Joamir Souza Patricia Moreno Pataro
Componente curricular Matemรกtica Anos finais do Ensino Fundamental
Matemรกtica Componente curricular Matemรกtica
ISBN 978-85-20-00239-1
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788520 002391
Matemรกtica
9ยบ ano
Componente curricular Matemática Anos finais do Ensino Fundamental
Joamir Roberto de Souza Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Atua como professor de Matemática da rede pública de ensino. Autor de livros didáticos para os anos finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio.
Patricia Rosana Moreno Pataro Professora graduada em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Especialista em Estatística pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Atuou como professora de Matemática em escolas da rede particular de ensino.
Matemática
9º ano
3a edição São Paulo 2015
Copyright © Joamir Roberto de Souza, Patricia Rosana Moreno Pataro, 2015 Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Silvana Rossi Júlio Editor Roberto Henrique Lopes da Silva Editores assistentes Thaís Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves e Janaína Bezerra Pereira Assessoria Tatiana Ferrari D’Addio Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de produção Marcia Berne Coordenadora de arte Daniela Di Creddo Máximo Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Revisão Izabel Cristina Rodrigues (líder); Revisores: Eliana Medina, Júlia Mello Supervisora de iconografia Célia Maria Rosa de Oliveira Iconografia Erika Nascimento e Priscila Massei Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno Produção editorial Scriba Projetos Editoriais Edição Lucília F. Lemos dos Santos Assistência editorial Marcela de Marques B. Cardoso e Sheila Caroline Molina Projeto gráfico Marcela Pialarissi, Laís Garbelini e Dayane Barbieri Capa Marcela Pialarissi Imagem de capa Fotomontagem de José Vitor E. C. formada pelas imagens Oliver Furrer/Getty Images (fundo) e José Vitor Elorza/ASC Images (perfil) Edição de ilustrações Ingridhi Borges e Eduardo Carriça dos Santos Diagramação Fernanda Miyabe Lantmann e Amanda Alves Tratamento de imagens José Vitor Elorza Costa Ilustrações Camila Ferreira, Eduardo C. S., Estudio Meraki, Guilherme Casagrandi, Ingridhi Borges, N. Akira, Paula Diazzi, Rafael Luís Gaion, Rafaela H. Pereira, Rogério Casagrande, Sergio Lima, Waldomiro Neto Cartografia E. Cavalcante e Renan Fonseca Assistência de produção Daiana Melo, Paulo Ricardo M. Krzyzanowski e Tamires Azevedo Autorização de recursos Erick L. Almeida Pesquisa iconográfica Tulio Sanches Editoração eletrônica Luiz Roberto L. Correa (Beto)
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Souza, Joamir Roberto de Vontade de saber matemática, 9o ano / Joamir Roberto de Souza, Patricia Rosana Moreno Pataro. – 3. ed. – São Paulo : FTD, 2015. Bibliografia ISBN 978-85-20-00239-1 (aluno) ISBN 978-85-20-00240-7 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Pataro, Patricia Rosana Moreno. II. Título.
15-03730 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à Editora ftd S.A. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: ensino.fundamental2@ftd.com.br
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD S.A. CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Apresentação
nexus 7/Shutterstock.com
nexus 7/Shutterstock.com
Provavelmente, você já viu os códigos de barras das embalagens de produtos, utilizou uma balança, observou um gráfico na televisão ou utilizou um computador. Esses são apenas alguns exemplos de situações nas quais a Matemática está presente. Ela está relacionada a diversas áreas do conhecimento e é uma ferramenta indispensável em nosso dia a dia. Compreender a Matemática e suas ideias nos auxilia a entender o mundo à nossa volta e nos tornar cidadãos e cidadãs mais críticos e participantes na sociedade. Este livro foi elaborado de uma maneira que você possa aplicar a Matemática de forma prazerosa, tanto em seu cotidiano como em outras disciplinas do currículo escolar. Para isso, procuramos abordar situações interessantes e atuais, nas quais você poderá usar a criatividade, explorar o raciocínio matemático, conversar com os colegas sobre procedimentos, levantar hipóteses e tomar decisões. Contudo, a sua dedicação é fundamental! É importante que você faça sugestões, dê opiniões, expresse suas dúvidas e empenhe-se na resolução de situações desafiadoras, mostrando-se participativo em sala de aula. Enfim, esperamos que você, aluno ou aluna, desenvolva as suas habilidades matemáticas e, com as orientações do professor, utilize este livro com entusiasmo e dedicação. Os autores
Conheça
Abertura de capítulo
o seu
livro
Nesse momento, você entrará em contato com os assuntos que serão estudados no capítulo a partir de diferentes recursos que despertarão a sua curiosidade. Você também terá a oportunidade de mostrar o que já sabe e de trocar ideias com seus colegas sobre diversos temas.
Atividades
Anote no caderno
11. Joana pagou R$ 137, 50 pelo almoço com sua família em um restaura nte. Sabendo que nesse valor estão inclusos 10% referen tes à taxa de serviços , quantos reais Joana pagaria, caso o restaura nte não cobrasse essa taxa?
CI N E MA
Guilherme Casagrandi
Ingresso R$ 18,00 QUARTA-FEIRA Preço promocional R$ 9,00
a ) De quantos por cento é o desconto ofere cido no ingresso vendido na quartafeira? b ) Se o desconto oferecid o na quartafeira fosse de 40%, qual seria o preço do in gresso?
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Waldomiro Neto
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rol. apresentados em um os por esse programa a ) Organize os dados quantidade de filhos atendid moda e a mediana da b ) Calcule a média, a de saúde. três filhos ou mais? possuem famílias das c ) Quantos por cento
? os abordados neste capítulo 1. Quais foram os conteúd quantitativas. variáveis qualitativas e palavras a diferença entre 2. Explique com suas E as quantitativas? ivas? qualitat s variávei adas as 3. Como podem ser classific frequências de certa de ição com a distribu ns de utilizar uma tabela 4. Quais são as vantage variável? variável, qual frequênde frequência de certa ição distribu a ta apresen 5. Em uma tabela que relação ao todo? ação de certo dado em cia apresenta a particip
12. Após realizar uma compra em certa loja, cada cliente tem direito de girar uma roleta, na qual constam alguns descontos. Se a roleta parar em 20%, por exemplo, o cliente recebe esse desconto ao pagar a compra. a ) Renato fez uma compra de R$ obteve na roleta um descont 87, 80 e o de 25%. Qual o valor pago por ele nessa compra? b ) Sabendo que na roleta o menor des conto é 15% e o maior é 45%, calcule o valor, em reais, do menor e do maior desconto que podem ser concedidos em uma compra de R$ 240, 00. 13. Um automóvel que era vendido por R$ 35 900, 00 sofreu duas reduções de preço, a 1 ª de 5% e a 2ª de 3%. Qual o pre ço do automóvel após a 1ª redução? E após a 2ª redução? 14. A tarifa de ônibus urbano em certo municí pio, que era R$ 3, 00, sofreu dois acréscimos, um de 5% no mês de novembro e outro de 8% em agosto do ano seguinte. Qual pas sou a ser a tarifa após os aumentos?
59
Ao final do capítulo, você encontrará questões que retomam o conteúdo, a fim de refletir sobre o conteúdo estudado, identificando as principais ideias compreendidas e também aquelas que precisam ser revistas.
1968, a média era 6. Leia o texto. em ritmo acelerado. Em a frota brasileira cresceu 0,34 veículo por Nos últimos 50 anos passou a ser cerca de te. Em 2010, essa média 0,02 veículo por habitan habitante. Images
Refletindo sobre o capítulo
AFNR/Shutterstock/Glow
Waldomiro Neto
8. Após aumento de 15%, o valor pago pela ho ra de acesso à internet em um cibercafé pas sou a ser R$ 4, 60. Qual era o valor cobrado em cada hora de acesso antes do aumento? 9. Em uma promoção, certa loja ofereceu des conto de 35% na compra de um par de tênis. Qual o valor pago pelo par de tênis nessa promoção, sabendo que sem o des conto ele custa R$ 218, 00? 10. Observe o cartaz de um cinema.
