Correo del Maestro Núm. 171 - Agosto de 2010

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Ciudad y educación: la Ciudad Educadora

ISSN 1405-3616

Ana Pi i Murugó

La nada llena en la búsqueda de lo desconocido

Aprender de didactikids. Un impulso para volver a revisar la línea numérica abierta (vacía)

Aurora Gallardo Eduardo Basurto

SEGUNDA PARTE

Marja van den Heuvel-Panhuizen

Teoría del aprendizaje significativo de Ausubel

La flora americana. Las plantas americanas que alimentan el mundo

CUARTA PARTE

Carlos R. Rodríguez de Alba

QUINTA PARTE

Santos Arbiza

Aprendamos a ver cine VII Luis Ignacio de la Peña

Cómo contamos los días Arrigo Coen Anitúa (†)

9!BLF?E@:RUPUOV!

MÉXICO

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AGOSTO 2010

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AÑO 15

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NÚMERO 171



Año 15, Núm. 171, agosto 2010.

Directora Virginia Ferrari Subdirección María Jesús Arbiza Coordinación editorial Sara Giambruno Consejo editorial Valentina Cantón Arjona María Esther Aguirre Mario Aguirre Beltrán Santos Arbiza Gerardo Cirianni Julieta Fierro Adolfo Hernández Muñoz (†) Roberto Markarian Ramón Mier María Teresa Yurén Josefina Tomé Méndez María de Lourdes Santiago Colaboradores Alejandra Alvarado Citlalli Álvarez Stella Araújo Nora Brie Verónica Bunge María Isabel Carles Leticia Chávez Luci Cruz Consuelo Doddoli Alejandra González Norma Oviedo Jacqueline Rocha Pilar Rodríguez Concepción Ruiz Ana María Sánchez Editor responsable Nelson Uribe de Barros Administración y finanzas Ana Lilia Estrella Producción editorial Nora Brie Diseño gráfico y formación digital Sandra Lilia Díaz Hurtado

CORREO del MAESTRO es una publicación mensual, independiente, cuya finalidad fundamental es abrir un espacio de difusión e intercambio de experiencias docentes y propuestas educativas entre los maestros de educación básica. Asimismo, CORREO del MAESTRO tiene el propósito de ofrecer lecturas y materiales que puedan servir de apoyo a su formación y a su labor diaria en el aula. Los autores Los autores de CORREO del MAESTRO son los profesores de educación preescolar, primaria y secundaria, interesados en compartir su experiencia docente y sus propuestas educativas con sus colegas. También se publican textos de profesionales e investigadores cuyo campo de trabajo se relacione directamente con la formación y actualización de los maestros, en las diversas áreas del contenido programático. Los temas Los temas que se abordan son tan diversos como los múltiples aspectos que abarca la práctica docente en los tres niveles de educación básica. Los cuentos y poemas que se presenten deben estar relacionados con una actividad de clase. Los textos • Los textos deben ser inéditos (no se aceptan traducciones). No deben exceder las 12 cuartillas. • El autor es el único responsable del contenido de su trabajo. • El Consejo Editorial dictamina los artículos que se publican. • Los originales de los trabajos no publicados se devuelven, únicamente, a solicitud escrita del autor. • En lo posible, los textos deben presentarse, preferentemente, en formato digital. • Deben tener título y los datos generales del autor: nombre, dirección, teléfono, centro de adscripción. • En caso de que los trabajos vayan acompañados de fotografías, gráficas o ilustraciones, el autor debe indicar el lugar del texto en el que irán ubicadas e incluir la referencia correspondiente. • Las citas textuales deben acompañarse de la nota bibliográfica. • Se autoriza la reproducción de los artículos siempre que se haga con fines no lucrativos, se mencione la fuente y se solicite permiso por escrito. Derechos de autor Los autores de los artículos publicados reciben un pago por derecho de autor el cual se acuerda en cada caso.

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editorial

a

urora Gallardo y Eduardo Basurto presentan en esta ocasión “La nada llena

en la búsqueda de lo desconocido”, en el que se trata de la representación del cero en la notación matemática de la antigua China. Ésa es la nada del título: un espacio vacío lleno de contenido posicional. Vamos ya en la quinta parte de “La flora americana. Las plantas americanas que alimentan el mundo”, de Santos Arbiza Aguirre. Dedicado a las frutas, el artículo recorre desde la papaya hasta las anonas, pasando por las fresas, los arándanos y los tejocotes. El espacio estelar se lo lleva la papaya, porque además de ser un fruto abundante en regiones tropicales, es de fácil cultivo y recolección, tiene rico sabor y, por si fuera poco, contiene una proteína, la papaína, que facilita la digestión. En “Ciudad y educación: la Ciudad Educadora”, Ana Pi i Murugó explica cómo las nuevas realidades sociales representadas en la ciudad llevan a experiencias que promueven la interculturalidad, las relaciones entre generaciones y la adaptación de los servicios municipales a los nuevos usos del tiempo. Esto ha propiciado también la creación de la Asociación Internacional de Ciudades Educadoras, cuyo último congreso se llevó a cabo, precisamente, en Guadalajara, México. Correo del Maestro está interesado en hacer llegar a los maestros la mayor cantidad de información posible acerca de la Educación Matemática Realista. Así, en la segunda parte de “Aprender de didactikids. Un impulso para volver a revisar la línea numérica abierta (vacía)”, de Marja Van den Heuvel-Panhuizen, la autora defiende la importancia de descubrir este tipo de niños, que visualizan perfectamente las estrategias didácticas de sus maestros, para no caer en presentarle una matemática acabada, prescriptiva, que no les dé oportunidad de desarrollar conceptos y métodos por ellos mismos. El aprendizaje de la lengua materna y su relación con la enseñanza de las lenguas extranjeras son el tema central de la exposición de Carlos R. Rodríguez de Alba “Teoría del aprendizaje significativo de Ausbel. Cuarta parte”. El autor transmite las opiniones de Ausubel respecto al linguafonismo y la enseñanza gramatical. Luis de la Peña, en “Aprendamos a ver cine VII. Mientras el mundo se desmorona”, describe el importante trabajo del genial Buster Keaton. Muchos lo recordamos sólo como el cómico que no se ríe, pero sus aportes a la cinematografía van mucho más allá de lo anecdótico. Por último, para cerrar también con actividades matemáticas, el maestro Arrigo Coen expone, en “Cómo contamos los días”, los diversos sistemas de división del tiempo así como los orígenes de palabras como calendario y mes. Correo del Maestro

Dibujo de portada: Natalia Gómez Velázquez, 5 años.


índice entre NOSOTROS

antes DEL AULA

La nada llena en la búsqueda de lo desconocido Aurora Gallardo y Eduardo Basurto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

La flora americana LAS PLANTAS AMERICANAS QUE ALIMENTAN EL MUNDO QUINTA PARTE

Santos Arbiza Aguirre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ciudad y educación: la Ciudad Educadora Ana Pi i Murugó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

certidumbres E INCERTIDUMBRES

Aprender de didactikids. Un impulso para volver a revisar la línea numérica abierta (vacía) SEGUNDA PARTE

Marja van den Heuvel-Panhuizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Teoría del aprendizaje significativo de Ausubel CUARTA PARTE

Carlos R. Rodríguez de Alba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

artistas Y ARTESANOS

sentidos Y SIGNIFICADOS

problemas SIN NÚMERO

abriendo LIBROS

CORREO del MAESTRO

núm. 171 agosto 2010

Aprendamos a ver cine VII MIENTRAS EL MUNDO SE DESMORONA

Luis Ignacio de la Peña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Cómo contamos los días Arrigo Coen Anitúa (†) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Un lugar para cada uno Claudia Hernández García . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Para atreverse a escribir Rosalía Guerrero Arenas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


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entre NOSOTROS

La nada llena en LA BÚSQUEDA DE LO DESCONOCIDO Aurora Gallardo

Eduardo Basurto

“De las cosas grandes que entre nosotros se encuentran, el ser de la nada es grandísimo” LEONARDO, CÓDICE ATLÁNTICO, FOLIO 389, VERSO D. HISTORIA DE LA NADA. SERGIO GIVONE.

www.cultural-china.com

Si recurrimos a la historia de las matemáticas de Occidente encontramos que el cero emerge atado a “la nada” y se concibe fundamentalmente en la construcción de los sistemas de numeración posicional. Pero… existe otra historia, la de Oriente, específicamente la historia de las matemáticas de la antigua China, donde el cero surge en un ámbito algebraico en el que “lo desconocido” no necesita símbolo alguno.

Varillas de metal descubiertas en Xi’an, provincia de Shaanxi.

e

l cero ocupa un hueco en el espacio de representación, un tablero de cálculo y “lo desconocido”, la incógnita de hoy, está definido por su posición espacial en este tablero y no requiere nombrarse. Ésta es la historia que contaremos. Analizaremos cómo el uso del Método Fang Cheng permite resolver problemas de enunciado verbal correspondientes a situaciones reales que pueden modelarse mediante sistemas de ecuaciones lineales. Lo más sorprendente es que una cierta “negatividad” surge de forma necesaria e inaplazable para poder crear “un vacío lleno” en el espacio de representación inventado para resolver los problemas planteados. Ello no debería extrañarnos pues “la nada lingüística” se expresa a través del proceso de

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Entre NOSOTROS

negación de la cosa: “no tengo nada”. De hecho, en inglés nada se dice “nothing” que significa literalmente “no cosa”.1

Las matemáticas de la antigua China

El desarrollo de los conceptos matemáticos en las distintas civilizaciones antiguas forma parte de los fundamentos de las matemáticas actuales. Como bien sabemos, culturas como la babilónica, la egipcia y la griega lograron adelantos significativos en diversas áreas científicas. Otras culturas como la China también produjeron cúmulos de conocimiento en diversas disciplinas; no obstante, sus hallazgos matemáticos no fueron ampliamente difundidos ni reconocidos sino hasta siglos posteriores. Sobre las matemáticas que utilizaban los chinos, destaca, por ejemplo, la realización de cálculos algorítmicos con cantidades opuestas positivas y negativas en épocas en las que dichas cantidades aún estaban muy lejos de ser aceptadas y no sólo eso, sino que podían involucrarlas en métodos numéricos de solución de problemas modelados por lo que posteriormente serían reconocidos como sistemas de ecuaciones lineales en las matemáticas de Occidente (siglo XIX). Desde épocas tan remotas como el año 400 a.C., los chinos realizaban sus cálculos aritméticos utilizando pequeñas varillas. Colocaban estos numerales concretos (números barra) sobre una superficie plana (tablero de cálculo) llegando así a la creación de numerales posicionales decimales que mostraron desde un principio su gran potencialidad. Por consiguiente, el concepto de número expresado en palabras se transcribió a una notación posicional sobre un tablero de cálculo. Este hecho desempeñó un papel muy importante en el paso de un nivel de pensamiento verbal a un nivel generalizado y abstracto, pavimentando así el camino para el uso de símbolos. Los nueve dígitos de la notación de los números barra eran de dos tipos, dependiendo de la posición, como se muestra en el diagrama siguiente: POSICIÓN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

UNIDADES CIENTOS DIEZ MILES

DIECES MILES

1

6

Ver: Arrigo Coen Anitúa, “Aquí se trata de… ¡nada!”, Correo del Maestro, núm.145, año 13, junio de 2008, pp. 59-60.

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La nada llena en LA BÚSQUEDA DE LO DESCONOCIDO

Por ejemplo, el número 94 571 se representaba como: El número 608 como donde el espacio vacío entre los signos representa el cero y es consistente con el sistema de valor posicional. Así también, los chinos utilizaron varillas de color rojo para representar los positivos y varillas de color negro para los negativos. Una forma alternativa de indicar los negativos fue colocar sobre los números barra una varilla en forma diagonal. Así -806 se expresaba como:

o bien

y +806

.

Los numerales concretos chinos que nosotros definimos como “números barra” pertenecen a la categoría de la “negatividad”, término acuñado por Lizcano,2 quien hace referencia a los antecedentes históricos de los números negativos aclarando que éstos no pueden considerarse aún como enteros. Los números enteros no entran formalmente en las estructuras algebraicas sino hasta la segunda mitad del siglo XIX, después de haber sido superadas diversas controversias sobre su fundamentación. En las matemáticas chinas, la invención de un sistema posicional decimal, análogo al nuestro, permitió una escritura compacta de los números barra que pudieron colocarse sobre un tablero de cálculo de pequeñas dimensiones. Este espacio de representación manipulable contribuyó a la extensión de la operatividad aritmética a otras áreas del conocimiento. Se sabe que la evolución de los conceptos geométricos estuvo relacionada con la asociación de números a mediciones, particularmente longitudes y áreas. Esta asimilación gradual resultó en reglas geométricas como las que conectan los lados de un triángulo rectángulo o aquellas que relacionan las áreas de un rectángulo a un cuadrado, cuando se dividen en partes más pequeñas. Este tipo de consideraciones dio origen al álgebra geométrica común a griegos y babilonios. Pero los chinos fueron más allá al aritmetizar estos conceptos de álgebra geométrica sobre el tablero de cálculo donde las posiciones desempeñaban un papel crucial. El libro de los nueve capítulos del arte de las matemáticas, Fiu Zhang Suanshu,3 es uno de los primeros textos de la China antigua. El contenido de esta obra es una compilación del conocimiento matemático de la época donde los capítulos que componen el texto tratan de diversos temas destinados a agrimensores, ingenieros, astrónomos, recaudadores de impuestos, etcétera. Examinaremos el capítulo ocho, titulado “Fang Cheng”, para destacar aspectos relacionados con la negatividad y su vinculación con el cero en el contexto 2

3

Lizcano, E., Imaginario colectivo y creación matemática, Gedisa - Universidad Autónoma de Madrid, Madrid, 1993. Lay-Yong, L. y Se, , “The earliest negative numbers: how they emerged from a solution of simultaneous linear equations”, en Archives Internacionales d’Histoire des Sciences, núm. 37, 1987, pp. 222–269.

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de resolución de problemas. Dos contribuciones importantes y exclusivas del capítulo ocho son las reglas Zheng Fu Wu (correspondientes a cantidades positivas, negativas y nulas) y el Método Fang Cheng o cálculo por tabulación para la resolución de problemas de enunciado verbal que, desde nuestra perspectiva actual, pueden modelarse mediante sistemas de ecuaciones lineales. Las reglas Zheng Fu Wu definen la operatividad de los números barra. En lenguaje actual adquieren la siguiente forma: • Regla de la sustracción: “Cuando dos números barra son ambos positivos o ambos negativos, efectuar la resta. Cuando los números son uno positivo y otro negativo, efectuar la suma”. “Un número positivo sustraído de cero se hace negativo y un número negativo sustraído de cero se hace positivo”. • Regla de la adición: “Cuando uno de los números es positivo y el otro negativo, efectuar la sustracción; cuando ambos son positivos o ambos son negativos, efectuar la suma”. Estas reglas contienen lo que hemos denominado “la nada llena”, esto es, nuestro número cero actual fue identificado por los chinos como compuesto por la suma de una infinidad de cantidades opuestas. En esta “nada llena” tienen cabida todas las igualdades que se nos puedan ocurrir, como las siguientes 0 = (+1) + (-1) = (+2) + (-2) = (+3) + (-3)… Esta operatividad de los números barra, donde el cero muestra un carácter dual, vacío de representación en el tablero de cálculo y a la vez formado por cantidades opuestas que permiten operarlo, contribuyó al origen del Método Fang Cheng. A continuación se muestra un ejemplo de cómo los chinos utilizaban este método para resolver problemas sobre la cotidianidad de la época:

“Al vender dos vacas y cinco cabras para comprar trece cerdos hay un sobrante de 1000. El dinero obtenido de la venta de tres vacas y tres cerdos alcanza exactamente para comprar nueve cabras. Al vender seis cabras y ocho cerdos para comprar cinco vacas, hay un déficit de 600. ¿Cuál es el precio de una vaca, una cabra y un cerdo?”

Este problema es un ejemplo típico tomado de El libro de los nueve capítulos del arte de las matemáticas, mencionado antes. Comenzaremos utilizando la simbolización algebraica actual para representar el problema. Considerando x como el precio de una vaca, y el precio de una cabra y z el precio de un cerdo, en los recuadros de la derecha se anotan las expresiones algebraicas para cada una de las siguientes partes del enunciado del problema. 8

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La nada llena en LA BÚSQUEDA DE LO DESCONOCIDO

Al vender dos vacas y cinco cabras para comprar trece cerdos hay un sobrante de 1000.

(2x + 5y) – 13z = 1000

El dinero obtenido de la venta de tres vacas y tres cerdos alcanza exactamente para comprar nueve cabras.

3x + 3z = 9y

Al vender seis cabras y ocho cerdos para comprar cinco vacas, hay un déficit de 600.

