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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico


SERIE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Gobernación de Antioquia Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia Universidad de Antioquia, Facultad de Educación

Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia

Módulo 2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

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Módulo 2 Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico © Fabián Arley Posada Balvin y otros autores © De esta edición: Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia ISBN: 958-9172-81-4 Tiraje: 3.100 ejemplares Primera edición, 2006. Gobernación de Antioquia. Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia Dirección de Fomento a la Educación con Calidad. www.seduca.gov.co Email: pcalidad@seduca.gov. c o Diseño, diagramación e impresión: Editorial Artes y Letras Ltda. Medellín, Colombia 2006

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Aníbal Gaviria Correa Gobernador de Antioquia Claudia Patricia Restrepo Montoya Secretaria de Educación para la Cultura de Antioquia Libardo Enrique Álvarez Castrillón Director de Fomento a la Educación con Calidad

Comité Académico Oscar Fernando Gallo Mesa Jesús María Gutiérrez Mesa Carlos Mario Jaramillo López Orlando Monsalve Posada John Jairo Múnera Córdoba Gilberto de Jesús Obando Zapata Fabián Arley Posada Balvín Guillermo Silva Restrepo María Denis Vanegas Vasco

Convenio interadministrativo de la Gobernación de Antioquia, Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia con la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia

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Agradecimientos La Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia y la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia, agradecen la labor de coordinación del Diploma: Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia a su equipo técnico, a todos los docentes que participaron de él, y en particular, a las siguientes personas e instituciones educativas que hicieron posible llevarlo a feliz término: • Integrantes de la Mesa Departamental de Matemáticas. • Rectores de las Instituciones Educativas donde laboran los docentes integrantes de la Mesa Departamental de Matemáticas. •

A los docentes del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por la lectura y sugerencias.

Al comité académico del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por el trabajo realizado en pro de esta obra.

A la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia, a través de sus programas de educación matemáticas por apoyar la consolidación del grupo académico que desarrolló el diploma.

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Contenido

PRÓLOGO .............................................................................................................................. 11 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 15 1. 2. 3. 4.

Sobre el Pensamiento Variacional ....................................................................................................... Sobre el Razonamiento Algebraico ..................................................................................................... Sobre la Generalización ........................................................................................................................ Propuesta de desarrollo del Razonamiento Algebraico en la escuela ..............................................

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Unidad No. 1 EL RAZONAMIENTO ALGEBRAICO COMO ARITMÉTICA GENERALIZADA .............. 31 La generalización y la construcción de los conceptos matemáticos ..................................................... 31 La igualdad como relación de equivalencia ............................................................................................ 33 Las propiedades de los números y de sus operaciones como un problema de generalización ........... 35

Unidad No. 2 EL PASO DE ENUNCIADOS VERBALES A ECUACIONES .............................................. 55 Estructuras aditivas: enunciados verbales que se hacen ecuaciones ................................................... 59

Unidad No. 3 LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA A PARTIR DE LA MODELACIÓN DE SITUACIONES DE VARIACIÓN .................................................... 77 Introducción ............................................................................................................................................... 77 Multiplicación, razonamiento proporcional y proporcionalidad simple directa .................................. 79 De las situaciones aditivas a las multiplicativas (¡o a la proporcionalidad!) ......................................... 82 Un marco conceptual preliminar para comprender la proporcionalidad directa e inversa ............... 105 Proporcionalidad directa ......................................................................................................................... 106 Las correlaciones bilineales y la proporcionalidad compuesta ........................................................... 111 Las correlaciones n-lineales .................................................................................................................... 116 Las correlaciones bilineales y la proporcionalidad simple inversa ..................................................... 118

Unidad No. 4 EL RAZONAMIENTO ALGEBRAICO Y LA MODELACIÓN MATEMÁTICA .................. 127 Introducción ............................................................................................................................................. 127 El concepto de función como modelo matemático desde una perspectiva variacional ..................... 128 El papel de los registros de representación del concepto de función en el proceso de modelación matemática .............................................................................................. 129 Las funciones polinómicas como modelo matemático .......................................................................... 134

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La función lineal ....................................................................................................................................... 138 Las funciones cuadráticas ....................................................................................................................... 141

Unidad No. 5 EL RAZONAMIENTO ALGEBRAICO Y EL PROCESO DE FACTORIZACIÓN ............. 165 La factorización como proceso y como herramienta ............................................................................. 167

ANEXO ................................................................................................................................... 185 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................... 193

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Prólogo Desarrollar la capacidad de los niños y jóvenes para razonar algebraicamente es una recomendación importante en la mayoría de los currículos de matemáticas en diferentes países. Sin embargo, también existe la conciencia de que los profesores, sobre todo los que atienden los primeros años de la educación básica, tienen limitaciones para el desarrollo de unas prácticas apropiadas que permitan a los alumnos, de estos primeros ciclos escolares, el contacto con experiencias significativas que les ayude, desde su formación inicial en aritmética, a dar los primeros pasos en la construcción de esquemas asociados al razonamiento algebraico. Si bien los docentes de los primeros grados tienen un papel muy importante para implementar los cambios necesarios en los primeros grados de la educación básica, la mayoría de ellos tiene muy poca experiencia en el trabajo con el álgebra, la cual no va más allá de su propia experiencia como estudiantes, y por lo tanto, para ellos el álgebra es una colección de técnicas para factorizar, simplificar expresiones, solucionar ecuaciones, y así sucesivamente. Como es muy poco probable que ellos hayan explorado el sentido y significado de las expresiones o de las ecuaciones, entonces, se entiende por que no pueden proponer a sus estudiantes formas diferentes de aproximarse al aprendizaje del álgebra. (Kaput, 2002, p2). Lo anterior permite comprender la necesidad de acompañar a los docentes en el diseño e implementación de situaciones amplias y diversas orientadas a que los alumnos conecten diferentes contextos y formas de razonamiento algebraico, a través de sus experiencias escolares y tomando como base su accionar cotidiano. Para ello es necesario ampliar los horizontes conceptuales y metodológicos, bajo los cuales se desarrollan las prácticas escolares: construir una visión moderna sobre qué es y cómo se desarrolla el pensamiento algebraico; reorientar el papel de la comunicación en el aula para que sea punto central en la construcción del conocimiento; y sobre todo, una comprensión profunda sobre los procesos que dan lugar a la emergencia del razonamiento algebraico en la escuela. Siguiendo a Kaput, Se debe buscar que los docentes aprendan a construir oportunidades para el aprendizaje del razonamiento algebraico a partir de las restricciones que impone su sistema educativo y las fuentes documentales de que dispone (textos, Internet, currículo, etc.). En particular se debe ayudar al docente a que se centre en las formas como los estudiantes pueden acceder a la generalización de su propio pensamiento matemático, así como a expresar y justificar sus propias generalizaciones. (Kaput, 2002, p2). Para Kaput (2002), potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico, desde los primeros años de la educación básica, implica una transformación en las prácticas pedagógicas de los docentes. Estos cambios los clasifica en tres aspectos:

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1. Algebrizar las situaciones diseñadas para la enseñanza. 2. Identificar y apoyar los actos y contextos que promueven el razonamiento algebraico de los estudiantes. 3. Consolidar una cultura de clase que promueva el razonamiento algebraico. Algebrizar las situaciones implica, ante todo, la posibilidad de generar actividades que promuevan oportunidades para la búsqueda de regularidades, generalizaciones, justificaciones, reconocimiento de variaciones y formalizaciones (esto es construir actividades algebraicas) a partir de cualquier otra actividad diseñada con fines de enseñar un concepto determinado, en especial, las orientadas a los aspectos aritméticos y geométricos. En la aritmética, desde la solución de problemas, siempre y cuando a través de ellos se pueda trascender de situaciones numéricas particulares a situaciones que favorezcan, entre otras: (a) identificar, caracterizar, y argumentar en contextos de regularidades y patrones; (b) a partir de las situaciones anteriores, elaborar, verificar y justificar (argumentar) conjeturas sobre hechos y relaciones matemáticas; y (c) inferir, analizar y formalizar las propiedades de los números y las operaciones como síntesis de los procesos de generalización. Igual situación se puede presentar para la geometría, si ésta es estudiada, no como un conjunto de definiciones (punto, línea, plano, triángulo, etc.; clases de triángulos, cuadriláteros….) sino como el resultado del análisis de relaciones contextuales con el espacio circundante, en el cual, los conceptos geométricos corresponden con una síntesis que permite organizar y comprender mejor las relaciones espaciales. De igual forma, se podrían algebrizar las situaciones para movilizar relaciones conceptuales asociadas a los otros tipos de pensamiento propuestos en los lineamientos curriculares. Identificar y apoyar los actos y contextos que promuevan el razonamiento algebraico en los estudiantes implica reconocer todas aquellas situaciones discursivas (orales y escritas), gestuales y procedimentales que evidencien en los estudiantes intentos de construir argumentos sobre estructuras generales, así sus argumentaciones se apoyen en situaciones particulares, o en acciones concretas. Por ejemplo, cuando los niños están aprendiendo la secuencia de palabras números, más allá de la decena, rápidamente se dan cuenta, a partir del acto de enumerar, que a partir del quince, las palabras número se componen de una expresión que alude a la decena (diez y…, veinti…, treinta y…, cuarenta y…, etc.) seguida de una de las palabras que identifican los números del uno al diez. Pero igualmente, este razonamiento los lleva a ver que todos los números mayores que diez son una cierta cantidad de decenas más una cierta cantidad de unidades. Situación similar se puede presentar cuando los estudiantes descubren la conmutatividad de la suma y la multiplicación (a partir de situaciones que les muestren la invarianza de los resultados al cambiar el orden de los sumandos), y producen explicaciones para justificar este hecho (muchas veces con casos particulares de adiciones y/o multiplicaciones). Estos son claros ejemplos de construcción de generalizaciones, pero sobre todo, de argumentaciones para justificar dichas generalizaciones, las cuales a partir del análisis de casos particulares, permiten organizar y justificar formas estructurales que capturan la generalidad.

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Prólogo

Nótese que lo fundamental en este punto no es tanto la generalización en si misma, sino el reconocimiento, por parte del maestro, de los procesos, los niveles de argumentación y todas aquellas acciones de los estudiantes, conducentes a la construcción de niveles de expresión que poco a poco empiezan a “atrapar” formas generales para las relaciones implícitas en las actividades de aprendizaje. Finalmente, como consecuencia de lo anterior, crear en el salón de clase una cultura que promueva el razonamiento algebraico, implica incorporar a la cotidianidad de la clase, desde la organización de las situaciones para el aprendizaje, el desarrollo de habilidades relacionadas con la elaboración, validación y sistematización formalizada de conjeturas. En estos espacios se dan procesos de argumentación por parte de los estudiantes como formas organizadas de construcción del conocimiento. Hacer que los procesos de argumentación sean la base para la construcción del conocimiento, implica que ésta sea tomada como aspecto central de la actividad matemática de los alumnos, y no como un anexo que se hace de vez en cuando. Igualmente implica la concreción de normas de respeto por la palabra. De esta manera se promueve que los estudiantes hablen matemáticamente a partir de la construcción de formas verbales y escritas de argumentación. Cuando las tres dimensiones descritas anteriormente han sido incorporadas a los procesos de aula, las prácticas pedagógicas de los maestros son fácilmente identificadas por características tales como: • Una habilidad para extender una actividad aritmética [o geométrica] hacia una actividad algebraica, bien sea sobre la base de un proceso planificado o de una acción espontánea. • El uso de conversaciones algebraicas en el salón de clase. • El regreso sobre los temas algebraicos después de periodos de tiempo significativo. • La integración de múltiples procesos algebraicos en una actividad matemática simple. • La contribución activa en la consolidación de una cultura escolar hacia el aprendizaje de las matemáticas. (Kaput, 2002, p6) Así pues, las anteriores reflexiones son una invitación a todos los docentes, desde el preescolar hasta la educación media, para reconstruir los procesos de enseñanza de tal forma que el aprendizaje del razonamiento algebraico esté presente en el quehacer cotidiano del aula de clase.

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Introducción Desde los Lineamientos Curriculares en Matemáticas (1998)1 , y actualmente afirmados con los Estándares Básicos de Matemáticas (2003)2 , el Ministerio de Educación Nacional propone unos nuevos elementos teóricos y metodológicos que pretenden actualizar la estructura curricular de la educación matemática en nuestro país, pero sin menoscabar la autonomía curricular de las instituciones educativas consagrada en su Proyecto Educativo Institucional. En los lineamientos, estos elementos se pueden identificar al menos en dos aspectos básicos: La introducción de los diferentes tipos de pensamientos matemáticos (numérico, espacial, métrico, variacional y aleatorio), y el llamado de atención sobre la importancia de implementar al interior del aula procesos como la modelación, comunicación, la resolución de problemas, el razonamiento y la ejercitación de procedimientos que permitan el aprendizaje de las matemáticas en contextos significativos para los alumnos. Con la publicación de este documento, se tiene sobre la mesa una propuesta para orientar lo relacionado con el álgebra escolar: los procesos de enseñanza, y por ende, los de aprendizaje del algebra escolar, los cuales deberían ser estructurados desde la perspectiva del estudio de la variación y el cambio, esto es, orientado en lo que allí se llama pensamiento variacional. En ese sentido no se trató de un simple cambio de nombre, sino de una reestructuración conceptual y metodológica del álgebra escolar, que pone el acento en los procesos de generalización, la comunicación, la argumentación y la modelación de situaciones de cambio, como ejes fundamentales en la construcción del pensamiento algebraico. Los estándares de matemáticas, publicados en el año 2003, dan fuerza a esta noción de pensamiento variacional como eje fundamental para dar estructura y sentido al aprendizaje del razonamiento algebraico en la escuela. En ellos se muestra como el desarrollo del pensamiento variacional tiene sus inicios en los primeros años de la educación básica, sobre todo centrando en lo que podríamos llamar el estudio de las regularidades y patrones. No se trata de un nuevo tema para incluir en estos grados, sino de reorganizar el trabajo que normalmente se realiza, fundamentalmente en aritmética y geometría, de tal forma que se haga énfasis en los procesos de identificación, caracterización, descripción, generalización, argumentación y justificación, a partir de actividades orientadas al análisis de regularidades y patrones. Sin embargo, a lo largo de este trabajo se hará mención más al término razonamiento algebraico, y no tanto al término pensamiento variacional, no porque se esté en des_____________________________________________________ 1

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Este documento se puede consultar en el sitio Web del Ministerio de Educación Nacional: http://www.mineducacion.gov.co/1621/ propertyvalue-31539.html Este documento se puede consultar en el Portal Colombia Aprende: http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/ article-70799.html

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acuerdo con la estructura conceptual y ruta metodológica propuesta en los lineamientos y estándares, sino para mostrar con más fuerza que el problema fundamental de la escuela es permitir a sus estudiantes la construcción de una serie de procesos que organizan y dan vida a los conceptos algebraicos. Estos se han identificado en la comunidad académica, como de razonamiento algebraico, solo que en los documentos oficiales antes citados se ha propuesto que se estructuren desde una perspectiva dinámica (análisis de la variación y el cambio), y no estática (procesos algorítmicos centrados en la manipulación simbólica) como hasta el momento se ha venido haciendo. En este sentido, aquí el pensamiento variacional se entiende como una forma específica de pensar matemáticamente, orientada a la construcción de estructuras conceptuales que fundamentan el estudio de la variación y el cambio. Por su parte, el razonamiento algebraico alude al conjunto de procesos, procedimientos y esquemas que dan forma y sentido al pensamiento variacional.

1. Sobre el Pensamiento Variacional El Pensamiento Variacional, como su nombre lo indica, pone su acento en el estudio sistemático de la noción de variación y cambio en diferentes contextos: en las ciencias naturales y experimentales, en la vida cotidiana y en las matemáticas mismas. Desde lo matemático hay una relación directa con los otros pensamientos, muy especialmente con el métrico, pues el pensamiento variacional se encarga, fundamentalmente, de la modelación matemática y esto requiere de la activación constante de procesos de medición, elaboración de registros y establecimiento de relaciones entre cantidades de magnitud. Es así como la comprensión de las situaciones provenientes de la observación y sistematización de patrones y regularidades, tanto numéricas como geométricas, las variaciones proporcionales, las ciencias experimentales, la ingeniería y demás áreas del conocimiento que se basen en los principios del cálculo diferencial, adquieren más sentido cuando se estructuran desde el pensamiento variacional. De acuerdo con los lineamientos curriculares (MEN, 1998, p 72) (…) Un primer acercamiento en la búsqueda de las interrelaciones permite identificar algunos de los núcleos conceptuales matemáticos en los que está involucrada la variación (…). (…) En los contextos de la vida práctica y en los científicos, la variación se encuentra en contextos de dependencia entre variables o en contextos donde una misma cantidad varía (conocida como medición de la variación absoluta o relativa). Estos conceptos promueven en el estudiante actitudes de observación, registro y utilización del lenguaje matemático.

El estudio de los conceptos, procedimientos y métodos que involucran la variación, están integrados a diferentes sistemas de representación -gráficas, tabulares, expresiones verbales, diagramas, expresiones simbólicas, ejemplos particulares y generales – para permitir, a través de ellos, la comprensión de los conceptos matemáticos. De esta manera se hacen significativas las situaciones que dependen del estudio sistemático de la variación, pues se obliga no sólo a manifestar actitudes de observación y registro, sino también, a procesos de tratamiento, coordinación y conversión.

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Introducción

Vasco (2002) aproxima una definición del pensamiento variacional en los siguientes términos: El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionan sus variables internas, de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos recortados de la realidad. (Vasco, 2002, p 70)

Adicionalmente, el estudio del álgebra escolar, al lado de los procesos de variación, permite construir desde temprana edad algunos elementos propios del álgebra, tales como: el concepto de variable, la relación de igualdad en sus múltiples significados, el concepto de parámetro, de incógnita y de ecuación e inecuación, entre otros. De esta manera se puede observar que el pensamiento variacional involucra otros tipos de pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico y aleatorio; esto, al menos por dos razones: de un lado, el estudio de cada uno de ellos, en última instancia, es un proceso que busca una versión cada vez más general y abstracta del conocimiento. Esto implica identificar estructuras invariantes en medio de la variación y el cambio. De otro lado, todos ellos ofrecen herramientas para modelar matemáticamente situaciones a través de las funciones como resultado de la cuantificación de la variación. En este sentido los lineamientos curriculares MEN 1998 proponen: El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. El significado y sentido acerca de la variación puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica (…) (MEN, 1998, p 73).

Para lograr una reorganización en tal sentido implica, ante todo, poner de manifiesto un principio organizativo de la estructura conceptual presente en los lineamientos y estándares con respecto al pensamiento variacional, de tal forma que se puedan identificar formas de organización a largo de la educación básica y media, e incluso, desde el preescolar mismo. El siguiente esquema muestra en forma sintética un posible principio organizador.

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Pensamiento variacional A partir de

variación Su estudio desde

Condiciones para determinar

Correlación de magnitudes

Registros de representación requiere Para apoyar

implica

Modelación matemática

Medir

lleva

Función

Permite construir

requiere

Sistemas numéricos

Variables

Como Incógnita desde

ecuaciones inecuaciones

Teorema fundamental del álgebra

Esquema 1: propuesta de desarrollo del pensamiento variacional

2. Sobre el Razonamiento Algebraico El desarrollo de pensamiento variacional se fundamenta, o mejor se desarrolla, sobre lo que en general podemos llamar razonamiento algebraico. Este implica, por parte del docente, el reconocimiento de elementos propios de toda actividad matemática: los procesos de simbolización, de generalización y de formalización. A través de éstos se hacen necesarias formas de comunicación sobre la base diferentes sistemas de representación tales como los icónicos, tabulares y simbólicos; y de razonamientos como la argumentación y búsqueda de elementos estructurales (por ejemplo dar cuenta de un patrón). En este sentido, Godino (2000; p8) expresa: El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar […], especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones […].

Siguiendo este mismo autor, algunas características del razonamiento algebraico que son sencillas de adquirir por los niños, y por tanto deben conocer los maestros en formación, son:

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1. Los patrones o regularidades existen y aparecen de manera natural en las matemáticas. Pueden ser reconocidos, ampliados, o generalizados. El mismo patrón se puede encontrar en muchas formas diferentes. Los patrones se encuentran en situaciones físicas, geométricas y numéricas. 2. Podemos ser más eficaces al expresar las generalizaciones de patrones y relaciones usando símbolos. 3. Las variables son símbolos que se ponen en lugar de los números o de un cierto rango de números. 4. Las funciones son relaciones o reglas que asocian los elementos de un conjunto con los de otro, de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto. Se pueden expresar en contextos reales mediante gráficas, fórmulas, tablas o enunciados.[diagramas sagitales o como una representación mecánica, a saber como máquina] Godino (2000; p10).

Por su parte Kaput, caracteriza el razonamiento algebraico de la siguiente manera: Por razonamiento algebraico, nos referimos al compromiso de los estudiantes en actos regulares de generalización acerca de los datos, las relaciones y las operaciones matemáticas, estableciendo sus generalizaciones a través de actos públicos de elaborar conjeturas y de argumentación, las cuales se expresan en formas cada vez crecientes de formalización (Kaput, 2002b, p 5).

Desde las anteriores perspectivas, se puede evidenciar como el álgebra escolar, va más allá de la visión clásica de la manipulación simbólica. Esto quiere decir, que la comprensión del álgebra en el contexto escolar, debe entenderse como una forma de pensamiento matemático, que brinda a los estudiantes herramientas conceptuales y procedimentales para identificar, caracterizar, justificar y formalizar relaciones estructurales. Un ejemplo puede ser, cuando los estudiantes generalizan procedimientos para multiplicar cualquier número por 10, 100, etc., o descubren y justifican que la suma de un número par con otro impar siempre da un impar, mientras que la suma de dos impares siempre da un número par.

3. Sobre la Generalización La generalización es una actividad no exclusiva de las matemáticas. Es quizá, uno de los elementos que caracteriza todas las formas de conocimiento científico y/o no científico. Por ejemplo, la permanente tarea a la que se enfrentan los científicos y las personas del común en el intento por definir conceptos, clasificar objetos, tomar decisiones a partir de la repetición de una serie de sucesos, entre otros, es una manera aproximada de generalizar. Por lo tanto una pregunta abierta pero determinante es ¿Por qué la construcción del conocimiento, en particular del conocimiento matemático, requiere de la generalización? La actividad matemática del alumno tiene un objetivo primordial: hacer que alcance esquemas generales de pensamiento, es decir, que pueda, ante una determinada situación, reconocer un caso particular de una clase general de problemas, o a la inversa, que pue-

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da ver los casos particulares a través de clases generales de problemas. Pero dado que la construcción del conocimiento es contextualizado por naturaleza3 , entonces, el paso a la generalización no es ni fácil ni inmediato. Esto invita al profesor a proponer múltiples situaciones en variados contextos, con el fin de lograr que el alumno pueda identificar los invariantes comunes a todas las situaciones, los cuales son los elementos constitutivos estructurales del conocimiento que se le desea enseñar, y entonces, pueda entrar a diferenciarlos de los elementos particulares de cada situación. La identificación de estos invariantes permite la constitución de esquemas generales de pensamiento. Una vez construidos estos esquemas generales de pensamiento, se debe tener la capacidad de utilizarlos en la solución de situaciones particulares. Es decir, deben permitir el tratamiento de una situación particular como el representante de una clase general, y por tanto, en su solución, proceder a partir de los elementos estructurales que la conforman, y no sobre la base de aspectos particulares a la situación. En este sentido, generalizar es algo más complejo que ir de lo particular a lo general; es también recorrer el camino en el sentido inverso. Además se debe incluir el paso de casos particulares a la construcción de otros particulares y de elementos generales a otros de mayor grado de generalidad. 3.1. Ver lo general a partir de lo particular: el reconocimiento de invariantes estructurales Como se dijo en el párrafo anterior, la generalización, como aquello que permite ver lo general a través de lo particular, está directamente relacionada con la identificación de invariantes. Cuando un alumno desarrolla su actividad a través de una serie de situaciones para acceder a la formulación general de un conocimiento, debe identificar y distinguir lo que es particular a cada una de las situaciones (la forma) de lo que es común a todas ellas (lo estructural). Esto último, constituye lo invariante que caracteriza el conocimiento a enseñar. Por ejemplo, tanto en los libros de texto, como en los dibujos realizados por el profesor en clase, los triángulos rectángulos por lo general se presentan como se muestra en la figura 1.

B A Figura 1. Formas generalizadas de representar un triángulo rectángulo

_____________________________________________________ 3

La naturaleza contextual del conocimiento hace referencia a que el aprendizaje no es un acto individual, sino del individuo en contexto, y que el contexto no sólo influye en el aprendizaje, sino que determina la naturaleza del mismo.

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Introducción

Dado que casi siempre aparecen estos dos tipos de representaciones, entonces, para el alumno, pueden llegar a ser más significativos en el aprendizaje sobre los triángulos rectángulos los aspectos particulares de las construcciones, que lo estructural de ser triángulo rectángulo. Esto es, el paralelismo de dos de los lados del triángulo a los bordes de la hoja, por ser lo perceptible de manera directa, puede terminar ocultando lo estructural del ser triángulo rectángulo: la perpendicularidad de dos de sus lados. Esta propiedad estructural que debe ser inferida y construida, es una relación intra-figural que establece cómo deben ser los lados y, por ende, los ángulos, de un triángulo rectángulo. Esta es una propiedad que no depende de la construcción particular realizada para representar el triángulo, y por tanto, es una invariante, que una vez identificada permite centrarse en los aspectos estructurales por encima de los particulares. Si un alumno no ha realizado esta construcción, cuando se le presentan triángulos rectángulos en posiciones diferentes, pocas veces logrará identificarlos como tales. Pero, para que llegue a tal construcción, no basta con que el profesor se la repita insistentemente. Para adquirir ese conocimiento que le permite reconocer y diferenciar los elementos estructurales de los particulares es necesario que el alumno esté en contacto con múltiples situaciones4 en las que pueda confrontar las hipótesis particulares que construye sobre cada situación y, así, lograr una sistematización de las características generales que estructuran el concepto que se estudia, independiente de la forma como éste le sea presentado. Desde esta perspectiva, la comprensión de concepto es algo más profundo que aprender una definición. 3.2 Lo particular como una expresión de lo general Se trata de interpretar cada situación a partir de los elementos estructurales que la constituyen, y no a partir de los elementos particulares que le dan su contexto, de tal forma que ésta se identifique con una clase general de problemas, y que, por tanto, su tratamiento se desarrolle sobre la base de dicha generalidad estructural. Por ejemplo, en un problema como el siguiente: Una llave llena un tanque en dos horas. Otra llave llena el mismo tanque en una hora. Si ambas se abren al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardan en llenar el tanque? Una persona que esté formada en el campo de la generalización verá en este problema un caso particular de una clase general de problemas relacionados con la rapidez con que se realiza un trabajo, mientras que otra que no tenga esta capacidad de generalización sólo verá un problema de un tanque que se llena utilizando dos llaves abiertas de manera simultánea, y no podrá relacionarlo con otras situaciones como aquellas en las que se analizan los tiempos empleados para realizar un trabajo. _____________________________________________________ 4

Por ejemplo, a través de un geoplano, o de hojas cuadriculadas, construir una estructura en la cual se puedan identificar triángulos (rectángulos y no rectángulos) en diferentes posiciones y formas: rotados, trasladados, simétricos, alargados, etc., y solicitar la reproducción de la misma por parte de los estudiantes.

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Así pues, si lo general se recrea en lo particular y por tanto, una situación particular será el representante de una clase general, la generalización aporta una gran economía de pensamiento y se constituye en una herramienta vital del mismo. 3.3 La generalización y los sistemas de representación en matemáticas El proceso de generalización tiene una estrecha relación con la construcción de sistemas de representación. Estos la expresan y la redimensionan matemáticamente; es decir, sin el recurso a un sistema de símbolos no es posible comprender los objetos matemáticos como formas generales que atrapan las diferentes relaciones invariantes de las situaciones tanto matemáticas como fenomenológicas. Estos símbolos permiten “ver” y expresar conclusiones de las relaciones generalizadas, que por fuera de ellos no es posible alcanzar. Es importante observar, que ciertos símbolos operan sobre otros símbolos, que a su vez, están expresando algún tipo de relación, esto ocurre muy especialmente, cuando de lo que se trata es de generalizar patrones numéricos. Comúnmente la expresión de la generalidad, en un primer momento, se hace a través del lenguaje natural, con el cual se intenta describir, explicar, argumentar y justificar la conclusión de las invariantes observadas en un conjunto sucesivo de eventos. En un segundo momento es de gran importancia, que dicha relación invariante sea expresada a través de otro registro de representación, es decir, de acuerdo con Duval (1999), generar actividad cognitiva de conversión a otro sistema semiótico de representación. Esta es una manera de establecer conexiones entre el proceso de generalización y los usos que se hace en la construcción del concepto base de variable, a través del significado que adquieren algunos símbolos matemáticos como representantes de “un para todo” y/o de “cualquier elemento de un determinado conjunto”. Por ejemplo, algunas expresiones simbólicas construidas a través de la generalización de situaciones centradas en la observación de patrones numéricos y geométricos, permiten una aproximación a la idea de entender las letras como “números generalizados” y en ocasiones como cantidades que varían. Una importante implicación de lo anterior es que, bajo estas condiciones, la variable (entendida como número generalizado, o cantidad que varía) es discreta, si sólo se mueve en el conjunto de números naturales y en algunas ocasiones en los enteros dependiendo de la situación y el tipo de preguntas que se generen; o densa (representante de los racionales) si el proceso de medición se afina y no lo determina únicamente el conteo; o continuo (representante de los reales), si las magnitudes usadas en la situación son continuas y se puede dar el salto a la construcción de la propiedad abstracta de completez en los números reales. Finalmente, basados en estas ideas, será posible reflexionar en torno a preguntas como: ¿Qué significaría generalizar en matemáticas y qué implicaciones didácticas puede tener para la educación básica y media?, ¿Qué características del proceso de generalización

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Introducción

están involucradas en el razonamiento algebraico?, y ¿Cuáles conceptos algebraicos se pueden alcanzar a través de la generalización? En este sentido se debe tener en cuenta que: 1. La generalización es un proceso determinado por la observación o visualización de invariantes en medio de lo que varía. 2. Un problema fundamental de un resultado general es su validez, es decir, determinar cuando una generalización es “buena” o “mala”. 3. El proceso de generalización no tiene formas predeterminadas de acceder a la sistematización de conclusiones, pues hay diferentes maneras de abordar un problema relacionado con la culminación de un modelo que recoja casos particulares. En el siguiente esquema se propone tomar como base fundamental para acceder al álgebra escolar la construcción de los procesos, procedimientos y esquemas asociados a la generalización. En este sentido se pueden tener dos caminos: La aritmética generalizada y la modelación matemática, los cuales son complementarios entre si, y se desarrollan en paralelo a lo largo de todo el ciclo escolar. A medida que se desarrolla cada uno de éstos se construye lo que podemos denominar el razonamiento algebraico, el cual tiene su máxima expresión con el dominio de los tratamientos simbólico-análiticos propios del álgebra, pero que de acuerdo con el esquema propuesto, son el resultado del proceso vivido en la educación básica y media, y no como actualmente se tiene: el punto de partida y centro del álgebra son las manipulaciones algorítmicas y simbólicas.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

4. Propuesta de desarrollo del Razonamiento Algebraico en la escuela

GENERALIZACIÓN A partir de un tratamiento vía

A partir de

Las Magnitudes

Aritmética Generalizada

Como estudio de

Como generalización de procesos

La Variación

La Modelización

A partir de procesos, procedimientos y esquemas tales como

Aritméticos/Geométricos/Estocásticos

Orientado a la construcción de

La Función

Identificar/ Caracterizar/ Describir/ Generalizar/ Formalizar/ Conjeturar/ Argumentar/ Justificar/ Demostrar …

A partir del estudio de

Regularidades y Patrones

Solución y Formulación de Problemas

En relación con

Propiedades de Números/ Operaciones/ Relaciones

Construyendo interrelaciones entre

Sistemas de Representación en Matemáticas Esquema 2: propuesta de desarrollo del razonamiento algebraico

Un trabajo orientado por la organización anterior conlleva al uso significativo de diferentes sistemas de representación ya que, de un lado, facilitan la construcción paulatina de formas de generalización; y de otro, son herramientas para lograr el tránsito conceptual necesario. Es decir, éstos en su uso, dotan a los estudiantes de herramientas cognitivas para pensar matemáticamente. Dicho de otra forma, los sistemas de representación son a la vez objetos y herramientas: son objetos en tanto que deben ser aprendidos, pero a la

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Introducción

vez son herramientas, dado que el aprendizaje se hace a través de su uso en situaciones de complejidad creciente.

Ejes para el desarrollo del razonamiento algebraico: 1. Aritmética generalizada: El uso de la aritmética como dominio de expresión y formalización para la generalización Este eje involucra razonamientos sobre las propiedades de los números, sus operaciones y sus relaciones. Por ejemplo, desarrollar procesos de generalización sobre las propiedades de la igualdad como relación de equivalencia, o de la commutatividad de la suma o el producto. Igualmente implica el tratamiento de procesos asociados a explorar y expresar regularidades de los números que expresen formas regulares de crecimiento (Kaput, 2002a). Como ejemplos de situaciones en esta dimensión se pueden citar: caracterizar series de números –la serie de los números de Fibonnaci; realizar la suma de series de números –la suma de N números naturales consecutivos. En el contexto de la aritmética generalizada se pueden identificar los siguientes procesos5 : 1.1 Explorar las propiedades de los números así como las relaciones entre ellos Este proceso describe aquellos tipos de situaciones en las que los estudiantes identifican, caracterizan, elaboran conjeturas, justifican sus argumentos, definen, etc., en relación con las propiedades de los números, al igual que las relaciones entre ellos. Es el caso cuando se estudian las propiedades de ser número par, ser impar, ser número primo, ser divisor de…, ser múltiplo de…, etc., pero no como resultado de la aplicación de una serie de definiciones, sino a partir de estudio de familias de números que comparten cierta regularidad (o de familias de figuras geométricas que representan la regularidad numérica en cuestión). Igualmente se encuentran este tipo de situaciones al analizar, interpretar, conjeturar, justificar, demostrar las relaciones entre estas propiedades, por ejemplo, las relaciones entre los números pares e impares, las relaciones entre múltiplos y divisores, entre los primos y cada número natural, etc. 1.2 Explorar las propiedades de las operaciones entre los números Este proceso es muy similar a la anterior, sólo que los procesos de estudio de regularidades, identificación de patrones, elaboración de conjeturas, construcción de argumentos, se hacen no sobre los números, sino sobre las propiedades de las operaciones entre números. Es el caso del estudio de la propiedad conmutativa de la suma, a partir del análisis del comportamiento de familias de sumas que dan un mismo valor (por decir, todas las

_____________________________________________________ 5

Estos procesos son definidas con base en el trabajo propuesto por Kaput, 2005.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

sumas que dan ocho), o de la propiedad invertiva de la suma a partir de identificar el comportamiento de los sumando de todas aquellas sumas que dan como resultado cero, etc. 1.3 Explorar la igualdad como una relación entre cantidades (la igualdad como una relación de equivalencia) En este caso se trata de un proceso muy ligado a los dos anteriores a través del cual se pueda trascender de la igualdad como un símbolo que permite expresar el resultado de una operación, para pasar a ver la igualdad como una relación de equivalencia entre cantidades. Situaciones en las que se analicen las regularidades de familias de sumas o productos iguales, solución de ecuaciones desde la perspectiva de una balanza de brazos iguales que se debe equilibrar. Todas estas acciones permiten comprender que la igualdad representa una relación entre cantidades, y no sólo el resultado de efectuar una operación. 1.4 Solucionar problemas que involucren ecuaciones en las cuales la letra es interpretada como cantidad desconocida o incógnita Esta categoría, en esencia, expresa un nivel más sofisticado del sentido de la igualdad como relación de equivalencia, solo que ahora se aplica a situaciones que implican solucionar ecuaciones complejas (varias ocurrencias de la incógnita), o incluso sistemas de ecuaciones. De alguna manera implica la construcción de la capacidad para operar con las incógnitas, y por ende, un paso más en la construcción de la noción de variable. Situaciones como las descritas en Kaput, 2005, son un buen ejemplo del tipo de razonamiento que se requiere en los estudiantes “¿si V + V = 4, cuánto es V + V + 6?”. 1.5 Tratamiento algebraico de los números Se trata de situaciones en las cuales los estudiantes se ven en la necesidad de caracterizar algebraicamente las propiedades de los números y de las operaciones, para a través de dicha caracterización realizar acciones como operaciones, relaciones, generalizaciones, etc. Si bien la caracterización algebraica, en su sentido estricto requiere del uso de notaciones algebraicas (por ejemplo, caracterizar los números impares como números de la forma 2n + 1, para todo n número natural), los estudiantes de los grados inferiores pueden visualizar verbalizar y operar tales relaciones, sin el recurso a las notaciones sofisticadas del álgebra. 1.6 Representar cantidades y operaciones a partir de expresiones simbólicas Este implica el uso de la notación simbólica más para modelizar tipos de situaciones, que para resolver las ecuaciones resultantes del tratamiento. En este sentido se conecta con el proceso cuatro, pero tiene diferencias sustanciales. Es el caso por ejemplo de la caracterización de los tipos de situaciones aditivas a partir de esquemas que ellas representan (diagramas que representan los esquemas, ecuaciones que expresan las relaciones).

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Introducción

1.7 Identificar, describir y generalizar patrones numéricos y geométricos Se trata de actividades en las cuales se identifican, caracterizan y generalizan, regularidades sobre secuencias de números (las cuales se pueden representar geométricamente). Se trata de una actividad clásica en la construcción de los procesos de generalización, pero lo fundamental, no está tanto en hallar una forma de generalización, sino en la posibilidad de identificar diferentes caminos para llegar a la expresión general, y a las equivalencias entre dichos caminos. 2. La variación y el cambio: La Modelización como un dominio para expresar y formalizar generalizaciones La modelación matemática como contexto para el razonamiento algebraico involucra la generalización de regularidades, pero esta como resultado de la matematización de situaciones o fenómenos que implican la variación (Kaput, 2005). En este caso, la generalización como tal, es tan importante como el proceso mismo involucrado en la actividad de construir el modelo. En este eje se desarrollan los siguientes procesos: 2.1 Identificación de la variación En este se hace énfasis en los procesos que implican determinar la forma como una o varias cantidades de magnitud varían con respecto a la variación de otra u otras. En un sentido más estricto, la variación implica apreciar que dos o más cantidades de magnitud covarían, de tal forma que el cambio en una o algunas, determina cambio(s) en la(s) restante(s). Ahora bien, en el caso que esta covariación se pueda expresar a través de un modelo funcional, entonces se dice que las cantidades de magnitud están correlacionadas. 2.2 Encontrar relaciones funcionales Se trata de situaciones en las cuales los estudiantes se ven enfrentados al análisis de correlaciones entre dos o más variables (desde los problemas típicos de multiplicación, hasta las situaciones de variaciones complejas como las exponenciales, logarítmicas, etc.). De esta forma, el trabajo inicial en la educación básica primaria se constituye en la base para el desarrollo del concepto de función en los años posteriores, y por supuesto, en el uso, sentido y significado de las funciones desde la modelación de situaciones y fenómenos físicos. 2.3 Representar datos en tablas y gráficas Si bien este tipo de situaciones está estrechamente ligadas a la categoría anterior, merece atención aparte en tanto que se trata de sistemas de representación diferentes a los algebraicos, pero que no sólo permiten dar sentido a aquellos, sino que al permitir organizar un conjunto de datos sobre una situación o fenómeno, son parte fundamental en la visualización de las relaciones estructurales entre las magnitudes que se determinan como variables de la situación, y cuya correlación se desea encontrar.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

2.4 Predecir el comportamiento de estados desconocidos a partir de datos conocidos Con base en los dos procesos anteriores se presenta éste en la cual el punto central ya no es la construcción de unas expresiones simbólicas que modelizan una determinada situación, sino, el uso de dichas expresiones para predecir comportamientos futuros de la situación o fenómeno. En este caso, el recurso al análisis de estados futuros desconocidos se constituye en una forma que moviliza en los estudiantes la necesidad de construir modelos generales a partir de los cuales se puedan realizar las predicciones. Finalmente, y siguiendo a Kaput 2005, se pueden identificar dos procesos más, los cuales hacen referencia a procesos de orden superior basados en la construcción de argumentaciones sobre la base de abstracciones ya logradas, y que en ese sentido, están en relación con los dos ejes anteriormente descritos. Se trata de desarrollos que trascienden la generalización de aspectos ligados a situaciones particulares, para situarse en contextos que giran alrededor de abstracciones matemáticas ya consolidadas. Los procesos en cuestión son: • Uso de generalizaciones para construir otras generalizaciones Se trata de procesos en los cuales los alumnos se apoyan en relaciones ya establecidas para argumentar sobre procedimientos; justificar y construir nuevas relaciones; elaborar y demostrar conjeturas sobre nuevas propiedades, etc. Es el caso cuando un estudiante se apoya en el conocimiento de la relación entre números pares e impares (todo número par es de la forma 2n, y el impar es de la forma 2n+1, para un número n natural dado) para demostrar que la suma entre dos números impares da como resultado un número par. Este es un elemento fundamental en la construcción del conocimiento matemático, ya que es la forma como se organizan y se estructuran los elementos fundamentales de una teoría: nuevos teoremas se estructuran sobre la base de los ya constituidos como tal. Esta es la esencia de la naturaleza axiomática y deductiva del conocimiento matemático. • Justificar, probar y demostrar conjeturas La actividad matemática implica un constante juego entre la elaboración de conjeturas sobre las posibles relaciones entre los objetos matemáticos, y la búsqueda de la veracidad de la misma, o por el contrario, su refutación. Cualquiera que sea el resultado, la confirmación o refutación será el punto de partida para nuevas búsquedas. La búsqueda de justificaciones, bien sea a través de métodos informales (explicaciones, pruebas, mostraciones) o a través de métodos formales (demostraciones matemáticas) implica el desarrollo de procesos comunicativos. En general, conjeturar, justificar, probar y demostrar son la base para el desarrollo de una auténtica actividad matemática en el aula. No se trata de algo que se deba enseñar, sino de una estrategia de trabajo que debe estar en la base de toda situación de aprendizaje propuesta.

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Introducción

Si se acepta que un concepto expresa un tipo de relación estructural entre ciertos objetos matemáticos, entonces los ejes anteriormente descritos son la base para que su construcción sea el resultado de procesos de generalización, y no como definiciones poco significativas.

Estructura del módulo En el marco de lo anteriormente expuesto, el presente documento, el número 2 de esta serie en didáctica de las matemáticas, se presenta a la comunidad de docentes de matemáticas un conjunto de reflexiones en torno al álgebra escolar, tomando como base el razonamiento algebraico. En él, se propone una organización conceptual sobre la cual se puede dar estructura a los procesos de enseñanza del álgebra a lo largo del ciclo escolar. En este sentido, se propone pensar en una organización conceptual que pueda llevarse a cabo desde la iniciación escolar, de tal manera, que el punto de partida no sea el énfasis formal y deductivo, sino un espacio para dinamizar relaciones desde los distintos tipos de pensamiento matemático, cuyas formas de comunicarlas pasen por varios procesos de representación y simbolización; hasta lograr, en niveles superiores, formas de simbolización e interpretación propias de toda actividad matemática. Por tanto, el trabajo presentado en este módulo, orientado hacia el razonamiento algebraico, tiene como meta: de un lado, ayudar a los docentes en la construcción de una visión amplia sobre el aprendizaje de lo que tradicionalmente hemos llamado el álgebra, sobre los procesos de los estudiantes en camino de la construcción del razonamiento algebraico, y de otro, poner en juego una serie de herramientas metodológicas que orienten una actividad matemática en los alumnos al aprendizaje del álgebra. Así, las cinco unidades que lo componen desarrollan el esquema anteriormente propuesto (esquema 2, pág. 24). La primera, sobre la aritmética generalizada, muestra conceptual y metodológicamente cómo desde el aprendizaje de los conceptos propios de la aritmética se da inicio al desarrollo del razonamiento algebraico, a condición de que estos aprendizajes se den sobre la base de procesos de generalización. La segunda unidad, centra su atención en las ideas preliminares que se consideran cognitivamente fundamentales, para transformar un problema presentado en lenguaje verbal a un sistema de ecuaciones algebraicas. Se trata de mostrar, que si bien es cierta la necesidad de apelar a la búsqueda de palabras claves en el enunciado, también lo es que el éxito de esta tarea no es suficiente para construir la ecuación, en la medida que una ecuación se construye a través de las relaciones entre estas y no únicamente desde la identificación de las cantidades de magnitud cognitivamente pertinentes presentes en la situación. La tercera unidad amplía la discusión planteada en la unidad número 5 del módulo de Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos: de la multiplicación a la proporcionalidad, pero en esta ocasión se hace énfasis sobre los análisis funcionales tanto lineales como

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

n-lineales que permiten una conexión entre las estructuras multiplicativas y las funciones lineales y n-lineales a partir del razonamiento proporcional. La cuarta unidad plantea la discusión a partir del proceso de modelación matemática de situaciones, básico en el estudio de la noción de variación y el cambio. En esta perspectiva se parte del estudio de la proporcionalidad directa, para mostrar como desde el mismo momento en que se inicia el estudio de la multiplicación, se dan los primeros pasos para la construcción del concepto de función. Finalmente la quinta unidad centra su mirada en los procesos algebraicos, entendidos éstos en un doble sentido: en primer lugar, como la síntesis de los procesos desarrollados a través del estudio de las generalizaciones aritméticas y la modelación matemática, y en segunda instancia, como las herramientas que permiten la construcción, tratamiento y conversión de los diferentes registros de representación que permiten manipular lo desconocido, es decir, en un contexto analítico.

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Unidad No.1

El razonamiento algebraico

como aritmética generalizada Fabián Arley Posada Balvín Gilberto de Jesús Obando Zapata John Jairo Múnera Córdoba

Tal como se expresó en la introducción, el razonamiento algebraico como aritmética generalizada implica la construcción de los conceptos propios de la aritmética como resultado de procesos de generalización. En este sentido se trasciende la visión ampliamente difundida de que el álgebra es una aritmética pero con letras en vez de números. Igualmente se logra que las bases del razonamiento algebraico se construyan desde los primeros años de la educación básica, y no por que se abandone el trabajo con los números para trabajar con letras, sino por que el aprendizaje propio de los conceptos aritméticos se hace a través de procesos relativos a la generalización: reconocimiento de invariantes estructurales comunes a familias de situaciones a partir de las cuales los conceptos matemáticos toman su sentido y significado. Como se mostrará a continuación, se trata de una nueva forma de comprender los procesos de conceptualización de la aritmética en la educación básica: se pasa de una perspectiva estática, en la cual los conceptos se estudian a partir de las definiciones y sus aplicaciones, para pasar a otra, en la cual, los conceptos son el resultado del estudio de los elementos estructurales que identifican las situaciones, y por tanto, los procesos de generalización son la base para lograr tales aprendizajes.

