El razonamiento algebraico y el proceso de factorización
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determinado por la función g ( x) = x 2 + 5 x + 25 pesos. Hallar el número mínimo de unidades que debe venderse diariamente para que se puedan obtener beneficios.
Para encontrar la respuesta a la pregunta de esta situación, se debe equilibrar el coste de producción y el precio de venta, pues una vez este supere el costo de producción, se obtendrán beneficios. Matemáticamente sería g(x) ≥ f(x). En este sentido la cantidad mínima será cuando f(x)=g(x) y por tanto 50 −
x2 1 2 = x + 5 x + 25 . 4 4
La estrategia de solución sería
transformar f(x)=g(x) a h(x)=f(x)-g(x)=0 y encontrar los puntos solución, raíces o ceros de h(x)=0. En nuestro caso h( x) = 1 x 2 + 5 x − 25 = 0 y por tanto se requiere solucionar la ecuación 2
1 2 x + 5 x − 25 = 0 . En la siguiente figura se muestra la solución gráfica de la situación. 2
Desde el punto de vista del registro simbólico analítico, la estrategia de solución es lograr transformar 1 x 2 + 5 x − 25 en una forma (x-a) (x-b) de tal manera que al igualarle a cero, es 2
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decir, (x-a) (x-b)=0, se tiene que (x-a)=0 ó (x-b)=0 y así encontrar que x=a o x=b. En otros términos, se transforma el polinomio de grado mayor a 2 en un producto de factores lineales que permitan determinar fácilmente cuales son los ceros de la función. Esto siempre es posible gracias al TFA. Esta es una de las razones que hace importante a la factorización como concepto, y no simplemente como casos de factorización. A partir de este punto es que el problema se convierte en una actividad de tratamiento al interior del registro simbólico analítico y no es otra cosa que un conjunto de métodos, _____________________________________________________ 56
Esto es posible hacerlo porque el conjunto de los polinomios tiene estructura de dominio entero.
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