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lo Refletindo sobre o capítu
Qual o preço de cada um desses produtos na venda a prazo, sabendo que eles sofrem um acréscimo de 12% em relação ao preço à vista? 7. O aluguel de uma casa passou de R$ 860, 00 para R$ 1 032, 00. Qual foi a porcentagem de aumento no aluguel?
de cada uma das a quantidade de filhos a de saúde. 23. No quadro está indicada atendidos por certo program famílias de um bairro
Eduardo Tavares
Ilustrações: Waldomiro Neto
6. Observe os anúncio s de uma loja.
capítulo 3
Atividades
Este ícone apresenta sugestões de sites para você obter mais informações sobre o assunto estudado.
capítulo 10
Na internet
Nessa seção, você encontrará atividades diversificadas, que buscam desenvolver as ideias e os conceitos estudados.
Alegre (RS), Arquivo histórico de Porto era baixo, nas onde o fluxo de veículos século XX. primeiras décadas do
veículos na famosa Congestionamento de São Paulo (SP), avenida 23 de Maio, em em novembro de 2014.
“média” no texto acima? O que representa a palavra s questões rela, elabore e escreva alguma os estudados neste capítulo elaboraram e discu7. A partir dos conteúd as questões que vocês e a um colega, troquem cionadas a eles. Junte-s tam as resoluções.
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Revisão Essa seção apresenta atividades que tratam de conceitos desenvolvidos em todo o capítulo, com o objetivo de revisar o conteúdo estudado.
69. Sem resolver as equaçõe s, determine quais têm raízes reais. a ) 4 ⋅ (x2 + 2) = 8 ⋅ x ( + 1) b ) x2 − 3 ⋅ (x − 15 = − 4 − 3x ) c ) 3x ⋅ (x − 1) = 2x d ) − 6x2 + 12 = 0
e ) − 8x2 − 32 = 16 f ) 11x2 = 0
2x
71. Determine as medida s dos lados do terreno retangular, sabendo que sua área total é 40 m2.
b) x + 1 cm 3x + 6 cm
Ilustrações: Acervo da editora
5x – 1 cm
70. Para pintar os dois lados de um muro, foram necessárias exatame nte 3 latas de tinta, que cobrem, cada uma, 24 m2 de área. Sabendo que a altura do muro corresponde 1 de a __ seu comprimento, qual 9 a altura e o comprimento desse muro?
Ingridhi Borges
73. Sabendo que os retângu los têm áreas iguais, determine o perímetro de cada um deles. a)
74. A praça retangular tem 112 m2. Qual o perímetro dessa praça?
de gordura a ) reduzir seu excesso em cerca de 1%. de gordura b ) reduzir seu excesso em cerca de 27%. atuais de c ) manter seus níveis gordura. de gordura d ) aumentar seu nível 1%. de cerca em de gordura e ) aumentar seu nível em cerca de 27%. .folha.uol.com.br. Disponível em: http://www1 (adaptado). Acesso em: 24 abr. 2011
(kg) massa_________ Índice de Massa = _________ altura x altura (m) Corporal
x
2m x+6m
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Acervo da editora
d ) 36 b ) 24 há cerca de 200 anos, é largamente utilizado de Massa Corporal (IMC) uma vez que indiví cia que a adiposidade, 88. (ENEMMEC) O Índice nta muito mais a corpulên a aponta o Índice IMC. Uma nova pesquis mas esse cálculo represe podem apresentar o mesmo quantificar a gordura duos musculosos e obesos iva mais fidedigna para alternat uma como (IAC) l como calcular essas medi de Adiposidade Corpora e a altura. A figura mostra quadril do 26%. medida e a 19% corporal, utilizando ade normal está entre em mulheres, a adiposid kg de massa corpó das, sabendose que, 2 rência dos quadris e 60 corporal, 20 kg/m , 100 cm de circunfe dade__de gordura___ Uma jovem com IMC = ar aos níveis de normali = 1, 3): √ seu IAC. Para se enquadr é (Use √3 = 1, 7 e 1, 7 rea resolveu averiguar ter diante da nova medida deve jovem essa que a atitude adequada
x x
capítulo 2
Anote no caderno
de área mostra um retângulo 87. (OBMEP) A figura se nove retângulos menore 720 cm2, formado por um ro, em centímetros, de iguais. Qual é o perímet s? menore los dos retângu e ) 48 30 ) c a ) 20
Guilherme Casagrandi
Waldomiro Neto
d ) A terça parte do quadrad o de x, menos o dobro de x, é igual a zero.
ENEM e OBMEP
Circunferência (cm) − 18 % de Gordura = do quadril ______ Corporal Altura x √altura (m)
seguindo o pa os com palitos de fósforo, uma sequência de triângul palitos de fósforo. 89. (OBMEP) Renata montou foi construído com 135 Um desses triângulos drão indicado na figura. triângulo? desse lado o Quantos palitos formam a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e ) 10
Guilherme Casagrandi
Para construir uma calçada contornando uma casa, que fica em um terreno retangular, foram necessários 96 m2 de lajotas. Sabendo que toda a calçada terá a mesma largura e que as dimensõ es da casa são 8 m e 12 m, qual a largura da calçada que será construída?
capítulo 2
72. Desafio
67. Quais das equaçõe s apresentam 8 e − 6 como raízes? x2 − a ) __ x − 24 = 0 x2 + c ) __ 2 3x − 8 = 0 2 b ) x2 + 2x − 10 = 0 d ) x2 − 2x − 48 = 0 68. Determine o valor de x em cada item. a ) O quadrado de x é igual a 121. b ) O triplo do quadrad o de x é igual a 243. c ) O dobro do quadrad o de x é igual a x multiplicado por 6.
5m
Apresenta problemas selecionados das edições da OBMEP ou do ENEM, que podem ser resolvidos com base no que foi estudado no capítulo.
Anote no caderno
66. Qual item apresenta as raízes de uma equação do 2o grau que, na forma reduzida, possui os coeficientes a = 1, b = − 2 e c = − 3? a) 1 e 3 c) − 1 e 3 b) 1 e − 3 d) − 1 e − 3
Acervo da editora
Revisão
ENEM e OBMEP
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Ser consciente Nessa seção, você estudará assuntos relacionados a temas como educação fiscal, sustentabilidade e ética. Nela, além de texto, imagens e algumas questões, é apresentada uma história em quadrinhos que aborda alguma situação do dia a dia da família do personagem João.
48. Determine:
Escreva uma equação do 2o grau com raízes iguais a − 4 e 11 e com coeficiente a igual a 5.
capítulo 2
54. Desafio
a ) as raízes de uma equação do 2o grau sabendo que a soma dessas raízes é − 7 e o produto é 12 b ) o produto das raízes da equação x2 + 6mx + 2m = 0 sabendo que a soma delas é 18
55. Em uma equação do 2o grau, a soma das raízes é igual ao triplo do produto das raízes, e o coeficiente a é igual a 1. Sabendo que a soma das raízes é igual a 12, determine essa equação.
49. Utilizando as relações de soma e produto e conhecendo uma das raízes da equação, determine o valor de p em cada item. a ) 2x2 + px + 16 = 0, x =2 1 b ) x2 + 7x + (p + 1 = 0 , x1 = − 3 ) c ) 5x2 − (6 − p ⋅ x − 25 ) = 0, x 1 = − 5 p d ) 3x2 − 9x + __ ( 2 ) = 0, x 1 = 1 50. Utilizando as relações de soma e produto das raízes, resolva as equações. a ) x2 − 13x + 42 = 0 c ) x2 − 2x + 1 = 0 b ) x2 − 11x + 28 = 0 d ) x2 − 3x − 10 = 0 51. A soma de dois número s é 23, e o produto é 120. Utilizando equaçõe s do 2o grau, determine quais são esses números. 52. Determine os dois números naturais consecutivos cujo produto é 132.
