Calcul intégral

Table des matières Avant-propos ................................................................................................ iii Présentation de l’ouvrage ............................................................................ iv

Chapitre 1 Les principales notions du calcul différentiel ........................1 1.1 Les techniques de dérivation......................................................................... 3 1.1.1 Le taux de variation moyen (TVM) ...................................................... 3 1.1.2 Une définition de la dérivée ................................................................. 5 1.1.3 La dérivée ou la fonction dérivée ......................................................... 7 1.1.4 Les formules de dérivation des fonctions de base ............................... 7 1.1.5 Les formules de dérivation des opérations sur les fonctions ............... 8 1.1.6 La dérivation en chaîne ....................................................................... 9 1.1.7 La dérivation implicite ........................................................................ 10 1.1.8 La dérivation logarithmique ............................................................... 12 Exercices de la section 1.1 ......................................................................... 14 1.2 La règle de L’Hospital ................................................................................... 17 1.2.1 Une introduction à la règle de L’Hospital ........................................... 17  1.2.2 L’indétermination de la forme .................................................... 21  1.2.3 Les indéterminations de la forme    et 0 •  .............................. 23 1.2.4 Les indéterminations de la forme 1, 00 et (+)0 .............................. 27 Exercices de la section 1.2 ......................................................................... 30 1.3 La notion de différentielle ............................................................................ 32 1.3.1 La différentielle d’une fonction ........................................................... 32 1.3.2 Le calcul d’incertitude en science ...................................................... 35 Exercices de la section 1.3 ......................................................................... 43 Stratégies… ......................................................................................................... 44 Exercices récapitulatifs du chapitre 1 ............................................................... 45

Chapitre 2 Les intégrales indéfinies .........................................................49 2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction ............................................................ 51 2.1.1 Une introduction à l’intégrale indéfinie ............................................... 51 2.1.2 Les formules d’intégration des fonctions de base .............................. 54 2.1.3 Les propriétés de l’intégrale indéfinie ................................................ 56 Exercices de la section 2.1 ......................................................................... 61 dny 2.2 Les équations différentielles de la forme  f (x) ................................. 62 dx n 2.2.1 Une introduction aux équations différentielles ................................... 62 dny 2.2.2 La résolution d’équations différentielles de la forme  f (x) ....... 66 dx n 2.2.3 Le mouvement rectiligne ................................................................... 68 Exercices de la section 2.2 ......................................................................... 71 2.3 Les équations différentielles à variables séparables ................................ 72 2.3.1 La résolution d’équations différentielles à variables séparables ........ 72

2.3.2 La modélisation exponentielle ........................................................... 75 Exercices de la section 2.3 ......................................................................... 78 Stratégies… ......................................................................................................... 80 Exercices récapitulatifs du chapitre 2 ............................................................... 81

Chapitre 3 Les techniques d’intégration ..................................................83 3.1 L’intégration par changement de variable .................................................. 84 3.1.1 Le changement de variable simple .................................................... 85 3.1.2 La manipulation de l’intégrande ......................................................... 91 3.1.3 Les formules d’intégration des fonctions tan(x), cot(x), sec(x) et csc(x) ...................................................................................................... 93 3.1.4 L’expression de x en fonction de u .................................................... 98 Exercices de la section 3.1 ......................................................................... 99 3.2 L’intégration par parties ............................................................................. 101 3.2.1 Le principe de l’intégration par parties ............................................. 101 3.2.2 L’intégration par parties par tableaux .............................................. 106 Exercices de la section 3.2 ....................................................................... 110 3.3 L’intégration de fonctions trigonométriques............................................ 112 3.3.1 Les principales identités trigonométriques ....................................... 112 3.3.2 Les intégrales de la forme ∫ , où m, n  ..... 114 3.3.3 Les intégrales de la forme ∫ et , où m, n  ........................................................ 116 ∫ Exercices de la section 3.3 ....................................................................... 120 3.4 L’intégration par substitution trigonométrique ........................................ 121 Exercices de la section 3.4 ....................................................................... 129 3.5 L’intégration par décomposition en une somme de fractions partielles 131 Exercices de la section 3.5 ....................................................................... 140 Stratégies… ....................................................................................................... 144 Exercices récapitulatifs du chapitre 3 ............................................................. 145

Chapitre 4 Les intégrales définies ..........................................................153 4.1 Le symbole de sommation et les sommes de Riemann .......................... 155 4.1.1 Le symbole de sommation ............................................................... 155 4.1.2 Les sommes de Riemann ................................................................ 159 Exercices de la section 4.1 ....................................................................... 170 4.2 L’intégrale définie et le théorème fondamental du calcul ....................... 171 4.2.1 Le théorème fondamental du calcul ................................................ 171 4.2.2 Les propriétés de l’intégrale définie ................................................. 177 4.2.3 Le changement de variable dans l’intégrale définie ......................... 179 Exercices de la section 4.2 ....................................................................... 183 4.3 Les intégrales impropres ........................................................................... 187 4.3.1 Les intégrales impropres avec discontinuités .................................. 187 4.3.2 Les intégrales impropres avec bornes infinies ................................. 190 Exercices de la section 4.3 ....................................................................... 197 4.4 Les méthodes d’intégration numérique .................................................... 199 4.4.1 La méthode des rectangles à gauche.............................................. 200

4.4.2 La méthode des rectangles à droite ................................................ 203 4.4.3 La méthode des trapèzes ................................................................ 205 4.4.4 La méthode de Simpson.................................................................. 208 Exercices de la section 4.4 ....................................................................... 211 Stratégies… ....................................................................................................... 215 Exercices récapitulatifs du chapitre 4 ............................................................. 216

Chapitre 5 Les applications géométriques de l’intégrale définie ........227 5.1 L’aire d’une région dans le plan ................................................................ 229 Exercices de la section 5.1 ....................................................................... 237 5.2 La longueur d’une courbe ou longueur d’arc ........................................... 241 Exercices de la section 5.2 ....................................................................... 249 5.3 Le volume d’un solide de révolution ......................................................... 252 5.3.1 Le calcul du volume d’un solide de révolution par la méthode des disques ..................................................................... 253 5.3.2 Le calcul du volume d’un solide de révolution par la méthode des tubes ......................................................................... 260 Exercices de la section 5.3 ....................................................................... 270 5.4 L’aire d’une surface d’un solide de révolution ......................................... 274 Exercices de la section 5.4 ....................................................................... 281 5.5 Le volume de solides de section connue ................................................. 282 Exercices de la section 5.5 ....................................................................... 286 5.6 L’intégrale définie en physique ................................................................. 287 5.6.1 Le centre de masse ......................................................................... 287 5.6.2 Le moment d’inertie ......................................................................... 295 5.6.3 L’intégrale définie dans différentes problèmes de physique ............ 299 Exercices de la section 5.6 ....................................................................... 301 Stratégies… ....................................................................................................... 302 Exercices récapitulatifs du chapitre 5 ............................................................. 304

Chapitre 6 Les séries .................................................................................309 6.1 Les polynômes de Taylor et de MacLaurin ............................................... 311 6.1.1 Les polynômes de MacLaurin .......................................................... 311 6.1.2 Les polynômes de Taylor ................................................................ 315 6.1.3 Le reste de Taylor-Lagrange ........................................................... 317 6.1.4 La linéarisation ou l’approximation linéaire ...................................... 320 Exercices de la section 6.1 ....................................................................... 323 6.2 Les séries de Taylor ................................................................................... 325 6.2.1 L’obtention de séries de Taylor à partir de séries connues ............. 333 6.2.2 Des applications des séries de Taylor ............................................. 337 Exercices de la section 6.2 ....................................................................... 343 6.3 Les suites .................................................................................................... 346 6.3.1 Une introduction aux suites ............................................................. 346 6.3.2 La méthode de Newton (ou de Newton-Raphson) .......................... 352 6.3.3 Les caractéristiques des suites ....................................................... 356 Exercices de la section 6.3 ....................................................................... 362

6.4 Les séries .................................................................................................... 365 6.4.1 Une introduction aux séries ............................................................. 365 6.4.2 Quelques séries importantes ........................................................... 369 6.4.3 Les séries de puissances ................................................................ 384 Exercices de la section 6.4 ....................................................................... 390 6.5 Les critères de convergence...................................................................... 392 6.5.1 Le critère de l’intégrale .................................................................... 392 6.5.2 Les séries p de Riemann ................................................................. 394 6.5.3 Le critère de Cauchy ....................................................................... 396 6.5.4 Le critère de comparaison ............................................................... 397 6.5.5 Le critère des polynômes ................................................................ 401 6.5.6 Le critère des séries alternées ........................................................ 402 6.5.7 La convergence absolue et la convergence conditionnelle ............. 404 Exercices de la section 6.5 ....................................................................... 408 Stratégies… ....................................................................................................... 410 Exercices récapitulatifs .................................................................................... 412

Annexes ....................................................................................................418 A – Quelques théorèmes d’analyse .......................................................... 419 B – Les applications de l’intégrale définie en économie ........................... 431 C – Réponses des exercices .................................................................... 441 D – Aide-mémoire .................................................................................... 461

Index ..........................................................................................................465

CHAPITRE

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2 LES INTÉGRALES INDÉFINIES 2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction

La personne qui ne s’intéresse pas aux mathématiques aura de plus en plus de difficulté à comprendre les enjeux de sa civilisation.

n 2.2 Les équations différentielles de la forme d yn = f ( x ) dx

2.3 Les équations différentielles à variables séparables

John G. Kemeny (1926-1992)

49

CARBONE ET DATATION

Le carbone est présent sur Terre sous différentes formes. Le radiocarbone, ou carbone 14 ( 14 C), est un isotope radioactif du carbone, contrairement au carbone 12 ( 12C), qui n’est pas radioactif.

Au fil du temps, les substances radioactives se désintègrent. La demi-vie correspond au temps nécessaire pour en faire diminuer de moitié leur quantité initiale. Par exemple, la demi-vie du 14C est d’environ 5730 ans.

Depuis des siècles, les rayons cosmiques font en sorte que la concentration de 14C dans l’atmosphère terrestre demeure constante : il y a équilibre entre sa production et sa désintégration. Lorsqu’un organisme meurt, sa concentration de 14C diminue. Il devient ainsi possible de dater des objets en déterminant leur concentration actuelle de 14C.

2.1

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CHAPITRE

2

FIGURE

Détail du dossier du trône de Toutânkhamon Le trône est fait de bois recouvert de feuilles d’or.

Le tombeau de Toutânkhamon a été découvert le 4 novembre 1922 par l’égyptologue anglais Howard Carter (1874-1939). Parmi les nombreux objets restés intacts dans le tombeau, il y avait des pièces de mobilier en bois, dont certains étaient recouverts d’or (voir la figure 2.1).

En 1949, l’Américain Willard F. Libby (1908-1980) et ses collègues de l’Université de Chicago mettent au point une méthode de datation d’objets au moyen du 14C. En 1950, des archéologues établissent qu’une pièce du mobilier avait une concentration de 14C d’environ 6,7143 × 10−13. Estimez l’année de fabrication de cette pièce.

S o l u ti o n

La quantité d’une substance radioactive est donnée par le nombre de noyaux d’atomes radioactifs (N) qui la composent. Toute substance radioactive se désintègre, et son taux de variation est proportionnel à la quantité présente au temps t.

Mathématiquement, cela s’écrit comme : dN = kN dt où k est une constante dépendant de la substance radioactive étudiée.

Si nous résolvons l’équation différentielle précédente, c’est-à-dire si nous trouvons N en fonction du temps, nous pourrons connaître l’âge de la pièce de mobilier.

Dans le cas qui nous intéresse, nous cherchons une fonction N(t) telle que sa dérivée première par rapport au temps est égale à la fonction elle-même, multipliée par une constante. La seule fonction que nous connaissons qui possède cette propriété est une fonction exponentielle, c’est-à-dire une fonction de la forme N (t ) = Ce kt , où C ∈  .

Dans ce chapitre, nous verrons de quelle façon nous pouvons obtenir la solution d’une équation différentielle d’une manière plus générale et ainsi résoudre le problème posé.

50

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Calcul INTÉGRAL

L’intégrale indéfinie d’une fonction

2.1

2.1.1

Dans le cours de calcul différentiel, nous avons appris à dériver une fonction f(x) en utilisant les formules de dérivation (voir le théorème 1.1, à la page 7). Nous allons maintenant voir comment retrouver la fonction f(x) si nous connaissons au départ sa dérivée. C’est ce que nous appellerons calculer l’intégrale indéfinie d’une fonction.

Dans cette section, nous introduirons l’intégrale indéfinie d’une fonction, les concepts qui y sont reliés, les formules d’intégration des fonctions de base pour calculer des intégrales indéfinies ainsi que leurs propriétés.

2

Une introduction à l’intégrale indéfinie

Définissons d’abord le concept de primitive d’une fonction.

Définition 1

Primitive d’une fonction (ou antidérivée)

Une fonction F (x ) est une primitive (ou antidérivée) de f (x ) si

E x e m p le

dF = f ( x ). dx

I N T U ITI V E M E N T …

2.1

Démontrez que toutes les fonctions suivantes sont des primitives de la fonction f (x ) = x 2. a) F1 ( x ) =

x3

3

b) F2 (x ) =

x3 − 14 3

c) F3 (x ) =

x3 +π 3

Notation

S o l u ti o n

a) Pour démontrer que F1 (x ) est une primitive de f (x ), il faut montrer que dF1 = f (x ). Ainsi : dx dF1 d  x3  2 =   = x = f (x ) dx dx  3 

Pour trouver la primitive d’une fonction f (x), nous devons nous demander quelle fonction, une fois dérivée, donnera f (x).

