Dictionnaire mathématique CEC

Dictionnaire

mathématique CEC

distributivité corrélation

Natasha Dufour

cercle trigonométrique

théorème

démarche 20

équation

4 x 5 100 20

EXTRAIT

racine carrée

AVIS AUX LECTRICES ET AUX LECTEURS Veuillez prendre note que ce document constitue une version préliminaire.

Il peut donc y subsister des imprécisions ou des coquilles typographiques.

Elles seront corrigées et n’apparaîtront pas dans la version finale.

Table des matières Présentation du Dictionnaire mathématique CEC i . . .

IV

Liste des pictogrammes i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV

Termes mathématiques i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Noms propres i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Annexes i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Index i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Liste des pictogrammes r

Renvoi à une annexe

L

Renvoi à un autre terme défini Renvoi à un mathématicien ou une mathématicienne présenté dans la section « Noms propres »

[cm] Unité de mesure représentant un terme défini [ ]

Symbole ou notation représentant un terme défini



Notion acquise au primaire



Notion acquise au 1er cycle du secondaire



Notion acquise au 2e cycle du secondaire

 CST Notion acquise au 2e cycle du secondaire, séquence Culture, société et technique (CST)  SN Notion acquise au 2e cycle du secondaire, séquence Sciences naturelles (SN)  TS

Notion acquise au 2e cycle du secondaire, séquence Technico-sciences (TS)

IV

Termes mathĂŠmatiques

Aa

a b c d e f

abaque nom masculin

Appareil mécanique composé de boules ou de rondelles que l’on déplace sur des tiges afin de représenter des nombres et effectuer des opérations arithmétiques élémentaires.

g h Abaque chinois

i

abscisse nom féminin  Nombre correspondant à la première coordonnée d’un point dans le plan cartésien.

j

Exemple : L’abscisse du point P( 2, 3) est 2.

k

y

l P ( 2, 3)

m n

1 0

1

o

x

p q r abscisse à l’origine

s

 Nombre correspondant à la première coordonnée de chaque point d’intersection du graphique d’une fonction f avec l’axe des abscisses. y Il s’agit du ou des points du graphique pour lesquels f (x) 0. Leurs abscisses sont aussi nommées les zéros de la fonction f.

u

Exemple : Dans le graphique ci-contre, 0 et 4 sont les abscisses à l’origine de la fonction f.

v

t

f

2 (0, 0) 0

w

(4, 0) 2

x

x y z

3

accolades

a b c d e f g h i j k

accolades [{}] nom fĂŠminin

Symbole utilisÊ pour dÊfinir un ensemble ou ÊnumÊrer une liste d’ÊlÊments. Les accolades servent aussi de parenthèses dans les calculs.

Exemple : A {1, 2, 3, 4, 5}

accroissement nom masculin  Changement de valeur d’une variable entre deux points, sur un intervalle donnÊ.

Soit les points A(x1, y1) et B(x2, y2). • L’accroissement des abscisses de A vers B est x x2 x1 ; • L’accroissement des ordonnÊes de A vers B est y y2 y1.

Exemple : Soit les points A(1, 2) et B(5, 4). L’accroissement des abscisses est de 4 alors que l’accroissement des ordonnÊes est de 2. x x2 x1 5 1 4

y B(5, 4)

y y 2 y 1 4 2 2

y 4 2 2 1

l

1 0

m

A(1, 2)

x 5 1 4

x

1

n o p q r s t u v w x y z

acutangle adjectif L Voir triangle acutangle. addition [ ] nom fÊminin  OpÊration mathÊmatique permettant, à partir de deux nombres ou plus, d’en obtenir

un autre appelÊ somme. L’addition consiste à ajouter à un nombre, un ou plusieurs autres nombres L’addition s’applique à d’autres objets mathÊmatiques, notamment les vecteurs et les fonctions.

Exemple : 14 31 62 107

agrandissement nom masculin ď‚Š Figure se trouvant dans un rapport de similitude supĂŠrieur Ă 1 par rapport Ă une figure semblable.

Exemple : La figure A'B'C' est l’agrandissement de la figure ABC dans un rapport de similitude de 2.

A

aigu, aiguĂŤ adjectif L Voir angle aigu.

4

B' B 2u

C

A'

4u

C'

aire aire [u ] nom féminin  Mesure de la surface délimitée par une figure ou une courbe. L’aire, A, se mesure 2

en unités carrées.

Exemple : L’aire de ce rectangle est de 12 unités carrées.

a b c d e f

Principales formules d’aire

Triangle A

Carré

base hauteur 2 b h 2

g

A côté côté c c c2

h

c

i

c

j

b

Losange A

grande petite

diagonale diagonale 2 D d 2

D

h

Parallélogramme

k

A base hauteur b h

l

d

m h

h

o

b

b

n p

Rectangle

Trapèze

A base hauteur b h

petite hauteur

grande base base A

h

(B b) h 2

q r

2

h

b

s t

h b

b

u

B

Polygone régulier A

v

Disque

périmètre apothème 2 P a 2

w

A rayon2 r 2 r

x y

a

z 5

aire

a b c

aire latérale

 Somme des aires des faces d’un solide autres que la ou les bases.