56. Escreva duas equaçõe s do 2o grau cujas raízes sejam: a) − 3 e 0 b ) números pares
Cálculo mental
c ) números primos d ) números reais e iguais
57. Observe o trapézio .
a ) x1 = 3 e x = 4 2 b ) x1 = − 5 e x = 7
c ) x1 = 1 e x = − 6 2
Acervo da editora
Sabendo que a base maior desse trapézio é igual ao triplo da altura, determine as medidas da base maior e da altura.
58. Desafio Antônio tem 12 anos e Mário, 17 anos. Daqui a quantos anos o produto das idades de Antônio e Mário será 336?
2
calculou mentalmente
as raízes da equação 3 2 x − 3x − 6 = 0.
Inicialmente, dividi cada membro da equação por 3, obtendo outra, equivalente, em que a = 1. 3x2 − 3x −__ _______ 6 __ = 0 ⇒ x2 − x − 2 = 0 3 3 Depois, utilizando as relações de soma e produto determinei as raízes da equação. S=1 { P = −2 ⇒ x1 = 2 e x2 = − 1
De maneira semelhante, resolva as equações mentalm ente. a ) 4x2 − 28x + 40 = 0 b ) 3x2 − 24x + 21 = 0
Atividades que exploram procedimentos para o uso da calculadora.
ora. ões utilizando uma calculad s realizar algumas convers 7. Observe como podemo ite. • Converter 1,2 TB em megaba
Calculadora
Waldomiro Neto
59. Observe como Vitória
e outros programas que um sistema operacional s celulares contam com r essa capacidade de 5. Para funcionar, os aparelho modelos permitem aumenta memória interna. Alguns ocupam parte de sua a. de um cartão de memóri um cartão armazenamento por meio a interna e nele instalou memóri de GB 16 com que esse aparelho aparelho celular Rodrigo comprou um tem disponível, sabendo Rodrigo es gigabait Quantos ? de memória de 8 GB. da memória interna ocupada vem de fábrica com 30% reade básicas das funções dos smartphones, além apa6. Uma das características texto, é servir como um receber mensagens de zir músicas e vídeos. lizar ligações e enviar e capaz de armazenar e reprodu relho multimídia portátil, de 16 GB, sendo que one com memória interna espaço da O . Cláudia possui um smartph músicas ar utilizados para armazen onde a 819,2 MB estão sendo ar as músicas corresp Cláudia para armazen memória utilizado por interna? de espaço na memória que porcentagem do total Waldomiro Neto
Cálculo mental
Calculadora
c ) − 2x2 − 4x + 48 = 0
47
II Digitamos a tecla
Nessa seção, você realizará atividades que relacionam a Matemática a outras disciplinas escolares, áreas do conhecimento ou situações do dia a dia.
1 228, 8 GB
2a vez
os e em seguida registram
1 258 291, 2 MB 291, 2 MB. Portanto, 1, 2 TB = 1 258
• Converter 76 200 KB
Contexto
1a vez
o número 1,2:
I
duas vezes consecutivas.
III Digitamos a tecla
é os o número 1 024, que ar para realizar as o fator que devemos multiplic conversões, digitando:
I Inicialmente, registram
em gigabaite.
por II Indicamos a divisão
duas vezes consecutivas.
III Digitamos a tecla
os o número 76 200 Inicialmente, registram digitando:
1a vez aproximadamente 74, 414062 MB
2 vez a
1 024 digitando as teclas:
aproximadamente 0, 0726699 GB
0, 073 GB. Portanto, 76 200 KB ≃
conversões a seguir. calculadora, realize as Agora, utilizando uma c ) 0,018 GB em KB b ) 62 MB em TB a ) 45 MB em B
d ) 94 371, 84 B em MB
Ilustrações: Rogério Casagrande
53. Escreva uma equação do 2o grau cujas raízes sejam:
Área: 40 cm2
capítulo 7
8 cm
Atividades que apresentam procedimentos de cálculo mental.
133
11. De acordo com a Infraero , com exceção de crianças de até 2 anos pagando passageiro de voos em 10% da tarifa, todo aeronaves com mais de 50 assentos tem o direito de bagagem de mão, de levar, entre os itens uma bolsa, uma maleta ou um equipamento. Essa máximo, 5 kg de massa bagagem pode ter, no e dimensão total menor ou igual a 115 cm, que medida da largura, da é obtida somando a altura e do comprimento da bagagem transportada. a ) Considerando que as bolsas tenham forma aproximada de paralele mensão indicada por x pípedo, determine a diem cada uma delas e verifique quais podem gem de mão de acordo ser levadas como bagacom as normas acima. I ) II ) III )
Desafio
Ilustrações: Paula Diazzi
Atividades que possuem caráter desafiador, nas quais você é estimulado a desenvolver suas próprias estratégias para a resolução. 45 cm
28 cm
x
x
28 cm
45 cm x volume: 54 675 cm3
volume: 43 904 cm3
x
x
1,1 m
0,9 m
1,5 m 1m
1,1 m
1,1 m
1,2 m
Ilustrações: Acervo da editora
volume: 54 872 cm3 b ) Junte-se a um colega e determinem as dimensõ es e o volume de outras to que lembre paralele bolsas, com formapípedos, que possam ser transportadas como bagagem de mão. 12. Observe as dimensõ es internas de alguma s caixas. I ) II ) 0,8 m III)
1m No máximo, quantos cubos com 1 dm de aresta podem ser colocados dentro de cada caixa? 13. Desafio
Observe duas vistas de um mesmo sólido e calcule seu volume.
3 cm
3 cm
2 cm
5 cm
4 cm
4 cm
14. Calcule o volume dos sólidos. 30 cm
II )
40 cm
III)
30 cm
20 cm
50 cm 40 cm
40 cm 50 cm 48 cm
30 cm
50 cm
Desenhe um sólido como os apresentados acima e indique suas dimensõ a um colega que calcule es. Em seguida, peça o volume desse sólido e depois confiram os resultad os. 254
Resolvendo problemas Essa seção apresenta um problema selecionado de uma das edições do ENEM. Nela, você é convidado a seguir as etapas sugeridas para a resolução.
Ilustrações: Acervo da editora
I )
Ilustrações: Acervo da editora
5 cm
Acessando tecnologias Essa seção apresenta exemplos e atividades que complementam o que foi estudado nos capítulos, utilizando, para isso, alguns programas de computador: planilha eletrônica e Geogebra.
Este ícone indica que as cores utilizadas não correspondem às reais.
Este ícone indica que os elementos apresentados não estão proporcionais entre si.
