Matematika DBH 1

Page 1


Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org 91 702 19 70 / 93 272 04 47).

Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak onetsia (2018-VI-7)

Azala eta liburuaren diseinua: Iturri Maketazioa: Erein Azaleko irudia eta ilustrazioak: Iván Landa © Lander Intxausti, Santiago Larrañaga © EREIN. Donostia 2018 ISBN: 978-84-9109-268-1 L.G.: SS-713/2018 EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 107 20018 Donostia T 943 218 300 F 943 218 311 e-mail: erein@erein.eus www.erein.eus Inprimatzailea: Gertu Zubillaga industrialdea 9 20560 Oñati T 943 78 33 09 F 943 78 31 33 e-mail: gertu@gertu.net


1MATE

D B H

MATIKA Lander INTXAUSTI

Santiago LARRAÑAGA


Ikaslearentzako baliabide eta jarduera gehigarriak eskaintzen dituen online Ereingo hezkuntza plataformarekin osatzen da ikasmaterial hau: • Unitate bakoitzeko aplikazio-jarduera gehigarriak jasotzen ditu. • Unitate bakoitzeko amaierako online testa. • Problemen online lantegia: problemen ebazpena lantzeko berariazko baliabidea. Pasahitz bat emango zaizu, osagarrizko online materialetara sartzeko.



1. Zenbakikuntza

Aurkibidea

1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Zenbaki arruntak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Zenbaki osoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Berreketa eta erroketa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 12 14 22 28 31 32

1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Zatigarritasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 34 43 45 46

1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Geometriaren oinarrizko elementuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Irudi geometrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Gorputz geometrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 48 48 55 70 75 77

1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Zenbaki arrazionalaren kontzeptua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Zatikiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zenbaki hamartarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Ehunekoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 80 80 81 93 99 102 109 111

1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Perimetroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Azalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Simetria eta mosaikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 114 114 117 120 124 129 131

2. Zatigarritasuna

3. Geometria planoan eta espazioan

4. Zenbaki arrazionalak: Zatikiak, zenbaki hamartarrak eta ehunekoak

5. Perimetroa eta azalera. Simetria. Friso eta mosaikoak.


6. Estatistika deskribatzailea 1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Estatistika deskribatzailearen oinarrizko kontzeptuak . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Estatistika-grafikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Neurri estatistikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 134 134 138 141 142 144 145

7. Aljebra 1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Aljebraren oinarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Ekuazioak eta identitateak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148 148 148 154 160 164 166

8. Funtzioak eta grafikoak 1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Funtzioaren esanahia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Funtzioen adierazpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Funtzioen adierazpen grafikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Proportzionaltasuna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168 168 168 171 172 178 187 194 196

9. Probabilitatea 1. Problema-egoera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Probabilitatearen oinarrizko kontzeptuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Probabilitatearen kalkulua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Jarduerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Unitate-amaierako testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200 200 200 204 206 210 211


Ikasmaterial honen oinarrizko egitura sei ataletan dago antolatuta:

Sarrera: unitatearen oinarrizko testuingurua aurkezten du, eta landuko diren edukiak egunerokotasunarekin lotzeko egoerak eta adibideak ematen ditu.

Problema-egoera: unitatean landuko diren edukiak zergatik diren interesgarriak eta beharrezkoak erakusten duen egoera, egunerokotasunarekin eta ikaslearen esperientziarekin lotua. Aurrezagutzak aktibatzeko erabilgarria izateaz gain, unitatea landu ahala proiektuen metodologiaren bidez ebatz daiteke.

Zer ikasiko dut: unitatean landuko diren edukien oinarrizko zerrenda, problema-egoeratik sortutako beharrizanei erantzuteko erabilgarriak.

Edukien eta aplikazio-jardueren atala: unitateari dagozkion eduki teoriko-praktikoak azaltzen dira, ikaslearentzako erabilgarriak eta aplikagarriak diren adibide eta aplikazio zuzeneko jarduerekin.


Jarduerak: unitatean zehar landutakoa modu praktikoan aplikatzeko jardueren multzoa. Trebakuntza-jarduerak eta problemak jasotzen dira atal honetan.

Autoebaluazioa eta unitate-amaierako testa: ikasle bakoitzak bere eskuratze-maila ebaluatu ahal izateko, edukien eskuratze-maila neurtzeko froga eta aplikazio-jardueretako trebetasun-maila neurtzeko froga.


1 Zenbakikuntza

Eguneroko bizitzan mota askotako zenbakiak erabiltzen dira. Adibidez, zenbaketak egiteko, zenbaki arruntak erabiltzen dira; 0 azpitik dauden tenperaturak adierazteko, berriz, zenbaki negatiboak erabiltzen dira. Zenbakiak erabiltzean, informazio bat ematen edo jasotzen da, eta informazio hori ondo interpretatu eta erabiltzeko, garrantzitsua da jakitea zer egoeratan erabiltzen den zenbaki mota bakoitza. Gainera, zenbakiekin, gure inguruneko egoerak ezezik, gertaerak ere deskriba ditzakegu: zenbakien arteko eragiketak baliagarriak dira horretarako, eta horregatik, garrantzitsua da eragiketak, arauak eta propietateak ezagutzea.


1. Zenbakikuntza

1. Problema-egoera Unitatea bukatzean, poster baten bitartez zenbaki osoen erabileraren adibideak erakustea izango da helburua. Zenbaki arrunten, zeroaren eta zenbaki negatiboen erabileraren bi adibide gutxienez agertu beharko dira poster horretan. Poster guztiak egindakoan, zenbaki arrunten, zeroaren eta zenbaki negatiboen erabileraren adibide guztiak bilduko dira.

2. Zer ikasiko dut unitate honetan? • Zenbaki osoen motak bereizten eta zertarako erabiltzen diren. • Zenbaki horien arteko erlazio batzuk aztertzen. • Eguneroko bizitzan zenbaki horiek eta erlazio horiek zer-nolako erabilgarritasuna duten.