La generalización y la construcción de los conceptos matemáticos Desde una perspectiva matemática, Mason (1996) afirma que, “la generalización es la esencia, el corazón de las matemáticas”; esta idea se refuerza cuando se afirma que, “el álgebra y quizá todo lo perteneciente al mundo de las matemáticas, se centra en la generalización de patrones; generalizar es una de sus actividades fundamentales” Lee (1996). En efecto, si se asume que la meta fundamental del aprendizaje de las matemáticas es la construcción de los conceptos matemáticos, así como las relaciones entre ellos, expresadas a través de los axiomas y teoremas, entonces la generalización es el proceso fundamental para acceder a los respectivos aprendizajes. Dicho de otra forma, no se aprenden conceptos de un lado, y después se aprende a generalizar por otra vía, sino que un proceso de conceptualización es en si mismo un camino hacia la generalización. En esta pers-

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

pectiva conviene señalar que la conceptualización no se agota en el aprendizaje de los enunciados o definiciones, sino que, por el contrario, pone en juego una serie de elementos en estrecha relación. En este sentido Vergnaud plantea: “la conceptualización en matemáticas, como en cualquier otra área, consiste en elaborar los medios intelectuales de tratar progresivamente situaciones cada vez más y más complejas”. (Vergnaud, 1997, p 7). Para Vergnaud, un concepto es una “tripla de conjuntos C = (S, I, R) Donde S es el conjunto de situaciones que dan significado al concepto, I es el conjunto de invariantes (objetos, propiedades, y relaciones) y que pueden ser reconocidas y utilizadas por los sujetos para analizar y adueñarse de esas situaciones, y R es el conjunto de representaciones simbólicas que pueden ser usadas para enfrentar y representarse esas invariantes, y por tanto, representar las situaciones y procedimientos para manipularlas” Vergnaud, 1988, p 141). Lo anterior conduce a Vergnaud a formular una categoría didáctica fundamental. Se trata de la categoría de campo conceptual6 , la cual define: Un Campo Conceptual está constituido, desde un punto de vista práctico, por el conjunto de situaciones en cuyo dominio progresivo juega un papel importante una gran variedad de conceptos y de procedimientos en estrecha conexión. Desde un punto de vista teórico, un campo conceptual está constituido por el conjunto de conceptos y teoremas que contribuyen al dominio progresivo de esas situaciones. (Vergnaud, 1997, p 9).

Para Vergnaud, la enseñanza de los conceptos no puede hacerse de una manera aislada, ni a partir de una sola situación problema, sino enmarcados dentro de un campo conceptual, pues: • Una situación dada, no podría poner en juego, en general, todas las propiedades de un concepto..., se hace necesario la referencia a una diversidad de situaciones. • Una situación dada no pone en juego habitualmente un solo concepto7 ... • La formación de un concepto, en particular si uno lo considera a través de la actividad de resolución de problemas, tarda en general un gran período de tiempo. Así mismo Vergnaud 1993, plantea que el paso de la utilización de un esquema de una clase particular de situaciones a una clase más general, está mediada por el reconocimiento de analogías, inferencias, semejanzas, relaciones causa efecto, etc., desde esas situaciones en las que su esquema era operatorio a aquellas en las que debe ser utilizado el nuevo conocimiento. En resumen, desde esta perspectiva para el aprendizaje de un determinado concepto, no es suficiente con tratar una sola situación, sino que por el contrario, es necesario el tra_____________________________________________________ 6

7

Esta categoría didáctica tiene su origen a partir de la enseñanza a través de la resolución de problemas. Esta es quizás una de las maneras más efectiva de enseñar las matemáticas, pues los alumnos están en una constante actividad que les permite reflexionar sobre la naturaleza y propiedades de los entes matemáticos. Además está de acuerdo con la idea de que la enseñanza no es la simple transmisión de un conocimiento. No se trata solamente de los prerrequisitos para afrontar una determinada tarea sino también que en una situación problema dada entran en juego varios conceptos de los cuales alguno o algunos no son objeto de estudio en el momento, pero no debe descuidarse la incidencia de la tarea en el proceso de conceptualización de dichos conceptos, o viceversa, la incidencia del nivel de conceptualización de dichos conceptos en la manera como es afrontada y solucionada la tarea.

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El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

tamiento de una gran variedad de situaciones, pero además, se tiene que cada una de ellas se puede poner en juego una variedad de conceptos, y para el tratamiento de estas situaciones se pueden tener distintos sistemas de representación. Esto hace que el aprendizaje de un determinado concepto sea un proceso complejo que dura un largo período de tiempo, y para el cual se requiere una variedad de situaciones que pongan en juego las características de dicho concepto. Así pues, al momento de pensar en la enseñanza de un determinado concepto, se hace necesario tener en cuenta que en este proceso intervienen elementos de distinta naturaleza. Entre los más importantes se pueden destacar: 1. Un concepto nunca está aislado, sino en estrecha conexión con otros conceptos matemáticos. Esto implica entonces la necesidad de delimitar la red conceptual en la cual está inscrito el concepto que se desea convertir en objeto de enseñanza. No se trata de la elaboración de un mapa conceptual, sino más bien de lo que Vergnaud llamó un campo conceptual. 2. Dado que el proceso de conceptualización implica el tratamiento de múltiples situaciones, se hace necesaria una articulación de estas situaciones para formar una unidad coherente que permita el aprendizaje deseado en los alumnos. Esta articulación solo puede darse en la medida que se identifiquen de manera clara los medios y mediadores que están presentes en las distintas situaciones, y la manera como permiten transformaciones conceptuales en los alumnos, las cuales se pueden evidenciar a través del nivel de elaboración alcanzado en su producción. Esto implica un análisis por lo menos en dos sentidos: los medios y mediadores puestos en escena a través de cada situación que elementos conceptuales son los que potencian, y que tipo de variables didácticas son las pertinentes para hacer evolucionar la producción del alumno a través de las situaciones propuestas. 3. De igual forma, este proceso hacia una versión más abstracta del conocimiento no solo implica coordinar situaciones en diferentes contextos, sino también, a propósito de una misma situación, articular distintas formas de representación.

La igualdad como relación de equivalencia Desde el punto de vista de los sistemas numéricos, el signo igual es el denotante de la relación de equivalencia. Pero, este significado del signo igual como relación de equivalencia es muy poco explotado en la aritmética escolar, dejando en el campo de conceptualización de los alumnos la idea que el signo igual es el indicador de que lo escrito a la derecha del mismo es el resultado de realizar la operación que está expresada en lado izquierdo. Por ejemplo, en 5+3=8 el símbolo “igual” generalmente significa que 8 es el resultado de sumar 5 y 3, y no que 8 es equivalente a 5+3, o lo que es mas importante aun, que 5+3 es otra forma de representación de 8. En este sentido, el signo “igual” es más un operador que un relator. De esta forma, expresiones tales como, 5 + 3 = 6 + 2, no solo son poco utilizadas, sino que los estudiantes no les encuentran mucho sentido, y la comparación la realizan en términos de que ambos lados de la igualdad dan el mismo resultado, y no como una 33


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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

relación en la cual, los cambios en los sumandos determinan la equivalencia: lo que uno pierde, lo gana el otro. No asumir la igualdad como una relación de equivalencia también se evidencia en la lectura unidireccional, de izquierda a derecha de la expresión simbólica. Así por ejemplo, la expresión 5 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2, sería diferente de: 5 x 3 + 5 x 2 = 5 (3 + 2). Cuando este tipo de expresiones son algebraicas, la lectura unidireccional de la relación de equivalencia es fuente de multiples equivocaciones en los estudiantes, y en ocasiones con ciertos tratamiento escolares de la notación simbólica, reforzamos tales interpretaciones. Es el caso de la factorización de trinomios, y los productos notables que son trabajados como dos temas independientes, cuando de lo que se trata es de la aplicación de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, en una lectura bidireccional de la relación de equivalencia (la expresión escrita así (a+b)(a+b)=a2 + 2ab +b2,es un producto notable, pero cuando la escribimos al contrario a2 + 2ab +b2= (a+b)(a+b), ya es otro tema: la factorización. Esta forma de comprender la igualdad implica trabajar sobre un aspecto fundamental del razonamiento matemático: la reversibilidad en los procesos. En este caso, la reversibilidad implica comprender que en la equivalencia, los procesos que garantizan el pasaje del lado izquierdo al lado derecho, pueden ser reconstruidos en el sentido contrario, es decir, para pasar del lado derecho al izquierdo (claro está, en ocasiones es más visible un camino en un sentido que en otro). Es pertinente reiterar que no se trata tanto de que en aritmética el signo igual signifique una cosa, y en el álgebra signifique otra, sino más bien, que el tratamiento curricular que se le da en el dominio aritmético es parcial, y por tanto, cuando el alumno ingresa al dominio algebraico se presenta el mencionado desfase. Esto implica dos necesidades en el tratamiento curricular a lo largo de la educación básica: rescatar desde la aritmética el tratamiento de la igualdad como relación de equivalencia, y desde el álgebra trabajar el concepto de relación de equivalencia tomando como punto de partida un tratamiento aritmético. Así pues, un tratamiento en aritmética del signo igual que propenda por desarrollar su conceptualización ligada a la relación de equivalencia debe partir, de un lado, del reconocimiento de las propiedades de la relación de equivalencia: Reflexiva: Simétrica: Transitiva:

A = A Si A = B entonces B = A Si A = B y B = C entonces A = C

Además con las operaciones elementales (suma, resta, multiplicación y división) cumple la llamada ley de uniformidad: Ley uniforme:

Si A = B entonces A*C = B*C

Además, como en el contexto aritmético una relación de equivalencia se orienta a comparar dos expresiones (aritméticas), a partir de reconocer lo invariante en cada una de ellas entonces, este trabajo con la igualdad está estrechamente unido al estudio de las propiedades de los números y las operaciones, que es precisamente a partir de las cuales se pueden reconocer las estructuras invariantes en un conjunto de expresiones.

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El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

Así por ejemplo, a través de una actividad en la que se establezcan las distintas descomposiciones de 6 se llegará a las siguientes igualdades: 5+1 = 4+2 = 3+3 = 2 + 4 = 1+ 5 a partir de los cuales se puede establecer que el conjunto de expresiones son equivalentes no solo por que tienen igual resultado, sino sobre todo, porque en el paso de una expresión a otra, lo que pierde el primer sumando, es ganado por el otro. Este análisis centra la mirada no en la operación que se debe efectuar, sino en el análisis de lo que permanece constante (invariantes estructurales) y lo que cambia (la variación), que para la situación, expresa la compensación entre los sumando de las expresiones aritméticas comparadas. Este tipo de análisis permite, entre otras cosas, iniciar un trabajo de generalización sobre algunas propiedades de la suma entre números naturales por ejemplo, la propiedad conmutativa. Ahora bien, ¿En qué ayuda un trabajo semejante para el aprendizaje del álgebra? Se ha demostrado, que entre las dificultades de los alumnos para acceder a los procesos sintácticos y analíticos del álgebra, se encuentran las relacionadas con la poca aceptación de una expresión simbólica cómo solución de un problema. Por ejemplo, ante una situación como la siguiente: “si un campo rectangular mide A metros de largo y B metros de ancho, ¿cuanto mide su perímetro?”; los alumnos no aceptan que la expresión 2(A+B) sea la solución, llevándolos a obtener respuestas como 2AB, o 4AB entre otras. Es más, si se les expresa la solución como 2A+2B, entonces no reconocen la equivalencia entre ambas expresiones. En esta situación se ponen de manifiesto varias dificultades, como las relacionadas con la capacidad de operar con incógnitas (de lo cual se hablará más adelante), además el no reconocimiento de la igualdad como relación de equivalencia es una fuente de dificultades.

Las propiedades de los números y de sus operaciones como un problema de generalización Tradicionalmente la aritmética escolar tiene un desarrollo curricular que presenta el concepto de número de manera aislada de las relaciones y operaciones que se pueden hacer con ellos, y de las situaciones problema en las que intervienen los números. Prueba de esta separación es que cada uno de estos aspectos corresponden a temáticas distintas en el currículo, como por ejemplo, los conceptos de número primo, divisor y múltiplo son estudiados como temas separados, cuando en realidad guardan una gran relación entre sí. Este tipo de tratamiento curricular desconoce que la noción de sistema numérico, no solo está conformado por los elementos (es decir por los números a secas), sino por las relaciones y las operaciones, las cuales, como bien lo expresó el Dr. Vasco en los documentos de la renovación curricular, son la vida misma del sistema. La anterior idea, unida a la noción de pensamiento numérico expresada en los Lineamientos curriculares, permiten lanzar una hipótesis importante: El aprendizaje del concepto de número no puede darse por fuera de las relaciones y las operaciones con las que constituye un sistema numérico, y de las situaciones problemas en las que el número tiene sentido. Es decir, saber el “cinco” no

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

es solo, determinar el tamaño de una colección de cinco elementos, o que una determinada magnitud mide 5 unidades. Sino también reconocer que el cinco es 3+2, 4+1, 10/2, además que 2<5, 5>3 etc. Igualmente implica saber utilizarlo con sentido para interpretar las situaciones en que se presenten, tanto de la vida real como de las matemáticas o de las otras disciplinas escolares. Así pues, aprender los números es comprender sus propiedades, sus relaciones y operaciones. Este conocimiento se desarrolla de manera paulatina a medida que se avanza en el reconocimiento de los diferentes sistemas numéricos, y se comprende mejor las operaciones y sus interrelaciones. El estudio de las propiedades de los números corresponde a los conceptos clásicos de la teoría de números tales como: ser par e impar; número primo, factor, divisor, divisibilidad, teorema fundamental de la aritmética; números amigos, capicúas; etc. Por su parte el estudio de las propiedades de las operaciones se refiere al reconocimiento y su posterior formalización. Dichas operaciones están regidas por un conjunto de invariantes que dependen de la operación misma, y por la naturaleza de los números que se operan o la forma como se representan. Estos conceptos se han enseñado en la escuela unos separados de otros (cuando se enseñan), sin embargo, su tratamiento debería ser integrado alrededor de situaciones problema que permitan ver las relaciones, al igual que las diferencias entre unos y otros. Para el caso de las operaciones (suma, multiplicación, potenciación, radicación, logaritmación) se tiene un conjunto de propiedades que expresan no solo las relaciones invariantes estructurales que les dan sentido y significado matemático, sino que además ponen en relación unas operaciones con otras.

•SITUACIÓN No. 1: ANALIZANDO LAS PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN • PROPÓSITOS: „ Identificar propiedades y relaciones entre las operaciones adición y multiplicación. „ Usar las propiedades de las operaciones adición y multiplicación para resolver problemas. MOMENTO 1: Propiedades de la adición

Actividad 1 Materiales:

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2 dados de diferente color. Hojas con tablas.


El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

A partir de juegos que implique el uso de dados (como por ejemplo el parqués, la escalera, etc.), se pueden proponer reflexiones en torno a las posibles formas de obtener un determinado resultado. Así, si se trata de un par de dados clásicos (numerados del uno al seis), y que además se puedan distinguir entre sí, entonces a partir de las posibilidades de obtener cada resultado responda: En el lanzamiento de dos dados se pueden obtener diferentes totales. ¿Si quisiera apostarle a un total a cuál le apostarías? Que hacer: cada alumno recibe una hoja con la tabla en blanco y un par de dados de diferente color. El alumno lanza los dados y anota los resultados en la columna que corresponde al total obtenido, indicando la adición, y discriminando los sumando según el color del dado. Así si lanza un dado rojo y otro azul, obteniendo 3 y 1 respectivamente, anotará 3+1 en la columna que corresponde al total 4; esto será diferente del lanzamiento en el que obtenga 1 en rojo y 3 en azul, para el cual anotará 1+3 en la misma columna. ¿De cuántas formas se puede obtener cada total al lanzar dos dados? Llene la siguiente tabla 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Tabla 1 Escribe las formas en que se obtuvo el 6. Cuáles de ellas son iguales y cuáles son distintan y porque. Comparando los resultados obtenidos cuales de los totales tienen mayor y menor posibilidad de salir.

Actividad 2 Observe las siguientes tablas y a partir de las regularidades encontradas complete los espacios faltantes. 1+1 2+1

1+3 2+2

2+3

1+5 2+4

3+2

3+3 5+1

2+5

2+6 3+5

4+3 5+2

4+4 5+3 6+2

4+5

5+5

5+6 6+5

6+6

5+4

Tabla 2

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1+1

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

1+2 +1

1+ 2+2 3+1

1+4 +3

1+ 2+4

1+ 2+5

2+6 3+

3+6 +5

4+6 5+

3+2 4+

+3 4+2 5+1

3+4 +3 5+2 6+1

+4 5+3 +2

5+4 6+

6+4

5+6 6+

6+6

Tabla 3

1+1

1+2 2+1

1+3 2+2 3+1

1+4 2+3 3+2

1+5 2+4 3+3

1+6 2+5 3+4

2+6 3+5

3+6

4+1

4+2 5+1

4+3 5+2 6+1

4+4 5+3 6+2

4+5 5+4 6+3

4+6 5+5 6+4

5+6 6+5

6+6

Tabla 4

1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1

1+2 2+2 3+2 4+2 5+2 6+2

1+3 2+3 3+3 4+3 5+3 6+3

1+4 2+4 3+4 4+4 5+4 6+4

1+5 2+5 3+5 4+5 5+5 6+5

1+6 2+6 3+6 4+6 5+6 6+6

Tabla 5 „

Explique el criterio que utilizó para llenar los espacios en blanco de cada tabla.

Seleccione una de las columnas y filas de la tabla y describa una posible forma de llenarla. Explique. „

„

38

Qué relación encuentra entre la primera y la última expresión de cada columna?, ¿ocurre lo mismo con la primera y la última expresión de cada fila? ¿Cómo se puede obtener la última expresión (6 + 6) a partir de la expresión anterior (6 + 5)? Y cómo a partir de la primera expresión (1 +1)?


El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

En forma similar analice las siguientes expresiones: 1) 2) 3) 4) 5) „

(-2) + 8 (-1)+ 7 0+ 6 1+ 5 2+ 4

6) 7) 8) 9) 10)

3+ 4+ 5+ 6+ 7+

3 2 1 0 (-1)

Cómo se puede obtener la expresión 2 a partir de la expresión 1?, y la expresión 4 a partir de la expresión 8?, y la 10 a partir de la 2?

Cuantas parejeras de sumandos se pueden obtener al lanzar 2 dados? • GESTIÓN DE LA ACTIVIDAD: Los juegos de dados son una interesante disculpa para observar regularidades y equivalencia entre expresiones numéricas. Al igual que en otras actividades, puede iniciarse permitiendo que los estudiantes exploren posibles formas de construcción de la rejilla y en el transcurso de la actividad persuadirles a que piensen en los invariantes, a través de los cambios que se observan entre columna y/o filas, incluso entre las diferentes tablas. La presentación de las tablas llenas, vacías o incompletas depende de los propósitos del docente, el grado escolar y el nivel de conocimiento que tengan los estudiantes a la hora de enfrentarlos a situaciones de este tipo. Esto es, de las actividades y tablas propuestas, seleccionar las que considere pertinentes para el grado escolar. El análisis de las actividades permite reflexionar acerca de las propiedades de las operaciones en términos de las siguientes regularidades: • La equivalencia de las sumas de una misma columna, a partir de reconocer la regularidad de la variación entre los sumandos, y la respectiva compensación de uno con otro. • El orden de los sumandos no altera la equivalencia de las expresiones. • El análisis combinatorio de los posibles resultados, que ayudan a entender por qué es más fácil obtener un total de siete que dos o doce (se puede hacer el experimento, lo cual pone lo numérico en relación con lo estocástico). Por supuesto, y tal como se propuso al inicio de este capítulo, no bastaría con analizar este tipo de regularidades en una sola situación. Juegos como: los bolos, la canasta, el tiro al blanco, etc., estudiados en el módulo de pensamiento numérico, permitirían análisis similares, a partir de los cuales se pueden estudiar otras propiedades de la operación adición como por ejemplo, la asociatividad. El reconocimiento de los invariantes numéricos: equivalencia entre los valores de las respectivas columnas se puede enfatizar con pregutas como: ¿Con que números llenarías las casillas en blanco, a partir de lo observado en las casillas llenas? Esto aunque no forma parte de la situación real del lanzamiento de los dados, ayuda a reconocer regularidades puramente numéricas.

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

La propuesta de trabajar con un número mayor de dados 3, 4 y más, tiene como intención iniciar la exploración de la propiedad asociativa de la operación adición, sin embargo, permite explorar otras posibilidades como: a partir del número de casillas necesarias para 2 dados, ¿de cuántas filas y columnas debería ser la rejilla requerida para todas las posibilidades cuando se lanzan 3, 4 y más dados? Igualmente es bueno proponer a los estudiantes, que piensen en una estrategia de llenado de la tabla para persuadirles a que hagan uso de la propiedad asociativa, conmutatividad y de las regularidades observadas en la tabla dada (lanzamiento de dos dados). Se puede aprovechar la situación, tanto de dos dados, de tres y más para discutir algunas ideas sobre lo estocástico como: ¿Cuál es la cantidad total con mayor y con menor posibilidad de salir en un lanzamiento de tres, cuatro y más dados? ¿Cuál es la probabilidad de cada cantidad? ¿Cuantas parejeras de sumandos se pueden obtener al lanzar tres, cuatro y mas dados? • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Las personas y entre ellas los estudiantes normalmente usan las propiedades de la adición para obtener resultados, si se trata de tres sumandos, utilizan la propiedad asociativa, o en el caso de dos sumandos, buscan la forma más cómoda de realizar cálculos, por ejemplo, para obtener la suma 2 + 9, cambian el orden porque agregan más fácil 2 a 9 que 9 a 2. Pero este uso no se hace en forma conciente, es decir, no se tiene un control de las propiedades. Sin embargo es importante tener presente que las propiedades estructurales de las operaciones no siempre será posible movilizarlas desde contextos físicos; lo interesante es poder ofrecer espacios de trabajo donde se haga conciencia de su utilidad, por ejemplo, en la generación de nuevas estrategias de cálculo. La propiedad conmutativa, de la adición o el producto, tiene un mismo significado: el intercambio de sumandos – respectivamente, factores- no altera el resultado de la operación que se efectúa. Esto implica reconocer la equivalencia entre dos expresiones aritméticas, situación que para los alumnos no siempre es clara, o bien por que los procedimientos utilizados no les permite ver la invarianza del orden de los términos con respecto al resultado, o bien porque la situación misma no guarda la simetría necesaria para poder ver la equivalencia. Por ejemplo, en situaciones aditivas simples de transformación, la suma 7 + 2 sería diferente de la suma 2 + 7, aunque los resultados sean iguales, puesto que la cantidad inicial es diferente en cada caso. Esta asimetría de la situación puede implicar mayor o menor grado de dificultad en quien resuelve la situación (sobre todo si sus procedimientos para el cálculo siguen unidos al conteo de unidades simples). En ambos casos, la conmutatividad no es tan evidente. Lo anterior implica, que para analizar la propiedad conmutativa, tanto en suma como en producto, se debe buscar situaciones en las cuales se haga evidente la invarianza del

40


El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

orden de los términos, es decir, situaciones que el intercambio de los términos no implique un cambio en la interpretación de los significados asociados a los términos y a la operación misma. Cuando se logra un uso controlado y sistemático de las propiedades en los cálculos, se podrá decir que hay comprensión de las mismas y poner en relación unas con otras. Así una forma de usar la propiedad asociativa en el proceso de comprensión de la propiedad conmutativa es de la siguiente manera: para obtener la equivalencia 5 + 3 = 3 + 5, se puede descompone el 5 en 3 + 2 y luego se aplican la propiedad asociativa, así: 5 + 3 = (3 + 2) + 3 5 + 3 = 3 + (2 + 3) 5+3=3+5

descomposición del 5 propiedad asociativa propiedad clausurativa (esta siempre será utilizada, por lo general inconcientemente)

Los estándares que aparecen a continuación están relacionados con los elementos teóricos discutidos en esta unidad y sirven de base para las discusiones de las situaciones aquí propuestas y de otras que los docentes puedan plantear. • ESTÁNDARES RELACIONADOS Pensamiento Numérico 1-3

Reconocer las relaciones y propiedades de los números (ser par, ser impar, ser múltiplo de, ser divisible por, etc.) en diferentes contextos.

4-5

Resolver y formular problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones. Justificar regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones utilizando calculadoras o computadores.

6-7

Generalizar propiedades y relaciones de los números naturales (ser par, impar, múltiplo de, divisible por, etc.). Justificar procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. Establecer conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando calculadoras o computadores.

10-11

Comparar y contrastar las propiedades de los números (enteros, racionales, reales) sus relaciones y operaciones (sistemas numéricos).

Pensamiento Variacional 1-2

Reconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, musical, entre otros) Construir secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y de las figuras geométricas.

8-9

Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas.

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

MOMENTO 2: la multiplicación también es conmutativo

Actividad 1: Construyendo rectángulos Qué hacer 1. Construya rectángulos cuya área tenga 20 unidades de área ¿Cuántos rectángulos hizo? ¿Ha dibujado todos los rectángulos posibles? 2. Realice la misma actividad para otros valores, por ejemplo, 12, 16, 13, 17, etc. 3. Llene una tabla como la siguiente en la que relacione, el valor de área con las diferentes posibilidades de dibujar rectángulos. Valor del área Rect. 1 Rect. 2 Rect. 3 Rect. 4 Rect. 5 Rect. 6 Rect. 7

20

12

16

13

17

Actividad 2: Construyendo rectángulos con geogebra Que hacer Con el programa Geogebra8 construya un rectángulo de área fija, por ejemplo, de área 20 unidades. Para ello, active la rejilla del plano cartesiano (menú opciones; opción zona gráfica, y en la ficha grilla del cuadro de diálogo que se abre, activar la opción grilla); dibuje un deslizador, cuyo rango de valores sea desde cero hasta 50, cambie el nombre (que por defecto es a) y llámelo L (para ello haga clic con el botón derecho del ratón sobre el deslizador, y en el cuadro que se abre, seleccione la opción renombrar). Luego dibuje un segmento (Segmento a), que será uno de los lados del rectángulo, cuyo origen sea el punto (0,0) y que el extremo sea cualquier punto del eje X. Luego en la línea de comando escriba la expresión C=(0, L/a ), y presione la tecla ENTER (esta acción dibuja un punto C sobre el eje Y, cuya ordenada es L/a ). Dibuje un segmento (Segmento b), que será el otro lado del rectángulo, cuyo origen sea el punto (0,0) y el extremo sea el punto C que se acaba de dibujar. Termine de dibujar los otros lados del rectángulo, cuidando garantizar la perpendicularidad de los lados restantes. Cuando se termine de dibujar el polígono respectivo, se puede hacer clic con el botón derecho del ratón, para activar la opción _____________________________________________________ 8

Programa gratuito que se consigue a través del Internet en la siguiente dirección: www.geogebra.at. Combina geometría dinámica (Tipo R y C o Cabri) con un editor de cálculo simbólico (CAS), produciendo una potente herramienta para el trabajo sobre el álgebra y el cálculo diferencial e integral. Tiene herramientas para realizar geometría transformacional, y cálculo integral. Adicionalmente, por ser desarrollado en plataforma java, permite guardar el trabajo como páginas Web que pueden interactuar con los usuarios.

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El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

“objeto auxiliar”, Esta opción permite visualizar el área del rectángulo en el lado izquierdo de la ventana del programa. Al terminar se debe tener una estructura como la mostrada en la figura 1.

Figura 1

Mueva el cursor del deslizador L con el fin de fijar un valor determinado para el área del rectángulo, y luego mueva el punto B para cambiar la dimensiones del rectángulo. Observe la forma como cambian los lados del rectángulo para garantizar que el valor del área permanezca constante. Puedes cambiar los valores del deslizador y mover el punto B tantas veces como quiera. Una forma de comprender mejor la relación anterior, es haciendo que el computador muestre la traza (lugar geométrico) del punto D cuando se mueve el punto B (el único vértice del rectángulo que no está sobre los ejes coordenados), ver figura 2. Se puede cambiar el valor del deslizador y mover el punto B tantas veces como se quiera. 1. ¿Qué significa en términos de la situación cada punto de dicho lugar geométrico? 2. ¿Qué relación guardan los puntos sobre el lugar geométrico con el valor del área que se ha fijado?

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Figura 2

• GESTIÓN DE LAS ACTIVIDADES DEL MOMENTO 2. Las actividades de este momento dos, tienen la intencionalidad de enfrentar a los estudiantes al uso con sentido, de algunas de las propiedades de la operación multiplicación. En la actividad 1 es importante tener en cuenta la necesidad de ir mas allá de los números enteros para resolver la actividad. En su desarrollo se debe reflexionar en torno a si tiene o no sentido diferenciar entre un rectángulo que tenga a unidades de largo y b de ancho, con otro que tenga b unidades de largo y a de ancho. Es decir, al plantear el intercambiar de sus medidas, observar y determinar lo que varía y lo que permanece invariante. Con la actividad 2, se pretende avanzar conceptualmente con respecto al trabajo realizado con la actividad 1 pero, al entrar en escena el mediador computador, se tienen al menos dos implicaciones: por un lado, entender que el manejo del equipo tanto del hardware como del software puede generar problemas extras que desvirtúen el objetivo de la actividad. Por otro lado, entender que cuando ingresa al aula el computador, las relaciones matemáticas sufren transformaciones tanto de forma como de fondo y plantean niveles de complejidad diferentes a las reconocidas sin él. Ejemplos de esto son: los acercamientos al concepto de continuidad, la visualización a través de gráficas (traza o lugar geométrico) de la relación de proporcionalidad inversa entre las medidas de los lados de los rectángulos con área igual, la posibilidad de dar un paso hacia delante en el proceso de generalización con la observación del invariante: conservación de la relación de proporcionalidad cuando la constante (representada con el deslizador) cambia y la posibilidad de generar conexión entre el concepto de proporcionalidad inversa y el concepto función racional (para el caso la rama de una hipérbola rotada); todo esto a partir del dinamismo que permite la ejecutabilidad del computador.

44


El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

• CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Con los diferentes momentos de esta situación se pone en relación el pensamiento numérico, el métrico y el variacional, en tanto se analice la generalización que se quiere estudiar: la conmutatividad del producto y la distributividad del producto con respecto a la suma. Se debe prestar una especial atención a los conceptos de área y longitud, y sobre todo, a las unidades para medir ambas magnitudes, pues se tiende a confundir unas con otras, sobre todo en el lenguaje usado para referirse a ellas. Por ejemplo, cuando se hacen rectángulos en una hoja de papel cuadriculado, se suele decir que el largo, o el ancho, del rectángulo mide, por ejemplo, ocho cuadritos. En este caso, el cuadrito, unidad de área – por tratarse de una superficie-, se usa como si fuera una unidad de longitud, lo cual no es apropiado. Quizás si se dijera que el largo, o el ancho, miden cinco lados de cuadrito, la expresión estaría acorde con lo que se quiere expresar. Esta confusión se puede presentar en virtud de la intención de usar este tipo de representaciones para analizar la relación entre las longitudes de los lados de una rectángulo y la fórmula para calcular el área (Área = largo x ancho)9.

Figura 3. Área de un rectángulo calculada por recubrimiento con unidades de área

Para el desarrollo de las actividades no es necesario que lo alumnos conozcan la fórmula que permite calcular áreas de rectángulos, sino que por el contrario, se puede aprovechar el trabajo para comprender dicha fórmula. En este contexto se debe centrar el análisis en el conteo de las unidades de área que compone la figura, y luego mirar, cuantas unidades de área se pueden acomodar en uno de los lados, y cuantas veces se puede repetir dicho arreglo a lo largo del otro lado. Esto es, por ejemplo, en un rectángulo como el mostrado _____________________________________________________ 9

En el módulo de pensamiento numérico se presenta una discusión más detallada al respecto.

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

en la figura 1, cuyo largo mide 8 unidades de longitud, se pueden encajar en dicho lado, 8 unidades de área, y si el otro lado mide 4 unidades de longitud, entonces se pueden tener a lo ancho 4 arreglos de 8 unidades cada uno, y por lo tanto, el área es de 32 unidades de área. Las actividades tienen como meta analizar que diferentes rectángulos pueden tener igual área, pero sobre todo, que al intercambiar las medidas del largo o el ancho, no se genera otro rectángulo diferente, sino que se trata del mismo rectángulo visto desde otra perspectiva, y por tanto, el producto que representan es el mismo (esto es, si A y B son las longitudes del largo y el ancho de un rectángulo, entonces al intercambiar las medidas, se tendrá ahora B y A largo y el ancho respectivamente) Además, como se busca relacionar el valor del área de un rectángulo con el producto de las medidas de sus longitudes, entonces esta consideración permitirá ver que el orden de los factores no altera el producto. Como es posible que los estudiantes solo se refieran a medidas enteras, entonces es importante animarlos a construir rectángulos con medidas no enteras. Usar hojas cuadriculadas ayuda a usar el conteo como una forma de calcular las áreas y luego poner en relación dicho conteo con la multiplicación.

•SITUACIÓN No. 2: MÚLTIPLOS, DIVISORES, FACTORES, NÚMEROS PRIMOS • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Estos cuatro conceptos están estrechamente relacionados y su estudio puede, y debe darse de forma más o menos paralela, pues: 1. Si se parte de que los múltiplos de un número son todos aquellos números que cumplen la condición de ser un número entero de veces dicho número, entonces los divisores se obtienen por el proceso inverso. Dicho de otra forma, si 42 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 42. Es más como 42 es múltiplo de 14, de 7, de 6, de 2, entonces, 14, 7, 6 y 2 también son divisores de 42. 2. Los números primos serán aquellos para los cuales solo existen dos divisores: el uno y el mismo número. O dicho de otra forma, un número primo es aquel que no es múltiplo de ningún número, menor que él, y diferente de uno. 3. Si se encuentra un divisor de un número, entonces se han encontrado dos factores del mismo. Esto es, si a ≠ 0 divide a b, es por que existe un n tal que b=a x n. Por lo tanto, a y n son factores de b, en tanto que el producto de dichos números es equivalente a B. Si este proceso se itera con los números a y n, y luego con los factores de estos, hasta que solo se tengan números primos, entonces se ha llegado a la descomposición en factores primos del número b, es decir, hemos llegado al teorema fundamental de la aritmética.

Teorema fundamental de la aritmética: todo número natural se puede expresar como producto de un número finito de factores, todos ellos número primos. Ésta descomposición es única.

46


El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

Como puede verse, estos conceptos se apoyan entre si para dotarse de sentido y significado, y su estudio como temas aislados, no solo en tiempos distintos, sino también sin relaciones directas entre ellos, limita mucho sus posibilidades de comprensión. Todos ellos se basan en los conceptos de divisor y factor, los cualas como se anoto en el párrafo anterior son uno la base para el otro: Un número natural z ≠ 0 es divisor de un número natural w, si existe otro número natural n tal que w=n x z. Esto es, si z divide a w, entonces z es factor de w. Al contrario también es válido: si dos o más números naturales (a1, a2, a3,…) son factores de otro número natural B, entonces los números a1, a2, a3,… son divisores de b. De comportamientos particulares de los factores (divisores) se desprende el concepto de número primo, y se deriva el teorema fundamental de la aritmética, y por ende, el algoritmo Euclídeo de la división:

Algoritmo Euclídeo de la división: Dados dos números naturales A y B ≠ 0, siempre será posible encontrar un número natural C tal que A=B x C + R, donde R es menor que B. El número C, se llama cociente entre A y B (y expresa la cantidad de veces exactas, que B es contenido en A, o la cantidad de veces exactas que B puede ser extraído de A) y R es el resto o residuo (y expresa la cantidad sobrante en A después de extraer la cantidad B repetidamente de A, o la cantidad de unidades sobrantes con las que no se puede formar un grupo de B unidades, después de formar C grupos cada uno con B unidades). Los estándares que aparecen a continuación sirven de base para las discusiones de las siguientes situaciones. • ESTÁNDARES RELACIONADOS Variacional Primero a tercero

Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, musical, entre otros). Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas.

Cuarto a quinto

Predigo patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

Sexto a séptimo

Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.

Numérico Primero a tercero

Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización entre otros). Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar...) y relaciones entre ellos (ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por....) en diferentes contextos. Justifico regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones

Cuarto a quinto

Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos.

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Actividad 1: La pista numérica En el módulo de pensamiento numérico10 se analizó la situación de la pista numérica. En dicha actividad, el proceso de llenar la cinta numérica, y posteriormente el análisis de la tabla que se llena, son una fuente importante para el estudio de los conceptos de múltiplo, divisor, y número primo. • GESTIÓN DE LA ACTIVIDAD: 1. En primer lugar, el concepto de múltiplo, emerge en la medida en que se llena la serie de números que completa un determinado proceso de conteo iterativo (por ejemplo, al llenar todos los puntos que se obtienen al contar de tres en tres, se está pasando por los múltiplos de 3). Igualmente este proceso permite ver dos cosas importantes: primero, por un mismo punto se puede pasar varias veces (esto implicará analizar que un mismo número puede ser múltiplo de varios número a la vez), mientras que por otros no se pasa, a menos se saque uno (estos serán los candidatos a ser números primos). Segundo, dado que los conteos son tanto en el sentido positivo como en el negativo, entonces el concepto de múltiplo (y por tanto divisor) se extiende también a los números negativos. Esto es, los múltiplos del 3 no son solo los positivos (3, 6, 9…), sino también los negativos (-3, -6, -9…). Aunque la teoría de números se refiere sólo a los enteros positivos. 2. Para entrar de lleno en la comprensión de los conceptos de múltiplo, factor y divisor, es importante analizar dicha tabla, sobre todo, haciendo énfasis en las relaciones de cada una de las columnas con la primera de ellas. Esto es, se trata de analizar la regularidad, de encontrar una expresión que permita calcular los números de una determinada columna a partir de los números de la primera. Por ejemplo, todos los números de la columna 3 se pueden obtener de la primera columna si multiplican éstos últimos por 3, los de la columna 4 si se hace lo propio, pero multiplicando por 4, y así sucesivamente. De esta forma se puede ver que cada columna es un número entero de veces la primera columna. De ahí se puede empezar a concluir el significado del concepto de múltiplo11 . En general la tabla se presta para otros tipos de análisis similares, todos ellos encaminados a reconocer regularidades numéricas asociadas a la multiplicación. Por ejemplo se puede analizar que las veces que se repite un número en la tabla (en figura 4 se ha sombreado las casillas en las que aparecen el 12, el 24 el 36), y de esta forma se puede determinar el conjunto de divisores de cada uno de ellos (la intersección de fila y columna determina dos factores del número, lo cual permite también reforzar la propiedad conmutativa del producto), además de hacer notar que un mismo número puede ser múltiplo al tiempo de varios números (múltiplos comunes). Igualmente, este análisis permite rastrear algunos números especiales que solo aparecen dos veces, como por ejemplo el 7. Los números primos. 3. En análisis anteriormente propuesto se puede ampliar, llevando estas series de números a un plano cartesiano (si se prefiere, a través de una hoja de cálculo, o de un progra_____________________________________________________ 10 11

Ver páginas 45 y 46 del módulo de pensamiento numérico. Este análisis desde el punto de vista funcional, significa construir la función f(n)= kn con n los números de la columna y k una constante positiva, que indica la columna k-ésima donde aparecen los números n. Es decir, los números n de la columna k-ésima están relacionados bajo proporcionalidad directa simple con los números de la primera columna.

48


El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

ma de estadística) y por esta vía analizar el comportamiento de las gráficas. Esta sería otra forma de ver las relaciones entre la serie de números en cada columna con respecto a los números de la primera columna. En particular representar los datos en una hoja de calculo, pero no haciendo un llenado manual de los mismos, sino escribiendo las fórmulas que permitan obtener de forma automática los números de cada columna, a partir de los datos de la primera (la única que se llena manualmente), y luego hacer las gráficas respectivas (el uso de el computador permitiría ampliar de manera muy fácil el análisis a número mayores que el 12 o menores que el -12). 4. El concepto de número primo tiene su entrada en el análisis de aquellos puntos que se quedan sin marcar (13, 17, 19, 23…), a menos que salga uno. Por supuesto aquí no se tiene una lista exhaustiva de los número primos menores que 100 (que es el rango numérico aproximado que maneja el juego), pero si se pueden encontrar los otros primos faltantes, a partir de analizar por qué sucede tal situación, lo que tienen estos en común y lo que los diferencia de los demás.

0

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104 112 120 128 136 144

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108 117 126 135 144 153 162

10 10

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100 110 120 130 140 150 160 170 180

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110 121 132 143 154 165 176 187 198

12 12

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108 120 132 144 156 168 180 192 204 216

Figura 4. Distribución de los números que se repiten en la tabla del juego de la pista numérica. Es de notar la simetría de tal distribución.

Actividad 2 La tabla que aparece a continuación, fue realizada a partir del juego de dos estudiantes, pero uno de ellos no alcanzó a llenar todas las casillas. ¿Puedes ayudarnos a completar la tabla?

49


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

1

1

2

2

4

3

3

6

4

4

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12

5

5

10

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6 7

7

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8

3

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10 10

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12 12

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27 33

7

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72

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84

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90

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88

99

110 121 132 143 154 165

72

108

54

68

72

85 96

102 108 119

120 130 140 150 132 144 156

51

144

126 135 144 153 162

60 60

18

34

120 128

40 48

32

64

70

108

17

170 187 198 192 204 216

Preguntas para reflexionar: • ¿Cómo se pueden obtener los números de cualquier columna a partir de la primera? Con base en la respuesta cómo se obtendría los números de la columna 82. Cómo se pueden obtener los números de la fila 51? • ¿Los números 320, 473, 1025 en qué fila y en qué columna deben aparecer?

Actividad 3: Multiplicaciones de valor fijo Esta actividad complementa algunas de las anteriormente descritas, sobre construcción de los rectángulos de un área determinada. En este caso se centrará la mirada en los rectángulos cuyas medidas tienen un valor entero. En ambos casos se busca realizar una comparación de las situaciones en las cuales existen varias soluciones para la multiplicación propuesta, y aquellas en las cuales solo hay una sola (Si B es el número, entonces el único rectángulo posible es 1 x B, o lo que es lo mismo, 1 x B es la única multiplicación posible cuyo resultado sea B) En la segunda parte, se retoma la actividad con geogebra (página 42) pueden hacer las siguientes acciones: Moviendo el deslizador y el punto B, determina cuantos rectángulos diferentes, pero con lado de longitud entera puedes obtener, si el área fija es 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 o 20 unidades de área. Llena la siguiente tabla.

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El razonamiento algebraico como aritmética generalizada

Valor del área del rectángulo

Número de rectángulos posibles, con medida de lados de valor entero

Dimensiones de dichos rectángulos

12 unidades de área 13 unidades de área 14 unidades de área ...

1. ¿Para qué otros valores posibles de área existe un sólo rectángulo (o dos asumiendo que los valores de largo y ancho se pueden intercambiar)? 2. ¿Los puntos sobre el lugar geométrico, cuyas coordenadas son ambas números enteros que relación guardan con el valor del área que se ha fijado? 3. ¿Qué valores del área hacen que sólo exista sobre el lugar geométrico dos puntos cuyas coordenadas sean números enteros?

•SITUACIÓN No. 3: NÚMEROS PARES E IMPARES • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Las nociones de números pares e impares están estrechamente conectados en tanto que ambos se relacionan con la noción de divisibilidad por 2. Los números pares son todos aquellos cuya división por 2 es exacta, y de forma similar, los impares son aquellos cuya división por dos no es exacta, esto es, aquellos para los cuales la división por 2 tiene como residuo 1. Por lo tanto, todo número impar mayor que uno será igual a un número par más una unidad. Los números pares e impares fueron fuente de múltiples investigaciones para los matemáticos desde épocas muy remotas. Los griegos fueron especialmente cuidadosos del tratamiento matemático de este par de subconjuntos de los números naturales a través de las representaciones geométricas. Para los Babilonios y los Egipcios, la operación de duplicar, y dividir por dos, fue base fundamental para el cálculo con números, sobre todo, en el caso de la multiplicación y la división. En las actividades que se muestran a continuación se estudiará la relación fundamental de número par: todo número par es divisible por dos, o de otra forma, un número natural N es par, si existe otro número natural K tal que N = 2 x K. De igual forma se estudiará en simultáneo los números impares estableciendo la relación básica entre números pares e impares: Un número natural N es impar si existe otro número natural K tal que N = 2 x K + 1.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

En el caso del juego de parqués se pueden manipular los dados de tal forma que se amplíe el rango numérico en el juego, por ejemplo, colocando en un dado solo números pares y en el otro número impares, se pueden tener valores mayores de 20. Igualmente se pueden poner ambos dados solo con pares, o ambos dados solo con impares. De esta forma se tendrán diferentes opciones de juego, de reflexiones sobre los valores marcados en los dados, y de las cantidades corridas. Cuando la cantidad a correr con las fichas es un número par, el valor es exacto, pero cuando es impar, sobra una unidad. Es importante analizar por qué se presenta esta situación, y sobre todo, tomar una decisión sobre que hace con dicha unidad: bien sea que se decida perderla o acumularla, para agregarla a otra cantidad que no de exacta en un turno posterior, en esencia lo que se hace es convertir un número impar en otro par, lo que muestra que dado un impar cualquiera, si se agrega o resta una unidad, entonces se convierte en un número par. Esta es una forma intuitiva de llegar a las fórmulas descritas en el párrafo anterior.

Actividad 1: juego de parqués 1. Se propone Jugar parqués, imponiendo una nueva regla: cada casilla del tablero tendrá un valor de dos unidades. A medida que se realice el juego se debe llenar la siguiente tabla:

Cantidad marcada en los dados

Cantidad de casillas recorridas

Cantidad de unidades sobrantes

¿Para cada fila, qué operación se deben hacer con los números de la segunda y tercera columna para obtener cada número de la primera? Suponga un juego de parqués con las siguientes reglas: • Se dispone de cuatro dados, cada uno de ellos marcados como sigue: Dado 1 (1, 2, 3, 4, 5 y 6); Dado 2 (7, 8, 9, 10, 11 y 12); Dado 3 (2, 4, 6, 8, 10 y 12) y Dado 4 (1, 3, 5, 7, 9 y 11). • Cada casilla del tablero vale dos puntos. • Si el valor marcado por los dados no es un número exacto de casillas por recorrer (es decir si sobra una unidad), la unidad se guarda para un turno posterior. ¿Cuál es número más pequeño que pueden marcar los dados? ¿cuál es el más grande? Llena la siguiente tabla, colocando los números de la primera columna de menor a mayor.

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El razonamiento algebraico como aritm茅tica generalizada

Cantidad marcada en los dados

Cantidad de casillas recorridas

12 13

6 6

Cantidad de unidades sobrantes

0 1

Operaci贸n con columnas 2 y 3, para obtener la 1 2x6 2x6+1

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Unidad No.2

El paso de enunciados verbales

a ecuaciones

Gilberto de Jesús Obando Zapata

Un problema fundamental por el que pasa todo estudiante de la educación básica es el paso de problemas en enunciados verbales a otros tipos de representaciones, fundamentalmente las algebraicas. Durante los primeros años de la educación básica este tipo de situaciones se presenta cuando se busca la solución de problemas aditivos o multiplicativos. En estos momentos iniciales no se ve una conexión directa entre la solución de problemas y los procesos propios del pensamiento variacional, pues en líneas generales no se tiene la necesidad de expresar de forma explícita una ecuación para solucionar un problema. Sin embargo, en este tipo de actividades se encuentran los fundamentos de lo que posteriormente será una actividad fundamental del razonamiento algebraico: la conversión de una situación (generalmente presentada en leguaje natural), a representaciones de tipo algebraico. Se entiende la actividad cognitiva de conversión como la construcción de una nueva representación de una situación a partir de otra representación dada en un registro diferente. Así, tomando el enunciado verbal como la representación inicial de una determinada situación, la construcción de una gráfica o de una ecuación, se corresponden con la actividad cognitiva de conversión en tanto cada una de ellas es una nueva representación de la situación, pero en otro registro. Por ejemplo, para una situación como la siguiente (expresada en lenguaje natural), “a Juan le quedan 5 galletas después de comerse 3 en uno de los descansos de su jornada escolar ¿cuántas galletas tenía Juan inicialmente?”, se le pueden construir otros tipos de representaciones (el encunciado verbal se asume como una forma de representación), las cuales son nuevas construcciones, nuevas formas de expresar las relaciones matemáticas que se establecen en la representación verbal. Por ejemplo: • Una representación gráfica, siguiendo una estructura icónica: Cinco galletas que le quedan

Tres galletas que se comió

Figura 1

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• Una representación gráfica, siguiendo una estructura no icónica:

-3 ¿?