(6y + 8z) – 5x = – 600

Ordenando las expresiones anteriores obtenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 2x + 5y – 13z = 1000 ...Ecuación 1 3x – 9y + 3z = 0 …Ecuación 2 –5x + 6y + 8z = – 600 …Ecuación 3

Los chinos utilizaban su tablero de cálculo para resolver este problema de compra y venta: Para explicar lo anterior haremos dos “tableros”. En ambos, en la columna 1 (C1) colocaremos los coeficientes de la ecuación 3, en la columna 2 (C2), los de la ecuación 2 y en la columna 3 (C3), los de la ecuación 1. A continuación, trabajaremos en el tablero del lado izquierdo con los números que utilizamos comúnmente y en el derecho con los números barra de los chinos.

C1 -5 6 8 -600

C2 3 -9 3 0

C3 2 5 -13 1000

C1

C2

C3

Obsérvese que las cantidades desconocidas no se representan, son inconfundibles dada su ubicación espacial. Los chinos tampoco poseían un símbolo para el cero, dejaban un hueco en el tablero. Una vez que se establecía el arreglo numérico en el tablero de cálculo, los chinos iniciaban el método, sumando, restando entre sí las columnas o bien

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multiplicándolas o dividiéndolas por otros números a fin de conseguir una diagonal de unos, tal como se muestra a fin de encontrar los valores de las incógnitas del sistema:

C1 0 0 1 a

C2 0 1 0 b

C3 1 0 0 c

Por ejemplo, una manera de proceder sería: multiplicar C3 por 5 y sumarla a C1 multiplicado por 2 para obtener el primer lugar con cero, la única columna que se modifica es C1, ya que si se escribieran todos los cambios el método sería muy tardado, y si se hiciera explícito el producto de C3 por 5 se podría regresar a su estado original dividiéndola entre 5.

C3(5) + C1(2) C1 0 37 -49 3800

C2 3 -9 3 0

C1

C1

C2

C3

C3 2 5 -13 1000

El siguiente paso para obtener el segundo espacio con cero sería:

C3(-3) + C2(2)

C2

C1

C2

C3

C1 C2 C3 0 0 2 37 -33 5 -49 45 -13 3800 -3000 1000

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C2(÷3)

C2

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1 C2 C3 0 0 2 37 -11 5 -49 15 -13 3800 -1000 1000

C2(37) + C1(11)

C1

C1 C2 C3 0 0 2 0 -11 5 -16 15 -13 4800 -1000 1000

C1(÷16)

C1 0 0 1 300

C2 C3 0 2 -11 5 15 -13 -1000 1000

C1(-15) + C2

C1 0 0 1 300

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C2

C1

C2

C3

C2 C3 0 2 -11 5 0 -13 -55000 1000

C2(÷ –11)

C1 0 0 1 300

C1

C2

C1

C2

C3

C2 C3 0 2 1 5 0 -13 5000 1000

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Entre NOSOTROS

C1(13) + C3

C1 0 0 1 300

C2 0 1 0 500

C2(–5) + C3

C1 0 0 1 300

C2 0 1 0 500

C3(÷2)

C1 0 0 1 300

C2 0 1 0 500

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C3 2 5 0 4900

C3

C3 2 0 0 2400

C3

C3 1 0 0 1200

Al terminar el proceso del Método Fang Cheng, se puede observar la diagonal de unos que se forma en el tablero de cálculo, como se muestra en la última imagen. Podemos afirmar entonces que una vaca cuesta 300, una cabra 500 y un cerdo 1200. De este modo, el sistema del problema planteado, en el tablero de cálculo (actual arreglo matricial) se transformaba a fin de que todos los números a la derecha de la diagonal principal fueran cero (sólo operaban las columnas). Esta matriz transformada corresponde a un conjunto diagonalizado de ecuaciones, del cual todas las incógnitas se determinan sucesivamente. Cuando este método se aplicaba a diversos problemas, era inevitable que desembocara en el concepto de una nueva clase de números, distintos de los conocidos. Así, los negativos emergen de este lenguaje de cálculo, libres de los significados concretos que tenían en el contexto de los problemas verbales.

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La nada llena en LA BÚSQUEDA DE LO DESCONOCIDO

Para fines de cómputo, los números descritos con los términos precio de venta, precio de compra, excedente, déficit, se transcribían a una forma concreta: los números barra. Así, los conceptos de positivo y negativo que inicialmente evolucionaron de entidades opuestas, como ganancia y pérdida, vender y comprar, en este tablero de cálculo, se desprenden de dichas asociaciones lingüísticas y devienen en un conjunto numérico, cuyas propiedades se conectan con las de otro grupo familiar, el de los números positivos. Es importante mencionar la analogía entre los arreglos tabulares antiguos y lo que actualmente llamaríamos una sucesión de sistemas de ecuaciones equivalentes:

Sistema inicial

Sistema final

www.wikipedia.org

2x + 5y – 13z = 1000 …Ecuación 1 3x – 9y + 3z = 0 …Ecuación 2 – 5x + 6y + 8z = – 600 …Ecuación 3

0x + 0y + z = 300 0x + y + 0z = 500 x + 0y + 0z = 1200

Algo sorprendente sobre el Método Fang Cheng es la gran similitud con el Método de eliminación gaussiana, desarrollado por Gauss (1777-1855), matemático, astrónomo y físico alemán. La diferencia entre el Método Fang Cheng y el de Gauss sólo reside en la forma en que arriba a la diagonal de unos, ya que los términos independientes del sistema están a la derecha y no abajo del arreglo numérico como lo hacían los chinos. En el método de Gauss tampoco es necesario nombrar lo desconocido. Johann Carl Friedrich Gauss.

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Entre NOSOTROS

¿Por qué hemos querido contar esta historia a los maestros?

Nosotros mismos, como profesores, hemos advertido que el Método Fang Cheng libera al estudiante del manejo sintáctico de las incógnitas y le permite enfocarse en el contexto del problema y no perderlo de vista como ocurre cuando trabaja conjuntamente con literales y números. Este método general puede acercar a estudiantes muy jóvenes a la solución de sistemas de ecuaciones que contengan incluso más incógnitas de las que comúnmente se abarcan en la enseñanza media. Hemos querido compartir con los maestros nuestras reflexiones acerca de este hallazgo histórico muy antiguo donde la existencia de un sistema de numeración posicional, la dualidad del cero como “nada vacía” y “nada llena” vinculada a los números positivos y negativos, surgen atados a un método de naturaleza algebraica. Los hechos anteriores muestran que los enteros no emergen históricamente en el ámbito aritmético. Este hallazgo debe tenerse presente para la elaboración de los currículos escolares. Además, el Método Fang Cheng fortalece la noción de equivalencia de la igualdad que distingue al ámbito aritmético del algebraico, conduciendo a la construcción de ecuaciones y sistemas de ecuaciones para la resolución de problemas de enunciado verbal.

Bibliografía COEN Anitúa, A.,

“Aquí se trata de… ¡nada!”, Correo del maestro, núm. 145, año 13, junio de 2008, pp. 59-60, México. GALLARDO, A. y E. Basurto, “La negatividad matemática: antesala histórica de los números enteros”, aceptado para su publicación en la Revista de Latinoamericana de Investigación en Educación Matemática (RELIME), 2001. GIVONE, S., Historia de la nada, Adriana Hidalgo Editora, Buenos Aires, 1995. HERNÁNDEZ y Gallardo, “La numerología y el álgebra chinas en la enseñanza actual de las ecuacio-

14

nes lineales”, en Investigación en educación matemática IX, Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM), Tenerife, 2007, pp. 181-188. LAY-YONG,

L. y Se, “The earliest negative numbers: how they emerged from a solution of simultaneous linear equations”, en Archives Internacionales d’Histoire des Sciences, núm. 37, 1987, pp. 222–269.

LIZCANO,

E., Imaginario colectivo y creación matemática, Gedisa - Universidad Autónoma de Madrid, Madrid, 1993.

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antes DEL AULA

La flora americana LAS PLANTAS AMERICANAS QUE ALIMENTAN EL MUNDO Quinta parte Santos Arbiza Aguirre

Miles de años de aislamiento llevaron a una evolución divergente de las especies en los diferentes continentes. En el Nuevo Mundo, que conquistaron y sometieron, los europeos encontraron muchas plantas cultivadas por los indígenas, así como sofisticados sistemas productivos adaptados al medio en que se desarrollaban.

Papaya (Carica papaya) n certeza, pero stible, no se conoce co me co to fru oso lici de , de la zona nahua, era El origen de esta planta o y Centroamérica. En an xic me e est sur l de ose estima en la región za”, y su fruto se relaci significa “zapote nodri e qu , otl zap alt ihu ich conocida como ch aba extendinaba con la fertilidad. europeos su cultivo est los de a ad lleg la a e Existen registros de qu a Filipinas, y de ahí s españoles la llevaron Lo r. Su l de ca éri Am do hasta el norte de endió a las Bahamas y e India. También se ext o, lay ma go iéla hip arc a Malaca, en el

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Antes DEL AULA

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Árbol, flor, semilla y fruto

1620, se enviaron las Bermudas. Hacia Nápoles, llegando se semillas desde India a consumo en ese así a Europa, aunque su as ltad del transporcontinente, por la dificu desarrollo hasta el te, no tuvo un gran te o familiar en casi si siglo XX. Hoy es un cultiv tod to o el mundo tropical. como papaya, En México se conoce habla hispana se p ro en otros lugares de pe bomba. l llama lechosa o fruta le familia de las Es una herbácea de la frágil, muy esponCaricáceas, de tronco rte central, de la j o y hueco en su pa jos variedades, cuyos que se cultivan diversas pliamente por su frutos se consumen am por sus excelentes sabor, pero en especial ud digestiva. propiedades para la sal

de papaya.

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Fruto de la papaya.

16

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La flora AMERICANA

www.wikipedia.org

De acuerdo con la var iedad, tienen altura diversa. Alg unas alcanzan aproximadamente 1.7 metros, mientras que otras pueden lleg ar a los ocho o nueve metros. En la actualidad, las variedades enanas son las más populares por las facilidades para su manejo agrícola. Los arbustos no son ram ificados y las hojas, palmeadas, sal en muy juntas entre sí de la parte superi or del tronco. Las flores se dan en rac imos colgantes, donde se producen los frutos, que son bayas grandes, carnosas y globulosas, gratas al paladar. Su tam año depende de la variedad, igual qu e su color, que puede ser amarillo, an aranjado, rosa Flor de la papaya. fuerte, verde pálido e inc luso blanquecino. Adentro son hueco s y tienen gran cantid ad de semillas redonde semejantes a los grano adas, oscuras, s de pimienta y de sabor algo picante. Las papayas dulces se consumen principalmen te frescas. A veces, co elaboran jugos y helad n la pulpa, se os. La papaya verde (in ma du ra) no se ing iere cruda por su alto contenido en látex; en México casi no se come de esta forma ni siquie común en la comida vie ra cocida, pero es tnamita. Esta fruta es un excele nte digestivo, pues fav orece la digestión de las bido a su contenido de proteínas deuna enzima denominada pa pa ína . Tam bié n está muy recomendada para aquellas perso nas que tienen dificulta de s en dig eri r las grasas. El jugo es capaz de ab landar las carnes e inclus o de disolver los trombos de (que forman los coágulo fibrina s sanguíneos). El ablanda do r de car ne comercial está elabo con base en papaína. rado La quimopapaína se ha empleado en el tratam iento de ciáticas inyect mente en los espacios ada directaentre los discos de las vértebras, ya que hidrol que causan el dolor. iza las sustancias En Australia se está cu ltivando para obtenció n de nitratos, que se sus hojas. acumulan en

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na Fresa silvestre america iloensis) (Fragaria virginiana, F. ch

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herbáceas, la Las fresas son rosáceas nes, que promayoría rastreras y peren a año. En alducen brotes nuevos cad hispana se les gunos países de habla genérico prollama frutillas. El nombre e en español viene del latin fraga, qu ser sus frutos pasó a fragancia, por muy dulces y aromáticos. llamados– Se consumen sus –mal de color rojo frutos, por lo general son infrubrillante. Botánicamente de un receptescencias, que constan ne adheridos táculo carnoso que tie los vereños aquenios oscuros, qu pe re. est silv Fresa daderos frutos. egos y posteriorn consumidas por los gri era res est silv sas fre de s Variedades europea el siglo XIV apareció el en gran estima. Desde tos fru sus ían ten e qu mente los romanos, ensivo. didas fueron, cultivo organizado e int l género; las más exten de es eci esp ias var bo En América también hu idos y Canadá– la que hoy es Estados Un lo de co cífi Pa l de sta o en el noroeste –en co , la F. chiloensis, much so y dulce y, más al sur en int or sab su r po le la F. virginiana, notab especie llevándola hasta dispersaron esta última ias tor gra mi s ave Las s actualmente, más grande. La fresa que consumimo o. tin en arg ste oe el y ile a cruza hecha en zona del Pacífico de Ch ananá–, proviene de un esa –fr a piñ sa fre o también llamada fresón iloensis, y ha reemplaentre F. virginiana y F. ch te, en lm nta ide acc , III XV s años se Europa en el siglo vesca). Desde hace poco (F. ea rop eu e vaj sal sa te a la fre El mejoramiento zado casi completamen e dominan el mercado. qu os, rid híb de ad tid can han desarrollado gran istencia al transporte y yor tamaño, mayor res ma un cia ha dio ina ; por genético se ha encam ad del sabor y perfume , y no hacia la intensid era ed rec pe s no me que la fruta sea estres. os prefieren las fresas silv tidad de azúcaeso, muchos gastrónom aporta una discreta can sa fre la , tal en trim nu Desde el punto de vista –, fibra y minerales mico, oxálico y salicílico fór , lico má o, tric –cí s do res, lecitina, pectina, áci

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como hierro, sodio, fós foro, magnesio, potasio, azufre, calcio, silicio, yo vitaminas C y B. do, bromo y Tiene reconocidas propie dades diuréticas y el té elaborado con sus hojas ayuda a prevenir la acu y raíces mulación de ácido úrico y la art riti s. El jug o de fresas evita la proliferación de gérmen es, por lo que se usa ap licado en la piel en pequ o como mascarilla para eñas lesiones aliviar brotes de acné. Con las hojas se prepa astringente que ayuda ra una infusión en casos de diarrea, y tam bié n se usa pa ra eliminar el exceso de grasa en la piel. La alergia a la fresa, igu al que otras alergias, es una hipersensibilidad a que tiene esta fruta. Cu una sustancia ando el sistema inmun e detecta una proteína fresa, se producen un qu e contiene la a serie de síntomas co mo hin ch azó n y ardor en los labios, en la garganta, urticaria e incluso, en casos raros, un estrechamiento de quiales que puede provo los tubos broncar asfixia. Muchas perso nas pueden tener una de vocada por el simple co rmatitis prontacto con la fruta. Se han encontrado dif erentes proteínas en dis tintas variedades de fre visto que las blancas o sas, y se ha amarillas no desencaden an alergias. Por esto, en div versidades y centros de ersas uniinvestigación se busca dar a estas variedades, ingeniería genética, el po r medio de la intenso sabor de las de frutas rojas.

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Corte transversal de una

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fresa.

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Arándano (Vaccinium spp.) anos varias plantas Se conocen como aránd En algunas regiodel género Vaccinium. se les llama moras nes de habla hispana, nombres en inglés: azules e incluso por sus . La mayor parte blueberries o cranberries nsumen bajo estos de los frutos que se co de Norteamérica; nombres son originarios algunas variedades sin embargo, existen mo V. myrtillus). asiáticas y europeas (co os, aunque exisSon en su mayoría arbust rastreras. Junto ten algunas variedades uesas y varias plancon las fresas, las framb Rubus spp., intetas rastreras del género los “frutos rojos” Arándanos. gran el popular grupo de ro de plantas silvestres, pe teriormente obtenidos an s–, rrie be mo co os os –en inglés conocid ecies americanas tenem cultivadas. Entre las esp de s, má día a cad hí, os ad ch en la actualid ente se han obtenido mu corymbosum. Actualm V. le, rea bo V. , um po oli V. angustif de forma im rtante climáticas y se cultivan s ne icio nd co s nte ere bridos adaptados a dif Zelandia. rica, Australia y Nueva mé da Su en r: Su rio sfe o varía con la también en el Hemi eñas bayas cuyo tamañ qu pe as un to, fru el me , cuando está De esta planta se consu milímetros y cuyo color 15 y 5 los tre en ilan osc azul muy oscuro o especie y variedad, pero ser morado profundo, e ed pu e, eci esp la n maduro, de acuerdo co platillo narojo oscuro. idos, considerados un Un os ad Est en es lar pu y po d deriva de la Los arándanos son mu ales. Quizá su popularida ion dic tra s de ida tiv fes en cional, que se consume perados y muertos de izadores blancos, deses lon co de po gru un e leyenda que señala qu guajolotes y con estos ígenas de la región con ind los r po s do uia seq ró la conhambre, fueron ob . De este hecho se gene ura seg e ert mu a un de dolos así importantes de frutos silvestres, salván de las festividades más a un as, aci Gr de n ció Ac . Hoy se consume memoración del Día de son alimentos infaltables os an nd ará los y vo pa os ese país y en la cual el amplio comercio y buen cultivo rentable con un un es y s, íse pa os ch y produce en mu ativamente reciente. cultivo comercial es rel precios de mercado. El

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Los arándanos se come n crudos o procesados. Son muy populares las la jalea, la mermelada y pasas, el jugo, el puré. En los últimos añ os se ha pu est o de moda su consumo por sus propiedades an tioxidantes. Aportan a la dieta mine rales como manganeso , vitaminas C, K y B , y te de azúcares, y por lo fibra. Su apor6 tanto calórico, es bajo. Además, contienen tam flavonoides llamados an bié n pigmentos tocianina y pterostilben e, que actúan como an tioxidantes. Asimismo, proporcionan una sustancia que impid e que la bacteria Esche se adhiera a las células richia coli epiteliales del tracto uri nario previniendo así inf si bien esta bacteria es ecc iones, pues necesaria para algunos procesos digestivos, alg producen diarrea e infecc unas mutaciones iones urinarias como la cistitis. Sumado a esto, de los arándanos acidifi el ácido quínico ca la orina, previniendo inf ecciones urinarias y dis probabilidad de formació minuyendo la n de cálculos. En 2007, se reportó qu e se ha observado qu e el consumo de aránd aliviar el deterioro cogn anos puede itivo relacionado a enfer me da d de Alh zei mer y un estudio publicado en el Journal of Agricultural and food Chemistry señala que arándanos a la dieta for añadir jugo de talece la memoria de los ancianos, reduce el azú y los síntomas de depre car en la sangre sión.