3. Zenbaki arruntak Gauza ugariz inguratuta bizi gara: pertsonak, eraikinak, kotxeak, zuhaitzak, animaliak… eta zenbatu egiten ditugu. Zergatik? Askotan, ez da zenbatzea behar; nahikoa dugu gauza asko edo soberan edo gutxiegi dagoela esatearekin. Baina batzuetan, kopuru zehatzen beharra dugu, konparazioak egin ahal izateko. Pentsatu erosketetan: zerbait erosi aurretik, diru nahikoa dugun jakin nahi dugu. Gizakiaren historian, hasieratik sortu zen kontatzeko beharra: zenbat egun daramatza tribuko ehiza-taldeak kanpoan? Zenbat ilargi bete behar dira uda pasatuko dugun lurraldera heltzeko? Zenbat oskol ditut trukerako? Fruituak, animaliak, trukerako objektuak… gauza baliotsuak ziren, eta garrantzitsua zen haien kopuru zehatzak jakitea eta adieraztea. Kopuru zehatz horiek adierazteko, zenbaki arruntak erabiltzen ditugu.

nean, Zenbakizko zuze ziatzat zeroa erreferent arruntak i ak harturik, zenb ierazten eskuinerantz ad nbat eta dira; zerotik ze urrunago eskuinerago eta handiago a egon, orduan et hori. i izango da zenbak

12

Zenbaki arrunten multzoa ⺞ ikurrarekin adierazten da. Multzo hori infinitua da: ⺞ = {1, 2, 3, 4, …}


1. Zenbakikuntza

Munduko kulturek era askotako ikur eta arauak asmatu dituzte zenbaki arruntak adierazteko, eta, horrela, zenbakikuntza sistemak sortu dituzte. Adibidez, guk erabiltzen duguna, zenbakikuntza sistema hamartarra da: hamar zifra edo sinbolo ditu (0, 1, 2,…, 9) eta hamarreko oinarria du (hamar banakok hamarreko multzo bat osatzen dute; hamar hamarrekok ehuneko bat; hamar ehunekok milako bat…)

5 kotxe

Zenbaki arruntak zenbatzeko eta ordenatzeko erabiltzen dira. Multzo batean zenbat elementu dagoen izendatzeko, zenbaki kardinalak erabiltzen dira; segida baten elementu batek duen kokapena adierazteko, berriz, zenbaki ordinalak.

3. kotxea urdina da

Zenbakikuntza-sistema erromatarra da beste sistema ezaguna. Beste sinbolo eta arau batzuk ditu, eta oraindik ere erabiltzen da zeinbat gauzetarako.

Badago gaur egun izugarrizko garrantzia duen beste sistema bat: zenbakikuntza-sistema bitarra. Gure telefono mugikorrek, tabletek, ordenagailuek eta bestelako gailu elektroniko ugarik sistema horrekin egiten dute lan. Bi ikur baino ez ditu erabiltzen, 0 eta 1, eta guretzako deserosoa izan badaiteke ere, makinek oso modu errazean erabiltzen dute.

Zenbaki-sistema hamartarrean 0 1 5 100 34.514

Zenbaki-sistema bitarrean 0 1 0101 01100100 01000011011010010

1. Kokatu zenbaki hauek zenbakizko zuzenean: 0, 10, 15, 20

Zer gertatzen da zenbakizko zuzenean eskuinerantz mugitu ahala?

Jean Lafitte pirata euskalduna XVIII. mendean jaio zen.

3. a) Zenbat hamarreko ditu 45 zenbakiak? Eta 315 zenbakiak? b) Zenbat ehuneko ditu 714 zenbakiak? Eta 1.034 zenbakiak? c) Zenbat milako 13.511 zenbakiak? Eta 1.010.003 zenbakiak?

2. Adierazi zenbaki kardinalak edo ordinalak erabili diren: a) Hamabi urte ditut. b) Atzoko lasterketan, 3. tokian heldu nintzen. c) Errugbian, 15 jokalarik parte hartzen dute talde bakoitzean. d) Menu horretan lau aukera daude bigarren platera aukeratzeko.

4. Zenbakikuntza-sistema hamartarrean, zenbaki bat modu honetara deskonposatu daiteke: 256 = 2 × 100 + 5 × 10 + 6 = 2 • 100 + 5 • 10 + 6 Nola adieraz daitezke zenbaki hauek beste modu batera? a) 23 b) 127 c) 6.703 d)11.222 e) 2.307.002

13


1. Zenbakikuntza 5. Zenbakikuntza-sistema erromatarrean letra hauek erabiltzen dira: I, V, X, L, C, D, eta M. Ezkerretik eskuinera irakurriz, letren balioa handitu ahala, batu egiten dira (LV = 55); letra batek balio handiagoko letra bat badu eskuinean, letra horri berak duen balioa kentzen dio (LIV = 54).

6. Osatu taula: Zenbakikuntza-sistema hamartarrean 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Idatzi zenbaki hauek sistema erromatarrean: a) 11

c) 94

b) 87

d) 204

e) 3.333

Idatzi zenbaki hauek sistema hamartarrean: f) XXXIV

h) MCMXXIV

g) LIII

i) MMXVIII

Zenbakikuntza-sistema bitarrean 0 10 11 100 101 110

4. Zenbaki osoak Aurreko atalean ikusi dugun bezala, zenbaki arruntek arazo bati erantzuna emateko balio dute, baina ez dira erabilgarriak 0 baino balio txikiago bat adierazi nahi denean. Zenbait egoeratan gertatzen dena adierazteko, zenbaki negatiboak erabiltzen dira. Zenbaki negatiboak zorretan gaudela adierazten du.

Zenbaki negatiboak.

Zer-nolako egoerak dira horiek? Adibidez, zorrak adierazteko edo neurketa eskalak erabiltzeko.

Zenbaki negatiboek itsas mailaren azpitik gaudela adierazten dute.

Egoera normalean ura izosten deneko tenperatura. Izozkailuko tenperatura.

Zenbakien ikurra zenbakizko zuzeneko kokapenarekin (zenbakipuntua deituko diogu) edota mugimenduarekin dago lotuta. Zenbakizko zuzenean, 0tik eskuinera mugitzen garenean, zenbaki positiboak ditugu, eta 0tik ezkerrera mugitzen garenean, berriz, zenbaki negatiboak.

