Manual ICFES by Eduar Mauricio Mateus Ocampo

I I

Manual Preicfes (Matemáticas)

GRUPO LATI MO

Título d e la O b r a : Manual preicfes Editor: Grupo Latino Editores Ltda w e b site: www.gleditores.com e-mail: info@gleditores.com P r i m e r a Edición Director Editorial Felipe Duran Ramírez Diseño Editorial Jaime Duran Naranjo Diseño d e C a r á t u l a Jaime Duran Naranjo Maquetación Grupo Latino Editores Colaboradores Dra. Maria Helena Delgado Gómez / Lic. filología e idiomas (Universidad Libre) Margarita María Durán Urrea/ Investigadora Dirección d e contenido y estilo Dra. Maria Helena Delgado Gómez / Lic. filología e idiomas (Universidad Libre) Ilustración Eduardo Durán Naranjo / Jonathan Durán Naranjo / Rafael Ricardo Angarita Rodríguez Impreso por Printer Colombiana S.A. Impreso e n Colombia - Printed in Colombia I S B N 978-958-8203-72-0 (Obra Completa) Reservados todos los derechos. Está prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio o procedimiento sin permiso escrito del editor.

Contenido Conteo

Conjuntos numéricos

Notación científica

Números primos y compuestos

Mínimo común múltiplo

Máximo común divisor

Razones y proporciones

Magnitudes directa e inversamente proporcionales:

Potenciación, radicación, logarltmación

Factorización

Logaritmación

Medición

Ángulos

Clases de ángulos

Ángulos entre paralelas y transversales:

Clases de polígonos

Ángulos en la circunferencia

Polígonos

Triángulos:

Clases de triángulos:

Circunferencia

Líneas notables de la circunferencia

Propiedades de las cuerdas, secantes y tangentes

Perímetros y áreas de polígonos y circunferencias

Movimientos en el plano y simetrías:

Simetrías

Sólidos

Volúmenes y áreas de los sólidos:

Variación

Funciones

Clases de funciones

Funciones trigonométricas

Seno

Coseno

Giáficas de las funciones trigonométricas

Tangente

Secante

Cotangente

Cosecante

Ecuaciones

Ecuación general de segundo grado

Sucesiones y progresiones

Inecuaciones

Derivadas e integrales fundamentales

Aleatoriedad

Estadística

Recopilación de datos

Frecuencias

Medidas estadísticas

Análisis combinatorio

Probabilidad

Preguntas Tipo Icfes

Tabla Respuestas

PREGUNTAS TIPO ICFES - PROFUNDIZACIÓN

Tabla de Respuestas

Referencias bibliográficas

Módulo de Matemáticas

Repaso de M a t e m á t i c a s #

•! 1. Conteo Números Complejos: Reales Unidos con Imaginarios Números Reales: Racionales Unidos con Irracionales

Son los decimales descritos en el párrafo anterior. Los conforman además del número p¡ y el número e - 2.71828, todas las raíces no exactas. Las operaciones entre dos o más números irracionales no siempre dan otro número Irracional; en ocasiones el resultado puede se un número racional. • Números Reales R - Conjunto de los números Reales Se obtienen como resultado de unir el conjunto de los números Racionales con el conjunto de los números Irracionales. Por lo tanto todo número Racional es Real y todo número Irracional es también Real.

Conjuntos numéricos • Números dígitos - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} • Números naturales N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,...} La suma, la multiplicación y la potenciación de números naturales es siempre otro número natural, mientras que la diferencia, el cociente y la radicación entre dos números naturales no siempre es otro número natural.

• Conjunto de los números Imaginarios Formado por todas aquellas raíces pares de una cantidad negativa. Tales como V-4, 4/-2. La unidad de los imaginarios es i =/-1. • C - Conjunto de los números Complejos Formado por las expresiones de la forma a + bi, en donde a y b son dos números reales. Por ejemplo 2 + 2¡,- -3 + 5¡ ; 1 - 4¡, etc.

• Números Enteros Z = {... -5, -4, -3, -2, -1,0,1, 2,3,4, 5,...} Notación

Son el resultado de unir los naturales con sus opuestos. Hay enteros positivos, negativos y el cero que es el elemento neutro. Las operaciones suma, diferencia, multiplicación y potenciación entre dos números enteros dan como resultado otro número entero. No puede decirse lo mismo de la división, la radicación y la logaritmación. • Números Racionales Q = Conjunto de los números racionales Todos aquellos que pueden expresarse en la forma a/b, siendo 'a' y 'b' dos números enteros y 'b' diferente de cero. Son ejemplos de estos números : -6/7; 5 pues 5 = 5/1; 0.32 pues 0.32 = 4/25; 0.33 por ser 0.33 = 1/3 ; etc. En general todos los llamados números decimales finitos y decimales periódicos. La suma, resta, multiplicación y división de números racionales es siempre otro racional. No ocurre lo mismo con la potenciación, radicación y logaritmación. Existen algunos números decimales, que no pueden considerarse ni finitos ni periódicos y por lo tanto no se consideran números racionales,- tal es el caso del resultado de dividir el perímetro de una circunferencia entre la longitud de su diámetro lo cual da origen al número pi = 3.1416... Números Irracionales Irracionales

Conjunto de los números

científica

En ocasiones se tienen cantidades formadas por muchas cifras y para simplificar su escritura se recurre a expresarlas como un producto de una cantidad mayor que uno pero menor que 10 y una potencia de diez. Por ejemplo 308000 = 3,08 x 105 La expresión 0,5x105 no está dada en notación científica por que 0,5 no está entre 1 y 10 Para escribir un número en notación científica se corre el punto decimal los lugares necesarios hasta obtener un número de una sola cifra entera, diferente de 0, y se multiplica por la potencia de 10 equivalente al número de cifras que se haya corrido el punto decimal.

Números primos y compuestos Divisores de un número son todos aquellos números que lo dividen en forma exacta. Múltiplos de un número son todos aquellos que se obtienen de multiplicarlo por un número entero Dependiendo de la cantidad de divisores que tenga un número puede clasificarse como número primo o número compuesto. • Números primos: son todos los números naturales que solo tienen como divisores al número 1 y al mismo número. Es el caso de 2,3,5, 7,11,13, etc.

Repaso de M a t e m á t i c a s

IB—

Números compuestos: son los que además del número 1 y ellos mismos tienen otros divisores. Por ejemplo 9, 15, 21, los números pares diferentes de 2, etc.

a+c b+d

Mínimo común múltiplo Es el menor de los múltiplos comunes a varios números dados. Una forma practica de hallarlo es descomponiendo simultáneamente los números dados en sus factores primos comunes y no comunes, y multiplicando todos esos factores. Ejemplo: Para hallar el M.C.M. de 60 y 28:

VI Mi

a+b a a _ m

Máximo (común divisor

M.C.D.(60, 28) = 2X2 =4

•¡un*iiio.iv proporciones Razón: si a y b son dos cantidades, con b diferente de cero, la razón entre a y b es a / b. Proporción: es la igualdad entre dos razones. Si a / b = c / d, se llaman extremos a 'a' y 'd' y medios a 'b' y 'c'. Algunas de las propiedades que cumple la proporción son: 1.

a*d=b*c 2.

c+d

a+b b

c+d

e inversamente proporcionales: •

Magnitud: todo lo que puede ser medido. Por ejemplo: la longitud, el área, el volúmen, el peso, el tiempo, la velocidad, la cantidad de artículos, etc.

•

Magnitudes directamente proporcionales: son aquellas magnitudes en las que si una de ellas sufre un incremento la otra también y el cociente entre parejas de datos correspondientes es constante. Por ejemplo la velocidad de un vehículo y la distancia recorrida por ese mismo vehículo.

•

Magnitudes inversamente proporcionales: son aquellas en las que si una de ellas se incrementa, la otra por el contrario disminuye y el producto entre parejas de datos correspondientes es constante. Por ejemplo la velocidad de un vehículo y el tiempo empleado por ese mismo vehículo para hacer un recorrido fijo.

Es el mayor de los divisores comunes a varios números. Una forma práctica de hallarlo es descomponer en forma simultánea los números dados en los factores primos comunes a todos y multiplicarlos. Ejemplo: para hallar el M.C.D. de 60 y 28:

c 'd

5. Si m b ,al valor se le conoce como la media proporcional entre a y b.

1 M.C.M. (60, 28) = 2x2x3x5x7 = 420

a b

Regla de tres: bajo esta denominación se conocen los problemas que involucran 2 o más magnitudes relacionadas en forma directa o inversa, y las cuales sufren cambios en sus mediciones. Dependiendo del número de magnitudes se habla de regla de tres simple o de regla de tres compuesta. •

Simple: cuando en el problema solo intervienen dos magnitudes que pueden ser directa o inversamente proporcionales. Ejemplos:

a. Si 8 personas elaboran 20 tarjetas, ¿cuántas tarjetas de las mismas podrán elaborar 10 personas al mismo ritmo de trabajo? # PERSONAS 8 10

# TARJETAS 20 X

Como estas dos magnitudes son directamente proporcionales, con los datos correspondientes se puede establecer la proporción

x=25 tarjetas

en donde

i n

Repaso de M a t e m á t i c a s b. 8 personas hacen cierto trabajo en 20 días. En cuántos días podrán hacer el mismo trabajo 10 personas? # PERSONAS

# DÍAS

De qué número es 24 el 30%? NÚMERO

PORCENTAJE

100%

30% V =

Como estas magnitudes son inversamente proporcionales, la proporción se plantea tomando los datos correspondientes en forma invertida.

x 2 0

8 x 10

en donde

X = 16 días Compuesta: cuando en el problema Intervienen más de dos magnitudes. Ejemplo: un viajero ha recorrido 90 kilómetros andando 5 días a razón de 6 horas diarias. Cuántos días empleas si desea recorrer 84 kilómetros andando a razón de 4 horas diarias?

100

30 x = 80 Qué porcentaje es 40 de 25 ? NÚMERO

PORCENTAJE

100%

_40

100

x = 160%

DISTANCIA (KM)

NO. DÍAS

NO. HORAS DIARIAS

Se compara la magnitud que lleva la Incógnita con las otras, para establecer si son directa o inversamente proporcionales con ella. Se obtiene que con la distancia es directamente proporcional, pero con el número de horas diarlas es inversamente proporcional. Por lo tanto la proporción se establece así:

Repartos: con frecuencia se encuentran situaciones en las que hay que repartir cierto número en varias partes no iguales y proporcionales a algunas cantidades preestablecidas. En estos repartos lo primero que se debe establecer es si el reparto se hará en forma directa o inversamente proporcional a las cantidades fijadas. Ejemplos: a. Jorge y Fernando tienen 12 y 15 años. Repartir 900 entre ellos en partes que sean directamente proporcionales a sus edades.

Por propiedades de las proporciones:

x_ _ 84_ _ 6_ 5 ~~ 90 ~ 4 ^=8£ 6_ 5 90 X 4 _ 54x6\5 X ~ ' 90x4 x =7 •

Porcentajes: Los problemas de porcentajes pueden tratarse como problemas de regla de tres en la que las magnitudes siempre son directamente proporcionales. Ejemplos:

Cuál es el 20% de 90?

900 F

J I

Se forma la proporción;

J__F_ 12 ~ 15 Aplicando propiedades de las proporciones se obtiene:

J+F

12 + 15~ 12~ 15 900 _J_

NUMERO

PORCENTAJE

27 ~ 12 ~ 15

900x12 27 x

~90 ~ 100 20x90 x = 100 x=

400 900 x 15

F= 500

> 1 i

Repaso de M a t e m á t i c a s b. Repartir 900 en partes inversamente proporcionales a las edades de los niños del ejemplo anterior:

900

•

Productos Notables: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

J I

F I

(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

Los inversos de sus edades son

(a+b+c)2=a2 +b2+c2+2ab+2ac+2bc Radicación:

— Y—

12 15

La proporción se establece con los inversos así:

•

Propiedades:

Si a y b son dos números reales con b*0

J__F_ 1_ J_

n/(a/b)-"/a/"/b n/am = ¿m/n

n/am

Por propiedades de proporciones:

J+F 1 1

J 1

F ' 1

12 15 12 15 900 _ J F 3 1 ~ 1 ~20 ~L2 ~L5 J= 6000 x —

12 1 15

F= 400

E H H 5 S 3 0 H radicación, logaritmación Potenciación: •

- " f a * n /b n/ m/a = nm/a •

Radical: es toda expresión que tenga una raíz indicada, como /4,3/5, 4 /6

Dos términos que contengan radicales se llaman semejantes si tienen el mismo índice en la raíz y la misma cantidad subradical; por ejemplo 5 3/5, -4 V~ 5. Con los radicales se pueden efectuar las operaciones básicas como multiplicarlos, sumarlos, restarlos, dividirlos, elevarlos a una potencia, etc. Ejemplo 1:

J= 500 F= 6000 x

- ("/aY" - am/n

Al sumar 3/2 con -6/2, se obtiene -3 /2. Ejemplo 2: Al multiplicar 3/2 por -6 / 2 , se obtiene - -18 *(2) =-36 Ejemplo 3: Al dividir 3/2 entre -6/2 Se obtiene 3/2/-6/2 = -1/2 Ejemplo 4:

Propiedades: a" - a*a*a*a*...*a (n veces multiplicada !

Al elevar (3 /2 -6 /2)2 se obtiene

a-n -1/ an

- (3/2P- 2(3/2X6/2 ) + (6/2>2

a° = 1 a" am - a"™ (a.b)n = an * b" (a/b)n-an/bn b=0 (a")m= a™ 1"- 1 a" /a™ = ar™

= 9(2) - 36/6) + 36(3) = 18-36/6 + 108 = 126

•

Racionalización: es el proceso mediante el cual se logra que una expresión no tenga radicales en el denominador.

De acuerdo al tipo de denominador se procede de las maneras ilustradas en los siguientes ejemplos:

Repaso de M a t e m á t i c a s Factorizacion

Ejemplo 1: Cuando el denominador es un monomio con radical cuadra-

2x6

3^6

2x6*

Vó 4

2x6

Ejemplo 2 : Cuando el denominador es un monomio con un radical no cuadrático 5 ? <a2b3 X 3-^a2b3 S a 2 b 3

' 5 3 <a2b3

2Na2b3 25<a2b3 3ab 3}^asb5

Ejemplo 3 : Cuando el denominador es un binomio en el que uno o los dos términos contienen un radical cuadrático.

3 V2-5

V2-5 V2+5

3^2+15

3<2+15

(<2)2 - 52

2-25

Para Binomios Diferencia de cuadrados: a2-b2 =(a+b)(a-b) Ejemplo 1: 4m2 - 9x6 = (2m + 3x3) (2m - 3x3) Ejemplo 2: 16-x16 - (4 -x 8K4+X 8) Suma o diferencia de cubos: a 3+b3- (a+b)(a2-ab+b2) a3-b3- (a-b)(a2+ab+b2) Ejemplo 1: 8+x6 = (2 + x3)(4 - 2x3 + x4)

3^2+15 23

Números complejos: toda expresión de la forma a + bi en donde 'a' y 'b' son dos números reales e T es la unidad de los números imaginarios.

Suma o diferencia de potencias impares iguales: a5+b5 =(a+b)(a4-a3b+a2b2 -ab3+b4) a5-b5 =(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4) Ejemplo T:

32 + x10 -(2 +x2)(16-8x2+4x4-2x6+x8) Los siguientes ejemplos muestran como los números comEjemplo 2: plejos x = 5 + 8i ,y, y = 3 - 4i, se pueden efectuar las operaciones básicas: 3 2-x10=(2-x2)(16+8x-'+4x4+2x6+x8) Ejemplo 1:

Factor común:

x+y = (5+8i)+{3-4i) -5+3+8i-4i«8+ 41

a2+a4= a2(1+a2!

Ejemplo 2: x-y = (5+8iM3-4i)

a2b - a3c - a2 (b - ae)

= 5+8i-3+4i

Para Trinomios

- 5-3+8i+4i

Trinomio cuadrado perfecto:

- 2+12i

a2+2ab+b2=(a+b)2

Ejemplo 3 :

a2-2ab+b2=(a-b)2

x*y- (5+8i)*(3-4i)

Ejemplo 1:

=15 - 20i + 241 - 32¡2

x4-2xy3+y6=(x2-y3)2

-15+41 32(1)

Ejemplo 2 :

-47 + 41

9m8

Ejemplo 4:

x_5+8i__5+8i y~

Trinomio de la forma x2+bx+c: con b y c constantes.

3+4i

3-4i ~~ 3-4i

15+20i+24i+32i 9-16f

+ 24m4n + 16n2 - (3m4+ 4nP

3+4i -17+44Í 25

Ejemplo 1: x2-7x+12

= (x- 4) ( x- 3)

Repaso de M a t e m á t i c a s Ejemplo 2:

=1-(9x2-24xy+16y2)

a4+5a3-24 = (a3+8) (a3-3) Trinomio de constantes.

=1-(3x-4y)2

forma

ax2+bx+c:

con

=[1-3x+4y][1+3x-4y]

6x2-5x-6

Logaritmación

__ 6(6x2-5x-6)

Si 2 3= 8, puede escribirse que Log28 = 3.

6 Jóx2)

Hallar un logaritmo es buscar un exponente para la base dada, que haga que la potencia sea la cantidad a la que se le busca el logaritmo.

-5(6x) -36

6 J6x-9)

(6x+4)

Ejemplo 1: Log 381 = 4 porque 34 = 81

Ejemplo 2: Logs(1/25)= -2 porque 5 2 - 1/25

_3(2x-3) =

=[1-(3x-4y)][1+(3x-4y)]

2(3x+2)

La expresión "Log b a = c" existe si se cumple que: b>0, b, b*1, a>0. Cuando la base de un logaritmo es el número 10, se llama logaritmo vulgar y se omite la base; es decir queda Log a = c

6 (2x-3)(3x+2)

Factor común:

Cuando la base de un logaritmo es el número irracional 'e', se habla del logaritmo natural o logaritmo neperiano y se representa como Ln a - c

Ejemplo 1: 16x4-20x2-4x = 4x(4x3-5x-1)

• Propiedades:

Ejemplo 2:

Log b b =1

9x2 +12x +36 = 3 (3x2+4x +9) Para polinomios de 4 o más términos se hace necesario agruparlos en binomios o trinomios para aplicarles los respectivos casos de factorización; después de estar reducidos a menos términos se procede a aplicar el caso de factorización que le sirva, atendiendo al número de términos. Ejemplo 1:

Log b 1 - 0 Log b x n = n Log b x Log b (x/y) = Log b x - Log b y Log b (x*y) = Log b x + Log b y Ejemplo: Siendo Log b 2 = a y Log b 3 = b, exprese en términos de a y b Log b 48. Como 48 = 24*3

3a+b2-2b2x-6ax = (3a-6ax)+(b2-2b2x) = 3a(1-2x) +b2 (1-2x)

Log„48-Log„(2*3)

= (1-2x) (3a+b2)

=Log b ? + Log b 3 = 4Log b 2+Log b 3

Ejemplo 2:

-4a + b

2 2 ilSf^'^iísí.í^S'íl 1 -9x +24xy-16y =

**2. Medición •

Ángulos

Existen dos sistemas de medición de ángulos que son: • Sexagesimal: tiene por unidad el Grado; 60 minutos constituyen un grado y 60 segundos forman un minuto. • Cíclico: su unidad es el Radián. Un ángulo de una vuelta completa mide 360° o 2rr Radianes.