5

Figura 2

• Una representación simbólica utilizando expresiones algebraicas: x-3=5 Las cuatro formas de representación para una misma situación (y pueden existir otras formas de representación), tienen algo en común: expresan la forma como se relacionan, matemáticamente hablando, las tres cantidades involucradas en la misma: una cantidad inicial (cuyo valor se debe hallar), una cantidad final (las 5 galletas que le quedan) y un operador que expresa lo que le sucede a la cantidad inicial (las tres galletas que se come). Cada una de ellas ayuda a comprender algo nuevo de la situación, y en su conjunto, permiten la comprensión de cómo se relacionan las cantidades (conocidas y desconocidas) en este tipo de situaciones aditivas. Como se puede ver del ejemplo anterior, el recurso a varias representaciones de una determinada situación es fundamental para su comprensión en tanto que un tipo u otro de representación presenta ciertos aspectos de las relaciones matemáticas de la situación, y de esta forma cada una deja ver aspectos que en las demás pueden no ser tan explícitos. Dicho de otra forma, cada representación de una situación selecciona ciertos elementos de la situación, y de acuerdo a la estructura de la representación, los muestra organizados, estructurados de formas específicas. Los elementos representados, y la forma como se estructuran, son el contenido de la representación, y determinan el sentido y significado de la representación con respecto a la situación representada. Por ejemplo, una situación, representada en lenguaje natural puede ser la siguiente: “En un triángulo isósceles, el ángulo que forman los dos lados iguales mide 40º. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos restantes?” Esta forma de representación, muestra un conjunto conceptos de la geometría: qué es un triángulo, qué es un triángulo isósceles, qué es un ángulo, la medida de un ángulo. Pero lo más importante no es identificar los conceptos involucrados en el enunciado verbal, sino las relaciones que el enunciado expresa entre dichos conceptos. Para este caso, se trata de tres relaciones, una explícita en el enunciado –con cuál ángulo, de los tres del triángulo, se corresponde la medida expresada en el enunciado, mientras que las otras dos no12 , pero que, por supuesto, se pueden inferir de la información suministrada13 : la primera, _____________________________________________________ 12

13

Por lo general las relaciones entre conceptos deben ser inferidas a partir de las expresiones verbales utilizadas en un enunciado en lengua natural. Esta es una de las fuentes de dificultad en este tipo de representaciones Es decir, estas dos información deben formar parte del conocimiento general que la persona debe saber de los triángulos, y el enunciado verbal, de alguna forma muestra que estos dos conocimientos deben ser utilizados en el proceso de solución.

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

“que la suma de los tres ángulos de cualquier ángulo es 180º” y la segunda “que en un triángulo isósceles, dos ángulos son iguales”. Si para construir otra representación, por ejemplo, una gráfica, solo se centrara la atención en los conceptos involucrados y no en las relaciones, se podría llegar a diferentes representaciones y no se tendría capacidad de decidir cual es la que se corresponde, la que es equivalente, con el enunciado verbal.

Figura 3

La figura anterior muestra tres posibles representaciones gráficas de la situación, dos de las cuales no son equivalentes a la representación verbal, y por tanto, inadmisibles como otra representación de la situación. Lo que permite decidir en favor de la representación A, es de un lado, que se trata de un triángulo isósceles (lo que hace rechazar cualquier representación como la mostrada en C), y de otro, la relación explícita expresada en el enunciado verbal: la medida del ángulo dado es el que forman los dos lados iguales del triángulo isósceles (lo que hace igualmente descartar la representación B). Es importante resaltar que la representación gráfica hace visible que los otros dos ángulos, cuyo valor es desconocido, son iguales14. Así pues, la representación gráfica ayuda a visualizar, hace explícita, una relación que en el enunciado verbal no lo era. Finalmente, se puede construir otra representación de la situación: la representación algebraica. Para ello se debe conocer una relación entre las medidas de los ángulos, como ya se expresó, la cual está totalmente escondida en el enunciado verbal, y que tampoco se hace visible en la relación gráfica. Este teorema básico de la geometría euclidiana permite entonces escribir la siguiente ecuación: α + β + X = 180 _____________________________________________________ 14

Para el caso que se ejemplifica, si la gráfica ha sido realizada con cuidando unas mediciones precias, entonces con el transportador se pueden medir los otros dos ángulos, y por esta vía solucionar el problema. Claro está, es posible que esta solución no sea exacta sino aproximada, pero de cualquier forma importante, pues permite estimar un rango de magnitud de la solución, y al utilizar otros métodos para hallar el valor de los ángulos restantes, el valor hallado sobre la gráfica se puede utilizar como mecanismos de validación de dichos resultados.

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Pero como α=40º y β=X entonces la ecuación anterior se puede reescribir así: 40 + β + β= 180 De donde su solución, a través de procesos algebraicos o numéricos es inmediata, pues la representación algebraica pone a disposición de la persona un conjunto de métodos y procedimientos algorítmicos propios del tratamiento algebraico que facilitan el trabajo matemático. Estos métodos no dependen de la situación representada, ni de la calidad de los dibujos realizados, o de la precisión con que se realicen las medidas. Depende única y exclusivamente del uso correcto de las reglas del tratamiento algebraico, y por supuesto, de las reglas de la lógica. El anterior ejemplo permite llamar la atención sobre dos cosas: la primera, la necesidad de múltiples representaciones de una misma situación, y la segunda, sobre un mecanismo básico en el proceso de conversión de un tipo de representación a otra equivalente: la correspondencia entre relaciones estructurales de una representación con respecto a unidades estructurales de la otra. Como se puede ver del procedimiento seguido anteriormente para convertir la representación en lenguaje natural a la representación algebraica, pasando por la representación gráfica, cada representación organiza y estructura la información de acuerdo a los mecanismos propios de cada tipo de representación. En la representación en lenguaje natural más importante que las palabras son, los conceptos matemáticos referidos en ellas, y sobre todo, las relaciones entre dichos conceptos. Estas relaciones, algunas explícitas y otras implícitas, brindan información sobre como están organizados los conceptos, esto es, sobre la estructura conceptual de la situación, y la comprensión de la situación pasa precisamente por la identificación, por la toma de conciencia de tales relaciones. Por su parte, la representación gráfica, organizada a partir de puntos y líneas presenta de forma visual lo que antes se había expresado en palabras: se trata de triángulos, pero no de cualquier triángulo, sino de triángulos isósceles. Se da la medida de un ángulo, pero ¿de cuál ángulo?: el que forman los dos lados iguales del triángulo. Una vez se resuelven interrogantes como los anteriores, se puede tener cierta certeza del tipo de representación gráfica que se debe hacer. Por su estructura gráfica, esta representación hace visible las características de un triángulo isósceles: dos lados iguales y dos ángulos iguales (lo que antes estaba implícito en la expresión “triángulo isósceles”). Esta posibilidad de visualizar las relaciones aporta nueva información sobre la situación, y por así decirlo, amplía el campo de sentidos y significados de la misma. Ahora el contenido de la representación, en un formato gráfico, permite una visión estructural de la situación, y por ende, una imagen mental de la misma más completa. Nuevos sentidos, y por ende comprensiones, se hacen visibles, y por tanto, nuevas herramientas emergen para hallar la solución al problema propuesto. Finalmente, la representación algebraica permite expresar en ecuaciones, lo que antes era verbal o gráfico. La ecuación muestra de manera simbólica, lo que en un momento fue icónico o verbal. Son las mismas relaciones antes identificadas (tanto en el enunciado verbal, como en el gráfico), pero ahora estas se expresan en un conjunto de ecuaciones, que por su carácter algebraico, permiten un tratamiento por medio de cálculos algorítmicos, pero con otros niveles de generabilidad propios del álgebra (o incluso de la aritmética).

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

En síntesis, lo que viaja de una representación a otra son las relaciones entres los conceptos, y en este sentido no se trata de una simple transformación de palabras que vuelven ecuaciones. Se trata de relaciones estructurales que se construyen y reconstruyen, que van de una representación a otra, cada vez que se realiza la actividad de conversión.

Estructuras aditivas: enunciados verbales que se hacen ecuaciones En la unidad 4 del módulo Nro 1 (Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos) se hizo una presentación detallada de las estructuras aditivas, pero allí el análisis se centró en las propiedades aritméticas (con respecto a los números y las operaciones adición y sustracción) que se movilizaban. Ahora se retomará este concepto, pero el énfasis se tendrá en el proceso de conversión de un enunciado verbal a otras formas de representación, fundamentalmente las de tipo simbólico algebraico (en última instancia, solucionar un problema de suma es ante todo resolver una ecuación, así esta no se plantee de forma explícita y sus procesos de solución se desarrollen de manera intuitiva). Para ello es pertinente recordar algunas ideas básicas. Según Vergnaud, las estructuras aditivas están conformadas por: el conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adiciones o sustracciones, y el conjunto de los conceptos y teoremas que permiten analizar esas situaciones como tareas matemáticas. Son de esta forma constitutivos de las estructuras aditivas los conceptos de cardinal y de medida, de transformación temporal por aumentos o disminución (perder o ganar dinero), de relación de comparación cuantificada (tener 3 dulces o 3 años más que), de composición binaria de medidas, (¿cuánto en total?), de composición de transformaciones y de relaciones, de operación unitaria, de inversión, de número natural y de número relativo, de abscisa, de desplazamiento orientado y cuantificado, …(Vergnaud, 1990, p 96 y 97).

Cualquiera que sea la situación aditiva a la que uno se vea enfrentado, estas obedecen a relaciones ternarias que pueden ser modeladas a través de uno de seis esquemas elementales, o a una combinación de estos (para una discusión detallada de estos seis esquemas elementales puede consultarse el texto “Las matemáticas, el niño y la realidad” de Gerard Vergnaud). Los tres primeros esquemas elementales son: 1. Dos medidas se componen para dar lugar a una tercera. Se trata de dos cantidades A y B que se unen para dar lugar a una tercera cantidad C. En esta categoría solo se presentan problemas de suma15, pues las cantidades A, B y C _____________________________________________________ 15

Es importante resaltar la diferencia que se establece entre la ecuación del problema, es decir la expresión matemática que representa la relación lógica entre los datos del problema, y la solución del mismo, la cual no siempre coinciden. Por ejemplo, en el problema “Pedro tiene 5 galletas en una mano, y las junta con las que tiene en el bolsillo. Completa en total 8 galletas. ¿Cuántas galletas tenía en el bolsillo?. Nótese como la ecuación del problema, es decir el que representa su estructura es: 5+x=8, aunque su solución se realice a través de la resta x=8-5. Este es un problema de suma, pues esa es su estructura, a pesar de que se soluciona con una resta. En otras palabras, el problema es de suma o de resta según su estructura, y no según la operación que lo soluciona. Esta aclaración es válida para las demás categorías.

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siempre son positivas. Un ejemplo de este tipo de problema puede ser: “Juan tiene cinco galletas en un plato, y en otro tiene 3. ¿Cuántos galletas tiene entre los dos platos?”. 2. Una transformación opera sobre una medida para dar lugar a una medida. En este caso se tiene una cantidad inicial (estado inicial), cantidad A, la cual sufre una transformación a través del tiempo debido a la acción de un operador, cantidad B, para producir una cantidad final (estado final), cantidad C. La cantidad A siempre es positiva y la cantidad C siempre mayor o igual a cero. Pero la cantidad B, dependiendo del efecto que realice sobre la cantidad A, puede ser negativa (si la hace disminuir) o positiva (si la hace aumentar). 3. Una relación une dos medidas. Este tipo se situaciones se presentan cuando se deben comparar dos cantidades, bien sea para establecer su diferencia (cuanto más tiene la mayor, o cuanto menos tiene la menor), o para igualarlas (agregar a la menor para igualar a la mayor, o quitar a la mayor para igualar a la menor). La comprensión de los diferentes tipos de problemas aditivos pasa por diferentes tipos de análisis, a partir de los cuales se pueden construir y reconstruir diversas representaciones del problema, las cuales, como se mostró anteriormente, en su conjunto, permiten visualizar la totalidad de relaciones necesarias para una completa visualización de la estructura matemática subyacente en la situación. Para el caso de las situaciones aditivas, si se toma como punto de partida los enunciados verbales (representaciones verbales), lo fundamental es poder determinar como se relacionan lógicamente las cantidades (o magnitudes) involucradas, sin descartar que aspectos lingüísticos y gramaticales (propios de la enunciación verbal o escrita) influyan en la complejidad del enunciado verbal. Dicho de otra forma, sin descartar los aspectos propiamente lingüísticos de un enunciado verbal, lo fundamental de la comprensión de una situación aditiva se centra en la comprensión de las relaciones matemáticas entre las magnitudes involucradas en la situación. Esto hace que los análisis que se presentan a continuación estén centrados en los aspectos estructurales que, en las diferentes representaciones, permiten la aprehención de las relaciones lógicas entre las magnitudes. Un primer análisis representacional: de las relaciones lógicas entre las cantidades en el enunciado verbal a una representación gráfica. Los tres tipos de problemas aditivos antes descritos tienen una primera relación en común: relacionan tres cantidades16 , pero a pesar de las similitudes, la estructura lógica de la relación entre dichas cantidades no es igual. _____________________________________________________ 16

Estas cantidades se expresan en números, y dependiendo del sistema numérico al que se refieran (números naturales, racionales, reales), el nivel de dificultad de la situación puede aumentar o disminuir, pero sin que se afecte la estructura misma de la situación. En este caso, este tipo de variables de las situaciones no se consideran estructurales pues el usar números de un tipo u otro no genera cambios profundos en la estructura matemática del problema, sino cambios superficiales, la mayoría de los casos unidos a las técnicas y procedimientos para efectuar las operaciones requeridas. Dicho de otra forma, si en una situación de transformación o de composición, se cambia de números naturales a números racionales, la estructura misma de cada una de ellas permanece intacta, pero si cambian las técnicas de cálculos necesarias en el proceso de hallar una respuesta.

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

En el caso de las situaciones de composición, las tres cantidades se relacionan a partir de un esquema básico parte-parte-todo, pues las acciones descritas en la situación muestran dos cantidades (presentes de manera simultánea en el mismo tiempo y espacio) que se juntan (las partes) para formar una tercera cantidad (el todo). Sean A, B y C las tres cantidades presentes en una situación de este tipo. Con las consideraciones anteriores, la relación entre las tres cantidades del problema del ejemplo dado anteriormente se puede representar como sigue:

Cantidad de galletas en una de las partes

Cantidad de galletas en la otra parte.

Figura 4

O también, la cual incluso deja ver mejor la relación parte-parte-todo:

Cantidad de galletas en una de las partes

Cantidad de galletas en la otra parte

Figura 5

Sin embargo cuando la cantidad desconocida es una de la partes, la representación puede ser un poco más compleja, o por lo menos tendría dos etapas ya que se conoce el todo y una de las partes. Por ejemplo, si el enunciado del ejemplo inicial se rescribiera de la siguiente forma: “Juan tiene ocho galletas en total, y sabe que en un plato tiene 3. ¿Cuántos galletas tiene en el otro plato?”. La primera fase de la representación es partir del todo:

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Cantidad de galletas que tiene Juan

Figura 6

Para luego, identificar en el todo, una de las partes:

Cantidad de galletas en la otra parte

Cantidad de galletas en una de las partes Figura 7

Por supuesto que este tipo de representaciones icónicas son muy ineficientes, por tiempo y espacio, y por lo tanto se hace pertinente disponer de otras formas de representación más sintéticas, y por consiguientes más potentes, por ejemplo:

A C B Figura 8

Para el caso de las situaciones de transformación, el esquema fundamental se puede describir como cantidad inicial – operador (que hace aumentar o disminuir) – cantidad final, en tanto que media una sucesión temporal de acciones que determinan como una cierta cantidad es afectada a través de una acción –que la hace aumentar o disminuir,

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

para generar una cantidad final (que puede ser mayor o menor que la cantidad inicial según el sentido de la transformación)17. Nótese como las cantidades se hacen presentes en el mismo espacio, pero mediados por el tiempo, esto es, las cantidades van apareciendo en la medida que se suceden una serie de eventos (a diferencia del esquema anterior en el cual las dos partes están presentes en el mismo tiempo y espacio), de tal forma que se puede afirmar que el acento se tiene en una cantidad a la vez: primero se tiene una cantidad; esta se transforma a partir de una acción: el acento ahora está en el operador; como resultado, se obtiene una cantidad final: el acento se desplaza a la nueva cantidad obtenida. Las representaciones gráficas del tipo icónicas no son muy apropiadas para representar este tipo de situaciones, ya que una hoja de papel permite representar fácilmente el conjunto de acciones a las que se refiere la situación, más no la temporalidad en que dichas acciones se suceden, y por lo tanto, una representación de este tipo de situaciones no se podrían distinguir de las respectivas representaciones de las situaciones de composición. Por lo tanto una representación no icónica puede ser más apropiada, como se muestra a continuación:

B A

C

Figura 9

De acuerdo a este esquema, A representa la cantidad inicial que se transforma en la cantidad final C, gracias a la acción del operador B. Este esquema permite representar cualquier situación de este tipo, independientemente de que el operador haga aumentar o disminuir a la cantidad final (como se verá más adelante, esta acción se verá representada no por un nuevo esquema, sino por el valor positivo o negativo del operador B). Finalmente, las situaciones de comparación plantean un esquema más complejo, que de alguna forma retoma elementos de los dos esquemas precendentes: las acciones descritas en la situación muestran dos cantidades en el mismo espacio y tiempo, pero ahora dichas cantidades no se juntan, ni la una opera para transformar a la otra, sino que ambas cantidades se comparan a partir de una tercera cantidad que sirve de base para la comparación18 (). Así pues, el esquema básico se puede expresar así: Referente – operador(que iguala o establece una diferencia) – Referido. En este caso, las dos cantidades presentes en la situación (sean A y B tales cantidades) sirven la una como referente con respecto a la cual se compara la otra, y esto es independiente de cual de ellas es mayor o menor. Dicho de otra forma, en ciertas situaciones la cantidad mayor es el referente con respecto al cual _____________________________________________________ 17

18

Si se quisiera hacer una analogía entre este esquema y la relación parte todo, habría que analizar por separado la función del operador con respecto a la cantidad inicial. Si el operador hace aumentar la cantidad inicial, entonces, cantidad inicial y operador se corresponderían con las partes, y la cantidad final se correspondería con el todo. Pero si el operador hace disminuir la cantidad inicial, entonces la cantidad inicial se corresponde con el todo, y el operador y la cantidad final se corresponden con las partes. Como puede verse, el esquema parte – parte – todo no es eficiente para analizar este tipo de situaciones. Nótese como esta tercera cantidad tiene existencia sólo en el sentido figurado, conceptualmente hablando, ya no existe físicamente al lado de las otras dos cantidades, sino que se usa hipotéticamente para establecer una diferencia, o una igualación. Esto hace que la relación aditiva que se propone en este tipo de situaciones sea más compleja.

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se compara la menor (el operador expresa la cantidad que se agrega a la menor para igualar a la mayor, o la cantidad de menos que tiene la menor con respecto a la mayor), pero en otras situaciones, la cantidad menor es la que se toma como referente para comparar a la mayor (el operador expresa la cantidad que se quita a la mayor para igualar a la menor, o la cantidad de más que tiene la mayor con respecto a la menor). Como puede verse en el párrafo anterior, las relaciones entre cantidades es significativamente más compleja que en los dos tipos de situaciones anteriores, y por lo tanto la representación gráfica, si bien es más potente si se hace a través de representaciones no icónicas, en ciertos tipos de situaciones una representación icónica puede ser de muy útil para comprender las relaciones entre las cantidades, pero eso si, cuidando de diferenciar entre las dos cantidades que se comparan, y de estas dos con el operador que sirve para establecer la igualación la diferencia. Por ejemplo, en una situación como la siguiente: Pedro tiene cinco galletas, y su hermana tiene ocho. ¿cuántas galletas de más tiene la hermana de Pedro? Se pueden tener representaciones icónicas como las siguientes: Cantidad de galletas que tiene Pedro

Cantidad de galletas de la hermana de Pedro.

Figura 10

A partir de la cual se puede se llegar con facilidad a otra como el siguiente: Cantidad de galletas que tiene Pedro

Cantidad de galletas de la hermana de Pedro.

Figura 11

En donde se puede ver con claridad que las tres galletas de la parte inferior se corresponden con la cantidad de más que tiene la hermana de Pedro (o incluso, las que se deben quitar para igualar la cantidad de galletas de Pedro, o las de menos que tiene Pedro, etc.)

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Por supuesto, al igual que en casos anteriores, las representaciones icónicas presentan dificultades de eficiencia por tiempo y espacio, además de no ser generalizables a cualquier situación de este tipo, entonces se debe recurrir a representaciones más genéricas, es decir las no icónicas, que tengan por supuesto, mayor capacidad de generalización. Un esquema de estas características puede ser:

B C

A

Figura 12

En este esquema se han hecho consideraciones como las siguientes. Dado que cualquiera de las dos cantidades presentes en la situación puede servir de referente para la otra, pero siempre una cantidad es mayor o igual que la otra, entonces se puede asumir, sin perdida de generalidad, que las cantidades A y C guardan la relación A ≤ C, independientemente de cual sea referente para la otra (esto, entre otras cosas, por que la relación mayor – menor es visible de forma más explícita que la relación de referente – referido). La tercera cantidad, en este caso, el operador que sirve de parámetro para comparar las cantidades A y C, será representado por la letra B, y puede ser positivo o negativo según el tipo de comparación que debe expresar: positivo, si se agrega a la menor para igualar a la mayor, o si expresa la cantidad de unidades de más que tiene la mayor con respecto a la menor; negativo en los casos contrarios, esto es, si se quita a la mayor para igualar a la menor, o si expresa la cantidad de unidades de menos que tiene la menor con respecto a la mayor). Es importante resaltar antes de terminar esta sección, que si bien se ha mostrado la importancia de las representaciones gráficas, vale la pena destacar su baja capacidad de generalización, y sobre todo la necesidad de utilizarlas apropiadamente. Por ejemplo, representaciones como las siguientes son altamente inconvenientes, en tanto se utilizan de forma inapropiada los signos + e =.

Cantidad de galletas en una de las partes

Cantidad de galletas en la otra parte.

Cantidad total de galletas

Figura 13

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En las discusiones precedentes se ha analizado como cada tipo de situación ha dejado deliberadamente una pregunta esencial, la cual, entre otras cosas, es la que permite reconocer que este tipo de situaciones se pueden representar en algún registro: ¿Qué es lo que en el enunciado verbal permite identificar la relación entre las cantidades? Por ejemplo, en situaciones como las siguientes: • Ejemplo 1: A Pedro le quedan cinco confites, después de haberse comido unos cuantos. Se le ha olvidado cuántos se comió, pero recuerda que al inicio tenía 12. ¿Cuántos confites se comió Pedro? • Ejemplo 2: En un corral hay cinco gallinas y tres marranos ¿Cuántos animales hay? • Ejemplo 3: En un salón de clase hay 36 alumnos entre hombres y mujeres. Se sabe que la cantidad de mujeres excede en 10 al total de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en dicho grupo? Cómo saber el tipo de representación gráfica que se debe construir, a partir del análisis de las expresiones verbales? La respuesta a este interrogante no es única ni aplicable tal cual a la totalidad de este tipo de situaciones aditivas, pero algunas ideas ayudarán a construir acercamientos al respecto, y con cierto nivel de precisión, se pueden hacer variaciones para situaciones no tan típicas. En primer lugar, se pueden identificar, en el enunciado verbal, un conjunto de expresiones verbales que hacen referencia a la organización espacio-temporal de las tres cantidades involucradas en la situación19, acompañadas de otras expresiones que identifican las acciones que se debe hacer con dichas cantidades. Estas expresiones pueden ser: • Expresiones que identifican a dos cantidades presentes es un mismo espacio –en un corral se tienen…, en un salón de clase hay…, en un plato… y en otro…, en una caja… y en otra…, etc., y verbos que identifican la acción de combinar esas cantidades – juntar, unir, reunir, mezclar, acumular, fusionar, etc. En estos casos se trata de situaciones de combinación, y lo fundamental del análisis relacional propuesto es determinar cuales son las dos cantidades sobre las cuáles se ejerce la acción combinación con el fin de producir la cantidad total. • Expresiones que indican, una sucesión temporal de acciones –después, antes, ahora, en la mañana, en la tarde, etc., y verbos que identifican una acción transformadora que sucede en el tiempo –comer, regalar, perder, ganar, dañar, entregar, etc. En estos casos se trata de situaciones de transformación, y lo fundamental del análisis relacional propuesto es determinar cual es la cantidad inicial sobre la cual se ejerce la acción transformadora (haciéndola disminuir o aumentar) con el fin de producir la cantidad final. _____________________________________________________ 19

Nótese que identificar el valor de las cantidades no es tan importante como identificar la forma como ellas se relacionan, ya que no es valor de las cantidades lo que ayuda a determinar la estructura de la situación, sino la relación lógico-matemática existente entre ellas

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

• Expresiones que identifican que dos cantidades deben ser comparadas: cuántos más, cuántos menos, agregarle (sumar, aumentar, añadir, unir, juntar, etc.) a … para que …, quitarle (tomar, eliminar, perder, anular, separar, extraer, etc.) a … para que … En estos casos se trata de situaciones de comparación, y lo fundamental del análisis relacional propuesto es determinar cuales son las cantidades que se comparan, y sobre todo, cual de ellas es el referente con respecto al cual se compara la otra. A partir de análisis como los expuestos anteriormente se pueden realizar representaciones gráficas (como se enunció antes) que expresan las relaciones lógicas entre las cantidades involucradas en la situación. Un segundo análisis representacional: de las relaciones lógicas entre las cantidades en el enunciado verbal y la representación gráfica, a la representación simbólica. Nótese que la importancia de las formas gramaticales anteriormente descritas radica no solo en que permiten la construcción de una representación gráfica de la forma como se relacionan las cantidades, y por ende el tipo de estructura de la situación, sino además, en que a partir de dichos análisis de relaciones se pueden construir representaciones simbólicas, las cuales ponen en manos de los alumnos nuevas formas de expresión y la capacidad de realizar procesos más complejos basados en la naturaleza operatoria de las expresiones simbólicas. Se trata pues de pasar de las representaciones verbales y gráficas (icónicas o no) a las representaciones a través de ecuaciones. En primer lugar, y regresando a los tres tipos de situaciones antes descritos, se tiene que en todas ellas existen tres cantidades. Para tener una referencia a ella de forma general, se pueden llamar A, B y C a dichas cantidades: • En la situaciones de combinación, bajo el supuesto de que las letras A y B representan las cantidades que se encuentran en el mismo espacio, y sobre las cuales se ejerce la acción de combinación para producir la cantidad C, entonces A, B y C se relacionan a partir de la expresión A + B = C. • En las situaciones de transformación, la letra A se identifica con la cantidad inicial, B con la cantidad que hace aumentar o disminuir a la cantidad A (la que hace que A se transforme), y C la cantidad que se obtiene después de la transformación de A. Por lo tanto, las cantidades A, B y C se relacionan a partir de la expresión A + B = C o A – B = C, dependiendo del tipo de acción del operador B sobre la cantidad A (el primer caso, cuando A se aumenta por la acción de B, mientras que el segundo, cuando A se disminuye por la acción de B). • Finalmente, en la situaciones de comparación, tomando como punto de partida de que las cantidades a ser comparadas son A y C, que A < C, y que por tanto B es el parámetro que permite la comparación entre A y C, entonces: „

„

si se trata de agregar a la menor para igualar a la mayor, o de expresar las unidades de más que tiene la mayor con respecto a la menor, se relacionan a partir de la expresión A + B = C. si se trata de quitar a la mayor para igualar a la menor, o de determinar cuántas unidades de menos tiene la menor con respecto a la mayor se relacionan a partir de la expresión A= C – B.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

En segundo lugar, no basta con lo anterior para saber qué operación se debe realizar en la solución del problema, esto es, se debe centrar la mirada en un nuevo elemento: de las tres cantidades involucradas en la situación (A, B ó C), cuál de ellas es la cantidad desconocida. De esta forma, se tienen diferentes tipos de ecuaciones según el tipo de situación: • Situaciones de combinación: A + B = X ó A + X = C, dependiendo si la incógnita es una de las partes, o es el todo. En el primer caso, la suma de las dos cantidades conocidas permite solucionar el problema, mientras que el segundo, las dos cantidades conocidas se deben restar para hallar el valor de la incógnita. • Situaciones de transformación: A + B = X ó A + X = C ó X + B = C En el primer caso, la suma de las dos cantidades conocidas permite solucionar el problema, mientras que en el segundo y tercero, las resta de las dos cantidades conocidas permite hallar el valor de la incógnita. De forma similar para el caso en que la situación es de disminución: A – B = X ó A – X = C ó X – B = C, pero ahora, el primer y segundo caso se solucionan con la resta de las dos cantidades conocidas, mientras que el tercero con la suma. • Situaciones de comparación: se tienen los mismos casos que para las situaciones de transformación. Es necesario resaltar un hecho importante en las descripciones anteriores: no siempre la operación que determina la estructura de la situación, es la que permite la solución del problema propuesto. Por lo tanto, lo que permite definir el tipo de operación que se debe realizar no es la expresión verbal que identifica la estructura, sino la ecuación asociada a la estructura, la cual permite dar un lugar preciso a la cantidad desconocida. Así pues, las expresiones verbales que permiten identificar la estructura del problema son fundamentales en la comprensión del texto, no porque se les pueda asociar de manera unívoca una operación que solucione el problema, sino por que permiten identificar una estructura asociada a la operación, y una vez, identificada dicha estructura, a lado del reconocimiento del lugar de la incógnita en dicha estructura (la ecuación propiamente dicha), entonces se puede determinar el conjunto de operaciones que se deben realizar para solucionar el problema propuesto en la situación. Dicho de otra forma, identificar expresiones como ganar, perder, juntar, cuántos más, cuántos menos, cuánto se le deben quitar a…, cuántos le hacen falta para…, etc., son claves en el proceso de comprensión del problema, pero no por qué a cada palabra se le pueda asociar de manera inequívoca una operación (si dice le regalar, entonces se debe sumar, o si dice perder, entonces se debe restar, etc.), ya que estas expresiones solo permiten determinar la estructura de la situación, lo cual, junto con la identificación del lugar del término desconocido en la estructura, si permite tomar decisiones en términos de las operaciones que se debe realizar. Las situaciones en las que la operación que identifica la estructura no coincide con las operaciones que solucionan el problema son más complejas, y por tanto exigen razonamientos más organizados y estructurados en los estudiantes, entre otras cosas, por que el cambio de operación, si bien desde el punto de vista de la transformación algebraica es un procedimiento muy sencillo, desde el punto de vista de las acciones propias involucradas en la situación, generalmente implican el reconocimiento de transformaciones inversas que anulan la acción originalmente propuesta en la situación inicial.

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

Así, en el caso del ejemplo 1, la ecuación de la situación es: 12 – X = 5, cuya solución es 12 – 5 = X. Desde el punto de vista algebraico, la transformación es fácil de mostrar: 12 – X = 5 ⇔ 12 – X + X = 5 + X ⇔ 12 = 5 + X ⇔ 12 + (–5) = 5 + X + (–5) ⇔ 12 – 5 = X. Sin embargo relacionar la resta 12 – 5 con al situación inicial, que también forma parte de la comprensión del problema, implica visualizar que como 5 es el resultado de quitar a 12 una cantidad desconocida, entonces la suma de 5 y la cantidad desconocida debe ser igual a 12, y que por tanto, 5 y la cantidad desconocida son las partes que componen a 12, lo que implicaría que la resta de 12 y 5 debería dar como valor la cantidad desconocida. Obsérvese la similitud entre este razonamiento intuitivo y el proceso algebraico realizado antes.

•SITUACIÓN No. 1: TRANSFORMANDO ENUNCIADOS VERBALES

Actividad 1: Analizando problemas Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador Qué hacer? Para cada uno de los problemas dados: • Realice una representación gráfica que identifique la estructura del problema (combinación, transformación, comparación, o incluso, otra diferente). • Identifique diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. • Igualmente identifique, en cada grupo, cuál es la cantidad desconocida, y la relación con las cantidades conocidas. A cada problema, escríbale la ecuación que propone el enunciado y la que lo soluciona. Dónde no coincidan, por que no coinciden?. • Para cada problema, enuncie otros dos del mismo tipo, cambiando el tipo de ecuación de la situación • Indique los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. • ¿Los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Proponga un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no le parezcan suficientemente claros para los estudiantes. Problemas 1. Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limón, los otros de fresa. ¿Cuántos tiene de fresa?

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2. Juan tenía algunos caramelos y le regaló tres a su hermana. Si le quedan diez, cuántos caramelos tenía al principio? 3. En una carrera, Laura llegó de octava, 3 puestos antes que Beatriz. ¿En qué puesto llegó Beatriz?. 4. Pedro gana 5 bolas de cristal por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿cuántas ha ganado o perdido en total?. 5. Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tiene un caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan? 6. Patricia mide 15 cm más que su hermano Pedro y 5 cm. menos que su hermano Juan. ¿qué diferencia entre la altura de Pedro y Juan? 7. Para hacer un collar Miriam emplea 25 perlas rojas, 30 perlas azules y 45 perlas verdes. Calcula el número de perlas que tiene el collar. 8. Escribe con números y símbolo matemáticos: tres mil doscientos más cuatro mil ochocientos es igual a cuatro mil ochocientos más tres mil doscientos. 9. Un tren sale de Acevedo con 480 pasajeros. En Alpujarra bajan 35 y suben 46. ¿Cuántos viajeros quedan ahora en el tren?

Actividad 2: Sobre el significado de las operaciones Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador. Qué hacer PARA LA ADICIÓN • Escriba un problema que se resuelva mediante la adición: 23 + 15. • Compare su problema con los enunciados a continuación: a. Camilo tiene 23 láminas nacionales y 15 extranjeras. ¿Cuántas láminas tiene en total? b. Camilo tiene 23 láminas en su colección, compra 15 más, ¿cuántas láminas tiene ahora? c. Camilo tiene 23 láminas, su hermano tiene 15 estampillas más. ¿Cuántas láminas tiene el hermano de Camilo? d. Camilo le regala 15 láminas a su hermano y aún le quedan 23. ¿cuántas láminas tenía Camilo? e. Camilo regaló 15 láminas que tenía. Compró un paquete y ahora tiene 23 láminas más que antes de regalar las 15.¿Cuántas láminas tiene el paquete que compró? • El problema que plantearon, ¿a cuál de estos se parece?. Discuta las diferencias que presentan los enunciados de los cinco problemas anteriores y acuerden respuestas para las siguientes preguntas: • ¿Encuentra diferentes significados para la adición en cada uno de los problemas planteados? • ¿Cómo explicaría cada uno de esos significados?

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

• Las acciones de: Reunir, Agregar, Comparar y Completar (sustracción complementaria) ¿podrían calificar los diferentes significados de la adición en los problemas expuestos? • ¿Cuáles son los significados más usuales en el abordaje de la adición con los alumnos? • ¿Considera que algunos de los significados de la adición en estos problemas presentan mayor dificultad al ser abordados por los niños? • ¿Encuentra situaciones de la cotidianidad de donde surja este tipo de problemas? • ¿Es posible clasificarlos en alguna de las relaciones aditivas propuestas por Vergnaud? Cuál?.

Actividad 3: Sobre las estructuras aditivas Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador Qué hacer Analice en los siguientes problemas, el esquema aditivo correspondiente, las ecuaciones del problema y las ecuaciones de la solución. Además resuélvalos, utilizando para ello diversas estrategias de cálculo. 1. Había 5 personas en el salón, luego llegaron 13. Cuántas hay ahora? 2. Un vendedor sale de su casa con $ 4000, al regreso tiene $13500. Cuánto dinero recogió durante el día? 3. Maicol acaba de comprar 17 caramelos, ahora tiene 32 caramelos. Cuántos tenía antes de hacer la compra? 4. Leidy tenía $700 pesos y le regaló $250 a su hermano. Cuánto dinero tiene ahora? 5. Pablo acaba de jugar a las canicas. Tenía 41 canicas antes de jugar. Ahora tiene 29 canicas cuántas perdió? 6. El Martes, Ana tenía $6750 . Durante los dos últimos días se había gastado $2350. Cuánto dinero tenía el domingo 7. Juan es tres años mayor que Pedro. Si Pedro tiene 17; cuántos tiene Juan? 8. En la escuela se hizo una competencia por grupos, para recolectar dinero, así 3ºA recolectó $34000 y 3ºB recolectó $41250. Cuánto de más recolectó 3ºB. 9. Juan mide 1,55m y María mide 5cm menos que éste. Cuánto mide María. 10. Alicia tiene 15 caramelos y su hermano tiene 13. Cuántos le faltan al hermano para tener los que tiene Alicia. 11. Carlos tiene 29 fichas para un juego y su amigo Marco tiene 14. Cuántas debe perder Carlos para tener las mismas que su amigo? 12. Teresa es menor 8 años que su novio, quien tiene 28 años, cuántos tiene Teresa? 13. En el empaque A hay 18 colombinas, y en el B hay 12. Cuántas se le deben sacar al empaque A para que haya las mismas que en el empaque B?

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14. En mi mano derecha tengo 8 caramelos y en la izquierda tengo 12. Cuántos caramelos menos tengo en la derecha? 15. Ana tiene $17000 y para tener los mismos que su hermana le faltan $3500. Cuánto dinero tiene su hermana? 16. Elena mide 1,64m y esto es 0,4m menos de lo que mide Lida. Cuánto mide Lida? 17. Del grupo 11ºB 14 estudiantes se retiraron, quedando los mismos que en 11ºC que son 28. Cuántos eran en 11ºB? 18. Del grupo 11ºB que tiene 28 estudiantes, los que ven el canal Caracol son 6 más que los que ven RCN. Cuántos ven RCN? En el siguiente conjunto de situaciones, se trata de buscar soluciones, a partir de las ideas estudiadas anteriormente, es decir, identificando no solo las cantidades, sino el tipo de relación entre ellas. Donde sea posible o necesario, ayudarse con las representaciones gráficas, de tal forma que se puedan hacer explícitas nuevas relaciones. En el proceso de establecer las cantidades y sus relaciones, se debe igualmente identificar la o las desconocidas, es decir, las incógnitas, y sobre todo, la forma como esta o estas cantidades desconocidas se relaciona con las cantidades y relaciones conocidas. Por ejemplo, en la siguiente situación: Un hombre recibe una aumento del 5% de su salario, el cual equivale a $40.000. ¿Cuál era el salario original? ¿Cuál es su actual salario? Se tiene que el problema presenta cuatro cantidades, dos conocidas y dos desconocidas: • Las desconocidas: el salario anterior (el cual se puede representar por A) y el salario actual de la persona (el cual se puede representar por B). • Las conocidas: %5 y $40.000. Ahora bien, ¿cómo se relacionan las cantidades conocidas entre si, y éstas con las desconocidas? En primer lugar, 40.000 es el aumento del salario, y el 5% expresa una relación entre la cantidad desconocida A, y el valor $40.000. ¿Pero que significa que una cantidad sea el 5% de otra cantidad? Esta es la relación escondida, implícita en el enunciado20 . Una representación gráfica como la siguiente (aunque no es la única que se puede hacer) puede ayudar a la interpretación, y por supuesto, a la solución:

_____________________________________________________ 20

Por lo general estas relaciones escondidas son las principales fuentes de dificultad en la solución de un problema determinado.

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

El rectángulo representa el valor total del salario antes del aumento. 5% significa que el salario se distribuye en 100 partes iguales, cada una de las cuales es el 1%. Por lo tanto, el 5% será 5 veces esa cantidad, es decir, 5/100 , o lo que es lo mismo, 1/20 Así pues, el salario total se divide en 20 partes iguales, cada una ellas equivalente a $40.000 Luego, ya se puede calcular el valor total del salario antes del aumento. 20×$40.000=$800.000

La representación simbólica permite realizar procesos algorítmicos más potentes, y hace que el proceso de solución sea más económico, pero es claro, que sin una comprensión como la anterior, sería un proceso algorítmico sin sentido: Una vez recuperado el sentido de lo que significa el 5% de algo, y comprendido que esa cantidad relaciona una de las cantidades desconocidas con la otra cantidad conocida, $40.0000, entonces es puede proponer un razonamiento como el siguiente: Se puede representar por la letra A al valor desconocido del salario antes del aumento. 5% de dicho valor, significa 5/100 de la cantidad A, esto es, 5/100 x A lo cual es equivalente a 1/20 x A Pero ese 5% de A equivale a $40.000, por lo tanto, 1/ x A = 40 de lo cual se desprende que 20 1/ x A = 40 ⇔ 20 x 1/ x A = 20 x $40.000 ⇔ A= $800.000 20 20 Al igual que los casos estudiados antes, se debe desatacar la similitud entre los pasos del proceso algebraico, y los pasos del proceso aritmético desarrollado a partir de la representación gráfica anterior. Esto permite reafirmar la importancia de la interrelación entre las representaciones algebraicas (y los procesos derivados de este tipo de representaciones), y de otros tipos de representaciones, gráficas y aritméticas (y por supuesto, de los procesos propios de este tipo de representaciones), de tal forma que los procesos algebraicos no sean vistos como operaciones algebraicas carentes de significado, sino por el contrario, operaciones que se hacen por que tienen algún nivel de relación con la operación que se pretende realizar. Encontrar el salario actual es ahora un poco más fácil: de un lado, se debe reconocer otra relación escondida, pero con carácter más intuitivo que la que expresa el 5% del salario anterior: Se trata de la relación entre el salario actual y el anterior (la otra cantidad desconocida): Si B representa el salario actual de la persona, entonces dicho salario debe ser igual al salario anterior, más el aumento respectivo. La gráfica podría ser algo así:

Salario actual: $800.000+$40.000=$840.000

Aumento: $40.000

Salario anterior: $800.000

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Nótese que en la gráfica anterior el salario anterior se dividió en 20 partes, y que el aumento se corresponde con una de esas partes (pues el aumento es el 5% del salario total). Por lo tanto, el nuevo salario es el total anterior ($800.000) al cual se le agrega el 5%, es decir, $40.000. Así pues, el nuevo salario es: $840.000. En términos de ecuaciones se tendría: B = A + $40.000 ⇔ B= $800.000 + $40.000 ⇔ B= $840.000 Siguiendo procedimientos similares a los anteriores, y en lo ideal, buscando diferentes formas de representación y diferentes procesos de solución, por cada una de las situaciones, encuentre la solución a los problemas propuestos a continuación: 1. En un triángulo ABC, el ángulo B es cinco veces mayor que el ángulo A. El ángulo C 2º menor que el ángulo A21 . ¿Cuáles son las medidas de los tres ángulos de dicho triángulo? 2. El perímetro de un rectángulo es de 322 m. ¿Si se sabe que el ancho del mismo tiene 25 m menos que el largo, cuánto miden los lados de dicho rectángulo? 3. Luego de un aumento del 2% en la población de una ciudad, la población total es de 826.000 habitantes. ¿Cuál era la población original de la población? 4. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho. El perímetro del dicho rectángulo es 39m. ¿Cuál es el área de dicho rectángulo? 5. Se va a fabricar una caja abierta con una trozo de cartón de forma rectangular., para ello se cortan, de las esquinas del trozo de cartón, unos cuadrados, como se y luego se doblan las pestañas (ver figura 1.) y se pegan formando la caja. El área de la base. El área de la base es de 96 cm2. ¿Cuál es la altura de la caja?

Doblar por aquí.

Base de la caja

Figura 14

_____________________________________________________ 21

Para este problema, recuerde que la suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de 180º.

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El paso de enunciados verbales a ecuaciones

6. En una escalera está recostada en un pared. La parte inferior de la escalera se encuentra a 6 metros de la base de la pared. Se sabe que el extremo superior, tiene una separación de la base de la pared de 2 metros adicionales. ¿Cuál es la longitud de la escalera?. 7. Una escalera de 10 metros de longitud se encuentra recostada contra una pared. La parte inferior de dicha escalera se encuentra a 6 metros de la base de la pared. Si la escalera se resbala y se separa 3 metros más, a qué distancia del piso estará ahora la parte superior de la escalera? • ESTÁNDARES RELACIONADOS Pensamiento Numérico 1-3

Resolver y formular problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones

4-5

Resolver y formular problemas aditivos de composición, transformación, comparación e igualación

Pensamiento Variacional 4-5

Construir ecuaciones e inecuaciones aritméticas como representación de las relaciones entre datos numéricos.

8-9

Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada

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Unidad No.3

La proporcionalidad directa e inversa a partir de la modelación de situaciones de variación Gilberto de Jesús Obando Zapata Olga Emilia Botero Hernández

Introducción La importancia de la proporcionalidad en los procesos escolares es ampliamente reconocida. No solo es la base para el desarrollo de conceptos centrales en las matemáticas, sino que el tratamiento de la misma es la base para otras ciencias, y sobre todo, para enfrentar muchas de las situaciones que se presentan en la vida diaria. Con respecto a las matemáticas, al estar en la base de los procesos y procedimientos propios de las estructuras multiplicativas, se ha llegado a plantear que son la piedra angular de las matemáticas superiores, y la cúspide del desarrollo de las matemáticas elementales (Lesh y otros, 1988). En este sentido, la proporcionalidad se asume como un concepto altamente estructurante que, a partir del estudio de los procesos de variación y cambio, permiten conceptualizar aspectos relativos a lo numérico y lo variacional: dado que a través del estudio de situaciones que impliquen la proporcionalidad se ponen en correlación dos o más variables, entonces se conceptualiza la proporcionalidad tanto en relación con la aritmética, como en relación con el concepto de función. Con respecto a otras ciencias, como por ejemplo en la física o en la química, los conceptos y procedimientos propios de la proporcionalidad se ponen en la base de la comprensión de la mayoría de los conceptos de dichas ciencias. En particular, la proporcionalidad directa es la base para la comprensión de conceptos básicos en física como velocidad y aceleración, o en la química, de conceptos relativos a las concentraciones o al balanceo de ecuaciones. En general, los conceptos de éste tipo de ciencias, en tanto que se basan en la correlación entre dos o más magnitudes, están en estrecha relación, no solo con la proporcionalidad directa, sino en general, con otros tipos de variaciones, e incluso aquellas que no son lineales. En la vida diaria, son muy comunes las situaciones cuya matematización se hace a través del concepto proporcionalidad, fundamentalmente la directa: la lectura e interpretación de mapas y maquetas a escala, los cálculos al comprar para determinar el producto más económico, el comportamiento de las cuentas de cobro de los servicios públicos, etc. Aunque se reconoce que los procesos ligados a la proporcionalidad directa son comunes en la vida diaria, también se debe resaltar que los fenómenos y situaciones que implican variaciones no lineales son de alta frecuencia: el comportamiento de los intereses en un

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préstamo bancario o una cuenta de ahorros que se liquida diariamente, el crecimiento de plantas y personas, la expansión del sonido en el aire, etc. Así pues, no solo la proporcionalidad directa es importante, y por ende de las variaciones lineales positivas, sino que, en general, una comprensión del sentido y significado de otras formas de variación, son fundamentales para una relación más armónica con los demás y con el medio que nos rodea. Como se mostró en el módulo 1 (Pensamiento numérico y sistemas numéricos), los procesos de enseñanza que actualmente se tienen en la escuela para la enseñanza de la proporcionalidad, hacen que su conceptualización sea muy restringida, ya que este eje conceptual es estudiado al margen de la multiplicación y es limitado a solo dos tipos de proporcionalidad (directa e inversa). Lo anterior en tanto la multiplicación se conceptualiza únicamente como una relación ternaria (forma abreviada de expresar una suma de sumandos iguales), mientras que la proporcionalidad (bien sea directa o inversa), se reduce al estudio de la regla de tres (directa o inversa, respectivamente). De esta forma se argumentó que este tipo de procesos escolares son fuente de muchas dificultades en la comprensión que los alumnos pueden lograr de ambos ejes conceptuales. En contraste a esta forma de comprender la multiplicación y proporcionalidad directa, en dicho documento se mostró que tanto la multiplicación como la proporcionalidad directa no son ejes conceptuales diferentes, sino que por el contrario, todas las situaciones típicas de multiplicación son en si mismas situaciones de proporcionalidad directa. Dicho de otra manera, multiplicación y proporcionalidad directa son parte de un mismo eje conceptual, y si se quiere, se podría decir que las situaciones más simples de proporcionalidad directa son las que actualmente identificamos como situaciones típicas de multiplicación y/o división. En este capítulo se retoman las anteriores ideas sobre la proporcionalidad directa, y se amplia el campo de análisis hacia otros tipos de proporcionalidades, al igual que su relación con el concepto de función. Diferentes estudios han mostrado como la proporcionalidad y las funciones tienen relaciones muy cercanas. En particular, las relaciones entre proporcionalidad directa y la función lineal han estado en el centro de interés por mucho tiempo. Autores como Verschaffel y otros (2003, 2005). muestran como el principio de la linealidad en la relación entre dos magnitudes que covarían de acuerdo a una ley de la forma OJO tiene en su base los principios básicos de la proporcionalidad directa, y por lo tanto, en las comprensiones iniciales de la multiplicación y la división. Sin embargo estos autores muestran como los estudiantes tienden a sobregeneralizar las relaciones de linealidad (propias de las situaciones de proporcionalidad directa) a todo tipo de situaciones en las que se correlacionen dos o más variables a partir de algún principio, así este principio de correlación no sea lineal22 . La tendencia de los alumnos a sobregeneralizar el principio de la linealidad muestra claramente un problema serio en su conceptualización, y por ende en lo relativo al razonamiento proporcional mismo.

