배움을 나누는 사람들 수학 2학년 2010 by Junseok Lee

머리말 참다운 교육을 위해 쉽고, 잘 정리된 교재를 만들어 널리 사용하게 하자는 배움을 나누는 사람들의 고집스러운 노력은 언제나 현재진행형이다. 2009년 6월, 초판을 내놓은 배움을 나누는 사람들의 교재는 이미 학생들의 긍정적인 반응을 이끌어 내고 있으며, 차분하고 꾸준한 준비의 시간을 거쳐 다시 한번 이 개정판을 내놓게 되었다. 밤을 새워가며 최종 편집작업에 사력을 다해 참여해준, 디자인팀의 디자이너들과 교재개발팀의 선생님들, 그리고 교수팀의 선생님들에게 무한한 감사를 표한다. 동고동락하는 힘든 과정 속에서 이제 단순히 동료 선생님이 아닌 어떤 전우애와 같은 끈끈함 까지 느껴지는 배움을 나누는 사람들이다. 사실, 이 작업은 어떤 회사의 상근근로자들이 힘을 합쳐도 해내기 어려운 매우 복잡하고 장황한 작업이었으나, 자발적이고 헌신적인, 그리고 산발적인 노력의 합으로 이 것을 이루어 내었다는 점이 매우 중요하다. 봉사단체인 배움을 나누는 사람들이 약간은 무리하는 것 같으면서도 인쇄된 교재를 만들어 세상에 널리 퍼뜨리고자 하는 생각의 시작에는 여러 가지 어려운 도전이 있었다. 누구나 손쉽게 개작, 발전시켜 나갈 수 있는 오픈 소스로 된 교재를 만들고 싶었다. 학습에 열의가 있는 대한민국의 어떤 학생이라도 우리의 교재를 무료로 받아 공부할 수 있게 할 것이며, 교재에 대한 학생들의 자발적인 평가를 반영하여 꾸준히 개선시켜 나갈 것이다. 책을 필요로 하는 학생들과, 이 책으로 가르칠 선생님들, 그리고 새로운 교육방법을 연구하는 선생님들이 모두 다같이 힘을 합치면 이루기 어려운 꿈은 아닐 것이다. 가정의 자습서 및 학습지 구매 부담을 경감해주는 새로운 교재를 만들고 싶었다. 작금의 현실을 보면, 학생들이 자율적으로 학습할 수 있는 환경이 사라져갈 뿐만 아니라, 가정에서 자습서 및 문제집 구입에 사용되는 비용도 나날이 증가하고 있다. 배움을 나누는 사람들의 작지만 위대한 도전이, 경제적인 어려움에 교육의 기회를 잃는 수많은 학생들에게 배움의 목마름을 해소하는 보리차와 같은 존재가 되었으면 좋겠다. 무료이지만, 여럿의 자발적인 노력을 모아 매우 값지고 질 좋은 교재를 만들고 싶었다. 봉사자들의 선한 노력이 합해지면, 싼 게 비지떡이라는 말이 꼭 옳지는 않다는 것을 증명해 보일 것이다. 자발적인 봉사의 가치는 매우 값지며, 영리목적으로 제작된 어느 참고서보다도 학생들이 필요로 하는 부분들을 깔끔하게 담아낼 수 있도록 할 것이다. 또한 Creative Commons License를 위시한 공개 라이선스로 교재개발에 소중한 삽화나 여러 자료를 손쉽게 차용할 수 있게 해준, 인터넷 공간상의 무수한 누리꾼 들에게 다시 한번 감사하게 생각한다. 위키피디아가 우리에게 형언할 수 없는 새로운 지식의 향연을 베풀어 준 것만큼, 이 교재도, 점진적인 계승과 발전의 시간을 거쳐 대한민국 교육의 새로운 패러다임이 되었으면 좋겠다. 다른 분들의 기여물을 손쉽게 차용할 수 있어서 감사하고, 그 것들을 두루 사용한 우리의 교재가 다시 사회에 기여된다는 뿌듯함이 새롭다. 마지막으로 이 책을 가지고 교육장에서, 또는 집에서, 학교에서 공부하게 될 많은 배움을 나누는 사람들의 학생들에게 부탁하자면, 너희를 위하여 잠을 줄여가며 고생했던 선생님들이 진정으로 원하는 것은, 너희들이 공부에 자신감을 얻고, 그 자신감을 바탕으로 스스로의 꿈을 실현시켜나가는 것이다. 공부하고 싶어하는 사람들에게 효율적으로 공부할 수 있는 방법을 알려주고, 또 공부하는데 필요한 것들을 마련해주기 위해 선생님들이 불철주야 노력하고 있지만, 실제로 공부를 하는 것은 너희들이라는 사실을 잊지 말아야 한다. 이제 아쉬움 없이 노력하여 그 결과로 다같이 웃을 수 있었으면 좋겠다.

배움을 나누는 사람들 파이팅!

유리수와 근삿값 1.1 유리수와 소수 1.2 순환소수 1.3 근삿값

식의 계산 2.1 다항식의 사칙연산 2.2 지수법칙 2.3 단항식의 곱셈과 나눗셈 2.4 등식의 변형, 식의대입 2.5 곱셈공식

연립방정식 3.1 미지수가 2개인 일차방정식 3.2 가감법과 대입법 3.3 여러가지 연립방정식 3.4 연립방정식의 활용

부등식 4.1 일차부등식과 수직선 4.2 연립부등식 4.3 부등식의 활용

일차함수 5.1 함수의 기본개념 5.2 일차함수의 뜻과 x절편, y 절편 5.3 일차함수의 그래프 5.4 방정식과 함수 5.5 일차함수의 활용

확률 6.1 경우의 수 6.2 여러 가지 경우의 수 6.3 확률의 뜻과 성질 6.4 확률의 계산

삼각형의 성질 7.1 명제와 정리 7.2 이등변삼각형의 성질 7.3 직각삼각형의 합동 7.4 삼각형의 외심과 내심

사각형의 성질 8.1 평행사변형 (1) 8.2 평행사변형 (2) 8.3 여러가지 사각형 (1) 8.4 여러가지 사각형 (2)

도형의 닮음 9.1 닮음의 뜻 9.2 삼각형의 닮음 조건

닮음의 응용 10.1 삼각형과 평행선 10.2 평행선과 선분의 길이 비 10.3 중점연결 정리 10.4 삼각형과 무게 중심 10.5 닮은 도형의 넓이와 부피

유리수와 근삿값 1.1 유리수와 소수 1.2 순환소수 1.3 근삿값

Flickr / troymccluresf

1 유리수와 근삿값

cbnd

유리수와 소수

주요 개념 이해

야구선수가 얼마나 공격을 잘하는지를 나타내는 잣대는 타율, 출루율, 장타율, 타점 등 여러가지가

01 수를 나타내는 방법에 분수와 소수가

있지만, 보통 그 중에서 가장 중요하게 생각하는 것은 보통 ‘할푼리’로 이야기 하는 타율이다. 타율은

있다는 것을 이해한다.

타자가 볼넷으로 출루하지 않은 타석의 수로 안타의 수를 나누어줘서 구하는 것을 원칙으로 한다. 만

02 유리수의 뜻과 분류하는 방법을 이 해한다.

약 동네 야구팀 오산 브라더스의 채병환 타자가 17 타수 7 안타, 성심 시스터즈의 김한솔 타자가 18 타수 8 안타를 쳤다면, 두 선수 중 더 높은 타율을 보유한 사람은 누구일까?

분수 형태의 표현 분자와 분모를 이용하여 어떤 수를 나타내는 것을 분수 형태의 표현이라 한다.

√ 1 17 ,··· 예) , 3 4

소수 형태의 표현 소수점을 이용하여 나타낸 수를 소수라 한다. 소수점 왼쪽을 정수부, 오른쪽을 소수부라한다. 모든 소수는 정수부와 소수부의 합과 같다. 예) 3.5, 2.7, 4.2, 0.3333333 · · · , 2.881, 0.5213, · · ·

정수부와 소수부 소수점 왼쪽을 정수부, 오른쪽을 소수부라한다. 모든 소수는 정수부와 소수부의 합과 같다. 예)

3.31 = 3 + 0.31 정수부

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

소수부

분수와 소수의 비교 분수와 소수는 표현 방식의 차이이며, 분수로 나타낼 수 있는 수는 소수로 나타낼 수 있고, 소수로 나타낼 수 있는 수는 분수로 나타낼 수 있다. 01 분수 표현의 장점 곱셈( × )과 나눗셈( ÷ )이 쉽고, 소수로는 유한하게 쓸 수 없는 수를 쓸 수 있다. 02 소수 표현의 장점

덧셈( + )과 뺄셈( − )이 쉽고, 크기 비교가 쉽다.

유리수 유리수

유리수란 분자와 분모가 모두 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 말한다. 이 때

분자와 분모가 모두 정수인 분수로 나타낼

분모는 절대로 0이면 안된다.

수 있는 수

소수의 분류체계 유한소수

소수는 소수점 오른편에 있는 소수부의 길이가 한정되어 있는지 여부에 따라 유

소수부의 길이가 한정되어 있다.

한소수와 무한소수로 구분할 수 있다.

무한소수 소수부의 길이가 한정되어 있지 않다.

또한 무한소수는 유리수인지 아닌지의 여부에 따라 순환소수와 순환하지 않는 무 한소수(무리수)로 구분할 수 있다. 유한소수 유리수

소수

순환소수 무한소수 무리수 (비순환 무한소수)

1 유리수와 근삿값

1.1 유리수와 소수

소인수분해 일반적으로 소수가 아닌 자연수를 합성수라고 하며, 합성수의 경우, 소수의 곱 형 태로 나타낼 수 있다. 세 자연수 a, b, c 에 대하여, a = b × c 의 관계가 성립할 때, b 와 c 를 a 의 인 수라고 표현한다. 이 중에서, 인수가 1과 자기 자신 이외의 약수를 가지지 않는 수 인 경우 소수이기 때문에 소인수라고 부른다. 소인수분해란 어떤 자연수를 소인수만의 곱으로 나타낼 수 있도록 변형하는 것 을 의미한다. 중복된 2를 제곱꼴로 나타내 준다. 2로 나눌 수 있다.

또 2로 나눌 수 있다.

5로 나눌 수 있다.

3으로 나눌 수 있다.

기약분수 분모와 분자가 가진 공약수(공통인수)가 1밖에 없어서 더이상 약분이 되지 않는 수를 기약분수라고 한다. 기약분수의 경우 분자와 분모를 각각 소인수 분해 해 놓고 공통인 인수를 골라내어 제거해주는 방식으로 구하는 것이 정확하고 직관 적이다.

2의 제곱꼴 인수 뽑아내기

5의 제곱꼴 인수 뽑아내기

공통 인수 약분 하기 간단히 정리하기

1 유리수와 근삿값

1.1 유리수와 소수

유한소수로 나타낼 수 있는 분수 기약분수로 나타낸 분수의 분모를 소인수분해 하였을 때, 2와 5만을 소인수로 가 지는 분수는 유한소수로 나타낼 수 있고, 2와 5 이외의 소인수를 가지는 경우 유 한소수로 나타낼 수 없다. 왜냐하면 2와 5에는 분모와 분자에 동일한 수를 곱하 여 10의 거듭제곱 꼴로 나타낼 수 있으나, 다른 소인수는 곱해서 10의 거듭제곱 을 만들 수 있는 방법이 없기 때문이다. 예) 유한소수로 나타낼 수 있는 분수의 예

175 250 7 10

상하를 25로 나누어 약분한다.

기약분수가 되었고, 분모가 2 와 5만을 소인수로 가지기 때문에 유한한 소수이다.

예) 유한소수로 나타낼 수 없는 분수의 예

142 70 71 35

상하를 2로 나누어 약분한다.

기약분수가 되었지만, 분모가 2 와 5가아닌 소인수 7을 가지고 있기 때문에 유한하지 않다.

1 유리수와 근삿값

1.1 유리수와 소수

연습문제 01 다음 분수들을 각각 소수형태로 나타내어라

3 4

3 8

77 25

02 각각의 수의 쌍에서 큰 수를 선택하여라

2 ( , 0.4) 7

3 (0.3721, ) 8

03 다음 수를 각각 소인수분해 하여라.

375

188

271

04 다음 중 유한소수인 것을 모두 선택하여라

3 75

1 유리수와 근삿값

1.1 유리수와 소수

72 45

1 9

84 175

121 22

62 17

1 유리수와 근삿값

1.1 유리수와 소수

다

순환소수

Flickr /sualk61

1 유리수와 근삿값

cbnd

주요 개념 이해

오늘도 교육장에서 열심히 공부를 하던 은비는 열심히 문제를 풀던 중 잠시 쉬고 싶어서 화장실에 다

01 유리수를 순환소수로 바꿔 표현하는

녀오겠다고 조현익 선생님에게 거짓말을 했다. 그런데 항상 의심하고 허락해 주지 않던 조현익 선생

방법을 안다.

님이 예상 외로 흔쾌히 허락해 주셨다. 대신 선생님은 이면지 한 장을 주시며 어떤 분수를 소수로 바

02 순환소수간의 사칙연산 및 대소비교를

꾸는 연습 하나만 해보고 가라고 하셨다. 이미 분수를 소수로 나타내는 연습을 많이 해 본 은비는 거

할 줄 안다.

리낌 없이 나눗셈을 해 나가기 시작했다. 그런데 한장을 가득 채울 때까지도 나눗셈이 나누어떨어지 지 않는 것이었다. 조현익 선생님에게 도움을 청할 때마다 이면지를 한 장씩 더 주고 가셨다. 쳇바퀴 도는 기분이었지만 쉬기 위해서는 꾸준히 할 수밖에 없었다. 과연 어떻게 된 일일까?

순환소수 무한소수 중에서 소수점 아래에서 일정한 숫자의 배열이 무한히 되풀이 되는 소수를 순환소수라고 한다. 유리수 중 유한소수나 정수로 나타낼 수 없는 수는 모두 순환소수로 나타낼 수 있다.

순환마디 순환소수에서 나타나는 일정한 숫자의 배열을 순환마디라고 하며, 반복되는 구간 의 시작과 끝 숫자의 위에 점을 찍어 나타낸다.

˙ 3˙ = 3.253253253 · · · 3.25 순환마디

순환마디는 최소 길이의 마디가 되도록 한다. 예를 들어 위 예시의 순환소수를

˙ 3.25325 3˙ = 3.253253253253... 와 같이 쓰지 않도록 주의한다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

순환소수를 분수로 고치기 순환소수는 유리수에 속하기 때문에, 유리수의 정의대로, 분모와 분자가 정수인 분수로 항상 나타낼 수 있다. 순환소수 간의 사칙연산이나, 순환소수의 대소비교 를 위해서는 순환소수를 분수로 바꿔 생각해야한다. 따라서 순환소수를 분수로 변환하는 방법을 숙지하는 것은 매우 중요하다. 순환소수를 분수로 변환하는 방법은 기본적으로 순환마디끼리 빼주어 소거하는 방식을 이용하며, 순환마디가 시작하는 위치에 따라 세부적인 계산 방법이 다르다. 01 순환마디가 소수 첫째자리 부터 시작하는 경우 순환마디가 소수 첫째자리 부터 시작하는 경우에, 다음과 같은 방법으로 분수로 나타낼 수 있다. 마디를 분자에 그대로 써준다.

˙ 1˙ 3.32

순환마디

321 999

마디의 길이만큼 분모에 9 를 써준다.

02 순환마디가 소수 첫째자리 부터 시작하지 않는 경우 순환마디가 소수 첫째자리 부터 시작지 않는 경우에, 다음과 같은 방법으로 분수 로 나타낼 수 있다. 소수부 (4251)에서 순환마디가 아닌 수 (42)를 뺀다.

3.425˙ 1˙

순환마디

4209 9900

마디의 길이만큼 분모에 9 를 쓴 후, 순환되지 않는 부분의 길이만큼 분모에 0 을 쓴다.

순환소수의 대소비교 순환소수의 대소를 비교하는 방법으로는 다음과 같은 두가지가 있다. 01 순환소수의 순환마디를 풀어 써서 각 자리의 숫자를 차례로 비교한다. 02 순환소수를 분수로 고쳐서 비교한다. 단순히 순환소수의 대소를 비교할 때는 첫 번째 방법이 더 쉬운 경우가 많다.

1 유리수와 근삿값

1.2 순환소수

순환소수의 사칙연산 순환소수는 소수부의 길이가 무한하기 때문에 소수형태로는 곱셈이나 나눗셈 등 의 연산이 직관적이지 않다. 따라서 순환소수를 대상으로 사칙연산을 할 때에는 분수형태로 바꾸어 주어야 한다.

5 3 + = 0.8˙ 9 9 45 5 45 9 9 ÷ = × = 0.4˙ 5˙ ÷ 0.5˙ = = 0.8˙ 1˙ 99 9 99 5 11 0.5˙ + 0.3˙ =

1 유리수와 근삿값

1.2 순환소수

연습문제 01 다음 순환소수의 소숫점 아래 47번째 자리의 숫자를 구하여라.

˙ 5˙ 0.11472

0.32˙ 6˙

˙ 6˙ 0.831

02 다음 순환소수를 분수로 나타내어라.

0.2˙ 7˙

˙ 7˙ 0.11

˙ 2˙ 0.310

03 다음 순환소수들을 큰 순서대로 정렬하여라.

˙ 2˙ 0.111

0.11˙ 2˙

˙ 2˙ 0.12

04 다음을 계산하여 답을 소수형태로 나타내어라.

˙ 2˙ + 0.32˙ 7˙ (1) 0.12 ˙ 4˙ − 0.32˙ 7˙ (2) 0.7123 ˙ 1˙ × 0.1˙ 3˙ (3) 0.13 (4) 0.2˙ 1˙ ÷ 0.4˙

1 유리수와 근삿값

1.2 순환소수

다

근삿값

cbd

Flickr / genemoo

1 유리수와 근삿값

주요 개념 이해

중국은 매우 거대한 나라이다. 매우 빠른 속도로 경제발전을 이루어 나가고 있지만, 아직은 우리나라

01 근삿값과 오차의 개념을 이해한다.

나 다른 선진국에 비해 사회적으로 여러 가지 측면에서 낙후되어 있다. 일례로 중국에서는 주민등록

02 유효숫자를 판별할 수 있다.

제도가 매우 부실하고 산아제한 정책으로 자녀를 낳고도 등록하지 않는 경우가 많아, 실제 인구 수를 산출하기 어렵다. 이런 이유로 중국에서는 주민등록을 바탕으로 한 인구 조사보다 다른 방식의 인구 조사 자료를 신뢰한다. 중국에서는 연간 판매, 소비되는 소금의 양을 바탕으로 1인당 연간 소금 사용 량을 계산하여 전체 인구를 추산해 낸다. 그렇게 추산된 중국 인구는 비록 완벽하지는 않지만, 매우 손쉬운 방법으로 비교적 정확한 수치를 구해낼 수 있다.

근삿값과 오차 어떤 물건의 길이나 무게와 같이 자나 저울 등의 측정기구로 측정하여 얻은 값을 측정값이라 하고 그 양의 실제의 값을 참값이라고 한다. 일반적으로 측정값과 같이 참값은 아니지만 참값에 가까운 값을 근삿값이라고 한 다.

근삿값

참값

3.141592...

참값

근삿값

일반적으로, 근삿값은 참값에 가깝지만 참값과는 차이가 있다. 이 때, 근삿값에서 참값을 뺀 값을 오차라고 한다. (오차) = (근삿값) - (참값)

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

예를 들어, 실제 58명이 있는 방의 사람 수를 60명이라고 추측했다면 (참값) = 58(명) (근삿값) = 60(명) (오차) = 60 - 58 = 2(명)

오차의 한계 일반적으로, 참값을 모르더라도 근삿값으로 부터 참값의 범위는 알 수 있다. 근삿 값을 구했을 때, 오차의 절댓값이 어떤 값이하라고 판단되는 값을 오차의 한계라 고 한다. 오차의 한계를 구하는 방법은 다음과 같다. 01

반올림하여 얻은 근삿값 : 근삿값의 맨 끝자리 단위값의 절반

측정하여 얻은 근삿값 : 측정기기의 최소눈금의 절반

참값의 범위 근삿값에 대하여 참값은 오차의 한계 내에 존재하므로 다음과 같이 참값의 범위 를 구할 수 있다. 근삿값 - 오차의 한계 ≤ 참값 ＜ 근삿값 + 오차의 한계 예제) 최소 눈금이 1mm인 자로 볼펜의 길이를 잰 결과 측정값이 145mm였다. 참값의 범위 144.5 오차의 한계

145 근삿값

145.5 오차의 한계

이 때, 오차의 한계는 최소눈금의 절반인 0.5mm이다. 따라서 참값의 범위는 144.5mm ≤ (참값) ＜ 145.5mm 이 된다.

1 유리수와 근삿값

1.3 근삿값

근삿값의 표현 같은 길이도 측정하는 도구에 따라 다른 길이로 표현할 수 있다. 예를 들어 수은 전지의 지름의 길이를 최소 눈금이 1mm인 자와 0.1mm인 자로 재었더니 각각 20mm가 나왔다고 했을 때, 참값의 범위는 최소눈금에 따라 다음과 같다. 01 최소눈금이 1mm인 경우 참값의 범위 19

19.5

20.5

20.05

20.1

02 최소눈금이 0.1mm인 경우 참값의 범위 19.9

20.0

19.95

반올림하여 얻은 근삿값에서 반올림하지 않은 자리의 숫자를 유효숫자라고 한다. 위 경우에서 유효숫자는 각각 2,0 / 2,0,0 이다.

유효숫자를 구하는 방법 01 반올림한 경우 반올림한 자리 바로 윗자리 까지의 숫자들이 유효숫자이다. 02 측정한 경우 최소눈금 자리까지의 숫자들이 유효숫자이다. 근삿값의 유효숫자를 정확히 나타내기 위해, 근삿값의 유효숫자로 된 부분을 정 수부분이 한자리인 수 a 와 10의 거듭제곱의 곱으로 다음과 같이 나타낸다.

a × 10n 또는 a × 예)

1 102 1 0.120 = 1.20 × 1 10 0.047 = 4.7 ×

6400 = 6.40 × 103

1 유리수와 근삿값

1.3 근삿값

1 (단, 1 ≤ a < 10 , n 은 자연수) 10n

연습문제 01 다음 근삿값의 오차를 구하여라. (1) 27살인 선생님의 나이를 어림잡아 30살이라고 다른 사람에게 소개했다. (2) 오늘 출석한 학생의 수는 24명인데, 어립잡아 25명이라고 이야기 했다. (3) 서울광장에 12321명이 모였는데 경찰 추산으로는 700명이라고 한다.

02 다음 근삿값들의 오차의 한계를 구하여라. (1) 반올림하여 얻은 근삿값 24.5의 오차의 한계 (2) 최소 눈금이 10g인 저울로 측정한 딸기의 무게가 2.37kg일때의 오차의 한계 (3) 최소 눈금이 1mm인 자로 측정한 도아의 머리 크기가 23.5cm일 때의 오차의 한계

03 다음 중 유효숫자가 확실한 0에 동그라미를 쳐라. (1) 34070 (2) 27.05280 (3) 340.283 (4) 0.004210

1 유리수와 근삿값

1.3 근삿값

1 유리수와 근삿값

1.3 근삿값

식의 계산 2.1 다항식의 사칙연산 2.2 지수법칙 2.3 단항식의 곱셈과 나눗셈 2.4 등식의 변형, 식의대입 2.5 곱셈공식

다

다항식의 사칙연산

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2 식의 계산

cbna

주요 개념 이해

교육장에서 열심히 교재를 개발하던 정준 선생님은 배가 고파서 같이 일하던 선생님들에게 중화요리

01 동류항의 개념을 이해한다.

를 시켜 먹자고 했다. 마침 다들 배가 고팠던지라 먹고 싶은 음식을 조사한 뒤 음식점에 전화를 했다.

02 다항식끼리의 사칙연산을 능수능란하

“탕수육 하나에 간짜장 하나에 삼선짜장 하나에 간짜장 하나에 볶음밥 하나에 간짜장 하나에 간짜

게 할 수 있다.

장 또 하나에 볶음밥 하나에 삼선짜장 하나 주세요.” 이 말을 들은 음식점은 혼란상태에 빠졌고, 보다 못한 이동훈 선생님이 전화기를 뺐어 들었다. “방금 전에 한 말은 무시하시고요, 탕수육 하나에 삼선짜장 둘, 간짜장 넷, 볶음밥 둘 주세요” 라고 이야기 하고 끊었다.

항 다항식

간단히 정리했을 때, 상수인 계수와 문자의 곱으로 나타낼 수 있는 것을 항이라

여러 개의 항으로 이루어진 식

고 한다.

3xy

차수

계수

동류항 항의 계수 부분을 제외한 문자의 곱으로 나타낸 부분이 같은 항 들을 의미한다.

5 2 x 7

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

3x2

다항식의 덧셈 괄호를 다 없애준 뒤, 동류항끼리 계수를 더해준다. (5x + 2y) + (3x − 7y) = 5x + 2y + 3x − 7y = 5x + 3x + 2y − 7y = 8x − 5y

※괄호를 풀어준다. ※동류항끼리 간소화한다.

다항식의 뺄셈 다항식의 덧셈을 연산할 때 처럼, 괄호를 없애 주되, 빼는 부분의 부호를 바꾸어 괄호를 제거한 뒤 덧셈으로 고쳐 계산한다. (2x + 4y + 5) − (3x − 2y + 1) = 2x + 4y + 5 − 3x + 2y − 1 ※괄호를 풀어준다.(부호 바뀜) = 2x − 3x + 4y + 2y + 5 − 1 ※동류항끼리 간소화한다. = −x + 6y + 4

여러가지 괄호가 있는 식의 계산 소괄호, 중괄호, 대괄호의 순으로 작은 단위 부터 하나씩 괄호를 줄여 나간다. 대괄호 중괄호 소괄호

[{ ( [{ ( [{ ( [{ (

2 식의 계산

2.1 다항식의 사칙연산

[ ( {[ ( {[ ( {[ ({

소괄호 내의 동류항을 묶어 정리해 준다.

부호에 주의하며 소괄호를 정리해 준다.

부호에 주의하며 중괄호를 정리해 준다.

부호에 주의하며 대괄호를 정리해 준다.

이차식의 덧셈과 뺄셈 다항식의 각 항의 차수 중 가장 높은 차수가 2인 다항식을 이차식이라고 한다. 이 차식을 이용해 덧셈과 뺄셈을 할 때에는, 차수가 다른 항들을 다른 문자의 항을 다루는 것 처럼 다루어 주면 된다. 따라서 다음과 같은 순서로 풀어주면 된다. ① 괄호를 풀어준다. ② 동류항끼리(차수가 같은 항끼리) 계산해 준다. ③ 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 적어준다.

(2x2 − 3x + 2) + (x2 + 2x) = 2x2 − 3x + 2 + x2 + 2x = 2x2 + x2 − 3x + 2x + 2 = 3x2 − x + 2

단항식과 다항식의 곱셈 전개

분배법칙을 적절하게 이용하여 단항식을 다항식의 각 항에 곱하여 합을 구한다.

단항식과 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 나타내는 것

m(a + b) = ma + mb

전개식

단항식 다항식

전개하여 얻은 다항식

전개식

(a + b)m = am + bm 다항식 단항식

전개식

다항식과 단항식의 나눗셈 다항식을 단항식으로 나눠주는 방법으로는 다음 두가지 방법이 있다. 01 다항식의 각항을 분자에, 단항식을 분모에 놓고 계산한다.

(A + B) ÷ C =

A+B A B = + C C C

02 나눗셈을 역수로 고친 뒤 분배법칙을 이용하여 계산해 준다.

(A + B) ÷ C = (A + B) ×

2 식의 계산

2.1 다항식의 사칙연산

1 1 1 =A× +B× C C C

연습문제 01 다음 식을 간단히 하여라 (1) (2x + 6y) + (10x − 2y) (2) (8a − 3b) − (−3a + 5b + 7) (3) 5 − {3 − 3(x − y)} (4)

x x+2 + 7 3

02 다음 식을 간단히 하여라 (1) (2x2 + 7x − 4) − (4x + 5x2 − 7) (2) (5a2 − 8a + 7) − (3a2 − 5a + 5)

03 다음 식을 전개하여 나타내어라 (1) 3x(x + 4y) (2) −2a(3a − 3b)

04 다음 식을 간단히 나타내어라 (1) (6ac + 9ab) ÷ 3a (2) (4xy − 12x2 y) ÷ (−2x)

2 식의 계산

2.1 다항식의 사칙연산

다

Flickr / jonno101

2 식의 계산

cbnd

지수법칙

주요 개념 이해

교육장에서 라면을 먹고 아무데나 버리지 말라고 아무리 강조하여도 소 귀에 경읽기 인 경우가

01 말로 표현된 문제를 식으로 바꿀 수

대부분이다. 사태의 심각성을 설명해 주고자 정다슬 선생님이 병길이에게 충격적인 사실을 말해주었

있다.

다. 선생님이 “병길아, 라면을 하나 먹고 버리면 바퀴벌레가 두마리씩 생겨.” 라고 묻자 병길이는

02 여러가지 유형의 연립방정식 문제에 적

“두 마리 밖에 안생기네요.” 라고 답하였다. 선생님은 “그런데 일단 생기면 하루에 두배씩 그 수가

응한다.

늘어나. 3일 뒤면 몇마리가 되는 걸까?” 라고 물었다. 병길이는 “8마리 네요.” 라고 답했다. 선생님은 “그렇다면 3일에서 10일이 더 지나면 어떻게 될까?”라고 물었다. 이 말을 들은 병길이는 수를 세다가 갑자기 혼비백산하여 라면을 땅바닥에 떨어뜨리고 말았다. 무슨 일일까?