• L’aire latérale, AL , d’une pyramide droite est : AL

périmètre de la base apothème 2 Pbase a 2

d

Exemple : L’aire latérale de la pyramide droite à base carrée suivante est :

e

AL

f

4 3 cm 5 cm 2

a 5 cm

30 cm2

g i j k

3 cm

3 cm

h

• L’aire latérale, AL , d’un prisme droit est : AL périmètre de la base hauteur h p base

Exemple : L’aire latérale du prisme droit à base rectangulaire suivant est : AL (2 cm 3 cm 2 cm 3 cm) 4 cm 40 cm2

l h 4 cm

m n o p q r s t u v

2 cm

3 cm

aire totale

 Somme des aires de toutes les faces d’un solide, soit la somme de l’aire latérale et de l’aire de la base ou des bases.

L’aire d’une sphère, qui n’a ni côté, ni base, se calcule ainsi : A 4 r 2, où r est le rayon de la sphère.

Exemple : L’aire totale, AT , du prisme à base rectangulaire suivant est : AT aire latérale 2 aire de la base (2 cm 3 cm 2 cm 3 cm) 4 cm 2 2 cm 3 cm 40 cm2 12 cm2 52 cm2 4 cm

w x

2 cm

3 cm

y z 6

angle algèbre nom féminin  Ensemble des méthodes de raisonnement et des opérations mathématiques relatives à un ensemble parfaitement déterminé d’objets mathématiques connus ou inconnus, représentés par des lettres et des nombres et dont les interrelations sont symbolisées par des signes.

Voir Al-Khawarizmi.

amplitude nom féminin

➊ En statistique : écart entre les bornes d’une classe.

Exemple : L’amplitude de la classe [0, 25[ est de 25 0 25.

➋  SN et TS En trigonométrie : moitié de la valeur de la différence entre le maximum et le minimum d’une fonction sinusoïdale.

Exemple : Minimum : 2 Amplitude

Maximum 2

2 2 2 4 2

Amplitude

0

x

2

c d e f h i j k

Minimum

angle [ ] [° ou rad] nom masculin  Figure géométrique formée de deux demi-droites, appelées côtés, ceux-ci ayant la même origine, appelée sommet de l’angle. Un angle se mesure habituellement en degrés (°) ou en radians (rad). é

Exemple :

Côt Sommet

Angle

Côté

angle aigu

 Angle dont la mesure est strictement comprise entre 0° et 90°.

Exemple : L’angle A est un angle aigu, car m A 30°.

A

30°

angle au centre

 L’un ou l’autre des deux angles formés par deux rayons d’un cercle. Le sommet

de l’angle se situe au centre du cercle.

Exemple :

b

g

y

Maximum : 2

a

l m n o p q r s t u v w

Angles au centre

x O

y z

7

angle

a b c

angle de dépression

 Angle formé par l’horizontale et la ligne de visée lorsque l’objet observé est plus bas que la personne qui observe.

Exemple :

Direction horizontale Angle de dépression

d e f

Ligne de visée

g

Hauteur

l m

Angle de fuite

n

Largeur

o p q

r

Exemple :

eu

k

nd

j

 Représentation dans le plan d’une figure en trois dimensions selon la perspective cavalière. C’est un angle de 30° ou de 45° formé par l’axe associé à la largeur et l’axe associé à la profondeur.

ofo

i

angle de fuite

Pr

h

angle d’élévation

 Angle formé par l’horizontale et la ligne de visée lorsque l’objet observé est plus haut que la personne qui observe.

Exemple :

r s t u

Ligne de visée Angle d’élévation Direction horizontale

v w x y z 8

angle

a

angle droit [ ]

 Angle mesurant 90°.

b

Exemple : L’angle A est un angle droit, car m A 90°.

c d e f

A

g

angle extérieur

 Angle formé par un côté d’un polygone et le prolongement extérieur d’un côté adjacent.

Exemple : B

A E

i

Angle extérieur

j

Côté du polygone

k

C

l

D

m

angle inscrit

 TS Angle dont le sommet est situé sur un cercle et dont les côtés interceptent un arc de ce même cercle.

Un angle inscrit mesure la moitié de la valeur de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

B

Exemple : L’angle ABC est un angle inscrit.

La mesure de l’angle ABC est : m ABC

h

Prolongement du côté adjacent

m AOC 2

O

n o p q

C

r

A

s

angle intérieur

t

 Angle formé par deux côtés consécutifs d’un polygone et situé à l’intérieur de ce polygone.

u

Exemple : La figure ABC est un polygone. AB, BC et AC sont les côtés de ce polygone.

A, B et C sont ses sommets. BAC ou A, ABC ou B et ACB ou C sont les angles intérieurs de ce polygone.

v

B

w x y

A

9

C

z

angle

a

angle nul

b

Exemple : L’angle A est un angle nul, car m A 0°.