_____________________________________________________ 22

Una forma evidente de esta tendencia de sobregeneralización se manifiesta en propensión de los alumnos de resolver cualquier problema de proporcionalidad (sin importar si es directa o inversa, o de otro tipo no lineal) utilizando al regla de tres. Dicho de otra forma, la utilización de la regla de tres de forma indiscriminada, incluso en aquellas situaciones no lineales, en donde este principio no tiene aplicación.

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La proporcionalidad directa e inversa...

Entre las causas que se han mostrado para que se de este uso inapropiado de la linealidad se destacan razones asociadas al tratamiento intuitivo de la proporcionalidad en los primeros años de la educación básica23 , y al tratamiento didáctico de las situaciones que implican proporcionalidad directa, que por su importancia y relación con múltiples tópicos de las matemáticas, saturan el trabajo de los alumnos, tanto en el aula de clase como a partir de los textos escolares sin dejar espacio para el estudio de otros tipos de situaciones que no sean lineales. Adicionalmente las investigaciones de estos autores han mostrado que la sobregeneralización de la linealidad disminuye cuando los estudiantes son sometidos a sesiones de trabajo en las que trabajan a partir de diferentes tipos de representaciones y de situaciones, que les permiten identificar las relaciones básicas de la linealidad de otros tipos de relaciones que no son lineales. Así pues, en este capítulo se mostrará como el concepto de proporcionalidad no solo tiene en la multiplicación su punto de inicio, sino que el estudio de las funciones puede ser una base fundamental para el tratamiento de diferentes tipos de proporcionalidades, ya que en la medida que el tratamiento de la proporcionalidad se haga desde la base de la matematización de diferentes fenómenos, entonces ésta y las funciones se consolidan como partes de un mismo proceso. En general es buscará: a. Proponer algunas reflexiones entorno a procesos que permitan potenciar la transformación cualitativa de los razonamientos aditivos a los razonamientos multiplicativos24 , como base para la construcción del razonamiento proporcional. b. Comprender como se establecen las relaciones de continuidad entre los conceptos propios de la proporcionalidad y las relaciones lineales y no lineales, como base para el estudio de diferentes tipos de funciones, y por supuesto, de proporcionalidades.

Multiplicación, razonamiento proporcional y proporcionalidad simple directa Desde una perspectiva Piagetiana, el razonamiento proporcional es indicador de las operaciones formales del pensamiento, e implica el tratamiento consistente de relaciones de covariación entre variables. En este sentido, se tiene como punto de partida los procesos de pensamiento que relacionan dos variables a partir de esquemas de acción, hasta el reconocimientos sistemático de los patrones de variación en una (o varias) de las variables con respecto a los patrones de variación de la (o las) otra (s) variable (s) (Hines y McMahon, citando a Piaget e Inhelder, 1958). Este tipo de análisis los lleva a proponer que el razonamiento proporcional está en estrecha relación con relaciones multiplicativas antes que con relaciones aditivas25 . _____________________________________________________ 23

24

25

Debido de un lado, a que las reglas básicas y elementales que cumplen las situaciones de proporcionalidad directa son objeto de estudio básicamente desde una perspectiva aritmética, sin referencia clara a los principios funcionales que deben cumplir (lo relativo a la linealidad) Para ello se propone el estudio de situaciones que implique análisis de correlaciones simultáneas de varios espacios de medida, y por ende, la construcción del concepto de proporcionalidad (tanto directa como inversa, simple como múltiple). Desde el punto de vista cognitivo, las relaciones aditivas se identifican con el conjunto de procesos que permite el tratamiento secuencial de las variaciones posibles en una determinada clase (seriaciones, comparaciones, etc.) mientras que las relaciones multiplicativas están determinadas por los procesos que permiten el tratamiento simultáneo de la variación de diferentes clases correlacionadas entre sí (clasificación de acuerdo a varios criterios, dependencia funcional entre variables, etc.).

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

De esta manera, el razonamiento proporcional implica una estrecha relación con la comprensión de conceptos fundamentales de las matemáticas en relación con lo que Vergnaud (1983, 1988, 1991, 1993a y 1993b) ha llamado el campo conceptual de las estructuras multiplicativas. Esto es, el razonamiento proporcional tiene sus bases en conceptos tales como: multiplicación, división, razón, proporción, proporcionalidad, función lineal, función n-lineal, etc., (ver módulo 1, Pensamiento numérico y sistemas numéricos, para más detalles). Así pues, dado que el razonamiento proporcional está estrechamente relacionado con aspectos conceptuales claves de la matemática actual, autores como Lesh y otros (1998, 2003) han formulado que el desarrollo del mismo se constituye en la piedra angular del pensamiento matemático avanzado, y la cúspide del desarrollo de los conceptos de la matemática elemental. La situación privilegiada de dicha forma de razonamiento ha hecho que los procesos relativos a su construcción, desde el punto de vista del desarrollo cognitivo (como se estructuran los procesos de razonamiento de las personas en diferentes tipos de contextos y situaciones), y desde el punto de vista de los procesos de aprendizaje (qué factores del desarrollo o de la instrucción favorecen los procesos escolares) sean el centro de innumerables investigaciones. Lesh y otros (1998, 2003) identifican cinco fases en el proceso de construcción de este tipo de razonamientos, algunas de las cuales se pueden identificar con los niveles anteriormente descritos. A saber, Fase 1: El estudiante, ante una situación problema, centra su atención en una parte de la información relevante del problema, es decir, solo considera una variable a la vez, y por lo tanto, su análisis de la situación es parcial. Fase 2: Se identifican las variables del problema, y su correlación, pero esta se establece de manera cualitativa, de tal forma que situaciones que impliquen tratamientos numéricos quedan por fuera del alcance de las posibilidades de solución. Este tipo de análisis son importantes pues dan herramientas de control sobre los procesos cuantitativos propios de la fase siguiente. Fase 3: Esta fase se caracteriza por el uso de estrategias centradas en el reconocimiento de patrones de correlación entre las cantidades, pero desde una perspectiva aditiva, mas que multiplicativa. En esta fase se utilizan reglas que permiten comparar, incrementar, decrecer, o hacer relaciones parte todo. Fase 4: En esta fase se reconocen estructuras y relaciones que coordinan la variación de dos cantidades, fundamentalmente a partir de estrategias de reconocimiento de coordinación de regularidades crecientes y decrecientes (como se mostrará más adelante, fundamentalmente se trata de análisis escalares). Fase 5: Esta fase se fundamenta en la comprensión de la relación de proporcionalidad propiamente dicha a partir del establecimiento de la constante de proporcionalidad como una razón que relaciona cualquier par de valores correspondientes a cada uno de las cantidades que se comparan.

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La proporcionalidad directa e inversa...

A manera de síntesis se puede entonces plantear que en el análisis de un fenómeno o situación que implique razonamiento proporcional, se deben considerar los efectos de la ocurrencia simultánea de dos o más características, a diferencia de los procesos aditivos, en los que se consideran los efectos de una clase a la vez. Las acciones mentales que constituyen los fundamentos cognitivos de las operaciones multiplicativas, se presentan en el paso de las consideraciones cualitativas a las numéricas. Así, por ejemplo, en el caso de la representación más simple de la multiplicación, la suma de sumandos iguales, esconde una correspondencia de uno a varios: 1 žx 2 žx + x = 2x 3 žx + x + x = 3x ... Igualmente, se muestra una línea de continuidad desde la multiplicación hasta la proporcionalidad, la cual pasa por el desarrollo del pensamiento proporcional, que puede caracterizarse como una forma de razonamiento matemático que involucra el sentido de covariación y comparaciones múltiples, y la habilidad para almacenar y procesar mentalmente distintos tipos de información (Lesh y otros 1988). El razonamiento proporcional está estrictamente relacionado con la inferencia y la predicción e involucra tanto métodos de razonamiento cualitativo como cuantitativo. Este tipo de razonamiento implica establecer relaciones entre relaciones (relaciones de segundo orden), y al involucrar la covariación26 , está estrechamente relacionado con las nociones de variable y variación. Esto hace que el razonamiento proporcional se constituya en la cúspide del desarrollo del pensamiento aritmético, y en la puerta de entrada al pensamiento algebraico. Esto se pone en evidencia en tanto que a través del razonamiento proporcional se pueden modelar situaciones que involucran distintos niveles de la igualdad27, distintos niveles de las variables28 y transformaciones e invariantes29(Lesh y otros 1988). Las situaciones que en general implican razonamiento proporcional son aquellas en las que se encuentran productos, razones, y proporciones, tales como: equivalencia entre fracciones, porcentajes, conversión de medidas, velocidades, razones de cambio, funciones, etc.

_____________________________________________________ 26

27

28 29

En sentido estricto, la covariación implica que dos o más variables están relacionadas de tal forma que el cambio en una o algunas, determina cambio(s) en la(s) restante(s). Ahora bien, en el caso que esta covariación se pueda expresar a través de un modelo funcional, entonces se dice que las variables están correlacionadas. En los análisis estadísticos que parten de tablas de datos que expresan la relación cuantitativa entre dos o más variables, primeramente se determina si existe covariación, generalmente a través de analizar la gráfica cartesiana de la nube de puntos que representan las relaciones entre los datos, y después, se realizan los respectivos análisis de regresión, que no son otra cosa que determinar si existe un modelo funcional que se ajuste a los datos experimentales. El factor de correlación determina el grado de ajuste del modelo funcional a los datos. Esto es, la igualdad como equivalencia entre números o razones entre números, la equivalencia entre expresiones que involucran números y unidades de medida, equivalencia entre expresiones que involucran relaciones y/o operaciones entre números y unidades de medida y equivalencia entre ecuaciones. Las letras que se utilicen al modelar una determinada situación pueden significar incógnita, número generalizado o variable. Al involucrar relaciones de segundo orden, se puede ver como ciertas características permanecen invariantes en una determinada situación, cuando las variables recorren su campo de valores.

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

De las situaciones aditivas a las multiplicativas (¡o a la proporcionalidad!) El caso más simple de situación multiplicativa, como se indicó en el módulo 1, se puede representar por una relación cuaternaria como la siguiente:

E1 1 ⎯ ⎯→ n ⎯ ⎯→

E2 f (1) f(n)

En este tipo de problemas, el cual es conocido como “isomorfismo de medida”, se puede presentar un tipo de problema de multiplicación y dos de división.

La multiplicación en el isomorfismo de medidas Para el caso de la multiplicación se tiene que la relación f(n)=n x f(1) se puede obtener por dos vías diferentes: a partir del análisis escalar o del análisis funcional. En el primero, el análisis por escalar, la multiplicación por n es el resultado de analizar como la variación en uno de los espacios, determina los valores posibles en el otro espacio (en cierta forma, las llamadas tablas de multiplicar tienen su origen en una mirada de la multiplicación como un problema de variación conjunta de dos espacios de medida). Este tipo de análisis pone en relación las variaciones en uno de los espacios de medida con respecto a las variaciones en el otro. O dicho de otra forma, cambios en un espacio de medida, generan cambios simétricos en el otro espacio de medida. Esto es, en un problema típico de multiplicación, al valor de la unidad en un espacio de medida (E1), se corresponde con un valor k en el otro espacio de medida (E2). De esa forma, si en el espacio E1 el valor de unidad se itera 2, 3, …, n-veces, entonces el valor k en el espacio E2 se itera esta misma cantidad de veces, de tal forma que a 2 veces la unidad se le corresponde 2 veces el valor de k, a 3 veces la unidad se le corresponde 3 veces el valor de k, y así sucesivamente.

E1 2- veces

n- veces

3- veces

E2

1 2 3

ž ž ž

9

ž ž

.. .

.. . n

82

f (1)= k f (2)= 2k f (3)= 3k

.. .

f (9)= 9k

.. . ž

f (n)= nk

2- veces

3- veces

n- veces


La proporcionalidad directa e inversa...

En general, dados cualquier par de valores en uno de los dos espacios de medida, entonces la relación multiplicativa que cumplan este par de valores también la cumplen la pareja de valores correspondiente en el otro espacio de medida. Por ejemplo, en la gráfica anterior 3 y 9, en el espacio de medida E1 cumplen la relación de que una de ellas es tres veces la otra (o equivalentemente, la tercera parte), y por lo tanto, los valores correspondientes en el otro espacio de medida, es decir f(3) y f(9) cumplen con la misma relación multiplicativa. Por su parte, el procedimiento funcional, es a través del planteamiento de una relación entre los dos espacios de medida, es decir, reconocer que la multiplicación de n por OJO, produce el valor de f(n). Esto es válido en tanto se tiene que para todo par de valores correspondientes, uno de cada espacio de medida, se cumplen las siguientes equivalencias:

f (1 ) f ( 2 ) f(n) = =K= = f (1 ) . 1 2 n

Por lo tanto n f(1)= f(n)(estos es, se reconoce a f(1) como el

valor de la constante de proporcionalidad). En este tipo de análisis es necesario considerar las unidades de las cantidades de cada espacio de medida, pues el cociente no se hace solo con los números, sino con las unidades también. Los dos tipos de análisis antes propuesto se pueden ver a través del siguiente ejemplo: “una libra de sal cuesta $350, cuanto cuestan 6 libras de sal”.

Análisis escalar:

E1 (libras de sal)

E2 (pesos)

1 2 3

ž ž ž

350 700 1050

6

ž

X

.. .

.. .

Nótese como el valor de las 6 libras puede ser calculado duplicando el valor de tres libras, triplicando el valor de dos libras, o incluso repitiendo el valor de 6 libras. Dependiendo del grado de conceptualización alcanzado por los niños (de acuerdo a las fases descritas en la sección anterior), se pueden seguir procedimientos aditivos (por ejemplo, dado que 6 libras = 3 libras + 3 libras, entonces el valor de 6 libras es $ 1050 + $ 1050), los cuales son típicos de la fase 3; o procedimientos multiplicativos, típicos en la fase 4 (como 6 es el triple de 2, entonces el valor de 6 libras será el triple de 700, es decir, 6 libras = 2 libras × 3, entonces, el precio de las 6 libras será $ 700 × 3 = $ 2100). Nótese que como las operaciones se hacen al interior de cada espacio de medida, de los dos factores de la multiplicación, uno no tiene unidades, pues es un parámetro que indica las veces que se repite una determinada cantidad –la cual si tiene unidades (de pesos o de libras de sal según el caso).

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Módulo

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Análisis funcional: En este caso, se debe reconocer la equivalencia:

350 pesos 700 pesos 1050 pesos X pesos = = =K= = 350 1libra 2 libras 3 libras 6 libras libra Y por lo tanto, X = 350

pesos × 6 libras de donde se deduce que X=2100 pesos libra

Nótese que el análisis funcional implica un tratamiento más cuidadoso de las unidades del 350, pues como se verá más adelante, este valor es la constante de proporcionalidad, la cual, al establecer una razón constante que determina la dependencia funcional de un espacio de medida con respecto al otro, expresa la cantidad de unidades que se deben tener en uno de los espacios, por cada unidad tomada en el otro. En este caso, el 350 significa que por cada 350 pesos, se adquiere una libra de sal. Típicamente en la escuela tan solo se centra la mirada en la operación aritmética, y se piensa que en la multiplicación 350 × 6, la primera cantidad significa pesos –el valor de una libra de sal, y que el 6 significa la cantidad de libras (tal como se expresa en el enunciado verbal). Si ese fuera el significado se estaría realizando una multiplicación sin mucho sentido a la luz de la situación que se pretende resolver: X= 350 pesos x 6 libras= 2100 pesos x libra.

La división en el isomorfismo de medidas Como se expresó antes, se pueden tener dos tipos de división, la primera cuando el problema pide calcular el valor de una unidad, es decir el valor de f(1), suponiendo conocidos los valores de n y f(n), y la segunda, cuándo se solicita encontrar la cantidad de unidades que se corresponden con un valor dado de f(n), es decir, calcular el valor de n, bajo el supuesto que se conocen los valores de f(1) y f(n). Los esquemas de ambos tipos de división serían:

E1 Caso 1:

E2

1

ž

x = f(1)

n

ž

f (n)

E1 Caso 2:

1

E2 ž

f (1)

x= n ž

f (n)

Un ejemplo típico del primer caso sería: “una marca de azúcar vende el producto en empaques de 5 libras, el cual cuesta $ 4500. ¿Cuál es el precio de una libra?”. Por su parte, un ejemplo para el segundo caso sería: “Una libra de azúcar de una marca determinada cuesta $900. ¿Cuántas libras de azúcar se pueden comprar con $5400?”. En el primer caso, cuando los números involucrados son números enteros, entonces se genera la división partición (o en palabras del Dr. Vasco, «la división entre»), es decir, una división en la cual una cantidad dada, f(n), debe ser repartida en n de partes iguales, y por lo tanto, el problema consiste en encontrar el tamaño, el valor, de cada una de esas partes.

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La proporcionalidad directa e inversa...

En general, la solución de este tipo de situaciones requiere del reconocimiento de la relación escalar, ya que al saber que f(n) es el resultado de tener n veces f(1), entonces se puede comprender por qué la repartición de f(n) en n partes iguales produce el valor de f(1)30. Adicionalmente, esta acción permite comprender que la división que se debe realizar es la operación inversa de la multiplicación. En efecto, tomando la situación de las libras de sal antes descrita, ahora se trataría de averiguar cuánto cuesta una libra de sal, si se sabe que 4 libras cuestan $ 1400. E1

(× 4 ↓)(÷ 4 ↑)

E2

1

⎯ ⎯→

x = f (1 )

4

⎯ ⎯→

f ( 4 ) = 1400

(÷ 4 ↑)

Para solucionar esta situación primero se debe reconocer que el operador escalar x 4 transforma una libra en cuatro libras, y que por tanto, al dividir, al repartir, $ 1000 en cuatro partes iguales se obtiene el valor de una libra (esta repartición se puede hacer o bien haciendo la división, o bien, distribuyendo los $1000 en cuatro grupos, por ejemplo, primero de $100 en $100, y luego lo que sobre, de $50 en $50). En el segundo tipo de división se conoce el valor de la unidad, y por tanto, se debe calcular cuántas unidades se pueden obtener con una cantidad determinada f(n). Si los números involucrados son enteros, entonces se genera la división repartición (o como el Dr. Vasco la llama, «la división diá»), en la cual se trata de saber cuántos grupos se pueden formar con una determinada cantidad, una vez conocido el valor de cada grupo (el valor de la unidad). Al igual que el caso anterior, para este tipo de situaciones también es posible encontrar procedimientos que no requieran de la división, como es el caso de una extracción repetida del valor de cada grupo, de la cantidad total31 , donde el resultado es la cantidad de veces que se puede realizar la extracción. Regresando al problema de las libras de sal, la situación ahora podría ser la de calcular cuántas libras de sal se pueden comprar con $1400 si se sabe que una libra cuesta $ 350. × 350

pesos

libra ⎯⎯ ⎯ ⎯→

E1 1 x

⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ←⎯ ⎯ ⎯⎯ pesos ÷350

E2 f ( 1 ) = $350 f ( x ) = 1400

libra

_____________________________________________________ 30

31

En estas situaciones es posible encontrar procesos de solución que no requieran explícitamente de realizar la división, como por ejemplo, una repartición en n grupos, pero colocando una a una las unidades en cada grupo. Por esta razón este tipo de divisiones se identifican con las reparticiones en partes iguales. Es de anotar que desde este tipo de procedimientos se puede llegar a un antiguo algoritmo para realizar la división que consistía en restar sucesivamente el divisor del dividendo. El resultado era la cantidad de veces que se podía hacer dicha sustracción.

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Módulo

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Como ya se dijo antes, se pueden presentar al menos dos soluciones, la más general, que implica el reconocimiento de la constante de proporcionalidad, esto es, identificar que , permite, dada cualquier cantidad de libras de sal, encontrar su respectivo precio 350 pesos libra total, y por tanto, el proceso inverso, es decir, dividir $ 1400 entre 350

pesos libra

, permitirá ir del

precio total a la cantidad de libras que se pueden comprar con dicho cantidad de dinero:

1400 pesos ÷ 350 pesos libra =

1400 pesos = 4 libras 350 pesos libra

El segundo tipo de procedimiento, y por supuesto más intuitivo, se fundamenta en la sustracción sucesiva de los $350 de la cantidad total de $1400, y por tanto, la cantidad de veces que se pueda sustraer $350 de $1400, es la cantidad de libras de sal (dicho de otra forma, dado que por cada $350 se puede comprar una libra de sal, entonces al sustraer repetidamente dicha cantidad se puede calcular cuanta sal se puede comprar). Debido a la posibilidad de realizar estos procedimientos intuitivos con este tipo de divisiones, es que se deriva el nombre de división repartición. En general, y sin importar el tipo de números involucrados, este tipo de divisiones implica utilizar la relación funcional, pues la equivalencia

f (1 ) f ( n ) = = f ( 1 ) es clave en el proceso 1 x

de solución. Al igual que en el caso anterior, el planteamiento de esta división, permite ver relación entre la división y la multiplicación como operaciones inversas.

Situaciones de multiplicación y división Observaciones generales El conjunto de situaciones que se presenta a continuación se fundamente en el uso de las sumas de sumandos iguales, como estrategia para representar la covariación entre dos o más espacios de medida, de tal forma que estas se constituyan en un punto de anclaje para la construcción de las relaciones multiplicativas de base. Esto es, se busca que sobre la base de procedimientos aditivos avanzados (conteos de unidades múltiples: conteos de dos en dos, de tres en tres, etc.) propios de las estructuras aditivas, se puedan avanzar en el reconocimiento de las características propias del razonamiento proporcional: el tratamiento simultáneo de procesos de variación entre dos o mas espacios de medida. De esta forma, se busca: 1. Que los estudiantes identifiquen la existencia de dos o más espacios de medida, en los cuales, al producir cambios en uno de ellos, generan cambios en los demás. De esta manera se espera que desde los procesos propios de la fase 1 (procesos típicamente aditivos), avancen hacia procesos relacionados con la fase 2. Dicho de otra forma, en un primer momento no se espera que los estudiantes identifiquen de manera precisa la correlación entre los espacios de medida, sino que identifiquen los espacios de medida,

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La proporcionalidad directa e inversa...

y a partir de procesos cualitativos, pueda establecer que entre ellos existe una interdependencia. 2. A través de los conteos múltiples se busca establecer formas intuitivas de la correlación entre los dos espacios de medida a partir de: • Correspondencias uno a varios, esto es, al saber que a una unidad de un espacio le corresponden x unidades en el otro, entonces se puede continuar con la sucesión dos unidades 2x, tres unidades 3x, etc. E1

E2

1

⎯ ⎯→

x

2

⎯ ⎯→

2x

3 M

⎯ ⎯→

3x M

6 M n

⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→

6x M nx

• Correspondencias varios a varios: similar al caso anterior, pero ahora la correspondencia se establece entre dos o mas unidades de uno de los espacios, con x unidades del otro: E1

E2

a

⎯ ⎯→

2a

⎯ ⎯→ 2ax

3a M

⎯ ⎯→ 3ax M

ax

6a

⎯ ⎯→ 6ax

M na

M ⎯ ⎯→ nax

• Este trabajo permite iniciar la conceptualización de relaciones escalares entre los espacios de medida, y se fundamenta en una propiedad básica de toda proporcionalidad directa:

como

a

y b entonces c = a + b

⎯ ⎯→

f(a)

⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→

f (b) f (c ) = f ( a + b ) = f (a )+ f (b )

Esta es una forma muy natural de entrar al estudio de las tablas de multiplicar, de tal forma que a través de actividades centradas en el análisis de correlaciones se puedan entrar a memorizar los hechos numéricos propios del aprendizaje de la multiplicación. Así por ejemplo, en un juego como los bolos, donde cada bolo caído tiene un valor

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

determinado (por decir, 3 puntos), entonces, al tener el control sobre como a cada cantidad de bolos caídos se le puede hacer corresponder un determinado puntaje, entonces se empieza a tener una forma de cuantificar las correlaciones entre los espacios de medida Bolos Caídos

Puntaje Total

1 2

⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→

3 6

3 M 6

⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→

9 M 18

⎯ ⎯→

M 3n

M n

3. Con base en los anteriores procesos, se proponen actividades que permitan favorecer análisis de tipo funcional, aunque es de notar que no necesariamente se puede hablar de la existencia del concepto de proporcionalidad en el sentido estricto de la palabra, sino de un proceso de comprensión mucho más amplio de la multiplicación que la liga de manera fuerte con la proporcionalidad. En este caso se parte de situaciones en las cuales las relaciones escalares no sean de fácil visualización –como por ejemplo, que el factor multiplicante entre las cantidades del mismo espacio sea un número racional, pero que en contraste, la relación funcional sea de fácil interpretación –por ejemplo, que en este caso dicha relación se pueda expresar por un número natural. Como puede verse, los dos últimos ítems buscan que los estudiantes inicien procesos propios de la fase 3 (fundamentalmente) y parcialmente una introducción a elementos básicos de la fase 4. En síntesis, las relaciones multiplicativas, expresadas a partir de correlacionar repeticiones aditivas, centran el análisis en las relaciones que Vergnaud a definido como relaciones escalares y funcionales, y por ende se profundizan las relaciona multiplicativas de base.. Algunos elementos adicionales en las situaciones son: a. Un análisis de la situación centrado en las magnitudes involucradas, y sobre todo, en las relaciones de covariación que correlaciona los dos espacios de medida (una diferencia fundamental con la aproximación tradicional a la multiplicación, que centra el análisis en las cantidades numéricas, sin referencia a la covariación entre magnitudes). b. Un tratamiento sistemático de diferentes registros de representación, a saber, verbal, gráfico y tabular, a partir de los cuales conceptualizar los procesos de covariación entre los espacios de medida involucrados en la situación. c. Un análisis de las situaciones multiplicativas de base como relaciones cuaternarias, en el sentido de situaciones de proporcionalidad directa, pero centrando la conceptualización no en la relación numérica entre parejas de valores correspondientes, sino como ya se dijo, a partir del análisis de la variación entre los espacios de medidas con base en

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La proporcionalidad directa e inversa...

las repeticiones aditivas. Esto es, se toma como base para estos análisis los conteos con unidades compuestas, y se correlacionan conteos con unidades compuestas en un espacio de medida, con conteos de unidades compuestas en el otro espacio de medida. d. Finalmente, sobre la base de los procesos precedentes, se favorece la matematización de las situaciones a partir de análisis escalares y funcionales para expresar la relación entre los dos espacios de medida. Este tipo de trabajo permite analizar casi en simultáneo situaciones de multiplicación y de división, mostrando su relación de inversa de la una con respecto a la otra. Igualmente, esta parte del trabajo obliga a la construcción de relaciones básicas entre los números racionales (en su notación de fracción) y las razones entre magnitudes que expresan la correlación entre las magnitudes.

•SITUACIÓN No. 1: JUGUEMOS BOLOS • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS El conjunto de actividades presentes en esta situación pretende que a partir de realizar conteos simples y conteos múltiples se puedan establecer las correlaciones entre los dos espacios de medida, y por esta vía, correlacionar los cambios al interior de cada uno de ellos. Para lograr lo anterior, la situación propone actividades que hacen cambiar el tamaño de los números: menores que 5 y mayores que 5, al tiempo que hace cambiar el número de incógnitas presentes en la situación: Problemas con una sola incógnita, con dos incógnitas y con más incógnitas. La variación del tamaño de los números busca que los estudiantes pasen de estrategias centradas en el cálculo, a estrategias centradas en el conteo. Es decir, para los estudiantes se hace más sencillo el conteo repetido de cantidades “pequeñas”, o sea menores que cinco, pues pueden contarlas y operar mentalmente con ellas. Por el contrario, con cantidades mayores que cinco, se ven obligados a acudir a otras estrategias que pondrán en evidencia sus capacidades de cálculo para adicionar una cantidad a la anterior y obtener el valor siguiente. El cambio del número de variables implica la necesidad de tener en cuenta de forma simultánea dos variables o más y reconocer las relaciones existentes entre ellas. Por esta vía se obliga al reconocimiento de las variables, y cuantificar los patrones de variación. La existencia de bolos de diferentes colores, y diferentes valores por color, tiene como finalidad centrar el análisis en diferentes tipos de conteos, pero relacionando dos espacios de medida: la cantidad de bolos derribados y el puntaje total. De esta forma se pueden tener series como las siguientes:

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E1 1 → 2 → 3 →

2 E2 1× 2 = 2 2× 2 = 4 3× 2 = 6

M M 10 → 10 × 2 = 20 M M n → n × 2 = 2n M M

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

E1 1 → 2 → 3 →

E2 1× 3 = 3 2×3 = 6 3× 3 = 9

M M 10 → 10 × 3 = 30 M M n → n × 3 = 3n M M

E1 1 → 2 → 3 →

E2 1× 4 = 4 2× 4 = 8 3 × 4 = 12

M M 10 → 10 × 4 = 40 M M n → n × 4 = 4n M M

E1 1 → 2 → 3 →

E2 1× 5 = 5 2 × 5 = 10 3 × 5 = 15

M M 10 → 10 × 5 = 50 M M n → n × 5 = 5n M M

Estas series, son la base de lo que tradicionalmente hemos llamado las tablas de multiplicar, pero en este caso su conceptualización tiene como punto de partida el correlacionar los patrones de variación entre dos o más espacios de medida, lo cual dota de sentido la memorización de estos conocimientos numéricos. Es necesario recalcar que no se trata de aprenderse este conjunto de resultados de memoria, sino de aprenderlos a partir de su uso en diferentes tipos de situaciones multiplicativas que impliquen el análisis y cuantificación de la correlación entre espacios de medida diferentes. La tabla grupal, al igual que las actividades de reflexión, tienen un papel muy importante en el desarrollo de la situación. La tabla permite tener un registro escrito del trabajo realizado en el juego, y es la base para una reflexión posterior sobre la actividad en la que se puedan analizar las diferentes series con las que debieron trabajar, y sobre todo, en la que se analicen los diferentes procedimientos utilizados para hacer las cuentas que exige registrar los puntajes en la tabla. Con la ayuda de la tabla se puede ver como se correlacionan la cantidad de bolos de cada color, y el puntaje total que se obtiene. De esta forma se centra el análisis tanto en la cantidad que se repite (el valor del bolo) como las veces que dicha cantidad se repite (cantidad de bolos derribados), y de estas dos con el puntaje total. Por su parte las actividades de reflexión tienen el papel de evaluar el nivel de conceptualización alcanzado por los estudiantes a partir del juego y su posterior reflexión de sistematización. Las situaciones hipotéticas propuestas tienen niveles de complejidad más altas que las presentadas en la actividad del juego, pero igualmente, lo realizado en el juego otorga un referente concreto para pensar los problemas propuestos en dichas actividades32 . Igualmente se proponen actividades sobre multiplicación y división de tal forma que los procesos de conceptualización de la una sirvan como base para conceptualizar la otra. En estas actividades también es importante incentivar diferentes tipos de represen_____________________________________________________ 32

En este sentido, si las situaciones se hacen complejas para algunos estudiantes, entonces se puede recurrir al material concreto del juego para que sirva como base para formular procedimientos de solución.

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La proporcionalidad directa e inversa...

taciones de las situaciones (tal como se estudió en el capítulo 2). Entre las representaciones que pueden ser de utilidad se pueden contar: las representaciones gráficas (fundamentalmente las no icónicas), las representaciones en tabla y las representaciones numéricas, sin descartar la posibilidad de escribir ecuaciones sencillas que representen las situaciones. En síntesis se puede proponer que en esta situación se presenta la relación multiplicativa correspondiente al Isomorfismo de medidas, según la cual se establece una correspondencia entre dos espacios de medida. De esta forma se espera favorecer los dos tipos de procedimientos típicos de dicha forma de relación multiplicativa: Análisis funcionales: Para obtener el puntaje se multiplica el valor de cada bolo (según el color), por el total de bolos derribados de dicho color. Análisis escalares: Para obtener el puntaje total se repite el valor de cada bolo según el color, tantas veces como bolos se hallan tumbado. Igualmente en la Actividad 1 se espera que los alumnos pongan en marcha tres estrategias de solución: • Conteo uno a uno de las unidades implicadas en cada uno de los grupos de unidades compuestas (valor según el color de los bolos), empleando algún tipo de herramienta (dibujo, dedos, movimiento de los dedos, fichas) que les permitan tener presente la cantidad total de las unidades compuestas, a partir del conteo de cada unidad simple. • Realizar conteos múltiples. „

„

Escritos. Donde cada vez que se toma una unidad compuesta, se escribe la cantidad total alcanzada en el segundo espacio de medida. Verbales. En los cuales se realiza el conteo y se retiene en la memoria la cantidad precedente para enunciar únicamente la siguiente.

• Realizar multiplicaciones, empleando en el segundo espacio de medida, el mismo escalar que fue empleado en la transformación del primer espacio de medida (si se tumban N bolos de un color, entonces se multiplica N por el valor asignado a dicho color de bolos). Para la primera parte de las actividades de reflexión, se espera que el estudiante resuelva situaciones de respuesta única en las que sea necesario realizar los conteos múltiples según el valor de cada bolo para hallar el total de puntos obtenidos (en lo fundamental, análisis escalares), al igual que conociendo el total de puntos, averiguar la cantidad de bolos derribados (en este caso, situaciones de división). En la segunda parte de la misma actividad se espera que encuentre diferentes alternativas de solución para una misma situación, dependiendo de la combinación que él mismo realice de bolos derribados, puntaje total y valor de cada bolo. Por último, para la actividad 2 se espera que los estudiantes realicen conteos con números mayores que 5, resolviendo situaciones en las que se obtengan respuestas únicas o para las que haya diferentes alternativas de solución.

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Actividad 1: Jugando a los bolos – primera parte. Materiales 10 bolos de colores amarillo, verde, azul y rojo, una pelota de caucho y una hoja de registro. Cómo jugar Reúnete con 5 compañeros o compañeras más para formar un equipo que competirá con los demás equipos del salón. Organicen los bolos de la siguiente manera: Cada jugador lanza la pelota, registra en su cuaderno el número de bolos de cada color que tumbó y levanta los bolos caídos. Cuando todos los jugadores hayan lanzado deben completar la tabla grupal para el primer turno y luego realizar el segundo, registrar en la tabla, y así sucesivamente. Ganará el equipo que más puntaje obtenga al final de los tres turnos. Bolos azules dan 2 puntos cada uno. Bolos verdes dan 3 puntos cada uno. Bolos amarillos dan 4 puntos cada uno. Bolos rojos dan 5 puntos cada uno. Tabla de registro grupal Bolos azules derribados

Bolos verdes derribados

Bolos amarillos derribados

Bolos rojos derribados

Puntaje total

Primer turno Segundo turno Tercer turno Total

Actividades para reflexionar 1. En el equipo de Manuel obtuvieron 12 puntos. Si se sabe que solamente tumbaron bolos azules. ¿Cuántos bolos azules tumbaron? __________________ 2. Si Manuela quiere obtener 18 puntos derribando solamente bolos azules. ¿Cuántos debe tumbar? _________________ 3. ¿Cuál fue el puntaje de Catalina si tumbó 5 bolos verdes únicamente? ___________ 4. ¿Cuál fue el puntaje de Claudia si tumbó 4 bolos azules, 3 bolos rojos y 2 bolos verdes? ____________ 5. En el equipo de Julián, Andrea y Rubén llenaron la siguiente tabla de registro grupal, pero por descuido faltaron algunos datos. Ayúdales a completarla.

92


La proporcionalidad directa e inversa...

Bolos azules derribados

Bolos verdes derribados

Bolos amarillos derribados

Bolos rojos derribados

Puntaje total

0

6 19

2 5

Primer turno Segundo turno

16

Tercer turno Total

Completa los puntajes totales del equipo de Andrea. Bolos azules derribados

Bolos verdes derribados

Bolos amarillos derribados

Bolos rojos derribados

Segundo turno

4 3

4 5

0 2

4 0

Tercer turno

0

3

4

2

Primer turno

Puntaje total

Total

Completa la siguiente tabla de registro del equipo de Rubén. Bolos azules derribados

Bolos verdes derribados

Bolos amarillos derribados

Bolos rojos derribados

Puntaje total

Primer turno

12

Segundo turno

15

Tercer turno

11 Total

38

¿Qué puedes decir de los equipos de Julián, Andrea y Rubén?

Actividad 2: Jugando a los bolos – segunda parte. Reúnete nuevamente con tus compañeros para jugar a los bolos. Observa los puntajes que ahora se obtienen con cada color. Bolos azules dan 7 puntos cada uno. Bolos verdes dan 8 puntos cada uno. Bolos amarillos dan 9 puntos cada uno. Bolos rojos dan 10 puntos cada uno. Tabla de registro grupal Bolos azules derribados

Bolos verdes derribados

Bolos amarillos derribados

Bolos rojos derribados

Puntaje total

Primer turno Segundo turno Tercer turno Puntaje total

El equipo ganador fue: ___________________________

93


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Actividades para reflexionar 1. En el equipo de Tatiana obtuvieron 72 puntos. Si se sabe que sólo tumbaron bolos verdes. ¿Cuántos bolos tumbaron?________ 2. Rodrigo quiere obtener 90 puntos pero derribando solamente bolos rojos. ¿Cuántos debe tumbar? ________ 3. ¿Cuál fue el puntaje de Adriana si derribó 6 bolos azules? ________ 4. Ayuda al equipo de Isabel a llenar la tabla de registro grupal. Bolos azules derribados

Bolos verdes derribados

Bolos amarillos derribados

Bolos rojos derribados

Primer turno

0

2

5

0

Segundo turno Tercer turno

9 1

0

0 0

0

Puntaje total

74 41 Total

Si el equipo de Andrea hubiera jugado con los puntos que ahora da cada bolo. ¿Cuál hubiera sido el puntaje total? Completa la tabla. Bolos azules derribados

Bolos verdes derribados

Bolos amarillos derribados

Bolos rojos derribados

Primer turno

4

4

0

4

Segundo turno

3

5

2

0

Tercer turno

0

3

4

2

Puntaje total

Total

•SITUACIÓN No. 2: JUGUEMOS PARQUÉS • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Esta situación tiene como principal objetivo realizar conteos múltiples (inicialmente de dos en dos, pero posteriormente de cantidades mayores), pero ahora se tiene un elemento adicional: los conteos se orientan más a los aspectos relativos de la división, es decir, las reparticiones, que a la multiplicación en si misma (las repeticiones aditivas). En líneas generales, los análisis presentados para el caso de la situación anterior siguen siendo válidos. Esto es, el tamaño de los números: conteos de dos en dos, o con otros valores, se espera que produzca cambios en las estrategias de trabajo de los alumnos, al igual que la cantidad de incógnitas en la solución. Adicionalmente, dado que las actividades exigen repartir la cantidad total marcada en los dados (inicialmente en grupos de dos) para determinar la cantidad de casillas que se

94


La proporcionalidad directa e inversa...

deben recorrer, entonces si la cantidad marcada por los dados es par o impar (para el caso de que cada casilla tiene el valor de dos puntos), o en general, divisible o no por el valor de cada casilla, se generan cambios en las estrategias de los estudiantes, y sobre todo, se exige la conceptualización de las reparticiones exactas e inexactas. De esta forma se favorece el análisis de conceptos como múltiplos y divisores de las cantidades dadas. Igualmente, sobre la base de la relación multiplicativa, el isomorfismo de medida permite relacionar los dos espacios de medida (casillas avanzadas, puntos obtenidos) a partir tanto de multiplicaciones como de divisiones. Por ejemplo, la siguiente tabla muestra una posibilidad de relacionar ambos espacios de medida cuando el valor de cada casilla es de 3. Casillas avanzadas

Puntos obtenidos

1 2

3 6

3

9

4

12

De esta forma es posible realizar: • Análisis escalares: en tanto en cada espacio de medidas es posible pasar de una línea a otra mediante la aplicación de un operador escalar (n-veces el número de casillas avanzadas, n-veces el puntaje total obtenido). • Análisis funcionales: Casillas avanzadas por cantidad de puntos obtenidos en el dado. Una casilla avanzada corresponde a 3 puntos obtenidos, así es posible establecer el puntaje necesario para cualquier número de casillas ya que consistiría en multiplicar el número de casillas por el puntaje de una casilla, es decir, por 3. En la actividad 1 se espera que los estudiantes realicen conteos verbales de 2 en 2 y que logre descomponer los puntajes obtenidos en los dados en grupos de a 2, teniendo presente que debe tomar una decisión con la unidad sobrante cuando el número es impar: guardarla para el próximo turno, perderla (es decir restar una unidad al número impar, para obtener uno que sea par), o agregarle una unidad a la cantidad obtenida para completar una casilla adicional33 (esto es, agregar una unidad a un número impar para obtener el número par). Estas decisiones permiten reflexionar sobre una propiedad básica que relaciona números pares e impares: todo número impar se puede transformar en un número par agregando o restando una unidad. El asignarle a cada casilla un valor de 1 y recorrer tantas casillas como indican los dados, daría cuenta de un pensamiento puramente aditivo en el que no es posible aún operar con grupos de unidades. En las actividades para reflexionar de esta actividad 1, se espera que los estudiantes estén en capacidad de encontrar por una parte el puntaje obtenido conociendo los datos de las _____________________________________________________ 33

En realidad es interesante alentar a los estudiantes a que analicen que pueden hacer con dicha unidad, pero sin decirles lo que deben hacer.

95


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

casillas recorridas y de los puntos sobrantes y, por otra parte, de encontrar las casillas recorridas y el puntaje sobrante teniendo el dato de los puntos obtenidos en los dados. En esta actividad será posible evidenciar el alcance y consolidación de la relación inversa entre la multiplicación y la división, y por ende, de las posibilidades de reversibilidad del pensamiento de los estudiantes, pues en esencia se trata de situaciones que implican la división. Sin embargo, para encontrar los valores faltantes en la tabla se pueden presentar estrategias como las siguientes, algunas de las cuales permiten correlacionar los espacios de medida a partir de repeticiones aditivas: (1) dibujar los puntos obtenidos en los dados y encerrarlos de dos en dos para descubrir las casillas avanzadas, (2) realizar el conteo (oral o escrito) de dos en dos hasta llegar a la cantidad de puntos representada en los dados, y llevar la cuenta de las veces que se ha iterado el dos. Y por último, (3) anticipar el número de veces que estará contenido el 2 en la cantidad determinada por los dados, a partir de una división. En contraste a la facilidad que presenta la actividad 1, la actividad 2 presenta mayores niveles de dificultad, pues el conteo de tres en tres, o incluso de cuatro en cuatro, etc., no es tan familiar para los alumnos, y por tanto, anticipar la cantidad de veces que estará contenido un número diferente de 2 en otra cantidad, para con ello determinar la cantidad de casillas a recorrer. Esto no será tarea fácil. Por esta razón es de esperar que requieran el uso de ayudas gráficas (realizar las reparticiones de forma gráfica) o corporales (contar con los dedos) para llevar la cuenta de las veces que está contenido dicho número en la cantidad de puntos determinados por los dados.

Actividad 1: jugando al parqués – parte uno. Materiales Tablero de parqués común, 4 fichas para cada uno de los 4 jugadores, dados, tabla de registro individual, guía de trabajo individual. Cómo jugar • Reúnete con 3 compañeros o compañeras más para formar un equipo para jugar parqués. • Cada uno elige el color de sus fichas. Y se determina quién inicia el juego lanzando un dado. • Cada jugador debe lanzar los dados y avanzar las casillas indicadas, pero se debe tener en cuenta que cada casilla vale 2 puntos. Por ejemplo: si un jugador saca

deberá avanzar 3 casillas porque 7 = 2 + 2 +

2 y el equipo deberá acordar qué se hará con el punto sobrante. • Cada vez que un jugador realice un lanzamiento deberá llenar la siguiente tabla de registro personal. Agrega nuevas columnas a la tabla, o dibuja tantas tablas como sea necesario.

96


La proporcionalidad directa e inversa...

Turno 1

Turno 2

Turno 3

Turno 4

Turno 6

Turno 7

Saqué Casillas recorridas Puntos sobrantes

Actividades para reflexionar Matías estuvo jugando parqués con sus compañeros y elaboró la siguiente tabla para conocer las casillas que avanzaría según indicaran los dados en cada lanzamiento. Ayúdalo a completar la información que le hace falta. Nombre: Matías Rodríguez Saqué

2

3

4

6

8

Casillas recorridas

1

2

3

Puntos sobrantes

0

1

1

9 4

5 0

La siguiente es la tabla de registro personal que elaboró Manuela Pérez. Como está incompleta, averigua cuántas casillas recorrió en total. Nombre: Manuela Pérez Saqué

7

12

4

9

2

5

3

10

8

Casillas recorridas Puntos sobrantes

Total de casillas recorridas por Manuela Pérez durante el juego: _____________

Actividad 2: juguemos parqués – parte dos. (1) En el grupo de Catalina y Julián estuvieron jugando al parqués y ellos decidieron que cada casilla tiene un valor de 3 puntos. Ayúdale a Julián a completar la tabla de registro individual. Nombre: Julián Pérez Saqué

2

3

Casillas recorridas

0

1

Puntos sobrantes

2

0

4

5

6 2 2

97


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

(2) Félix elaboró la siguiente tabla de registro individual. Descubre qué valor le dieron a cada casilla en ese grupo y completa los espacios que faltan Nombre: Félix Bustamante Saqué

2

3

4

5

6

7

Casillas recorridas

0

0

0

1

1

1

Puntos sobrantes

2

3

4

0

1

2

8

9

10

Reúnete nuevamente con 3 compañeros o compañeras para jugar parqués, pero ahora la condición es que cada casilla tiene un valor de 5 puntos. Observa el ejemplo de los primeros lanzamientos de Roberto Jiménez Nombre: Roberto Jiménez Saqué

2

8

12

5

3

Casillas recorridas

0

1

2

1

0

Puntos sobrantes

2

3

2

0

3

Explica con tus palabras la forma de completar la tabla cuando cada casilla vale 5 puntos. ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ Completa tu propia tabla de registro personal mientras juegas con tus compañeros/as. Utiliza las que sean necesarias. Nombre: _________________________________________

Saqué Casillas recorridas Puntos sobrantes

98


La proporcionalidad directa e inversa...