Arándanos maduros rec

ién cortados.

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wikipedia.o w.

Tejocote o C. mexicana) (Crataegus pubescens

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ra anillo o chisté. La palab También se llama manz y náhuatl, tetl: ‘piedra’ tejocote proviene del do de piedra), y el t ‘fruto ácido’ (fruto áci xocotl: taegus, del griego, nombre del género, Cra debido a la duderivado de “fuerza”, reza de su madera. puede ser Al igual que el capulín, árbol pequeño, un arbusto grande o un m de altura; con un porte de 4 a 10 de las rosáceas, pertenece a la familia presenta espinas. perennifolio y a menudo es p a Tejocotes. parecido a una pequeñ Tiene un fruto globoso, able sabor. , aromático y de agrad manzana amarillla, dulce o de nuestro país, en tribuye desde el centr dis se y o xic Mé de lle Es nativo del Va fruto, que se obtiene de Ecuador. Se consume el sta ha a, ric mé da Su y a primer producCentroaméric y popular, y Puebla es el mu es o xic Mé En os. ad árboles silvestres y cultiv de tor en el país. do en la preparación bién se utiliza a menu tam ro pe , sca fre me ertos y es La fruta se co ofrendas del día de mu las de rte pa ma for El tejocote dulces y mermeladas. s y ponches navideños. vitaminas del cominfaltable en las piñata porciona calcio, hierro, pro al, ion tric nu ta vis Desde el punto de es su alto contenido en s importantes del fruto má as stic erí act car las Esta susplejo B y C. Una de de jaleas y mermeladas. nte ula ag co mo co ria la indust farmacéutica, pectina, que se usa en sméticos, en la industria co de ión rac bo ela la en tancia también se utiliza la textil y la siderúrgica. s, borregos y conejos. alimento a cerdos, chivo mo co n da se jas ho una infuLa fruta y las corteza y la raíz se hace la n co ia: lar rbo he ina dic Se usa también en la me tar la congestión La fruta se usa para tra . cas rei iar tid an y s ica rét sión con propiedades diu ientos cardiacos. cim ra de pecho y para pade leña y, por su dureza, pa le, pues se utiliza como ab ech rov ap es n bié La madera tam rramienta. elaborar mangos de he

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Anonas (Annona spp.)

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rg oya.o hirim

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El género Annona, de la familia de las anonáce as, es muy grande: unas 110 especies. A los fru tos de los arbustos de estas especies se les conoce comúnmente como an onas, y en nuestro país, al de la A. chirimola, co mo chirimoya y al de la A. muricata como guan ábana. Son árboles de baja alt ura, unos 8 a 10 m, que se dan en casi toda América tropical, en Mé xico, Centro y Sudamérica y el Caribe pues prosperan en n climas de cálidos a calien Chirimoya (Annona chirim tes. ola). Sus frutos son, en gene ral, de alto consumo loc al, pero poco conocidos lugar de origen y de Esp fuera del aña. Éstos son de tam año variable, según la guanábana puede alcan esp eci e, pero la zar hasta 40 cm de lar go y un pe so de 4 kg. La chirimoya es más pequeña. Ambas tie nen forma ovoide, cáscar a verde oscura, brillante, espinas y no demasiado cubierta de gruesa, pulpa jugosa, aro mática, blanca o algo am sabor ácido-dulce, y mu ari llenta con chas semillas cafés que se despenden con facilid Se consumen como fru ad . ta fresca, en helados y mermelada. El pedúnc se ingiere porque es am ulo central no argo. Las anonas son buena fuente de potasio, calcio y vitamina C, y su alto fibra le confiere propie contenido de dades laxantes. Contribu yen a red uc ir las tasas de colesterol en sangre y al buen control de la glucemia. Se ha señalado que la acetogeninas presentes en las hojas de las anon dan en la lucha contra áceas ayuel cáncer por tener una actividad semejante a la ductos que se usan en qu de cie rtos proimioterapia; sin embargo , aún no hay resultados aunque se recomienda co nc luy entes, la infusión elaborada co n las hojas para este fin. bién se ha sugerido un A su vez, tama conexión entre consu mo alto de frutos de an formas de Parkinson, on as con ciertas esto debido a la alta concentración de una annonacina. sustancia llamada Todas las anonas exige n más estudios, sobre tod o de mejoramiento gené miento de los frutos y tico, tratamejores usos en la indust ria . Sus mayores consumido españoles, chilenos y pe res son los ruanos que los consume n como fruta fresca o Los frutos y jugos se usa en ensaladas. n mucho en medicina alt ernativa contra varias do lencias.

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Ciudad y educación: LA CIUDAD EDUCADORA Ana Pi i Murugó

La educación no se limita a las aulas:

La ciudad de Guadalajara promociona el ocio saludable al aire libre.

las propias ciu ciudades, si atienden y ponen en práctica los conceptos aquí vertid tidos, pueden llegar a convertirse en un instrumento educativo qu que resuelva los nuevos retos y las nuevas necesidades sociales. Ciudad Educadora abarca, entonces, no sólo a la ciudad sino tam también a las autoridades municipales y a la sociedad civil.

d

iversos autores han expresado la importancia de la ciudad en la educación, formación y el crecimiento de sus habitantes. Extraemos aquí algunas de las consideraciones que nos sirven de marco para entender y definir el concepto de Ciudad Educadora: El educador y filósofo Paulo Freire escribió: La ciudad se convierte en educadora a partir de la necesidad de educar, de aprender, de imaginar… siendo educadora, la ciudad es a su vez educada. Una buena parte de su labor educadora está li-

El urbanista Jordi Borja postula: [La ciudad como] aquel producto físico, político y cultural complejo, europeo y mediterráneo, pero también americano y asiático, que hemos caracterizado en nuestra ideología y en nuestros valores como concentración de población y actividad, mezcla social y funcional, capacidad de autogobierno y ámbito de identificación simbólica y de participación cívica. Ciudad como lugar de encuentro, de intercambio, ciudad igual a cultura y comercio. Ciudad de lugares y no un mero espacio de flujos.

gada a nuestro posicionamiento político, y obviamente, a cómo ejercemos el poder en la ciudad, a

Y el politólogo Isidre Molas explica:

cómo la utopía y el sueño que impregnan nues-

La ciudad moderna constituye un marco primario de vida social y de interrelación; y, por tanto, de solidaridad. Como tal marco proporciona un haz limitado de posibilidades, dentro del cual las personas se mueven y optan. Es decir, concreta

tra política en el servicio a aquello y aquellos a quienes servimos –la política de gasto público, la política cultural y educativa, la política de salud, transporte y ocio.

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Ciudad y educación: LA CIUDAD EDUCADORA

las posibilidades de libertad real para ejercer las libertades universales que el derecho y las costumbres del sistema democrático otorgan. Frente al individualismo, la ciudad es marco de solidaridad. Frente al aislamiento, es marco de comunicación. La ciudad cuenta con las mejores condiciones materiales para forjar una oferta general de difusión de los aprendizajes y de los conocimientos útiles para vivir en sociedad y, al mismo tiempo, puede crear la gradación más dispersa de desigualdades en su distribución. […] El sistema municipal, por su proximidad a los ciudadanos, es el más abierto y el más transparente. Sus decisiones y administración son las más palpables y […] las que generan más fácilmente opinión pública. Es, por tanto, escuela de ciudadanía. La ciudad es, pues, un marco y un agente educador que, ante la tendencia a la concentración del poder, practica la opinión pública y la libertad […]. Facilita el tejido de los hábitos ciudadanos que crean el sentido de reciprocidad. Permite formar personas sensibles tanto a sus deberes como a sus derechos. En este encuadre, la educación aparece nítidamente como la acción que va más allá de las familias y las escuelas. Aunque incluyéndolas como factores clave, la educación comprende hoy multitud de parámetros y de agentes no reconocidos hasta ahora y abraza toda la población.

Las Ciudades Educadoras La necesidad de unir esfuerzos, conocer y recoger experiencias sobre la capacidad educadora de las distintas ciudades del mundo, y su posible coordinación, hizo que en 1990 se celebrara en Barcelona el I Congreso Internacional de Ciudades Educadoras. Allí se acuñó la expresión “Ciudad Educadora”, desde el convencimiento indiscutible que la ciudad es educativa y

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fuente de educación en ella misma, desde múltiples esferas y para todos sus habitantes. Ello hace incuestionable que la planificación urbana, la cultura, los centros educativos, los deportes, las cuestiones medioambientales y de salud, las económicas y presupuestarias, las que se refieren a la movilidad y a la viabilidad, a la seguridad, a los diferentes servicios, las correspondientes a medios de comunicación, etc., incluyan y generen diversas formas de educación de la ciudadanía. La intencionalidad educadora de la ciudad constituye un compromiso político que debe asumir, en primer lugar, el gobierno municipal. Como instancia política representativa de los ciudadanos y que les es más próxima; pero ha de ser necesariamente compartida con la sociedad civil. Tres premisas centran este concepto de Ciudad Educadora: 1. Información comprensible –necesariamente discriminada– hacia la ciudadanía, 2. participación de esta ciudadanía desde una perspectiva crítica y corresponsable, y 3. evaluación de necesidades, propuestas y acciones. El gran reto del siglo XXI es profundizar en el ejercicio de los principios y valores democráticos por medio de orientaciones y actuaciones adecuadas. Hay que introducir, en el ordenamiento jurídico-político, factores pedagógicos que permitan utilizar la información, la participación y la evaluación como ejes de aprendizaje y de educación, y de construcción de ciudadanía. En la actualidad, muchas políticas municipales continúan considerando a la Ciudad Educadora sólo como un conjunto de actuaciones relacionadas, de una manera u otra, con las instituciones o edades educativas convencionales. Pero se trata de un nuevo paradigma, un pro-

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dependerá de su propia historia, ubicación, especificidad y también del propio proyecto político. En el II Congreso Internacional de Ciudades Educadoras, celebrado en Goteburgo, Suecia, en 1992, se definió una propuesta integradora de la vida ciudadana que concierne a gobiernos locales, pero también a todo tipo de instituciones y asociaciones públicas y privadas que tengan como objetivo: …trabajar conjuntamente con sentido educativo en el desarrollo de políticas y actuaciones que impulsen la calidad de vida de las personas, su compromiso con el espíritu de ciudadanía y los valores de una democracia participativa y solidaria.

La Ciudad Educadora - La Ville Éducatrice. Libro realizado con motivo del I Congreso Internacional de Ciudades Educadoras celebrado en 1990 en Barcelona.

yecto compartido que abarca todos los departamentos de las administraciones locales y a la sociedad civil. La transversalidad y la coordinación son básicas para dar sentido a las actuaciones que incorporan la educación como un proceso que se da a lo largo de toda la vida. Las autoridades locales han de propiciar, facilitar y articular la comunicación necesaria para el conocimiento mutuo de las diversas actuaciones que se llevan a cabo a fin de establecer las consiguientes sinergias para la acción y para la reflexión, y constituir plataformas conjuntas que posibiliten el desarrollo de los principios de la Carta de Ciudades Educadoras. Las formas concretas de desarrollo y la concreción del concepto Ciudad Educadora son tan diferentes como diversas son las ciudades, con ritmos y niveles de implicación diferentes. Esto

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Son diversos los países que se han unido a esta propuesta –en Latinoamérica: Argentina, Bolivia, Brasil, Chile, Colombia, México, Perú y Uruguay– y podemos conocer los relatos de proyectos y documentos vinculados. Recientemente se ha celebrado el II Congreso de Ciudades Educadoras Mexicanas donde participaron 13 ciudades educadoras, y en el cual el tema central fue: “En movimiento. Deporte y Ciudadanía” (México D.F. 6 y 7 de noviembre del 2009). Los participantes intercambiaron experiencias enmarcadas en la temática del deporte como herramienta de inclusión y cohesión social, beneficiosa para la salud y el medio ambiente. Según el secretario de Educación del Distrito Federal, Mario Carrillo Huerta: El deporte es un recurso educativo excepcional que promueve valores esenciales para la formación de la personalidad y de las habilidades sociales como el respeto a los demás, la disciplina y la fuerza de voluntad. Educa en la regularidad y en la constancia; en la importancia del trabajo en equipo, propicia también las relaciones interpersonales y multiculturales y mejora la convivencia y el respeto a la diversidad. CORREO del MAESTRO

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Ciudad y educación: LA CIUDAD EDUCADORA

Asimismo, los asistentes trabajaron para coordinar la presencia de las ciudades mexicanas en el XI Congreso Internacional de Ciudades Educadoras “Deporte, políticas públicas y ciudadanía. Retos de una Ciudad Educadora”, que se realizó en Guadalajara en abril de este año.

El derecho a la Ciudad Educadora En la Carta Inicial de las Ciudades Educadoras se establecieron los principios básicos para el impulso educativo de la ciudad. El texto fue

revisado en el III Congreso Internacional (Bolonia, 1994) y en el VIII Congreso (Génova, 2004) con la finalidad de adaptar sus planteamientos a los nuevos retos y necesidades sociales. La actual Carta se fundamenta en la Declaración Universal de Derechos Humanos (1948); en el Pacto Internacional de Derechos Económicos, Sociales y Culturales (1966); en la Convención sobre los Derechos de la Infancia (1989); en la Declaración Mundial sobre Educación para Todos (1990), y en la Declaración Universal sobre la Diversidad Cultural (2001). Entre sus principios y postulados destacamos los que siguen:

1.

Todos los habitantes de una ciudad tendrán el derecho a disfrutar, en condiciones de libertad e igualdad, de los medios y oportunidades de formación, entretenimiento y desarrollo personal que la misma ofrece. El derecho a la Ciudad Educadora se propone como una extensión del derecho fundamental de todas las personas a la educación. La Ciudad Educadora renueva permanentemente su compromiso con la formación de sus habitantes a lo largo de la vida en los más diversos aspectos. Y para que ello sea posible, deberá tener en cuenta todos los grupos, con sus necesidades particulares. En la planificación y gobierno de la ciudad se tomarán las medidas necesarias encaminadas a suprimir los obstáculos de cualquier tipo, incluidas las barreras físicas, que impidan el ejercicio del derecho a la igualdad. Serán responsables de ello tanto la administración municipal como otras administraciones que incidan en la ciudad; y estarán también comprometidos en esta empresa los propios habitantes, tanto a nivel personal como a través de las distintas formas de asociación a las que pertenezcan.

2.

La Ciudad promoverá la educación en la diversidad, para la comprensión, la cooperación solidaria internacional y la paz en el mundo. Una educación que combata cualquier forma de discriminación. Favorecerá la libertad de expresión, la diversidad cultural y el diálogo en condiciones de igualdad. Acogerá tanto las iniciativas de vanguardia como las de cultura popular, independientemente de su origen. Contribuirá a corregir las desigualdades que surjan en la promoción cultural producidas por criterios exclusivamente mercantiles.

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3. Una Ciudad Educadora fomentará el diálogo entre generaciones, no sólo como fórmula de convivencia pacífica, sino como búsqueda de proyectos comunes y compartidos entre grupos de personas de edades distintas. Estos proyectos deberían orientarse a la realización de iniciativas y acciones cívicas cuyo valor consista precisamente en su carácter intergeneracional y en el aprovechamiento de las respectivas capacidades y valores propios de las distintas edades. 4.

Las políticas municipales de carácter educativo se entenderán siempre referidas a un contexto más amplio inspirado en los principios de la justicia social, el civismo democrático, la calidad de vida y la promoción de sus habitantes.

5.

Las municipalidades ejercerán con eficacia las competencias que les correspondan en materia de educación. Sea cual fuere el alcance de estas competencias, deberán plantear una política educativa amplia, de carácter transversal e innovador, incluyendo en ella todas las modalidades de educación formal, no formal e informal y las diversas manifestaciones culturales, fuentes de información y vías de descubrimiento de la realidad que se produzcan en la ciudad. El papel de la administración municipal es establecer las políticas locales que se revelen posibles y evaluar su eficacia; además de obtener los pronunciamientos legislativos oportunos de otras administraciones, estatales o regionales.