Un ángulo de media vuelta mide 180° o rr Radianes

Clases[de ángulos Agudo: mide menos de 90° Recto: mide 90° o rr/2 Radianes

Repaso de M a t e m á t i c a s Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si suman 180°

Obtuso: mide entre 90°y 180° Llano : mide 180°

Según su amplitud y su posición:

Complementarios : dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Angulos según su amplitud Agudo

Obtuso

Recto

es el que místemenos ; de

ángulo que mide 90-'

r^s

Complementarios

de una vuelta

Suplementarios

son dos ángulos cuya suma es igual a un ángulo recto ¡90°)

es él que míete 360°

Llano (Plano) es. el que mide 180"

es el que mide más de 90° y menos de 18Ef

son dos ángulos cuya suma es igual a dos ángulos rectos (180°)

m m m f f l s u amplitud opuestos por el vértice

son los que tienen el mismo vértice y los lados del uno son (a prolongación de S&skdos del otro

adyacentes

colaterales

son los que tienen un mismo vértice y un lado en común

son los que tienen un lado com ún (el lado BC) y vértices diferentes C

Bisectriz de un ángulo

congruencia angular si dos ángulos tienen la misma medida, se llaman congruentes ABC £ DEF. Congruencia quiere decir Iguales y parecidos. D

es la recia que divide el ángulo en dos ánguI i, < ••:,;'••. i ! •.V-t".:..!: • So debe cumplir que: í ~ 2 B

R e n t r e paralelas y transversales:

• Alternos externos (Tienen igual medida): <1=<8

<2=<7

• Correspondientes (tienen igual medida):

L3 L1

<1=<5

<2=<6

<3=<7

<4=<8

• Opuestos por el vértice (Tienen igual medida):

->- 12

7 / 8

En la giáfica anterior las rectas L1 y L2 son paralelas mientras que L3 es una transversal a ellas. Se generan 8 ángulos que pueden ser clasificados asi: • Alternos Internos (Tienen igual medida): <3= <6

<4=<5

<1=<4

<2=<3

<5=<8

<6=<7

Adyacentes (Suman 180o): <1 y <2

<1 y <3

<2 y <4

<3 y <4

<5 y <6

<5 y <7

<6 y <8

<8 y <7

> J

Repaso de M a t e m á t i c a s en la circunferencia Angulos relacionados con la circunferencia Ángulo inscrito

Angulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circuferencia y sus lados son semirrectas que determinan dos radios. La medida de todo ángulo central es el arco comprendido por sus lados.

0 A

también conocido como periférico. Es un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son semirrectas que determinan dos cuerdas. La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco comprendido entre sus lados.

A o B = AB

Ángulo exinscrito

Angulo semiinscrito es un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y uno de sus fados es una semirrecta que determina una cuerda y el otro una tangente. La medida de tocio ángulo semiinscrito es la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Interior

Exterior

\V 1

\ \ J y C '

a b d - 180°

-: es el ángulo adyacente a un ángulo inscrito. La-medida de todo ángulo exinscrito es el suplemento del ángulo Inscrito

- f

á ém

puntos, la medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo Inscrito.

Polígonos

Interior: su vértice es un circunferencia.

punto

interior a

• Exterionsu vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados son 2 secantes. Cuando los lados de un ángulo central y los lados de un ángulo inscrito interceptan a la circunferencia en los mismos

En todo polígono de n lados se puede identifican n lados,- n vértices; n ángulos internos, n ángulos externos y n(n-3)/2 diagonales. La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados está dada por: 180°(n-2). La suma de los ángulos externos de todo polígono con n lados es: 360° Se llama polígono regular al que tiene todos sus lados iguales y por lo tanto los demás elementos.

Clases de polígonos polígono convexo

esa<S ¡ | cuyo contorno es una linea poli-' gon<il convexa y por Iota nto cada uno de sus ángulos Intefiores es menor de 180"

polígono cóncavo

es aquel cuyo contorno es una línea poligonal cóncava y uno o varios de sus ángulos son mayores de 180°

ü\ ( A

polígono regular

es aquel que siendo convexo, tiene tanto los lados como los ángulos congruentes.

polígono equilátero

es aquel que tiene sus lados congruentes.

polígono equiángulo es el que tiene todos sus ángulos congruentes.

Repaso de M a t e m á t i c a s Cuadriláteros Paralelogramo

Trapecio

es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Trapezoide

es el cuadrilátero que tiene solamente dos lados opuestos paralelos.

es el cuadri átero cuyos lados opuestos no son paraielos.

r7 Paralelogramos Propiedades Primera

Segunda

Tercera

en tocios los paralelogramos sus lados opuestos son iguales.

en todo paralelogramo sus ángulos opuestos son iguales.

las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.

Clasificación Cuadrado

Rectángulo

tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos.

tiene los lados contiguos desiguales y los cuatro ángulos rectos

Rombo

Romboide

tiene sus cuatros lados iguales y los ángulos contiguos desiguales.

tiene los lados y los ángulos contiguos desiguales.

Clasificación Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

es el qu< tiene dos ángulos rectos

•

es el que tiene iguales los lados no paralelos

Trapecio escaleno

es el que no es rectíngulo ni

Triángulos:

Clases de triángulos: Según sus lados Triángulo equilátero es el que tiene sus lados congruentes

Triángulo isósceles es el que tiene dos lados congruentes entre Sí y el tercer lado desigual.

Triángulo escaleno E

es el que tiene sus fados desiguales entre si.

D ft'&í'Satf

Repaso de M a t e m á t i c a s Según sus ángulos Matemáticos triángulo Acutángulo

triángulo obtusángulo

Es el que tiene sus tres ángulos agudos.

Es el que tiene un ángulo obtuso

triángulo rectángulo

Es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto; se llamaría catetos,- y el opuesto al ángulo recto, se llama hipóte-" nusa.

• Líneas notables del triángulo: • Altura: simbolizado como h. Es la perpendicular trazada desde un vértice hasta el lado opuesto o su prolongación. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ortocentro.

\ c

a2 + b2 - c2 Teorema de Pitáüoras ( •

Teorema de pitágoras: en todo triángulo rectángulo de hipotenusa h y catetos a y b se cumple que:

Semejanza de polígonos: dos polígonos son semejantes si sus ángulos correspondientes son ¡guales y sus lados correspondientes son proporcionales. • Bisectriz: es el segmento de recta que divide a un ángulo Interno en dos ángulos. Las tres bisectrices se cortan en un mismo punto llamado incentro.

A continuación se encuentran una serie de teoremas relacionados con la proporcionalidad y la semejanza • Teorema de Thales Si varias paralelas entre sí, son cortadas por dos transversales, las paralelas determinan en las transversales segmentos proporcionales. Así:

A • Mediana: es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un mismo punto llamado baricentro.

/ BD = CE / DF

/ CE = BD / DF

• Teorema • Mediatriz: es la recta perpendicular trazada en el punto medio de uno de los lados del triángulo. Las tres mediatrices del triángulo se cortan en un mismo punto llamado circuncentro.

Si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, ésta determina en los otros dos lados segmentos proporcionales. Así:

Repaso de M a t e m á t i c a s »

AL / LC = AK / KB

AL/AK-LC/KB

nusa (Véase grafica del teorema anterior), de la siguiente forma: »

• Teorema: si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, ésta determina otro triángulo semejante al original. (Véase gráfica del teorema anterior).

• Teorema: en todo triángulo rectángulo, cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento determinado por la altura y un extremo del mismo (Véase gráfica de Teorema 4).

El triángulo AKL es semejante al triángulo ABC y al ser semejantes entonces sus lados son proporcionales así: »

AC / AL = AB / AK = CB / LK

• Teorema: en un triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa determina otros dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo original. C

BPC semejante a BPA semejante a ABC • Teorema: la altura sobre la hipotenusa es media proporcional a los segmentos que ella determina en la hipote-

AP/BP-BP/PC

AC / BC =

AC / BA - B A / AP

/ CP

• Teorema. Si dos polígonos son semejantes, sus lados y sus perímetros son proporcionales. • Teorema

En todo triángulo, la bisectriz de uno de sus ángulos divide al lado donde cae, en segmentos proporcionales a los otros dos lados. »

AD/AB-DC/BC

# • # Circunferencia Circunferencia y círculo Círculo

Circunferencia

es la superficie (el área) encerrada por la circun-

es el conjunto de todos los puntos de un plano que estén a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. La longitud de la circunferencia es igual a 2ítR, donde R es el radio y it, la constante 3,14159265....«.31416

ferencia que equivale a tcR2

Posiciones relativas de dos circunferencias Circunferencias exteriores

Tangentes exteriores

Secantes

Tangentes interiores

Circunferencias concéntricas

0 0 ' <R+r

0 0 ' = R-r

0 0 = Cero

o-^-PT

00' > R + r

00' -R + r

Repaso de M a t e m á t i c a s Líneas notables de la circunferencia

BC= Cuerda

n= recta secante

LA= diámetro

OA= radio

2. Dada una recta tangente a una circunferencia, el radio trazado desde el centro hasta el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. CP perpendicular a PR.

m= recta tangente Con las líneas nombradas acá, se cumplen algunas propiedades tales como: 1. Cuando dos cuerdas se cortan el producto de los segmentos determinados en la primera cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la segunda. Así, AC'CB - PC*CE

Propiedades de las cuerdas, secantes y tangentes Cuerdas

Secantes si desde un punto exterior a un círculo se trazan 2 secantes< el producto de la primera por su segmento externo es igual al producto de la segunda por el suyo

si dos cuerdas se cortan en un círculo,- el producto de los segmentos de la primera es igual al producto de los segmentos de la segunda

AE • EB= CE • ED

AB • AD= AC • AE

Ejemplo: cuando dos cuerdas se cortan en un círculo, la distancia del punto de intersección al centro del círculo es de 8 cm, y el producto de los segmentos de las cuerdas es de 336. Hallar el radio del círculo.

Solución: AE - EES = 336 Luego (r+8) (r-8)= Entonces r2-64= D de donde r2 400

r=20 cm

336 336

Ejemplo: en la gráfica adjunta, calcular el valor de x

Solución: (x+9)x= X2 + 9x-36= Factorlzando (x+12)(x-3)= de donde x=

9(4) 0 336 x=3 cm

Repaso de M a t e m á t i c a s Perímetros y áreas de polígonos y circunferencias Rectángulo

Cuadrado

Triángulo rectángulo

Triángulo

Paralelogramo

a D

A = I;

A=b h

Trapecio

b h

A-b

Polígono

Rombo

regular

A=b h

Trapezoide

Círculo

A =^(ah 2 +bh 1 )

A = 71 R2

/ ( d d / a

- (B+b) h 2

A =

A= b h Sector circular

(

A = apotema P = perímetro P a A* =——

Segmento circular

Corona circular

Elipse

VR A = 71

R2 360°

360°

A =re(R2-r2)

A =K a b

Repaso de M a t e m á t i c a s E n E u B a E E S e n el plano y simetrías: 1. Traslaciones: una traslación en una dirección determinada es un movimiento de una figura sobre el plano, de modo que los segmentos que unen los puntos correspondientes a la primera y la segunda posición, son congruentes y paralelos. Las figuras que resultan de una traslación son congruentes con la figura original.

que cualquier figura, situada horizontalmente delante del espejo, tiene una imagen que parece estar dentro o al otro lado de él, a la misma distancia del espejo que la figura real. La figura real se transforma en su imagen mediante una reflexión. La figura real y su imagen están sobre la superficie horizontal; el borde del espejo situado sobre esta superficie coincide con el eje o línea de reflexión

En toda traslación hay una magnitud y una dirección. 2. Rotaciones: se define una rotación como el movimiento de una figura respecto a un punto o a un segmento fijo, sobre un plano. En toda rotación hay una dirección, un sentido y un ángulo que la definen. Si la rotación se hace sobre un punto fijo, a este se le llama centro de rotación. El tamaño de la rotación está determinado por la amplitud del ángulo,- este ángulo tiene uno de dos sentidos: negativo si el giro se hace en el sentido de las manecillas del reloj y positivo si es contrario. 3. Reflexiones: un espejo plano en posición vertical, colocado sobre una superficie horizontal, permite observar

La figura objeto y su imagen mediante la reflexión, son figuras simétricas respecto al eje de reflexión o eje de simetría.

3. Simetrías • Simetría central: se dice que una figura tiene simetría central respecto al punto O, cuando en la figura y su imagen se efectúa una rotación 180° sobre el punto O.

• Simetría axial: Una figura es simétrica respecto a una recta, cuando mediante una rotación de 180° alrededor de dicha recta se superpone así misma. La recta se denomina eje de simetría. • Figuras simétricas: Se dice que una figura es simétrica, si cada punto de la figura tiene como simétrico, respecto

al eje, a otro punto de la misma figura. Por ejemplo, el rectángulo y el rombo tienen dos ejes de simetría,- el cuadrado tiene cuatro ejes de simetría.

Repaso de M a t e m á t i c a s Sólidos Se habla de sólidos regulares, cuando su base es un polígono regular. Polígono recto es aquel en el que las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases.

La altura de un sólido es la perpendicular entre las dos bases (prismas y cilindros) o entre la base y el vértice (piiámide y cono).

Volúmenes y áreas de los sólidos: Prisma

Área lateral: PBh P B : Perímetro de la base ( a + b + c) h: Altura Área total: AL+2B B: área de una base Volumen: Bh

Pirámide

Área lateral: -Lp„a„ 2

P„: Semiperimetro de la base ( a + b + c) ap : apotema de la pirámide Área total: AL+2B B: área de una base Volumen: h: altura

J_Bh 3

Pirámide truncada

Área lateral: (P, + Ps)ap a p : apotema dei tronco P, : Semiperimetro de la base inferior Ps : Semiperimetro de la base superior Área total: Al+Bl+BSB B,: área de una base inferior Bs: área de una base superior Volumen:

Cilindro

Area lateral: 2 n r g r : radio del cilindro g : generatriz Área total: 2 ti r (g+r) Volumen: jt r2 g

h: altura

Cono

Cono truncado

Esfera

Paralelepípedo

/c /ív /

Área lateral: jt r g

Área lateral: n g (R+r)

r: radio del cono

R: radio de la base mayor

g: generatriz

r: radio de la base menor

Área total: it r (g+r)

Área total: 7i { R (g+R) + r (g+r)} Volumen: altura del tronco

Volumen: ( — n i2 h) 3 h: altura del cono

g: generatriz

Área lateral: 4rc R2 r: radio de la GSfeícl Volumen: -1 k r3 3

Área lateral: (2a +2b)c = 2ac + 2bc Area total 2ac +2bc +2ab Volumen a b e

® 4. Variación Funciones Sea A = (a,b,c,d) y B = (p,q,r) A x B, llamado Producto Cartesiano entre A y B es el conjunto

de todas las parejas ordenadas en las que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda al conjunto B. No es conmutativo, AxB * BxA A x B = {(a, p), (a, q), (a, r), (b, p), (b, q), (b, r), (c, p), (c, q), (c, r), (d, p), (d, q), (d, r)}

Repaso de M a t e m á t i c a s B x A = {(p, a), (p, b), (p, c), (p, d), (q, a), (q, b), (q, c), (q, d), (r, a), (r, b), (r, c), (r, d)} Si de este producto cartesiano se toma un subconjunto de cualquier tamaño, para el cual se pueden seleccionar las parejas que cumplan alguna condición específica o al azar, se está hablando de una Relación del conjunto A en el conjunto B.

a. Función lineal: es de la forma Y = Ax + B con A y B constantes. Su gráfica una línea recta. Por ejemplo

Por ejemplo: R1 = {(x, y) AxB/ x = a }= {{a, p), (a, q), (a, r)i

F(x)= x+3

R2 = {(a, q), (b, p), (d, p), (d, r)}

Y= X+3

R3 - {(b,r)} Dominio de una relación es el conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas que forman la relación. Por ejemplo en la relación R2 el dominio es {a, b, d } Rango o recorrido de una relación es el conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas que la forman. En R3 el rango es {r}. La relación R2 puede representarse gráficamente de dos maneras : a. Diagrama de flechas A

Al ángulo b formado por la recta y el eje X se le conoce como ángulo de Inclinación la recta. • Pendiente: definida como la Tangente del ángulo de Inclinación y simbolizada por m, así: m=Tanp Puede obtenerse de la ecuación de la recta. SI F(x) = Ax + B la constante A representa el valor de la pendiente y pasa a simbolizarse como m. Por eso se habla de la ecuación de una recta como y = mx + b, donde m es la pendiente y b el valor donde la recta corta al eje Y. Si de la recta se conocen 2 puntos P, = (xr y,) y P2 = (x2, y2) la pendiente se puede hallar con la expresión m = (y2 - y,) / (x2-x,). Cuando dos rectas son paralelas tienen el mismo ángulo de Inclinación y por lo tanto la misma pendiente.

b. Diagrama cartesiano

Cuando dos rectas de pendientes mi y m2 respectivamente son perpendiculares, entonces la pendiente de la una es Igual al Inverso de la pendiente de la otra pero con signo contrario.

Es decir, m, = -t/m2, ó, m2 = -l/ml. H

1—I

Función: una relación de A en B, en la que se cumpla que todos los elementos del conjunto A están relacionados con un único elemento del conjunto B, recibe el nombre de función de A en B. El concepto de dominio y rango dado para relación, se mantiene para cuando la relación es una función. Cuando las funciones están definidas en el conjunto de los números reales, se habla de funciones reales. Su dominio y rango son subconjuntos de números reales y al representarlas en el diagrama cartesiano resultan líneas continuas.

Clases de funciones ESE Existen Exlst varias clases de funciones . Algunas de ellas se mostrarán en forma breve. trará

•

Ecuación de la recta: cuando se conocen la pendiente m y las coordenadas de dos puntos P, (xr y,) y P2 - (x2, y2) la ecuación puede hallarse con la expresión: y-y, = m (x-x,).

•

Distancia de un punto a una recta: La distancia entre un punto P1 = (x,, y,) y una recta Ax + By + C = 0 está dada por: d

\Ax+By+C\ <A2+B2

Ángulo entre dos rectas: si L, es una recta con pendiente m, y L2 con pendiente m2, el ángulo que forman las dos rectas cuando se cortan está dado pon

Repaso de M a t e m á t i c a s Tanq=

q=Arctan

e. Función logarítmica: de la forma Y = Logb x siendo b un número real positivo diferente de 1. El eje Y es su asíntota y pasa por el punto (1, 0). Por ejemplo:

m, - m ¡

l+m^,

Distancia entre dos puntos: para hallar la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas P, =(xr y,) y P2 = (x2, y2) se utiliza la expresión :

d= <(x2-X¡)2 +

(yfy)2

Punto medio de un segmento: conocidos los extremos de un segmento AB, con coordenadas A - (x,, y,) y B = (x2, y2), las coordenadas del punto medio vienen dadas por la expresión:

2 b. Función constante: de la forma Y una constante.

)

c donde c es

F(x)=Log X

Funciones trigonométricas Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo: en un triángulo ABC con ángulo recto en C y lados a,b,y c como lo muestra la gráfica, se definen las relaciones trigonométricas de la siguiente manera: A

Por ejemplo:

F(x)= 4 c. Función cuadrática: de la forma Y = ax2 + bx + c, con a, b, c constantes y a a*0. Su gráfica siempre es una parábola.

SenA = a/c = CosB

CosA = b/c = SenB

TanA = a/b = CotB

CotA - b/a - TanB

SecA = c/b - CscB

CscA = c/a = SecB

Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico: P(x,y)

Por ejemplo:

F(x)= X2-1 d. Función exponencial: de la forma Y = ax siendo 'a' un número real mayor o igual a cero pero diferente de 1. El eje x es una asíntota y pasa por (0,1). Por ejemplo : Y '\

F(x)= 2x

En el círculo de la gáfica donde x, y son las coordenadas del punto donde el lado final del ángulo A intersecta a la circunferencia y r es su radio, se definen las funciones trigonométricas así:

Repaso de M a t e m á t i c a s Por esta razón los cocientes entre X V y Y. según la función deseada, determinan el signo de las funciones.

