L’intégrale indéfinie d’une fonction
2.1
2.1.1
Dans le cours de calcul différentiel, nous avons appris à dériver une fonction f(x) en utilisant les formules de dérivation (voir le théorème 1.1, à la page 7). Nous allons maintenant voir comment retrouver la fonction f(x) si nous connaissons au départ sa dérivée. C’est ce que nous appellerons calculer l’intégrale indéfinie d’une fonction. Dans cette section, nous introduirons l’intégrale indéfinie d’une fonction, les concepts qui y sont reliés, les formules d’intégration des fonctions de base pour calculer des intégrales indéfinies ainsi que leurs propriétés.
2
Une introduction à l’intégrale indéfinie
Définissons d’abord le concept de primitive d’une fonction. Définition 1
Primitive d’une fonction (ou antidérivée)
Une fonction F (x ) est une primitive (ou antidérivée) de f (x ) si
E x e m p le
dF = f ( x ). dx
I N T U ITI V E M E N T …
2.1
Démontrez que toutes les fonctions suivantes sont des primitives de la fonction f (x ) = x 2. a) F1 ( x ) =
x3 3
b) F2 (x ) =
x3 − 14 3
c) F3 (x ) =
x3 +π 3
Notation
S o l u ti o n
a) Pour démontrer que F1 (x ) est une primitive de f (x ), il faut montrer que dF1 = f (x ). Ainsi : dx dF1 d x3 2 = = x = f (x ) dx dx 3
Pour trouver la primitive d’une fonction f (x), nous devons nous demander quelle fonction, une fois dérivée, donnera f (x).
Habituellement, nous réservons les lettres majuscules aux primitives de fonctions.
F1 (x ) est donc une primitive de f (x ).
b) Pour démontrer que F2 (x ) est une primitive de f (x ), il faut montrer que dF2 = f (x ). Ainsi : dx dF2 d x3 d x3 d = [-14] = x 2 + 0 = f (x ) − 14 = + dx dx 3 dx 3 dx
F2 (x ) est donc une primitive de f (x ). c) Pour démontrer que F3 (x ) est une primitive de f (x ), il faut montrer que
Calcul INTÉGRAL
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