Ampliando seus conhecimentos Nessa seção são apresentadas sugestões de livros e sites para que você conheça mais o que foi estudado nos capítulos.
capítulo
sumário
1
Raízes............................................... 12 Radiciação.................................................................................................................. 14 Potências com expoente fracionário .............................................. 18 Propriedades dos radicais ......................................................................... 19 Simplificação de radicais ............................................................................ 21 Operações com radicais.............................................................................. 22 Revisão ........................................................................................................................ 26
capítulo
ENEM e OBMEP ................................................................................................ 27
2
Equações do 2o grau e sistemas de equações ................................28 Equações do 2o grau com uma incógnita ................................30 Resolução de equações do 2o grau................................................. 33 Estudando as raízes de equações do 2o grau......................44 Sistema de duas equações com duas incógnitas ............48 Revisão ......................................................................................................................... 51
capítulo
ENEM e OBMEP ................................................................................................ 53
3
Matemática financeira...............54 A matemática financeira............................................................................ 56 Porcentagem .......................................................................................................... 57 Acréscimo ................................................................................................................. 58 Desconto..................................................................................................................... 58 Juro ..................................................................................................................................60 Ser consciente .....................................................................................................66 Revisão ........................................................................................................................68 Resolvendo problemas ............................................................................... 69 ENEM e OBMEP ................................................................................................ 70
4
capítulo
Simetria.......................................72 Simetria de rotação......................................................................................... 74 Simetria de translação ................................................................................. 78 Revisão ....................................................................................................................... 80
5
capítulo
Função afim ................................82
6
capítulo
ENEM e OBMEP ................................................................................................. 81
A noção de função...........................................................................................84 Representação gráfica de uma função........................................89 Função afim ............................................................................................................ 93 Revisão ..................................................................................................................... 105 Resolvendo problemas .............................................................................107 ENEM e OBMEP ............................................................................................. 108
Função quadrática .................... 110 Função quadrática ........................................................................................... 112 Revisão ...................................................................................................................... 126 ENEM e OBMEP .............................................................................................. 127
capítulo
7
Medidas em informática ......... 128 Unidades de medida de capacidade de armazenamento ...........................................................................................130 Outras unidades de medida em informática ...................... 135
capítulo
Ser consciente .................................................................................................. 140 Revisão ......................................................................................................................142 ENEM e OBMEP ..............................................................................................143
8
Semelhança .............................. 144
capítulo
Segmentos proporcionais ...................................................................... 146 Teorema de Tales........................................................................................... 148 Semelhança de figuras ..............................................................................156 Revisão ...................................................................................................................... 167 ENEM e OBMEP ..............................................................................................169
9
Relações no triângulo retângulo ................................... 170 Relações métricas no triângulo retângulo ............................ 172 Teorema de Pitágoras ................................................................................ 176 Relações trigonométricas no triângulo retângulo ........ 180 Ângulos notáveis .............................................................................................183 Tabela trigonométrica ................................................................................185 Revisão ..................................................................................................................... 190 Resolvendo problemas ............................................................................. 193 ENEM e OBMEP ..............................................................................................194
10
capítulo
Tratamento da informação ..... 196 Variáveis estatísticas .................................................................................. 198 Distribuição de frequências ................................................................ 200 Intervalos de classes.................................................................................. 203 Média aritmética, mediana e moda ............................................ 207 Ser consciente ................................................................................................... 212 Revisão ......................................................................................................................214 Resolvendo problemas ............................................................................. 217
11
capítulo
Círculo e circunferência ..........222
12
capítulo
ENEM e OBMEP ..............................................................................................218
A circunferência.............................................................................................. 224 Ângulo na circunferência ...................................................................... 225 Ângulo inscrito ................................................................................................ 226 Comprimento da circunferência ..................................................... 230 Área do círculo................................................................................................. 234 Revisão .................................................................................................................... 243 ENEM e OBMEP ............................................................................................ 246
Medidas de volume ................ 248 Volume ..................................................................................................................... 250 Volume do paralelepípedo retângulo .........................................252 Volume do cilindro ....................................................................................... 255 Unidades de capacidade ........................................................................ 260 Revisão .................................................................................................................... 264 Resolvendo problemas ........................................................................... 266 ENEM e OBMEP .............................................................................................267
Acessando tecnologias................... 270 Ampliando seus conhecimentos .................................................. 288 Respostas ............................................................................................................. 292 Bibliografia.......................................................................................................... 320
capítulo Bernd Thissen/picture-alliance/ dpa/AP Images/Glow Images
1
Raízes
Cubo de Rubik sendo manipulado por um competidor em campeonato alemão na cidade de Duesseldorf, Alemanha, em 19 de novembro de 2013. O recorde de tempo de resolução do cubo mágico nesse campeonato é inferior a 7 segundos.
12
Cubo mágico Em 1974, o professor húngaro Ernő Rubik (1944-) apresentou um protótipo de cubo, feito em madeira e com as faces de diferentes cores, para ilustrar o conceito de terceira dimensão aos seus alunos de arquitetura. Ao girar cada uma das 6 faces coloridas do cubo, o aluno podia visualizar o movimento realizado. Nomeado de cubo mágico pelo seu inventor e depois popularizado como cubo de Rubik, na década de 1980, esse quebra-cabeça tridimensional, que exige raciocínio lógico e agilidade, continua desafiando as mentes mais criativas e agitando campeonatos. Após misturadas as peças das linhas e colunas, o objetivo do jogo é deixar novamente cada face com apenas uma cor. A versão mais conhecida tem cada face composta por 9 quadradinhos, dispostos em 3 linhas e 3 colunas.
Cubo mágico Veja mais informações sobre o cubo mágico no site: <http://eba.im/qheq6c> (acesso em: 18 maio 2015)
A Em sua opinião, por que Ernő Rubik nomeou sua
invenção de cubo mágico? B Na versão mais conhecida do cubo mágico, em
quantas peças de sua superfície é possível observar 3 cores diferentes? Por que tais peças possuem essa característica? C Certo cubo mágico é acondicionado em uma em-
balagem cúbica, cujas dimensões internas são as mesmas desse cubo. Sabendo que a capacidade da embalagem é de 512 cm 3, qual a medida da aresta do cubo mágico?
13
Radiciação Neste capítulo, aprofundaremos o estudo sobre a operação de radiciação. Para isso, considere o problema a seguir. Certo artesão vai produzir um troféu que será oferecido ao vencedor de um campeonato de cubo mágico. Esse troféu será confeccionado em metal e terá a forma de um cubo mágico, sendo que cada face deve ter 400 cm2 de área. Qual a medida da aresta do cubo que será produzido? Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da área do quadrado, que corresponde à face do cubo mágico. A=ℓ
400 = ℓ
2 2
A: área do quadrado ℓ: medida do lado do quadrado
ℓ
Waldomiro Neto
Note que os lados do quadrado correspondem a arestas do cubo.
Assim, temos que determinar um número positivo que elevado ao quadrado resulte em 400, ou seja, precisamos calcular a raiz quadrada de 400. ____ √400 = 20,
pois 20 = 20 ⋅ 20 = 400 2
Portanto, a aresta do cubo deve ter 20 cm. Quando o índice de uma radiciação é 2, costumamos não indicá-lo. Assim, a raiz quadrada de 400, por exemplo, pode ser expressa por: ____ √400
14
= 20.
A operação utilizada para resolver a situação acima é chamada radiciação. Nessa operação, podemos destacar os seguintes elementos: índice radicando
____
radical
√ 400 = 20 2
raiz
capítulo 1
Para resolver o item C da página 13, é necessário determinar a medida da aresta de um cubo mágico, sabendo que este seria acondicionado em uma caixa cúbica com as dimensões internas iguais às medidas das arestas do cubo e cuja capacidade é de 512cm3.
Ilustrações: Guilherme Casagrandi
O cubo representado tem volume igual a 512cm3. Qual a medida da aresta desse cubo?
Para obter a medida da aresta do cubo mágico, podemos utilizar a fórmula do volume do cubo. V = a3 V: volume do cubo 512 = a3
a: medida da aresta do cubo
Sendo assim, devemos calcular a raiz cúbica de 512. ___
√ 512 = 8, pois 8 = 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 512 3
A radiciação é a operação inversa da potenciação.
3
Portanto, a aresta desse cubo mágico mede 8 cm. ____
Podemos calcular raízes com índices maiores que 3. Veja alguns exemplos.
•• √ 625 = 5, pois 5 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 4
4
_____
Lê-se: raiz quarta de 625 é igual a 5.
•• √ − 243 = − 3, pois (− 3) = (− 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− 3) ⋅ (− 3) = − 243 5
5
Lê-se: raiz quinta de − 243é igual a − 3.
