머리말 참다운 교육을 위해 쉽고, 잘 정리된 교재를 만들어 널리 사용하게 하자는 배움을 나누는 사람들의 고집스러운 노력이 이제 결실을 이루게 되었다. 지난 2년간 꾸준히 축적해온 배움을 나누는 사람들의 교재가 이제 학생들에게 배부할 수 있는 이 책과 같은 형태로 완성되었다. 6개월 전에 내놓으려던 조급한 시도가 무산된 뒤, 차분하고 꾸준히 긴 준비의 시간을 거쳐 다시 한번 이 책의 편집을 시도하게 되었다. 오늘로 6일째 밤을 새워가며 최종 편집작업에 사력을 다해 참여해준, 시스템 개발팀의 디자이너 들과 교재개발팀의 선생님들, 그리고 교수팀의 선생님들에게 무한한 감사를 표한다. 동고동락하는 힘든 과정 속에서 이제 단순히 동료 선생님이 아닌 어떤 전우애와 같은 끈끈함 까지 느껴지는 배움을 나누는 사람들이다. 사실, 이 작업은 어떤 회사의 상근근로자들이 힘을 합쳐도 해내기 어려운 매우 복잡하고 장황한 작업이었으나, 자발적이고 헌신적인, 그리고 산발적인 노력의 합으로 이 것을 이루어 내었다는 점이 매우 중요하다. 봉사단체인 배움을 나누는 사람들이 약간은 무리하는 것 같으면서도 인쇄된 교재를 만들어 세상에 널리 퍼뜨리고자 하는 생각의 시작에는 여러 가지가 있었다. 누구나 손쉽게 개작, 발전시켜 나갈 수 있는 오픈 소스로 된 교재를 만들고 싶었다. 학습에 열의가 있는 대한민국의 어떤 학생이라도 우리의 교재를 무료로 받아 공부할 수 있게 할 것이며, 교재에 대한 학생들의 자발적인 평가를 바탕으로 꾸준히 개선시켜 나갈 것이다. 책을 필요로 하는 학생들과, 이 책으로 가르칠 선생님들, 그리고 새로운 교육방법을 연구하는 선생님들이 모두 다같이 힘을 합치면 이루기 어려운 꿈은 아닐 것이다. 가정의 자습서 및 학습지 구매 부담을 경감해주는 새로운 교재를 만들고 싶었다. 작금의 현실을 보면, 학생들이 자율적으로 학습할 수 있는 환경이 사라져갈 뿐만 아니라, 가정에서 자습서 및 문제집 구입에 사용되는 비용도 나날이 증가하고 있다. 배움을 나누는 사람들의 작지만 위대한 도전이, 경제적인 어려움에 교육의 기회를 잃는 수많은 학생들에게 배움의 목마름을 해소하는 보리차와 같은 존재가 되었으면 좋겠다. 무료이지만, 여럿의 자발적인 노력을 모아 매우 값지고 질 좋은 교재를 만들고 싶었다. 봉사자들의 선한 노력이 합해지면, 싼 게 비지떡이라는 말이 꼭 옳지는 않다는 것을 증명해 보일 것이다. 자발적인 봉사의 가치는 매우 값지며, 영리목적으로 제작된 어느 참고서보다도 학생들이 필요로 하는 부분들을 깔끔하게 담아낼 수 있도록 할 것이다. 또한 Creative Commons License를 위시한 공개 라이선스로 교재개발에 소중한 삽화나 여러 자료를 손쉽게 차용할 수 있게 해준, 인터넷 공간상의 무수한 누리꾼 들에게 다시 한번 감사하게 생각한다. 위키피디아가 우리에게 형언할 수 없는 새로운 지식의 향연을 베풀어 준 것만큼, 이 교재도, 점진적인 계승과 발전의 시간을 거쳐 대한민국 교육의 새로운 방식이 되었으면 좋겠다. 다른 분들의 기여물을 손쉽게 차용할 수 있어서 감사하고, 그 것들을 두루 사용한 우리의 교재가 다시 사회에 기여된다는 뿌듯함이 새롭다. 마지막으로 이 책을 가지고 교육장에서, 또는 집에서, 학교에서 공부하게 될 많은 배움을 나누는 사람들의 학생들에게 부탁하자면, 너희를 위하여 잠을 줄여가며 고생했던 선생님들이 진정으로 원하는 것은, 너희들이 공부에 자신감을 얻고, 그 자신감을 바탕으로 스스로의 꿈을 실현시켜나가는 것이다. 공부하고 싶어하는 사람들에게 효율적으로 공부할 수 있는 방법을 알려주고, 또 공부하는데 필요한 것들을 마련해주기 위해 선생님들이 불철주야 노력하고 있지만, 실제로 공부를 하는 것은 너희들이라는 사실을 잊지 말아야 한다. 이제 아쉬움 없이 노력하여 그 결과로 다같이 웃을 수 있었으면 좋겠다. 선생님들도 처음 교재를 책으로 만들어 봐서, 너희들의 공부방법과 맞을지, 너희들이 이 것을 가지고 어떤 모습으로 공부하게 될지 잘 모르지만, 꼭 도움이 될 수 있었으면 좋겠다. 배움을 나누는 사람들 파이팅!
1
무리수와 실수 1.1 제곱근과 제곱수 1.2 무리수와 실수 1.3 제곱근의 유리화와 사칙연산 1.4 제곱근의 대소비교, 실수의 대소비교
2
식의 계산 2.1 곱셈 공식 2.2 곱셈 공식의 활용 2.3 인수분해 2.4 인수분해의 활용
3
이차방정식 3.1 이차방정식 3.2 근의 공식 3.3 근과 계수와의 관계 3.4 이차방정식의 활용
4
이차함수 4.1 이차함수와
y = ax2 의 그래프
4.2 이차함수의 그래프 4.3 이차함수 그래프를 그려봅시다 4.4 이차함수 구하기 4.5 이차함수의 활용
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무리수와 실수 1.1 제곱근과 제곱수 1.2 무리수와 실수 1.3 제곱근의 유리화와 사칙연산 1.4 제곱근의 대소비교, 실수의 대소비교
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Flickr / CameliaTWU
1 무리수와 실수
cbnd
제곱근과 제곱수
주요 개념 이해
미은이는 배나사 교육장에 가던 길에 버스카드에 잔액이 없음을 확인했다. 슬픔을 달래며 교육장으
01 제곱근의 뜻과 표현, 성질을 알 수 있다.
로 걸어가고 있었는데 갑자기 선명이가 마법의 양탄자를 가지고 나타나 “수학을 잘하는 미은아, 내
02 제곱수에 대해 알 수 있다.
가 내는 문제를 맞추면 배나사 교육장까지 태워다 줄게”라고 하였다. 그러자 미은이가 “오호~ 무 슨 문제인데?”라고 물었다. 선명이는 “이 마법의 양탄자는 정사각형이고 넓이는 2m2 이야. 그럼 이 양탄자의 한 변의 길이는 얼마일까?”라고 물었다. 이런 선명이의 물음에 미은이는 당황한 나머지 “……………..!?” 멋쩍은 웃음만 보인다. 과연 미은이는 양탄자를 타고 배나사 교육장에 갈 수 있을 까?
제곱근 어떤 수를 제곱해서 음이 아닌 수 a 가 될 때, 즉 x2 = a 일 때 x 를 a 의 제곱 근이라 한다. 예를 들어 2 × 2 = 4 이므로 2 는 4 의 제곱근이다.
어떤 숫자 a 의 제곱근의 개수는 a 의 값에 따라 세 가지로 나뉜다. 01
02 03
a > 0 일 때 : a 의 제곱근은 양의 제곱근과 음의 제곱근의 두 개가 있다. ex) 4 의 제곱근은 +2 와 −2 두 개가 있다. a = 0 일 때 : a 의 제곱근은 0 하나 뿐이다. 즉, 0 의 제곱근은 0 하나뿐이다. a < 0 일 때 : a 의 제곱근은 없다.
제곱근의 표현 √ √ a 의 양의 제곱근을 a , 음의 제곱근을 − a 로 나타낸다. √ √ ... 를 근호라 하고, a 를 제곱근 a , 또는 루트 a 라고 읽는다. 02 기호 √ 03 양의 제곱근과 음의 제곱근을 묶어서 ± a 로 쓰고 플러스 마이너스 루트에이 01
라고 읽는다.
4
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
예제) 제곱근의 대한 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? (정답 2 개) (1) 0 의 제곱근은 없다. (2) 9 의 제곱근은 3 이다. (3) −3 은 −9 의 음의 제곱근이다.
(4) 36 의 두 제곱근의 합은 0 이다. (5) 5 는 (−5)2 의 양의 제곱근이다. 풀이) (1) 0 의 제곱근은 0 하나가 있다. (2) 9 의 제곱근은 +3, −3 두 개가 있다. 9 의 제곱근이라고 표현을 할 때는 양의 제곱근과 음의 제곱근을 모두 써주어야 한다. (3) −9 는 음수이기 때문에 제곱근이 존재하지 않는다 (4) 36 의 두 제곱근의 합은 (+6) + (−6) = 0 이다. - 참 (5) 5 는 (−5)2 의 양의 제곱근이다. - 참 따라서 답은 4 , 5 번이다.
제곱근의 성질 01
02
03
04
a > 0 일 때, √ 2 √ 2 a =a, − a =a √ 2 √ ex) ( 5) = 5 , (− 5)2 = 5 a√> 0 일 때, a2 = a , (−a)2 = a √ ex) 62 = 6 , (−6)2 = 6
√ a2 =| a | ⇒ a 가 양수이면 a , 음수이면 −a 이 값은 a 의 부호와 관계없이 음수가 아니다. √ ex) 22 = 2 , (−2)2 = 2
√ √ a > b 이면, a > b 이다. √ √ a > b 이면 a > b 이다. 반대로, 주의:
1 무리수와 실수
a2 > b2 이어도 a > b 는 아니고 a > b 이어도 a2 > b2 는 아니다.
1.1 제곱근과 제곱수
5
예제) 1 < x < 2 일 때, 풀이)
(x − 1)2 − (x − 2)2 을 간단히 하여라.
1 < x 이므로 x − 1 > 0 이다. 따라서 (x − 1)2 = |x − 1| = x − 1 이다. 또 x < 2 이므로 x − 2 < 0 이다. (x − 2)2 = |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x 이며 따라서 (x − 1)2 − (x − 2)2 = (x − 1) − (2 − x) = 2x − 3 이다. 따라서
제곱수 자연수 중 1 , 4 , 9 , 16 , 25 … 등과 같은 숫자는
12 = 1 , 22 = 4 , 32 = 9 , 42 = 16 , 52 = 25 와 같이 자연수의 제곱으로 나타난다. 이러한 숫자를 제곱수라고 한다. 즉, 똑같은 자연수를 두 번 곱해서 나온 자연수를 뜻한다. 어떤 수가 제곱수인지 아닌지를 판별하고자 할 때에는 그 수를 소인수 분해하여 보면 된다. 모든 소인수의 지수가 짝수라면 그 숫자는 제곱수이고, 지수가 홀수인 소인수가 있다면 그 수는 제곱수가 아니다. 예를 들어, 100 = 22 × 52 와 같이 소인수 분해 되는데, 여기서 소인수 2 와 5 의 지수가 모두 짝수(2)이므로 100 은 제곱수라는 것을 알 수 있다. 반면에
140 = 22 × 5 × 7 과 같이 소인수 분해되는데 소인수 5 와 7 의 지수가 홀수(1)
이므로 완전제곱수가 아니라는 것을 알 수 있다. 완전제곱수가 아닌 자연수의 제 곱근도 더 작은 자연수의 제곱근을 이용해 더 간단히 나타낼 수 있는데, 이에 관 해서는 추후에 설명하겠다.
예제)
√ 24x 가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 x 의 값은?
풀이)
24 = 22 × 3 이다. 24x 의 제곱근이 자연수가 되려면 24x 를 소인수 분해 했을 때 각 소인수의 지수가 짝수가 되어야 하므로 가장 작은 자연수 x 는 √ √ 2 × 3 = 6 이다. 이 때 24x = 144 = 12 이다.
6
1 무리수와 실수
1.1 제곱근과 제곱수
제곱근의 대소 비교 a > 0, b > 0 일 때 √ √ a < b 이다. 01 a < b 이면 √ √ a < b 이면 a < b 이다 02 예) 3 < 7 이므로
√ √ 3 < 7 이다.
용어 정리 제곱근 어떤 수를 제곱해서 음이 아닌 수 a 가 될 때, 즉 x2 = a 일 때 x 를 a 의 제곱근이라 한다. 제곱수 어떤 자연수를 두 번 곱한 수
1 무리수와 실수
1.1 제곱근과 제곱수
7
연습문제 01 다음 수의 제곱근을 구하여라.(만약 제곱근이 없다면 ‘없음’으로 표기) (1) 1 (2) 0 (3) −3
(4) 0.01 (5) 100
√
02 ± 13 을 어떻게 읽는가?
03 제곱근에 관한 다음 설명 중 옳지 않은 것은? (1) 0 의 제곱근은 두 개이다. (2) −3 의 제곱근은 없다.
(3) 4 의 두 제곱근의 합은 0 이다. (4) 5 는 (−5)2 의 양의 제곱근이다. √ √ (5) 2 의 제곱근은 + 2 와 − 2 두 개가 있다.
04 다음 값을 구하라. (1)
(−3)2
(2) 3 < x 일 때,
(x − 3)2
05 −1 < x < 1 일 때, 2
8
1 무리수와 실수
1.1 제곱근과 제곱수
(x − 1)2 + (x + 1)2 을 간단히 하여라.
06 다음 중 제곱수인 것을 모두 고르시오 (1) 1 (2) 4 (3) −3 (4) 0 (5) 9
07
1 무리수와 실수
√ 18x 가 자연수가 되게 하는 가장 작은 자연수 x 의 값은?
1.1 제곱근과 제곱수
9
무리수와 실수
cbd
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Flickr /Jenna Carver
1 무리수와 실수
주요 개념 이해
가영이에게는 예쁜 수첩이 많이 있다. 학교에 가서 친구들에게 자랑을 하였다. 선생님께서는 가영이
01 무리수, 유리수, 실수의 개념을 정확
수첩들을 보시고 수업시간에 무리수 길이 재기 수업을 할 때 가영이 수첩들을 사용하자고 하시고는
히 안다.
수첩들의 대각선 길이를 구해보라고 하셨다. 가영이는 대각선 길이를 구할 때 자 눈금으로는 정확히
02 제곱근 표를 보고 제곱근의 근사값을
잴 수 없어 선생님께 정확한 길이를 모르겠다고 하니 선생님께서는 길이 구하는 방법을 가르쳐주셨
구할 수 있다.
다. 과연 가영이가 대각선의 길이를 잘 구했을까?
03 무리수의 정수부분과 소수부분을 구할 수 있다.