지수를 이용한 수의 표현 밑

거듭제곱꼴로 표현이 가능한 수는 밑과 지수로 구분하여 표현할 수 있다.

여러 개의 항으로 이루어진 식

지수 거듭제곱에서 숫자나 문자를 거듭하여 곱한 횟수

지수

밑

지수의 연산 지수를 이용한 수의 표현은 매우 직관적이고 간편하지만, 지수로 표현하는 수는 매우 크기 때문에 지수를 이용한 수끼리의 사칙연산은 복잡해 진다. 지수법칙은 큰 수를 지수로 효율적으로 곱셈과 나눗셈을 할 수 있게 해주는 법칙이다. 예제) (3a × 243) ÷ 81 = 27 일 때, a 의 값은? 풀이) ① 양변에 81 을 곱하면 (3a × 243) ÷ 81 × 81 = 27 × 81 이 된다. 그러므로 3a × 243 = 2187 이고 양변을 243 으로 나누면

3a = 2187 ÷ 243 = 9 이므로 3a = 9 = 32 이다. ∴a=2

② 243 = 35 , 81 = 34 , 27 = 33 이므로 (3a × 35 ) ÷ 34 = 33 이고, 지수법칙을 이용하면 a + 5 − 4 = 3 이다.

∴a=2

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

지수법칙 지수법칙에는 다음과 같은 네가지가 있다. 상황에 맞는 적절한 지수법칙을 사용 하면 매우 효율적인 계산을 할 수 있다. ① 같은 밑을 가지는 제곱수 끼리의 곱셈 ② 제곱수를 밑으로 하는 수의 제곱수 ③ 같은 밑을 가지는 제곱수 끼리의 나눗셈 ④ 합성수 또는 분수로 이루어진 밑을 가진 수에서 지수를 분배하기.

지수법칙 1 - 지수의 합 같은 밑을 가지는 제곱수 끼리 곱하면, 그 제곱수들의 밑에 각 지수를 더한 것을 지수로 하는 수가 나온다. 이 법칙은 밑이 같은 수 사이에서만 성립한다는 점을 기억해야 한다.

am × an = am+n

지수끼리 더해준다.

지수법칙 2 - 지수의 곱 지수가 있는 제곱수를 또 다시 제곱하게 되면, 지수끼리 곱해주어야 한다.

(am )n = amn

지수끼리 곱해준다.

지수법칙 3 - 지수의 차 같은 밑을 가지는 제곱수 끼리 나누면, 그 제곱수들의 밑에 지수끼리 빼준 것을 지수로 하는 수가 나온다. 이 법칙은 밑이 같은 수 사이에서만 성립한다는 점을 기억해야 한다.

am ÷ an = am−n

지수끼리 빼준다.

지수법칙 4 - 지수의 분배 합성수 또는 분수로 이루어진 밑을 가진 수에서 지수를 분배하면, 각각 분해된 인 수들 또는 분자와 분모에 공통적으로 지수가 분배된다.

(ab)n = an bn a an ( )n = n b b 2 식의 계산

2.2 지수법칙

각각의 인수에 공통으로 분배한다. 분모와 분자에 공통으로 분배한다.

연습문제 01 지수법칙 1을 이용하여 다음 계산을 하여라. (1) 22 × 23 (2) 3 × 34 × 37 (3) a4 × a2 × a

02 지수법칙 2를 이용하여 다음 계산을 하여라. (1) (a3 )4 (2) (57 )3 (3) (y 5 )2 × (y 3 )4

03 지수법칙 3을 이용하여 다음 계산을 하여라. (1) 114 ÷ 113 (2) x23 ÷ x4 ÷ x7 (3) a7 ÷ a4

04 지수법칙 4를 이용하여 다음 계산을 하여라. (1) (xy)4 (2) (ab2 )2 3 (3) ( a )3 2

2 식의 계산

2.2 지수법칙

2 식의 계산

2.2 지수법칙

단항식의 곱셈과 나눗셈

2 식의 계산

Flickr / suksim

주요 개념 이해

한솔이는 교육장에서 공부를 마치고 집에 돌아가다가 배가 고파서 인근의 패스트푸드점에서 야식을

01 문자가 섞인 단항식의 계산은 어떻게

사먹게 되었다. 맛있게 햄버거를 입 안에 넣으려는 순간 어디선가 나타난 지 모를 조현익 선생님의 친

해야 할까?

근한 질책이 들려왔다. “한솔아, 햄버거 세트를 먹을 때에는, 갓 튀겨낸 감자의 바삭함을 잘 음미하기

02 서로 다른 문자는 어떻게 계산해야

위해서 감자튀김을 먼저 따로 먹고, 햄버거를 먹는 것이란다.” 한솔이는 긴가민가했으나, 언제나 바른

할까?

말만 하는 선생님을 믿고 말씀해 주신대로 해 보았다. 그랬더니 정말 감자와 햄버거의 맛을 서로 간 섭없이 즐길 수 있었다. “비법을 가르쳐 주셔서 감사합니다.”라고 말하는 한솔이에게 조현익 선생님은 씩 웃으며 의미심장한 한마디를 남기고 돌아섰다. “단항식의 참맛은 계수 따로, 문자 따로”

식의 종류 단항식: 숫자와 문자 사이에 곱셈과 나눗셈만으로 이루어진 식 다항식: 단항식 사이에 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 식 항: 다항식에 포함된 각각의 단항식을 말함

단항식의 곱셈 계수

① 괄호가 있으면 지수법칙을 이용하여 괄호를 푼다.

어느 대상에 일정하게 곱해지는 인자

② 계수는 계수끼리 곱하고 문자는 문자끼리 곱한다.

지수법칙 같은 문자 또는 수의 거듭제곱의 곱셈, 나눗셈

③ 같은 문자끼리의 곱셈은 지수법칙을 사용한다.

을 지수의 덧셈 뺄셈으로 계산할 수 있는 법칙

단항식의 나눗셈 역수

나눗셈은 괄호가 있으면 먼저 괄호를 지수법칙을 이용하여 푼 뒤에 다음 두 가지

어떤 수나 식에 대하여 곱했을 때 1이 되게 하

방법 중 택하여 계산한다.

는 수나 식

01 분수 꼴로 고치기 (계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리!)

A÷B =

A B

02 나누는 식의 역수를 곱하기 (계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리!) 30

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

A÷B =A×

1 A = B B

단항식의 곱셈과 나눗셈의 혼합계산 ① 괄호가 있으면 지수법칙을 이용하여 괄호를 푼다. ② 나눗셈은 분수나 역수의 형태를 취한다. ③ 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 지수법칙을 이용하여 계산한다.

이항하여 정리하기 이항하여 정리하는 형태의 문제에서는 미지수에 관하여 정리하면 편하다.

예제) 다음 안에 들어갈 알맞은 식을 구하여라

x7 y 3 ×

x × = x6 y2

풀이) 문제를 빨리 풀기 위해서는 먼저 를 제외한 좌변을 간단하게 해준다.

x8 y × = x6 그리고 정리된 좌변을 를 그대로 두고 우변으로 이항한다.

x6 x8 y

이제 위 식을 정리할 수 있다. 에 대해서 정리해 보면

1 x2 y

지수와 계수의 합을 구하기 지수와 계수의 합을 구하는 유형의 문제에서는 지수는 지수기리, 계수는 계수끼 리 연산해주면 된다. 예제) (−x2 y)A × 6x2 y 2 ÷ 3xB y 를 간단히 하면 Cx6 y 4 일 때

A + B + C 의 값을 구하여라.

풀이) 먼저 괄호를 풀어 식을 간단하게 정리한다.

(−1)A × 2x2A+2−B y A+1 = Cx6 y 4

계수는 계수끼리, 지수는 지수끼리 비교해서 식을 세운다.

2A + 2 − B = 6 , A + 1 = 4 ∴A=3 ∴B=2 A = 3 이므로 C = −2 2 식의 계산

2.3 단항식의 곱셈과 나눗셈

연습문제 01 다음 식을 간단히 하여라 (1) 2x2 × 3x (2) 2a × 6a3 b (3) 9a2 ÷ 3a (4) 3xy ÷ 3y

02 다음 식을 간단히 하여라 (1) 3x2 × x ÷ x2 (2) 4b3 ÷ b4 × (−b)2

1 2 b 3 2 3y 4 (4) (xy) × (− ) × 2 y x (3) (6ab2 )2 ÷ (2a)2 ×

03 다음 안에 알맞은 수를 써 넣어라 (1) (x3 y )2 = x6 y 8 (2) 2 ÷ 22 =

1 22

04 다음 등식이 성립하도록 안에 알맞은 수를 써 넣어라

(−3x2 y 3 ) ÷ x3 y = xy

2 식의 계산

2.3 단항식의 곱셈과 나눗셈

2 식의 계산

2.3 단항식의 곱셈과 나눗셈

등식의 변형, 식의 대입

2 식의 계산

/ jsteph 배움을Flickr 나누는 사람들 cbnd cb

주요 개념 이해

배나사에서 활동하는 선생님들은 다재다능한 사람들이 많고, 여러가지 상황에 맞춰 대응하여야 하는

01 등식을 계산하기 쉬운 형태로 자유롭게

상황에 자주 놓이게 된다. 수업시간에 한없이 엄격하게 가르치기만 하던 선생님도, 문제를 다 풀고

변형할 수 있다.

쉬는 시간에는 더없이 좋은 학생들의 대화 상대가 되어주어야 하고, 교재개발을 할 때는 학생들에게

02 식을 특정한 문자에 관하여 정리할

어떻게 설명을 해주면 조금이라도 더 잘 이해할 수 있을지 고민하고는 한다. 한 사람이 자신이 놓인

수 있다.

위치, 자신의 역할에 따라 여러가지 모습을 보여주고, 스스로를 그에 맞춰 조절해야 하는 매우 어려운

03 식을 다른 식에 대입할 수 있다.

일이다. 같이 대화해 주기를 기대하는 학생에게 엄하고 무섭게 대하기 보다는 생각을 공유하고 이해하려고 노력하는 것처럼, 수학에서도 등식을 필요에 맞게 변형시키고 알맞은 위치에 대입하는 것은 매우 중요하다.

식의 값 식의 값이란, 주어진 식의 문자에 특정한 값을 대입하였을 때, 얻게 되는 값. 다음 과 같은 순서로 계산할 수 있다. 1. 주어진 식이 복잡하면, 먼저 식을 간단하게 정리한다. 2. 문자에 주어진 수를 대입하여 식의 값을 계산한다.

특정한 문자에 관하여 풀기 3 2

등식 3x + 2y = 7 은 사실 y = − x + 7 과 같은 식이지만, 등식의 특성에 따라 여러번 이항의 과정을 거치면서, 등식의 모양이 바뀌게 된 경우이다.

(한 문자) = (다른 문자에 관한 식) 6x − 2y = 7

x가 아닌 문자항과 상수항은 모두 오른쪽으로!

6x = 7 + 2y x=

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

7 1 + y 6 3

x의 계수를 1로 만들어 줘야 한다.

식을 식에 대입하기 주어진 식의 문자에 문자에 해당하는 식을 대입하여, 서로 다른 문자에 관한 식으 로 나타내는 것. B x − 2y

A 3x + 4y

2A − 3B A 와 B 에 상응하는 식을 괄호 안에 대입한다. 2(3x + 4y) − 3(x − 2y)

식을 전개하여 괄호를 없애준다. 6x + 8y − 3x + 6y

간단하게 나타낸다. 3x + 14y

등식을 변형하여 식의 값을 구하기 등식을 자유롭게 변형하여, 다항식에 대입하면, 복잡한 식을 매우 간단하게 정리할 수 있다. 변형할 때, 직관적으로 변형하여 대입하는 것이 매우 중요하며, 만약 직 관적인 변형이 어려운 경우, 우선 한가지 문자에 대해 정리하는 방법을 시도한다.

x − y = 2x + y

하나의 문자에 관하여 정리한다.

2y = −x 2y x − 3x + 4y x

−x

−2x

정리한 식을 대입한다.

−x x − 3x − 2x x 대입이 끝난 식을 간단히 나타낸다.

x x + =1+1=2 x x

2 식의 계산

2.4 등식의 변형, 식의 대입

등식의 변형의 활용 등식의 변형을 활용하면, 도형의 넓이, 전압-전류, 거리-속력-시간 간의 관계 등 여 러가지 형태의 수치 계산을 할 수 있다. a

a: b: h: S:

윗변의 길이 아랫변의 길이 높이 사다리꼴의 넓이

원래, 나머지 조건이 주어진 경우 사다리꼴의 넓이를 구하는 식은 다음과 같다.

1 (a + b) × h 2

하지만 등식의 변형을 이용하면, 다음과 같은 형태들로 자유롭게 변형이 가능하다.

2S a+b 2S −b a= h 2S −a b= h h=

2 식의 계산

2.4 등식의 변형, 식의 대입

연습문제 01 다음 식을 x 에 관하여 정리하여라 (1) 3x + y = 6 (2) 12x + 5 − 2y = 0 (3) 7 −

2 x+y =0 3

(4) 5 + x = 2y

02 A = 3x + 5y 이고, B = 7x − y 일 때 다음 식을 x , y 로 나타내 보아라 (1) 2A − B (2) A + 3B (3) 3A + 2B (4) A −

1 B 2

03 전압 V , 전류 I , 저항 R 간의 관계가 V = IR 로 나타내어질 때 다음 문 자들에 관해 식을 정리해 보아라. (1) I (2) R

2 식의 계산

2.4 등식의 변형, 식의 대입

곱셈 공식

2 식의 계산

주요 개념 이해

어릴 적부터 연경이는 책들을 분야와 크기 별로 정리를 하는 습관을 가지고 있다. 어느 날 현지와 함께

01 곱셈공식을 익혀서 식의 계산을 편리하

정민이네 놀러 가서 책들이 어질러져 있는 모습을 보고 연경이는 깜짝 놀랐다.

게 할 수 있다.

책을 정리하는 것은 귀찮고 시간이 걸리는 일이어서 많은 사람들이 싫어한다. 하지만 우리는 주위에서

02 곱셈공식을 익혀서 식의 계산을 편리하

비슷한 것끼리 정리되어 있을 때 편리함을 느끼는 경우가 많음을 알고 있다. 다항식의 곱셈에서도 식을

게 할 수 있다.

정리하면 계산을 빠르고 편리하게 할 수 있는데, 왜 그런지 살펴보자.

다항식 다항식은 유한한 개수의 문자와 숫자들의 덧셈, 뺄셈, 그리고 곱셈으로 이루어진 식을 말한다. 이때 문자의 차수는 0 또는 양의 정수이어야 한다. 예제) 다항식과 다항식을 만족하지 못하는 식

7x2 + 3

x2 y

(다항식 X; 문자에 의한 나눗셈이 존재 → 분모에 문자가 있으 면 다항식이 아니다.)

7 1 5x3 − yz 5 + y 2 (다항식 O) 4 3

다항식의 곱셈 주어진 다항식의 형태를 바꾸는 것은 문제를 풀기 위한 여러 방식으로의 접근 가 능성을 증가시키며, 이것은 문제의 해결에 도움을 준다. 다항식의 형태를 바꾸는 것은 크게 전개와 인수분해로 나눌 수 있는데, 여기서는 전개에 대해서 살펴보자. 예) (a + b)(x + y) = a(x + y) + b(x + y) = ax + ay + bx + by

배움을 나누는 사람들

중학교 3학년 수학

교환법칙 임의의 두 수(문자) a, b 에 대해

둘 이상의 다항식의 곱으로 이루어진 식을 하나의 다항식으로 표현하는 과정을

서 a × b = b × a 가 성립하는 경우,

전개라 한다. 이를 위해서 곱셈의 분배법칙과 교환법칙을 사용한다.

연산 × 에 대하여 교환법칙이 성립한다 고 말한다. 분배법칙 임의의 세 수(문자) a, b, c 에 대 해서 등식 a × (b + c) = a × c + a × b 가

성립하는 경우 연산 × 는 + 에 대해서 분배

예제) (x − 2)(y + 9)(x + 2)(y − 9) = (x − 2)(x + 2)(y − 9)(y + 9)

= (x − 4)(y − 81) 2

= x2 − 81x2 − 4y 2 + 324

법칙이 성립한다고 말한다.

교환법칙 합차공식 전개

곱셈 공식 - 합, 차의 곱 2 2 2 2 (a + b)(a = b2ab +ab)2+=2ab a2 + +합의 + b제곱식 완전 :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2 2 2 22 2 2 예제) 2 2)22 을 전개하시오. 2 2ab (a(a ++ b)b) ==a2a+ + + (a+ bb) +b b) = a= + a22ab + (3x 2ab + b+ + b + (a 2ab

풀이) (3x + 2)(3x + 2) = (3x × 3x) + (3x × 2) + (3x × 2) + (2 × 2)

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 (a(a ++ b)b) = 2ab + b+ (a=a+ (a a+ b)++ b) = 2ab a=+ ab 2ab + 2ab + b+ b

= 9x2 + 6x + 6x + 4 = 9x2 + 2 × 6x + 4 = 9x2 + 12x + 4

차의 완전 제곱식 : (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

예제) (5x − 4y)2 을 전개하시오.

풀이) (5x − 4y)(5x − 4y) = (5x × 5x) − (5x × 4y) − (4y × 5x) + (4y × 4y)

2 식의 계산

= 25x2 − 20xy − 20xy + 16y 2 = 25x2 − 2 × 20xy + 16y 2 = 25x2 − 40xy + 16y 2

2.5 곱셈 공식

합 차 공식 : (a + b)(a − b) = a2 − b2

예제) (4x + 3)(4x − 3)을 전개하시오.

풀이) (4x + 3)(4x − 3)

= (4x × 4x) + (4x × (−3)) + (4x × 3) + (3 × (−3)) = 16x2 − 12x + 12x − 9 = 16x2 − 9

곱셈 공식 - 두 일차식의 곱 x 의 계수가 1 인 일차식의 곱 : (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

예제) (x + 1)(x + 2) 을 전개하시오.

풀이) (x + 1)(x + 2) = x2 + (2 × x) + (1 × x) + 2 × 1

= x2 + 2x + 1x + 2 × 1 = x2 + (2 + 1)x + 2 × 1 = x2 + 3x + 2

x 의 계수가 1이 아닌 일차식의 곱 : (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

예제) (5x + 1)(7x + 3) 을 전개하시오. 풀이) (5x × 7x) + (5x × 3) + (7x × 1) + (3 × 1)

2 식의 계산

= 35x2 + 15x + 7x + 3 = 35x2 + (15 + 7)x + 3 = 35x2 + 22x + 3

2.5 곱셈 공식

용어 정리 단항식 문자와 숫자들의 곱으로만 이루어진 식 다항식 유한한 개수의 문자와 숫자들의 덧셈, 뺄셈, 그리고 곱셈들로 이루어진 식 (단항식은 항이 1 개인 다항식에 포함된다) 동류항 문자와 차수가 각각 같은 항

2 식의 계산

2.5 곱셈 공식

연습문제 01 다음 식을 곱셈공식을 이용하여 전개하여라 (1) 2x(3x + 4y)

(2) (a − 2b)(2c + d)

(3) (x − 1)(2x + 3y + 6)

(4) 3(x + 2y)(x − y)

(5) (x + y)2

(6) (x − 3)2

(7) (3x − y)2

(8) (x − 3y)2

(9) (x − 2)(x + 2)

(10) (x − 5)(x + 5)

2 식의 계산

2.5 곱셈 공식

11 (x + 7)(x − 7)

12 (x + 9)(x − 9)

2 식의 계산

2.5 곱셈 공식

2 식의 계산

2.5 곱셈 공식

연립방정식 3.1 미지수가 2 개인 일차방정식 3.2 가감법과 대입법 3.3 여러가지 연립방정식 3.4 연립방정식의 활용

미지수가 2개인 일차방정식

Flickr / ooohoooh

3 연립방정식

cbnd

주요 개념 이해

교육장에서 공부를 열심히 하던 해인이는 장래희망에 대한 고민으로 밤을 새우다 공부가 안되어서 전

01 두 개의 미지수에 관한 일차방정식을

민교 선생님을 붙들고 질문을 하게 되었다. 해인이는 사실 아픈 사람을 고쳐주는 의사가 되고 싶기도

세울 수 있다.

하고, 또 국선 변호인이 되어 다른 사람들을 법정에서 대변해 주고 싶은 두가지 꿈에 대해서 고민하고

02 일차방정식을 만족하는 값들의 순서쌍

있었다. 전민교 선생님은 심각한 표정으로 그 이야기를 듣더니 “둘 다 해”라고 명쾌한 답변을 해 주셨

을 구할 수 있다.

다. 해인이는 역시나 혼자서 해결하기 어려운 고민도, 둘이 같이 생각하면 낫다는 생각을 하면서 고민 을 해결했다. 하나만으로 해결할 수 없는 문제는 둘로 풀어야 한다.

등식과 방정식 ‘ = ’ 이 기호를 모르는 사람을 아마 없을 것이다. 이는 ‘ = ’의 좌우에 놓인 두 식이 같음을 의미한다. 이처럼 ‘ = ’ 기호가 쓰인 식을 우리는 등식이라고 한다.

2+3=5 우리는 직관적으로 위 식이 참임을 알 수 있다. = 의 왼쪽의 식을 좌변, = 의 오른 쪽의 식을 우변이라고 하는데, 좌변과 우변이 서로 같을 때 ‘ = ’ 기호를 사용한다.

7−2=4

이번에도 쉽게 이 식이 거짓임을 알 수 있다. 사실 이 식은 다음과 같이 표현해야 옳다.

7 − 2 = 4 이처럼 숫자만으로 이루어진 등식은 쉽게 참과 거짓을 판별할 수 있다. 하지만, 아 래의 경우를 살펴 보자.

5x − 3 = 2 미지수5x 대신에 − 3 =1을 2 넣어보면 이 식이 성립함을 알 수 있다. 하지만 1이외의 0이나 2와 같은 다른 수를 넣어보면 윗 식은 거짓이다. 이처럼 미지수5x − 대신에 3 = 넣은 2 수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 우리는 방정식이라고 한다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

미지수 미지수란 수식에 따라서 변하는 값을 뜻하며 변수라고도 한다. 변수와 반대되는 개념으로는 수식에 따라 정해진 값이 변하지 않고 유지되는 상수가 있다. 일반적 으로 x 나 y 와 같은 알파벳 소문자로 나타낸다. 예를 들어 47kg인 지민이가 초콜릿바 1개를 먹을 때마다 0.5kg씩 살이 찐다고 가 정하자. 초콜릿바를 먹지 않은 지민이의 몸무게는 …… 47kg

= +× 1== 47.5kg 초콜릿바를 1개 먹은 지민이의 몸무게는 ……47kg +× 0.5kg = +× 2== 48kg 초콜릿바를 2개 먹은 지민이의 몸무게는 ……47kg +× 0.5kg = +× 3== 48.5kg 초콜릿바를 3개 먹은 지민이의 몸무게는 ……47kg +× 0.5kg ：：

= +× 7== 50.5kg 초콜릿바를 7개 먹은 지민이의 몸무게는 ……47kg +× 0.5kg ：： 그렇다면 초콜릿바를 x 개 먹은 지민이의 몸무게 식을 어떻게 나타낼 수 있을까?

x )kg으로 표현할 수 있을 것이다. 이 때의 x 를 우리는 미지수(변 이는 (47 +× 0.5= 수)라 하고, 47이나 0.5와 같은 수는 상수라고 한다.

미지수가 2개인 일차방정식 미지수가 2개이고, 그 차수가 모두 1인 방정식을 미지수가 2개인 일차방정식이라 고 한다. 두 미지수를 x 와 y 로 놓았을 때, 두 미지수에 대한 일차방정식은 일반 적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. a, b, c 는 모두 상수라고 생각하자.

ax + by + c = 0

3 연립방정식

3.1 미지수가 2개인 연립방정식

(a = 0, b = 0)

미지수가 2개인 일차방정식의 해 미지수가 2개인 일차방정식에서 하나의 미지수의 값에 따라 나머지 미지수의 값을 결정할 수 있는데, 방정식을 참이 되게 하는 두 미지수의 값 또는 값의 순서쌍을 이 방정식의 해라고 한다. 예를 들어 체리 x 개와 호두 y 개를 합하여 모두 10개를 샀을 때, x + y = 10 이라는 미지수가 2개인 일차방정식의 꼴로 나타낼 수 있다. 체리를 8개 샀으면, 호두마루는 몇 개나 산걸까? 예상할 수 있듯이 호두의 갯수는 2개여야 방정식이 성립하게 된다. 이는 순서쌍으로 (8, 2)라고 표현할 수 있을 것이다. 이 방정식의 해를 모두 구하면, (0, 10), (1, 9), (2, 8), ……, (7, 3), (8, 2), (9, 1), (10, 0) 이고, (3, 3)이나(5, 6) 등은 해가 아니다. 이처럼 일차방정식을 만족하는 해를 모두 구하는 것을 우리는 일차방정식을 푼다 고 한다.

미지수가 2개인 연립일차방정식 미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶어 놓은 것을 미지수가 2개인 연 립일차방정식이라고 한다. 이 것을 간단히 줄여서 연립방정식이라고 한다. 예) x + y = 42x + y = 7

x + y = 42x + y = 7 위에서 보았듯이 각각의 미지수가 2개인 일차방정식의 해는 무수히 많다. 그러나 두 일차방정식을 동시에 만족시키는 x, y의 값 또는 그 순서쌍을 구하는 것을 우리 는 연립방정식을 푼다고 말한다. 위 연립방정식의 해를 구해보자.

x + y = 42x + y = 7 x 1 2 3 y x + y = 42x + y = 7 1 x y

이 때 두 방정식에서 공통으로 존재하는 순서쌍이 연립방정식의 해이다.

3 연립방정식

3.1 미지수가 2개인 연립방정식

연습문제 01 다음 식을 참이 되게 하는 정수 x , y 의 순서쌍을 3개 이상 구하여라. (1) 3x + 5y + 1 = 0

(2) −x + y = 0

(3) 2x + 3y + 10 = 0

02 두 식을 동시에 만족시키는 순서쌍을 구하여라 (1) (2)

3 연립방정식

2x + y x − 3y

x−y 2x + 3y

=4 = −5 =2 = 19

3.1 미지수가 2개인 연립방정식

다

가감법과 대입법

Flickr / mrbeany

3 연립방정식

cbnd

주요 개념 이해

오랜만에 만난 친구들과 피시방에 게임을 하러 갔을 때, 사람 숫자가 맞지 않아 게임을 즐기지 못하

01 가감법과 대입법을 사용해야 하는 상

던 기억이 있을 것이다. 하지만 사람 수가 맞지 않는다고 게임을 하지 못하는 것은 아니다. 컴퓨터의

황을 판단하여 능숙하게 해결한다.

인공지능을 이용하여 가상의 플레이어를 집어넣어 수를 맞출 수도 있고, 다른 팀과의 연합을 통하여

02 등치법과 치환법을 사용해야 하는 상황

상대방과의 수를 맞출 수도 있다. 어떻게든 게임에서 양 팀간의 플레이어의 수를 맞추면 되는 것처럼

을 판단하여 능숙하게 해결한다.

연립방정식을 풀어줄 때도 두 개의 미지수에 낙담하지 않고, 하나의 미지수를 소거하기 위해 두 식에 서 하나의 미지수에 대해 계수를 맞춰 주면 된다.

가감법 소거 미지수가 2 개인 한 쌍의 일차방정식에서 한 미지수를 없애는 것

연립방정식에서 각 일차방정식을 서로 더하거나 빼어주면서 한 미지수를 소거하여 연립방정식을 푸는 방법을 말함. ① 소거하고자 하는 미지수를 선택한다. ② 소거하고자 하는 미지수의 원래 계수들의 최소공배수가 계수가 되도록, 각 식 에 대해 곱셈을 해준다. ③ 두 식을 변끼리 빼준다. ④ 소거된 미지수 외의 나머지 미지수의 해를 구한다. ⑤ 원래 식에 구한 미지수의 해를 대입하여 소거한 미지수의 해를 구한다.

예제) 다음 연립방정식을 가감법을 활용해 풀어라.

3x + 2y x−y

=5 =2

풀이) 먼저 두 일차방정식에서 소거하려고 하는 미지수의 계수의 절대값을 같게 한다. 이 문제 풀이에서는 y 를 소거하기 위해서 두 번째 일차방정식에 2 를 곱하 였다.

3x + 2y = 5 , 2x − 2y = 4

이제 두 식을 더하면 다음을 얻을 수 있다.

5x = 9 ∴x=

배움을 나누는 사람들

5 이다. 9

중학교 2학년 수학

이제 x 를 두 일차방정식 중 하나에 대입하면 나머지 미지수인 y 를 구할 수 있 다.

9 −2=y 5

∴y=−

1 5

대입법 연립방정식에서 하나의 일차방정식을 특정 미지수에 대해서 정리한 뒤, 다른 일차 방정식에 대입하여 연립방정식을 푸는 방법을 말함. ① 하나의 일차방정식을 특정 미지수에 대해서 정리한다. ② 정리된 수식을 다른 방정식의 동일한 미지수에 대입힌다. ③ 대입된 수식을 정리한다. ④ 정리된 수식의 해를 구한다. 예제) 다음 연립방정식을 대입법을 활용해 풀어라.

2y = 4x − 6 3x − y = 2

풀이) 먼저 한 일차방정식을 특정 미지수에 대해서 정리한다.

y = 2x − 3 , 3x − y = 2

이제 정리된 수식을 다른 일차방정식에 대입하여 다음을 얻는다.