Habituellement, nous réservons les lettres majuscules aux primitives de fonctions.

F1 (x ) est donc une primitive de f (x ).

b) Pour démontrer que F2 (x ) est une primitive de f (x ), il faut montrer que dF2 = f (x ). Ainsi : dx  dF2 d  x3 d  x3  d = [-14] = x 2 + 0 = f (x )  − 14  =   + dx dx  3 dx  3  dx 

F2 (x ) est donc une primitive de f (x ).

c) Pour démontrer que F3 (x ) est une primitive de f (x ), il faut montrer que

Calcul INTÉGRAL

2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction   51

dF3 = f (x ). Ainsi : dx  dF3 d  x3 d  x3  d = [π ] = x 2 + 0 = f ( x )  + π =   + dx dx  3 dx  3  dx 

F3 (x ) est donc une primitive de f (x ).

I M P O R TA N T

L’exemple 2.1 permet de constater qu’une fonction peut avoir plus d’une primitive. Si F (x) est une primitive de f (x), alors F (x) + C, où C ∈  , est également une primitive de f (x), car :

d dx

I N T U ITI V E M E N T …

E x e m p le

Lorsque nous déterminons toutes les primitives d’une fonction, nous trouvons toutes les fonctions qui, pour une valeur de x fixe, possèdent toutes la même dérivée en x = a. Cela revient à translater verticalement une primitive. Nous appellerons famille de courbes toutes les translations verticales de la primitive.

[F ( x ) + C] =

d dx

[ F ( x )] +

d dx

[C ] = f ( x ) + 0 = f ( x )

2.2

Déterminez toutes les primitives des fonctions suivantes. a) f (x ) = x

b) g (t ) = cos(t )

c) h(θ ) =

1 1 + θ2

S o l u ti o n

f(x)

a) Pour déterminer toutes les primitives de la fonction f (x ) = x, commençons par trouver la fonction qui, une fois dérivée, donnera f (x ). x2 Dans ce cas-ci, nous constatons que F1 (x ) = est une primitive de f (x ), 2 car : dF1 d  x2  =   = x = f (x ) dx dx  2  Pour déterminer toutes les primitives de f (x ), il suffit maintenant d’ajou-ter une constante C ∈  à F1 (x ), c’est-à-dire :

x

F (x ) = F1 (x ) + C =

x2 +C 2

x2 + C. 2 b) Dans ce cas-ci, nous constatons que G1 (t ) = sin(t ) est une primitive de g (t ) car : dG1 d = [sin(t )] = cos(t ) = g (t ) dt dt

52

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Ainsi, toutes les primitives de f (x ) = x sont données par F (x ) =

Calcul INTÉGRAL

Pour déterminer toutes les primitives de g (t ) , il suffit maintenant d’ajouter une constante C ∈  à G1 (t ), c’est-à-dire :

G(t ) = G1 (t ) + C = sin(t ) + C

Ainsi, toutes les primitives de g (t ) = cos(t ) sont données par : G(t ) = sin(t ) + C

c) Dans ce cas-ci, nous constatons que H1 (θ ) = Arc tan(θ ) est une primitive de h(θ ), car : dH1 d 1 = [Arc tan(θ )] = = h(θ ) dθ dθ 1 + θ2

2

Pour déterminer toutes les primitives de h(θ ), il suffit maintenant d’ajouter une constante C ∈  à H1 (θ ), c’est-à-dire :

H (θ ) = H1 (θ ) + C = Arc tan(θ ) + C 1 Ainsi, toutes les primitives de h(θ ) = sont données par : 1 + θ2 H (θ ) = Arc tan(θ ) + C

Nous utiliserons maintenant la notion de primitive pour établir un lien entre la primitive d’une fonction et son intégrale indéfinie.

Définition 2

Intégrale indéfinie

Soit une fonction f (x ). Nous définissons l’intégrale indéfinie de f (x ) comme suit :

∫ f (x)dx = F (x) + C,

où F (x ) est une primitive de f (x ) et C ∈  . Dans la formule précédente : • f (x ) est appelée l’intégrande, • dx est appelée la différentielle de x et permet, entre autres, de savoir par rapport à quelle variable nous intégrons, • C est appelée la constante d’intégration.

En réalité, trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction f (x) revient à déterminer toutes les primitives de f (x).

À l’origine, l’expression

∫ f (x) signifiait « trouver les primitives de la fonction

f (x ) ». En 1675, Leibniz propose d’ajouter le symbole dx à la fin de l’intégrale.

Calcul INTÉGRAL

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AU SUJET DU SYMBOLE D’INTÉGRATION

2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction   53

2.1.2

Les formules d’intégration des fonctions de base

La définition précédente et les formules de dérivation des fonctions de base nous permettent d’énoncer les formules d’intégration des fonctions de base.

Théorème

2.1

Les formules d’intégration des fonctions de base Formule d’intégration correspondante

Formule de dérivation de base

1)

d [k] = 0, si k ∈  dx

∫ 0 dx = C

2)

d [x] = 1 dx

∫ 1dx = x + C

3)

d r  x  = rx r − 1, si r ∈  dx  

∫

∫

a x dx =

5)

d x e  = e x dx  

∫ e dx = e

6)

d 1 [ln(x )] = dx x

∫ x dx = ln x

7)

d [sin(x )] = cos( x ) dx

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

8)

d [cos(x )] = - sin(x ) dx

∫ sin(x) dx = - cos(x) + C

9)

d  tan( x ) = sec2 ( x ) dx 

∫ sec (x) dx = tan(x) + C

10)

d cot(x ) = - csc2 ( x )  dx

∫ csc (x) dx = - cot(x) + C

11)

d sec(x ) = sec x tan( x ) dx 

∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C

12)

d csc(x ) = - csc(x )cot( x ) dx 

∫ csc(x)cot(x)dx = - csc(x) + C

13)

d  Arcsin( x ) = dx 

∫

x

15)

x

1

+C

+C

2

1

1 − x2 d 1 14)  Arc tan( x ) =  dx 1 + x2

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

r +1

x + C , si r ∈  \ {-1} r +1

ax + C, ln(x ) si a > 0 et a ≠ 1

d x a  = a x ln(a), dx   si a > 0 et a ≠ 1

4)

54

x r dx =

d 1  Arcsec(x ) = dx x x2 − 1

2

∫

1

dx = Arcsin( x ) + C 1 − x2 1 dx = Arc tan( x ) + C 1 + x2

∫x

1 x2 − 1

dx = Arcsec( x ) + C

Calcul INTÉGRAL

DÉMONSTRATION

Puisque déterminer l’intégrale d’une fonction consiste à faire l’opération réciproque de la dérivée, il suffit d’utiliser les formules de dérivation de base que nous avons placées devant chacune des formules d’intégration des fonctions de base pour démontrer les formules 1 à 15. Démontrons les formules 3, 4 et 6. r +1 x + C est une primitive de Formule 3 : Démontrons que F (x ) = r +1 r f (x ) = x . r +1 dF d x = ⋅ +C dx dx r + 1 (r + 1) ⋅ x

=

= xr

r +1−1

r +1

2

(car r ≠ -1)

= f (x )

r +1

x + C , ∀r ∈  \ {-1}. r +1 ax Formule 4 : Démontrons que F (x ) = + C est une primitive de ln(a) x f (x ) = a .

∫

D’où x r dx =

 dF d  ax + C =  dx dx  ln(a) 

=

1 d x a  ⋅ ln(a) dx  

=

1 ⋅ a x ⋅ ln(a) (car a ≠ 1) ln(a)

= ax

ax + C. ln(a) Formule 6 : Démontrons que F (x ) = ln x + C est une primitive de 1 f (x ) = . Puisqu’il y a une valeur absolue dans F(x),

x

récrivons cette fonction sous la forme d’une fonction

définie par parties. ln(-x ) + C , si x < 0 F (x ) = ln x + C =   ln(x ) + C , si x > 0 -1 dF d 1 = = = f ( x ).

• Si x < 0 ,  ln(-x ) + C  = -x dx dx  x dF d 1 = • Si x > 0 ,  ln(x ) + C  = . dx dx x 1 Ainsi, dx = ln | x | + C. x

D’où

∫

a x dx =

∫

Calcul INTÉGRAL

2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction   55

E x e m p le

Déterminez les intégrales indéfinies des fonctions suivantes.

1 4 dz a) b) c) w 5 dw 3t dt z4

∫

I N T U ITI V E M E N T …

Vérification :  d  4 4 w9 + C  dw  9  =

4

⋅

9

9 4

w

9 −1 4

a) Comme c’est le cas pour les dérivées, il faut toujours exprimer les racines en exposants avant d’intégrer. Ainsi :

+0

5

4

∫

4

w 5 dw =

∫

5

w 4 dw 5 +1

w5

w4 = + C (par la formule 3) 5 +1 4

RE MARQU E

9

w4 = +C 9 4

Nous vous invitons à faire la vérification proposée dans la rubrique ci-dessous chaque fois que vous calculez une intégrale indéfinie.

=

∫

b)

I M P O R TA N T

Pour utiliser la formule 3, la variable doit être au numérateur et les racines doivent être transformées en exposants. Cependant, il faut faire attention lorsque nous avons :

1

∫

∫

S o l u ti o n

= w4 =

2.3

3t dt =

4 4 w9 +C 9 3t +C ln(3)

(par la formule 4)

c) Plaçons la variable au numérateur afin de pouvoir utiliser une formule d’intégration.

1

dz = z -4dz z4 -4 + 1 z = + C (par la formule 3)

-4 + 1 z -3 = +C

-3 -1 = 3 +C

3z

∫

∫ x dx = ∫ x dx -1

car le résultat est ln x + C .

En effet, si nous utilisons la formule 3, nous obtiendrons une division par 0.

2.1.3

∫

Les propriétés de l’intégrale indéfinie

Les formules données au théorème 2.1 ne nous permettent pas d’intégrer des fonctions telles que f (x) = 3x + 8. Nous aurons donc besoin de quelques propriétés de l’intégrale indéfinie.

56

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Calcul INTÉGRAL

2.2

Théorème

Les propriétés de l’intégrale indéfinie

Soit f (x) et g (x), deux fonctions dont les primitives sont respectivement F (x) et G (x), et kd . Nous avons alors les propriétés suivantes.

1) Intégrale d’un produit d’une fonction par une constante :

∫ kf (x)dx = k∫ f (x)dx = kF(x) + C 2) Intégrale d’une somme ou d’une différence de fonctions :

2

∫ ( f (x) ± g (x)) dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx = F (x) ± G(x) + C DÉMONSTRATIONS

1) Nous savons que kF (x ) est une primitive de kf (x ), car : d d (formule dérivation) de dérivation) kF (x ) = k  F (x ) (règle de  dx dx

= kf (x )

∫ kf (x) dx = kF(x) + C. Nous avons également que k∫ f (x ) dx = kF (x ) + C , car : k∫ f (x ) dx = k(F (x ) + C ) (par la définition f (x))

Ainsi,

1

(où C = kC1 est une autre constante)

= kF (x ) + C

∫

∫

Ainsi, kf ( x ) dx = k f ( x ) dx = kF (x ) + C .

2) Nous pouvons montrer que F (x ) ± G(x ) est une primitive de f (x ) ± g (x ), car : d d d  F (x ) ± G(x ) =  F ( x ) ± G( x ) = f ( x ) ± g ( x )   dx dx dx 

I M P O R TA N T

∫ f (x) ± g (x)dx = F(x) ± G(x) + C . De plus : ∫ f (x)dx ± ∫g (x)dx = (F(x) + C) ± (G(x) + C )

Ainsi,

Nous remarquons que le théorème 2.2 ne porte que sur l’intégrale indéfinie du 1 2 produit d’une fonction par une

(par la définition de l’intégrale) constante ou de la somme et de

= F (x ) ± G(x ) + C (où C = C1 ± C2 est une constante.) la différence de fonctions.

Nous n’avons pas, contraire= F (x ) ± G(x ) + C (où C = C1 ± C2 est une constante)

ment aux formules de dérivation, de formules pour l’inté Ainsi, f (x ) ± g (x ) dx = f (x ) ddx ± g (x ) dx = F (x ) ± G(x ) + C. grale indéfinie du produit ou du quotient de fonctions.

∫

Calcul INTÉGRAL

∫

∫

2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction   57

COROLLAIRE

Soit n fonctions f1 (x ), f 2 (x ), ... et fn (x ). Alors :

∫ ( f (x) ± f (x) ± f (x) ± ... ± f (x))dx = ∫ f (x ) dx ± ∫ f (x ) dx ± ∫ f (x ) dx ± ... ± ∫ f (x ) dx

1

2

1

n

3

2

n

3

DÉMONSTRATION

La démonstration est demandée à l’exercice 5 de la page 61.