 Angle mesurant 0°. Un angle nul est formé de deux demi-droites confondues.

A

c d

angle obtus

e

Exemple : L’angle A est un angle obtus, car m A 145°.

 Angle dont la mesure est strictement comprise entre 90° et 180°.

f g h i

145° A

angle plat

 Angle mesurant 180°.

Exemple : L’angle A est un angle plat, car m A 180°.

180°

j k l

 Angle mesurant 360°.

Exemple : L’angle A est un angle plein, car m A 360°.

360°

m n o

A

angle plein

A angles adjacents

 Paire d’angles ayant le même sommet, un côté commun et situés de part et d’autre du côté commun.

Exemple : Les angles 1 et 2 sont adjacents.

p q r

Sommet

s t

Côté commun

1 2

angles alternes-externes

u

 Deux angles n’ayant pas le même sommet, situés de part et d’autre d’une sécante et à l’extérieur de deux autres droites. Lorsque la sécante coupe deux droites parallèles, les angles alternes-externes sont isométriques.

v

Exemple : Les angles 1 et 3, ainsi que les angles 2 et 4, sont des angles alternes-externes.

w

1

2

x y z

4

10

3

angle angles alternes-internes

 Deux angles n’ayant pas le même sommet, situés de part et d’autre d’une sécante

a

et à l’intérieur de deux autres droites. Lorsque la sécante coupe deux droites parallèles, les angles alternes-internes sont isométriques.

b

Exemple : Les angles 1 et 3, ainsi que les angles 2 et 4 sont des angles alternes-internes.

c d

2

1

e

3

4

f g

angles complémentaires

h

 Paire d’angles dont la somme des mesures est 90°.

Exemple : La somme des mesures des angles ABC et CBD est de 57° 33° 90°.

Les angles ABC et CBD sont donc complémentaires.

i j

A

k

C

l

57° 33°

m

D

B

n

angles consécutifs

 Deux ou plusieurs angles qui se suivent dans une figure fermée.

Exemple : Les angles ABC et BCD sont consécutifs dans le parallélogramme suivant.

A

B

o p q

D

C

r s

angles correspondants

 Deux angles n’ayant pas le même sommet, situés du même côté d’une sécante, l’un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur de deux autres droites. Lorsque la sécante coupe deux droites parallèles, les angles correspondants sont isométriques.

Exemple : Les angles 1 et 5, 2 et 6, 3 et 7, ainsi que 4 et 8 sont des angles correspondants.

2

1

u v w

3

4

t

x 6

5 8

11

y 7

z

apex

a b c

angles opposés par le sommet

 Paire d’angles ayant le même sommet et dont les côtés de l’un sont les prolongements des côtés de l’autre. Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

Exemple : Sommet

d e f g

angles supplémentaires

h

Exemple : La somme des mesures des angles ABC et CBD est de 35° 145° 180°.

 Paire d’angles dont la somme des mesures est 180°.

C

i j

A

k l m n o

145°

35°

D

B

angle trigonométrique

 SN et TS Angle au centre résultant de la rotation de la partie positive de l’axe des abscisses dans le cercle trigonométrique. Cet angle est positif dans le sens de rotation antihoraire, et négatif dans le sens de rotation horaire. Les coordonnées du point trigonométrique correspondant à un angle trigonométrique sont (cos , sin ), où correspond à la mesure de l’angle trigonométrique généralement exprimée en radians.

Exemple :

p

y 1

P( ) (cos , sin )

q

r

0

1

x

s t u v

apex nom masculin  Sommet d’un cône, d’une pyramide ou sommet opposé à la base d’un triangle.

Exemple :

Apex

w x y z 12

aire

a

apothème nom masculin apothème d’un cône circulaire droit

 Segment ou mesure d’un segment reliant l’apex à un point quelconque du cercle de base.

Apex

Exemple :

b c

Apothème

d e f

apothème d’un polygone régulier

 Segment perpendiculaire ou mesure du segment perpendiculaire mené du centre

d’un polygone régulier au milieu d’un des côtés de ce polygone.

Exemple :

Apothème Centre du polygone régulier

g h i j k l

apothème d’une pyramide régulière

 Segment abaissé perpendiculairement de l’apex sur un des côtés du polygone formant

la base de cette pyramide. Il correspond à la hauteur du triangle formant une face latérale.

m

Exemple :

n

Apex Apothème

o p q

approximation [ ] nom féminin

Une approximation est une valeur qui s’approche du résultat attendu.

Exemple : Une approximation du nombre est d’environ 3,14. On écrit donc 3,14.

r s t u v w x y z

13

arbre

a b

arbre nom masculin  CST Graphe connexe ne comportant aucun cycle.

Exemples : 1) Le graphe suivant est un arbre.

c A

C

D

e g h i j k

r s

 CST De tous les arbres d’un graphe, celui dont la valeur est maximale.

La valeur d’un arbre se mesure par la somme des valeurs de ses arêtes ou de ses sommets.

