Mathématique
MAT-3051-2
1re année du 2e cycle du secondaire
Modélisation algébrique et graphique
Cahier d’apprentissage Notions Exercices Problèmes SAÉ-SÉ Tests et examen formatif
Claude Boivin Dominique Boivin Caroline Martin Jean-Michel Panet Dominic Paul Vincent Roy Annie Dupré Antoine Ledoux Étienne Meyer
CONFORME AU PROGRAMME DE LA FORMATION DE BASE DIVERSIFIÉE
MathMatie1(unite36-38)_4.qxp: G-6 Mention Š
25/03/10
11:18
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PRÉSENTATION DU CAHIER ....................................................................................................... V TEST DIAGNOSTIQUE ...................................................................................................................... 1
CHAPITRE 1 RELATIONS ET FONCTIONS........................................................................................................ 5 RAPPEL 1 Expressions algébriques et équations .......................................................................................................... 7 SECTION 1.1 Relation, fonction et réciproque .................................................................................................................. 17 1.1.1 Variables et modes de représentation .................................................................................................... 17 1.1.2 Fonction et réciproque ........................................................................................................................... 26 1.1.3 Propriétés d’une fonction ....................................................................................................................... 33 Consolidation 1.1 ............................................................................................................................................ 37 SECTION 1.2 Fonction polynomiale de degré 0................................................................................................................. 43 1.2.1 Description, recherche de la règle et représentation.............................................................................. 43 1.2.2 Propriétés ............................................................................................................................................... 47 Consolidation 1.2 ............................................................................................................................................ 51 SECTION 1.3 Fonction polynomiale du premier degré .................................................................................................... 54 1.3.1 Description et représentation ................................................................................................................. 54 1.3.2 Propriétés ............................................................................................................................................... 61 1.3.3 Recherche de la règle ............................................................................................................................ 66 Consolidation 1.3 ............................................................................................................................................ 72 SECTION 1.4 Fonction rationnelle ..................................................................................................................................... 77 1.4.1 Description et représentation ................................................................................................................. 77 1.4.2 Propriétés ............................................................................................................................................... 82 1.4.3 Recherche de la règle............................................................................................................................. 86 Consolidation 1.4 ............................................................................................................................................ 91 SECTION 1.5 Fonction définie par parties et modélisation ............................................................................................. 95 1.5.1 Fonction définie par parties.................................................................................................................... 95 1.5.2 Modélisation à l’aide des fonctions polynomiales de degré 0 ou du premier degré .............................. 98 1.5.3 Modélisation à l’aide de la fonction rationnelle .................................................................................... 103 Consolidation 1.5 .......................................................................................................................................... 108
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TABLE DES MATIÈRES
III
SYNTHÈSE 1 ................................................................................................................................................ 113 BANQUE DE SA 1 ........................................................................................................................................ 121 SAÉ 1 : Les technologies de l’information en classe................................................................................ 127 TEST 1 .......................................................................................................................................................... 130 Évaluation explicite des connaissances ........................................................................................................ 130 Évaluation des compétences ........................................................................................................................ 134
CHAPITRE 2 ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS .............................................................................................137 RAPPEL 2 Construction d’une équation et inégalité .................................................................................................. 139 SECTION 2.1 Systèmes d’équations du premier degré à deux variables ..................................................................... 145 2.1.1 Résolution à l’aide d’un graphique ou d’une table de valeurs ............................................................. 145 2.1.2 Résolution par la méthode de comparaison ........................................................................................ 152 Consolidation 2.1 .......................................................................................................................................... 160 SECTION 2.2 Résolution d’inéquations du premier degré à une variable .................................................................... 165 SYNTHÈSE 2 ................................................................................................................................................ 173 BANQUE DE SA 2 ........................................................................................................................................ 181 SAÉ 2 : La construction d’une terrasse ..................................................................................................... 187 TEST 2 .......................................................................................................................................................... 190 Évaluation explicite des connaissances ........................................................................................................ 190 Évaluation des compétences ........................................................................................................................ 194
GARDER LE CAP – CHAPITRES 1 ET 2 ...........................................................................197 RÉVISION ............................................................................................................................................ 201 BANQUE DE SA ............................................................................................................................... 211 SÉ 1 : L’agriculture ....................................................................................................................... 221 SÉ 2 : Les municipalités ......................................................................................................... 224 EXAMEN FORMATIF ................................................................................................................... 227 GLOSSAIRE ...................................................................................................................................... 237 ANNEXES ........................................................................................................................................... 241 CORRIGÉ .......................................................................................................................................... 245
IV
TABLE DES MATIÈRES
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Le cahier Intervalle, MAT-3051-2 : Modélisation algébrique et graphique s’adresse aux élèves de la 1re année du 2e cycle du secondaire en mathématique de la Formation de base diversifiée (FBD). Il comporte un Test diagnostique suivi de deux chapitres. À la fin du cahier, on trouve, dans l’ordre, une rubrique Garder le cap, une rubrique Révision, une rubrique Banque de SA, deux situations d’évaluation (SÉ ), un Examen formatif, un glossaire, des annexes et un corrigé du cahier.
TEST DIAGNOSTIQUE
Le Test diagnostique vous permet de vérifier la maîtrise des connaissances préalables à la poursuite de votre parcours en 1re année du 2e cycle du secondaire pour le cours MAT-3051-2. Il comprend quatre pages comportant des questions à choix multiple et des questions à réponse courte.
CHAPITRES
Chacun des deux chapitres du cahier débute par une page d’introduction où figure une mise en situation qui met en rapport les savoirs à acquérir et leur utilité dans la vie de tous les jours. Une rubrique Programme d’études présente ensuite la liste des énoncés du programme qui sont à l’étude dans le chapitre. Enfin, un sommaire du chapitre est présenté pour faciliter le repérage. Au verso de la page d’introduction se trouve une table des matières détaillée du chapitre. Chaque chapitre commence par une rubrique Rappel de six ou dix pages qui vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre. On y trouve un ou des encadrés théoriques suivis de quelques exercices et problèmes.
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PRÉSENTATION DU CAHIER
V
Chaque chapitre est divisé en deux ou cinq sections, chacune étant généralement subdivisée en sous-sections de trois à neuf pages présentant la ou les notions à l’étude, étape par étape. Chaque sous-section est composée d’un encadré théorique ou plus comportant cette ou ces notions accompagnées d’un exemple et d’une démarche, s’il y a lieu. Lorsque nécessaire, on trouve également une rubrique En pratique qui permet de modéliser un exercice à effectuer ou un problème à résoudre. Chaque encadré théorique est suivi d’exercices destinés à l’application des nouvelles notions. Dans le texte courant, le gras est utilisé pour mettre en évidence les termes importants. Les mots en bleu et en gras sont définis dans le glossaire situé à la fin du cahier. Des exercices et des problèmes vous permettent ensuite de vérifier et de consolider votre compréhension des notions fraîchement acquises. Chaque section, à l’exception de la section 2.2, se termine par une rubrique Consolidation de trois à six pages qui propose des exercices et des problèmes en contexte visant à réinvestir l’ensemble des notions traitées dans les sous-sections. Une récapitulation en huit pages, appelée Synthèse, vient à la suite de la dernière section d’un chapitre. On y trouve des exercices et des problèmes en contexte portant sur l’ensemble des notions présentées dans le chapitre. À la suite de la Synthèse se trouve la Banque de SA. Il s’agit d’une rubrique de six pages qui comporte de courtes situations d’apprentissage (SA) permettant d’intégrer l’ensemble des connaissances acquises au cours du chapitre. Vient ensuite une situation d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ ) sur trois pages dans laquelle vous devez effectuer deux ou trois tâches en lien avec le thème de la SAÉ. Un pictogramme indique le numéro de page où se trouve le corrigé.
VI
PRÉSENTATION DU CAHIER
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Finalement, un Test de sept pages clôt le chapitre. Celui-ci est divisé en deux parties : la partie Évaluation explicite des connaissances, sur un total de 20 points, et la partie Évaluation des compétences, sur un total de 80 points. Ce test, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-3051-2, vous permet d’avoir une rétroaction rapide sur l’état de vos apprentissages et du développement de vos compétences. Le corrigé des tests n’est pas disponible dans le corrigé du cahier.
GARDER LE CAP
Une rubrique Garder le cap vous permet de garder à jour les connaissances acquises tout au long de votre parcours. On y trouve notamment des exercices et des problèmes en contexte qui portent sur les notions étudiées dans le chapitre que vous venez de terminer et sur celles du chapitre précédent.
RÉVISION
La rubrique Garder le cap est suivie d’une rubrique Révision de dix pages qui permet de survoler l’ensemble des notions vues dans le cours MAT-3051-2. Cette rubrique propose des questions à choix multiple, des questions à réponse courte et des questions à développement, et se veut un retour sur l’ensemble des connaissances, dites explicites, acquises dans le cadre du cours.
BANQUE DE SA
À la suite de la rubrique Révision est proposée une rubrique Banque de SA, comme celles qu’on trouve à la fin de chacun des chapitres. Présentée sur dix pages, elle propose de courtes situations d’apprentissage (SA) en lien avec l’ensemble des notions du cahier.
SITUATIONS D’ÉVALUATION (SÉ)
Deux situations d’évaluation (SÉ ) sont offertes, chacune comportant trois tâches réparties sur trois pages. Les SÉ vous permettent d’évaluer l’état du développement des compétences à acquérir dans le cadre du cours MAT-3051-2 en plus de vous préparer à la partie Évaluation des compétences telle qu’on la trouve dans l’épreuve édictée pour ce cours. Contrairement aux SAÉ de fin de chapitre, les corrigés des SÉ ne sont pas disponibles dans le corrigé du cahier. © 2016, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite
PRÉSENTATION DU CAHIER
VII
EXAMEN FORMATIF
Un Examen formatif de dix pages, en tout point conforme à celui qui sanctionne le cours MAT-3051-2, est offert à la fin du cahier. Il comporte deux parties distinctes. La partie Évaluation explicite des connaissances comprend cinq questions de connaissances et représente 20 % de la note de l’examen. La partie Évaluation des compétences comporte trois tâches, la dernière demandant de confirmer ou de réfuter une affirmation. Cette partie représente 80 % de la note de l’examen. Ici aussi, le corrigé de l’examen formatif n’est pas disponible dans le corrigé du cahier. GLOSSAIRE
Un glossaire de quatre pages se trouve à la suite de l’examen formatif. Chaque mot en bleu et en gras dans le texte courant du cahier y est défini. ANNEXES
À la suite du glossaire sont proposées quatre pages d’annexes, des fiches utiles dans votre apprentissage des mathématiques. CORRIGÉ
Le corrigé des exercices, des problèmes, des SA et des SAÉ est présenté à la fin du cahier, à la suite du glossaire. On y trouve les réponses ainsi que les principaux calculs et démarches permettant de résoudre les problèmes en contexte, les SA et les SAÉ.
