Outras relações métricas no triângulo retângulo Além do teorema de Pitágoras, existem outras relações métricas entre os elementos de um triângulo retângulo. Inicialmente, vamos identificar esses elementos. Consideremos o triângulo retângulo ABC a seguir, em que:
A projeção ortogonal de um segmento de reta AB sobre uma reta r é um segmento de reta obtido pela projeção ortogonal de todos os pontos desse segmento de reta sobre a reta r.
• BC é a hipotenusa de medida a.
A
• AC é o cateto de medida b. • AB é o cateto de medida c.
A
• AH é a altura relativa à hipotenusa de medida h.
B A’
c
B’
B
n
• BH é a projeção ortogonal, de medida n, do cateto AB sobre a hipotenusa.
r
A’B’ é a projeção ortogonal do segmento de reta AB sobre
b
h m
C
H a
• HC é a projeção ortogonal, de medida m, do cateto AC sobre a hipotenusa.
a reta r.
B
A a
c
h
b
B n
C
A
b
H
C m
H
c h
A
Ilustrações: Editoria de arte
Podemos observar que AH dividiu o triângulo ABC em outros dois triângulos também retângulos: HBA e HAC. Comparando esses triângulos com o triângulo ABC, concluímos que eles são semelhantes pelo caso AA, pois os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares. A partir da semelhança entre os triângulos formados, podemos estabelecer as relações apresentadas a seguir. Para auxiliar na visualização, a figura abaixo mostra os triângulos ABC, HAC e HBA separadamente, com os ângulos correspondentes destacados.
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da respectiva projeção do cateto sobre a hipotenusa: • Como ABC HAC, temos:
a b Æ b m
b2 a m
• Como ABC HBA, temos:
a c Æ c n
c2 a n
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa: h n Æ h2 m n • Como HAC HBA, temos: m h Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa: • Como ABC HAC, temos:
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Unidade 6
a b Æ c h
a h b c
Introdução à Trigonometria
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