Exemple : Soit le graphe ci-dessous.

B

v w

10

F

4

10

C 9

A

D

7

6

B 8

9

3

A

L’arbre de valeurs maximales de ce graphe est :

C

8

D

7

6

5

F

E

E

arbre de valeurs minimales

 CST De tous les arbres d’un graphe, celui dont la valeur est minimale.

La valeur d’un arbre se mesure par la somme des valeurs de ses arêtes, ou de ses sommets.

Exemple : Soit le graphe ci-dessous.

t u

D

arbre de valeurs maximales

o q

E

A

 Diagramme en arbre auquel une probabilité est ajoutée à chaque branche.

n p

E

arbre de probabilité

l m

Le graphe suivant n’est pas un arbre puisque A-B-C-D-A est un cycle simple.

B

d f

C

B

2)

B

10

C

8

F

4

C 9

3

A

D

7

6

B 8

9

3

A

L’arbre de valeurs minimales de ce graphe est :

D 5

5 F

E

x y z 14

4

E

arc sinus

a

arc nom masculin ➊  [APB] Portion de cercle délimitée par deux points.

Exemple : L’arc de cercle délimité par les points A et B et passant par le point P est noté APB. A

Arc

e

B

➋  CST [A-B] Arête d’un graphe orienté. Nommé selon les sommets qu’il unit,

le premier étant le sommet de départ et le deuxième, le sommet d’arrivée.

Exemples : 1) Dans le graphe ci-dessous, A-B est un arc de même que A-D, D-A, C-A, D-C, et D-D. 2) Dans le graphe ci dessous, les arcs A-D et D-A unissent les mêmes sommets, mais ont un sens différent.

B A

de la mesure du côté adjacent à cet angle et de la mesure de l’hypoténuse.

i

C

n p

A 3

m o

du côté adjacent à l’angle Mesure

Mesure de l’hypoténuse

h

l

1

3 5

g

k

arc cosinus [arc cos ou cos ] [° ou rad] nom masculin ➊  Mesure d’un angle calculée dans un triangle rectangle à partir de la valeur du rapport

Exemple : Mesure de l’angle A arc cos m A 53,13°

f

j

C D

Mesure d’un angle arc cos

c d

P

O

b

q

5

4

B

r

➋  TS et SN L’arc cosinus d’un nombre x [ 1, 1] est un nombre réel dont le cosinus est x.

s

arc sinus [arc sin ou sin ] [° ou rad] nom masculin ➊  Mesure d’un angle calculée dans un triangle rectangle à partir de la valeur du rapport

t

1

de la mesure du côté opposé à cet angle et de la mesure de l’hypoténuse.

Mesure d’un angle arc sin

v

du côté opposé à l’angle Mesure

Mesure de l’hypoténuse

Exemple : Mesure de l’angle A arc sin m A 53,13°

45

w

A 3 C

5

4

x B

➋  TS et SN L’arc sinus d’un nombre x [ 1, 1] est un nombre réel dont le sinus est x.

15

u

y z

arc tangente

a b c d

arc tangente [arc tan ou tan ] [° ou rad] nom masculin ➊  Mesure d’un angle calculée dans un triangle rectangle à partir de la valeur du rapport 1

de la mesure du côté opposé à cet angle et de la mesure du côté adjacent à cet angle.

Mesure d’un angle arc tan

Mesure du côté opposé à l’angle Mesure du côté adjacent à l’angle

Exemple : Mesure de l’angle A arc tan

e

m A 53,13°

A

43

f g h i

C

l m

B

4

est un nombre réel dont la tangente est x.

➋  TS et SN L’arc tangente d’un nombre x

arête nom féminin ➊  Dans un solide, ligne d’intersection de deux faces.

Exemple : Arête

j k

5

3

➋  CST Dans un graphe, lignes reliant deux sommets. Les arêtes correspondent à des paires de sommets.

Exemple : Dans le graphe ci-contre, A-B, A-C, A-E, C-C, C-D et D-E sont des arêtes.

A

q

F Arête

o p

C

B

n

D

E arêtes homologues

 Arêtes occupant la même position dans des solides semblables.

Exemple :

Arêtes homologues

r s t u

arêtes parallèles [(1)]

v

Exemple : Dans le graphe ci-contre, l’arête A(1)-B et l’arête A(2)-B sont parallèles.

w x y z

 CST Deux ou plusieurs arêtes reliant les mêmes sommets.

A

(1)

B

(2)

argument nom masculin  Élément auquel s’applique un opérateur.

Exemple : Soit f (x) sin x, l’argument du sinus de la fonction f est le nombre réel x.

16

asymptote arrangement nom masculin  Disposition ordonnée d’un certain nombre d’éléments d’un ensemble de n éléments.

a

Exemple : On choisit au hasard deux nombres dans l’ensemble A {2, 4, 6, 8, 10}.

