MATHÉMATIQUE 5 e secondaire Cahier de savoirs et d’activités
STÉPHANIE BOYER
JASMIN CORBEIL-DUPUIS
JEAN-MICHEL PANET
5 puissance
SÉQUENCE Sciences naturelles
Conforme à la progression des apprentissages EXTRAIT PARUTION MARS 2025
presentation de la collection
La collection Puissance : la force mathématique
Le cahier de savoirs et d’activités et le carnet de révision contiennent tout ce dont les élèves ont besoin pour réussir le cours de mathématique, en 5e secondaire, séquence Sciences naturelles
Cette collection adopte une approche par notions organisée en huit chapitres. Elle respecte la pratique enseignante et encourage l’autonomie des élèves.
LE QUESTIONNAIRE DIAGNOSTIQUE
Le cahier s’ouvre sur un questionnaire diagnostique portant sur des connaissances acquises en 4e secondaire. Cette mise à niveau est très utile en début d’année scolaire.
LES CHAPITRES
questionnaire
QUESTIONS
Chaque chapitre débute par un sommaire et une explication sur le sujet à l’étude. La rubrique À quoi ça sert ? permet en effet de faire comprendre aux élèves l’utilité du concept étudié.
La réactivation des connaissances rappelle les connaissances préalables à l’acquisition des concepts enseignés dans le chapitre.
Chaque chapitre est divisé en sections. Dans chacune d’elles, la théorie est séparée en plusieurs encadrés pour faciliter l’apprentissage. Des exemples concrets accompagnent les encadrés théoriques. Ils renforcent la compréhension des élèves en illustrant les concepts appris ou en détaillant les différentes étapes d’une démarche de résolution.
4.
Une série d’exercices et des problèmes disposés par ordre croissant de difficulté suivent la théorie. Les connaissances et les processus sollicités dans ces activités d’apprentissage variées respectent le Programme de formation de l’école québécoise et la Progression des apprentissages (PDA).
Les élèves sont amenés à réinvestir leurs connaissances de différentes façons dans la consolidation du chapitre.
• Les exercices de révision sont divisés en trois sections :
‒ des questions à choix multiple ; ‒ des questions à court développement ; ‒ des questions à long développement.
• Une situation d’application (CD2) ou une situation de conjecture (CD2) permet aux élèves d’utiliser leurs connaissances dans un contexte significatif.
• Une situation-problème (CD1) propose aux élèves de réinvestir leurs connaissances dans un contexte complexe et ouvert. Ayant accès à l’énoncé de la situation en tout temps, les élèves peuvent facilement y écrire la démarche.
À la fin de chaque chapitre, une feuille de notes est proposée. Ce résumé théorique contient des formules, des démarches, des énoncés théoriques ou des exemples. Cet outil de référence regroupe tout ce qu’il est important de retenir dans le chapitre.
LES CONSOLIDATIONS D’ÉTAPE
À la fin de chaque étape, des exercices de consolidation permettent aux élèves de réviser les notions relatives à plusieurs chapitres avant de poursuivre leurs apprentissages.
LE CARNET DE RÉVISION
À la fin de l’année, un grand nombre de concepts doivent être révisés. Le carnet de révision prépare les élèves à leur examen final grâce à des exercices, des situations d’application et de conjecture, et une pratique d’examen complète qui inclut une situation-problème.
des mati eres
ÉTAPE 1
CHAPITRE 1
1.1
Définir les composantes, la norme et l’orientation des vecteurs
Déterminer les composantes d’un vecteur à partir de sa norme et de son orientation
Déterminer l’orientation d’un vecteur à partir de ses composantes
1.2
1.3
2.2 La fonction racine carrée ........... 85
Utiliser les propriétés des radicaux .... 85
Étudier la fonction racine carrée de base 87
Étudier la fonction racine carrée transformée 87
Rechercher la règle d’une fonction racine carrée 91
Déterminer la règle de la réciproque d’une fonction racine carrée ......... 94
Résoudre une équation impliquant la fonction racine carrée ............. 95
Résoudre une inéquation impliquant la fonction racine carrée ............. 96
2.3 La fonction rationnelle ............. 100
Étudier la fonction rationnelle de base ........................... 100
Étudier la fonction rationnelle transformée ....................... 100
Rechercher la règle d’une fonction rationnelle ........................ 104
Déterminer la règle de la réciproque d’une fonction rationnelle ........... 107
Résoudre une équation impliquant la fonction rationnelle............... 108
Résoudre une inéquation impliquant la fonction rationnelle...............