VERSION NUMÉRIQUE
Un code à gratter donnant accès à la version numérique du cahier est disponible au tout début du cahier. Accessible à partir du site MaZoneCEC, cette version vous permet : • de feuilleter et d’annoter chaque page ; • d’écrire vos réponses dans votre cahier ; • de travailler dans votre cahier sans connexion Internet ; • d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic.
VIII
PRÉSENTATION DU CAHIER
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p. 245
Questions Ă choix multiple
1
Parmi les ÊnoncÊs suivants, indiquez celui qui est faux. a) Le produit de deux nombres de même signe est toujours positif. b) Le quotient de deux nombres de signes opposÊs est toujours nÊgatif. c) La somme de deux nombres de même signe est toujours positive. d) Un nombre nÊgatif affectÊ d’un exposant pair est toujours positif.
2 Parmi les ĂŠnoncĂŠs suivants, lequel dĂŠcrit adĂŠquatement ce que sont des termes semblables ? a) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes variables affectĂŠes des mĂŞmes coefficients. b) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes variables affectĂŠes des mĂŞmes exposants. c) Ce sont des termes qui contiennent les mĂŞmes coefficients affectĂŠs des mĂŞmes exposants. d) Ce sont des termes de degrĂŠ identique et qui contiennent les mĂŞmes variables.
3 Parmi les graphiques suivants, lequel peut ĂŞtre associĂŠ Ă une situation de proportionnalitĂŠ ? a)
b)
c)
d)
y
y
y
y
0
x
0
x
0
x
0
x
4 Parmi les ÊnoncÊs suivants, lequel dÊcrit correctement une situation de proportionnalitÊ inverse ? a) Lorsqu’une des quantitÊs augmente de deux unitÊs, l’autre quantitÊ augmente de deux unitÊs. b) Lorsqu’une des quantitÊs augmente de deux unitÊs, l’autre quantitÊ diminue de deux unitÊs. c) Lorsqu’une des quantitÊs double, l’autre quantitÊ double Êgalement. d) Lorsqu’une des quantitÊs double, l’autre quantitÊ diminue de moitiÊ.
5 Parmi les ÊnoncÊs suivants, indiquez celui qui est faux concernant l’expression algÊbrique 4x 2 7y 3. a) L’expression contient deux termes.
b) Les nombres 4 et 7 sont des coefficients.
c) Le degrĂŠ du monĂ´me 7y3 est 7.
d) L’expression ne contient aucun terme constant.
6 Parmi les ĂŠnoncĂŠs ci-dessous, lequel est une ĂŠquation ? a) 3 2 4 11
b) 3x 2y 2 z
c) 3x 4 17
d) (( 2 )3 3 15)2 7 2
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TEST DIAGNOSTIQUE
1
p. 245
7 Parmi les expressions algĂŠbriques suivantes, laquelle est un polynĂ´me ? a)
b) x 1
3xy
c)
d) x8
7ab2c5de9
8 Quelle est la solution de l’Êquation 3x 25 2x 15 ? a) x 40
b) x 8
c) x 2
d) x 10
9 Quel est le degrĂŠ du terme : a) 5xyz 4 ? 1)
1
2)
4
3)
5
4)
6
2)
3
3)
4
4)
7
b) 7a1b 3 ? 1)
1
10 Quelle table de valeurs ci-dessous reprÊsente une situation de variation directe (ou une situation de proportionnalitÊ) ? a)
x 6 9 12 15
b)
y 4 6 8 10
x 1 3 5 7
c)
y 6 8 10 12
x 1 2 3 4
d)
y 24 12 8 6
x 1 2 3 4
y 5 9 13 17
11 Parmi les ĂŠnoncĂŠs ci-dessous, lequel est une inĂŠgalitĂŠ ? a) 3 7 2 15
b) 4 9 35 5
c) 2x 19 33 8x
d) 8 20
3
7,5
12 Lequel des graphiques suivants peut ĂŞtre associĂŠ Ă la table de valeurs ci-dessous ? x
1
2
3
4
5
6
y
90
45
30
22,5
18
15
a)
b)
c)
d)
y
y
y
y
0
x
0
x
0
x
0
x
13 Que vaut l’expression 7x3 4y2 9z sachant que x 2, y 3 et z 5 ? a) 137
2
TEST DIAGNOSTIQUE
b) 125
c) 111
d) 65
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p. 245
Questions Ă rĂŠponse courte
14 Effectuez chacune des chaÎnes d’opÊrations suivantes. a)
b) (3 7) (5 11)2 1
4 5 23 6 3
15 Associez chaque nombre dÊcimal de la ligne supÊrieure à la fraction de la ligne infÊrieure qui lui correspond. 0,3 • A
0,165 • B
1,125 • C
5,75 • D
0,09 •E
0,8 • F
22,8 • G
0,32 • H
• 1
• 2
3•
•4
•5
• 6
•7
•8
9 8
3 10
114 5
4 5
23 4
33 200
8 25
9 100
16 Effectuez chacune des opÊrations suivantes. Écrivez votre rÊponse sous la forme d’une fraction irrÊductible. 4
2
4
2
a) 5 3 e) 5 3
5
7
5
7
b) 11 9
c)
31 16 5 10
2
f) 11 9
3
7
15
3
d) 4 6
1
g) 3 2
h) 4 5
17 Au marchÊ, on peut se procurer 1,5 kg de bœuf hachÊ pour 9,50 $. Si cette situation est une situation de proportionnalitÊ : a) combien coÝtent 2,75 kg de bœuf hachÊ ? b) quelle quantitÊ de bœuf hachÊ peut-on se procurer pour 10 $ ?
18 DÊterminez la valeur numÊrique de chaque expression algÊbrique ci-dessous sachant que x 3 et y  2. b)
a) 3xy 2x 2
4y 3 3x 2y
19 Pour chaque suite donnÊe, dÊterminez la règle qui permet de trouver la valeur t d’un terme d’après son rang n. a) 5, 7, 9, 11, 13, ‌
b) 34, 25, 16, 7, 2, ‌
c)
100, 76, 52, 28, 4, ‌
20 Sur un site de musique en ligne, chaque chanson se vend 1,39 $. ComplÊtez la table de valeurs ci-dessous et indiquez s’il s’agit d’une situation de proportionnalitÊ ou d’une situation inversement proportionnelle. CoÝt total selon le nombre de chansons achetÊes Nombre de chansons achetÊes CoÝt total ($)
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3 0
5
14 12,51
TEST DIAGNOSTIQUE
3
p. 245
21 RĂŠduisez chacune des expressions algĂŠbriques suivantes. a) 7a 2b 3a 6b
b)
4(m 2n)
c) (15p 25q) 5
22 RĂŠsolvez chacune des ĂŠquations ci-dessous. a) y 5 9
b)
2x 19 7
c)
2m 5 13 3
23 Les Êconomies de Marika totalisent 12 $ de plus que le double de celles de NoÊmie. Ensemble, leurs Êconomies s’Êlèvent à 234 $. À l’aide d’une dÊmarche algÊbrique, dÊterminez le montant des Êconomies de chacune.
RĂŠponse :
24 Un rectangle a un pÊrimètre de 60 cm. La hauteur du rectangle mesure 3 cm de moins que le double de sa largeur. DÊterminez les dimensions de ce rectangle.
RĂŠponse :
4
TEST DIAGNOSTIQUE
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Relations et fonctions Dans ce chapitre, vous étudierez comment représenter, analyser et déterminer la règle d’une fonction polynomiale de degré 0, d’une fonction polynomiale du premier degré et d’une fonction rationnelle. Vous utiliserez ces modèles fonctionnels dans des nuages de points afin de prédire certains résultats. Dans la vie de tous les jours, la modélisation à l’aide d’un nuage de points est fort utile pour voir s’il existe un lien entre deux variables statistiques. Par exemple, en criminologie, de nombreuses études ont démontré que le modèle linéaire pouvait être utilisé pour effectuer des prédictions entre le taux de criminalité dans une ville et le nombre de policiers présents. En éducation, beaucoup de recherches utilisent un modèle linéaire pour effectuer des prédictions entre le taux de réussite d’un groupe d’élèves et leur nombre dans une classe. Les données de ces recherches ont dû être représentées dans un nuage de points pour en déceler la nature. Ultimement, ces modèle seront employés pour prédire et anticiper différents résultats.
Programme d’études
RAPPEL 1 Expressions algébriques et équations .............................. 7
SECTION 1.1 Relation, fonction et réciproque........................... 17 SECTION 1.2 Fonction polynomiale de degré 0............................... 43 SECTION 1.3 Fonction polynomiale du premier degré..................... 54 SECTION 1.4 Fonction rationnelle ................ 77 SECTION 1.5 Fonction définie par parties et modélisation........................ 95
RELATION
SYNTHÈSE 1.............113
• Observation, description, interprétation et représentation de la dépendance entre les variables d’une situation
BANQUE DE SA 1...121
• Fonction et réciproque • Représentation d’une expérimentation ou d’une étude statistique à l’aide d’un nuage de points • Représentation et interprétation de la réciproque d’une fonction • Détermination de la règle de correspondance • Description des propriétés d’une fonction en contexte • Description qualitative de l’effet sur le graphique lors de la modification de la valeur d’un paramètre d’une fonction affine
SAÉ 1.............................127 TEST 1..........................130
CHAPITRE 1
RELATIONS ET FONCTIONS............................................................................................... 5
RAPPEL 1 Expressions algébriques et équations ....................................................................................