–6

14

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6


1. Zenbakikuntza

Zenbaki arruntek eta zenbaki oso negatiboek zenbaki osoen multzoa osatzen dute. Zenbaki osoen multzoa ⺪ ikurrarekin adierazten da: ⺪ = {…–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…}

Beraz, ⺪ multzoaren barruan dago ⺞ multzoa. Honela adierazten da: ⺪傺⺞

Normalean, zenbaki oso positiboak ikurrik gabe adierazten dira: +4 = 4

+11 = 11

Batzuetan, ⺞ adierazteko, ⺪+ erabiltzen da. Zenbaki arruntak zenbaki oso positiboak dira. ⺪– zenbaki oso negatiboak adierazteko erabiltzen da. Zenbaki osoen balio absolutua. Aurkako elementua/ elementu simetrikoa

Zenbaki oso batek duen kokapenetik 0ra dagoen distantziari balio absolutua esaten zaio. –6

, Zenbakizko zuzenean ik zenbaki bat zerot zenbat eta urrunago egon, balio absolutu handiagoa izango du. –6tik 0ra dagoen a. distantzia 6 unitate dir

0

Balio absolutua honela adierazten da: l–6l = 6

Zenbat eta handiagoa izan distantzia, hainbat eta handiagoa izango da zenbakiaren balio absolutua. Ikusten denez, –5 eta 5 zenbakien balio absolutua berdina da: l–5l = l5l = 5

–5

0

5

0tik distantzia berera dauden zenbakiei aurkako elementu edo elementu simetriko esaten zaie: l–5l = l+5l = 5

7. Azaldu koadernoan zer esan nahi duen “–30°”-ko tenperatura irakurketak. Azaldu zer gertatuko den igogailu batean “–4” botoia sakatzen badugu.

–30

–1

–23

–15

7

0

–7

29

15

–5en simetrikoa 5 da.

Aurkako elementuen batura 0 da.

9. Esan zenbaki bikote hauetan zein den handiena eta zein txikiena “<” edo “>” ikurrak erabiliz.

8. Kokatu zenbaki hauek zenbakizko zuzenean: 15

–5en aurkako elementua 5 da;

a) 7 …… 13

d) 0 …… –1

b) –7 …… –13

e) 0 …… –35

c) 2 …… –3

f) –1200 …… 2

10. Adierazi “<”, “=” edo “>” ikurrak erabiliz zer zenbakik duen balio absolutu handiena: 30

a) –1 …… –2

d) 0 …… –11

b) –7 …… –13

e) 35 …… –35

c) –54 …… 45

f) –1.200 …… 1.200

15


1. Zenbakikuntza

Eragiketak zenbaki osoekin Batuketa eta kenketa zenbaki osoekin Gogoratu batuketa eta kenketa adierazteko + eta – ikurrak erabiltzen direla. Orain, zenbaki batek + edo – ikurrak eraman ditzake, zenbaki oso positiboa edo negatiboa izan baitaiteke. Ondorioz, jarraian dauden ikurrak agertuko dira. Zer egin horrelakoetan? Hona hemen hainbat egoera: Zenbaki positiboen eta negatiboen batuketa Bi zenbakiren batuketa egitean, esanahia argi zegoen orain arte: 4 + 3 ditugun 4 unitateri 3 unitate batzea da; 4tik abiatuta, 3 unitate zenbatzen ditugu eskuinerantz. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Orain, ordea, ikurra duten zenbakiak batzerakoan, lau egoera aurki ditzakegu: (+4) + (+3)

(+4) + (–3)

(–4) + (+3)

(–4) + (–3)

Lehenengoa ezaguna da, bi zenbakiak positiboak baitira: (+4) + (+3) = 4 + 3 = 7 Baina zer gertatzen da besteekin? Batuketa horiek egiteko, zenbaki negatiboen bi esanahiak hartu behar dira kontuan: • Kokapen bat dira zenbakizko zuzenean.

• Zenbakizko zuzenean ezkerreranzko mugimendua dira.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–8

–7

–6

–5 –4

–3

–2

–1

0

1

(+4) + (–3) ezkerrerantz 3 unitate mugitzea izango da 4 zenbaki-puntutik abiatuta. (–4) + (+3) eskuinerantz 3 unitate mugitzea izango da –4 zenbaki-puntutik abiatuta. (–4) + (–3) ezkerrerantz 3 unitate mugitzea izango da –4 zenbaki-puntutik abiatuta. Zenbaki positiboak ikurrik gabe adieraz daitezkeenez, horrela idatziko dira lau batuketa motak: 4+3

16

4 + (–3)

(–4) + 3

(–4) + (–3)


1. Zenbakikuntza

Zenbaki positiboen eta negatiboen kenketa Bi zenbakiren kenketa egitean, esanahia argi zegoen orain arte: 5 – 4 ditugun 5 unitateri 4 unitate kentzea da; 5etik abiatuta, 4 unitate zenbatzen ditugu ezkerrerantz.

2

3

4

5

6

7

8

9 10

–2 –1 0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

Orain, ordea, kenketak ikurra duten zenbakiekin egitean, lau egoera agertuko dira: (+4) – (+5)

(–4) – (+5)

(+4) – (–5)

(–4) – (–5)

Goazen horietako kasu bakoitza argitzera: (+4) – (+5) ezkerrerantz 5 unitate mugituko dira, +4 zenbaki-puntutik abiatuta.

8

(–4) – (+5) ezkerrerantz 5 unitate mugituko dira, –4 zenbaki-puntutik abiatuta.

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Kontuan hartu bi kasu hauetan zenbaki positibo bat kentzea bere aurkakoa gehitzearen berdina dela: (+4) – (+5) = (+4) + (–5)

(–4) – (+5) = (–4) + (–5)

Baina zer gertatzen da beste bi kasuetan? Zer da (+4) – (–5) edo (–4) – (–5) egitea?

Zer da zenbaki negatibo bat kentzea? Aurreko bi kasuetan bezala, zenbaki negatibo bat kentzea bere aurkakoa gehitzea da: (+4) – (–5) = 4 + 5

GOGORATU!

Zenbaki bat kentzea bere aurkakoa batzearen berdina da!

(–4) – (–5) = (–4) + 5

Horren zergatia honako hau da: –(–5) edo (–5)en simetrikoa gauza bera dira.