•SITUACIÓN No. 3: JUGUEMOS CANICAS • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Esta situación recoge todas las discusiones presentadas en las situaciones precedentes, pero en este caso, se da un paso más en el proceso: se proponen correspondencias de varios a varios, pues como se puede ver en la primera actividad, la relación de base es: por cada dos canicas fuera del círculo, se obtienen 5 puntos. De esta forma los conteos múltiples se ponen en relación más fuerte con la proporcionalidad directa. Al igual que con las situaciones anteriores, el tamaño de los números, la cantidad de incógnitas de los diferentes problemas, y los análisis escalares o funcionales son la base para el desarrollo de diferentes estrategias de trabajo, y por ende, de diferentes formas de conceptualización de la multiplicación en relación con la proporcionalidad. En la actividad 1 se espera que los estudiantes hallen el cuarto término de una proporción, teniendo en cuenta la relación 2 es a 5 (esto es, por cada 2 canicas, se obtienen 5 puntos). Esto puede hacerlo mediante la sucesiva separación de grupos de 2 canicas cada uno, para luego asignarle el valor de 5 a cada grupo, y por lo tanto, al determinar cuántos grupos de 5 unidades se conformaron, contar el 5 tantas veces como grupos se tenga (análisis escalar) o hacer la multiplicación del 5 por la cantidad de grupos (análisis funcional). En las actividades para reflexionar los estudiantes deberán completar diferentes tablas de registro, en la primera deben hallar los puntajes correspondientes a dos cantidades diferentes de canicas, las cuales están en relación “el doble de”. En la segunda, una de las cantidades no se puede hallar directamente con la relación “doble de”, sino que es necesario componer aditivamente las dos cantidades previas para hallar la tercera (uso de la propiedad aditiva de las relaciones lineales). En la Actividad 2 se plantea nuevamente el juego de las canicas, pero con una relación de proporcionalidad diferente a la anterior: 3 es a 2. Se espera que al dar cuenta del proceso empleado por ellos para hallar los puntajes cada vez que se desplazan canicas fuera del círculo, se muestre evidencia de avances en los procesos de representación, y su relación con la comprensión de las estructuras de los problemas verbales. En la Actividad para reflexionar el estudiante deberá descubrir la relación de proporcionalidad que se tuvo en cuenta para llenar una tabla determinada de registro. Esto implica una mayor profundidad en los análisis propuestos con respecto a las relaciones escalares y los funcionales, y por ende, de la comprensión de la multiplicación como una relación de proporcionalidad directa.

Actividad 1: jugando canicas – parte uno. Materiales 21 canicas, un círculo dibujado en el suelo, un dado, hoja de registro y lápiz.

99


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Qué hacer • Reúnete con 5 compañeros o compañeras más para formar un equipo. • Cada equipo dispone de 20 canicas que debe poner sobre una hoja tamaño carta. • Cada jugador debe lanzar una canica hacia las que se encuentran al interior del círculo dibujado en el suelo, buscando hacer que la mayor cantidad de canicas se desplacen fuera de el. • Cada vez que desplace 2 canicas fuera de la hoja el jugador obtiene 5 puntos. • Debe anotarse cada jugada en la hoja de registro, incluyendo si queda alguna canica sobrante, para ser tenida en cuenta al final de los 5 turnos. Tabla de registro personal Desplacé Puntaje Sobraron Puntaje total

Actividades para reflexionar • Explica en tu cuaderno cómo haces para encontrar el puntaje cuando desplazas 6 canicas fuera del círculo. • Si se sabe que cada vez que se desplazan 2 canicas, se obtienen 5 puntos, completa la siguiente tabla para conocer el puntaje de Mario al desplazar 8 canicas. Canicas Puntaje 2 4

5

8

• Luisa completó la siguiente tabla para saber el puntaje obtenido al desplazar algunas canicas fuera del círculo, pero algunos números se borraron. Ayúdala a completar los números que faltan. Canicas Puntaje 2 10 15

La siguiente es la tabla de registro de Lucas. Él realizó los cálculos en el primer lanzamiento, pero luego sólo escribió el número de canicas desplazadas. Averigua el puntaje que obtuvo en cada lanzamiento y en total. Desplacé

5

Puntaje Sobraron

10 1

6 0

3 1

10

5

1

10 1 Puntaje total

100


La proporcionalidad directa e inversa...

• A Liliana también debes ayudarla a llenar la tabla de registro. Ella sólo escribió los puntajes y le faltó escribir las canicas desplazadas en cada lanzamiento. Desplacé Puntaje

5 10

6 10

3 15

20

5 10

Sobraron

0

1

0

1

1 Puntaje total

Actividad 1: juguemos canicas – parte dos Reúnete nuevamente con tus compañeros para jugar canicas. Ahora la condición es que cada vez que se desplacen 3 canicas fuera del círculo, se obtienen 2 puntos. Tabla de registro personal Desplacé Puntaje Sobraron Puntaje total

Describe el procedimiento empleado para conocer el puntaje cada vez que se desplazan las canicas. ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ Actividades para reflexionar Completa la siguiente tabla para conocer el puntaje obtenido al desplazar 12 canicas. Canicas Puntaje Sobran 3 4

2 2

0 1

5

2

2

6

3

0

7 8

3 3

9 10 11 12

Completa la siguiente tabla para conocer el puntaje obtenido al desplazar 18 canicas.

101


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Canicas Puntaje 3 2 6

4

12 15 18

• Una persona que tuvo en un lanzamiento un puntaje de 10, ¿cuántas canicas desplazó? ___________ • Si quiero obtener un puntaje de 20, ¿cuántas canicas debo desplazar? ______________ • Si se desplazan 16 canicas, ¿qué puntaje se obtiene? _________ Un grupo diferente de niños también jugó a las canicas pero con una condición diferente. Observa la siguiente tabla y averigua la condición para obtener los puntajes.

Canicas Puntaje Sobran 6 12

2 4

0 0

24

8

0

___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ Completa las siguientes tablas teniendo en cuenta la condición que acabas de encontrar.

Canicas Puntaje 3 6

2

Canicas Puntaje Sobran 6 0 2 7

2

1

9

8

2

2

12

9 10

3

0

11 12

• Inventa una nueva condición para jugar canicas: ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ • Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta la condición que inventaste.

102


La proporcionalidad directa e inversa...

Canicas Puntaje Sobran 1 2

2 2

0 1

3

2

2

4

3

0

5 10 11

•SITUACIÓN No. 4:

12

JUGANDO CON ARENA • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Continuando con lo propuesto en las situaciones anteriores, esta situación cuatro busca profundizar en el tema de los conteos, pero ahora introduciendo relaciones no enteras (números racionales) a partir de equivalencias entre diferentes unidades de medida. De esta forma, dependiendo que la relación funcional o la escalar o ambas, sean expresadas por medio de números racionales se busca hacer cambiar las estrategias de solución de los estudiantes. La actividad exige establecer relaciones de equivalencia entre n conjunto de unidades de medida, los cuales conforman un sistema no convencional para medir volúmenes. Las relaciones son tales que: el vaso A cabe 2 veces en el vaso B y el vaso B cabe 3 veces en el vaso C, por lo tanto el vaso A cabe 6 veces en el vaso C. Igualmente cuando la unidad de medida es el vaso mayor, entonces la relaciones serán fraccionarias. En la actividad 1 se espera que los estudiantes realicen la manipulación de los vasos y la arena para establecer las equivalencias entre las respectivas capacidades de cada uno de ellos. Esta actividad de alguna forma permite una introducción a los números racionales, pues dado que no siempre la relación entre las medidas es entera, entonces se tendrá que recurrir a las fracciones de unidad para expresar las comparaciones (para una mayor claridad de los números racionales como medida, ver el módulo nro 1 sobre el pensamiento numérico). En la actividad 2 se espera que los estudiantes estén en capacidad de emplear las equivalencias descubiertas en la actividad 1, para establecer nuevas equivalencias que implican mayor complejidad. Esto daría cuenta del establecimiento de relaciones multiplicativas, y de mayor control para el uso de las relaciones escalares o funcionales según la situación propuesta.

Actividad 1 Materiales Cuatro clases diferentes de vasos desechables para cada pareja de estudiantes, uno de media onza, uno de onza, uno de 3 onzas y uno de 7 onzas, marcados con las letras A, B, C y D, respectivamente.

103


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Arena y tabla de registro Qué hacer • Dibujar en el cuaderno los vasos que se les entregan. • Deberán llenar con arena los diferentes vasos y tratar de descubrir cuántos de cada uno se necesitan para llenar los demás. „ ¿Cuál es el vaso más grande? _________ „ ¿Cuál es el vaso más pequeño? ________ „ ¿Cuántas veces se debe llenar el vaso A para completar el vaso B?__________ Vaso Vaso Vaso Vaso

A A A A

cabe cabe cabe cabe

______ ______ ______ ______

veces veces veces veces

en en en en

el el el el

vaso vaso vaso vaso

A B C D

Vaso Vaso Vaso Vaso

C C C C

cabe cabe cabe cabe

______ ______ ______ ______

veces veces veces veces

en en en en

el el el el

vaso vaso vaso vaso

A B C D

Vaso Vaso Vaso Vaso

B B B B

cabe cabe cabe cabe

______ ______ ______ ______

veces veces veces veces

en en en en

el el el el

vaso vaso vaso vaso

A B C D

Vaso Vaso Vaso Vaso

D D D D

cabe cabe cabe cabe

______ ______ ______ ______

veces veces veces veces

en en en en

el el el el

vaso vaso vaso vaso

A B C D

Después de realizar varios ensayos completar la siguiente tabla de registro: VASO A

VASO B

VASO C

VASO D

VASO A VASO B VASO C VASO D

Actividad 2: para reflexionar Para hacer una gelatina se emplean 2 vasos D. Si se quiere dar la receta de la gelatina pero diciendo la medida en vasos C. ¿Cuántos vasos C se necesitan? En un juego de muñecas Catalina se gastó 12 vasos B para servir el jugo. ¿Cuántos vasos D utilizó? ¿Cuántos vasos A son? La receta de un postre dice lo siguiente: 2 vasos D de harina 2 vasos C de azúcar 8 vasos B de jugo de limón 10 vasos A de agua. Escribe nuevamente la receta del postre pero midiendo los ingredientes con el vaso B.

104


La proporcionalidad directa e inversa...

___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ Escribe nuevamente la receta del postre pero midiendo los ingredientes con el vaso D. ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________

Un marco conceptual preliminar para comprender la proporcionalidad directa e inversa En la sección anterior se mostró como la multiplicación es un primer momento en la comprensión de la proporcionalidad, en particular, la proporcionalidad directa. Esto en tanto se inicia un trabajo en la construcción de las relaciones multiplicativas de base (correlaciones entre varias variables), pero además, se da un primer paso en la conceptualización de correlaciones en las que una variable es directamente proporcional a otra. En estos primeros pasos los análisis escalares y funcionales son fundamentales en la comprensión de los diferentes tipos de relaciones multiplicativas, y a su vez éstos se constituyen en la base intuitiva de las comprensiones más formales que toman lugar cuando se avanza hacia aspectos más complejos de la proporcionalidad directa, y por supuesto, cuando se estudian otros tipos de proporcionalidad, como por ejemplo, la inversa, o incluso las proporcionalidades compuestas. Así pues, en esta sección se realizará un estudio más formal de las proporcionalidades directas e inversas y se mostrará su relación de continuidad con la construcción del pensamiento multiplicativo, además de las relaciones directas con el concepto mismo de función. El estudio de la proporcionalidad directa e inversa tiene su fundamento en un tipo de particular de correlación: aquella en la que el modelo funcional relaciona las variables linealmente34 . Si el modelo es de dos variables se trata de una correlación lineal (el modelo funcional es una línea recta Y=m•X+b) si es de tres variables entonces se trata de una correlación bi-lineal35 (función de la forma: Z=X•Y), si es de cuatro variables entonces puede presentarse una correlación tri-lineal36 (función de la forma: W=X•Y•Z), o incluso un modelo más complejo 2-2 lineal (función de la forma W•X=Y•Z)37 , y así sucesivamente. _____________________________________________________ 34

35

36 37

Es importante resaltar que existen muchos tipos de situaciones en las que las variables se correlacionan de forma no lineal, como por ejemplo, el crecimiento de una población de bacterias a través del tiempo, la forma como actúa un medicamento (por ejemplo, un antibiótico) en nuestro organismo. Relación de una variable a dos variables, como por ejemplo, el caso de la función área, o el movimiento rectilíneo uniforme sin velocidad inicial. Relación de una variable a tres, como por ejemplo, el caso de la función volumen. Relación de dos variables a dos, como por ejemplo en la ley de los gases ideales: PV=rNT, donde P es presión, V es volumen, N es el número de moléculas, T la temperatura, y r la constante universal de los gases.

105


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Proporcionalidad directa De las correlaciones lineales, aquella en la que la correlación es positiva y perfecta (es decir, una línea recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas, y que por tanto tiene por ecuación una expresión de la forma Y=m•X con m un real positivo) es la que determina la proporcionalidad simple directa. Que la correlación sea positiva se expresa en términos de que variaciones en una de las variables, genera variaciones en el mismo sentido en la otra variable. Pero este único criterio no es suficiente para caracterizar cuando una situación es de proporcionalidad directa, y esta es tal vez una de las principales fuentes de dificultad para el tratamiento de este tipo de situaciones en la escuela: la mayoría de los alumnos aplican la regla de tres a toda situación que implique covariación entre variables, aun incluso en los casos en donde esta no se pueda aplicar (situaciones de variación entre áreas y longitudes, número de obreros empleados para realizar un cierto trabajo y el tiempo que ellos se tardan, de relación entre velocidades de móviles y el tiempo empleado para recorrer una distancia fija, etc.). Lo anterior implica que para caracterizar una proporcionalidad directa se debe tener otro criterio adicional, el cual en última instancia, es el más importante: se trata del criterio de la linealidad. En una situación, la covariación es lineal (y como se dijo en el párrafo anterior, positiva), cuando variaciones en un cierto factor en una de las variables, generan en la otra variable variaciones en el mismo sentido, y en el mismo factor38. Por ejemplo, en las siguientes dos situaciones, una de ellas podría ser modelada a partir de una proporcionalidad directa, mientras que la otra no. Situación uno: Un rectángulo tiene por dimensiones 6cm de largo y 2cm de ancho. Si la longitud del ancho se hace variar (bien sea aumentando su valor o haciéndolo disminuir), mientras que el otro lado se deja constante, ¿en cuánto cambia el área cuando la longitud del ancho es 4cm; 6cm; 8cm;…; 1cm; 0,5cm; 0,25cm,…? Cuál fue el factor en que cambió la longitud del ancho en cada caso? En general, ¿se puede encontrar una expresión matemática que permita conocer el valor del área del rectángulo dado cualquier valor para el ancho del mismo?

Situación dos: Un triángulo rectángulo equilátero sus catetos miden cada uno 2cm. ¿en cuánto cambia el área de dicho triángulo cuando la longitud de los catetos es de 4cm; 6cm; 8cm;…; 1cm; 0,5cm; 0,25cm,…? Cuál fue el factor en que cambió la longitud del lado en cada caso? En general, ¿se puede encontrar una expresión matemática que permita conocer el valor del área del rectángulo dado cualquier valor para el ancho del mismo?

_____________________________________________________ 38

Este análisis se presenta a veces muy simplificado en los contextos escolares, por ejemplo a través de frases como: si una variable aumenta o disminuye, entonces la otra también aumenta o disminuye. Detrás de esta sencilla frase se dejan una gran cantidad de problemas conceptuales: de un lado, existen muchas variaciones que cumplen con este criterio y que no son lineales, y segundo, no se centra la mirada en lo que se deja constante cuando las dos variables cambian, esto es, no se analiza la relación entre los factores de variación de ambas variables. Esta puede ser quizás una de las razones por las cuales los estudiantes, e incluso, muchos docentes, tratan cualquier tipo de covariación positiva a través de la regla de tres simple directa, como si se tratara de una proporcionalidad directa.

106


La proporcionalidad directa e inversa...

Situación uno:

Situación dos:

El área original del rectángulo es de 12 cm2, por lo tanto, las variaciones serán como se muestra a continuación: Long. Ancho

Valor. Área

Factor cambio Factor Ancho cambio Área

4

24 cm2

Doble

6

36 cm

8

El área original del cuadrado es de 2 cm2, por lo tanto, las variaciones serán como se muestra a continuación: Long. Lado

Valor. Área

Doble

4

8 cm2

Doble

Triple

Triple

6

18 cm2

Triple

9 veces

48 cm2

Cuádruplo

Cuádruplo

8

32 cm2

Cuádruplo

16 veces

1

6 cm2

Mitad

Mitad

1

0,5 cm2

0,5

3 cm

Cuarta parte

Cuarta parte

0,25

1,5 cm2

Octava parte Octava parte

2

Factor cambio Factor Lado cambio Área Cuádruplo

… 2

En este caso, los factores de variación de ambas variables son idénticos, esto es, no solo aumentos o disminuciones en una de las variables produce aumentos o disminuciones en la otra, sino que los factores de la variación son iguales en ambas variables.

Mitad

Cuarta parte

0,5

0,0625cm

2

Cuarta parte

Un 16 avo

0,25

0,0312cm2

Octava parte

Un 64 avo

Por el contrario en este caso, sin bien aumentos o disminuciones en una de las variables, genera aumentos o disminuciones en la otra variable, los factores de variación de la longitud del cateto y del área son diferentes (en general, el factor de cambio del área es igual al cuadrado del factor de cambio del cateto).

Las gráficas cartesianas de ambas situaciones muestran diferencias significativas:

Correlación entre área y longitud del cateto

60

35

50

30 25

40

Valor del área

Valor del área

Correlación entre área y longitud del lado

30 20 10 0 0

2

4

6

Longitud del lado

8

10

20 15 10 5 0 -5 0

2

4

6

8

10

Longitud del cateto

Como se puede ver en los dos ejemplos anteriores, solo el caso de la covariación entre la longitud del lado del rectángulo y el valor de su área representa una variación directamente proporcional. Qué en este caso la representación gráfica sea una línea recta, mientras que en el otro no, depende fundamentalmente de la forma como se correlacionan los factores de variaciones entre las variables: en el primer caso, los factores de variaciones entre las dos variables son iguales, mientras que en el segundo, el área del triángulo varía tiene un factor de variación diferente. Estos patrones de variación expresan en la gráfica el comportamiento de la pendiente (lo cual se estudiará con más detalle en el capítulo siguiente), y de ahí, que en el caso de la proporcionalidad directa, la grafica sea una línea recta (pendientes constante, es decir, igual factor de variación de ambas variables). Que pase por el origen tiene que ver con que a una longitud cero, corresponde un área cero.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Como puede verse, la proporcionalidad simple directa está en estrecha relación con la función lineal, y por tanto, cuando se analizan los patrones de variación entre ambas variables es necesario verificar la linealidad de las variaciones. Esto es, analizar si cambios en una de las viables en un cierto factor y genera cambios en ese mismo factor en la otra variable. Como puede verse en el anterior ejemplo, este análisis se puede hacer de manera más fácil y comprensible si se toma como referencia diferentes sistemas de representación, fundamentalmente, la representación en tablas de datos y la representación gráfica cartesiana. Igualmente el carácter de linealidad se puede visualizar más fácil cuando simultáneamente se analizan variaciones no lineales, y se comparan tanto las similitudes y las diferencias entre los diferentes tipos de proporcionalidad a través de los diferentes sistemas de representación. Así pues, La proporcionalidad simple directa se puede representar o modelar por una función lineal tal que: f A ⎯⎯→ B

x⎯ ⎯→ f ( x) = k ⋅ x

donde k es la llamada constante de proporcionalidad. Esta función cumple con las siguientes propiedades: f(x) + f(y) = f(x+y) Homogeneidad con respecto a la suma f(λ • x) = λ • f(x) Homogeneidad con respecto al producto Estas dos propiedades son de gran utilidad en el tratamiento de las situaciones, incluso son usadas de forma intuitiva en diferentes tipos de procedimientos. Por ejemplo, en una situación como la siguiente: Una marca de arroz comercializa su producto en bolsas de 6 libras cada una, la cual cuesta $ 3900. ¿Cuál es el precio de 9 libras, 12 libras, 25 libras ? Este problema, siguiendo los procedimientos formulados al inicio del capítulo puede ser abordado desde un análisis escalar, llenando una tabla como la siguiente: Cantidad de libras e arroz

Precio de las libras de arroz

1

6 libras

$3900

2

3 libras (la mitad de 6 libras)

$1950 (a mitad de $3900)

3

2 libras (la tercera parte de 6 libras)

$1300 (la tercera parte de $3900)

4

1 libra la sexta parte de 6 libas )

$650 (la sexta parte de $3900)

5

12 libras (el doble de 6 libas)

$7800 (el doble de $3900)

6

9 libras (la suma de 6 libras y 3libras)

$5850 (La suma del valor de 6 libras y del valor de 3 libras $3900+$1950)

7

15 libras (la suma de 12 libras y 3 libras)

$9750 (La suma del valor de 12 libras y del valor de 3 libras $7800+$1950)

8

25 libras (el doble de 12 libras más una libra adicional)

$16250 (el doble de valor de 12 libras más el valor de la libra adicional)

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La proporcionalidad directa e inversa...

Se puede observar como las filas dos, tres, cuatro y cinco se tiene a través de aplicar un factor muy equitativo a las cantidades iniciales de ambas variables, es más, se trata del mismo factor multiplicación en ambas columnas. En este caso se está aplicando la propiedad de la homogeneidad con respecto al producto. Esta propiedad garantiza que si dos cantidades en el mismo espacio de media son tales que si una es un factor de veces la otra, entonces, las respectivas cantidades correspondientes en el otro espacio de media conservan ese mismo factor. Esto es si X y Y son tales que, Y= λ•X, entonces, f(Y)= f(λ•X)= λ•f(X). Con λ un real positivo. Por el contrario para las filas seis y siete, se aplica la propiedad de homogeneidad con respecto a la suma, puesto que los valores de cada una de estas filas son combinaciones aditivas de los valores de otras filas. En este caso esta propiedad está garantizando que cuando en un espacio de medida, una cantidad es una combinación aditiva de otros valores del mismo espacio de medida, entonces, la cantidad correspondiente en el otro espacio de medida, es la suma de los valores correspondientes a cada uno de los sumandos que la componen. Esto es, si X, Y y Z, son tres cantidades en un espacio de medidas tales en Z=X+Y, entonces f(Z) = f(X+Y)=f(X) + f(Y). Finalmente, se puede ver como la fila ocho se obtiene combinando apropiadamente las dos propiedades anteriores. Estos procedimientos que implican combinaciones de procedimientos aditivos y multiplicativos son usados de manera bastante intuitiva por los niños en sus procedimientos para resolver situaciones de proporcionalidad directa. Igualmente este tipo de procedimientos estuvo en la base de los procesos utilizados en la antigüedad para realizar cálculos que implicaban la multiplicación. Es el caso, por ejemplo, de los métodos utilizados por los egipcios o los babilonios para realizar multiplicaciones. Es claro que se debe tener cuidado con la aplicación de los mismos, puesto que como se mostró en los casos anteriores, se trata de propiedades de la linealidad de la proporción directa, y por lo tanto, en otro tipo de proporcionalidad estos principios no pueden ser aplicados. Por esta razón es importante el trabajo en simultáneo con diferentes tipos de proporcionalidad de tal manera que se puedan definir con claridad las condiciones dentro de los cuales se pueden aplicar ciertos tipos de propiedades y comprender los fundamentos conceptuales de cada proporcionalidad. Por esta vía, se identifican las propiedades de cada una de ellas y que por lo tanto, son la base para el desarrollo de los diferentes procesos y procedimientos necesarios en el tratamiento de las situaciones que deben enfrentar. Ahora bien, como se ha expresado en párrafos anteriores el estudio de los problemas de proporcionalidad simple directa a partir de la función lineal que la modela, y de sus propiedades, es generalmente pasado por alto en la escuela, y se simplifica su tratamiento a partir del uso de la regla de tres simple directa. En la escuela, este tipo de problemas se presenta a partir de situaciones que involucran cuatro cantidades, una de las cuales es desconocida. Por lo tanto en el problema se trata de averiguar el valor desconocido a partir de los otros tres que se conocen. Dado que no se analizan los patrones de variación que correlacionan las dos variables, entonces el problema es dado como un problema que se soluciona aritméticamente a partir de la regla de tres. Es más, como este proceso algorítmico se presenta al margen de los fundamentos que le dan su sentido y significado

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

conceptual, su aplicación queda reducida a multiplicar en cruz dos de los valores conocidos, y dividir dicho resultado por el otro valor. Este tipo de procedimientos es bien conocido por los estudiantes y se aplica a cualquier problema que implique cuatro cantidades una de ellas desconocida. Cuando el problema es de proporcionalidad directa, queda bien resuelto. Pero si se trata de otro tipo de proporcionalidad entonces la solución no es apropiada. Dicho de otra manera, puede suceder que cuando un estudiante resuelve un problema de proporcionalidad directa, a través del uso apropiado de la regla de tres, es porque adivinó el proceso apropiado y no porque hay comprendido realmente el sentido de la proporcionalidad. Como se verá a continuación, la regla es un proceso algorítmico que sintetiza los elementos conceptuales y procedimentales que fundamentan la proporcionalidad directa. En este sentido, ella deberá ser vista como resultado de haber estudiado todo lo relativo a la proporcionalidad directa, y no como tradicionalmente se hace, el punto de partida para su estudio. El siguiente diagrama representa un modelo para una situación típica en la cual está subyacente la proporcionalidad simple directa: B A a → f (a ) b → f (b)

su solución pasa bien por un análisis escalar (analizando las relaciones entre las cantidades del mismo espacio de medida) o por uno funcional (analizando las relaciones entre las cantidades correspondientes de un espacio de medida al otro)39 . Como se ha mostrado antes, el análisis escalar implica reconocer que si b= λ•a entonces f(b) = λ•f(a). En este caso λ es un número racional y no tiene unidades40 . A partir de esta relación escalar se puede concluir que, como a=λ•b y f(b)=λ•f(a), entonces, al dividir la segunda ecuación entre la primera se obtiene que f (a) = f (b) = λ. .Esta última ecuación ima b plica que, para cada par de valores correspondientes entre uno y otro espacio de medida, el cociente entre ellos siempre será igual. El número racional que expresa este cociente es un número real y expresa la constante de proporcionalidad entre los dos espacios de medida, o el inverso multiplícante o de la misma. Dicha constante permite que, conocido uno de los valores en un espacio de medida, se pueda hallar su valor correspondiente en el otro espacio de media, puesto que para cualquier valor en uno de los espacios de medida, f(a)=k•a. El reconocimiento de esta relación multiplicativa que relaciona los dos espacios de medida es el que permite el análisis funcional. En síntesis, el análisis funcional implica reconocer que si a=δ•f(a) entonces b=δ•f(b)41 . En este caso δ, es un número con _____________________________________________________ 39

40 41

Lo cual desde ningún punto de vista implica que primero halla que enseñar la función lineal a los alumnos para que puedan resolver problemas de proporcionalidad directa, sino por el contrario, desde aquí se puede construir una aproximación bastante interesante para su estudio. Se hace uso de la propiedad general con respecto al producto en las funciones lineales. Se hace uso de la definición de función dada antes.

110


La proporcionalidad directa e inversa...

unidades 42 pues es el resultado del cociente entre cantidades pertenecientes a espacios de medida diferentes. Ahora bien, pero cómo surge la regla de tres como síntesis de las procedimientos antes anotados? A partir de la ecuación f ( a ) = f ( b ) = k . que es el resultado del análisis escalar y a

b

funcional de correlación entre los dos espacios de medida, se puede ver que, si una de las magnitudes es desconocida digamos por ejemplo, f(b), entonces haciendo uso de las propiedades del álgebra –las cuales se cumplen para las unidades también- se puede probar que dicha cantidad es equivalente a f ( a ) ⋅ b = f ( b ) , que no es otra cosa que la multiplicaa

ción en cruz para luego despejar la cantidad requerida. Esto no otra cosa que aplicar el procedimiento de la regla de tres simple directa.

Las correlaciones bilineales y la proporcionalidad compuesta El otro caso importante de analizar es el de las correlaciones bilineales. En este caso se trata de situaciones en las cuales la función que la modela es una función de dos variables. Esto es, se trata de una magnitud cuya relación de dependencia variacional se establece con respecto otras dos magnitudes. Para que la correlación sea bilineal, se debe cumplir que la variación de la magnitud con respecto a cada una de las variables que la determinan sean lineales. Es el caso, por ejemplo, del área de un rectángulo con respecto a las longitudes de sus lados. La variación del área con respecto a la longitud de cada uno de los lados independientemente es lineal (es más, es directamente proporcional) si uno de ellos permanece constante. Esto quiere decir que si alguno de los dos lados del rectángulo aumenta su longitud al doble, al triple, al cuadro o la disminuye a la mitad, a la tercera parte, a la cuarta parte –mientras el otro lado permanece constante-, entonces el área cambia en esa misma relación. Las siguientes cuatro tablas muestran como se comporta las variaciones del área de un rectángulo cuando su altura toma diferentes valores pero dejando la longitud de la base constante (cada tabla representa la situación para un valor diferente de la base):

_____________________________________________________ 42

Un caso particular de este tipo de números se da en física o en química al trabajar con factores de conversión para la transformación de unidades.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Base igual 2 cm

Base igual 3 cm

Altura

Área

Altura

Área

1 cm

2

2 cm

2 cm

Base igual 5 cm Altura

Base igual 10 cm

Área

Altura

Área

1 cm

2

3 cm

1 cm

5 cm

1 cm

10 cm2

4 cm2

2 cm

6 cm2

2 cm

10 cm2

2 cm

20 cm2

4 cm

8 cm2

4 cm

12 cm2

4 cm

20 cm2

4 cm

40 cm2

6 cm

12 cm

6 cm

18 cm

6 cm

30 cm

6 cm

60 cm2

10 cm

20 cm2

10 cm

30 cm2

10 cm

50 cm2

10 cm

100 cm2

15 cm

30 cm2

15 cm

45 cm2

15 cm

57 cm2

15 cm

150 cm2

2

2

2

2

Constante de proporcionalidad: k=2 cm

Constante de proporcionalidad: k=3 cm

Constante de proporcionalidad: k=5 cm

Constante de proporcionalidad: k=10 cm

Relación funcional entre los dos espacios de medida: Area= 2•altura

Relación funcional entre los dos espacios de medida: Area= 3•altura

Relación funcional entre los dos espacios de medida: Area= 5•altura

Relación funcional entre los dos espacios de medida: Area= 10•altura

La gráfica cartesiana que muestra la relación entre el área y el altura para cada uno los valores de la base muestra en todos los casos las relaciones lineal. En cada situación, a mayor valor de la base, se tienen líneas rectas con mayor grado de inclinación, es decir con mayor pendiente.

Relación Área vs Altura, para diferentes valores de la Base 160 140 120

Área

100 80 60 40 20 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

Altura

Área, base 2 cm

Área, base 3 cm

Área, base 5 cm

Área, base 10 cm

Como puede verse, el valor del área depende de los valores de las dos variables –base y altura- , puesto que para cada valor de la base, se genera un conjunto de valores diferentes, a medida que la altura recorre el campo de valores posibles. Así, en primer instancia, una expresión simbólica que relaciona el área con el valor de la altura puede ser escrita de la siguiente forma: Area = pendiente • altura. Pero como cada valor de la pendiente repre-

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La proporcionalidad directa e inversa...

senta un valor diferente de la base, entonces, en general, la relación funcional que correlaciona el área con los valores de sus dos lados puede ser escrita en la siguiente forma: Area = base • altura(se trata de la fórmula comúnmente conocida, pero ahora analizada desde una perspectiva variacional, como función de dos variables). En el ejemplo anterior, de manera intencional se han utilizado palabras para representar las variables. Esto con el fin de llamar la atención sobre un aspecto fundamental cuando se trata de trabajar con las representaciones simbólicas. Si bien es cierto que tradicionalmente se ha asumido la representación de las variables por letras (generalmente x, y o z), es sólo un asunto de convención, y en una situación cualquiera se pueden usar palabras para representar las variables43 . Con esto se quiere llamar la atención sobre el hecho que lo importante no es el como se representen las variables (esto es, la forma), sino el tipo de correlación funcional entre ellas, y por supuesto, los tipos de operaciones que se deben realizar entre ellas para expresar dichas correlaciones. En general y utilizando una notación más concreta, se puede plantear que la función que relaciona el área con la longitud de los lados es: z= A(x,y) = x•y donde x e y representan respectivamente las longitudes del largo y del ancho del mismo, y el eje coordenado z representa el valor del área del rectángulo. Esta función de dos variables es conocida: la silla de montar, cuya gráfica se puede ver a continuación, para el caso en que x e y toman ambos valores variables y positivos (esto en tanto los valores de las longitudes de los lados siempre son cantidades positivas). Cada punto de la superficie, de coordenadas (x, y, A(x, y)) representa el valor del área específica para un par de valores de x e y. La superficie en su totalidad representa el área de todos los rectángulos posibles, con sus respectivos valores de cada uno de los lados.

_____________________________________________________ 43

Es el caso por ejemplo del uso de las variables en los lenguajes de programación en donde perfectamente una variable puede ser representada por un nombre, por una palabra que designa un objeto.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

En general, la función que modela tipo de situaciones de variación colineal z= f(x,y) = k•x•y, donde k es una constante (la constante de proporcionalidad). En estos casos se analiza el comportamiento de la variable z en función del cambio de las variables x e y (bien sea cada una por separado, o de manera simultánea). Esto es, se analiza el comportamiento de una magnitud o cantidad que depende de manera simultánea de otras dos. Por lo tanto la magnitud z es directamente proporcional con cada una de las magnitudes x o y, cuando una de ellas es considerada como constante, pero cuando las dos magnitudes varían libremente, entonces la magnitud z es directamente proporcional al producto de los valores de ambas variables. Simbólicamente, estas relaciones de proporcionalidad se puede expresar como sigue: Relación 1:

Si x’= α • x, entonces: f(x’, y) = f(α•x,y)= k • α • x • y = α • f(x,y)

Situación similar se presentaría con respecto a la variable y: Relacion 2:

Si y’= λ • y, entonces: f(x, y’) = f(x,λ • y)= k • x • λ • y = λ • k • x • y =λ • f(x,y)

este par de relaciones expresan que si una en las variables cambia en un cierto factor, entonces el valor de la función cambia en ese mismo factor. Pero cuando la variación de la función es con respecto a las dos variables de manera simultánea, los dos análisis anteriores se sintetizan en el siguiente conjunto de relaciones: Relación 3:

Si x’= α • x ∧ , y’= λ • y, entonces: f(x’, y’) = f(α • x, λ • y)= k • α • x • λ • y = α •λ • k • x • y =α •λ • f(x,y)

de donde se concluye que f(x’, y’) = φ • f(x,y), con φ = α •λ en este caso la interpretaciones es similar: cuando las dos variables de la función cambia cada una en un respectivo factor entonces el valor de la función cambia en relación con el producto de los factores de variación de las dos variables. Nótese que α (factor de variación de una de las variables:

), λ (factor de variación de

z´ f ( x´, y´) = α ⋅ λ ) expresan la otra variable: λ = y´ ) y φ (factor de variación de la función: φ = =

y

z

f ( x, y )

relaciones entre cantidades, mientras que x, x’, y, y’, z= f(x,y) y z’= f(x’,y’), representan los valores de las magnitudes que se correlacionan. Por lo tanto los problemas que se pueden plantear son fundamentalmente de tres tipos: dadas cinco cualquiera de las cantidades hallar la otra (proporcionalidad compuesta, que relaciona tres espacios de medida); dadas dos de las relaciones hallar la relación faltante, y dadas dos relaciones y dos cantidades hallar la relación faltante y las otras cantidades. Generalmente en las situaciones escolares sólo se proponen situaciones de proporcionalidad compuesta, los cuales

114

α


La proporcionalidad directa e inversa...

son analizados de manera muy similar al tratamiento propuesto para la regla de tres simple directa, y por supuesto, sin analizar las relaciones de variación entre las variables. Los problemas que conducen a la proporcionalidad compuesta pueden ser representados así: A B a b

C f ( a , b)

a ' b'

f (a ' , b' )

b a

o

a'

b'

f (a, b) f (a' , b' )

La relación 3 analizada anteriormente es el teorema escondido que permitiría explicar el tratamiento tradicional de la proporcionalidad compuesta, en el cual unas cantidades se multiplican en cruz, y otras se multiplican en línea recta, a partir de un proceso mecánico de poner cruces y rayas encima de algunas de las variables. Por ejemplo, si se supone que la cantidad desconocida fuera b’, entonces, el procedimiento sería el siguiente:

a ⋅ b ⋅ f ( a´, x ) xx == a ⋅ b ⋅ f ( a´, x ) aa ´ ´⋅ f⋅ (f a( ,ab,)b )

+

A a

B b

C f ( a ,b )

x

f ( a´, x )

puesto que A es inversamente proporcional con respecto a B y C es directamente proporcional con respecto a B. por lo tanto los productos: a’ • x • f(a,b) y a • b • f(a’,x) son iguales. Por lo tanto:

. Indudablemente cuando éstas reglas son aplicada de manera

mecánica sin una comprensión de los factores de variación que están implicados, entonces las probabilidades de fracasar en la solución del problema son muy altas. Por el contrario, el uso de la relación tres antes analizada, permite plantear la solución del problema de una manera mucho más sencilla y directa. Como se sabe que la magnitud C es directamente proporcional a las otras dos magnitudes entonces: f(a,b) = k•a•b y f(a’,x)=k•a’•x. Al dividir ambas expresiones se obtiene que: deducir que:

⋅ f ( a´, x ) a´ ⋅x = de donde fácilmene se puede f ( a ,b ) a ⋅ b

. Nótese que por este proceso de solución lo que se debe tener

claro es el tipo de correlación que existe entre la magnitud C y las magnitudes A y B. una vez establecida el tipo de correlación, el procedimiento algebraico es de fácil ejecución. Sobra decir que este tipo de problemas ofrecen una especial dificultad a los alumnos por el tipo de análisis que implican44 .

_____________________________________________________ 44

Vergnaud, 1988, plantea que este tipo de problemas han sido poco estudiados y que especialmente los profesores desconocen las dificultades de los alumnos al solucionarlos.

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2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Las correlaciones n-lineales Las correlaciones lineales de más de dos variables también determinan proporcionalidades compuestas. En general, planteamientos similares pueden realizarse para correlaciones lineales en las que se relacionan más de tres variables, solo que ahora se pueden presentar de manera simultánea variaciones tipo directa o inverso. En efecto, ahora se trata de relaciones funcionales de N variables a M, es decir relaciones funcionales de la forma f(x1, x2, ...xn)= K g(y1, y2, ...yn), donde las dos funciones son lineales en cada una de sus variables. Por ejemplo, si la relación funcional no fuera de una variable a dos, como en el caso anterior, sino de dos variables a dos variables, es decir, f(x,y)= K g(r,s), pero eso si, con la condición de que ambas funciones sean lineales en cada una de las variables, entonces, la función f sería directamente proporcional con respecto a las variables r y s y la función g lo sería con respecto a las variables x e y; pero, para valores constante de la función f las variables r y s serían inversamente proporcionales, y para valores constantes de la función g las variables x e y también lo serían. Un ejemplo típico de este tipo de problemas lo presenta la ley de los gases ideales: se sabe que esta ley expresa cuantitativamente las relaciones entre presión (P), volumen (V), temperatura (T) y número de moléculas del gas (N), lo cual se puede modelar así: presión P P’

volumen V V’

Temperatura T T’

# de Moléculas N N’

Ahora bien, se ha demostrado que las variables P, V, N y T, se correlacionan linealmente, es más, que el producto, P•V tiene una correlación lineal con respecto a las variables T y N, al igual que el producto N•T con respecto a las variables P y V. Dicho en otras palabras, la función h(p,v)=P•V y la función f(n,t)=N•T tienen una correlación lineal. Pero como esta correlación lineal es perfecta, entonces se tiene que h( p, v) = k , donde k es la constante f (n, t )

universal de los gases. De esto se deriva la famosa fórmula: P•V=N•R•T. Un análisis de esta expresión, desde el punto de vista de la variación proporcional de las dos funciones bilineales implica, por ejemplo, entre otras situaciones posibles, que para valores constantes de la función h (es decir, presión y volumen constante), las variables N y T sean inversamente proporcionales (lo cual implica que en un cambio en un factor µ en una de ellas, produce un cambio en un factor

1

μ

en la otra); o que para valores de N constante

(cantidad de moléculas del gas constante), un cambio en un factor µ en la temperatura, implica un cambio en el mismo factor para la función h (es decir, que el producto P•V cambia en un factor µ). La anterior situación de la ley de los gases ideales es idéntica a la siguiente: Un grupo de M hombres, trabajando todos al mismo ritmo, construyen un zanja de largo L y ancho A, en N días de trabajo. Otro de grupo de M’ hombres, trabajando al mismo ritmo de los

116


La proporcionalidad directa e inversa...

anteriores, ¿en cuántos días construyen otra zanja de igual profundidad, pero de largo L’ y ancho A’?. Tradicionalmente este problema se resuelve de la siguiente manera, donde T’ es la incógnita: # de personas M M’

Tiempo trabajando T T’

+ Ancho zanja A A’

+ longitud zanja L L’

Los signos + o – se ponen casi de manera mecánica, y luego se hace la siguiente igualdad: M • T • A’ • L’ = M’•T’• A•L igualmente sin casi comprender el sentido de la misma. Nótese que si se realizara una análisis desde la perspectiva de las relaciones funcionales entre los espacios de medida, no habría que pensar en fórmulas, ni métodos, sino tan solo en como expresar la relación funcional, la cual es como sigue: Personas•Tiempo = k•Alto• Largo•Ancho. Donde k es la constante de proporcionalidad y el alto de la zanja siempre es el mismo. Al escribir las dos ecuaciones y dividir una entre otra, se obtiene una expresión como la siguiente:

Personas * ⋅ Tiempo* k ⋅ Alto ⋅ L arg o* ⋅ Ancho* = , la cual es equivalente a Personas ⋅ Tiempo k ⋅ Alto ⋅ L arg o ⋅ Ancho Personas * ⋅ Tiempo* L arg o* ⋅ Ancho* = , o lo que es lo mismo, Personas ⋅ Tiempo L arg o ⋅ Ancho L arg o ⋅ Ancho ⋅ Personas * ⋅ Tiempo* = L arg o* ⋅ Ancho* ⋅ Personas ⋅ Tiempo la anterior expresión es idéntica a la que se obtiene al aplicar los métodos de la regla de tres compuesta, pero por supuesto, con una carga de memoria mucho menor, en tanto que su obtención depende del análisis funcional de la relación entre las variables. Nótese como por ésta vía, cualquier problema de este tipo, sin importa si es de química, física, aritmética, etc., tendría el mismo proceso de solución, pues todos ellos, aunque se propongan en contextos diferentes, son iguales desde el punto de vista matemático, es decir, tienen la misma estructura, y por tanto, son equivalentes. En líneas generales existen muchos tipos de situaciones que se pueden representar a partir de prporcionalidades múltiples. En todos estos casos el análisis fundamental debe centrar la mirada en las correlaciones entre las variables. Por ejemplo, en situaciones como las siguientes, el comportamiento sigue siendo igual a la situación ya analizada de los obreros y la construcción de la zanja. Por lo tanto, pintar una pared (varios obreros, pintando a diferentes ritmos, trabajando en el mismo espacio); lavar unos carros (varias personas que trabajan a rtimos diferentes para lavar más o menos carros); llenar un tan-

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

que de agua con diferentes tipos de llaves (varias llaves y el agua en un mismo tanque a diferentes ritmos); son todas cada una el mismo tipo de situación: el trabajo realizado es directamente proporcional al producto del tiempo empleado por el número de obreros utilizados. Situación similar se presentaría con situaciones en relación con otras disciplinas: velocidades, espacios y tiempos (el espacio recorrido es directamente proporcional al producto de la velocidad y el tiempo empleado, pero velocidad y el tiempo con respecto al espacio son inversamente proporcionales), fuerza con masa y aceleración (la fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional al productor de la masa y la aceleración, ya su vez, masa y aceleración con respecto a la fuerza son inversamente proporcionales), presión de un gas o líquido con respecto al volumen y su temperatura (la presión es directamente proporcional al producto del volumen por la temperatura, pero a su vez volumen y temperatura con respecto a la presión son inversamente proporcionales).

Las correlaciones bilineales y la proporcionalidad simple inversa En el último párrafo se mostraba como las situaciones que impliquen la proporcionalidad compuesta, tienen implícita correlaciones de tipo inversa entre algunas de las variables. El caso más simple es aquel que se presenta en las correlaciones bilineales. La proporcionalidad simple inversa aparece cuando en la función z=f(x,y) = k•x•y, la variable z toma un valor constante. Por lo tanto, al hacer variar los valores de una de las magnitudes, la otra magnitud variar de manera tal que el producto de ellas se conserve igual. La situación típica de este caso ha sido analizada cuando se estudió el problema dada un área fija para un rectángulo, encontrar los posibles valores de sus dos lados. Fijar el valor de z y encontrar todos los posibles valores de, x e y cuyo producto tenga ese valor z, es equivalente a encontrar las curvas de nivel en la silla de montar que representa la gráfica en tres dimensiones de este tipo de ecuaciones. Las siguientes dos gráficas muestran tal situación:

118


La proporcionalidad directa e inversa...

En la gráfica de izquierda se muestra la superficie en la cual se han hecho los cortes con planos paralelos, cada corte determina una curva de nivel. Cada curva de nivel está representando, para el caso del problema los rectángulos, una familia de rectángulos cuyas áreas son iguales. En sí misma, una curva de nivel representa todos los rectángulos posibles cuya área es igual. Como se puede ver en la gráfica de la derecha, cuando las curvas de nivel se proyectan sobre el plano XY, estas gráficas son híperbolas referidas a los ejes (los ejes coordenados son asintotas), tal como se analizó en capítulos anteriores. Cada una de estas gráficas representa todo los rectángulos posibles para un valor determinado de su área. Dicho de otra manera, las coordenadas de cada punto en una dichas curvas representa las dimensiones de los lados de un rectángulo. Y todo el conjunto de puntos de una orden particular, representa los rectángulos de un área determinada. En general se puede plantear entonces que, la función z= f(x,y) = k•x•y (con z de valor constante) expresa para cada valor constante de z una proporcionalidad inversa entre las variables x e y . Ahora bien, para que un par de variables se comportan de manera inversamente proporcional, entonces de conservar su producto y por lo tanto, al cambiar una de ellas por un cierto factor, la otra variable debe cambiar en el factor inverso de dicho valor. Retomando la situación del área de los rectángulos, se podría plantear la siguiente situación a manera de ejemplo.