7
SECTION 1.1 Relation, fonction et réciproque ............................................................................................. 1.1.1 Variables et modes de représentation ................................................................................ 1.1.2 Fonction et réciproque ....................................................................................................... 1.1.3 Propriétés d’une fonction ................................................................................................... Consolidation 1.1 ........................................................................................................................
17 17 26 33 37
SECTION 1.2 Fonction polynomiale de degré 0 ............................................................................................ 1.2.1 Description, recherche de la règle et représentation ......................................................... 1.2.2 Propriétés ........................................................................................................................... Consolidation 1.2 ........................................................................................................................
43 43 47 51
SECTION 1.3 Fonction polynomiale du premier degré ................................................................................. 1.3.1 Description et représentation ............................................................................................ 1.3.2 Propriétés ........................................................................................................................... 1.3.3 Recherche de la règle......................................................................................................... Consolidation 1.3 ........................................................................................................................
54 54 61 66 72
SECTION 1.4 Fonction rationnelle .................................................................................................................. 1.4.1 Description et représentation ............................................................................................ 1.4.2 Propriétés ........................................................................................................................... 1.4.3 Recherche de la règle......................................................................................................... Consolidation 1.4 ........................................................................................................................
77 77 82 86 91
SECTION 1.5 Fonction définie par parties et modélisation .......................................................................... 95 1.5.1 Fonction définie par parties................................................................................................ 95 1.5.2 Modélisation à l’aide des fonctions polynomiales de degré 0 ou du premier degré .......... 98 1.5.3 Modélisation à l’aide de la fonction rationnelle .................................................................. 103 Consolidation 1.5 ........................................................................................................................ 108 SYNTHÈSE 1 .............................................................................................................................. 113 BANQUE DE SA 1 ...................................................................................................................... 121 SAÉ 1 : Les technologies de l’information en classe.............................................................. 127 TEST 1 ........................................................................................................................................ 130 Évaluation explicite des connaissances ...................................................................................... 130 Évaluation des compétences ...................................................................................................... 134
6
CHAPITRE 1
TABLE DES MATIÈRES
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Expressions algébriques et équations TERME
• Un terme peut être composé : – uniquement d’un nombre. Il s’agit alors d’un terme constant ; – d’un produit de nombres par des variables. • Plus généralement, dans une expression algébrique, chaque élément relié par un symbole d’addition « » ou de soustraction « » est un terme. Pour identifier les termes d’une expression algébrique, on transforme chacune des soustractions en addition de l’opposé. Exemples :
1) L’expression algébrique 8x 7y 4 compte 3 termes : 8x, 7y et 4,
et 4 est un terme constant. 2) L’expression algébrique 6,1xy 18x peut s’écrire 6,1xy 18x.
L’expression compte 2 termes : 6,1xy et 18x. COEFFICIENT Pour exprimer le produit d’un nombre par une ou plusieurs variables, il est d’usage de placer le nombre devant. Ce nombre, qui est un facteur, est appelé coefficient. Exemple : Dans l’expression algébrique 3xy x 9,2y : • 3 est le coefficient du premier terme ; •
1 est le coefficient du deuxième terme ;
• 9,2 est le coefficient du troisième terme. TERMES SEMBLABLES Deux termes sont semblables s’ils sont composés des mêmes variables affectées des mêmes exposants ou si chacun d’eux est un terme constant. Exemples :
1)
17x 2 y et 9x 2 y sont des termes semblables.
2) 55,2 et 101 sont des termes semblables. 3) 4abc et 28ac ne sont pas des termes semblables.
MONÔME ET DEGRÉ D’UN MONÔME Un monôme est une expression algébrique formée d’un seul terme. Le degré d’un monôme correspond à la somme des exposants des variables qui le composent. Exemples : 1) 84x 3 y 2 est un monôme et son degré est 5, car 3 2 5. 2)
3x 8 y 5 z est un monôme et son degré est 14, car 8 5 1 14.
3) 7 est un monôme et son degré est 0.
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CHAPITRE 1
RAPPEL 1
7
p. 246
1
Voici un polynôme : 1
4x 2 y 5xy 2 4 xy 0,45y 2 a) Combien de termes contient-il ? b) Quel est le coefficient : 1) du premier terme ?
2) du dernier terme ?
c) Quel est le degré : 1) du premier terme ?
2) du dernier terme ?
d) Les termes 4x 2 y et 5xy 2 sont-ils semblables ? Expliquez votre réponse.
2 Voici des monômes : 1 x 2
3x2y3
0,8x2y3
8 4 ab 5
63ab3
4x
2 2 2 xy 3
0,4rs4
0,32y3
75a4
18x
43
5xy
6
57ab2
6 3 xy 5
Déterminez : a) ceux qui sont de degré 4 ;
b) ceux qui sont de degré 0 ;
c) celui qui est semblable au monôme 1 ab3. 2
3 Pour chacun des monômes ci-dessous, déterminez : 1) le coefficient ;
8
2) les variables ; 9 2 4 g h i 8
3) le degré.
c)
3 rs2 5
a) 55pq2
b)
1)
1)
1)
1)
2)
2)
2)
2)
3)
3)
3)
3)
CHAPITRE 1
RAPPEL 1
d)
0,4m2n
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p. 246
4 Dans chaque cas, écrivez un monôme qui a les caractéristiques énoncées. a) Monôme de degré 3 comportant 3 variables. b) Monôme de degré 5 comportant 2 variables. c) Monôme de degré 9 comportant 4 variables. d) Monôme de degré 6 dont le coefficient est 0,5. e) Monôme de degré 4 comportant 2 variables et dont le coefficient est négatif.
5 Un monôme est constitué de variables affectées d’exposants strictement positifs. a) Est-il possible que le degré de ce monôme soit inférieur au nombre de variables qu’il contient ? Expliquez votre réponse.
b) À quelle condition le degré de ce monôme est-il supérieur au nombre de variables qu’il contient ?
c) À quelle condition le degré de ce monôme est-il égal au nombre de variables qu’il contient ?
6 Indiquez si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
Vrai
Faux
a) Deux termes de même degré sont forcément semblables. b) Deux termes semblables sont forcément de même degré. c) Deux termes semblables ont forcément le même coefficient. 3 d) Le coefficient du terme ab c est 5.
5
e) Il est impossible de réduire un polynôme formé de termes non semblables. f) Lorsqu’un monôme contient plusieurs variables différentes, on dit que c’est un polynôme. g) Puisque le monôme 3xy3z contient 3 variables, son degré est 3. h) Un monôme de degré 0 est équivalent à un terme constant. i) Dans l’expression algébrique 3ax2 5bx 3, le coefficient du second terme est 5.
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CHAPITRE 1
RAPPEL 1
9
p. 256
Fonction polynomiale du premier degré 1.3.1
Description et représentation
FONCTION POLYNOMIALE DU PREMIER DEGRÉ
• Des variations constantes de la variable indépendante entraînent des variations constantes et non nulles de la variable dépendante. • La règle est de la forme :
f (x) ax b, où a 0.
Dans cette règle, a est le taux de variation et b, la valeur initiale (ou l’ordonnée à l’origine). • Sa représentation graphique est une droite oblique qui croise l’axe des ordonnées en (0, b). TAUX DE VARIATION • Dans une relation entre deux variables, un taux de variation est la comparaison entre deux
variations correspondantes de ces variables. variation de la variable dépendante
Taux de variation variation correspondante de la variable indépendante • Le taux de variation, a, entre les couples (x1, y1) et (x2, y2) se calcule de la façon suivante. a
yy y y1 2 xx x 2 x1
Exemple : Le taux de variation, a, de la fonction associée à cette droite correspond au taux de variation entre les points (10, 7) et (20, 19) : 19 7
12
a 20 10 10 1,2
y (20, 19)
20 10
0
12 (10, 7)
10
10
20
x
• Lorsqu’on a une situation non fonctionnelle, on utilise pente plutôt que taux de variation.
1
54
Dans chaque cas, déterminez le taux de variation de la fonction associée aux deux couples de valeurs donnés. a) (1, 1) et (0, 0).
b) ( 2, 4) et (2, 4).
c) (3, 10) et (7, 5).
d) ( 6, 3) et (5, 7).
e) (10, 43) et ( 3, 10).
f ) ( 7, 3) et (1, 2).
CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
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p. 257
2 Remplissez chaque espace vide par le mot « augmente » ou « diminue », ou par le nombre approprié. Taux de variation
Lorsque la variable indépendante augmente de 1 unité,
a)
b)
la variable dépendante augmente de 3 unités. 2
2 3
c)
d)
3 5
4 7
e)
f)
3 10
de 1 unité,
Lorsque la variable indépendante la variable dépendante augmente de 2 unités.
Lorsque la variable indépendante diminue de 3 unités, la variable dépendante
de 2 unités.
Lorsque la variable indépendante augmente de 10 unités, la variable dépendante diminue de
unités.
Lorsque la variable indépendante
de
unités,
la variable dépendante diminue de 12 unités. Lorsque la variable indépendante augmente de 100 unités, la variable dépendante
de
unités.
Lorsque la variable indépendante diminue de 20 unités,
g)
h)
Interprétation
la variable dépendante diminue de 12 unités. 0,7
Lorsque la variable indépendante augmente de 10 unités, de
la variable dépendante
unités.
FONCTIONS LINÉAIRE ET AFFINE Parmi les fonctions polynomiales du premier degré, on trouve la fonction linéaire et la fonction affine.
Fonction linéaire (ou fonction de variation directe)
Exemple : y 3x Table de valeurs
– La règle s’écrit f (x) ax, où a 0. – Sa représentation graphique est une droite oblique qui passe par l’origine du plan cartésien, donc lorsque x vaut 0, y vaut aussi 0. – Elle traduit une situation de proportionnalité. – Sa réciproque est aussi une fonction linéaire.
x
y
2 1 0 1 2
6 3 0 3 6
1 1 1 1
Graphique y y 3x
3 3 3 3
1 0 1 y
x 3
x
La réciproque de cette fonction est : x 3 y y x
3
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CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
55
Fonction affine (ou fonction de variation partielle)
Exemple : y 2x 1 Table de valeurs
– La règle s’écrit f (x) ax b, où a 0 et b 0. – Sa représentation graphique est une droite oblique qui ne passe pas par l’origine du plan cartésien, donc lorsque x vaut 0, y ne vaut pas 0. – Elle ne traduit pas une situation de proportionnalité. – Sa réciproque est aussi une fonction affine.
x 1 1 1 1
Graphique y
y
2 1 0 1 2
y 2x 1
3 1 1 3 5
2 2 2 2
1 0 1
y 0,5x 0,5
x
La réciproque de cette fonction est : x 2y 1 2y x 1 y 0,5x 0,5
Voici un exercice à effectuer. Représentez graphiquement la fonction polynomiale du premier degré dont la règle est
f(x) 2x 7
.