E x e m p le

2.4

Calculez les intégrales suivantes. a)

∫ (x

)

b)

)

∫  x

2

+

x − cos(x ) dx

2

+

x − cos(x ) dx =

∫ (4

5

)

t − sec(t )tan(t ) dt

c)

∫

  1  + 6  du  u u2 − 1   

S o l u ti o n

a)

∫ (x



2

1  + x 2 − cos(x )  dx 

∫

∫

1

∫

= x 2 dx + x 2 dx − cos(x )dx (par le corollaire du théorème 2.2)

=

3 2

x3 x + C1 + 3 + C2 − ( sin(x ) + C3 ) 3 2 3

x3 2x 2 = + − sin(x ) + C 3 3

b)

∫(

)

4 5 t − sec(t )tan(t ) dt =

 15   4t − sec(t )tan(t )  dt   1

∫

= 4 t 5 dt −

∫ sec(t )tan(t )dt

6

= 4 =

c)

58

∫

(où C = C1 + C2 - C3)

∫

  1 + 6  du =  2 u u − 1 

∫

t5 6 5

10t 3

6 5

+ C1 − (sec(t ) + C2 ) − sec(t ) + C (où C = C1 - C2)

  1   du +  u u2 − 1   

∫ 6 du

= Arcsec(u) + C1 + 6u + C2

= Arcsec(u) + 6u + C (où C = C1 + C2)

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

I M P O R TA N T

L’exemple 2.4 nous permet de constater qu’il n’est pas utile d’écrire chaque constante d’intégration. Il suffit simplement d’en écrire une seule à la fin qui combine toutes celles qui peuvent apparaître. C’est ce que nous ferons dorénavant.

Calcul INTÉGRAL

E x e m p le

2.5

Déterminez la vitesse v(t) d’un objet tombant en chute libre d’une hauteur h0 et ayant une vitesse initiale nulle F = -mg , où g = 9,81 m ⋅ s-2, est la seule force présente). Faites appel à la deuxième loi de Newton.

S o l u ti o n

Nous savons que l’accélération est la dérivée de la vitesse, c’est-à-dire : dv a = dt Ainsi, par la deuxième loi de Newton, nous avons :

2

∑F = ma

RAPPE L

dv dt dv -g = dt

La deuxième loi de Newton est :

-mg = m

dv Puisque = - g , alors : dt

v(t ) =

où

∑F

= ma

∑F est la somme de toutes

les forces agissant sur un objet, m, la masse de ce dernier et a, son accélération.

∫ - gdt ∫ dt

= -g

= - gt + C

Dans ce cas, nous pouvons déterminer une valeur pour C, car l’objet a une vitesse nulle à t = 0. Ainsi :

v(0) = 0 = - g ⋅ 0 + C

0 = C

D’où la vitesse de l’objet est v(t ) = - gt . Nous trouverons la hauteur en fonction du temps à l’exercice 7 de la page 61.

Parfois, il faudra transformer l’intégrande pour pouvoir utiliser les formules d’intégration des fonctions de base. Voici deux exemples typiques de manipulations.

E x e m p le

2.6

∫

Déterminez (2s + 8)2 ds.

Calcul INTÉGRAL

2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction   59

S o l u ti o n

Développons l’intégrande afin d’obtenir des intégrales de fonctions de base.

∫ (2s + 8) ds = ∫ (4s 2

2

+ 32s + 64) ds

s3 s2 + 32 + 64 s + C 3 2 3 4s + 16s 2 + 64 s + C = 3 = 4

E x e m p le

(par la formule 3)

2.7

Déterminez la fonction f (u) telle que :

df -6u 3 + 12u 2 − 6u + 6 = . du u2 + 1 S o l u ti o n

Nous cherchons f (u) telle que sa dérivée est Cela revient à déterminer f (u) =

∫

-6u 3 + 12u 2 − 6u + 6 . u2 + 1

-6u 3 + 12u 2 − 6u + 6 du . u2 + 1

Transformons l’intégrande afin d’obtenir des intégrales de fonctions de base.

Pour ce faire, effectuons la division par crochet.

RAPPE L

-6 u 3 + 12u 2 − 6 u + 6 − (-6 u 3 − 6 u )

u2 + 1 -6u + 12

12u + 6 2

− (12u 2 + 12 )

I M P O R TA N T

Si nous avons l’intégrale d’un quotient de polynômes et que le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, nous devons faire une division par crochet avant d’intégrer.

-6

∫

60

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

-6u 3 + 12u 2 − 6u + 6 du = u2 + 1



6  du + 1  (par la division par crochet)

∫  -6u + 12 − u

2

u2 + 12u − 6 Arc tan(u) + C 2 = -3u 2 + 12u − 6 Arc tan(u) + C = -6

Calcul INTÉGRAL

EXERCICES de la section 2.1 2.1

MISE EN FORME

1. Démontrez que les fonctions suivantes sont des primitives de la fonction indiquée.

2 a) F (x ) = e-x est une primitive de 2

f (x ) = -2 xe-x .

G(t ) = t t − 1 est une primitive de 3t − 2

. g (t ) = 2 t −1 c) S(w ) = ln(sec(w )) + 7 est une primitive de

s(w ) = tan(w ).

2. Déterminez les intégrales suivantes. a) b) c)

x  8   3x + 12 + 8  dx  

∫ ∫ ( -2cos(u) + -8



∫  1 + k

5

6

)

u du

− sec2 (k ) +

2

 x2 2 + 2x + 2  x  2

  dx 

d)

∫

e)

∫ (y

f)

∫  2sin (t ) + 12  dt

g)

∫ 



2

)

6 dk k 

a)

2



h)

∫

i)

∫

j)

∫

1 1−a

2

+ 3 ⋅ 7a −

1   da 3a 

Calcul INTÉGRAL

4. Soit k ∈  \ {0} . Montrez que : e kx e kx dx = +C k

8

2

2

∫

5. Soit f1 (x ), f 2 (x ), ... et fn (x ), n fonctions.

Démontrez que :

∫ ( f (x) ± f (x) ± f (x) ± ... ± f (x)) dx 1

=

2

n

3

∫ f (x) dx ± ∫ f (x) dx ± ∫ f (x) dx ± ... ± ∫ f (x) dx 1

2

n

3

6. Déterminez une fonction f(x) telle que : df a) = x3 + x dx df 4 b) = 7 cos(x ) + dx 1 − x2

7. Dans les graphiques suivants, l’une des fonctions est obtenue en intégrant l’autre. Dites laquelle est l’intégrande et laquelle est la primitive. a)

y

f(x)

4   2 2  5sin (θ ) − θ 2 + 5cos (θ )  dθ   6 3 3 u − π + 8u − 2u du u6 1 dθ 1 − cos 2 (θ )

∫ 3 + 3 y dy l) ∫ 3(uv )  sec(θ )tan(θ )  m) ∫  − 9  dθ 4   k)

∫

3x 4 − 2 x 3 + 8 x 2 − 2 x + 9 dx 1 + x2

df = 3x − e x + π dx d2 f = 4 cos(x ) d) dx 2

2



b)

∫

2a 5 + 4a 4 + 2a 3 + 4a 2 + 2 da a2 + 1

c)

− 4 y dy

-1

cot 2 (φ ) dφ π cos2 (φ )

3. Déterminez les intégrales suivantes.

b

 ν2  d) U (ν ) = ln  2  + 17 est une primitive ν + 1  2 de u(ν ) = .

2 ν (ν + 1)

∫

n)

g(x)

y

b)

f(x)

y

g(x) x

2.1 L’intégrale indéfinie d’une fonction   61

EXERCICES de la section 2.1

b) La vitesse d’un objet tombant d’une hauteur h0 en chute libre et ayant une vitesse initiale nulle est donnée par v(t ) = - gt . Sachant que la relation entre la hauteur de l’objet dh = v(t ), détermi- h(t) et la vitesse v(t) est dt nez h(t).

Applications

8. Selon une légende, en 1589, Galilée (1564-1642) a fait tomber de la tour de Pise deux boules de masses différentes pour démontrer que le temps de chute d’un objet est indépendant de sa masse. a) Si la vitesse en fonction du temps d’un objet en chute libre est donnée par v(t) = -9,81t et que le temps pour qu’un objet atteigne le sol est d’environ 3,375 s, déterminez la hauteur (en mètres) de la tour de Pise.

c) Si un objet tombe d’une hauteur h0 , dans combien de temps touchera-t-il le sol ?

Les équations différentielles de la forme

2.2

d ny = f ( x ) dx n

Trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction f(x) revient à résoudre une équation de la forme : dF = f(x) dx C’est ce que nous appelons une équation différentielle. Dans cette section, nous verrons la notion d’équation différentielle ainsi que la résolution d’équations différentielles de la forme

2.2.1

d ny = f ( x ) . dx n

Une introduction aux équations différentielles

Les équations différentielles sont à la base de la modélisation de divers phénomènes physiques, statistiques, chimiques, biologiques ou économiques, par exemple.

Nous n’étudierons pas la modélisation en détail, mais nous verrons comment résoudre différentes équations différentielles.

Définition 3

Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dans laquelle apparaît une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées de différents ordres.

Mathématiquement, une équation différentielle s’écrit comme une équation implicite, c’est-à-dire :

(

)

F x , y , y ′, y ′′,..., y (n) = 0

où F est une fonction qui dépend de x, de y (x) et de ses dérivées.

Voici quelques exemples d’équations différentielles : dy + 4 y = x , ici la fonction inconnue est y(x ).

• dx

62

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Calcul INTÉGRAL

•

d 3h − 7h2 + 1 = e w ; ici, la fonction inconnue est h(w ). dw 3

• mx ′′ + bx ′ + kx = sin(t ); ici, la fonction inconnue est x(t ).

Définition 4

Solution d’une équation différentielle

Une fonction (ou une équation) est une solution d’une équation différentielle si, en la remplaçant ainsi que ses dérivées dans l’équation différentielle, l’égalité est vérifiée.

E x e m p le

2

2.8

Vérifiez que y(x ) = e 2 x est une solution de :

d2 y dy −3 + 2y = 0 2 dx dx S o l u ti o n

Pour montrer que y(x ) est une solution de l’équation différentielle précédy d 2 y dente, nous devons remplacer y , et dans l’équation différentielle dx dx 2 pour vérifier l’égalité. Calculons d’abord les dérivées successives de y(x ).

dy d2 y = 2e 2 x = 4e 2 x dx dx 2 Remplaçons ensuite ces dérivées dans l’équation différentielle : y(x ) = e 2 x

d2 y dy −3 + 2 y = 4e 2 x − 3 ⋅ 2e 2 x + 2 ⋅ e 2 x 2 dx dx

= (4 − 6 + 2)e 2 x

= 0

Puisque l’égalité est vérifiée, y(x ) est une solution de l’équation différentielle.

L’exemple 2.8 nous a montré comment vérifier si nous avons une solution d’une équation différentielle. Cependant, comme la plupart du temps nous n’avons pas la solution de l’équation différentielle, nous devons la trouver.

E x e m p le

2.9

Trouvez les solutions de l’équation différentielle suivante. dx = 2t dt

Calcul INTÉGRAL

n ) 2.2 Les équations différentielles de la forme d yn = f ( x  63 dx

S o l u ti o n I N T U ITI V E M E N T …

L’équation différentielle nous indique que nous désirons trouver x(t ) tel que dx = 2t . Nous cherchons donc la primitive de 2t , ce qui revient à calculer dt l’intégrale suivante.

Nous pouvons vérifier que t2 + C est une solution en la remplaçant dans l’équation différentielle. Nous avons donc : dx dt

= d

d

∫

 t 2 + C  =

dt 

∫

2tdt = 2 tdt = 2

1+1

t2 t +C = 2 + C = t2 + C 1+1 2

Puisque C est une constante, alors il y a une infinité de solutions possibles.

Ainsi, toutes les fonctions de la forme x(t) = t 2 + C sont des solutions de l’équation différentielle.

d

 t 2  + [C ] = dt   dt 2t + 0 = 2t

Cet exemple nous amène à nous pencher sur la forme qu’une solution d’une équation différentielle peut prendre.

Définition 5

Solution générale ou famille de solutions d’une équation différentielle

La solution générale ou famille de solutions d’une équation différentielle est l’ensemble de toutes les fonctions qui sont des solutions de l’équation différentielle.

La figure 2.2 montre la famille de solutions de l’équation différentielle FIGURE

2.2

dx = 2t . dt

x(t) C =2 C =1 C =0 C = -1 C = -2

0

t

Parmi la famille de solutions que nous obtenons lors de la résolution d’une équation différentielle, il est possible d’identifier une seule solution en spécifiant un point par lequel passe la courbe. dx

= 2t

E x e m p ledt 2.10

dx = 2x dt

Trouvez la solution de l’équation différentielle de l’exemple 2.9, si x(2) = 5.

64

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

2

x(t) = t + C

Calcul INTÉGRAL

S o l u ti o n

Nous savons déjà par l’exemple 2.9 que la solution générale de l’équation dx différentielle = 2t est donnée par x(t ) = t 2 + C . dt La condition x(2) = 5 signifie que lorsque t = 2 , alors x = 5 . Il suffit maintenant de remplacer ces valeurs dans la solution générale pour trouver la valeur de C qui convient.

x(t ) = t 2 + C

x(2) = 22 + C

2

5 = 4+C C =1

La solution particulière de l’équation différentielle avec x(2) = 5 est donc x(t ) = t 2 + 1.

Graphiquement, la condition x(2) = 5 nous permet de choisir l’une des courbes de la solution générale (voir la figure 2.3).

FIGURE

2.3

x(t) C =2 C =1 C =0 C = -1 C = -2

5

0

2

t

RE MARQU E

Définition 6

Condition initiale et solution particulière d’une équation différentielle

Une condition initiale d’une équation différentielle est un point x0 , y0 par lequel passe la solution, où x0 et y0 ∈  . Une solution de l’équation différentielle qui vérifie la condition initiale est appelée solution particulière de l’équation différentielle.

Une condition initiale permet de spécifier une seule solution parmi la famille de solutions que possède une équationdydifférentielle.