Rectángulo de área 4 cm2

Rectángulo de área 12 cm2

Alto

Ancho

Altura

0,2 cm

20 cm

24 cm

0,5 cm

1 cm

4 cm

18 cm

2/3 cm

2 cm

2 cm

12 cm

1 cm

4 cm

1 cm

8 cm

1,5 cm

8 cm

0,5 cm

4 cm

3 cm

16 cm

0,25 cm

2 cm

2 cm

Relación funcional entre los dos espacios de medida: Area • altura =4

Área

Relación funcional entre los dos espacios de medida: Area • altura=12

Los dos casos mostrados en la tabla anterior permiten ver cómo cuando una de las dimensiones del rectángulo aumenta al doble al triple al cuádruple, … , entonces la otra disminuye la mitad a la tercera parte a la cuarta parte y así sucesivamente. O a la inversa cuando una de las variables disminuye a la tercera parte, a la cuarta parte entonces la otra aumenta en los inversos de dichos factores. De esta forma en cada caso el producto de ambas variables permanecen constantes. Las gráficas de los dos casos anteriores se pueden ver a continuación:

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Como puede verse las dos familias de puntos se distribuyen, cada una, a lo largo de una curva. Cada curva representa un rectángulo cuya área es igual bien sea a 4 cm2 o bien sea 12 cm2, según sea el caso. En líneas generales, y siguiendo formas de representación más simbólicas, este tipo de problemas se pueden expresar así: A B C a b k a’ b’ k’

donde

a•b= k= a’•b’

donde k es la constante de proporcionalidad. Nótese como en el planteamiento tradicional de la escuela a estas situaciones problemas se deja implícito el espacio C, por ser constante, sin contar que este es el que permite expresar la relación matemática que correlaciona las magnitudes A y B. Debido a este implícito, en el tratamiento tradicional escolar de este tipo de proporcionalidad, se presenta la regla de tres simple inversa como una multiplicación en línea recta (contraria a la directa en la que se multiplica en cruz) casi sin ninguna justificación. Al igual que los casos anteriores, la regla de tres simple inversa es el resultado de la igualdad anteriormente enunciada. Es decir, dado que cualquier par de valores correspondientes de las dos variables que se correlacionan inversamente proporcional siempre deben tener el mismo producto, entonces: como x • y = k ∧ x’ • y’ = k x • y = k = x’ • y’ , lo cual es equivalente a x • y = x’ • y’ de esta última ecuación, dados tres valores cualquiera se puede hallar el cuarto. Esta es la regla de tres simple inversa, pero como resultado del análisis de las correlaciones entre las variables.

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Cuando la situación implica correlacionar de manera inversamente proporcional más de dos variables, los procedimientos conservan la misma estructura, sólo que la igualdad entre los productos correspondientes implica más de dos factores a cada lado de la igualdad.

•SITUACIÓN No. 1: IMPLEMENTOS DE TRABAJO • Hojas de papel (preferiblemente milimetrado, o en su defecto, hojas de cuaderno cuadriculadas). • Lápices. • Reglas y escuadras. • Calculadora científica. • Computador. • Programa Geogebra. OBJETIVO DE Se pretende que por medio del análisis de la variación del área de un triángulo isósceles con respecto a su altura, el alumno pueda acercarse a la noción de variable como un elemento de un campo de variación. METODOLOGÍA La actividad se va a desarrollar en grupos de tres personas. Estas deben elaborar un informe escrito donde se recojan los resultados y conclusiones a los cuales ha llegado el grupo, para luego ser compartidos con el resto de los compañeros. Se va a utilizar un computador por grupo. DESCRIPCIÓN Los marcos que se involucran en la tarea permiten que el estudiante logre conjugar y afirmar nociones de geometría y aritmética, de tal forma que pueda acceder a un campo algebraico de una manera más natural y lógica. Así no tendrá, en principio, que enfrentarse al hecho de manipular fórmulas y estructuras poco familiares. Además, el moverse en diferentes marcos le permite involucrar en la solución de la situación, elementos que de una u otra forma tienen relación, aunque no directa, con la propuesta dada. También, permite comprender la variable en una dimensión diferente a la de incógnita, en la dimensión de ser elemento de un campo numérico de variación. La actividad contiene tres partes. En la primera se realizan construcciones con papel y lápiz, la segunda involucra el manejo del computador con el programa de GEOGEBRA y la tercera se refiere a una plenaria donde se discuten los resultados obtenidos en cada grupo. Respecto a la primera se tiene que, de acuerdo con las observaciones de clase, los alumnos tienden a manejar solo números enteros en sus mediciones, lo cual restringe el objetivo de acercarse a la noción de continuo. Por tal motivo se propone la segunda parte de la

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actividad, la cual permite que el estudiante realice cálculos de mayor exactitud con números racionales. Esto favorece la creación de la noción de continuo y la noción de variable como elemento de un campo numérico de variación. Además, soluciona en parte, el obstáculo que se presenta en la medición directa de las longitudes de los segmentos que se manipulan en la tarea. La tercera parte es de vital importancia ya que se establecen resultados comunes para iniciar un acercamiento a la noción de variable. Todo lo anterior permite reflexionar sobre la relación de proporcionalidad directa que se tiene entre el área de un triángulo y su altura, cuando la base permanece con un valor constante. MOMENTO 1: 1. Dibujar un triángulo isósceles cuya base mida 5cm y una altura de 4cm. 2. Dibujar como mínimo otros cinco triángulos isósceles cuyas bases midan 5cm y sus alturas varíen en un rango de 0 a 10cm. 3. Calcular el área de cada uno de los triángulos que se dibujaron en los puntos anteriores (1 y 2). Puedes calcular dicha área con apoyo de la cuadrícula de la hoja de papel. 4. Elabora una tabla donde aparezcan los valores del área con respecto a los valores de la altura. Puedes tomar como guía la siguiente tabla: ALTURA (cm)

4

ÁREA (cm2)

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5. De acuerdo con los resultados obtenidos en la tabla: a) Observa los resultados que se obtuvieron de área y altura y escribe cómo se relaciona el cambio de los valores de las alturas con respecto a los valores del área. b) Con la relación que se obtuvo en el punto anterior, puedes escribir cual sería el área de un triángulo cuya base mide 5cm y su altura mide 20 cm. c) ¿Qué sucede con el área del triángulo, si el valor de la altura del punto anterior se duplica, es decir mide 40 cm? d) ¿Qué sucede con el área del triángulo, si el valor de la altura mide 1cm? e) ¿Qué sucede con el área del triángulo, si el valor de la altura del punto anterior de reduce a la mitad? 6. Elabora una gráfica de área contra altura, de acuerdo con los datos obtenidos en la tabla del punto 4. 7. Basándose solo en la gráfica que se obtuvo, puedes calcular el área de un triángulo cuya base mide 5cm y su altura 13cm. 8. Teniendo en cuenta el análisis de la tabla y de la gráfica: a) ¿Qué puedes concluir respecto a los valores que puede tomar la longitud de la altura de los triángulos isósceles? b) ¿La altura del triángulo puede tomar valores negativos, como por ejemplo –7cm, 4cm, etc.? ¿Por qué?.

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La proporcionalidad directa e inversa...

c) ¿La altura del triángulo puede tomar un valor de 100cm, de 1000cm, de 10000cm? ¿Qué sucede con el área de dichos triángulos cuando su altura toma esos valores? SEGUNDA PARTE 1. Utilizando el programa geogebra, van a realizar lo siguiente: a) Dado un triángulo isósceles cuya base mide 5cm y su altura 4cm, hacer variar la altura y calcular para cada caso el valor del área respectiva. b) Elabora una tabla con los valores obtenidos para el área del triángulo en función de los valores de la altura correspondiente. c) Realiza una gráfica de área contra altura, teniendo como base los datos de la tabla anterior. d) Analiza la gráfica y la tabla y responde: • ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo si la medida de la altura es 13.2cm? • ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo anterior, si la medida de la altura se duplica? ¿Si se triplica o cuadruplica? ¿Por qué?. • ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo si la medida de la altura es 0.5cm? • ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo anterior, si la medida de la altura se duplica? ¿Si se triplica o cuadruplica? ¿Por qué?. • ¿Qué sucede con el valor del área del triángulo anterior, si la medida de la altura se reduce a la mitad? ¿Si se reduce a la tercera parte o a la cuarta? ¿Por qué? • ¿En qué rango pueden varían los valores de la altura de los triángulos trabajados? • Escribe una expresión que relacione la variación del área respecto a la altura. TERCERA PARTE Discusión de los resultados obtenidos en cada grupo de trabajo. Durante la plenaria se expondrán los resultados, observaciones y conclusiones que obtuvo cada grupo de tal forma que logren aclarar dificultades o concepciones, para luego elaborar una conceptualización sobre la noción de variable como elemento de un campo numérico de variación. Igualmente en la discusión se debe poner énfasis en la relación funcional entre área y altura cuando la base es constante, y ampliar la reflexión a otros casos, por ejemplo, • Qué pasa si el valor de la base constante se cambia por otro valores, que después se dejan fijos para poder hacer variar de nuevo la altura (base 2cm, altura variable; base 4cm, altura variable, etc). Hacer las tablas y las gráficas, puede ser con apoyo del computador si se desea, analizar las similitudes y diferencias. Todo lo anterior, deberá permitir concluir con respecto a la relación proporcional entre área y altura (con base constante) en un triángulo isósceles: A = 12 b × H , donde A representa el área; b representa el valor de la base (constante en cada caso), y H representa la altura del triángulo. • Qué pasa si ahora se invierten los papeles, es decir, se deja fija la altura, y la que se hace cambiar es la base. Analizar la situación para diferentes valores la altura, comparar las conclusiones de este punto con el anterior. • Qué pasará, con otras figuras, como por ejemplo, un rectángulo (haciendo variar un lado, y dejando constante el otro), un paralelogramo (haciendo cambiar la base, dejando constante la altura, o viceversa, dejar constante la altura y hacer cambiar la base).

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• Que pasa si hace un análisis similar entre el área de un cuadrado y la longitud de su lado.

•SITUACIÓN No. 2: Un granjero dispone de 96 m de malla metálica. Con ella quiere limitar un gallinero de forma rectangular. El granjero necesita saber que dimensiones debe tener el gallinero para encerrar la mayor cantidad de gallinas.

Recomendaciones: Registren por escrito todas sus observaciones y conclusiones. Conserven todos los datos producidos (no borren ni tachen nada). Si se equivocan, simplemente escriban corrección, y a continuación anote la nueva información. MOMENTO 1: ¿De cuántas maneras diferentes se puede construir dicho corral? Dibuja, con tus compañeros, los posibles corrales. MOMENTO 2: Encuentren el área y el perímetro de los corrales dibujados y organice las soluciones obtenidas en una tabla como la siguiente: Medida del ancho

Medida del largo

Perímetro del gallinero (mts.)

Área del gallinero (mts2)

Gallinero 1 Gallinero 2 Gallinero 3 Gallinero 4 Gallinero 5 Gallinero 6 Gallinero 7

• ¿Cree usted que tienen las dimensiones de todos los posibles corrales que se pueden hacer? Justifique su respuesta. • ¿Cuál cree usted que sea la mayor longitud que puede alcanzar el ancho del gallinero? • Si el granjero conoce la longitud de un lado del corral, ¿Cómo puede obtener el otro lado y su área? MOMENTO 3:

Actividad 1 1 Si el granjero ha calculado que cada gallina requiere 1 metros cuadrados para vivir có2

modamente y necesita encerrar 500, ¿Cuáles son las posibles medidas del largo y el ancho para encerrarlas? ¿Cuántos metros de malla tiene que comprar?

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Si el granjero conoce la longitud de un lado del corral, ¿Cómo puede obtener la longitud del otro lado y la longitud del perímetro? ¿En cuál, de todos los posibles corrales, se pueden encerrar las 500 gallinas viviendo cómodamente, pero gastando la menor cantidad de malla?

Actividad 2 El granjero hizo un contrato con la empresa Huevos de Antioquia, con la que se comprometió a entregar 4500 huevos diarios. Él sabe que cada gallina pone dos huevos por día, siempre y cuando viva cómodamente, pero si se le reduce el espacio a 1 metro cuadrado sólo pone 1 huevo. ¿Cuál de las dos opciones debe escoger el granjero para cumplir con lo pactado?. Justifica tu respuesta. MOMENTO 4: 3.1 Ahora, utilizando el programa Geogebra, construya un rectángulo de área fija que tenga por perímetro la longitud que acabas de definir (tal como ya se mostró en el taller con GEOGEBRA). Cambie los lados del rectángulo. Realiza una tabla de las longitudes posibles de los lados de los rectángulos. 3.2 De acuerdo con lo realizado, ¿es posible construir más corrales de los que ya tenía? ¿Cuáles? ¿Cree que puede anexar mas soluciones posibles a la tabla realizada antes? ¿Por qué? 3.3 Cambia a otros posibles valores del perímetro del rectángulo, y llena por cada valor, una tabla con las longitudes de los lados de los rectángulos que se pueden construir. 3.4 Analiza la regularidad (matemática) que cumplen, para cada caso, la longitud de la base con respecto a la longitud de la altura. 3.5 Realiza las gráficas cartesianas de las diferentes tablas. Qué tipo de función relaciona la base y la altura de cada caso graficado?

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Unidad No.4

El razonamiento algebraico y la modelación matemática45

Fabián Arley Posada Balvín Jhony Alexander Villa Ochoa

Introducción La perspectiva de construcción de modelos matemáticos que den cuenta de fenómenos tanto del mundo real como de las matemáticas, se puede entender como un proceso que permite dinamizar la construcción de elementos propios del álgebra, a partir del desarrollo de dos fases fundamentales: la fase de formulación y la fase de validación. En la fase de formulación se establecen las relaciones entre las variables de una situación, lo cual puede hacerse a partir de medidas o conjeturas; posteriormente, se ejecuta una serie de transformaciones de tipo matemático que conducen a expresar el modelo matemático en una forma simbólica algebraica. La fase de validación comprende la constatación de la validez del modelo, a partir de su comparación con la situación que lo origina. (Janvier, Nemorosky (1996)) En este caso, para entender al proceso de modelación matemática como herramienta didáctica, se debe cuenta los siguientes aspectos: • El papel que juegan las diferentes magnitudes al interior del modelo. • Los problemas que surgen para la comprensión de los fenómenos a partir del tipo de magnitudes involucradas en la situación. • Diferenciar el doble estatus que el objeto matemático juega cuando es tratado como modelo: por un lado, propio de las ciencias matemáticas, y por otro representante de un fenómeno de variación. • Las dificultades que surgen en el intento de generalizar los resultados matemáticos desarrollados por esta vía. • El papel de los llamados sistemas semióticos de representación. • El problema de la validez en los resultados obtenidos.

_____________________________________________________ 45

Ideas tomadas de los planteamientos de: POSADA B. F. y VILLA O. J., presentes en el documento, trabajo de grado: "Propuesta didáctica de aproximación al concepto de función lineal desde una perspectiva variacional", aprobado para optar al titulo de Magíster en Educación: Docencia de las Matemáticas.

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De esta forma, teniendo en cuenta los anteriores elementos y la poca familiaridad de la escuela con respecto al proceso de modelación matemática, es necesario considerar que la aproximación al álgebra escolar desde este enfoque, requiere de largos periodos de tiempo y por tanto debe ser una tarea emprendida desde los primeros años de escolaridad.

El concepto de función como modelo matemático desde una perspectiva variacional El aprendizaje del concepto de función ha sido tradicionalmente considerado como un elemento que debe ser abordado por primera vez, en los últimos años de la educación básica (9º) y, en general, es objeto central de estudio en la media (10º y 11º). Actualmente se observa que la escuela trata dicho concepto como un caso particular de lo propuesto por el grupo Bourbaki, quienes basados en el lenguaje de los conjuntos, consideran su definición de la siguiente manera: Sean A y B dos conjuntos que pueden ser distintos o no. Una relación entre un elemento variable x de A y un elemento variable y de B se llama una relación funcional, si para todo x∈A, existe un único y∈B que está relacionado con x en la relación dada. Damos el nombre de función a la operación que de esta forma asocia con cada elemento x∈A el elemento y∈B que está relacionado con x en la relación dada. (Lacasta y Pascual, 52)

A partir de esta, los textos escolares proponen interpretaciones tales como: Una función de un conjunto X en un conjunto Y es una regla de correspondencia que le asigna a cada elemento x de X uno y solo un elemento y de Y. El conjunto X se llama dominio de la función. Zill (1992;143)

Desde este punto de vista, el problema general a resolver en la escuela, ha estado determinado por hacer que los estudiantes aprendan que una función es un conjunto de pares ordenados de la forma (x,y) tales que no debe haber dos pares ordenados diferentes en el conjunto, que tengan el mismo primer elemento. Así, esta idea tiene las siguientes implicaciones pedagógicas: 1- Al considerar que la comprensión de dicho concepto matemático depende en su totalidad, de la comprensión que se tenga de los conceptos abstractos de conjunto, par ordenado y regla de correspondencia, se considera absurdo pensar, que los niños y las niñas de la básica primaria se aproximen a él. 2- Como la definición no depende de los elementos pertenecientes a los conjuntos que la determinan, siempre y cuando la regla de correspondencia cumpla con la condición dada, desaparece la importante idea de ver en éste concepto un objeto matemático que atrapa la variación y el cambio, es decir como un modelo matemático. 3- No se logra captar el papel fundamental que juegan los diferentes registros semióticos de representación en la comprensión del concepto. 4- Se dificulta la construcción de interrelaciones que a través de este concepto se puede establecer con otras ciencias, tales como la física, la química, la ingeniería, etc.

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Algunos de los fracasos en la comprensión del concepto de función se presentan porque su estudio se hace al margen de las anteriores consideraciones. Es decir, se estudia a espaldas del papel que juega como objeto que permite atrapar matemáticamente la covariación entre dos o más cantidades de magnitud, de la misma o distinta naturaleza, a través de algún registro semiótico de representación. Dicho de otra forma, no permite entenderlo como modelo matemático de un conjunto de situaciones que se rigen por características similares. Así, sin negar que el estudio formal de este concepto requiere de elementos teóricos abstractos y por tanto sólo sería pertinente en los últimos grados de escolaridad, también se considera posible generar contextos a través de los cuales se logra dar inicio a su comprensión desde los primeros años. Una de ellas, como se mostró en capítulos anteriores, es a través del razonamiento proporcional, de actividades centradas en el estudio de patrones y regularidades, desde actividades que atrapen aspectos de la generalidad desde los fenómenos de variación, etc. Por esta razón uno de los problemas determinantes que requiere ser abordado desde el pensamiento variacional, es entender que el paso en la apreciación del sentido variacional a la determinación de una expresión que correlacione dicha variación, no siempre es fácil ni inmediato. Esto significa, que si se entiende por sentido variacional, aquella apreciación del cambio en una o varias variables dependiendo del cambio de otra u otras, y a la noción de correlación como la posibilidad de expresar dicha variación a través de un modelo funcional, entonces el problema es encontrar, si es posible, una función que exprese la variación entre dichas variables. Esto es, en términos del proceso de modelación matemática, formular el modelo. Como se puede apreciar, el proceso de modelación matemática está íntimamente relacionado con la propuesta funcional de construcción de los objetos algebraicos. Esto al menos por dos razones: la primera porque por esta vía se hace énfasis en los procesos que implican determinar la forma como una o varias cantidades de magnitud varían con respecto a la variación de otra u otras, es decir, la noción de variación es fundamental. Y Segundo porque una de las pretensiones es atrapar dicha variación a través de un modelo funcional46.

El papel de los registros de representación del concepto de función en el proceso de modelación matemática Las funciones racionales, trigonométricas, logarítmicas, etc. y muy especialmente las funciones polinómicas de grado uno y dos (lineales y cuadráticas respectivamente), han representado una particular importancia para la educación básica y media, a tal punto que se les dedica grandes periodos de tiempo, generalmente en los grados superiores. Las razones para que esto sea así, han sido en primera instancia, por su sin número de "aplicaciones" y de otro lado porque en particular las funciones polinómicas son la base para el estudio de los llamados casos de factorización. _____________________________________________________ 46

Si esto se logra se dice que las cantidades de magnitud están correlacionadas.

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No obstante, como ya se mencionó, su estudio se ha desarrollado sin apelar a la noción de variación y esto ha impedido verlas como modelos matemáticos. Si bien es cierto, que la actual presentación formal del concepto de función, permite entenderlas como objetos matemáticos abstractos y por tanto responde a los cánones matemáticos bajo los cuales se construyen y entienden, dotadas del poder para expresar elevados niveles de generalidad; también es cierto que presentarlas así a los estudiantes de la educación básica y media, ha generado un impacto desfavorable para su comprensión, pues es negarles toda su riqueza en cuanto a su uso en la tarea de matematizar la variación. Esto es, la moderna definición de este concepto abre más la brecha entre entenderla como un modelo matemático que permiten atrapar la variación y el cambio y como un objeto matemático abstracto-analítico ausente de todo carácter fenomenológico. La primera le imprime un sentido dinámico y la segunda estático. Es por esto que a partir de una interpretación de lo propuesto por los lineamientos curriculares, se planteará la construcción de este y otros conceptos propios del álgebra, desde una perspectiva variacional, entendiéndolos en un primer momento como un modelo matemático (sentido dinámico), y desde allí construir puentes que permitan entenderlo como un objeto matemático analítico (sentido estático). Esta tarea es desarrollada con la ayuda de diferentes registros de represtación para el concepto de función, y así, a partir de las actividades de tratamiento y conversión, ratificar la necesidad de entender desde temprana edad escolar la relación de igualdad como una relación de equivalencia en dos niveles: como identidad y como ecuación. Esto es, entender que si se estable una relación de igualdad entre dos funciones definidas en el mismo dominio, se pude encontrar que: a) las funciones son las mismas para todo el dominio, es decir, todos los valores de la función tienen una preimagen en el dominio, en este caso las funciones son idénticas. b) las funciones sólo son iguales para un subconjunto de valores del dominio, en este caso se dice que determinan una ecuación. Los registros de representación que se adoptaron en este trabajo para el estudio del concepto matemático de función, son: El registro de representación en lengua natural (castellano), el sistema de representación gráfica cartesiano ortogonal, el registro de representación tabular y el registro de representación simbólico. Desde esta perspectiva, comprender el concepto de función como un modelo matemático, implica la construcción de un registro simbólico analítico de una situación, que generalmente se presenta en lenguaje natural. Dicho de otra forma, construir un modelo matemático de cierta situación, se entenderá, como un proceso que parte de un fenómeno expresado en lenguaje natural para llegar a la construcción de sofisticados sistemas simbólicos matemáticos. Esto haciendo uso intermedio de diagramas, metáforas, simulaciones, en especial registros tabulares y gráficos. Lo anterior, dado que es el registro simbólico analítico el que permite referirse a los conceptos matemáticos con mayor grado de generalidad. En términos de Janvier (1996) se centrará la atención, principalmente en los prime-

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ros momentos del proceso de modelación (experimentación y abstracción) lo cual, es denominado por este autor, fase de formulación47. Por esta razón se crea la necesidad de analizar de cada uno de los registros de representación del concepto de función arriba mencionados. Se propone entonces, asumir al lenguaje natural y el simbólico como dos registros principales, dado que el primero se convierte, en general, en el punto de partida y el segundo se concibe como el modelo matemático del fenómeno. Los registros tabular y gráfico se tomarán como registros auxiliares en el reconocimiento de las relaciones funcionales entre las magnitudes que intervienen en la situación. De esta manera, de acuerdo con Duval (2004; 58) los registros auxiliares tendrán las siguientes funciones: • Aportarán información adicional en la comprensión del concepto (función) a partir de su contenido48 , que en la presentación discursiva (registro principal) no es posible dilucidar. • Ofrecerán posibilidades de tratamiento totalmente diferentes al del registro principal. En particular, permiten desarrollar secuencias de reglas operatorias o de procedimiento. Es decir, tratamientos tipo algorítmicos. • Suplirán un desconocimiento eventual de los registros principales. • Separarán información pertinente o útil en relación con la tarea a realizar. • Permitirán la organización en orden de necesidad o importancia de los diferentes registros elegidos para la tarea a realizar. • Mostrarán posibles ejemplos que afirmen o rechacen algunos rasgos o propiedades del concepto en mención. Desde un punto de vista variacional, el paso de una situación presentada en lenguaje natural al registro simbólico se determinará a partir del análisis de diferencias. Esto quiere decir, que a partir de los resultados obtenidos al comparar por cociente las diferencias de las cantidades magnitudes, cuya relación está siendo estudiada, se determinará el tipo de función que correlaciona dichas cantidades. En otros términos, esto significa que el cociente de diferencias entre cantidades de magnitud, se tomará como unidad significante49 o elemento que permite construir el modelo matemático de la situación. A continuación se presentan los elementos básicos que requieren ser identificados, en los cuatro registros de representación, para posteriormente estudiar el tipo de regularidades que muestra el cociente entre las diferencias o incrementos de las cantidades de magnitud. _____________________________________________________ 47

48 49

De acuerdo a este autor, durante la fase de formulación, un fenómeno o una situación es examinada para establecer relaciones claves entre las variables involucradas. Esas relaciones se originan desde observaciones o medidas, o simplemente llegan de hábiles conjeturas hechas sobre la situación bajo investigación, para desembocar finalmente en la función que correlaciona las variables. Entiéndase por contenido de un registro de representación, lo que en particular presenta del objeto. Puede entenderse por unidad significante aquellos elementos que determinan el contenido en un registro de representación (Duval 1999).

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El registro gráfico cartesiano ortogonal Los objetos del registro de representación gráfico cartesiano ortogonal, son principalmente, los ejes ortogonales y los puntos definidos por las duplas si es bidimensional o tripletas si es tridimensional. Las magnitudes que intervienen en la situación, se identifican con alguno de los ejes coordenados graduados, y luego se analizan los cambios o variaciones de dichas cantidades. A una de las dos cantidades de magnitud se le llamará cantidad independiente y la otra dependiente. En este registro llamaremos incremento, cambio o variación de una cantidad de magnitud, a la longitud del segmento, resultado de la diferencia geométrica entre la longitud de dos segmentos formados por el punto origen y el punto que indica dos cantidades consecutivas de una misma magnitud. Este cambio se denotará por Δx si es el segmento diferencia en la coordenada x y Δy si el cambio es en el eje coordenado y.

Es importante tener en cuenta, que en este registro, no es posible tener total certeza en la unicidad de la representación. Esto al menos por dos razones: Por un lado, la imposibilidad de observar la representación en todo su dominio y en segunda instancia, por la posibilidad de que varias representaciones de funciones diferentes coincidan en determinados intervalos

El registro tabular Los objetos del registro de representación tabular son: un arreglo rectangular (filas y columnas) y parejas o tripletas de números que las componen. Para determinar la unidad significante de este registro de representación, cada una de las cantidades de magnitud de la situación a relacionar, se asociará a una de las columnas (o filas), y establecen una representación discreta de cada una. De esta manera, se centra la atención en los siguientes elementos: La diferencia entre dos valores, consecutivos o no de una columna, la diferencia de los valores correspondientes en la otra columna y la razón de cada una de estas diferencias.

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Para este propósito es necesario tener en cuenta varios supuestos: 1. Por un conjunto de puntos (de un plano cartesiano) o de una tabla pasan infinitas funciones polinómicas. Lo que hace imposible determinar una única función para una tabla. 2. A pesar de existir infinitas funciones que satisfacen una misma tabla, si es posible reconocer a través de ella una función polinómica siempre y cuando se tenga la seguridad de que, efectivamente, es una función polinómica y que el número de parejas ordenas de la tabla exceda en la unidad al grado del polinomio que describe la función (Villa, 2001) 3. Las diferencias sucesivas se hacen constantes luego de iterar el proceso tantas veces como el grado del polinomio.

El registro simbólico algebraico En el registro simbólico los objetos son símbolos que generalmente pertenecen a nuestro alfabeto, con ocasiones al alfabeto griego, los números indo-arábigos, los símbolos de las operaciones y relaciones aritméticas y signos de agrupación. Para la determinación de la unidad significante en este registro se le asociará un símbolo a cada cantidad de magnitud y se le llamará variable, de esta forma se habla de los registros que contienen dos variables. Por lo general estas variables se asocian a los símbolos x y f(x), donde x representa la cantidad de magnitud independiente y f(x) la cantidad de magnitud que se relaciona con x. En los dos registros anteriores (el tabular y el gráfico) se mencionaron dos tipos de limitaciones que dependen de su naturaleza, a saber: el problema de lo discreto como la restricción en el registro tabular y de los rangos de visualización en el registro gráfico; esta limitaciones imposibilitan la determinación de una única función con las características mencionadas, a menos que se hagan determinados supuestos (ver análisis de los registros anteriores). En el caso del registro simbólico se permite recoger la generalidad a través del símbolo, en términos de ser un representante de cualquier elemento de un determinado conjunto numérico.

El lenguaje natural El lenguaje natural es uno de los registros que presenta mayor complejidad en su análisis. Esto debido fundamentalmente a dos ideas, por un lado a que es un registro completamente discursivo y por ende ofrece todas las funciones tanto discursivas como metadiscursivas50, permitiendo una enorme divergencia en la forma de su empleo. Pero por otro, porque es un registro multifuncional, es decir, no permite tratamientos única_____________________________________________________ 50

Las metadiscursivas son de tratamiento y conversión, comunicación y objetivación y las discursivas son de designación, apofántica, expansión discursiva y reflexividad discursiva. Duval (1999).

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mente por algoritmización, o lo que es lo mismo, tiene una gran variedad de posibles tratamientos. Por tal motivo, es el registro más usado para describir, inferir, razonar, calcular, deducir, argumentar, es decir, es utilizado en todos los dominios de la vida cultural y social. En este registro la unidad significante del concepto de función se puede inferir de los enunciados constituidos por frases proposicionales, y estas a su vez, determinadas fundamentalmente por la operación predicación51. Los objetos referenciales designados en dichas proposiciones son magnitudes fijadas por la situación. Por lo tanto, el primer paso, en la tarea de identificar algún criterio que permita clasificar los enunciados matemáticos dirigidos al concepto de función en este registro, es identificar las magnitudes que están interviniendo y sean cognitivamente pertinentes. Esto implica, entre otras cosas, determinar si las magnitudes son continuas o discretas y si las unidades de medida utilizadas son adecuadas. Una vez identificadas las magnitudes, el paso a seguir es reconocer y establecer las posibles relaciones entre las cantidades de magnitud. En particular nos interesa determinar la relación por cociente entre las diferencias de las cantidades de magnitud. Este reconocimiento no siempre es evidente, y por tanto es aquí donde el problema se transforma en un problema cognitivo, dado que es a través del desarrollo del pensamiento matemático en sus diferentes niveles procedimentales, como se adquiere la habilidad para reconocer el concepto de función en un enunciado determinado.

Las funciones polinómicas como modelo matemático En este texto los análisis se centrarán en el estudio de las funciones de la forma h(x)= anxn + an-1 xn+1 +...+a1x + a0, con an ≠ 0 , las cuales son denominadas funciones polinómicas. Este tipo de funciones son aquellas cuya correlación entre dos cantidades de magnitud está expresada analíticamente mediante la forma h(x). Esto quiere decir, que la cantidad de magnitud dependiente representada por y=h(x) se relaciona en forma general con la cantidad de magnitud independiente, a través de una forma polinómica, donde an, an1,...a1 ,a0 representan números reales constantes (parámetros) y n representa un número natural incluyendo el cero. En particular, se tomará el caso cuando n toma el valor de uno o dos, es decir las funciones polinómica de grado uno (lineales) y de grado dos (cuadráticas). Desde una perspectiva variacional, el estudio de las funciones polinómicas implica tener presente dos aspectos: a) Hacer variar intencionalmente una de las cantidades de magnitud cognitivamente pertinentes que intervienen en la situación, a ésta la llamaremos cantidad de magnitud "control" Ésta se simbolizará con la letra x en el registro simbólico analítico, se ubicará el eje horizontal en el registro gráfico cartesiano y representará los valores de una _____________________________________________________ 51

La operación predicación de la función apofántica, es la que vincula la expresión de una propiedad, de una relación o una acción con una expresión que designa algún objeto Duval (1999).

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columna o fila en el registro tabular. A partir del tipo de variación que se perciba en la otra cantidad de magnitud, que llamaremos de "estudio", se estudiará la relación entre el cambio de la cantidad de magnitud "control" y el cambio en la otra, de "estudio". Esta última, se simboliza con la letra y en el registro simbólico analítico, se ubicará el eje vertical en el registro gráfico cartesiano y representará los valores de la otra columna o fila en el registro tabular. El estudio de dicha variación se realizara a partir de la noción de incremento, el cual determina el cambio o variación de una cantidad de magnitud y se calcula a partir de la diferencia entre dos de los valores de la misma. Este incremento se denotará por Δx si es la diferencia entre los valores de la magnitud independiente y por Δy si el cambio es en la magnitud dependiente. En los siguientes gráficos se muestra el significado del incremento en cada registro. Registro gráfico cartesiano

Registro tabular

Registro simbólico analítico

Δx = x 2 − x1 Δf ( x) = f ( x 2 ) − f ( x1 )

b) El análisis del tipo de función que modela la situación se hace a partir de comparar mediante cociente, el incremento de la cantidad de magnitud dependiente con respecto al incremento en la magnitud independiente, es decir, el cociente entre ambas diferencias

⎛ Δf ( x ) f ( x 2 ) − f ( x1 ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . = x 2 − x1 ⎝ Δx ⎠

Esto significa que la comparación por cociente entre estos

dos cambios determina y define el tipo de función que los diferentes registros representan. A este cociente entre diferencia lo llamaremos razón de cambio. Lo anterior significa que si la atención se centra no en las variables sino en los cambios de ellas, obtenemos que todas las funciones de grado uno cumplen con la propiedad que Δf (x) = aΔx con a una constante perteneciente al conjunto de números reales. Esto quiere decir que todas las funciones polinómicas de grado uno tienen como razón de cambio Δf ( x ) =a, Δx

una constante. En otros términos, como se mostrará mas adelante, la propiedad

fundamental que identifica a las funciones lineales o polinómicas de grado uno (g(x) = ax+b con a≠0) es la razón de cambio constante

Δf ( x ) = a con a ∈ ℜ Δx

diferente de cero.

El anterior análisis se pueden extender a funciones polinómicas de grados superiores; por ejemplo, las funciones cuadráticas g(x) = ax2 + bx +c tiene como primera razón de cambio una función lineal (h(x) = dx+b), esto es,

Δg ( x) = dx + b con d , b ∈ ℜ Δx

y d diferente de cero, y

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Módulo

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

por tanto si se obtiene la razón de cambio de esta última, por lo dicho en el párrafo anterior, será una constante. En otros términos, la segunda razón de cambio en un polinomio de grado dos es un valor constante. Avanzando a procesos mas finos de generalización, se tiene que para una función polinómica de grado n con n un número natural, esto es, h(x) = anxn + an-1xn+1 + ... + a1x + a0, se tiene que la razón de cambio n-ésima será un valor constante. En este módulo se centrará la mirada en aquellas funciones con razón de cambio, entre cantidades de magnitudes, constante en el primer orden o en el segundo. Esto debido a que, por un lado, las primeras, como ya se mencionó, definen funciones lineales o de grado uno (f(x) = ax+b con a≠0) y las segundas, funciones cuadráticas (g(x)=ax2 + bx + c con a≠0), sirven para modelar gran variedad de fenómenos que implican variación y cambio. En segunda instancia, porque son a las que tradicionalmente la escuela les dedica la mayor cantidad de tiempo, sobre todo en los grados 8º y 9º. Y finalmente porque el proceso de factorización para polinomios, en particular de grado 2 y la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas son tareas fundamentales en la educación matemática básica. De esta forma independiente del registro semiótico de representación en el que esté expresado la función, la posibilidad de ver este concepto como un modelo matemático, está determinado por las condiciones de hallar en las situaciones estudiadas, las razones de cambio entre las diferentes cantidades de magnitud. Si en particular la primera razón de cambio es un valor constante entonces el modelo funcional que atrapa la variación es lineal o polinómica de grado uno, si por el contrario es la segunda razón de cambio, el modelo funcional que atrapa la variación entre las cantidades de magnitud es polinómica de grado dos, etc. Esto significa que la razón de cambio constante en un orden determinado, es la unidad significante cognitivamente pertinente, que permite dar el primer paso para pasar de un registro a otro; en particular construir el modelo matemático de la situación. Finalmente este proceso permite entender la función polinómica como un objeto matemático independiente del registro en el que es representado y así diferenciar entre el objeto matemático de su representación. Comprender entonces, al concepto de función como modelo matemático comienza por reconocer, en cada registro, la razón de cambio constante y el orden de aparición, es decir la unidad significante. Una vez se identifique ésta, se procede a construir el modelo, a partir de la demás información suministrada en la situación. Por tanto, para dar inicio a la tarea de construir una función polinómica como modelo matemático, implica tener en cuenta las siguientes actividades: • Discriminar las magnitudes cognitivamente pertinentes. Aquellas que serán correlacionadas.

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El razonamiento algebraico y la modelación matemática

• Identificar la posible covariación entre las magnitudes cognitivamente pertinentes, por ejemplo: diferencias, incrementos, razón de diferencias, cantidad de magnitud asociada al valor cero y uno de la magnitud independiente. • Cuantificar de la relación mediante tablas de valores. • Identificar la razón de cambio constante y el orden en que aparece. • Reconocer a la razón de cambio constante como elemento que identifica las funciones lineales si dicha constante se determina en el primer orden y cuadráticas si se determina en el segundo orden. • Comprender la función polinómica como un modelo que atrapa la covariación entre dos magnitudes. • Identificar la proporcionalidad simple directa como un caso particular de función lineal importante en la modelación de determinados fenómenos. • Generar actividad cognitiva de conversión entre los diferentes registros de representación para objetivar el concepto matemático de función. Esto, atendiendo algunas de las problemáticas ya planteadas en diferentes investigaciones (Janvier (1996) en cuanto al cuidado que se debe tener en la fase de formulación de la construcción un modelo matemático, con respecto a los procesos cognitivos implicados en la comprensión del número52 y a la dificultad de ver a la función polinómica como representante de un conjunto determinado de situaciones, por ello se debe poner especial atención en: • Los enunciados presentados en lenguaje natural son de múltiples categorías. • Los errores y aciertos que se pueden tener en la experimentación y toma de datos, son determinantes en la formulación y validación del modelo matemático. • La simplificación respecto a factores externos a la situación que la afectan puede generar divergencia en los resultados. • La generalidad de los resultados matemáticos frente a la particularidad de las situaciones y viceversa. • El papel que juegan los sistemas de representación semiótica en la construcción de modelos matemáticos. • La validez de los resultados obtenidos. No obstante lo anterior, el paso de un registro a otro propone diferentes niveles de conceptualización matemáticas, cada uno con su grado de dificultad cuando se va un determinado registro a otro. Esto es, las condiciones de ir del enunciado presentado en lenguaje natural, para obtener el registro simbólico (modelo matemático) que los representa, no son las mismas si se pretende realizar el proceso inverso. Por último es de anotar, que el proceso de modelación matemática, entendida como herramienta hacia la construcción del concepto de función, está determinado según Bassanezi _____________________________________________________ 52

Janvier (1996) plantea que en estos casos el número puede jugar un doble papel: puede entenderse como objeto puramente matemático y/o como la medida de una magnitud.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

(2002) por cinco grandes momentos: experimentación, abstracción, resolución, validación y modificación, todos ellos formando parte de un gran sistema conceptual expresado para un propósito específico y apoyado en los diferentes sistemas de representación arriba analizados. Una vez la situación esté expresada en el segundo registro principal (simbólico-analítico), la actividad cognitiva de tratamiento, permite la resolución, validación y modificación. De igual forma estos momentos estarán apoyados por los registros auxiliares.

La función lineal Como se pudo apreciar en párrafos anteriores, una forma de comenzar la materialización matemática de la variación desde los primeros años de escolaridad, es a través del campo conceptual de las estructuras multiplicativas, a partir del razonamiento proporcional. De esta forma se trazan caminos dirigidos a la construcción del concepto de función lineal como una forma particular de correlacionar una variación. Esto permite iniciar con la elaboración de generalizaciones cada vez más finas y abstractas de las estructuras matemáticas invariantes que se encuentran en lo que varía y cambia. Esto quiere decir, que la relación de proporcionalidad tanto desde el punto de vista numérico como métrico, es un concepto conector entre la multiplicación, el concepto de función lineal y posteriormente algunos elementos del cálculo y el análisis53. Dicho de otro modo, el razonamiento proporcional es didáctica y matemáticamente estratégico, para el desarrollo de algunos elementos propios del pensamiento variacional, pues desde éste pueden tenderse conexiones directas entre diferentes conceptos que le son propios (estructuras multiplicativas54 y la función lineal). Sin embargo, si el concepto de función lineal se presenta en éstos términos, quedaría determinado, simbólicamente, por aquellas que se expresan en la forma f(x)=kx con k una constante perteneciente a los reales positivos, a diferencia de como se conoce en la mayoría de los libros de textos matemáticos, en los que las funciones lineales están asociadas a polinomios de primer grado, es decir de la forma g(x) = ax+b con a, b ∈ ℜ . A las primeras se les reconoce, en algunos textos, como funciones lineales y a las segundas, como funciones lineales afines. La discusión con respecto a esta diferenciación ha tomado fuerza en los últimos tiempos y está básicamente determinada por el cumplimiento de las siguientes dos propiedades: Aditividad: Homogeneidad:

f(x+y) = f(x) + f(y) f(kx) = kf(x) con k una constante Real

_____________________________________________________ 53

54

Ver documento: Unidad Nro. 5, De la multiplicación a la proporcionalidad del Módulo Nro. 1 Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos. Vergnaud (1991)

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El razonamiento algebraico y la modelación matemática

Las cuales sólo son cumplidas por las funciones de la forma f(x)=kx. Sin embargo, según los textos de álgebra lineal, dichas propiedades definen matemáticamente operadores o transformaciones lineales y no, necesariamente, funciones polinómicas de primer grado. De esta manera es posible afirmar que las funciones de la forma g(x) = ax + b con a≠0, son lineales y en particular cuando b es igual a cero es una transformación lineal. Desde la perspectiva de los análisis anteriores en cuanto a la razón de cambio y los registros de representación, no es atrevido pensar que la función lineal tiene como elemento que le da identidad, a la razón de cambio constante de primer orden, esto significa, que si la atención no se centra en las variables sino en la variación, es dicha constante la que define la función lineal salvo un punto que la particularice. Así, se puede probar que las funciones lineales se representan en el registro gráfico cartesiano a través de una línea recta, esto se observa en que independientemente de la longitud del segmento tomada para la cantidad de magnitud control y los puntos que lo definen, el cambio en la otra cantidad de magnitud será proporcional a éste, es decir, el cociente entre ellos determina una constante. Dicha constante se visualiza en este registro, en uno de los siguientes aspectos: a) la congruencia entre los ángulos formados por la representación del registro dado y cualquier recta paralela al eje x, ó b) Por la semejanza presentada entre todos los triángulos rectángulos determinados por los segmentos diferencia correspondientes obtenidos. Lo anterior justifica el hecho que "toda recta en el registro de representación gráfico cartesiano es la representación de una función lineal", ver siguiente gráfico. En conclusión, en el registro gráfico toda función lineal tiene como representación gráfica una línea recta y toda línea recta en el registro gráfico, está asociada a una función lineal.

Independiente del incremento en y la relación por cociente con respecto al incremento en x se conserva.

Desde el punto de vista del registro tabular, la función lineal se reconoce de acuerdo a la comparación por cociente del cambio observado en los valores tomados de la magnitud dependiente con respecto al cambio establecido entre los valores correspondientes de la magnitud asumida como independiente.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Aduciendo a la interpretación de la función lineal, para identificar una representación del objeto en el registro tabular, es necesario observar que toda razón entre las diferencias correspondientes de dos valores de la tabla es una constante. Con base en el supuesto 2 del registro de representación tabular (pág. 132) para el concepto de función, es posible determinar si es una función lineal, calculando la razón de diferencia entre dos parejas de números. Para el reconocimiento de la función lineal a través del registro simbólico analítico, se hace el análisis de las razones entre los cambios de una variable y los cambios que se genera sobre la otra. En este registro se entenderá por cambio la diferencia entre dos valores de una misma variable y se denotará con el símbolo Δx que significa, Δx=x2 - x1 y Δf(x) que significa Δf(x)= f(x2) - f(x1). Al cociente entre estas dos diferencias se le denomina razón de cambio, es decir

Δf ( x ) f ( x 2 ) − f ( x1 ) = . x 2 − x1 Δx

Para determinar una función lineal, a través de una representación en este registro, es necesario establecer si la primer razón es constante para toda Δx, esto es determinar que para todo x1 , x 2 ∈ ℜ , Δf ( x ) = f ( x 2 ) − f ( x1 ) = m , con m un valor constante perteneciente al Δx

x 2 − x1

conjunto de los números reales. Por otro lado si una función es lineal, la razón de cambio constante determina una familia de funciones. Para identificar una representación en particular, de esta familia, se debe disponer de otras relaciones entre las variables, en particular la cantidad asociada a f(x) cuando x (variable independiente) es igual a cero. De esta forma es posible demostrar que

Δf ( x) =m Δx

con m una constante real, y las relaciones

anteriores, se puede transformar, con las reglas de tratamiento de este registro, a una forma f(x)= mx + b. El reconocimiento del concepto de función lineal en el registro del lenguaje natural, requiere caracterizar el tipo de enunciado que la representa. Esta no es una tarea sencilla pero es el primer paso en la construcción del modelo matemático, es decir, en la actividad de pasar un enunciado a un registro simbólico analítico. Esta caracterización se puede comenzar a través de subdividir los enunciados en cuatro grupos generales: dos de ellos frente al hecho que la razón de cambio se exprese o no de forma explícita en el enunciado y las otras dos, estarán directamente relacionadas con las anteriores, a partir del carácter continuo o discreto de las magnitudes que intervienen en la situación. En cada uno de estos cuatro grupos se pueden establecer subcategorías de acuerdo a si en las magnitudes continuas interviene o no el tiempo. Determinar en el enunciado si la razón de cambio es explícita o implícita es importante puesto que, en ambos casos, si dicha razón de cambio es constante, entonces se puede

140


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

asociar a una función lineal. Ahora bien, lo explicito o implícito, de la razón de cambio, hace referencia a que en el enunciado se exprese de forma directa o por el contrario sea necesario realizar algunos procesos, cálculos o inferencias para determinarla. Por otro lado lo continuo y lo discreto en las magnitudes, es importante caracterizarlo, puesto que desde un punto de vista didáctico y cognitivo, cuando se trabaja sólo bajo situaciones donde interviene magnitudes discretas, se corre el riesgo de omitir la interpretación de la constante como una razón de cambio y limitarse sólo a un análisis adimensional, que aunque facilita el tratamiento aritmético de la situación, oculta su naturaleza variacional. Un caso particular de esto, ocurre con la interpretación de la multiplicación que en la escuela generalmente omite el análisis dimensional de las magnitudes y es susceptible de ser interpretada como una suma abreviada.

Magnitudes Razón de Cambio

DISCRETAS

CONTINUAS Tiempo

No Tiempo

Explícita Implícita

Las funciones cuadráticas Las funciones cuadráticas o polinómicas de grado dos, tradicionalmente se han presentado en los textos escolares como aquellas que pueden ser expresadas simbólicamente en la forma f(x)=ax2 + bx + c con a≠0 y se les ha diferenciado de las lineales, porque se puede encontrar en la expresión simbólica que la representa, un término cuya potencia de la variable independiente es uno más que las lineales, es decir dos. El valor del parámetro a es diferente de cero y la gráfica que la representa no es un línea recta sino una curva llamada parábola. No obstante lo anterior, esta definición deja de lado un aspecto muy importante que le da identidad si se le mira desde una perspectiva variacional. Esto es, desde esta perspectiva la función cuadrática se determina a partir de percibir que la relación por cociente entre las diferencias Δy con respecto a Δx , da como resultado una variación lineal y por tanto aplicando de nuevo la razón de cambio se obtiene una constante. Esto quiere decir que desde cualquiera de los registros que la representan se requiere determinar que el primer cociente de diferencias sea lineal y el segundo constante. En el registro gráfico esto se logra ver en el crecimiento o decrecimiento lineal de los segmentos diferencia en la variable dependiente cuando se determinan diferencias constantes en la variable independiente. ver la siguiente figura.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Obsérvese que se han definido diferencias en el eje x iguales a la unidad y por tanto el cociente entre los respectivos segmentos diferencia al ser ubicados en otro plano van formando un conjunto de puntos perfectamente alineados. Esto quiere decir, que la función original es una la función cuadrática o polinomica de grado dos, cuya razon de cambio de primer orden es lineal. Para demostrar que el registro gráfico de una función cuadrática es una parábola, se requiere hacer uso de dos principios básicos de la geometría analítica: a) Construir los puntos del plano a partir de un referencial, es decir, reconocer a los puntos del plano como pares ordenados ubicados a partir de un punto de referencia absoluto y b) operar con dichos puntos de forma analítica, esto es, operar con los puntos no conocidos como si lo fueran. Este punto se planteará como ejercicio de exploración. En el caso del registro tabular, la identificación de la función como cuadrática se determina a través de la construcción del conjunto de diferencias entre valores consecutivos de la variable dependiente, cuando se establecen diferencias consecutivas iguales entre los valores de la variable independiente. Este proceso se vuelve recursivo y si se reconoce que la segunda diferencia es constante, entonces dichos valores de la tabla se ajustan a los valores de una función cuadrática. Un ejemplo de ello puede verse en la siguiente tabla Lo anterior atendiendo las limitaciones y restricciones que dichos registros presentan en la discusión antes planteada (ver pág.132).