Voici un exemple de démarche possible. Déterminez au moins deux couples de valeurs qui appartiennent à la fonction en complétant une table de valeurs.
f(0) = -2(0) + 7 = 7 f(1) = -2(1) + 7 = 5 f(2) = -2(2) + 7 = 3 x
0
1
2
f (x)
7
5
3
Graphiquement, la droite associée à la fonction f passe donc par les points (0, 7), (1, 5) et (2, 3). Placez, dans le plan cartésien, les points trouvés à l’étape précédente et tracez la droite passant par ces points.
f(x) (0, 7) 6
(1, 5)
4 (2, 3) 2 0
56
CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
2
4
6
x
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3 Indiquez à quel ou quels types de fonction peut correspondre chacun des énoncés suivants. Fonction polynomiale de degré 0
Énoncé
a)
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du plan cartésien.
b)
Le taux de variation de cette fonction est nul.
c)
Cette fonction traduit une situation de proportionnalité.
d)
Sa représentation graphique est une droite oblique qui ne passe pas par l’origine du plan cartésien.
Fonction polynomiale du premier degré Fonction linéaire
Fonction affine
4 Dans chaque cas, indiquez si la règle donnée correspond à une fonction linéaire ou à une fonction affine et déterminez son taux de variation. Règle
a)
y 2x
b)
y 16 x
c)
y x 19
Fonction linéaire
Fonction affine
Taux de variation
3
9
5 Représentez graphiquement chacune des fonctions suivantes. a) f (x) 3x
b) g(x) 2x 6
f(x)
g(x)
x
x
c) h(x) 5x 20
d) i(x) x 20
h(x)
i(x)
x
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x
CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
57
p. 257
MODIFICATION DES PARAMÈTRES A ET B ET EFFETS SUR LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
Graphiquement : • si on modifie la valeur du paramètre a : – plus sa valeur s’éloigne de zéro, plus la droite se rapproche d’une droite verticale (a ) ; – plus sa valeur se rapproche de 0, plus la droite se rapproche d’une droite horizontale (a 0). • si on modifie la valeur du paramètre b : – on déplace la droite vers le haut ou vers le bas (translation), sans en changer l’inclinaison. Exemple : 1)
f (x )
4
4
f (x ) 4x f (x ) x
2
f (x ) 0,2x
2 0 2
2
4
2)
g (x ) 4 g (x ) 3x 4 2 4
x
4
2 0 2
x 2 4 g (x ) 3x 3
4
g (x ) 3x y
6 Soit la règle y x 4 représentée dans le plan cartésien ci-contre et dans laquelle on a modifié ci-dessous les paramètres a ou b. y x 1
y 8x 4
y x 9
y 0,1x 4
Associez chacune des règles ci-dessus à la représentation graphique qui correspond. a) y b) y c) y
0
0
x
x
0
0
d)
x
y
0
x
x
7 Une fonction polynomiale du premier degré passe par les points de coordonnées (4, 5), (6, 9), (11, 19) et (20, 37). La réciproque de cette fonction passe par le point P dont l’ordonnée est 11. Quelle est l’abscisse du point P ? Expliquez votre réponse.
8
y
Dans le plan cartésien ci-contre, tracez la réciproque f
1
de la fonction f. 4 2
4
0
2
f 2
4
x
2
4
9 À quelle condition la réciproque d’une fonction polynomiale du premier degré passe-t-elle par l’origine du plan cartésien ?
58
CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
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p. 257
10 Associez chaque table de valeurs à la règle de la fonction qui lui correspond. A
B
C
D
E
F
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
0
3
1
1
1
3
10
10
1
11
10
1,6
1
0
2
6
1
10
0
10
7
45
20
3,7
2
3
3
11
3
17
2
10
10
62
25
4,75
3
6
4
16
5
24
200
10
19
113
26
4,96
4
9
5
21
15
59
1000
10
25
147
30
5,8
•
•
•
•
•
•
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
y 10
y 5x 4
y 3,5x 6,5
y 0,21x 0,5
y 3x 3
17
16
y 3 x 3
11 Emy s’entraîne au centre sportif régulièrement. Elle doit se procurer une carte de membre et débourser un certain montant pour chaque séance d’entraînement. Le coût total c (en $) à payer par Emy est donné par la règle c 3,25n 50, où n est le nombre de séances d’entraînement. a) Combien la carte de membre coûte-t-elle ?
b) Combien Emy doit-elle payer pour chaque séance d’entraînement ?
c) Si son budget annuel réservé à l’entraînement est de 200 $, combien de fois au maximum pourra-t-elle se rendre au centre sportif annuellement ?
Réponse :
12 Mathieu a fait appel aux services d’une infirmière à domicile. Cette dernière demande un certain montant pour son déplacement auquel s’ajoute le coût de chaque heure de travail. Le montant m à payer (en $) en fonction du nombre d’heures h de travail est donné par la règle m 35h 25. a) Si les soins durent 4 h, quel montant Mathieu doit-il payer ?
Réponse : b) Quel montant l’infirmière facture-t-elle pour son déplacement ?
c) Combien l’infirmière facture-t-elle pour chaque heure de travail ?
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CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
59
p. 258
13 Roxanne économise un certain montant d’argent chaque semaine pour acheter une console de jeux vidéo qui coûte 500 $. La règle m 45n 125 représente le montant économisé m (en $) en fonction du nombre n de semaines écoulées depuis le début des économies. a) Roxanne pourra-t-elle acheter la console après 5 semaines d’économies ? Sinon, combien d’argent lui manquera-t-il ?
Réponse : b) À quel moment pourra-t-elle acheter la console de jeux vidéo ?
Réponse :
14 La règle p 0,25d 90 donne le prix p de location (en $) d’une voiture en fonction de la distance d parcourue (en km). a) Quel est le prix à payer pour une distance parcourue de 325 km ?
Réponse : b) Combien faut-il payer pour chaque kilomètre parcouru ?
c) Si un client a payé 223,50 $ pour la location d’une voiture, quelle distance a-t-il parcourue ?
Réponse : d) Si, l’an prochain, le coût du kilomètre augmente de 8 ¢, combien un client devra-t-il payer s’il parcourt 200 km ?
Réponse :
60
CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
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1.3.2
Propriétés
• Les propriétés des fonctions s’appliquent à une fonction polynomiale du premier degré. • Une fonction polynomiale du premier degré dont le taux de variation est négatif (a 0) est décroissante sur son domaine, alors que si le taux de variation est positif (a 0), elle est croissante sur son domaine. Exemples : y
1)
4
2) Fluctuation de la valeur d’une action
au cours des 10 derniers mois
4
Valeur ($) 100
2
80
2 0 2
2
4
x
60 40 20
4
0
2
4
6
8 10 Temps (mois)
Règle
y x 2
Règle
y 6x 20
Domaine
R
Domaine
[0, 10] mois
Codomaine
R
Codomaine
[20, 80] $
Variation
Décroissante sur R.
Variation
Croissante sur [0, 10] mois.
Signe
Positif sur ] , 2] ; négatif sur [ 2, [.
Signe
Positif sur [0, 10] mois.
Valeur initiale
20 $
Zéro
Aucun.
Valeur initiale
Zéro
2 2
Voici un exercice à effectuer. Déterminez le zéro et la valeur initiale de la fonction polynomiale du premier degré dont la règle est f(x) 2x 10 .
Voici un exemple de démarche possible. Déterminez le zéro de la fonction en remplaçant la variable dépendante par 0 et en isolant la variable indépendante.
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0 = -2x + 10 0 + 2x = -2x + 2x + 10 2x = 10 2x = 10 2 2 x=5 Le zéro de la fonction f est 5.
CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
61
p. 258
Déterminez la valeur initiale à l’aide de la règle.
1
La règle étant écrite sous la forme f(x) = ax + b, la valeur initiale correspond donc à la valeur de b. La valeur initiale de la fonction f est 10.
Complétez le tableau suivant. Règle a)
y 2x 40
b)
y 1x 4
c)
y 8
d)
y x
e)
y 50 10x
f)
x 10
Valeur initiale
Zéro
5
50
2 Dans chaque cas, déterminez l’intervalle sur lequel la fonction est positive. b) y = 3 x − 3
a) y 5x
5
3 Quel couple de valeurs suivant n’appartient pas à la fonction f dont la règle est f ( x) 3x 2 ? a) (3, 0)
b) (6, 0)
c) ( 9, 5)
d) (15, 3)
4 Quelle règle suivante correspond à une fonction n’ayant aucun zéro ? a) y 2x 8
b) y x 20
c) y 0
d) y 1
5 Quelle règle est celle d’une fonction ayant un zéro positif et une valeur initiale négative ? a) y 0,5x 2
62
CHAPITRE 1
b) y 0,5x 2 Fonction polynomiale du premier degré
c) y 0,5x 2
d) y 0,5x 2
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p. 258-259
6 Quel énoncé suivant décrit une fonction dont la valeur initiale est positive ? a) Son taux de variation est positif et son zéro est positif. b) Son taux de variation est positif et son zéro est négatif. c) Son taux de variation est nul et la droite représentant la fonction passe par le point A(1, 10). d) Son taux de variation est négatif.
7 Dans chaque cas, complétez le tableau. a)
y
Domaine Codomaine
8
Variation 4
Signe 8
Valeur initiale
0
4
4
8
Zéro
b)
4
8
x
4
8
x
y
Domaine Codomaine
8
Variation 4
Signe 8
Valeur initiale
0
4
4
8
Zéro
8 La table de valeurs ci-contre peut être associée à la fonction f,
x
f(x)
une fonction polynomiale du premier degré. a) Représentez graphiquement la relation g, soit la réciproque de la fonction f. g (x)
4 8
2
4
6
2
0
2
b) Faites l’étude de la relation g. Domaine Codomaine Variation Signe
x
Valeur initiale Zéro c) La relation g est-elle une fonction ? © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
63
p. 259
9 Le 2 août, Félix a déposé 1000 $ dans son compte bancaire. Depuis, le solde de son compte bancaire diminue constamment de 50 $ par jour. Le graphique suivant illustre la relation entre le solde (en $) du compte et le nombre de jours écoulés depuis le 2 août.