(2, 6), (4, 8) et (8, 4) sont trois arrangements possibles de l’ensemble A.

c

Deux arrangements se distinguent par l’ordre de disposition de leurs éléments et le nombre d’éléments qu’ils contiennent.

arrondir verbe transitif  Donner une approximation d’un nombre alors que sa valeur exacte ou une valeur plus précise est connue.

Pour arrondir un nombre : • remplacer par des zéros tous les chiffres à la droite de la position donnée, si le chiffre placé immédiatement à la droite de la position donnée est 0, 1, 2, 3 ou 4 ; Exemple : 342 arrondi à la dizaine près est 340.

• additionner 1 au chiffre de la position donnée et remplacer par des zéros tous les chiffres à droite de cette position, si le chiffre placé immédiatement à la droite de la position donnée est 5, 6, 7, 8 ou 9.

Exemple : 12 883 arrondi à la centaine près est 12 900.

modifier l’ordre des calculs sans en changer le résultat. La réunion et l’intersection des ensembles sont, elles aussi, des opérations associatives. Toutefois, ni la soustraction, ni la division, ne sont des opérations associatives.

Exemples : 1) (3,2 5,1) 4,3 3,2 (5,1 4,3) 2) ( 3 2) 6 3 (2 6)

e f g h i j l m n o p

asymptote nom féminin  Droite de laquelle une courbe se rapproche de plus en plus.

q

• La distance d’un point d’une courbe à son ou à l’une de ses asymptotes tend vers zéro à mesure qu’un point de cette courbe tend vers l’infini.

• Dans le cas de la fonction f (x) bien qu’elle touche la courbe.

d

k

associativité nom féminin  Propriété d’une opération, telles que l’addition ou la multiplication, permettant de

1 x

b

sin x où x 0, la droite y 0 est une asymptote

r s t

Exemple : Dans le graphique ci-dessous, la droite y 2 est une asymptote de la fonction f. y

v

f

w

1 0

u

x

x

1 y 2

Asymptote

y z

17

axe

a b c d

axe nom masculin

A'

axe de réflexion

 Droite par rapport à laquelle s’effectue une réflexion.

A

Exemple : Dans la figure ci-contre, la droite d est l’axe de réflexion entre la figure initiale ABC et la figure image A'B'C'.

B

C' C

e f g

B'

d

axe des abscisses

 Droite graduée horizontale permettant de déterminer l’abscisse d’un point dans le plan cartésien. L’axe des abscisses est aussi appelé axe des x ou axe horizontal.

Exemple :

h Axe des abscisses

i j k l m n

axe des ordonnées

 Droite graduée verticale permettant de déterminer l’ordonnée d’un point dans le plan cartésien. L’axe des ordonnées est aussi appelé axe des y ou axe vertical.

Exemple : Axe des ordonnées

o p q r

axe de symétrie

s

 Axe de réflexion d’une figure symétrique, c’est-à-dire d’une figure qui est sa propre image par réflexion.

t

Exemple :

Axe de symétrie

u v w x

axiome nom masculin  SN et TS Énoncé non démontré, mais dont on convient, considéré acceptable par tout

y

Exemple : Dans un plan, il passe par deux points distincts une et une seule droite.

le monde considéré et pris pour évident.

z 18

Noms propres

Anaximandre de Milet

A

A B C

Al-Kashi (vers 1380 – vers 1450)

D

Mathématicien et astronome perse, né à Kachan et mort à Samarkand. Il a rédigé plusieurs ouvrages sur l’astronomie et aurait réussi à calculer les 16 premières décimales du nombre . On lui doit une généralisation de la relation de Pythagore. Ce que l’on nommait alors loi d’Al-Kashi s’appelle aujourd’hui loi des cosinus.

E F

L Voir loi des cosinus.

G H

Al-Khawarizmi, Muhamed Ibn Mussa (vers 783 – vers 850)

I

Mathématicien arabe, originaire de Khiva et mort à Bagdad, il est le premier et le plus célèbre mathématicien de cette période. Il est l’auteur d’un ouvrage intitulé Kitab al-jabr wa’l muqabala (La science de la transposition et de la réduction).

Le mot al-jabr est à l’origine de ce que nous appelons aujourd’hui algèbre.

J K L

Al-Khawarizmi a élaboré la notion d’équation : il désigne une quantité inconnue par un symbole utilisé ensuite dans des opérations. Il a étudié des équations de degrés 0, 1 et 2.

M N

L Voir algèbre.

Anaximandre de Milet (610 av. J.-C. – vers 546 av. J.-C.) Philosophe et savant grec, né et sans doute mort à Milet.

Il fut l’élève de Thalès et, plus tard, enseigna à Pythagore.

Solstice Son intérêt pour la cosmologie en fait l’un des pères de d’hiver l’astronomie et l’amène à introduire le gnomon (aiguille de cadran solaire) en Grèce. Anaximandre a fait construire des gnomons à Lacédémone (Sparte) pour y indiquer les solstices et les équinoxes.