17


1. Zenbakikuntza 4+3 0

1

+3

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

5–4 0

1

6

7

8

9 10

0

1

(–4) + (+3)

+3

(+4) + (–3)

–3

2

3

2

3

4

5

6

7

8

9 10

5

6

7

8

9 10

(–4) + (–3)

–3

1

4

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

–4

2

3

4

5

(+4) – (+5)

–5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

–5

2

3

4

5

(–4) – (+5)

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Bizitza errealean ere, zenbaki negatibo bat kentzea bere aurkakoa batzearen berdina da: “20 euroko zorra barkatzea (kentzea) 20 euro gehiago edukitzea bezalakoa da” – (–20)

=

20 euro gutxiago zor ditut

+20 20 euro gehiago ditut

Zenbaki positiboen eta negatiboen batuketa eta kenketa egiteko prozedura orokorra: 1. Kenketa guztiak batuketa bihurtu 2. Zenbaki positiboen batura kalkulatu 3. Zenbaki negatiboen batura kalkulatu 4. Aurreko bi emaitzen batura kalkulatu Adibidez: (–4) – (+8) – (–5) + (+3) – (–6) – (+1) 1. (–4) + (–8) + 5 + 3 + 6 + (–1) 2. 5 + 3 + 6 = 14

3. (–4) + (–8) + (–1) 4. 14 + (–13) = 1

(–4) – (+8) – (–5) + (+3) – (–6) – (+1) = 1

18


1. Zenbakikuntza 11. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza, eta irudikatu esanahia zenbakizko zuzenean.

12. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza:

a) (–3) + 8 =

a) (+5) + (+5) = 5 + 5 = b) (+7) + (+6) = 7 + 6 = c) (–3) + (+9) =

b) 5 + (–9) =

d) (–12) + (–7) = e) –8 + (–3) = –8 – 3 =

c) 2 – (+3) =

f) –7 + (–6) = g) 3 + (–9) = 3 – 9 =

d) (–3) – (+2) + 7 =

h) –27 – 37 =

Biderketa eta zatiketa zenbaki osoekin Biderketak zenbaki osoekin Zenbaki oso positiboen biderketa eta horren esanahia argiak dira: 3 • 4 hiru bider lau da; hau da, 4 + 4 + 4 Gogoratu nola irudikatu daitekeen hau: 3 • 4 Baina, zer esanahi izan dezakete horrelako eragiketek?: –3 • 4

edo

3 • –4

edo

3•4

(–3) • (–4)

Hurrengo adibidea eredu moduan erabiliko dugu, biderketetan zenbaki oso negatiboak dituzten egoerak ulertzeko. Tren bat dugu, eta bi noranzkotan mugitu daiteke, 30 km/h-ko abiaduran. Trena mugitzen denean, honela adieraziko dugu haren abiadura: • eskuinerantz doanean, +30 km/h • ezkerrerantz doanean, –30 km/h

Trenaren kokapena adierazteko, honela adieraziko dugu:

• 60 km, abiatu den puntutik 60 km eskuinera dagoenean

ZER DA BERRIA?

Batuketa eta kenketak egitean bezala, biderketa eta zatiketetan zeinudun zenbakiak agertuko zaizkigu. Zer egin horrelakoetan?

• –60 km, abiatu den puntutik 60 km ezkerrera dagoenean

Bestalde, trenak egiten duen distantzia jakiteko, honela kalkulatzen dugu: Distantzia = abiadura • denbora

19


1. Zenbakikuntza Gezi zuzen jarraia: trenak egiten duena. Gezi kurbo etena: kalkulatu behar duguna.

–60

–60

–60

–60

–30

G

–30

30

G

–30

–30

60

30

G

60

30

G

60

30

60

Biderketa × zeinuarekin edo horrelako p untu batekin·ir udika daiteke.

• + –

+ + –

GOGORATU!

Zenbaki batez zatitzea edo be re alderantzizkoaz biderkatzea gauz a bera dela.

Aztertu ditzagun kasu hauek:

– – +

1. Trena geltokitik ateratzen da, eskuinerantz. Non egongo da bi ordu barru?

+•+=+

Distantzia = (+30) • (+2) = +60

2. Trena geltokitik pasatzen da, eskuinerantz. Non zegoen duela bi ordu?

+•–=–

Distantzia = (+30) • (–2) = –60

3. Trena geltokitik ateratzen da, ezkerrerantz. Non egongo da bi ordu barru?

–•+=–

Distantzia = (–30) • (+2) = –60

4. Trena geltokitik pasatzen da, ezkerrerantz. Non zegoen duela bi ordu?

–•–=+

Distantzia = (–30) • (–2) = +60

Lau biderketa kasu agertzen dira: • Bi zenbaki positiboren biderkadura zenbaki positibo bat da; • Zenbaki positibo baten eta zenbaki negatibo baten arteko biderkadura zenbaki negatibo bat da; • Bi zenbaki negatiboren biderkadura zenbaki positibo bat da. Ikurdun zenbakiak biderkatzerakoan, zeinuen araua erabiliko dugu.

Zatiketak zenbaki osoekin

Badakigu zatiketak biderketa bezala adierazi daitezkeela, kontrako eragiketak baitira: 10 : 2 = 10 •

1 — 2

=5

2ren alderantzizkoa

3:4=

3 — 4

=3•

1 — 4

1 — 2

4ren alderantzizkoa

3 — 4

=

1 4 — • — 2 3 3 — ren 4 alderantzizkoa

Beraz, ikurdun zenbakiak zatitzerakoan ere, zeinuen araua erabiliko dugu.

13. Aurkitu emaitza.

20

:

a) (–2) × (–4) =

c) (–3) • (–2) =

e) (–5) • (–1) =

b) 4 • (–3) : (–2) =

d) [3 • (–2)] : 2 =

f) 6 : (–2) =


1. Zenbakikuntza Eragiketa konposatuak. Hierarkia Kasu batzuetan, batera agertuko dira batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak. Eragiketa-ordenak garrantzi handia du. Zein da zuzena?

?