1. Valores para 0o, 90°, 360°: SenO° = Sen360° = 0 = Cos90°

En general se tiene:

CosO0 - Cos 360° - 1 - Sen90°

Si A es un ángulo del primer cuadrante se tiene: SenA = y/r = +/+ = +

CosA = x/r = +/+ = +

TanA = y/x = +/+ = +

CotA = x/y = +/ + = +

SecA = r/x = +/+ = +

CscA = r/y = +/+ = +

Tan0° = Tan360° - 0 - Cot90° Cot0° = Cot360° = <*>- Tan 90° Sec0° = Sec360° = 1 = Csc90° CscO° - Csc360° = oo - Sec90°

Si A es un ángulo del segundo cuadrante se tiene: SenA = y/r = +/+ = +

CosA = x/r = -/+ = -

TanA = y/x = +/- = -

CotA = x/y = -/+ = -

SecA = r/x =+/- = -

CscA = r/y = +/+ =+

2. Valores para 30° y 60°: Sen 30° = /(1/2) = Cos 60° Cos 30° = /(3/2) = Sen 60° Tan 30° - /(3/3) = Cot 60°

Si A es un ángulo del tercer cuadrante se tiene: SenA = y/r = -/+ = -

CosA = x/r = -/+ = -

TanA = y/x = -/- = +

CotA = x/y = -/- = +

SecA = r/x = +/• = •

CscA = r/y = +/- = -

Cot30° - /3

Sec 30° = 2/(3/3) -Csc60° Csc30° = 2 = Sec60° 3. Valores para 45°:

Si A es un ángulo del cuarto cuadrante se tiene: SenA = y/r = -/+ = -

CosA = x/r = +/+ = +

TanA = y/x = -/+ = -

CotA = x/y = +/- = -

SecA = r/x =+/+ = +

- Tan60°

CscA = r/y =+/- = -

• Funciones trigonométricas para ángulos de más de 360°: Para calcular cualquiera de las seis funciones trigonométricas a ángulos mayores de 360', se hace necesario reducir el ángulo a uno menor de 360°. Por ejemplo:

Sen 45°=/(2/2)

Cos 45° = /(2/2)

Tan 45° = 1

Cot45° » 1

Sec45° =/2

Csc45°= / 2

4. Valores para 180°, 270° Sen180° = 0 = Cos27O° Cosí80° - -1 = Sen270°

Sen400° - Sen(400°-360°) = Sen40° - 0,64

Tanl80° -0 = Cot 270°

Tan540° = Tan(540°-360°)-Tan 180° = 0

Cot180° --«o - Tan270° Sec180° - A - Csc27Ó°

Funciones trigonométricas de ángulos especiales: Se consideran especiales los ángulos que miden: 0o, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Csc180o"-°° = Sec270°

Gráficas de las funciones trigonométricas

• i 1 •í2 2 /\ JE 4 ¿2 2 -1

Coseno

Seno

y= senx \ 1

SJT 3JI 7TI i\ 4 2 4 1%S 371 t X i / T X i y Período= t= 2n

y- cosx

,-f?

71 X

Í1

2 -1

K \

Período = t= 2re

** v

771 27r

v > X

Repaso de M a t e m á t i c a s

Tangente

Cotangente y- tan x

\ /

1 71 71 " 4 " 6

0 7t 71 T T

\ i

v/:

ÀM

i i i

Secante

t i i i

Perk}do"t="jr

3TC 5TI 4 6 11

5TI 371 4 2

/ \

Iti 4

v' /¡^ .•" i \

2ic

971 571 V 2 *

/ \

Cosecante y-cscx =

JjtSn in

tu 6

7tc

sen x

7311171 4 6

- /2 - 2

Período-t=2w

En las seis gáficas anteriores pueden verse algunas características como: »

Algunas tienen un valor máximo y un valor mínimo definido,- es el caso Y = Senx y de Y = Cosx. Este hecho determina la amplitud de la función. Algunas tienen una longitud de onda de 360° (2rr radianes) y otras de 180° (n radianes). Esto determina el período de la función. El período de Y = Tanx y Y = Cot x es tt radianes y el de las otras es 2 n radianes.

Relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas 1. RELACIONES INVERSAS: Cscx - 1 /Senx

Senx = 1 /Cscx

Secx - 1 /Cosx

Cosx = 1/Secx

Cotx=1/Tanx

Tanx=1/Cotx

2. Relaciones por cociente: Tanx= Senx/Cosx

Cotx - Cosx/Senx

3. Relaciones pitagóricas: Sen2x+Cos2x = 1 —> Sen x ^ 1 - Cos2x, ó, Cos2x = 1 - Sen2x 1 +Tan2x = Sec2x

Todas estas relaciones son válidas para todos los valores de x en los que las funciones contenidas en ellas están definidas. Identidades trigonométricas: una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones, recibe el nombre de identidad trigonométrica. Las relaciones fundamentales son también identidades trigonométricas.

îï-,:.: M, „# ' • sr ; : 1V: : = ?:r 'iW'ïP'iifi-w « -I1 > • > i««:.»»

Para verificar una identidad trigonométrica se transforma uno de los miembros de la igualdad (cualquiera de las dos) en el otro. En general se comienza por el miembro más complicado. Ejemplos:

Repaso de M a t e m á t i c a s

7Î:

i*;. SIS.? /¿»¡»«S V«

Ecuaciones trigonométricas: una ecuación que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, pero que son válidas solo para algunos valores del ángulo, recibe el nombre de ecuación trigonométrica. Resolver una ecuación trigonométrica es hallar el o los valores del ángulo que hacen verdadera la igualdad.

1. Demostrar que:

Ejemplos:

Senx x Cotx = Cosx Cosx Senx: Cosx Senx Cosx=Cosx

1. Resolver:

Senx~0 x=arcSenO

2. Verificar la identidad Senx * Secx/Tanx - 1

Senx x Seex_Senx x l/Cosx_Senx / Cosx Tanx Senx / Cosx Senx / Cosx

x=0°,180° 2. Resolver la ecuación:

Senx-2 SenxCosx=0 Senx-2SenxCosx=0 Senx(1 -2 Cosx) = 0 Senx=0 x=arcSenO x=0°,180°

3. Verificar que:

Tan2x x Cos2x=Sen2x Sen2x x Cos2x Tan2x x Cos2x= Sen2x 2

Cos x

4. Demostrar que:

Sec2x l+Cot2x Sec2x l+Cot2x

Tan2x Sec2x l/Cos2x Csc2x 1/Sen2x

l-2Cosx=0 2Cosx=l Cosx=1/2 x=arcCosl/2 x=60°,300°

Sen2x Tan2x Cos2x

5. Verificar que:

1/(1 +Senx)+1/(1-Senx) =2Sec2x ] Senx+1Senx

1/(1 +Senx)+1/(1 -Senx) ~ 7 (1+Senx) (1-Senx)

1-Sen2x

Cos2x

2x1

Solución: x=0°, 60°, 180°, 300° 3. Solucionar la ecuación:

3Cos2x=Sen2x 3Cos2x=Sen2x 3=Sen2x/Cos2x 3=Tan2x 3=Tanx x^ are Tan 3 x=60°,240°

Cos2x

2Sec x

6. Comprobar que:

Tanx/Senx+Cscx/Tanx=SecCsc2x Senx/Cosx Tanx/Senx+Cscx/Tanx= Senx Senx Cosx 1 | Cosx SenxCosx Sen2x Cosx Sen2x Sen2x+Cos2x CosxSen2x

1 2

CosxSen x

1 2

Cosx Sen x

1/Senx Senx/Cosx

SecxCsc2x

x=arcTan-3 x=120°300° Solución: x=60o,1200°,240o,300°

Repaso de M a t e m á t i c a s Ecuaciones

4. Hallar la solución de la ecuación: 2

2Sen x-Senx-l =0

2Sen2x-Senx-l =0 (2Senx-2) (2Senx+1)

Cuando en una función cualquiera se quiere hallar en donde su gráfica corta al eje X, se reemplaza en la función la variable Y por cero,- esto origina una ecuación que se clasificará de la misma manera como se clasifican las funciones. Esto es en.- ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc.

2 (2Senx-2)(2Senx+l) 2Senx-2=0 2Senx=2 Senx=l x=arcSenl ó

En toda ecuación hay una igualdad con mínimo una incógnita. a. Ecuaciones lineales: en ellas el grado de la incógnita es 1. Por ejemplo 6x + 10 = 8. Aquí, para conocer el valor de la incógnita se despeja y se obtiene que x= -1 /3 • Ecuaciones lineales con dos o más incógnitas: Conocidas como sistemas lineales de ecuaciones. Existen varios métodos para resolverlas, como el de igualación, el de sustitución, el de reducción, por determinantes o el método giáfico.

x=90°

2senx+l=0 2senx=-l

Cualquiera que sea el método empleado, al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se está hallando el punto del plano cartesiano donde se cortan las dos rectas. Si el sistema es de tres ecuaciones con tres incógnitas, al resolverlo se halla el punto en el espacio donde las tres rectas se intersectan.

2senx=-l/2 x=arcSen-l/2 x=210°,330° Solución: x=90°, 210°, 300°

Con el sistema: x-2y = 8, y, 2x-y= 7, se van a ilustrar todos los métodos de solución. Llamemos I a la ecuación x-2y = 8 y II a la ecuación 2x-y=7

Funciones trigonométricas de dos ángulos:

Sen (A +B) =SenA CosB+SenBCosA

1. Método de igualación: se despeja en I y II la variable, x = 8+2y

Sen (A -B) =SenA CosB-SenBCosA

x= (7+y)/2

Sen (2A) =Sen (A +A) =SenA CosA +SenA CosA =2SenACosA

Se igualan las dos expresiones anteriores: x«x 8 + 2y= (7+1)1 En la igualdad obtenida se despeja la única incógnita existente:

Cos(A+B)=CosACosB - SenASenB Cos(2A)=Cos(A +A)=CosA CosA +SenASenA =Cos2A - Sen2A Tan(A+B)~

16 + 4y = 7 + y 3y = -9 y-3 Sustituyendo el valor de y en la ecuación i:

TanA+TanB 1-TanATanB

x-2(-3)-8 x+6-8

Tan(A-B)=

TanA-TanB 1+TanA+TanB

x-2 Solución del sistema: x = 2, y = -3 Es decir, las dos rectas se cortan en el punto (2,-3)

Tan(2A)=Tan(A+A)=

Ta A+Ta A

» » 1-TanATanA

2Ta A "2

l-Tan A

2. Método de sustitución: en una de las dos ecuaciones se despeja una de las incógnitas y se reemplaza en la otra.

Repaso de M a t e m á t i c a s Tomando la ecuación t, x - 8+2y, y reemplazando x en la ecuación II. 2(8+2y)-y = 7

5. Método de determinantes: • Matriz: ordenamiento de un conjunto de números en filas y columnas. Por ejemplo:

16+4y-y = 7

1 2 3 -8

3y = -9 y-3 Nuevamente se sustituye el valor de y en una de las dos ecuaciones. En la ecuación II:

-6

SI hay igual número de filas (las horizontales) y columnas (las verticales), la matriz se llama cuadrada y existe para ella el determinante. En una matriz cuadrada de dos filas y dos columnas (orden 2) el determinante se define así:

2x-(-3) = 7 2x+3 =7

a b

x =2

c d

3. Método de reducción:

=a x d - c x b

La solución del sistema x-2y = 8 y 2x-y=7 por determinantes es:

2x-v •• / Para eliminar la variable x, se multiplica la ecuación I por el factor -2 y se suman miembro a miembro las dos ecuaciones.

8 -2 7 -1 1 -2 2 -1

2x + 4y = -16 + 2x + y = 7 ~3y ~= -9

4. Método gráfico: se hacen en un mismo plano cartesiano las gráficas de las dos rectas y así se determina el punto donde se cortan. x-2v=8 -2y-8-x

-y=7-2x

2y = x-8

y = 2x-7

8 7 2

-1

Siendo y= -3 , al reemplazarla se obtiene x = ±2

y = (x-8 )/2

-5 0 -7

-8+14 -1+4

7-16

-9

-1+4

• Ecuaciones exponenciales: en ellas la incógnita hace parte del exponente de la base, siendo la base una constante. Ejemplo 1: Solucionar la ecuación 2x - 132 2x = 27

Y -4 -2

luego x=7 Ejemplo 2: Solucionar ta ecuación 243 - 3x+2 35 = 3x+2 luego x + 2 = 5 x=3 a. Ecuaciones logarítmicas: la Incógnita está bajo un logaritmo. Ejemplo 1: Solucionar la ecuación Log,x - 5

Repaso de M a t e m á t i c a s Al expresarlo en forma de potencia se obtiene:

Lo que Implica que:

25-x

-7+1 x= -

32-x Ejemplo 2 : solucionar la ecuación Log (x+2) - 3+Log x. Trasponiendo términos:

x-2 ó

Log3(x+2) - Log3x - 3

-7-1

Por propiedades de los logaritmos:

Log 3

- xr ) /

Expresándolo como potencia

íx+2

27x-x+2 ^ X = 1/13 b. Ecuación cuadrática: toda ecuación de la forma ax2 + bx +c = 0 con a, b, c constantes y a*0. Se identifica porque la incógnita está elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática puede solucionarse por diferentes métodos; entre ellos, por factorización del trinomio, o mediante la fórmula:

x=-9 Ecuación [general de segundo grado Se considera como ecuación general de segundo grado a toda ecuación de la forma Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 A, B, C, D, E, F son constantes sin ser A y B ¡guales a cero simultáneamente. Dependiendo del valor que tomen A y B se obtienen las diferentes cónicas que son : circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Circunferencia: definida como el conjunto de puntos que tienen una misma distancia a un punto fijo llamado centro. La distancia fija determina el radio de la circunferencia

I Y

-b ± y\b2-4a 2a

Ejemplo: hallar la solución de la ecuación x2 + 7x = 18 Se debe igualar a cero la ecuación: x2+7x-18=0 1. Por factorización:

(x+9Mx-2) - 0

Uno de los dos factores debe ser 0: x+9 = 0 ó x-2 - 0

El punto C(h, k) es el centro. El radio es: r La ecuación general de la circunferencia es: Ax2+Ay2+Cx+Dy+E = 0. La ecuación ordinaria es: (x-h)2 + (y-k)2 = r2. Si el centro es el punto (0,0) la ecuación es: x2+y2=r2 La elipse: dados F, y F2,dos puntos fijos, se define la elipse como el conjunto de puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a F1 y F2 es una constante:

X--9 ó x=2

PF1 + PF2 = constante

2. Por fórmula:

•

7±^72-4(l)(-18)

2(1) -7

±^49+72

2 -7 ± 1

La ecuación general de la elipse es: Ax2+By2+Cx+Dy+E - 0, siendo A*B. •

Elementos de la elipse: Y

Repaso de M a t e m á t i c a s ó By2-Ax2+Cx+Dy+E=0

Ax2-By2+Cx+Dy+E=0

Oh, k) = centro F r f, - focos

Puede ocurrir que A - B.

V,, V2 - vértices

Los puntos fijos F, y F2 se llaman focos y el punto medio entre ellos es el centro C(h, k).

a = distancia entre el centro y cualquiera de los vértices

b = distancia entre el centro y cualquiera de los puntos A y

Elementos de la hipérbola

Y I

A' BB' = lado recto = 2b2/a V,V2 - eje mayor = 2a AA' = eje menor 12b e - excentricidad - c/a Ejefoca"- recta en la que están ubicados los focos La ecuación ordinaria de la elipse es:

C = centro con coordenadas (h, k)

a. Cuando el eje focal es paralelo al eje X:

t Y

F, y F2 - focos V, y V2 - vértices L, y L2 - asíntotas a - distancia del centro a los vértices b = distancia del centro a los puntos A y A' c - distancia del centro a los focos,- c2 - a2+b2 e - excentricidad = c/a

(x-h)2

(v-ky

b. Cuando el eje focal es paralelo al eje Y: A

lado recto - 2b2/a

V,V2 = eje transverso = 2a

PP'

eje conjugado »

Ecuación ordinaria de la hipérbola:

a. Cuando el eje transverso es paralelo al eje X:

! Y

(x-h) b2

(y-k) _1 a-

Sl el centro de una elipse es el punto (0,0) las ecuaciones se reducen a: x2/a2 + y2/b2 = 1 ó x2/b2 +y2/a2 = 1 La hipérbola: si F1 y F2 son dos puntos fijos, se define la hipérbola como el conjunto de puntos P del plano, tales que la diferencia entre sus distancias a los puntos fijos es una constante. La ecuación general es:

(x-h)2 ct

=1 2

b. Cuando el eje transverso es paralelo al eje Y:

Repaso de M a t e m á t i c a s (x-h)2 , (y-k)2 a2 b2

Cuando el centro es (0,0) la ecuación ordinaria se reduce a: x2/a2 - y2/b2 = 1 ó y2/a2 - x2/b2 = 1 Ecuación de las asíntotas: y-k=±b/a(x-h) La parábola: si F es un punto fijo y D una recta fija, se define la paábola como el conjunto de puntos P del plano, tales que su distancia a D es igual a su distancia a F. Así, Distancia a F - Distancia a D. La ecuación general de la parábola es: Ax2+Cx+Dy+E=0 ó By2+Cx+Dy+E=0. »

Elementos de la paábola:

I Y

I. (y-k)2 = 4p(x-h) II. (y-k)2 = -4p(x-h) Si el vértice es el punto (0,0) las ecuaciones se reducen a: x2 = ±4py ó y2 = ±4px

Sucesiones y progresiones Una función en la que el dominio es el conjunto de los números naturales y a cada número natural se le asigna un elemento de los números reales, se llama sucesión. Sucesión ={<1,f(1),<2,f(2)),(3,f(3)), <4,f(4)),...} El conjunto de las imágenes conforma los términos de la sucesión,- la notación de una sucesión se simplifica así: {f(1), f(2), f(3), f(4)

F = vértice de coordenadas (h, k)

}

Cada uno de los términos del conjunto anterior se denomina con una letra y un subíndice.

F - foco D = recta directriz

a,= f ( l ) a2 = f(2) a3 = f(3) a5 = f(5)

EE' = lado recto - 4p

an = término general de la sucesión = f(n)

p = distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz Eje focal = recta sobre la cual están el foco y el vértice »

La ecuación ordinaria de la paábola puede sen

a. Cuando el eje focal es paralelo al eje Y:

Finalmente la sucesión queda: {an} = {al, a2, a3, a4,...} Ejemplo: {an}= {1,1/2,1/3,1/4,

}

Determinar una sucesión es dar una regla que permita obtener el término correspondiente a un lugar dado. Ejemplo 1: La sucesión cuyo primer término es 2 y se genera sumándole 1 al cuadrado del anterior. {an} = {2, 5, 26, 677,...} Ejemplo 2:

n+1 an= n2+l entonces la sucesión queda: I. (x-h)2 = 4p(y-k) II. (x-h)2 = -4p(y-k) b. Cuando el eje focal es paralelo al eje X:

{an} = {1,3/5,2/5,5 /17,3/13

}

Progresión aritmética: cuando en la sucesión luego del primer término cada uno de los siguientes se obtiene sumándole un valor constante al término anterior, ésta se llama progresión aritmética. Ejemplo: {5, 8,11,14,17,...} El primer término es 5 = a la constante sumada r= 3

Repaso de M a t e m á t i c a s Si la progresión tiene un número finito de términos se definen en ella: Número de términos - n

íl/nh ¡1,1/2.1/3,1/4, I

Converge a 0

{2n} - [2,4,8,16,32

Divergente

}

H-2)n}= [-2,4,-8;16,.32,64,...} Oscilante.

Último término = an Si en el ejemplo anterior se considera la progresión de 6 términos, entonces n=6 1y an =20.

Límite de una sucesión: una sucesión {an} tiene un límite c, si sus términos tienden a ese valor c, y se escribe: Lim an = c

En toda progresión aritmética se puede establecer que

n —»oo

Algunas propiedades en límite de sucesiones son:

yquea n = a, + (n-1)r Está última expresión permite calcular en una progresión aritmética un término cualquiera, la razón, el primer término o el número de términos, siempre y cuando sean conocidos los otros tres elementos.

1. El Lim an varía según el valor de a así: n—>oo

Si a>1 entonces Lim an= °° n—>oo

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

(a+aj S

Si a = 1 entonces Lim an =1 n—>oo

Si -1<a<1 entonces Lim an = 0

Progresión geométrica: si en la sucesión cada término, después del primero, se obtiene multiplicando al término anterior por una constante, ésta se llama progresión geométrica. Los elementos de una progresión geométrica son: Razón= r (cantidad constante que multiplica) Primer término = a,

n— 2. Si {an} —>0 Lim 1 =°° n—><» an 3. S i t a n } — L i m 1 = 0 n—> an 4. Si k es una constante, LimK*an = K*Lim an n—>o°

Último término = an

n—>oo

Suma de los n primeros términos = Sn Número de términos = n

Ejemplo 1:

En toda progresión geométrica se cumple:

n—>oo

r = an' /a , rv¡ Sn = (an *r-a, 1 )/r-1 ' Sucesión creciente o decreciente: cuando en una sucesión cada término es mayor que el anterior, an > an1 la sucesión se llama creciente. Si an < a n1 entonces se llama decreciente. Sucesión convergente o divergente: cuando los términos de una sucesión tienden hacia un número fijo, es decir tiene un límite, la sucesión se dice que es convergente. es decir no hay límite, se

Hay sucesiones que no son convergentes ni divergentes,- son las llamadas sucesiones oscilantes. Ejemplo:

n3+3n2+n-2 2n3+2n-5

Lim n3/n3+3n2 / n3+n/n3-2n3 n—>oo 2n3/n3+2n/n3-5/n3

an =a,1 rn-1,

Si los términos tienden a + °° ó a llama divergente.