3x − (2x − 3) = 2 x+3=2 ∴ x = −1

이제 x 를 일차방정식 중 하나에 대입하여 y 를 구한다.

y = 2(−1) − 3 ∴ y = −5

3 연립방정식

3.2 가감법과 대입법

등치법 주어진 연립방정식을 이루는 두 개의 일차방정식에 대해서 같은 미지수에 관하여 풀고 나서 대입을 활용해 문제를 해결하는 방법을 말함. ① 연립방정식을 구성하는 두 개의 일차방정식을 동일한 미지수에 대해 정리한다. ② 정리된 두 식의 우변으로 구성된 등식을 만들어 미지수를 구한다. ③ 구해진 미지수를 일차방정식에 대입하여 남은 미지수를 구하여라.

예제) 다음 연립방정식 y − 3x = 2 , 2y − 4x = 4 를 등치법을 활용하여 풀

어라

풀이) 먼저 각각의 일차방정식을 동일한 미지수 y (여기서는 y 로 풀어보자)에 대 해서 정리하면 다음과 같다.

y = 3x + 2 , y = 2x + 2 y = y 이므로 각각의 우변에 대해서도 등식이 성립한다. 3x + 2 = 2x + 2 위 식을 정리하면 x = 0 을 얻을 수 있으며, x = 0 을 두 일차방정식 중 하나에 대입하면 y = 2 를 얻을 수 있다. 따라서 연립방정식의 해는 x = 0 , y = 2 이다.

치환법 치환

연립방정식을 구성하고 있는 일차방정식의 형태가 가감법, 대입법, 등치법 등을 적

어떤 대상을 다른 것으로 대체하는 행위를 말

용하기 복잡하다고 생각 될 때 치환을 활용하여 문제를 푸는 방법을 말한다.

한다. 계산을 할 때 수식의 형태를 우리가 기 존에 알고 있는 것으로 바꾸거나, 복잡한 하나 의 수식을 간단한 수식 계산의 반복을 통해 구

① 주어진 연립방정식의 각 일차방정식에 대해서 동일한 수식을 다른 문자(연립

하고자 할 때 사용된다.

방정식에 등장하지 않은 문자로써 A , B 등 원하는 문자를 임의로 사용)로 치 환한다. ② 치환된 연립방정식은 앞에서 배운 가감, 대입, 등치법을 활용하여 문자에 대해 서 푼다. ③ 문자를 치환되기 전의 수식으로 바꾼 뒤 문제의 해를 구한다.

예제) 다음 연립방정식을 등치법을 활용하여 풀어라

3 연립방정식

y 2 x + 4 3y 1 x − 4

3.2 가감법과 대입법

=5 =5

풀이) 먼저 각각의 일차방정식이 가지는 동일한 수식을 찾아본다.

1 y , 가두일 x 4

차방정식에 나타나므로 이 두 수식을 A , B 로 치환하면 다음을 얻을 수 있다. 2A + B = 5 , A − 3B = 3 가감법을 사용하기 위해서 A 의 계수를 일치시키자. 2A + B = 5 , 2A − 6B = 6 가갑법을 사용해서 B 를 구한다.

7B = −1 → B = −

1 7

B 를 일차방정식들 중 하나에 대입하여 A 를 구한다. 1 36 18 →A= 2A − = 5 → 2A = 7 7 7 A , B 를 치환되기 이전의 수식으로 바꾸면 다음과 같다. 1 18 7 →x= A= = x 7 18 y 1 4 B= =− →y=− 4 7 7

3 연립방정식

3.2 가감법과 대입법

연습문제 01 다음 연립방정식을 가감법을 이용하여 풀어보아라. (1) (2) (3) (4)

3x + 2y x+y

x−y x + 3y

2x − 3y 3x + 2y

=5 =1

4a − 3b 6a + 5b

=2 =3

=4 =1

=2 =2

02 다음 연립방정식을 대입법을 이용하여 풀어보아라. (1) (2) (3) (4)

3 연립방정식

x − 3y 2x + 5y

=5 = −1

2x + y −x + 4y

= 11 =8

2x + y x − 3y

2x − 3y = 5 x + 1 = 3y

3.2 가감법과 대입법

=4 =2

3 연립방정식

3.2 가감법과 대입법

여러가지 연립방정식

Flickr / impress

3 연립방정식

cbnd

주요 개념 이해

텔레비젼 예능 프로그램에 등장하는 연예인들은 각자 한 두가지의 레퍼토리를 가지고 매주 조금씩의

01 말로 표현된 문제를 식으로 바꿀 수

변신을 통하여 몇달, 때로는 몇년까지 장수하는 경우가 있다. 연예인들이 화려하고 특이한 복장과 괴

있다.

이한 행동으로 자신의 활동주기를 길게 늘려나가는 것 처럼, 연립방정식도 단순한 가감법과 대입법

02 여러가지 유형의 연립방정식 문제에 적

만으로는 학생들의 적극적인 학습의지에 대응하기 어렵기 때문에 끝없는 변신을 추구한다. 괄호가 포

응한다.

함된 연립방정식이나, 정수가 아닌 계수를 가진 연립방정식 등은 형태를 생소하지만, 아주 간단한 방 법으로 항상 보아왔던 형태로 변형시킬 수 있다.

괄호가 있는 연립방정식 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 정리한 후 연립방정식을 푼다.

⇒

계수가 분수인 연립방정식 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 고쳐서 푼다.

⇒

계수가 소수인 연립방정식 양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 고쳐서 푼다.

⇒

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

A=B=C 꼴의 연립방정식 A = B = C 꼴의 연립방정식은 일반적인 형태의 연립방정식으로 만들기 위해 3 가지 형태 중 하나를 선택할 수 있다. 이 때 가장 풀기 쉬운 형태를 선택하여 풀어 주면 좋다.

A=B=C

A=B A=C

A=B B=C

A=C B=C

x − 3y 4x + y − 2 = = −x − y 3 5

4x+y−2 = x−3y 3 5 4x+y−2 = −x − y 3

4x+y−2 = x−3y 3 5 x−3y = −x − y 5

4x+y−2 3 x−3y 5

= −x − y = −x − y

특수한 해를 갖는 연립방정식 한 쌍의 해를 갖는 일반적인 연립방정식 외에 해가 무수히 많거나, 해가 없는 연립 방정식도 있다. 01 해가 무수히 많은 연립방정식(부정) 두 방정식을 간단하게 정리하였을 때, 미지수의 계수와 상수항이 모두 같은 경우에 해당한다. 다음과 같은 형태로 정리되는 경우

3x + 2y 6x + 4y

0 × ( 미지수 ) = 0 =5 6x + 4y ⇒ = 10 6x + 4y

= 10 = 10

그래프를 그려보면 해(연립방정식을 만족시키는 x , y 의 조합)가 무수히 많다. 02 해가 없는 연립방정식(불능) 두 방정식을 간단하게 정리하였을 때, 미지수의 계수는 모두 같으나 상수항만 다른 경우에 해당한다. 다음과 같은 형태로 정리되는 경우

2x + 5y 4x + 10y

0 × ( 미지수 ) = 0 = 6 4x + 10y = 10 ⇒ 4x + 10y

= 12 = 10

그래프를 그려보면 해(연립방정식을 만족시키는 x , y 의 조합)가 존재하지 않는다.

3 연립방정식

3.3 여러가지 연립방정식

연습문제 01 다음과 같이 괄호가 있는 연립방정식을 풀어라. (1) (2)

3(x − y) − 2y = 7 4x = 3(x − 2y) + 10

5(2x − 1) + y = 7 x − (y − 3) = 6

02 다음과 같이 계수가 분수인 연립방정식을 풀어라. (1) (2)

x−y 6 x+y 4

=1 =3

x−1 6 x−1 4

+y =6 +y =8

03 다음과 같이 계수가 소수인 연립방정식을 풀어라. (1) (2)

0.5x + 1.2y 0.3x − 1.5y

0.5x − y = (x − 1) : 2 =

= =

7 −6.9 2 (y + 2) : 3

04 다음과 같이 식이 세 개인 연립방정식을 풀어라. (1) 2x − y = 4x + 3 = x − y − 5

(2) 2x − 2y + 1 = x − 4y + 5 = −5y − 3

3 연립방정식

3.3 여러가지 연립방정식

3 연립방정식

3.3 여러가지 연립방정식

연립방정식의 활용

3 연립방정식

Flickr / mikebaird

주요 개념 이해

하연이는 초등학교 시절 풀던 고난도 수학 문제집을 모처럼 꺼내서 보았다. ‘풋~ 이렇게 쉬운 문제들

01 연립방정식을 이용해 실생활의 문제를

쯤이야..’ 하며 자랑스럽게 문제집을 보던 하연이는 난이도 별 5개인 특급 어려운 문제를 보고 순간

해결할 수 있다.

당황했다. “동물원 우리 안에 강아지와 닭이 합쳐서 30 마리가 있습니다. 이 때, 이 우리 안에 있는

02 문장으로 된 설명에서 알맞은 식을 추

동물들의 다리를 모두 합쳐 보니 총 96개였다고 할 때, 강아지와 닭은 각각 몇 마리가 있을까요?” 과

려낼 수 있다.

연 연립방정식을 배운 하연이는 이 어려웠던 문제를 가볍게 풀 수 있을까?

어떻게 풀 것인가 ① 구하려는 것(알고 싶은 것, 알아야 하는 것)을 x , y 로 둔다. ② 문제를 잘 읽고 x , y 사이의 관계를 식으로 표현한다. ③ ②의 연립방정식을 푼다. ④ 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다. ⑤ 단위에 주의해서 답을 쓴다. 연립방정식으로 문제를 풀 때는 무엇을 x , y 로 둘 지를 신중히 선택해야 풀이나 계산이 간단해진다. x , y 를 택할 땐, x 와 y 사이의 관계가 비교적 간단할 것 같은 양을 선택해야 한다. 이는 많은 연습을 통해 직관적으로 선택해야 하는 것이다.

농도에 관한 문제 일반적으로 농도는, 백분율로 나타낸 %농도를 의미하고 다음과 같이 구한다. %농도 =

구하려는 것의 질량 전체질량

× 100 (%)

즉, 소금물의 %농도는, %농도 =

소금의 질량 (g) 소금물 전체의 질량 (g)

× 100 (%)

여기서 소금물의 질량과 소금의 질량이 항상 g단위일 필요는 없지만, 두 질량의 단위는 언제나 같아야 한다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

반대로 소금물의 질량과 농도가 주어지면 그 소금물에 포함된 소금의 질량을 알 수 있다. 소금의 질량 =

농도 100

× 소금물의 질량

이 때, 소금물의 질량의 단위와 소금의 질량의 단위는 같다. 두 소금물을 섞는 경우, 소금물 전체 질량은 각 소금물의 질량의 합이고, 소금의 질량은 각 소금물에 함유된 소금의 질량을 더하면 된다. 소금물을 증발시키거나 물을 부어 희석시키는 경우, 소금물 전체 질량은 변하지만 그 안에 포함된 소금의 양은 변하지 않는다. 소금물을 덜어내는 경우, 원래 소금물의 농도와 덜어낸 소금물의 농도는 같다. 일반적으로 소금의 질량에 관한 관계식으로 연립방정식을 세우는 것이 좋다.

원가, 정가, 할인에 관한 문제 원가는 물건을 만드는데 드는 돈이고, 정가는 그 물건을 파는 금액이다. 원가가

a 원이고, 이익 x %를 붙여 팔 경우 정가는, 다음과 같이 구한다. 정가 =

(1 +

x )a (원) 100

이 때 정가 p 원에서 d %를 할인한 가격은 다음과 같이 구한다. 할인가 =

(1 −

d )p (원) 100

원가 a 원인 물건에 이익 x %를 붙여 정가 p 원에 n 개를 팔았을 때, 총 수입은

pn 원 이고 총 이익은 pn − an = (1 +

x ax )an − an = n (원) 100 100

이다. 총 수입(매출)과 이익은 분명 다르므로 주의하자.

3 연립방정식

3.4 연립방정식의 활용

일, 작업량, 물통 채우기 문제 일과 작업량, 물통 채우기 유형은 전체를 1 로 두고 각 사람(파이프, 수도관)이 단 위 시간당 할 수 있는 일의 양(단위 시간당 흐르는 물의양)을 미지수로 두고 풀면 쉽다. 예) 배나사 문제지를 동이가 혼자 풀면 1 시간만에 풀고 영준이가 혼자 풀면 3 시간만 에 푼다고 할 때 두 학생이 힘을 합쳐 풀면 얼마만에 모두 풀겠는가? 전체 문제의 양을 1 이라 두자. 동이는 한 시간에 한 시간에

1 만큼 풀 수 있고, 영준이는 2

1 문제를 풀 수 있으므로 두 학생이 함께 풀면 한 시간에 3

1 1 5 + = 만큼 풀 수 있다. 전체 문제 양이 1이므로 2 3 6 1 6 = 시간( 1 시간 12 분) 만에 문제를 모두 풀 수 있다. 두 학생이 함께 풀면 5/6 5

비와 비율에 관한 문제 ① a : b = m : n → a = mk, b = nk 로 두고 k 에 대한 식을 세워 문제를 해결한다. 예) 한 직선 위에 순서대로 놓인 세 점 A, B, C 에 대해,

AB : BC = 3 : 4 , AC = 14cm 일 때, AB 의 길이와 BC 의 길이를 구하 라. AB = 3k , BC = 4k 로 두면, AC = AB + BC = 3k + 4k = 7k 가 되고, 따라서

∴ k = 2 이므로, ∴ AB = 3 × 2 = 6cm, BC = 4 × 2 = 8cm n n × (전체) 로 두고 해결 ② a 는 전체의 이기 때문에 a = m m ③ a 와 b 는 전체를 m : n 으로 비례 배분(분할)한다. a=

m × n + m (전체),

n × (전체) 로 두고 해결 n+m

①과 ③은 사실상 거의 같은 상황에 쓰이나 경우에 따라 ① 혹은 ③ 이 편할 수 있다. 적절한 상황에 적용하는 연습이 필요하다.

3 연립방정식

3.4 연립방정식의 활용

자릿수와 진법에 관한 문제 n 진법으로 나타낸 수 abcd(n) 은 an3 + bn2 + cn + d 로 표현될 수 있음 을 숙지하자. 또 n 진법에서 각 자릿수 a, b, c, d 는 0 이상 n 미만이어야 한다. 이 사실은 부정형의 연립 방정식을 푸는 고난도 유형을 해결하는데 필요하다. 이 유형은 어떤 두 자리 수를 구하라고 묻는데, 구하려는 수를 바로 미지수로 두 면 매우 풀기 어렵다. 대신, 두 자리 수의 각 자릿수를 미지수로 두고 자릿수 사이 의 관계를 찾는 것이 좋다.

나이에 관한 문제 현재 x 살인 사람의 a 년 후 나이는 x + a 살이고 b 년 전 나이는 x − b 살이 다. 구하는 나이를 미지수로 두고 연립 방정식을 세우면 비교적 쉽게 풀리는 유형 이다.

거리, 속력, 시간에 대한 문제 다음 식들은 이 유형을 해결하는데 필수적이다. 속력 = 시간 =

거리 시간 거리 속력

거리 = 속력 × 시간

미지수는 문제가 묻는 방식에 따라 다양하게 잡을 수 있지만 미지수 사이의 관계 식은 일반적으로 전체 거리의 합이나 전체 시간의 합으로 찾는다. (전체 거리) = (걸은 거리) + (뛴 거리) + (차로 간 거리) + ..... (총 소요 시간) = (걸은 시간) + (뛴 시간) + (차로 간 시간) + ..... 이 유형의 경우 답을 구하고도 단위를 틀려 감정 당하는 경우가 많으니 주의하자.

3 연립방정식

3.4 연립방정식의 활용

기차가 터널/다리를 통과하는 문제 주의해야 할 것은 통과하는데 걸린 시간은 기차의 맨 앞이 터널에 진입한 순간부 터 맨 끝이 터널 끝을 통과하는데 걸리는 시간이란 점이다. 보통 (통과하는 물체 길이) + (통과하는 장소(터널, 다리)의 길이) = (속력) x (통과 시간) 이라는 식을 쓴다.

도형에 관한 문제 직사각형에서 둘레와 가로, 세로 사이의 관계를 이용하는 경우가 많다. 둘레의 길이 = 2 x ((가로)x(세로)) 가로의 길이와 세로의 길이를 미지수로 두면 쉽게 해결되는 경우가 많다.

3 연립방정식

3.4 연립방정식의 활용

연습문제 01 다음 문제를 연립방정식을 세워 풀어보아라. (1) 조은마트에서 연양갱과 찰떡아이스크림을 작년과 올해 계속하여 각 1개씩 구 입하였다. 올해에는 작년보다 연양갱이 15%, 찰떡아이스크림이 10% 인상되어 2240원이 되었고, 이것은 전체적으로 작년보다 12% 증가한 것이다. 올해의 연양 갱과 찰떡아이스크림의 각각의 가격은 얼마인지 구하여라.

(2) 농도가 6%인 소금물과 10%인 소금물을 각각 몇 g씩 섞은 후, 물 20g을 넣어 서 농도가 8%인 소금물 200g을 만드려고 한다. 이대, 필요한 6%의 소금물의 양 과 10%의 소금물의 양을 각각 구하여라.

(3) 병길이는 집에서 이태원역까지 걸어가서 3분을 기다린 뒤, 지하철을 타고 효창 공원역가지 왔는데 도착한 시간은 집에서 나온지 21분 후였다. 돌아올 때는 효창 공원역에서 집까지 걸어왔는데 45분이 걸렸다. 병길이의 걷는 속력은 시속 4km이 고 버스의 속력은 시속 40km일 때, 집에서 이태원역까지의 거리와 이태원역에서 효창공원역까지의 거리를 각각 구하여라.

(4) 길이가 150m인 지하철이 일정한 속력으로 남영역을 완전히 지나는 데 25초가 걸리고, 남영역보다 3배 긴 한강철교를 완전히 통과하는 데는 60초가 걸린다. 이 기차의 속력과 다리의 길이를 각각 구하여라.(단, 이 지하철은 회송중이었으므로, 한강철교와 남영역을 지나는 속력이 일정하게 유지된다.)

3 연립방정식

3.4 연립방정식의 활용

3 연립방정식

3.4 연립방정식의 활용

부등식 4.1 일차부등식과 수직선 4.2 연립부등식 4.3 부등식의 활용

일차부등식과 수직선

cba

Flickr / TheFriendlyFriend

4 부등식

주요 개념 이해

이준석 선생님은 운전이 마냥 재미있던 시절에 보스턴에서 샌프란시스코까지 대륙횡단을 차로 한 적

01 부등식의 참, 거짓을 구분할 수 있다.

이 있다. 미국의 대륙횡단 고속도로인 80 번 고속도로는 그 길이가 매우 길기 때문에 최고 속력으로 쉬지 않고 달린다고 하더라도 전체 구간을 통과하기 위해 3 일 가량이 걸린다. 따라서 운전자는 하

02 부등식을 수직선에 나타낼 수 있다.

루에 운전할 수 있는 구간을 매우 잘게 나누어 규칙적으로 휴식을 취해주며 운전해야 안전하게 대륙 횡단을 할 수 있다. 지평선까지 닿아있는 고속도로상에도, 표지판과 지도 위에 일정한 범위로 표시 되는 구간이라는 개념을 둔 것 처럼, 무한히 뻗어있는 개념인 수직선 상에도 범위를 설정하여 표시해 줄 수 있다.

부등식 부등호를 이용하여 식들의 대소 관계를 나타내는 식을 부등식이라고 한다.

좌변 부등호의 왼쪽 부분

x≤2 예)

x 는 2보다 작거나 같다. y < 3.52 y 는 3.52보다 작다. 3x + 7 ≥ 0 3x + 7 은 0보다 크거나 같다. 3 3 x 는 1보다 크다. x>1 2 2

우변 부동호의 오른쪽 부분 양변 부동호의 양쪽 모두

3x + 7 < 25 우변

좌변 양변

부등식의 참과 거짓 부등식에서 좌변과 우변의 대소관계가 일치하면, 그 부등식은 참이되고, 일치하지 않으면 거짓이 된다.

3x < 7 예) 2x + 4 ≤ 0

x 가 1이면, 참이 되고, 3이면 거짓이 된다. x 가 -2이면, 참이 되고, 4이면 거짓이 된다.

부등식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 해라고 한다. 지난 단원에서 다룬 연립 1차 방정식의 경우, 일반적으로 해가 하나의 원소로 나 오지만, 부등식의 경우 해를 구하기 보다 해의 집합(또는 범위)를 구하게 된다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

부등식과 수직선 수직선

부등식은 대소관계를 식으로 나타낸 것이기 때문에, 수직선의 형태로 도식화 하

일정간격으로 숫자가 표시되어 있는 직선으

면 이해하기 쉽다.

로 1차원의 좌표계라고도 할 수 있다. 원점 을 기준으로 양수와 음수가 서로 대칭으로

-2 -1

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

표현된다

수직선 그리는 방법 부등식의 값의 범위를 나타내는 수직선은 다음과 같은 순서로 그린다. 01 수직선을 긋는다.

-2 -1

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

02 기준점이 되는 좌표를 색칠한다.

-2 -1

03 기준 좌표보다 범위가 작으면 왼쪽으로, 크면 오른쪽으로 화살표를 긋는다.

-2 -1

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

04 화살표 아래의 영역을 색칠한다.

-2 -1

4 부등식

4.1 일차부등식과 수직선

부등식의 성질 부등식이 아니라 등호(=)를 사용하는 방정식에서는 자유롭게 등호의 양변에 사칙 연산을(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈) 하는 방법으로 방정식을 풀 수 있었다. 부등식에서도 덧셈이나 뺄셈에 대해서는 방정식과 동일한 방법을 이용할 수 있지 만, 양변에 곱셈과 나눗셈을 해줄 때에는 부등호의 방향이 변할 수 있기 때문에 조심해야 한다. 01 부등식의 양변에 양수를 곱하고 나누는 경우 양수를 곱할 때 → 부등호가 변하지 않고, 대소관계가 변하지 않는다. 양수를 나눌 때 → 부등호가 변하지 않고, 대소관계가 변하지 않는다. 02 부등식의 양변에 음수를 곱하고 나누는 경우 음수를 곱할 때 → 부등호가 뒤집히고, 대소관계가 변한다. 음수를 나눌 때 → 부등호가 뒤집히고, 대소관계가 변한다.

3(x + 7) > 2 3x + 21 > 2 3x > −19 x>−

19 3

이항에 의한 부등식 풀이방법 부등식을 푸는 가장 기본적인 방법은 방정식과 같이 미지수가 있는 항을 좌변으 로, 상수항은 우변에 오도록 정리하여 푸는 것이다. 다음과 같은 사항들을 유념해야 한다. ① 괄호가 있으면 괄호를 먼저 풀어 준다. ② 계수가 분수꼴이면 분모의 최소공배수를 각 항에 곱해준다. ③ 계수가 소수꼴이면 양변에 10의 거듭제곱 꼴을 곱하여 계수를 정수로 고친다.

5x + 7 ≤ 9 5x ≤ 9 − 7 5x ≤ 2 x≤

4 부등식

2 5

4.1 일차부등식과 수직선

일차부등식 이항이 끝난 부등식이 다음과 같은 형태로 변형되는 부등식을 일차부등식이라고 한다. (일차식) > 0 (일차식) < 0 (일차식) ≤ 0 (일차식) ≥ 0

4 부등식

4.1 일차부등식과 수직선

연습문제 01 다음 부등식 중 주어진 x 에 대하여 참이 되는 경우를 선택하여라. (1) x = 6 일 때 x + 7 > 2

2 x ≤ 14 3 3 (3) x = 8 일 때 < 11 x (2) x = 2 일 때

(4) x = 1 일 때 x + 7 > 0

02 다음 부등식을 수직선 상에 그려보자. (1) 3x + 4 > 0 (2) 6x ≤ 7 (3) 5x + 2 < 0 (4) 5x ≥ −4

03 다음 부등식을 풀어보아라 (1) 8x + 1 < 0 (2) 3x + 2 < 0 (3) x + 2 < 0 (4) 7x + 1 <

4 부등식

3 2

4.1 일차부등식과 수직선

4 부등식

4.1 일차부등식과 수직선

다

연립부등식

4 부등식

Flickr / absolutely_loverly

주요 개념 이해

사람은 항상 자신이 하고 싶은 대로 살기는 어렵다. 외부의 요인에 의하여 제약에 따라 행동할 수 있

01 연립부등식의 개념을 이해할 수 있다.

다. 공부를 하러 왔는지, 놀러 왔는지, 친구따라 용산왔는지에 관계 없이 한번 교육장에 들어온 이상

02 연립부등식의 해집합을 수직선 상에 나

선생님들의 지도 사항을 잘 따라 주어야 한다. 집에서는 공부하라고 떠밀고, 교육장에서는 문제를 다

타낼 수 있다.

풀고 집에 가야 한다고 압박하는 상황에서 부모님과 선생님들의 기대치가 겹쳐지는 범위에 맞게 공 부하는 것 만이 성공적인 배나사 생활을 가능하게 해준다. 사실 선생님들 중에도 침대에서 일어나서 “아파서 못간다고 할까?”와 “학생들이 나를 필요로 하니 꼭 가야지.” 라는 범위 내에서 수많은 갈등 을 하는 분들이 많다. 인생은 주어진 범위 내의 선택의 연속이다.

연립부등식 두 개 이상의 일차부등식을 묶어 하나의 쌍으로 나타낸 것을 연립부등식이라고 한다.

3x − 8

{ 2x − 5

< 1 ≥ −9

연립부등식의 해 연립부등식의 해란 한 쌍의 일차부등식들을

한 쌍으로 연결된 모든 일차부등식을 동시에 만족하는 x 의 모든 범위를 연립부

모두 만족하는 것이다. 즉, 한 개 라도 만족시

등식의 해라고 한다.

키지 않는다면 그것은 해가 될 수 없다.

두 개의 부등식에서 각각의 범위를 구한 뒤, 그 두 범위의 교집합을 구하면 연립부 등식의 각 식을 동시에 만족하는 범위를 구할 수 있다.

연립부등식의 풀이 순서 ① 각각의 일차부등식을 풀어 해를 구한다. ② 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다. ③ 공통 부분을 찾아 부등호를 사용하여 나타낸다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

부등식의 범위를 합치기 부등식의 해는 특정한 값이 아닌 범위로 나오는 경우가 많다. 범위의 경우 수치로 나타내기 보다는 수직선 상에 나타낼 경우 인식하기 쉽다. 부등호의 방향에 주의 하며 조정해 주어야 한다. 연립부등식의 경우 두 일차부등식의 교집합을 찾는 것 이므로, 수직선 상에서 중첩이 일어나는 부분이 어디인지 주의깊게 살펴보아야 한 다. 01 a > b 일 때, x < a , x > b 인 경우 해집합은 b < x < a

02 a > b 일 때, x > a , x < b 인 경우 해가 없다.

03 a > b 일 때, x ≥ a , x > b 인 경우 해집합은 x ≥ a

04 a > b 일 때, x < a , x ≤ b 인 경우 해집합은 x ≤ b

05 a = b 일 때, x > a , x < b 인 경우 해가 없다.

a=b

06 a = b 일 때, x ≥ a , x ≤ b 인 경우 해는 x = a = b

a=b

4 부등식

4.2 연립부등식

A < B < C 꼴의

문제

A < B < C 꼴의 연립부등식은 다음과 같은 형태로 두 부등식으로 분리하여 풀어준다.

A<B B<C

유사한 유형의 연립방정식 문제에서는 자유롭게 선택하여 분리하는 것이 가능했 으나, 부등식의 경우 A < C 는 어차피 위 두 식의 범위에 포함되기 때문에 정확 한 범위를 위해 위와 같은 식으로만 계산해야 한다.

4 부등식

4.2 연립부등식

연습문제 01 다음 연립부등식의 해집합을 수직선으로 나타내어라. (1)

3x > 2x <

3x − 6 ≤ x−3 <

0 3x − 5

2x + 3 ≥ 5x − 1 <

x + 20 3x

7 18

(2) (3)

02 다음 연립부등식을 풀어라 (1) (2) (3)

4 부등식

2x + 8 ≥ 7 <

3x − 1 5x

3x − 1 ≤ 2x − 3 <

2x + 11 6

5x − 1 ≤ 4x ≥

x+1 7

4.2 연립부등식

부등식의 활용

cbd

Flickr / genemoo

4 부등식

주요 개념 이해

성빈이를 향한 마음이 애틋한 은비는 엄중한 교육공간인 교육장에서 따로 마음을 표현할 방법을 찾지

01 부등식과 연립부등식을 활용해서 실생

못하고 기회를 엿보고 있었다. 그러던 어느날 성빈이가 아무 이유 없이 수업시간에 “나는 커피믹스

활 문제를 해결할 수 있다.

농도가 24%에서 28%로 탄 커피가 좋아” 라고 말했고, 수업을 하던 박수연 선생님과 다른 친구들은 모두 웃고 말았지만, 은비는 정신이 번쩍 뜨이면서 기회를 노리게 되었다. 커피믹스 한 숟가락을 넣으면 농도 3%의 커피가 되는데, 과연 성빈이의 입맛에 맞는 커피를 만드려면 커피믹스를 몇 숟가락 정도 넣으면 되는 것일까?

부등식의 활용 문제들을 푸는 방법 ① 문제를 잘 읽고 구하려는 것을 미지수로 둔다. ② 문제 조건에 따라 부등식을 세운다. ③ 부등식을 풀어 해를 구한다. ④ 해가 문제의 뜻에 맞는지 살피고 단위에 주의해서 답을 쓴다. 대체로 ‘~를 구한다.’라고 된 ~를 미지수로 두면 가장 쉽다. 하지만 몇몇 특수한 경우는 다른 양을 미지수로 두어야 하는 경우가 있으니 조심 해야한다.