Solde du compte ($) 1000
Évolution du solde du compte bancaire
800 600 400 200
a) En complétant la table de valeurs suivante, déterminez à quel moment le solde du compte de Félix sera de 0 $.
0
2
4
Évolution du solde du compte bancaire Nombre de jours écoulés depuis le 2 août
0
2
5
6 8 10 Nombre de jours écoulés depuis le 2 août
10
Solde du compte ($)
b) À quelle propriété des fonctions correspond la date trouvée en a) ?
c) Sachant que le solde du compte bancaire de Félix ne peut pas être représenté par un nombre négatif, déterminez le domaine et le codomaine de la fonction associée à cette situation.
10 L’été dernier, Maïka a travaillé dans une boutique afin d’économiser de l’argent. Depuis son retour à l’école, il y a 12 semaines, elle a arrêté de travailler. La table de valeurs suivante met en relation le solde du compte (en $) de Maïka en fonction du temps écoulé (en semaines) depuis son retour à l’école. Variation du solde d’un compte Temps écoulé (semaines) Solde du compte ($)
0
2
3
5
9
12
3400
3240
3160
3000
2680
2440
a) Chaque semaine, combien Maïka retire-t-elle de son compte pour ses dépenses ?
Réponse : b) Dans le contexte, quel est le codomaine de la fonction associée à cette situation ?
64
CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
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p. 259
11 La règle P 60h 15 permet de calculer le prix P facturé par un électricien en fonction du nombre d’heures h travaillées. Un électricien ne peut travailler plus de 10 h par jour. a) Combien cet électricien demande-t-il pour chaque heure de travail ?
b) Quelle est la valeur initiale de cette fonction et à quoi correspond-elle dans le contexte ?
c) Combien cet électricien demande-t-il pour 10 h de travail ?
Réponse : d) Dans le contexte, déterminez le domaine et le codomaine de cette fonction.
12 La règle C 0,15t permet de calculer le coût C facturé (en $) par une compagnie de téléphone cellulaire en fonction du temps d’utilisation t (en min). a) D’après la règle, pourquoi peut-on affirmer que cette compagnie ne facture aucuns frais fixes ?
b) À quel type de fonction cette règle correspond-elle ?
c) Combien cette compagnie facture-t-elle pour chaque minute d’utilisation ?
d) Si un client a reçu une facture de 27 $, pendant combien de temps a-t-il utilisé son cellulaire ?
Réponse : e) Déterminez le domaine et le codomaine de cette fonction.
f ) La fonction associée à cette situation est-elle croissante ou décroissante ? Justifiez votre réponse.
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CHAPITRE 1
Fonction polynomiale du premier degré
65
p. 261
1
Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction polynomiale du premier degré associée à la table de valeurs donnée. a)
b)
x
y
x
y
2
4
1
2
7
14
4
5
88
176
10
11
100
200
20
21
250
500
100
101
2 La fonction f, qui passe par les points (-4, 4), (2, 10) et (3, m), est une fonction polynomiale du premier degré. La réciproque de la fonction f passe par le point (n, 10). Déterminez les valeurs de m et n.
3 La règle d’une fonction polynomiale du premier degré est f(x) = 0,4x + 5. En modifiant le taux de variation de cette règle, on obtient la règle g(x) = 6x + 5. Quel sera l’effet de cette modification sur la représentation graphique de la fonction f ? a) La droite se rapprochera de l’axe des x.
b) La droite se rapprochera de l’axe des y.
c) La droite sera déplacée vers le haut.
d) La droite sera déplacée vers le bas.
4 Le taux de variation d’une fonction polynomiale du premier degré est 4 et sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du plan cartésien. Quel couple de valeurs suivant appartient à la réciproque de cette fonction ? a) (0, 4)
b) (4, 16)
c) (8, 2)
d) (12, 3)
5 Les couples de coordonnées (0, 6) et (2, 11) appartiennent à la réciproque de la fonction f, qui est une fonction polynomiale du premier degré. Quelle est la règle de la fonction f ? 5
a) y 2 x 6
72
CHAPITRE 1
2
12
b) y 5 x 5 CONSOLIDATION 1.3
5
c) y 2 x 6
2
12
d) y 5 x 5
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p. 261
6 Lorsque la variable dépendante d’une fonction polynomiale du premier degré augmente de 2 unités, la variable indépendante diminue de 3 unités. De plus, le couple de coordonnées (0, 5) appartient à cette fonction. Quelle est sa règle ? 2
3
a) y 3 x 5
b) y 2 x 5
3
2
c) y 2 x 5
d) y 3 x 5
7 Associez chaque fonction de la colonne de gauche au couple de valeurs de la colonne de droite qui lui appartient. A f(x) 3x 9 •
•
1 (11, 42)
B g(x) 11
•
•
2 ( 6, 2)
(x) = x C hh(x)
•
•
3 (40, 11)
3
8 Quelle description suivante correspond à celle d’une fonction affine ? a) Une relation dont le taux de variation est 1 et dont la représentation graphique est une droite 4 passant par l’origine du plan cartésien. b) Une relation dont la représentation graphique est une droite passant par les points A(2, 12) et B(7, 12). c) Une relation dont la représentation graphique est une droite passant par les points C(3, 3) et D(3, 11). d) Une relation dont la représentation graphique est une droite passant par les points E(2, 12) et F(7, 32).
9 Sachant que la règle de la fonction g est g ( x) 40 2x , déterminez g( 20).
10 Déterminez si les couples de valeurs (2, 5), (7, 15) et (100, 205) appartiennent tous à une même fonction polynomiale du premier degré.
11 Associez chaque règle de la colonne de gauche à un zéro de la colonne de droite. A
y 2x 8
•
•
1
B
y − 1x
•
•
2
40,5
C
y 2 x 27
•
•
3
4
D
y 27 x
•
•
4
0
2
3
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CHAPITRE 1
27
CONSOLIDATION 1.3
73
p. 261
12 Complétez le tableau suivant en vous référant au graphique de la fonction polynomiale du premier degré. f(x)
Taux de variation Valeur initiale
10
Zéro 0
8
x
Règle Intervalle où la fonction est positive
13 Pour chacune des fonctions dont la règle est donnée, déterminez l’intervalle sur lequel la fonction est négative. a) y 2x
b) y 18
c) y 2 x 9 3
d) y 3 x 9 4
4
14 La quantité d’essence dans un réservoir d’automobile évolue selon la fonction dont la règle est Q 8h b, où Q est le nombre de litres d’essence restant dans le réservoir, et h, le nombre d’heures écoulées. a) Sachant qu’après 2 h il restait 34 L d’essence dans le réservoir, quelle était la quantité initiale d’essence dans ce réservoir ?
Réponse : b) Après combien d’heures le réservoir sera-t-il vide ?
Réponse : c) Dans le contexte, quel est le domaine de la fonction ?
74
CHAPITRE 1
CONSOLIDATION 1.3
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p. 262
15 La somme S déboursée par une personne pour s’entraîner dans un gymnase communautaire au cours d’une année est donnée par la règle S 5,5n 12, où n est le nombre de séances d’entraînement de l’année. a) Quel est le coût de la carte de membre annuelle de ce gymnase ?
b) L’an passé, Tristan a payé 232 $ pour ses séances d’entraînement. Combien de fois s’est-il rendu au gymnase communautaire pour s’entraîner ?
Réponse :
16 La règle T 40h 35 permet de calculer le tarif T (en $) facturé par un inspecteur en bâtiment selon son nombre d’heures h de travail. a) Déterminez la règle de la relation réciproque.
Réponse : b) Que permet de déterminer la règle de la relation réciproque ?
c) Combien d’heures l’inspecteur a-t-il travaillé s’il a facturé 155 $ ?
Réponse :
17 Dans le plan cartésien, la droite associée à une fonction polynomiale du premier degré passe
( b)
par les points A a , a et B(2a, b). Montrez que le taux de variation de cette fonction correspond à l’expression b − a . 2
ab
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CHAPITRE 1
CONSOLIDATION 1.3
75
p. 262
18 Le tarif d’une électricienne est fixé en fonction de la règle f(x) 32,5x 50, où f(x) est le coût total (en $) et x, le temps (en h) pris pour la réparation. a) Dans cette situation, que vaut le taux de variation et que représente-t-il ?
b) Dans cette situation, que vaut la valeur initiale et que représente-t-elle ?
c) Que vaut : 1) f(0,5) ?
2) f(4) ?
3) f(5,64) ?
d) La réciproque de cette fonction est-elle une fonction ? Si oui, décrivez ce qu’elle représente dans cette situation.
e) Si le coût total s’élève à 163,75 $, quelle a été la durée des travaux de l’électricienne ?
Réponse :
19 À la suite d’une coupure de courant, le système
Température dans une maison
de chauffage d’une maison cesse de fonctionner. Le graphique ci-contre montre l’évolution de la température dans cette maison après cette interruption.
Température (°C)
(3, 21) (60, 17)
a) Si x représente le temps (en min) et y, la température (en °C), quelle est la règle de cette fonction ?
0
Temps (min)
Réponse : b) Quelle est la température dans cette maison après 30 min ?
76
CHAPITRE 1
CONSOLIDATION 1.3
c) Après combien de temps la température dans cette maison est-elle de 9 °C ?
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p. 274
SYNTHÈSE 1
1
On s’intéresse à la fonction définie par parties représentée dans le plan cartésien ci-contre.
1
y
a) Quel est le domaine de cette fonction ?
4
b) Quel est le codomaine de cette fonction ?
2
c) Quels sont les zéros et la valeur initiale de cette fonction ?
4
d) Sur quel intervalle cette fonction est-elle strictement croissante ?
