *-O , podemos representar a a divisão de a em b partes iguais por meio da fr açã o b• que também pode ser escrita como alb. São exemplos de frações :
Observe que , ao efetuam1os o produto de a por lln, apenas o numerador da fração é multip li cado por a 1/ 6 116 1/ 6 1/6 1/ 6 1/ 6
FIGURA 1.9 Cinco sextos de um terreno
Para efetuar divi s ões ou trabalhar com frações que envolvem número s negativos , usamos propriedade s similares àque las apresentadas para a multiplicação .
Divisão envolvendo números negativos Suponha que a e b sejam números reais , e que b :F- O
Propriedades
1. ( - a) =-a-=_:!_ b (- b) b
2. (-a) = !!._ (-b) b
Exemplos (- 7) = -7- = _2 2 (- 2) 2 (-3) = 2_ (- 16) 16
• A divisão como um produto Se dividirmos o número 1 em n parcelas iguais , cada parcela valerá 1/n do total , de modo que :
Dessa forma ,
= n ·( _!_ ) = !!... . n n
Embora a s oma dada s ugira que n deva ser um número natural , esse resultado vale para qualquer n real , desde que n :F- O. O número 1/n é chamado i n ve rso de n .
Se dividirmos o número 1 em n parcelas iguais e pegarmos a dessas parcela s, te remos a fração a/n, ou seja , _!_ + _!_ + _!_ + . + _!_ = a . ( _!_ ) = :!.. n n n n n n a parc e las
Assim , a divisão de um número a por outro n corresponde à multiplicação de a pelo inverso de n Novamente , a e n podem ser quaisquer núm eros reais , desde que n :F- O.
Exemplo 3 . Partes de um terreno
Um terreno retangular muito comprido foi dividido em 6 partes iguais , como mostra a Figura 1 9. Tomando cinco des s as partes , obtemos :
2 15 3 ' 7 ' 1000 ' 2 36 4 ' 36
1 1 1 1 I 1 I = -+-+- + - + ··+-+-. n n n n n n n
rcelas
pa
1
Operações, equações, Funções e trigonometria
• Soma e subtração de frações com denominadores iguais Um relógio de ponteiros marca exatamente meio-dia , como mostra a Figura 1.1 Oa A cada hora transcorrida, o ponteiro das horas gira exatamente 1112 de volta, de modo que , após 12 horas (ou seja , à meia-noite) , o ponteiro das horas volta a apontar o número 12
Entre o meio-dia e as 4 horas da tarde , o ponteiro das horas do relógio gira 4112 de volta , como mostra a Figura 1.1 Ob. Transcorridas mais 5 horas , o ponteiro das horas do relógio percorre mais 5/ 12 de volta, atingindo a marca de 9 horas , que corresponde a 911 2 da volta completa , como mostra a Figura 1.1 Oc :
Também é possível usar a propriedade distributiva da mu ltip licação para mostrar q ue a/n + bln = (a + b)/n Observe : :!... + !:._ = a ·(_!_ ) + b · (_!_ ) n n n n
(1) a+b = (a+b) - = -n n
(a) me io-di a ( b) 4 hora s. (c) 9 hora s.
FIGURA 1.1 0 Um relógio marcando várias horas de um dia.
Observe que:
Ou seja , para somar duas frações com denominador 12 , mantemos o denominador e somamos os numeradores. Vamos mostrar, agora , que esse resultado va le para quaisquer frações com o mesmo denominador.
Somando a/n com bln , obtemos ;
a parce las b parce las
O problema a segu ir ilustra o que acontece quando precisamos calcular a diferença entre duas frações com um mesmo denominador
Problema 1. Frações de um bolo
Uma confeitaria dividiu um bolo de chocolate em 8 fatias iguais. Em um determinado momento do dia , restavam 5 / 8 do bolo (o u seja , 5 fatias) , como mostra a Figura 1.11 a. Até o final do dia, foram servidos mais 3/ 8 do bolo (ou seja , outras tr ê s fatias) , como ilustrado na Figura 1.11 b . Que fração do bolo sobrou ao final do dia ?
(a) Fra ç ã o di s po ní ve l. ( b) Fraç ão con s umid a. ( c ) Fração re s tante
14 • PRÉ-CÁLCULO-
4 5 4+5 9 - + - = = -. 12 12 12 12
FIGURA 1.11 Frações de um bolo dividido em 8 pedaços iguais
Tam b ém podemos efetuar as operações em ordem inversa , ca lc ul ando primeiramente o produto 108 · 3 = 324, e , depois , a divisão 324/ 4 = 8 1
Solução
Para obtermos a fração restante, devemos efetuar a subtração seguinte : %- %=5 -(i )- 3 -(i ) =(5-3) -(i ) 2 8
Assim, sobraram 2/ 8 do bolo, como representado na Figura 1. 11 c.
Como observamos, a estratégia usada para o cálcu lo da dife rença entre duas frações é simi lar àquela empregada na soma.
Soma e diferença de frações com o mesmo denominador
Sejam a, b e n números reais , tais que n :t= O. Neste caso, a b a+b a b a-b -+- = - - e n n n n n n
Exemplo 4. Soma e subtração de frações com denominadores comuns
• Multiplicação de frações Passemos , agora, ao cálculo de produtos que envolvem frações. Vamos começar com um problema simples.