15 : 3 + 2 – 6 =

= 15 : 5 - 6 = 15 : (–1)= –15 = 15 : 5 – 6 = 3 – 6 = –3 =5+2–6=7–6=1

Emaitza aldatu egingo da eragiketen ordenaren arabera! Beraz, argi dago ezinbestekoa izango dela nola egin behar den adostea. Horrelako egoera baten aurrean, honako hau da araua: 1. Biderketak eta zatiketak, batuketak eta kenketak baino lehenago egiten dira. 2. Parentesiak agertzen badira eragiketak antolatuz, orduan, parentesi barrukoak egiten dira lehenengo. • Adibidez: parentesiak agertzen dira 15 : (3 + 2 – 6) = 15 : (–1) = –15 • Adibidez: parentesirik gabe 15 : 3 + 2 – 6 = 5 + 2 – 6 = 1

Zenbaki negatiboekin ere parentesiak agertu daitezkeenez, eragiketak antolatzeko beste parentesi hauek erabiliko ditugu: [ ]

14. Aukeratu eragiketa hauen emaitza zuzena: a) 4 × (–3) + 2 = …… –10 edo –4

17. Lau 3 dituzu honela: 3

3

3

3

b) (–2) × [(–3) + 3] = …… 9 edo 0 15. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza: a) [4 + 2] × (–7) =

b) (–5) × [(–13) – (–6)] =

16. Jarri parentesiak toki egokian, emaitzak zuzenak izan daitezen: a) (–3) + 2 × (–5) = 5

Lau eragiketa hauek aplikatuz, (+, –, ×, ÷), zer emaitza izango da ezinezkoa? (idatzi Bai edo Ez). Kontuan izan eragiketen hierarkia 9?

10?

11?

12?

b) 4 + 13 × 4 – 2 = 30

21


1. Zenbakikuntza

5. Berreketa eta erroketa Atal honetan bi eragiketa mota landuko ditugu: berreketa eta erroketa.

Berreketa Biderketaren bitartez batuketa errepikatuak adieraz daitezke: 5+5+5+5+5+5

Batugai berdinak dituzten batuketaren idazkera

=

6×5 Idazkera baliokidea biderketa erabiliz

Era berean, biderketa errepikatuak adierazteko, berreketak erabil daitezke: 5×5×5×5×5×5

Biderkagai berdinak dituen batuketaren idazkera

Nola adierazten dugu? Eragiketaren izena

a

BERRETZAILEA EDO ESPONENTEA

56 Idazkera baliokidea berreketa erabiliz

5+5+5+5+5+5 batugai berdinak

Abiapuntua

b

=

5x5x5x5x5x5 biderkagai berdinak

6×5

56

biderketa

berreketa

6 × 5

56

Batugai bera Biderkagai bera Errepikatzen den Errepikatzen den zenbat aldiz zenbat aldiz batugaia biderkagaia errepikatzen den errepikatzen den

Eragiketaren gaiak

BERREKETA

Nola irakurtzen dugu?

“sei aldiz bost” edo “sei bider bost”

“bost ber sei”

OINARRIA

18. Idatzi biderketa moduan biderketa hauek:

19. Idatzi berreketa moduan berreketa hauek:

a) 24 =

a) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 =

b) 42 =

b) 10 × 10 × 10 × 10 =

c) 35 =

c) 3 × 3 × 3 × 3 × 6 × 6 × 6 =

d) 53 =

d) 8 × 8 × 9 × 9 × 9 =

Berreketa bereziak

Karratu beteak: esponentea 2 denean, berreketa horiei karratu bete esaten zaie. 52 : bost ber bi edo bost karratu esaten dugu. 15 : hamabost ber bi edo hamabost karratu esaten dugu. 2

22


1. Zenbakikuntza

Berreketa horiei karratu deitzen diegu, haien adierazpen grafikoa karratu bat delako!

12

1x1

Zeinudun zenbaki baten karratua beti da positiboa:

22

2x2

33

3x3

42 = 4 × 4 = 16

1

4

2

2

(–4)2 = (–4) × (–4) = 16

KONTUZ!

1

1

9

3 3

(–4)2 = 16

–(42) = –16

44

4x4

Kubo beteak: esponentea 3 denean, berreketa horiei kubo bete esaten zaie: 43: lau ber hiru edo lau kubo esaten dugu

Berreketa horiei kubo esaten diegu, grafikoki kuboen bitartez adierazi daitezkeelako.

4

1x1x1

13

2x2x2

22

1

1

1

1

8

2 2

3x3x3

2

33

3 3

Burdin pirita minerala.

16

4

27

3

20. Osatu taula hau lehenengo zenbaki arrunten karratu eta kuboekin: Zenbaki arrunta

Karratua

Kuboa

1

12 =

13 =

2

22 =

23 =

3

32 =

33 =

4

42 =

43 =

5

52 =

53 =

6

62 =

63 =

7

72 =

73 =

8

82 =

83 =

9

92 =

93 =

10

102 =

103 =

11

112 =

113 =

12

122 =

123 =

23


1. Zenbakikuntza Oinarritzat 10 zenbakia duten berreketak Gure zenbakikuntza-sistema hamartarra denez, oinarria 10 duten berreketen bitartez adieraz ditzakegu zenbakiak. Ikusi taula hau: Milioia

Ehun milakoak

Hamar milakoak

1.000.000

100.000

10.000

1.000

100

10

1

106

105

104

103

102

101

100

Milakoak Ehunekoak Hamarrekoak Batekoak

Era horretara, edozein zenbaki deskonposa dezakegu osatzen duen zifra bakoitzaren posizio-balioaren arabera. Deskonposaketa hori hiru eratara agertzen da taula honetan: Batuketa gisa

Batuketa-biderketa gisa

Berreketa gisa

4.580 =

4.000 + 500 + 80

= 4 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10

= 4 × 103 + 5 × 102 + 8 × 101

470.000=

400.000 + 70.000

= (4 × 100.000) + (7 × 10.000)

= 4 × 10 5 + 7 × 104

5 8 5 8 5 8 673,58 = 600 + 70 + 3 + — + —– = (6 × 100) + (7 × 10) + 3 + — + —– = 6 × 102 + 7 × 101 + 3 × 100 + — + —– 10

100

10 100

10 100

Oso zenbaki handiak erabiltzen edo entzuten ditugunean, zaila da zifra guztiak gogoratzea, eta, kasu horietan, garrantzitsuena zenbaki horren tamainaz ohartzea da. Tamaina hori zenbaki baten magnitudeordena da: zenbakiaren ezkerreko lehen zifraren posizio-balioak ematen digu. EMo