소수의 분류
유한소수 (유리수) 소수 무한소수
순환소수 (유리수) 순환하지 않는 무한소수 (무리수)
소수를 분류할 때 위의 그림과 같이 분류할 수 있다. 2 학년 때 유리수( a/b 로 표 현 가능한 수, 단 a , b = 0 인 정수)에 대해서 배웠다. 이번 단원에서는 순환하 지 않는 무한소수 즉, 무리수에 대해서 배워보자.
무리수 유리수가 아닌 수, 즉 순환하지 않는 무한소수로 나타내어지는 수를 무리수라고 말한다. 예) π = 3.141592 ...
√ 2 = 1.41421356237 ...
10
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
실수 무리수와 유리수를 합쳐서 실수라고 한다 지금까지 배웠던 수의 체계를 밴 다이어그램과 수형도로 표현하면 다음과 같다. 양의정수 (자연수) 0
정수 유리수
음의정수 정수가 아닌 유리수
실수
유한소수 순환소수
무리수
(유리수 ∩ 무리수 = ø )
이제부터 수라고 하면 실수를 의미한다.
실수를 수직선에 나타내보자 이번에는 앞에서 배운 실수를 수직선으로 나타내는 방법을 배우도록 하겠다. 다음과 같은 수직선은 무수히 많은 점들로 이루어져있다. 이 점들은 모두 실수 값 을 가지고 있다.
예제)
√ 5 를 수직선 위에 표시해 보자. E
B
F
C
A D -2
1 무리수와 실수
G -1
1.2 무리수와 실수
O
1
P 2
11
풀이) 이 문제는 OABC 의 넓이를 구하는 것으로부터 문제를 해결할 수 있다. 그럼 먼저 OABC 의 넓이를 구하여 보자. OABC 는 DEF G 의 넓이에서
DAO , ABE , COG , BCF 의 넓이를 빼주면 된다. 먼저 DEF G 는 한 변이 1 인 정사각형 9 개가 모여서 만들어진 정사각형이다. 따라서 DE , DG , F G , EF 는 길이가 3 이고 사각형의 넓이는 9 이다. 삼각형 하나의 넓이는 밑변 × 높이 × (1/2) 로 1 이다. 이러한 삼각형이 4 개 있
으므로 삼각형들의 넓이는 4 이다. 다음으로, OABC 넓이는 DEF G 의 넓이 9 에서 삼각형들의 넓이 총합인 √ 4 를 빼 준 5 이다. OC × CB 가 5 이므로 OC , CB 는 5 이다. 이 때 점
O 를 중심으로 OC 가 반지름이 되는 원을 그린다. 그러면 OC 와 OP 가 반지 √ 5 의 자리이다.
름으로 서로 같은 길이가 된다. 따라서 점 P 자리가
제곱근 표를 보고 제곱근의 근사값을 구하자 우리는 앞서 실수에 대해서 배웠으며, 각 값이 수직선에 모두 대응된다는 것을 배 웠다. 그러나 우리는 단원 맨 처음에서 배운 제곱근이 수직선 위의 한 부분에 대 응한다는 것은 알지만 그 값을 정확히 알지는 못한다. 그렇기 때문에 이번에는 제 곱근 표를 보고 제곱근의 근사값을 구하는 방법을 배울 것이다.
제곱근 표 1.00부터 99.9까지 양의 제곱근의 근사값을 반올림하여 소수 셋째 자리까지 구 한 값을 정리해 놓은 표이다. 수
0
1.0
1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 1.030 1.034 1.039 1.044
1.1
1.049 1.054 1.058 1.063 1.068 1.072 1.077 1.082 1.086 1.091
1.2
1.095 1.100 1.105 1.109 1.114 1.118 1.122 1.127 1.131 1.136
1.3
1.140 1.145 1.149 1.153 1.158 1.162 1.166 1.170 1.175 1.179
1.4
1.183 1.187 1.192 1.196 1.200 1.204 1.208 1.212 1.217 1.221
1.5
1.225 1.229 1.233 1.237 1.241 1.245 1.249 1.253 1.257 1.261
1.6
1.304 1.308 1.311 1.315 1.319 1.323 1.327 1.330 1.334 1.338
1.7
1.342 1.345 1.349 1.353 1.356 1.360 1.364 1.367 1.371 1.375
……
12
1 무리수와 실수
……
1
……
1.2 무리수와 실수
2
……
3
……
4
……
5
……
6
……
7
8
……
9
……
……
예제)
√ 1.78 의 근사값을 구하여라.
풀이) 수
0
1.0
1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 1.030 1.034 1.039 1.044
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.1
1.049 1.054 1.058 1.063 1.068 1.072 1.077 1.082 1.086 1.091
1.2
1.095 1.100 1.105 1.109 1.114 1.118 1.122 1.127 1.131 1.136
1.3
1.140 1.145 1.149 1.153 1.158 1.162 1.166 1.170 1.175 1.179
1.4
1.183 1.187 1.192 1.196 1.200 1.204 1.208 1.212 1.217 1.221
1.5
1.225 1.229 1.233 1.237 1.241 1.245 1.249 1.253 1.257 1.261
1.6
1.304 1.308 1.311 1.315 1.319 1.323 1.327 1.330 1.334 1.338
1.7
1.342 1.345 1.349 1.353 1.356 1.360 1.364 1.367 1.371 1.375
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
무리수의 정수 부분과 소수 부분을 구해보자 제곱근 표에서 살펴보면 제곱근의 값이 정수 부분과 소수 부분으로 나뉘어 진 것 을 볼 수 있다. 예)
01
√ 1.11 = 1.054 정수부분 : 1 , 소수부분 : 0.054
무리수의 정수부분 구하기
제곱근의 대소 관계에 의해 n <
예제)
√ a < n + 1 을 만족하는 정수 n 을 구한다.
√ 3 의 정수부분을 구하여라.
풀이) √ √ √ √ 1 < 3 < 4 이다. 여기서 제곱근의 성질을 이용하여 1 은 정수 1 이고,
√ 4 는 정수 2 인 것을 알 수 있다. 따라서 n 값, 즉 정수 값은 1 이다.
1 무리수와 실수
1.2 무리수와 실수
13
02
무리수의 소수 부분
무리수에서 정수 부분을 빼서 나타낸다.
예제)
√ 3 의 소수 부분을 구하여라.
풀이)
√ √ 3 의 정수 부분을 1 이라고 구하였다. 그렇다면 소수 부분은 3 √ 에서 정수 1 을 뺀 값이다. 따라서 3 − 1 이다. 앞서 우리는
√ a = 정수 부분 + 소수부분 √ 소수 부분 = a − 정수 부분, (단, 0 ≤ 소수부분 < 1 )
용어 정리 a (단 a, b 는 정수, b = 0 ) 으로 나타낼 수 있는 수 b a 0 ) 으로 나타낼 수 없는 수 무리수 (단 a, b 는 정수, b = b 유리수
실수 유리수와 무리수를 모두 통틀어 실수라고 한다. 제곱근 표 1.00 부터 99.9 까지 양의 제곱근의 근사값을 소수 셋째 자리까지 반 올림하여 나타낸 표를 말한다.
14
1 무리수와 실수
1.2 무리수와 실수
연습문제 01 다음 수 중에서 무리수를 찾아라.
√ √ 3 √ 5 , 8 , , 25 4
0.6 ,
02 아래의 제곱근표를 보고, 다음에 주어진 조건에 알맞은 수를 3 개씩 말하여라. (1) 두 실수 1 과
(2) 두 실수
√ 5 사이의 유리수
√ √ 3 과 2 + 2 사이의 실수
03 다음의 소숫값을 제곱근표를 보고 구하여라. 수
0
1.0
1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 1.030 1.034 1.039 1.044
1.1
1.049 1.054 1.058 1.063 1.068 1.072 1.077 1.082 1.086 1.091
1.2
1.095 1.100 1.105 1.109 1.114 1.118 1.122 1.127 1.131 1.136
1.3
1.140 1.145 1.149 1.153 1.158 1.162 1.166 1.170 1.175 1.179
1.4
1.183 1.187 1.192 1.196 1.200 1.204 1.208 1.212 1.217 1.221
1.5
1.225 1.229 1.233 1.237 1.241 1.245 1.249 1.253 1.257 1.261
1.6
1.304 1.308 1.311 1.315 1.319 1.323 1.327 1.330 1.334 1.338
1.7
1.342 1.345 1.349 1.353 1.356 1.360 1.364 1.367 1.371 1.375
……
1 무리수와 실수
……
(1)
√ 1.67
(2)
√ 1.58
1
……
1.2 무리수와 실수
2
……
3
……
4
……
5
……
6
……
7
8
……
9
……
……
15
04
√ 2 에 대응하는 점을 수직선 위에 나타내어라.
-2
16
1 무리수와 실수
1.2 무리수와 실수
-1
O
1
2
1 무리수와 실수
1.2 무리수와 실수
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제곱근의 유리화와 사칙연산
Flickr / soulbrain
1 무리수와 실수
cbna
3
√
주요 개념 이해
√
주이의 휴대폰 액정의 크기는 가로가 2 2cm , 세로가 2 6cm 이고 하은이의 휴대폰 액정의 크기
01 제곱근의 유리화를 할 수 있다
√ 는 가로가 4/ 3cm , 세로가 6cm 이다. 아직 제곱근의 사칙연산을 배우지 않은 주이와 하은이는
02 제곱근의 사칙 연산을 할 수 있다.
서로 자신의 휴대폰 액정이 더 넓다고 주장한다. 이 때 수학 공부를 열심히 하고 있던 동이가 옆에서 한 마디 하였다. “두 휴대폰의 넓이가 같잖아.” 동이는 어떻게 휴대폰의 넓이를 계산하였을까?
제곱근의 유리화 제곱근의 유리화란 분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모, 분자에 0 이 아닌 숫자를 곱해 분모를 유리수로 고치는 것이다. 유리화의 방법은 다음과 같다. a > 0, b > 0 일 때
√ √ 1× b b √ =√ √ = b b b ×√ b √ (2) a a× b a b √ =√ √ = b b b × √b √ √ √ (3) a a× b ab √ = √ √ = b b b× b (1) 1
예제) 다음을 유리화하여라. 01
02
03
18
배움을 나누는 사람들
1 √ 5 2 √ 3 √ 5 √ 6
중학교 3학년 수학
풀이)
√ 1× 5 1 √ = √ √ = 5 5× 5 √ 2× 3 2 √ = √ √ = 3 3× 3 √ √ √ 5 5× 6 √ = √ √ = 6 6× 6
01
02
03
√
5 5 √ 2 3 3 √ 30 6
제곱근의 곱셈과 나눗셈 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 할 때에는 근호 안의 숫자들을 가지고 곱셈과 나눗셈을 계산하게 된다. 즉 a > 0, b > 0 일 때 √ √ √ (1) a b = ab (2)
√ a a √ = b b
괄호 안에서 약분이 가능하면 약분을 한다.
√ √ √ √ 1 15 √ 10 15 10 √ ÷ 5× √ = √ × √ × √ 2 21 2 5 21 15 1 10 = × × 2 5 21 5 = 7 √ 35 = 7 ex)
√
√
√
√
= a/100, a/100 = a/10, 100a a× b= √ a × √ √ √ b a/10000 √ √ √ a× b = a2 × b a/10000 = a/100, a/100 = a/10, 100a = 10× a, 10000a = 100× a √ √ √ √ √ √ √ √ = a2 × b a/10000 = a/100, a/100 = a/10, 100a = 10× a, 10000a = 100× a √ √ 식을 가지고 √ √ √ √ 역으로 생각해보면 √ ab = a b 이다. 이를 통해 완전제곱수가 아 0 = a/100, a/100 = a/10, 100a = 10× a, 10000a = 100× a √ √ √ √ √ 닌 일반적인 자연수의 제곱근에 대해 생각해보자. 100 = a/10, 100a = 10× a, 10000a = 100× a √ √ √ = 10× a, 10000a = 100× a (3)
예)
2
√ √ = 10× a,
√ √ √ √ √ √ 48 = 24 × 3 = 24 × 3 = (22 )2 × 3 = 22 × 3 = 4 3
과 같이 계산된다.
즉, 소인수 분해된 숫자 중에 지수가 짝수부분인 숫자는 제곱근 기호 밖으로
√ √ √ √ 72 = 2 × 18 = 3 × 8 = 6 × 2 나가게 되고, 지수가 홀수인 숫자는 제곱근 기호 안에 남게 되는 것이다. 문제를 √ √ √ √ 72 = 2 × 18 = 3 × 8 = 6 × 2 풀었을 때 제곱근 기호 안에 제곱근을 포함한 숫자가 있다면 반드시 이런 과정을 √ √ √ √ 72 = 2 × 18 = 3 × 8 = 6 × 2
거쳐 제곱근 안에 되도록 작은 숫자가 있도록 정리를 해주어야 한다.
1 무리수와 실수
1.3 제곱근의 유리화와 사칙연산
19
제곱근의 덧셈과 뺄셈 근호 안의 수가 같을 때, 근호를 포함한 식의 덧셈/뺄셈은 다항식에서 동류항의 덧셈, 뺄셈을 하듯이 계산하면 된다. 즉 근호가 있는 무리수는 하나의 문자와 같이 계산하면 된다. 다항식에서 동류항 계산을 어떻게 했었는지 되짚어 보면,
mx ± nx = (m ± n)x
와 같이 계산했었다. 즉 분배법칙을 이용해 공통인수 x 를 끌어내어 묶은 것이다. 무리수의 계산도 마찬가지 방법으로 이루어진다. 즉 a > 0 일 때, √ √ √ (1) m a + n a = (m + n) a
√
√
√
(2) m a − n a = (m − n) a
분수의 계산을 할 때에는 분모의 유리화와 통분을 순서대로 거쳐 계산하게 된다.
예제) 다음을 계산하여라. 01 02
√ √ 3 5+√ 2 5 1 2 √ + 3 2
풀이)
√ √ √ √ 3 5 + 2 √5 = (3√+ 2) √5 = 5 5 1 2 2 2 02 √ + = + 3 4 3 2 2 √ √ 3 2+4 2 = 12 √ 7 2 = 12 01
20
1 무리수와 실수
1.3 제곱근의 유리화와 사칙연산
연습문제 01 다음을 계산하시오.
1 (1)
(2)
√ 2 √ 3
11 (3)
(4)
√ 7 √ 12
√ √ 3
(6)
√ 2
√ 11
5 (5)
(7)
5 7
10 24
02 다음을 계산하시오.