Étudier la fonction exponentielle transformée 134
Rechercher la règle d’une fonction exponentielle 138
Résoudre une équation impliquant la fonction exponentielle
Résoudre une inéquation impliquant la fonction exponentielle ............. 145
3.2 Les propriétés des logarithmes ...... 149
Passer de la forme logarithmique à la forme exponentielle ............. 149
Utiliser les lois des logarithmes ....... 151
3.3 La fonction logarithmique .......... 155
Étudier la fonction logarithmique de base ........................... 155
Étudier la fonction logarithmique transformée ....................... 155
Rechercher la règle d’une fonction logarithmique 159
Résoudre une équation impliquant la fonction logarithmique 164
Résoudre une inéquation impliquant la fonction logarithmique 165
3.4 Des situations impliquant les fonctions exponentielles et logarithmiques 169
Déterminer la règle de la réciproque d’une fonction exponentielle ou logarithmique ................... 169
Utiliser les logarithmes pour résoudre une équation exponentielle .......... 171
Utiliser la fonction exponentielle et les logarithmes dans un contexte financier .......................... 174
Consolidation du chapitre 3
CHAPITRE 4
L’analyse et la synthèse des fonctions
Étudier
4.1 La fonction périodique ............. 192
Définir la période, le cycle et la fréquence ..................... 192
Représenter une fonction périodique transformée ............. 194
4.2 La fonction définie par parties ...... 196
Écrire la règle d’une fonction
définie par parties .................. 196
Identifier le type de fonction ......... 199
Représenter une fonction définie par parties ........................ 200
Rechercher la règle d’une fonction
définie par parties .................. 202
4.3 Les opérations sur les fonctions 206
Opérer sur les fonctions ............. 206
Définir la composition de fonctions .... 209
4.4 Les applications des fonctions ...... 212
Modéliser un nuage de points à l’aide de fonctions ................ 212
Trouver les solutions d’une équation ... 216
Estimer les solutions d’une équation ... 216
Consolidation du chapitre 4 ............ 220
Situation d’application ................ 226
Situation-problème – L’heure du repas .. 228
Feuille de notes ...................... 230 CONSOLIDATION DE L’ETAPE
3
CHAPITRE 5
Réactivation des connaissances ........
5.1 Les systèmes d’inéquations linéaires ......................... 242
Définir la région-solution d’un système d’inéquations .......... 242
Reconnaître les contraintes de positivité 247
5.2 Le polygone de contraintes ......... 251
Définir un polygone de contraintes .... 251
Déterminer les
CHAPITRE 6
les formules de la somme ou de la différence de deux
Situation-problème
Feuille de notes ...................... 326
CHAPITRE 7
Les fonctions trigonométriques ..... 327
Réactivation des connaissances ........ 328
7.1 Les fonctions sinusoïdales .......... 330
Étudier les fonctions cosinus et sinus de base ........................... 330
Étudier les fonctions cosinus et sinus transformées ...................... 330
Représenter une fonction sinusoïdale .. 336
Rechercher la règle d’une fonction sinusoïdale ........................ 340
7.2 La fonction tangente ............... 348
Étudier la fonction tangente de base ... 348
Étudier la fonction tangente transformée ....................... 348
Représenter une fonction tangente .... 350
Rechercher la règle d’une fonction tangente .......................... 352
7.3 Les fonctions réciproques .......... 354
Étudier la réciproque d’une fonction trigonométrique ................... 354
7.4 Les équations et les inéquations trigonométriques.................. 356
Résoudre une équation impliquant une fonction trigonométrique ........ 356
Résoudre une inéquation impliquant une fonction trigonométrique ........ 365 Consolidation du chapitre 7 ............ 368 Situation d’application ................ 374 Situation-problème –
Représenter la région intérieure ou extérieure d’une parabole
Déterminer les coordonnées des points d’intersection d’une droite et d’une conique ..................... 414
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de deux coniques 417
l es vecteurs
Les vecteurs servent à représenter les forces invisibles qui régissent notre monde. En effet, ils sont fréquemment employés en physique, en astronomie et en navigation, mais ils ont également une utilité dans les sports où les athlètes doivent se déplacer et atteindre des vitesses vertigineuses. C’est au début du 19e siècle que ce tout nouvel objet mathématique qu’est le vecteur fait son apparition, mais il est le résultat de beaucoup de travaux communs à plusieurs mathématiciens tels que Bernard Bolzano, Jean-Victor Poncelet et Michel Chasles. Une loi importante des opérations sur les vecteurs porte même le nom de ce dernier.