HMo

Milioia

EM

HM

Milakoak

E

H

B

108

107

106

105

104

103

102

101

100

2

5

3

5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

3

magnitude ordena: 25

101

hamarrekoa

350.000

105

ehun milakoa

43.000.000

107

hamarreko milioikoa

Zenbakiak oso txikiak direnean, berdin jokatuko dugu. B

Hamarrenak

Ehunenak

Milarenak

10

1 — 10

1 –— 100

1 —— 1000

0,

0

3

0,

0

0

0

5

magnitude ordena:

24

0,03

1 –— 100

ehunena

0,005

1 —— 1000

milarena


1. Zenbakikuntza

Zenbaki bat idazkera zientifikoan idazten dugunean, haren magnitude-ordena azpimarratzen dugu:

60.000

6 x 104

ZIFRA ESANGURATSUENA

Askotan, zenbaki handien hurbilketekin egiten dugu lan. Idazkera zientifikoa erabiliz, magnitude-ordena adierazten duen zifra esanguratsuenaren ondoren dezimal bat, bi edo hiru erabiltzen dira:

15.378.365 ≈ 1,5 × 107

15.378.365 ≈ 15 × 106 KONTUZ! HAU EZ DA IDAZKERA ZIENTIFIKOA

ZIFRA ESANGURATSUENA

21. Idatzi zenbaki hauek 10en berreketak erabiliz: a) 100.000 =

b) 70.000 = 7 ×

c) 503.000 = 5 ×……+ 3 ×

Erroketa Batuketa eta kenketa alderantzizko eragiketak dira: 5 + 3 –3 = 5

5+3=8 8–3=5

Biderketa eta zatiketa ere alderantzizko eragiketak dira: 7×3:3=7

7 × 3 = 21 21 : 3 = 7

Berreketaren alderantzizko eragiketari erroketa deritzo. ERROTZAILEA

ADI!

Errotzailerik

agertzen ez denean, erro karratua izango da!

=5 ERROKIZUNA ERROA

52 = 25

bost ber bi

53 = 125 bost ber hiru 54 = 625

bost ber lau

= 5 hogeita bosten erro karratua bost da. = 5 ehun eta hogeita bosten erro kubikoa bost da. = 5 seiehun eta hogeita bosten laugarren erroa bost da.

22. Berreketaren eta erroketaren artean dagoen erlazioa kontuak izanik, osatu:

a)

=5

zeren eta

=

zeren eta

52 = 25

25

b)

=

zeren eta

c)

=

zeren eta

d)

=

zeren eta

125

25


1. Zenbakikuntza

Hurbilketa-kalkulua berreketa eta erroketekin Oro har, berreketa edo erroketak kalkulatzeko, kalkulagailua erabiliko dugu. Hala ere, kalkulagailuarekin ondo egiten dugula ziurtatzeko, buruz egingo dugun hurbilketa-kalkulua erabiliko dugu. Berreketetan: (2,3)2 = ?

Tartekatuz:

22 < (2,3)2 < 32

4 < (2,3)2 < 9

Badakit (2,3)2 zenbakia 4 eta 9ren artean dagoela. (85)3 = ?

Hurbilduz:

(85)3 < (100)3

(85)3 < 1.000.000

Badakit (85)3 zenbakia 1.000.000 baino txikiagoa dela; batzuetan hau jakitea nahikoa da.

Berreketekin lan egitean, bada garrantzizko beste gauza bat kontuan hartu beharrekoa. Azter ezazu kalkulagailuarekin:

Oinarria 1 baino handiagoa bada, emaitza oinarria baino handiagoa izango da:

Oinarria 1 baino txikiagoa bada, emaitza oinarria baino txikiagoa izango da:

23.

24.

Aukeratu 1 baino handiagoa den zenbaki bat

Kalkulatu zure zenbakiaren karratua

Kalkulatu zure zenbakiaren kuboa

Aukeratu 0 eta 1 zenbakien artean dagoen zenbaki bat

Kalkulatu zure zenbakiaren karratua

Kalkulatu zure zenbakiaren kuboa

Konparatu emaitza eta oinarria. Zer gertatzen da?

Konparatu emaitza eta oinarria. Zer gertatzen da? Erroketetan: =?

Tartekatuz:

<

<

<3

Badakit 7 zenbakia 2 eta 3 artean dagoela =?

Hurbilduz:

<

20 <

Badakit 573 zenbakia 20 baino handiagoa dela; batzuetan hau jakitea nahikoa da.

25. Ikusi erroketetan zer gertatzen den 1 baino txikiagoak edo handiagoak diren errokizunekin. Erabili kalkulagailua. Errokizuna 1 baino handiagoa bada, emaitza errokizuna baino txikiagoa izango da: Aukeratu 1 baino handiagoa Kalkulatu zure zenbakiaren den errokizun bat erro karratua

a) Konparatu emaitza eta errokizuna. Zer gertatzen da?

26

Errokizuna 1 baino txikiagoa bada, emaitza errokizuna baino handiagoa izango da. Aukeratu 0 eta 1 zenbakien Kalkulatu zure zenbakiaren artean dagoen zenbaki bat erro karratua

b) Konparatu emaitza eta errokizuna. Zer gertatzen da?


1. Zenbakikuntza

Berreketen eta erroketen arteko eragiketak: propietateak Eragiketen propietateak ezagutuz gero, errazagoak dira kalkuluak. Berreketaren kasuan, honako hauek erabiliko ditugu: • Oinarri berdina duten berreketak biderkatzen direnean, esponenteak batu egiten dira: 35 × 32 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 37

35 × 32 = 35+2

22 × 24 = 2× 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26

22 × 24 = 22+4

• Oinarri berdina duten berreketak zatitzen ditugunean, esponenteen arteko kenketa egiten da: 43

45 : 42 = 45–2 = 43 22

26 : 24 = 26–4 = 22

• Esponentea 0 denean, berreketaren emaitza 1 da. 1

= 32–2 = 30 53–3 = 1

= 53–3 = 50

• Oinarri bera ez duten baina esponente bera duten berreketak biderkatzen ditugunean, oinarriak biderkatzen dira esponenteari eutsiz: 34 × 24 = (3 × 3 × 3 × 3) × (2 × 2 × 2 × 2)= (3 × 2) × (3 × 2) ×(3 × 2) × (3 × 2) = (3 × 2)4 = 64

• Berreketa baten berreketa badugu, esponenteak biderkatzen dira: (32)4 = 32× 32 × 32 × 32 = (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) = 38 (32)4 = (3 × 3)4 = 34 × 34 = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) = 38

26. Adieraz itzazu kalkulu hauek berreketa bakar bat erabiliz: a) 34 • 35 =

e) 42 • 52 =

b) (23)2 =

f) (103)3 =

3

c) 2

2

•2

53 = d) — 1 5

=

3

g) 6

3

3 =

29 = h) — 3

GOGORATU!

biderketa

ikurrarekin ere adieraz daiteke ela.