Lim

Lim 1+3/n+l/n2-2n3 > oo 2+2n2-5/n3

1+0+0-0 _ 1 2+0-0 2

Ejemplo 2:

Lim 5 " - i " n—>a 5-6" Lim 5"+6" +3"+6" n^a 5/6"-6"/ó" __ Lim (5/6)"-(3/6)" n-+a 5/6"-l +-0

Repaso de M a t e m á t i c a s Ejemplo 3:

Lim

Um (1+1/n)n - e

x--9

_ Lim

(x+3)(x-3)

n—*-3 x-3

n->-3

(x+3)

Lim n—*-3

x-3=-3-3~6

n—>°° Funciones y límites de funciones: si f(x) es una función de los reales tal que: f(x) = {(x1,f(x1)), (x2,f(x2)), (x3,f(x3)) }, al conjunto {xl, x2, x3) se le llama Dominio de la función y al conjunto {f(x1 )1, f(x2), f(x3),...} se le llama Rango o recorrido de la función.

Lim X—*l

Lim

Lim dx-i) dx-+/j c—>1 (x-lX-Jx+1) (x-l)

x-*l

Ejemplo: f(x)=x2

Al reemplazar da 0/0 (indeterminación)

X-l

Lim Vjc -1 x—>1 x-l

Composición de funciones: si f(x) y g(x) son dos funciones se define la composición de f(x) y g(x) así: (f o g)(x) = f(g(x))

\ír- /

(X-1)(^X+1)

_ Lim 1 x-+l x+1

g(x)=2x+1

(f o gKx) - f(g(x)) = f(2x+1) - (2x+1 )2 - 4xMx+1

1 1 1+1 2

5. Para límites de funciones trigonométricas se da por demostrado que:

(g o f)(x) I g(f(x)) - gíx2) - 2x2+1 Nótese que (g o fXx) * (f o gKx). Límite de funciones: si en una función f(x) cuando x se acerca a un valor 'a', sea por la derecha o por izquierda, f(x) se acerca a un valor b, se dice que el límite de la función cuando x tiende a 'a' es 'b'. Limf(x) - b x—>a

Lim Senx x^O

Lim

X—+0

1. LimK=K x-»a

5\Sen5x 5x

x—>6>

_5 x Lim Sen5x

Propiedades:

Lim Sen5x x—>0 x 5x

5\1

6. Lim

2. LimK*f(x) = K*Limf(x) x—>a

x—*0 Tanx

x—>a

. x—>a

CosO-1

1-1

TanO

(indeterminación, entonces

3. Lim (f(x) + g(x» = Lim f(x) + Lim g(x) x—>a

Cosx-1

x—>a

4. Limf(x)/ g(x) = (Lim f(x))/ (Lim g(x)) x-> a

x-> a

Ejemplos:

Lim

Cosx-1

x-*0

Tanx

Lim

(Cos2x-l)

x —>0

Tanx

Lim x—>0

(Cosx-l)(Cosx+l) Tanx Sen:x

Lim

CosxSen:x

x—>0 Tanx

x—*0

Senx

Lim

5x +6x=5(3) +6(3) =63

n—

Inecuaciones

x2-9 n—*-3 x-3 Lim

CosxSenx=CosO X SenO=l x 0=0

x-*0

(-3)2-9 -3-3

9-9

3. o Lim x2-9 n->-j x-3 0 (Indeterminación); hay que romper esa indeterminación así:

Desigualdad: si a*b, se está ante una desigualdad que tiene dos posibilidades: a<b o a>b. Si la desigualdad contiene términos desconocidos, se habla de Inecuaciones que pueden clasificarse de acuerdo al grado en lineales y cuadráticas o racionales. •

Inecuaciones lineales: se resuelven con un proceso similar al de las ecuaciones lineales. Se diferencian

Repaso de M a t e m á t i c a s de estas en que la solución no es un conjunto finito de números sino un Intervalo de números reales. Ejemplo: hallar la solución de la inecuación 3x-6<1+x

[(x+9)<0 y (x-2 ><0]

[(x+9)>0y (x-2)>0] ó „ tx > -9 y x > 2] o

[x < -9 y x < 2]

x £ (2,)

x8(-°°, -9)

3x-x <1 +6

xS[(2,

2)]

Ejemplo 2:

2x<7

hallar la solución de la inecuación racional

x<7/2 •

Inecuaciones cuadráticas y racionales: se deben comparar con cero y luego llevarla a factores lineales. Los siguientes ejemplos ¡lustran el proceso.

Ejemplo 1:

[(x+3) y (2x-4)>0] ó [(x+3) y (2x4)<0] [x

x>2] ó

x<2]

hallar la solución de la inecuación cuadrática: X2+7x>18

x£(2,

X2+7x-18>0

x8[(-°°,-3) (2, °°)j

xS(-°°,-3)

(x+9)(x-2)>0

•

Derivadas e integrales fundamentales

Función

Sí

f ' ( x = ax In a

f(x) = ex

f ' ( x = ex

f(x) = I n X

f'(x

f(x)

f ' ( x = eos X

sen x

Integrales

Derivadas

f j

axdx-

íi x

In a

+ c

1 exdx = ex + e í ^ =InX +c

J X

eos x

dx = sen x + c

f(x) = eos X

f ' ( x = - sen x

f(x) = tan x

f ' ( x = - sec2 x

sec2 x dx = tan x + c

f(x) = cot X

f ' ( x = - esc2 x

esc2 x dx = - cot x + c

f(x) = sec x

f ' ( x = sec x tan x

| sec2 x • tan x dx = sec x + c

f ( x ) = CSC X

f ' ( x = esc x cot x

| esc2 x • cot x dx = - esc x + c

sen x dx = - cos x + c

Repaso de M a t e m á t i c a s

*?5. Aleatoriedad Se diferencian dos usos del método estadístico dando origen a dos clases de estadística. Estadística descriptiva: es el método para obtener de un conjunto de datos, conclusiones sobre los mismos y que no sobrepasan el conjunto de conocimientos que proporcionan estos datos. Su estudio incluye el de las técnicas de colectar, presentar y analizar los datos. Estadística inferencial: es el método y conjunto de técnicas que se utilizan para obtener conclusiones que sobrepasan los límites de los conocimientos aportados por los datos,- es decir, busca obtener información sobre un colectivo mediante un metódico procedimiento de los datos de una muestra de él.

Recopilación de datos

nizaría, lo cual puede hacerse en cuadros, planos, gráficos de línea, pictogramas, gráficos de barras, o en diagramas circulares. • Cuadros: es la organización de los datos en filas y columnas de tal manera que pongan en evidencia los aspectos que interesa mostrar y resalten las comparaciones que se desean hacer. Ejemplo: Los datos que muestran el consumo de agua de cierta familia en los meses de enero a junio se pueden ver en el siguiente cuadro. FACTURA Enero 1 - Febrero 1

20m3

Febrero 2 -Marzo 2

21 m3

Marzo 3 -Abril 3

18m3

Abril 4-Mayo 4

25m3

Mayo 5 -junio 5

30m3

Junio 6 -Julio 6

22m3

Población: población o universo en una investigación estadística es el conjunto de elementos a quienes se refiere el estudio,- a ellos va a analizar y a beneficiar. Muestra: todo subconjunto de la población, escogido al azar y de cualquier cantidad de elementos o tamaño. Investigación estadística: es toda operación orientada a la recopilación de información sobre una población. La investigación puede ser tan simple como la recopilación de datos estadísticos obtenidos de informaciones provenientes de fuentes oficiales a nivel institucional o de publicaciones de organismos altamente especializados en estas materias, o tan compleja que requiera de la colaboración de especialistas en las diferentes materias.

CONSUMO REAL

Planos: es la forma de representar los datos con puntos en el plano cartesiano,- al eje X se asignan los datos de la variable independiente y al eje Y los de la variable dependiente.

A(X)

Algunos de los aspectos básicos en el planteamiento de una investigación pueden sen 1. Determinar el objetivo de la investigación. Qué se investigara, cómo se realizas, cuándo se realizara, dónde se realizara?. 2. Determinar el elemento de la población que origina la información. 3. Recolectar la información, que puede ser por observación, por encuestas, o simplemente obtenida de publicaciones o fuentes confiables. 4. Procesar la información, consiste en ordenar la información, eliminar posibles errores y analizarla mediante los métodos y normas estadísticas. 5. Publicar resultados, luego de revisarlos Presentación de la información: una vez obtenida cualquier información, se debe escoger la forma de orga-

>X Ejemplo: el anterior plano muestra como varía el aumento de sueldo de los empleados de un almacén en términos de el número de artículos vendidos. • Gráficos o diagramas de línea: se representan en un sistema de dos coordenadas en el que los puntos se unen, determinando una línea que puede tomar diversas formas. Son muy utilizados cuando se representan series cronológicas, es decir cuando la variable independiente es el tiempo que se representa en el eje horizontal. Al mirar una gráfica de este tipo el observador comúnmente dirige su atención a la altura vertical, y cuanto más inclinada sea una línea, mayor es la variación en la relación entre las cantidades que miden los ejes, pero general-

Repaso de M a t e m á t i c a s

mente se presta poca o ninguna atención a algo fundamental que son las escalas de valores de los ejes. Ejemplo :

Ejemplo: Gráficos de barras vertical 4 Porcentaje

260-

Gráficos de líneas

240-

220—

-ili:>ni ladas

200-

240

180160-

200

140--

o ¡c <

120 - -

160 120 t

1.9901.991 1.9921.993 1.994 1.99S 1.9961.997 1.998 1.999

Triso Maíz

I 990 1 99) i «92 1 993 1 994 I 995 I 996 I

o .5 997

1 998 I 999

• Pictogramas: un pictograma es la representación de datos estadísticos por medio de símbolos que por su forma sugieren la naturaleza del dato. Esta técnica se utiliza para mostrar comparaciones que impacten, llamando la atención del público en general cualquiera que sea su nivel. La magnitud de los datos por los pictogramas son aproximaciones burdas y no sirven para análisis serios de estadística. Frente a un pictograma, un observador siempre muestra indecisión en la comparación de alturas, áreas, volúmenes, etc.; por eso en todo trabajo con pictogramas las cantidades se expresan con un mayor o menor número de figuras ¡guales. Ejemplo:

Gráficos de barras horizontal América África Asia Europa Oceania

5 10 15 20 25 30 35 40 45

Superficie en millones de Km2

• Gráficos o diagramas circulares: Se utilizan para representaciones gráficas de distribuciones porcentuales. Si se les quiere utilizar en secuencias cronológicas, es necesario dibujar círculos de igual tamaño, uno por cada año, mostrando en cada círculo la correspondiente distribución porcentual. Ejemplo: La producción de un artículo durante los cuatro trimestres del año se puede representar así: Gráfico circular

La población en 1980 de los siguientes países era: Argentina

f f

mm wm

28 millones 160 Bolivia 6 millones

f f f t ffffffffff-

Colombia 21 millones Venezuela 14.5 millones

f f t f í f í t

Gráficos o diagramas de barras: son menos llamativos que los pictogramas, pero en cambio proporcionan más información y permiten una apreciación estadística más rigurosa.

iflBSBBEB Cuando los datos estadísticos de que se dispone son numerosos, poco o nada se puede hacer con ellos si no se les organiza y clasifica, es decir, se les arregla de acuerdo con algún método. • Rango: en todo conjunto de valores estadísticos hay valores extremos; a la diferencia entre el mayor y el menor se le llama rango y en ese intervalo están distribuidos todos los demás valores del conjunto.

Repaso de M a t e m á t i c a s • Intervalos de clase: Son los sub-lntervalos en que se divide el rango para agrupar en ellos los datos estadísticos. Todo intervalo está determinado por sus límites superior e Inferior y la diferencia entre ellos se conoce como el ancho o tamaño del intervalo. El primero y el último de los Intervalos de clase pueden ser abiertos, pero no los Intermedios. En un Intervalo de clase suele determinarse un punto representativo llamado marca de clase, y es el punto medio del intervalo. Si los intervalos de clase son muy pocos, se pierden detalles,- y si son muchos, aparte de lo dispendioso del trabajo, se manifiestan Irregularidades que no permiten apreciar con claridad un patrón de comportamiento. La mayoría de los analistas recomiendan no menos de 5 ni mas de 18 intervalos de clase. Por regla general, los Intervalos de clase son de igual tamaño.

• Histogramas: son una forma de representar gráficamente las frecuencias de los Intervalos de clase, que consiste en representar las frecuencias por medio de áreas de rectángulos (barras). Los histogramas son diferentes de los diagramas de barras,- en un diagrama de barras las alturas de éstas miden el tamaño de la variable y generalmente se dibujan separadas, es decir dejando espacios entre ellas. En un hlstograma las frecuencias quedan representadas por el área de los rectángulos, no por sus alturas, y las barras necesariamente se dibujan sin dejar espacio entre ellas. Ejemplo: Frecuencias

Ejemplo: el instructor de atletismo de un colegio tiene a su cargo 108 niños,- toma en centímetros la estatura de cada uno de ellos y organiza los datos en un primer cuadro, CUADR01, en el que se aprecia la frecuencia de cada dato. Posteriormente elabora un CUADRO 2, en el que organiza los datos en Intervalos de clase y determina la frecuencia para cada intervalo. CUADRO 1 X = Estatura en centímetros F = Frecuencia de cada dato

INTERVALO DE CLASE EN CM.

FRECUENCIAS

123.5-128.5

128.5-133.5

133.5-138.5

138.5-143.5

143.5-148.5

148.5-153.5

153.5-158.5

158.5-163.5

edad Polígonos de frecuencia: se obtiene uniendo las alturas de los rectángulos del histograma. Ejemplo:

Con el objeto de interpretar mejor los datos existen algunas medidas obtenidas de operar con los datos. Pueden clasificarse en medidas de tendencia central y medidas de dispersión. Medidas de tendencia central: su nombre lo Indica, buscan un valor alrededor del cual giran los demás. Hacen parte de estas medidas la media aritmética, la mediana, la moda, y la media geométrica. •

Media aritmética: es la suma de todos los valores dividida entre la cantidad de datos.

Ejemplo : la media de 3, 6,15,4, 23 y 18 es:

Repaso de M a t e m á t i c a s 3+6+15+4+232+18 6 •

Media aritmética ponderada: se aplica para calcular el valor promedio de cantidades a cada una de las cuales le ha sido asignado un peso que lo pondera; se calcula por el cociente entre la suma de los productos de las cantidades por sus respectivas ponderaciones y la suma de sus ponderaciones.

Si los datos son irregulares y hay lagunas en los valores de la clase de la mediana, esta medida de tendencia central no resulta buena ya que su ubicación puede resultar falsa. Si se desea calcular totales, la única medida utilizable es la media aritmética. •

Medidas de dispersión: las medidas de tendencia central describen el comportamiento de los datos en una distribución de frecuencia. Pero las informaciones que estas medidas proporcionan son limitadas y nada dicen sobre la forma en que eslán diseminados o dispersos los datos con relación a la tendencia central; además poco indican sobre un determinado dato con relación a otros de la distribución. Esto se logra con las medidas de dispersión, tales como el rango, la desviación media, la varianza y otras.

•

Rango: diferencia entre los valores extremos.

•

Desviación media: es la media aritmética de los valores absolutos de la desviación de los datos respecto a la media aritmética. Es una medida de dispersión bastante objetiva; cuanto mayor sea su valor mayor es la dispersión de los datos

Ejemplo : en determinado semestre un alumno tomó 3 materias en las que obtuvo las siguientes calificaciones: Materia 1 = 3.5

Materia 2 = 4.2 Materia 3 = 2.0

Si la Materia 1 tiene una ponderación de 3 créditos, la Materia 2 de 2 créditos y la Materia 3 de 5 créditos, su promedio sera:

3,5 x •

3+4,2x2+2,0x5

-2,89

Mediana: se define como el valor que divide a una distribución de datos ordenados en dos mitades; deja por encima de él igual número de datos que por debajo de él. Mientras que en la media no importa si los datos están ordenados, en la mediana es indispensable que estén ordenados de menor a mayor.

Ejemplo:

Ejemplo: para los datos 10, 2, 2, 9,17 la DM se calcula así:

10+2++2+9+17 Media aritmética:

•

Moda: en una distribución de frecuencias la moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia.

Ejemplo: La moda en 1,3,5,5,6,6,7,7,7, 8,8,9, 10 es el valor 7 por ser el que mas se repite. •

Media geométrica: en una distribución de n términos se define la media geométrica como la raíz n del producto de los n términos.

Ejemplo: la media geométrica de 2,4, 6,12, y 18 es

v2x4x6x12x18=3,36 La medida de tendencia central que debe utilizarse depende de la información que se tenga y del objetivo que se persiga. Si la distribución es aproximadamente simétrica puede utilizarse indistintamente la media aritmética, la mediana o la moda. Si los datos no están ordenados, puede resultar más fácil el cálculo de la media aritmética que el de la mediana.

110-81 +1 2-81 +1 2-81 +1 9-8 | +1 i 7-51

la mediana de los datos del ejemplo dado para media es : 3, Si la cantidad de datos es un número par, la mediana se calcula hallando el promedio entre los dos datos centrales.

DM=

-=24

Varianza: es la media aritmética de los cuadrados de la desviaciones respecto a la media aritmética.

Análisis combinatorio Al análisis combinatorio, que incluye el estudio de permutaciones, combinaciones y particiones, le atañe la determinación del número de posibilidades lógicas de algún suceso sin enumerar necesariamente cada caso. Principio fundamental del conteo: si algún suceso puede ocurrir de n1 maneras diferentes, y siguiendo este suceso, un segundo suceso puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y siguiendo este suceso, un tercer suceso puede ocurrir de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los sucesos pueden ocurrir está indicado por n1*n2*n3*.... Ejemplo: si una placa de automóvil contiene tres letras y tres dígitos, con el primer dígito diferente de cero, el número de placas que se pueden fabricar es: 27*27*9*10*10 = 656.100 teniendo en cuenta que hay 27 letras y 10 dígitos; además el primer

Repaso de M a t e m á t i c a s dígito no puede ser 0, luego se puede escoger de solo 9 maneras. Permutaciones: cualquier arreglo de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos, tomados todos al tiempo.

—i Ejemplo: al lanzar un dado, un número par puede salir de 3 maneras (2, 4 ó 6) de las 6 posibilidades totales. La probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par es _ 3 _ 1

Ejemplo: en conjunto de las letras a, b, c y d, bdca, deba, acbd, son permutaciones de las 4 letras. También bad, adb, cbd, bea, son permutaciones de las 4 letras pero tomadas de a 3. MUESTREO: muchos problemas en análisis combinatorio y particularmente en probabilidad, se refieren a escoger un elemento de un conjunto que contiene n elementos. Cuando se extrae un elemento r veces puede ocurrir que se reintegre al conjunto o que no se reintegre inmediatamente. De acuerdo a si se reintegra o no se dan dos clases de muestreo: •

•

Muestreo con recolocación. El elemento se vuelve a colocar antes de escoger el siguiente elemento. Como hay n maneras diferentes de escoger cada elemento el número de muestras ordenadas diferente está dado por n *n*n*n... (r veces) = nr Muestreo sin recolocación. Cada elemento que se saque no se devuelve,- entonces no hay repeticiones en la muestra ordenada y el número de muestras ordenadas entonces está dado por n(n-1 )(n-2)(n-3)...(n-r+1)

Probabilidad La probabilidad es el estudio de los experimentos aleatorios. Si se lanza un dado se tiene certeza de que caeiá, pero no hay certeza de que salga por ejemplo un 6. Sin embargo supóngase que se repite este experimento de echar el dado. Sea s el número de-aciertos (el número de veces que aparece un 6), y sea n el número de lanzamientos. Entonces la probabilidad de que al lanzar el dado caiga en 6 está dada por por: p=s/n

6 ~

Sucesos mutuamente exduyentes: P(E1+E2) = PE1+PE2 Ejemplo: hallar la probabilidad de obtener un as o un rey al extraer una carta de una baraja española. P(E,+E2) = 4/40 + 4/40 = 8/40 = 2/10 = 1/5 Sucesos no excluyentes: P(E1+E2) = PE1+PE2 - P(E1E2) Ejemplo: hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja española resulte ser un as, una espada o ambas cosas. P(E,+E2) = 4/40 + 10/40 - 1/40 = 13/40 Sucesos independientes: P(E1E2)- PE1PE2 Ejemplo: hallar la probabilidad de obtener cara en el quinto lanzamiento y cara en el sexto lanzamiento de una moneda. P<E,E2) = Vi * Vi = V4 Sucesos dependientes: P(E1 E2) = PE1(E2/ El) Ejemplos: Una caja contiene tres bolas blancas y dos bolas negras. Hallar la probabilidad de que en extracciones sin remplazamiento, la primera bola extraída sea negra y la segunda bola extraída sea negra. P(E,E2) = 2/5 * 1/4 = 1/10

* # 6. Preguntas Tipo lefes Preguntas de selección múltiple con única respuesta Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales usted debe escoger la que considere correcta. 1. En los frascos de pintura de cierta marca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color.