6.

Con el fin de llevar a cabo una actuación adecuada, las personas responsables de la política municipal de una ciudad deberán tener información precisa sobre la situación y necesidades de sus habitantes. En este sentido realizarán estudios, que mantendrán actualizados y harán públicos, y establecerán canales permanentes abiertos a individuos y colectivos que permitan formular propuestas concretas y de política general. Asimismo, el municipio en el proceso de toma de decisiones en cualquiera de los ámbitos de su responsabilidad, tendrá en cuenta el impacto educativo y formativo de las mismas.

COMPROMISOS DE LA CIUDAD EDUCADORA

7.

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La Ciudad ha de saber encontrar, preservar y presentar su propia y compleja identidad. Ello la hará única y será la base para un diálogo fecundo en su interior y con otras ciudades. La valoración de sus costumbres y de sus orígenes ha de ser compatible con las formas de vida internacionales. De este modo podrá ofrecer una imagen atractiva sin desvirtuar su entorno natural y social. A su vez, promoverá el conocimiento, aprendizaje y uso de las lenguas presentes en la ciudad como elemento integrador y factor de cohesión entre las personas.

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Ciudad y educación: LA CIUDAD EDUCADORA

8.

La transformación y el crecimiento de una ciudad deberán estar presididos por la armonía entre las nuevas necesidades y la perpetuación de construcciones y símbolos que constituyan claros referentes de su pasado y de su existencia. La planificación urbana deberá tener en cuenta el gran impacto del entorno urbano en el desarrollo de todos los individuos, en la integración de sus aspiraciones personales y sociales y deberá actuar contra la segregación de generaciones y de personas de diferentes culturas, las cuales tienen mucho que aprender unas de otras. La ordenación del espacio físico urbano atenderá las necesidades de accesibilidad, encuentro, relación, juego y esparcimiento y un mayor acercamiento a la naturaleza. La ciudad educadora otorgará un cuidado especial a las necesidades de las personas con dependencia, en su planificación urbanística, de equipamientos y servicios, con el fin de garantizarles un entorno amable y respetuoso con las limitaciones que puedan presentar, sin que hayan de renunciar a la máxima autonomía posible.

9.

La Ciudad Educadora fomentará la participación ciudadana desde una perspectiva crítica y corresponsable. Para ello, el gobierno local facilitará la información necesaria y promoverá, desde la transversalidad, orientaciones y actividades de formación en valores éticos y cívicos. Estimulará, al mismo tiempo, la participación ciudadana en el proyecto colectivo a partir de las instituciones y organizaciones civiles y sociales, tomando en consideración las iniciativas privadas y otras formas de participación espontánea.

10.

El gobierno municipal deberá dotar a la ciudad de los espacios, equipamientos y servicios públicos adecuados al desarrollo personal, social, moral y cultural de todos sus habitantes, con especial atención a la infancia y la juventud.

11.

La Ciudad deberá garantizar la calidad de vida de todos sus habitantes. Ello supone el equilibrio con el entorno natural, el derecho a un medio ambiente saludable, además del derecho a la vivienda, al trabajo, al esparcimiento y al transporte público, entre otros. A su vez, promoverá activamente la educación para la salud y la participación de todos sus habitantes en buenas prácticas de desarrollo sostenible.

12.

El proyecto educativo explícito y el implícito en la estructura y el régimen de la ciudad, los valores que ésta fomente, la calidad de vida que ofrezca, las celebraciones que organice, las campañas o proyectos de cualquier tipo que prepare, serán objeto de reflexión y participación, con los instrumentos necesarios que ayuden a las personas a crecer personal y colectivamente.

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Experiencias de Ciudades Educadoras Hay muchas experiencias que se vinculan con la infancia y la ciudad, que se han mostrado y pueden consultarse en los documentos de las distintas organizaciones que aglutinan a las Ciudades Educadoras. Aquí presentamos algunas que ilustran proyectos en funcionamiento con ya una trayectoria y consolidación amplias de tres ciudades europeas (Munich, Ginebra, Lyon). Hoy en día las ciudades viven un importante proceso de transformación que plantea necesidades educativas y sociales nuevas que afectan la etapa de la educación preescolar (0 a 6 años) y a otros grupos de la población. Los ejemplos que mostramos son prueba de cómo una ciudad afronta estos retos y propone estrategias e innovaciones adaptadas a estas nuevas realidades en las que se promueve la interculturalidad, las relaciones entre generaciones y la adaptación de los servicios municipales a los nuevos usos del tiempo. Uno de los cambios profundos que experimentan las ciudades es el aumento de los flujos migratorios y de la diversidad cultural, la aparición de nuevas estructuras familiares, la emergencia de ritmos descompasados a causa de la flexibilización del mundo laboral y el envejecimiento de la población. Frente a estas transformaciones sociales, las familias necesitan un soporte en la tarea que tradicionalmente han asumido en el cuidado y educación de hijos en los primeros años de vida. Considerando estos preceptos presentamos a continuación tres experiencias de ciudades educadoras europeas.

Munich, una ciudad que opta por la interculturalidad Para contextualizar este proyecto cabe mencionar que 23% de la población de esta ciudad

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alemana es de origen extranjero y procede principalmente de Turquía, Croacia, Serbia, Montenegro, Grecia, Austria, Italia, Bosnia y Herzegovina y Polonia. La ciudad de Munich está situada en la región de Baviera, y es uno de los principales centros económicos de Alemania. La población total de la ciudad es de casi un millón y medio de habitantes, y la capital bávara se caracteriza por ser una ciudad joven, dinámica y multicultural, donde los infantes menores de seis años constituyen 14.4% de su población total. En el ámbito escolar, algunos centros educativos infantiles concentran a alumnos de más de 30 nacionalidades. Frente a esta rica realidad multicultural, en 2001 el Departamento de Educación del Ayuntamiento de Munich inició un proyecto de educación intercultural que actualmente se extiende a 50 centros de educación infantil de la ciudad. Los objetivos principales del programa se basan en la creación de un ambiente de diversidad positiva, donde el desarrollo lingüístico es la herramienta competencial clave, además de la promoción de propuestas pedagógicas de calidad que incrementen las oportunidades educativas de los infantes. Para conseguirlo, el programa cuenta con el apoyo de las entidades como el Instituto de Baviera de Educación y la Primera Infancia, el gobierno del estado de Baviera, y un equipo de especialistas en educación intercultural, educadores que gestionan el proyecto a nivel de centro y un coordinador consultor. En el desarrollo de este proyecto se da mucha importancia a la implicación de las familias, que actúan como colaboradores para mejorar los resultados educativos de sus hijos. Por este motivo se desarrolla un trabajo intensivo con los padres que incluye la formación, el asesoramiento, la mediación y su implicación en el uso del material guía. Respecto a los materiales pedagógicos para abordar la diversidad cultural, des-

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Ciudad y educación: LA CIUDAD EDUCADORA

Asociación Internacional de Ciudades Educadoras, Boletín informativo, núm. 6, 2008.

Niños en Múnich durante una actividad con tambores africanos. Algunos de los materiales a disposición de los centros para abordar la diversidad cultural son las “maletas interculturales”, con diversos materiales y objetos para trabajar aspectos relacionados con la cultura, el arte, la religión y la historia de los diferentes continentes.

tacan las “maletas interculturales” de los cinco continentes que contienen videos, instrumentos musicales, ropa tradicional, máscaras, etc., para trabajar aspectos relacionados con la cultura, el arte, la religión y la historia de los diferentes continentes. Además, se ha editado un pequeño libro con escenas de la vida diaria, traducido a varios de idiomas. De este modo, desde hace años se ha consolidado un proyecto de educación intercultural, y una cooperación constructiva y activa entre educadores, familias y niños en todos los centros de educación infantil. La evolución de este proyecto y sus resultados prácticos se han recogido también en un video titulado Las galletas de la fortuna.

Ginebra, más que abuelos y nietos “Las plazas de juego” son una experiencia desarrollada en Ginebra que promueve la creación

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de estos espacios en los patios de juego de las escuelas y en los parques públicos. El juego es un medio de descubrimiento del entorno y un medio de aprendizaje, por lo tanto, se considera ideal que las plazas o los parques públicos permitan distintas formas de juego –de creación, de relación, de expresión y movimiento, etc. En un resumen contextual podemos mencionar que Ginebra es la segunda ciudad de Suiza y la primera de habla francesa. Tiene una población de 188 000 habitantes y más de 453 000 si consideramos los 45 municipios conurbados que conforman el cantón de Ginebra. Cerca de 45% de la población es de origen extranjero (180 nacionalidades) y los mayores de 65 años constituyen 6.4% de la población total de la ciudad. El Departamento de Cohesión Social del Ayuntamiento de Ginebra desde hace años ha apostado fuerte para fomentar actividades que consoliden y establezcan puentes entre las generaciones, concretamente entre los niños de dos a cuatro años

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y la gente mayor de 65. De este modo, se aprovechó la proximidad del kínder La Terrassière a una residencia de la tercera edad, y la ubicación cercana de la escuela Tom Pouce en el mismo centro de una casa de abuelos. En 2006 se iniciaron dos experiencias paralelas de encuentros intergeneracionales. Y se llevaron a cabo actividades como la creación conjunta de cuentos, un taller de pintura, representaciones teatrales, juegos, paseos, meriendas o la celebración de diversas fiestas. Y se han concretado espacios y momentos para descubrir, aprender y jugar entre ambos colectivos. Como resultado de estos encuentros se realizó un cuento titulado El carnaval de los animales, creado por los abuelos y pintado por los niños, así como distintos exposiciones de dibujos y fotografías.

Lyon: guardería 24 horas al día Lyon es la capital de la región de Rhône-Alps, la segunda en importancia económica de Francia. Su población es de 466 400 habitantes y ha experimentado un importante crecimiento desde 1900, en buena parte gracias a las migraciones y la alta tasa de natalidad. De este modo, la población se ha rejuvenecido y la franja de edad de 20 a 30 años ha aumentado 14%, frente a 3.4% de personas de más de 65 años. La mayoría de los inmigrantes que llegan a Lyon pertenecen a la franja poblacional de los jóvenes que estudian o buscan trabajo, mientras que en los últimos años las personas mayores, jubiladas, emigran. Esta situación hizo que desde 2005 el Ayuntamiento de Lyon proporcionara en algunos centros un servicio de guardería de niños de tres meses a cuatro años con horarios diurnos no típicos, que permitían a los padres trabajar en ámbitos como la atención hospitalaria, los servicios de transporte, a los restaurantes o a la vigilancia, entre otros.

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La guardería Mirabilis, por ejemplo, dispone de 30 plazas en horario diurno ampliado (6 a 22 hs) y 12 de guardería nocturna (de 19 a 6 hs) ocupadas por diversas familias en función de sus necesidades. Un equipo de 19 personas trabaja en este centro, que tiene unas normas muy estrictas para respetar los ritmos de vida de los niños y su bienestar. Así, no se puede realizar ninguna entrega de infantes desde las 10 de la noche hasta las 6 de la mañana, con la finalidad de respetar su sueño. Por otro lado, existe un mínimo de horas de estancia de los niños –10 horas por día. Estas normas fueron elaboradas por un equipo de pediatras y se complementan con un proyecto educativo inspirado en los principios pedagógicos de la red Pikler-Lóczy de aprendizaje activo, atención personalizada respecto a la autonomía de los niños, fomento de las interrelaciones y la concreción de un ambiente estimulador y estable. Con este proyecto de la escuela Mirabilis, Lyon consigue dar respuesta a una nueva necesidad emergida de unas ciudades en cambio constante, con ritmos de vida descompensados.

Conclusiones La ciudad no es sólo un fenómeno urbanístico; está constituida por las sinergias que se producen entre las instituciones y los espacios culturales, y que nos brindan la posibilidad de aprender en ella. El Proyecto Ciudad Educadora tiene como finalidad primordial la construcción de una ciudadanía organizada, autónoma y solidaria, capaz de convivir en la diferencia y de solucionar pacíficamente sus conflictos. En este proceso continuo y dinámico de aprendizaje, construcción y crítica, en el cual los seres humanos crean y recrean la cultura, la memoria colectiva tendrá que recuperar históricamente

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Ciudad y educación: LA CIUDAD EDUCADORA

sus haceres, sus saberes y sus tipos de organización. Ciudad Educadora es un proyecto que reivindica lo colectivo y lo público, lo político y lo ético. Con este interés se creó la Asociación Internacional de Ciudades Educadoras (AICE) formada por gobiernos locales comprometidos con el cumplimiento de la Carta de Ciudades Educadoras (Barcelona, 1990; y Génova, 2004). En ella están presentes todos los continentes, y cuenta con un total de 410 ciudades asociadas de 35 países. Los objetivos primordiales de la AICE son los siguientes: • Promover a la educación como derecho fundamental e inalienable, • identificar y desarrollar los aspectos educativos presentes en las distintas políticas locales, y • fomentar y facilitar la comunicación, el intercambio y la cooperación entre ciudades. El concepto de Ciudad Educadora es una nueva dimensión complementaria y, hasta cierto punto alternativa, al carácter formalizado, centralista y a menudo poco flexible de los sistemas educativos, que conlleva implícita la interacción entre las propuestas de la educación formal, no formal e informal. Esta nueva dimensión implica considerar que la educación de los niños, jóvenes y ciudadanos en general no es sólo responsabilidad de los estamentos tradicionales (Estado, familia y escuela) sino que también lo es del municipio, de las asociaciones, de las industrias culturales, de las empresas con voluntad educadora y de todas las instancias de la sociedad. Por ello hay que potenciar la formación de los agentes educativos no escolares y el fortalecimiento del tejido asociativo. La ciudad es el marco de la intervención, pero ha de tener en cuenta la dimensión

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metropolitana y estar abierta a la cooperación con las ciudades de su entorno. En el marco de la Ciudad Educadora, las administraciones locales tienen como función básica la promoción de la participación ciudadana en la gestión y transformación de su ciudad potenciando aquellas acciones que impliquen la interacción entre niños, jóvenes, adultos y ancianos. Por esta razón es preciso que promuevan la formación específica de los distintos agentes educativos y la participación e iniciativa ciudadana poniendo los recursos necesarios a su disposición. Los gobiernos locales, como administración más próxima a los ciudadanos, deben velar por la racionalización y el equilibrio de la oferta educativa que se da en su territorio, priorizando los sectores de población más desfavorecidos. El desarrollo de medios de comunicación de carácter local puede ser una fórmula válida para la consecución de los objetivos propuestos. También se valora la necesidad de establecer sistemas de evaluación en profundidad para conocer el impacto de las iniciativas educativas que se lleven a cabo en el territorio, ya que actualmente sólo se dispone de datos cuantitativos. En este sentido también es necesario promover espacios de diálogo e intercambio entre ciudades (congresos, talleres, etc.), para ofrecer la posibilidad de confrontar la propia experiencia con la de otros, y ayudar a objetivar los problemas, los modelos de intervención, las metodologías de trabajo y, por tanto, a consolidar o reformar la propia experiencia. Para terminar, citamos el artículo de Gilberto Guevara Niebla “Una propuesta de reforma educativa para el Distrito Federal”, en el que presenta el ideal educativo al que debe aspirar el Distrito Federal sustentado en los principios legales de la Constitución mexicana (especialmente el art. 3) y de la Ley General de Educación, y

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con base en la filosofía de la Ciudad Educadora. Además, considera una reestructuración global del sistema educativo, que recoja las experiencias existentes, con buen desempeño, y que adopte un modelo de gestión escolar multinivel. El autor confirma que entre las características que este modelo educativo ideal se deben considerar: • • • • • •

• Consejos educativos municipal, estatal y nacional; • Información sistemática de los padres de familia; • Becas; • Investigación educativa; • Educación indígena; • Educación de adultos; • Servicio integral el estudiante.

Eliminar desigualdades; Integrar la educación inicial; Autonomía de intereses políticos sectarios; Considerar el tiempo de escuela; Transparencia y rendición de cuentas; Elección de los docentes de los contenidos, métodos de enseñanza y materiales educativos; • Tecnología y materiales; • Mejorar la supervisión;

Respecto a la ciudad de México como Ciudad Educadora, argumenta que se deben poner en práctica diversos proyectos para ampliar el potencial educativo (educabilidad): redes escolares, bibliotecas, museos, parques, centros cívicos, prensa, librerías, salas de cine, televisión, radio, centros comerciales, centros de salud, que configuran un complejo entramado educativo que es posible organizar en forma sinérgica a través de apropiadas políticas gubernamentales.