√
√
√
(1) 3 2 + 8 2 − 4 2
√
√
√ 3
√
√
√
(2) 3 12 + 4 3 −
(3) 8 18 + 3 2 − 4 12
(4) √1 + √1 − √1
2
4
√
8
√
√
(5) √1 + √2 + √3 + √4
2
1 무리수와 실수
3
4
1.3 제곱근의 유리화와 사칙연산
5
21
03 다음을 계산하시오.(계산 후 유리화까지 해야 함) (1)
√ √ 3× 5
√ √ 8 × 18 √ (3) √36 4 √ 48 (4) √ 14 √ 1 (5) √ × √24 × √2 3 8 3 √ √ √ 2 7 3 (6) √ × √ ÷ 3 9 6 √ √ (7) 2 × √11 ÷ √ 8 3 21 15 (2)
22
1 무리수와 실수
1.3 제곱근의 유리화와 사칙연산
1 무리수와 실수
1.3 제곱근의 유리화와 사칙연산
23
Flickr / Monica’s Dad
1 무리수와 실수
제곱근의 대소 비교, 실수의 대소 비교
cb
4
주요 개념 이해
항상 라이벌인 철수와 만수는 농구시합을 하고 있었다. 농구시합은 좀처럼 승부가 나질 않았는데, 어
01 제곱근의 대소 비교를 할 수 있다.
느덧 해 질 무렵이 되었다. 저녁시간이 다되었기 때문에 결국 무승부로 끝나게 되었다. 하지만 항상
02 실수의 대소 비교를 할 수 있다.
라이벌인 둘은 키로 승부를 내자고 하였다. 하지만 이것 또한 둘이 키가 비슷하여 서로 자기가 크다면 서 말다툼하다 결국 싸움이 벌어지고 말았다. 일상에서 크기의 비교는 매우 중요하다. 제대로 비교가 되지 않았더니 싸움이 벌어지고 말았다. 이렇듯 수학에서도 수의 비교는 매우 중요하다. 그렇다면 지 난 시간에 배운 제곱근들은 어떻게 비교할 수가 있을까?
제곱근의 대소 비교 a > 0, b > 0 일 때 √ √ a < b 이면 a < b 이다. √ √ a < b 이면 a < b 이다 02 01
예) 3 < 7 이므로
√ √ 3 < 7 이다.
예제) 부등식 3 < [참고]
√ 이와 비슷하게 a 와 b 의 크기 비교도 할 수
√ 6x < 6
풀이) 각자를 제곱하면 9 < 6x < 36 과 같아진다. 따라서
있다. 이 경우 a2 과 b 의 크기를 비교하면 된다.
예제) 3 과
24
배움을 나누는 사람들
√ 8 의 크기를 비교해보자.
중학교 2학년 수학
3 <x<6 2
풀이) 루트를 제곱하면 루트 안의 숫자가 상수로 나온다는 제곱근의 성질을 이용하여
√ √ 8 3 과 8 을 각각 제곱해서 비교한다. 각각 제곱하면 9 와 8 이 되는데 39 > 8 이므 √ 로 3 을 제곱한 것이 더 크다. 따라서 3 > 8 이다.
실수의 대소 관계 일반적으로 두 수의 대소 관계를 판별할 때에는 두 수의 차 a − b 의 부호를 판별 한다. 일반적인 실수 a , b 의 대소 관계의 경우 a − b 의 부호를 통해 판별한다. 01 02 03
a − b > 0 이면 a > b a − b = 0 이면 a = b a − b < 0 이면 a < b
예제) 4 − 풀이)
(4 −
√ 6 과 2 의 대소를 비교하여라.
√ √ √ 6) − 2 = 2 − 6 이므로 2 와 6 의 크기를 비교하면 된다. 루트를
제곱하면 루트 안의 숫자가 상수로 나온다는 제곱근의 성질을 이용하여 크기비교를 한다. 2 와
√ √ 6 을 각각 제곱하면 4 와 6 이다. 6 을 제곱한 것이 더 크므로
√ 6 은 음수가 된다. 작은 수에서 큰 수를 뺐을 때 음수가 나오는 것이기 때 √ √ 문에 4 − 6 이 2 보다 작은 수이다. 따라서 답은 4 − 6 < 2 이다. 2−
두 실수 사이의 수 다음과 같은 방법으로 임의의 두 실수 사이에 있는 실수를 무수히 많이 찾을 수 있다. 01
두 수의 평균을 구한다. 예) 1 과 2 사이의 실수를 구하여라
(1 + 2) ÷ 2 = 02
3 3 5 3 7 (1 + ) ÷ 2 = ( + 2) ÷ 2 = · · · 2 2 4 2 4
각각의 수에 두 수의 차보다 작은 수를 더하거나 뺀다.
√ √ 2 와 3 사이의 실수를 구하여라. √ √ 3 − 2 = 0.318이므로 0.318보다 작은 수를 더하거나 빼면 √ √ √ 2 + 0.1, 3 − 0.1, 2 + 0.01 . . .
예)
1 무리수와 실수
1.4 제곱근의 대소 비교, 실수의 대소 비교
25
연습문제 01 다음 두 수의 크기를 비교하시오.
√ 3
(1) 2 (2) 3 − (3)
√ 8
1
√ 6
√ 7
(4) √1
√ 2− 3 3
(5) √1
√ 2 3
(6) 2
√ 5−1 4
3
2
5
02 세 실수 a = 3 − 여라.
√ √ 8, b = 3 − 10, c = 1 를 크기가 큰 순서대로 나열하
√ √ 3 과 7 사이에 있는 무리수가 아닌 것은? √ √ 3 ≈ 1.732 , 7 ≈ 2.646 ) (단, √ (1) 3 + 0.05 √ (2) 5 √ (3) 7 − 0.1 √ √ (4) 3 + 7 2 √ (5) 7 − 0.05
03 다음 중
04
26
1 무리수와 실수
√ √ 3 과 11 사이에 있는 실수를 5 개 적어보시오.
1.4 제곱근의 대소 비교, 실수의 대소 비교
2
식의 계산 2.1 곱셈 공식 2.2 곱셈 공식의 활용 2.3 인수분해 2.4 인수분해의 활용
1
곱셈 공식
2 식의 계산
주요 개념 이해
어릴 적부터 연경이는 책들을 분야와 크기 별로 정리를 하는 습관을 가지고 있다. 어느 날 현지와 함
01 곱셈공식을 익혀서 식의 계산을 편리하
께 정민이네 놀러 가서 책들이 어질러져 있는 모습을 보고 연경이는 깜짝 놀랐다.
게 할 수 있다.
책을 정리하는 것은 귀찮고 시간이 걸리는 일이어서 많은 사람들이 싫어한다. 하지만 우리는 주위에서
02 곱셈공식을 익혀서 식의 계산을 편리하
비슷한 것끼리 정리되어 있을 때 편리함을 느끼는 경우가 많음을 알고 있다. 다항식의 곱셈에서도 식
게 할 수 있다.
을 정리하면 계산을 빠르고 편리하게 할 수 있는데, 왜 그런지 살펴보자.
다항식 다항식은 유한한 개수의 문자와 숫자들의 덧셈, 뺄셈, 그리고 곱셈으로 이루어진 식을 말한다. 이때 문자의 차수는 0 또는 양의 정수이어야 한다. 예제) 다항식과 다항식을 만족하지 못하는 식
7x2 + 3
x2 y
(다항식 X; 문자에 의한 나눗셈이 존재 → 분모에 문자가 있으 면 다항식이 아니다.)
7 1 5x3 − yz 5 + y 2 (다항식 O) 4 3
다항식의 곱셈 주어진 다항식의 형태를 바꾸는 것은 문제를 풀기 위한 여러 방식으로의 접근 가 능성을 증가시키며, 이것은 문제의 해결에 도움을 준다. 다항식의 형태를 바꾸는 것은 크게 전개와 인수분해로 나눌 수 있는데, 여기서는 전개에 대해서 살펴보자. 예) (a + b)(x + y) = a(x + y) + b(x + y) = ax + ay + bx + by
28
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
교환법칙 임의의 두 수(문자) a, b 에 대해
둘 이상의 다항식의 곱으로 이루어진 식을 하나의 다항식으로 표현하는 과정을
서 a × b = b × a 가 성립하는 경우,
전개라 한다. 이를 위해서 곱셈의 분배법칙과 교환법칙을 사용한다.
연산 × 에 대하여 교환법칙이 성립한다 고 말한다. 분배법칙 임의의 세 수(문자) a, b, c 에 대 해서 등식 a × (b + c) = a × c + a × b 가
성립하는 경우 연산 × 는 + 에 대해서 분배
예제) (x − 2)(y + 9)(x + 2)(y − 9) = (x − 2)(x + 2)(y − 9)(y + 9)
= (x2 − 4)(y 2 − 81) = x2 − 81x2 − 4y 2 + 324
법칙이 성립한다고 말한다.
교환법칙 합차공식 전개
곱셈 공식 - 합, 차의 곱 2 (a + b)(a= +ab) += a +합의 2ab완전 + b제곱식 : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2
22
2ab2 + b2
2 2 2 22 2 2 예제) 2 2)22 을 전개하시오. 2 2ab (a(a ++ b)b) ==a2a+ + + (a+ bb) +b b) = a= + a22ab + (3x 2ab + b+ + b + (a 2ab
풀이) (3x + 2)(3x + 2) = (3x × 3x) + (3x × 2) + (3x × 2) + (2 × 2)
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 (a(a ++ b)b) = 2ab + b+ (a=a+ (a a+ b)++ b) = 2ab a=+ ab 2ab + 2ab + b+ b
= 9x2 + 6x + 6x + 4 = 9x2 + 2 × 6x + 4 = 9x2 + 12x + 4
차의 완전 제곱식 : (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
예제) (5x − 4y)2 을 전개하시오.
풀이) (5x − 4y)(5x − 4y) = (5x × 5x) − (5x × 4y) − (4y × 5x) + (4y × 4y)
2 식의 계산
= 25x2 − 20xy − 20xy + 16y 2 = 25x2 − 2 × 20xy + 16y 2 = 25x2 − 40xy + 16y 2
2.1 곱셈 공식
29
합 차 공식 : (a + b)(a − b) = a2 − b2
예제) (4x + 3)(4x − 3)을 전개하시오.
풀이) (4x + 3)(4x − 3)
= (4x × 4x) + (4x × (−3)) + (4x × 3) + (3 × (−3)) = 16x2 − 12x + 12x − 9 = 16x2 − 9
곱셈 공식 - 두 일차식의 곱 x 의 계수가 1 인 일차식의 곱 : (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
예제) (x + 1)(x + 2) 을 전개하시오.
풀이) (x + 1)(x + 2) = x2 + (2 × x) + (1 × x) + 2 × 1
= x2 + 2x + 1x + 2 × 1 = x2 + (2 + 1)x + 2 × 1 = x2 + 3x + 2
x 의 계수가 1인 일차식의 곱 : (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
예제) (5x + 1)(7x + 3) 을 전개하시오. 풀이) (5x × 7x) + (5x × 3) + (7x × 1) + (3 × 1) = 35x2 + 15x + 7x + 3
30
2 식의 계산
= 35x2 + (15 + 7)x + 3 = 35x2 + 22x + 3
2.1 곱셈 공식
용어 정리 단항식 문자와 숫자들의 곱으로만 이루어진 식 다항식 유한한 개수의 문자와 숫자들의 덧셈, 뺄셈, 그리고 곱셈들로 이루어진 식 (단항식은 항이 1 개인 다항식에 포함된다) 동류항 문자와 차수가 각각 같은 항
2 식의 계산
2.1 곱셈 공식
31
연습문제 : 다음 식들을 전개하여라 01 2x(3x + 4y)
02 (a − 2b)(2c + d)
03 (x − 1)(2x + 3y + 6)
04 3(x + 2y)(x − y)
05 (x + y)2
06 (x − 3)2
07 (3x − y)2
08 (x − 3y)2
09 (x − 2)(x + 2)
10 (x − 5)(x + 5)
32
2 식의 계산
2.1 곱셈 공식
11 (x + 7)(x − 7)
12 (x + 9)(x − 9)
2 식의 계산
2.1 곱셈 공식
33
곱셈 공식의 활용
Flickr / jsteph
2 식의 계산
cbnd
2
현지는 길을 가다 무거운 짐을 들고 가는 할아버지를 도와주고 예쁜 보석함을 선물로 받았다. 그
주요 개념 이해 01 곱셈공식을 이용하여 식을 전개할 수
보석함을 열기 위해서 비밀번호를 입력해야 했는데, 둘레가 18 이고, 넓이가 20 인 직사각형의 두 변
있다.
의 차의 제곱의 값이 비밀 번호였다. 현지는 보석함안에 있는 예쁜 목걸이를 하고 배나사에 나타났는
02 완전제곱식을 이용하여 주어진 식의 값
데 과연 현지는 어떻게 비밀번호를 알아 냈을까?
을 구할 수 있다.
치환을 이용한 식의 전개 다항식이 복잡한 경우 치환을 이용하여 식을 전개 할 수 있는데 방법은 다음과 같 다.
1. 공통된 부분을 A 로 치환한다. 2. 곱셈공식을 이용하여 전개한다.
3. 치환한 식을 다시 대입하여 전개한다.
4. 동류항끼리 정리한다.
예제) 치환을 이용하여 (a + b + 2c)2 을 전개하여라. 풀이) a + b = A 라 두자
(a + b + 2c)2 = (A + 2c)2 = A2 + 2A(2c) + (2c)2 = A2 + 4Ac + 4c2 (a + b + 2c)2 = (A + 2c)2 = A2 + 2A(2c) + (2c)2 = A2 + 4Ac + 4c2 완전제곱 = (a + b)2 + 4(a + b)c + 4c2 다시 대입 = a2 + 2ab + b2 + 4ac + 4bc + 4c2 완전제곱 = a2 + b2 + 4c2 + 2ab + 4bc + 4ca
34
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
예제) (a + b − c)(a − b + c) 을 전개하여라. 풀이)
b − c = A 라 두자 (A + b − c)(a − b + c) = (a + A)(a − A) = a2 − A2 = a2 − (b − c)2 = a2 − (b2 − 2bc + c2 ) = a2 − b2 − c2 + 2bc
합차공식 다시 대입 완전제곱식
완전제곱식의 변형 우리는 앞에서 합의 곱 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 과 차의 곱 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 에 대해서 배웠다. 이러한 완전제곱식의 변형을 이용하여 문제에서 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
1. a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab 2. (a + b)2 = (a − b)2 + 4ab (a − b)2 = (a + b)2 − 4ab 예제) a + b = 5, ab = 2 일 때, 다음을 구하여라.