• = sin (x ) dx d 2x • = - g, où g d dt 2 d 5z • = √1 − u 3 + u du 5

Calcul INTÉGRAL

Lorsqu’une équation différentielle comprend une dérivée nième, nous aurons besoin de n conditions initiales : une pour la fonction et n — 1 pour les dérivées de la fonction, c’est-à-dire une pour la dérivée première, une pour la dérivée seconde, … et une pour la dérivée d’ordre n — 1.

n ) 2.2 Les équations différentielles de la forme d yn = f ( x  65 dx

2.2.2

La résolution d’équations différentielles de la forme d ny = f( x) dx n

dn y = f (x ), si f (x ) ne dépend que de dx n x , c’est-à-dire si f (x ) ne dépend que de la variable par rapport à laquelle nous dérivons. Par exemple, les équations différentielles suivantes sont de cette forme. dy • = sin( x ) dx d2x • 2 = - g , où g ∈  dt Une équation différentielle est de la forme

d5z = 1 − u3 + u du 5 Par contre, les équations différentielles suivantes ne sont pas de cette forme. dy = sin( y ) • dx 2 d 3w = re w • 3 dr •

d2 f 1 + 3f = 2 g dg dn y Pour résoudre des équations différentielles de la forme n = f (x ), il faut faire dx dn y n intégrations. En effet, la notation n signifie la dérivée nième de y par rapport dx à x . Le prochain exemple nous montre la méthode à suivre.

•

E x e m p le

2.11

Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle suivante. d 2z dz = 1 + θ ,si z (6) = 2 et 2 dθ dθ

=1 θ =4

S o l u ti o n

Écrivons l’équation sous sa forme différentielle. Pour ce faire, il faut isoler la dérivée seconde et la récrire.

I N T U ITI V E M E N T …

Puisque l’intégrale correspond à la réciproque de la dérivée :

d2z

∫ dθ

66

2

dθ =

dz dθ

+C

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

d2z d  dz  = = 1+θ 2 dθ  dθ  dθ  dz  d   = (1 + θ )dθ  dθ 

dz

∫ d dθ = ∫ (1 + θ )dθ

dz    différentielle de dθ   

(intégration des deux côtés)

Calcul INTÉGRAL

I M P O R TA N T

dz θ2 + C1 = θ + + C2 dθ 2 dz θ2 =θ + + C3 (où C3 = C2 − C1 )

dθ 2 Puisqu’une des conditions initiales implique la dérivée première, nous l’utiliserons immédiatement pour trouver la valeur de C3 . dz dz La condition initiale = 1. = 1 signifie que lorsque θ = 4 , dθ dθ θ = 4 Ainsi : dz θ2 =θ + + C3

dθ 2 42 1= 4+ + C3

2 1 = 4 + 8 + C3

Comme nous pouvons le constater, il n’est pas nécessaire d’ajouter une constante d’intégration de chaque côté lorsque nous intégrons une équation différentielle. Nous pouvons simplement en ajouter une d’un seul côté, ce qui est équivalent. C’est ce que nous ferons tout au long de ce livre.

2

C3 = -11

dz θ2 =θ + − 11. dθ 2 Déterminons maintenant z (θ ) de la même manière.

Nous avons donc :

dz θ2 =θ + − 11 dθ 2

  θ2 − 11  dθ dz =  θ + 2  

  θ2 − 11  dθ (intégration des deux côtés) dz =  θ + 2  

∫

(différentielle (différentiellede dez z(θ)) (θ ))

∫

zθ =

θ2

θ3

− 11θ + C4 2 6 La condition initiale z(6) = 2 signifie que lorsque θ = 6, alors z = 2. Ainsi :

+

zθ =

θ2

θ3

− 11θ + C4 2 6 62 63 2 = + − 11 ⋅ 6 + C4 2 6 2 = 18 + 36 − 66 + C4

+

C4 = 14

La solution particulière de l’équation différentielle est donc :

zθ =

Calcul INTÉGRAL

θ2 2

+

θ3 6

− 11θ + 14

n ) 2.2 Les équations différentielles de la forme d yn = f ( x  67 dx

FIGURE

2.4

Pylône

E x e m p le Câble de retenue

2.12

L’équation différentielle suivante modélise la forme des câbles de retenue d’un pont suspendu : dy µx = dx T où x et y représentent la position du câble de retenue dans un repère cartésien, μ est la densité constante du tablier du pont et T est la force de tension constante dans les câbles. Trouvez la forme des câbles de retenue d’un pont suspendu (voir la figure 2.4).

S o l u ti o n

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Écrivons l’équation différentielle sous sa forme différentielle et intégrons. dy µx =

dx T µx

dy = dx (différentielle de y(x )) T µx

dy = dx T

Câble de support

∫

Tablier

Le pont du Golden Gate, à San Francisco, aux États-Unis.

I N T U ITI V E M E N T …

y =

y =

Puisque µ, T et C1 sont des constantes, nous pouvons dire µ que C1 est également une T constante.

∫

µ

T

∫ xdx

µ  x2

 + C1   T 2  2 µ x y = ⋅ +C T 2

µ    où C = T C1   

Nous remarquons que la forme des câbles est une fonction quadratique de la forme y = ax 2 + b. Donc, la forme des câbles de retenue est celle d’une parabole.

2.2.3

Le mouvement rectiligne

d2 y = f (x ) sont souvent utilisées en dx 2 physique. En effet, selon la deuxième loi de Newton, la somme des forces sur un objet qui se déplace dans une seule direction est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération, c’est-à-dire : F = ma

Les équations différentielles de la forme

∑

Puisque nous nous intéressons à la position x(t ) de cet objet en fonction du temps, nous obtenons une équation différentielle d’ordre 2 de la forme : d2x F = m 2, dt

∑

car l’accélération d’un objet est donnée par la dérivée seconde de sa position par rapport au temps. Ainsi, l’équation différentielle modélisant la position d’un objet dépend de la force en présence. Étudions deux exemples.

68

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Calcul INTÉGRAL

E x e m p le

2.13

Un objet de masse m kg est lancé d’une hauteur y0 avec une vitesse v0 .

Déterminez la hauteur y(t ) de l’objet en fonction du temps.

S o l u ti o n

La seule force agissant sur l’objet est la force de gravité qui est -mg , où g ≈ 9,81 m ⋅ s-2 . Ainsi, par la deuxième loi de Newton, nous avons l’équation différentielle suivante.

m

d2 y = -mg dt 2

d2 y = -g dt 2

d  dy  = -g dt  dt 

2

dy  dy  d   = - gdt (différentielle de ) dt  dt   dy 

∫ d  dt  = ∫ - gdt

(intégration des deux côtés)

dy = - gt + C1 dt dy Puisque correspond à la vitesse v(t ) et que v(0) = v0 , alors : dt v(0) = v0 = - g ⋅ 0 + C1

v0 = C1

Déterminons y(t ).

dy = - gt + v0 dt dy = (- gt + v0 )dt

∫ dy = ∫(- gt + v )dt

1 y(t ) = - gt 2 + v0t + C2 2

0

(différentielle de y ) (intégration des deux côtés)

Puisque y(0) = y0 , nous avons C2 = y0 . Donc : 1 y(t ) = - gt 2 + v0t + y0 2

Calcul INTÉGRAL

n ) 2.2 Les équations différentielles de la forme d yn = f ( x  69 dx

E x e m p le

2.14

Pour pouvoir décoller, un avion de chasse doit avoir une vitesse d’environ 275 km ⋅ h-1 . Lorsqu’il est sur un porte-avion, l’avion doit atteindre cette vitesse sur une piste de moins de 100 m de longueur. C’est pourquoi les porte-avions sont munis de catapultes qui, sur une distance de 75 m, permettent de faire accélérer l'avion à 275 km ⋅ h-1 . En supposant que l’accélération est constante, quelle est l’accélération nécessaire pour faire décoller un avion ?

S o l u ti o n

Posons comme a, l’accélération recherchée. Nous avons donc l’équation différentielle suivante : d2x = a dt 2 où x(t ) est la distance parcourue en fonction du temps. Déterminons x(t ).

d2x = a dt 2

d  dx  = a dt  dt 

 dx  d   = adt  dt   dx 

∫ d  dt  = ∫ adt

(différentielle de

dx ) dt

(intégration des deux côtés)

dx = at + C1 dt Puisqu’en t = 0 la vitesse v(t) est nulle, nous avons C1 = 0 .

dx = at dt dx = atdt

(différentielle de x(t ))

∫ dx = ∫atdt

(intégration des deux côtés)

at 2 + C2 2 at 2 Puisqu’au départ x(0) = 0, C2 = 0 . Ainsi, x(t ) = .

2 Nous savons que lorsque x = 75 m , l’avion atteint une vitesse de 275 km ⋅ h-1 ≈ 76,4 m ⋅ s-1 . Pour calculer l’accélération requise, déterminons le temps tfin tel que x(tfin) = 75 m.

70

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

x(t ) =

75 =

2 at fin 2

150 = t fin a

Calcul INTÉGRAL

Remplaçons cette valeur dans la vitesse v(t )

v(t fin ) = 76,4

at fin = 76,4

a

dx . dt

150 = 76, 4 a

a = 6,24

a = 38,9 m ⋅ s-2

2

MISE EN FORME

1. Trouvez la solution générale des équations différentielles suivantes. d2 f = r8 − 7 a) dr 2 b)

d4 y = 0 dx 4

d2 g = - cos(t ) dt 2 2. Résolvez les équations différentielles suivantes. dv π  = 7 cos(t ), si v   = 8 a) dt 2 c)

d 2r 5 + 4, = ew − 3 2 dw w dr si r (0) = 2 et = 4 dw w = 0

b)

applications

3. Le Grand Télescope Zénithal a été mis au point par un astrophysicien de l’Université de Colombie-Britannique dans les années 1990.

Son miroir est formé d’une mince couche de mercure liquide en rotation dans un bassin ce qui lui confère une forme paraboloïde.

Calcul INTÉGRAL

© Paul hickson, ubc

EXERCICES de la section

2.2

Ainsi, l’accélération doit être d’environ 38,9 m ⋅ s-2 pour qu’un avion décolle. Une voiture qui passe de 0 km ∙ s-1 à 100 km ∙ s-1 en 10 s subit, quant à elle, une accélération de 2,8 m ∙ s-2.

Voici l’équation différentielle modélisant la hauteur du liquide y(r ) en fonction de la distance entre un point du liquide et le centre de rotation : dy ω 2r

= dr g où ω est la vitesse de rotation constante et g la constante gravitationnelle. a) Déterminez y(r ). b) La distance focale d f pour une parabole de la 1 forme Y = ax 2 + c est d f = . Pour aug4a menter cette distance, faut-il augmenter ou diminuer la vitesse de rotation? c) Nous savons que les rayons lumineux provenant des étoiles sont réfléchis au foyer de la parabole. Qu’arrive-t-il à la réflexion des rayons lorsque la vitesse de rotation tend vers zéro? Que devient alors le miroir parabolique ?

n ) 2.2 Les équations différentielles de la forme d yn = f ( x  71 dx

EXERCICES de la section 2.2

1 df = 4a 4. La déformation d’une poutre de longueur L supportée à ses deux extrémités et soumise à une charge uniformément répartie est définie par l’équation : 2 d2 ydifférentielle ωL x ωx EI 2 2 = , si 0 ≤ x ≤ L − 2 ddxy ω Lx ω x22 EI 2 = − , si 0 ≤ x ≤ L

2 2 dx où E et I sont des constantes associées à la poutre et ω , la charge par unité de longueur. y

x

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Dans le cas d’une poutre en acier d’une longueur de 4 m : E = 200 × 109 kg ⋅ m-1 ⋅ s-2

I = 0,214 × 10-4 m 4 dy =0 L dx que Sachant x = 2la charge par unité de longueur est ω = 20 000 kg ⋅ s-2 , répondez aux questions

suivantes.

2

b) En vous basant sur la représentation géométrique de ce problème, trouvez la déformation maximale de la poutre.

5. Une voiture roulant à une vitesse v0 freine. Sa décélération -a, où a > 0, est constante.

L ω

a) Donnez la solution particulière de cette équation différentielle, en utilisant les conditions initiales suivantes : dy = 0 y(0) = 0 et

dx x = L

a) Déterminez la distance de freinage df de la voiture. b) Dans une zone scolaire, la limite de vitesse est de 30 km ∙ h-1. Déterminez la distance de freinage si la décélération d’une voiture, sur une surface sèche et dans des conditions idéales, est d’environ -8 m ∙ s-2. c) Si la voiture roule à 60 km ∙ h-1, quelle devra être sa distance de freinage ?

d) Soit une vitesse v0. Si nous doublons cette vitesse, qu’arrivera-t-il à la distance de freinage ?

Les équations différentielles à variables séparables

2.3

2.3.1

Nous verrons maintenant comment résoudre les équations différentielles à variables séparables. Ces équations différentielles sont utilisées pour modéliser différents phénomènes tels que les réactions chimiques, la croissance des populations, etc.

La résolution d’équations différentielles à variables séparables

Définition 7

Équation différentielle à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation différentielle que nous pouvons écrire sous la forme : dy = f (x ) ⋅ g ( y ) dx où f (x ) ne dépend que de la variable x et g ( y ) ne dépend que de la variable y .

72

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Calcul INTÉGRAL

Pour résoudre une équation différentielle à variables séparables de la forme : dy = f (x ) ⋅ g ( y ) dx écrivons-la d’abord sous sa forme différentielle, c’est-à-dire :

dy = f (x ) ⋅ g ( y )dx Divisons ensuite par g ( y ) afin d’avoir une seule variable de chaque côté : dy = f (x )dx g ( y)

I M P O R TA N T

Enfin, intégrons des deux côtés : dy

∫ g ( y) = ∫ f (x)dx Le prochain exemple illustre la marche à suivre pour résoudre une équation différentielle à variables séparables.