Bibliografía y páginas web consultadas: AAVV, “La Ciudad Educadora”, Ajuntament de Barcelona, Barcelona, 1990. BOLETÍN INFORMATIVO Asociación Internacional de Ciudades Educadoras “Ciudades Educadoras para un mundo mejor”, núm. 06, septiembre, Barcelona, 2008. BORJA, Jordi, “Ciudad y Democracia”, en Foro, núm. 5, Bogotá, 1988. CABEZA, M. Àngels, “Escoles bressol de nova generació”, en Barcelona Educació, Institut d’Educació de l’Ajuntament de Barcelona, núm. 71, octubre de 2009. CASTELLS, Manuel, Lo local y lo global. La gestión de las ciudades en la era de la información, Taurus, Madrid, 1997. DELORS, Jacques (coord.), La educación encierra un tesoro, Informe a la UNESCO de la Comisión Interna-

cional sobre la Educación para el Siglo XXI, Santillana, UNESCO, 1996. FAURE, Edgar y otros, Aprender a ser, UNESCO, Barcelona, 1973. FIGUERAS Bellot, Pilar, “La ciutat del futur i el futur de les ciutats”, Borja, Nel.lo, Vallés, Fundació Campalans, Barcelona, 1998. MINISTERIO DE Desarrollo Económico, “Ciudades y Ciudadanía. La Política Urbana del Salto Social”, en Presencia, Santafé de Bogotá, 1995. • www.edcities.org • bcnweb13.bcn.es:81/NASApp/edubidce/ pubCercadorAc.do • www.bcn.es/edcities/aice/estatiques/ espanyol/sec_banc.html • www.educacion.df.gob.mx/archivos/ separatas/descentralizacion.pdf

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certidumbres E INCERTIDUMBRES

Aprender de didactikids UN IMPULSO PARA VOLVER A REVISAR LA LÍNEA NUMÉRICA ABIERTA (VACÍA)* Segunda parte** Marja van den Heuvel-Panhuizen1

El uso de modelos didácticos en educación es una cuestión delicada. Su empleo incorrecto puede tener efectos dañinos y ser antididáctico. Freudenthal2 utilizó esta palabra alrededor de hace 30 años, cuando comentó la tendencia de tomar la estructura científica de la disciplina como el principio guía y presentar a los niños una matemática “ya hecha”, más que darles la oportunidad de desarrollar conceptos y métodos por ellos mismos.

as regresiones antididácticas no sólo amenazan a la educación matemática en un nivel macro: también lo hacen en un nivel micro. A manera de ejemplo, una serie de un libro de texto “enseña” primero la descomposición decimal como la base para sumar y restar, y luego pone a los niños a trabajar en la línea numérica. Una directiva como ésa va en contra de la estructura didáctica del dominio de cálculos hasta el 100. Estos números no se prestan para cálculos algorítmicos basados en los dígitos, sino son más adecuados para aplicar una estrategia de números naturales sustentada por el modelo didáctico de la línea

* Este artículo es una versión extendida de: Van den Heuvel-Panhuizen, M., “Learning from ‘didactikids’: An impetus for revisiting the empty number line”, en Mathematics Education Research Journal, 20(3), 6-31, 2008. ** Ver: Marja van den Heuvel-Panhuizen “Aprender de didactikids. Un impulso para volver a revisar la línea numérica abierta (vacía). Primera parte”, Correo del Maestro, núm. 170, año 15, julio de 2010. 1 Traducción de Nora Da Valle y Fernanda Gallego (Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática. www.gpdmatematica.org.ar). 2 Freudenthal, H., La matemática como una tarea de la educación, Reidel, Dordrecht, 1973.

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numérica abierta (vacía). Tales aplicaciones se ven reflejadas en la trayectoria de aprendizaje-enseñanza para números naturales desarrollada en el proyecto TAL.3 Las características definitorias para la estructura didáctica son tres estrategias básicas: secuencial, de descomposición y variada. En el caso de la secuencial, un problema como 34 + 27 se resuelve así: 34 + 10 44 + 10 54 + 6 60 61 o, aún más rápido, 34 + 20 54 + 7 61. La secuencial tiene su raíz en el conteo y se relaciona con el aspecto ordinal del número. Usar una estrategia secuencial en problemas de suma y resta significa mantener el primer número intacto y sólo descomponer el segundo número en decenas y unidades. Los componentes del segundo número luego se suman o restan del primer número en partes. Modelos lineales como el collar de cuentas (ver fig. 1) o la línea numérica abierta (vacía) (ver fig. 2) son adecuados para apoyar esta estrategia.

Figura 1. Collar de cuentas.

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10

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1

Figura 2. Línea numérica abierta.

En el caso de la descomposición, un problema como 34 + 27 se resuelve así: 30 + 20 = 50 y 4 + 7= 11 y 50 + 11 = 61. Los números se descomponen en decenas y unidades, y se procesan de manera separada cuando las operaciones se llevan a cabo. Los modelos de grupos formados por cuentas, palitos, bloques (ver fig. 3), contadores o monedas son los modelos numéricos que apoyan esta estrategia.

3

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El acrónimo TAL es la sigla de Objetivos Intermedios en las Trayectorias de Aprendizaje-Enseñanza. El objetivo del proyecto TAL es el desarrollo de las trayectorias para matemática en la escuela primaria. El desarrollo de la trayectoria para números naturales fue una empresa conjunta del Instituto Freudenthal y el Instituto Nacional para el Desarrollo del Currículo, y refleja los principios de la EMR (Educación Matemática Realista). Ver: Van den Heuvel-Panhuizen, M. (ed.), Los niños aprenden matemáticas. Una trayectoria de aprendizaje-enseñanza con objetivos intermedios para el cálculo con números naturales en la escuela primaria, Correo del Maestro y La Vasija, México, 2010.

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Aprender de DIDACTIKIDS

Figura 3. Bloques.

Esta estrategia de descomposición se basa fuertemente en la comprensión del valor posicional y es un predecesor del algoritmo escrito de cifrado. La diferencia esencial entre los dos tipos de modelos es la manera en la cual representan los números, que consecuentemente también influye en cómo se llevan a cabo las operaciones. Ambos tipos de modelo tienen afinidad por una estrategia particular para operar con los números. La tercera estrategia, variada, se vincula con el conocimiento de los niños de las relaciones numéricas y las propiedades de las operaciones. Incluye toda clase de estrategias de cálculo ingeniosas, como el usar 6 + 6 para resolver 6 + 7. Cubre estrategias en las cuales los niños juegan con números. Ejemplos de estrategias variadas son reordenar (3 + 69 se transforma en 69 + 3); reagrupar basándose en la propiedad asociativa y hacer uso de números “fáciles” como 25 (26 + 27) se transforma en [25 + 1] + [25 + 2] que se convierte en (25 + 25 + 3); usar relaciones inversas (la respuesta de 52 - 49 se encuentra contando a partir de 49); y compensar (74 - 38 se transforma en 74 - 40 + 2 =, o se transforma en 76 - 40). Aquí, ambos modelos, los de grupo o lineales, pueden usarse como un soporte, pero en especial cuando los alumnos son capaces de jugar con los números han llegado a una etapa en la cual un modelo concreto no es necesario. En este punto, una imagen mental de dicho modelo será suficiente, o los niños resolverán los problemas sin un modelo de apoyo.

Equiparar modelos con estrategias Si se considera la línea numérica abierta (vacía) como un modelo adecuado para resolver problemas numéricos, esto depende mucho de la estrategia que se aplique. Las estrategia de conteo y saltos en el conteo son apoyadas mejor por un modelo lineal, y las estrategias en las cuales los números se descomponen en decenas y unidades son apoyados mejor por un modelo grupal como los bloques aritméticos, que consisten de barras que representan decenas y unidades.

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La eficiencia de las estrategias aplicadas depende de los números involucrados en la operación. El conocimiento numérico que el niño posee también es crítico. La secuenciación en las estrategias es también evidente, la secuencial emergente del conteo, antes de descomponer y el uso de estrategias ingeniosas de compensación. Los libros de texto y otros recursos de enseñanza a menudo no aclaran que los modelos didácticos están conectados estrechamente con diferentes estrategias y un modelo en particular puede producir el uso de una determinada estrategia. Por ejemplo, “la línea directriz” en el Marco Numérico de Nueva Zelanda (Ministerio de Educación, 2005) para el cálculo 43 + 35 podría ser muy confusa para los niños (ver fig. 4).

(ii) Descomposición posicional estándar Ejemplo: 43 + 35 es (40 + 30) + (3 + 5) = 70 + 8.

+40

0

+30

40

+3

70

+5

73

78

Figura 4. “Línea directriz” del Marco Numérico de Nueva Zelanda (Ministerio de Educación, 2005, libro 1, p. 4).

Cuando se supone que los niños tiene que usar una estrategia de descomposición (por ejemplo, en el caso de 43 + 35 resulta en 40 + 30 y 3 + 5; 70 + 8 = 78), sería mejor si se utilizara un modelo de agrupamiento como el de la figura 5.

Figura 5. Modelo de agrupamiento confeccionado con bloques que apoyan una estrategia de descomposición.

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En el caso de 43 + 35 también podría utilizarse la línea numérica abierta (vacía). Sin embargo, esto no debería sugerir que el cálculo comienza en cero porque la idea de la línea numérica abierta (vacía) es que los niños sólo marquen los números que necesitan para su cálculo (ver fig. 6).

+5

+30

43

73

78

Figura 6. Uso de la línea numérica abierta (vacía) para encontrar la respuesta a 43 + 35.

Aquí no me voy a referir a los desarrollos posteriores en grados más adelantados que van de la línea numérica hasta una línea doble y una barra de fracción o porcentaje.4 Tampoco voy a discutir las posibilidades de “hacer zoom” en la línea numérica abierta (vacía) para obtener unidades más refinadas y llegar a los decimales, pero es claro que la línea numérica es un modelo muy rico que posee diferentes representaciones. El peligro es que estos diferentes aspectos podrían confundir a los alumnos. Por ejemplo, un niño en un estudio realizado por Stacey y Steinle5 dijo: “Se mezclan mis líneas numéricas”. Creo que esta confusión es muy probable que suceda si no se comprendió bien la naturaleza del modelo de la línea numérica y los aspectos constituyentes de su naturaleza no son claramente reconocidos. La falta de coincidencia entre el modelo y la estrategia de cálculo que se intenta realizar llega a producir esta confusión. También está la posibilidad de confusión cuando la línea numérica abierta (vacía) que se utiliza como una línea de conteo (refiriéndose a cantidades discretas) se usa como una línea para medir (refiriéndose a cantidades continuas). En este último caso, la línea numérica generalmente tiene un cero como punto de partida y los números se colocan a intervalos iguales. Hacer un cálculo basado en una línea como ésta significa “leer de corrido” el número al cual se llega al 4

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Ver: Van den Heuvel-Panhuizen, M., “La Educación Matemática Realista como trabajo en progreso”, en F-L. Lin (ed.), El sentido común en la educación matemática. Procedimientos de 2001. La Conferencia de los Países Bajos y Taiwán sobre la Educación Matemática, Universidad Normal Nacional de Taiwán, Taipei, 2002. Stacey, K., S. Helme y V. Steinle, “Las confusiones entre decimales, fracciones y números negativos: Una consecuencia del espejo como una metáfora conceptual en tres formas distintas”, en M. van den HeuvelPanhuizen (ed.), Los Procedimientos de la 25ª Conferencia del Grupo Internacional de Psicología de la Educación Matemática, vol. 4, Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, p. 223, 2001.

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llevar a cabo la operación, mientras que la línea numérica abierta tiene el propósito de estructurar los pasos consecutivos de un cálculo y su registro. El hecho de que la línea numérica abierta (vacía) se refiere a cantidades continuas fue claramente expresado por Whitney6 cuando utilizó palillos de dientes para indicar los números o, más correctamente, la cantidad de cuentas (ver fig. 7).

Figura 7. Collar de cuentas de Whitney con palillos (Whitney, 1985, p. 134).

Al utilizar palillos, Whitney7 combinó los dos tipos de números (números que se refieren a cantidad y números para medir) en un modelo. Más importante, este modelo aclaró la diferencia entre estos dos tipos de números. El ocho “que mide” (al final del primer palillo de dientes) indica que hay ocho cuentas a su izquierda. Sin embargo, al mismo tiempo, el modelo aclara que este “ocho que mide” no coincide con la “cantidad” ocho, el intervalo luego de la octava cuenta. Esto podría resolver las dificultades que hasta ese punto han obstruido el uso de líneas numéricas.8 No era claro, a menudo, tanto para alumnos como para maestros qué debía contarse: las cuentas o los intervalos. Los palillos de Whitney9 aclararon la diferencia entre los dos y, al mismo tiempo, indicaban su conexión. Al introducir a los niños en el uso de este collar de cuentas que utilizaba palillos o clavijas para marcar ciertas cantidades, se generó la base para la línea numérica abierta (vacía) como un modelo soporte para el cálculo con números naturales.

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Whitney, H., “Tomando responsabilidad en la educación matemática en la escuela”, en L. Streefland (ed.), Los Procedimientos de la Novena Conferencia Internacional de Psicología de la Educación Matemática, vol. 2, pp. 123-141, OW&OC, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1985. Idem. Treffers, A., “El trasfondo didáctico de un programa matemático para la educación primaria”, en Streefland (ed.), La Educación Matemática Realista en la Escuela Primaria (pp. 21-56 Prensa CD-β/ Instituto Freudenthal, Universidad de Utrecht, Utrecht, 1991. Whitney, H., 1985, op. cit.

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En la trayectoria de aprendizaje-enseñanza desarrollada para este dominio matemático,10 el collar de cuentas (estructurado en grupos de diez cuentas) se usa principalmente para contar y estructurar actividades y no para realizar operaciones. Se les preguntó a los alumnos dónde se encuentran ciertos números en particular y cómo pueden saltar hacia esos números de diferentes maneras.11 Después de que se familiarizan con la línea numérica y la relación entre números, hacen lo mismo en una línea numérica abierta (vacía), sin las cuentas. El próximo paso es usar esta línea numérica abierta (vacía) como un modelo de apoyo para realizar sumas y restas. Las marcas en la línea numérica abierta representan, entonces, un número en particular (de cuentas). Una característica importante de este modelo de línea numérica abierta es que permite apoyar y registrar los pasos del cálculo de una manera flexible. No se les pide a los niños, de ninguna manera, que coloquen los números en la línea numérica abierta de un modo proporcionalmente correcto. Como señalé, la línea numérica abierta (vacía) no es una línea de medición. Las numerosas líneas numéricas con intervalos iguales y que comienzan en cero se encuentran en documentos curriculares y bibliografía de investigación, y demuestran claramente una interpretación diferente. Una revisión de la educación matemática por Owens y Perry12 hace la observación que hace ya unos años que se ha estado produciendo un debate acerca del uso de las líneas numéricas en la escuela primaria temprana. “Una dificultad en el uso de la línea numérica es que su longitud representa el tamaño del número, pero que sólo el orden de los números es transparente con la distancia a cero o a otro punto no es tan obvio”.13 En otras palabras, ellos transmitieron una preocupación de que la línea numérica a menudo no cumple con los requerimientos de una línea para medir. Mi respuesta a esta preocupación sería que nosotros deberíamos usar la línea numérica abierta (vacía) como un modelo didáctico para apoyar la suma y resta con números hasta el 100 y más allá, pero que no debería tratarse como una línea de medición. Para concluir esta reflexión sobre la línea numérica abierta, impulsada por lo que descubrí al entrevistar a las dos didactikids, me gustaría mencionar el peligro de la instrumentación. El hecho de no estar familiarizado con la naturaleza de la línea numérica abierta puede iniciar un uso prescriptivo de ella. Ese tipo 10

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12 13

Treffers, A. y De Moor, E., Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool Deel 2 Basisvaardgheden en ciiferen (Diseño de un currículo nacional para la educación matemática en la escuela primaria Parte 2. Habilidades básicas y algoritmos), Tilburg, Zwijsen, 1990; Van den Heuvel-Panhuizen, M., 2001b, op. cit. Ver, por ejemplo, el programa desarrollado por Menne, J. J. M., en Met sprongen vooruit. Een productief oefenprogramma voor zwakke rakenaars in het getallengebied tot 100 – een onderwijsexperiment (Saltando hacia adelante. Un programa productivo para alumnos con logros bajos en el dominio de los números hasta 100), Instituto Freudenthal, Utrecht, 2001. Owens, K. y B. Perry, Matemática K -10 Reseña Literaria para el Concejo de Estudios NSW, 2001. Idem., p. 72.

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de enseñanza indica qué números incluir y cómo dibujar los saltos y todos los otros símbolos que deberían acompañar las actividades con la línea numérica. Enseñar a los alumnos este “contrapeso didáctico”14 no sólo consume mucho tiempo, sino también es antididáctico, porque priva a los niños de cualquier oportunidad para matematizar: encontrar sus propias estrategias, incluidos los atajos, y llegar a sus propias notaciones.