[참고]
1 1 1 x + 2 = (x + )2 − 2(x × ) x x x 1 = (x + )2 − 2 x 1 1 1 (x + )2 = (x − )2 + 4(x × ) x x x 1 = (x − )2 + 4 x 2
1 1 1 x2 + 2 = x2 − 2x × + 2 + 2 x x x 1 = (x − )2 + 2 x (x −
(1) a2 + b2 (2) a2 + b2 + 3ab (3) (a − b)2 풀이) (1) a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab = 52 − 2(2) = 25 − 4 = 21 (2) a2 + b2 + 3ab = (a + b)2 + ab = 52 + 2 = 25 + 2 = 27 (3) (a − b)2 = (a + b)2 − 4ab = 52 − 4(2) = 25 − 8 = 17
1 2 1 1 ) = x2 − 2x × + 2 x x x 1 = (x2 + 2 + 2 ) − 4 x 1 = (x + )2 − 4 x
2 식의 계산
2.2 곱셈 공식의 활용
35
1 = 5 일 때, 다음을 구하여라. x 1 (1) x2 + x2 1 (2) (x − )2 x 1 (3) x − x 예제) x +
풀이)
1 1 = (x + )2 − 2 = 52 − 2 = 23 x2 x 1 1 (2) (x − )2 = (x + )2 − 4 = 52 − 4 = 21 x x √ 1 1 (3) x − = ± (x − )2 = ± 21 x x (1) x2 +
수의 계산 제곱수의 경우 완전제곱식을 이용하여 더 쉽게 계산 할 수 있다. 예) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 × 100 × 1 + 12 = 10000 + 200 + 1 = 10201
= 10000 + 200 + 1 = 10201 997 = (1000 − 3)2 = 10002 − 2 × 1000 × 3 + 32 = 1000000 − 6000 + 9 = 9940 = 1000000 − 6000 + 9 = 994009 2
수 × 수 인 경우 중에는 합차공식을 이용하여 더 쉽게 계산할 수 있는 것도 있다.
예) 102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 1002 − 22 = 10000 − 4 = 9996
식의 값 구하기 다항식의 값을 구하는 경우 x의 값을 주어진 식에 대입하거나, 식에 맞게 조건을 변형하여 식의 값을 구한다.
√ 3 일 때, x2 − 4x − 1 의 값을 구하여라. √ 2 x − 4x − 1 = (x2 − 4x + 4) − 5 = (x − 2)2 − 5 = ( 3)2 − 5 = 3 − 5 = −2 √ − 2)2 − 5 = ( 3)2 − 5 = 3 − 5 = −2 x2 − 4x − 1 = (x2 − 4x + 4) − 5 = (x 예) x = 2 +
x−2=
36
2 식의 계산
2.2 곱셈 공식의 활용
√ 3 : 조건 변형
예제) x =
1 √ 일 때, x2 − 4x − 2 의 값을 구하여라. 2− 3
풀이)
√ x2 − 4x − 2 = (x2 − 4x + 4) − 6 = (x − 2)2 − 6 = ( 3)2 − 6 = −3 √ √ √ √ 2+ 3 2+ 3 √ √ = x= √ 2 = 2 + 3, x − 2 = 3 (2 − 3)(2 + 3) 22 − 3
용어 정리 치환 식의 일부분을 다른 한 문자로 바꾸어 놓는 것
2 식의 계산
2.2 곱셈 공식의 활용
37
연습문제 [참고]
01 (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 를 전개하여라.
곱셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립하므로
(x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) 로 바꾸고 공통부분을 치환하여 전개해봐!!
02 (101 × 99) − (100 × 98) 을 곱셈공식을 이용하여 계산하면?
03 x + y = −5, xy = 3 일 때,
y x + 의 값은? x y
√ 1 , y = 5 + 2 일 때, x2 + y 2 을 구하여라. 5−2
04 x = √
05 x = 1 +
[참고]
x2 − 3x + 1 = 0 에서 양변을 x( = 0) 으로 1 나눠서 x + 의 값을 구해봐!! x
√ 3 일 때, 다음을 이용하여 x2 − 2x + 3 의 값을 구하여라.
06 x2 − 3x + 1 = 0 일 때, x2 + 5x +
5 1 + 의 값은? x x2
07 x + y = 4 , x2 + y 2 = 15 일 때, (x − y)2 의 값은?
38
2 식의 계산
2.2 곱셈 공식의 활용
39
인수분해
cbn
3
Flickr / NinJa999
2 식의 계산
주요 개념 이해 01 인수분해의 뜻을 안다. 02 공통인수를 알고 인수분해 할 수 있다.
어느 날 수학선생님께서 퀴즈를 내시고는 가장 먼저 답을 내는 학생에게 선물을 주겠다고 하셨다. 칠판에는 다음과 같이 써 있었다.
102 − 202 + 302 − 402 + ... + 902 − 1002
03 인수분해 공식을 알고, 이를 이용하여
지영이는 재빨리 계산기를 두드려 보았지만 계산기에서 답이 나오기도 전에 민지가 먼저 답을 맞혀서
인수분해 할 수 있다.
상품을 받았다. 어떻게 해서 민지는 계산기보다도 빨리 답을 구할 수 있었을까?
인수의 뜻 다항식의 곱셈 공식에 의해서
(x + 2)(x + 1) = x2 + 3x + 2 이다. 즉, 다항식 x2 + 3x + 2 은 (x + 2) 와 (x + 1) 의
(x x+2 2)(x x2 + +2)(x 3x ++2 1) + 3x++1) 2 = (x
곱으로 나타낼 수 있다. 이와 같이, 하나의 다항식을 둘 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 각 다항식을 처음 다항식의 인수라고 한다.
인수의 뜻 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것을 그 다항식을 인수분 해 한다고 한다.
x2 + 3x + 2
인수분해 전개
(x + 2) (x + 1)
다항식 ma + mb 에서 m 은 ma 의 인수이고 또, mb 의 인수이다. 이 때, 인 수 m 을 ma 와 mb 의 공통인수라고 한다. 다항식의 각 항에 공통인수가 있 을 때에는 분배법칙을 이용하여 공통인수로 묶어 인수분해 한다. 따라서 다항식
ma + mb 는 다음과 같이 인수분해 할 수 있다.
ma + mb = m(a + b)
40
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
인수분해 공식 앞에서 본 다항식의 곱셈 공식에서 좌변과 우변만 바꾸어 주면 인수분해 공식이 된다.
1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
2) a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
3) a2 − b2 = (a + b)(a − b)
4) x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
5) acx2 + (ab + cd)x + bd = (ax + b)(cx + d)
예) 1) y 2 + 4y + 4
= y 2 + 2 × y × 2 + 22 a2 + 2ab + b2 = (y + 2)2
2) y 2 − 8y + 16
= y 2 − 2 × y × 4 + 42
a2 − 2ab + b2 = (y − 4)2 3) (3y)2 − 52
a2 − b 2 = (3y + 5)(3y − 5)
2 식의 계산
2.3 인수분해
41
곱이 7인 두 수
합
1
7
8
-1
-7
-8
4) x2 + 8x + 7
x2 + (a + b)x + ab
2 다항식 x + 8x + 7 을 인수분해하기 위하여 인수분해 공식 (4) 와 비교하여
a + b = 8 ab = 7 인 두 수 a, b 를 찾으면 x2 + 8x + 7 = (x + a)(x + b) 와 같이 인수분해 할 수 있다. 곱이 7 인 두 수 중에서 합이 8 이 되는 수는 1 과 7 이므로 x2 + 8x + 7 을 인수분해 하면 x2 + 8x + 7 = (x + 1)(x + 7) 이 다.
5) 2x2 + 11x + 5
acx2 + (ad + bc)x + bd
다항식 2x2 + 11x + 5 을 인수분해하기 위하여 인수분해 공식 5)와 비교하면 ac = 2 , ad + bc = 11 , bd = 5 이다. 따라서, 이것을 만족하는 네 수
a, b, c, d 를 찾으면 2x2 + 11x + 5 = (ax + b)(cx + d) 와 같이 인수분해 할 수 있다. 이 때 보통 a, c 는 양수로 한다. 먼저, ac = 2 인 양의 정수 a, c 와 bd = 5 인 정수 b, d 를 구하여 아래와 같이 나열하여 ad + bc 의 값이 이 되는 네 수를 찾는다. 즉 다음과 같은 계산을 해 본다.
1)
2)
42
2 식의 계산
2.3 인수분해
3)
4)
여기서, a = 1, b = 3, c = 2, d = 1 을 얻는다. 따라서 2x2 + 7x + 3 을 인수분해 하면 2x2 + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1) 이다.
2 식의 계산
2.3 인수분해
43
연습문제 : 다음 식을 인수분해 하여라. 01 ax + 7a
02 m2 − 4m
03 x2 y − 5xy 2
04 a2 + 6a + 9
05 x2 − 30x + 225
06 4x2 + 12x + 9
07 9a2 − 12ab + 4a2
08 x2 − 4y 2
44
2 식의 계산
2.3 인수분해
09 4a2 − 25
10 64a2 − b2
11 x2 − 4x + 3
12 x2 + 7x + 12
13 x2 − 9xy + 14y 2
14 a2 + 8ab + 12b2
15 3x2 + 10x + 8
16 2a2 + 7a − 22
2 식의 계산
2.3 인수분해
45
17 ax2 − 4ax + 4a
18 5x2 − 2xy − 3y 2
19 3x2 + 11x + 6
20 4y 2 − 5y − 6
21 8b2 − 14b + 3
22 10a2 + 7a − 12
23 3x2 + 3x − 36
24 6x2 − 4xy − 10y 2
25 3x2 − 7xy + 2y 2
46
2 식의 계산
2.3 인수분해
47
인수분해의 활용
Flickr / jsteph
2 식의 계산
cbnd
4
주요 개념 이해
윤진이와 윤서는 휴일을 맞아 부모님과 공원에 놀러 갔다. 공원에서는 이번에 새로 들여올 호랑이를
01 인수분해를 활용하여 여러 가지 문제를
위해 우리를 만들고 있었다. 공원관계자는 그 우리의 크기가 한 변의 길이가
해결할 수 있다.
고 했다. 한편 호랑이가 있는 구역의 크기는 한 변이
인 정사각형이라
인 정사각형이라고 한다. 우리를 제외한
다른 부분에는 잔디를 심는다고 하는데, 호랑이가 있는 구역의 잔디밭의 크기는 과연 얼마일까?
공통인수 묶어내기 모든 항에 공통으로 있는 인수가 있을 때 먼저 묶어내 주면 편하다. 예제) ax2 + 6ax + 5a 풀이) 모든 항에 a 가 인수로 있으므로 이를 묶어내면 a(x2 + 6x + 5) 이다. 이제 a 를 뺀 나머지 부분을 인수분해 하면 x2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1) 이 다. 따라서 원래 식을 인수분해 한 결과는 a(x + 5)(x + 1) 이다.
치환을 이용한 인수분해 반복하여 나오는 것을 다른 문자로 치환하여 인수분해 하고 다시 원래 값을 대입 하면 계산이 간단해질 때가 있다. 예제) (x + 3)2 − 6(x + 3) + 9 풀이)
X = x + 3 로 치환하면 원래 식은 X 2 − 6X + 9 이고, 이것을 인수분해하면 (X − 3)2 이다. 다시 X = x + 3 를 대입하면, 원래 식을 인수분해 한 결과는 (x + 3 − 3)2 = (x)2 이다.
48
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
완전제곱식이 될 조건 (ax)2 ± 2(ax)(by) + (by)2 = (ax ± by)2 임을 이용하여 어떤 빈칸이 있는
식이 완전제곱식이 되려면 빈칸에 무엇이 들어가야 할 지를 알 수 있다.
예제) 4x2 + 16xy + 가 완전제곱식이 되도록 안에 알맞은 값을 써 넣어 라.
풀이) 원래 식을 (2x)2 + 2(2x)(4y) + 로 쓸 수 있다.
위 공식에 따라 = (4y)2 이어야 하고, 이 식은 (2x + 4y)2 의 완전제곱식 꼴 로 인수분해 된다. 따라서, = 16y 2 이다.
유리수, 실수 범위에서의 인수분해 주어진 식의 계수가 정수의 곱으로 잘 쪼개지지 않을 때는 유리수 또는 실수 범위 에서 인수분해를 해준다. 이때에도 같은 인수분해 공식을 이용한다. 예) 유리수의 범위에서 인수분해
25x2 −
1 1 1 1 = (5x)2 − ( )2 = (5x + )(5x − ) 4 2 2 2
예) 실수의 범위에서 인수분해
√ √ √ 16x2 − 3 = (4x)2 − ( 3)2 = (4x + 3)(4x − 3)
인수분해를 이용한 수의 계산 a2 − b2 , ab ± ac 인 꼴의 수를 계산할 때, 인수분해 공식을 이용하면 편리
하다.
예) a2 − b2 = (a + b)(a − b) 형태
432 − 72 = (43 + 7)(43 − 7) = 50 × 36 = 1800 예) ab ± ac = a(b ± c) 형태
15 × 67 − 15 × 64 = 15(67 − 64) = 15 × 3 = 45
2 식의 계산
2.4 인수분해의 활용
49
식의 값 식의 값을 구할 때, 주어진 식에 수를 직접 대입하는 것보다 주어진 식을 인수분해 한 다음 대입하는 것이 편리한 경우가 있다. 예제) x = 2 −
√ 3 일 때, x2 − 4x + 4 의 값을 구하여라.
풀이) 계산해야 하는 식을 인수분해 하면 x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 이다. 이때, x = 2 −
50
2 식의 계산
√ √ 3 이므로 이것을 대입하면 구하려는 값은 ( 3)2 = 3 이다.
2.4 인수분해의 활용
연습문제 01 다음 식이 완전제곱식이 되도록 안에 알맞은 값을 써 넣어라. 1) x2 + 8x +
2) x2 + + 36y 2
3) 4x2 + 20xy +
4) 25x2 + + 16y 2
02 다음 식을 유리수의 범위에서 인수분해 하여라. 1) x2 − 1
81
2) 9y 2 − 1
4
2 식의 계산
2.4 인수분해의 활용
51
03 다음 식을 실수의 범위에서 인수분해 하여라. 1) x2 − 6
2) 3y 2 − 2
04 인수분해를 이용하여 다음 식의 값을 구하여라. 1) 642 − 362
2) 15 × 67 − 15 × 64
3)
√ 532 − 472
05 다음을 구하여라. 1) x + y = 3 +
2) x = 4 +
52
2 식의 계산
√ √ 3 , x − y = 3 일 때, x2 − 3x − y 2 + 3y 의 값
√ √ 5 , y = 4 − 5 일 때, x2 y + xy 2 의 값
2.4 인수분해의 활용
[참고] 알아두면 좋은 곱셈 공식의 변형
3) x + y =
√ 3 , xy = 1 일 때, x + y 의 값 y x
4) x = 3 +
√ 7 일 때, x2 − 6x + 5 의 값
x2 + y 2 = (x + y)2 − 2xy
= (x − y)2 + 2xy
(x + y) = (x − y)2 + 4xy 2
(x − y)2 = (x + y)2 − 4xy
2 식의 계산
2.4 인수분해의 활용
53
54
3
이차방정식 3.1 이차방정식 3.2 근의 공식 3.3 근과 계수와의 관계 3.4 이차방정식의 활용
이차방정식
Flickr / flowerguy
3. 이차방정식
cbnd
1
주요 개념 이해
노을이는 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 14 m , 10 m 인 직사각형 모양의 땅에
01 이차방정식의 개념을 알고
정사각형 모양의 화단을 만들려고 한다. 화단을 만들고 남은 땅의 넓이가 104 m2 일 때, 화단의 한 변의 길이를 구하여라.