Seja a um número real e n um número natural maior que __ 1, temos de considerar os n seguintes casos para o cálculo da raiz enésima de a ( √ a ) . __
n √ a é um número b ≥ 0, tal que bn = a. Exemplos: ••Se n___for par e a ≥ 0, temos que __ ____ 2 ›› √ 121 = 11, pois 11 = 121
›› √ 81 = 3, pois 34 = 81 4
__
›› √ 729 = 3, pois 36 = 729 6
n < 0, não existe √ a no conjunto dos números reais. Exemplos: ••Se n for par e a____ 2 ›› Não existe √ − 9 em ℝ, pois não há um número real b, tal que b = − 9.
___
›› Não existe √ − 16 em ℝ, pois não há um número real b, tal que b4 = − 16. 4
__
n n for ímpar, temos que √ a é um número b, tal que b = a. Exemplos: ••Se n___ _____
›› √ 125 = 5, pois 53 = 125 3
_____
›› √ − 64 = − 4, pois (− 4) = − 64 3
3
›› √ 1 024 = 4, pois 45 = 1 024 5
_______
›› √ − 2 187 = − 3, pois ( − 3) = − 2 187 7
7
15
Atividades
Anote no caderno
4. Determine qual dos valores indicados no quadro substitui corretamente cada .
1. Calcule o perímetro de cada quadrado, em que a área está indicada. a)
a) √ 4
c)
=9
d ) √81 = 3 __
______
3 b ) √2 197 =
c) √ 5
A = 136,89 cm
A = 169 cm
______
______
6 e) √
=6
=4
_____
f ) √1 296 = 4
4 096
6
13 b)
______
7 776
6 561
4
5. Quais itens têm solução no conjunto dos números reais? _____
d)
6 a ) √− 64
d ) √− 25
3 c ) √− 1
8 f ) √− 23
____
Ilustrações: Acervo da editora
A = 225 cm
2. Determine a medida da aresta de cada cubo, em que o volume está indicado.
____
_____
5 b ) √− 32
A = 81 cm
_____
9 g ) √− 128
____
3 e ) √− 64
__
5 h ) √− 79
____
6. Os recipientes I e II têm a mesma capacidade e forma de paralelepípedo e cubo, respectivamente. I) 4 cm
b)
V = 125 m3
8 cm 16 cm
V = 216 m3
II )
Ilustrações: Acervo da editora
c)
a ) Qual a capacidade do recipiente I, em centímetros cúbicos? b ) Determine a medida da aresta do recipiente II.
V = 729 m
3
3. Com o auxílio de uma calculadora, resolva os itens arredondando o resultado para o centésimo mais próximo. __
16
__
a ) √18
c ) √10
e)
b ) √5
d ) √42
f )
__
Ilustrações: Acervo da editora
a)
___
___ √74 ____ √638
__
__
__
7. Observe a sequência.
__
√52, √54, √56, √58, ... 3
4
5
6
a ) Quais são os próximos três radicais dessa sequência? b ) Qual radical dessa sequência é igual a 5?
capítulo 1
Contexto
L S
ALEXANDRIA
Rio Nilo
EGITO
30°L
Mar Vermelho 0
230 km
Fonte: ATLAS geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. Estudio Meraki
30°N
Não se sabe exatamente o período em que Herão viveu, mas estima-se que tenha vivido na segunda metade do século I d.C.
Mar Mediterrâneo
N O
Autor desconhecido. Séc. XVII. Coleção particular
8. Herão de Alexandria foi um dos matemáticos que mais se destacou em sua época. Seus trabalhos, em geral, tratam com maior frequência de aplicações práticas da Matemática, dando grandes contribuições à Agrimensura e à Engenharia.
Agrimensura: arte ou técnica de medição de terras, campos etc.
Na obra Métrica, Herão propõe um método para o cálculo da raiz quadrada aproximada de um __ a + b ____ √ número natural que não seja quadrado perfeito. Nele, dado n = a ⋅ b, temos n ≃ , sendo 2 que, quanto mais próximos forem a e b, melhor será a aproximação. ___ Veja, por exemplo, o cálculo aproximado de √30. Como 30 = 5 ⋅ 6, podemos tomar a = 5 e b = 6. Dessa forma: ___ √30
5 + 6 = __ 11 = 5, 5 ≃ ____ 2 2
Logo, pelo método de Herão, √30 ≃ 5, 5. ___
___
a ) Para calcular o valor aproximado de √30 pelo método de Herão, quais outros valores podemos tomar para a e b, além dos apresentados no exemplo? ___
b ) Utilizando o método de Herão, calcule o valor aproximado de √30 com base nos valores de a e b indicados no item anterior. ___
c ) Determine uma aproximação de √30 em uma calculadora e compare com os resultados obtidos no exemplo e no item anterior.___ Para quais valores de a e b, o método de Herão resultou √ em uma melhor aproximação de 30? Por que isso ocorreu? d ) Utilizando o método de Herão, calcule o valor aproximado de: ___
• √20
___
• √72
___
• √35
____
• √120
Agora, junte-se a um colega e comparem as respostas obtidas por vocês e os valores determinados em uma calculadora.
17
Potências com expoente fracionário Em anos anteriores, estudamos potências com expoentes inteiros, como, por exemplo: − 4
2
13
− 7
5
5
11
8
(__ 5 ) 4 3
Agora, estudaremos potências com expoentes fracionários e como essas potências podem ser escritas por meio de__ radicais. 3 2 Considere a igualdade x = √ 4 . __
n Como nesse caso √ a = b implica em b = a, assim temos que: n
__
2 2 x = √ 4 ⇒ x3 = 4
3
(am) = am ⋅ n também
Como ambos os membros da igualdade são positivos, temos: __
3 2 Portanto, √ 4 = 4 .
3
__ 2
x3 = 4 ⇒ (x3 ) = (4 ) ⇒ x = 4 ⇒ x = 4 2
__ 1 3
2
__ 1 3
__ 3 3
__ 2 3
___
zero e n um número natural maior que 1, temos: √ am = an .
Atividades
A 7 √ 5 = 5
3
B __
__ 7 4
3 5 √ 12 = 12
__ m
Anote no caderno
9. Nas fichas, determine o número correspondente a cada letra. __
4 C √ 7 = 7
__
__ __ 1 E √10 = 10
__ 9 4
6 5 √ 9 = 9
6
D __
__ __ 3 F 5 6 √ 4 = 4
10. Escreva cada radical como uma potência de expoente fracionário. ___ __ __ 7 3 4 9 2 √ √ √ c ) 2 e ) 1 __ 7 a ) 6 __ _ 4 9 8 5 3 b ) √ 11 d ) √ 1 f ) √ 4 11. Determine o radical equivalente a cada potência. __ __ __ 4 2 1 5 9 6 a ) 3 c ) 8 e ) 6 5 8 __ 7 __ __ 1 2 3 2 b ) 6 d ) 15 f ) 47
18
é válida para m e n fracionários.
De modo geral, sendo a um número real positivo, m um número natural maior que n
___
n
__ 2 3
Podemos escrever potências de base positiva e expoente fracionário por meio de radicais e escrever radicais por meio de potências de base positiva e expoentes fracionários. Exemplos. __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 4 7 2 1 5 3 5 3 3 4 3 6 = 62 ••73 = √ 71 •• √ 35 = 34 ••95 = √ 92 ••22 = √2 7 •• √ 24 = 23 ••√
Note que o índice do radical corresponde ao denominador do expoente da potência.
__
A propriedade
12. Resolva as expressões. __ __ 1 1 2 3 a ) 6 4 + 81 − 12 __ __ 1 9 2 7 b ) 1 − 10 + 121 __ __ __ 1 1 1 10 4 2 c ) 6 25 − 1 024 + 100
Inicialmente transforme as potências em radicais.