Conclusión Aunque otros investigadores también habían llegado a la conclusión de que la experiencia de los niños debería tomarse más seriamente en la investigación y el desarrollo de la educación, los hallazgos de esta pequeña consulta a alumnas fueron sorprendentes. Gracias a sus ideas acerca de la línea numérica abierta (vacía) como un modelo didáctico y sus pensamientos sobre otras cuestiones educacionales que analizaron en otras partes de su entrevista, Ylja y Joni ilustraron por qué deberíamos recurrir más a menudo a las cualidades didácticas de los niños. Los niños que observan cuidadosamente cómo un maestro explica algo, cómo estructura el currículo, organiza la clase, maneja las diferencias, asiste a los alumnos con mayores dificultades y hace uso del libro de texto contribuyen a la comprensión de los investigadores y las personas que desarrollan el currículo. La perspectiva que ofrecen estos niños realza nuestra visión de lo que está sucediendo en las aulas. Es necesario que haya más investigación para averiguar cómo podemos explorar ese conocimiento y cómo identificar a estos didactikids. Lo que Freudenthal15 (1984a) mostró acerca de observar el desarrollo de los niños es, en mi opinión, válido para consultar con ellos. El conocimiento que ganamos aquí puede también ser útil en el desarrollo de la educación matemática. Más aún, y aquí existe un paralelismo con la observación de Freudenthal: …no es algo que queremos reservar exclusivamente para el investigador y el que desarrolla currículos. Propagamos esto (consultar a los niños) a otros, a maestros, formadores de maestros y a aquéllos que están siendo entrenados, y les ofrecemos material para promover esta mentalidad.16

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Van den Heuvel-Pnahuizen, M. “Het rekenonder-wijs op de lom-school opnieuw ter discussie” (“La educación matemática en la educación especial otra vez en discusión”), en Tijdschrift voor orthopedagogiek (Periódico para la Educación Especial), núm. 25(3), pp. 137-145, 1986. Freudenthal, H., Appels en peren / wiskunde en psychologie (Manzanas y peras / matemática y psicología), Van Walraven, Apeldoorn, 1984. Idem., p. 106.

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Aprender de DIDACTIKIDS

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Teoría del aprendizaje significativo de Ausubel Cuarta parte Carlos R. Rodríguez de Alba

En la entrega anterior1 se hizo patente que el aprendizaje significativo es condición necesaria en la adquisición de las competencias correspondientes y que la competencia lingüística desempeña el papel central respecto al resto de las competencias potenciales. Puesto que la psicología educativa y, en particular, la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, han tenido gran influencia en la pedagogía actual y, especialmente, en la enseñanza y el aprendizaje de las lenguas materna y extranjera, se expondrán una serie de aspectos relacionados con el aprendizaje de los idiomas, entre otros, las técnicas fónica y gramatical; los métodos fonéticos y globalizadores de aprendizaje de la lectura; su campo principal de acción y la complementariedad de unos y otros.

e

mpecemos por la consecución de significados y el aprendizaje de la lectura. Aprender a leer, afirma Ausubel, es aprender a percibir el significado potencial de mensajes escritos y, en seguida, relacionar el significado potencial percibido con la estructura cognitiva para comprender lo escrito y construir un aprendizaje significativo. Ausubel supone que el principiante ya conoce (en diferentes grados) los significados denotativos y las funciones sintácticas de las palabras en sus formas habladas,

1

Ver: Carlos R. Rodríguez de Alba, “Teoría del aprendizaje significativo de Ausubel. Tercera parte”, Correo del Maestro, núm. 170, año 15, julio de 2010.

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por lo que aprender a leer es una tarea más sencilla que la del aprendizaje original del lenguaje hablado. En suma, se supone que el aprendiz ya domina el vocabulario y la sintaxis y sólo aprenderá el equivalente escrito de su código hablado. El neófito aprende a leer su lengua materna estableciendo equivalencias entre las palabras escritas y sus correlatos hablados. Esta mediación facilita el desciframiento de los significados escritos, pues los fonemas tienen grafemas correspondientes, aunque no todos ni siempre de manera unívoca; por ejemplo, un grafema puede representar más de un sonido, o un fonema puede representarse por varios grafemas, lo cual complica un tanto el aprendizaje de la

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Certidumbres E INCERTIDUMBRES

lectura, la prosodia y la ortografía. Entonces, en primer lugar: El principiante debe aprender, por consiguiente, la manera de convertir grafemas y combinaciones de éstos en sus equivalentes fonéticos, y luego aprender a reunir combinaciones grafémicas y reconstruirlas en forma de palabras habladas.2

El paso siguiente consiste en aprender a combinar y convertir grupos de palabras gráficas en frases y oraciones habladas; así, el conocimiento del código sintáctico del lenguaje hablado puede emplearse para percibir el significado de lo escrito. Asimismo, pero en forma recíproca, el lector aprende las funciones sintácticas de lo escrito y, además, su significado, que retraduce a la forma hablada con base en su saber intuitivo de la sintaxis idiomática. Cuando ya se puede prescindir, al leer, de este procedimiento reconstructivo, los significados surgen como contenidos de conciencia (perceptuales) inmediatos; la lectura se libera de su asociación previa con la lengua hablada. Sin embargo, precisa Ausubel, “los significados denotativo y sintáctico, percibidos directamente, tienen que relacionarse primero con las ideas pertinentes de la estructura cognitiva antes de que produzcan el significado proposicional real.”3 Aunque sea común que los principiantes pasen por una etapa de trasladar lo escrito a lo hablado, esta reelaboración no es absolutamente necesaria en el aprendizaje de la lectura. Este aserto se confirma por el caso de los lectores sordomudos, que aprenden a leer sin usar el lenguaje hablado, o por el caso de quien aprende a leer otro idioma, sin aprender primero a hablarlo o entenderlo. Empero, no hay como partir del dominio de la lengua materna que posee el aprendiz para su aprendizaje de la lectura.

Durante el aprendizaje de las correspondencias entre grafemas y fonemas no es forzoso aprender reglas formales. En lugar de esto, es preferible el aprendizaje a través de “prácticas guiadas en lo que respecta a responder fónicamente a las combinaciones de letras más frecuentes en las palabras, de modo que el niño adquiera una idea intuitiva de la correspondencia entre grafemas y fonemas.4 Este método fonético torna menos arbitrario el asunto del reconocimiento de palabras, pues le da al aprendiz un código consistente con el cual reconstruir las palabras escritas a partir de sus equivalentes hablados, merced a la conexión de signos y sonidos ya conocida. Este método es preferible al globalizador,5 pero no son excluyentes sino complementarios: varían en prioridad y énfasis. El método fonético suele enseñar primero el reconocimiento de la palabra-todo de algunos de los vocablos más comunes; factibiliza, así, la lectura de un texto sencillo y breve, con lo cual aumenta el interés, la confianza en sí mismo y la motivación del aprendiz; pero después enfatiza, en profundidad y tiempo, la relación grafema-fonema y la asimilación consistente del código. El método de “ver y decir” funciona mejor con quien ya tiene el antecedente del código fonético y con los lectores ya expertos que aprenden otra lengua, puesto que aprender otro idioma consiste en esencia en adquirir otro conjunto de símbolos para significados antiguos bien conocidos, por lo que, en este caso, se van estableciendo primero equivalencias representativas entre los nuevos símbolos del idioma extranjero (hablados y escritos) y sus correlatos ya signifi-

4 5 2 3

Ausubel, 1981, p. 91. Idem.

46

Ausubel, 1981, p. 93. También conocido como método de ver y decir, en el que se enseña a reconocer palabras íntegras desde el principio con el auxilio de las imágenes correspondientes.

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cativos de la lengua materna y, después, se reelaboran mensajes del otro idioma en la lengua materna. Este método es eficaz sobre todo en el aprendizaje de lenguas extranjeras debido a que el aprendiz ya domina el vocabulario básico y el código sintáctico de su propia lengua, ya la lee con fluidez y ya es capaz de comprender y aplicar proposiciones sintácticas enunciadas formalmente. Empero, muchos estudiantes sufren durante su aprendizaje del inglés, por ejemplo, debido, por una parte, al propio déficit en su lengua materna y a que no siempre los profesores cuentan con la suficiencia gramatical en ambas lenguas ni están facultados para transmitir tales conocimientos. Por otra parte, esto se debe también a la popularidad que ha tenido el método linguafónico, abocado casi completamente a la comprensión oral y la habilidad para hablar, con descuido casi total de la lectura, la traducción y la composición; la moda de esta técnica se basa en el supuesto de que es la forma ‘natural’ de aprender, ya que así aprenden los niños, y en la expectativa de que los resultados serían mejores que siguiendo los métodos fundados gramaticalmente. Lo cierto es que los procesos de aprendizaje de niños y adultos son diferentes; es decir, un adolescente o un adulto es imposible que aprendan como un niño, puesto que sus estructuras cognitivas son más complejas, y sería un desperdicio educativo desecharlas en pos de un aprendizaje dizque natural. Lo natural consiste en realidad en que cada individuo aprenda según su armazón cognitiva, y si en ésta existiera una estructura idiomática sólida de su lengua vernácula, sería un retroceso reducir su práctica a lo linguafónico, cuyo objetivo central es el aprendizaje “directo” de significados y funciones sintácticas extranjeros, sin considerar la función mediadora del lenguaje nativo, lo que es un dispendio.

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El método linguafónico utiliza la inducción para el aprendizaje gramatical, mas para quien ya domina las generalizaciones gramaticales resulta más productivo el aprendizaje por deducción; centrarse en la forma hablada del idioma casi sin el auxilio de la lengua escrita y en el aprendizaje por repetición de frases, si bien desarrollan la habilidad prosódica y mecanizan estructuras idiomáticas, éstas requieren mucha y constante práctica para su conservación cognitiva, exigencia que sería menor si se siguiera el canon comprensivo. Además, el dogma de que el aprendiz debe acostumbrarse desde el inicio a la “velocidad natural” de la lengua hablada causa más demora que avance en la obtención de la habilidad audioral. Estas últimas ideas se verán a continuación.

Linguafonismo frente a gramaticalismo Hemos visto que en la práctica linguafónica el objetivo central es el aprendizaje “directo” de significados y funciones sintácticas de la lengua que a la sazón se estudia, sin integrar la función mediadora de la lengua materna. Se pretende, pues, alcanzar este objetivo por medio de la repetición mecánica de frases y, a través de éstas, inducir las reglas sintácticas; utilizar medios audiovisuales y situaciones que prescinden completamente de la lengua materna; enseñar el otro idioma sólo en sus propios términos, desechando el hábito de traducir. Ausubel remarca que para el aprendiz es tan utópica como ineficaz la pretensión de excluir la mediación de su lengua vernácula durante el aprendizaje de otra. También puntualiza que después de la primera infancia la mayor parte de nuestra propia lengua no se aprende con ningún método “directo” (que asocie directamente palabras y cosas), sino de manera indirecta, es decir, por medio de símbolos y signos acústicos

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Certidumbres E INCERTIDUMBRES

e impresos ya conocidos, formantes ya de la estructura cognitiva del aprendiz. Esto se ilustra con el aprendizaje de sinónimos, antónimos, afinidades, contexto del habla, material de lectura, etc. Al respecto W. Bernard expresa: “aun donde hay la posibilidad de hacer asociaciones directas del símbolo nuevo con el objeto, los símbolos antiguos intervienen siempre al principio e involuntariamente.”6 La pretensión, en su estado puro, de los linguafonistas es inadecuada debido a que es imposible desechar los constituyentes de nuestra estructura cognitiva y, en especial, de la lingüística durante el aprendizaje de otra lengua. A diferencia de los infantes,7 que aún no poseen ningún conjunto simbólico significativo y, por tanto, tampoco elementos mediadores, el adulto ya cuenta con una estructura general cognitiva compleja y, en particular, la de su idioma materno, que le permite aprender el código del nuevo lenguaje empleando como modelo la sintaxis del propio y observando las semejanzas y diferencias entre ambos. En relación a esto, Ausubel afirma:

que no dicen es que esto se presenta cuando se arriba a un estado final de eficiencia en el uso de la otra lengua y que no describe la situación del curso del aprendizaje, cuando apenas se está aprendiendo la nueva lengua. Compartamos, al respecto, las lúcidas ideas de W. Bernard, citado por Ausubel:

hay numerosos aspectos del conocimiento del

El enfoque linguafónico supone que el aprendizaje de otro idioma, tanto en niños como en adultos, es en gran parte un proceso de aprendizaje verbal repetitivo; por ello, se practican con asiduidad iterativa los patrones lingüísticos y la memorización de diálogos; mas en estas prácticas no suele haber conocimiento del significado de los integrantes de la oración, cuando mucho lo hay de la oración total. Debido a esto, el aprendiz no entiende las funciones sintácticas de los vocablos componentes ni las contribuciones denotativas y sintácticas de las palabras individuales al significado total de la oración. Es decir, prevalece una relación de significado puramente arbitraria (repetitiva) en lugar de

primer lenguaje: el significado de la mayoría de los conceptos, la comprensión de las categorías y las funciones sintácticas, la facilidad para emplear muchos patrones estructurales que son casi idénticos [en las lenguas indoeuropeas], que son transferibles directamente al aprendizaje del segundo lenguaje.8

Los linguafonistas argumentan que las personas realmente bilingües piensan directamente en el otro idioma en vez de traducir de la lengua materna lo que es generalmente cierto–; pero lo 6 7

8

Ausubel, 1981, p. 96. Infante significa etimológicamente “el que no habla”, “el sin habla”. Ausubel, 1981, p. 96.

48

Lo que casi siempre pierden de vista también quienes abogan por el método directo y por la lectura inmediata y directa es que “captar inmediatamente de la página escrita el pensamiento sin ninguna intervención de la lengua materna” constituye ya una etapa avanzada de eficiencia y que lo fundamental es aprender primero el significado de las muchas palabras o frases individuales que componen la página. Hay aquí una obvia confusión de los medios con los fines: del objetivo inmediato con el final. Nosotros deseamos ciertamente que nuestros estudiantes lean directa y fluidamente otro idioma con la menor interferencia posible de la lengua materna. Pero éste es, o debiera ser, el resultado final, la meta de nuestra enseñanza, y de ninguna manera el medio de alcanzarla.9

9

Ausubel, 1981, p. 97.

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significativa, entre el significado de la oración y los constituyentes de ésta. La prevalencia de la relación arbitraria facilita, por un lado, la repetición correcta de los patrones lingüísticos y la reproducción memorística de los diálogos dentro de un marco familiar y estructuralmente limitado y permite sustituciones, transformaciones y elaboraciones sencillas; pero dificulta que palabras nuevas de un contexto más amplio y desconocido puedan incorporarse en el patrón aprendido o, incluso, que palabras y funciones sintácticas conocidas se recombinen para expresar otras ideas. Por el contrario, en la práctica de un patrón significativo debe proponerse el saber de la función sintáctica de cada palabra y también de su contribución semántica al significado total de la oración. Cuando el aprendiz manifiesta este conocimiento, dice Ausubel, le es posible: a) construir una oración estructuralmente comparable al modelo aprendido, mas con una idea diferente; b) volver a combinar palabras y funciones sintácticas conocidas generando nuevos patrones gramaticales.10 Pero, atención, no se sugiere eliminar la práctica de los patrones lingüísticos, sino tornarlos significativos. Sin duda, el aprendizaje de otro idioma requiere la repetición de sus patrones estructurales básicos y característicos;11 pero el aprendiz tiene que apreciar la relación precisa entre las manipulaciones verbales que practique

10 11

Cf. Ausubel, 1981, p. 98. Las prácticas de patrones lingüísticos consisten en repetir frases y oraciones que ilustran una construcción gramatical determinada, y en sustituir y transformar tales alocuciones de modo que sigan ejemplificando las mismas construcciones con cambios de significado paulatinamente más complejos. En las prácticas de diálogo los aprendices repiten de memoria los enunciados de una conversación; así aprenden a sostener charlas en distintas situaciones vivenciales.

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El enfoque linguafónico supone que el aprendizaje de otro idioma, tanto en niños como en adultos, es en gran parte un proceso de aprendizaje verbal repetitivo.

y los cambios de significado que induzca con tales manipulaciones para que su aprendizaje sea significativo. Este aprendizaje significativo se produce cuando se alternan y sincronizan las ineludibles repeticiones de los modelos lingüísticos con las proposiciones sintácticas teóricas pertinentes, puesto que una proposición gramatical establecida de modo abstracto, preciso y explícito es susceptible de transferirse a cualesquiera discursos que la contengan; es decir, se transfiere al aprendiz la capacidad de deducir de una generalización gramatical, de un modelo sintáctico, todas las aplicaciones factibles de tal modelo. No cabe duda de que este método es mucho más rápido y eficaz que el inductivo, cuya pretensión de que el aprendiz siga el camino pletórico de ambages del descubrimiento casuístico de la generalización gramatical atingente es una verdadera pérdida de tiempo, un método que

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sólo resulta positivo en el ámbito restringido de lo que es muy semejante y obvio. Debe reconocerse que la teoría gramatical, como cualesquiera teorías, no es otra cosa que práctica comprimida y quintaesenciada de la materia que trata, y que adecuadamente combinada con la práctica viva produce los mejores resultados en el aprendizaje. ¡Cuánto facilita, por ejemplo, en el aprendizaje de la estructura del predicado de cualquier idioma indoeuropeo, saber que el adverbio se llama así porque va junto al verbo y es el principal modificador de éste! ¡Cuánta memorización superflua puede ahorrársele al aprendiz y cuánto más le ayudaríamos a estructurar correctamente y más pronto las oraciones con sólo darle este elemento teórico en lugar de aburrirlo con el repaso monótono de elementos sin nombre y sin orden aparente! ¡Cuántas bellaquerías lingüísticas transgresoras del inglés y el español se evitarían si tan sólo se aprendieran las reglas básicas del uso del gerundio en uno y otro idiomas! Sirvan las expresiones anteriores para ilustrar la necesidad de una enseñanza gramatical y fónica organizada convenientemente, sin incurrir en el facilismo de centrar la enseñanza en la habilidad de la comunicación oral, cuyos resultados dejan mucho que desear. En la última parte concluiremos la presentación de este asunto y del aprendizaje significativo, tema central de estos artículos.