방정식을 풀 수 있다. 02 인수분해를 이용해 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
이차방정식 방정식이란 변수를 포함하는 등식에서, 변수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 식을 말하며 x 의 차수에 따라 이름이 달라진다. 이차방정식이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 말하며 이차방정식의 일반형은 ax2 + bx + c = 0 ( 단, a = 0 a, b, c 는 상수)이다. 예) x2 − 2x + 1 = 0 (이차방정식) 3x2 + 3x = 2x2 − 2 : 각 항을 좌변으로 넘기면 x2 + 3x + 2 = 0 이 되므로 이차방정식이 맞다.
(x − 3)2 + 5 = x2 좌변을 전개하면 (x2 − 6x + 9) + 5 = x2 이 되고 우변을 이항하면 (x2 − 6x + 14) − x2 = −6x + 14 = 0 이므로 이차방정식이 아니라 일차방정식이다.
이차방정식의 해(근) 이차방정식( ax2 + bx + c = 0 )을 참이 되게 하는 x 의 값을 이차방정식의 해(근)라고 하며 이차방정식의 해를 모두 구하는 과정을 “이차방정식을 푼다”라고 한다. 따라서 이차방정식이 x = a 를 근으로 갖는다는 것은 , x = a 일 때 방정식을 만족한다는 (등식이 참이 된다는) 뜻이다.
56
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
예제) x 가 집합{ −2, −1, 0, 1, 2 }의 원소일 때, x2 + 3x + 2 = 0 의 해를 구 하여라. 풀이)
x ={ −2, −1, 0, 1, 2 } 이므로 하나씩 대입해보자. 2 x = −2 (−2) + 3(−2) + 2 = 4 − 6 + 2 = 0 2 x = −1 (−1) + 3(−1) + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 x=0 x=1 x=2
(0)2 + 3(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 (1)2 + 3(1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 (2)2 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12
참 참 거짓
이차방정식을
거짓
푼다.
거짓
위와 같은 결과에 의해서 x = −2 또는 x = −1
이차방정식의 해 또는 근
인수분해를 이용해 이차방정식을 풀어보자 이차방정식의 좌변을 인수분해 하여 (ax + b)(cx + d) = 0 (단, a, c = 0 b, d 는 상수) 의 모양으로 바꿀 수 있다. xy = 0 일 때 x = 0 또는 y = 0 이므로
(ax + b)(cx + d) = 0 또는 ax + b = 0 cx + d = 0 d 이다. x=− c
x=−
b 또는 a
예제) x 가 집합 { −2, −1, 0, 1, 2 }의 원소일 때, x2 + 3x + 2 = 0 의 해를 구하여라. 풀이)
x2 + 3x + 2 = 0 을 인수분해를 이용해 풀어보자. x2 + 3x + 2 = 0 +1 1x 따라서 x + 1 = 0 또는 x + 2 = 0 이다. x +2 2x 그러므로 x = −1 또는 x = −2 이다. x 3x 마지막으로 x 의 집합이 { −2, −1, 0, 1, 2 } 이므로 x = −1 또는 x = −2 이차방정식의 해 또는 근
제곱수의 중근 만들기 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 에서 두 근이 중복되어 같은 근을 갖는 것을 중근이라고 말한다. 이차방정식이 완전 제곱식으로 인수분해가 되어 a(x + b )2
2
3 이차방정식
3.1 이차방정식
57
의 꼴이 되면 중근을 가진다. 예를 들어, x2 + bx + c = 0 인 경우에는 완전 제곱꼴로 고치면 (x + b )2 = 0 이며, 따라서 중근을 가질 조건은 ( b )2 = c
2
이다.
2
예제) 2x2 + 12x + 18 = 0 의 해를 인수분해를 이용하여 구해보자. 풀이)
2x2 + 12x + 18 = 0 2 로 묶는다. 2 중요 포인트!!! 2(x + 6x + 9) = 0 x 3x +3 x 3x +3 6x 2 2(x + 3) = 0 따라서 x + 3 = 0 이 되므로 x = −3 이다. 중근
제곱근 이용하기 인수분해가 안되는 이차방정식의 경우 제곱근을 이용하여 문제를 풀 수 있다.
√ x2 = q x = ± q √ (x − p)2 = q x − p = ± q
x=p±
√ q
예제) 이차방정식 (x + 3)2 − 16 = 0 을 풀어라 풀이)
(x + 3)2 = 16
x + 3 = ±4
x = −3 ± 4
x = −7 또는
완전 제곱식 이용하기 인수분해만으로 힘든 경우 중근 만들기와 제곱근 만드는 방법을 혼합하여 문제를 풀 수 있다.
58
3 이차방정식
3.1 이차방정식
예제) 이차방정식 3x2 + 6x + 2 = 0 을 풀어라 풀이)
3x2 + 6x + 2 = 0 x2 + 2x = −
2 3
2 x2 + 2x + 1 = − + 1 3 1 (x + 1)2 = 3 √ 3 x = −1 ± 3
양변 ÷3
2 2
양변 +( )2
완전제곱식
제곱근 풀이법
용어 정리 중근 두 근이 서로 중복되어 서로 같은 해 또는 근
3 이차방정식
3.1 이차방정식
59
연습문제 01 다음 이차방정식을 완전 제곱식을 이용하여 풀어라. (1) x2 + 12x + 4 = 0 (2) x2 − 3x − 1 = 0 (3) 2x2 + 4x − 1 = 0 2 (4) x −
1 x+3=0 2
(5) 4x2 − 2x + 1 = 0
02 x = 2 가 이차방정식 2x2 − 5x + a = 0 의 해일 때, a의 값은?
03 (x − 4)(x + 1) = 0 과 (x + 4)(x + 1) = 0 을 동시에 만족하는 x 의 값을 구하여라.
04 (x + 2)(x − 3) + 7x = 1 의 두 근의 합은?
05 x(x + 9) = −14 를 풀어라.
06 x2 − 6x + m = 0 이 중근을 가질 때, m 의 값은?
07 이차방정식 x2 − 8x + 2 + p = 0 이 중근을 가질 때, p 의 값과 중근의 값은?
60
3 이차방정식
3.1 이차방정식
08 이차방정식 2(x − 2)2 = 24 의 두 근을 A, B(A > B) 라고 할 때, A − B 의 값은?
09 이차방정식 2x2 − 4x + 3 = 0 을 (x + A)2 = B 의 꼴로 고칠 때, A + B 의 값은?
10 이차방정식 x2 − 6x = A 의 해가 x = B ± 값은?
3 이차방정식
3.1 이차방정식
√
10 이라 할 때, A + B 의
61
근의 공식
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3 이차방정식
cbnd
2
주요 개념 이해 01 이차방정식의 근의 공식을 이용해 이차
“우와 파리의 개선문이다!” “진짜 멋있다. 저 건물이 황금비율로 지어진 대표적인 건축물이라며?”
방정식의 해를 구할 수 있다.
“황금비율? 그게 뭔데?” “사람들이 가장 아름답다고 생각하는 비율이래. 근의 공식을 이용해서도
02 이차방정식의 근의 공식의 유도 과정을
황금비율을 알아 낼 수 있다고 하더라.” “우와. 그럼 개선문은 근의 공식을 이용하여 만들어진
이해하고 응용할 수 있다.
건물이야?” “그건 자세히 모르겠고, 우선 근의 공식부터 공부하면서 선생님께 물어보자.” “그래, 좋아.”
이차방정식의 근의 공식 x 에 대한 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (
, a, b, c 는 상수)의
근의 공식은
x=
−b ±
√ b2 − 4ac (단, b2 − 4ac ≥ 0 ) 2a
예) 2x2 − 3x + 1 = 0 의 근은
√ 3± 1 = 4 이므로, x = 1 또는 x =
1 이다. 2
이차방정식의 근의 유도 과정 이차방정식의 일반형 ax2 + bx + c = 0 을 참조하여, 다음 예제 이차방정식 2x2 + 7x + 1 = 0 의 근을 유도해보자. (1) 먼저 양변을 x2 의 계수로 나눈다. b c 2
x + x+ =0 a a
(2) 상수항을 우변으로 이항한다.
b c x2 + x = − a a 62
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
7 1 x2 + x + = 0 2 2
(3) x의 계수의 절반 크기를 가지는 값을 제곱하여, 그 값을 양변에 더한다.
1 7 7 7 b b b c x2 + x + ( )2 = − + ( )2 x2 + x + ( )2 = − + ( )2 2 4 2 4 a 2a a 2a (4) 좌변은 완전 제곱식으로 나타내고, 우변은 정리한다.
1 49 7 (x + )2 = − + 4 2 16 7 49 − 8 (x + )2 = 4 16
b 2 b2 c ) =− + 2 2a a 4a b 2 b2 − 4ac (x + ) = 2a 4a2 (x +
(5) 제곱근을 구한다
√ b b2 − 4ac (x + ) = ± 2a 2a
√ 7 41 (x + ) = ± 4 4
(6) 근을 구한다.
x=
−b ±
√ b2 − 4ac 2a
7 x= ± 4
√ 41 4
복잡한 이차방정식의 풀이 (1) 계수가 분수나 소수이면 양변에 적당한 수를 곱하여 정수로 고친다. (2) 괄호가 있을 때에는 전개하여 ax2 + bx + c = 0 꼴로 고친다. (3) 공통으로 나오는 부분을 A 로 치환 aA2 + bA + c = 0 꼴로 고친다. 예) 치환법을 이용한 이차방정식의 풀이방법
(x − 1)2 + 4(x − 1) + 3 = 0 A2 + 4A + 3 = 0
공통부분인 (x − 1) 을 A 로 치환한다.
A 에 대한 이차방정식을 푼다. (A + 3)(A + 1) = 0
⇒ A = −3 또는 A = −1 x − 1 = −3 또는 x − 1 = −1
A 에 (x − 1) 을 다시 대입 한다.
3 이차방정식
3.2 근의 공식
63
이차방정식의 근의 개수 이차방정식의 ax2 + bx + c = 0(a = 0) 의 근의 개수는 근의 공식
√ b2 − 4ac 에서 b2 − 4ac 의 부호에 의해 결정된다. 2a √ −b ± b2 − 4ac (1) b2 − 4ac > 0 이면 2개의 근을 갖는다. x= 2a x=
−b ±
b 2a
(2) b2 − 4ac = 0 이면 1개의 근을 갖는다.
x=−
(3) b2 − 4ac < 0 이면 근을 구할 수 없다.
근호 안은 음수가 올 수 없다.
근의 공식 x 에 대한 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a = 0) ( a, b, c 는 상수) 일 때,
x=
64
3 이차방정식
−b ±
3.2 근의 공식
√ b2 − 4ac (단, b2 − 4ac ≥ 0 ) 2a
연습문제 01 근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라. (1) x2 − 4x + 3 = 0 (2) x2 + 5x + 6 = 0 (3) x2 + 7x + 1 = 0 (4) x2 + 5x + 2 = 0 (5) x2 − 9x − 5 = 0
02 근의 공식을 이용하여 다음 이차방정식을 풀어라. (1) 2x2 + 5x + 1 = 0 (2) 5x2 − 6x − 2 = 0 (3) 2x2 + 7x + 4 = 0 (4)
1 2 1 1 x − x= 5 3 2
(5) 0.3x2 + 0.5x + 0.2 = 0
3 이차방정식
3.2 근의 공식
65
근과 계수와의 관계
Flickr / Wonderlane
3. 이차방정식
cbrs
3
주요 개념 이해 01 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이해한다. 02 주어진 조건에 맞는 이차방정식을 작성할 수 있다.
“자, 오늘은 지난 시간에 이어서 이차방정식에 관한 문제풀이를 계속 해보자.” “선생님, 지난시간에 배운 근의 공식이 너무 복잡하고 어려워요. 좀 더 쉽게 이차방정식을 풀 수 있는 방법이 없을까요?” “음, 오늘은 그럼 근의 공식을 이용하지 않고도 근의 정보를 구할 수 있는 방법을 알아보자.” “선생님, 그럼 어렵게 근의 공식 구하지 않고 더 빠르고 쉽게 문제 풀 수 있겠네요? 설명해주세요~”
이차방정식의 근과 계수와의 관계 지금까지 이차방정식의 두 근을 구하는 방법을 공부하였다. 이제는 이차방정식의 두 근의 합, 곱을 구하는 방법을 배워보도록 하자. 이차방정식 ax2 + bx + c = 0(a = 0) 의 두 근을 α , β 라 할 때, 근의 공식을 √ √ −b − b2 − 4ac −b + b2 − 4ac 로 사용하여 근을 구하여 보면
α=
2a
β=
2a
바꾸어 표현 할 수 있다. 여기서 두 근의 합, 즉 α + β 를 구할 수 있다.
√ √ b2 − 4ac −b − b2 − 4ac + 2a 2a √ √ 2 2 −2b b −b + b − 4ac − b − b − 4ac = =− = 2a a 2a 또 두 근의 곱 αβ 도 구할 수 있다. √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac b2 − (b2 − 4ac) × αβ = = 2a 2a 4a2 c 4ac = 2 = a 4a α+β =
−b +
예제) x2 + 3x + 5 = 0 의 두 근의 합과 곱을 구하여보자.
66
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
풀이) 우선 두 근을 α 와 β 로 두자. 기본적으로 이차방정식이 ax2 + bx + c = 0(a = 0) 이런 모양이라고 할 때, 위의 식에서 a = 1, b = 3, c = 5 가 된다. 위에서 배운 근과 계수와의 관계를
3 b = − = −3 이다. αβ 도 근과 a 1 계수와 의 관계를 이용하여 문제를 풀어보면, αβ = c = 5 = 5 이다. a 1 이용해서 문제를 풀면,
α+β =−
이차방정식 구하기 1) 근과 계수와의 관계를 이용하여 이차방정식 구하기 두 근이 α , β 이고 x2 의 계수가 a 인 이차방정식은 a(x − α)(x − β) = 0 a(x2 − (α + β)x + αβ) 근과 계수와의 관계를 통하여 식을 세울 수 있다.
예제) 두 근이 −3 , 2 이고 이차항의 계수가 3 인 이차방정식을 구하여라. 풀이) 위에서 배운 대로 해보면 a ,즉 x2 의 계수는 3 이고 α = −3, β = 2 이다. 따라서 3(x − (−3))(x − 2) = 0 가 나온다. 정리하면 3(x2 + x − 6) = 0 3x2 + 3x + 18 = 0 이 답이 된다.