reactivation des connaissances
1. Déterminez la valeur de x dans chacun des triangles rectangles.
2. Calculez la pente des objets représentés dans les plans cartésiens. a b r eponse i r eponse i
2) H(12, 5) y x
3. Déterminez la mesure des segments du numéro 2. a Segment DC b Segment GH
r eponse i r eponse i
4. Déterminez la valeur de y pour laquelle les énoncés sont vrais en fonction des points donnés.
M(3, 4) N(5, y) O(-3, -2) P(0, 4) a MN ∥ OP b MN ⊥ OP
r eponse i r eponse i
1.1 les vecteurs et leurs caracteristiques
Définir ce qu’est un vecteur
Un vecteur est un objet géométrique du plan cartésien. Plus particulièrement, il s’agit d’un segment de droite orienté qui sert à représenter les distances, les forces ou les vitesses. Dans le plan cartésien, le vecteur AB est une flèche qui part du point A, l’origine du vecteur, et qui se rend au point B, l’extrémité du vecteur. La droite sur laquelle le vecteur prend forme est appelée support (ou droite support) du vecteur.
Le vecteur AB est noté ⟶ AB . Les vecteurs peuvent également être notés par des lettres minuscules, par exemple → u , →
exercices
1. Tracez et identifiez correctement les vecteurs dans le plan cartésien en vous basant sur la description de chacun d’eux.
• Un vecteur dont l’origine est le point C(3, -2) et dont l’extrémité est D(-1, 2).
• Un vecteur v qui a comme support une droite parallèle à l’axe des abscisses.
• Un vecteur t dont l’origine coïncide avec l’extrémité du vecteur v et qui passe par le point (4, 4).
2. Indiquez si chaque énoncé est vrai ou faux.
a Le vecteur AB et le vecteur w ont la même origine.
b → u et → v représentent le même vecteur.
c → w = ⟶ BC
d L’extrémité du vecteur v est le point (2, 6).
3. Un oiseau en plein vol décide de se poser sur une branche. Le déplacement de l’oiseau peut être représenté par un vecteur.
a Identifiez l’origine et l’extrémité du vecteur.
b Tracez le vecteur.
c Nommez le vecteur.
4. Complétez les énoncés à partir des vecteurs représentés dans le plan cartésien.
a La pente de la droite qui supporte le vecteur AB est de .
b Le point est l’origine du vecteur v
c Les droites support des vecteurs u et v sont .
d La droite support du vecteur BF est
Définir les composantes, la norme et l’orientation des vecteurs
Chaque vecteur se caractérise par une direction, un sens et une grandeur.
Les composantes d’un vecteur
Il est possible de décomposer un vecteur en suivant les deux axes du plan.
La composante horizontale, notée x→ u , correspond à l’écart entre les abscisses de l’origine et de l’extrémité du vecteur.
x→ u = xB xA
La composante verticale, notée y→ u , correspond à l’écart entre les ordonnées de l’origine et de l’extrémité du vecteur.
y→ u = yB yA
Les composantes d’un vecteur, notées (x→ u , y→ u ), sont souvent appelées coordonnées cartésiennes
La norme d’un vecteur
La norme d’un vecteur correspond à sa grandeur. Il suffit d’appliquer le théorème de Pythagore avec les composantes du vecteur pour trouver cette norme, qui est notée ‖→ u ‖.