Problema 2. Co b ras peçonhentas
Em um grupo de 108 cobras , * são peçonhentas Quantas cobras vene nosas há no grupo?
Solução
O número de cobras peçonhentas é dado pelo produto
3 108 X, 4
que pode ser ca lcu lado em duas etapas. Inicia lmente, dividimos 108 e m 4 grupos, cada qual contendo = 27 cobras. Em seguida, tomamos 3 desses grupos , o que corresponde a 27 ·3 = 81 Assim , h á 81 cobras vene n osas Agora, tente o Exercício 2 .
CAP Í TU LO 1 - Números rea i s • 15
1 3 4 2 4 8 14 2 2 o a) - + - = - d) - + - + - = - g) - - - = - = O 7 7 7 15 15 15 15 5 5 5 5 13 18 3 2 12 46 34 b) - + - = - = 2 e) = - h) - = - - = -2 9 9 9 7 7 7 17 17 17 3 4 7 4 5 1 c) - + - = - f) -5 5 5 9 9 9
- Operações. equações , funções e trigonometria
Agora , vamos usar a definição de produto para multiplicar a fração 3/ 26 por 5
Lembrete
Não se esqueça de que se c é um número natural , então :
c ·d = d+d+d+ ·+d +d.
c parcela s
Essa ideia pode ser generalizada para qualquer fração a/b e qualquer número c natural:
c pa rce las .. a+a+a: ·+a+a =
c pa rce las
De fato , a regra dada pode ser aplicada mesmo quando c é um número real , de modo que , para calcular o produto de a/b por c , usamos a seguinte fórmula:
Problema 3. Exploradores e exploradoras
Um grupo de pesquisadores partiu em uma excursão exploratória. Sabe - se que os pesquisadores homens , que são 27 , formam 3/7 do grupo . Q uantos exp loradores partiram na excurs ão e qual é a fraç ã o do grupo composta de mulhere s?
Solução
A Figura 1 12a ilustra os 27 homens que formam o grupo de pesqui sadores. Como sabe mos que os homen s correspondem a 3/7 do grupo , podemos dividi - los em 3 grupos , cada qual com
27 I 3 = 9 pessoas .
A ssim , cada grupo de 9 pessoas corre s ponde a 1/7 do número total de exploradores , como mostrado na Figura 1.12b. Portanto , o grupo como um todo possui
9 x 7 = 63 pe ssoas .
(a) Os 27 ho men
16 • PRÉ-CÁLCULO
s. **t** **** *t*t* ti ti t*t*t *ttt ( b) D iv isão d o g rup o e m 7 parce la s, cad a qu a l co m 9 pessoas . *'*** **** ••••• ••••• .,••• tttt ii ** t*t*t '*** ttt t t ttt t t t ttttt (c) O g rup o d e 63 ex pl o ra do res, dos quai s 3/7 são homen s e 4/7 são mulh e res FIGURA 1.12 Figuras do Problema 3
FIGURA 1.1 3 I / 3 das bolinhas é vinho a aaeea
FIGURA 1.14 I /5 das bolinhas vinho é vinho-clara.
CAPÍTULO 1- Números reais • 17
Para descobrir a que fração do grupo as mulheres correspondem , devemos nos lembrar de que o grupo completo equivale a 1, ou à fração 717, de modo que as mulheres são
3 7-3 4 1-- = = - dos pesqu1sadores.
7 7 7
Agora , tente o Exercício 5
Vamos investigar, agora , como calcular o produto de duas frações com numerador igual a 1
Problem a 4. Bolinhas de gude
Minha coleção de bolinhas de gude é composta de 120 bolinhas , das quais 1/ 3 é vinho. Se 1/ 5 das bolinhas vinho tem cor clara , quantas bolinhas rosas eu possuo ? Que fração da minha coleção é rosa?
Solução
O número de bolinhas vinho da minha coleção é dado por : = 40
Das 40 bolinhas vinho , as claras correspondem a:
(1)
40 1 40
40 · 5 =5 - =S =8 bolmhas
Observe que obtivemos o valor 8 calculando a seguinte expressão:
bo linh as v inh o
b o linh as ro as Assim , do total de bolinhas , ( 113) · ( 115) são rosas. Para descobrir quanto vale esse produto , vamos analisar as figuras 1 I3 e 1 14
Na Figura 1.13 , dividimos o conjunto de bolinhas em três partes , das quais uma era composta apenas de bolinhas vinho Já na Figura 1 14, cada terça parte do conjunto foi dividida em 5 grupos. Como se observa , o conjunto total das bolinhas foi dividido em 15 grupos , dos quais apenas um corresponde às bolinhas rosas. Logo , as 8 bolinhas correspondem a 1115 do total.
No problema dado , para obter a fração correspondente às bolinhas vinho-claras , dividimos a coleção por 3 · 5 , ou seja ,
De forma geral , podemos dizer que , se a O e b O, então:
1 I I - X -=-a b a·b
A partir desse resultado , é fácil estabelecer uma regra para o cálculo do produto de duas frações :
Produto de frações
Dadas as frações a/ b e c/d , em que b O e O, a c ac b d bd
•••••a •••e••a•
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