Un estudiante necesita mezclar cierta cantidad de pintura verde con otra blanca. Luego de analizar cuál recipiente era el más adecuado para guardar la mezcla, ha escogido uno que tiene capacidad para seis veces la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que lo llenara completamente. De acuerdo con esto, el objetivo del estudiante, al realizar la mezcla era A. obtener pintura verde con una tonalidad inicial

menor a la

Repaso de M a t e m á t i c a s B. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 60 % C. obtener pintura verde con una tonalidad 10% menor a la Inicial D. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 50 % 2. En los frascos de pintura de cierta marca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color. Un estudiante de publicidad, cuenta con 40 cm3 de pintura roja, pero para su trabajo requiere mínimo 50 cm3 de la misma. El asegura que puede mezclarla con 10 cm3 de pintura blanca siempre y cuando la tonalidad no disminuya más de un 25%. Respecto a agregar los 10 cm3 de pintura blanca, el estudiante debe tomar la decisión de

4. Los encargados de realizar las pruebas desean construir una representación que muestre el número de esferas por escalón y la suma de los volúmenes de las esferas por escalón, ¿Cuál considera usted que es la representación adecuada? A.

., Escalón

C. no agregarlos ya que la tonalidad disminuiría en 50% D. no agregarlos ya que la tonalidad disminuiría en 60% 3. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 5 preguntas a continuación: Se realizaron unas pruebas con esferas de un metal experimental. Se descubrió que si se deja caer a una determinada altura una esfera de volumen V se divide en dos esferas de volumen V/2 y luego estas esferas, al caer desde la misma altura, se dividen en cuatro esferas de volumen V/4 y así sucesivamente. A continuación se muestra un dibujo que representa la prueba planteada:

Suma de i. volúmenes

Número de esferas

Suma de volúmenes

V/2

V/4

V/8

Suma de volúmenes V j VI

A. agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan solo en 2,5 B. agregarlos ya que la tonalidad disminuiría tan solo en 10%

Numero . r de esferas

^7651 8'

V ytf

Suma de volúmenes

/ 'l

Número de esferas

4 Número de esferas

5. Al empezar el experimento con tres esferas en el escalón cero y comparando con las características del experimento anterior, puede suceder que: A. frente a la prueba anterior el número de esferas en un escalón aumenta en 3 esferas. B. en el experimento actual el número de esferas que se tienen en un escalón es tres veces el número de esferas del escalón anterior. C. en cada escalón habiá el triple de esferas que había en el mismo escalón en la prueba anterior. D. en el experimento actual el número de esferas que se tienen en un escalón es el doble de los que se tenían en el escalón anterior. 6. Se encontró una regularidad frente al aumento de esferas por escalón, la expresión que muestra el número de esferas en un escalón a partir del número del escalón es:

ooeoooo©

Escalón 3

\qoocooooe>oooo¿\

Escalón 4

A. 2n, porque si n es el número del escalón se logra 1,2,4,8,16... esferas, empezando desde el escalón cero. B. 2 * n, debido a que se logra el número de esferas esperadas en los escalones 1 y 2 si n representa el número del escalón.

Al practicar estas pruebas, se afirma que el número de esferas que se tendía en el escalón 6 es 64, esto es debido a que:

C. 2n-1, ya que representa el número de esferas de un escalón, siendo n el número del escalón siguiente al deseado.

A. el número de esferas de un escalón determinado es un número par.

D. 22, porque representa el número de esferas en el escalón dos.

B. escalón a escalón se duplican las esferas y ésta es la sexta duplicación.

7. Con base en la variación o aumento de esferas por escalón se puede afirmar que:

C. el número de esferas se obtiene elevando 2 al número del escalón deseado.

A. se tendiá siempre el doble de esferas de un escalón a otro.

D. escalón a escalón se aumenta en un número par de esferas.

B. el número de esferas en un escalón se representa por medio de una potencia de uno.

Repaso de M a t e m á t i c a s

HHHHHMl

C. del escalón 0 al 1, 1 al 2, 2 al 3,3 al 4,...aumenta 2, 4, 8, 16,... esferas respectivamente.

C. el volumen del congelador es 1/4 en comparación al volumen del conservador

D. del escalón 0 al 1,1 al 2, 2 al 3,3 al 4,... aumentan 1, 2,4, 8,... esferas respectivamente.

D. por 4 litros de volumen en el congelador hay 1 litro de volumen en el conservador.

8. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 4 preguntas a continuación:

10. La empresa decidió construir un nuevo modelo de nevera, manteniendo el volumen total de la anterior y en el que la proporción entre el volumen del congelador y el conservador sea de 1 a 3 respectivamente. Analizando esta proporción se puede afirmar que en el nuevo modelo:

En una fabrica de congeladores construyen neveras como la representada en el dibujo. En el manual de Instrucciones de esta nevera se menciona, entre otras cosas, sus medidas y el volumen en litros por compartimiento, el cual es de 44 litros para el congelador y 176 litros para el conservador. Congelador

0,24 m

A. el volumen del conservador y el del congelador aumentan respecto a la nevera inicial B. el volumen del congelador aumenta y el volumen del conservador disminuye, en comparación con la nevera inicial. C. el volumen del congelador representa un tercio y el del conservador representa dos tercios del volumen total.

Conservador 0,60 m

0,52 m

Para información a los consumidores se grafica la distribución del volumen total de la nevera. La gràfica más adecuada sería: A.

Volumen en litros 176 S Congelador 166.8 IXI Conservador 44

0 Accesorios y relleno

11. El espacio para colocar la nevera en el apartamento de don Felipe tiene un área rectangular de 3.900 cm2. Él podría colocar allí una nevera como la representada en el dibujo inicial, si: A. la medida de las dos dimensiones del área rectangular es la misma (Aprox. 62-45) B. la medida de una de las dimensiones del rectángulo es 80 cm. C. la medida de un lado del rectángulo es 52 cm.

Volumen en litros 176 166.8

D. el volumen del congelador representa la cuarta parte y el del conservador representa las tres cuartas partes del volumen total.

Congelador

N Conservador B Accesorios y relleno

D. al multiplicar las medidas de cada una de las dimensiones del rectángulo no exceda a 3.900 cm2. 12. De acuerdo con el texto, responda las 4 preguntas que aparecen a continuación: En un campeonato de banquitas, en el cual participan 4 equipos llamados A, B, C y D, se tiene la siguiente tabla parcial de resultados, la cual está incompleta.

D. Accesorios y relleno 3 168,8 cm

9. En el manual de instrucciones de la nevera se menciona que la proporción entre el volumen del congelador y del conservador es de 1 a 4, respectivamente. Esto significa que: A. por cada litro de volumen del congelador hay 4 litros de volumen en el conservador B. la diferencia entre volúmenes en litros apenas es tres veces el volumen del congelador

Partidos jugados A

Partidos jugados

Partidos empatados

Partidos Perdidos

Goles a favor

Goles en contra

La puntuación se maneja de la manera siguiente 2 puntos para el equipo ganador. 0 puntos para el equipo perdedor. 1 punto para cada equipo en caso de empate.

Puntuación

Repaso de M a t e m á t i c a s Cada equipo hasta el momento de elaborar la tabla ha jugado a lo más un partido contra cada uno de los demás equipos. Además analizando los datos presentados en la tabla se observa que hay un error. De acuerdo con los datos presentados en la tabla, es posible afirmar que:

HOMBRES

MUJERES

Lunes

Martes

Miércoles

D. D jugó dos partidos, en los cuales obtuvo 1 punto.

Jueves

13. Al tratar de completar la tabla, observamos que:

Viernes

Sábado

Domingo

B. B al tener 3 puntos y haber jugado tres partidos, obtuvo un empate, un triunfo y una derrota. C. C jugó dos partidos y obtuvo un empate y una derrota.

A. B no pudo haber jugado 3 partidos, pues tendría más goles en contra. B. B tiene 4 goles a favor. C. A y C no perdieron ningún partido. D. C jugó dos partidos ganando uno de ellos 2 - 0 y perdiendo el otro 0 - 2. 14. Si el erraren la tabla fuera el número de partidos jugados por D, es decir, que D no hubiese jugado dos partidos sino uno, podría afirmarse que: A. D, sólo hubiera podido jugar contra B. B. A tendría más goles a favor. C. B tendría que haber empatado sus tres partidos y por lo tanto la tabla inicial tendría más de un error. D. D tendría que haber ganado el partido. 15. Si se maneja la puntuación de la manera siguiente: C 1 punto para el equipo ganador C 0 puntos para el equipo perdedor y C 0 puntos para el equipo en caso de empate Y se conservan todos los datos de la tabla Inicial ¿por qué no se puede completar totalmente la tabla? A. porque B tendría que haber ganado los tres partidos y por lo tanto A tendría más de tres goles en contra. B. porque C al tener dos goles en contra y dos a favor no podría tener un punto pues necesariamente habría empatado. C. porque B no tendría goles en contra D. porque el total de goles a favor no sería Igual al total de goles en contra. 16. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 5 preguntas que se presentan a continuación:

Tabla 1. Nacimientos en la primera semana

DIA

A. A jugó un único partido, en el cual obtuvo 2 puntos

Algunos estudiantes de una universidad recogieron Información acerca del número de hombres y mujeres que nacieron en un hospital durante 2 semanas. La información la registraron en las siguientes tablas:

Tabla 2. Nacimientos en la segunda semana

DIA

HOMBRES

MUJERES

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Según los datos recogidos por los estudiantes durante las 2 semanas en el hospital ¿es posible afirmar que la probabilidad de que nazca un varón en cualquier día de la semana es de 1/2? A. Sí, porque el porcentaje de nacimientos de hombres y mujeres en las dos semanas es del 50%. B. No, porque el número de nacimientos de hombres en la primera semana fue distinto al número de nacimientos en la segunda semana. C. Sí, porque al mirar el número de nacimientos al finalizar las dos semanas la cantidad de hombres nacidos es igual a la cantidad de mujeres. D. No, porque los datos registrados en la tabla no permiten establecer el porcentaje entre el nacimiento de hombres y de mujeres durante las dos semanas. 17. Respecto a los datos que se presentan en las tablas, ¿cuáles diagramas representan el porcentaje de hombres y mujeres nacidos en la primera y segunda semana en el hospital?

Repaso de M a t e m á t i c a s Primera Semana

Segunda Semana

Vj7

• Mujeres • Hombres

Primera Semana

Segunda Semana

• Mujeres •• Hombres

Pr¡mera

A. la probabilidad de que nazca una mujer en viernes, sábado o domingo es Igual.

Segunda

Semana

B. la probabilidad de que nazca un hombre en sábado es un tercio.

100 %_|

100 %_

u—1-

L-1

Primera Semana 100% 1001

= s

Segunda Semana

• Mujeres • Hombres

18. Con los datos que registraron los estudiantes desean hacer una comparación entre la cantidad de hombres nacidos durante las 2 semanas. ¿Cuál de las siguientes giáficas representa mejor esta comparación?

Hombres Primera semana

Hombres Segunda semana

• Lunes • Martes • Miércoles HH Jueves C U Viernes C U Sábado H Domingo

Primera semana

Hombres

C. con total certeza los nacimientos de hombres en jueves excedeián en 1 a los de mujeres. D. aproximadamente por cada 5 hombres que nazcan en lunes, nacerán 2 mujeres. 20. Partiendo de los datos presentados en las tablas es falso afirmar que: A. en la primera semana hubo más nacimientos que en la segunda semana. B. el nacimiento de hombres en la primera semana fue menor que el nacimiento de mujeres. C. el número de nacimientos de mujeres fue menor que el nacimiento de hombres durante las dos semanas. D. el número de nacimientos de mujeres fue mayor en la segunda semana que en la primera semana. 21. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 preguntas que se presentan a continuación: La tabla siguiente muestra el comportamiento de siete empresas en cuanto a su Capital y su Utilidad durante tres años consecutivos Capital Olímpica Compaq Colseguros (nterbanco Citibank Futuro SAM

Utilidad

1996

1997

1998

1996

1566 -1858 -3200 -13935 483 320 -438

3100 2699 -9191 -4583 120 180 -725

9512 3934 149 -4419 -454 73 -1519

16328 -722 -624 -9202 2899 1231 1134

1997 20744 4191 -6539 792 2070 803 1108

1998 28444 14017 3410 1914 1997 703 737

Valores en millones ($)

Una afirmación acertada que se obtiene a partir de la lectura de la información consignada en la tabla es:

A. se observa que si en el capital hay un crecimiento o una disminución de un año a otro, esto se refleja en la utilidad. B. los valores que se presentan en capital y en utilidad no guardan relación alguna. C. el número de empresas en que el capital crece cada año es igual al de las empresas en que el capital disminuye.

D. —

Primera semana

Segunda semana

19. Al iniciar la tercera semana, el departamento de estadística del hospital hace algunas predicciones, a partir de la información de la tabla, sobre los nacimientos que se pueden presentar en los siguientes días. Una de estas predicciones es que-.

D. en cada una de las empresas la mayor utilidad presentada se obtuvo en el último año considerado. 22. En Compaq se espera que la utilidad en 1999 crezca en la misma forma que lo ha hecho en los años anteriores. Esto significa que: A. la diferencia entre 1999 y 1998 debe ser la mitad de la diferencia entre 1998 y el año anterior como sucede con los datos de la tabla.

Repaso de M a t e m á t i c a s B. el aumento de 1998 a 1999 debe ser el doble del aumento que se vio de 1997 a 1998 como se observa en los años anteriores. C. el valor de la utilidad en 1999 sea una cantidad positiva y mayor a la obtenida en 1998.

x-1

A. 9, porque en la base contiene 5, luego 3 y finalmente 1.

D. la relación entre el aumento de 1998 a 1999 y el aumento B. 4, porque en la base contiene 3, luego 1. de 1997 a 1998 sea de 2 a 1 al igual que la relación que se C. 9, porque en cada vértice hay 1, en cada lado hay 1 y en observa en la tabla. el interior 3. 23. Funcionarios de Olímpica afirman que su empresa fue la que tuvo la mayor recuperación de capital en los años considerados. Según la información de la tabla esto es: A. verdadero, ya que es la única empresa que presenta aumentos año tras año y los valores son positivos. B. verdadero, aunque a futuro tiene el mismo comportamiento,- la diferencia del capital de 1998 y 1996 fue mayor en Olímpica.

De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 preguntas que se presentan a continuación: 26. En una fabrica se realizó un estudio de mercadeo para analizar el precio de venta al público de un producto en función de las unidades que se distribuyen en el comercio, en dos ciudades diferentes. De dicho estudio se concluyó que:

C. falso, ya que Olímpica es la segunda empresa en obtener recuperación, después de Interbanco.

I. el precio del producto en la ciudad 1(C1), en miles de pesos está dado por CKU) = -U/8+5.

D. falso, aunque Interbanco presente capitales negativos, la diferencia entre el último año y el primer año es mayor que en las demás.

II. el precio del producto en la ciudad 2 (C2), en miles de pesos está dado por C2(U) = -U/4+6.

24. De acuerdo con la información siguiente, responda las 2 preguntas que se presentan a continuación:

D. 4, porque en cada vértice hay 1 y en el centro 1.

Las siguientes piezas son utilizadas en la industria de la ornamentación como piezas de seguridad. Se ha colocado x en las dimensiones de cada pieza, ya que pueden variar de acuerdo con las necesidades de los compradores.

U representa las unidades de mil del producto que se encuentra en el comercio en cada ciudad. La empresa distribuye máximo 12000 unidadesy no menos de 1000 unidades en cada ciudad. En el siguiente géfico se ¡lustra las relaciones CKU) y C2(U). Precio del producto (en miles de pesos)

2x-1 Pieza 2

Pieza 3

Para que el fabricante de estas piezas logre construir la pieza 2, debe: A. a una pieza de dimensiones (2x+5)*2x*3x quitarle un pedazo de dimensiones x*x(2x+ 5) B. ensamblar 5 piezas iguales, de dimensiones x*x(2x+5) C. ensamblar tres piezas, dos de dimensiones iguales de 2x*(2x+5) y otra de dimensiones x*x* (2x+5) D. ensamblar tres piezas, dos de éstas iguales cuyas dimensiones corresponden a 2x*xy la otra de 3x*2x(2x+5) 25. SI la pieza 1 fuese hueca y se quisiera colocar piezas en su interior de la forma y dimensiones que se indican en la figura, la máxima cantidad de piezas que debe contener la pieza 1 es:

2 3 4 5 6 7 8 9

1 0 1 1 12

Cantidad del producto distribuido (en unidades mil.) La empresa modificó el precio de su producto en la ciudad 2, así C2 (U) - -U/8+6 mientras que en la ciudad 1 permaneció igual. De acuerdo con lo anterior podemos decir que: A. el precio en las ciudades 1 y 2 nunca podrá ser igual, así se distribuya una cantidad muy grande de productos en estas ciudades. B. el nuevo precio en la ciudad 2 siempre es mayor que el anterior precio y también mayor que en la ciudad 1. C. el nuevo precio en la ciudad 2 es igual a la ciudad 1 cuando se distribuyen 5500 unidades del producto.

Repaso de M a t e m á t i c a s D. el precio en la ciudad 1 aumenta con el cambio en la relación C2(U) 27. Si la fabrica distribuye a las ciudades una cantidad de productos superior a 9000 unidades,- los precios en las ciudades nunca seián iguales, porque: A. para que haya una cantidad de productos distribuidos cuyo precio sea igual en ambas ciudades, la relación C2(U) debería ser igual a alguna con a C2(U) = - U/a+6 con (4.5, 6] B. la relación expresada por CKU) siempre es mayor que C2(U) cuando se distribuye una cantidad de productos superior a 9000 unidades. C. para que haya una cantidad de productos distribuidos, cuyo precio sea igual en ambas ciudades, la relación CKU), debeiá ser igual a C1 --U/a+5con 6<=a<7.2. D. la relación expresada por C2 (U) siempre es mayor que C1 (U) cuando se disminuye una cantidad de productos menor a 8000 unidades. 28. Teniendo en cuenta el comportamiento de las relaciones en las ciudades C, y C2, es correcto afirmar que: A. cuando la fabrica distribuye a las dos ciudades 8000 unidades del producto, los precios en estas ciudades son iguales. B. si se distribuye menos de 8000 unidades en cada ciudad, el precio del producto en C2 siempre sera menor en comparación con la otra ciudad. C. cualquiera que sean las unidades distribuidas en cada ciudad el precio del producto en C1, siempre sera menor en comparación con la otra ciudad. D. cuando la fabrica distribuye más de 8000 unidades en cada ciudad, el precio del producto en C2 siempre sera menor en comparación con la otra ciudad. 29. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 preguntas que se presentan a continuación: Se construyó un cubo formado por cubitos, cada uno de ellos con aristas de longitud una unidad, como se presenta en el dibujo.