La formule est représentée ainsi.
Lorsque la norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est dit unitaire.
L’orientation d’un vecteur
La direction (support) et le sens (flèche) d’un vecteur définissent son orientation, c’est-à-dire
l’angle positif du vecteur par rapport à un segment parallèle à la partie positive de l’axe des x.
La notation θ→ u désigne l’orientation du vecteur u.
2
La norme et l’orientation d’un vecteur forment les coordonnées polaires du vecteur, notées (‖→ u ‖, θ→ u )
EXEMPLE 3
Voici les caractéristiques du vecteur w.
• Nom du vecteur : → w ou ⟶ DE
• Origine : D(7, 3)
• Extrémité : E(3, 6)
• Composantes : x→ w = -4, y→ w = +3, donc → w = (-4, 3)
• Orientation : θ→ w = 143°
• Norme : ‖→ w ‖ = √ (-4) 2 + 3 2 = 5
• Coordonnées polaires : (5, 143°) EXEMPLE 1
1. Déterminez les composantes de chacun des vecteurs illustrés dans le plan cartésien.
2. Calculez l’orientation de chacun des vecteurs.
3. Associez chaque vecteur à ses coordonnées polaires.
a → a = (12, -17)
b → b = (-11, -11)
c → c = (-15, 9)
4. Déterminez la norme de chaque vecteur.
(≈ 15,56 ; 225°)
(≈ 19,31 ; ≈ 21,25°)
(≈ 17,49 ; ≈ 149,04°)
(≈ 20,81 ; ≈ 305,22°)
a → u = (30, 40) b → v = (-12, 17) c → w = (-5, -1)
5. Déterminez, à l’aide de l’échelle, la norme réelle des vecteurs représentés dans le plan.
d → d = (18, 7) 1
Échelle 1 : 4 a c b d
6. Un bateau part du quai situé au point A et se dirige vers le milieu du lac, soit le point M.
Sachant que le bateau suit le vecteur
⟶ AM = (100, 240), quelle distance en mètres a-t-il parcourue ?
r eponse i r eponse i
Déterminer les composantes d’un vecteur à partir de sa norme et de son orientation
Il est possible de trouver les composantes d’un vecteur sans connaître ses extrémités. En effet, si sa norme et son orientation sont connues, il suffit de voir le vecteur comme étant l’hypoténuse d’un triangle rectangle formé par ses composantes. Ainsi formé, le triangle rappelle les rapports trigonométriques cosinus et sinus.
exercices
1. Déterminez les composantes de chaque vecteur à l’aide de sa norme et de son orientation.
2. Représentez les vecteurs en respectant les graduations des plans cartésiens.
3. Indiquez si chaque affirmation est vraie ou fausse. Si elle est fausse, corrigez-la.
a Deux vecteurs qui ont la même norme ont nécessairement les mêmes composantes.
b Si → u = (a, b) et → v = (b, a), alors ces deux vecteurs ont nécessairement la même norme.
c Si a = (-12, 0), alors son orientation est de 0°.
d Pour déterminer les composantes d’un vecteur, il faut additionner les coordonnées de ses extrémités.
e Deux vecteurs qui ont la même orientation sont supportés par des droites parallèles.
4. Déterminez la valeur de x t pour θ t > 90°, sachant que t = (x t , 22) et que la norme du vecteur t est de 23,77 cm.
r eponse i
5. Une jardinière doit arracher les mauvaises herbes qui nuisent à l’épanouissement de ses plantes. Si elle tire avec une force de 7 N dans un angle de 70° par rapport à l’est, quelles forces horizontale et verticale déploie-t-elle ?
r eponse i
6. Voici des informations à propos de quatre vecteurs.
Montrez que le quadrilatère formé par ces quatre vecteurs est un trapèze rectangle.
Déterminer l’orientation d’un vecteur à partir de ses composantes
Pour trouver l’orientation d’un vecteur, il faut déterminer l’angle qui est formé par le vecteur et un segment parallèle à la partie positive de l’axe des abscisses.