Escuchar, hablar; leer, escribir / Leer, escuchar; escribir, hablar Toca el turno al aspecto de la presentación previa de los materiales en forma hablada, uno de los principios cardinales del enfoque linguafónico, que antepone estos materiales a los de índole

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escrita, tanto como las destrezas de escuchar y hablar a las de la lectura y escritura. El argumento linguafonista es el de siempre: el orden “natural“ en que los niños aprenden su lengua materna, cuyo itinerario es escuchar, hablar, entender y, al final, leer y escribir; mismo orden que este enfoque aplica al aprendizaje de una lengua extranjera por parte de los adultos. Pero se contraargumenta, por el lado de la orientación gramatical, que el aprendiz alfabetizado no puede, ni debe, aprender otro idioma como si fuere un niño sin alfabeto, puesto que ya cuenta con el valioso recurso de la lectura y la escritura, destrezas que deben emplearse en la consecución de nuevos aprendizajes. En este caso, es antinatural esperar que un alfabeto aprenda del mismo modo que un analfabeto. No hay duda de que la presentación, tanto alternada como concomitante, de los materiales escritos y audiofónicos del otro idioma es lo más pertinente para su aprendizaje equilibrado, lo cual responde a dos razones. Primero, porque en nuestra cultura las personas alfabetizadas están mucho más habituadas a aprender leyendo que escuchando; en consecuencia, es antipedagógico privar al aprendiz de su principal herramienta cognitiva, sobre todo en las fases iniciales e intermedias de la enseñanza. Segundo, porque la familiarización con el material escrito antepuesto al audiofónico brinda más apoyos al aprendizaje durante las primeras etapas de adquisición y comprensión de la otra lengua, dado que: Por la falta de familiaridad con los sonidos nuevos, con las secuencias no características de sonidos, y con el orden de las palabras y los patrones sintácticos característicos del segundo lenguaje, es muy difícil para el principiante distinguir los sonidos aislados, las formas inflexivas y los grupos de palabras con sólo escucharlos; por tanto, a menudo es incapaz de captar el significado del

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material hablado y, asimismo, carece de aptitud para apreciar su estructuración sintáctica lo bastante bien como para realizar transferencias.12

En este caso, la lectura simultánea facilita la relación entre grafemas y fonemas del nuevo idioma; las repeticiones conllevan la identificación de los símbolos acústicos, propician su reproducción más o menos fidedigna y la apropiación por parte del aprendiz y, al mismo tiempo que se desarrolla la habilidad para escuchar, se van asimilando las estructuras sintácticas. Desde luego, en la medida del incremento de la comprensión audiofónica, el material escrito de respaldo puede omitirse parcial o totalmente. En cuanto al dogma linguafónico de que el aprendiz debe acostumbrarse desde el principio a la “velocidad natural” de la lengua hablada, ya se ha señalado que causa más demora que avance en la obtención de la habilidad audioral por parte de los adultos. Es evidente que la práctica de escuchar mejora la habilidad de la comprensión auditiva y la comunicación oral, pero sólo si lo que se oye se entiende; por el contrario, si por la rapidez de la muestra hablada el aprendiz no entiende, su desarrollo audioral tenderá a ser nulo o será apenas incipiente tras invertir tiempo y esfuerzo excesivos. Por tanto, es preferible empezar por un ritmo más lento que el normal y, progresivamente, en la medida que el aprendiz mejora su comprensión, hacer tender la velocidad de los ejercicios a la cadencia normal y los ambientes de las muestras a situaciones reales, dado que la “simplificación artificial se justifica siempre durante las primeras etapas de cualquier proceso de aprendizaje”.13

A través de esta larga exposición en torno del aprendizaje significativo, ha aflorado fehacientemente el papel toral de la simbolización y el lenguaje en las formas más complejas de la evolución y estructuración cognitivas. Puesto que el lenguaje verbal (sea oral o escrito) es el más complejo sistema simbólico, es también el más sofisticado instrumento cognitivo creado por el ser humano y base de su estructura cognitiva. Traducir la experiencia a la forma simbólica, con sus medios concomitantes de hacer referencias, transformaciones y combinaciones remotas, abre dominios de posibilidades intelectuales cuyos órdenes de magnitud superan al poderoso sistema de formación de imágenes […]. Cuando el niño ha logrado internalizar el lenguaje como instrumento cognoscitivo, queda a su alcance representar y transformar sistemáticamente las regularidades de la experiencia con eficacia y flexibilidad mayores que anteriormente.14

Se ha observado que la superioridad del aprendizaje verbal respecto del preverbal es atribuible a que los aprendizajes simbólicos pueden identificarse, transformarse y recibir respuestas diferenciales con mucha más eficiencia que los estímulos o situaciones representadas por símbolos no verbales. Por lo general, el niño de cinco años de edad ya domina la sintaxis básica y, por ello, el lenguaje verbal asume una actuación predominante en su desempeño cognitivo. Los estudios en torno al desarrollo y relación del lenguaje y el pensamiento (los de Vigotsky, primero y, después, los de Inhelder y Piaget) han sugerido que el pensamiento lógico está vincu-

14

12 13

Ausubel, 1981, p. 100. Ausubel, 1981, p. 101.

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Ausubel, 1981, p. 101. Es menester recordar que también existe una competencia cognitiva preverbal en los bebés y en muchos animales, especialmente en mamíferos, pero tiene un papel de segundo orden en el aprendizaje verbal significativo.

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lado en gran parte al desarrollo de la capacidad lingüística. Es innegable, afirma Ausubel, que hay, por una parte, cierto grado de relación causal entre los logros lingüísticos como la representación simbólica, el dominio de la sintaxis, la internalización del lenguaje y la adquisición de términos más abstractos y de relaciones y, por otra, avances en el desempeño cognoscitivo como la internalización de las operaciones lógicas, el surgimiento de la capacidad para entender y manipular relaciones entre abstracciones sin necesidad de experiencias empíricas actuales o recientes y la adquisición de la capacidad para pensar en función de relaciones hipotéticas entre variables.15

Dicho de otro modo, el pensamiento más sofisticado existe merced al poder de transferencia cualitativamente superior de la generalización y la simbolización verbales. La verbalización es parte integral del procedimiento de apropiarse de nuevas abstracciones y generar un proceso de creación de nuevos conceptos y proposiciones abstractas. Las proposiciones y los conceptos más complejos y del más alto nivel de abstracción son posibles gracias a que se operan mediante los símbolos representativos del lenguaje verbal, cuya flexibilidad, dada por el poder significativo de cada palabra, facilita combinaciones, transformaciones, redes y filigranas mentales que sería imposible fusionar de otra manera. Además, a través del lenguaje se verbalizan, adquieren forma de concepto o proposición las intuiciones o manifestaciones subverbales; sólo entonces estas últimas se vuelven ideas claras, explícitas, precisas y organizadas, merced al proceso de refinamiento del lenguaje; así es como

15

Ausubel, 1981, p. 102.

52

la verbalización incorpora mucho al significado y a la transferibilidad de los productos del pensamiento y debe considerarse, por ello, componente estructural de éste. El lenguaje, pues, contribuye fundamentalmente, en síntesis, a conformar conceptos y a solucionar problemas, debido a que las propiedades representativas de las palabras facilitan los procesos de transformación que intervienen en el pensamiento y porque la verbalización de los productos subverbales (presentes en los procesos mentales) mejora y perfecciona sus significados cuando los nombra y, con esto, aumenta su calidad de transferencia, es decir, de aprendizaje significativo incorporable a la estructura cognitiva y expresable como competencia. En un sentido lato, la posesión del lenguaje permite adquirir, por medio de aprendizajes por recepción o por descubrimiento, vastos repertorios de conceptos y principios que no podría conseguir el aprendiz de otra manera, aunque fuese Matusalén. El desarrollo cognitivo individual y social sería inconcebible si no hubiera lenguaje, ya que éste es el instrumento psicomotor de la simbolización representativa y la verbalización, que tornan factible: a) la generación original (descubrimiento) de ideas en un nivel singularmente elevado de abstracción, generalidad y precisión; y b) la acumulación y la transmisión de estas ideas durante el curso de la historia cultural.16 Ojalá que el vínculo íntimo entre pensamiento, lengua y aprendizaje se haya trazado nítidamente tras la lectura de este ensayo en torno al aprendizaje significativo, concepto cardinal en la obra de Ausubel.

16

Ausubel, 1981, p. 105.

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artistas Y ARTESANOS

Aprendamos a ver cine VII MIENTRAS EL MUNDO SE DESMORONA Luis Ignacio de la Peña

Joseph Francis Keaton, conocido por todo el mundo por el apodo de Buster

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ronto, Buster se convirtió en amigo y coestrella de Arbuckle, en autor y ejecutor de situaciones cómicas y codirector de muchos de los cortos en los que participó con su obeso compañero. Después del escándalo (derivado de la muerte de una aspirante a actriz en una fiesta alocada) que hundió a fuerza de chismes en los periódicos de la cadena Hearst la carrera de Arbuckle, Keaton consiguió que le asignaran una unidad de producción. Así empezó su trayectoria personal, por la que obtuvo, según encuestas, el puesto 21 como el mejor actor masculino de todos los tiempos (en 1999), el 62 por la obra más divertida del cine (en 2000, por El moderno Sherlock Holmes) y el 15 como au-

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(en la época de su infancia significaba “golpe”), que según decía el susodicho le había endilgado el mismísimo Harry Houdini, nació en 1895 en el seno de una familia de comediantes. Por ello, desde la infancia subió al escenario, donde aprendió acrobacias y prodigiosas maneras de caer que cualquier gato respetable del vecindario envidiaría de todo corazón. Tuvo una exitosa intervención en vodeviles, fue reclutado para la Primera Guerra Mundial (y, aunque no participó en ninguna acción bélica, terminó con problemas auditivos) y en 1917 conoció a Fatty Arbuckle, quien lo conectó con el cine.

tor de una las mejores películas de la historia (en 2002, por El maquinista de la General, además de que en esa encuesta recibieron votos otras dos de sus obras: Nuestra hospitalidad y El moderno Sherlock Holmes). En el periodo que va de 1920 a 1929 realizó una veintena de cortos y una docena de películas de largometraje. Y prácticamente todo ese material es valioso. Esto no se debe a ninguna casualidad, pues Keaton tuvo el mejor ojo para el cine entre los comediantes de la época muda, aunado a la creación de un personaje inconfundible, un despliegue de ingenio en verdad impresionante y una minuciosa puesta en escena que convertía la precisión absoluta en asunto de

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Escenas de El moderno Sherlock Holmes, de 1924.

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vida o muerte. En su caso, la improvisación tenía poca cabida, pero los resultados funcionan como máquina de relojería encargada de marcar el ritmo de un mundo sumido en el desconcierto y el malentendido, un mundo a punto de derrumbarse física o figuradamente. Veamos primero el personaje. No tiene la estampa definitiva que poseen el vagabundo de Chaplin o el hombre común de Harold Lloyd, así que puede ser un millonario aburrido, un esposo de clase media, un heredero desubicado y desesperado, un camarógrafo que busca quedar bien, el modesto maquinista de un tren, el proyeccionista de un cine, el ingenuo que pretende convertirse en hombre de negocios –y termina en una persecución policiaca de pesadilla– o el recién casado que levanta una casa prefabricada. No lucha como Lloyd por ganarse un lugar a golpe de destreza, ni es beneficiario de la suerte o la buena voluntad como el vagabundo. Nunca solicita ni por equivocación que nos apiademos de él. Se trata de un testigo que observa cómo todo a su alrededor empieza a volverse polvo y cascajo (y vaya que esto suele ser literal). Frente a las actitudes y gestos exagerados de gran parte de sus contemporáneos, Keaton permanece inconmovible (mas no insensible) en el epicentro del cataclismo, no se le mueve un músculo del rostro así se hunda en el más insondable de los abismos. Ésa es la primera seña particular de su personaje (se afirma, incluso, que por contrato no podía sonreír en público). La otra es el sombrero plano que usa en muchas ocasiones, aunque también puede ser objeto de broma como cuando el personaje de El héroe del río va a una sombrerería, se prueba varios y se sobresalta al verse con ése. Ahora bien, ¿por qué tenía el mejor ojo para el cine? Por la sencilla razón de que su humor depende de sus muy alambicadas construcciones visuales, apuntaladas, sí, por las situaciones

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en que están inmersas, pero que constituyen alardes de imaginería que dependen no de lo verbal, sino sólo de lo visible. Para comprobarlo, basta con enunciar el planteamiento de El moderno Sherlok Holmes (Sherlock Jr., 1924). En esa película tenemos al proyeccionista de un cine que, abrumado por el malentendido disparador del rechazo de su pretendida, se duerme mientras realiza su trabajo. En seguida vemos que su imagen se separa de su cuerpo, entra en la sala de cine, recorre el pasillo central, observa y se mete a la pantalla. Una vez dentro se suceden vertiginosos cambios de escena que le acarrean desconcierto y caídas (una de ellas le causó una lesión en la columna vertebral que fue detectada años más tarde). Ya instalado en la trama y con los personajes con los rostros de sus conocidos, es un detective que investiga el robo de unas perlas, sobrevive a varios atentados, realiza proezas varias tanto de equilibrio como de agilidad y captura a los culpables antes de despertar y enterarse de que su prometida había logrado desentrañar el malentendido. El lugar común que reza que el cine es una fábrica de sueños se toma al pie de la letra en El moderno Sherlock Holmes. Se trata de una obra que muestra cómo se plasma en una película un sueño, de cómo la fantasía (por más disparatada que pueda parecer) se nutre de la vida. Pero también hallamos lo contrario, pues al final el proyeccionista mira con atención a los personajes de la cinta que se pasa en el cine para imitarlos paso a paso cuando quiere darle un beso a su novia. La precisión que exigía el trabajo de Keaton puede evaluarse a simple vista en El héroe del río (Steamboat Bill Jr., 1928). En la parte central de la película hay una secuencia en la que un huracán destroza el puerto. Los techos de las casas se desprenden, los edificios en torno al personaje central (Keaton mismo, claro), a quien los vientos han sacado de la cama, empiezan a derrum-

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Aprendamos a VER CINE VII

Escena de El héroe del río, de 1928, en la que cae una pared sobre el personaje de Buster Keaton.

barse a diestra y siniestra, lucha contra las ráfagas, que más de una vez lo arrastran y lo hacen volar y en el momento más crítico queda frente a una pared que se desprende y cae sobre él… pero nada le sucede porque estaba colocado exactamente donde pasa el hueco de una ventana. El muro era real y pesaba toneladas; de haber salido algo mal, Keaton no hubiera podido contarlo. Este hombre no fue sólo el relojero planificador de escenas espectaculares, también hay que considerarlo un hábil narrador a través de imágenes, contrapuntos, planos y contraplanos, un imaginativo maniático de los detalles (el tren que reconstruye a imagen de los primeros vehículos de su tipo en Nuestra hospitalidad), incluso si esos detalles son absurdos (la puerta de la casa del detective de El moderno Sherlock Holmes es la de una caja fuerte). Se considera El maquinista de la General (The General, 1927) como la obra maestra de Keaton.

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Escena de El maquinista de la General, de 1927.