2
0
2
4
4
2
x
2 Quelle règle suivante correspond à une fonction dont la réciproque n’est pas une fonction ? a) y 2x
b) y 20
c) y x
d) y 2 x 1
4
5
5
3 Dans le plan cartésien, la courbe associée à une fonction polynomiale du premier degré passe par les points A(3, 2) et B(6, 3). Quel énoncé suivant est vrai concernant cette fonction ? a) Sa valeur initiale est 1. b) Son zéro est 1 . 3
c) L’ordonnée d’un point de la courbe ayant pour abscisse 12 est 3. d) Le taux de variation de cette fonction est le même que celui de la fonction polynomiale du premier degré dont la règle est y 3x 8.
4 Soit une fonction polynomiale du premier degré nommée f. Sachant que f(1) 5 et que f 1(40) 8,
déterminez le taux de variation de cette fonction.
5 Dans le plan cartésien, la courbe associée à une fonction rationnelle passe par les points A(2, 44) et B(8, 11). Déterminez l’abscisse d’un point de cette fonction dont l’ordonnée est 22.
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CHAPITRE 1
SYNTHÈSE 1
113
p. 274
6 Déterminez la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous.
1
a)
b)
y
y 10
4 8 2 6 4
0
2
2
4
2
4
x
4 2
0
2
4
8
6
7 Indiquez si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
10
Vrai
x
Faux
k a) Toutes les fonctions dont la règle est de la forme f (x) x , où k 0, ont
les mêmes propriétés.
b) Toutes les fonctions polynomiales du premier degré ont les mêmes propriétés. c) Les fonctions polynomiales du premier degré dont la règle s’écrit sous la forme y ax n’ont aucune valeur initiale. d) Les fonctions polynomiales du premier degré dont le taux de variation est strictement négatif sont décroissantes.
8 La table de valeurs suivante représente une situation qui peut être modélisée par une fonction rationnelle. x
15
20
25
40
f(x)
12
8,5
7
4,5
Quelle est la valeur de f(30) ? a) 6,85
b) 6,25
c) 5,875
d) 5,225
9 Voici les règles des fonctions f et g. f(x) 100 12x
208
g(x) x
Vrai
Indiquez si chacun des énoncés suivants est vrai ou faux.
Faux
a) Le point (4, 52) appartient à la fois à la fonction f et à la fonction g. b) Les fonctions f et g sont décroissantes sur leur domaine.
114
CHAPITRE 1
SYNTHÈSE 1
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p. 276
B NQUE DE SA 1 2 1
1
Une relation définie par parties Déterminez les règles des cinq relations ayant permis de représenter la relation définie par parties dans le plan cartésien ci-dessous. Puis, indiquez le domaine et le codomaine de chacune de ces relations. y 14
12
10
2
4 3
8
6
5
1
4
2
0
Relation
2
Règle
4
6
8
10
12
Domaine
14
x
Codomaine
1 2 3 4 5 © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
CHAPITRE 1
BANQUE DE SA 1
121
p. 277
5
1
Le produit intérieur brut Le produit intérieur brut par habitant (PIB/h) est une mesure de la richesse des habitants d’un pays. Les données ci-dessous présentent le PIB/h et le taux de mortalité infantile pour quelques pays. Relation entre le PIB/h et le taux de mortalité infantile Pays
PIB/h (k$)
Taux de mortalité infantile (pour 1000 naissances)
Pays
PIB/h (k$)
Taux de mortalité infantile (pour 1000 naissances)
Suisse
47,577
4,08
Macédoine
15,456
8,54
États-Unis
39,114
6,06
Roumanie
10,152
11,02
Canada
30,014
5,65
Venezuela
4,203
20,62
Espagne
25,777
3,89
Pérou
2,425
22,18
Chypre
19,659
9,38
Zimbabwe
0,448
29,5
Turquie
4,296
?
Pour modéliser la relation qui existe entre le PIB/h et le taux de mortalité infantile, les sociologues ont le choix entre une fonction polynomiale du premier degré et une fonction rationnelle. Après avoir fait une prédiction sur le taux de mortalité infantile en Turquie à l’aide de chacun des modèles, déterminez quel type de fonction constitue le meilleur modèle pour cette situation.
Réponse :
126
CHAPITRE 1
BANQUE DE SA 1
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p. 278
SAÉ 1
Les technologies de l’information en classe
1
Les technologies de l’information prennent de plus en plus d’ampleur dans le réseau de l’éducation du Québec. Les classes sont bien souvent équipées d’un tableau numérique interactif (TNI) et les élèves sont en général munis d’une tablette électronique ou d’un ordinateur portable. Ces outils permettent tant aux élèves qu’aux enseignants d’avoir plus rapidement accès à différentes ressources. Dans cette situation d’apprentissage et d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches en lien avec les technologies de l’information. TÂCHE 1 :
La popularité des tableaux numériques interactifs
La direction d’une école souhaite équiper chaque classe d’un tableau numérique interactif. Le montant facturé par l’entreprise correspond à un coût fixe pour le déplacement et l’installation auquel s’ajoute le prix de chaque TNI. Les données ci-dessous renseignent sur l’achat de ce type de tableau dans deux écoles voisines. Achat de tableaux numériques interactifs Nombre de TNI achetés
Coût pour l’installation et le matériel ($)
17
35 350
14
29 200
Sachant que la direction désire acheter 20 TNI, déterminez le montant qui sera facturé à l’école.
Réponse :
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CHAPITRE 1
SAÉ 1
127
Évaluation explicite des connaissances
TEST 1
1
QUESTION 1
Résultat :
/20
/6
Dans chaque cas, déterminez la règle de la fonction associée à la situation. a)
x
f(x)
3
4
4 2
5
0
6
2
7
4
Réponse : b) g(x)
(4, 8)
(12, 6)
0
x
Réponse : c) h(x)
(2, 40)
(10, 8)
0
x
Réponse :
130
CHAPITRE 1
TEST 1
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QUESTION 2
/6
1
On a représenté dans le plan cartésien suivant la fonction rationnelle r et les fonctions polynomiales du premier degré, p et q. y
p (2, 4) 1
q
r
0
7
x
De plus, on sait que : • l’ordonnée du point d’intersection des fonctions p et r est 1 ; • le taux de variation de la fonction q est 1 . 2
Déterminez la règle de chacune des fonctions p, q et r.
Réponse : © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
CHAPITRE 1
TEST 1
131
TEST 1
1
Évaluation des compétences
Résultat :
/80
La planification d’un voyage Le soccer est un sport qui gagne en popularité au Québec. De plus en plus d’équipes participent à différents tournois afin d’atteindre le plus haut niveau de compétition et de se préparer pour le championnat de la saison. Cette année, l’équipe de la région participera à un tournoi à Woodbridge, en Ontario. Il faut donc prévoir un budget pour transporter, héberger et nourrir les membres de l’équipe durant leur séjour. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches en lien avec la planification d’un voyage.
TÂCHE 1 :
La location de l’autobus
/30
Pour se rendre à Woodbridge, l’équipe louera un autobus. Le prix sera réparti équitablement entre les 2 entraîneurs et les 18 joueurs de l’équipe. Voici des renseignements concernant les tarifs de deux entreprises de transport par autobus. Entreprise B
Entreprise A Nombre de passagers
Prix par passager ($)
5
760
10
380
25
152
40
95
Prix par passager ($) 1400 1200 1000 800 600 400 200 0
4
8
12
16
20 24 28 Nombre de passagers
Quelle entreprise devrait être retenue pour transporter les membres de l’équipe vers Woodbridge ? Justifiez votre réponse en calculant le prix (en $) par passager pour chaque entreprise.
Réponse :
134
CHAPITRE 1
TEST 1
© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
p. 294-295
1 On a représenté ci-dessous les fonctions définies par parties f et g. Dans chaque cas : 1) tracez la réciproque de la fonction dans le plan cartésien ; 2) indiquez les propriétés de la fonction ; 3) indiquez les propriétés de la réciproque ; 4) indiquez si la réciproque est une fonction.
a) 1)
b) 1)
f(x )
8
g(x )
8
8
4
4
0
4
4
8
x
8
0
4
8
2) Domaine :
Codomaine :
Codomaine :
Croissance :
Croissance :
Décroissance :
Décroissance :
Positif :
Positif :
Négatif :
Négatif :
Valeur(s) initiale(s) :
Valeur(s) initiale(s) :
Minimum :
Minimum :
Maximum :
Maximum :
Zéro(s) :
Zéro(s) : 3) Domaine :
Codomaine :
Codomaine :
Croissance :
Croissance :
Décroissance :
Décroissance :
Positif :
Positif :
Négatif :
Négatif :
Valeur(s) initiale(s) :
Valeur(s) initiale(s) :
Minimum :
Minimum :
Maximum :
Maximum :
Zéro(s) :
Zéro(s) :
4) © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
x
8
3) Domaine :
8
4
4
2) Domaine :
4
4) GARDER LE CAP
Chapitres 1 et 2
197
p. 295
2 Déterminez le type de fonction associé à chacune des règles ci-dessous. a) f (x) 5 29,3x 1 5
61 x
b) g(x) 5
3
c) h(x) 5 2 4
8x 2 3 7
d) i (x) 5
3 Chacune des paires de couples ci-dessous appartient à une fonction polynomiale du premier degré. Dans chaque cas, déterminez le taux de variation de cette fonction. a) P1(21, 8) et P2(2, 2). a 5 5
b) P1(10, 5) et P2(13, 22).
y 2 2 y1
a 5
x 2 2 x1 228 2 2 21
5
5 22
y 2 2 y1 x 2 2 x1 22 2 5 13 2 10
52
7 3
4 Déterminez le ou les zéros de chacune des fonctions suivantes. 29 x
a) y 5 2x 1 32
b) y 5
c) y 5 25x 1 45
d) y 5 19
5 Résolvez chacune des inéquations suivantes et exprimez la réponse : 1) sous la forme d’un intervalle ;
a) 24 x 1 10
198
2) à l’aide d’une droite numérique.
b) 17 2x 2 5
c) 31 19 2 4x
1)
1)
1)
2)
2)
2)
GARDER LE CAP
Chapitres 1 et 2
© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
p. 296
Questions à choix multiple
1
La fonction rationnelle constitue le meilleur choix pour modéliser un des nuages de points représentés ci-dessous. De quel nuage de points s’agit-il ? a) y
b) y
0
c)
0
x
d)
y
x
0
y
0
x
x
2 Parmi les relations représentées ci-dessous, indiquez celle dont la réciproque n’est pas une fonction. b) y
a) y
0
x
c) y
0
x
d) y
0
0
x
3 Une fonction est illustrée dans le plan cartésien ci-contre.
y 6
a) Quel est le codomaine de cette fonction ? 1) [ 2, [
2) [ 5, [
3) ] 5, [
4
4) [ 2, 2]
2
b) Quel est le domaine de cette fonction ? 1) [ 2, [
2) [ 5, [
x
3) ] 5, [
4) [ 2, 2]
6
4
0
2
2
4
6
c) Sur quels intervalles cette fonction est-elle négative ? 1) [ 5, 0]
2) ] 5, 4] ∪ [0, 2] ∪ [4, [
3) [ 4, 4]
4) [ 4, 0] ∪ [2, 4]
2
4
6
x
d) Quelle est la valeur initiale de cette fonction ? 1)
4
2) 0
3) 2
4) 4
4 Considérant la fonction représentée ci-contre, lequel des énoncés
y
ci-dessous est faux ? a) Le maximum est de 4.