13. Associe cada potência a um radical, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes. __ __ 2 8 3 3 __ __ 3 1 4 4 a ) ( 2 ) c ) (2 ) __ __ 9 3 10 4 __ __ 5 16 3 9 b ) (2 ) d ) (2 ) __
3 I ) √2 __
4 II ) √ 2
3
__
III ) √2 __ 3 2 IV ) √ 2
capítulo 1
Propriedades dos radicais Veremos a seguir algumas propriedades dos radicais. Em certas situações, essas propriedades auxiliam na realização de alguns cálculos. 1ª propriedade __
Observe os cálculos.
•• √ 63 = 63 = 61 = 6 3
__
A 1a propriedade também é válida se a for um número real negativo, e n, um número ímpar maior que 1. Por exemplo: _____ __ 7 7 7 7 √ (− 5) = (− 5) = − 5
•• √ 78 = 78 = 71 = 7
3 __
8
8 __
O índice do radical e o expoente do radicando são iguais. Nesse caso, o resultado é o próprio radicando.
De modo geral, sendo a um número real positivo e n um número __ n natural maior que 1, temos: √ an = a.
2ª propriedade
4
__
4
6
Observe os cálculos.
•• √ 95 = 94 = 94 ⋅ 3 = __
__ 5
___ 5 ⋅ 3
__ 6 4
___ 6 : 2 4 : 2
•• √ 8 = 8 = 8
___
___
15 √ 95 ⋅ 3 = √ 9
4 ⋅ 3
___
12
__
6 : 2 3 3 = √ 8 = √ 8 = √8
4 : 2
2
__
Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando pelo mesmo número natural não nulo, o radical obtido é equivalente ao inicial.
De modo geral, sendo a um número real positivo, n um número natural___ maior que 1 ____ ___
___
n n e √ am = √ am : q . e m e q naturais diferentes de zero, temos: √ am = √ am ⋅ q n ⋅ q
n : q
3ª propriedade
√
__ __ __ __ 1 1 4 4 4 √ 6 6 6 6 __ __ ___ __ __ •• 7 = ( 7 ) = __ 1 = √ 4 4 7 7 A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores. De maneira semelhante, a raiz de um quociente é igual ao quociente entre a raiz do dividendo e a do divisor.
Observe os cálculos. __ __ __ _____ __ __ 1 1 1 3 3 3 3 •• √ 5 ⋅ 9 = (5 ⋅ 9) = 53 ⋅ 93 = √ 5 ⋅ √ 9
4
De modo geral, sendo a e b números reais positivos e n um número natural maior __ __ ___ ___ n __ n __ __ n __ n n n a n n __ a ou √ √ √ a ⋅ √ b e √ __ = __ a : b = a : √ b. que 1, temos: √ a ⋅ b = √ n b √ b
4ª propriedade Observe os cálculos. __ 1 __1 3 __ __ __ __ __ 3 __ 1 ⋅ __ 1 1 1 3 4 __ 4 12 4 √ √ √ •• 5 = ( 5) = (5 ) = 54 3 = 512 = √ 5
__1 __ 2 __ __ __ __ 2 __ 1 __1 ⋅ __1 1 5 5 10 5 5 10 √ √ √ 7 = ( ) = (7 ) = 7 2 = 7 = √ 7 7 __1
••
A raiz de uma raiz pode ser representada por um único radical, no qual o índice é igual ao produto dos índices das raízes iniciais.
De modo geral, sendo a um número real positivo, e n e p números naturais maiores __ que 1, temos: √ √ a = n
p
__
__
√ a.
n ⋅ p
19
Atividades __
Anote no caderno
14. Calcule.
6 a ) √9
6
__
b) ___
√ 5
____
__1 (2)
5
c)
√(− 5) 3
•
12
3
__
___
• √(− 5)
√75 = √720 3
B
3
D
=
3
__
__ __ __ √7 ⋅ √12 ⋅ √3 __ 7 √ 13 __ __ 7 √9
__
6
a)
___
√
__
___ ___ 3 √√ 42 5
6
___
d)
___ ___ 12 √√ 74 =
√ 3
___ ___ 3 4 ___ √√ 74
6
__ __
__
4 3 √5 √ √6 __ ⋅ b ) __ 12 √4
__
6 5⋅√ __ 12 3
12
__
6 20. Veja como podemos simplificar ( √2) .
__
4 4 4 c ) √10 ⋅ √2 ⋅ √9
__
___ ___
8 c ) √√22 = √22
19. Escreva cada item em um único radical.
16. Escreva as expressões por meio de um único radical. a)
___
b ) √42 = 15
√(− 5) 9
__
6 a ) √√18 = √18
3
16 C 8 2 0, 6 = √0, 6 • √_____ _____
√94 = √9A
__ __
18. Quais igualdades são verdadeiras?
____
____
15. Determine o valor de cada letra.
•
_____
3
10
Camila Ferreira
√ 5 10 b) d ) __ __ ⋅ √ 20 10 √4 ___ 6 17. Observe como Henrique transformou √125 em uma raiz quadrada.
__
__
__
De maneira semelhante, simplifique. Renan Fonseca
8
c ) ( √9 )
b ) ( √4)
a ) ( √7)
2
9
3
18
4
a ) Nesse cálculo, que propriedade dos radicais Henrique utilizou?
__
n
= a pa-
4
3 22. Sabendo que √5 ≃ 1, 7, qual dos valores é
____ 4 √ 289 em uma raiz quadrada. ___ 18 √ 64 em uma raiz cúbica.
b ) De maneira semelhante, transforme:
______
6 mais próximo de √1 600?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Calculadora
23. Utilizando uma calculadora comum, podemos obter ______ raízes cujo índice é uma potência de 8 base 2. Veja, por exemplo, como podemos calcular √6 561. I Inicialmente, registramos o
número 6 561 e digitamos a ______ √ tecla , obtendo 6 561:
II Digitamos a tecla ______
2ª vez, obtendo
pela
_____ ______ √√6 561,
4 ou seja, √6 561.
III Por fim, digitamos a tecla ______ ______
______ 8 √ 6 561.
pela 3ª vez, obtendo 4 √√ 6 561, ou seja,
Ilustrações: Rogério Casagrande
1
______
_______
Utilizando uma calculadora, determine: 4 a ) √4 096
20
3
ra resolver o radical √(− 3) ? Justifique. Agora, calcule esse radical.
21. Podemos utilizar a propriedade _____
• •
__
√ an
2
8 b ) √65 536
__________
8 c ) √5 764 801
capítulo 1
Simplificação de radicais Muitas vezes, quando necessário, podemos escrever um radical de maneira simplificada, como, por exemplo, com um radicando menor. Observe como podemos simplificar algumas raízes.
•
___ √99
•
____ 3 √ 168
Decompomos o radicando em fatores primos. 99
3
33
3
11
11
32
168
2
84
2
42
2
21
3
7
7
1
Como 99 = 3 ⋅ 3 ⋅ 11, temos: =
___ √99
___ n √a ⋅ b
_____ √3 ⋅ 3 ⋅ 11
__
__
____ 3 √ 168
2 = √3 ⋅ 11
__
____
n
n ⋅ √b e
√ an n
= a, temos:
√32 ⋅ 11 = √32 ⋅ √11 = 3√11 ____
__
__
___
____
______
25. Determine o valor de cada a) b) c)
4 e ) √7 936
______
3 d ) √2 808
___
____ __ √175 = √7 ___ ___ √92 = 2√ ___ __ √ = 9√7
_____
a ) √5 ⋅ 6
_____ 3
4
4 4 b ) √5 ⋅ 6
3
____
2 I ) 30 √5 ⋅ 6
3
__
II ) 30 √5 3
____
___
d) e) f )
27. Observe como __Vanessa introduziu o fator 3 externo de 2 √5 no radicando.
5 f ) √18 711
.