Cubito lateral

Cubito - de esquina Cubito interior

/ 1 Unidad

Al quitar el cubito que aparece sombreado en el dibujo, el volumen de la figura obtenida disminuye una unidad de volumen, pero su superficie total no cambia. ¿Cómo obtener una figura cuyo volumen sea dos unidades menos que el del cubo, pero con la misma superficie total de éste? A. quitando un cubito interior y uno lateral que esté junto a él.

B. quitando 2 cubitos de la esquina. C. quitando un cubito de la esquina y uno lateral que esté junto a él. D. quitando 2 cubitos laterales. 30. Para fijar el cubo construido se coloca una cinta por todos sus bordes. La longitud de la cinta para lograr este fin debe ser: A. 12 unidades que corresponden al número de aristas del cubo. B. el producto entre 12 unidades y el número de cubitos que conforman el cubo. C. 36 unidades, que corresponden a la longitud de las aristas del cubo. D. las unidades de cinta con las cuales se cubren los bordes de 3 cubitos. 31. Al quitar los 6 cubitos interiores del cubo, ¿qué cambios se presentan en la figura obtenida en comparación al cubo inicial? A. la superficie y el volumen se mantienen iguales. B. la superficie aumenta en 24 unidades cuadradas y el volumen disminuye. C. el volumen disminuye en 6 unidades cúbicas y la superficie aumenta. D. el volumen y la superficie disminuyen. 32. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 2 preguntas que se presentan a continuación: Para tomar la decisión de construir una plaza de mercado en el barrio Los Rosales, la Junta de Acción Comunal desea contar con el apoyo de la mayoría de las familias que allí viven. Para determinar qué quiere la mayoría, realizaron un sondeo en el que preguntaron: "¿Cree usted que sería de beneficio para el sector la construcción de una plaza de mercado?". Los resultados se muestran en la siguiente tabla: RESPUESTA

NO. DE FAMILIAS

225

150

Está inseguro

No respondió

300

La Junta de Acción Comunal se inclinó por NO construir una plaza de mercado, debido a que los resultados del sondeo muestran que: A. el 70% de familias encuestadas no respondió afirmativamente B. la mitad de familias encuestadas estuvieron inseguras o no respondieron la encuesta. C. el número de familias que respondieron "sí", supera a quienes respondieron negativamente en un 50%.

Repaso de M a t e m á t i c a s D. el número de familias que respondieron "no" es el doble de las que están inseguras.

B. la suma de dos números consecutivos de la secuencia es siempre un múltiplo de 4.

33. Un gráfico que se podría presentar a los habitantes del barrio, sobre los resultados del sondeo, es:

C. 4n dividido por 4 nos da como residuo 0, luego 3 elevado a 4n terminara igual que 3 a la potencia 0.

D. 3 elevado a la potencia 4 es 81.

V///////X

36. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 2 preguntas que se presentan a continuación:

V///////Á

No E.l

N.R

V////////A —I 75

150

N.R

225 300

N° de familias

Y////////A H

h-»-

150 225 300

N° de familias

La empresa. Estadísticas de Colombia, realiza una encuesta a 100 hombres y 100 mujeres de Bogolá. A la primera pregunta responden afirmativamente el 40% de las mujeres y el 60% de los hombres. A este grupo se le hace una segunda pregunta a la cual responden afirmativamente el 90% de las mujeres y el 40% de los hombres. Con la información suministrada por la empresa Estadística de Colombia, ¿cómo se presentarían los datos gratamente? A.

Hombres

100

Si 60 Si 24

40 Si

s -g & E aj

o yi x a

100

No No

Mujeres

No 4

Ü2. 1p

Preguntas

34. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 2 preguntas que se presentan a continuación:

D. Mujeres

Observe el resultado de calcular potencias (entero positivo) de tres sucesivamente: 30 =1; 31 -3; 32 =9; 33 =27; 34 -81; 35 =243; 36 =729; 37 =2187; Como puede ver, la cifra de las unidades en cada una de las potencias de tres se repite cíclicamente como lo muestra la siguiente secuencia 1,3, 9, 7,1,3, 9, 7,1,... Una forma de saber en qué número termina 321 sería: A. conociendo en qué número termina 320 se logra identificar en la secuencia el número que sigue. B. hallar el residuo de 21 dividiendo entre 4 e identificar la cifra de las unidades en el resultado de elevar 3 a dicho residuo. C. identificar la cifra de las unidades en cualquier potencia de tres, que sea factor de 21. D. efectuando los productos que permiten aplicar el concepto de potencia. 35. Si 3 es elevado a una potencia múltiplo de 4, se encontrara que siempre termina en 1, esto puede ser explicado, porque: A. en la secuencia que establece las cifras de las unidades, el número 1 aparece cada cuatro posiciones.

Preguntas

•

37. A las personas que respondieron afirmativamente la primera y segunda pregunta se les hace una tercera a pregunta. Esta pregunta solo la respondió el 40% de estas personas. ¿Existe la posibilidad que entre ese 40% no se encuentre ninguna mujer? A. Si, porque el 40% de los hombres que respondieron la tercera pregunta, es una parte del 60% que respondió afirmativamente la primera pregunta B. No, porque el 40% del 90% de las mujeres que respondieron la primera pregunta es igual al 40% que respondió la tercera pregunta. C. Si, porque un 40% de los hombres respondió la segunda pregunta, por lo tanto puede ser el mismo que respondió la tercera pregunta. D. No, porque en una gran mayoría (90%) las mujeres respondieron afirmativamente a la segunda pregunta. 38. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 2 preguntas que se presentan a continuación:

Repaso de M a t e m á t i c a s Un club deportivo realizó una encuesta a 150 personas de una comunidad acerca de los deportes que les gusta practicar. A continuación se muestran los resultados.

9.9

- 30 personas practican solamente fútbol.

3.3

-10 personas practican solamente natación. - 25 personas practican solamente baloncesto.

De las personas encuestadas, las que practican al menos fútbol, baloncesto o natación han sido invitadas a entrenamientos. SI estos se realizan simultáneamente formando grupos de igual número de personas, con el mayor número de integrantes posible. En un día de entrenamiento no sería posible que A. 6 grupos estén practicando fútbol. B. 9 grupos estén practicando natación. C. 10 grupos estén practicando fútbol. D. 15 grupos estén practicando natación. 39. De la Información obtenida en la encuesta se deduce que por cada A. 2 personas que practican natación hay 5 que practican baloncesto. B. 3 personas que practican fútbol hay 1 que practica natación. C. 4 personas que practican algún deporte hay 1 que no practica ninguno. D. 5 personas que practican baloncesto hay 6 que practican fútbol. 40. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 preguntas que se presentan a continuación: En el siguiente texto, se proporciona Información sobre una Investigación llevada a cabo, entorno a adicciones: "... en una muestra de 120 Indigentes de corta edad [...] se constató que únicamente en el mes anterior a la consulta, 86% de los muchachos habían consumido tabaco, 51 % alcohol, 44% marihuana, 11% cocaína y 56% Inhalantes. Además 26 de ellos afirmaron haber ingerido drogas farmacéuticas". Profundizando en el estudio, se encontró que la cuarta parte de los jóvenes que consumieron cocaína, eran menores de 10 años mientras que la cuarta parte de los jóvenes que consumieron alcohol eran mayores de 10 años. Estos resultados pueden presentarse al público mediante el giáflco

Srd 204—I

fio Mayores de

ura

10 años

Menores de 10 años

Cocaina Q

Alcohol

LO 0 C3

9,9

•5,9

o CO 40

^30 O) ?20 ra

lio

9,9

3,3 1

15,3 i

Menores de 10 años

Mayores de 10 años

EDAD

Mayores de 10 años

EDAD •

a 50 ra

19,9

3.3

EDAD

- 20 personas practican fútbol y baloncesto pero no natación.

- 30 personas practican deportes distintos al fútbol, la natación y el baloncesto.

10 años

-10 personas practican fútbol y natación pero no baloncesto.

-10 personas practican baloncesto y natación pero no fútbol.

3.3

Menores de

-15 personas practican fútbol, baloncesto y natación.

^ 50 45,9 ra oO 40 C Q. 30

9,9

q3 £ "O nj c

9,9

3,3 j¡g¡T Menores de 10 años

3,3 —

Mayores de 10 años

EDAD

41. Tomando como fuente el texto presentado, un periodista ha preparado un artículo en el que afirma que el 30% de los muchachos consumió, un mes antes a la consulta, drogas farmacéuticas. Antes de ser publicado el artículo, se le sugiere que cambie esta afirmación, porque A. no fue la tercera parte de la muestra, la que consumió drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta B. estaría incluyendo a 10 personas que no consumieron drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta C. estaría incluyendo a 6 personas que no consumieron drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta D. no fueron 30 personas las que consumieron drogas farmacéuticas un mes antes a la consulta. 42. Un antropólogo, que adelantó una Investigación sobre el mismo tema, lee el texto y toma algunos apuntes útiles para su estudio,- sin darse cuenta, hace una Interpretación errada del texto, esta es: A. más del 30% de los jóvenes examinados había consumido tabaco y alcohol, un mes antes a la consulta B. un mes antes a la consulta, los 120 jóvenes habían consumido inhalantes o marihuana C. un mes antes a la consulta, el 7% de los jóvenes consumió inhalantes y alcohol D. el consumo de cocaína, un mes antes a la consulta, fue menor al de otras sustancias, incluso al de drogas farmacéuticas. 43. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 preguntas que se presentan a continuación:

Repaso de M a t e m á t i c a s En Colombia de cada 100 personas:

45. Bogotá, la ciudad con mayores reservas de sangre, es un ejemplo de déficit de sangre: el índice de donación está en 22 donantes por cada 1000 habitantes, cuando el indicador debería estar en 40 donantes por cada 1000 habitantes. Este déficit no se presentaría si por lo menos.

91 tienen RH positivo 9 tienen RH negativo 61 son del grupo O

A. 1 de los donantes fuera receptor universal

29 son del grupo A 8 son del grupo B

B. 11 de los donantes por cada 1000 habitantes fuera del grupo A

2 son del grupo AB

C. el 61 % de los donantes fuera del grupo O

Las personas de tipo O + (grupo O, RH positivo) son donantes universales, las de tipo AB + son receptores universales. Información obtenida de El Tiempo

D. el 1,8% de los no donantes, deciden donar y son aceptados como donantes

Salud. Colombia tiene déficit de reservas Carlos Sandoval Y. Dic 8 - 2002 Ante una urgencia, un hospital requiere 10 donantes tipo O + y llegan 50 personas a ofrecer sangre. Teniendo en cuenta las estadísticas, esto puede tranquilizar temporalmente la situación pues A. la probabilidad de rechazo de los ofrecimientos es del B. la probabilidad de rechazo de los ofrecimientos corresponde a 20 personas C. de los posibles 30 donantes, es poco probable que se retracte el 70% D. de los posibles 30 donantes, es poco probable que se retracte el 33% 44. Según el Instituto Nacional de Salud (INS), las reservas de sangre en el país son críticas con relación a las necesidades de abastecimiento. El INS implementaiá el Programa Nacional de Promoción de Donación Voluntaria de Sangre, con el objetivo de lograr que el nivel de donaciones y reservas, particularmente de sangre RH negativo, sea alto y constante. Así, convoca a un concurso de carteles que busca crear conciencia sobre la necesidad de donar sangre. Los carteles deben mostrar la distribución de los grupos sanguíneos en la población colombiana. El diseño del cartel ganador debería contener un gráfico como A . ¿A qué grupo perteneces?

,•, 9

RH + RHC . ¿ Q u é tipo d e sangre tienes?

EAB-

5.49

•i > , U , • i A

l&Éri W

i menor a la

B. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 60 % C. obtener pintura verde con una tonalidad 10% menor a la inicial D. disminuir la tonalidad de la pintura verde en un 50 % 47. En la fábrica de pinturas, es necesario contar con un gráfico que ayude a ubicarrapidamentela tonalidad de lOcm3 de pintura de color, dependiendo de la cantidad de pintura blanca con que se mezcle. Un gráfico errado para este fin sería B.

Tonalidad por cada 5cm3 de pintura blanca mezclada

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100

70 n

D . ? C u á n t a s personas te pueden donar sangre?

AB- 0,18

•

A. obtener pintura verde con una tonalidad inicial

A 29%

, ,, ^ B r

Ä f e ä f t . [£AB.

En los frascos de pintura de cierta márca, se especifica que para disminuir la tonalidad de la pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color

¿Eres RH-?

AB 2 %

B- 0,72

46. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 preguntas que se presentan a continuación:

...

Tonalidad por cada 20cm3 de pintura blanca mezclada

2 1009b3 90%-

S 80%-

JS 70%-

£ 60%-

5 49

RH h

Cantidad de pintura blanca mezclada en cm3

? <4 P¡ n7? mu i Li i • i A-

AB-

-o 50%•g 40%1 30%g 20%-

10%0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100

Cantidad de pintura blanca mezclada en cm3

Repaso de M a t e m á t i c a s 48. Un artista ha tomado cierta cantidad de pintura verde y por equivocación la ha mezclado con pintura blanca, que equivale en cantidad a la tercera parte de la inicial. Ante la equivocación, el artista decide agregar la misma cantidad de pintura verde inicial para recobrar la tonalidad. El resultado que el artista obtiene luego de las mezclas indicadas no es el que él espera, porque

50. La persona encargada de recortar los moldes, debe cumplir con un pedido de dos moldes tipo I y tres tipo II, pero al no saber cuál de las dos láminas disponibles debe escoger, pide la opinión del ingeniero a quien le presentó las dos láminas: Lámina 1

Lámina 2

5 v

A. para recobrar la tonalidad debió agregar tanta pintura verde, como la que agregó por equivocación B. la tonalidad de la pintura disminuyó aproximadamente en 1,66% C. para recobrar la tonalidad debió agregar, en pintura verde, cinco veces la cantidad de pintura que agregó por equivocación D. la tonalidad de la pintura disminuyó aproximadamente en 3,33 % 49. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 4 preguntas que se presentana continuación: Para la señalización de las diferentes vías de transporte, se re corta de láminas de aluminio de variados tamaños y formas, dos tipos de moldes, con las siguientes características Molde tipo I

Molde tipo II

u*: 2X

Una respuesta acertada por parte del ingeniero es A. dado que el área total de los moldes del pedido es menor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles, puede escoger cualquiera de las dos B. aunque las dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 1 pues, por su forma, se desperdiciaría menos material C. aunque las dos láminas tienen la misma área, es más apropiada la 2 pues, es posible superponer todos los moldes del pedido sobre ella D. el área de los moldes del pedido es menor al área de cualquiera de las dos láminas disponibles, sin embargo tendría que usar las dos para cumplir con el pedido

X es una medida en centímetros Con el fin de disminuir la accidentalidad en cierto tramo de carretera, se estudian dos propuestas para hacer más visibles las señales

51. La persona encargada del archivo clasifica las facturas para pintura de los moldes tipo i y tipo II, atendiendo a que los moldes tipo II, llevan sus 2/3 partes en amarillo y el resto en negro. De acuerdo con esto, de las siguientes facturas, la que debe archivar en las correspondientes a moldes tipo II es: A.

1- colocar una banda fluorescente alrededor de cada molde 2- pintar cada molde con pintura fluorescente Dado que las dos propuestas son Igualmente beneficiosas para el fin propuesto, se debe tomar la decisión más económica posible, sabiendo que cada centímetro de material usado en la propuesta 1 tiene el mismo costo que cada centímetro cuadrado de molde pintado, la decisión que debe tomarse es

Color

Cantidad

Negro Amarillo

Color

Cantidad

m 5000 c3

Negro

m 5000 c3

m 10000 c3

Amarillo

m 15000 c3

D. Color

Cantidad

Color

Cantidad

Negro

m 5000 c3

Negro

m 5000 c3

Amarillo

m 17000 c3

Amarillo

m 2500 c3

A. escoger la propuesta 1 si x < 4 cm„ la propuesta 2 si x > 4 52. Por disposiciones generales, debe pintarse un molde cm. y cualquiera de las dos si x = 4 cm. tipo I de tal forma que la mitad de él sea en color blanco. Para construir un diseño ajustado a lo pedido, puede B. escoger la propuesta 1 si x > 4 cm., en cualquier otro caso recurrirse a: resulta más beneficiosa la propuesta 2 A. indicar, dentro del molde, una circunferencia de radio X/4 C. escoger la propuesta 1 si x > 4 cm., la propuesta 2 si x < y pintar su interior de blanco 4cm. y cualquiera de las dos si x = 4 cm. B. trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus extremos D. escoger la propuesta 1 si x < 4 cm., en cualquier otro caso formando un cuadrilátero. El interior del cuadrilátero seá resulta más beneficiosa la propuesta 2 la región en blanco

Repaso de M a t e m á t i c a s C. trazar dos pares de diámetros perpendiculares y unir sus extremos formando un octógono. El Interior del octágono sera la región en blanco D. indicar, dentro del molde una circunferencia de diámetro igual a la distancia entre los puntos sobre la circunferencia del modelo, determinados por dos radios perpendiculares. 53. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 3 preguntas a continuación: Las siguientes gáficas ¡lustran dos promociones que ofrece un almacén, dependiendo de la forma de pago por compra de sus artículos Promoción por pago con tarjeta platino

32000 30000-

•

Promoción por pago con tarjeta platino • Promoción por pago con tarjeta platino Promoción por pago e n efectivo == Promoción por pago e n efectivo

rC. 15.000 S 10.000 § 5.000

D ' 15.000

10.000 5.000 0 0 O O O O O O 0 00 0 0 O0O0O2O2o2o

LJ normal ^ s £ § • Promoción por pago con tarjeta platino = Promoción por pago e n efectivo

j COStO

O O OOOO o o 00 o o o o o p

1 normal ""> 2 i d g s S £ ° • Promoción por pago con tarjeta platino •

Promoción por pago e n efectivo

55. Según la giáfica que representa la promoción por pago con tarjeta platino, se deduce que la oferta consiste en: A. descontar $ 6.000 al doble del valor de la compra

Costo Normal vs Costo con descuento 12000

B. hacer un descuento del 20% al monto total de la compra C. pagar $ 1 000 menos por cada $ 5.000 en compras

10000'

D. efectuar el pago de las 4/5 partes, por cada $ 5.000 del total de la compra Costo normal Promoción por pago en efectivo Costo Normal vs Costo con descuento

56. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 4 preguntas a continuación: En una fábrica de jabones en barra, miden la calidad de sus productos atendiendo a la cantidad promedio de jabón que se disuelve en una hora (1 h). Se considera de mayor calidad el jabón que muestre más resistencia al agua. La fábrica ofrece tres calidades, que se distinguen por los colores: blanco, rosado y verde. La Información correspondiente a cada uno se muestra en el cuadro:

Costo normal

Uno de los dueños del almacén afirma que pagar con tarjeta platino o con efectivo beneficia de igual manera a los clientes. Esta afirmación es A. verdadera, porque en ambos casos si el costo total de la compra es $25.000, el cliente pagaría $20.000. B. falsa, porque conviene más pagar en efectivo, ya que el cliente al hacer compras por $ 20.000, pagaría sólo $ 15.000, mientras que con la tarjeta desembolsaría $ 16.000 C. verdadera, porque cualquiera sea el monto de la compra, puede escoger pagar en efectivo o con tarjeta platino D. falsa, porque si la compra es menor de $25.000 ahorraría más si paga en efectivo, de lo contrario es mejor utilizar la tarjeta para que el descuento sea mayor. 54. Los dueños del almacén desean tener una gráfica que relacione acertadamente costo normal vs descuento, al recibir pagos con tarjeta platino y en efectivo. De esta manera la giáfica que deben obtener es

Color

Cantidad de Jabón que en agua se disuelve en 1 h

Blanco (b) Rosado (r) Verde (V)

1/2 cm3 3/4 cm3 2/3 cm3

Un cliente se acerca a un supermercado encontrando las siguientes promociones al mismo precio Promoción

Contiene

1 jabón blanco y dos jabones verdes 2 jabones verdes y 1 jabón rosado

1 jabón blanco, 1 jabón rosado y 1 jabón verde

Luego de mirarlas, el cliente decide comprar la promoción 3. Esta elección A. no fue la más favorable, ya que a pesar de que los jabones contenidos en esta promoción muestran mayor resistencia al agua que los contenidos en la promoción 1, la 2 sería mejor

Repaso de M a t e m á t i c a s

•i

B. fue la mejor ya que la cantidad de jabón que se disuelve en agua en una hora, es menor respecto a los jabones contenidos en las otras dos promociones

.ra ^ tg D. S

C. fue la mejor ya que es la única que contiene las tres calidades y esto representa mayor resistencia al agua D. no fue la más favorable ya que a pesar de que los jabones contenidos en esta promoción muestran mayor resistencia al agua que los contenidos en la promoción 2, la 1 sería mejor. 57. El jefe de producción ha informado a los empleados que a partir de ahora se fabricaran jabones con capacidad de resistir el mismo tiempo sumergidos en agua, no importando el color. A raíz de esto los trabajadores encargados de la elaboración de los empaques, están buscando una forma de determinar el volumen (V) de cada jabón dependiendo del tiempo (t) que requiere el jabón (b) para diluirse. Para facilitar esta labor, es conveniente usar las expresiones Vv= — A.

t 12

Vv= C.