Ainsi, il faut utiliser le rapport trigonométrique tangente pour déterminer θ.
EXEMPLE
Trouver l’orientation du vecteur → v = (-7, 5).
1. Faire une esquisse rapide du vecteur à partir des composantes et analyser l’orientation du vecteur.
2. Calculer l’angle α avec la formule
α = arctan( y→ v x→ v ).
ATTENTION Il faut savoir que le bouton tan-1 de la calculatrice donne toujours l’angle aigu par rapport à l’axe des x
3. Ajuster l’angle α pour trouver l’orientation θv .
• Si α > 0, l’angle tourne dans le sens antihoraire.
• Si α < 0, l’angle tourne dans le sens horaire.
exercices
1. Déterminez l’orientation de chaque vecteur.
a → m = (22, 35) b → r = (3, -9)
α = arctan( 5 -7 ) α ≈ -35,54°
θv = 180° + α
θv ≈ 180° + (-35,54°)
θ→ v ≈ 144,46°
r eponse i r eponse i
c → q = (0, -5) d → n = (-5, 10)
r eponse i r eponse i
2. Indiquez les informations manquantes pour chaque vecteur.
ORIGINEEXTRÉMITÉCOMPOSANTES NORME ORIENTATION
a → m (12, -15)(-21, -71)
b → n (13, 36)(12, 35)
c → p (-14, 0) 85 ≈ 334,94° d → q (34, 15) ( , 55) ≈ 131,11°
3. Calculez l’aire du triangle formé par les vecteurs CA et CB.
⟶ CA = = (-3, 9) ⟶ CB = = (-8, 3)
r eponse i
4. Hubert et Alicia jouent à un jeu de repérage. Hubert déplace son pion selon le vecteur → h = (-8, 5) et Alicia le déplace selon le vecteur → a = (-12, -6). Déterminez la norme et l’orientation de chaque vecteur.
r eponse i
consolidation du chapitre 1
QUESTIONS À CHOIX MULTIPLE
1. Quelles sont les composantes du vecteur OP ?
a ⟶ OP ≈ (-333,85 ; 534,27)
b ⟶ OP ≈ (-534,27 ; 333,85)
c ⟶ OP ≈ (534,27 ; 333,85)
d ⟶ OP ≈ (333,85 ; 534,27)
2. Lequel des énoncés est faux ?
‖→ OP‖ = 630
32°
a Le carré de la norme d’un vecteur est égal au produit scalaire de ce vecteur par lui-même.
b Le double de la norme d’un vecteur est égal à la norme du double de ce vecteur.
c La somme des normes de deux vecteurs est égale à la norme de la somme de ces deux vecteurs.
d La norme d’un vecteur est égale à la norme de l’opposé de ce vecteur.
3. Laquelle des affirmations est vraie, si les coordonnées des points M et N sont M(4, -3) et N(7, 1) et que → v = (-6, -8) ?
a ⟶ MN et → v sont opposés.
b ⟶ MN et → v sont colinéaires.
calculs
c ⟶ MN et → v sont orthogonaux.
d ⟶ MN et → v sont équipollents.
4. Quelle est la meilleure estimation du scalaire k par rapport au vecteur d’origine t ?
a k ≈ 1,6
b k ≈ 0,63
5. Quelle expression algébrique représente le produit scalaire des vecteurs u et v, si u = (a, b) et v = (c, d) ?
a ab + cd
b (a + b) • (c + d) c (a + c) • (b + d) d ac + bd
6. Combien de vecteurs ont une orientation située dans l’intervalle ]95°, 135°[ ?
7. Quelle égalité représente le vecteur c sous la forme d’une combinaison linéaire des vecteurs a et b ?
a c = a + b
calculs
QUESTIONS À COURT DÉVELOPPEMENT
8. Exprimez le vecteur t en fonction de ⟶ EF et ⟶ EG a t = ⟶ FG b t = 2 ⟶ FG + ⟶ GE c t = 2 ⟶ GF + 3 ⟶ FE + ⟶ GE
9. Calculez la valeur de x à partir des informations données. a ‖→ u ‖ = 8 ; → v = (x, √ 2 ) ; ϕ = 60° ; → u • → v = 12 b → t = (3, -2) ; → s = (x, 24) ; → s • → t = 12 r eponse i r eponse i
10. Déterminez les composantes du vecteur n pour que les vecteurs m et n respectent chaque relation, sachant que → m = (-5, 12) a Orthogonaux b Opposés c Équipollents
Calculez les composantes de t d , sachant que θd = 175°.