요금과 관련된 문제 기본요금과 초과 요금에 관한 문제가 많다. 전체요금 = 기본요금 + 초과요금의 관계를 이용하고 전체요금 ≤ 예산의 관계를 활용한다. 예제) 전화요금이 60 분까진 1000 원이고 60 분 초과 1 분당 10 원의 요금이 발 생한다. 총 전화 요금이 3000 원 미만이 되려면 최대 몇 분까지 통화할 수 있나? 풀이) x 분 사용했다고 하자. 총 요금은1000 + 10 × (x − 60) 원이다. 예

산이 3000 원이므로 1000 + 10 × (x − 60) < 3000 이 되고, 이를 풀면 10(x − 60) < 2000 , x − 60 < 200 이므로 x < 260 이다. 즉 260 분까지 쓸 수 있다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

유리한 방법의 선택문제(할인마트) 대체로 한 곳은 물건 값이 싸지만 교통비가 많이 들고 다른 곳은 물건 값은 비싸 지만 교통비가 싸다. 이제 물건을 어느 정도 많이 사야 싼 마트로 가는 것이 유리 한지 묻는 유형이다. 물건 수량을 미지수로 두고 (교통비) + (물건값)으로 부등식 을 세우는 것이 좋다. 예제) A 마트는 꽃 한 송이에 100 원, B 마트는 꽃 한 송이에 150 원에 판매한 다. 집에서 A 마트까지 왕복하는데는 1500 원이 들지만 B 마트까지 왕복하는 데는

1000 원이 든다. A 마트에서 꽃을 사는 것이 유리하려면 몇 송이 이상 사야 하 는가? 풀이) 꽃을 x 송이 산다고 하자. A 마트에서 꽃을 사면,

1500 + 100x 원이 들고 B 마트에서 사면 1000 + 150x 원이 든다. 1500 + 100x < 1000 + 150x 이므로, 500 < 50x 이고 10 < x 이므로 10 송이 이상 사야 한다.

도형에 관한 문제 삼각형에서 임의의 두 변의 길이의 합은 다른 나머지 한 변의 길이보다 길어야 한 다. 종종 이와 관련된 문제가 등장한다. 도형의 넓이나 둘레의 범위를 주고 이를 만족시킬 수 있는 변의 길이를 구하는 문제도 자주 나온다. 예제) 길이가 3cm , (4 − x)cm , (5 + x)cm 인 삼각형을 이루기 위한 x 의 범 위는?

풀이) 임의의 두 변의 길이의 합은 다른 변의 길이보다 길어야 한다.

3 < (4 − x) + (5 + x) 이므로 만족된다. 또 3 + (4 − x) > 5 + x 가 성 립해야 하므로 7 − x > 5 + x 가 되고 2 > 2x , 1 > x 이다. 마지막으로 3 + (5 + x) > 4 − x 이어야 하고 2x > −4 , x > −2 이므로 항상 성립한다. 그러므로 x < 1 이 된다.

4 부등식

4.3 부등식의 활용

단체 입장 시 할인과 관련된 문제 700원 짜리 호떡도 5개를 사면 3500원이 아니라 3000원으로 할인해 주는 경우가 있는 것 처럼, 동물원이나 박물관에서도 한번에 많은 표를 사면 할인을 해주고 있 다. 예를 들어 30명의 사람들이 30명 이상부터 살 수 있는 단체표를 구입하면 각 각의 표를 따로 구매하는 것보다 더 싸게 입장할 수 있다. 하지만, 할인율에 따라 30명이 되지 않는 사람도 표를 각각 구매하는 것보다 30명 짜리 단체표를 구매하 는 것이 더 저렴할 수도 있다. 이러한 유형의 문제가 자주 나온다. 예제) 서울에서 서천까지 45인승 전세버스를 대절하여 가면, 대당 50만원이 들고, 각각 표를 구해서 가면, 인당 2만원이 든다고 한다. 이동해야 하는 사람이 45명 이하일 때, 몇명 이상이면 전세버스를 대절하는 것이 더 유리한가? 풀이) 이동해야 하는 인원이 45명 이하라고 했기 때문에, 버스를 두 대이상 빌리 게 되는 경우는 없다고 가정할 수 있다. 이동해야 하는 인원을 x 라고 했을 때,

1 < x ≤ 45 의 식이 성립한다.

4 부등식

4.3 부등식의 활용

연습문제 01 다음 문제를 풀어보아라. (1) 금천교육장 학생들이 야영을 하는데 한 텐트에 4명씩 자면 7명이 남고, 6명이 자면 2개의 텐트가 남는다고 한다. 텐트는 몇 개인가?

(2) 농도가 10%인 소금물 400g이 있다. 여기에 물을 넣어서 농도가 4%이하인 소 금물을 만드려고 한다. 몇 g이상의 물을 넣어야 하는가?

(3) 어떤 놓이공원의 개인 입장료는 5000원이고 30명 이상이면 단체로 하여 입장 료의 20%를 할인해 준다. 30명 미만의 인원이 입장할 때, 최소한 몇 명 이상이면 개인별로 입장하는 것보다 단체요금을 내고 입장하는 것이 유리한가?

4 부등식

4.3 부등식의 활용

4 부등식

4.3 부등식의 활용

일차함수 5.1 함수의 기본개념 5.2 일차함수의 뜻과 x절편, y절편 5.3 일차함수의 그래프 5.4 방정식과 함수 5.5 일차함수의 활용

다

함수의 기본개념

Flickr / superkimbo

5 일차함수

cbna

주요 개념 이해

학교에서 여학생-남학생으로 짝을 정하기로 하였다. 여학생이 a,b,c가 있고 남학생이 e,f,g,h,i가 있

01 함숫값의 정의를 안다.

다. 여학생이 남학생을 선택하는 방식으로 짝을 정한다. a는 e를 b는 f를 c는 g를 선택하였다.

02 함수의 정의역과 공역, 치역의 개념

이를 가만히 보고 있던 수학박사 수지는 이런 생각을 하고 있다.

을 안다.

‘음..여학생이 정해짐에 따라 남학생이 정해지네.. 함수의 개념과 비슷하군!’

03 함수식을 그래프로 나타내는 방법

앞으로 배울 단원에서 수지처럼 함수의 개념을 이해하고, 정의역, 공역, 치역의 개념을 알아보자.

을 안다.

함수 함수는 “ x가 들어가면 y 로 바뀌어 나오는” 마술상자와 같다. x가 y 로 바뀔 때 는 정해진 규칙을 따라서 바뀌게 된다. 이런 규칙을 y = x + 1 와 같이 y 와 x 사이의 관계식으로 표현하고, f (x) = x + 1 이라고 표현하기도 한다.

? f (x) = x + 1

3 f (x) = x + 1

8 f (x) = x + 1

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

함숫값 함숫값은 함수에 값을 대입하였을 때, 연산의 결과로 나오는 값을 의미한다.

f (x) = 2x + 1 위와 같은 함수식이 있을 때, x에 특정한 값을 넣으면 등식의 우변이 상수형태로 변하게 된다. 그럴 때, 좌변의 f (x) 는 상수가 되고, 그 값이 이 함수의 특정한 값 의 함숫값이 된다.

정의역, 공역, 치역 정의역은 모든 x의 집합이라고 볼 수 있다. 어떤 함수라는 의문의 상자 속에 집어 넣을 수 있는 값은 모두 정의역이 될 수 있다. 공역은 모든 y 값의 집합이라고 볼 수 있다. 어떤 함수라는 의문의 상자 속에 집어넣었을 때, 나올 수 있는 값은 모두 공역에 속한다. 치역은 x값에 대응하는 y 값들의 집합이다. 즉 함수값 f (x) 전체의 집합이다. 치역은 항상 공역의 부분집합이 된다.

점수

학생 도아

0점

영진

33점 병환 대현

10점

강혁

5점 78점

연태

치역

정의역

5 일차함수

5.1 함수의 기본개념

93점

공역

함수와 그래프 함수는 x의 변화량에 대한 y 의 변화량을 알아보는 것을 매우 중요하게 다루고 있기 때문에 함수를 그래프로 표현하여 그 추세를 한눈에 확인하는 경우가 많다. 그래프를 그릴 때는 정의역의 점으로 x좌표를 골라삼고, 그 x값으로 구한 함숫 값의 좌표를 y 좌표로 삼으면 된다. 교육과정 상 이차함수가 아닌 곧 공부하게 될 일차함수의 경우 정의역의 값 중 2 개를 골라 함숫값 2 개만 얻어내면 우리가 그리고자 하는 그래프를 그려낼 수 있다. (예제) f (x) = 3x + 1 를 그래프로 나타내어 보자. (풀이) 정의역에서 0 과 2 를 골랐을 시, f (0) = 1 과 f (2) = 7 라는 함숫값들 을 얻을 수 있다. 좌표평면 상에서 두 점인 (0, 1) 과 (2, 7) 을 이으면 치역의 집합 인 직선을 얻을 수 있다. f (x) = 3x + 1

(2, 7)

(0, 1)

사분면 좌표평면에서, x축과 y 축을 기준으로 구성된 네 개의 면을 각각 사분면이라고 한다. y

(−, +) 제2사분면

(+, +) 제1사분면

(−, −) 제3사분면

5 일차함수

5.1 함수의 기본개념

(+, −) 제4사분면

연습문제 01 다음 함수의 치역을 구하여라 (1) 정의역이 {2, 3, 7} 일 때, f (x) = 5x + 1 의 치역 (2) 정의역이 {1, 4, 5} 일 때, f (x) = −3x + 2 의 치역

02 다음 식의 함숫값을 구하여라 (1) f (x) = 3x + 7 일 때, f (4) (2) f (x) = −7x − 11 일 때, f (2)

03 다음 식의 그래프를 그리고, 지나는 사분면을 구하여라 (1) f (x) = −x + 9 y

(2) f (x) = 5x + 2 y

(3) f (x) = −2x + 7 y

5 일차함수

5.1 함수의 기본개념

다

일차함수의 뜻과 x,절편, y x, y 절편

5 일차함수

Flickr / powi

주요 개념 이해

어느날 갑자기 정전이 되어서 예나가 길이 20cm 양초에 불을 켜놓았다. 20분이 지나니 양초가 1cm

x,분y후의 양초의 길이를 x, y cm라고 할때 x, y 를 x,에y관한 일차식으로

01 일차함수의 평행이동에 대하여 안다.

줄어 들었다. 똑똑한 예나는

02 그래프를 보고 절편값을 구할 수 있다.

나타낼 수 있음을 깨달았다. 이것을 그래프로 그려보고 싶었던 예나는 그래프를 완성시켰고 이 그래 프가

x,축과 yx, y 축에서 만나는 두 점이 있음을 알았다. 이 점들의 이름은 무엇일까?

일차함수의 뜻 수도꼭지에서 흘러나오는 물이 원통모양의 물통에 채워지고 있다. 수도꼭지를 틀 기 시작한 후부터 시간에 따라 채워진 물의 높이를 측정하였더니 다음과 같았다. 시간(초)

...

높이(cm)

...

이때 시간 x (초)와 물의 높이 y(cm) 의 관계를 어떻게 나타낼 수 있을까?

y = 2x , y = 2x + 3 에서 물의 높이 y 는 수도꼭지가 틀어진 시간 x 에 따라 값이 정해지는 ‘함수’이다. 식의 우변은 x 에 대한 일차식이다. 일반적으로, 정의역의 원소 x 와 공역의 원소 y 사이에 인 관계 즉 y 가 x 의 일차식으로 표현되는 관계를 ‘일차함수’라 한다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

x,절편과 y x, y 절편 x 절편은 그래프와 x 축이 만나는 점, y 절편은 그래프와 y 축이 만나는 점이다. y

y = ax + b

y 절편

x 절편

x x 절편은 그래프에서 y 의 값이 0 일때의 x 값이고, y 절편은 그래프에서 x 의 값이 0 일때의 y 값이다. y

y = ax + b

y 절편 x 절편

x y = ax 0 +b

y = ax 0 +b

절편 값 구하는 법 y x, y 값에 0을 대입한다. 위 그래프에서 x,절편을 구하려면 y = ax + b 의 그래프의 0 = ax + b −b = ax a − =x b y − 위 그래프의 x,절편은

a =x b

y 절편은 반대로 x,가y 0일때의 y 값. y =a×0+b y = ax y =+ax b +b x,y y=절편은 ax + b 가 된다. 위 그래프의

5 일차함수

5.2 일차함수의 뜻과 x절편, y절편

기울기 기울기는 그래프의 모양을 결정하며, 기울기가 양수인 그래프는 오른쪽 위를 향 하며, 기울기가 음수인 그래프는 오른쪽 아래를 향한다. 01 a > 0 일 때

y = ax + b

02 a < 0 일 때

y = ax + b

평행이동 그래프를 기울기의 변화 없이 특정 방향으로 일정한 거리만큼 이동시키는 것을 ‘그래프의 평행이동‘이라고 한다.

y = ax + b 의 그래프 y = ax + b 의 그래프는 y = ax 의 그래프를x, y 축의 방향으로 b 만큼 이동 시킨 그래프이다.

y = ax + b y = ax

x, y

y = ax − b

x, y −b

5 일차함수

5.2 일차함수의 뜻과 x절편, y절편

x, y 축으로 이동시키는데 왜 b 를 x, y 에 더하거나 빼지 않고 x,에y 더하거나 빼는 것 일까? y = 2x 의 그래프를 예로 들어 알아보자. y = 2x 의 그래프에서 x,값의 y 변화에 따른 x, y 값을 구해보면 x,값y대입 x, y = 2 x 1 = 2 x, y = 2 x 2 = 4 x, y = 2 x 3 = 6 x, y = 2 x 4 = 8

x, y 8 6 4

....

2 1 2 3 4

x, y

x, y 축으로 3만큼 평행이동한 y = 2x + 3 의 그래프를 구할 수 있다. 마찬가지로 x,값y대입 x, y = 2 x 1 +3 = 5 x, y = 2 x 2 +3 = 7 x, y = 2 x 3 +3 = 9 x, y = 2 x 4 +3 = 11

x, y 11 9 7

....

1 2 3 4

5 일차함수

5.2 일차함수의 뜻과 x절편, y절편

x, y

연습문제 01 다음 함수의 기울기와 절편을 찾아라 (1) y = 9x + 7 (2) y = 3x − 5 (3) y = 5x + 1 (4) y = 8x + 2

02 다음 함수를 x,축y 방향으로 평행이동한 식을 구하여라. (1) 3x + 5y = 2 , 4 만큼 이동 (2) 7x − y = 0 , 5 만큼 이동 (3) 3x + 6y = 11 , −4 만큼 이동 (4) 8x − 2y = 11 , −2 만큼 이동

x, y 축 방향으로 평행이동한 식을 구하여라. 03 다음 함수를 (1) 3x + 5y = 2 , −2 만큼 이동 (2) 7x − y = 0 , 5 만큼 이동 (3) 3x + 6y = 11 , −4 만큼 이동 (4) 8x − 2y = 11 , −2 만큼 이동

5 일차함수

5.2 일차함수의 뜻과 x절편, y절편

5 일차함수

5.2 일차함수의 뜻과 x절편, y절편

다

일차함수의 그래프

5 일차함수

cba Flickr / rodaniel

주요 개념 이해

하루에 용돈을 300원씩 받는 재형이는 오락실을 가고 싶은 충동을 떨쳐버리고, 매일 침대 밑에 있는

01 일차함수의 그래프를 특성에 따라 분류

양말에 저축한다. 하루에도 몇 번씩 재형이는 나날이 무거워지는 양말을 보고 즐거워한다. 언제쯤이

하고 그 의미를 이해할 수 있다.

면 100,000원을 모아 항상 사고 싶던 MP3 재생기를 살 수 있을까 고민하던 재형이는 공책에 그래프

02 일차함수의 그래프를 보고 일차함수의

를 그려나가기 시작했다. 첫날 모인 돈은 300원, 둘째 날 모인 돈은 600원, 셋째 날 모인 돈은 900원

식을 구할 수 있다.

과 같이 하나씩 점을 찍어나가기 시작했다. 과연, 그래프는 무슨 모양을 하고 있으며, 왼쪽으로 기울 어져 있을까, 아니면 오른쪽으로 기울어져 있을까?

일차함수 그래프의 성질 01 y = ax + b 의 그래프에서 a > 0 이면 일차함수의 그래프는 오른쪽 위를 향 하는 직선이 된다. 즉, x 값이 증가할때 y 값도 증가한다.

O O

02 y = ax + b 의 그래프에서 a < 0 이면 일차함수의 그래프는 오른쪽 아래를 향하는 직선이 된다. 즉, x 값이 증가할때 y 값은 감소한다.

O O

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

a 의 절대값이 클수록 그래프는 y 축에 가깝다. y

y x

일차함수 그래프의 평행과 일치 두 일차함수 y = ax + b , y = a x + b 에 대하여, ① a = a 이고(기울기가 같고) b = b 이면( y 절편이 다르면) 두 그래프는 서로 평행하다.

역으로, 두 일차함수의 그래프가 서로 평행하

② a = a 이고(기울기가 같고) b = b 이면( y 절편이 같으면) 두 그래프는 일치 한다.

면 두 일차함수의 기울기가 같다.

그래프에서 함수식 구하기 기본적으로 기울기와 한 점이 주어지면 그 직선의 식을 알 수 있다. 단, 기울기가 정의되지 않는 경우에만 x = k 꼴로 나타내어진다. 01 기울기 m 과 직선이 지나는 점 (p, q) 가 주어진 경우

y = mx + b 로 둘 수 있으므로 b 의 값만 찾으면 된다. 직선이 점 (p, q) 를 지나므로 q = mp + b 가 성립해야 한다. b 에 관해 풀면 b = q − mp 이다. 즉 y = mx + q − mp 이고 정리하면 y − q = m(x − p) 가 된다. 02 두 점이 주어진 경우

(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) 를 지나는 직선의 식을 구해보자. 우선 x1 = x2 이면 기울기 m 이 정의되지 않으므로 x = k 꼴의 식이 된다. k = x1 + x2 이므로 x1 = x2 이 답이 된다. y − y1 x1 = x2 이면 기울기 m = 2 이 되고 점 (x2 , y2 ) 를 지나는 직선의 x2 − x1 식을 01에 따라 구하면 된다.

5 일차함수

5.3 일차함수의 그래프

03 x, y 절편이 주어진 경우

x,절편이 y (p,x, y 절편이 (p, q)인 경우 두 점 (p, 0), (0, q) 가 주어진 셈이므로 02에 의 , q) 해 구할 수 있다. 일반적으로 다음 공식이 널리 쓰인다.(p, q)가 각각 x, y 절편인 x y 일차방정식의 식은 + = 1 이다. p q

5 일차함수

5.3 일차함수의 그래프

연습문제 01 다음 함수의 그래프가 지나는 사분면과 직선의 방향을 말하여라. (1) y = −2x + 8 (2) y = 8x − 9 (3) y = 7x − 2 (4) y = 6x − 1

02 다음과 같은 조건이 주어졌을 때, 일차함수의 식을 구해보아라. (1) 기울기가 4 이고, y 절편이 3 일 때 (2) (2, 4) 와 (1, 6) 을 지날 때 (3) 기울기가 9 이고 (3, 7) 일 때

5 일차함수

5.3 일차함수의 그래프

방정식과 함수

Flickr / troymccluresf

5 일차함수

cbnd

주요 개념 이해

배나사 교육장에서 일차함수의 그래프에 대해 배우고 온 다솜이가 궁금증이 생겼다. 2x + 5y + 7 = 0

01 미지수가 2개인 일차방정식과 일차함수

인 일차방정식은 그래프를 그릴 수 없는 것일까?

사이의 관계를 안다.

“선생님! 일차방정식의 그래프는 어떻게 그려요?”

02 일차방정식의 그래프를 그리는 방법

x, y 에 대하여 한번 풀어 볼까?” “음..방정식을

을 안다.

“..어! 일차함수 꼴이 되네요!” 사실 방정식은 함수와 떼어놓고 생각하기 어렵다. 방정식과 함수가 어떤 유사성을 가지고 있는지 확 인해 보자.

식의 그래프 두 미지수 x, y 에 관한 어떤 방정식이 주어졌다고 하자. 방정식의 그래프란 그 주어진 식을 만족시키는 x, y 의 순서쌍 (x, y) 를 좌표평면 위에 그린 것이다. 역으로, 그래프 위에 놓인 점의 좌표 (x, y) 는 주어진 방정식을 만족시킨다.

y − 2x + 1 = 0 을 만족시키는 (x, y) 순서쌍을 찾아보자. (−1, −3), (0, −1), (1, 1), (2, 3) 등 무수히 많음을 알 수 있다. 이를 모두 모아 좌표평면 위에 표시하면 다음과 같은 직선이 나온다. 이런 직선을

y − 2x + 1 = 0 의 그래프라고 한다. x, y

y − 2x + 1 = 0

x, y

1 2

역으로, 위의 직선에 있는 ( , 0) 을 y − 2x + 1 = 0 에 대입하면 식이 참이된 다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

함수는 y = f (x) 꼴로 쓸 수 있고, y 를 이항하면 f (x) − y = 0 이 되어 미지 수가 2 개인 방정식이 된다. 때문에 함수의 그래프는 방정식의 그래프의 특수한 경우이다.

일차방정식의 그래프 이제 앞에서 정의한 일반적인 방정식을 일차 방정식으로 한정하고 그 성질을 알 아보자. 임의의 x, y 에 관한 일차방정식은 ax + by + c = 0 의 꼴로 쓸 수 있

byax+,+caxby = ax +0+ x, + bycyby+ =+ c0 이라고 = c =0 0ax가정하자. + ax by + cby=+0c이= 0 다. 우선 논의를 간단하게 ax 하기+위해 + by로+나눠도 c = 0ax ax + by로+나눈 c =후x, 0y 므로 양ax 변을 좋다. + by로+나눈 c =후x, 0 y 에 대해 정리하면 에 대해 정리하면

a c a c x + y + = 0, y = − x − b b b b a b

이제 y = − x −

c x, y 를 찾아 순서쌍 (x, y) 를 의 식에 따라 x 에 대응하는 b

만들면 그래프를 그릴 수 있다.

이렇게 그려진 그래프는 일차함수 y = f (x) = − x − 의 그래프와 같을 것 b b 이다.

즉, 미지수가 2 개인 일차 방정식 ax + by + c = 0 ( a = 0, b = 0 )의 그래프 a c 는 일차함수의 y = f (x) = − x − 그래프와 같다.

ax + by + c = 0 a = 0, b = 0

그래프 방정식

직선

그래프 함수

a c y =− x− b b

이제 ax + by + c = 0 (단, a = 0, b = 0 )의 그래프의 성질을 바로 알 수 있다.

a b c x, y 절편은 − 이다. ② b c ③ x 절편은 − 이다. a ① 기울기는 − 이다.

5 일차함수

5.4 방정식과 함수

x = k, y = k 의

그래프

이제 ax + by + c = 0 에 a = 0 , b = 1 , c = −k 인 경우를 생각해보자. 0 × x + y − k = 0 이므로 y = k 가 된다. 즉, y = k 의 그래프도 어떤 종류

의 직선임을 알 수 있다. 방정식 0 × x + y − k = 0 을 만족시키는 (x, y) 를 찾 으면 y = k 이어야만 하고 x 는 어떤 값을 가져도 좋다. 즉, y = k 를 지나고

x 축에 평행한 직선이 된다. 또, a = 1 , b = 0 , c = −k 라 하면 x + 0 × y − k = 0 에서 x = k 가 된 다. 즉 x = k 도 직선의 그래프가 된다. 앞에서와 같이 x = k 를 만족시키는 순 서쌍은 x = k 이고 y 는 어떤 값이어도 좋다. 즉, x = k 는 축에 평행한 직선 이 된다.

y (0, k) y=k O

x=k

y=k x

(k, 0) x y=k

여기서 x = k 의 그래프는 함수로 나타낼 수 없다. x 값 하나에 대해 y 값이 하 나로 정해지지 않기 때문이다. 끝으로 점 (a, b) 를 지나고 축에 평행한 직선의 방정식을 구해보자. 점 (a, b) 를 지나고 x 축에 평행한 방정식은 y = k 꼴이고 점 (a, b) 를 지나므로 k = b 이 다. 즉 y = b 가 된다. 또 y 축에 평행한 직선의 방정식은 x = k 꼴이고 (a, b) 를 지나므로 x = a 이다. 즉, x = a 가 된다. 점 (a, b) 를 지나는 x 축에 평행한 직선의 방정식 : y = b y 축에 평행한 직선의 방정식 : x = a

100

5 일차함수

5.4 방정식과 함수

연습문제 01 다음 방정식으로 그릴 수 있는 그래프의 기울기와 절편을 구해보아라 (1) 2x + 7y + 4 = 0 (2) −2x + 5y + 7 = 0 (3) 8x + 2y + 4 = 0 (4) 5x + 3y + 3 = 0

02 다음과 같은 조건이 주어졌을 때, 그래프의 식을 구하고 그려보아라 (1) (7, 4) 를 지나고 y 축에 평행한 직선 y

(2) (3, 1) 를 지나고 x 축에 평행한 직선 y

5 일차함수

5.4 방정식과 함수

101

다

일차함수의 활용

Flickr / ilmungo

5 일차함수

cbna

주요 개념 이해

한국인의 식생활에서 라면이 차지하는 비중은 매우 크다. 하지만 어떤 방법으로 라면을 끓여야 가장

01 주어진 정보를 이용해 직선의 방정식을

맛있는 라면을 먹을 수 있을까? 우선 몇가지 비법을 소개한다. 라면은 넓적한 냄비에 끓여야 윗쪽 면

구할 수 있다.

과 아랫쪽 면이 비교적 균일하게 익어 먹기에 좋다. 또한 최대한 높은 온도에서 끓을 수 있도록 물에

02 연립방정식과 그래프의 관계를 안다.

양념스프를 면을 넣기 전에 넣어주는 것이 중요하다. 가장 중요한 것은 물의 양인데 하나 이상의 라면 을 동시에 끓일 때에는 물을 550mL씩 넣어주고, 전체에서 50ml를 빼주면 적절하다. 라면의 갯수에 따른 물의 양을 일차함수의 식으로 구할 수 있겠는가? 라면 20개를 동시에 끓이려면 물을 얼마나 넣 어야 하는 것일까? 물론 그런 짓은 제발 하지 말자.

세 점이 한 직선 위에 있을 조건 세 점 P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ), P3 (x3 , y3 ) 가 주어졌다고 하자. 이들 세 점

이 한 직선 위에 놓일 조건을 생각해보자. 세 점이 한 직선 위에 있으려 면 어떤 두 점을 지나는 직선이 나머지 한 점을 지나면 된다. 이는 직선 ←−→ ←−→ ←−→ P1 P2 의 기울기와 P2 P3 의 기울기, P1 P3 의 기울기가 모두 같다는 것이다. = x3x2 = x3 이거나 x1 = x21 = x23 인=경우를 x3 생각하면, 직선의 기울 우선 x1 = x2x또는 1 = 기가 정의되지 않으므로 직선 위에 세 점이 놓여야 한다. 때문에 x1 = x2 = x3 이기만 하면 된다. 이제 x1 , x2 , x3 가 모두 다르다고 하자. 앞의 조건에 의해,

y2 − y1 y3 − y1 y3 − y2 = = 이어야 한다. x2 − x1 x3 − x1 x3 − x2

102

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

연립방정식과 그래프 앞 단원에서 그래프 위의 점은 그 그래프의 식을 만족시키는 순서쌍이라고 했다. 이제 일차연립방정식이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

a 1 x + b 1 y + c1 a 2 x + b 2 y + c2

= 0 = 0

㉠㉡

첫째 식을 ㉠, 둘째 식을 ㉡이라고 했을 때, ㉠과 ㉡의 그래프를 한 평면 위에 그 리면 ㉠의 그래프 위의 점은 식 ㉠을 만족시키고 ㉡의 그래프 위의 점은 식 ㉡을 만족시킨다. 만약 ㉠과 ㉡의 그래프가 만난다면 그 점은 식 ㉠과 ㉡을 동시에 만 족시키므로 연립방정식의 해가 된다.

x, y

a 2 x + b 2 y + c2 = 0 ㉡식을 만족시키는 점들

(p, q) O

㉠과 ㉡을 동시에 만족시키는 점 = ‘해’ ㉠식을 만족시키는 점들

(p, q)

x, y a 1 x + b 1 y + c1 = 0

이제 연립방정식의 해의 갯수를 알아내는 법을 공부해보자. 이원 일차연립방정식

a 1 x + b 1 y + c1 a 2 x + b 2 y + c2

= 0 = 0

㉠㉡

을 보면 ㉠과 ㉡의 그래프의 위치관계에 따라 해의 갯수가 달라진다. 그래프 개형

해의 갯수

y ㉠,㉡의 그래프가

유일한 해

한 점에서 만남

조건

(x, y)

= (p, q) 를 가짐

a1 a2

성질

b1 b2

기울기가 다름

y ㉠,㉡의 그래프가

해가 없다

만나지 않음

㉠과 ㉡의

a1 a2

b 1 c1 b 2 c2

a1 a2

b 1 c1 b 2 c2

㉠과 ㉡의 기울기가 같고 x, y 절편이 다름(평행)

y ㉠,㉡의 그래프가

㉠=㉡

서로 같음 O

무수히 많은 해

를 가짐

㉠과 ㉡이 일치함

만약 a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 중 0 인 것이 있다면 우선 방정식의 그래프를 그려본 후 근의 갯수를 판단해야 한다. 이 때, 위의 표에서 ‘성질’부분이 중요하게 사용 된다.

5 일차함수

5.5 일차함수의 활용

103

세 직선이 한 점에서 만날 조건 세 직선이 한 점에서 만나려면 우선 두 직선이 한 점에서 만나야 한다. 이 때, 한 점에서 만나는 두 식의 교점을 찾을 수 있다. 그리고 남은 한 직선이 앞에서 구한 교점을 지나게끔 하면 된다.