2

27


1. Zenbakikuntza Erroketaren kasuan ere, zenbait propietate erabilgarri aztertuko ditugu. • Bi erro karraturen biderkadura = errokizunen biderkaduraren erro karratua.

• Bi erro karraturen zatidura = errokizunen zatiduraren erro karratua.

• Erroketa berreketaren aurkako eragiketa dela jakitea oso erabilgarria izango da. Horri esker, eta aurreko propietateak erabiliz, errokizunaren adierazpen errazagoak lortuko ditugu:

• Erro karratu baten karratua egiterakoan, emaitza errokizunaren berdina da:

Aurreko propietateak aplikatuz hemen

27. Sinplifikatu erroketa hauen errokizuna, adibideari jarraituz: 48 = 27 =

162 =

6. Jarduerak 28. Aurkitu 3, 4 eta 7 zifrak erabiliz osa daitezkeen hiru zifrako zenbaki guztiak, eta ordenatu, txikienetik handienera. 29. Idatzi baldintza hauek betetzen dituen zenbaki arrunt bat: • 17 baino handiagoa da • 50 baino txikiagoa da • bere zifrak biderkatuz gero, emaitza 21 da 30. Hiru zifrako zenbat zenbaki daude gure zenbakikuntza-sisteman?

28

31. Kalkulatu emaitzak: a) (+4) + (–5) =

e) (+4) – (+3) =

b) (–4) + (–5) =

f) (–4) – (–3) =

c) (–4) + (+5) =

g) (+4) – (–3) =

d) (+4) + (+5) =

h) (–4) – (+3) =

32. Jarri dagokion ikurra emaitza zuzena izateko: a) (+7) – ( 2) = (+9)

c) (+7) – ( 2) = (+5)

b) (–4) – ( 3) = (–1)

d) (–4) – ( 3) = (–7)


1. Zenbakikuntza 33. Kalkulatu emaitzak:

38. Kalkulagailuaren laguntzaz, identifikatu karratu beteak, kubo beteak edo ez bata ez bestea ez direnak hurrengo zenbakien artean. Adierazi zer zenbakiren karratua edo kuboa diren, hala badira.

a) (–3) × (–5) =

i) 12 : (–2) =

b) (–4) • [(–1) + (–2)] =

j) (–7 + 5 – 2) : (–1 + 3) =

c) (–5) • (2+3) • (–2) =

7 – 11 k) ——— = –2

Adibidez: 324 karratu betea, 182

d) 3 · (–4) + 3 • (–5) =

l) 0,5 – [0,2 • (–10)] =

a) 3.660

g) 8.000

e) [3 • (–2)] – [3 • (–4)] =

2–3 m) –7 – ——— = 5 – 10

b) 150

h) 552

f) (6 – 3 + 2 – 5) • (–2) =

3 • (2 – 5) n) ———— =

c) 2.744

i) 1.444

d) 125

j) 729

e) 5.625

k) 1.000.000

g) 5 • [(–3) + 8] =

– (7 – 4)

o)

(0,25) • (2 – 10) —————— -0,5

=

h) (–5) • [4–7] =

f) 1.331

34. Zenbaki batek hainbat adierazpen izan ditzake. Esan honako adierazpenak zenbaki berdinarenak (=) edo zenbaki ezberdinenak diren (≠): a) 25

52

b) 23

f) 23 × 22

81

g) 103ren bikoitza 32

c) 2 × 2 × 2 2

3

5

d) 10 × 10 e) 2 × 23

26

10 62

h) 104ren erdia

203 102

3

35. Aurkitu eragiketa hauen emaitzak: e) 24 + 22 =

b) 103 – 102 =

f) 24 – 22 =

3

2

4

2

c) 10 × 10 =

g) 2 × 2 =

d) 103 : 102 =

h) 24 : 22 =

36. Erabil ezazu berreketa bakar bat emaitza adierazteko: a) 5 × 52 × 53 × 54 =

b) 3 × 32 × 33 × 34 =

37. Eragiketa guztietan 2 zenbakia agertzen da. Ordena itzazu txikitik handira (1etik 5era). Kalkulagailua erabil dezakezu. a) 2 × 2 × 2

d) (2 × 2)2

b) 2 + 22

e) 222

c) 222

f) (0,05)2 =

b) (0,5)2 =

g) (1,1)2 =

c) (0,2)2 =

h) (0,11)2 =

d) (0,6)2 =

i) (1,2)2 =

e) (0,01)2 =

j) (0,12)2 =

10 54

a) 103 + 102 =

a) (0,1)2 =

6

i) 10 ren bikoitza j) 104ren erdia

39. Begiratu aurreko ariketan lortutako karratuak. Erabili hurrengo karratuak aurkitzeko. Kalkulagailua erabil dezakezu laguntza moduan.

40. Pentsatu prozedura honetan. Hartu folio bat eta erdibitu; bi zatiak elkarren gainean jarri, eta berriro erdibituko duzu; demagun 10 aldiz errepikatzen duzula. Zenbat paper puska izango dituzu bukaeran? 41. Karratu bete batzuen batura beste karratu bete bat da. Egiaztatu kalkulagailuaren laguntzaz: a) 32 + 42 =

c) 92 + 122 =

b) 62 + 82 =

d) 122 + 162 =

Jarri arreta adibideetan, eta erraz aurkituko dituzu beste bi adibide. 42. 1 cm-ko aldea duten 35 kubo dituzu. Kubo handiago bat eraiki nahi duzu kubo horiekin. 1 cm-ko zenbat kubo erabiliko dituzu ahalik eta kuborik handiena eraikitzeko? a) 4 cm-ko aldea duen kubo bat eraikitzeko, zenbat kubo gehiago beharko dituzu? b) Zenbat kubo beharko dira guztira 10 cm-ko aldea duen kubo bat eraikitzeko?