2) 켤레근을 이용하여 이차방정식 구하기
√
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 에서 계수가 유리수일 때 한 근이 p − q m 이 √ 면 다른 한 근은 p + q m 이다. 이를 켤레근 이라고 한다.
예제) x2 + ax + b = 0 의 한 근이 1 + 풀이) 켤레 근의 성질을 이용하면 한 근이 1 +
√ 2 일 때, 실수 a, b 의 값을 구하여라.
√ √ 2 이면 다른 근은 1 − 2 이다. 이 문
제는 또한 켤레 근의 성질과 근과 계수와의 관계를 같이 적용하여 문제를 풀어도 되고 두 근을 알 때 이차방정식 구하는 방법으로 해서 문제를 풀어야 한다. 한 근
√ √ 2 이면 다른 근은 1 − 2 일 때 두 근의 합은 2 이고 두 근의 곱은 −1 이 다. 따라서 x2 − 2x − 1 = 0 이라는 식이 나온다. 답은 a = −2 이고 b = −1 1+
이다. 3 이차방정식
3.3 근과 계수와의 관계
67
연습문제 01 x2 + 3x + 1 = 0 의 두 근의 합과 곱을 구하여라.
02 7x2 − 5x + 3 = 0 의 두 근의 합과 곱을 구하여라.
03 x2 + ax + b = 0 의 한 근이 1 −
√ 5 일 때, 실수 a, b 의 값을 구하여라.
04 두 근이 −5, −6 일 때 이차방정식을 구하여라.
05 두 근의 합이 −3 이고 곱이 2 일 때 이차방정식을 구하여라.
68
3 이차방정식
3.3 근과 계수와의 관계
69
4
이차방정식의 활용
3. 이차방정식
주요 개념 이해
희진이 집에 친구들이 놀러 와서 사탕을 나누어 먹었다. 사탕이 21 개 있었는데 모두 똑같이 나누어
01 문제를 읽고 방정식을 세울 수 있다.
가지니 각자 가진 사탕수가 사람수보다 4 만큼 적었다. 놀러 온 친구들은 몇 명이었을까?
02 이차방정식을 활용하여 여러 가지
(1) 놀러 온 친구들을
문제를 해결 할 수 있다.
x 명이라고 할 때, x 에 대한 이차방정식을 세워보자.
(2) 이차방정식을 풀어 친구들의 수를 구해보자.
이차방정식을 이용한 문제 해결 과정 [참고]
1. 문제 해결을 위하여 구하고자 하는 것을 미지수로 정한다.
문제의 뜻에 맞는 것만 답으로 택하는 과정에
2. 문제 상황에 맞게 방정식을 세운다.
서 길이 >
0 , 시간 > 0 의 조건을 잘
3. 방정식을 풀어 근을 구한다. 4. 구한 근 중에서 문제의 조건에 맞는 것을 택하여 문제를 해결한다.
기억하자.
예제) 두 변의 길이의 비가 5 : 2 이고 넓이가 90m2 인 직사각형 모양의 꽃밭을 만들 경우 꽃밭의 둘레의 길이를 구하여라. 풀이) (1) 미지수 정하기 : 직사각형의 가로의 길이를 5x , 세로의 길이를 2x 라 하자. (2) 계획 세우기 : 직사각형의 넓이는 (5x)(2x)m2 (3) 방정식 세우기 : (5x)(2x) = 10x2 = 90 (4) 방정식 풀기 : 10x2 − 90 = 0
x2 − 9 = 0 (x − 3)(x + 3) = 0
양변 합차공식
∴ x = −3 or x = 3 (5) 확인하기 : 5x , 2x 는 직사각형의 가로, 세로 길이이므로 음수가 될 수 없기 때문에 x = −3 이다. (6) 문제 해결 : 따라서, 직사각형의 가로 길이는 15m , 세로 길이는 6m 이다.
70
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
예제) 배나사 공원에는 노래하는 분수가 있는데, 이 분수에서 뿜어져 나오는 물의 x 초 후의 높이는 (80x − 8x2 )cm 라고 한다. 뿜어 올라온 물이 처음으로 128cm 의 높이에 도달하는 시간을 구하여라. 풀이) (1) 미지수 정하기 : 구하는 시간을 x 초라 하자. (2) 계획 세우기 : 분수에서 뿜어 올라온 물의 x 초 후의 높이는 (80x − 8x2 )cm (3) 방정식 세우기 : x 초 후의 높이는 128cm 이므로 방정식을 세우면
(80x − 8x2 ) = 128
(4) 방정식 풀기 : 위의 방정식을 좌변으로 이항하여 정리하면
−8x2 + 80x − 128 = 0 양변 ÷(−8) x2 − 10x + 16 = 0 x2 − 10x + 16 = 0 x −2 −2x x −8 −8x −10x (x − 2)(x − 8) = 0 ∴ x = 2 or x = 8 (5) 확인하기 : 뿜어 올라간 물이 처음으로 128cm 에 도달하는 시간이므로 x = 2 이다. (6) 문제 해결 : 따라서, 처음으로 높이 128cm 에 도달하는 시간은 2 초이다.
도형의 문제 이차방정식으로 해결하기 예제) 가로와 세로의 길이가 각각 8m , 5m 이고 일정한 폭의 가장자리에 무늬 가 그려진 직사각형 모양의 양탄자가 있다. 가장자리 안쪽의 직사각형의 넓이가
18m2 일 때, 가장자리의 폭은 얼마인가? 풀이) 가장자리의 폭을 xm 라 하면 안쪽의 직사각형의 가로와 세로의 길이는 각각 (8 − 2x)m, (5 − 2x)m이므로 직사각형의 넓이는 (8 − 2x)(5 − 2x) = 18
4x2 − 26x + 40 = 18 4x2 − 26x + 22 = 0 양변을 2 로 나누고 2x2 − 13x + 11 = 0 을 인수분해 하면 2x −11 −11x x −1 −2x −13x ∴ x = 1 또는 (2x − 11)(x − 1) = 0 이 때, 8 − 2x , 5 − 2x 는 직사각형의 가로, 세로의 길이이므로 0 보다 커야 5 >x 한다. 8 − 2x > 0 8 > 2x 4 > x 과 5 − 2x > 0 5 > 2x 2 을 동시에 만족해야 하므로
x<
5 2
범위 안에 있어야 한다.
는 이 범위 밖
에 있으므로 근이 될 수 없다. 따라서, 가장자리의 폭은 1m 이다. 3 이차방정식
3.4 이차방정식의 활용
71
수와 관련된 문제 이차방정식으로 해결하기 예제) 연속하는 두 자연수의 제곱의 합이 113 일 때, 이 두 자연수를 구하여라. 풀이) 연속하는 두 자연수를
, x + 1 이라고 하면 x2 + (x + 1)2 = 113
2x2 + 2x − 112 = 0 x2 + x − 56 = 0 (x − 7)(x + 8) = 0
양변 인수분해
∴ x = −8 또는 x = 7
그런데 x 는 자연수, 즉 x > 0 이므로 구하는 값은 x = 7 이다. 따라서, 구하는 두 자연수는 7 과 8 이다.
예제) x 에 대한 이차방정식 3x2 + ax + 6 = 0 의 한 근이 2 일 때, 다음을 구하여라. (1) a 의 값 (2) 나머지 한 근 풀이) (1) x = 2 를 이차방정식 3x2 + ax + 6 = 0 에 대입하면 3(2)2 + 2a + 6 = 0 위 식을 정리하면 2a = −18 이고 a = −9 (2) a = −9 이므로 처음의 방정식은 3x2 − 9x + 6 = 0
x2 − 3x + 2 = 0 (x − 1)(x − 2) = 0
∴ x = 1 또는 x = 2 따라서, 나머지 한 근은 x = 1 이다.
72
3 이차방정식
3.4 이차방정식의 활용
양변 ÷3
인수분해
연습문제 [참고] 타일의 짧은 변의 길이를 긴 변의 길이를
x 라 하고
x 의 식으로 나타내봐!!
01 모양과 크기가 같은 직사각형 모양의 타일 6 개를 넓이가 640cm2 인 직사각형 속에 빈틈없이 늘어놓았더니 오른쪽 그림과 같이 남는 부분이 생겼다. 타일의 짧은 변의 길이를 구하여라.
8cm
02 탐험대가 동굴을 탐험하다가 48 개의 보물을 발견하고 탐험 대원들끼리 똑같이 나누어 가졌더니 한 사람이 가진 보물의 수가 탐험 대원의 수보다 2 개가 적었다. 탐험대원의 수는 모두 몇 명인지 구하여라.
03 가로, 세로의 길이가 각각 24cm , 20cm 인 직사각형의 가로의 길이는 매초 1cm 씩 줄어들고, 세로의 길이는 매초 2cm 씩 늘어난다고 한다. 이 때, 이 직사 각형의 넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같아지는 것은 몇 초 후인지 구하여라.
04 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 각각 11cm , 8cm 인 직사각형 모양의 종이의 네 귀퉁이에서 크기가 같은 정사각형을 잘라내어 상자를 만들려고 한다. 상자의 밑넓이가 28cm2 가 되도록 하려면 잘라내는 정사각형의 한 변의 길이를 몇 cm 로 해야 하는가?
3 이차방정식
3.4 이차방정식의 활용
73
05 어떤 수를 3 배하여 제곱해야 하는데, 계산의 순서를 잘못하여 제곱한 다음 3 배를 하였더니 48 이 되었다. 계산을 옳게 하였을 때 그 결과는?
06 두 자리의 자연수가 있다. 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합은 11 이 고, 곱은 처음 수 보다 26 이 작다. 이 자연수를 구하여라.
07 어떤 원의 반지름의 길이를 2cm 늘였더니 처음 원의 넓이의 2 배가 되었다. 처 음 원의 반지름의 길이는?
08 연속하는 두 자연수 중 작은 수의 제곱의 2 배는 큰 수의 제곱보다 2 만큼 크 다고 할 때, 큰 수는?
09 가로가 10m , 세로가 15m 인 직사각형 모양의 땅이 있다. 가로, 세로의 길 1 이를 똑같이 줄여서 처음 넓이의 이 되도록 하려면 가로, 세로의 길이를 몇 m 씩 줄이면 되겠는가?
3
10 그림과 같이 한 변의 길이가 20m 인 정사각형 모양의 땅에 폭이 xm 인 길을 내었더니 색칠된 부분의 넓이가 289m2가 되었다. 이 때, x 의 값은?
74
3 이차방정식
3.4 이차방정식의 활용
4
이차함수 4.1 이차함수와
y = ax2 의 그래프
4.2 이차함수의 그래프 4.3 이차함수 그래프를 그려봅시다 4.4 이차함수 구하기 4.5 이차함수의 활용
이차함수와 y = ax2 의 그래프
cbd
1
Flickr / wEnDaLicious
4 이차함수 희진이는 피자가게를 부업으로 운영하기로 했다. 피자 가격을 피자 넓이에 비례하게 책정하기로 하
주요 개념 이해 01 이차함수의 뜻을 안다.
고 반지름이 30cm 인 피자의 가격을 만원으로 정하였다. 반지름과 피자 가격 사이에는 어떤 함수 관
02 y = ax2 의 그래프를 그릴 줄 안다.
계가 존재할까?
이차함수 함수 : 정비례, 반비례의 경우와 같이 두 변수
x, y 에 대하여 x 의 값이 결정되면 이에 따라 y 의 값이 하나로 결정될 때, y 를 x 의 함수라고 한다. 정의역 : 함수
y = f (x) 에서 x 가
y = f (x) 에서 일차함수와 다르게 y 가 x 에 관한 이차식 y = ax2 + bx + c(a = 0) 로 표현될 때, y 를 x 에 관한 이차함수라 한다. 예제) 다음 중 이차함수인 것을 골라보자. ㄱ. y = −2
변하는 범위의 집합 치역 : 함수
ㄷ. y = (x − 2)(x − 1) − x2 + 3
y = f (x) 에서 함숫값의
ㅁ. y = 0.5x2 + 4
집합 공역 : 치역을 포함하는 적당한 수들의 집합
ㄴ. y = (x − 1)(x − 3) ㄹ.
y=
1 x
ㅂ. y = −4x(x2 + x + 1)
풀이) 괄호로 묶여있는 경우, 전개시켜 x 에 관한 이차항이 있고, 그 항이 최고차항 임을 확인을 한다. ㄴ의 경우, 전개하면 y = x2 − 4x + 3 으로 이차항이 있으며 그 항 이 최고차항이다. 하지만 ㄷ의 경우 전개하면 y = x2 − 3x + 2 − x2 + 3 -> y = −3x + 5 이므로 이차함수가 아니다. 함수식에 관한 이차항이 있더라도 그
보다 더 높은 차수의 항이 있을 경우, 이차함수가 아니다. ㅂ의 경우가 이 경우에 해당한다. 위의 예 중 이차함수인 것은 ㄴ, ㅁ 두 경우 뿐임을 확인한다.
y = x2 의 01
76
배움을 나누는 사람들
성질
아래로 볼록한 포물선이다.
02
y 축에 대하여 대칭이다.
03
원점 (0, 0) 을 꼭지점으로 한다.
04
y =y −x = x2의 그래프와 x 축에 대하여 대칭이다. 중학교 3학년 수학
y 4 3
y = x2
2 1
x -4
-3
-2
O
-1
1
2
3
4
-1
y y== −x x2
-2 -3 -4
y = x2 의 01 02 03
그래프 개형 그리기
정의역을 확인한다. (보통 실수 전체 집합이 정의역이다.) 꼭지점 (0, 0) 의 x 좌표 0 이 정의역에 포함되는지 확인한다. 0 을 중심으로 좌우로 계산하기 쉬운 정수(ex −2, −1, 0, 1, 2 )를 선택하여 그
함수값을 계산한다. 함수값
04
-X
Y
-2
4
-1
1
-0
0
-1
1
-2
4
그래프 상에 점을 찍고, 이어 포물선 모양을 만든다.
y
y
4
4
3
3
2
2 1
1
x -3
4 이차함수
-2
-1
O
1
2
4.1 이차함수와 y = ax2 의 그래프
3
x -3
-2
-1
O
1
2
3
77
y = ax2 의 01
그래프의 성질
원점 (0, 0) 을 꼭지점으로 한다.
03
y 축에 대해 대칭이다. a 의 부호에 따라 포물선이 아래로 볼록한 모양, 위로 볼록한 모양일 수 있다.
04
1) a > 0 이면 아래로 볼록 2) a < 0 이면 위로 볼록 a 의 절대값의 크기에 따라 그래프의 폭이 결정된다.
02
y = ax2 의 그래프는 y = −ax2 를 x 축 대칭 시킨 것과 같다.