기타 응용 문제 ① 문제의 의도를 파악하고 변하는 양을 x 와 y 로 놓는다. ② 두 변수 간의 관계식을 구하고 x 의 범위를 문제에 타당하게끔 제한한다. ③ ②에서 구한 범위 내에서 ①의 해를 찾는다. ④ 구한 해가 문제의 의도에 맞는지 확인한다.

104

5 일차함수

5.5 일차함수의 활용

연습문제 01 다음 세 점은 한 직선 위에 있는지 확인하여라. (1) (8, 7) , (3, 2) , (6, 5) (2) (1, −1) , (3, 2) , (−2, 0) (3) (8, 3) , (1, 3) , (6, 2) (4) (8, 8) , (5, 5) , (1, 1)

02 다음 설명을 함수식으로 만들어라. (1) 길이가 50 cm 인 연양갱을 한번 베어 먹을 때마다 7 cm 씩 길이가 짧아진다 고 한다. 연양갱을 x 번 베어 먹었을 때 남은 길이가 y cm 라고 하자.

(2) 공기 중에서 음속은 기온이 0◦ C 일 때, 331m/s 이고, 기온이 1◦ C 오를 때 마다 0.6m/s 씩 빨라진다. 기온이 x◦ C 일 때의 음속을 y m/s 라고 하자.

5 일차함수

5.5 일차함수의 활용

105

106

5 일차함수

5.5 일차함수의 활용

확률 6.1 경우의 수 6.2 여러 가지 경우의 수 6.3 확률의 뜻과 성질 6.4 확률의 계산

경우의 수

Flickr / vidalarts

6 확률

cbnd

주요 개념 이해

주희와 기용이가 주사위를 가지고 놀고 있다. 주사위 2 개를 각각 던져서 그 눈의 합이 더 높은 사람

01 사건의 뜻을 알고 경우의 수를 구할

이 피자 한 판을 쏘기로 했다. 기용이가 먼저 주사위를 던졌는데 각각의 눈이 5 , 2 가 나왔다. 주희가

수 있다.

기용이를 이기기 위해서는 주사위의 눈이 어떻게 나와야 할까?

02 사건 A 또는 B 가 일어날 경우의 수

만약 주희가 던진 두 주사위의 눈의 합이 7 보다 크다면 게임에서 이길 것이다. 주희가 이길 수 있는

와, 사건 A 와 B 가 동시에 일어날 경우

모든 주사위 눈의 가짓수를 생각해 보자. 몇 가지 경우가 있는가?

의 수를 구할 수 있다.

같은 방법으로, 주희가 기용이와 비기는 모든 주사위 눈의 조합을 생각해 보자. 또, 주희가 지는 모든 주사위 눈의 조합을 생각해 보자. 각각의 경우의 수는 얼마나 되는가?

사건 사건

반복할 수 있는 실험이나 관찰에 의해 얻어지는 결과를 사건이라고 한다.

실험이나 관찰에 의해 일어나는 결과

예) 두 주사위의 눈의 합이 7 보다 크다. 주사위를 던져서 짝수인 눈이 나온다. 로또에서 6 개의 수 중 3 개의 수를 맞추다.

경우의 수 경우의 수

어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 가짓수를 경우의 수라고 한다.

사건의 가짓수

예) 두 주사위의 눈의 합이 7 보다 큰 사건의 경우의 수는? 눈의 합이 7 보다 큰 경우는 다음과 같다. 눈의 합이 8 인 경우 : (2, 6) , (3, 5) , (4, 4) , (5, 3) , (6, 2) 눈의 합이 9 인 경우 : (3, 6) , (4, 5) , (5, 4) , (6, 3) 눈의 합이 10 인 경우 : (4, 6) , (5, 5) , (6, 4) 눈의 합이 11 인 경우 : (5, 6) , (6, 5) 눈의 합이 12 인 경우 : (6, 6) 따라서 가능한 총 경우의 수는 15 가지이다. 예) 한 개의 주사위를 던져서 짝수인 눈이 나오는 사건의 경우의 수는? 주사위를 던졌을 때, 짝수의 눈은 2 , 4 , 6 이 나올 수 있으므로 경우의 수는

3 가지이다.

108

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

합의 법칙 - 사건 A 또는 B 가 일어날 때 사건 A 또는 B 가 각각 일어날 경우의 수 = ( 사건 A 가 일어날 경우의 수 ) + ( 사건

B 가 일어날 경우의 수 )

두 사건 A , B 가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A 가 일어나는 경우의 수가 m 가지, 사건 B 가 일어나는 경우의 수가 n 가지라 하면

사건 A 또는 B 가 일어나는 경우의 수 = ( A 의 경우의 수 ) + ( B 의 경우의 수 )

( 사건 A 또는 B 가 일어날 경우의 수 ) = m + n ( 가지 )

− ( A 와 B 가 동시에 일어나는 경우의 수 )

( ‘또는’, ‘이거나’라는 말이 있으면 합의 법칙을 사용한다. ) 합의 법칙을 이용할 때는 사건 A와 B가 각각 일어나는 것이지 동시에 일어나는 것 인지 주의해서 적용해야 한다. 동시에 일어나는 경우는 아래의 그림을 참조하면 이해할 수 있다.

A와 B가 A 의 경우의 수

동시에 일어나는

B 의 경우의 수

경우의 수

예) 한 개의 주사위를 던질 때 2 이하, 또는 5 보다 큰 눈이 나오는 경우의 수는?

2 이하의 눈이 나오는 경우의 수: 1 , 2 ⇒ 2 가지 5 보다 큰 눈이 나오는 경우의 수: 6 ⇒ 1 가지 ∴ 2 + 1 = 3 (가지)

예) 한 개의 주사위를 던질 때 짝수, 또는 소수인 눈이 나오는 경우의 수는? 짝수인 눈이 나오는 경우의 수: 2, 4, 6 ⇒ 3 가지 소수인 눈이 나오는 경우의 수: 2, 3, 5 ⇒ 3 가지 그런데 2 는 짝수와 소수 양쪽 모두에 포함되므로 중복해서 세면 안 된다.

∴ 3 + 3 − 1 = 5 ( 가지 )

위 예제에 나타난 모든 경우의 수들에 대해서 집합관계를 나타내면 다음과 같다.

4 6

6 확률

6.1 경우의 수

3 2

109

예) 두 개의 주사위를 던질 때, 눈의 합이 7 보다 작은 경우의 수는? 합이 6 이 나오는 경우의 수: (1, 5) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 2) , (5, 1) ⇒ 5 가지 합이 5 가 나오는 경우의 수: (1, 4) , (2, 3) , (3, 2) , (4, 1) ⇒ 4 가지 합이 4 가 나오는 경우의 수: (1, 3) , (2, 2) , (3, 1) 합이 3 이 나오는 경우의 수: (1, 2) , (2, 1) 합이 2 가 나오는 경우의 수: (1, 1) 중복해서 세어지는 경우가 없으므로

⇒ 3 가지 ⇒ 2 가지 ⇒ 1 가지

∴ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 가지

수형도 그리기 노란색, 초록색, 파란색 셔츠 중 하나를 상의로 입고 바지와 치마 중 하나를 하의로 입을 때, 옷을 입는 경우의 수를 구해 보자. 이럴 때 그림을 그리면 빠뜨림이나 중복 없이 쉽게 구할 수 있다.

이므로 경우의 수는 6 가지이다. 이런 나무 모양의 그림을 수형도라 한다. - 한 개의 주사위를 두 번 연달아 던질 때 처음에는 짝수가, 두 번째에는 홀수가 나오는 경우의 수를 계산해 보자.

110

6 확률

6.1 경우의 수

따라서 총 경우의 수는 9 가지이다.

0, 1, 2, 3 의 네 개의 카드로 두 자리의 정수를 만드는 경우의 수를 계산해 보자. 1 2 3

0 2 3 0 1 3 0 1 2

10 12 13 20 21 23 30 31 32

따라서 총 경우의 수는 9 가지이다.

곱의 법칙 - 사건 A와 B가 동시에 일어날 때 곱의 법칙

두 사건 A , B 가 서로 영향을 미치지 않을 때,

사건 A 와 B 가 동시에 일어날 경우의 수 (사건 A 가 일어날 경우의 수) 가 일어날 경우의 수)

(사건 B

사건 A 가 일어나는 경우의 수가 m 가지, 사건 B 가 일어나는 경우의 수가 n 가지라 하면

( 사건 A 와 B 가 동시에 일어날 경우의 수 ) = m × n ( 가지 ) ( ‘그리고’, ‘와’, ‘동시에’, ‘연달아’, ‘이어서’라는 말이 있으면 곱의 법칙을 사용한 다. ) 예) 한 개의 주사위를 두 번 연달아 던질 때 처음에는 짝수가, 두 번째에는 홀수가 나오는 경우의 수는? 위의 수형도에서 알 수 있듯이, 짝수의 눈 2, 4, 6 이 나오는 각각의 경우에 대해 홀수의 눈이 나오는 경우의 수가 3 가지로 일정하다. 따라서 두 가지 경우의 수를 곱하는 것이 계산에 편리하다.

6 확률

짝수인 눈이 나오는 경우의 수: 2, 4, 6 ⇒ 3 가지 홀수인 눈이 나오는 경우의 수: 1, 3, 5 ⇒ 3 가지

∴ 3 × 3 = 9 ( 가지 ) 이다.

6.1 경우의 수

111

예) 서주현 선생님이 집에서 교육장에 오는 방법으로는 자동차, 지하철, 자전거, 걸어오기가 있다. 교육장에서 집으로 갈때도 마찬가지다. 서주현 선생님이 집에서 교육장으로 가서 학생들에게 밥을 사 주고 다시 집으로 온다고 할 때, 선택할 수 있는 이동 방법의 조합은 몇 가지 경우의 수가 있는가? 곱의 법칙이 쉽게 떠오르지 않으면 수형도를 그려 보자. (가는 방법, 오는 방법) 집에서 교육장으로 갈 때 선택할 수 있는 4 가지 방법이 있고, 교육장에서 집으로 갈 때 선택할 수 있는 4 가지 방법이 있다. 두 가지 사건은 서로 영향을 미치지 않으므로

총 4 × 4 = 16 가지이다

예) 배나와 레스토랑에서는 저녁식사와 후식을 선택할 수 있다. 저녁식사로는 바비큐 폭립, 해물소스 스파게티, 프랑스식 오므라이스, 닭가슴살 샐러드를 고를 수 있고, 후식으로는 수정과, 선데 아이스크림, 딸기 케이크가 있다. 여지우 선생님이 이틀 동안 배나와 레스토랑에서 저녁식사와 후식을 즐기려고 할 때, 선택할 수 있는 메뉴 순서의 모든 경우의 수를 구하여라.

곱의 법칙이 쉽게 떠오르지 않으면 수형도를 그려 보자.

(첫째 날 식사, 첫째 날 후식, 둘째 날 식사, 둘째 날 후식)

첫째 날 저녁식사를 선택하는 경우의 수 4 가지 첫째 날 후식을 선택하는 경우의 수 3 가지

둘째 날 저녁식사를 선택하는 경우의 수 4 가지 둘째 날 후식을 선택하는 경우의 수 3 가지 따라서 가능한 경우의 수는 총 4 × 3 × 4 × 3 = 144 가지이다.

예) 혜진이가 교육장에서 집까지 가려고 한다. 인터넷으로 검색을 해서 버스 노선을 알아보니 집에서 A 까지 가는 버스가 3 대, A 에서 교육장까지 가는 버스가 4 대가 있다는 사실을 알게 되었다. 교육장에 가는 방법의 수는 총 몇 개 인지 구하여라.

112

6 확률

6.1 경우의 수

예) 햄버거 판매점에서 주문을 할 때, 가능한 경우의 수를 계산해 보자. 햄버거의 종류가 3 개, 음료수의 종류가 3 개, 그리고 장난감의 종류가 2 개라고 할 때 우리는 다음과 같은 수형도를 그릴 수 있다.

햄버거 1

음료수 1

장난감 1 장난감 2

음료수 2

장난감 1 장난감 2

음료수 3

장난감 1 장난감 2

햄버거 2

음료수 1

장난감 1 장난감 2

음료수 2

장난감 1 장난감 2

음료수 3

장난감 1 장난감 2

햄버거 3

음료수 1

장난감 1 장난감 2

음료수 2

장난감 1 장난감 2

음료수 3

장난감 1 장난감 2

6 확률

6.1 경우의 수

113

연습문제 01 세 개의 주사위를 던져서 합이 9보다 클 경우의 수를 구하여라.

02 한 개의 주사위를 던질 때 홀수 또는 소수인 눈이 나오는 경우의 수를 구하여 라.

03 배나사 교육장에서는 점심과 저녁을 먹을 수 있다. 점심으로는 짜장면과 치킨 과 피자를, 저녁으로는 도시락과 피자, 돈까스가 있다. 배나사에서 점심, 저녁을 모두 먹을 때, 선택할 수 있는 모든 경우의 수를 구하여라.

04 조현익 선생님은 수학과 영어, 과학을 모두 가르치게 된다. 수학은 네 반, 영 어는 세 반, 과학은 네 반이 되었을 때, 조현익 선생님의 수업시간표의 경우의 수 를 구하여라.

114

6 확률

6.1 경우의 수

6 확률

6.1 경우의 수

115

여러 가지 경우의 수

Flickr / paul-w

6 확률

cbna

주요 개념 이해

기범이와 인택이 그리고 경훈이는 유성에서 유명한 세 친구들이다. 경훈이는 어느날 문득 기범이에게

01 경우의 수에서 배운 합의 법칙과 곱의

“기범, 인택이는 정말 관우를 닮은것같지않아?” 라고 하였고 이에 기범이는”그러고 보니 너도 정말 관

법칙을 응용할 수 있다.

우를 닮은것다.” 라 하였다. 그러자 인택이는”경훈, 기범 우리도 도원결의를 할까?”하였고 그리하여

02 여러 가지 상황에서 경우의 수를 계산

셋은 한시라도 떨어지지 않기로 하였다.

할 수 있다.

어느 무더운 여름날 셋은 축구를 하기 위해 운동장에 나왔다. 이윽고 경기가 시작되고 상대방 선수 들과 악수를 하기 위해 일렬로 섰다. 11 명이 일렬로 서서 악수를 한다고 하면 셋이 떨어지지않고 일 렬로 설 수 있는 경우는 모두 몇가지 일까?

사람을 일렬로 세우기 6 명의 사람을 일렬로 세우는 경우의 수를 생각해보자. 6 명을 일렬로 세울 때는 누구를 먼저 세우느냐, 즉 세우는 순서를 고려하여야 한 다.

위와 같이 여섯 자리가 있다고 했을 때, 첫 번째 자리에 사람을 세우는 경우의 수 는 6 가지 이다.

첫 번째 자리에 사람을 세우고 나면, 두 번째 자리에 사람을 세우는 경우의 수는

5 가지 이다. 마찬가지로 세 번째 자리에 사람을 세우는 경우의 수는 4 가지, 네 번째 자리에 사람을 세우는 경우의 수는 3 가지… 마지막 자리에는 자리를 배정받지 못한 한 사람이 들어가므로 1 가지 경우의 수가 생기게 된다. 이러한 사건들은 연달아 일어나기 때문에, 위에서 배운 곱의 법칙을 적용하여 6 명의 사람을 일렬로 세우는 경우의 수는 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ( 가지 ) 가 된

다.

116

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

그러면, 6 명의 사람 중에서 2 명을 뽑아 줄 세우는 경우의 수를 생각해보자.

위와 같이 두 자리가 있을 때, 첫 번째 자리에 사람을 세우는 경우의 수는 앞의 예 와 마찬가지로 6 가지 이고, 두 번째 자리에 사람을 세우는 경우의 수는 5 가지 가 된다. 따라서, 경우의 수는 6 × 5 ( 가지 ) 가 된다. (1) n 명을 일렬로 세우는 경우의 수

n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1 ( 가지 )

(2) n 명 중에서 2 명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수 n × (n − 1) ( 가지 ) (3) n 명 중에서 3 명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수 n × (n − 1) × (n − 2) ( 가지 )

만일 6 명의 사람 중에 철수와 영희 두 명이 서로 이웃하여 서 있어야 한다고 하 자. 이 조건을 만족하면서 일렬로 세울 경우의 수는 얼마인지 알아보자. 철수와 영 희를 삼각형으로 표시하면

위와 같이 그릴 수 있다. 철수와 영희를 한 묶음으로 보았을 때 5 명을 일렬로 세 우는 경우와 같으므로 경우의 수는 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 가지이고, 철수

와 영희 2 명을 배열해야 하므로 2 × 1 = 2 가지이다. 이 두 사건이 서로 영향을

미치지 않으므로 전체 경우의 수는 120 × 2 = 240 가지이다.

6 확률

6.2 여러가지의 경우의 수

117

대표 뽑기 6 명의 학생 중에서 2 명의 대표를 뽑는 경우의 수를 생각해보자. 2 명의 대표가 반장과 부반장처럼 구분이 있는 경우에는 앞의 일렬로 세우는 경우 와 마찬가지로 뽑는 순서가 중요하다. 반장

부반장

따라서, 반장과 부반장을 뽑는 경우의 수는 6 × 5 ( 가지 ) 가 된다. 그런데, 두 자리가 같은 대표인 경우에는 두 자리가 동일하여 뽑는 순서가 중요 하지 않다.

대표

첫 번째 대표학생을 뽑는 방법의 수는 6 가지, 두 번째 대표학생을 방법의 수는 5 가지 이다. 그런데 (A, B) 순으로 학생이 뽑히는 것과 (B, A) 순으로 학생이 뽑히는 것은 결과적으로 동일하다. 그러므로 중복을 막기 위해 나누어 주면 경우의 수는

6×5 ( 가지 ) 이다. 2×1

(1) 직책의 구분이 있는 경우 - n 명 중에 반장, 부반장을 뽑는 경우의 수

n × (n − 1) ( 가지 ) (2) 직책의 구분이 없는 경우 - n 명 중에 2 명의 대표를 뽑는 경우의 수

n × (n − 1) ( 가지 ) 2×1 (3) 직책의 구분이 없는 경우 - n 명 중에 3 명의 대표를 뽑는 경우의 수

n × (n − 1) × (n − 2) ( 가지 ) 3×2×1

118

6 확률

6.2 여러가지의 경우의 수

동전던지기 10 원짜리, 50 원짜리, 100 원짜리, 500 원짜리 동전을 각각 하나씩 동시에 던졌 다. 이때 2 개 이상의 동전이 앞면일 경우의 수를 알아보자. 이 경우는 동전이 2 개가 앞면일 경우의 수, 3 개가 앞면일 경우의 수, 4 개가 앞면 일 경우의 수를 모두 구해 더해주어야 한다. 동전 2 개가 앞면일 경우의 수는 4 개의 동전중에서 2 개의 동전을 선택해야

4×3 = 6 가지이고, 동전 3 개가 앞면일 경우의 수는 4 개의 동전 2×1 4×3×2 중에서 3 개의 동전을 선택해야 하므로 = 4 가지이고, 동전 4 3×2×1 개가 앞면일 경우의 수는 4 개의 동전중에서 4 개의 동전을 선택해야 하므로 4×3×2×1 = 1 가지이므로 전체 경우의 수는 6 + 4 + 1 = 11 가지이다. 4×3×2×1 하므로

위 문제에 나타나는 모든 경우의 수를 다음과 같이 그림으로 나타내면 마찬가지 로 전체 경우의 수가 11 임을 알 수 있다.

6 확률

6.2 여러가지의 경우의 수

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

뒤

앞

119

연습문제 01 걸 그룹 ‘카라멜’에는 다섯 명의 맴버가 있다. 그들을 일렬로 세울 때, 그 중 ‘십하라’와 ‘장니콜’은 서로 친하기 때문에 서로 이웃하여 서기로 한다. 이 때 ‘카라멜’을 일렬로 세우는 방법을 구하여라.

02 우리 반에는 여섯 명의 친구가 있다. 이 중 주이와 한솔이의 자리를 떨어뜨려놓 기로 하였다. 이 때 여섯 명의 친구가 일렬로 앉을 수 있는 경우의 수를 구하여라.

03 걸 그룹 ‘소년시대’에는 아홉 명의 멤버가 있다. 이중 리더와 부리더를 뽑는데 가능한 경우의 수를 구하여라.

04 ‘유아이’는 백원 짜리 동전을 다섯 개 가지고 있다. 이 동전들을 하나씩 던졌을 때 세 개의 면 이상이 앞면이 나오는 경우의 수를 구하여라.

120

6 확률

6.2 여러가지의 경우의 수

6 확률

6.2 여러가지의 경우의 수

121

확률의 뜻과 성질

Flickr / pabo76

6 확률

cbnd

주요 개념 이해

재훈이는 이번 2 학기 중간고사 시험에서 수학을 80 점 이상을 맞으면 양념치킨을 얻어 먹기로 김이영

01 확률의 뜻을 안다.

선생님과 약속을 했다. 지금까지 성적으로 봤을 때, 재훈이가 80 점 이상을 맞을 확률은 27.3 %이고,

02 확률의 기본 성질을 안다.

80 점 미만을 맞을 확률은 73.7%로 배나사 전산 시스템이 측정하였다. 이에 화가 난 재훈이는 자기 가 80 점 이상 맞을 확률은 110 %라고 하며, 전산 시스템이 오류가 있다고 김이영 선생님께 화를 냈 다. 재훈이와 전산 시스템의 말에 있는 오류는 무엇일까?

확률 확률

어떤 사건이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것을 확률이라 한다.

어떤 사건이 일어날 가능성

확률의 개념을 이해하기 위해 아래의 표를 살펴보자. 아래 표는 동전을 10 번, 100 번, 1000 번 던져서, 앞면과 뒷면이 나온 횟수를 기록한 것이다.

앞면 뒷면 합계

횟수

비율

횟수

비율

횟수

비율

6 4 10

0.6 0.4 1

53 47 100

0.53 0.47 1

506 494 1000

0.506 0.494 1

표를 보면 던지는 횟수가 늘어날수록 앞면과 뒷면이 나오는 사건의 비율이 점차

0.5 에 가까워 지고 있음을 알 수 있다. 이렇게 일정한 조건 아래에서 반복하여 실험을 시행할 때, 어떤 사건 A 가 일어나는 비율이 일정한 값에 가까워지면, 이 일정한 값을 사건 A 가 일어날 확률이라고 한다.

122

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

그러므로 동전을 던졌을 때, 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 0.5 라 고 할 수 있다.

일반적으로, 각각의 경우가 일어날 가능성이 같을 때 사건 A가 일어날 확률 =

사건 A가 일어나는 경우의 수 실험이나 관찰에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수

예) 한 개의 주사위를 던질 때 짝수의 눈이 나올 확률은 짝수의 눈이 나올 경우의 수 주사위를 던질 때 모든 경우의 수 이므로

2, 4, 6 → 3가지 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6가지 2

확률의 성질 1 - 확률의 범위 (1) 어떤 사건이 일어날 확률을 p 라고 하면 0 ≤ p ≤ 1 이다. (2) 반드시 일어나는 사건의 확률은 1 이다. (3) 절대로 일어날 수 없는 사건의 확률은 0 이다. 예) 배나사 학생 중에서 한 명을 뽑을 때, 중학생이 뽑힐 확률은 반드시 일어나는 사건이므로 해당 확률은 1 이다. 예) 배나사 학생 중에서 한 명을 뽑을 때, 대학생이 뽑힐 확률은 일어날 수 없는 사건이므로 해당 확률은 0 이다. 예) 배나사 학생 중에서 한 명을 뽑을 때, 여학생이 뽑힐 확률을 p 라고 하면

0 ≤ p ≤ 1 이다.

6 확률

6.3 확률의 뜻과 성질

123

확률의 성질 2 - 사건이 일어나지 않을 확률 여사건 어떤 사건 A 에 대하여 ‘ A 가 일어나지 않는 다’ 라는 사건

어떤 사건 A 가 일어날 확률을 p 라고 하면

( A 가 일어나지 않을 확률 ) = 1 − p 어떤 사건 A 가 있을 때 ‘ A 가 일어나지 않는다’라는 사건을 A 의 여사건이라 한 다. 사건 A 가 일어날 확률과 사건 A 가 일어나지 않을 확률의 합이 1 이므로, 사건 A 가 일어날 확률이 p 일 때 A 의 여사건이 일어날 확률은 1 − p 이다.

예제) 동전 2 개를 던졌을 때 앞면이 하나라도 나올 확률은? 풀이) 앞면이 하나라도 나오는 사건은 앞면이 하나도 나오지 않는 사건의 여사건 이다. 앞면이 하나도 나오지 않는, 즉 뒷면이 두 번 연달아 나오는 사건이 일어날 확률은 첫 번째에 뒷면이 나올 확률 × 두 번째에 뒷면이 나올 확률 =

1 1 1 × = 2 2 4

그리고, 앞면이 하나라도 나올 확률은

1− ( 앞면이 하나도 나오지 않을 확률 ) 이므로 1 −

1 3 = 이다. 4 4

앞면이 하나라도 나오는 경우를 모두 그려보면 다음과 같이 3 가지 경우가 존재 하며 전체 경우의 수가 4 이므로 위에서 얻은 결과와 동일한 확률 값을 얻을 수 있다. 해당 사건의 경우의 수 총 사건의 경우의 수

124

6 확률

6.3 확률의 뜻과 성질

3 4

연습문제 01 4 개의 동전을 하나 씩 던졌을 때, 3 개 이상의 동전이 뒷면을 가질 확률을 구 하여라.

02 연태의 한 때 프로토스전 전적은 21 승 3 패 라고 한다. 일반적인 프로토스가 3 판 2 선 승제에서 현태를 이길 확률을 구하시오.

03 5 개의 동전을 던질 때 하나 이상의 동전이 앞면이 나올 확률을 구하시오.

04 철수는 3 개의 아이템을 강화하려고 한다. 강화에 성공할 확률이 개 이상의 아이템이 강화에 성공할 확률을 구하여라.

6 확률

6.3 확률의 뜻과 성질

1 일때한 3

125

확률의 계산

Flickr / ttstam

6 확률

cbna

주요 개념 이해

총잡이 세 명 중에 한명만 살아 남는 결투를 한다. 좋은 놈은 명중률이 20 % 이고, 나쁜 놈은 명중률

01 사건 A 또는 B 가 일어날 확률과, 사

이 60 %이고, 이상한 놈의 명중률은 100 %이다. 총을 발사하는 놈은 남은 두 명 중 명중률이 높은

건 A 와 B 가 동시에 일어날 확률을 구

놈에게 먼저 쏴야 자신이 살아 남을 수 있으므로 좋은 놈과 나쁜 놈은 이상한 놈을 향해 총을 발사

할 수 있다.

하고, 이상한 놈은 나쁜놈에게 총을 발사한다. 결투를 할 경우 누가 살아남을 확률이 가장 높을까?

02 여러 가지 확률을 계산할 수 있다.

풀이는 왼쪽 하단에서 이어진다.

사건 A 또는 B가 일어날 때 : 확률의 덧셈 두 사건 A , B 가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A 가 일어날 확률을 p . 사건 B 가 일어날 확률을 q 라 하면

( 사건 A 또는 B 가 일어날 확률 ) = p + q 예) 한 개의 주사위를 던질 때 2 이하, 또는 5 보다 큰 눈이 나올 확률은 다음과 같은 과정을 거쳐서 구한다.

2 6 1 5 보다 큰 눈이 나올 확률 ⇒ 6 2 1 3 1 ∴ + = = 이다. 6 6 6 2

2 이하의 눈이 나올 확률 ⇒

풀이 첫 발사후, 이상한 놈이 살아 남을 확률은

(1 − 0.2) × (1 − 0.6) = 0.32 ,

나쁜놈은 이상한 놈에게 일단 죽음. 두 번째 발사 후, 착한 놈이 살아 남을 확률은

0.32, 이상한 놈이 살아 남을 확률은 0.32 × (1 − 0.2) = 0.256 답) 좋은 놈 : 68 %, 이상한 놈 : 25.6 %

사건 A와 B가 연이어 일어날 때 : 확률의 곱셈 두 사건 A , B 가 서로 영향을 미치지 않을 때, 사건 A 가 일어날 확률을 p . 사건 B 가 일어날 확률을 q 라 하면

( 사건 A 와 B 가 모두 일어날 확률 ) = p + q

어렵죠? 이 단원 공부하면 이해됩니다.

126

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

예) 한 개의 주사위를 2 번 던질 때 처음에는 짝수가 나오고, 두 번째에는 홀수가 나올 확률은

짝수의 눈이 나올 확률 ⇒

3 1 = 6 2

홀수의 눈이 나올 확률 ⇒

3 1 = 6 2

∴

1 1 1 × = 2 2 4

예) 눈이 내릴 확률이 p , 운동 중에 다칠 확률이 q 라고 하자. 눈이 내리는 사건 과 운동 중 다치는 사건은 서로 영향을 미치지 않는다. 눈이 내리고, 운동 중 다칠 확률은 두 확률의 곱인 pq 이다. 예) 이번에는 눈이 10 cm 이하로 올 확률이 p , 눈이 30 cm 이상으로 올 확률이 q 라고 하자. 이 두개의 사건은 동시에 발생할 수 없으므로 눈이 10 cm 이하 또 는 30 cm 이상으로 올 확률은 두 확률의 합인 p + q 이다.