____ __ √153 = √17 ___ ____ 3 3 √ 768 = 4 √ ___ ___ 3 3 √ = 3√ 20
26. Associe os itens cujos cálculos apresentam o mesmo resultado, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes. 3
___
= 2 √21
3 3 Portanto, √168 = 2 √21 .
______
4 c ) √405
b ) √162
____
Anote no caderno
24. Simplifique as raízes. 3 a ) √88
3
3
__
Atividades
__
3 3 = √2 ⋅ √3 ⋅ 7 =
__
Portanto, √99 = 3√11. ___
_____
3 = √ 2 ⋅ 3 ⋅ 7=
Renan Fonseca
√a
_____
3 = √2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 3
Utilizando as propriedades =
1
23
_____
c ) √5 ⋅ 6 3
_____ 4
5
3 4 d ) √5 ⋅ 6
3
__
III) 30 √6 3
___
IV) 30 √30 3
De maneira semelhante, introduza o fator externo no radicando. __
__
4 c ) 2 √8
3 a ) 3 √6
b)
__ 7√2
d)
___
√
___
e ) 4√3, 5
__ 3 6 √3
f ) 5
3
___ 1 25
28. Utilizando o símbolo <, escreva os números em ordem crescente. __
__
5√3
__
6√2 __
2√11
__
7√3 __
3√7
3√6 __
8√2
21
Operações com radicais Em muitas situações podemos realizar operações com radicais, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Essas operações podem simplificar expressões envolvendo radicais. + √588 − √300 . Veja como podemos calcular a expressão √ 48 ___
____
____
Inicialmente, simplificamos cada radical da expressão.
48 2
24 2
12 2
22
294 2
22
6 2
588 2
147 3
49 7
3 3
7 7
1
1
22
72
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
_______ 2
2
__
__
2
__
2
__
_______ __ __ ____ __ 2 2 2 2 √ √ √ √ = 2 ⋅ 7 ⋅ 3 = 2 ⋅ 7 ⋅ √ 3 •• 588 _______ __ __ ____ __ 2 2 2 2 300 = √2 ⋅ 5 ⋅ 3 = √2 ⋅ √5 ⋅ √ 3 ••√
Assim, temos:
52
1
= √2 ⋅ 2 ⋅ 3 = √2 ⋅ √2 ⋅ √ 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ √ 3 = 4√ 3 ••√48 ___
22
__
= 2 ⋅ 7 ⋅ √ 3 = 14√3 __
__
= 2 ⋅ 5 ⋅ √ 3 = 10√ 3 __
__
√48 + √588 − √300 = 4√ 3 + 14√ 3 − 10√ 3 ___
__
____
em evidência. Colocamos √3
____
__
__
__
3 + 14√ 3 − 10√ 3 = (4 + 14 − 10) √ 3 = 8√ 3 4√ __
__
__
__
__
+ √588 − √300 = 8√3 . Portanto, √48 ___
____
____
__
Agora, veja como podemos realizar multiplicações e divisões envolvendo radicais de mesmo índice. 2 2 2 ⋅ √15 = √80 ⋅ 15 = √1 200 = √2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ √ 3 = 20√3 ••√80
___
______
__
______
_________
__
_______ ______ _______ ____ __ __ __ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 √ √ √ √ √ 432 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 ⋅ √ = 6 √ 2 2 •• 2 160 : 5 = 2 160 : 5 =
Atividades
Anote no caderno
30. Calcule o perímetro do retângulo, simplificando o resultado se possível.
29. Simplifique as expressões.
− √486 − √294 a ) − √54 ____
___
____
2 12 cm
+ √50 − √98 + √242 b ) √128 ____
___
____
___
____
____
− √ 875 c ) √ 189 − √ 448 3
3
3
− √108 + √176 + √675 d ) √396 ____
22
____
___
____
Acervo da editora
____
__
2 3 cm
37. Veja como Bruna resolveu a expressão
a) b) c) d)
___ ___ √44 + 2√99 ___ ___ 2√24 − √54 ____ ___ − √252 + √28 ___ ___ __ √96 + √11 − 3√112
___ __ √63 ⋅ (√14
__ √6 ≃ 2, 45 __ √7 ≃ 2, 65 __ √11 ≃ 3, 32
+ √126). ___
___ __ __ √72 + √A = 11√2
Renan Fonseca
32. Determine os números correspondentes a cada letra nas igualdades. ____ ___ √126 + 3√56 = B
De maneira semelhante, calcule: a ) √12 ⋅ (√8 + √15) __
33. Sendo a = √2 e___ b = √3____ , qual dos itens ____ __
__
corresponde a √162 − √588 + √450? c ) 24a − 14b
b ) 24a − 17b
d ) 14a − 24b
_____
__ √8
cm, quantos centímetros tem o maior lado desse retângulo? 39. Calcule o volume de cada paralelepípedo.
__
a)
3 3 c ) √1 875 : √3
__
____
4 4 d ) √144 : √9
2 2 cm
e ) √12 ⋅ √14 : √3 __
____
__
__
___
____
__
__
__
__
___
3 3 3 f ) √320 : √5 ⋅ √20
3 2 cm 128 cm
35. Calcule a área dos polígonos, simplificando o resultado quando possível.
b) 2 5 cm 3
a)
b) 3 5 cm
42 m 3
54 m
3
96 m
18 m
a ) √34 ⋅ √8 = 4√x
b)
__
__
x ⋅ √40 = 8√10 __
___
__
__
__
x c ) √4 : √2 = 4√2
√
__
d ) √550 : √11 = x√2 ____
__
3 40 cm 3
Quando possível, simplifique o resultado.
40. Escreva uma multiplicação de dois radicais cujo produto seja: __
__
___
5 b ) √10
__
36. Determine o valor de x nas igualdades. ___
Ilustrações: Acervo da editora
3
Ilustrações: Acervo da editora
___
___
2√336 cm2 e que seu menor lado mede
a ) √648 : √6 b ) √76 ⋅ √12
__
38. Sabendo que a área de um retângulo é
34. Efetue os cálculos. ____
__
b ) (√6 + √32) ⋅ (√2 − √24)
__
a ) 17a − 14b
capítulo 1
31. De acordo com as informações do quadro, calcule o valor aproximado de:
a ) 4√13
3 c ) 2 √72
Agora, junte-se a um colega para comparar as multiplicações que vocês fizeram. 41. Simplifique a expressão.
__ ____ √2 ⋅ (√126
+ √56) − √3 ⋅ (√84 − √3 + √48) ___
__
___
__
___
23
Racionalização de denominador Observe algumas frações cujos denominadores são raízes não exatas. 5__ 4__ 2__ 7__ • __ • __ • __ • __ 4 3 √ √10 √ √ 11 6 3
8__ • ___ √ 2 15
Para facilitar as operações entre frações com essa característica, podemos utilizar a racionalização de denominador. Esse artifício consiste em transformar uma fração em outra equivalente de maneira que não haja radical em seu denominador. 5__ . Veja, por exemplo, como podemos racionalizar o denominador de __ √10 5__ . Inicialmente, temos de determinar a fração conveniente que multiplicará __ √10 __ __ __ ____ √10 __ , eliminando assim a Como √10 ⋅ √10 = √100 = 10, multiplicamos a fração por __ √10 raiz do denominador. __ 5___ 5___ = __ __ √10 √10
√10 √10 5√10 = __ ___ = ___ ⋅ __ 10 2 √10 ___
___
___
√10 5__ __ = 1. Assim, ao multiplicarmos __ Note que __ √10 √10 por essa fração, não alteramos seu valor.
__
√10 5__ e __ Ao realizarmos por escrito o cálculo aproximado de __ , sabendo que 2 √ 10 __ √10 ≃ 3, 162, perceberemos que é mais prático o cálculo em que o denominador não é um radical. __ √10 5__ ≃ 5 : 3, 162 __ __ •√ • 2 ≃ 3, 162 : 2 10
5 0 0 1 8 3 2 5 4
Atividades
0 8 7 0 8
0 0 0 4 0 7 8
3 1 6 2 1, 5 8 1 ...
