Semelhança de triângulos Vimos que dois polígonos são semelhantes quando se verificam duas condições: os ângulos correspondentes são congruentes e os lados homólogos são proporcionais. Entretanto, os triângulos constituem um caso especial. É possível escolher um conjunto de critérios mínimos que garantam a semelhança entre dois triângulos sem que seja necessário verificar as três congruências e as três proporcionalidades. Esses conjuntos de critérios podem ser demonstrados e são conhecidos como casos de semelhança. A seguir, apresentamos três casos de semelhança. 1o caso: ângulo-ângulo (AA) E
Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
B
A
C
D A Æ ABC DEF F C F
D
2 caso: lado-ângulo-lado (LAL) o
Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
D A
E B AB BC Æ ABC DEF DE EF
E
B C
F
3o caso: lado-lado-lado (LLL) D
Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.
A
AB BC AC Æ ABC DEF DE EF DF B
C
E
F
Observação: Quando indicamos a semelhança por ABC DEF, isso significa que os vértices A, B e C são correspondentes aos vértices D, E e F, respectivamente. Nesse caso, os pares de lados homólogos são AB e DE, BC e EF, AC e DF .
Teorema fundamental da semelhança
Pelo teorema de Tales, temos:
A
P
Q
B
r
C
Ilustrações: Editoria de arte
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros dois lados em pontos distintos determina um novo triângulo semelhante ao primeiro. Consideremos o triângulo ABC da figura ao lado. Nele, vamos traçar uma reta r, paralela ao lado BC , que vai intersectar o lado AB no ponto P e o lado AC no ponto Q. AP AQ . AB AC
Do paralelismo de r com o lado BC, temos: P B e Q C. Assim, os triângulos APQ e ABC têm os ângulos ordenadamente congruentes. Portanto, pelo caso AA de semelhança, concluímos que APQ ABC. Capítulo 11
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Proporcionalidade e semelhança
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