연속하여 뽑는 경우의 확률 - 꺼낸 것을 다시 넣는 경우 주머니에서 꺼낸 것을 확인하고 다시 넣은 후에, 연속하여 또 뽑는 확률은, 첫 번 째 뽑을 때에나 두 번째 뽑을 때에나 똑같다. 즉, 주머니에서 꺼낸 것을 다시 넣 고 연속하여 뽑는 경우는 첫 번째 꺼내는 사건이 다음 꺼내는 사건에 영향을 주 지 않는다. 예제) 주머니 속에 흰 공 3 개, 검은 공 4 개가 들어 있다. 이 중에서 1 개를 꺼내 확인하고 집어 넣은 후 다시 1 개를 꺼낼 때 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구 하여 보자. 풀이) 처음에 흰 공을 꺼낼 확률 =

3 7

두 번재에 흰 공을 꺼낼 확률 =

∴ 구하는 확률은

6 확률

6.4 확률의 계산

3 7

3 3 9 × = 7 7 49

127

연속하여 뽑는 경우의 확률 - 꺼낸 것을 다시 넣지 않는 경우 주머니에서 꺼낸 것을 다시 넣지 않고 연속하여 뽑는 경우, 뽑을 때마다 전체 경 우의 수는 하나씩 줄어 들고, 두 번째 뽑을 때는 첫 번째에서 뽑은 것을 제외한 나머지에서 뽑게 된다. 따라서 주머니에서 꺼낸 것을 다시 넣지 않고 연속하여 뽑는 경우는 조건이 달라 지므로 첫 번째 꺼내는 사건이 다음 꺼내는 사건에 영향을 준다. 예제) 주머니 속에 흰 공 3 개, 검은 공 4 개가 들어 있다. 이 중에서 연속해서 2 번 꺼낼 때 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구하여 보자. 풀이) 처음에 흰 공이 나올 확률 =

3 7

이제 전체 공은 6 개로 줄고, 흰 공은 2 개로 줄었으므로 두 번째에 흰 공이 나올 확률 =

∴ 구하는 확률은

2 6

3 2 1 × = 7 6 7

여사건 - “적어도 하나……” 참고 적어도 하나 발생 할 확률

= 1 − 0 개 발생 할 확률

많아야 하나 발생 할 확률

예제) A 주머니 속에 빨간 공 3 개, 파란 공 2 개. B주머니 속에 빨간 공 3 개, 파 란 공 5 개가 들어있다. 각 주머니에서 공을 한 개씩 꺼낼 때, 나온 공 두 개 중 적 어도 하나의 공이 빨간 공일 확률을 구하여 보자.

= 1 개 발생 할 확률 + 1 개 발생 할 확률

풀이) 공 2 개가 나올 확률 = 1

2 개 모두 파란 공일 확률 =

5 2 1 ( A 주머니 ) × ( B 주머니 ) = 5 8 4

적어도 하나가 빨간 공일 확률 = ( 공 2 개가 나올 확률 ) −

( 2 개 모두 파란 공일 확률 ) 1 3 =1− = 4 4

이것을 그림으로 정리하면 다음과 같다.

A 에 빨간 공 3 개, B 에 파란 공 5 개가 있으므로 경우의 수 = 15 A 에 파란 공 3 개, B 에 빨간 공 3 개가 있으므로 경우의 수 = 6 A 에 빨간 공 3 개, B 에 3 개가 있으므로 경우의 수 = 9 전체 경우의 수 = 5 × 8 = 40 ∴ 적어도 하나가 빨간 공일 확률 = 30/40 = 3/4

128

6 확률

6.4 확률의 계산

여사건 - 또 다른 유형 예제) 토끼가 수학 문제를 하나 풀었을 때, 맞힐 확률이

1 이라고 한다. 토끼에 6

게 풀라고 수학문제를 5 개 주었을 때, 모두 틀릴 확률을 구해보자. 풀이) 문제를 맞힐 확률 =

1 6

1 5 = 6 6 5 5 5 5 5 55 5 개 모두 틀릴 확률 = × × × × = 5 6 6 6 6 6 6

문제를 틀릴 확률 = 1 −

여러 가지 확률 - 일렬로 세우기 예제) 쥐, 소, 호랑이, 토끼, 용을 아무렇게나 일렬로 세울 때, 호랑이가 네 번째 서 있을 확률을 구해보자. 풀이)

5 마리를 일렬로 세울 수 있는 경우의 수 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

호랑이가 네 번째 서 있을 경우의 수 = 4 × 3 × 2 × 1 × 1 호랑이가 네 번째 서 있을 확률 =

호랑이가 네 번째 서 있을 경우의 수

5마리를 일렬로 세울 수 있는 경우의 수

1 = 5

여러 가지 확률 - 숫자 만들기 예제) 숫자 1, 2, 3, 4 를 이용해서 2 자리 수를 만들려고 한다. 각 숫자는 1 번만 사용 가능할 때, 만든 수가 짝수 일 확률을 구해보자. 풀이) 짝수는 첫재 자리 숫자가 2 의 배수라는 특징을 사용하여 경우의 수를 모두 나열하면 다음과 같다.

12, 32, 42, 14, 24, 34 4 개의 숫자 중, 2 개의 숫자를 택하는 경우의 수는 4 × 3 = 12 이므로, 2 자리 숫자가 짝수 일 확률은 다음과 같다. 6 1 = 12 2

6 확률

6.4 확률의 계산

129

연습문제 01 은비가 수학문제를 하나 풀었을 때, 맞힐 확률이 문제를 맞힐 확률을 구하여라.

1 이다. 세 문제를 풀 때, 다 4

02 f (x) 의 맴버들을 일렬로 세울 때, 셜리가 네 번째 서 있을 확률을 구하여라.

03 상자에 새우깡 다섯 봉지와 양파링 네 봉지가 있다. 연속하여 세 번 꺼낼 때 세 번 모두 새우깡이 나올 확률을 구하여라.

04 준혁, 세경, 지훈, 세경 네 명을 일렬로 세울 때 지훈과 세경이 이웃하여 앉을 확률을 구하여라.

130

6 확률

6.4 확률의 계산

삼각형의 성질 7.1 명제와 정리 7.2 이등변삼각형의 성질 7.3 직각삼각형의 합동 7.4 삼각형의 외심과 내심

명제와 정리

Flickr / pateffon

7 삼각형의 성질

cbna

주요 개념 이해

“얘들아, ‘슈퍼시니어가 동방신구보다 멋지다.’ 라는 문장이 참일까, 거짓일까?”

01 명제와 가정과 결론에 대해서 안다.

“어휴, 선생님도 참~. 당연히 참이죠.”

02 명제의 역을 말할 수 있다.

“뭐야, 멋지긴 뭐가 멋져, 딱 봐도 거짓이잖아!!”

03 정의, 증명과 정리에 대해서 안다.

“얘들아 싸우지 말자. 저 문장이 명제가 아니라서 그런거란다. 말 나온 김에 명제가 뭔지 공부해볼까?”

명제 참인 명제

내용이 참인지 거짓인지 객관적으로 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 한 다.

명제

참인지 거짓인지 객관적으로 판별할 수 없는 문장은 명제가 아니다. 거짓인 명제

명제가 아닌 문장

예) 명제인 문장과 아닌 문장

소녀시대는 여성 그룹이다. ( O )

참인지 거짓인지 명확하게 판별할 수 있는

소녀시대는 예쁘다. ( X )

문장이나 식

명제

( ∵ ‘예쁘다’라는 것은 객관적인 기준이 아니다. )

꽃은 동물이다. ( O )

꽃은 식물인가? ( X )

( ∵ 의문문은 참, 거짓 판별의 대상이 아니므로 명제가 아니다. )

예) 참인 명제와 거짓인 명제

소녀시대는 여성 그룹이다. ( 참인 명제 )

꽃은 동물이다. ( 거짓인 명제 )

가정과 결론 가정과 결론 명제 ‘ p 이면 q 이다.’에서 p 가 가정. q

「 p 이면 q 이다」 라는 명제가 있을 때, p 에 해당하는 부분을 가정이라고 하고, q

는 결론

에 해당하는 부분을 결론이라고 한다. 예) 「두 삼각형이 합동이면 두 삼각형의 넓이가 같다」라는 명제에서 「두 삼각형이 합동이다」는 가정이고, 「두 삼각형의 넓이가 같다」는 결론이다.

132

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

명제의 역 명제의 역

명제에서 가정과 결론을 바꾸어 놓은 것을 역이라고 한다.

처음 명제의 가정과 결론의 순서를 바꿔놓은 새로운 명제

예) 「 p 이면 q 이다」의 역은 「 q 이면 p 이다」이다. 처음 명제의 참/거짓과 역의 참/거짓은 관계가 없다. 즉, 어떤 명제가 참이라고 해서 그 역이 반드시 참인 것은 아니다.

8cm 6cm

예) 「두 삼각형이 합동이면 두 삼각형의 넓이가 같다」의 역은 「두 삼각형의 넓이가 같으면 두 삼각형은 합동이다」이다. 이와 같이 처음 명제가 참이라도 역은 거짓일

3cm

4cm

수도 있다.

정의 정의

어떤 용어의 뜻을 명확하게 정한 것, 즉 용어에 대한 약속을 정의라고 한다.

용어의 뜻을 명확하게 정한 문장

예) 여러 가지 용어의 정의 정삼각형 세 변의 길이가 같은 삼각형

직각삼각형 한 내각의 크기가 직각인 삼각형

이등변삼각형 두 변의 길이가 같은 삼각형

사다리꼴 한 쌍의 대변이 평행한 사각형

증명과 정리 증명

이미 옳다고 밝혀진 명제나 정의를 이용하여 어떤 명제가 참임을 밝히는 과정을

명제가 참임을 밝히는 과정

증명이라고 하며, 증명된 명제 중 기본이 되는 것 또는 다른 증명에 활용되는 것 을 정리라 한다. 정리는 참인 명제이므로 다른 명제를 증명하거나 문제를 풀 때

정리

마음대로 사용할 수 있다.

증명된 명제 중 기본이 되는 것

앞으로, 증명의 끝은 ‘■’ 기호로 표시할 것이다.

예) 정리: 삼각형 ABC 의 세 내각의 크기의 합은 180◦ 다. (1) 가정: 삼각형의 세 꼭지점이 A, B, C 이다. (2) 결론: ∠A + ∠B + ∠C = 180◦

증명)

왼쪽 그림처럼 P Q 가 ABC 의 BC 와 평행하고 꼭지점 A 를 지나도록 그 으면,

∠B = ∠BAP , ∠C = ∠CAQ ( 엇각 ) 이다. 따라서, ABC 의 세 내각의 크기의 합은 ∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠BAP + ∠CAQ = ∠P AQ = 180◦ 이다. ■ 7 삼각형의 성질

7.1 명제와 정리

133

연습문제 01 다음 문장이 명제인지 아닌지 판별하라. (1) 아인슈타인은 머리가 좋다. (2) 아인슈타인은 IQ 가 높다. (3) 아인슈타인은 역사상 머리가 가장 좋은 사람이다. (4) 아인슈타인은 2009 년에 태어났다.

02 “명제 ab = ac 이면 b = c 이다.”의 역을 쓰고 역의 참/거짓을 판별해 보아 라.

03 “명제 a + b = a + c 이면 b = c 이다.”의 가정과 결론을 써라.

134

7 삼각형의 성질

7.1 명제와 정리

7 삼각형의 성질

7.1 명제와 정리

135

이등변삼각형의 성질

7 삼각형의 성질

Flickr / publicdomainphotos

주요 개념 이해

“얘들아, ‘태양은 동그랗다.’ 라는 문장이 참일까, 거짓일까?”

01 이등변삼각형의 성질을 안다.

“어휴, 선생님도 참~. 당연히 참이죠.”

02 이등변삼각형이 될 조건을 안다.

“뭐야, 동그랗긴 뭐가 동그래, 딱 봐도 거짓이잖아!!” “얘들아 싸우지 말자. 한번 동그란지 어떤지 태양을 한번 볼까? 봐요! 이등변 삼각형이죠?”

삼각형의 합동에 대해서는 1 학년 때 배웠다. 앞으로 배울 여러 정리의 증명에서 이 개념을 많이 이용할 것이니 다시 살펴보도록 하자.

삼각형의 합동 조건들 삼각형의 합동 조건에는 다음의 세 가지가 있다. (1) 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때 ( SSS 합동 )

참고 S와 A는 각각 영어에서 변을 뜻하는 ‘Side’ 와 각을 뜻하는 ‘Angle’의 첫 자에서 딴 것 이다. 여기서 SSS ( 세 변 ) , SAS ( 두 변과 끼인각 ) , ASA ( 한 변과 양끝 각 ) 이라는 이름이 나왔다.

(2) 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 끼인각의 크기가 같을 때 ( SAS 합동 )

(3) 대응하는 한 변의 길이가 같고 그 양끝 각의 크기가 같을 때 ( ASA 합동 )

136

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

꼭지각

이등변삼각형 두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고 한다.

이등변삼각형 밑각

밑각

이등변삼각형 두 변의 길이가 같은 삼각형

수직이등분선 한 선분에 수직하고 그 선분을 같은 길이의 두 개의 선분으로 나누는 선.

참고 합동표시를 할 때 각 삼각형에 대응되는 꼭지 점의 순서대로 써주어야 한다.

ADB ≡ ACD ( x )

ABD ≡ ACD ( o )

(1) 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. (2) 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. 증명) ABC 에서 AB = AC 라 두고, 왼 쪽 그림처럼 ∠A 의 이등분선과 BC 의 교점

을 D 라고 하면 ABD 와 ACD 에서

AB = AC ( ∵ 이등변삼각형 ) ∠BAD = ∠CAD ( ∵ 각 이등분선 ) AD 는 공통이므로 ABD ≡ ACD 이 다. ( SAS 합동 ) 따라서, ∠B = ∠C 이고 (1) 이 증명된다.

또한, 같은 사실로부터 BD = CD 이고 ∠ADB = ∠ADC , ∠ADB + ∠ADC = 180◦ 에서 AD ⊥ BC 를 얻으므로 (2) 가 증명된다. ■

예제) 다음 그림에서 x 를 구하여라. 30◦

예제) 다음 그림에서 DE 의 길이는 얼마인가? 30◦

60◦

12cm

7 삼각형의 성질

7.2 이등변삼각형의 성질

137

주어진 삼각형이 이등변삼각형이면 어떤 성질을 갖는지를 보았다. 이번에는 반대 로, 삼각형에 어떤 성질이 주어졌을 때 이등변삼각형이 되는지 보자.

이등변삼각형이 될 조건 두 밑각의 크기가 같으면 이등변삼각형이다. 증명)

ABC 에서 ∠B = ∠C 라 두고, 왼쪽 그림처럼 ∠A 의 이등분선과 BC 의 교점을 D 라고 하면 ∠BAD = ∠CAD , ∠B = ∠C 이므로 ∠ABD = ∠ACD 를 얻는다. ( ∵ 삼각형의 내각의 합은 180◦ )

ABD 와 ACD 에서 ∠BAD = ∠CAD ( ∵ 각 이등분선 ) AD 는 공통이고 ∠ADB = ∠ADC 이므로 ABD ≡ ACD 이다. ( ASA 합동 ) 따라서, AB = AC 이므로 정의에 의하여 ABC 는 이등변삼각형이다. ■ 예제) 다음 그림에서 x 는 얼마인가? 150◦

xcm 30◦ 3cm

이등변삼각형의 성질 첫 번째를 가정과 결론으로 나누어 쓰면 아래와 같다. “어떤 삼각형이 이등변삼각형이면, 두 밑각의 크기가 같다.” 그리고 이등변삼각형이 되는 조건을 똑같이 써보면 아래와 같다. “어떤 삼각형에서 두 밑각의 크기가 같으면, 그것은 이등변삼각형이다.” 즉, 두 명제는 서로 역 관계에 있다.

138

7 삼각형의 성질

7.2 이등변삼각형의 성질

연습문제 01 다음 삼각형에서 x 를 구하여라. A 70◦

x B

02 다음 삼각형에서 AB 의 길이를 구하여라.

60º

3cm 03 ABC ≡ DEF 일 때 DE 의 길이를 구하여라.

5cm

E F

04 다음 두 삼각형에서 x 의 길이를 구하라.

5cm

78◦

2cm

7 삼각형의 성질

5cm

E C

7.2 이등변삼각형의 성질

78◦

2cm

139

직각삼각형의 합동

7 삼각형의 성질

cbd Flickr / leecullivan

주요 개념 이해

고대 파로스의 등대에서는 먼 거리에 있는 배까지의 거리를 알 필요가 있었다. 자로 배까지의 거리를

01 직각삼각형의 두 합동 조건을 안다.

잴 수는 없는 법. 어떻게 하면 배까지의 거리를 알 수 있을까? 직각삼각형의 합동 조건을 이용하여 배 까지의 거리를 재는 대신에 땅에서 그 거리를 알 수 있는 법을 알아보자.

직각삼각형의 합동 조건 ( RHA ) 참고

두 직각삼각형에서 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같으면, 두 삼각형은 합

RHA라는 이름은 직각을 뜻하는 ‘Right

동이다.

angle’, 빗변을 뜻하는 ‘Hypotenuse’, 각을

뜻하는 ‘Angle’의 첫 자에서 딴 것이다. 직각삼각형 한 각이 직각인 삼각형

증명)

ABC 와 DEF 를 위와 같이 그리자. 이 때 ∠C = ∠F = 90◦ ∠B = ∠E , 이므로 ∠A = ∠D 이다. 또한 AB = DE 이므로, ASA 합 동조건에 따라 ABC ≡ DEF 이다. ■ RHA 합동 조건에서 필요한 것은 한 변( H )의 길이와 두 각 (R, A) 의 크기인 데, ASA 합동과 차이는 대응하는 두 각이 대응하는 변의 양끝에 있지 않다는 점 이다.

140

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

직각삼각형의 합동 조건 ( RHS ) 참고

두 직각삼각형에서 빗변의 길이와 다른 한 변의 크기가 각각 같으면, 두 삼각형은

RHS라는 이름은 직각을 뜻하는 ‘Right

합동이다.

angle’, 빗변을 뜻하는 ‘Hypotenuse’, 변을 뜻 하는 ‘Side’의 첫 자에서 딴 것이다.

C E

증명)

ABC 와 DEF 가 위 그림과 같다고 하자. 이 때 AB = DE , ◦ AC = DF , ∠C = ∠F = 90 이므로 AC 와 DF 를 붙이면 이등변삼각형 ABE 가 된다. 이등변삼각형의 성질로부터 ∠B = ∠E 이고 따라서 ASA 합동 조건에 의해 ABC ≡ DEF 이다. ■

7 삼각형의 성질

7.3 직각삼각형의 합동

141

연습문제 01 다음 두 삼각형에서 각 x 의 크기는?

A 3cm

D 53◦

5cm 3cm 53◦

5cm

02 다음 두 삼각형에서 x 의 길이는? D

25◦

7cm

3cm

25◦

7cm

03 다음 두 삼각형의 합동조건을 써라

04 다음 두 삼각형의 합동조건을 써라.

142

7 삼각형의 성질

7.3 직각삼각형의 합동

7 삼각형의 성질

7.3 직각삼각형의 합동

143

삼각형의 외심과 내심

7 삼각형의 성질

cbna Flickr / silent_e

주요 개념 이해

옛날 옛적 윤지(地)라는 삼각형의 땅이 있었다. 그 땅은 유림(林)이라불리는 숲으로 되어있었는데...

01 삼각형의 외심의 뜻과 성질을 안다.

각 삼각형 꼭지점에는 상연이의집, 유리의 집, 연준이의 집이 있다. 소방관 선표는 윤지에서 소방서

02 삼각형의 내심의 뜻과 성질을 안다.

를 지으려고 하는 소방관이다. 선표가 윤지라는 삼각형의 땅에서 어느 위치에 소방서를 지어야지 공 평할게 될까?

외심 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점

외심

외심의 존재 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다. 외심

증명) ABC 에서 AB, AC 의 수직이등분선의 교점을 O 라 하고, 점 O 에서 세 변 BC, CA, AB 에 내린 수선의 발을 각각 A , B , C 라 하자.

삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점.

AC O 와 BC O 에서 AC = BC ∠AC O = ∠BC O = 90◦ C O 는 공통이므로, AC O ≡ BC O 이다 ( SAS 합동 ) . 따라서 OA = OB 이며, 마찬가지로 AB O ≡ CB O 에서 OA = OC 를 얻 는다. 결국 OB = OC 이므로 OBC 는 이등변삼각형이며 이등변삼각형의 성질에 의해 OA 는 BC 의 수직이등분선 이 된다. 따라서, 점 O 는 세 변의 수

C' C'

직이등분선의 교점이다. ■ 위 증명에서 OA = OB = OC 이므로, 점 O 를 중심으로 하고 반지름이 OA 인 원은 점 A, B, C 를 모두 지난다. 따라서, 모든 삼각형은 외접원과 외심 을 갖는다. 원이 ABC 의 세 꼭지점을 지날 때, 그 원을 ABC 의 외접원이라 한다.

이 때, 원은 ABC 에 외접한다고 하고, ABC 는 원에 내접한다고 한다.

144

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

외심의 성질 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점 ( 외심 ) 에서 만나고, 이 점에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. 외심은 항상 삼각형의 내부에 위치할까? 아니다. (1) 직각삼각형의 경우: 빗변의 중점이 된다. (2) 둔각삼각형의 경우: 삼각형의 외부에 위치한다. (3) 예각삼각형의 경우: 삼각형의 내부에 위치한다.

내심 삼각형의 세 각의 이등분선의 교점.

내심의 존재

내심 x

삼각형의 세 각의 이등분선은 한 점에서 만난다.

증명)

ABC 에서 ∠B 와 ∠C 의 이등분선의 교점을 I 라 하고, I 에서 세 변 BC, CA, AB 에 내린 수선의 발을 각각 A , B , C 라 하자. BC I 와 BA I 에서

∠BC I = ∠BA I = 90◦ BI 는 공통 ∠C BI = ∠A BI 이므로, BC I ≡ BA I 이다. ( RHA 합동 ) 따라서, IC = IA 이고 마찬가지로 CA I ≡ CB I 에서 IA = IB 를 얻는다.

C' I

○ ○

7 삼각형의 성질

7.4 삼각형의 외심과 내심

145

이제, AC I 와 AB I 에서

∠AC I = ∠AB I = 90◦ AI 는 공통 IC = IB 이므로, AC I ≡ AB I ( RHS 합동 ) 이다. 그러므로, ∠IAC = ∠IAB 이고, AI 는 ∠A 의 이등분선이다. 따라서, 점 I 는 세 각의 이등분선의 교점이다. 위 증명에서 IA = IB = IC 이므로, 점 I 를 중심으로 하고 반지름이 IA 인 원은 변 AB, BC, CA 에 모두 접한다. 따라서, 모든 삼각형은 내접원과 내 심을 갖는다. 원 I 가 ABC 의 세 변 모두에 접해 있을 때, 원 I 를 내접원이라 한다. 원 I 는 ABC 에 내접한다고 하고, ABC 는 원 I 에 외접한다고 한다.

내심의 성질 삼각형의 내심을 중점으로 하는 원은 삼각형의 세 변에 모두 접한다. 즉, 「내심에 서 삼각형의 각 변에 이르는 거리는 모두 같다」라는 명제를 얻을 수 있다.

그리고 특수한 삼각형들의 경우 다음과 같은 특징을 가진다. 예) 정삼각형은 외심과 내심이 같다. 이등변삼각형은 외심과 내심이 꼭지각의 이등분선 위에 있다.

146

7 삼각형의 성질

7.4 삼각형의 내심과 외심

연습문제 01 점 O 가 ABC 의 내심이라고 할 때, OF 의 길이를 구하여라. A

7cm

D 2cm

E C

02 점 O 가 ABC 의 내심이라고 할 때 ABC 의 넓이를 구하라. A 10cm 8cm

2 cm

6cm

03 점 O 가 ABC 의 외심이라고 할 때 OA 의 길이를 구하여라. A

3cm

04 점 O 가 ABC 의 외심이라고 할 때 OA 의 길이를 구하여라. A x

O 60◦

C B

7 삼각형의 성질

7.4 삼각형의 내심과 외심

147

148

7 삼각형의 성질

7.4 삼각형의 내심과 외심

사각형의 성질 8.1 평행사변형 (1) 8.2 평행사변형 (2) 8.3 여러가지 사각형 (1) 8.4 여러가지 사각형 (2)

평행사변형 (1)

cbn

Flickr / tim_ellis

8 사각형의 성질

주요 개념 이해

주차장에서 차를 주차하고 나오던 재욱이는 이상한 그림을 발견했다.

01 평행사변형의 정의를 안다.

아니 이것은 두 변이 평행하고 그 길이가 같잖아?

02 평행사변형의 성질을 안다.

그렇다면 이것은 틀림없이... 재욱이가 발견한 도형은 무엇이었을까?

평행사변형 평행사변형

두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 평행사변형이라고 한다.

두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형

(대변이란 사각형에서 서로 이웃하지 않고 마주보고 있는 두 변을 말한다. A

예제) 다음 중 평행사변형의 정의로 옳은 것은? (1) 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같은 사각형 (2) 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형 (3) 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형 (4) 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형 (5) 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형 풀이) 위에서 평행사변형의 정의를 읽어보면 답은 ‘두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형’ 이므로 (5)번임을 알 수 있다.

150

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

평행사변형의 성질 1 A

(1) 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

(2) 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

삼각형의 합동 조건

증명)

(1) 대응하는 세 변의 길이가 같을 때

두 가지 성질을 동시에 증명하도록 하자.

( SSS 합동) (2) 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 끼인 각의 크기가 같을 때 ( SAS 합동) (3) 대응하는 한 변의 길이와 그 양끝각의 크 기가 같을 때 ( ASA 합동)

평행사변형 ABCD 에서 대각선 AC 를 그으면 ABC 와 CDA 에서 AB//DC 이므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각)

AC 는 공통 AD//BC 이므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) 이므로 ABC ≡ CDA 이다. ( ASA 합동) 따라서, AD = BC , AB = DC 이고 ∠ABC = ∠CDA 임을 알 수 있다. 마찬가지로 대각선 BD 를 그으면 같은 이유로 ABD ≡ CDB 이고, ∠BCD = ∠DAB 임을 알 수 있다. 그러므로 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이와 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같 다. ■

예제) 다음 그림과 같은 평행사변형 ABCD 에서 x, y, z 의 값을 구하여라.

y D

A 80◦

3cm z B

4cm

풀이) 평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 같기 때문에 AD = BC 이므로 x 는

3cm 가 된다. 마찬가지로 y 는 4cm 가 된다. 그리고 두 쌍의 대각의 크기도 같 기 때문에 z 는 80◦ 가 된다.

8 사각형의 성질

8.1 평행사변형 (1)

151

평행사변형의 성질 2 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 증명)

평행사변형 ABCD 에서 AC 와 BD 의 교점을 O 라고 하자.

ABO 와 CDO 에서 AB//DC 이므로 ∠ABO = ∠CDO (엇각) … ① ∠BAO = ∠DCO (엇각) … ②

또, 평행사변형의 대변의 길이는 같으므로

AB = DC

…③

①, ②, ③에서 ABO 와 CDO 가 합동이다. ( ASA 합동) 따라서, OA = OC , OB = OD 이다. ■

예제) 다음 그림과 같은 평행사변형 ABCD 에서 x, y 의 값을 구하여라. A

D 5cm

7cm

x y

풀이) 평행사변형의 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 그러므로 x 는 7cm 가 되 고, y 는 5cm 가 된다.

152

8 사각형의 성질

8.1 평행사변형 (1)

앞에서 배운 내용을 바탕으로 평행사변형의 성질을 정리하면 다음과 같다. 평행사변형의 성질 (1) 대변의 길이가 같다. (2) 대각의 크기가 같다. (3) 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

평행사변형과 넓이 평행사변형 ABCD 에서 다음과 같은 사실을 알 수 있다. A

1 ABCD 2

(1) ABC = BCD = CDA = DAB = (2) AC 와 BD 의 교점을 O 라고 할 때

OAB = OBC = OCD = ODA = (3) ABCD 내부의 임의의 점 P 에 대해서

P AB + P CD = P BC + P DA =

1 ABCD 4 1 ABCD 2

아래 그림과 같이 P 를 지나면서 AB, BC 에 평행한 선분을 그리면 위의 (3)이 성립하는 것을 알 수 있다. A

④

① ① ② ② B

8 사각형의 성질

8.1 평행사변형 (1)

④ ③

③ C

153

연습문제 01 다음 중 평행사변형에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (1) 평행사변형의 두 쌍의 대변은 각각 평행하다. (2) 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다. (3) 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. (4) 평행사변형의 두 대각선의 길이는 같다. (5) 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다.

02 다음 그림에서 AB//CD//EF , AE//P Q//BF 가 성립하고, P Q 와

CD 의 교점을 X 라고 하자. AP = 7cm , DX = 5cm 일 때, EF 의 길이 를 구하여라.

7cm

X 5cm

03 다음 그림과 같은 평행사변형 ABCD 에서 AC 와 BD 의 교점을 O 라 고 하자. ∠ABO = 37◦ , ∠DCO = 52◦ 라고 할 때, ∠AOD 의 크기를 구 하여라.

37◦

154

8 사각형의 성질

8.1 평행사변형 (1)

52◦

04 다음 그림과 같은 평행사변형 ABCD 의 내부에 점 P 가 주어져 있다.

ABCD 의 넓이가 36cm2 이고, P AB 와 P CD 의 넓이의 비가 1 : 2 일 때, P AB 의 넓이를 구하여라. D

8 사각형의 성질

8.1 평행사변형 (1)

155

평행사변형 (2)

cbn

Flickr / origomi

8 사각형의 성질

주요 개념 이해

평행사변형 수업을 듣던 병길이는 배나사 수업이 너무 지루해서 수업을 듣는 도중에 갑자기 교실문을

01 어떤 사각형이 평행사변형이 되는 조

박차고 나가서 갑천을 따라 달렸다. 그러자 끈질긴 조현익 선생님은 병길이를 뒤따라서 갑천 질주를

건을 안다.

시작했다. 병길이는 엑스포 공원까지 도망을 갔고 뒤에 조현익 선생님이 쫓아 오는지 보려고 뒤를 돌아

02 평행사변형의 성질과 평행사변형이 되

봤다. 조현익 선생님은 숨을 헐떡거리며 엑스포 공원의 벽을 가리키며, 이 문제를 맞추면 집에 보내

는 조건을 비교한다.