1) a 의 절대값이 커질수록 y 축에 가까워진다. 2) a 의 절대값이 작아질수록 y 축에서 멀어진다. ( x 축에 가까워진다.)
y
x2 2 +y ax =x +2 1 y = 0.5x2 + 4 y f (x)y = 2x
4 3
2
2
1.5
1
1
x -3
-2
O
-1
1
2
3
-1
x -2
-1.5
O
-1
1
1.5
2
-0.5
-1.5 -2
y = −2x2 y y== −x x2
78
4 이차함수
4.1 이차함수와 y = ax2 의 그래프
2 2 y y== −2x 0.5x +4
연습문제 01 이차함수 f (x) = 2x2 + ax + 1 에서 f (−2) = 5 일 때, a 의 값은?
02 이차함수 y = ax2 의 그래프가 점 (−1, 3) 을 지날 때, a 의 값은?
03 다음 이차함수의 그래프 중 폭이 가장 좁은 것은? (1) y =
3 2 x 4
(2) y = x2 (3) y = −2x2 (4) y = −5x2 (5) y = 3x2
04 다음은 이차함수 y = 3x2 의 그래프에 대한 설명이다. 옳은 것을 모두 고르면? (1) 꼭지점의 좌표는 (3, 0) 이다. (2) 축의 방정식은 x = 0 이다. (3) 이차함수 y = −3x2 의 그래프와 y 축에 대하여 대칭이다. (4) 점 (1, 3) 을 지난다. (5) y 축을 축으로 하고 위로 볼록한 포물선이다.
4 이차함수
4.1 이차함수와 y = ax2 의 그래프
79
이차함수의 그래프
4 이차함수
cbnd
2
장기를 잘 두는 동이와 도희는 오늘도 배나사 수업이 끝나고 함께 장기를 하였다. 한참 재미나게 장기
주요 개념 이해 01 y = a(x − p) + q 꼴의 이차함수 그 2
래프를 이해하고 이를 그릴 수 있다.
를 두던 중 지나가던 민균이가 한 마디 하였다. “에이~ 졸(卒)을 왼쪽으로 한 칸 움직였어야지!” 장기 말이 장기 판 위에서 이동하는 일이 좌표평면 위에 놓인 점에게도 일어나면 어떻게 될까?
02 그래프의 평행이동을 이해한다.
y = ax2 + q 꼴의 x
222 y = 2x2 y+ yy= = 1=2x 2x 2x + ++111
-2
8
8+1=9
-1
2
2+1=3
0
0
0+1=1
1
2
2+1=3
2
8
8+1=9
이차함수 그래프
y = ax2 + q 의 q 는 y = ax2 꼴의 그래프가 “위, 아래로 얼마나 움직였는 가” 를 결정해준다. 즉, y = ax2 + q 의 그래프는 y = ax2 를 y 축 방향으 로 q 만큼 움직여놓은 그래프이다. 이를 확인하기 위해 y = 2x2 의 그래프와 y = 2x2 + 1 의 그래프를 x 에 몇몇 숫자를 넣어 그려보자. 이들 점을 좌표평면에 찍고 부드러운 곡선으로 직선으로 이어보자. 그림에서 보다시피 y = 2x2 + 1 의 그래프는 y = 2x2 의 그래프를 방향으로 1 만큼 이동시킨 그래프와 같다.
y (2,9) (-2,8)
y = 2x2 + 1 y = 2x2
(-2,9)
(-1,3) (1,3)
(2,8)
(1,2)
(-1,2) O (0,0)
x
만약 q < 0 라면 어떻게 될까? 그런 경우엔 그래프가 아래 ( −y 방향)로 이동하 게 된다. 이제 a 와 q 의 부호에 따라 다음 4 가지 경우를 생각할 수 있다.
80
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
y
y
x
O
q
q x
O
인 경우
인 경우
y
y x
O
q
q O
x
인 경우
인 경우
y = a(x − p)2 꼴의
이차함수 그래프
이제 또 다른 형태의 이차함수 y = a(x − p)2 를 살펴보자. 여기서 p 는
y = ax2 의 그래프가 “좌, 우로 얼마나 움직였는가” 를 결정해준다. 때문에 y = a(x − p)2 의 그래프는 y = ax2 의 x 축을 따라 p 만큼 이동시킨 것이 된다. 이 때, p 의 부호에 따라 이동방향이 결정된다. p > 0 인 경우엔 그래프가 오른쪽 ( +x 방향)으로 이동하고 p < 0 인 경우엔 왼쪽( −x 방향)으로 이동한다. 마찬가지로 a 와 p 의 부호에 따라 4 가지 경우를 생각해 볼 수 있다. y
y
x
O
인 경우
4 이차함수
4.2 이차함수의 그래프
O
x
인 경우
81
y
y x
O
O
인 경우
x
인 경우
꼴의 이차함수 그래프 이제 가장 일반적인 이차함수의 형태인 y = f (x) = a(x − p)2 + q 꼴을 볼 것 이다. 결론부터 말하자면 y = f (x) = a(x − p)2 + q 의 그래프는 y = ax2
의 그래프를 x 축 방향으로 p 만큼, y 축 방향으로 q 만큼 옮겨 놓은 것과 같다. 여기 이차함수 y = f (x) = 2(x − 1)2 + 3 가 있다. 이제 x 에 몇몇 값을 넣어 서 대응하는 y 값을 조사해보자.
2 x f (x)y =y 2x x =2 2f + (x)yax= =+2(x f1(x)−=1)2(x +− 3 1)2 + 3
-1
2
11
0
0
5
1
2
3
2
8
5
3
18
11
이들 점을 좌표평면 위에 찍어 부드러운 곡선으로 이어주면 그림과 같이 된다. 2 y f (x)y =y2x x=2 2f+ (x) ax y= =+2(x f1(x)−=1)2(x +− 3 1)2 + 3
(2,11)
(2,8) (0,3)
(2,5) (1,3)
(-1,2)
(1,2)
O (0,0)
x
그림과 같이 y = f (x) = 2(x − 1)2 + 3 의 그래프는 y = f (x) = 2x2 의
그래프를 x 축 방향으로 1 만큼, y 축 방향으로 3 만큼 평행 이동한 그래프가 된다. 위의 그림을 참고로 하여 일반화 된 이차함수 그래프의 여러 성질을 알아낼 수 있다.
82
4 이차함수
4.2 이차함수의 그래프
이차함수 y = f (x) = a(x − p)2 + q 는
(1) y = ax2 의 그래프를 x 축 방향으로 p 만큼, y 축 방향으로 q 만큼 평행 이동시킨 것이다. (2) 꼭지점의 좌표는 (p, q) 이다. (3) 직선 x = p 에 대해 대칭이다. (4) 축의 방정식은 x = p 이다. (5) y 절편은 ap2 + q 이다. (6) a > 0 인 경우 x < p 인 영역에서는 감소하고 x > p 인 영역에서는 증가한다. (7) a < 0 인 경우 x < p 인 영역에서는 증가하고 x > p 인 영역에서는 감소한다. 만약 이차함수가 y = ax2 + bx + c 의 형태로 주어진 경우엔 주어진 식을 변형해서 y = f (x) = a(x − p)2 + q 꼴로 만들어야 한다.
b y = ax2 + bx + c = a(x2 + x) + c a b2 b b2 2 = a(x + 2x × x + 2 + c − ) 2a 4a 4a 2 b b b 2 x + 2 ) 는 a(x + )2 와 같다. 이때, a(x + 2 × 2a 2a 4a b 2 b2 2 ) +c− 그러므로 y = ax + bx + c = a(x + 라고 쓸 수 있다. 2a 4a b b2 이 경우 p = − 가 될 것이고, q = c − 가 된다. 2a 4a 예제) 이차함수 y = 2x2 + 8x + 7 의 꼭지점의 좌표와 y 절편은? 풀이) 앞에서 한 것처럼 직접 변형해도 좋고
y = ax2 + bx + c = a(x +
b 2 b2 ) +c− 2a 4a
를 통째로 외워서 써도 좋다.
y = 2x2 + 8x + 7 = 2(x2 + 4x + 4) − 8 + 7 = 2(x + 2)2 − 1 p = −2 이고 q = −1 이므로 꼭지점의 좌표는 (−2, −1)이 된다. y 절편은 앞의 c = 7 임을 알 수 있다.
4 이차함수
4.2 이차함수의 그래프
83
좌표평면 평행이동을 본격적으로 공부하기 전에 좌표평면에 대해 다시 한 번 복습해보자. 평 면 위에 기준점(원점)을 교점으로 갖는 서로 수직인 두 직선을 그린다. 이 두 직선 을 좌표축 이라고 부르고, 두 좌표축이 교차하는 지점을 ‘원점’ 이라고 한다. 그리 고 좌표축이 놓인 평면을 ‘좌표평면’이라고 한다. 좌표평면 위의 어떤 점의 위치는 그 점의 x 좌표와 y 좌표를 괄호( ) 안에 써 넣음으로써 표현된다. 예를 들어, 아 래 그림의 점 p(a, b) 는 x 축방향으로 a 만큼, y 축 방향으로 b 만큼 떨어진 점 을 의미한다.
y p(a, b)
b
O
a
x
평행이동 점, 함수 도형 등을 x 축 또는 y 축 방향으로 일정한 거리만큼 이동하는 것으로 원래의 도형과 이동한 도형은 완전히 포개어진다 01 점의 평행이동 점 p(a, b) 를 x 축 방향으로 p 만큼, y 축 방향으로 q 만큼 평행 이동한 점을
p(a , b ) 이라고 하면 점 p (a , b ) = (a + p, b + q) 가 된다. 즉 a = a + p , b = b + q 이다. 02 함수의 평행이동 함수 y = f (x) 를 x 축 방향으로 p 만큼, y 축 방향으로 q 만큼 평행 이동한 함수는 y − q = f (x − p) , 즉 y = f (x − p) + q 가 된다. 다시 말해 함수의 평행이동에서 x 축 방향으로 p 만큼, y 축 방향으로 q 만큼 평행 이동한 함수를
찾기 위해서는 원래 함수의 x 대신에 x − p , y 대신에 y − q 를 넣어주면 된다.
84
4 이차함수
4.2 이차함수의 그래프
대칭이동 기준이 되는 점, 선, 면에 대하여 점, 도형, 그래프 등을 대칭시켜 이동 시키는 것 을 의미한다. 01 점대칭 이동 대칭이동의 기준이 점(대칭점)이 된다. 함수에서는 원점대칭이 특히 자주 나온다. 예를 들어, 점 p(a, b) 를 원점 대칭 시 킬 경우 점 p 의 대칭점은 (−a, −b) 가 된다. 즉, 점 혹은 함수 등을 원점에 대해 대칭이동을 시킬 경우 각 좌표의 부호를 바꾸어 주면 된다.(부호를 반대로 해주면 된다. 즉 마이너스를 붙여주면 된다.) 02 선대칭 이동 대칭이동의 기준이 선이 된다. 함수에서는 x 축 대칭과 y 축 대칭이 자주 나온다. 예를 들어, y = f (x) 를 축
x 에 대칭이동을 시킨 함수는 −y = f (x) , 즉 y = −f (x) 가 된다. 즉, 점 혹
은 함수 등을 x 축에 대칭이동을 시키면, 원래 함수의 y 대신에 −y , y 축 이동 을 시키면 원래 함수의 x 대신에 −x 를 넣어주면 된다. 참고로 x 축 이동과 y 축 이동 모두 시킨 함수는 원래 함수에 대하여 원점대칭이다.
용어정리 평행이동 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 이동하는 것으로 원래의 도형과 이동한 도형은 완전히 포개어진다 대칭이동 기준이 되는 점, 선, 면에 대하여 점, 도형, 그래프 등을 대칭시켜 이동 시키는 것을 의미한다. 대칭이동한 도형은 방향은 달라질 수 있지만 같은 모양을 유지한다.
4 이차함수
4.2 이차함수의 그래프
85
연습문제 01 함수 y = ax2 을 x 축 방향으로 3 , y 축 방향으로 −3 만큼 평행이동한 함 수식을 쓰시오.
02 함수 y = 2x2 − 3x + 5 를 x 축 방향으로 −2 , y 축 방향으로 3 만큼 평행 이동한 함수식을 쓰시오.
03 y = 3x + 2 와 y = 3x − 2 가 대칭일까? 대칭이라면 대칭의 기준이 되는 점 혹은 선을 찾아라.
04 함수 y = 4x2 + 3x − 5 를 x 축 방향으로 2 만큼 평행이동 시키고, x 축 대칭이동을 한 후 y 축 방향으로 1 만큼 평행이동한 함수식을 쓰시오.
86
4 이차함수
4.2 이차함수의 그래프
87
ㅅ
이차함수 그래프 그리기
Flickr /만박 / jsteph
4 이차함수
cbnd cbna
3
“너 표정이 왜 그래?” “아, 나 선물 받은 머리띠가 부러졌어.” “아이쿠, 어쩌다가.” “오늘 수업 시간에
주요 개념 이해 01 어떤 형태의 이차함수가 주어져도 그
선생님이 이차함수 그래프 모양 그리려고 하는데 그래프 모양과 비슷한 사물을 가져오랬거든. 그래
그래프를 그릴 수 있다.
서 이 머리띠 가지고 갔다가 내 짝이 부러뜨렸어.” “에휴, 이차함수 그래프를 그리려고 가져왔다가 선물 받은 머리띠나 부러지고.. 하지만 그래프 그리 는거 잘 배워서 나중에 시험 잘보면 머리띠보다 더 좋은 선물을 받을 수 있을꺼야. 너무 슬퍼하지마.” “응, 고마워.”
y = ax2 꼴의
이차함수가 주어진 경우
(1) a 의 부호를 확인한다. a > 0 인 경우엔 ∪형태이고 a < 0 인 경우엔 ∩형태 의 그래프가 된다. (2) a 의 크기를 확인한다. a 가 크면 클수록 뾰족한 형태의 그래프가 된다. (3) 몇 개의 점( x =정수인 점들)을 찍어본 후 포물선 형태로 이어준다.
연습하기
88
배움을 나누는 사람들
01
y = 3x2 과 y = 5x2 의 그래프를 같은 좌표평면에 그려라.
02
y = −2x2 의 그래프와 y = −4x2 의 그래프를 같은 좌표평면에 그려라.
03
y = −x2 의 그래프와 y = 2x2 의 그래프를 같은 좌표평면에 그려라.
중학교 3학년 수학
y = a(x − p)2 + q 꼴의
이차함수가 주어진 경우
(1) 좌표평면 위에 점 (p, q) 를 찾아 표시한다. (2) 점 (p, q) 를 지나고 y 축에 평행한 직선을 긋는다. (3) y 절편을 찾아 점을 찍는다. x 에 0을 대입하면 y 절편이 나온다. (4) 3에서 찍은 점의 2에서 그린 직선에 대한 대칭점을 표시한다. (5) 1 ,3, 4에서 표시한 점을 지나도록 포물선을 그린다. 이 때 이차함수는 2에서 그린 직선에 대해 대칭인 형태이어야 한다.