Presenta la historia de un conductor ferroviario durante la Guerra de Secesión en Estados Unidos, quien se ve envuelto en un par de peculiares persecuciones de locomotoras. Aquí están los elementos típicos de muchas de las comedias de Keaton: el personaje central pequeño, débil y menospreciable sólo en apariencia, la novia que lo desdeña por malentendidos, la irrupción de situaciones apremiantes que vienen a revolucionar las cosas y terminan por poner todo en su lugar, la sucesión de situaciones cómicas, los despliegues espectaculares de saltos, caídas, incendios, cañonazos y diversos accidentes para llegar a un clímax en el que uno se pregunta si el maquinista ama más a la locomotora que a la novia (la primera al menos le obedece; la segunda en momentos es sometida a zarandeos inmisericordes). Sin duda esta obra se merece el gran aprecio que se le tiene; sin embargo, como suce-

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de con frecuencia, en su momento no fue bien recibida. Se consideró larga y tediosa, a pesar de ser una historia muy bien construida y, por lo tanto, bien contada; no obstante presentar un gran despliegue de recursos técnicos y una cuidadosa reconstrucción de época, se le reprochó que no fuera completamente seria o decididamente cómica, lo cual ya era desde antes una de las características de las obras de Keaton (ver, por ejemplo, el largo preludio de Nuestra hospitalidad, de 1923). Creo que tampoco se valoró la sutileza de la mirada irónica. No me parece que en este caso haya influido el hecho de que los personajes fueran del bando sureño, pues esto es sólo circunstancial y sin los aspectos ideológicos polémicos que despliega El nacimiento de una nación (D. W. Griffith, 1916). Aunque parezca paradójico, en ciertos momentos Keaton está muy cerca del universo creado por el escritor Franz Kafka. La persecución de un ejército de mujeres vestidas de novia en Siete oportunidades (Seven chances, 1925) y la construcción de la casa contrahecha en Una semana (One week, 1920) tienen ese clima, lo mismo que la situación de La casa eléctrica (The electric house, 1922) o, prácticamente en su totalidad, el corto llamado Policías (Cops, 1922). También puede otorgársele el título de gran heredero de Georges Méliès, pues así lo acredita sin lugar a dudas y sin necesidad de retorcer mucho el imaginativo uso de los trucos que sólo el cine podía ofrecerle. El primer divorcio y la llegada del cine sonoro relegaron a Keaton. Por un lado, perdió buena parte de sus bienes y su contrato fue vendido a un estudio que minó su creatividad. Participó como actor en muchas películas habladas en plan desangelado (con Jimmy Durante, por ejemplo o, en uno de los ejemplos más patéticos, con un comediante infinitamente inferior como Ángel Garasa en la película mexicana de 1946,

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Aprendamos a VER CINE VII

El moderno Barba Azul) y escribió a sueldo chistes (algunos para los Hermanos Marx).También se agudizó su alcoholismo y se enredó en un segundo matrimonio fallido. Keaton, gracias a un tercer matrimonio, reencontró el equilibrio. Actuó en una serie de cortos que son malas comedias al estilo de los Tres Chiflados. Realizó con éxito una serie de programas de televisión y tuvo esporádicas apariciones en películas de otros –por ejemplo en

Candilejas (Limelight, 1952), de Chaplin, o El crepúsculo de una estrella (Sunset Boulevard, 1950), de Wilder. Su presencia en la pantalla chica hizo renacer el interés por sus películas mudas, que fueron revaloradas y restauradas. Luego de más papeles pequeños en otras cintas y estelares en comerciales para la televisión, además de la participación en el corto Film (1964), con guión de Samuel Beckett, Keaton murió de cáncer de pulmón en febrero de 1966.

La antítesis de Buster Keaton

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En 1985 Woody Allen realizó una cinta llamada La rosa púrpura del Cairo. Ahí Allen pone en marcha una situación que es la opuesta a lo que Buster Keaton había planteado en El moderno Sherlock Holmes. Y es que buena medida Allen puede calificarse como la antípoda de Keaton. Es cierto que al principio de su carrera el primero echó mano de recursos del slapstick, pero conforme fue definiendo su estilo, su humor se centró más en el contexto de las situaciones que en la acción física, más en una densa verborrea que en sorpresas visuales. Si en El moderno Sherlock Holmes el proyeccionista se mete en una película para vivir una fantasía, en La Cartel de la película La rosa púrrosa púrpura del Cairo un personaje se sale de la pantalla pura del Cairo, de Woody Allen. para conocer y poner en entredicho la realidad. Estilos y propuestas opuestas, sí, pero los temas en el fondo son los mismos y podemos decir que en ambos casos los resultados son estupendos. NOTA:

Suelen indicarse también como fuentes de inspiración de La rosa púrpura del Cairo otras dos obras: Seis personajes en busca de autor, de Pirandello, y Hellzapoppin’, una película de 1941 que desconozco.

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sentidos Y SIGNIFICADOS

Cómo contamos LOS DÍAS Arrigo Coen Anitúa (†)

Los diversos sistemas de subdivisión del tiempo en periodos fijos, así como las tablas y los libros en los que se anotan los días del año, con indicación de las celebraciones, civiles o religiosas, reciben el nombre genérico de calendarios. La palabra calendario es de origen latino: calendas (calendae) era el nombre que, en la antigua Roma, se daba al primer día de cada mes, debido a la calatio o ‘llamamiento’ ritual (del verbo calare, ‘convocar’, ‘proclamar’) que en él se hacía. Esta ceremonia se remontaba a los tiempos anteriores a la adopción del calendario solar, o sea, cuando se contaba todavía por ciclos lunares, meses de novilunio o novilunio. El latín mensis, ‘mes’, tiene el mismo origen que el griego men, ‘mes’ y ‘luna’. Pues bien; ese día, el pontífice menor, o el que más recientemente había entrado a formar parte del colegio sacerdotal de los pontífices, subía al Capitolio (una de las siete colinas de Roma), a la cresta consagrada a Júpiter (la otra, la del norte, lo estaba a Juno, en su advocación de Moneta) y allí, mediante una fórmula, anunciaba cuántos días faltaban para el primer cuarto (día llamado “de las nonas”) y, por consiguiente, también los que habían de transcurrir para el plenilunio. Acostumbrados los romanos a este lenguaje, siguieron usando los términos calendas, nonas (nonae) e idus (de iduare, ‘dividir’, voz de origen etrusco), aun después, cuando, adoptado el cómputo solar (12 meses de 30 días cada uno), ya no había relación alguna con las fases lunares. El de las nonas era el noveno día antes de los idus, y éstos correspondían al decimoquinto día de los meses de marzo, mayo, julio y octubre, o al decimotercero de cualquiera de los otros meses.) Ninguno de los sistemas calendáricos utilizados por los pueblos primitivos, incluso después de la reforma ‘juliana’ (ordenada por Julio César en el año 46 a.C.), alcanzó la perfección del calendario que en México ya usaban los nahoas y los mayas cuando llegaron los españoles: el tonalámatl (de tonal(li), ‘verano’ y ámatl, ‘papel’,‘documento’), que constaba de 13 periodos de 20 días, corregido con otro, verdaderamente preciso, pero muy complejo, que combinaba un ciclo solar (19 “meses” de 20 días cada uno, más cinco nemontemi, nombre compuesto de nen, ‘sobrante’ y temi, ‘llenar’, esto es, ‘los que comple-

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Cómo contamos LOS DÍAS

Imix

Ik

Akbal

Kan

Chicchan

Cimi

Manik

Lamat

Muluc

Oc

Chuen

Eb

Ben

Ix

Men

Cib

Caban

Etznab

Cauac

Ahau

Nombres de los días y glifos asociados del Calendario Tzolkin –la cuenta de los días–, nombre dado a la versión maya del sincronario o ciclo sagrado de 260 días, constituido por veinte trecenas (o trece veintenas) utilizado en la mesoamérica precolombina.

tan lo que falta’), con varias observaciones astronómicas, como los ciclos de Venus y otros planetas. Cada 52 años (cuando se “renovaba” el Sol) coincidían el tonalámatl y el “siglo” solar. A guisa de curiosidad, en seguida se transcriben los nombres de las 18 veintenas del calendario náhuatl. Atlahualo ‘dejan las aguas’; tlacaxipehualiztli, ‘desuello de los hombres’; tozoztontli, ‘pequeña velación’; hueytozoztli, ‘gran velación’; tóxcatl, ‘sequía’; etzalcualiztli, ‘comida de etzalli’ (papilla de maíz y frijol); tecuilhuitontli, ‘fiesta pequeña de los señores’; hueytecuílhuitl, ‘gran fiesta de los señores’; tlaxochimaco, ‘se dan flores’; xocotlhuetzi, ‘cae la fruta’; ochpaniztli, ‘barrido, aseo’; teotleco, ‘legan los dioses’; tepéilhuitl, ‘fiesta del cerro’; quecholli, ‘¿flamenco?’ (ave codiciada, de bello plumaje), panquetzaliztli, ‘izado de banderas’; atemoztli, ‘baja el agua’; títitl, ‘encogido, arrugado’, e izcalli, ‘resurrección’. Cuando los romanos se dieron cuenta de que el calendario de sólo diez meses no les funcionaba ni con los ajustes que con mucha frecuencia le hacían para que les coincidiera con las estaciones del año, decidieron agregarle dos meses; así a martius (principio de la primavera, ‘primer verano’), aprilis, maius, junius, quintilis (posteriormente julios, sextilis –después augustus), september, october, november y december, se les sumaron januarius y februarius; pero a Numa Pompilio se le ocurrió pasar los dos últimos meses al principio de la cuenta del año, con lo que el séptimo, el octavo, el noveno y el décimo meses vinieron a dislocarse y ahora cualquiera de ellos cae dos lugares delante de lo que su nombre indica.

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problemas SIN NÚMERO

Un lugar PARA CADA UNO Claudia Hernández García

Si los niños han de lograr los objetivos de la educación científica de desarrollar su comprensión del mundo que les rodea, debemos ayudar a transformar sus ideas y sus técnicas de procedimiento. Si éstas no se van haciendo más científicas y lógicas, las ideas “de andar por casa” no serán puestas en tela de juicio y las potencialmente más útiles serán rechazadas. Si las ideas cotidianas no se transforman gradualmente en otras más útiles, las técnicas de procedimiento verán limitados sus efectos y, en consecuencia, su contribución a la comprensión. A partir de estas premisas, se deduce que los objetivos de la enseñanza de las ciencias deben incluir los siguientes aspectos: • ayudar a que los niños se hagan conscientes de sus propias ideas y tengan acceso a las de los demás (compañeros, profesores y otras fuentes) para compararlas con ellas; • ayudar a los niños a aplicar ideas (suyas y de los otros) a un problema o situación, y a comprobar su utilidad en los casos particulares; • ayudar a los niños a reflexionar críticamente sobre cómo han de ser empleadas y comprobadas las ideas y a buscar formas más eficaces de realizar estas tareas. Algunos de los aspectos más positivos que sugerimos para la enseñanza son los que proporcionan: • oportunidades para que los niños investiguen problemas y hechos a partir de los que puedan desarrollarse ideas útiles; • oportunidades para que los niños piensen explicaciones o soluciones alternativas y las comprueben; • oportunidades para que los niños compartan en grupos una tarea o problema, siendo ellos los responsables de las ideas y de las formas de comprobarlas. WYNNE HARLEN

Tomado de Enseñanza y aprendizaje de las ciencias, de Wynne Harlen, Ediciones Morata, Madrid, 2007, pp. 49-50. Wynne Harlen es una educadora que ha dedicado su vida profesional a la investigación, el desarrollo de planes de estudio y la evaluación en el contexto de la enseñanza básica. Su principal interés es estimular el aprendizaje de los niños mediante la comprensión a través de técnicas que promuevan la curiosidad y el respeto.

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Un lugar PARA CADA UNO

Actividad En este número de Correo del Maestro les proponemos una actividad para alumnos de quinto de primaria en adelante. Les recomendamos que primero traten de resolverla en equipos de dos o tres personas y luego compartan estrategias y soluciones con el resto de la clase.

1. Este primer reto consiste en colocar los números del 0 al 9 en los círculos de la siguiente figura, con la condición de que números consecutivos no estén unidos por una línea.

13 12 16 18

11 10 17 14

2. Ahora hay que colocar los números del 1 al 9 en los círculos de esta figura, con la condición de que los números en los vértices de cada triángulo sumen el valor que está escrito al interior del triángulo.

3. Coloca los números del 1 al 12 es los círculos de esta otra figura de manera que cada fila de círculos sume 26.

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Problemas SIN NÚMERO

4. Por último, hay que colocar los números del 1 al 6 de manera que la suma de los cuatro números de cada uno de los tres aros sea la misma.

4 7

9

8

2 5

10

6 5

1

3

11 6

12

2

3 4

1

3.

4.

3 5

4 7 9

8

1

9

6

1.

2

5

2

4 0

16 18

2.

14 17 7 12 13

1 11 10

6

3

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Soluciones: 62

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abriendo LIBROS

Para atreverse A ESCRIBIR Rosalía Guerrero Arenas

Presentamos Si te atreves, dilo por escrito, de Valeria García Ferrerio, escritora que ha incursionado en diversos géneros literarios, además de la divulgación de la ciencia. Tal y como sugiere el título, la temática que aborda este libro es la fuerza de la escritura. No sólo por el mero acto de escribir, sino por sus consecuencias. En este texto se abarca la historia y el cambio que ha sufrido la escritura en diversas culturas y épocas a lo largo de doce capítulos, los cuales, dicho sea de paso, se pueden leer en forma lineal o al gusto del lector. La información se presenta en pequeñas dosis, casi en forma de anécdotas, pero en conjunto comprenden un panorama integral de esta actividad.

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n el primer capítulo, “La historia es escrita”, la autora recuerda que el inicio de la historia está marcado por el comienzo de la escritura. Si bien se reconoce que no hay un iniciador único a quien se atribuya el invento de esta actividad, se ha consensuado que hay cuatro culturas pioneras en cuanto a sus propios sistemas de escritura: China, Egipto, Mesopotamia y los mayas. De éstos, sólo los sistemas de escritura china y mesopotámica lograron sobrevivir y convertirse en los medios por los cuales se unificaron territorios que se habían logrado conquistar. Así, la escritura se convierte en un instrumento para ejercer el poder. Esta idea se utiliza como premisa en el segundo capítulo “La escri-

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tura al servicio del imperio”, ejemplificando la influencia del español y árabe, debido a los conflictos bélicos entre ambos países. En el tercer capítulo, “Los imperios de la escritura”, se habla del latín, lengua que fue la elegida por los documentos religiosos católicos, así como del griego, idioma reivindicado durante el Renacimiento. La invitación a desafiar el principio de autoridad se refleja en el cuarto capítulo “Si está escrito, atrévete a contradecirlo”. En esta parte del libro, la autora señala dos casos en los que se enjuicia la credibilidad de los medios escritos: el primero de ellos, el escándalo Sokal, involucró al profesor de física Alan Sokal, quien llegó publicar una serie de escritos con afirmaciones

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Abriendo LIBROS

incoherentes en revistas arbitradas de ciencias sociales. Recientemente, dos conductores de la televisión francesa, quienes habían cursado doctorados en ciencias, fueron objeto de críticas al descubrirse que su prestigio académico se basaba en diversos artículos sin bases científicas. Además de lo anterior, se analiza por qué la autoridad de las leyes es mayor si son escritas. El registro de nuestro nombre en el momento del nacimiento determina en buena medida nuestra identidad; y no sólo eso, sino que en algunas culturas se creía que el epitafio implicaba consecuencias en la vida eterna; ello se analiza en el quinto capítulo, “Somos un nombre”. También se muestra que, a diferencia de nuestra cultura, los árabes acostumbraban asociar elementos que permitían identificar la identidad de las personas. Así, cuando una persona moría, el nombre señalaba su genealogía, posesiones, oficio, formación, actividad profesional, entre otros elementos. Finalmente, se hace un recuento del significado de la firma en nuestra cultura, como sello particular de nuestra identidad. “Negro sobre blanco”, según García Ferreiro (sexto capítulo), es una expresión que se utiliza para exigir o manifestar la intención de exponer una idea con absoluta claridad. El “negro” no siempre fue tinta, sino que se han utilizado diversas combinaciones de grafito y otros materiales. El “blanco”, por otro lado, no sólo abarcó las diversas variedades del papel –o la pantalla de la computadora en tiempos modernos–, sino diferentes fibras vegetales como el papiro o el amate. En el siguiente capítulo “Blanco sobre negro” la autora señala la manera en que la escritura se ha utilizado como instrumento para

dominar y someter socialmente a través de la imposición de castas y razas. En el octavo capítulo “Los enredos de la lengua”, se detallan los orígenes de las normas de ortografía de nuestro idioma. Y también se hace un recuento del lenguaje científico, jerga incomprensible para una buena parte del público, sus efectos y su uso en el lenguaje cotidiano. Para completar el panorama, en el capítulo 10, “Traicionera traducción”, se nombran los numerosos inconvenientes y contratiempos a la hora de enfrentarse con la traducción de un idioma extranjero. El autor, personaje responsable de sus escritos, puede ser reprimido, censurado y condenado por sus textos, tal como lo sentencia “Todo lo que escribas será usado en tu contra”, en el capítulo nueve. En esta parte se narran varios sucesos en los que los autores sufren la censura, o en el peor de los casos, la muerte. Si el deseo de escribir es mayor que la persecución que pueda sufrir un autor, la autora propone: “Si no te atreves, encripta”, capítulo en el que reseña la historia de la criptografía, así como el papel que desempeñó en diversos episodios históricos. Por último, en “Lo que se quedó en el tintero” hay diversas anécdotas sobre la escritura y los ciegos, la escritura y la música, así como los estudiantes y su habilidad para escribir. Este libro es una invitación a acoger a la escritura no sólo como un acto mecánico, sino como un medio para valorar nuestra propia historia. La próxima vez que escribamos, miremos hacia delante y atrás: pensemos no sólo en las consecuencias de la palabra escrita, sino en los acontecimientos que ocurrieron antaño.

Reseña del libro Si te atreves, dilo por escrito, de Valeria García Ferreiro, Por las dudas: colección para curiosos escépticos, Siglo XXI, México, 2009, 126 pp.

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