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Valores de la variable independiente

Valores de la variable dependiente

Primera diferencia

Segunda diferencia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-12 -5 8 27 52 83 120 163 212 267 328 395

7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

Para el registro simbólico analítico basta reconocer que si la razón de cambio es una función lineal

f ( x1 ) − f ( x ) Δf ( x ) = = dx + b con d ∈ ℜ ∧ d ≠ 0 , x1 − x Δx

entonces se tendrá que f(x) es una fun-

ción cuadrática o polinomica de grado dos.

•SITUACIÓN No. 1: LA CAJA MOMENTO 1 Se tiene un trozo de cartón de forma cuadrada de 60 cm de lado y se desea construir una caja sin tapa recortando cuadrados de igual tamaño de sus esquinas y doblando luego hacia arriba las pestañas que quedan, ver figura. • A medida que al trozo de cartón se le recorten cuadrados más grandes, ¿qué crees que pasa con el perímetro de figura resultante? , ¿Qué crees que sucede con el perímetro del cuadrado recortado al trozo de cartón?, ¿Qué crees que sucede con la longitud R de la figura? y ¿Qué sucede con el perímetro de la pestaña?. • Si se quiere recubrir la caja de cartón con papel, ¿crees que a medida que se recorten cuadrados mas grandes, necesitas mas papel?, ¿Habrá alguna caja para la cual necesite menos papel para recubrirla?, ¿para cuál caja necesitas exactamente una cantidad de papel igual a la mitad del trozo de cartón?. • Para qué longitud x del cuadrado recortado el volumen de la caja es el más grande? Caja rectangular X

Perímetro de la figura resultante

Perímetro del cuadrado recortado

Longitud de R

Perímetro de la pestaña recortada

Área del cuadrado cortado

Área de la figura para construir la caja

Volumen de la caja

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

MOMENTO 2 Ahora el trozo de cartulina tiene forma de triángulo equilátero de lado 60 cm y se desea construir la caja recortando las puntas a una distancia x cualquiera, perpendicular al lado de la cartulina y doblando luego hacia arriba las pestañas tal y como muestra la figura. • Responda las mismas preguntas de la situación anterior para la nueva caja. Caja triangular X

Perímetro de la figura resultante

Perímetro del cuadrado recortado

Longitud de R

Perímetro de la pestaña recortada

Área del cuadrado cortado

Área de la figura para construir la caja

Volumen de la caja

MOMENTO 3 A partir de lo observado en los casos anteriores, qué se podría concluir si se quieren construir cajas de bases pentagonales, hexagonales, etc. • GESTIÓN DE LA SITUACIÓN 1 Esta situación proviene de uno de los problemas clásicos de los libros de cálculo, en el cual se pide hallar una longitud x que permita construir una caja de volumen máximo, Leithold (1992 p. 295). Para estos textos, es un problema que corresponde al tema de aplicaciones de la derivada. Sin embargo, en el contexto que aquí se propone pretende que el estudiante haga uso de algún registro de representación, como el tabular o el gráfico, para dar respuesta a las preguntas. Es muy importante que se hagan análisis de variación con intenciones de estudiar las condiciones que permiten determinar la correlación entre las cantidades de magnitud en cuestión. Esto es, se pretende incitar al estudiante para que explore las posibilidades de construcción de un modelo funcional que correlacione la variación entre las cantidades de magnitud longitud, área y volumen con la cantidad de longitud x.

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El razonamiento algebraico y la modelación matemática

La aplicación en el computador que se entrega con la situación, tiene por objeto ayudar al estudiante a imaginar el comportamiento del fenómeno, a través de la visualización para comprender el problema y tratar de resolver las preguntas. Se puede proponer que esta tarea comience a partir de la construcción de una tabla donde se registren las medidas de la longitud x y las respectivas medidas de las magnitudes indicadas en la tabla. Es importante mostrar que en este proceso, el estudiante tiene control de las medidas de la magnitud x y que las demás dependen de los valores que a ésta se le asigna. Igualmente es importante hacer notar que aun siendo la magnitud representada por x continua, esta propuesta obliga a discretizar la magnitud. Las preguntas del segundo y tercer item se proponen para hacer uso de las exploraciones y conclusiones obtenidas en el item 1. Esto quiere decir que en un primer momento se pretende construir el modelo funcional y en un segundo momento se desea hacer uso de dicho modelo para la toma de decisiones y control de la situación. Una pregunta importante que debe comenzar a analizarse y que matemáticamente no es sencilla es: ¿Cómo construir, a partir de los datos de la tabla, la representación gráfica y simbólico-analítica? • ESTÁNDARES RELACIONADOS Pensamiento Variacional 1-3

Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas.

4-5

Describir e interpretar variaciones representadas en gráficos Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica. Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones económicas, sociales y de las ciencias

6-7

Describir y representar situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas, ex presiones verbales generalizadas y tablas). Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio (variación). Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que representan.

8-9

Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas Interpretar los diferentes significados de la pendiente en situaciones de variación. Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones polinómicas, racionales y exponenciales.

Pensamiento Numérico 1-2

Resolver y formular problemas de proprocionalidad directa (mercancías y sus precios, niños y reparto igualitario de golosinas, ampliación de una foto).

4-5

Modelar situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa.

6-7 8-9

Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa. Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos.

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Módulo

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Conceptos y procedimientos para las situaciones de la 2 a la 8 En este aparte se consideran los análisis y anticipaciones de las siguientes 8 situaciones, las cuales están pensadas para construir al concepto de función lineal como modelos matemáticos. La situación 2 presentada en lenguaje natural induce a que el estudiante, mediante el sistema de representación tabular, infiera una relación entre el cambio de las dos magnitudes cognitivamente pertinentes y permita construir la relación funcional entre ellas. En un segundo momento, se propone que la relación entre las magnitudes sea expresada mediante otros sistemas de representación tales como el gráfico y el simbólico. De igual manera, la situación exige al estudiante tener cierto control sobre las variables (magnitudes), de tal forma, que a través de su análisis pueda anticipar conclusiones favorables o desfavorables para los empleados, con bases en las condiciones generales del problema. Se espera que los estudiantes, una vez llenen la tabla, reconozcan la existencia de la covariación entre las magnitudes, aunque es posible que no logren expresar cuantitativamente dicha relación, esto a pesar de que detectaran los algoritmos con los que se hiciera. La situación pretende poner en claro la capacidad de los estudiantes para comunicar conceptos matemáticos, lo cual se hace evidente en los diferentes usos del lenguaje y los diferentes sistemas de representación. Inicialmente, los estudiantes podrían entender la razón de cambio constante no como un cociente de diferencias, sino como el cociente aritmético entre los valores de la tabla. Esto permitirá proponer algunas ideas que les ayuden a identificar esta característica de la razón de cambio entre las respectivas diferencias y no entre los valores numéricos de las cantidades de magnitud. Se debe tener en cuenta que las magnitudes presentes en la situación son continuas (el tiempo) y discretas. Sin embargo, las que son cognitivamente pertinentes son de naturaleza discreta y por tanto los análisis cuantitativos se deben hacer teniendo esto presente. Con la situación 3 se pretende reconocer la velocidad constante como razón de cambio entre dos cantidades de magnitud y usarla para identificar la función lineal como un modelo matemático que relaciona la distancia y el tiempo La situación presenta la razón de cambio en forma explícita, las magnitudes que intervienen son continuas y una de ellas es el tiempo. Es muy importante anotar que en esta situación la razón de cambio es otra magnitud y que aunque se expresa como la relación entre dos magnitudes escalares, ella es de naturaleza vectorial. En un primer momento de la situación los estudiantes pueden percibir la relación de crecimiento y decrecimiento en cada una de las magnitudes, sin embargo para garantizar la comprensión de la situación se hace necesario acompañar los razonamientos de los es-

146


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

tudiantes con preguntas como: ¿Qué significa velocidad constante?, ¿Cómo observaría el movimiento del tren una persona que esté ubicada en la estación Niquia, San Antonio o Itagüí? En el momento 2 de la situación se observa que se tienen tres tipos de gráfica, las cuales corresponden a diferentes relaciones lineales: de valor inicial con pendiente negativa, proporcionalidad directa y función por partes (dos partes, una lineal con pendiente negativa y la otra con pendiente positiva). Cada una de estas dependiendo del observador que está analizando el fenómeno. Al presentarse los tres casos en forma sincrónica y en el mismo plano, es posible que la situación se interprete como si se tratara de fenómenos diferentes y no del mismo analizado por distintos observadores. Esto quiere decir, que muy posiblemente el estudiante interpretará la gráfica como de tres trenes moviéndose de forma simultánea, y no el movimiento de un tren, analizado al mismo tiempo por tres observadores, cada uno ubicado en una estación diferente. Para responder el ítem 2 del momento 2, se deben tener en cuenta los conceptos de cero absoluto, cero relativo y el de unidad de medida, puesto que, por un lado, en este caso el momento de inicio de la observación del fenómeno no implica necesariamente ausencia de la cantidad de magnitud (longitud y/o tiempo) y por otro lado, dependiendo de la unidad de tiempo y de longitud que se tome se tendrá una determinada respuesta, esto quiere decir que se pueden tener respuesta divergentes. Con la situación 4 se busca que el estudiante reconozca la razón de cambio constante y la use para determinar el crecimiento de una cantidad de magnitud que depende de otra para tomar las decisiones convenientes a partir del modelo que se construye con base en dicha razón. Esta situación relaciona dos cantidades de magnitud bajo tres maneras diferentes de variación. Las cantidades de magnitud minutos consumidos y costo total del consumo, están determinadas por el plan que las relaciona (bajo, medio, alto). Esto significa que para construir el modelo matemático de la situación, es necesario reconocer simultáneamente estas tres maneras de variación de las dos cantidades de magnitud. Es muy importante resaltar, que incluso cada manera de variación (cada plan) está a su vez dividido en dos formas de variación, ambas variaciones constantes; una determinada por el cargo fijo para una cantidad específica de minutos incluidos (65, 150, 300 según el plan), de variación constante igual a cero, y la otra determinada por el valor del minuto adicional ($800, $700, $600 según el plan). Esto obliga a que se reflexione en dos elementos conceptuales: por un lado, que las funciones que aquí aparecen son funciones por tramos, una parte constante y la otra lineal; y por otro lado, la situación contiene un enunciado que se ubica en la tipología cuya razón de cambio es explícita; además, es una situación donde interviene la magnitud continua tiempo. Sin embargo, en el primer momento de la situación la continuidad del tiempo no implica ningún problema, pero en el se segundo momento este tiempo aunque sigue siendo continuo, la situación obliga a discretizarlo.

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Módulo

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

La pregunta que se hace es abierta en el sentido que no es de respuesta única, esto es, la decisión se puede tomar convenientemente, pero deben presentarse argumentos apoyados en la identificación de variables y las relaciones de dependencia entre las mismas. Un elemento adicional que tiene la situación, es el reconocimiento de que cada gasto implica el pago del impuesto al valor agregado (IVA), que aunque no cambia en nada la situación desde el punto de vista matemático, sí la contextualiza un poco y le imprime un grado mayor de dificultad. Con el ánimo de ofrecerles a los estudiantes herramientas que les permitieran validar sus conjeturas, se crea el momento 2, con el que se pretende ayudar a la respuesta de la pregunta, basado en la lectura e interpretación del registro gráfico que la representa. De esta manera, igualmente se intenta evaluar la visión que se tiene con respecto al registro gráfico, bajo la hipótesis que este registro es un poco más familiar en cuanto al reconocimiento de la razón de cambio como la pendiente de la recta. Para la situación 5 se debe tener en cuenta: En el enunciado de esta situación se pueden percibir dos momentos, una en donde la razón de cambio no es explícita, y se debe calcular siguiendo las orientaciones del enunciado y/o los datos de la tabla. Y un segundo momento donde la razón es explícita. Se debe tener en cuenta que en ambos momentos las magnitudes que intervienen en esta situación son discretas. Tener cuidado cuando intenten construir un gráfico cartesiano de la situación, pues en la mayoría de los casos trascriben punto a punto las parejas de la tabla construida, sin tener en cuenta la selección de escalas apropiadas para que dicha representación muestre algo coherente con la situación y permita análisis con sentido. Adicionalmente se debe estar pendiente al sentido que para los estudiantes puede tener la acción de unir los puntos que ubican en el plano. Por otro lado se debe estar alerta con los análisis de variación cuya correlación generalmente la piensan como si fueran cantidades relacionadas bajo proporcionalidad simple directa y por tanto la forma de construir la tabla es a través de regla de tres simple, es decir a través de relaciones multiplicativas. La situación 6 está diseñada para que los estudiantes, a través del cambio de los parámetros costo de la tarjeta, valor del minuto e intervalo de tiempo (incremento en t), movilicen saberes matemáticos como: • Interpretación de los registros tabular y gráfico de un enunciado verbal. • El reconocimiento de los valores B y V como parámetros que caracterizan la función C(t)=Vt para la función costo de la llamada y R(t)=B-Vt par la función dinero restante en la tarjeta. • La identificación del parámetro "intervalo de tiempo", como un incremento "h" constante en t (tiempo de la llamada), que produce incrementos constantes ΔC y ΔR en C (función costo) y en R (función resto) respectivamente pero diferentes de "h".

148


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

• El reconocimiento de

ΔC h

y

como una nueva constante que identifica las funciones

Costo de la llamada y Dinero restante como lineales. En el caso particular es muy importante reconocer a esta constante como

y

, es decir descubrir que

dicha constante es el parámetro V (valor del minuto) o el opuesto de V respectivamente. • La determinación de t, C y R como variables y su relación funcional lineal. • La identificación de

y

con la pendiente de las rectas dadas en la gráfica.

Dificultades previstas: • El conocimiento del Software y sus características. • En general, a los estudiantes ya se les ha enseñado los elementos que componen la función lineal, esto quiere decir que han escuchado hablar de lo que es una función lineal, algún significado de la pendiente de la recta y el intercepto con el eje y. Pero todo lo anterior se ha hecho desde el punto de vista estático, donde este tipo de problemas se ven como aplicación de los conocimientos adquiridos. Se considera que en este punto se encuentra el primer obstáculo, pues los estudiantes no están acostumbrados a enfrentarse con el proceso de modelación desde el punto de vista didáctico, en particular con la primera y segunda fase de dicho proceso. R ΔC == − VV h

• La discriminación de las unidades significantes cognitivamente pertinentes para la conversión entre los registros de representación de la función lineal modelo matemático de la situación. • A los estudiantes se les ha mostrado la pendiente de una recta como una propiedad de la gráfica, como el grado de inclinación que tiene con respecto al eje x y/o en otras ocasiones se les ha hablado que este grado de inclinación se representa por la medida de un ángulo. Esta visión oculta completamente toda perspectiva variacional y por tanto dicha pendiente no es más que un número, estático y sin significado variacional para el contexto de la situación. En este sentido se prevee que será de mucha dificultad, entender el papel fundamental que juega el incremento del tiempo, las diferencias sucesivas de las cantidades de magnitud (costo total de la llamada y resto) y el cociente entre los anteriores, para construir el modelo funcional de la situación. Con las situación 7 se pretende construir la función lineal como el modelo matemático de un fenómeno, a través de la identificación de la razón de cambio constante. En esta situación se pretende movilizar saberes matemáticos como: • Asocia la razón de cambio instantánea de las magnitudes de la función lineal. • Identificar las funciones h(V)=k•V y h(V)=kV+h0 como funciones variacionalmente equivalentes. Situación 8. Esta situación tiene una particular importancia, en la medida que implica plantear supuestos para simplificar el problema. El docente puede complejizar o simplificar el fenómeno tanto como considere pertinente.

149


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Al no estar explicita la forma y el momento en que debe usar algún registro de representación, se espera que el estudiante los utilice como herramientas que le permiten entender y solucionar la situación. Por esta razón se sugiere dar un poco de libertad pero sin dejar que se desmotiven. Se recomienda sistematizar los resultados que los estudiantes obtienen en el proceso. Será de mucha ayuda para análisis cognitivos posteriores. Tener en cuenta que es una situación abierta y por tanto se presta para discusiones en términos de la validación y el ajuste del modelo matemático obtenido. El profesor debe estar atento a las posibles respuestas de los alumnos para dirigir en buenos términos la discusión. En el siguiente cuadro se muestran los estándares relacionados con las situaciones propuestas a continuación. • ESTÁNDARES RELACIONADOS Pensamiento Variacional 1-3

Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas.

4-5

Describir e interpretar variaciones representadas en gráficos Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

6-7 8-9

Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones económicas, sociales y de las ciencias. Identificar las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que representan. Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones polinómicas, racionales y exponenciales. Interpretar los diferentes significados de la pendiente en situaciones de variación.

Pensamiento Numérico

4-5

Resolver y formular problemas de proprocionalidad directa (mercancías y sus precios, niños y reparto igualitario de golosinas, ampliación de una foto). Modelar situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa.

6-7

Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa.

1-2

•SITUACIÓN No. 2: Nombre: EL SALARIO DE ANA Ana trabaja como vendedora del periódico "El Colombiano", sus ingresos dependen de un salario básico de $5.000 diarios, y se incrementa con base en las ventas que realice de este periódico.

150


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

a) Si por cada periódico vendido obtiene una comisión de $700. Responda: i. ¿Cuánto dinero devengaría en un día si Ana realizara, 5, 10 ó 16 ventas? ii. Con los datos anteriores llene la siguiente tabla. Nro. de suscripciones

Salario total devengado a diario

5 7 $11300 15 $19000 25 $33700 253

iii. Exprese la relación que existe entre el salario total devengado a diario y el número de suscripciones vendidas utilizando palabras, símbolos y gráficos cartesianos. b) Con el cambio de administración de la empresa, se propone una nueva forma de pago. El salario básico diario sería disminuido en $2000, por el contrario la comisión por cada venta sería aumentada a $900. Analice las dos alternativas salariales y exprese cuál de las dos alternativas le traen mejores beneficios a Ana.

•SITUACIÓN No. 3: Nombre: DE NIQUÍA A ITAGUI, PASANDO POR SAN ANTONIO. Enunciado: Supongamos que el metro de Medellín sale a las 5:00 a.m. de Niquía con destino a Itagüi, y que durante su recorrido mantiene su velocidad constante. Queremos estudiar los tres siguientes casos: Caso 1: Distancia a la que se encuentra el tren de Niquía en todo momento. Caso 2: Distancia a la que se encuentra el tren de Itagüi en todo momento. Caso 3: Distancia a la que se encuentra el tren de San Antonio en todo momento. MOMENTO 1 Describa una estrategia para calcular las distancias del tren a cada una de las estaciones anteriormente mencionadas. MOMENTO 2 Si la gráfica que aparece a continuación representa la situación anterior: 1. Elabora un argumento que permita identificar una gráfica con cada caso.

151


Módulo

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

2. A partir de la gráfica, a qué distancia de cada una de las tres estaciones, estará aproximadamente el tren cuando sean las 6:05 a.m. Estime además, la hora a la que llega a San Antonio, y la hora a la que llega a Itagüi. 3. ¿Qué puede significar los puntos de corte entre gráficas?

Distacia a la estación

De Niquia a Itagüi 100 80 60

Serie1 Serie2 Serie3

40 20 0 -20 0

1

2

3

4

Tiempo

•SITUACIÓN No. 4: Nombre: CELULARES Enunciado: Una prestigiosa compañía de telefonía móvil tiene entre sus planes los siguientes: PLAN BAJO. Cargo Básico: Minutos incluidos: Minuto adicional:

$35.000 + IVA 65 $800 + IVA

PLAN MEDIO Cargo Básico: Minutos incluidos: Minuto adicional:

$70.000 + IVA 150 $700 + IVA

PLAN ALTO Cargo Básico: Minutos incluidos: Minuto adicional:

$120.000 + IVA 300 $600 + IVA

MOMENTO 1 Suponga que usted puede pagar cualquiera de los tres planes, pero quiere escoger el que, de acuerdo a su consumo mensual, le salga más favorable, ¿Cuál escogería? Suponga una tasa del 16% para el IVA.

152


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

MOMENTO 2 La siguiente gráfica representa la misma situación expuesta en el momento 1. Responda las mismas preguntas apoyado en lo que observa en dicha gráfica.

•SITUACIÓN No. 5: Nombre: LA EMPRESA JAVO Propósito: Mediante esta situación se pretende movilizar elementos básicos de relaciones funcionales entre magnitudes discretas, identificación del modelo funcional, su representación en tablas y los demás sistemas de representación, la identificación de la razón de cambio, y el control de variables en una situación problema. Enunciado: En la empresa de confecciones JAVO. Ltda. se tienen dos clases de empleados: unos para las máquinas planas y fileteadoras, y otros de pulidores; a estos últimos se les paga sus servicios con un salario base de $10.000 a la semana, más una comisión de $ 70 por cada prenda pulida. A los empleados de las máquinas planas y fileteadoras se les paga el día según un salario mínimo establecido por la empresa, más una comisión por cada prenda extra elaborada. a) Sabiendo que la producción mínima exigida por la empresa para los empleados de las máquinas es de 200 prendas diarias. Llene los espacios en blanco de la siguiente tabla:

153


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Número de prendas elaboradas a diario

200 210 215

Salario total devengado (diario)

$12000 $12500 $13250

251 $16000 271 $23650

• ¿Cuáles cantidades permanecen fijas y cuales varían en las condiciones planteadas para estos empleados? • Exprese la relación existente entre el número de prendas elaboradas a diario y el salario total devengado por un empleado, utilizando cada uno de los siguiente registros: palabras, gráficos cartesianos y símbolos. • ¿Cuál puede ser una expresión que permita calcular el salario de cualquier empleado de máquinas teniendo en cuenta el valor de las comisiones? b) Con respecto a los pulidores responda: • ¿Cuánto ganaría un pulidor a la semana si lograra pulir: 20 prendas, 50 prendas, 200 prendas, 750 prendas. • Exprese la relación existente entre el salario semanal y el total de prendas pulidas por estos empleados utilizando los mismos parámetros del inciso anterior. • Si un empleado ganara a la semana $38000, $24000 ¿qué se puede decir del total de prendas pulidas por éste? c) La empresa desea suprimir el salario base para los pulidores y en cambio piensa aumentar el valor de la comisión en $25 por prenda. Analice esta nueva propuesta y diga si es conveniente para los empleados justificando el por qué de elección. Grafique esta situación en el plano cartesiano.

•SITUACIÓN No. 6: Nombre: LA TARJETA DE TELÉFONO Propósito: Determinar el papel que juega la relación por cociente entre las diferencias de dos cantidades de magnitud, en la dependencia entre ellas (costo de la llamada y resto de dinero en la tarjeta con respecto al tiempo de la llamada) y el que juega en el cambio de registro del lenguaje natural al simbólico. Enunciado: En el archivo "tarjeta de teléfono.xls" del software EXCEL, analice la situación que se presenta a continuación:

154


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

Una persona compra una tarjeta de teléfono celular prepago por un valor de B pesos. Cada minuto de llamada cuesta un valor V pesos. Escriba los valores de B y V que desee y a partir de lo observado en la gráfica y en la tabla, responda: • ¿En qué momento se ha consumido la mitad del valor de la tarjeta? • ¿Cómo saber que ya se consumió toda la tarjeta? • ¿Qué expresión simbólica describe la relación entre el tiempo de llamada y el costo de la misma? • ¿Qué expresión simbólica describe la relación entre el tiempo de llamada y la cantidad de dinero restante de la misma?

•SITUACIÓN No. 7: EL TANQUE CILÍNDRICO Enunciado: Se cuenta con un tanque cilíndrico de 100 litros de capacidad y altura 2 metros (fig. 1) el cual se dispone para llenarlo de agua. En esta experiencia se puede escoger la unidad que se desee.

Figura 1

MOMENTO 1 En la experiencia ¿Cuáles cantidades permanecen constantes y cuales varían? • Realiza un gráfico que permita describir la relación existente entre el volumen y el nivel de agua por cada unidad echada. Describa dicha relación en palabras y en símbolos. • Si se cambia la unidad de volumen para el llenado, qué cambios se generaría en el nivel de agua, el volumen y en la relación existente entre el nivel de agua y el volumen.

155


Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

MOMENTO 2 ¿En qué cambian las respuestas de las preguntas anteriores (Momento 1), si inicialmente el tanque tiene una cantidad determinada de agua a un nivel de 50 cms?

•SITUACIÓN No. 8: LA CACERÍA Un buen caballo puede alcanzar una velocidad de 60 kilómetros por hora y sostenerla durante 6 kilómetros aproximadamente. El leopardo, uno de los animales más rápidos que se conocen en el mundo, pude alcanzar velocidades de un poco más de 110 kilómetros por hora y mantenerla por aproximadamente un kilómetro. Piensa en la siguiente situación: Un leopardo es alertado por el sonido de los cascos de un caballo, éste al verlo se dispone a cazarlo. En el momento que el leopardo decide perseguirlo, el caballo se encuentra a unos 200 metros de distancia. El caballo logra alcanzar su velocidad máxima y aun tiene suficiente energía para sostenerse en esta. Considerando los datos del texto anterior sobre la capacidad del leopardo y el caballo para correr a altas velocidades. ¿Podrá el leopardo atrapar al caballo?, utiliza gráficos, tablas y/o registros simbólicos que permitan argumentar la respuesta.

•SITUACIÓN No. 9: LA CUENTA DE TELÉFONOS 1. Hasta diciembre del año 2005 las empresas telefónicas cobraban el servicio de llamadas a través de un cargo fijo, dependiendo del estrato socioeconómico y un cobro por impulso hablado. La nueva forma de cobro de llamadas es por plan, en donde se paga el costo del plan y el minuto consumido una vez se gasten los minutos ofrecidos en el plan. En la siguiente tabla aparecen los planes ofrecidos por una de las empresas colombianas prestadora del servicio de telefonía, con sus respectivas características. a) Construya una función que permita modelar el costo de cada uno de los planes ofrecidos por estrato socioeconómico. Tenga en cuenta todas las condiciones presentadas en al tabla b) A partir de los modelos funcionales construidos en el item a) determine las condiciones de conveniencia para la elección de algún plan. c) Consulte cuales eran los cargos fijos y el costo del impulso en la forma de cobro anterior, determine la función que modela esta forma de cobro y haga una comparación con los modelos anteriores e indique en que condiciones era mejor la forma de pago anterior comparada con la actual.

156


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

ESTRATO

NOMBRE DEL PLAN

MINUTOS INCLUIDOS

VALOR VALOR MINUTO VALOR MINUTO MENSUAL NETO INCLUIDO EN ADICIONAL A PAGAR EL PLAN CON SUBSIDIO

PLAN ILIMITADO

ILIMITADO

$ 20.350

N/A

N/A

PLAN 220

220

$ 10.200

$ 46,36

$ 60,00

PLAN 110 (*1)

110

$ 6.200

$ 56,36

$ 60,00

ESTRATO 1 (*2)

(*1) Tarifa subsidiada para el estrato 1 a partir del minuto 111 hasta el minuto 200 es de $26,75 (*2) Los primeros 325 minutos estarán exentos de IVA PLAN ILIMITADO

ILIMITADO

$ 22.100

N/A

N/A

PLAN 220

220

$ 11.950

$ 54,32

$ 60,00

PLAN 110 (*3)

110

$ 7.400

$ 67,27

$ 60,00

ESTRATO 2 (*2)

(*2) Los primeros 325 minutos estarán exentos de IVA (*3) Tarifa subsidiada para el estrato 2 a partir del minuto 111 hasta el minuto 200 es de $32,10 PLAN ILIMITADO

ILIMITADO

$ 39.000

N/A

N/A

PLAN 550

550

$ 35.000

$ 63,64

$ 63,64

PLAN 370

370

$ 25.500

$ 68,92

$ 68,92

PLAN 220

220

$ 17.000

$ 77,27

$ 77,27

PLAN 110

110

$ 10.000

$ 90,91

$ 90,91

PLAN ILIMITADO

ILIMITADO

$ 41.500

N/A

N/A

PLAN 550

550

$ 35.000

$ 63,64

$ 63,64

PLAN 370

370

$ 25.500

$ 68,92

$ 68,92

PLAN 220

220

$ 17.000

$ 77,27

$ 77,27

PLAN 110

110

$ 10.000

$ 90,91

$ 90,91

PLAN ILIMITADO

ILIMITADO

$ 49.800

N/A

N/A

PLAN 550

550

$ 42.000

$ 76,36

$ 76,36

PLAN 370

370

$ 30.600

$ 82,70

$ 82,70

PLAN 220

220

$ 20.400

$ 92,73

$ 92,73

PLAN 110

110

$ 12.000

$ 109,09

$ 109,09

ESTRATO 3

ESTRATO 4

ESTRATO 5

Los precios no incluyen IVA

PLANES BÁSICOS LÍNEA TELEFÓNICA ESTRATO 1 Y 2: NOMBRE DEL PLAN

PLAN BÁSICO

ESTRATO

CARGO FIJO MENSUAL (Sin IVA

VALOR MINUTO HASTA MINUTO 200

VALOR MINUTO ADICIONAL A PARTIR DEL MINUTO 201 (Sin IVA)

ESTRATO 1

$ 3.255

$ 26,75

$ 60,00

ESTRATO 2

$ 3.906

$ 32,10

$ 60,00

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

PLANES PREPAGO LÍNEA TELEFÓNICA ESTRATO 1 Y 2: NOMBRE DEL PLAN

DENOMINACIONES TARJETAS PREPAGO ETB

VALOR MINUTO LOCAL

$2.000

PLANES PREPAGO

$3.000 $5.000

$ 86

$10.000 $20.000

Situaciones para la función cuadrática • ANÁLISIS DE LA SITUACIÓN: La situación tiene como propósito identificar las características más importantes de la función cuadrática, a saber: su crecimiento, decrecimiento, punto de máxima/mínimo, rapidez del cambio (concavidad), entre otros. Está diseñada para orientar a los estudiantes en dos momentos. MOMENTO 1 En esta parte, la situación es presentada en lenguaje natural, de tal manera que permita inducir a los estudiantes a que mediante el sistema de representación tabular, identifique las relaciones funcionales entre las diferentes magnitudes que intervienen en la situación. Para promover este reconocimiento se formulan preguntas que sugieren a los estudiantes la realización de cálculos de los valores de una magnitud en relación con las otras. Además se requiere que el estudiante se aproxime a describir esta relación funcional haciendo uso del lenguaje natural. Una vez llenen la tabla, se espera que reconozcan la existencia de la covariación entre las magnitudes, aunque es posible que no logren expresarla cuantitativamente. Esto a pesar de que detectaran los algoritmos con los que se hiciera su registro tabular. Adicionalmente con este momento se pretende poner en claro la capacidad de los estudiantes para comunicar conceptos matemáticos, lo cual se hace evidente cuando los expresan retórica o gráficamente. MOMENTO 2 En un segundo momento, se propone que la relación entre las magnitudes sea expresada mediante otros sistemas de representación tales como: el gráfico y el simbólico usando una hoja de cálculo en Excel. En esta parte de la situación se pretende que los estudiantes identifiquen algunas características de la forma como cambian las variables, dado que la situación exige al estudiante tener cierto control sobre el cambio que se surge en cada una de las variables (magnitudes), a medida que crece o decrece el número de viajeros. De esta forma, a través de su análisis se podrá anticipar conclusiones favorables o desfavorables para los viajeros y para la empresa de viajes, con base en las condiciones generales del problema.

158


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

De igual manera, la situación permite que el estudiante identifique algunas propiedades de la función en cuanto a su variación y a la variación de la variación. Adicionalmente le permite asociaciones entre los sistemas de representación verbal gráfico y tabular. El docente debe estar atento a las posibles respuestas de los estudiantes y promover la identificación de estas características por ejemplo, las preguntas c, d y e del segundo momento pretender orientar el trabajo del docente, hacia el descubrimiento de la forma cómo "cambia el cambio" de la función, y su respectiva identificación de este rasgo en el registro de representación gráfico. En este sentido el docente puede apoyar el trabajo con un razonamiento gráfico como el siguiente:

Gráfico 1. Tramo de la parábola de la relación funcional de la situación

En el gráfico N° 1 se muestra un tramo de la relación que existe entre el número de viajeros y el valor total del viaje para el grupo. Con la construcción de este gráfico se pretende observar que a medida que el número de viajeros aumenta en una unidad, el costo total del viaje para el grupo también aumenta. Sin embargo, se puede observar que cada vez aumenta en menor valor. En el gráfico N° 2 se muestra un tramo de la relación que existe entre dos variables diferentes. Con la construcción de este gráfico se pretende observar que a medida que una de las variables aumenta en una unidad la otra variable aumenta, pero en este caso se puede observar que cada vez aumenta en un mayor valor.

Gráfico 2.

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Módulo

2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Por medio de actividades de este tipo es posible, mediante el proceso de generalización, llegar a la conclusión que las gráficas cóncavas hacia arriba representan un cambio positivo o de aumento en la variación de la función y que una gráfica cóncava hacia abajo representa un cambio negativo o disminución de la variación de la función.

Componentes de la situación • Elementos procedimentales y conceptuales Matemáticos: „ Discriminación de magnitudes variables y constantes. „ Identificación de las magnitudes dependientes e independientes en una relación funcional. „ La organización de la información en tablas que permitan reconocer y cuantificar el cambio. „ La representación simbólica y cartesiana de las relaciones funcionales. • Elementos Didácticos: • Criterios de análisis en la Modelación. „ La identificación y selección de las magnitudes variables y constantes. „ La formulación de hipótesis de trabajo „ Construcción de ecuaciones y herramientas simbólicas y gráficas para realizar procedimientos. „ El establecimiento de argumentos que permitan validar la obtención del modelo. „ La utilización del modelo para elaborar y probar conjeturas de la situación problema. • Criterios de análisis en el reconocimiento de la variación „ La determinación de las cantidades variables. „ La identificación de las invariantes del problema „ El reconocimiento de las relaciones multiplicativas entre las magnitudes que interviene en la situación. „ La descripción y coordinación del cambio de una cantidad de magnitud con los cambios en otra. „ Identificación de la concavidad de la función como la herramienta para determinar la variación del cambio de la función (variación de la variación) • Criterios de análisis en la manipulación de los sistemas de representación. „ El uso de herramientas como la interpolación y extrapolación para determinar parejas de valores en una tabla. „ El reconocimiento de los elementos de cada sistema semiótico de representación en relación con el concepto de función „ La identificación de características de la función en un sistema de representación y sus correspondientes en otro sistema de representación.

•SITUACIÓN No. 1: En la empresa de viajes JAVO.Ltda se tiene que el valor de un paquete turístico a cualquier destino nacional por persona es de $350,000. Sin embargo para cualquier grupo se hace un descuento de $2,000 por cada persona, válido para cada uno de los miembros del

160


El razonamiento algebraico y la modelación matemática

grupo. Es decir si viaja una pareja se hace un descuento de $4,000 a cada uno de ellos. De igual manera si es un grupo de 5 personas se hace un descuento de $10,000 (5 veces $2,000) a cada uno de los viajeros. MOMENTO 1 Reconocimiento y representación de las relaciones funcionales. Con base en la información anterior responda: a. ¿Cuál sería el costo del viaje para un grupo de 10 personas? ¿y para un grupo de 23 personas? b. Si el costo para un grupo es de $9'800,000. ¿cuántas personas hacen parte del grupo? c. Con base en esta información llene la siguiente tabla: Número de miembros del grupo

Valor del descuento por persona

Valor tiquete por persona

Valor total del viaje para el grupo

2 5 14.000 310.000 50 62

d. Según las condiciones de la situación cuáles cantidades permanecen constantes y cuáles varían? e. Exprese con palabras la relación que existen entre cada una de las siguientes cantidades: a. Número de miembros del grupo y valor del descuento por persona. b. Número de miembros del grupo y valor del tique por persona. c. Número de miembros del grupo y valor total del viaje para el grupo. f. Represente mediante símbolos cada una de las anteriores relaciones. MOMENTO 2 Análisis de algunas propiedades a través de sus representaciones gráfica y tabular En el archivo empresa de viajes JAVO.Ltda.xls se muestra una tabla y su respectivo gráfico, (ver gráfico N° 3) que elaboró la empresa para llevar el registro de sus posibles ofertas y restricciones a los clientes.

Gráfico 3. Imagen del archivo empresa de viajes javo.ltda

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Módulo

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

1. Asigne diferentes valores a la casilla salto y valor inicial, observe y describa los cambios que genera en la tabla. 2. Observe la tabla y con base en ella responda: a. A medida que aumenta el número de viajeros, qué sucede con cada una de las siguientes cantidades: El descuento por persona, El valor del tiquete por persona, El costo total del viaje al grupo. b. Si se duplicara el número de viajeros qué efectos tendría esto sobre cada una de las otras cantidades de la tabla? c. En qué valor se incrementa el costo del viaje para el grupo cuando el número de viajeros aumenta de 12 a 15, de 15 a 18, de 18 a 21, de 42 a 45, 83 a 86, de 86 a 89 y de 89 a 91. Describe con tus palabras las regularidades que puedes observar. d. A medida que el número personas aumenta de 0 a 87 cómo es el crecimiento en el valor del viaje para el grupo. ¿Cómo se puede observar esta forma de crecimiento en la gráfica de la función? e. A medida que el número personas aumenta de 88 en adelante cómo es el decrecimiento en el valor del viaje para el grupo. ¿Cómo se puede observar esta forma de decrecimiento en la gráfica de la función? f. ¿Para qué número viajeros la empresa obtendría su máximo ingreso? ¿Cómo se puede observar este valor en la gráfica de la función? g. Suponga que se tiene un grupo de 50 personas y otro de 125 personas. ¿Cuánto dinero recibiría la empresa por cada uno de estos grupos? ¿Cuál de los dos grupos es más conveniente que la empresa tome para su viaje? Argumenta tu respuesta. h. ¿Qué relación existe entre las cantidades Número de viajeros y costo del tiquete por persona con la cantidad del costo total para el grupo? i. ¿Cuál es la gráfica que corresponde a cada una de las columnas de la tabla? j. ¿Qué relación se puede observar entre la gráfica del costo del tiquete por persona, el eje x y la gráfica del valor total del grupo. 3. Si usted fuera gerente o asesor de la empresa, qué cambios sugeriría a este plan de tal manera que represente mejores utilidades a la empresa.

•SITUACIÓN No. 2: Se tiene una cuerda de longitud K metros. Con una parte x de ella se requiere encerrar una superficie circular y con la otra parte una superficie cuadrada, ver figura 2.

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El razonamiento algebraico y la modelación matemática

Figura 2

Actividad 1 a. Verifique que el área total A encerrada por la cuerda como función de la longitud x, es una función cuadrática. b. Si la función A(x) es cuadrática entonces es una parábola, ¿Qué información ofrece a la situación el vértice de la misma?

Actividad 2 a. ¿Que trayectoria sigue el vértice de la parábola cuando k toma valores reales positivos? ¿Qué dice esta trayectoria de la situación? b. Determine un valor exacto o aproximado de la longitud x para el cual el área total encerrada es mínima. c. ¿Cuál es dicho valor mínimo para el área total encerrada?

•SITUACIÓN No. 3: Si el lado de un campo rectangular va a tener como límite el muro de una casa, halle las dimensiones del terreno rectangular mas grande que puede cercarse usando 240 m de valla para los otros tres lados.

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M贸dulo

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2

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico


Unidad No.5

El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

Fabián Arley Posada Balvín John Jairo Múnera Córdoba

El desarrollo de procesos algebraicos desde los primeros niveles educativos, exige la interacción de los estudiantes con actividades y situaciones que propicien la reflexión frente a lo que cambia, y lo que se conserva; generando un contexto para la comunicación de relaciones invariantes estructurales, pero fundamentalmente, que les permita expresar lo que observan, así sea inicialmente desde el lenguaje natural, mientras construyen niveles de simbolización mediados por diferentes representaciones: icónicas, geométricas, tabulares, gráficas, numéricas y algebraicas. En todas estas representaciones siempre va a estar presente el razonamiento visual, a partir del cual se puede promover momentos de exploración, análisis y sistematización de ideas que tienen que ver, poco a poco, con la formalización y generalización. Como puede apreciarse, un trabajo dinámico que promueva formas particulares de expresar la generalidad, hasta relacionarla con las formas socialmente establecidas, exige de la participación activa de los estudiantes. Entonces, la movilización de habilidades algebraicas por parte de los estudiantes tendrá que ver con las formas de expresar y comunicar ideas matemáticas; para ello se necesita de diferentes niveles de representación, que cuando se parte de actividades que vinculan exploraciones empíricas e inductivas, se pueden poner de manifiesto. La representación simbólica en contextos algebraicos está estrechamente relacionado con los niveles semánticos en la comprensión del concepto de variable en matemática, adicionalmente, el progreso en el uso de este concepto determina el estado de comprensión de situaciones relacionadas en los diferentes grados de generalidad. En el campo del álgebra una variable es un símbolo, usualmente representado por una letra, que da cuenta de cualquier elemento de un conjunto, los cuales son números u otros objetos. A través de ellas es que podemos expresar regularidades presentes en situaciones matemáticas, dar cuenta de diferentes niveles de abstracción y generalidad, operar con lo desconocido como si lo fuera y comunicar matemáticamente, sin el perjuicio de la ambigüedad, relaciones entre los objetos, tanto de las mismas matemáticas como de otras ciencias.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

De acuerdo a Godino (2000) las variables en matemáticas tienen cuatro usos principales: 1. Las variables como incógnitas: Cuando se usan para representar números (u otros objetos) uno de cuyos valores posibles hace verdadera una expresión. La incógnita interviene como un número desconocido que se manipula como si fuera conocido. Ejemplos: Cuando en los primeros cursos se escribe, por ejemplo, 9+ __ = 15 Cuando en cursos más avanzados se proponen ejercicios del tipo: ¿Cuánto vale x para que sea cierta la igualdad 4x + 2 = 3x +5? 2. Las variables como indeterminadas o expresión de patrones generales. (números generalizados): Es el caso cuando la variable se usa en enunciados que son ciertos para todos los números (o elementos del conjunto que se trate). Ejemplos: Para todos los números reales se cumple que a·b = b•a El área del cualquier rectángulo es A = b•a (a = base y b = altura). 3. Las Variables para expresar cantidades que varían conjuntamente. La relación de dependencia entre variables ocurre cuando el cambio en una variable determina el cambio en la otra. Ejemplos: En la expresión y = 5x + 6, cuando cambia x también lo hace y. En la fórmula C= 2 πr, cuando cambia el radio r también cambia la longitud de la circunferencia C. 4. Las variables como constantes o parámetros. Es el caso de la letra a en la fórmula de la función de proporcionalidad y = ax. En un primer momento se ha de considerar que la letra a no varia y que sólo lo hacen de manera conjunta la x y la y. De esta manera se obtiene una función de proporcionalidad directa. En este primer momento no hay diferencia entre tener y = ax ó y = 2x. En un segundo momento se ha de considerar que a puede variar y tomar cualquier valor, con lo que obtenemos la familia de todas las funciones de proporcionalidad simple directa. Ejemplo: “a es una constante real y x una incógnita tal que, ax = x+1. ¿Qué puede valer x?” Aquí se considera que la letra a representa un número fijado como dato en el problema, pudiendo ser cualquier número, pero cuyo valor no se especifica numéricamente en el problema dado. Esta manera de trabajar confiere al problema un carácter mucho más general. La letra a interviene aquí como un parámetro: objeto matemático conocido (número, conjunto, función, figura, etc.) que puede tomar cualquier valor (una variable), pero también debe entenderse como objeto matemático que tiene un valor específico constante. Es decir, un parámetro puede entenderse como variable y constante a la vez. Una forma de ver como los diferentes significados de la variable juegan un papel importante en los procesos algebraicos, es el caso de la factorización de polinomios desde un punto de vista escolar. Esto porque la factorización puede asumirse como una alternativa

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de razonamiento, donde sus formas de representación vinculan a la variable en los diferentes significados anteriores: Por un lado, al entender la factorización como un procedimiento centrado en el tratamiento de funciones polinómicas generales, los coeficientes deben expresarse como parámetros y las variables dependientes e independientes representan cantidades que covarían (variables). Y de otro, cuando la factorización es usada como herramienta para solucionar ecuaciones, en este caso las variables asumen el papel de incógnitas y por tanto se obtiene un conjunto finito de valores que depende del grado de los polinomios. Seguidamente se presenta una manera de entender conceptualmente el problema de la factorización tanto desde el punto de vista matemático como de su uso en la solución de problemas. Esto sin desconocer que el tratamiento conceptual, finalmente nos conlleva a una serie de procedimientos algorítmicos que facilitan el tratamiento de relaciones entre los diferentes registros de representación de una función polinómica.

La factorización como proceso y como herramienta Tradicionalmente al aprendizaje de los conceptos y relaciones asociadas a la factorización se le destina gran parte de los grados 8º y 9º de la educación básica. La forma de proceder está reducida a la memorización y mecanización de los llamados 10 casos convencionales y algunos especiales, con los cuales se pretende factorizar polinomios de segundo grado con coeficientes generalmente racionales. Dicho de otra manera, lo que se estudia son los algoritmos que permiten pasar de un polinomio dado en su forma canónica, a un producto de polinomios lineales que sea equivalente al dado. Esto a espaldas, de lo que dicho proceso significa, tanto desde el punto de vista matemático como fenomenológico; anteponiendo a los procesos de pensamiento matemático según los lineamientos curriculares, mecanismos de memorización algorítmica. Esta práctica ha sido reconocida como un problema que año tras año se sostiene en la educación matemática, bajo la hipótesis que es muy importante porque este conocimiento algún día será necesario y útil. Sin embargo, para muchos estudiantes incluso para algunos profesores ese día nunca llega. La necesidad del estudio de la factorización puede entenderse a través de dos vías: uno matemático y otro fenomenológico, íntimamente relacionados. Por un lado, desde el punto de vista matemático, factorizar es algo que va mas allá que construir casos de factorización para polinomios particulares (generalmente de segundo grado); es una forma de comprender el teorema fundamental del álgebra (TFA) y por tanto, es este, el concepto matemático que debe ser comprendido por los estudiantes. Por otro lado, desde el punto de vista fenomenológico, la factorización tiene sentido en la medida que permite encontrar soluciones numéricas a ecuaciones de la forma f(x)= g(x) con f(x) y g(x)dos funciones polinómicas. Es decir, ecuaciones algebraicas55. _____________________________________________________ 55

Algunos de estos conceptos pueden extenderse a la solución de otro tipo de ecuaciones: trigonométricas, logaritmicas, exponenciales, etc.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

Estos dos elementos se relaciones en la medida que la ecuación algebraicas f(x)= g(x) pueden transformarse, a través de la actividad de tratamiento en el registro simbólico, a una nueva ecuación, igualmente algebraica de la forma h(x)= f(x)- g(x)=0 o k(x)= g(x)f(x)=0. Una vez se tiene la nueva ecuación h(x)=0 o k(x)=0 entra a escena el TFA para ayudar a encontrar las raíces, los ceros ó soluciones de estas. Dicho de otra forma, encontrar los ceros o raíces de una de las dos ecuaciones h(x)=0 o k(x)=0 es una estrategia para determinar las soluciones de la ecuación f(x)=g(x). Desde esta perspectiva, la solución de estas ecuaciones se puede determinar a partir de cualquiera de los registros de representación para el concepto de función. En particular desde el punto de vista gráfico, solucionar la ecuación, no es más que determinar los puntos de corte de f(x) y g(x), lo cual ocurre exactamente en los mismos valores de la variable independiente que solucionan las ecuaciones h(x)=0 y k(x)=0, es decir, los interceptos de h(x) y k(x) con el eje x. Esto gráficamente significa, que la solución de f(x)=g(x) o cortes entre las funciones f(x) y g(x) se trasladan para que coincidan con el eje x, esto dado a que, como se observa en la siguiente figura, los valores de la variable independiente (indeterminada x) que hacen cierta las tres ecuaciones, son los mismos.

