Potências com expoente fracionário Em anos anteriores, estudamos potências com expoentes inteiros, como, por exemplo: − 4
2
13
− 7
5
5
11
8
(__ 5 ) 4 3
Agora, estudaremos potências com expoentes fracionários e como essas potências podem ser escritas por meio de__ radicais. 3 2 Considere a igualdade x = √ 4 . __
n Como nesse caso √ a = b implica em b = a, assim temos que: n
__
2 2 x = √ 4 ⇒ x3 = 4
3
(am) = am ⋅ n também
Como ambos os membros da igualdade são positivos, temos: __
3 2 Portanto, √ 4 = 4 .
3
__ 2
x3 = 4 ⇒ (x3 ) = (4 ) ⇒ x = 4 ⇒ x = 4 2
__ 1 3
2
__ 1 3
__ 3 3
__ 2 3
___
zero e n um número natural maior que 1, temos: √ am = an .
Atividades
A 7 √ 5 = 5
3
B __
__ 7 4
3 5 √ 12 = 12
__ m
Anote no caderno
9. Nas fichas, determine o número correspondente a cada letra. __
4 C √ 7 = 7
__
__ __ 1 E √10 = 10
__ 9 4
6 5 √ 9 = 9
6
D __
__ __ 3 F 5 6 √ 4 = 4
10. Escreva cada radical como uma potência de expoente fracionário. ___ __ __ 7 3 4 9 2 √ √ √ c ) 2 e ) 1 __ 7 a ) 6 __ _ 4 9 8 5 3 b ) √ 11 d ) √ 1 f ) √ 4 11. Determine o radical equivalente a cada potência. __ __ __ 4 2 1 5 9 6 a ) 3 c ) 8 e ) 6 5 8 __ 7 __ __ 1 2 3 2 b ) 6 d ) 15 f ) 47
18
é válida para m e n fracionários.
De modo geral, sendo a um número real positivo, m um número natural maior que n
___
n
__ 2 3
Podemos escrever potências de base positiva e expoente fracionário por meio de radicais e escrever radicais por meio de potências de base positiva e expoentes fracionários. Exemplos. __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 4 7 2 1 5 3 5 3 3 4 3 6 = 62 ••73 = √ 71 •• √ 35 = 34 ••95 = √ 92 ••22 = √2 7 •• √ 24 = 23 ••√
Note que o índice do radical corresponde ao denominador do expoente da potência.
__
A propriedade
12. Resolva as expressões. __ __ 1 1 2 3 a ) 6 4 + 81 − 12 __ __ 1 9 2 7 b ) 1 − 10 + 121 __ __ __ 1 1 1 10 4 2 c ) 6 25 − 1 024 + 100
Inicialmente transforme as potências em radicais.
13. Associe cada potência a um radical, escrevendo a letra e o símbolo romano correspondentes. __ __ 2 8 3 3 __ __ 3 1 4 4 a ) ( 2 ) c ) (2 ) __ __ 9 3 10 4 __ __ 5 16 3 9 b ) (2 ) d ) (2 ) __
3 I ) √2 __
4 II ) √ 2
3
__
III ) √2 __ 3 2 IV ) √ 2