L’ombre qui correspond au segment AD se forme à midi, heure solaire, lors du solstice d’été, normalement le 21 juin. L’ombre correspondant au segment AC est formée par le gnomon à midi, heure solaire, lors du solstice d’hiver, normalement le 21 décembre.

L Voir triangles semblables.

O P

Solstice d’été

Q R

B

S T

Gnomon A

D

C

U V W X Y Z

287

Archimède

A B C D E F G H I J K

Archimède (287 av. J.-C. – 212 av. J.-C.) Mathématicien, ingénieur et physicien grec, né et mort à Syracuse. Il est probablement le plus grand mathématicien de l’Antiquité. Il a étudié à la grande bibliothèque d’Alexandrie en Égypte. Véritable touche-à-tout, on lui doit d’importantes découvertes en physique, notamment la fameuse poussée d’Archimède qui explique la flottaison.

En mathématiques, sa contribution est remarquable par son étendue et sa diversité, notamment par ses travaux sur les bases et les hauteurs des triangles. Archimède prouva que les trois hauteurs d’un triangle se rencontrent toujours en un seul point, appelé orthocentre.

Il fut le premier à appliquer un raisonnement rigoureux pour obtenir une approximation 10 1 du nombre , en prouvant qu’il se situe entre 371 et 3 7 . Grâce à des méthodes nouvelles et ingénieuses, il a résolu des problèmes sur lesquels tous ses prédécesseurs avaient buté : par exemple, il a calculé le volume d’une boule à partir de son diamètre et répondu à diverses questions sur la numération, les solides semi-réguliers (aussi appelés solides d’Archimède), la quadrature des paraboles, etc. Certains de ses travaux portèrent sur le périmètre, l’aire et le volume.

B

L M N O P

Bellavitis, Giusto (1803 – 1880) Professeur de géométrie italien, né à Bassano et mort à Tezze. Il travailla sur l’équipollence de segments en utilisant des couples de points, appelés bipoints, dont le premier est nommé origine. Selon cette approche : • le bipoint (A, B) est l’opposé du bipoint (B, A) ;

Q

• les bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents si et seulement si ABDC est un parallélogramme ;

R

• deux bipoints équipollents représentent un même vecteur.

S

Les bipoints sont une préfiguration des vecteurs.

T U V W X Y Z

L Voir bipoint.

Bernoulli, Jean (1667 – 1748) Mathématicien et physicien suisse, né et mort à Bâle. Il publia en 1718 un article traitant des variations dans lequel il définit la fonction d’une variable y comme une quantité exprimée à l’aide de la variable x et de constantes. Il correspondit avec le mathématicien Leibniz pour discuter de la notation la mieux adaptée à l’écriture de la règle d’une fonction. Plus tard, il proposa x pour désigner une fonction dont la variable indépendante est x.

L Voir variable dépendante et variable indépendante.

288

Annexes Annexe 1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Annexe 2 Les principaux énoncés, lemmes, et théorèmes mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Annexe 3 Les principales stratégies mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Annexe 4 Les unités de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Annexe 5 Les notations et symboles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Annexe 6 Les constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Ensemble de nombres

Symbole

Description

Exemples

Nombres naturels

Nombres appartenant à l’ensemble {0, 1, 2, 3, …}

5, 17, 105 et 2 688

Nombres entiers

Nombres appartenant à l’ensemble {…, 2, 1, 0, 1, 2, …}

12, 9,

Nombres rationnels

Nombres pouvant être écrits sous la forme , où a et b b sont des nombres entiers, et b est différent de 0. Sous la forme décimale, le développement est fini ou infini et périodique.

Nombres irrationnels Nombres réels

a

'

Nombres ne pouvant pas s’exprimer comme un quotient d’entiers et dont le développement décimal est toujours infini et non périodique.

Nombres appartennant à l’ensemble des nombres rationnels ou à l’ensemble des nombres irrationnels.

3,2,

7 et 916

11 1

7 , 2, 3 ,

3 et 4,5

2, 5 et

19,

4 5,

3, 11,

et 26,3

Le schéma ci-dessous illustre les relations entre ces différents ensembles de nombres. '

309

1 Annexe

Les ensembles de nombres

2

Les principaux ÊnoncÊs, lemmes et thÊorèmes mathÊmatiques

Annexe

GĂŠomĂŠtrie

1. Dans tout triangle isocèle, les angles opposÊs

Dans un triangle isocèle ABC : AB AC C B

2. L’axe de symÊtrie d’un triangle isocèle

Axe de symÊtrie du triangle ABC : AD MÊdiane issue du sommet A : AD MÊdiatrice du côtÊ BC : AD C Bissectrice de l’angle A : AD Hauteur issue du sommet A : AD

aux cĂ´tĂŠs isomĂŠtriques sont isomĂŠtriques.

est Êgalement une mÊdiane, une mÊdiatrice, une bissectrice et une hauteur de ce triangle.

3. Les côtÊs opposÊs d’un parallÊlogramme

A C

B

Dans un parallĂŠlogramme ABCD : AB CD et AD BC

sont isomÊtriques.