r eponse i 12. Calculez la valeur de x en utilisant la formule du point de partage, sachant que le point P(-2, -7) est sur le segment MN.
r eponse i
13. Voici des points dans un plan gradué avec un pas de 1 unité. Déterminez les coordonnées du point D, sachant que ⟶ AD = 4 ⟶ AB 3 ⟶ BC et que les coordonnées du point A sont (7, 3).
r eponse i 14. Déterminez les valeurs de k1 et k2, sachant que k
(4, -1) et → b = (5, -2).
r eponse i A
QUESTIONS À LONG DÉVELOPPEMENT
15. Un hélicoptère doit faire le voyage de Trois-Rivières vers Québec. Un vent de 18 km/h orienté N. 57° E. souffle.
Déterminez la vitesse et l’orientation que la pilote doit donner à l’hélicoptère pour faire le voyage en 20 min.
16. Deux chevaux tirent une charrette fixée sur des rails. Le premier cheval (→ c1) la tire avec une force de 324 N et le second cheval (→ c2) la tire avec une force de 410 N.
Déterminez les composantes de la force qui permet à la charrette d’avancer sachant que celle-ci demeure sur les rails.
r eponse i
17. Deux athlètes se préparent pour une grande compétition d’aviron. Pour simuler les conditions d’une rivière, ils se pratiquent dans une piscine qui leur offre un courant de 1,6 m/s orienté à 210°. Les athlètes déploient une force leur permettant d’atteindre une vitesse moyenne de 2,8 m/s. Le jour de la compétition, le courant est 1,2 fois plus grand que dans la piscine. Si les athlètes orientent leur embarcation à 90°, quelle distance réelle vont-ils parcourir s’ils rament durant 5 min ?
eponse i
18. Les vecteurs m et n partagent la même origine. Les coordonnées polaires du vecteur m sont 8 N et 32°. Déterminez les composantes du vecteur n, sachant que la norme du vecteur n est de 17 N et que → m • → n = 78.
1 2 3
r eponse i 19. Les points M et N sont situés sur le triangle PQR de manière à respecter les égalités suivantes. ⟶ PM = 3 2 ⟶ PQ ⟶ MN = 3 2 ⟶ QR a Montrez que ⟶ PN = 3 2 ⟶ PR .
b Quelle conclusion pouvez-vous faire à propos des points P, N et R ?
situation d’application
CD2
Voici des informations sur les vecteurs a, b, c, d et e.
N(-64, 43) 53,13°
M(-52, 38)
Déterminez la norme de la projection orthogonale du vecteur c sur la droite MN.
r eponse i
situation probleme i i
Le traversier
CD1
Un traversier transporte des véhicules d’une rive à l’autre d’un cours d’eau. Le technicien responsable de la conduite du bateau doit indiquer les forces nécessaires pour que chacun des moteurs du traversier puisse le mener à l’autre rive en tenant compte de la force du vent et du courant.
Voici un schéma de la situation.
Pour que le traversier atteigne une vitesse de 1 m/s :
• le moteur 1 doit déployer une force de 35 N ;
• le moteur 2 doit déployer une force de 50 N.
Aidez le technicien à calculer les forces à donner aux deux moteurs dans les conditions actuelles pour que le traversier atteigne l’autre rive, si celui-ci dispose de 4 à 7 min pour faire le trajet.