준다고 했다. 이것이 평행사변형인가? 왜 평행사변형인지 증거를 대 봐라!

평행사변형이 되는 조건 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이다. 그리고 우리는 평행사변형 의 성질에 대해서 알아보았다. 먄약 주어진 사각형이 평행사변형이려면 어떤 조건을 만족해야 할까? 그 조건은 다음과 같다. 평행사변형이 되는 조건 (1) 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. (정의) (2) 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. (3) 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. (4) 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. (5) 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다. 첫 번째는 평행사변형의 정의이므로 당연하다. 두 번째와 세 번째는 각각 앞에서 본 평행사변형의 성질 1이다. 이를테면 지난 번 에는 “어떤 사각형이 평행사변형이면, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.” 라는 명제를 보였지만, 이번에는 역으로 “어떤 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으면, 평행사변형이다.” 라는 것을 보일 것이다. 우선 평행사변형이 되는 조건 (2)를 증명해보도록 하자. 조건 (3)은 연습문제로 남 긴다.

156

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

한 사각형이 평행사변형임을 보이려면 ‘정의’에 따라 두 쌍의 대변이 각각 평행함 을 보여야 한다! 평행사변형이 되는 조건 (2) 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형은 평행사변형이다. 증명)

ABCD 에서 대각선 AC 를 그으면 ABC 와 CDA 에서 AB = DC (가정) A AD = BC (가정) AC 는 공통 이므로, ABC ≡ CDA 이다. ( SSS 합동) 따라서, ∠BAC = ∠DCA 이므로

B C …① AB//DC 또, ∠BCA = ∠DAC 이므로 …② AD//BC ①, ②에서 ABCD 는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. ■

네 번째 조건은 앞에서 본 평행사변형의 성질 2의 역임을 기억하자. 이번에는 평 행사변형이 되는 조건 (4)를 증명해보도록 하자. 앞과 마찬가지로 사각형의 두 쌍 의 대변이 각각 평행함을 보여야 한다. 평행사변형이 되는 조건 (4) 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 평행사변형이다. 증명)

D O

ABCD 에서 두 대각선 AC , BD 의 교점을 O 라고 하자. ABO 와 CDO 에서 OA = OC (가정) ∠AOB = ∠COD (맞꼭지각) OB = OD (가정) 이므로 ABO ≡ CDO 이다. ( SAS 합동) 따라서, ∠ABO = ∠CDO 이므로 AB//DC 이다. AOD 와 COB 에서 마찬가지 방법으로 하면 AD//BC 이다. 따라서, ABCD 는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. ■

8 사각형의 성질

8.2 평행사변형 (2)

157

마지막으로 평행사변형이 되는 조건 (5)을 증명하도록 하자. 평행사변형이 되는 조건 (5) 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같은 사각형은 평행사변형이다. 증명)

ABCD 에서 AB//DC , AB = DC 라고 하자. 대각선 AC 를 그으면, BAC 와 DCA 에서 (가정) AB = CD (엇각) ∠BAC = ∠DCA AC 는 공통 이므로, BAC ≡ DCA 이다. ( SAS 합동)

따라서,

∠BCA = ∠DAC

이므로 AD//BC 이고, ABCD 는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사 변형이다. ■

158

8 사각형의 성질

8.2 평행사변형 (2)

평행사변형이 되는 조건의 활용 ABCD 가 평행사변형일 때 아래와 같이 만든 EBF D 는 평행사변형이다. (1) ∠B 와 ∠D 의 이등분선이 AD, BC 와 만나는 점을 각각 E, F 라고 할 때,

EBF D 는 평행사변형이다.

D ∠B = ∠D 이므로 ∠EBF = ∠F DE

∠EBF = ∠F DE = ∠DF C (엇각) ∴ BE//F D 그리고 BF //ED

두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 EBF D 는 평행사변형이다. (2) 두 대각선의 교점을 O 라 하고, OA 와 OC 위에 각각 OE = OF 인 E, F 를 잡으면 EBF D 는 평행사변형이다.

D 가정에 의해 OE = OF ABCD 가 평행사변형이므로

A E O B

OB = OD

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로

EBF D 는 평행사변형이다.

(3) AB 와 CD 위에 각각 BE = DF 인 E, F 를 잡으면 EBF D 는 평행 사변형이다.

D 가정에 의해 BE = F D ABCD 가 평행사변형이므로

A E

BE//F D 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로

EBF D 는 평행사변형이다.

(4) B, D 에서 AC 에 내린 수선의 발을 각각 E, F 라고 하면 EBF D 는 평 행사변형이다.

A E

◦ D ∠AEB = ∠CF D = 90 이므로

BE//F D ∠EAB = ∠F CD (엇각) F ∴ AEB ≡ CF D ( RHA 합동) ∴ BE = F D , C B 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 EBF D 는 평행사변형이다.

8 사각형의 성질

8.2 평행사변형 (2)

159

연습문제 01 다음은 두 쌍의 대각의 크기가 같은 사각형이 평행사변형임을 보이는 과정이다. 빈 칸에 알맞은 값을 써 넣어라.

ABCD 에서 ∠A = ∠C , ∠B = ∠D 라 하자. E A ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360◦ 이므로 ∠A + ∠B = ( (가) ) 그리고 ∠EAD + ∠A = ( (나) )이므로 ( (다) ) = ∠B 이다. 동위각이 같으므로 AD//BC 이다. B C 같은 이유로 AB//DC 가 성립하므로 ABCD 는 평행사변형이다.

02 다음 조건을 만족하는 ABCD 중 평행사변형이라고 할 수 없는 것은?

(1) AB = 6cm , BC = 5cm , CD = 6cm , DA = 5cm (2) AB = 6cm , CD = 6cm , AD//BC (3) ∠A = 110◦ , ∠B = 70◦ , ∠C = 110◦ (4) AB = 7cm , CD = 7cm , AB//DC (5) AB//DC , AD//BC

03 다음 그림의 ABCD 는 AB = DC , AB//DC 를 만족한다. 그리고 ∠B 의 이등분선과 AD 의 교점을 E , CD 의 연장선과의 교점을 F 라 하자.

AB = 8cm , DE = 4cm 일 때, BC 의 길이를 구하여라.

D 4cm

8cm

160

8 사각형의 성질

8.2 평행사변형 (2)

04 다음 그림과 같은 평행사변형 ABCD 에서 ∠B 와 ∠D 의 이등분선이 AD , BC 와 만나는 점을 E, F 라고 하자. AB = 7cm , ∠B = 120◦ 일 때

DF 의 길이를 구하여라. E

8 사각형의 성질

8.2 평행사변형 (2)

161

여러가지 사각형 (1)

cba

Flickr / unforth

8 사각형의 성질

주요 개념 이해

일본 골동품 시장에 놀러 간 유성의 모범생 시영이와 연이는 자신들의 여자친구를 위해 예쁜 브로치

01 직사각형의 정의와 성질을 안다.

하나를 사려고 했다. 시영이는 네 각이 90도이고, 대각선의 길이가 같은 직사각형이야 말로 아름다운

02 마름모의 정의와 성질을 안다.

브로치라 하였고, 연이는 네 각이 90도가 아니라더도 대각선이 오묘하게 서로 수직이등분하는 마름모 브로치야 말로 여자친구의 아름다움을 증폭시켜줄 수 있는 아이템으로 생각하였다. 여러분들은 이 말에 동의를 하시나요?

직사각형 직사각형

네 내각의 크기가 모두 같은 사각형을 직사각형이라 한다.

네 내각의 크기가 (직각으로) 모두 같은

모든 사각형의 내각의 합은 360◦ 이므로 직사각형의 한 내각의 크기는 90◦ , 즉 직각이다.

사각형

직사각형의 성질 (1) 직사각형은 평행사변형이다. (2) 직사각형에서 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분한다 (1)의 증명) 직사각형은 모든 내각의 크기가 같으므로, 마주보는 각, 즉 대각끼리도 같다. 따라서, 평행사변형이 되는 조건 (3)에 의해 직사각형은 평행사변형이다. ■ (2)의 증명) 평행사변형이므로 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 이제 두 대각선의 길이가 같은 것만 보이면 된다.

162

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

왼쪽 그림 ABCD 의 ABC 와 BAD 에서 평행사변형이므로 AD = BC .

직사각형의 정의에 의해 ∠ABC = ∠BAD = 90◦ 이고 B

AB 는 공통이므로 ABC ≡ BAD 이다. ( SAS 합동) 그러므로, AC = BD 이다. ■

다음은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이다. 각각의 경우가 왜 성립하는지 생 각해보자. 평행사변형이 직사각형이 되는 조건 (1) 한 내각의 크기가 90◦ 일 때 (2) 두 대각선의 길이가 같을 때

예제) 다음 그림과 같은 직사각형 ABCD 에서 x, y 의 값을 구하여라. A

D y 6cm

풀이)

직사각형은 대각선의 길이가 같기 때문에 x 는 6cm 이다. 또한 직사각형은 평행 사변형이므로 대각선이 서로를 이등분하게 되어 y 는 3cm 가 된다.

마름모 마름모

네 변의 길이가 모두 같은 사각형을 마름모라 한다.

네 변의 길이가 모두 같은 사각형

8 사각형의 성질

8.3 여러가지 사각형 (1)

163

마름모의 성질 (1) 마름모는 평행사변형이다. (2) 마름모에서 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다. (1)의 증명 마름모는 모든 변의 길이가 같으므로, 마주보는 변, 즉 대변끼리도 같다. 따라서, 평행사변형이 되는 조건 (2)에 의해 마름모는 평행사변형이다. ■ (2)의 증명 평행사변형이므로 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 이제 두 대각선이 서로 수직으로 만난다는 것만 보이면 된다. 사각형 ABCD 에서 AC 와 BD 의 교점을 O 라 하자.

ABO 와 ADO 에서

마름모의 정의에 의해 AB = AD . 평행사변형이므로 BO = DO 이고,

AO 는 공통이므로 ABO ≡ ADO ( SSS 합동)

그러므로

∠BOA = ∠DOA = 90◦ 이다. ■

다음은 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다. 각각의 경우가 왜 성립하는지 생 각해보자. 평행사변형이 마름모가 되는 조건 (1) 이웃하는 두 변의 길이가 같을 때 (2) 두 대각선이 직교할 때 (3) 대각선이 한 내각을 이등분 할 때

예제) 다음 그림과 같은 마름모 ABCD 에서 x, y 의 값을 구하여라. D

5cm

C 110◦

풀이) 마름모는 네 변의 길이가 같기 때문에 x 는 5cm 이다. 또한 마름모 역시 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 평행사변형이므로 y 는 70◦ 가 된다.

164

8 사각형의 성질

8.3 여러가지 사각형 (1)

연습문제 01 다음은 평행사변형 ABCD 의 두 대각선의 길이가 같을 때, ABCD 가 직사각형임을 보이는 과정이다. 빈칸에 알맞은 값을 써 넣어라.

ABCD 가 평행사변형이므로 ∠A = ∠C, ∠B = ∠D … ① ADC 와 ( (가) )에서 CD 는 공통, AD = ( (나) )

(평행사변형의 성질) B AC = BD (가정) 그러므로 ADC ≡ ( (가) ) ( SSS 합동) 그러므로 ∠C = ∠D …② ①, ②에 의해 ∠A = ∠B = ∠C = ∠D 이고

ABCD 는 직사각형이다.

02 다음과 같은 직사각형 ABCD 를 꼭지점 C 를 꼭지점 A 와 겹치도록 접었 다. ∠BAE = 28◦ 일 때 ∠AEF 을 구하여라. D'

28◦

8 사각형의 성질

8.3 여러가지 사각형 (1)

165

03 다음은 평행사변형 ABCD 의 두 대각선 AC 와 BD 가 서로 다른 것을 수 직이등분하면 ABCD 가 마름모임을 보이는 과정이다. 빈칸에 알맞은 말을 써 넣어라.

ABCD 가 평행사변형이므로 AB = CD, AD = BC … ① AOD 와 ( (가) )에서 OD 는 공통, OA = ( (나) )

(평행사변형의 성질)

∠AOD = ∠COD = 90◦ (가정) 그러므로 AOD ≡ ( (가) )( SAS 합동) 그러므로 AD = CD …② ①, ②에 의하여 AB = BC = CD = DA 이고 ABCD 는 마름모이다.

04 다음 그림과 같은 평행사변형 ABCD 에서 AB = 8cm , ∠CAD = 65◦ ∠DBC = 25◦ 일 때, CD 의 길이와 ∠BDC 의 크기를 구하여라. A

D 65◦

25◦

166

8 사각형의 성질

8.3 여러가지 사각형 (1)

8 사각형의 성질

8.3 여러가지 사각형 (1)

167

여러가지 사각형 (2)

8 사각형의 성질

Flickr / peasap

주요 개념 이해

기말고사 때 성적이 부쩍오른 지연이는 더욱 열심히 공부하다가 결국 코피가 터지고 말았다. 이런

01 정사각형의 정의와 성질을 안다.

경험이 처음인 지연이는 한 손으로 코피를 닦으며 조금 쉬려고 누워서 잠이 들었다. 꿈 속에서도

02 여러 가지 사각형 사이의 관계를 안다.

저번시간에 배웠던 평행사변형, 정사각형, 마름모 모양의 귀신들이 지나갔다. 그런데 갑자기 괴상하게 생긴 사각형이 출현했다. 지연이는 배운적이 없는 사각형을 보고 놀라 잠에서 깨어났다. 과연 모범생 지연이는 뭘 보았을까?

정사각형 정사각형

네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형을 정사각형이라 한다.

네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기가

정의에 의해 정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모이다.

모두 같은 사각형

그러므로, 당연히 평행사변형이기도 하다.

정사각형의 성질 두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 수직이등분한다. 증명)

정사각형은 직사각형이므로 직사각형의 성질에 의해 두 대각선은 길이가 같다. 또한, 정사각형은 마름모이므로 마름모의 성질에 의해 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다. ■

다음은 직사각형이나 마름모가 정사각형이 되는 조건이다. 각각의 경우가 왜 성립하는지 생각해보자.

168

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

직사각형이 정사각형이 되는 조건 (1) 이웃하는 두 변의 길이가 같을 때 (2) 두 대각선이 직교할 때 (3) 대각선이 한 각을 이등분할 때 마름모가 정사각형이 되는 조건 (1) 한 내각의 크기가 90◦ 일 때 (2) 두 대각선의 길이가 같을 때

여러 가지 사각형 사이의 관계 사다리꼴

여러 가지 사각형 사이의 관계는 아래 그림과 같다.

한 쌍의 대변이 평행한 사각형

사각형 등변사다리꼴

평행사변형

한 쌍의 대변이 평행하고 그 변의 양끝 각의

직사각형

크기가 같은 사각형 (평행하지 않은 다른 쌍의 대변의 길이는 같다)

사다리꼴

평행사변형

마름모

정사각형

두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형

(1)

각 사각형이 그 다음 단계의 사각형이 될 조건을 나타내면 다음과 같다.

사각형

(2) 사다리꼴

(1) 한 쌍의 대변이 평행하다. (2) 다른 한 쌍의 대변도 평행하다. (3) 한 내각의 크기가 90◦ 이다. 또는 두 대각선의 길이가 같다. (4) 이웃한 두 변의 길이가 같다. 또는 두 대각선이 직교한다.

(3)

평행사변형 (4)

또는 대각선이 한 각을 이등분한다.

직사각형

마름모

(4)

(3)

정사각형 8 사각형의 성질

8.4 여러가지 사각형 (2)

169

사각형의 각 변의 중점을 연결해서 만든 사각형 나중에 삼각형의 중점 연결 정리를 배울 때 보이겠지만, 모든 사각형에서 각 변의 중점을 연결해서 만든 사각형은 평행사변형이다. 만약에 원래 사각형에 조건이 더해지면 위와 같이 만들어진 사각형도 좋은 성질 을 띠게 된다. 이것을 그림으로 간단히 나타내면 아래와 같다. 즉, 평행사변형의 중점을 연결하 면 평행사변형이 되며, 직사각형의 중점을 연결하면 마름모가 된다. 마름모의 중 점을 연결하면 직사각형이 되고, 정사각형의 경우에는 다시 정사각형이 된다. 평행사변형 평행사 변형

직사각형

마름모

정사각형

마름 모

직사각 형

정사각 형

평행선과 삼각형의 넓이 A

두 직선 l, m 이 평행할 때, 두 직선 사이의 거리 h 는 일정하다. 따라서 위의 그림의 XY Z 와 X Y Z 에서 밑변 Y Z 가 공통이고 높이가 h 로 같으므로, 두 삼각형의 넓이는 같다. 한편, ABD 의 BD 위의 점 C 에 대해서 BC : CD = m : n 일 때,

ABC : ADC =

1 1 × BC × h : × CD × h 2 2

= BC : CD = m : n 즉, 두 삼각형의 높이가 같을 때 넓이의 비는 밑변의 비와 같게 된다.

170

8 사각형의 성질

8.4 여러가지 사각형 (2)

연습문제 01 다음 그림에서 사각형 ABCD 가 정사각형이고, AD = AE , ∠ADE = 80◦ 일 때 ∠ABE 의 크기를 구하여라. E

80◦

02 다음 중 옳지 않은 것을 모두 골라라. (1) 평행사변형은 등변사다리꼴이다. (2) 직사각형은 마름모이다. (3) 정사각형은 직사각형이다. (4) 평행사변형은 마름모이다. (5) 마름모는 평행사변형이다.

03 다음 그림과 같은 평행사변형 ABCD 의 BC 의 삼등분점을 E, F 라고 하고, CD 의 중점을 G 라고 하자. ABCD 의 넓이를 30cm2 라고 할 때,

AF G 의 넓이를 구하여라. (단, B, E, F, C 의 순으로 점이 놓여있다.) A

8 사각형의 성질

8.4 여러가지 사각형 (2)

171

04 다음 그림의 사각형 ABCD 는 AD//BC 인 사다리꼴이다. 이 사다리꼴의 두 대각선의 교점을 O 라고 하고, AO : CO = 1 : 2 라고 하자. AOB 의 넓이가 15cm2 일 때, ABCD 의 넓이를 구하여라. D

172

8 사각형의 성질

8.4 여러가지 사각형 (2)

도형의 닮음 9.1 닮음의 뜻 9.2 삼각형의 닮음 조건

닮음의 뜻

cbn

Flickr / sparktography

9 도형의 닮음

주요 개념 이해

최근 찬호가 미니노트북을 새로 사서 교육장에 나타났다. 미니노트북은 채경이가 가지고있는 일반노

01 도형의 닮음의 뜻을 안다.

트북에 비하여 작지만 기능은 비슷하여 많은 부러움을 사고 있다.

02 닮은 도형의 성질을 안다.

그렇다면 미니노트북과 노트북은 어떤 관계일까?

닮은 도형 닮음

한 도형을 일정한 비율로 확대시키거나 축소시켜 다른 도형과 합동이 될 때, 이들

두 도형이 모양은 같고 크기가 다를 때(한 도

두 도형은 ‘닮았다’ 또는 ‘닮음인 관계에 있다’라고 한다. 또, 이러한 두 도형을 닮

형을 확대, 축소시켜 다른 도형과 합동일 때), 두 도형은 닮음의 관계에 있다.

은 도형이라고 한다. 아래 그림에서 삼각형 ABC 와 삼각형 A B C 은 서로 닮은 도형이다. A

닮음에서의 대응 서로 닮은 도형에서 대응되는 점을 대응점, 대응하는 변을 대응변, 대응하는 각을 대응각이라고 한다. 위 그림에서 A 의 대응점은 A , AB 의 대응변은 A B , ∠BAC 의 대응각 은 ∠B A C 이다.

174

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

닮음의 표현 닮음의 기호 닮음의 기호는 닮음을 뜻하는 라틴어 단어 ‘Similis’(영어 ‘Similar’)의 첫 자 S를 돌려서 쓴 것이다.

닮음의 표현은 기호 ‘ ’ 을 사용한다. ABC 와 A B C 이 닮았을 때 ABC A B C 로 표시한다. 여기서 두 도형의 꼭짓점은 서로 대응하는 순서대로 써야 한다.

닮음의 성질 1 닮음비

서로 닮은 두 도형에 대해 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다.

닮은 두 도형의 선분의 길이 비

즉, ABC A B C 에서 다음 식이 성립한다.

AB : A B = BC : B C = CA : C A

참고 합동은 닮음비가 1 인 특수한 경우이므로, 합

이 비의 값을 닮음비라고 한다. A

동인 두 도형은 닮은 도형이다.

닮음의 성질 2 서로 닮은 두 도형에 대해 대응하는 각의 크기는 같다. 즉, ABC A B C 일 때, ∠BAC = ∠B A C , ∠ABC = ∠A B C , ∠BCA = ∠B C A 이 성 립한다.

9 도형의 닮음

9.1 닮음의 뜻

175

입체도형의 닮음 항상 닮음인 평면 도형

평면도형과 마찬가지로 입체도형에서도 닮음을 정의할 수 있다. 서로 닮은 입체도

모든 원

형에 대해 다음이 성립한다.

모든 직각이등변삼각형 변의 개수가 같은 정다각형 중심각의 크기가 같은 부채꼴

(1) 대응하는 모서리의 길이의 비(닮음비)는 일정하다. (2) 대응하는 면은 서로 닮은 도형이다.

항상 닮음인 입체 도형

(3) 대응하는 꼭짓점의 순서에 따라 대응각과 대응변을 알 수 있다.

모든 구 모서리 개수가 같은 정다면체

닮음의 위치 닮음의 위치

두 닮은 도형의 각 대응점을 잇는 직선을 그렸을 때 모든 직선이 한 점에서 만날

두 닮은 도형의 각 대응점을 잇는 직선을 그렸

때, 두 도형은 닮음의 위치에 있다고 한다.

을 때 모든 직선이 한 점에서 만날 때, 두 도형 은 닮음의 위치에 있다. 닮음의 중심 닮음의 위치에 있는 두 도형에서 대응점을 잇 는 직선들이 만나는 점

←− → ←−→

아래 그림에서 ABC A B C 이고 대응점을 잇는 직선 AA , BB ←−→ , CC 들이 한 점 O 에서 만나므로 두 삼각형은 닮음의 위치에 있다고 말하며 점

O 를 닮음의 중심이라고 한다.

A’

C’

B B’

176

9 도형의 닮음

9.1 닮음의 뜻

연습문제 01 아래 그림에서 ABC A B C 가 성립한다고 할 때, 다음 값들을 구하여라

A 53◦

9cm

A' 10cm 37◦

C B'

12cm

8cm

(1) ABC 와 A B C 의 닮음비 (2) ∠B 의 크기 (3) A B 의 길이 (4) AC 의 길이 (5) ABC 는 A B C 를 몇 배 확대한 것인가?

02 다음 두 직육면체는 닮은 도형이다. AB 에 대응하는 변이 A B 이라고 할 때, 물음에 답하여라

A' A

6cm

H 3cm

E F

6cm

F' 8cm

(1) 면 ABCD 에 대응하는 면을 말하여라 (2) x 와 y 값을 구하여라

9 도형의 닮음

9.1 닮음의 뜻

177

03 다음 그림에서 ABC 와 A B C 은 닮음의 위치에 있다. 다음을 구하 여라.

5cm

4cm

B' O B C

6cm

A' (1) ABC 와 A B C 의 닮음비 (2) BC 의 길이 (3) A B 과 평행한 선분

178

9 도형의 닮음

9.1 닮음의 뜻

9 도형의 닮음

9.1 닮음의 뜻

179

삼각형의 닮음 조건

Flickr / smb_flickr

9 도형의 닮음

cbnd

주요 개념 이해

한솔이는 배를 모으는게 취미인 중세시대의 어여쁜 여인이였다. 그녀에게 청혼하는 남자들이 많았지만

01 삼각형의 닮음 조건에 대해 알고 이것

그녀는 “정확히 똑같지만 그 크기만 다른 배 두척을 구해오는 이와 결혼하겠다”라고 하였다. 많은

을 삼각형의 합동 조건과 비교해본다.

청년들이 이를 구하기 위해서 돌아다녔으나 번번히 실패하고 낙담하였다. 하루는 그 소식을 들은

02 직각삼각형의 닮음과 각의 이등분선의

병찬이라는 건전한 청년이 도전하기로 하였다. 그는 여러 바다를 돌아다니다가 마침내 크기는 다르지만

성질에 대해 안다.

정확히 똑같이 생긴 배 한쌍을 발견했다. 둘은 행복하게 오래오래 살았다.

삼각형의 닮음 조건 1 - SAS 닮음 SAS 닮음

두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때

두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각

두 삼각형은 닮음이다.

의 크기가 같을 때

아래 그림에서 a : a = c : c 이고 ∠ABC = ∠A B C 이면 ABC A B C 이다. A'

c A

c B

180

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

C B'

삼각형의 닮음 조건 2 - AA 닮음 AA 닮음

두 쌍의 대응하는 각의 크기가 같으면 두 삼각형은 닮음이다.

두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때

아래 그림에서 ∠ABC = ∠A B C 이고 ∠BCA = ∠B C A 이면 ABC A B C 이다. A'

C B'

삼각형의 닮음 조건 3 - SSS 닮음 SSS 닮음

세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같으면 두 삼각형은 닮음이다.

세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때

아래 그림에서 a : a = b : b = c : c 이면 ABC A B C 이다. A'

c' c

c B

b a

중간정리 지금까지 삼각형의 세가지 닮음 조건( AA , SAS , SSS )에 대해 배웠다. 이 제 닮음 조건을 삼각형의 합동 조건( ASA , SAS , SSS )과 비교해 보자. 이 때 닮음과 합동은 서로 비슷한 부분이 있지만 다른 개념이므로 헷갈리지 않도록 유의하자. 합동은 닮음비가 1 인 닮음의 특수한 경우라고 볼 수 있다. 조건을 비교해 보면 합동은 대응변의 길이가 같아야 하는 반면에 닮음은 대응변의 길이의 비만 일정하 면 조건을 만족시킬 수 있다. 그 차이점의 비교는 다음 페이지에서 소개한다.

9 도형의 닮음

9.2 삼각형의 닮음 조건

181

닮음 조건과 합동 조건의 비교 합동 참고

SAS

두 쌍의 대응변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같다.

합동에서와 마찬가지로, S와 A는 각각 영어에 서 변을 뜻하는 ‘Side’와 각을 뜻하는 ‘Angle’ 의 첫 자에서 딴 것이다. 거기서 삼각형의 세

ASA

닮음 조건 SSS(세 변), SAS(두 변과 끼인각), AA(두 각)의 이름이 나왔다.

닮음

SAS

두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같다.

한 쌍의 대응변의 길이와그 양 끝 각의 크기가 같다.

두 쌍의 대응각의 크기가 같다.

SSS

세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다.

SSS

세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같다.

직각삼각형의 닮음 아래 그림과 같이 직각삼각형 ABC 에서 점 A 와 마주보는 변 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 두면,

∠BAH = 90◦ − ∠CAH = ∠ACH ∠ABH = 90◦ − ∠ACH = ∠CAH 가 되어, ABC HBA HAC 이다.

닮음비가 일정하다는 것에서 다음 식들을 유도할 수 있다. 각각이 왜 성립하는지 생각해보자. 2

예제) AB = BH · BC 임을 증명하시오 풀이) ABC HBA 이므로

AB : HB = BC : BA 2 ∴ AB = BH · BC 2

예제) AC = CH · BC 임을 증명하시오 풀이) ABC 와 HAC 는 AA 닮음, 즉 ABC HAC 이므로

BC : AC = AC : HC 2 ∴ AC = CH · BC

182

9 도형의 닮음

9.2 삼각형의 닮음 조건

예제) AB + AC = BC 임을 증명하시오 2

풀이) 위의 예제 2개로 부터 AC = CH · BC , AB = BH · BC 임을 이 용하면 다음과 같은 과정을 통해 위 식이 성립함을 알 수 있다. 2

AB + AC = BH · BC + CH · BC = (BH + CH) · BC 2 = BC

예제) AH = BH · HC 임을 증명하시오 풀이) HBA 와 HAC 는 AA 닮음, 즉 HBA HAC 이므로

BH : AH = AH : CH 2 ∴ AH = BH · HC

예제) AB · AC = BC · AH 임을 증명하시오 풀이) ABC HBA 이므로 AC : HA = BC : BA

∴ AB · AC = BC · AH

9 도형의 닮음

9.2 삼각형의 닮음 조건

183

연습문제 01 다음 각 그림에서 닮은 삼각형을 찾아 기호 를 사용해서 나타내어라. 또 그때의 닮음조건을 말하여라.

A 6

65◦

02 다음 그림에서 x 의 값을 구하여라

C B

03 다음 그림에서 ∠BCA = 90◦ , CD ⊥ AB 일 때 x + y 의 값을 구하여 라.

C 4

184

9 도형의 닮음

9.1 닮음의 뜻

04 오른쪽 그림에서 ∠BAC = 90◦ , AH ⊥ BC 이고 AB = 6cm , x AC = 8cm 일 때, 의 값을 구하여라.

A 8cm

6cm

9 도형의 닮음

9.1 닮음의 뜻

x cm H

y cm

185

186

9 도형의 닮음

9.1 닮음의 뜻

닮음의 응용 10.1 삼각형과 평행선 10.2 평행선과 선분의 길이 비의 응용 10.3 중점연결 정리 10.4 삼각형과 무게 중심 10.5 닮은 도형의 넓이와 부피

Flickr / twcollins

10 닮음의 응용

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

cbnd

주요 개념 이해

이집트에 있는 피라미드는 삼각형으로 이루어져있다. 하루는 고고학자 경윤이가 무덤에는 많은 보물이

01 삼각형의 한 변에 평행한 직선을 그어

있다는 이야기를 들었다. 왕들의 무덤은 피라미드의 2/3높이만큼에 위치하고 있다고 하는데 그렇다면

생기는 선분의 길이의 비를 안다.