A B

D A

B

D 4. Les diagonales d’un parallÊlogramme

Dans un parallĂŠlogramme ABCD : AE EC et DE EB

se coupent en leur milieu.

C A

B E

D 5. Les angles opposÊs d’un parallÊlogramme sont isomÊtriques.

Dans un parallĂŠlogramme ABCD : A C et B D

6.

Les diagonales d’un rectangle sont isomÊtriques.

Dans un rectangle ABCD : AC BD

A

B

D

7. Les diagonales d’un losange sont

Dans un losange ABCD : AC BD

perpendiculaires.

C

C A

B

D

C A

D

B C

8. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Si d 1 // d2 et d 2 // d3, alors d 1 // d3.

d1 9. Si deux droites sont perpendiculaires Ă

Si d 1 d3 et d 2 d3, alors d 1 // d2.

une troisième, alors celles-ci sont parallèles.

10. Si deux droites sont parallèles, toute

d2

d3 d3

d1

d2

Si d 1 // d2 et d 3 d2, alors d 3 d1.

perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à  l’autre.

d1 d2 d3

11. Trois points non alignĂŠs dĂŠterminent un cercle et un seul.

A

Il existe un seul cercle passant par les points A, B et C.

C 12. Dans un cercle, le rapport de la circonfÊrence au diamètre est une constante notÊe .

C d

310

C

B d O

Les principales stratĂŠgies mathĂŠmatiques DĂŠfinition

3

Domaine ou contexte d’utilisation

Analyse

Ensemble des Êtapes de l’Êtude dÊtaillÊe d’un problème, correspondant au choix de la mÊthode de rÊsolution appropriÊe et du rÊsultat attendu.

L’analyse prÊcède gÊnÊralement la rÊsolution d’un problème afin de dÊterminer les donnÊes connues et de comprendre le problème. Elle permet d’orienter le choix de la dÊmarche de rÊsolution et de dÊcider de la mÊthode à utiliser pour rÊsoudre le problème.

Anticipation

Formulation d’une hypothèse subjective d’un rÊsultat attendu.

L’anticipation sert à prÊdire le rÊsultat, pour orienter la dÊmarche de rÊsolution en fonction du rÊsultat attendu.

Exemple : Au hockey, le gardien de but anticipe le jeu d’un joueur adverse et se dÊplace en fonction de cette anticipation dans le but d’effectuer l’arrêt.

Contre-exemple

Exemple prouvant qu’une proposition est fausse.

Pour dÊmontrer qu’une affirmation n’est pas toujours vraie, un seul contre-exemple est suffisant.

Exemple : Affirmation : Tous les nombres premiers sont impairs.

Contre-exemple : 2 est un nombre premier (les diviseurs de 2 sont 1 et 2) et 2 est un nombre pair.

L’affirmation est donc fausse.

DĂŠduction

Conclusion dÊcoulant d’un raisonnement.

La dÊduction sert à trouver des informations non explicites dans un problème et à donner une rÊponse dÊfinitive à la suite de manipulations.

Exemple : À partir des affirmations suivantes, on peut dÊduire que les carrÊs sont des losanges. • Les losanges sont des parallÊlogrammes ayant 4 côtÊs isomÊtriques. • Les carrÊs possèdent 4 côtÊs isomÊtriques et 4 angles isomÊtriques.

DĂŠmonstration

Suite d’arguments logiquement liÊs permettant d’Êtablir des affirmations irrÊfutables à partir de propriÊtÊs prÊcÊdemment dÊmontrÊes ou admises.

Une dÊmonstration est gÊnÊralement une suite d’affirmations mathÊmatiques qui prouvent un raisonnement ou un rÊsultat.

Exemple : On peut dÊmontrer que les triangles ci-dessous sont semblables de la façon suivante.

A 3 cm

D 5 cm

C 4 cm m AB m DE

m BC

m EF

m AC m DF

4,5 cm B

F

7,5 cm 6 cm

E

2 3

Les mesures des cĂ´tĂŠs homologues sont proportionnelles, donc ABC DEF. Description

ÉnumÊration des caractÊristiques d’une figure, d’un objet, d’une situation ou d’une fonction.

La description prĂŠcise certains ĂŠlĂŠments des figures, des formes, des solides, des situations, etc.

Exemple : Pour dÊcrire un disque, on peut dire que son diamètre est 4 cm.