E x e m p le

Pour résoudre une équation différentielle à variables séparables, il faut toujours s’assurer que les différentielles se trouvent au numérateur.

2

2.15

Trouvez la solution générale de l’équation différentielle suivante. dy = xy dx

S o l u ti o n

Écrivons l’équation différentielle sous sa forme différentielle : dy = xy dx dy = xydx

Nous devons maintenant séparer les variables en divisant de chaque côté par y pour que toutes les variables y soient du côté gauche et que toutes les variables x soient du côté droit. dy = xdx y Une fois la séparation des variables faite, nous pouvons intégrer des deux côtés. dy

= xdx y

∫

∫

ln y =

x2 + C1 2

La solution obtenue à l’exemple précédent est implicite, c’est-à-dire qu’aucune des deux variables de l’équation n’est isolée. Il est parfois impossible d’obtenir une équation explicite lors de la résolution d’équations différentielles. Nous devons trouver la solution explicite seulement si c’est demandé dans le problème.

Calcul INTÉGRAL

2.3 Les équations différentielles à variables séparables   73

E x e m p le

2.16

Trouvez la famille de courbes perpendiculaires au cercle x 2 + y 2 = R 2.

S o l u ti o n RAPPE L

Nous savons que deux courbes définies par f(x) et g(x) sont perpendiculaires en x si : df dg ⋅ = -1 dx dx

Posons comme m1, la pente de la tangente au cercle, et comme m2 , la pente de la tangente de la famille de courbes recherchée. Nous savons que :

m1 ⋅ m2 = -1 Trouvons une expression pour m1 . Puisqu’il s’agit de la pente de la tangente dy à la courbe, celle-ci est donnée par . Nous avons : dx d 2 d x + y2  =  R2 

  dx dx   dy

2x + 2 y = 0 dx dy x = dx y

x Ainsi, m1 = - . Puisque m1 ⋅ m2 = -1, nous obtenons alors que la pente y y 1 m2 = = . Pour retrouver la courbe de pente m2 , nous avons l’équation m1 x différentielle : dy y

m2 = = dx x 1 1

(formedifférentielle différentielle) dy = dx (forme ) y x 1 1

dy = dx y x

∫

∫

ln y = ln x + C1

y = e

y = e

ln x + C1 ln x

C2

(où C2 = eC1 )

y = C2 x

± y = C2 ⋅ ( ± x )

±±yy ==CC3 x3 x

(où (oùCC3 3== ±±CC2 )2 )

y =y Cx = Cx (où(où C =C = C3 )C3 ) Nous venons donc de démontrer que les droites passant par l’origine sont perpendiculaires à un cercle centré en (0,0). C’est logique, puisque nous savons que les rayons d’un cercle sont perpendiculaires aux tangentes du cercle.

74

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Calcul INTÉGRAL

2.3.2

La modélisation exponentielle

Nous étudierons ici quelques phénomènes dont la modélisation présente la même forme d’équation différentielle. C’est le cas pour la désintégration des substances radioactives, la décharge d’un condensateur et l’évolution de populations.

Dans toutes ces situations, le taux de variation d’une quantité P (qui peut représenter la concentration d’une substance radioactive, la charge dans un condensateur ou le nombre d’individus d’une population) est proportionnel à la quantité P présente au temps t. Mathématiquement, nous écrivons : dP = kP dt où k est une constante de proportionnalité. Cette équation différentielle est un exemple d’équation différentielle à variables séparables.

E x e m p le

2

2.17

Lorsque les ressources naturelles d’un habitat sont illimitées, le taux de variation de la taille de la population d’un organisme est proportionnel à la taille de la population présente. Ainsi, plus il y a d’organismes, plus ceux-ci se reproduisent, donc plus la taille de la population variera rapidement, c’està-dire que le taux de variation sera élevé. Inversement, moins il y a d’organismes, moins ceux-ci se reproduisent. Donc, la taille de la population variera moins rapidement, c’est-à-dire que le taux de variation sera faible.

Dans ce modèle, nous supposons que la constante de proportionnalité est la différence entre le taux de natalité n et le taux de mortalité m. a) Déterminez l’équation différentielle modélisant le nombre d’individus N dans une population. b) Trouvez la solution générale explicite de l’équation différentielle. c) Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle en utilisant le résultat obtenu en b) et le fait que la taille initiale de la population est de 100 organismes. d) Donnez la signification de lim N (t ) lorsque n > m. t→∞

e) Donnez la signification de lim N (t ) lorsque n < m. t→∞

f) Donnez la signification de N (t ) lorsque n = m.

S o l u ti o n

a) Voici l’équation différentielle modélisant cette situation : dN = kN = (n − m)N dt b) Résolvons l’équation différentielle.

dN = (n − m)N dt

dN = (n − m)Ndt

Calcul INTÉGRAL

2.3 Les équations différentielles à variables séparables   75

dN = (n − m)dt N

RE MARQU E

Ici, la valeur absolue peut être omise, car le nombre d’individus ne peut être négatif.

dN = N

∫

∫ (n − m)dt

ln N = (n − m)t + C1

Isolons N .

(n −-mm) )⋅t .+tC+1 C1 N = e(n

N = e

(n − m ) ⋅ t

C1 e C

(car N ≥ 0)

N = Ce(nn −-mtm)⋅t . t

c) La condition initiale peut être modélisée en posant que N (0) = 100 .

Ainsi : (n −-mm) ) ⋅t . t N (t ) = Ce(n (n −-mm) )⋅0. 0 N (0) = 100 = Ce(n

100 = C

La solution particulière de cette équation différentielle est donc : (n −-mm) ) ⋅t . t N (t ) = 100e (n

d) Si n > m, alors n − m > 0. Ainsi :

) ⋅t . t lim N (t ) = lim100e ((nn −-mm) t→∞

t→∞

= 100e (n − m) ⋅ ∞

= 100=⋅ 100 ∞ (car ⋅ ∞ e ∞(car = ∞e ∞) = ∞)

= ∞

La taille de la population devient donc infiniment grande lorsque le temps devient infiniment grand, car le taux de natalité est supérieur au taux de mortalité.

e) Si n < m, alors n − m < 0. Ainsi :

(n −-mm) ) ⋅t . t lim N (t ) = lim100e(n t→∞

t→∞

= 100e (n − m) ⋅ ∞

= 100 = ⋅ 0100(car ⋅ 0 e −∞(car = 0) e −∞ = 0)

= 0 La taille de la population devient nulle lorsque le temps devient infiniment grand, car le taux de natalité est inférieur au taux de mortalité. f) Si n = m , alors: N = 100e(n - m) . t = 100e (0) . t = 100

76

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

La taille de la population reste stable, car le taux de natalité est égal au taux de mortalité.

Calcul INTÉGRAL

E x e m p le

2.18

Nous avons vu dans l’exemple d’introduction que toute substance radioactive se désintègre, et que le taux de variation de la quantité de matière radioactive est proportionnel à la quantité présente au temps t. a) Trouvez la solution de l’équation différentielle : dN = kN dt et supposez qu’au départ, une substance radioactive aN0 noyaux.

b) La demi-vie correspond au temps nécessaire pour que la quantité initiale d’une substance radioactive diminue de moitié. Déterminez la quantité de 14C en fonction du temps, sachant que sa demi-vie est d’environ 5730 ans.

2

c) Nous ne connaissons pas la quantité initiale de 14C que contient un objet que nous désirons dater. Cependant, nous savons que la concentration initiale de 14C sur la Terre est de 10–12 . Nous calculons cette concentration en divisant la quantité de 14C par le nombre total de 12C qui, lui, ne change pas. Déterminez la concentration de 14C en fonction du temps. d) Estimez l’année de fabrication de cet objet si, en 1950, la concentration de 14C était d’environ 6,7143 × 10–13.

S o l u ti o n

a) C’est une équation différentielle à variables séparables. Ainsi : dN

dt 1 dN N

1 dN N

ln N

∫

= kN = kdt =

∫ kdt

N = e

(où C1 est une constante d’intégration)

= kt + C1 kt + C1

N (t ) = Ce kt (N > 0, car N (t ) représente le nombre de noyaux)

De plus, nous savons que N (0) = N 0 .

N (0) = N 0 = Ce

k ⋅0

N0 = C

kt

Ainsi, N (t ) = N 0 e . b) Nous savons que le 14C a une demi-vie d’environ 5730 ans. Cela signifie qu’à t ≈ 5730 ans, le nombre initial de noyaux aura diminué de moitié.

Avec cette information, nous pouvons déterminer la valeur de k .

N 5730 ⋅ k N (5730) = 0 = N 0e 2 1 5730 ⋅ k = e 2 Calcul INTÉGRAL

2.3 Les équations différentielles à variables séparables   77

1 ln   = 5730k 2

k = D’où N (t ) = N 0e

-ln(2) t 5730

ln  12 

5730

= -

ln(2) 5730

.

c) Pour déterminer la concentration, il faut diviser les deux côtés par la quantité de 12C. Posons comme N12 , cette quantité.

-ln(2)t N (t ) N 0e 5730 = N12 N12

c(t ) = c0e

-ln(2) t 5730

où c(t ) est la concentration de 14C et c0 sa concentration initiale. Nous savons également que c0 = 10-12 . d) Nous cherchons la valeur de t telle que c(t ) = 6,7143 × 10-13.

0,67143 = e

EXERCICES de la section 2.3

1. Trouvez la solution générale des équations différentielles suivantes.

b) 3u

dv = e-v du

r dr = c) 8sr − ds 1 + s2 d) udv = vdu e)

78

dx = cos( y )sin2 ( x ) dy

dw = ez −w dz

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

-ln(2) t 5730

-ln(2) t 5730

- ln(2) t = -0,398 35 5730 t ≈ 3293 ans

L’année de fabrication de l’objet est donc de 1950 - 3293 = -1343 ans ou 1343 ans avant l’ère chrétienne.

MISE EN FORME

a)

6,7143 × 10-13 = 10-12 e

2. Résolvez les équations différentielles suivantes et donnez votre solution sous une forme explicite. dy = s(1 + y 2 ), où y(3) = 1 a) ds b) dy = e

x − ln( y )

dx , où x(2) = 1

applications

3. Déterminez : a) une fonction x(t) telle que sa dérivée première vaut trois fois la fonction et qui passe par (0, 1), b) une fonction y(x) telle que sa dérivée seconde, qui est de 4, passe par les points (0, 0) et (1, 5),

Calcul INTÉGRAL

=

dr ds

EXERCICES de la section 2.3

n 2 (x )

, avec y(3) = 1

x , avec x (2) = 1

c) une fonction g (z) telle que sa dérivée preg (z ) mière, multipliée par , vaut 1 et passe z par (0, 1), 2

a) y(x) e − x que sa dérivée pred) une fonction g (z)=telle g (z ) 2 mière, multipliée parArccot(v , vaut b) u(v) = ) 1 et passe z par (0, -1). c) f (z) = z 2 cos(2z + 1) 4. Deux courbes sont2perpendiculaires si le produit d) x + y 2 = 9 des pentes de leurs droites tangentes respectives est -1. Trouvez une famille de courbes qui est perpendiculaire aux fonctions suivantes.

de la réaction chimique est d’ordre 2, c’està-dire que : dC = -kC 2 dt où C est la concentration de HI au temps t et k = 1,2 × 10-3 L ⋅ mol -1 ⋅ s-1 . a) Déterminez la solution de cette équation différentielle avec la condition initiale C(0) = C0 . b) Après combien de temps la concentration de HI aura-t-elle diminuée de moitié ?

c) À long terme, quelle sera la concentration a) f (x ) = x de HI ? a) f (x) = u(x) ± v(x ) b) g (x ) = x 2 n b) f (x) = (u(x)) , avec n d \ {0} 7. Une personne prétend avoir en sa possession la x3 Sainte Lance de Longinus, qui aurait percé le c) h(x ) = xc)+ f (x) = u(x) 3 flanc de Jésus-Christ. Elle dit avoir fait une v(x ) datation avec un spectromètre de masse et avoir 5. En enroulantd) unef (x) corde autour d’un arbre avec = sec (u(x)) obtenu une concentration de 7,85 × 10-13 de 14C. un coefficient de friction µ , vous pouvez retenir Sachant que la demi-vie du 14C est de 5730 ans, très facilement plusieurs de vos amis qui tirent la peut-il s’agir d’une relique authentique ? corde par l’autre bout.

Pourquoi ? θ

8. Un isotope du strontium, le 90Sr, a une demi-vie de 25 ans.

T T0

Si T0 est la force que vous exercez et T , la force exercée par vos amis, alors l’équation différentielle suivante permet de trouver T en fonction de θ : dT = µT dT = µT dθ dθ a) Déterminez T (θ ) avec la condition initiale T (0) = T0 . b) À quoi correspond la condition initiale dans 2HI ( g)?

H 2 ( g) + I 2 ( g) cette situation c) En utilisant la réponse obtenue en a), déterminez la force T0 dont vous aurez besoin pour retenir vos amis si ceux-ci tirent avec une force T dC(θ ). − 2 = kC d) Si µ = 0 , est-il dt utile d’augmenter l’angle θ ?

6. La décomposition de l’iodure d’hydrogène (HI) à 270 Kest donnée par la réaction suivante :

2HI (g) → H2 (g) + I2 (g)

Expérimentalement, nous savons que la vitesse

Calcul INTÉGRAL

2

a) Déterminez la fonction Q(t) qui donne la masse de strontium en fonction du temps, sachant que le taux de désintégration de la masse est proportionnel à celle-ci et que Q(0) = Q0 . b) Après combien de temps restera-t-il 1 % de la masse initiale de 90Sr ?