도대체 어느 위치에서 들어가야 왕의 보물을 찾을 수 있을까? 경윤이를 도와서 왕의 보물을 차지해

02 삼각형에서 선분의 길이의 비와 평행

보자.

사이의 관계를 안다

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1 참고

ABC 에서 점 D , E 가 변 AB , AC 또는 그 연장선 위의 점일 때, (1) DE//BC 이면 a : a = b : b = c : c

a : a = b : b = c : c 을 b c a = = 으로 쓰기도 한다. a b c

A b

동위각

D a

증명) ADE 와 ABC 에서 DE//BC 이므로

∠ADE = ∠ABC (왼쪽 그림에서는 동위각 오른쪽 그림에서는 엇각) ∠AED = ∠ACB (왼쪽 그림에서는 동위각 오른쪽 그림에서는 엇각) 이므로, ADE ∼ ABC 이다. ( AA 닮음)

l//m 이면 동위각이 같다.

엇각

닮은 두 삼각형에서 대응하는 변의 길이 비는 같으므로

AD : AB = AE : AC = DE : BC 이다.

l//m 이면 엇각이 같다.

188

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

(2) DE//BC 이면 a : a = b : b , a : a = b : b

A b

D a

증명) 점 D 를 지나고 변 AC 에 평행한 직선을 그어 그 직선이 변 BC 와 만나 는 점을 점 F 라 하자. A

ADE 와 DBF 에서 ∠ADE = ∠DBF ( ∵ DE//BC , 동위각 ●) ∠DAE = ∠BDF ( ∵ AC//DF , 동위각 ★)

★

D E ★

이므로

ADE ∼ DBF 이다. ( AA 닮음)

평행사변형의 성질 하나

닮은 두 삼각형에서 대응하는 변의 길이 비는 같으므로,

두 마주보는 변의 길이가 서로 같다.

AD : DB = AE : DF 이다. 그런데 DF = EC 이므로 ( DF CE 는 평행사변형) 따라서,

AD : DB = AE : EC 이다. 예제) 다음 그림에서 x 의 길이를 구해보자.

D 1

2 x

C B

예제) 다음 그림에서 y 의 길이를 구해보자.

A 3

D 3

B 10 닮음의 응용

10.1 삼각형에서 평행선과 선분의 길이 비

E y

C 189

삼각형에서 평행선과 선분의 길이 비 2 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1의 역에 해당함

ABC 에서 점 D , E 변 AB , AC 또는 그 연장선 위의 점일 때,

(1) a : a = b : b 이면 DE//BC 참고

오른쪽 그림에서 평행한 두 직선을 표시해

a a

동위각이 같으면 평행이다. l

참고

보시오.

증명) ADE 와 ABC 에서 ∠A 는 공통이고 a : a = b : b 이므로,

ADE ∼ ABC 이다. ( SAS 닮음) 따라서, ∠ADE = ∠ABC (대응각)이므로, DE//BC 이다.

(2) a : a = b : b 이면 DE//BC

증명) 생략

예제) 다음 그림에서 DE 와 BC 는 평행인가?

A 4 2

190

10 닮음의 응용

10.1 삼각형에서 평행선과 선분의 길이 비

E 1 C

예제) 다음 그림에서 DE//BC 이기 위한 x 의 값은?

A 1

E x

D 1 B

한눈에 보기 A a

D a

E c

C c

(1) DE//BC 이면 ☞

a : a = b : b = c : c a : a = b : b

(2) a : a = b : b 혹은

a : a = b : b 이면 ☞

10 닮음의 응용

10.1 삼각형에서 평행선과 선분의 길이 비

DE//BC

191

연습문제 01 다음 그림에서 x 의 값을 구하여라. (1) (2)

(3)

02 다음 중, DE//BC 인 것을 모두 골라라. ㄱ.

ㄴ.

ㄷ. A

A x

D 2

1 C

03 다음 그림에서 x , y 의 값을 구하여라. (단, l//m 이다.) 2 x

m 6

04 다음 그림에서 x 의 값을 구하여라.

192

10 닮음의 응용

10.1 삼각형에서 평행선과 선분의 길이 비

10 닮음의 응용

10.1 삼각형에서 평행선과 선분의 길이 비

193

평행선과 선분의 길이 비의 응용

Flickr / puss_in_boots

10 닮음의 응용

cbnd

주요 개념 이해

예나는 어느날 눈 내린 철길을 보고 학교에서 배운 평행선이 떠올랐다.

01 삼각형의 각의 이등분선의 성질을 이

‘저 두 철길이 서로 교차하게 되어있지만 철길을 이루는 철로 사이의 수많은 나무판들은 모두 항상 평

해한다.

행할거야 나는 정말 대단한 발견을 한 것 같아!’

02 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 이

예나가 발견한 이 대단한 발견을 정리해 보자.

해한다.

삼각형의 내각의 이등분선 ABC 에서 AD 가 ∠A 를 이등분하면 a : a = b : b A

a

b

증명) 점 C 를 지나고 AD 와 평행한 직선이 AB 의 연장선과 만나는 점을 E 라 하 자.

A a

194

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

b

그러면, ∠BAD = ∠E (동위각 ●) ∠DAC = ∠ECA (엇각 ○)이고

∠BAD = ∠DAC ( ● = ○ 이등분) 이므로 ACE 는 이등변 삼각형이다. 따라서, AE = a 이고, ‘삼각형에서 평행선과 선분의 길이 비 2’에 의해

a : a = b : b 이 성립한다.■

예제) ABC 에서 AD 가 ∠A 를 이등분할 때, x 의 값을 구하여라.

풀이)

ABC 에서 AD 가 ∠A 를 이등분하므로,

앞의 ‘삼각형의 내각의 이등분선’ 성질을 이용하여 문제를 풀 수 있다.

AB : AC = BD : DC 이므로 8 : 6 = x : 3 이다. 따라서, 6x = 8 × 3 = 24

∴x=4

삼각형의 외각의 이등분선 ABC 에서 AD 가 ∠A 의 외각을 이등분하면 a : a = b : b

A a a

b

10 닮음의 응용

10.2 평행선과 선분의 길이 비의 응용

195

증명) 점 C 를 지나고 AD 와 평행한 직선이 AB 와 만나는 점을 E 라 하자.

F A

▲

a

b b

그러면, ∠F AD = ∠AEC (동위각 ▲), ∠DAC = ∠ECA (엇각 ●)이고 ∠F AD = ∠DAC ( ▲ = ● 이등분) 이므로

ACE 는 이등변 삼각형이다. 따라서, AE = a 이고, ‘삼각형에서 평행선과 선분의 길이 비’에 의해

a : a = a : EA = b : b 이 성립한다.■

예제) ABC 에서 AD 가 ∠A 의 외각을 이등분할 때, x 의 값을 구하여라.

A 5 x

10 풀이) ABC 에서 AD 가 ∠A 의 외각을 이등분하므로, 앞의 ‘삼각형의 외각의 이등분선’ 성질을 이용하여 문제를 풀 수 있다.

AB : AC = BD : DC 이므로 5 : x = 10 : 6 이다. 따라서, 10x = 5 × 6 = 30

∴x=3

196

10 닮음의 응용

10.2 평행선과 선분의 길이 비의 응용

평행선 사이에 있는 선분의 길이 비 세 평행선이 다른 두 직선과 만날 때 두 직선이 평행선에 의해 잘려서 생긴 대응 하는 선분들의 길이 비는 같다. 즉, l // m // n 이면 a : b = a : b

l a

m a

b

n [그림1]

[그림2]

증명) 참고

[그림1]에서 아래와 같이 직선을 평행이동한다.

평행사변형에서 마주보는 대변의 길이는 같다.

그러면 ☆ , △ 와 같은 평행사변형이 만

l a

c☆

들어지므로 b = c , b = c 이 되고, ‘삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

1의(1)’에 의해

a : a = c : c = b : b 이다.■ a



c △



[그림2]의 경우도 같은 방법으로 직선을 이동하여 증명할 수 있다.

※ 주의! 단, ‘평행선 사이의 선분의 길이의 비’의 역은 성립하지 않는다. 즉, 왼쪽그림과 같이 1 : 1 = 2 : 2 로 선분들 사이의 길이의 비가 같다고 해도

m n

10 닮음의 응용

10.2 평행선과 선분의 길이 비의 응용

l // m // n 은 아니다. 2

197

예제) 아래 그림에서 l // m // n 일 때, x 의 값을 구하여라.

l 5

3 x m

3 n 풀이)

l // m // n 이므로 앞의 ‘평행선 사이의 선분의 길이의 비’ 성질을 이용하면, 5 : 3 = 3 : x − 3 이다. 따라서, 5(x − 3) = 3 × 3 5x − 15 = 9 5x = 24 24 ∴x= 5

예제) 아래 그림에서 l // m // n 일 때, y 의 값을 구하여라.

l 12

10 m

y n

풀이) l // m // n 이므로 앞의 ‘평행선 사이의 선분의 길이의 비’ 성질을 이용 하면, 12 : 10 = y : 5 이다. 따라서, 10y = 12 × 5 = 60

∴y=6

198

10 닮음의 응용

10.2 평행선과 선분의 길이 비의 응용

연습문제 01 ABC 에서 AD 가 ∠A 를 이등분할 때, x 의 값을 구하여라.

A 10cm

9cm

7cm

12cm

x cm

6cm

8cm

02 ABC 에서 AD 가 ∠A 의 외각을 이등분할 때, y 의 값을 구하여라. (1)

A 10cm 6cm

y cm

(2)

8cm A

14cm y

9cm

12cm

03 BC//DE 일 때 z 의 값을 구하여라.

A 8cm

6cm

6cm 9cm

4cm

9cm

10 닮음의 응용

10.2 평행선과 선분의 길이 비의 응용

C z

199

중점연결 정리

Flickr / hamburgk

10 닮음의 응용

cbna

주요 개념 이해

재형이는 파리에 있는 학교 선생님이다. 하루는 아이들을 데리고 루브르 박물관에 갔다. 재형이의 반

01 삼각형의 두 변의 중점을 연결했을

학생중 유독 호기심이 많던 민권이가 재형이에게 물었다. ”재형 선생님 루브르 박물관의 한 가운데에

때 생기는 삼각형과 원래 삼각형의 관계

있는 피라미드의 길이는 얼마나 될지 재지 않고도 알수 있을까요, 없을까요?” 과연 재형이는 어떻게

를 안다.

대답을 해주어야 할까?

02 중점연결 정리의 응용을 안다.

삼각형의 중점연결정리 1 중점

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고 그 길이는 나머

선분의 정 가운데 있는 점 아래의 점 M 은 AB 의 중점이다. AA

즉, ABC 에서 M , N 이 AB , AC 의 중점이면, M N//BC 이고 M N : BC = 1 : 2 이다.

지 한 변의 길이의 1 이다.

AA M

복습!

삼각형에서 평행선과 선분 길이의 비 2

A E

D a B

200

C C

증명) AM N ABC ( SAS 닮음)이므로

N N

∠AM N = ∠ABC 이다. ∴ M N //BC (동위각의 크기가 같으므로)이고, 두 삼각형의 닮음비는 1 : 2 이므로 M N : BC = 1 : 2 따라서, M N 의 길이는 BC 의 길이의 절반이다.

a : a = b : b 이면

다른 증명) 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2를 이용하여 증명할 수도 있

DE//BC 이다.

다.

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

예제) 다음 그림에서 x 의 길이를 구하여라.

12 x

풀이) 중점연결정리에 의해 1 : 2 = x : 12 5

2x = 12 x=6

-2

삼각형의 중점연결정리 2 A

-4

삼각형의 한 변의 중점을 지나고, 다른 한 변에

평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

-6

즉, ABC 에서 M 이 AB 의 중점이고, M N //BC 이면

-8

N 은 AC 의 중점이고 M N : BC = 1 : 2 이다.

증명) ABC 와 AM N 에서

-10

삼각형에서 평행선과 선분 길이의 비 1 -12

A a a D

B -16

∠AM N = ∠ABC (동위각) ∠AN M = ∠ACB (동위각) 이므로, AM N ABC 이다. ( AA 닮음) 닮음비는 1 : 2 이므로 AN : AC = 1 : 2 , 다시 말해서 N 은 AC 의 중점이고, 또한 M N : BC = 1 : 2 이다.

복습!

-14

다른 증명) 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비1을 이용하여 증명할 수도 있

다.

DE//BC 이면, a : a = b : b = DE : BC

-18

10 닮음의 응용

-20

10.3 중점연결 정리

201

예제) 다음 그림에서 x 의 길이를 구하여라.

풀이) 위의 그림에서 삼각형의 한 변의 중점을 지나는 직선이 다른 한변과 평행하 므로 삼각형의 중점연결정리 2 에 의해 그 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다. 즉, x = 7 + 7 = 14

사각형의 중점연결 정리 사각형에서 각 변의 중점을 연결한 사각형은 평행사변형이다. 즉, AB , BC , CD , AD 의 각각의 중점 M , N , O , P 를 이어 만든 사각형

ABCD 는 평행사변형이다.

P P

O O

N N

C C

증명) 위의 그림에서 삼각형의 중점연결정리에 의해

ABD 에서 M P //BD BCD 에서 N O//BD ∴ M P //N O 이다. 마찬가지로 DAC 와 BAC 에서도 삼각형의 중점연결정리에 의해 M N//P O 를 얻을 수 있다. 따라서, M N OP 는 평행사변형이다.

202

10 닮음의 응용

10.3 중점연결 정리

예제) 다음 그림에서 x , y 의 길이를 구하여라.

풀이) x : 12 = 1 : 2 , x = 6 7 : y = 1 : 2 , y = 14

10 닮음의 응용

10.3 중점연결 정리

203

연습문제 01 다음 그림에서 색칠한 삼각형은 큰 삼각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 것 이다. 이 때, 색칠한 삼각형의 둘레의 길이를 구하여라.

02 ABC 에서 점 D 는 AB 의 중점이고, DE//BC 이며 F 는 EC 의 중

점이다. 또, DF 의 연장선과 의 연장선이 만나는 점을 G 라 하면 CG = 5cm ,

F C = 2cm 가 된다고 한다. 다음을 구하여라.

D D

EE F

B B (1) BC 의 길이 (2) AC 의 길이

204

10 닮음의 응용

10.3 중점연결 정리

F G

03 다음 AD//BC 인 사다리꼴 ABCD 에서 AD 의 길이를 구하여라.

N 10

C 12

04 ABCD 의 네변의 중점을 각각 P , Q , R , S 라 하고 AC ⊥ BD 일 때, P QRS 의 넓이는?

8 10

10 닮음의 응용

10.3 중점연결 정리

205

삼각형의 무게 중심

cba

Flickr / kubina

10 닮음의 응용

주요 개념 이해

혜연이는 어느날 모든 물건이든지 돌릴 수 있는 신기한 능력이 생겼다고한다. 그런 혜연의 능력을 놀

01 무게중심의 뜻을 안다.

랍게 여기던 호민이는 혜연이의 능력의 비밀을 풀기위해 고민했다. 그러던 중 호민이는 혜연의 비밀을

02 중선의 길이와 삼각형의 넓이와 관련하

알아내었고 호민이 역시 모든 물건이든 돌릴 수 있게 되었다. 과연 둘의 비밀은 무엇일까?

여 무게중심의 성질을 안다.

중선 중선

삼각형에서 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선이라 한다.

삼각형에서 한 꼭지점과 그 대변의 중점을 이 은 선분 삼각형에는 3 개의 중선이있다.

중선과 삼각형의 넓이 삼각형의 한 중선은 그 삼각형의 넓이를 이등분한다.

증명) AD 가 삼각형 ABC 의 중선일 때 중선의 정의에 의해 BD = DC 즉 BC : BD = 2 : 1 이므로, 1 ABD 의 넓이는 ABC 의 넓이의 이다.■

206

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

예제) AD 는 ABC 의 중선, DE 는 ADC 의 중선, EF 는 AED 의 중선이다.

ABC 의 넓이가 24cm2 일 때,

참고 높이가 같은 삼각형의

넓이의 비는 밑변의 비와 같다.

(1) ADC 의 넓이는?

(2) ADE 의 넓이는? (3) DEF 의 넓이는?

ABC : ABD : ACD =a+b:a:b

B B

풀이) (1) ADC 의 넓이는 중선의 정리를 이용하여 보면 ADC 는 ABC 의 넓이의 반이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 24 × 1 = 12 , 넓이는 12cm2 라

는 것을 알 수 있다.

(2) ADE 의 넓이는 다시 중선 정리를 이용하여 보면 ADC 의 넓이의 절 1 반이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 12 × = 6 , 넓이는 6cm2 라는 것을 알

수 있다.

(3) DEF 의 넓이는 위와 동일하게 중선 정리를 이용하여 보면 ADE 의 넓이의 절반이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 6 ×

1 2 = 3 , 넓이는 3cm 라는 것을 알 수 있다. 2

삼각형의 무게중심 삼각형의 무게중심

삼각형의 세 중선의 교점

삼각형의 세 중선이 만나는 점

무게중심의 존재 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다.

증명) 오른쪽 그림처럼 ABC 에서 두 중선 AD , BE 를 그어

그 교점을 G 라 하자. 두 점 D , E 를 이으면, 삼각형의 중점연결 정리에 의하여

AB//DE 이고

10 닮음의 응용

1 DE = 이다. 2 AB

10.4 삼각형과 무게 중심

207

AB//DE 이므로 ∠ABG = ∠DEG ( 엇각 ) 이고 ∠AGB = ∠DGE (맞꼭지각) 이다. 따라서, GAB GDE 이다. ( AA 닮음 ) 1 DE = 이므로, GAB 와 GDE 의 닯음비는 2 : 1 이다. 2 AB 그러므로, AG : DG = 2 : 1 을 얻는다. 마찬가지로, 또 다른 중선 CF 를 그어 중선 AD 와의 교점을 점 G 라 하면, AG : DG = 2 : 1

…①

…②

를 얻는다. ①과 ②로부터, 점 G , G 는 선분 AD 를 같은 비율로 분할하는 점이므로 두 점은 일치한다. 따라서, 점 G 는 ABC 의 세 중선이 만나는 점이다.■

위 증명 과정에서 삼각형의 무게중심과 중선의 길이에 대한 정리를 이미 증명하 였다.

삼각형의 무게중심과 중선의 길이 삼각형의 세 중선이 만나는 점을 삼각형의 무게중심이라고 한다. 삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 2 : 1 로 나눈다. 예제) 왼쪽 그림에서 G 가 삼각형 ABC 의 무게중심일때, x 와 y 를 구하여라.

A y

G 5cm B

14cm

풀이)

AG 와 BC 의 교점을 M 이라고 하면 AM 은 G 를 지나므로 중선이다. 그러 므로 M 은 BC 의 중점이고 x 는 7cm 이다. 그리고 AG : M G = 2 : 1 이므 로 y 는 10cm 이다.

208

10 닮음의 응용

10.4 삼각형과 무게 중심

세 중선과 삼각형의 넓이 삼각형의 넓이는 세 중선에 의하여 6 등분된다. AA

G G

B B

증명) 왼쪽 그림에서 무게중심의 성질에 의해 AG : GD = 2 : 1 따라서 AD : GD = 3 : 1 이므로,

BGC 의 넓이는 ABC 의 넓이의

1 이다. 3

또한 BD = DC , 즉 BC : BD = 2 : 1 이므로, 1 BGD 의 넓이는 BGC 의 넓이의 이다.

따라서, BGD 의 넓이는 ABC 의 넓이의 이다. 6 마찬가지로 CGD, CGE, AGE, AGF , BGF 의 넓이는 모두

1 ABC 의 넓이의 이다.■ 6 예제)

D H K

왼쪽 그림에서 점 K 는 ABC 의 무게중심, 점 H 는 ACD 의 무게중심이다.

색칠한 부분의 넓이가

49 2 일때, cm 12

평행사변형 ABCD 의 넓이를 구하여라

풀이) 삼각형의 넓이는 세 중선에 의해 6 등분 되므로 ABC 의 넓이는 49 2 49 2 이다. cm × 6 = cm

ABC 의 넓이는 ABCD 넓이의 절반이므로 ABCD 의 넓이는 49cm2 이다.

10 닮음의 응용

10.4 삼각형과 무게 중심

209

연습문제 01 ABC = 30cm2 이고 AM 은 ABN 의 중선, AN 은 AM C 의 중선일 때 AM N 의 넓이를 구하여라.

02 ABC 에서 중선 AD = 18cm 이고, ABC = 270cm2 이다. G1 은 ABC 의 무게중심, G2 는 G1 BC 의 무게중심일 때, A

(1) G1 G2 의 길이는?

(2) G2 BC 의 넓이는?

G₁ G₂ B

03 ABC = 30cm2 이고, AM 은 ABN 의 중선, AN 은 AM C 의 중선이다. A

(1) 점 G 가 ABC 의 무게중심일 때, GM N 의 넓이는? (2) 점 K 가 ABN 의 무게중심, 점 H 가 AM C 의 무게중심일 때,

AKH 의 넓이는?

210

10 닮음의 응용

10.4 삼각형과 무게 중심

10 닮음의 응용

10.4 삼각형과 무게 중심

211

닮은 도형의 넓이와 부피

cbnd

Flickr / diamondduste

10 닮음의 응용

주요 개념 이해

사람들은 나이가 들면서 키도 크고, 몸무게가 증가하게 된다. 어릴 때의 모습을 완전히 잃어버리면서

01 두 닮은 평면도형의 넓이 비를 안다.

성장하는 사람들도 있지만, 대부분의 사람들은 키가 커가면서 항상 자신의 모습과 닮은 모습으로 성장한다. 금희의 현재 키는 150cm 이고 15 살에서 25 살이 될 때까지 키가 1.1 배 된다고 생각했을

02 두 닮은 입체도형의 부피 비를 안다.

때, 원래 200cm2 였던 금희 얼굴의 단면적은 얼마가 되고 45kg 이었던 금희의 몸무게는 얼마가 되게 되는가?

닮은 도형의 넓이 닮음비가 2 : 3 인 두 삼각형의 넓이 비는 어떻게 될까? D A

2b B

두 삼각형의 닮음비가 2 : 3 이면, 밑변의 길이와 높이의 비도 2 : 3 이다. 따라서, 각 삼각형의 넓이를 구해보면 다음과 같다.

1 (2a)(2b) = 2ab 2 1 9 DEF = (3a)(3b) = ab 2 2 ABC =

따라서, 두 삼각형의 넓이 비는

ABC : DEF = 2ab :

9 ab = 4 : 9 2

즉, 22 : 32 이다. 또한, 대응하는 각 변의 길이 비는 닮음비와 같다. 따라서 각 변의 길이 합인 둘레의 길이 비도 닮음비와 같다. 이 사실을 임의의 평면도형으로 일반화할 수 있다.

212

배움을 나누는 사람들

중학교 2학년 수학

예제) 닮은 도형의 비 배나와 레스토랑에서는 M 사이즈와 L 사이즈, F 사이즈의 피자를 판매한다. 세 피자의 두께는 같고, 피자의 지름과 가격은 다음과 같다. 사이즈

지름

가격

M L F

150cm 20

10,000

30 150cm

21,000

150cm 40

35,000

210, 000 원의 예산으로 배나와 레스토랑에서 회식을 할 때, 가장 배불리 피자를 먹기 위해서 어떤 피자를 몇 판 시켜야 할까? 풀이) 세 피자는 원형으로 서로 닮은 도형이고, 닮음비는 2 : 3 : 4 이다. 따라서 넓이의 비는 22 : 32 : 42 = 4 : 9 : 16 이다. 예산이 21 만원이므로 M 사이즈의 피자를 21 개 사거나, L 사이즈의 피자를

10 개 살 수 있고, 또는 F 사이즈의 피자를 8 개 살 수 있다. 세 경우 모두 주어진 예산을 전부 사용할 수 있다.

F 사이즈의 피자는 M 사이즈보다 크기가 네 배이므로, F 사이즈의 피자 8 개는 M 사이즈의 피자 32 개와 같은 양이다. 9 또, L 사이즈의 피자는 M 사이즈의 피자의 배의 크기이므로, L 사이즈의 피자 4 8 개는 M 사이즈의 피자 8 ×

9 = 18 개와 같은 양이다. 4

결과적으로, M 사이즈의 피자를 살 경우 21 개를 먹을 수 있고, L 사이즈의 피자 를 살 경우 M 사이즈 18 개에 해당하는 양을 먹을 수 있다. 그리고 F 사이즈의 피자를 살 경우 M 사이즈 32 개에 해당하는 양을 구입할 수 있다. 따라서, 주어 진 예산을 모두 사용하여 F 사이즈의 피자 8 개를 사는 방법이 가장 배불리 먹을 수 있는 방법이다.

닮은 도형의 넓이 비 두 닮은 평면도형에서 닮음 비가 m : n 이면 (1) 둘레의 길이 비는 m : n 이다. (2) 넓이 비는 m2 : n2 이다.

10 닮음의 응용

10.5 닮은 도형의 넓이와 부피

213

닮은 도형의 부피 두 닮은 평면도형에서 닮음 비가 m : n 이면 (1) 둘레의 길이 비는 m : n 이다. (2) 넓이 비는 m2 : n2 이다.

이제 평면도형이 아닌 입체도형의 경우를 보자. 왼쪽 그림과 같이 닮음비가 2 : 3 인 두 원기둥의 부피 비는 어떻게 될까? 두 원기둥의 닮음비가 2 : 3 이면, 밑면의 반지름의 길이와 높이의 비도 2 : 3 이 다.

따라서, 각 원기둥의 부피를 구해보면 다음과 같다.

두 원기둥의 부피를 각각 V, V 라고 한다면 2r

V = π(2r)2 2h = 8πr2 h V = π(3r)2 3h = 27πr2 h 따라서, 두 원기둥의 부피 비는

V : V = 8πr2 h : 27πr2 h = 8 : 27 즉, 23 : 33 이다. 이 사실을 임의의 입체도형으로 일반화할 수 있다.

닮은 도형의 부피 비 두 닮은 입체도형에서 닮음 비가 m : n 이면, 부피 비는 m3 : n3 이다.

214

10 닮음의 응용

10.5 닮은 도형의 넓이와 부피

예제) 닮은 도형의 부피비 신속배달 배나반점에서는 일반 자장면과 자장면 곱배기를 판매하는데, 일반 자장 면과 자장면 곱배기는 닮은비가 4 : 5 인 닮음의 관계에 있다고 한다. 수학교육을 부업으로 하고 있는 주방장은 자장면의 부피에 비례하여 가격을 매기려 한다. 보 통 자장면이 3200 원 일 때, 자장면 곱배기의 가격은 얼마로 정해야 할까지 구하 여보자. 풀이) 일반 자장면과 자장면 곱배기의 닮음비가 4 : 5 이므로 부피비는

43 : 53 = 64 : 125 이다. 부피에 비례하여 자장면 가격을 매긴다면, 보통 자장 면 가격과 자장면 곱배기 가격의 비가 부피비와 같아야 하므로, 자장면 곱배기 가 격을 x 원 이라고 한다면 3200 : x = 64 : 125 가 성립한다. 따라서 64 × x = 3200 × 125 로부터 x = 6250 을 구할 수 있다. 즉 6250 원 을 가격으로 매겨야한다.

10 닮음의 응용

10.5 닮은 도형의 넓이와 부피

215

연습문제 01 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.

8cm

10cm

02 원뿔 모양의 탱크에 물을 붓고 있다.

10 분 동안 일정한 속도로 물을 받아 50cm 가 찼을 때, 몇 분 동안 물을 더 틀어놓아야 높이

1m50cm 인 물 탱크가 가득 찰까? 50cm

두 정육면체 A 와 B 의 겉넓이의 비가 16 : 25 이다.

B 의 부피가 10000cm3 일때, A 의 부피는 얼마인가?

216

10 닮음의 응용

10.5 닮은 도형의 넓이와 부피

10 닮음의 응용

10.5 닮은 도형의 넓이와 부피

217

만든 사람들

최재형

이승은

배나사 수학 2학년 교재가 요기잉네?

뭐라고요?

이재호

이준석

요태까지 날 미행한고야?

물논. 그리고 자네가 교재 만들다 튀려는 곳또 알고있쥐.

최태건

유희원

꼭 받아주십시오. 이 교재는 품종이 좋은 교재입니다.

공부합시다.

조경희

남현성

꿈의 교재를 위해

막차 걱정이 없는 교재개발팀

정준

정솔

분노의 GSP 및 감수

좀 민망하네요. 하루하고 쓰기는....

정승우

백종아

이 모든 영광을 사랑하는 가족과 용산구청, 여러 협력업체 그리고 수학교재개발+알파에게

끼야 >_< 완성

김동권

김기현

교재개발팀 사랑해요 ♡

우리 교재는 TOP야

김은혜

정수환

[던젼]당분간 찾지마

우선 2차 개정판을 내려고 작업을 하면서 가장 많이 머릿속에 떠오른 것은 공부하는 우리 학생들의 모습이었습니다. 자신의 꿈을 이루기 위해 열심히 공부하는 학생들의 모습을 떠올릴 때면 그들의 꿈을 이루는데 제가 조금이나마 도움이 된다는 생각이 들어 뿌듯했습니다. 그리고 이 개정작업과 용산 교육장에서 수학을 가르치는 일을 동시에 하면서 교재의 질이 교육의 성패를 좌우한다는 것을 몸소 체험했습니다. 마지막으로 교재개발이라는 흔치않은 경험을 할 수 있어서 좋았고, 앞으로 교재가 더욱 발전할 수 있도록 학생 여러분이 피드백을 남겨주시면 좋겠습니다.

김민지

김혜진

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도움을 주신 분들

용산구청

유성구청

마포구청

배움을 나누는 사람들 2010학년도 중학교 2학년 수학 표준교재 제작위원회 http://www.edushare.kr