Arrivée
r eponse i
feuille de notes
Composantes
Les caractéristiques d ’un vecteur
→ u = (‖→ u ‖ • cos(θu ), ‖→ u ‖ • sin(θu ))
x u = xB xA
y→ u = yB yA
Coordonnées polaires
(‖→ u ‖, θ→ u )
Équipollents
→ a = → b ‖→ a ‖ = ‖→ b ‖
Norme
‖→ u ‖ = √ (x→ u ) 2 + (y→ u ) 2
Orientation
θu = * + arctan( y u x u )
*Ajuster l’orientation selon l’esquisse graphique
Les relations entre les vecteurs
Opposés
Colinéaires
→ a = k → b ‖→ a ‖ = k • ‖→ b ‖ y→ a x→ a = y b x b
Orthogonaux y a x a • y→ b x→ b = -1 → a • → b = 0
Relation de Chasles
⟶ AB + ⟶ BC = ⟶ AC
Produit par un scalaire
k→ u = (kx→ u , ky→ u )
Les opérations sur les vecteurs
Addition et soustraction
→ u + → v = (x u + x v , y u + y v )
→ u → v = (x→ u x→ v , y→ u y→ v )
Produit scalaire
La projection orthogonale La décomposition d’un vecteur
Sur une droiteSur un vecteur i j j j i i i i = (1, 0) = (0, 1) u = 4i + 2j
Les coordonnées d’un point de partage
P(xA + a b (xB xA), yA + a b (yB yA))
La combinaison linéaire
Calculer k1 et k2 à l’aide d’un système d’équations.
consolidation de l’etape 2
QUESTIONS À CHOIX MULTIPLE
Ch. 3 et 4
1. Laquelle des équations permet de modéliser le nuage de points représenté dans le plan cartésien ?
a y = - (2) x + 4
b y = - (2) x + 4
c y = 2 x + 4
d y = 2 x + 4
Ch. 3 et 4
2. Soit les règles des fonctions f, g et h.
Sachant que x ∈ r, pour quelles valeurs de x a-t-on h(x) < -24 ? a x ∈ ]-∞, 3[
3. Laquelle des expressions est équivalente à logc
?
Ch. 3
4. La règle de la fonction f est f(x)= log2 (x + 11), où dom f = ]-11, +∞[. Quelle est l’équation de l’asymptote de la réciproque de la fonction f ?
Ch. 3 calculs
Ch. 2 et 4
5. Soit les règles des fonctions f, g et h.
f (x) = 7x + 33 g(x) = = x + 3 h(x) = (f ÷ ÷ g)(x)
Laquelle des affirmations est vraie ?
a Le domaine de la fonction h est ]-∞, 3[ ∪ ]3, +∞[.
b L’image de la fonction h est ]-∞, 33[ ∪ ]33, +∞[.
c La fonction h est croissante sur son domaine.
d La règle de la réciproque de la fonction h est h -1(x) = 12 x 7 3.
Ch. 3
6. Sachant que logc 3 = x et que logc 5 = y, laquelle des expressions est équivalente à log c ( 25 9 ) ?
a 2(x − y) b 2(y − x) c x2 − y2 d y2 − x2
Ch. 2 et 4
7. La règle de la fonction f est la suivante. f (x) = = √ x + + 2 si x ∈ [0, 4] |x 6|+ + 2 si x ∈ [4, 7]
Voici quatre affirmations concernant la fonction f.
1. Le domaine de la fonction f est [0, 4].
2. L’image de la fonction f est [2, 4].
3. La fonction f est positive sur son domaine.
4. La fonction f est croissante sur l’intervalle [0, 6].
Deux de ces quatre affirmations sont vraies. Lesquelles ?
a 1 et 3 b 2 et 3 c 1 et 4 d 2 et 4
Ch. 4
8. Les points (4, 22), (-10, 12) et (0, 0) sont trois des points de la courbe représentant la fonction périodique f dont la période est 15. Quelle est la valeur de f(-26) ?
a 0 b 12 c 22 d 34
calculs
QUESTIONS À COURT DÉVELOPPEMENT
9. La table de valeurs représente la fonction f dont la règle est de la forme f (x) = a(c)x + k et le domaine est r Quelle est l’image de la fonction f ?
r eponse i
10. Déterminez la valeur numérique des expressions suivantes.
r eponse i r eponse i
11. Déterminez la solution des équations suivantes. a 3( 1 27 )5x + 1 = 81 -3x
r eponse i r eponse i
Ch. 3
Ch. 3
QUESTIONS À LONG DÉVELOPPEMENT
12. Voici les caractéristiques des fonctions f et g représentées dans le plan cartésien.
• La règle de la fonction f est de la forme f (x) = = 2x + + k.