9. Supposons qu’une population de N 0 bactéries est placée dans une solution nutritive au temps t = 0 . Si N (t ) est la taille de la population de bactéries au temps t et si nous supposons que la nourriture et l’espace sont illimités, alors le taux de variation de la taille de la population est proportionnel à la taille de la population présente. a) Déterminez l’équation différentielle modélisant cette situation. b) Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle précédente. c) Si la taille de la population de bactéries triple en une heure, après combien de temps (en heures) la taille de la population sera-t-elle 100 fois plus importante qu’initialement ?

2.3 Les équations différentielles à variables séparables   79

CHAPITRE

2 Stratégies…

Le cheminement type suivant présente une démarche pour résoudre des équations différentielles.

Résoudre une équation différentielle.

n Est-ce une forme d yn = f ( x ) ? dx

Est-ce une forme

Intégrer n fois.

dy dy = f ( x ) • g ( y ) == f ( fx( ) x· )g (•y)g (?y ) dx dx

Séparer les variables et intégrer des deux côtés. pour

Calculer une intégrale indéfinie.

• Utilisation des formules d’intégration des fonctions de base • Transformation de l’intégrande pour utiliser les formules d’intégration des fonctions de base

80

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Calcul INTÉGRAL

EXERCICES

R ÉCA P IT U LATI FS

du chapitre

2

MISE EN FORME

1. Déterminez les intégrales suivantes. a) b) c)

∫ z dz ∫ ydy 5

4

2

∫x

3

t2

dx

d)

∫t

e)

dw ∫ dω

f) g)

5 2

dt

dfdf e) , α> >0 est 0 estune uneconstante constante = =-α-αf ,foù α dudu

2

3

2

i)

∫ cos (v) − 1 dv

j) a)

∫

cos5 2 (v ) − 1 dv z dz 5sin(v )

k) b)

∫ 2 (tan ∫ x 3 dx(φ ) − cot (φ ))dφ

d) m) e)

5

2

∫

g) o)

∫

h)

k) l) m) Calcul INTÉGRAL

n)

L  FFxx x ≤≤ x ≤ L ,, si 0 ≤ si 0 d 2 y 2  22 2 2 EI d2 y=  EIdx 2 = F L − x L ( ) < x ≤ L dx  F (L −, x)si  2 , 2 si L2 < x ≤ L 2 où E et I sont deux constantes associées à la poutre et F désigne la force imprimée par la charge ponctuelle.

)

4 x )(sec( x ) − tan( x )) dx cos( √ ydy

∫

j)

3. La déformation d’une poutre de longueur L appuyée librement à ses deux extrémités, et soumise à une charge ponctuelle au milieu, est donnée par l’équation différentielle suivante :

2

n) f)

p) i)

applications

sin(θ )

∫ tan(θ ) dθ

c) l)

Exprimez la solution sous une forme explicite.

2

h)

∫

2

t2  5 dt 1  t 2 y −  dy   y   dω  3 2  √3 u 2 + √2 u−3 du 2 5 + 5x  9 − 9x

y L

  dx 

2 2 sin , où) α ds> 0 α 2 +(2s2α) ++ cos 1 dα(2s

sin(θ) tan( 3 θ) dθt  −    t 5 3  dt cos 24(v)t − 1 dv  2  cos (v) − 1 dv 5 sin(v)

x

F

a) Déterminez la solution particulière de cette L équation différentielle, lorsque 0 ≤ x ≤ , 2 0≤ x≤ L en utilisant les conditions2 initiales suivantes :

y(0) = 0 y(0) = 0

et et

dy = 0 dxdy x = L =0 2 dx x = L 2

cos(x) (sec(x) − tan(x )) dx 2

2

y(L ) = 0

dy dx

et

tan (z) − cot (z) dz √y −

1 √y

2

ASTUCE

∫ ( u + u ) du ∫ ( sin (2s) + cos (2s)) ds 3

2. Trouvez la solution générale des équations différentielles suivantes. dy = y a) dx dz − z2 = 1 b) dt 2 1 dr c) $ − e -s = s s ds dy d) sinθ $ cos 2 ( y ) + cos 2 (θ ) $ = 0 dθ

=0

0≤ x≤L

dy

3 2 − 5 + 5x 2 √9 − 9x 2

L x= 2

dx

Exercices récapitulatifs   81

2 du chapitre

R ÉCA P IT U LATI FS EXERCICES

b) Donnez la solution particulière de l’équation LL différentielle lorsque ≤<≤ xx ≤≤ LL, en utili22 sant les conditions initiales suivantes : dy et = 0 y (L) = 0 dx x = L 2

c) Si vous combinez les fonctions trouvées en a) et en b), obtenez-vous une fonction continue sur l’intervalle 0 ≤ x ≤ L ? Pourquoi ? d) En vous basant sur la représentation géométrique de ce problème, trouvez la déformation maximale de la poutre.

4. La croissance d’une cellule humaine, supposée sphérique avant la mitose, est donnée par : 2 dV = kV 3 dt où V correspond à son volume et k, à une constante de proportionnalité.

Déterminez V (t ) en fonction du temps t si V (0) = V0 .

5. Le flash d’un appareil photo est un circuit électrique qui comprend un condensateur de C farads et une résistance de R ohms. Sachant que le taux de variation de la charge Q en fonction du temps dans le condensateur est directement proportionnel à la charge et que la constante de 1 , répondez aux ques proportionnalité est RC tions suivantes.

fonctionnent à l’aide de bobines d’inductance de L henrys et de résistances de R ohms. Le taux de variation du courant i dans la bobine en fonction du temps est directement proportionnel au courant et la constante de proportionnalité est R - .

L a) Donnez l’équation différentielle décrivant la situation. b) Déterminez la solution générale explicite de l’équation différentielle trouvée en a). c) Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle obtenue en b) si le courant initial dans la bobine est de I 0 . d) Après combien de temps le courant dans la bobine correspondra-t-il au quart du courant initial ?

7. Il est possible d’estimer le volume de liquide absorbé par un milieu poreux en fonction du temps à l’aide de l’équation différentielle suivante : dV k = . dt V où V est le volume de liquide absorbé en fonction du temps et k , une constante associée au milieu poreux étudié. a) Donnez la solution générale de l’équation différentielle précédente. b) Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle si le volume initial absorbé est de 0 cm3.

a) Donnez l’équation différentielle décrivant la situation.

c) Déterminez la valeur de k si le volume absorbé est de 75 cm 3 après 20 min.

b) Déterminez la solution générale explicite de l’équation différentielle trouvée en a).

d) Si le volume maximal que le milieu poreux peut absorber est de 225 cm 3 , combien de temps faudra-t-il pour que le milieu soit complètement imbibé ?

c) Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle obtenue en b) si la charge initiale dans le condensateur est de Q0 . d) Après combien de temps le condensateur se déchargera-t-il de la moitié de sa charge ?

8. Démontrez que toute quantité qui varie proportionnellement à la quantité présente est nécessairement une fonction exponentielle.

6. Les transformateurs électriques fixés aux poteaux des lignes de distribution d’électricité

82

Chapitre 2 – Les intégrales indéfinies

Calcul INTÉGRAL

CHAPITRE

© istockphoto.com / mark kostich.

3 LES techniques d’intégration 3.1 L’intégration par changement de variable

Je ne comprends pas qu’on ne comprenne pas les mathématiques.

Jules Henri Poincaré (1854-1912)

3.2 L’intégration par parties 3.3 L’intégration de fonctions trigonométriques 3.4 L’intégration par substitution trigonométrique 3.5 L’intégration par décomposition en une somme

de fractions partielles

83

CHAPITRE

32

Depuis 2007, le cancer est la principale cause de décès au Canada. Selon les statistiques les plus récentes, deux Canadiens sur cinq souffriront d’un cancer au cours de leur vie. De nombreuses recherches utilisent des modèles mathématiques afin de simuler l’évolution de la masse d’une tumeur cancéreuse avec et sans traitement. Ces modèles permettent de mettre au point des traitements plus efficaces et de réduire les effets secondaires des médicaments administrés en contrôlant les doses. Le modèle de type Gompertz est parfois utilisé pour décrire l’évolution d’une masse cancéreuse sans traitement : dV V  = λV ln  max  dt  V 

Benjamin Gompertz (1779-1865) Le modèle permettant de calculer l’espérance de vie établi en 1825 par cet actuaire anglais autodidacte est encore utilisé de nos jours pour, entre autres, modéliser la croissance des tumeurs.

où λ est une constante de proportionnalité, V, le volume de la masse cancéreuse en fonction du temps t et Vmax, le volume maximal que peut atteindre la tumeur.

Déterminez V(t).

Solution

Nous sommes ici en présence d’une équation différentielle à variables séparables. Écrivons-la sous sa forme différentielle et intégrons des deux côtés de l’égalité : dV V  = λV ln  max  dt  V 

∫

1 V V ln  max  V

V  dV = λV ln  max  dt  V 

  

∫

dV = λdt

Nous constatons que nous ne pouvons pas intégrer le membre de gauche, car il ne s’agit pas d’une intégrale d’une fonction de base.

Dans ce chapitre, nous verrons différentes techniques pour déterminer des intégrales plus complexes, comme celle-ci. La solution de ce problème sera présentée à l’exemple 3.5.

L’intégration par changement de variable

3.1

84

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

Pour calculer des intégrales complexes, nous utiliserons principalement la technique d’intégration par changement de variable. Il est donc indispensable de la maîtriser.

Nous verrons dans cette section différentes modalités de l’intégration par changement de variable ainsi que quelques astuces d’intégration, qui seront utiles dans des cas bien précis.

Calcul INTÉGRAL

3.1.1

Le changement de variable simple

Nous avons vu dans le chapitre 2 qu’il est parfois nécessaire de manipuler l’intégrande afin de pouvoir calculer une intégrale particulière.

Par exemple, si nous voulons calculer l’intégrale suivante :

∫ (

)

2

3x 5x 2 − 4 dx

nous pouvons simplement développer le carré et effectuer la multiplication avant d’intégrer. Cependant, ce principe devient difficile à appliquer si nous voulons calculer une intégrale plus complexe.

E x e m ple

3.1

Calculez l’intégrale suivante.

∫ (

3x 5x 2 − 4

)

234

dx

Solution

RE MARQU E

Pour résoudre ce problème, il faut utiliser la technique du changement de variable. L’objectif de cette technique est d’obtenir une intégrale d’une fonction de base. Dans ce cas-ci, il serait simple d’intégrer s’il y avait une seule variable exposant 234. Posons donc u = 5x2 - 4. Puisque nous changeons la variable, il faut également faire apparaître la différentielle de u dans l’intégrale.

Calculons cette différentielle. u = 5x 2 − 4

3

Par convention, lors d’un changement de variable, nous appellerons la nouvelle variable u. Nous aurions pu utiliser n’importe quel autre symbole.

du = 10 xdx du dans l’intégrale. Ainsi : 10

Nous pouvons donc remplacer l’expression xdx par

∫ 3x ( 5x

2

−4

)

234

∫ (

dx = 3 5 x 2 − 4

=

∫ 3u

)

234

du 10

u

234

xdx

du 10

3 u 235 ⋅ +C 10 235 3u 235 +C = 2350 =

Puisqu’au départ l’intégrale est donnée en fonction de x, il faut récrire la réponse en termes de x. Ainsi : 235 3 5x 2 − 4 234 3u 235 2 3x 5x − 4 dx = +C = +C 2350 2350

∫ (

(

)

)

Nous pouvons vérifier que cette réponse est exacte en effectuant la dérivée.

(

2  d  3 5x − 4 dx  2350 

Calcul INTÉGRAL

)

235

(

 3 5x 2 − 4 + C  = 235 ⋅  2350 

)

234

⋅

d 5 x 2 − 4  + 0  dx 

RE MARQU E

Nous n’effectuerons pas cette vérification à chacune des intégrales, mais nous vous invitons à le faire.

3.1 L’intégration par changement de variable

85

=

(

3 5x 2 − 4

)

234

10

(

= 3x 5x 2 − 4

⋅ 10 x

)

234

La technique du changement de variable découle de la règle de dérivation en chaîne (voir le chapitre 1), comme nous le verrons dans la démonstration du théorème suivant.

3.1

Théorème

Le changement de variable

Soit F(x) une primitive de f(x) et soit u(x) une fonction dérivable. Alors : du f (u(x )) dx = f (u) du = F (u(x )) + C dx

∫

∫

DÉMONSTRATION

Par la règle de dérivation en chaîne, nous avons :

d d du  F (u(x )) =  F (u(x )) dx du dx du dx du Ainsi, F (u(x )) est une primitive de f (u(x )) , d’où : dx du f (u(x )) dx = F (u(x )) + C dx = f (u(x ))

∫

Pour utiliser la technique du changement de variable, il faut prendre une partie de l’intégrande et la poser comme égale à u afin d’obtenir une intégrale d’une fonction de base. Par la suite, il faut s’assurer qu’un multiple de la différentielle de u apparaît dans l’intégrale afin de changer la différentielle.

E x e m ple

3.2

Déterminez

∫ cos(2t ) dt.

Solution

Dans la liste des formules d’intégration des fonctions de base du théorème 2.1, nous avons vu l’intégrale de cos(t). Cependant, nous ne connaissons pas

86

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

Calcul INTÉGRAL

l’intégrale de cos(2t). Il faut donc faire un changement de variable pour être en mesure d’effectuer cette intégrale. Ainsi : u = 2t du = 2dt

∫ cos(2t )dt = ∫ cos(2t ) dt

  u 1 du 2

∫ cos(u) 2 du

=

1 2

=

1 sin(u) + C 2

=

E x e m ple

1

=

∫ cos(u) du

sin(2t ) +C 2

3.3

Déterminez

∫

3

y

e 4 dy .