4
b) L’abscisse à l’origine est 3.
2
c) La fonction est croissante sur l’intervalle [ 4, 1].
d) La fonction est négative sur l’intervalle [ 3, [.
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4
0
2
2
4
2
4
RÉVISION
x
201
p. 296
Questions à réponse courte
19 Dans chaque cas, déterminez le couple-solution du système d’équations. a)
b)
y
x
4 2
4
0
2
2
x
4
2
y
y
2
3
17
1
1
14
0
1
11
1
3
8
2
5
5
3
7
4
9
2
1
4
c)
d)
y 4x 7 y 2x 5
y 3,5x 6 y 2,3x 3
20 Déterminez la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous. a)
b)
y
c)
y
10 8
y
4
4
2
2
6 4
4
0
2
2 0
204
2
RÉVISION
4
6
8
10
2
4
x
4
0
2
2
2
4
4
2
4
x
x
© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
p. 298
Questions à développement
27 Jonathan s’intéresse à la variation de la température en fonction du temps durant le mois de novembre. Suite à l’analyse du graphique représentant cette situation, Jonathan tire quelques conclusions erronées. Propriétés de la température au mois de novembre :
Température au mois de novembre
Température (°C) 10 8 6 4 2 0 2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
4
6
8
10
Temps écoulé (jours)
Domaine : [ 8, 8] °C Codomaine : [0, 30] jours Croissance : [0, 2] jours ∪ [20, 28] jours Décroissance : [2, 6] jours ∪ [10, 24] jours Maximum : 2 °C, 6 °C et 8 °C Minimum : 8 °C, 0 °C et 2 °C Négatif : [11, 26] jours Positif : [0, 11[ jours ∪ [26, 30] jours Zéros : 6 jours, 11 jours et 26 jours Valeur initiale : 2 °C
Corrigez les conclusions de Jonathan.
28 Le grand côté d’un parallélogramme mesure 4 cm de moins que le double du petit côté. Le périmètre du parallélogramme est supérieur à 22 cm, mais inférieur à 40 cm. a) Quelle expression algébrique peut être associée à la mesure de chaque côté du parallélogramme ?
Réponse : b) Quelles sont les deux inéquations en lien avec le périmètre du parallélogramme ?
Réponse : c) Déterminez les périmètres possibles de ce parallélogramme sachant que x ∈ n.
Réponse : © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
RÉVISION
207
p. 299
33 Les encadrés ci-dessous présentent le forfait offert par deux entreprises de téléphonie cellulaire. Forfait de l’entreprise A Tarif de base : 15 $/mois Facturation supplémentaire : 1 ¢/min
Forfait de l’entreprise B Montant de la facture ($) 40
30
20
10
0
200
400
600
800 1000 Temps d’utilisation (min)
a) Quel est le forfait le plus avantageux ? Expliquez votre réponse.
Réponse :
b) L’entreprise A veut modifier son tarif de base de façon à ce que son forfait soit plus avantageux que celui de l’entreprise B pour une utilisation inférieure à 400 min/mois. Quel est le tarif de base maximal qu’elle peut exiger ?
Réponse :
210
RÉVISION
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p. 299
1
Le CELI Isabelle a placé 3000 $ dans un compte d’épargne libre d’impôt (CELI). La table de valeurs ci-dessous fournit des renseignements sur la valeur du CELI (en $) selon le temps écoulé (en années) depuis l’investissement. Croissance d’un CELI Temps écoulé (années) Valeur du CELI ($)
0
2
4
6
8
3000
3600
4200
4800
5400
Si la tendance se maintient, déterminez le moment où la valeur du CELI sera égale au triple du montant investi.
Réponse :
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BANQUE DE SA
211
La gestion d’une municipalité nécessite le travail de plusieurs personnes dans différents domaines tels que les finances, l’urbanisme ou les travaux publics. Les mathématiques sont utiles dans de nombreux dossiers afin de calculer et d’assurer un budget équilibré. Dans cette situation d’évaluation, vous réaliserez différentes tâches en lien avec les municipalités.
TÂCHE 1 : Le taux de taxation Le taux de taxation dans une municipalité est établi en fonction des besoins. Il sert à recueillir auprès des citoyens l’argent nécessaire aux dépenses de la ville. Ce taux est le même pour les résidences identiques d’une municipalité et il est calculé selon leur valeur. Voici des informations sur l’évolution du taux de taxation de deux municipalités. Ville A
Ville B
Taux de taxation actuel : 0,86 $ par 100 $ d’évaluation
Taux de taxation actuel : 0,94 $ par 100 $ d’évaluation
Augmentation prévue : 0,035 $/an
Augmentation prévue : 0,02 $/an
Pendant combien de temps l’écart entre les taux de taxation des deux villes sera-t-il inférieur ou égal à 0,03 $ ?
Réponse :
224
SÉ 2
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QUESTION 1
/4
Dans chaque cas, rÊsolvez l’inÊquation et dÊcrivez l’ensemble-solution à l’aide d’un intervalle. a) 3x 2 x 10
RĂŠponse : b)
0,5x 7 5,5x 31
RÊponse : Š 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite
EXAMEN FORMATIF
227
La planification financière personnelle La planification financière personnelle est un processus qui consiste à optimiser la situation financière et le patrimoine d’une personne. Le rôle du planificateur financier est d’élaborer un plan d’action stratégique adapté aux besoins de ses clients en tenant compte de leurs objectifs à moyen et à long terme. Dans cette section, vous réaliserez différentes tâches en lien avec l’univers de la planification financière d’une personne. TÂCHE 1 :
Les placements financiers
/30
Dans le cadre d’une planification financière personnelle, une planificatrice propose à un client de faire fructifier ses économies à l’aide de deux placements. Voici des renseignements concernant l’évolution prévue des deux placements. Le solde s (en $) de chaque placement varie en fonction du temps t (en mois), selon une fonction représentée graphiquement par une droite. Placement A • Dans le plan cartésien, la droite qui représente l’évolution de ce placement passe par les points A(6, 690) et B(24, 960).
Placement B • Le solde initial du placement est de 800 $. • Le solde prévu à 30 mois est de 1100 $.
Lequel de ces deux placements est le plus avantageux pour le client ?
232
EXAMEN FORMATIF
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abscisse
différence
Nombre correspondant à la première coordonnée d’un point dans le plan cartésien.
Résultat d’une soustraction.
Exemple : L’abscisse du point P( 2, 3) est 2.
Exemple : 8 est la différence entre 15 et 7, car 15 7 8.
y droite
P( 2, 3) 1 2 0 1
x
Objet géométrique dans le plan cartésien. On peut lui donner la forme y ax b, où le coefficient a est appelé taux de variation (ou pente), et le terme b, valeur initiale d (ou ordonnée à l’origine). Exemple : La droite y 2x 2 est représentée dans le plan cartésien ci-dessous.
constante
Valeur invariable, contrairement aux variables et aux paramètres.
y
Exemple : Dans l’expression algébrique 3x 8, le coefficient 3 et le terme 8 sont des constantes.
y 2x 2 1 0 1
couple
Disposition ordonnée de deux éléments x et y d’un ensemble formant un nouvel objet. Cet objet est noté (x, y). Exemple : Dans le plan cartésien, les coordonnées d’un point sont données par un couple. Ici, le point P a pour coordonnées le couple (3, 4).
droite numérique
y
Droite graduée au moyen de nombres pouvant faire partie de l’ensemble des nombres naturels, entiers ou réels. La graduation d’une droite numérique doit toujours être constante.
P(3, 4)
1 0
x
1
courbe
4
Nom utilisé pour définir le graphique de certaines relations ou fonctions. Les droites, les segments, les cercles et les lignes polygonales sont des exemples de courbe.
1 0 1
Exemple :
Exemples : 1) y
2)
x
y
1 0 1
x
x
degré
Le degré d’un polynôme est le degré du monôme de plus grand degré parmi tous les monômes composant le polynôme.
3
2
1
0
1
2
3
4
droites parallèles confondues
Droites dont les équations possèdent la même pente et la même ordonnée à l’origine. La résolution algébrique d’un tel système d’équations conduit à une égalité vraie et admet une infinité de solutions. Exemple : Les droites y 2x 3 et 4x 2y 6 0 sont parallèles confondues. y
1 0 1
x
Exemple : Le degré du polynôme 5x 3 2x 2y 3 y 2 3 est 5 car 2x 2y 3 est le monôme de plus grand degré de ce polynôme.
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GLOSSAIRE
237
droites parallèles distinctes [ / / ]
expression algĂŠbrique
Droites dont les Êquations possèdent la même pente, mais des ordonnÊes à l’origine diffÊrentes. La rÊsolution algÊbrique d’un tel système d’Êquations conduit à une impossibilitÊ et n’admet aucune solution.
Formule ou expression composÊe de constantes et de variables reliÊes entre elles par des symboles d’opÊrations mathÊmatiques. Une expression algÊbrique ne comprend pas de signe d’ÊgalitÊ ni de signe d’inÊgalitÊ.
Exemple : Les droites y 2x 3 et y 2x 2 sont deux droites parallèles distinctes.