29


1. Zenbakikuntza 43. Deskonposa itzazu zenbaki hauek adierazten zaizun eran: a) 70.960 batuketa gisa b) 93.124 batuketa-biderketa gisa c) 600.187 berreketa gisa 44. Idatzi zenbaki hauek zenbakikuntza-taulan, zifra guztiekin. Mila milioien klasea E

H

Milioien klasea

B

E

H

Milakoen klasea B

E

H

B

Batekoen klasea E

H

B

4

3 × 10

105 × 106 23 × 103 75× 108

Esan zein den zenbaki horien magnitude ordena: a ) 3 × 104 =

c) 23 × 103 =

b ) 105 × 106 =

d) 75× 108 =

47. Mugatu bi zenbaki osoren artean berreketa eta erroketa hauen balioa. Gero, kalkulagailuarekin, kalkulatu balioak bi zifra hamartarretara biribilduz.

45. Zenbat zifra dituzte zenbaki hauek?

< (6,3)2 <

(6,3)2 ≈

< (3,3)2 <

(3,3)2 ≈ (0,75)2 ≈

a) 103

e) 106

< (0,75)2 <

b) 2 × 103

f) 13 × 103

<

11 <

11 ≈

c) 12,6 × 104

g) 7,3 × 103

<

30 <

30 ≈

1 d) —

5 h) ——

< 0,75 <

0,75 ≈

10

1000

46. Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan edo idazkera arruntean. Ondoren, ordenatu handitik (1) txikira (6). Idazkera arrunta

Idazkera zientifikoa

500.000

Ordena

48. Berreketen propietateak oso argi ez dituen norbaitek egin ditu eragiketa hauek. Esan zein diren zuzenak (Z) eta zein okerrak (O). a) 52 • 54 = 56 b) 32 • 42 = 122 c) 25 • 25 = 210

d) 25 • 25 = 45 e) (32)3 = 36 f) 38 : 35 = 33

49. Kalkulagailua erabili gabe, saiatu kalkulu hauek egiten: 9 × 104

880.000.000 7,5 × 106 3.750.000.000 7

3,02 × 10

a) 2 • 72 =

d)

b) 400 : 100 =

e)

c) 5 • 20 = 50. Adierazi kalkulu hauek erro bakar batez. Eredu bat duzu eginda.

30

a)

e)

b)

f)

c)

g)


1. Zenbakikuntza

ZER IKASI DUT? AUTOEBALUAZIOA

Egin ikasitakoari buruzko gogoeta. Jarri, atal bakoitzean, puntuazioa zure buruari, 0tik 10era.

1. Badakit zenbaki arruntak/osoko positiboak zertarako erabiltzen diren. 2. Badakit zenbaki negatiboak zer egoeratan erabiltzen diren deskribatzen. 3. Badakit zenbaki positiboak eta negatiboak zenbakizko zuzenean kokatzen. 4. Badakit zenbaki oso baten balio absolutua zein den. 5. Badakit zenbaki oso baten aurkako elementua/elementu simetrikoa zein den. 6. Badakit zenbaki osoekin batuketak, kenketak, biderketak eta kenketak egiten. 7. Eragiketa ezberdinak batera agertzen direnean, badakit zein ordenetan egin behar ditudan. 8. Badakit berreketek eta erroketek zer adierazten duten eta nola kalkulatu. 9. Badakit berreketa eta erroketen emaitzak hurbiltzen kalkulagailua erabili gabe. 10. Badakit berreketa eta erroketen emaitza zehatzak kalkulagailuarekin kalkulatzen. 11. Badakit berreketa eta erroketak dituzten eragiketetan propietate bereziak erabiltzen. 12. Badakit zenbaki bat berreketa gisa deskonposatzen 13. Badakit zenbaki baten magnitude ordena zein den esaten.

Guztia kontuan izanda, nire buruari kalifikazio hau jarriko nioke. 10 da goreneko kalifikazioa.

31


1. Zenbakikuntza

U N IT ATE - AMAI ER AKO TE STA 1. Aurkitu 1, 5 eta 9 zifrak erabiliz osatu daitezkeen zenbaki guztiak, eta ordenatu txikienetik handienera. Zein da handienaren eta txikienaren arteko diferentzia? (3 p.) 2. Kalkulatu emaitzak:

(4 p.)

a) (–7) + (+3) =

e) (–7) × (+3) =

b) (+7) + (+3) =

f) (+7) × (+3) =

c) (+7) – (+3) =

g) (–9) : (+3) =

d) (–7) – (–3) =

h) (–9) : (–3) =

3. Kalkulatu emaitzak:

(4 p.)

a) 3 • (–3) + 3 • (–6) =

d) [5 • (–1)] – [1 • (–3)] =

g) (6 – 4 + 3 - 5) • (–7) =

b) 3 • [(–2) + 8] =

e) (–4) • [2–7] =

h) 12 : (–4) =

c) (–7 + 9 – 3) : (–2 + 5) =

f) (7–15) =

i) 0,5 – [0,5 • (–10)] =

(–2)

4. Aurkitu eragiketa hauen emaitza:

(4 p.)

a) 23 + 22 =

d) 26 : 22 =

b) 23 – 22 =

e) 102 × 102 =

c) 24 × 23 =

f) 104 : 102 =

5. Deskonposa itzazu zenbaki hauek adierazten zaizun eran:

(3 p.)

a) 13.034 batuketa gisa b) 77.377 batuketa-biderketa gisa c) 123.456 berreketa gisa 6. Zein da zenbaki hauen magnitude ordena? a) 23.476

b) 1.678.003

7. Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan: a) 300 8. Sinplifikatu errokizuna: a) 36 =

(2 p.)

b) 23.000

(3 p.) c) 70.000.000

(2 p.) b) 100 =

KALIFIKAZIOA:

32