Solution

Dans la liste des formules d’intégration des fonctions de base du théorème 2.1, nous avons vu l’intégrale de ey. Il faut donc faire un changement de variable pour effectuer cette intégrale. Ainsi :

y 4

∫ e dy = ∫ e

u  y 4

dy 

4 du

y 4 1 du = dy 4 u =

∫ e 4 du = 4 ∫ e du u

=

u

= 4e u + C y

= 4e 4 + C

E x e m ple

3.4

Effectuez l’intégrale suivante.

∫ 5sin (3θ + 4)cos(3θ + 4)dθ 4

Calcul INTÉGRAL

3.1 L’intégration par changement de variable

87

Solution

Nous remarquons que cos(3θ + 4) est, à une constante près, la dérivée de

sin(3θ + 4). Ainsi :

∫ 5sin (3θ + 4)cos(3θ + 4)dθ = 5 ∫ sin (3θ + 4)cos(3θ + 4)dθ = 5∫ (sin(3θ + 4)) cos(3θ + 4)dθ 4

4

4

 u

 1 du 3

= u sin(3θ + 4) = du 3cos(3θ + 4)dθ

1 = 5 u 4 ⋅ du 3 5 4 = u du 3 5 u5 ⋅ +C = 3 5 (sin(3θ + 4))5 = + C 3 5 (3θ + 4) = sin + C 3

∫ ∫

E x e m ple

3.5

Déterminez le volume de la masse cancéreuse de l’exemple d’introduction.

Solution

Nous avons obtenu l’équation suivante.

1 dV = λdt  Vmax  V ln    V  Commençons par déterminer l’intégrale de gauche.

1 dV  Vmax  V ln    V  1 (par les propriétés des logarithmes) = dV V (ln(Vmax ) − ln(V )) = u ln(Vmax ) − ln(V ) 1 1 = ⋅ dV 1 ln( Vmax) − ln(V) V du = - dV    V -du u 1 = du u

∫

∫

∫

RE MARQU E

Comme nous l’avons fait dans le chapitre 2, nous mettrons la constante d’intégration d’un seul côté de l’égalité.

∫

∫

∫

= - ln u

88

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

Calcul INTÉGRAL

= - ln ln(Vmax ) − ln(V ) V  = - ln ln  max  ( propriété (par des logar ithmes ) des logarithmes) les propriétés  V  Déterminons maintenant l’intégrale de droite.

∫ λdt = λt + C

1

Ainsi :

V  - ln ln  max  = λt + C1  V 

-λ t V (t ) = Vmax e-Ce

desmanipulations manipulationsalgébriques) algébriques ) ( pardes (par

où C est une constante.

E x e m ple

3.6

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux de perte de chaleur d’un objet chaud est directement proportionnel à la différence de température entre cet objet et le milieu ambiant. Soit T, la température d’un café, et 22 °C, la température ambiante d’une pièce. Si le café est à une température de 95 °C lorsqu’il est versé dans une tasse et qu’après 5 min, il est à une température de 80 °C, dans combien de temps sera-t-il possible de le boire à une température de 65 °C ?

3

Solution

Soit T(t) la température du café en fonction du temps t. Selon la loi de refroidissement de Newton : dT = k(T − 22) dt où k est une constante que nous pourrons déterminer à l’aide des données du problème.

Trouvons la forme différentielle de l’équation précédente. Ainsi :

dT = k(T − 22)dt Séparons maintenant les variables.

∫

dT = kdt T − 22 1 dT = kdt T − 22

u= T − 22

∫

1

du = dT

∫ u du = kt + C

Calcul INTÉGRAL

1

3.1 L’intégration par changement de variable

89

INTUITIVEMENT…

ln u = kt + C1

Nous pouvons dire que T ≥ 22, car l’objet refroidit et ne peut pas être à une température inférieure à la température ambiante.

ln T − 22 = kt + C1

T − 22 = e

kt + C1

C1 T − 22 = e kt e (car T ≥ 22) C2

T (t ) = 22 + C2 e kt

Puisque la température initiale du café était de 95 °C, nous avons : T (0) = 95 = 22 + C2 e k ⋅0

95 = 22 + C2 C2 = 95 − 22 C2 = 73 Nous obtenons ainsi T (t ) = 22 + 73e kt . De plus, comme après 5 min le café est à une température de 80 °C, nous avons : T (5) = 80 = 22 + 73e k ⋅5

INTUITIVEMENT…

58 = 73e 5k 58 e 5k = 73  58  5k = ln    73 

Graphique de la température du café en fonction du temps T(t) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

k =

1  58  ln 5  73 

≈ -0,046 Ainsi, nous avons :

15 30 45 60

1

 58  ln   ⋅ t

T (t ) = 22 + 73e 5  73  = 22 + 73e-0,046t

t

Pour savoir à quel moment il sera possible de boire le café à une température de 65 °C, nous devons résoudre l’équation suivante.

65 = 22 + 73e

RE MARQU E

Il est possible de vérifier la loi de Newton à l’aide d’un peu d’eau, d’une bouilloire et d’un thermomètre. Faites bouillir l’eau, mesurez sa température.

Attendez 5 min, mesurez sa température et utilisez vos résultats pour prédire celle-ci après 10 min. Les résultats sont très près de la réponse théorique prévue.

1  58  ln ⋅t 5  73 

= 22 + 73e-0,046t

43 = 73e 1  58  ln  ⋅ t  73 

e5

=

1  58  ln ⋅t 5  73 

43 73

1  58   43  ln   t = ln   5  73   73  t= 5 ⋅

 43  ln   73   58  ln   73 

≈ 11,5 min 90

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

Calcul INTÉGRAL

3.1.2

La manipulation de l’intégrande

Il est parfois nécessaire de modifier l’intégrande avant d’effectuer une intégrale.

E x e m ple

3.7

Effectuez l’intégrale suivante.

∫

3x 5 dx 1 + x12

Solution

À première vue, cette intégrale ne s’effectue pas avec un changement de variable. Par contre, nous remarquons que le dénominateur est de la forme 1 + (x n) 2, ce qui nous rappelle la dérivée de la fonction Arc tan(x). En manipulant l’intégrande, nous obtenons : 3x 5 x5 dx = 3 dx 1 + x12 1 + (x 6 )2

∫

∫

∫

= 3

1 x5 dx  1 + (x6 )2 1 du u

= 3

1

∫1+u

2

6

u = x6

3

du = 6 x 5dx

1 ⋅ du 6

3 1 du 6 1 + u2 1 = Arc tan(u) + C 2 Arc tan( x 6 ) = +C 2

=

E x e m ple

∫

3.8

Trouvez la solution générale de l’équation différentielle suivante. df 2 + f2 = ds s Solution

Commençons par trouver la forme différentielle de l’équation précédente.

Ainsi : 2 + f2 df = ds s df ds = 2 s 2+ f

Calcul INTÉGRAL

3.1 L’intégration par changement de variable

91

1

∫2+ f

2

df =

1

∫ s ds

L’intégrale de droite est l’intégrale d’une fonction de base.

1 ds = ln s + C s

∫

L’intégrande de gauche ressemble à la dérivée de la fonction Arc tan(x), sauf qu’il y a un 2 au dénominateur au lieu d’un 1. Transformons l’intégrande.

1 1 df = df 2 + f2  f2 2 1 +  2   f u = 1 1 = df 2 2  2  f  2du 1 1+ du = df  2  2

∫

∫

∫

u

Ainsi :

=

2 1 du 2 1 + u2

=

2 Arc tan(u) + C2 2

=

 f  2 Arc tan   + C2 2  2

∫

2  f  Arc tan   = ln s + C 2  2

 f  2 Arc tan   = ln s + C 2  2

 f  2 Arc tan  ln s + C  = 2  2  2  = tan  ln s + C  2  2 

f

f (s ) =

 2  2 tan  ln s + C   2 

Nous pouvons faire appel au même principe lorsque l’intégrande ressemble à la dérivée d’une fonction Arc sin(x) ou Arc sec(x).

92

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

Calcul INTÉGRAL

E x e m ple

3.9

Calculez l’intégrale suivante.

3

∫

4 − 3y2

dy

Solution

∫

3 4 − 3y2

dy =

∫

=

3 2

3  3 y2  4 1 −  4  

∫

1  3y  1−  2   

3 2 = ⋅ 2 3

=

=

3.1.3

3 3

dy

∫

dy 

2

2

3

du

3y 2 3 du = dy 2

u =

u

1

1 − u2

du

3

Arcsin(u) + C

 3y  Arcsin  +C  2  3  

3

Les formules d’intégration des fonctions tan(x), cot(x), sec(x) et csc(x)

Il est possible de trouver les formules d’intégration des fonctions tan(x), cot(x), sec(x) et csc(x) en utilisant la technique du changement de variable. Celles-ci s’ajoutent aux formules d’intégration des fonctions de base du théorème 2.1.

Théorème

3.2

Les formules d’intégration des fonctions trigonométriques

16)

∫ tan(x) dx = ln sec(x) + C

17)

∫ cot(x) dx = ln sin(x) + C

Calcul INTÉGRAL

3.1 L’intégration par changement de variable

93

18)

∫ sec(x) dx = ln sec(x) + tan(x) + C

19)

∫ csc(x) dx = ln csc(x) − cot(x) + C DÉMONSTRATION

Nous démontrons ici les formules 16 et 18.

Formule 16 :

∫ tan(x) dx = ∫

sin(x ) dx cos(x )

1

∫ cos(x) sin(-x)dx

=

 du  u

= -

u = cos(x ) du = - sin(x )dx

1

∫ u du

= - ln u + C = - ln cos(x ) + C = ln cos-1 ( x ) + C

= ln sec( x ) + C Formule 18 : Pour trouver cette intégrale, il faut utiliser une astuce.

∫ sec(x) dx sec(x ) + tan( x ) dx = ∫ sec(x ) ⋅ sec(x ) + tan( x )    1

=

∫

=

∫

2 sec (x ) + sec( x )tan( x ) dx sec( x ) + tan( x )

du   2

u ( sec (x) + sec(x)tan(x)) dx = du sec( x )+ tan( x)=   u

=

sec(x ) + tan( x )

( sec(x)tan(x) + sec (x)) dx 2

1

∫ u du

= ln u + C

= ln sec( x ) + tan( x ) + C

94

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

Calcul INTÉGRAL

La démonstration des formules 17 et 19 est similaire à celle des formules 16 et 18. Elle est demandée à l’exercice 5 (voir la page 100).

E x e m ple

3.10

Évaluez l’intégrale suivante.

(

2

) dx

2

xe x cot e x + 1

∫

5

Solution

Nous avons : 2

∫

(

2

) dx = 1

xe x cot e x + 1 5

5

∫ cot (e

)

x2

x2  1 du 2

+ 1 xe dx u

2

= u ex + 1 2

du = 2 xe x dx

1 1 cot(u) ⋅ du 5 2 1 = cot(u)du 10 1 = ln sin(u) + C 10 2 1 = ln sin e x + 1 + C 10 =

∫

3

∫

)

(

E x e m ple

3.11

Évaluez l’intégrale suivante.

∫ x csc ( x ) dx 2

Solution

Nous avons :

∫

( )

x csc x 2 dx =

∫ ( )

xdx csc x 2   u

=

1 du 2

u = x2 du = 2 xdx

1

∫ csc(u) ⋅ 2 du

1 csc(u) du 2 1 = ln csc(u) − cot(u) + C 2 1 = ln csc ( x 2 ) − cot ( x 2 ) + C 2 =

Calcul INTÉGRAL

∫

3.1 L’intégration par changement de variable

95

F I G UR E

3.1

E x e m ple

3.12

A

© Sanderson design/shutterstock 13234843

Méridien de Greenwich

Équateur

Une représentation de la latitude et de la longitude

B

Il est difficile de cartographier la Terre, car il s’agit d’une sphère qu’il faut représenter sur une carte plane. La projection de Mercator est l’une des représentations possibles. Il s’agit d’une projection sur un cylindre infini entourant la Terre (voir la figure 3.1).

Soit un point (x, y) sur une carte produite par la projection de Mercator, où x est la position horizontale par rapport au méridien de Greenwich et y est la position verticale par rapport à l’équateur. Nous voulons trouver un moyen de calculer une position (m, {) sur la Terre, où m est la longitude et { la latitude, à l’aide du point (x, y).

Les équations différentielles modélisant ce problème sont :

dx dy = 1 et cos(ϕ ) =1 dλ dϕ a) Trouvez x en fonction de m avec la condition initiale x = 0 lorsque m = 0. b) Déterminez y en fonction de m avec la condition initiale y = 0 lorsque { = 0.

© alfonso de tomas/shutterstock 42623101

c) Si la tour Eiffel se trouve à une latitude de 48,86° et à une longitude de 2,29°, calculez sa position (x, y) sur une projection de Mercator.

A S TU C E

Transformez les degrés en radians.

Une projection de Mercator de la Terre

d) Est-il possible de représenter les pôles Nord et Sud sur une projection de Mercator ? Pourquoi ?

Solution

a) Nous voulons résoudre l’équation différentielle suivante : LONGITUDE ET LATITUDE

La longitude est une coordonnée géographique, représentée par une valeur angulaire, qui exprime la position d’un point sur la Terre, à l’est ou à l’ouest du méridien de Greenwich.

La latitude est une coordonnée géographique, représentée par une valeur angulaire, qui exprime la position d’un point sur Terre, au nord ou au sud de l’équateur.