연습하기
4 이차함수
01
y = 2(x − 3)2 + 4 의 그래프를 그려라.
02
y = −(x − 2)2 + 1 의 그래프를 그려라.
03
y = 2(x + 2)2 + 4 의 그래프를 그려라.
04
y = −(x − 1)2 − 1 의 그래프를 그려라.
05
y = (x − 4)2 − 2 의 그래프를 그려라.
4.3 이차함수 그래프 그리기
89
y = ax2 + bx + c 꼴의
이차함수가 주어진 경우
y = a(x − p)2 + q 꼴로 변형하여 그린다.
연습하기 01 y = 2x2 + 4x − 2 의 그래프를 그려라.
02 y = −x2 + 4x − 5 의 그래프를 그려라.
90
4 이차함수
4.3 이차함수 그래프 그리기
91
이차함수 구하기
cbn
4
Flickr / shannonpatrick17
4. 이차함수
주요 개념 이해 01 주어진 조건에 알맞은 이차함수의 식을 구할 수 있다.
꼭짓점의 좌표와 모양이 같은 이차함수가 주어진 경우 예제) 꼭짓점의 좌표가 (2, 3) 이고 y = 3x2 과 모양이 같은 이차함수의 식을 구 하시오. 풀이) 우리가 구하려는 식은 꼭짓점의 좌표가 (2, 3) 이고, y = 3x2 과 모양이 같아야 한다. 따라서 우리는 y = 3x2 를 x 축으로 2 만큼, y 축으로 3 만큼 평행 이동시킨 함수를 구해야 한다. 그렇기 때문에 식을 구해보면 우리가 구하려는 함수는 y = 3(x − 2)2 + 3 가 된다.
꼭짓점의 좌표와 다른 한 점의 좌표가 주어진 경우 예제) 꼭짓점이 (1, −3) 이고 y 절편이 (0, 2) 인 이차함수의 식을 구하시오. 풀이) 이차함수의 꼭짓점이 (1, −3) 이라는 말은 어떤 이차함수
를
x 축으로 1 만큼, y 축으로 −3 만큼 평행 이동시킨 이차함수라는 말이다. 즉,
우리는 구하고자 하는 이차함수를 y = a(x − 1)2 − 3 으로 둘 수 있고 a 값을 찾으면 완전한 식을 구할 수 있다. 이제 y = a(x − 1)2 − 3 가 점 (0, 2) 를 지난다는 것을 이용하면, x 에 0 을, y 에 2 를 대입했을 때 등식 y = a(x − 1)2 − 3 가 성립되어야 하므로, 2 = a(0 − 1)2 − 3 에서 a = (2 + 3)/(−1)2 = 5 가 된다. 그러므로 우리가 구하고자 하는 식은,
y = 5(x − 1)2 − 3 이 된다. 92
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
x 절편과 “또 다른 정보”가 주어진 경우 “어떤 이차함수의 절편에서 값이
이면, 그 이차함수의 식은
로 나타낼 수 있다. 왜일까?” 예제) x 절편이 (−1, 0) , (3, 0) 이고 이차항의 계수가 2 인 이차함수의 식을 구 하라. [참고] 때로는 x 절편이 하나뿐인 경우 도 있다. 이러한 경우 “이차함수가
x 축과 오직 한 점 (p, 0) 에서 만난다.” 는 말로 살짝 포장되어서 출제된다. 이 때는 놀
풀이) 두 개의 x 절편이 주어졌으므로 앞에서 설명한대로 이차함수를
y = a(x + 1)(x − 3) 로 둘 수 있다. 그리고 이차항의 계수가 2 라는 “또 다른
정보”는 a = 2 임을 나타낸다. (왜일까? y = a(x + 1)(x − 3) 를 전개해보면 y = ax2 − 2ax − 3a 이므로 이차항의 계수가 곧 a 이기 때문이다). 그러므로 우리가 찾는 이차함수의 식은
라지 말고
y = a(x − p)
2로
두고 해결하면 된다.
y = 2(x + 1)(x − 3) = 2x2 − 4x − 6 임을 알 수 있다.
그래프 위의 서로 다른 세 점이 주어진 경우 예제) 세 점 (0, 1) , (1, 2) , (3, 10) 을 지나는 이차함수의 식을 구하시오. [참고] 서로 다른 세 점을 준다고 했는데, 보통 그 중
풀이) 우선 이차함수를 y = ax2 + bx + c 로 두자. 이 이차함수가 점 (0, 1) 을 지나므로, 대입해보면 1 = a · 0 + b · 0 + c = c 임을 바로 알 수 있다. 이
그렇지 않으면 미지수가 3개인 연립방정식이
제 a 와 b 의 값을 구해보자. y = ax2 + bx + c 가 (1, 2) , (3, 10) 을 지나므 로 앞에서와 같이 이 값들을 대입해보면 a 와 b 가 다음 두 식을 동시에 만족시켜
나오는데, 이것은 하나의 미지수를 먼저
야 함을 알 수 있다.
한 점은 y 절편인 경우가 대부분이다. 만약
소거하거나 다른 미지수에 대입한 뒤에 풀어주면 된다.
2=a+b+1 10 = 9a + 6b + 1 이들 두 식을 보고 1학년 때 배운 연립방정식을 생각해 낸 여러분은 훌륭한 학생 이다! 이 연립방정식을 풀면 a = 1 , b = 0 이라는 해를 얻는다. 즉, 우리가 구하 고자 하는 이차함수의 식은 y = x2 + 1 이다.
4 이차함수
4.4 이차함수 구하기
93
연습문제 01 꼭짓점의 좌표가 (−3, 2) 이고 y = −x2 과 모양이 같은 이차함수의 식을 구 하시오
02 x 축과 오직 한 점 (−3, 0) 에서 만나고 이차항의 계수가 2 인 이차함수의 식 을 구하시오.
03 꼭짓점의 좌표가 (−1, 0) 이고 y 절편이 (0, 2) 인 이차함수의 식을 구하시오.
04 x 절편이 (−1, 0) , (4, 0) 이고 y 절편이 (0, 8) 인 이차함수의 식을 구하시오.
05 도전문제 : 세 점 (1, 10) , (−1, 4) , (−2, 7) 을 지나는 이차함수의 식을 구 하시오.
06 도전문제 : x = 3 에 대칭이고 x 절편이 (5, 0) 이며 이차항의 계수가 1 인 이 차함수의 식은?
94
4 이차함수
4.4 이차함수 구하기
95
이차함수의 활용
Flickr / Cessna 206
4 이차함수
cbnd
5
주요 개념 이해
가을을 맞이하여 단풍을 구경하러 태연이는 가족과 함께 산으로 소풍을 갔다. 등산을 하면서 태연
01 이차함수의 최댓값, 최솟값을 구하고
이는 아빠에게 물었다. “아빠 정상이 도대체 어디야?” 그러자 아빠는 “저기 보이지? 저기 제일 높이
이를 응용한다.
솟은 곳이 바로 정상이야.” “조금만 힘내자. 거의 다 온 거 같구나.” 태연이는 그 때 저번 수학시간
02 이차함수와 이차방정식 사이의 관계
에 배운 이차함수가 생각났다. 산의 정상이 마치 이차함수의 꼭지점과 관계가 있을 거 같다는 생각
를 알아본다.
이 들었다. 과연 이차함수의 꼭지점과 최댓값, 최솟값은 무슨 관계 일까? 이번 시간에 열심히 공부하 여 알아보자!
최댓값과 최솟값 이차함수의 최댓값과 최솟값을 알아보기 전에 앞에서 배운 중요한 사실들을 복습 해보자. 이번 단원에서 특히 중요한 것은 마지막 두 가지 사실이다. 우선
인
경우를 살펴보자.
감소
증가
y = a(x − p)2 + q
그림과 같이 이차함수 y = a(x − p)2 + q 의 그래프는 x < p 인 경우엔 감소 하고 x > p 이면 다시 증가함을 알 수 있다. 또, x = p 일 때 함숫값은
y = f (p) = q 이며 이 값은 y = a(x − p)2 + q 의 치역에 속하는 원소 중
가장 작은 값임을 알 수 있다. 이처럼 어떤 함수에 대해 이 함수의 치역의 원소 중 가장 작은 값을 그 함수의 최솟값이라고 한다.
96
배움을 나누는 사람들
중학교 3학년 수학
이제 a < 0 인 경우를 살펴보자.
y = a(x − p)2 + q 증가
감소
이 경우 그림과 같이 x < p 인 경우엔 증가하고 x > p 인 경우엔 감소함을 알 수 있다. 역시 x = p 일 때의 함숫값 y = f (p) = q 는
y = a(x − p)2 + q 의 치역의 원소 중 가장 큰 값이다. 이처럼 어떤 함수에
대해 이 함수의 치역의 원소 중 가장 큰 값을 그 함수의 최댓값이라고 한다.
이를 종합해보면 이차함수 y = a(x − p)2 + q 에 대해, a > 0 이면 x = p 일 때 최솟값 q 를 가지며 최댓값은 없다. 반면 a < 0 이면 x = p 일 때 최댓값 를 q 가지며 최솟값은 없다. 그래프 개형
감소
특징
아래로 볼록하다. 인 구간에서 감소한다. 인 구간에서 증가한다. 일 때 최솟값 를 갖는다. y = a(x − p)2 + q 최댓값은 없다.
증가
y = a(x − p)2 + q
증가 감소
위로 볼록하다. 인 구간에서 증가한다. 인 구간에서 감소한다. x=p일 때 최댓값 를 갖는다. 최솟값은 없다.
예제) 이차함수 y = 2x2 + 8x + 4 의 최댓값과 최솟값이 존재한다면 구하시오. 풀이) 앞에서의 설명처럼, y = ax2 + bx + c 꼴의 이차함수는 언제든지
y = a(x − p)2 + q 꼴로 고칠 수 있다. y = 2x2 + 8x + 4 = 2(x2 + 4x + 4) − 4 = 2(x + 2)2 − 4 p = −2 , q = −4 이므로, x = −2 일 때 최솟값 −4 를 갖는다는 것을 알 수 있다. 또 a > 0 이므로 최댓값은 존재하지 않는다는 사실을 알 수 있다.
4 이차함수
4.5 이차함수의 활용
97
이차방정식과 이차함수의 관계 이차함수를 y = ax2 + bx + c 라 두고 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 과 어떤 관계가 있는지 알아보자. 두 식을 자세히 살펴보면 이차방정식
ax2 + bx + c = 0 은 이차함수 y = ax2 + bx + c 의 y 자리에 0 을 대입 해 놓은 것과 같다. y 가 0 일 때 y = ax2 + bx + c 를 만족시키는 x 의 좌 표는 x 절편이다. 즉, 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 의 (실)근은 이차함수 y = ax2 + bx + c 의 x 절편과 같다. 이제 다음과 같은 세 가지 경우를 생각해보자. 그래프 개형 이차함수 의 그래프가 축과 서로 다른 두 점에서 만나는 경우 이차함수 의 그래프가 축과 한 점에서 만나는 경우 이차함수 의 그래프가 축과 만나지 않는 경우
98
4 이차함수
4.5 이차함수의 활용
특징 최댓값이 0보다 작다. 이차방정식 은 실근 만을 갖는다. 최댓값이 0이다. 이차방정식 은 실근 만을 갖는다.
최댓값이 0보다 크다. 이차방정식 은 (실)근을 갖지 않는다.
계수의 부호와 그래프의 개형 에서, 계수의 부호가 달라짐에 따라 그래프의 개형 은 다음과 같이 변한다. 달라지는 것
부호
그래프의 개형의 특징 그래프가 위로 볼록하다 그래프가 아래로 볼록하다 대칭축이 축보다 의 음의 방향에 있다 대칭축이 축보다 의 양의 방향에 있다 대칭축이 축이다 절편이 보다 크다 절편이 보다 작다 절편이 이다
참고)
일 때, 이 함수의 그래프의 축은 직선
이다(4.2단원 참조).
이차함수와 이차방정식의 관계 (1) 문제의 뜻을 파악하고, 두 변수 x , y 를 정한다. (2) 주어진 조건에 맞게 x , y 사이의 관계식을 구하고, x 의 값의 범위를 찾는다. (3) 식을 변형하거나 그래프 등을 이용하여 답을 구한다. (4) 구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인하다.
용어정리 평행이동 한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 이동하는 것으로 원래의 도형과 이동한 도형은 완전히 포개어진다
4 이차함수
4.5 이차함수의 활용
99
연습문제 01 y = −x2 − 2x + 3 이 이차함수의 최댓값을 구하여라.
02 이차함수 y = 3x2 − 6x + a 의 최솟값이 −1 일 때, 상수 a 의 값은?
03 이차함수 y = ax2 + bx + c 는 x = 2 일 때, 최댓값 0 을 갖고, 그 그래프는 점 (1, 8) 을 지난다. 이때, a − b − c 의 값은? (단 a , b , c 는 상수)
04 둘레의 길이가 16cm 인 부채꼴의 넓이의 최댓값과 그 때의 부채꼴의 반지름의 길이를 각각 구하여라
05 차가 2인 두 정수의 곱이 최소일 때, 두 수를 각각 구하여라.
100
4 이차함수
4.5 이차함수의 활용
101
만든 사람들
김보경
최태건
교재를 사랑합시다
날 아는 학생들은 공부하도록
김채진
김은혜
다른 쌤들 너무수고하셨구요^^ 아이들에게 도움이 됐음좋겠어요~
나의 사랑을 담아 ~
서희강
남현성
사정으로 거의 참여 못해서 많이 아쉬워요
즐거운 경험
송윤석
송예송
마지막까지 못도와드려서죄송하구 샘들수고많으셨습니다^^
아쉽기도 하고 기쁘기도 하네요 ^^ 선생님들 수고 많이 하셨어요~ 학생들의 공부에 이 책이 도움되기를 바랍니다.
유희원
이승은
수고하셨습니다~~
너무 너무 너무 고생 많으셨습니다!^^
이재호
임아영
Some day, mike bravo will be fallen down and We will be oscar mike again, Some day...
다들 수고 많으셨어요!!!!! 힘들었지만 정말 뿌듯하네요~^^ 얘들아 공부열심히해♥ 화이팅!!
정홍택
최재형
엉엉..이렇게 교재가 완성되는구나..정말 다들 고생 많으셨습니다. p.s. 얘들아 뭘 이런걸 보고 있니? 어서 열심히 공부하렴~
배나사 교재가 요기잉네 / 뭐라구요? / 이x티브의 킴 회장님 미테서 일하고 있지 / 요태까지 인디자인 한고야? / 물논. 그리고 자네가 또 뭘 만드려는지도 알고이찌. 마냑 수학 2-1을 다 만들지 못한다면...
도움을 주신 분들
용산구청
금천구청
마포구청
배움을 나누는 사람들 2010학년도 중학교 3학년 1학기 수학 표준교재 제작위원회 http://www.edushare.kr
유성구청