En esta figura se observan simultáneamente las funciones f(x), g(x), h(x) y k(x) e igualmente se observa que en los mismos valores para la variable independiente donde se cortan las funciones f(x) y g(x), es donde se cortan las funciones h(x) y k(x)con el eje x, esto se indica con las líneas verticales, que como se puede observar, pasan exactamente por los mismos valores de x. Esto puede interpretarse como una simple traslación vertical de los puntos de corte entre f(x) y g(x) hasta que coincidan con el eje x, modificándose los valores de y para que sean 0. A estos puntos de intercepción entre h(x) y k(x) con el eje x se les llamaran puntos solución de las ecuaciones h(x)=0 y k(x)=0 y por ende soluciones de la ecuación f(x)=g(x). Estos valores igualmente reciben el nombre de ceros o raíces de h(x) y k(x). Lo anterior se puede ilustrar a través del siguiente ejemplo: Supongamos que el coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto esté determinado por la función f ( x ) = 50 −

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x2 pesos y el precio de venta de las mismas se encuentre 4


El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

1 4

determinado por la función g ( x) = x 2 + 5 x + 25 pesos. Hallar el número mínimo de unidades que debe venderse diariamente para que se puedan obtener beneficios.

Para encontrar la respuesta a la pregunta de esta situación, se debe equilibrar el coste de producción y el precio de venta, pues una vez este supere el costo de producción, se obtendrán beneficios. Matemáticamente sería g(x) ≥ f(x). En este sentido la cantidad mínima será cuando f(x)=g(x) y por tanto 50 −

x2 1 2 = x + 5 x + 25 . 4 4

La estrategia de solución sería

transformar f(x)=g(x) a h(x)=f(x)-g(x)=0 y encontrar los puntos solución, raíces o ceros de h(x)=0. En nuestro caso h( x) = 1 x 2 + 5 x − 25 = 0 y por tanto se requiere solucionar la ecuación 2

1 2 x + 5 x − 25 = 0 . En la siguiente figura se muestra la solución gráfica de la situación. 2

Desde el punto de vista del registro simbólico analítico, la estrategia de solución es lograr transformar 1 x 2 + 5 x − 25 en una forma (x-a) (x-b) de tal manera que al igualarle a cero, es 2

56

decir, (x-a) (x-b)=0, se tiene que (x-a)=0 ó (x-b)=0 y así encontrar que x=a o x=b. En otros términos, se transforma el polinomio de grado mayor a 2 en un producto de factores lineales que permitan determinar fácilmente cuales son los ceros de la función. Esto siempre es posible gracias al TFA. Esta es una de las razones que hace importante a la factorización como concepto, y no simplemente como casos de factorización. A partir de este punto es que el problema se convierte en una actividad de tratamiento al interior del registro simbólico analítico y no es otra cosa que un conjunto de métodos, _____________________________________________________ 56

Esto es posible hacerlo porque el conjunto de los polinomios tiene estructura de dominio entero.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

traducidos en teoremas, que permiten recrear el TFA. Esto quiere decir, que los llamados casos de factorización, no son otra cosa que una forma de algoritmizar al TFA y por tanto, desde el punto de vista conceptual y procedimental, los esfuerzos deberían dirigirse a comprender el TFA y no solo a memorizar los algoritmos que lo usan (casos de factorización para polinomios de segundo grado). Ahora bien, como el TFA al rezar: si “f(x) es un polinomio de coeficientes complejos y el grado del mismo es n ≥ 1, entonces f(x) tiene al menos una raíz compleja”, se puede demostrar que “tiene exactamente n raíces, donde una raíz de multiplicidad n se cuenta n veces”. Como se aprecia, el TFA es un teorema sólo de existencia y no indica como hallar dichas raíces. Esto quiere decir, que a partir del mismo se puede garantizar que el problema de encontrar los ceros de una función polinómica siempre es posible en el campo de los números complejos57, pero lo único que se podría tener son métodos para intentar hallarlas. Dicho de otro modo, independiente del grado que tenga el polinomio, siempre es posible encontrar sus raíces en el campo de los números complejos, aun no siendo una tarea fácil de realizar. En particular, para polinomios de grado dos, como es el caso que la escuela generalmente trata, los métodos utilizados para hallar sus raíces tiene los mismos principios como si el problema fuera de grado superiores y por tanto son estos los que se deben ser comprendidos. Entonces, desde el punto de vista matemático, ¿qué significa factorizar? Para comprender el concepto de factorización, en necesario analizar cuatro elementos básicos: la definición del algoritmo de la división de números enteros, para luego hacer una transposición de este concepto a lo que es la división de polinomios, entender el teorema del residuo y el teorema del factor para, por ultimo, comprender el teorema fundamental del álgebra, el cual en síntesis es el concepto esencial escondido en los procesos técnicos de la factorización. Para comenzar, recordemos que si se tienen dos números enteros m, n siempre se pueden encontrar otros dos únicos enteros q y r de tal manera que, sin perdida de generalidad, si m>n entonces m=nq+r con 0 ≤ r < n. Estos enteros q y r se obtienen de dividir m por n, a través del algoritmo de la división. Al número q se le llama cociente, al número r residuo, a m divisor y a n dividendo. Si r=0 se dice que m es múltiplo de n, ó que n es un factor de m al igual que q. Esto quiere decir que m=nq o en otros términos, el entero m se puede factorizar en los factores n y q. De manera análoga, dados los polinomios f(x) y g(x), sin perdida de generalidad, si f(x) es de grado mayor que g(x) entonces siempre se pueden encontrar, a través del algoritmo de la división para polinomios, otros dos polinomios q(x) y r(x), de tal manera que f(x)=g(x)q(x) + r(x) con el grado de r(x) menor que el grado de g(x). Al igual que en el caso anterior, si r(x)=0 entonces, f(x)=g(x)q(x) y se dice que tanto g(x) como q(x) son polinomios factores de f(x) o lo que es lo mismo, el polinomio f(x) puede ser factorizado con el producto de los polinomios g(x) y q(x). _____________________________________________________ 57

Uno de los elementos que hacen que el teorema sea fundamental es que no requiere construir otros conjuntos numéricos, por fuera de campo de los complejos, para resolver el problema genérico de encontrar raíces de un polinomio. Con los complejos basta.

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El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

Esto significa que para factorizar un polinomio f(x) de grado n>1, solo es necesario encontrar otro polinomio g(x) de grado menor al de f(x), tal que si dividimos a f(x) por g(x) se obtenga como residuo a r(x)=0. El problema general de la factorización radica precisamente en encontrar este polinomio g(x) que cumpla con la condición establecida. Si el polinomio g(x) es de la forma (ax-c) con a, c números complejos, entonces el proceso de factorización simplifica la determinación de los ceros de la función. En el caso que el polinomio f(x) sea de grado dos, es decir de la forma f(x)=ax2 + bx +c con a≠0, encontrar a g(x)=(x-c) factor de f(x) es transformar a f(x) en f(x) = m(x-c) (x-d) con m≠0 de esta forma queda factorizado y por ende solucionado el problema de encontrar sus raíces. Por tanto todos los esfuerzos dirigidos a algoritmizar el proceso de factorización, deben estar centrados en permitir la comprensión con sentido de los siguientes teoremas, pues son los que le soportan matemáticamente lo expresado en los párrafos anteriores y hacen explícitos los conceptos. El teorema 1 se refiere al concepto de divisibilidad entre polinomios, y como consecuencia se deduce el teorema 2, teorema 3 (teorema del residuo) y teorema 4 (teorema del factor). Los teoremas 5, 6, 7 permiten hacer análisis rápidos de las diferentes raíces de un polinomio. Teorema 1: Divisibilidad de polinomios Sean f(x) y g(x) polinomios con g(x)≠0. Entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que f(x)= g(x)q(x)+r(x) donde r(x) es cero, o tiene grado menor al grado de g(x). Teorema 2: Sea f(x) un polinomio de grado n>0 y sea w un número complejo. Entonces, existe un polinomio único q(x) de grado n-1 y un número complejo único r tal que f(x) = (x-w)q(x)+r. De este teorema se desprende algo bastante importante que relaciona a los números reales w, r y la función f(x): si x=w entonces, f(w)=r, tal resultado es conocido con el nombre de Teorema del residuo. En otros términos, cualquier polinomio de grado mayor a uno, al ser dividido por otro polinómo lineal de la forma (x-w) deja como residuo un número real r, el cual es el mismo valor de f(x) cuando se evalúa en w. Teorema 3 (teorema del residuo): Cuando un polinomio f(x) se divide por el polinomio lineal de la forma g(x)=x-w, el valor del polinomio f(x) cuando x=w es r, esto es, f(w)=r. Si suponemos que r=0 en el teorema 3, se obtiene que f(x)=0 y se dice que w es un cero o una raíz del polinomio, y por lo tanto según el teorema 2 se tiene que f(x) =(x-w)q(x), esta idea genera un nuevo teorema que recibe el nombre de Teorema del factor el cual dice: Teorema 4 (teorema del factor): Un número real w es una raíz de un polinomio f(x) si y solo si el polinomio lineal g(x)=x-w es un factor de f(x). Una forma de dinamizar y al mismo tiempo probar la validez de los teoremas anteriores, es a través del algoritmo conocido con el nombre de división sintética. Esta simplifica el

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

proceso general del algoritmo de la división, cuando el polinomio divisor es de la forma (xm) con m un número complejo, y por tanto puede servir de herramienta en la tarea de hallar las raíces de un determinado polinómio.

División sintética 1. Organice el polinomio f(x) en potencias descendentes de x. 2. Escriba los coeficientes del polinomio en forma horizontal. 3. Escriba m (el número complejo, término independiente del polinomio divisor). Asegúrese de incluir cualquier coeficiente que sea 0, además del término constante. 4. Baje el primer coeficiente a la tercera fila. 5. Multiplique este número por m y escriba este producto directamente debajo del segundo coeficiente de f(x). luego sume los dos números en esa columna y escriba el resultado debajo de ellos, en la tercera columna. 6. Multiplique esa suma por m y escriba el producto en la segunda fila debajo del coeficiente que sigue. Luego sume los dos números de esta columna y escriba la suma en la tercera fila. 7. Repita el paso anterior tantas veces como sea necesario. 8. El último número de la tercera fila es el residuo constante r; los números que lo preceden son los coeficientes de q(x), el polinomio cociente de grado n-1. A manera de ejemplo: Sea f(x)=3x3-2x+8 y g(x)= x-2 si se desea dividir a f(x) por g(x), simplemente, siguiendo el anterior algoritmo se tiene:

Apelando al teorema 2 se tiene que f(x) se transforma en f(x)=(x-2)(3x2+6x+10)+28 y según el teorema del residuo 28 es el resultado de evaluar a f(x) en 2, efectivamente f(2) = 3.23 - 2.2+8 =28. Los cuatro teoremas anteriores son herramientas suficientes y necesarias para factorizar un polinomio de grado n>1 con coeficientes complejos, pero además, son fundamentales para encontrar las raíces del polinómio. Los teoremas siguientes son herramientas que permiten analizar el tipo de raíz que es posible encontrar dependiendo del polinomio que se va a factorizar. Teorema 5 (Teorema de las Raíces Racionales): Sea f(x)=anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0 un polinomio de grado n, donde todos sus coeficientes ai, i=0,1,2,...n son números enteros con an≠0. Si f(x) tiene una raíz racional de la forma p s

con p y s primos entre si, entonces p es un factor de a0 y s es un factor de an.

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El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

Teorema 7: (Teorema de las raíces complejas) Sea f(x) un polinomio de grado n>1 con coeficientes reales. Si z es una raíz compleja de f(x), entonces el conjugado de z también es una raíz de f(x). Tomando como base los desarrollos teóricos anteriores y lo propuesto por los lineamientos y estándares curriculares, se requiere reconstruir la organización conceptual que pueda llevarse a cabo desde la iniciación escolar, de tal manera que el punto de partida de los procesos algebraicos no sea el énfasis formal y deductivo, sino un espacio para dinamizar relaciones desde los distintos significados de la variable, cuyas estrategias de comunicarlas pasen por varios niveles de representación y simbolización; hasta lograr formas superiores de generalización propias de toda actividad matemática. • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS La siguiente organización de estándares recoge los elementos teóricos antes planteados y orientan el diseño de actividades para su desarrollo. GRADO 1-3

PROCESOS ALGEBRAICOS Reconocer y generar equivalencias entre expresiones numéricas Construir secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y de las figuras geométricas.

4-5

Construir ecuaciones e inecuaciones aritméticas como representación de las relaciones entre datos numéricos.

6-7

Utilizar métodos informales (ensayo - error, complementación) en la solución de ecuaciones. Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

8-9

Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas. Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. Utilizar las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

10-11

Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales.

De esta forma, con el conjunto de actividades que se presentan en esta unidad se busca generar un espacio de trabajo que promueva la extracción de información a partir de representaciones geométricas y problemas para construir expresiones algebraicas y ejercitar operaciones entre ellas. También se pretende propiciar un contexto para combinar diferentes representaciones que posibilite la exploración y obtención de inferencias a partir de diagramas, tablas y gráficas, que representan datos de situaciones concretas. La forma como están pensadas las actividades buscan movilizar en los alumnos procedimientos propios del razonamiento algebraico desde una perspectiva dinámica en la que surgen niveles de significación y de simbolización, hasta culminar con procesos sintácticos y analíticos propios del álgebra.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

También se pretende que los estudiantes empiecen a construir conjeturas en cuanto a operaciones y relaciones con los números antes mencionados, es decir, desde un trabajo de experimentación y exploración, los alumnos tendrán la oportunidad de construir proposiciones asociadas a conceptos básicos de la manipulación del lenguaje algebraico. En particular se espera hacer un uso con sentido de la variable en sus distintos significados, a partir de situaciones específicas para ir construyendo con ellos el valor y el significado que las mismas tienen cuando se trata de solucionar problemas tanto de otras ciencias como de la misma matemática. Las primeras situaciones promueven en los estudiantes habilidades para el uso de las letras en el contexto de: números evaluados, como incógnitas especificas, el papel en la traducción de situaciones aritméticas al lenguaje algebraico e iniciar la comunicación de situaciones numéricas con diferentes grados de generalización. A través de las situaciones siguientes se espera que los estudiantes inicien procesos relacionados con la interpretación de datos obtenidos a partir de representaciones geométricas e iniciar la ejercitación de operaciones entre expresiones algebraicas para resolver problemas. Las últimas cuatro actividades están pensadas para dar sentido al proceso de factorización en ambos contextos: como concepto matemático y como herramienta para la solución de ecuaciones algebraicas. Igualmente tienen que ver con el cálculo de valores particulares de una expresión algebraica y su interpretación a la luz de contextos particulares de una situación, y establecer relaciones a partir de la organización de tablas de datos y la conexión con representaciones geométricas y expresiones simbólicas.

•SITUACIÓN No. 1: GENERALIZANDO DESDE SITUACIONES NUMÉRICAS Y PROCESOS ALGEBRAICOS Propósitos: • Usar las letras como números evaluados y como incógnitas específicas. • Ejercitar la construcción de expresiones algebraicas desde el apoyo de representaciones geométricas. • Relacionar expresiones algebraicas desde diferentes sistemas de representación de las mismas Materiales: Guías de trabajo para cada uno de los estudiantes donde se hacen explícitas las actividades con sus respectivas instrucciones.

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El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

Actividad 1

58

Sustituya las letras por números, de tal manera que, al sumarlos, se obtengan los resultados indicados al final de las hileras horizontales y verticales. (En la hoja siguiente se presenta la actividad) Como se puede observar en casillas diferentes hay letras iguales, ¿qué significado tiene esto? Describa su estrategia de solución.

Actividad 2

L E L E L E SAB

Los siguientes problemas son de adición. Diferentes letras representan dígitos diferentes, ¿Por cuáles dígitos se debe reemplazar la letra para que la suma ea coherente?

E E E E

R+ R R R

H

U

5

12

5

T

2

8

T

7

H

12

10

11

11

A A A TU

M M M Y

O R+ O R O R Y O

Actividad 3

2

1. Con base en la siguiente figura: x

a. Obtenga una expresión para el área y el pex rímetro de la siguiente figura. 2 b. Realice una tabla de valores numéricos para 2x el área y el perímetro de dicha figura. c. Se requiere que la superficie mida exactamente 20 cm2, ¿Cuál debe ser la medida de la longitud x? d. Si se quiere que el perímetro mida exactamente 16 cm. ¿Cuál debe ser la medida de la longitud x? e. Cuanto debe medir la longitud x para que la figura tenga un área de 9 cm2 y un perímetro de 24 cm. 2n

Actividad 4 1. En la superficie dada, el triángulo es equilátero de altura 6cm. Suponga que desea armar un poliedro doblando las diferentes caras. Determine: a. El área lateral total del poliedro b. El volumen del poliedro

n

n

_____________________________________________________ 58

Tomada de: Villa Jhony y Tabares Guillermo. Enseñanza y Aprendizaje del Concepto de Variable en el Contexto de la Educación de Adultos. Trabajo monográfico de grado presentado como requisito para optar al título de Especialista en la Enseñanza de la matemática. Universida de Antioquia. Medellín, 2000. p. 98

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

c. El perímetro de la base d. El perímetro de una cara lateral e. Si se quiere que el perímetro mida exactamente 82 cm. ¿Cuál debe ser la medida de la longitud n? f. Si se requiere que la superficie mida exactamente 45 cm2, ¿Cuál debe ser la medida de la longitud n? g. ¿Cuanto debe medir la longitud n para que la figura tenga un volumen de 28 cm3 y un área de 44 cm2?

Actividad 5 Actividad con el álgebra geométrica plana59 . 1. En el juego de rectángulos presentados en la siguiente figura (correspondiente al Algebra Geométrica entregada), identifique y dibuje los que son cuadrados y defina la medida de sus lados con los valores a, b, 1 (de mayor a menor respectivamente). 2. Con base en la selección anterior, defina las medidas de los lados de los demás tipos de rectángulos del juego. 3. Con base en estas medidas calcule las áreas de cada clase de rectángulo. 4. Dibuje e identifique: bases, alturas y áreas. 5. Termine de registrar la información de la siguiente tabla, utilizando como único elemento de apoyo el álgebra geométrica. Áreas a2, ab

Área del rectángulo formado

Área en términos de la base y la altura

a2 + ab

A=a(a+b)

El rectángulo formado es cuadrado No

1, a , 2a, 2

4b , b2, 3, 7a + a2 + 6 2 + 5a + 2a2 4a2 + 4a + 1 a2, b2 3, 2a2, 5a 5b, 6, b2 2b,a2, ab, 4a, 4 A = (b +1)(a + 2b) A = b(b + 1) A = (a + b)(a + 3) 2ab , b2 , a2 6, 2ab, 3b, 4a A = (a + 3)(a + 3) Si _____________________________________________________ 59

Actividad diseñada por el profesor Miguel Moreno.

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El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

Áreas

Área del rectángulo formado

Área en términos de la base y la altura

El rectángulo formado es cuadrado

b2 + 7a + 12 No a2 – 2ab + b2 a2 – a – 6 A = ( a – 1 )(b + 2) A = ( 2a + 1)(b -2) 1, - 4a , 4a2 a2, – b2

Actividad 6 1. Encuentre una expresión matemática para el área del siguiente rectángulo de dos formas diferentes. n(cm)

A(n) Cm2

P(n) cm

1 1/2 2 2.5 3 7/2 8 10

Complete la tabla teniendo en cuenta que A( n ) es el área del rectángulo y P( n ) el perímetro.

Actividad 7 2. La expresión algebraica A(n) = 2n2 + 2n + 3 da cuenta del área de una figura determinada, utilice ésta para resolver las siguientes actividades: a. Construir una representación geométrica de la figura que tenga por área la expresión dada b. Obtener el perímetro de la figura obtenida c. Realizar una tabla de valores numéricos para el perímetro y área de la figura • GESTIÓN DE LAS ACTIVIDADES Las dos primeras situaciones pueden ser abordadas con estudiantes del grado sexto y séptimo, es importante que las trabajen en equipos, eso sí, cada estudiante debe tener registro escrito de las conclusiones y relaciones construidas a partir de las actividades, que en última instancia darán cuenta sobre la forma como se generalizan situaciones numéricas. También promueven en los estudiantes habilidades para el uso de las letras en el contexto de: números evaluados, como incógnitas especificas, el papel en la traducción

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Módulo

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

de situaciones aritméticas al lenguaje algebraico e iniciar la comunicación de situaciones numéricas con diferentes grados de generalización. Estas permiten a los alumnos considerar las letras como representante de números específicos. Los alumnos muy probablemente enfrenten la situación evaluando (generalmente por ensayo y error) las letras con números que cumplan las condiciones planteadas. Por ejemplo, en la actividad 1, en la primera fila si H + U + 5 = 12 entonces el valor de H y de U puede ser de 5 y 2 respectivamente, sin embargo la actividad le exige en estos casos considerar mas de una posibilidad, pues estos valores obliga a que el valor de T sea cero (0). Por lo tanto al verificar en otras filas y columnas, éstos resultan inconsistentes con los resultados. Para ello los alumnos deben considerar que una misma letra en diferentes posiciones debe indicar el mismo valor numérico. Esta serie de interpretaciones por parte de los alumnos le permite a los docentes identificar las dificultades y fortalezas que se presentan. Igualmente sucede en la actividad número 2. En la actividad 2 se espera que además de los intentos por ensayo y error para obtener los valores de las letras, se pueda entrar a discutir con los estudiantes aspectos relacionados con el sistema de numeración decimal posicional, generando alternativas algorítmicas para su solución. Las cinco situaciones siguientes son planeadas para estudiantes del grado octavo, en estas se combinan diferentes sistemas de representación, en todas ellas, de una u otra manera, se entra en contacto con alguna representación geométrica, para dar sentido a expresión simbólicas en el contexto de encontrar áreas y perímetros a partir de tener sus partes variables. Es muy importante mirar la forma como los estudiantes proceden, dado que la variedad de formas al tratar de construir la expresión va a dar lugar al establecimiento de relaciones entre ellas, conllevando a observar la equivalencia entre las mismas. Con éstas se busca generar un espacio de trabajo que promueva la extracción de información a partir de representaciones geométricas y problemas para construir expresiones algebraicas y ejercitar operaciones entre ellas. También se pretende propiciar un contexto para combinar diferentes representaciones que posibilite la exploración y obtención de inferencias a partir de diagramas, tablas y gráficas, que representan datos de situaciones concretas. De otra parte, se pretende que los estudiantes empiecen a construir conjeturas en cuantos a operaciones y relaciones con los números antes mencionados, es decir, desde un trabajo de experimentación y exploración, los alumnos tendrán la oportunidad de construir proposiciones asociadas a conceptos básicos de la manipulación del lenguaje algebraico.

•SITUACIÓN No. 2: LA VARIABLE Y SUS DIFERENTES SIGNIFICADOS EN FUNCIONES POLINÓMICAS. Propósitos: • Resolver problemas relacionados con funciones polinómicas y el proceso de factorización

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El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

Materiales: Además de las guías de trabajo, para esta parte se requiere del uso de computadores con software especializado para matemáticas, como Regla y Compás, el geogebra, el Derive, etc.

Actividad 1 A partir de la siguiente gráfica construya una tabla de pares ordenados y el registro simbólico analítico que la representa.

Actividad 2 Determine el registro simbólico analítico del conjunto de rectas que aparecen en las siguientes gráficas.

Construya un programa en excel que le permita reproducir las graficas.

Actividad 3 Determine la trayectoria que sigue el vértice de cada una de las siguientes parábolas cuando el parámetro k toma diferentes valores del conjunto de números reales.

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Módulo

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f ( x) =

Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

2 2 x − 4x − 2 k

h( x ) = x 2 − 2kx + ( k 2 − 2 )

3 3k g ( x) = − x 2 + x + 12 4 2

Actividad 4 Los textos de álgebra elemental, precalculo, álgebra y trigonometría, calculo y textos escolares entre otros, afirman que las funciones de la forma f(x)=ax2+bx+c, conocidas como polinómicas de segundo grado o cuadráticas representan parábolas en el registro gráfico cartesiano. Esto quiere decir que todos sus puntos equidistan de un punto dado llamado foco y de una recta llamada directriz. ¿Cómo se podría probar esta afirmación?

Actividad 5 Las siguientes tres tablas representan tres funciones diferentes. Determine cuál de ellas representa una función lineal y construya su gráfica y representación simbólica. Primera función

Segunda función

Tercera función

x

x

x

y1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,5 3,5 6,5 9,5 12,5 15,5 18,5 21,5 24,5 27,5

0 2,4 4,8 7,2 9,6 12 14,4 16,8 19,2 21,6

y2 2 2,8 3,6 4,4 5,2 6 6,8 7,6 8,4 9,2

1 3,4 5,8 8,2 10,6 13 15,4 17,8 20,2 22,6

y3 2,0 3,1 9,6 35,9 146,4 630,2 2807,6 12820,8 59628,6 281299,8

Actividad 6 ¿A partir de la siguiente gráfica es posible construir el registro simbólico analítico que la representa?

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El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

Actividad 7 Las siguientes son cuatro tablas que representan tres funciones diferentes: Determine cual de ellas representa una función cuadrática y construya su gráfica y representación simbólica. Primera función

Segunda función

Tercera función

Cuarta función

x

y1

x

y2

x

x

1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7

3,5 4,4 5,3 6,2 7,1 8 8,9 9,8 10,7 11,6

12 24,5 62 124,5 212 324,5 462 624,5 812 1024,5

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5

y3 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18

-3 -1,5 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5

y4 30 16,5 12 16,5 30 52,5 84 124,5 174 232,5

Actividad 8 ¿Dada la grafica de la función f(x)=x cómo se podría construir la grafica de la función f(x)=x2?

Actividad 9 La tasa de crecimiento de algunos peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan. Para los peces de ojos saltones, la tasa de crecimiento G está dada por la función 2 cuadrática G(T)=0.5T -13T+150, y los peces aguja tiene una tasa de crecimiento dado por 2 M(T)=0.9T - 45T+62. Ninguna de las dos especies soporta más de 54,3 grados centígrados y menos de -24,8 grados centígrados. Determine para qué temperatura T se tiene la misma cantidad de peces de cada especie.

Actividad 10 Una carrera de autos de 850 kilómetros tiene dos participantes. Uno de ellos sostuvo su velocidad en 155 k/h mientras que el otro sostuvo una velocidad de 162 k/h durante los primeros 400 kilómetros y de 145 k/h durante el resto de la carrera. ¿Cuál de los dos competidores logra llegar primero a la meta?

Actividad 11 Se tiene una cuerda de longitud K m. Con una parte x de ella se encierra una superficie circular y con la otra parte se encierra una superficie cuadrada, ver figura.

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Pensamiento Variacional y Razonamiento Algebraico

a. ¿Cómo saber a que longitud de x el área total encerrada por la cuerda es igual a 85 m2? b. ¿Habrá alguna longitud x para la cual la no existe área total encerrada? Justifica tu respuesta desde cada uno de los registros de representación. c. ¿habrá alguna longitud x para la cual el área total encerrada sea mínima?

Actividad 12 Desde un punto situado a 70 metros de altura con respecto al nivel del terreno se lanza una pelota. Se supone que la pelota describe una trayectoria parabólica. Además del punto (0,70), se observa que los puntos (200,300) y (500,500) también están en la trayectoria de la pelota. ¿A qué distancia horizontal con respecto al punto de lanzamiento la pelota toca la superficie del terreno?

Actividad 13 ¿Para que valores de x la función f(x)=x2+x-6 es igual a la función g(x)=x+1/2? • GESTIÓN DE LA ACTIVIDAD: Las trece actividades anteriores ya exigen a los estudiantes un mayor nivel de razonamiento, como también un buen desarrollo de procedimientos algorítmicos. Por lo tanto están pensadas para estudiantes de grados superiores. Están organizadas de modo que puedan ejercitar conceptos y relaciones matemáticas asociadas al tratamiento de expresiones algebraicas desde un punto de vista variacional. Por tal motivo se observará como el tratamiento de cada actividad vincula aspectos que tienen que ver con el tratamiento de funciones a través de alguno de los registros de representación. • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS DE LAS ANTERIORES SITUACIONES Las funciones lineales y cuadráticas finalmente se puede expresar, a través del registro simbólico-analítico, en la forma f(x)=ax+b y f(x)=ax2+bx+c respectivamente. En estas se diferencian los siguientes elementos: una variable x independiente, una variable f(x) que dependen de los valores de x, y los parámetros a,b y c, los cuales definen una función

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El razonamiento algebraico y el proceso de factorización

particular cuando toman un determinado valor del conjunto numérico de los reales. Es decir, cada valor que se le asigna a los parámetros a,b y c, permiten ver un caso particular del más general f(x)=ax+b ó f(x)=ax2+bx+c. Dicho de otra forma es la generalización de otros casos particulares atrapados bajo estas formas funcionales. Esto quiere decir que cada valores real de los parámetros, muestran características particulares del fenómeno que ha sido modelado a través de estas funciones y por tanto son la “huella digital” del mismo, es decir la determinan. Una interpretación para b, en el caso de la función lineal, sería que ésta representa el valor de y=f(x) asociado a x cuando este toma el valor cero en el registro simbólico-analítico. En el registro tabular representa la pareja ordenada (0,b), y en el registro gráfico el corte de la gráfica con el eje y. Los valores de a puede ser interpretados como la razón de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. En el caso de la función cuadrática el parámetro c juega el mismo papel que b en la lineal. En este caso es un poco más complejo ver el papel de los otros dos parámetros en el comportamiento del fenómeno. Sin embargo, son los valores que determinan si en la situación tiene sentido de hablar de un punto de máxima o de mínima y el valor de la variable independiente para el que se da dicho valor. Gráficamente dichos parámetros determinan translaciones de la parábola que representa la función cuadrática. Con las tres primeras situaciones se pretende estudiar el comportamiento gráfico de la función cuando los parámetros a y b tomas diferentes valores. Con las siguientes cinco se pretende conjugar el papel de los diferentes significados de la variable en la actividad cognitiva de conversión entre diferentes registros de representación. Finalmente las últimas actividades están diseñadas para dinamizar el proceso de factorización en el contexto de la solución de ecuaciones algebraicas de segundo grado.

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Anexo Los sistemas de representación semiótica y el álgebra escolar

Muchas de las investigaciones en el campo de la didáctica de la matemática, giran en torno a entender el álgebra como un lenguaje bajo el cual se comunican las matemáticas. En este sentido el interés ha estado centrado en los aspectos semánticos y sintácticos que dicho lenguaje ofrece a la comprensión de los objetos matemáticos, sin desconocer el papel que juegan los aspectos psicológicos, pragmáticos, antropológicos y socio-culturales. Para estudiar la adquisición de un conocimiento matemático y los funcionamientos que permiten su tratamiento o su aprendizaje, es necesario tener presente la noción de representación. Esto al menos por dos razones: por un lado, porque la naturaleza abstracta de sus objetos obliga a recurrir a un conjunto de símbolos que permitan construirlos, comunicarlos y manipularlo; y por otro porque, como consecuencia de lo anterior, la posibilidad de diferenciar un objeto matemático de su representación sólo es posible si se cuenta con variadas representaciones del mismo objeto en diferentes registros. Esta noción ha sido discutida desde diferentes perspectivas, recurriendo en ocasiones al análisis antagónico entre representación consiente vs. representación no-conciente y de representación interna vs. representación externa. De acuerdo a Duval (1999), las representaciones concientes se caracterizan por la mirada de alguna cosa que toma ipso-facto el status de objeto para el sujeto que efectúa esta mirada. El pasaje de lo no-conscientes a lo conscientes, corresponde a un proceso llamado objetivación, que a su vez corresponde al descubrimiento por el sujeto mismo de aquello que hasta entonces no sospechaba. Las representaciones concientes son, pues, aquellas que presentan un carácter intencional y cumplen la función de objetivación. Este carácter intencional es esencial desde el punto de vista cognitivo, pues permite tener en cuenta el papel fundamental de la significación en la determinación de los objetos que pueden ser observados por los sujetos. La significación es la condición necesaria de la objetivación para el sujeto, es decir, de la posibilidad de tomar consciencia. La oposición externo vs. interno se da entre lo que es directamente visible o perceptible en un individuo, un organismo o un sistema, con aquello que no lo es. Las representacio-

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nes externas, son por naturaleza, representaciones semióticas, cumplen una función comunicativa, pero también cumplen otras dos funciones cognitivas que son la de objetivación y la de tratamiento. Las representaciones externas son esenciales para la función de conversión. Las actividades de conversión están directamente ligadas a la utilización de un sistema semiótico. Por otra parte las representaciones internas son las que pertenecen a un sujeto y que sólo son comunicadas a otro mediante la producción de una representación externa. El cruce de estas cuatro representaciones dan lugar a tres grupos nuevos de representaciones: mentales, computacionales y semióticas. De las representaciones internas y conscientes provienen las representaciones mentales y son las que permiten mirar el objeto en ausencia total de significante perceptible. Se incorporan en ellas los conceptos, las nociones, las ideas, las creencias, las fantasías, etc., es decir, todas las proyecciones mas difusas y globales que un individuo refleja de los conocimientos De las representaciones internas y no-consientes provienen las representaciones computacionales que son aquellas cuyos significantes no requieren de la mirada al objeto y permiten una transformación algorítmica de una serie en otra serie. Estas representaciones expresan la información externa en un sistema de manera tal que la hace direccionable, recuperable y combinable en el interior del mismo sistema. De las representaciones concientes y externas provienen las representaciones semióticas que son de diversa naturaleza como por ejemplo un gráfico, el lenguaje natural, los símbolos, etc. Estas representaciones se clasifican en dos grandes grupos según conserven o no algunas de las propiedades pertenecientes al objeto que representan: representaciones analógicas y representaciones no-analógicas. Unas conservan relaciones de vecindad (analógicas) como las imágenes y otras no conservan ninguna relación de vecindad con el objeto (no-analógicas) como las lenguas. De esta forma, donde sea posible producir representaciones semióticas, se le llamará sistema semiótico. Generalmente se ha reducido el empleo de las representaciones semióticas a la función de expresión y se les subordina al funcionamiento de las representaciones mentales. En este sentido se ha admitido que las representaciones semióticas son expresiones fiables de las representaciones mentales, planteándose la hipótesis de una correspondencia directa que va de lo mental a lo externo, es decir las representaciones externas como una forma de comunicación de las ideas internamente producidas por un sujeto. Sin embargo, se propone que la vía contraria, es decir, la que plantea que las representaciones semióticas son fundamentales para la producción y modificación de las represen-

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Anexo

taciones mentales, también debe de ser tenida en cuenta. Esta dualidad es importante en el sentido que las representaciones semióticas deben considerarse como herramientas para pensar y no únicamente como medio para comunicar las ideas que se producen. Esto en términos de lo propuesto por Duval (1999) es “no hay noesis sin semiosis”60 . Desde el punto de vista de la construcción y aprendizaje de los conceptos matemáticos no puede dejarse de lado esta situación, dado que la naturaleza abstracta de sus objetos hace que no sea posible acceder a éstos independientemente del recurso a un lenguaje, a unas figuras, a esquemas, a símbolos, en general a algún registro semiótico particular. Lo anterior sumado a que por un lado, las representaciones semióticas de los objetos matemáticos son no-analógicas, y por otro porque dependiendo del registro donde se produzca dicha representación puede pasar a ser puramente computacional. Esta situación hace que en la mayoría de los casos, las personas confundan los objetos matemáticos con la representación que de ellos se hace, es decir, se termina estudiando la representación y no lo representado (objeto matemático). En realidad, según Duval (1999, 2004), sólo hay un medio para diferenciar un objeto de su representación: es necesario disponer de otra representación semiótica del objeto representado y reconocerla como una misma representación. En este sentido, para el aprendizaje de los objetos matemáticos es indispensable apelar a la noción de múltiples registro de representación semiótica, que a su vez presupone la consideración de tres actividades cognitivas fundamentales. En primer lugar la construcción de una marca o conjunto de marcas perceptibles, actividad llamada de formación determinada por ciertas reglas de conformidad61 . En segundo lugar, la transformación de las diferentes representaciones de acuerdo con las únicas reglas propias del registro semiótico, actividad de tratamiento. Y por último la activad cognitiva de conversión, que permite convertir las representaciones producidas de un registro semiótico de representación en otro. Esta actividad de conversión no es trivial ni cognitivamente neutra, pues plantea no sólo la pregunta general del papel de la semiosis en el funcionamiento del pensamiento, sino también las condiciones para diferenciar entre representante y representado cuando se refiere a un concepto matemático. La actividad de formación en un registro de representación semiótica está definida como la recurrencia a unos signos que cumplen la función de actualizar o sustituir la visión de un objeto. Los actos más elementales de la formación son, según los registros, la designación nominal de los objetos, la reproducción de su contorno percibido o la codificación de relaciones. Las reglas de la actividad de formación son llamadas, reglas de conformidad, _____________________________________________________ 60

61

Duval (1999, p 14) llama noesis a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un objeto, la discriminación de una diferencia o la comprensión de una inferencia. Y semiosis a la aprehensión o producción semiótica. Las reglas de conformidad son aquellas que definen un sistema de representación. Estas se refieren esencialmente a: 1) la determinación de unidades elementales. 2) las combinaciones admisibles de unidades elementales para formar unidades de nivel superior y 3) las condiciones para que una representación de orden superior sea una producción pertinente y completa. Duval (1999, p. 43)

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que permiten no sólo la comunicabilidad sino también la utilización de los medios de tratamiento que ofrece el registro semiótico empleado. Estas reglas son las que definen un registro y, en consecuencia, los tipos de unidades constitutivas de todas las representaciones posibles del mismo. Además permiten identificar un conjunto de elementos físicos o de trazos como una representación de algún objeto en un registro semiótico, es decir, permiten el reconocimiento de las representaciones como representación en un registro determinado, Duval (1999). La actividad de tratamiento es la transformación de una representación inicial en otra representación terminal del mismo registro, es decir, es la transformación de una representación en otra al interior de un mismo registro semiótico de representación. Las reglas de la actividad de tratamiento son llamadas, reglas de expansión, reglas cuya aplicación produce una representación en el mismo registro que la representación de partida. Duval (1999). La actividad de conversión es la transformación de la representación de un objeto, de una situación o de una información dada en un registro, en una representación de este mismo objeto, de la misma situación o de la misma información en otro registro. La actividad de conversión es una transformación, externa a un registro de partida, en otro registro de llegada. Generalmente a esta actividad se le ha llamado traducción, ilustración, transposición, interpretación, codificación, entre otras, Duval (1999). La conversión requiere que se perciba la diferencia entre el contenido de una representación y lo que se está representando, sin ésta percepción es prácticamente imposible o incomprensible la actividad de conversión. A diferencia de las otras dos actividades en esta actividad se da el problema que con frecuencia no existen reglas claras para la conversión de un registro en otro, incluso, aunque puedan estar bien definidas las reglas de conversión, las dificultades y las ambigüedades no desaparecen por ello, pues, las reglas de conversión no son las mismas según el sentido en el que se efectúe el cambio de registro, esto implica la unicidad en la aplicación de estas reglas. Un aspecto generalizado del álgebra escolar, ha sido el estudio de las problemáticas que se presentan cuando se trata de traducir problemas dados en algún registro de representación para expresarlos en otro registro. En particular, el transito de una situación presentada en lenguaje natural al lenguaje simbólico algebraico es una tarea que no es ni sencilla ni inmediata de resolver, pues, existen grandes diferencias entre estos dos registros. En este sentido el lenguaje algebraico, como lenguaje formal, presenta una característica fundamental y es que, a diferencia del lenguaje natural, este no requiere de la atención continua a un referente para su compresión y significación, posibilitando la manipulación algorítmico - sintáctica con altos grados de generalidad, sin apelar al campo de lo semántico. De allí que la escuela, en la mayoría de los casos, plantee que la situación de convertir un problema, presentado en lenguaje natural, a un sistema de ecuaciones lo haga a partir de

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“palabras claves” explicitas en el enunciado al margen de las interrelaciones que estas proponen, para luego pasar al álgebra como la manipulación algorítmica de los símbolos algebraicos a partir de las reglas de las operaciones aritméticas. Esto da a entender que plantear una ecuación a partir de un enunciado presentado en lenguaje natural, se puede hacer dejando de lado las relaciones implícitas que permiten construir la ecuación. Por tanto, la actividad conceptual matemática no puede ser aislada de la actividad semiótica ya que ésta aparece ligada al descubrimiento de una invarianza entre representaciones semióticas heterogéneas. De esta forma, es necesaria la coordinación de múltiples registros de representación semiótica, lo que implica seleccionar las unidades significantes62 de cada registro y ponerlos en correspondencia. El discernimiento de las unidades significantes de una representación y por tanto la posibilidad de una aprehensión de lo que ella representa, depende del reconocimiento de un campo de variaciones posibles relativo a la significancia en el registro, es decir, es necesario poder explorar todas las variaciones posibles de una representación en un registro, haciendo la previsión o la observación de las variaciones correspondientes de las representaciones en otro registro. De esta manera es posible determinar la congruencia o no entre los registros de representación analizados63 , Duval (1999; 2004). A partir de esta interpretación de los trabajos de Duval, aquellos sistemas semióticos que permitan las tres actividades cognitivas anteriores: Formación, tratamiento y conversión se denominarán Registro de representación semiótica. Para este trabajo el interés estará centrado particularmente en los siguientes registros: el lenguaje verbal, el simbólico-analítico, los gráficos cartesianos, los gráficos geométricos y los sistemas numéricos. No obstante, se pueden tener sistemas semióticos de representación que no sean registros de representación semiótica, esto es, algunos sistemas semióticos que no permitan las tres o alguna de las actividades cognitivas; los siguientes pueden ser algunos de ellos: los gestos, las fotografías, los mapas, las caricaturas y muy especialmente los diagramas de relaciones tales como los diagramas de árbol, diagramas de venn, diagramas de flujo entre otros. De esta forma se le puede llamar representación a cualquier construcción particular que se produzca en algún sistema semiótico de representación, sin embargo, en la mayoría de los casos, para este módulo el término representación se refiere a la construcción que se produzca en alguno de los registros arriba mencionados. A manera de ejemplo, 3 x + 2 es una representación del objeto matemático función lineal en el registro simbólico-analítico, y la siguiente figura representa el mismo objeto en el

_____________________________________________________ 62 63

Puede entenderse por unidad significante aquellos elementos que determinan el contenido en un registro de representación. La congruencia en dos registros de representación se determina con base en tres criterios: posibilidad de correspondencia semántica de las unidades significantes, univocidad semántica Terminal y orden del arreglo de las unidades que componen cada una de las dos representaciones. Duval (1999, p 52)

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registro gráfico-cartesiano, pero adicionalmente es la misma representación anterior ( 3 x + 2 ) en un registro diferente.

Así las cosas, los sistemas semióticos se pueden clasificar según sean analógicos o no analógicos o según sean registros o no registros (Ver los siguientes esquemas). En el cuadro que aparece a continuación se clasifican los sistemas de representación que se usarán frecuentemente en el módulo.

SISTEMAS SEMIÓTICOS DE REPRESENTACIÓN

No analógicos

Lenguaje verbal Sistemas de numeración Simbólicoanalítico Gestos

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Analógicos

No icónicos

Icónicos

Diagramas de relaciones

Mapas Cartográfico

Gráficocartesiano

Caricaturas

Gráficogeométrico

Fotos


Anexo

SISTEMAS SEMIÓTICOS DE REPRESENTACIÓN

Registros

No Registros

Lenguaje verbal

Gestos

Sistemas de numeración Simbólico-analítico Gráfico-cartesiano Gráfico-geométrico

Diagramas de relaciones Caricaturas Fotos Mapas

Mapas Cartográficos

Sistemas de representación semióticos No analógicos Registros No Registros

- Lenguaje Verbal - Sistemas de numeración - Simbólico- analítico - Gestos.

Analógicos No icónicos icónicos - Gráfico-cartesiano. - Planos. - Mapas- Gráficocartográficos geométrico - Diagramas relacionales.

- Caricaturas. - Fotografías.

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Bibliografía Bassanezi, R., (2002). Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto. BROUSSEAU, Guy. La teoría de los campos conceptuales. En Lecturas de didáctica de las matemáticas, escuela francesa. Compilación de Ernesto Sánchez y Gonzalo Zubieta. 1993. Traducido de: Fondaments et methodes de la didactique des mathematiques. Recherches en didactique des mathematiques. Vol 7. No 2. 1986. Pgs 33-115. Duval, R. (2004) los problemas fundamentales en el aprendizaje de la matemáticas y las formas superiores en el desarrollo cognitivo. Santiago de Cali: Universidad del Valle. Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano, registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Santiago de Cali: Universidad del Valle. Traducción Myriam Vega Restrepo. Godino, J, Font, V 2000. Razonamiento Algebraico y su Didáctica para maestros. Univerdad de Granada. Tomado de: http://ddm.ugr.es/personal/jdgodino/manual/ralgebraico.pdf Janvier, C (1996) Modeling and the initiation into algebra, En N. Bednarz, C. Kieran and Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Kaput, J. Blanton M. (2002a, April). Developing elementary teachers’ algebra “eyes and ears”: Understanding characteristics of professional development that promote generative and selfsustaining change in teacher practice. Paper presented at the AERA Annual Meeting, New Orleans, LA. (with M. Blanton). Tomado de: http://merg.umassd.edu/members/jkaput/kaput_cv.html#books Kaput, J. Blanton M (2002b, April). Instructional contexts that support students’ transition from arithmetic to algebraic reasoning: Elements of tasks and culture. Paper presented at the NCTM Annual Conference Research Pre-session. Las Vegas, NV, April 19-21, 2002. (with M. Blanton) [download PDF file]. Tomado de: http://merg.umassd.edu/members/jkaput/kaput_cv.html#books Kaput James J. and Blanton Maria L. Characterizing a Classroom Practice That Promotes Algebraic Reasoning. En Journal for Research in Mathematics Education. November 2005, Volume 36, Issue 5, Pages 412 - 446. Lee, L. (1996). An initiation into algebraic culture through generalization activities, En N. Bednarz, C. Kieran and Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra: Perspectives for Research and Teaching, (pp. 87106). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Lesh, Richard; POST, Thomas; BEHR, Merlyn. Proportional Reasonig. In Number concepts and operations in the middle grades. James Hierbert and Merlyn Behr (eds.). National Council of Teacher of Mathematics. Virginia (USA): Lawrence Erlbaum associates. 1988. Pgs. 93-117. Lesh, Richard; POST, Thomas; BEHR, Merlyn. Proportional Reasonig. In Number concepts and operations in the middle grades. James Hierbert and Merlyn Behr (eds.). National Council of Teacher of Mathematics. Virginia (USA): Lawrence Erlbaum associates. 1988. Pgs. 93-117. Lesh, Richard; Koellner-Clark, Karen. Whodunit?, Exploring Proportional Reasoning Throug the Footprint Problem. School, Science and Mathematics. Vol 103 (2), Febrero de 2003

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