96

dx =1 dλ x = λ +C

En utilisant la condition initiale x = 0 lorsque y = 0, nous obtenons : x = λ +C 0 = 0+C C = 0 Ainsi, nous avons :

x = λ

b) Nous voulons résoudre l’équation différentielle suivante : dy cos(ϕ ) =1

dϕ dy 1 = dϕ cos(ϕ )

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

Calcul INTÉGRAL

dy = sec(ϕ ) dϕ

∫

y = sec(ϕ ) dϕ y = ln sec(ϕ ) + tan(ϕ ) + C

En utilisant la condition initiale y = 0 lorsque { = 0, nous obtenons : y = ln sec(ϕ ) + tan(ϕ ) + C 0 = ln sec(0) + tan(0) + C 0 = ln 1 + 0 + C C = 0

Ainsi, nous avons : y = ln sec(ϕ ) + tan(ϕ )

c) Nous savons que la position de la tour Eiffel est :

λ = 2,29o = 2,29o ⋅

π 180o

ϕ = 48,86o = 48,86o ⋅

3

= 0,04

π 180o

= 0,85

Ainsi, la position de la tour Eiffel sur une carte de Mercator est donnée par :

x = λ = 0,04 y = ln sec(ϕ ) + tan(ϕ ) = ln sec(0,85) + tan(0,85) = 0,98

d) Les pôles Nord et Sud se trouvent respectivement à une latitude de 90°

π π radl et à une latitude de -90° bou - radl. Ces valeurs ne font 2 2

bou

pas partie du domaine de la fonction :

y = ln sec(ϕ ) + tan(ϕ )

Il n’est donc pas possible de les représenter sur une projection de Mercator. Dans les faits, puisque :

lim ln sec(ϕ ) + tan(ϕ ) = ∞

π− ϕ→ 2

lim ln sec(ϕ ) + tan(ϕ ) = -∞ + -π2

ϕ→

il faudrait une carte infiniment haute pour représenter toute la surface terrestre à l’aide de la projection de Mercator.

Calcul INTÉGRAL

3.1 L’intégration par changement de variable

97

3.1.4

L’expression de x en fonction de u

Voyons maintenant une dernière technique que nous pourrons utiliser pour calculer une intégrale à l’aide du changement de variable.

Jusqu’à maintenant, les changements de variables permettaient d’éliminer la dépendance de l’intégrande par rapport à la variable de départ. Cependant, pour effectuer l’intégrale, il est parfois nécessaire d’exprimer la variable de départ x par rapport à la variable du changement de variable u.

E x e m ple

3.13

Effectuez l’intégrale suivante.

∫s

s − π ds

2

Solution

Nous avons :

∫s

2

s − π ds =

∫s

=

du

u

∫s

u= s − π du = ds

s − π ds 

2

2

udu

Nous ne pouvons pas effectuer l’intégrale précédente, car elle ne dépend pas uniquement de la variable u. Par contre, il est possible d’exprimer s 2 en fonction de u, car u = s - π, donc s = u + π, ce qui implique que s 2 = (u + π)2.

Ainsi :

∫s

2

udu =

=

∫ (u + π )

2

∫(

udu 1

)

u 2 + 2π u + π 2 u 2 du

=

∫

3 1  25  2 2 2  u + 2π u + π u  du  

=

∫

u 2 du + 2π

5

7

5

∫

3

u 2 du + π 2

∫

1

u 2 du

3

u2 u2 u2 = + 2π + π2 +C 1 5 3 2 2 2

=

98

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

7

5

3

2 4π 2π 2 (s − π ) 2 + (s − π ) 2 + (s − π ) 2 + C 7 5 3

Calcul INTÉGRAL

3.1 EXERCICES de la section

MISE EN FORME

1. Évaluez les intégrales suivantes. a) b)

∫ (2x + 1) dx 3

∫ (sin(π y ) + e ) dy 3y

∫

6 − tdt

d)

∫

3 dy y −3

e)

∫ 3v

c)

f) g)

∫ ∫ (s + 1)- ds , où n ∈  \ {1} n

∫ω

i)

∫

j) k) l) m)

∫ ∫

∫

∫

n)

∫

o)

∫

p)

∫

q) r) s)

Calcul INTÉGRAL

3v + 5dv

1 − ω 2 dω 2 x +3 x

dx

 3  5  r 2 − 4 rdr  

( ( ν )) dν

csc ln

ν 2x + x 2 − 1 dx x 2 + 25 3

8

(3Arc tan(w ) + 2)7 dw 1 + w2 z dz z2 + 4

2 8we-w dw

y

(

1 y +5

)

4

dy

∫ 4x ( 5 − x ) dx 4 ∫ 5u + 4 du 4

∫

5

5

∫ k e- dk ∫ ( 5e + 2 ) e dt k3

2

4

t

t

v)

∫

e 2r + cos(2r ) dr e 2r + sin(2r )

w)

∫

5 ln(s) ds s

y)

(s + 1)-3ds

h)

u)

x)

2

3

t)

z)

∫ 3θ sin ( 5θ ) dθ 4 ∫ 2 p − 3 dp 2

3

3

7

∫ 3 + 6t

2

dt

2. Trouvez les solutions générales des équations différentielles suivantes. dy = e3x − x a) dx 2 dy = xe x b) dx dz =t c) 1 + t 2 dt dx = (2z − 5)9 2 x + 1 d) dz dv = 0 e) sin(u)cos 2 (v ) + cos 2 (u) du y2 + 1 dy = f) dt ye t cos y 2 + 1

(

)

(

g)

)

d2z = 5cos(4t ) dt 2

3. Évaluez les intégrales suivantes. a)

∫x

b)

∫ω

c) d)

∫ ∫

5

3

4 + x 2 dx 1 − ω 2 dω 6x 3

1 + 3x 2

dx

u 4 + 5u 3 + 13u 2 + 22u + 39 du u2 + 4

 3  v cos  v 2 − 1 dv  

3.1 L’intégration par changement de variable

99

3

EXERCICES de la section 3.1

3v

e)

∫

f)

∫

g)

∫ sec (θ ) (1 + 2 tan(θ ) + tan (θ )) dθ

h)

∫

c) Sachant que le taux de variation de la quantité de sel par rapport au temps est donné par la soustraction de la quantité sortante de la quantité entrante par unité de temps, trouvez l’équation différentielle qui régit ce processus.

dv

6 − 4v 4 e 3t dt 1 + e 6t 2

2

8

d) Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle précédente.

1−x dx x +1

e) À quel moment y aura-t-il 30 kg de sel dissous dans la cuve ? f) Quelle quantité de sel y aura-t-il dans la cuve après un temps très long ?

A S TU C E

Multipliez par le conjugué du dénominateur.

4. Trouvez la solution particulière des équations différentielles suivantes. a)

1 dP = e 3 P cos(4t ), où P (0) = 3 dt

b)

dy 1 + 3x − 1 + x 1 , où y   = 0 = 2 y − sin(5 y ) dx 3

c)

dR = 3R + 4 , où R(0) = 8 ds

5. Démontrez les formules 17 et 19 du théorème 3.2.

6. Soit une fonction f (x ) ayant comme primitive

F (x ). Déterminez :

∫ f (ax + b) dx où a ∈  \ {0} et b ∈  .

Applications

7. Une cuve contient 100 L d’eau salée dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. À partir du temps t = 0, de l’eau salée contenant 0,5 kg de sel par litre est versée dans la cuve à un débit de 5 L/min ; la solution (qui est homogène) s’écoule au même débit. Soit x(t) la quantité de sel dans la cuve en fonction du temps. a) Déterminez la quantité de sel entrant dans la cuve au temps t par unité de temps. b) Déterminez la quantité de sel sortant de la cuve au temps t par unité de temps.

100

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

8. Un pétrolier qui navigue à une vitesse de croisière de 16,2 nœuds coupe les moteurs à son entrée au port. L’équation différentielle suivante modélise la vitesse du pétrolier avant qu’il ne s’arrête :

dv = -kv , dt où k > 0 est une constante qui dépend du pétro lier et de l’eau dans laquelle il navigue et m, sa masse.

m

Note : Le nœud est une unité de vitesse utilisée en navigation maritime et aérienne. Un nœud correspond à un mille marin par heure, soit exactement 1,852 km/h.

a) Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle. b) Nous considérons que le pétrolier est arrêté lorsque sa vitesse est égale ou inférieure à 1 % de la vitesse initiale. À quel moment le pétrolier est-il arrêté ? c) Nous savons que le taux de variation de la position (x) en fonction du temps correspond à la vitesse. Trouvez la position du pétrolier en fonction du temps en supposant que sa position initiale est 0. d) Quelle distance le pétrolier aura-t-il parcourue lorsqu’il s’arrêtera ?

9. Une parachutiste saute d’un avion. En se plaçant à la verticale, elle minimise la résistance de l’air.

Nous pouvons donc supposer que la résistance est proportionnelle à la vitesse de la parachutiste, c’est-à-dire que plus celle-ci tombe rapidement, plus la résistance de l’air devient grande.

L’équation différentielle qui régit son mouvement est donnée par : Calcul INTÉGRAL

3.1 EXERCICES de la section

dv k = g − v

dt m -2 où g = 9,81 m ․ s et k est une constante repré sentant l’effet de la résistance de l’air sur la para chutiste. a) Donnez la solution générale de l’équation différentielle. b) Trouvez la solution particulière de l’équation différentielle en supposant que la vitesse initiale de la parachutiste est de 0 m ․ s-1. c) Quelle serait la vitesse de la parachutiste après un temps très long ?

10. La réaction entre deux butadiènes (C 4H 6) produit un dimère selon la formule suivante : 2C4H6 " 2C8H12

Si nous avons, au temps t = 0 min, 2 moles de C4H6 et si x est la quantité de C8H12 au temps t, l’équation différentielle suivante régit ce processus :

dx = k(x − 1)2 dt

où k = 6,14 × 10-2 L ⋅ mol -1 ⋅ s -1. Déterminez la quantité de C8H12 en fonction du temps t.

11. La pression atmosphérique p mesurée à une altitude h au-dessus du niveau de la mer

correspond au poids de l’air dans un cylindre de section 1 cm2 qui s’étend de la hauteur h jusqu’à l’infini. En supposant que la densité de l’air est pro p ortionnelle à la pression, la pression p est régie par l’équation différentielle suivante : dp = -cp, où c > 0

dh Trouvez la formule qui donne la pression atmosphérique en fonction de l’altitude, sachant que p0 correspond à la pression mesurée au niveau de la mer.

12. La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux de variation de la température T d’un objet par rapport au temps t est proportionnel à la différence entre la température de l’objet et la température du milieu ambiant TA. a) Déterminez l’équation différentielle correspondant à cette loi. b) À sa sortie du four, la température d’une tarte aux pommes est de 222 °C. Cinq minutes plus tard, la température de la tarte est de 150 °C. Si la température de la pièce est de 22 °C, trouvez la température T en fonction du temps. c) Combien de temps devez-vous attendre si vous voulez manger cette tarte lorsque sa température est de 55 °C ?

L’intégration par parties

3.2

3.2.1

La technique d’intégration par parties est basée sur la différentielle d’un produit de fonctions. Ce résultat a été vu à la section 1.3 du chapitre 1.

Le principe de l’intégration par parties

Soit deux fonctions u(x) et v(x) différentiables ; alors, la différentielle de u(x)v(x) est : d(uv) = udv + vdu

Calcul INTÉGRAL

3.2 L’intégration par parties

101

3

En intégrant de chaque côté de l’égalité, nous obtenons :

Note : Ici, nous avons omis la constante d’intégration. Elle sera jumelée à celle de

∫

(uv ) ∫d= ∫udv + ∫vdu

vdu. vdu

∫

∫

uv = udv + vdu

∫udv = uv − ∫vdu À l’aide de l’équation précédente, nous pourrons remplacer l’intégrale de départ par une intégrale plus simple. Pour ce faire, il faut choisir le facteur de l’intégrande de départ qui sera u et celui qui sera dv.

E x e m ple

∫

Soit x cos(x )dx . Testez trois choix différents de u et de dv pour calculer

INTUITIVEMENT…

Le dx présent dans l’intégrande de départ devra toujours être associé au terme dv.

3.14

l’intégrale précédente.

Solution

a) Si nous posons u = x , alors dv = cos( x )dx, et nous obtenons : = u x= dv cos( x )dx = du dx = v sin(x )

En effet, puisque u = x, alors du = dx . Et puisque dv = cos( x )dx ,

alors v =

∫ dv = ∫ cos(x)dx = sin(x). Nous obtenons donc :

∫ udv = uv − ∫ vdu ∫ x cos(x)dx = x sin(x) − ∫ sin(x)dx = x sin(x ) + cos( x ) + C

Avec ce choix de u et de dv, nous parvenons à calculer l’intégrale.

b) Si nous posons u = cos( x ), alors dv = xdx , et nous obtenons :

= u

du = -sin(x)dx

Chapitre 3 – Les techniques d’intégration

v =

xdx x2 2

En effet, puisque u = cos( x ), a lors du = - sin(x )dx . Et puisque x2 dv = xdx, alors v = dv = xdx = . Nous obtenons donc : 2

∫

∫

∫ udv = uv − ∫ vdu

102

cos( = x) v

∫

x cos(x )dx =

x 2 cos(x ) + 2

∫

x 2 sin( x ) dx 2

Nous observons que l’intégrale obtenue semble plus complexe que celle de départ. Nos choix de u et de dv ne sont donc pas les bons dans ce cas.

Calcul INTÉGRAL