PPT Deret

DERET

(Deret Aritmatika dan Deret Geometri) Ek a Ap r i l i a , S. Pd .

Matematika Wajib

Apa perbedaan barisan dan deret?

Eka Aprilia, S.Pd.

Definisi Deret Bilangan Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan.

Sebagai contoh, jika 1,2,3,4,… merupakan barisan bilangan maka deret dari barisan bilangan tersebut adalah 1+2+3+4+…

Bentuk umum deret :

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑈𝑈1 + 𝑈𝑈2 + … + 𝑈𝑈𝑛𝑛

= 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + … + (𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 − 1 𝑏𝑏)

Eka Aprilia, S.Pd.

Deret Aritmatika

Jumlah suku yang ditunjukkan oleh barisan aritmatika

Pola : 1. Barisan Aritmatika : 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 , 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 , … (𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 − 1 𝑏𝑏))

2. Deret Aritmatika : 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + … + (𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 − 1 𝑏𝑏))

Deret Aritmatika

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑈𝑈1 + 𝑈𝑈2 + … + 𝑈𝑈𝑛𝑛 merupakan deret aritmatika dengan 𝑈𝑈1 = 𝑎𝑎 dan 𝑈𝑈𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 − 1 𝑏𝑏 Eka Aprilia, S.Pd.

Rumus jumlah n suku pertama : 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 + 𝑈𝑈𝑛𝑛 2

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑎𝑎 = Suku Pertama

𝑆𝑆𝑛𝑛 = Jumlah Suku ke-n

Keterangan :

Rumus Gauss-Kino :

𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑛𝑛 = (2𝑎𝑎 + 𝑛𝑛 − 1 𝑏𝑏) 2 𝑏𝑏 = Beda

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-𝑝𝑝 adalah 𝑈𝑈𝑝𝑝 dan suku ke-𝑞𝑞 adalah 𝑈𝑈𝑞𝑞 , maka : 𝑈𝑈𝑝𝑝 − 𝑈𝑈𝑞𝑞 𝑏𝑏 = p − 𝑞𝑞

𝑈𝑈𝑝𝑝+𝑞𝑞 = 𝑈𝑈𝑝𝑝 + 𝑞𝑞. 𝑏𝑏

𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑈𝑈𝑝𝑝 + 𝑈𝑈𝑞𝑞 + 𝑛𝑛 + 1 − 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞 . 𝑏𝑏 2 Eka Aprilia, S.Pd.

Suku ke-2 dan suku ke-4 dari suatu barisan aritmatika berurutan adalah 15 dan 23. Hitunglah jumlah 20 suku pertama barisan tersebut.

Eka Aprilia, S.Pd.

1. Diketahui, suku ke-3 dan suku ke-7 suatu barisan aritmatika berturut-turut 28 dan 44, jumlah 25 suku pertama barisan aritmatika itu sama dengan …

2. Jumlah n suku pertama barisan aritmatika ditentukan oleh rumus 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛2 + 4𝑛𝑛. Beda dan suku ke-9 dari barisan aritmatika tersebut berturut-turut adalah …

Eka Aprilia, S.Pd.

Deret Geometri

Jumlah suku yang ditunjukkan oleh barisan geometri

Pola : 1. Barisan Aritmatika : 𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑟𝑟 2 , 𝑎𝑎𝑟𝑟 3 , … , 𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑛𝑛−1

2. Deret Aritmatika : 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑟𝑟 2 + 𝑎𝑎𝑟𝑟 3 + … + 𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑛𝑛−1

Deret Geometri

𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑈𝑈1 + 𝑈𝑈2 + … + 𝑈𝑈𝑛𝑛 merupakan deret aritmatika

dengan 𝑈𝑈1 = 𝑎𝑎 dan 𝑈𝑈𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑛𝑛−1 Eka Aprilia, S.Pd.

Rumus jumlah n suku pertama : 𝑎𝑎 1 − 𝑟𝑟 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 1 − 𝑟𝑟

𝑎𝑎 𝑟𝑟 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑟𝑟 − 1

𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑟𝑟 < 1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑟𝑟 > 1

Rumus Gauss-Kino :

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-𝑝𝑝 adalah 𝑈𝑈𝑝𝑝 dan suku ke-𝑞𝑞 adalah 𝑈𝑈𝑞𝑞 , maka :

𝑟𝑟 𝑝𝑝−𝑞𝑞 =

𝑈𝑈𝑝𝑝 𝑈𝑈𝑞𝑞

Eka Aprilia, S.Pd.

𝑈𝑈𝑝𝑝+𝑞𝑞 = 𝑈𝑈𝑝𝑝 . 𝑟𝑟 𝑞𝑞

1. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret geometri 2-8+32-128 berikut …

2. Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah …

Eka Aprilia, S.Pd.

1. Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri. Panjang potongan tali yang paling pendek adalah 4 cm dan Panjang potongan tali yang paling Panjang adalah 512 cm. Panjang tali semula adalah …

2. Lima bilangan asli membentuk suatu barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah 3 suku terbesar dan jumlah 3 suku terkecil barisan geometri tersebut berturut-turut adalah 171 dan 76, maka jumlah 5 bilangan tersebut adalah …

Eka Aprilia, S.Pd.

Konvergen −1 < 𝑟𝑟 < 1 𝑎𝑎 𝑆𝑆∞ = 1 − 𝑟𝑟

Deret Geometri Tak Hingga (𝑆𝑆∞ ) Bola jatuh dari ketinggian ℎ • Tinggi pantulan 𝑟𝑟 =

Konvergen 𝑟𝑟 𝑟𝑟<<−1 Divergen −1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 𝑟𝑟>>1 1 𝑆𝑆∞ = ±∞

𝑎𝑎 𝑏𝑏

ℎ

• Panjang lintasan bola sampai berhenti adalah

Eka Aprilia, S.Pd.

𝑏𝑏+𝑎𝑎 𝑏𝑏−𝑎𝑎

ℎ

1.

4 Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 2𝑚𝑚 dan memantul kembali menjadi tinggi 5

sebelumnya. Panjang lintasan bola tenis tersebut adalah …

Eka Aprilia, S.Pd.

1.

1 1 1 Jumlah tak hingga dari deret geometri 1 − + − + …

3 9 27

2. Seorang anak melompati di atas trampolin. Dalam sekali lompatan, pantulan pertama 1 setinggi 150 cm. Tinggi pantulan berikutnya hanya tinggi sebelumnya. Tentukan 4

Panjang lintasan seluruhnya sebelum dia berhenti.

3. Jumlah tak hingga dari barisan geometri

Eka Aprilia, S.Pd.

1 2, 1, 2

1 2, , …

2

Thank You! Any Question?

Eka Aprilia, S.Pd.