Vr= 4 - - t

Vv=

Vb 6

Vr=

2(Vb)

Vr=

1 t 2 6 1 t ~ - -V 2 4

Vr=

Vb +

Vv=

Vb +

3/5

¡5

B. £ 2 I = QJ

1/2

Blanco

S S SÍ-2 ra d o ra "S ®

9/10 3/5

1/2

2/3

27/40

Verde

Nuevo

2/3

27/40

3/4

Verde

Nuevo

Rosado

4Blanco

9/10 2/3

3/10

M Blanco

Verde

Nuevo

Rosado

Jabón

59. Se ha elaborado un jabón blanco que tarda 18 horas en diluirse en agua. El diseñador de empaques ha presentado los siguientes modelos como propuesta. r- 2 cm

h- 2 cm

2 cm TÍ' •

Modelo l

5 cm

¡^8

c m

Modelo II

Respecto a estos modelos es válido hacer la observación A. el modelo I se ajusta a los requerimientos de volumen del jabón elaborado mientras que el modelo li es muy pequeño

1 2

ajusta a los requerimientos de volumen del jabón elaborado mente a los requerimientos de volumen del jabón elaborado

60. De acuerdo con el texto siguiente, responda las 2 preguntas a continuación: El siguiente plano representa la avenida central y sus dos zonas verdes, las cuales ocupan igual área, además muestra el trafico a cierta hora del día.

Jabón

i/4

3/40 n Blanco

Verde

Nuevo

Se tienen 450 metros de malla para encerrar las dos zonas verdes y evitar que las motos dañen los jardines. El ingeniero encargado afirma de la cantidad de malla disponible, que A. no se puede calcular cuanta malla se necesita para las dos zonas

3/5

£ vi ra 3/10 ra S

i/4

2/3

3/10 S E » « era É^ cr = ra §

C. Ji O 2

3/5

3/10

« 3 5 <s) Cíl Ä S u

"" O g

» 3 5 w OCO 2 ra "

9/10

3/4

9/10

B. los modelos I y II son muy grandes para el volumen del jabón elaborado

58. Una de las directivas de la fábrica, encontró la posibilidad de agregar una nueva calidad para producir nuevos jabones en la fabrica. La nueva calidad, respecto a las ya trabajadas, es 10% mayor que el jabón de menor calidad. Para que su idea sea aprobada debe exponerla ante la junta directiva, para lo cual ha decidido emplear una gráfica. La más apropiada es

Rosado

Jabón

B. sobran más de 40 metros de malla para encerrar los dos parques

Repaso de M a t e m á t i c a s C. dado que el área de las dos zonas es el doble de su perímetro, la cantidad de malla no es suficiente D. sólo alcanza para la zona más grande y la mitad de la otra 61. La alcaldía decide tomar una parte de la zona L para hacer un parqueadero sin que se altere la forma triangular inicial, éste quedara ubicado en la esquina de intersección de la avenida L y la avenida M y el lado que da a la zona verde debe medir 10 metros. De la zona, el ingeniero afirma que A. la nueva zona tiene que tener medidas iguales para conservar la forma triangular B. las medidas de la zona de parqueo no se pueden saber, pues los datos suministrados en el plano no son suficientes C. la zona de parqueo ocupará la cuarta parte de la zona verde L D. el costado de la zona de parqueo que da a la avenida L debe medir 30 metros. 62. Responda las siguientes 5 preguntas de acuerdo con esta información: En una empresa de ebanistería se construyó una repisa en madera como muestra la figura -Largo 40 cm-

63. Cada una de las tablas de la repisa tiene pegada por su borde una clntilla dorada para su decoración. Un empleado de la empresa encargado de pegar la clntilla asegura que un rollo de 100 m alcanza para decorar 10 repisas como la Inicial. Podemos asegurar que el empleado tiene razón porque A. en cada una de las 5 tablas se utiliza 1,4 m de clntilla B. el rollo alcanza para decorar más de 20 repisas como la Inicial C. en cada repisa se utiliza 1,4 m de clntilla D. en las tablas el largo mide más que el ancho 64. Un empresario compró 30 repisas, pero aunque las repisas son desarmables pidió que se le entregasen armadas, por lo cual los empleados de la ebanistería le recomendaron transportarlas de pie. El furgón que contrataron para el transporte tiene un contenedor con capacidad de 2 m de largo, 1.5 m de ancho y 2 m de alto. ¿Este furgón le sirve para llevar todas las repisas en un solo viaje? A. no, porque solamente se pueden llevar en este furgón 25 repisas B. no, porque necesitan como mínimo hacer 3 viajes del furgón C. si, porque las repisas ocupan menos de 6 m3 D. si, porque en este furgón caben 41 repisas 65. La empresa piensa sacar una nueva repisa cuyas tablas tengan el doble del área de las tablas de la repisa inicial. Para ello el diseñador de la empresa propone posibles cambios a realizar en las dimensiones de las tablas de la repisa inicial. ¿Cuál de los siguientes cambios pudo sugerir el diseñador?

A. triplicar el largo de las tablas B. cuadruplicar el largo y dejar el ancho de las tablas C. cuadruplicar el ancho y dejar la mitad del largo de las tablas Las 5 tablas que tiene la repisa son rectángulos completos en madera. Un solo empleado de la mlcroempresa es el encargado de cortar estas tablas, pero lo debe hacer de una misma lámina para cada repisa. De las siguientes tablas cuál considera que el empleado debe elegir para cortar las tablas para una repisa

D. duplicar el largo de las tablas y dejar la mitad del ancho de las tablas 66. Un decorador ha visto la repisa y le gustó, pero considera que es muy grande para sus intereses; por tanto, encarga la fabricación de una nueva repisa más pequeña, con la condición de que guarde las mismas proporciones en sus medidas que la original. Usted considera que esta nueva repisa debe cumplir con A. que la altura disminuya, y sea 4 veces más grande que el ancho y 3 veces más grande que el largo B. altura de 60 cm, largo 30 cm y ancho 15 cm C. altura de 1 m, largo 20 cm y ancho 10 cm

-lOOcm-

105cm-

D. que el alto de la repisa sea siempre mayor al ancho y al largo

Repaso de M a t e m á t i c a s 67. Responda las siguientes 3 preguntas de acuerdo con esta información:

D. no es equitativo, porque la probabilidad de que Valentina gane un punto es mayor que la de Diego

Valentina y Diego han inventado un juego dé dados que consiste en lanzar 2 dados sucesivamente y calcular la suma de puntos correspondiente a la cara que queda en la base. Los dados tienen 4 caras en forma de triángulos equiláteros, como se muestra a continuación.

69. Diego, antes de comenzar el lanzamiento de los dados, hace una serie de afirmaciones sobre las probabilidades que presentan algunos números cuando se lanzan los dos dados. Valentina al analizar las afirmaciones, considera que la correcta es

Las siguientes son las reglas para jugar:

A. la probabilidad de obtener un 2 en la suma es mayor que la de obtener un 6 en la suma

Dado desdoblado

Dado

B. la probabilidad de obtener un 7 en la suma es igual a 1/7 C. la probabilidad de obtener un 6 en la suma es igual a la probabilidad de obtener un 4 en la suma D. la probabilidad de obtener un 8 en la suma es igual a 1/10

• Si resulta una suma de 4,5 y 6, entonces gana Valentina un punto. • Si la suma es distinta de esos números y distinta de 3, gana Diego un punto.

70. Felipe desea entrar al juego y se necesita hacer una nueva asignación de sumas, manteniendo las demás reglas, sólo que la cantidad de puntos para ganar ya no seiá de 3 sino de 2 y además el juego lo inicia cualquiera de ellos. ¿Cuál de las siguientes asignaciones permite que el juego sea equitativo para los 3 jugadores?

• Al final se deben conseguir 3 puntos.

A. Diego: 2, 4; Valentina: 5 y Felipe: 7, 8

• Se repetiiá el lanzamiento si la suma de los dados es 3.

B. Diego: 5, 6; Valentina: 2, 8 y Felipe: 7, 4 ó Diego: 2, 6; Valentina: 4, 8 y Felipe: 5, 7

• Diego será quien empiece a hacer los lanzamientos. De acuerdo con las reglas de juego, ¿cuál de los jugadores considera que tiene mayor posibilidad de ganar? A. Valentina, porque las sumas que necesita para ganar un punto tiene más formas distintas de obtenerse que las demás sumas

C. Felipe: 7, 4; Diego: 5, 8 y Valentina: 2, 6, 8 ó Felipe: 8, 4, 2; Diego: 6, 7 y Valentina: 2,5 D. Valentina: 3, 7; Felipe: 5 , 8 y Diego: 2, 8 71. Responda las siguientes 4 preguntas de acuerdo con esta información:

C. Valentina, porque cada una de las sumas que le corresponden tiene "mayor posibilidad de obtenerse que las demás

Una empresa dedicada a la renta de vehículos, tiene dos planes paras sus clientes. El plan A, tiene una tarifa única de $150.000 a la semana, sin límite de kilometraje. El plan B tiene una tarifa básica de $20.000 más $200 por cada kilómetro recorrido. La empresa cuenta con 100 vehículos para prestar el servicio.

D. Diego, porque las sumas que lo favorecen para ganar un punto se obtienen con los números grandes

Rafael decide rentar un vehículo en el plan A, para recorrer 800 km. Usted considera que Rafael tomó esta decisión porque

68. Después de haber planteado las reglas de juego, Diego y Valentina discuten acerca de si el juego es o no equitativo para los dos. Sobre esta discusión, usted plantearía que

A. en el plan A ahorra $20.000 con respecto al plan B

B. Diego, porque al lanzar primero los dados le da la oportunidad de empezar ganando la partida

A. si es equitativo, porque los dos tienen la misma probabilidad de ganar, pues cada uno tiene el mismo número de veces para lanzar los dados B. no es equitativo, porque todas las sumas asignadas para Valentina tienen menos cantidad de combinaciones que las sumas asignadas para Diego C. si es equitativo, porque cada número en la cara de un lado tiene la misma posibilidad de ocurrencia, lo que hace que la suma también la tenga

B. a partir de 650 km recorridos el costo es menor en el plan A C. en el plan B el kilómetro recorrido es más económico que en el plan A, para este recorrido D. el kilómetro recorrido vale igual sin importar el kilometraje total 72. Un distribuidor, desea rentar dos vehículos en esta empresa, para cubrir dos rutas, una de 700 km y la otra de 480 km. El cuenta con un presupuesto de $280.000. Con este presupuesto lo más económico sería, rentar un auto en el

Repaso de M a t e m á t i c a s plan A para recorrer los 700 km y rentar un auto en el plan B para recorrer 480 km, porque A. en el plan A, siempre el valor por kilómetro es más barato que en el plan B para recorridos menores a 650 km y en el plan B, el valor por kilómetro es más económico para recorridos mayores a 650 km que en el plan A.

Costos (miles de pesos) A //

150

Plan A

B. en el plan A no hay limite de kilometraje, mientras que en el plan B hay una cuota fija C. en el plan A, por cada 50 km recorridos después de 650 km, se ahorran $10.000 y en el plan B para recorridos menores a 650 km se ahorran $10.000 por cada 50 km D. en promedio el valor por kilómetro es más alto en el plan B, para un recorrido específico 73. Un funcionario de la empresa construyó la siguiente tabla para informar a los usuarios acerca de la decisión que les resulte más económica de acuerdo con el kilometraje a recorrer Kilometraje

20"

1 200

1 4400 600

1 800

»•

Distancia recorrida (Km)

La gáfica que podría representar la diferencia entre los costos del plan A y el plan B en relación con la distancia recorrida, es A.

Diferencia - Costos (miles de pesos)

Decisión más económica

0 - 650 Km

rentar en el plan B

650 Km

rentar en el plan B

650 Km o más

rentar en el plan A

Distancia recorrida (Km) B.

Diferencia - Costos (miles de pesos)

Al presentarla al gerente, éste le dice que la tabla es A. correcta, pues para recorrer menos de 650 km, lo más económico es rentar en el plan A B. correcta, pues para recorrer 650 km o más, rentar en unos casos el plan A es el más económico C. incorrecta, pues para recorrer 650 km, se debe rentar en unos casos el plan A y en otros el plan B D. incorrecta, pues lleva al usuario a pensar que sólo resulta más económico utilizar el plan B para 650 km, sin que ella corresponda a los planes que ofrece la empresa

200 400 600

C. Diferencia - Costos (miles de pesos)

74. En una semana cualquiera la totalidad de los vehículos estuvieron rentados,- la mitad bajo el plan A y la otra mitad bajo el plan B. Esta información garantiza que A. en promedio cada vehículo bajo el plan B debe recorrer 650 km para que los ingresos sean iguales a los del plan A

Distancia recorrida (Km)

200 400 600 800

>• Distancia recorrida (Km)

D. Diferencia - Costos (miles de pesos)

B. los ingresos por el plan B fueron mayores que por el plan A C. los ingresos por el plan A fueron mayores que por el plan B D. los ingresos recaudados según el plan B fueron de $7'500.000 75. La gráfica representa el comportamiento del costo por alquiler de vehículos en relación con la distancia recorrida, para los planes A y B

200 400 600 800

Distancia recorrida (Km)

76. Responda las siguientes dos preguntas de acuerdo con esta información:

Repaso de M a t e m á t i c a s Un parque de diversión tiene un jardín de la forma como se indica en las figura, de 50 m de largo por 30 m de ancho rodeado por una pasarela en cemento sobre la cual es posible caminar (área sombreada).

••••HMMi

PREGUNTAS TIPO X Opción múltiple con múltiple respuesta Esta prueba está conformada por preguntas planeadas a partir de diferentes situaciones. Estas preguntas constan de: • Una situación, que puede ser una giáfica.una tabla, un texto o una combinación de ellas. • Un problema, que puede estar dado en forma afvirmativa o interrogativa. • Cuatro opciones de respuesta. Recuerde que es posible encontrar dos opciones válidas para solucionar el problema planteado,- usted debe seleccionar entre las opciones dadas, sólo una, la que considere relaciona de manera más estructurada los conceptos matemáticos con las condiciones particulares de la situación problema. De acuerdo con esta información, conteste las dos preguntas siguientes:

En la mitad del jardín se sembraron rosas de colores amarillas, rojas y rosadas, y en la otra mitad se sembraron tulipanes. Si la pasarela se construyera en forma rectangular, la superficie sobre la que se puede caminar aumentaría,- ésta se puede expresar como

12m

A. X[( 100 + 4X) + (60 + 4X)] B. (30 + 2X) (50 + 2X) - 30 x 50 C. (30 + X) x (50 + X) D. 2 [(30 + 2X) * X + 50X] 77. En un cuarto de la mitad del terreno se sembraron rosas rojas, en los 2/8 de la mitad rosadas y en la parte que sobró se sembraron rosas amarillas. El diagrama que representa el porcentaje de terreno que fue asignado para sembrar rosas amarillas es

•XFabio posee un lote y desea construir en él una casa en forma rectangular de 12 metros de largo y x metros de ancho, de tal manera que haya un patio en forma cuadrada (parte sombreada) en la parte posterior de la casa como lo muestra la figura. Fabio desea conocer el ancho del lote para que el área no sombreada sea máxima. Para ello se puede A. buscar algunos valores del ancho y contrastar los valores correspondientes para el área no sombreada

RRSX / Y F R R \/ T | YT /P A Y V I

RR - Rosas rojas; RRs - Rosas rosadas; T = Tulipanes,- RA Rosas amarillas 78.

B. hallar una expresión para el área total y restarle el área que corresponde al patio C. hallar una función que represente el área no sombreada en términos del ancho y analizar el comportamiento D. hallar el promedio entre el área máxima total sin el área del patio y el área mínima total con x = 6 79. La gráfica muestra valores del área de la parte no sombreada (A(x)) en función de valores de x. A partir de los valores de la gráfica se afirma que

Repaso de M a t e m á t i c a s A. al aumentar el valor del ancho, aumenta el área de la región no sombreada B. al aumentar el ancho cambia el valor del área y por tanto cambia el valor del largo C. sólo hay un valor del ancho para el cual la región no sombreada tiene un valor máximo D. al aumentar el área de la región no sombreada aumenta el valor de x

Tabla Respuestas Pregunta

Clave

Repaso de M a t e m รก t i c a s

Pregunta

Clave

Repaso de M a t e m รก t i c a s Pregunta

Clave

Repaso de M a t e m á t i c a s

.•8. PREGUNTAS TIPO ICFES PROFUNDIZACIÓN Preguntas de selección múltiple con única respuesta Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta entre las cuales debe escoger la que considere correcta.

C. el cuerpo redujo el espacio recorrido durante los cuatro segundos respecto a los intervalos anteriores. D. el cuerpo recorrió la misma distancia, pero empleó más tiempo que en los intervalos anteriores.

1. Diego le cuenta a Andrés que ascendió una montaña de 4 km de altura en 2 horas a velocidad constante y la descendió en una hora también a velocidad constante.

3. En el intervalo de 12 a 16 segundos se produjo un movimiento representado por la función f(t) = 3/4t -15. La interpretación de este movimiento realizado por el cuerpo es:

Diego afirma que, para hacer el mismo recorrido en el mismo tiempo, si fuera a la misma velocidad tanto en el ascenso como en el descenso, ésta sería de 3km/h. Esta afirmación es:

A. el cuerpo recorrió tres metros durante los cuatro segundos

A. falsa, puesto que si Diego hiciera el mismo recorrido a esta velocidad, emplearía un tiempo menor B. verdadera, ya que es el promedio de los datos que se obtienen de las velocidades de ascenso y descenso C. verdadera, porque para hallar esta velocidad es suficiente con considerar las velocidades empleadas tanto en el ascenso como en el descenso D. falsa, ya que caminando a esa velocidad Diego sí hubiese podido hacer el mismo recorrido. 2. Contestar las 4 preguntas siguientes de acuerdo con la ilustración: El siguiente gráfico representa la posición respecto al tiempo de un cuerpo durante 12 segundos. El movimiento se realiza en tres intervalos de 4 segundos cada uno.

B. el cuerpo incrementó su velocidad en 5 metros por cada segundo C. el cuerpo retrocedió 15 metros durante el intervalo de tiempo D. el cuerpo disminuyó su velocidad en dos metros durante los cuatro segundos 4. Respecto al movimiento realizado por el cuerpo en el intervalo de 4 a 8 segundos, podemos afirmar que: A. el cuerpo parte de la posición 4 y recorre con velocidad constante 8 metros. B. el cuerpo permanece en reposo, ya que mantiene la misma posición, mientras transcurren los 4 segundos C. el cuerpo cambia la dirección del movimiento y recorre 4 metros más en una superficie plana D. el cuerpo recorre 4 metros con velocidad constante en 8 segundos 5. La función que representa el movimiento del cuerpo durante los 12 segundos puede definirse como: f(t)=

4t, si 0 <t <4 < 0, si 4 <t <8 { 8t -6, si 8 <t <12

f(t)=

í 2t, si 0<t <4 ] 8, si 4 <t <8 [ -3.5t +36, si 8 < t < 12

f(t)=

í 4l, si 0<t<4 < 0, si 4 <t <8 { 8t + 6, si 8 <t<12

f(t)=

í 2t,si 0 <t <4 l 8, si 4 <t <8 I 3.5t + 36, si 8 <t< 12

Según la giáfica, se puede inferir que la velocidad del cuerpo en el transcurso de 8 a 12 segundos fue negativa, lo cual Indica que: A. el cuerpo disminuyó la velocidad que venía manteniendo en el intervalo de 4 a 8 segundos. B. el cuerpo se devolvió seis metros más, desde el punto de partida.