• La règle de la fonction g est de la forme g(x) = = 2--(x h) + + k.
Montrez que les coordonnées du point P, soit le point d’intersection des fonctions f et g, sont P( h 2 , (√ 2 ) h + k)
r eponse i
Ch. 2 et 4
13. Juliette a programmé un robot pour qu’il effectue quelques déplacements au sol. La distance entre le robot et son point de départ (en centimètres), d(t), selon le temps écoulé depuis qu’il a quitté son point de départ (en secondes), t, est représentée par la fonction d suivante. d (t) = a|t 16| + k si t ∈ [0, 20] 0, 5|t 52| + 8 si t ∈ [20, 60]
Si, au bout de 4 s, le robot se trouvait à 8 cm de son point de départ, quelle a été la distance maximale entre le robot et son point de départ ? r eponse i
2 et 4
14. Nolan a acheté un terrain sur lequel il fera construire un chalet. Ce terrain, représenté par le rectangle ABCD dans le plan cartésien gradué en mètres, possède les caractéristiques suivantes.
• Les segments de droite AD et DC peuvent être représentés par l’équation y = -|x 40| + + 60.
• Les segments de droite AB et BC peuvent être représentés par l’équation y = |x 20|.
• Le point A est un point de l’axe des y.
Le coût d’un terrain (en dollars), f (s), selon sa superficie (en mètres carrés), s, est représenté par la fonction f décrite ci-dessous.
Combien Nolan a-t-il payé ce terrain ?
15. Deux biologistes ont étudié la taille de deux poissons au cours des dix premières années de leur vie. Ces deux poissons sont nés le même jour.
Poisson A
La taille du poisson A (en mètres), f (x), selon son âge (en années), x, est représentée par la fonction f décrite ci-dessous.
f (x) = a x + 5 + 3
Exactement un an après sa naissance, le poisson A mesurait 0,5 m.
Poisson B
La taille du poisson B selon son âge est représentée par la fonction g dans le plan cartésien. Sa règle est de la forme suivante.
g(x) = = logc b(x + + 4)
Lorsque le poisson A mesurait 1,5 m, combien mesurait le poisson B ?
du poisson B
1)
Taille (m)
Taille
Ch. 3
16. Depuis quelques années, des scientifiques observent le nombre d’ours polaires vivant dans une région nordique. Cette situation est représentée dans le plan cartésien par la fonction exponentielle f dont la règle est de la forme f (x) = a(0,9)x + k
Si la tendance se maintient, combien de temps après le début des observations la population d’ours polaires de cette région aura-t-elle diminué de moitié ?
Nombre d’ours polaires
Variation de la population depuis le début des observations (2, 222) y = 60
Temps écoulé (années)
r eponse i
Ch. 2 et 4
17. Voici les fonctions f, g, h, i et j.
Montrez que j(x) ≤ 0 sur l’intervalle [0, 4].
r eponse i
18. Simone s’amuse avec son nouveau drone. Par mesure de sécurité, lorsque le drone atteint une hauteur de 12 m et plus, il émet un signal sonore.
La règle de la fonction f, où f (x) représente la hauteur du drone (en mètres) selon x, le temps écoulé depuis le début de son utilisation (en secondes), est de la forme suivante.
a(2)x 0,5 si x ∈ [0, 4]
f (x) =
0,15|x h| + k si x ∈ [4, 94] -3 √ x 94 + + 18 si x ∈ [94, 130]
De plus, la table de valeurs suivante représente la fonction f. x 0 1224 30 95
f (x) 06,37,5 8,415
Pendant combien de temps le drone a-t-il émis un signal sonore ?
eponse i