319

Annexe

StratĂŠgie

Annexe

4

Les unités de mesure Mesure Longueur

Unité

Symbole

mètre*

m

kilogramme* tonne

kg t

Capacité ou volume

mètre cube litre

m3 l ou L

Aire ou superficie

mètre carré hectare

m2 ha

seconde* minute heure jour

s min h d

degré radian

° rad

Masse

Temps, durée

Angle Courant électrique Résistance électrique

ampère*

A

ohm

Tension électrique

volt

V

Puissance

watt

W

joule wattheure

J Wh

Énergie, travail Force

newton

N

hertz

H

kelvin* degré Celsius

K °C

pascal millimètre de mercure

Pa mm Hg

mètre par seconde kilomètre par heure

m/s km/h

Quantité de matière

mole*

mol

Intensité lumineuse

candela*

cd

Fréquence Température Pression Vitesse

* Unité de base du SI

Équivalence entre le système métrique et le système impérial

1 mètre

≈ 3,2808 pieds

1 pied

≈ 0,3048 mètre

1 centimètre

≈ 0,3937 pouce

1 pouce

≈ 2,54 centimètres

1 kilomètre

≈ 0,6214 mille

1 mille

≈ 1,6093 kilomètre

1 kilogramme

≈ 2,2046 livres

1 livre

1 Calorie

≈ 4,1868 joules

T°C

5 9

≈ 0,4536 kilogramme T°F

(T°F 32)

320

9 5

T°C 32

Les notations et symboles mathématiques Notation et symbole

5 Annexe

Signification Ensemble des nombres naturels Ensemble des nombres entiers Ensemble des nombres rationnels

'

Ensemble des nombres irrationnels Ensemble des nombres réels

Union d’ensembles

Intersection ou réunion d’ensembles

Se lit « oméga ». L’univers des résultats possibles d’une expérience aléatoire.

ou { }

Ensemble vide

… est égal à…

… n’est pas égal à… ou … est différent de…

… est approximativement égal à… ou … est à peu près égal à…

… est inférieur à…

… est supérieur à…

… est inférieur ou égal à…

… est supérieur ou égal à…

[a, b]

Intervalle incluant a et b

[a, b[

Intervalle incluant a et excluant b

]a, b]

Intervalle excluant a et incluant b

]a, b[

Intervalle excluant a et b

f(x)

f de x ou image de x par la fonction f

f 1

Réciproque de la fonction f

f g a

Composée de la fonction g suivie de la fonction f. Se lit « f rond g ».

Opposé du nombre a

*

Ensemble des nombres naturels non nuls. (Peut s’appliquer aux ensembles

Ensemble des nombres entiers positifs. (Peut s’appliquer aux ensembles , ' et

Ensemble des nombres entiers négatifs. (Peut s’appliquer aux ensembles , ' et

\ {a} 1 a

Infini

ou a 1

Ensemble des nombres réels à l’exception du nombre a Inverse de a

a

La deuxième puissance de a ou a au carré

a3

La troisième puissance de a ou a au cube

2

a

Radical a ou racine carrée de a

a

3

Racine cubique de a

a

Valeur absolue de a

%

Pourcentage

a:b

AB m AB

Rapport de a à b 3,1416. Se lit « pi ».

Segment AB Mesure du segment AB

323

, , ' et .) .)

.)

Construction d’un angle

Pour construire un angle d’une mesure donnée, on peut utiliser un rapporteur.

0 10 2 180 170 1 0 3 0 60 15 0 40 14 0

Origine du rapporteur

80 90 100 11 70 0 90 80 7 0 12 0 0 60 110 10 60 13 0 50 0 12 50 0 13

170 180 160 10 0 0 20 15 0 0 14 0 3 4

Ligne de foi

Exemple : Construction d’un angle de 120° 1) On trace une demi-droite pour représenter un côté de l’angle. place le rapporteur comme ci-dessous.

80 90 100 11 70 0 90 80 7 0 12 0 0 60 110 10 60 13 0 2 0 5 01 50 0 3 1

170 180 160 10 0 0 20 15 0 0 14 0 3 4

L’origine du rapporteur doit coïncider avec l’origine de la demi-droite

0 10 2 180 170 1 0 3 0 60 15 0 40 14 0

2) On

La ligne de foi doit se trouver sur la demi-droite 3) On

fait un trait vis-à-vis de la mesure de l’angle désiré.

120°

170 180 160 10 0 0 20 15 0 0 14 0 3 4

80 90 100 11 70 0 90 80 7 0 12 0 0 60 110 10 60 13 0 2 0 5 01 50 0 13

0 10 2 180 170 1 0 3 0 60 15 0 40 14 0

Annexe

6

Les constructions géométriques

4) On

relie le trait à l’origine de la demi-droite.

120°

324

Dictionnaire

mathématique CEC

Le Dictionnaire mathématique CEC est un ouvrage de référence couvrant toutes les notions mathématiques enseignées au niveau secondaire au Québec. Destiné principalement aux élèves du secondaire, cet outil s’avère également très utile pour les élèves et les étudiants des niveaux d’étude postsecondaires, de même que pour les parents et les enseignants.

L’ouvrage se divise en 3 sections.

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• La section Annexes expose, entre autres, quelques stratégies mathématiques, les principaux lemmes, théorèmes et énoncés géométriques, ainsi que des démarches de constructions géométriques.

Principales caractéristiques du Dictionnaire mathématique CEC • Plus de 1000 notions définies, soit toutes celles touchées dans les Programmes de formation de la mathématique au secondaire • Des tableaux et des diagrammes clairs et simples • Des illustrations en couleurs et une présentation soignée pour une consultation agréable