3 Exemple : 2x + 5x est une expression algĂŠbrique.
x + 4
y
expression numĂŠrique
y 2x 3
y 2x 2 1 0 1 x
Formule ou expression composÊe de nombres reliÊs entre eux par des symboles d’opÊrations mathÊmatiques. Exemple : 3 2 7 12 4 est une expression numÊrique. fonction polynomiale
droites sĂŠcantes
Paire de droites ayant un point en commun. Elles sont distinctes et ne peuvent se couper qu’en un seul point. Des droites sÊcantes ont des pentes diffÊrentes. Exemple : Les droites y 2x 3 et y 3x 1 sont sÊcantes. y y 2x 3
Fonction dont la règle s’Êcrit Ă l’aide d’un polynĂ´me. Exemple : La fonction f (x ) 8x 12 est une fonction polynomiale. infini [∞]
Ce qui est sans limites. On parle de plus l’infini, notÊ , lorsque les valeurs n’ont pas de limite supÊrieure. On parle de moins l’infini, notÊ , lorsque les valeurs n’ont pas de limite infÊrieure. intervalle [ [ ], [ [, ] [, ] ] ]
1 0 1
x y 3x 1
Ensemble de nombres compris entre deux nombres appelÊs bornes. Un crochet tournÊ vers l’intÊrieur ou l’extÊrieur de l’intervalle indique si la borne est incluse ou exclue.
exposant
Nombre affectÊ à une base et indiquant le nombre de fois que la base est multipliÊe par elle-même. Exemple : Dans 36, la base est 3 et l’exposant est 6. L’exposant 6 veut donc dire de multiplier 6 fois la base 3 par elle-même.
36 3 3 3 3 3 3 729 6 fois
Exemple : L’intervalle des nombres rÊels allant de 4 inclus à 13 exclu est notÊ [ 4, 13[. 4
0
4
8
12 13
R
moyenne
En statistique, mesure de tendance centrale indiquant le centre d’Êquilibre d’une distribution. Pour une distribution oÚ les donnÊes sont ÊnumÊrÊes, la moyenne se calcule ainsi : Moyenne somme de toutes les donnÊes nombre de donnÊes
Exemple : Soit une distribution contenant 8 donnĂŠes : 11, 12, 12, 14, 16, 16, 17, 19. 11 12 12 14 16 16 17 19 117 14,625 8 8 11 12 12 14 16 16 17 19 117 14,625 8 8 11 12 12 14 16 16 17 19 117 14,625 8 8
Moyenne
238
GLOSSAIRE
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NOTATIONS ET SYMBOLES MATHÉMATIQUES
Notation et symbole
Signification
Notation et symbole
Signification
N
Ensemble des nombres naturels
‌ est supÊrieur ou Êgal à ‌
z
Ensemble des nombres entiers
‌ est infÊrieur ou Êgal à ‌
q
Ensemble des nombres rationnels
[a, b]
Intervalle incluant a et b
q'
Ensemble des nombres irrationnels
[a, b[
Intervalle incluant a et excluant b
r
Ensemble des nombres rĂŠels
]a, b]
Intervalle excluant a et incluant b
âˆŞ
Union ou rÊunion d’ensembles
]a, b[
Intervalle excluant a et b
ou { }
Ensemble vide
‌ est Êgal à ‌
‌ n’est pas Êgal à ‌ ou ‌ est diffÊrent de‌
‌ est approximativement Êgal à ‌ ou ‌ est à peu près Êgal à ‌
x
Variation ou accroissement en x
‌ est supÊrieur à ‌
y
Variation ou accroissement en y
‌ est infÊrieur à ‌
Infini
a
OpposĂŠ de a
ou 1a
Inverse de a
a
1
ENSEMBLES DE NOMBRES
N : Ensemble des nombres naturels. Exemples : 0, 4 et 341.
z : Ensemble des nombres entiers. Exemples : 157, 1, 0 et 21.
q : Ensemble des nombres rationnels. 1 3
2 3
Exemples : , 0,3, 17,9 et 5 .
q' : Ensemble des nombres irrationnels. 3
Exemples : 2 2 , e, et
5.
r : Ensemble des nombres rÊels. Exemples : Tous les nombres appartenant à l’un ou l’autre des ensembles dÊcrits ci-dessus.
r q'
q z
N
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ANNEXES
241
PRIORITÉ DES OPÉRATIONS L’ordre à respecter pour effectuer les calculs dans une chaîne d’opérations est le suivant : 1) les opérations entre parenthèses ; 2) l’exponentiation (les nombres affectés d’un exposant) ; 3) les multiplications et les divisions, dans l’ordre d’apparition de gauche à droite ; 4) les additions et les soustractions, dans l’ordre d’apparition de gauche à droite.
Pour calculer la valeur d’une chaîne d’opérations, vous pouvez utiliser la démarche suivante.
Démarche
242
Exemple : Calculez la valeur de la chaîne d’opérations suivante : 12 15 ( 5 8) 42 2.
1. Effectuez, s’il y a lieu, l’opération mise entre parenthèses.
12 15 ( 5 8) 42 2 12 15 3 42 2
2. Lorsque toutes les opérations mises entre parenthèses ont été effectuées, effectuez, s’il y a lieu, l’exponentiation.
12 15 12 15
3 3
42 2 16 2
3. Lorsque toutes les opérations d’exponentiation ont été effectuées, faites les multiplications et les divisions, dans l’ordre d’apparition, soit de gauche à droite.
12 15 12 5 12 5
3
16 2 16 2 32
4. Lorsque toutes les multiplications et les divisions ont été effectuées, faites les additions et les soustractions, dans l’ordre d’apparition, soit de gauche à droite.
12 7 39
ANNEXES
5
32 32
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TEST DIAGNOSTIQUE p. 1
p. 4
1. c)
2. b)
5. c)
6. c)
3. c)
4. d)
b) 4 m 4 2n 4m 8n
p. 2
7. b)
8. c)
9. a) 4)
b) 3)
10. a)
11. b)
12. b)
13. d)
p. 3
x
8 e) 15
g)
4 3
2m 8 3 2m 24 m
23. x : ĂŠconomies de NoĂŠmie (en $) 2x 12 : ĂŠconomies de Marika (en $)
23 12
x 2x 12 234
35 f) 99
3x 12 234 3x 222
25 4
x 74 $ 2x 12 2 74 12 160 $
17. a) 17,42 $
b) 1,58 kg
18. a) 0
b) 86
19. a) t 2n 3
b) t 9n 43
RĂŠponse : Les ĂŠconomies de NoĂŠmie totalisent 74 $ et celles de Marika, 160 $. 24. x : largeur du rectangle (en cm)
c) t 24n 124 20.
24 2
12
32 b) 99
h)
6
d)
12 2
2m c) 8 3
E – 8, F – 4, G – 3, H – 7
1 10
b) 2x 7 19 2x 12
15. A – 2 , B – 6 , C – 1 , D – 5 ,
c)
c) 15p 5 25q 5 3p 5q 22. a) y 9 5 4
14. a) 4 5 8 6 3 4 40 2 34 b) 4 ( 6)2 1 4 36 1 144
22 16. a) 15
21. a) 7a 3a 2b 6b 4a 8b
CoĂťt total selon le nombre de chansons achetĂŠes Nombre de chansons achetĂŠes
0
3
CoĂťt total ($)
0
4,17
5
9
14
6,95 12,51 19,46
Il s’agit d’une situation de proportionnalitÊ.
2x 3 : hauteur du rectangle (en cm) x x 2x 3 2x 3 6x 6 6x x
60 60 66 11 cm
2x 3 2 11 3 19 cm RĂŠponse : La largeur et la hauteur du rectangle mesurent respectivement 11 cm et 19 cm.
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CORRIGÉ
245
Les cahiers d’apprentissage de la collection Intervalle couvrent les éléments prescrits par le Programme de la formation de base diversifiée (FBD) pour chacun des trois cours de 3e secondaire. De plus, la collection Intervalle innove en offrant, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au cahier numérique aux utilisateurs élèves et, à l’achat des versions imprimées, un accès gratuit au guide d’enseignement numérique aux utilisateurs enseignants.
STRUCTURE D’UN CAHIER • Un Test diagnostique ; • Deux ou trois chapitres comprenant chacun : – un Rappel (8 pages), – deux ou trois sections divisées en sous-sections comportant chacune un encadré théorique, des rubriques En pratique, des exercices et problèmes en contexte, chaque section se terminant par une Consolidation portant sur l’ensemble de la section, – une Synthèse (8 pages), – une Banque de SA (6 pages), – une situation d’évaluation et d’apprentissage (SAÉ), – un test divisé en deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ;
• Une ou deux rubriques Garder le cap où figurent des exercices et problèmes en contexte ; • Une Révision (10 pages) ; • Une Banque de SA (10 pages) ; • Deux situations d’évaluation (SÉ) ; • Un examen formatif comportant deux parties : Évaluation explicite des connaissances et Évaluation des compétences ; • Un glossaire ; • Des annexes ; • Le corrigé du cahier.
STRUCTURE D’UN GUIDE D’ENSEIGNEMENT En plus de tout le contenu proposé aux élèves dans chacun des cahiers d’apprentissage, les enseignants disposent, à leur usage exclusif, des éléments suivants : • Plus de 50 fiches reproductibles et leur corrigé (une banque de situations d’apprentissage et un test supplémentaire par chapitre, en plus d’un bilan, de deux SÉ et d’un examen préparatoire à celui du MEESR) ; • Les corrigés des tests, des SÉ et de l’examen formatif présents dans le cahier d’apprentissage.
VERSIONS NUMÉRIQUES Pour l’enseignant
Pour l’élève
• Pour l’animation en classe et la correction collective, la version numérique du cahier vous permet :
• La version numérique du cahier permet à l’élève :
– de projeter, d’annoter et de feuilleter le cahier en entier ; – d’afficher le corrigé du cahier, question par question ;
– de feuilleter et d’annoter chaque page ;
– d’accéder à tout le matériel reproductible ;
– d’écrire ses réponses dans son cahier ;
– de partager des notes et des documents avec vos élèves ;
– d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ;
– de corriger leurs réponses directement dans la version numérique de leur cahier ; – d’accéder à une barre d’outils (solides, plan cartésien, table de valeurs, etc.) en un clic ; – et de travailler dans votre matériel même sans connexion Internet.
– de travailler dans son cahier sans connexion Internet.