Repaso de M a t e m á t i c a s 6. El siguiente gráfico representa la posición respecto al tiempo de un cuerpo durante 12 segundos. El movimiento se realiza en tres intervalos de 4 segundos cada uno.

d(m)

jer. B. el doble de posibilidad de ser una mujer que un hombre. C. el triple de posibilidad de ser un hombre que una mujer. D. el triple de posibilidad de ser una mujer que un hombre. 8. En 1980, 4.500 millones de habitantes poblaban laTierray se observaba un crecimiento de cerca del 2% anual, encontrándose que la expresión que proporcionaba la información del número de millones de habitantes en la Tierra después de t-años a partir de ese año era: H (t) = 4.500 e0,02t

La gráfica que relaciona la velocidad y el tiempo respecto al movimiento realizado por el cuerpo durante los tres intervalos, es: V(m/sg)

A. la cantidad de tierra cultivable sólo sera suficiente hasta cuanto t tome el valor 1 / 0,02 í (800 / 45)

V(m/sg)

B. al año siguiente de que t satisfaga la ecuación 80 x 109 - (4500 x 106 ) e0,02t la población excedes a 80 x 109 habitantes.

8:1-12 t(seg)

C. a partir del año t, con t igual a 1 / 0,02 tn (80 x 109 / 4500) el número de habitantes de la tierra excederá a 80 x 109

-3.5 v V(m/sg)

12-t(seg)

V(m/sg) *

-6

- r

Ë 4

t(seg)

D. la cantidad de tierra cultivable sólo seiá suficiente hasta cuando t satisfaga la ecuación 2 (40 x 107 ) = 45 e0,02t 9. En una institución escolar, de un grupo de 10 estudiantes conformado por 6 hombres y 4 mujeres, se van a elegir por votación:

Se estima que para proveer de alimento durante un año a una persona se necesita de 0,5 km2 de tierra para cultivo, sabiendo que hay 40 x 109 km2 de fierra cultivable. Se afirma que después de un cierto número de años NO se podrá suplir la necesidad de alimento para todos los habitantes de la Tierra, porque:

-1 personero \>

7. En una institución escolar, de un grupo de 10 estudiantes conformado por 6 hombres y 4 mujeres, se van a elegir por votación: -1 personero -1 representante al consejo directivo - 3 representantes al consejo estudiantil (para ocupar los cargos de presidente, secretario y tesorero) Concluida la votación, un observador se da cuenta que de los 4 primeros estudiantes elegidos 3 son mujeres y 1 es hombre, el observador puede afirmar que el quinto estudiante elegido tendiá A. el doble de posibilidad de ser un hombre que una mu-

-1 representante al consejo directivo - 3 representantes al consejo estudiantil (para ocupar los cargos de presidente, secretario y tesorero) La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2 hombres y 3 mujeres es igual a la probabilidad de que los elegidos sean A. 4 hombres y 1 mujer. B. 1 hombre y 4 mujeres. C. 3 hombres y 2 mujeres. D. 5 hombres y ninguna mujer. 10. En 1980, 4.500 millones de habitantes poblaban la Tierra y se observaba un crecimiento de cerca del 2% anual, encontrándose que la expresión que proporcionaba la información del número de millones de habitantes en la Tierra después de t-años a partir de ese año era:

Repaso de M a t e m á t i c a s H (t) = 4.500 e0,02t Para determinar el número de años que deben transcurrir desde 1980 para que la población sea el doble de la que había en ese año, se debe hallar el valor de t que satisface la ecuación: A. 2 = e0,02(t-1980)

12. Conteste las 4 preguntas siguientes de acuerdo a la Ilustración: En una Industria construyen un tanque de forma cónica de radio 5 dm y altura 15 dm, para el almacenamiento de agua, pero por una falla en su construcción pierde agua a razón de 1 dm3 por minuto.

B. 2 = e0,02t C. H(t) = 9 000 e0,02t D. H(t) = 4 500 e0,02(2t) 11. En 1980, 4.500 millones de habitantes poblaban la Tierra V se observaba un crecimiento de cerca del 2% anual, encontrándose que la expresión que proporcionaba la información del número de millones de habitantes en la Tierra después de t-años a partir de ese año era: H (t) = 4.500 e0,02t

Figura 1

Figura 2

Forma y dimensiones del tanque

De las siguientes gráficas ¿cuál describe el crecimiento de la población en t-años?

H(t)

del tanque

La expresión que permite encontrar la rapidez con que el nivel del agua desciende desde cualquier profundidad, es:

4500-1980 (t) años H (t)

Sección transversal

dv dt

u 27

dv dt

n ~27

B. D.

6000

(h(t)y

dh dt

dt ~ 3 dh ~dt~

h(t)

dv dt

13. Al cabo de t minutos, h(t) representa:

4500 1980 2000 (t) años

A. la profundidad del agua en un instante t B. la altura del tanque en t minutos C. el espacio desocupado en el tanque en un Instante t

H(t) 60004

D. el tiempo que tardó en desocuparse una parte del tanque

4500

14. En la figura 2, se hace una representación de la sección transversal del tanque en un Instante t. De la representación se puede deducir la siguiente proporción. 10 20

(t) años

A. 15 - x - 15 5 r B. B.x-5 15 r C. C. 15-x-r

5 10 15 (t) años

15 5

Repaso de M a t e m á t i c a s D. x - 15

por Diego, es:

5 r 15. Cuál de los siguientes planteamientos es suficiente para encontrar la rapidez con la que desciende el nivel del agua cuando está a una altura de 10 dm? A. dado dh/dt - 0 dm, se requiere encontrar dv/dt cuando v = 1 dm3. B. dado dv/dt - 1 dm3 /min, se requiere encontrar dh/dt, cuando h - 10 dm. C. dado dv/dt = 1 dm3 /min, se requiere encontrar dh/dt, cuando h = 5 dm. D. dado dh/dt - 5 dm, se requiere encontrar dv/dt, cuando v - 1 dm3 16. En una institución escolar, de un grupo de 10 estudiantes conformado por 6 hombres y 4 mujeres, se van a elegir por votación: -1 personero -1 representante al consejo directivo - 3 representantes al consejo estudiantil (para ocupar los cargos de presidente, secretario y tesorero) Si fueran elegidos 3 hombres para ocupar los cargos del consejo estudiantil, el número de consejos diferentes que se podrían formar es A. 4

A. (2 km/h + 4 km/h)/2, puesto que consideran las dos velocidades, de ascenso y de descenso. B. (2 km/h + 4 km/h)/2, ya que se conocen datos de velocidad y también que el recorrido se hizo en 3 horas C. (2 km/h + 2 km/h + 4 km/h)/2, porque se tiene en cuenta el cambio de la distancia recorrida en cada hora transcurrida. D. (2 (2 km/h) + 4 km/h)/2, debido a que se tiene en cuenta el recorrido total y se conocen dos datos de velocidad. 19. De acuerdo con el siguiente enunciado, conteste las 3 preguntas a continuación: El pasado mes de octubre se llevó a.cabo en el colegio "San Juan" la final de atletismo modalidad 4 000 metros, entre participantes de diferentes colegios de la zona. Una de las principales expectativas de esta final, fue el encuentro de Andrés y Manuel, ganadores de las finales en años anteriores. Las siguientes expresiones describen los movimientos de cada uno de los atletas durante la carrera, considerando t como los minutos transcurridos Andrés : A(t) = 200 t Manuel : M (t) =

-25 (t-8)2+ 1600 50 — (t - 8)2+ 1600

0<t<f t>¡

Al completarse el octavo minuto de iniciada la carrera, a atención de los espectadores se centra en el desempeño de Andrés y Manuel debido a que

B. 6 C. 15

A. Manuel supera por varios metros a Andrés

D. 20 17. En 1980, 4.500 millones de habitantes poblaban la Tierra y se observaba un crecimiento de cerca del 2% anual, encontrándose que la expresión que proporcionaba la información del número de millones de habitantes en la Tierra después de t-años a partir de ese año era: H (t) = 4.500 e0,02t Un informe presentado en 1980 muestra que 2 de cada 10.000 habitantes portaban el virus del SIDA y se proyectó que el número de millones de portadores del SIDA se duplicaría cada 4 años, el cual se representa mediante la expresión: A. S (t) = 900.000 (2t/4) con t = 4, 8, 12,... B. S (t) = 0,9 (24t) con t = 1, 2, 3, 4,... C. S (t) = 0,9 (2t/4) con t - 1, 2, 3, 4,... D. S (t) = 900.000 ( 24t) con t = 4, 8,12,... 18. Una expresión que permite determinar una velocidad que sea igual, tanto en el ascenso como en el descenso de la montaña, manteniendo el mismo tiempo utilizado

B. Andrés ha logrado alcanzar a Manuel C. desde el inicio de la carrera Andrés ha estado delante de Manuel D. el esfuerzo de Manuel lo ha llevado a alcanzar a Andrés 20. Terminada la carrera, un representante de la liga de Atletismo interesado en analizar la velocidad alcanzada por Andrés y Manuel, afirmó que A. los dos competidores igualaron su velocidad en el décimo minuto B. Manuel fue másrápidoque Andrés durante los primeros 2/5 de su tiempo empleado en la carrera C. Andrés fue másrápidoque Manuel durante toda la carrera, ya que su velocidad fue constante D. entre el minuto cuatro y el minuto catorce Andrés fue más rápido que Manuel, el resto del tiempo Manuel lo superó 21. Faltando sólo 200 metros para que Andrés termine la carrera, un espectador afirmó que éste llegaría primero que Manuel a la meta, otro compañero le dijo que estaba

Repaso de M a t e m á t i c a s A. de acuerdo, ya que Andrés tiene en este momento aproximadamente 400 metros de ventaja sobre Manuel B. en desacuerdo, porque a pesar de que Manuel está detrás de Andrés, viene corriendo másrápidoy tal vez llegarán los dos al mismo tiempo a la meta

wmmmmmmmmmmmm

24. La organización ecológica quiere mostrar de otra manera el tiempo en el cual se registra la circulación de vehículos, esta representación es

^'70 o

< <= '64 '58 '52 '46

D. en desacuerdo, pues a pesar de que Manuel inició la carrera más lento que Andrés, en este momento viene corriendo másrápidoy seguro llegará antes que Andrés 22. A partir de la gráfica siguiente, conteste las 3 preguntas que se presentan a continuación:

E z

I 100

f'=(t) 100 200 300400 500

f'=(t)

'82

'76 / §'70 s <= '64 1 < '58 / '52 / '46 100 200 300 400 500

400

kk A

Número de vehículos (millones)

u OJ > c 300 <3J O •o — 200

V A

'76

C. de acuerdo, porque Andrés ha sido másrápidoque Manuel desde el inicio de la carrera

Una organización ecológica observa la siguiente gráfica publicada en la revista "Scientific American" en 1990, en la cual se representa el número (en millones) de vehículos en circulación en el mundo en el año t

'82

Número de vehículos (millones)

46 '52 '58 '64 '70 '76 '82 '88 Años (t)

Entre 1988 y el 2002 se espera que el porcentaje de cambio en la circulación de vehículos sea lineal y tenga una pendiente de 1/16, así que la circulación de vehículos, en ese intervalo de tiempo, tendrá que representarse por una

2 1

A. Recta con pendiente 1/16

0 kL

'46'52'58'64'70'76 '82' Años(t)

B. Función cuadrática C. Recta con pendiente 0 D. Función decreciente 23. La organización ecológica previene sobre los peligros de contaminación por la circulación de vehículos. Esto lo sustenta el hecho de que A. el promedio de la rapidez de cambio es menor entre 1982 y 1988 que entre 1950 y 1960 B. entre 1970 y 1976 es mayor el promedio de rapidez de cambio que entre 1964 y 1970 C. en los últimos seis años la razón de cambio es mayor que en los 10 primeros años D. el cambio en la circulación es mayor entre 1946 y 1958 que entre 1982 y 1988

=01

500 400 300 200 100

'82

'76 3 '70 i/i

f f'=(t)

/ o '64 / / '< '58 / '52 / '46 100 200 300 400 500

25. En una embotelladora, un tanque llena al mismo tiempo varias botellas de agua de forma cilindrica, que tienen de radio 5 cm y altura 30 cm; con una velocidad de suministro representada por la función V(t) - (3t2 -1 + 5) cm3 /min,

Repaso de M a t e m á t i c a s considerando t como minutos transcurridos. Este tanque hace que la profundidad del agua en cada botella aumente a razón de 12/5 k cm/s Un operario nuevo, se preocupa al observar que en el tablero de velocidad del tanque se presenta una disminución en la velocidad de suministro cuando el tanque comienza a funcionar; así que decide informar de la situación a un ingeniero. El ingeniero le responde que no se debe alarmar pues

30 cm3/s. Esto conlleva a que la producción se haga A. mayor, porque la razón a la cual cambia la profundidad de agua en las botellas aumenta B. menor, porque la razón a la cual cambia la profundidad de agua en las botellas disminuye C. menor, aunque la razón a la cual cambia la profundidad de agua en las botellas se incremente

A. la profundidad de agua en las botellas siempre va a aumentar a razón de 12/5 n cm/s

D. mayor, aunque la razón a la cual cambia la profundidad de agua en las botellas disminuya

B. en ningún momento se pierde agua, por el contrario, siempre se incrementa con el transcurso del tiempo

28. En una embotelladora, un tanque llena al mismo tiempo varias botellas de agua de forma cilindrica, que tienen de radio 5 cm y altura 30 cm; con una velocidad de suministro representada por la función V(t) = (3t2 -1 + 5) cm3/m¡n, considerando t como minutos transcurridos. Este tanque hace que la profundidad del agua en cada botella aumente a razón de 12/5tc cm/s

C. eso dejara de suceder a los 10 segundos de haber encendido el tanque D. transcurridos 6 segundos desde que el tanque comience a funcionar, la velocidad aumentara 26. En una embotelladora, un tanque llena al mismo tiempo varias botellas de agua de forma cilindrica, que tienen de radio 5 cm y altura 30 cm; con una velocidad de suministro representada por la función V(t) = (3t2 -1 + 5) cm3 /min, considerando t como minutos transcurridos. Este tanque hace que la profundidad del agua en cada botella aumente a razón de 12/5rc cm/s Para evitar el desperdicio de agua se quiere instalar en el tanque de suministro, un dispositivo que lo detenga. En estas condiciones ha de detenerse el suministro cada 12.57t segundos aproximadamente, pues A. el volumen de agua en la botella cambia a razón de 60 cm3/s y 750?r cm3 es lo que tiene ésta por volumen

B. la profundidad de agua en la botella cambia a razón de 12/57t cm/s y el volumen de agua en la botella cambia a razón de 30 cm3/s C. la altura de la botella es 30 cm y la altura de agua en ella cambia a razón de 750jt cm/s

El Gerente de producción exige a los empleados una meta mínima de 500 000 cm3 de agua embotellada por hora, por lo que uno de los operarios se queja, y tiene razón, ya que A. no se alcanza ni siquiera a los 500 cm3 por hora B. apenas se supera el 2% de lo exigido C. se supera apenas el 40% de lo que el gerente exige D. se alcanza apenas a embotellar 300 litros en este tiempo 29. De acuerdo con la siguiente información, responda las 4 preguntas a continuación: Una empresa encargada de diseñar y vender modelos de embaldosados, lanzó al mercado su nueva línea llamada "cuadrícula", la cual se caracteriza por su distribución de baldosas cuadradas blancas y negras conformando diferentes tamaños y diseños. Las siguientes gráficas representan algunos de los modelos que dispone la empresa.

D. el volumen de agua en la botella cambia a razón de 60ji cm3/sy 750 cm3 27. En una embotelladora, un tanque llena al mismo tiempo tamaño 3 tamaño 4 tamaño 5 varias botellas de agua de forma cilindrica, que tienen de radio 5 cm y altura 30 cm; con una velocidad de suministro representada por la función V(t) = (3t2 - t + 5) cm3/mln, con- Pensando en los diferentes modelos que se pueden obtener conservando la distribución de las baldosas blancas y negras, siderando t como minutos transcurridos. Este tanque hace el diseñador de este embaldosado encuentra que la expreque la profundidad del agua en cada botella aumente a sión r(n) = n2 - 8n + 12 le permite determinar razón de 12/5tt cm/s Se presenta un cambio en la velocidad de suministro de agua en el tanque, y esto hace que la razón a la cual se aumenta la profundidad de agua en las botellas se modifique, de tal manera que el volumen de agua en ellas cambie a razón de

A. el número de baldosas blancas que hay en un modelo determinado, al considerar (n) como el número de baldosas negras que componen dicho modelo

Repaso de M a t e m á t i c a s

HNHBHHl

B. el número de baldosas blancas que faltan o sobran, para que cualquier tamaño (n) de embaldosado tenga la misma cantidad de baldosas de cada color C. el tamaño de un modelo de embaldosado determinado, al reemplazar (n) por su correspondiente número de baldosas blancas

28 26 : N° de baldosas 24 22

20 18

16 B • 14

12 10

8 6 4 2

D. las dimensiones de cualquier embaldosado, al reemplazar (n) por un número determinado de baldosas negras 30. El gerente quiere dar a sus empleados Indicaciones sobre la cantidad de baldosas blancas (B) y negras (N) que componen cada diseño, esto lo puede lograr mediante (2An/4

A. B(n) = )+2 y N(n) (3n/2) + 9, para embaldosados de tamaño mayor o igual a 6 B. B(n) - 4n - 6 y N(n) = (n - 2)A2 + 2, para embaldosados conr tamaños 2 en adelante C. B(n) = (nA2 - n) /2 N(n) - 2nA2 - 6, para embaldosados de todos los tamaños D. B(n) = (5n + 3)/3 y N(n) = n(n+1)/2, para embaldosados con tamaño 3 en adelante 31. El administrador del punto de venta principal, solicita a algunos de sus empleados que elaboren una gráfica que indique la cantidad de baldosas de cada color en cada tamaño de embaldosado. La giáflca que le deben entregar los empleados es:

o Baldosas blancas • Baldosas negras

28 26 24 22 20 18 16 14

0 1 2 3 4 5 6 7 Tamaño del embaldosado N ° de baldosas

•

Baldosas blancas Baldosas negras

10 8 6 4 0 1 2 3 4 5 6 7 Tamaño del embaldosado de baldosas

Baldosas blancas Baldosas negras

de baldosas A

Baldosas blancas Baldosas negras

2 3 4 5 6 7 8 91011 Tamaño del embaldosado 32. El patio de la casa de un cliente tiene el tamaño 11, y quiere que el diseño sea también el mismo, así que debe comprar A. 34 baldosas blancas y 66 negras B. 36 baldosas blancas y 85 negras

1 2 3 4 5 6 7 8 91011 Tamaño del embaldosado

C. 38 baldosas blancas y 83 negras D. 42 baldosas blancas y 102 negras

Repaso de M a t e m รก t i c a s

9. Tabla de Respuestas Pregunta

Clave

Repaso de M a t e m รก t i c a s Pregunta

Clave

Repaso de M a t e m á t i c a s REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS • Castro Martínez, E„ Rico Romero, L; y Romero Albaladejo, i. (1997). "Sistemas de representación y aprendizaje de estructuras numéricas". En: Enseñanza de las Ciencias. • Chamorro, Carmen. El aprendizaje significativo en el área de las matemáticas. Editorial Alhambra Longman. • Grupo Océano. (2006). Tutor Interactivo. Barcelona: Editorial Océano. • Grupo Pretexto: Rojas Garzón, P.; Rodríguez Bejarano, J.; Romero Cruz, J. y otros. (1997). La transición aritmética-álgebra. Colección Didáctica de las Matemáticas, Colciencias. Bogotá: Universidad Distrital Francisco José de Caldas. • Rico, Luis. (1999). "Diseño curricular en educación matemática y evaluación". En: Teoría y practica en la educación matemática, Sevilla, 1990. •

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Biología Filosofía Física Geografía Historia Inglés Lenguaje Matemáticas Química Medio Ambiente - Violencia y sociedad

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