2 0 0 0 3 1 6 2 1, 5 8 1 1 1 6 2 0 1 6 2 0 0 2 0 0 0 0
Anote no caderno
42. Na lousa, há duas maneiras diferentes de ra3 __ . cionalizar o denominador de ___ 2√5 a ) Ambas as maneiras de racionalização de denominadores estão corretas? c ) Racionalize o denominador de cada fração da maneira que preferir. 9 __ 1 __ • ___ • ___ 8√11 4√2 6 __ 10__ • ___ • ___ √ 7√6 5 3
24
Camila Ferreira
b ) Qual dessas maneiras você prefere? Por quê?
43. Racionalize o denominador das frações. 3__ 5__ a ) __ c ) __ √14 √2
capítulo 1
__
√12 __ e ) __ √7
1__ 12__ b ) __ d ) __ √5 √6 __ 4___ . 44. Considerando √5 ≃ 2, 24, calcule o valor aproximado de − ___ √20
__
f)
√__83
__
Acervo da editora
45. Determine a medida do menor lado do retângulo, sabendo que sua área é 6√2 cm2.
2 14 cm
8__ . 46. Observe como podemos racionalizar o denominador de __ 3 √22 __ __ __ __ 3 3 3 3 __ √2 √2 √2 √2 3 8 8__ ⋅ __ 8 8__ = __ 8 __ ___ ___ ____ √2 __ = _____ = = 4 __ = 3 3 3 3 3 2 √22 √22 √2 √22 ⋅ 2 √ 23 Agora, racionalize os denominadores das frações a seguir. 9__ 7__ 4__ c ) __ a ) __ b ) __ 7 8 6 5 √5 √35 √3
6___ d ) ___ 10 √154
4 2
Acervo da editora
47. Calcule o volume do paralelepípedo e racionalize o denominador, se necessário.
dm
4 dm
3 3
dm
Renan Fonseca
5 __ . 48. Veja como Rodrigo racionalizou o denominador de ____ 3 + √2
a ) Qual dos produtos notáveis a seguir Rodrigo utilizou na racionalização?
• (a + b) = a2 + 2ab + b2 2 • (a − b) = a2 − 2ab + b2
• (a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b2
2
b ) De maneira semelhante, racionalize o denominador de: 9 __ • ____ 9 + √5
13 __ • ___ 1 − √7
__
√ __ 3 • ____ √8 − 4
10 +
__ 1 __ • ____ √ √
6
25
Refletindo sobre o capítulo 1. Quais foram os conteúdos abordados neste capítulo? 2. Descreva os procedimentos utilizados para calcular a raiz quadrada aproximada por meio do método de Herão. 3. É possível calcular a raiz quinta de − 32 no conjunto dos números reais? Justifique. ____
4. Como você faria para escrever a potência a 0,25, com a > 0, por meio de um radical? ___
n 5. Sendo m, n e p números naturais maiores que 1, a igualdade √ am = √ am + p é verdadeira? Justifique por meio de um exemplo numérico. n + p
6. Quais as vantagens de racionalizar o denominador de uma fração? 7. A partir dos conteúdos estudados neste capítulo, elabore e escreva algumas questões relacionadas a eles. Junte-se a um colega, troquem as questões que vocês elaboraram e discutam as resoluções.
Revisão
Anote no caderno
49. Responda às questões. a ) Qual a medida do lado de um quadrado cuja área é 289 cm2? 43 cm3, b ) Se o volume de um cubo é 3 qual a medida de sua aresta? _____
50. Calcule.
a ) √ − 216 3
_
b ) √ 1 4
____
c ) √ − 32
√ 5
____
d ) ____ 27 343 3
___
_____
53. Considere as igualdades.
____
e ) √ 243 5
____
f ) √ 256 4
51. A figura apresenta dois cubos. Sabendo que o volume do cubo maior é 729 cm3, determine o volume do cubo menor.
2 − 49 ••A = √ 64 + √ − 243
3
5
____
••B = (3 ) − √ 128 − 256 __ 1 4 2
7
__
__ 1 2
___
3 ••C = √ 43 − (363) + √ 216 6
1 __ 6
É correto afirmar que: a ) A > B > C
c ) A < C < B
b ) A − B < C
d ) A + B < C
54. Determine o número correspondente a cada nas igualdades. __
__
___
Acervo da editora
__
___
____
a ) √ 3 ⋅ √ 4 = √ d ) √ 4 ⋅ √ = √ − 12 3
3
b ) √1 5 = 15
3
7
__
24
c ) √ 8 = √8 12
__ __ 3 √ a ) √ 4
__
7
__
8
___
___
f ) √ 9 = √ 27 : √
__
2
__
7
6 e ) √ 3 = √ 3
__
3 cm
__ 1
10
__ __ √ b ) √ 21
10
10
__ __ __ 7 √ √ √ c ) 6
55. Transforme em um único radical. 6
5
4
___
56. Determine um radical com índice 8 que se21 ja equivalente a √ 5 .
12
52. Realize simplificações e escreva cada expressão por meio de radicais. 4 __ __ __ __ 1 7 5 3 6 6 5 2 8 a ) (6 ) b ) 3 ⋅ 3 c ) 2 : 2
26
__
57. Sabendo que √ 6 ≃ 1, 8, calcule o valor apro ____ 3
ximado de √ 750. 3
_
√c 8
__
4
= 4, 3, calcule o valor de
a ⋅b. √____ c 8
4
62. Na figura estão indicadas as dimensões internas de um reservatório com forma de paralelepípedo.
2
59. Na igualdade √8 + √18 = n√2, qual o valor de n? 60. Determine.
__
a ) √63 + √252 ___
d ) √6 ⋅ √30
____
__
__
b ) √20 − √80 ___
___
__
3 3 e ) √16 ⋅ √16
___
____
___
__
3 3 c ) √54 + √128
f )
a ) Escreva, por meio de um único radical, a capacidade desse reservatório.
____ __ √204 : √17
b ) A capacidade desse reservatório é maior, menor ou igual à de um reservatório cúbico __ cuja medida da aresta interna é 2√2 cm? Justifique.
50 cm C
B
A
63. Determine o valor das expressões. a ) √3 ⋅ (√18 + √32) − √114 : √19
b) 2 80 cm
__
___
__
__
__
___
__
Acervo da editora
180 cm 3 80 cm
ENEM e OBMEP
__
__
__
64. Racionalize os denominadores. 6___ 4__ a ) __ c ) ____ √15 5√22 8 __ 9__ d ) ____ b ) __ √6 10 + √3
D
B
A
__
b ) √12 ⋅ (√3 − √12) + √2 ⋅ (√6 − √18)
18 cm
C
6 cm 11 cm
61. Calcule a medida do segmento de reta AB em cada item. a)
2 2 cm
Acervo da editora
__
Anote no caderno
65. (ENEM-MEC) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: massa (kg) IMC = __________2 [altura (m)]
altura (cm) __________ RIP = _________ 3 √ massa (kg)
ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado). 2
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m , então ela possui RIP igual a: __1 __1 __1 a ) 0, 4 cm/kg b ) 2, 5 cm/kg
3
c ) 8 cm/kg
__1 3
3
d ) 20 cm/kg
e ) 40 cm/kg
3
__1 3
66. Desafio 2 (OBMEP) Quantas vezes 17 deve aparecer dentro do radicando na igualdade _____________
√172 + 172 + . . . + 172 = 172 + 172 + 172 para que ela seja verdadeira? a) 9
b ) 51
c ) 289
d ) 861
e ) 2 601
27
capítulo 1
__
58. Sabendo que √a = 8, 6, √b = 1, 5 e ____