Correo del Maestro Núm. 33 - Febrero de 1999

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Secuencias para jugar ISSN 1405-3616

El texto gratuito de matemáticas en la educación primaria

Una necesaria concepción de hombre en educación Alejandrino Castañeda Vélez

Silvia Alatorre Natalia de Bengoechea Lydia López Elsa Mendiola Mariana Sáiz

La ciencia detrás de las leyendas II Josip Slisko

La Suave Patria De la Constitución o sobre las composiciones Yuriria Castro

Ramón López Velarde

El método inductivo-deductivo y Charles Darwin Román Tejeda

9!BLF?E@:RUPUOV!

México D. F. Febrero 1999. Año 3 Número 33.




Editorial

En este febrero —mes de la Constitución y la bandera— este Correo trata de las distintas formas de constituir y componer. Un grupo de docentes e investigadoras han constituido un equipo de trabajo y compuesto una propuesta para el análisis y uso de los libros de texto gratuitos de matemáticas. Cada maestro ha de componer las fichas que han de constituir la base de sus lecciones. Otros autores nos orientan en cómo ayudar a nuestros alumnos a constituir, estructurar, diversas formas de pensamiento y razonamiento. Otros más nos recuerdan que la Constitución, la patria, la nación, no son algo abstracto, lejano, sino una estructura, una composición diaria, cotidiana, constituida por todos y por cada uno —con sus particularidades y diferencias— en la que nos une —necesariamente— una concepción de hombre, de mundo y de educación.

Virginia Ferrari

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Entre nosotros

El texto gratuito de matemáticas en la educación primaria Un método de análisis para optimizar su uso

Silvia Alatorre, Natalia de Bengoechea, Lydia López, Elsa Mendiola, Mariana Sáiz1 Introducción Las autoras de este artículo somos profesoras de la Universidad Pedagógica Nacional, en la Unidad Ajusco y tenemos varios años inmersas en la problemática de la enseñanza de las matemáticas. Nuestro trabajo se ha enfocado, por un lado, en la formación de los profesionales de la educación que estudian en la UPN y por otro en la investigación sobre aspectos de la enseñanza de las matemáticas en diversos ámbitos y niveles, particularmente en la educación básica y en la formación y actualización de maestros. Ante la reestructuración de los planes y programas de estudio de la educación básica realizada en 1993 surge naturalmente el interés de conocer con alguna profundidad sus contenidos, enfoques y puestas en práctica. A esta situación se aunó que el Comité de Educación Básica de la Sociedad Matemática Mexicana, interesado en el qué, el para qué y el cómo de la enseñanza actual de las matemáticas en México en los niveles desde preescolar hasta bachillerato, se propuso realizar un estudio en esa dirección. A invitación de la SMM, el grupo de académicas autoras de este artículo nos insertamos en un equipo2, constituido por matemáticos y profesionales de la educación con diversos grados y procedentes de diversas instituciones, para realizar dicha investigación. En ese equipo nosotras conformamos el grupo a cargo de los niveles de preescolar y primaria. Más allá del enfoque matemático, que es el interés primordial del estudio propuesto por la SMM, nosotras nos hemos abocado también al estudio

de ciertos aspectos psicopedagógicos de algunos materiales que se utilizan en la primaria, en particular a los seis libros de texto gratuitos de matemáticas. Consideramos además que es conveniente que un estudio del tipo que estamos realizando arroje productos útiles para diversos usuarios de estos materiales. Como consecuencia, por ahora, hemos elaborado una propuesta de análisis de las lecciones que conforman los libros de texto para uso de los maestros que los utilizan. Sin embargo, pensamos que el método que presentamos se puede usar también para analizar otros textos para la educación primaria, libros elaborados para otros niveles educativos en nuestro país y aun para los de otros lugares.

Para qué sirve y por qué analizar una lección Todo libro de texto, además de presentar contenidos disciplinarios establece, desde la forma de abordar estos contenidos, una propuesta de trabajo en el aula. Sin embargo, es el maestro el encargado de traducir una propuesta en acción y es el alumno quien trabajará concretamente con el material indicado. En estos sucesivos eslabones, el texto adquiere fisonomía particular para cada niño y cada grupo escolar; es posible entonces perder la intención del autor y modificar radicalmente el significado de las actividades propuestas. Es necesario pues hacer un análisis serio del material que se vaya a utilizar para tener la mayor claridad

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posible sobre los por qué y para qué de ciertas actividades y decidir así la forma más conveniente de planear el trabajo en el salón de clases. A partir de esta reflexión, es correcto hacer las adaptaciones o modificaciones que se consideren pertinentes, pero es inaceptable que se hagan modificaciones sin un trabajo reflexivo previo. Los libros de texto gratuitos de matemáticas, realizados bajo las premisas de los actuales planes y programas, están conformados por lecciones en las que se va entretejiendo, a lo largo del ciclo escolar, el desarrollo de una serie de actividades que deben favorecer en los alumnos el proceso de aprendizaje de los contenidos programáticos. Con una propuesta didáctica como la actual es posible que una primera lectura de una lección no permita percibir todo su potencial; sabemos que hay metas a corto plazo y otras que para su logro necesitan de un largo trabajo que vaya permitiendo al niño construir los conceptos matemáticos desde los cimientos. Mientras que hay actividades claras y precisas para desarrollar por el alumno, hay otro tipo de actividades no visibles, que acompañan a las primeras y son favorecidas por éstas. El desarrollo de algunos contenidos es muy claro pero no lo es tanto la preparación del terreno para que el niño logre la apropiación de otros. Entonces, entender la esencia de una lección se hace imprescindible para ubicarla en el desarrollo del tratamiento de los contenidos que aborda y, por tanto, en el quehacer docente. Aunque un libro es más que la suma de sus lecciones y el desarrollo de un curso es más que la suma de sus clases, los maestros debemos planear la clase diaria. Nuestra propuesta pretende ayudar a realizar esta labor cotidiana considerando la perspectiva de lo global y la hemos construido para poder analizar desde la más simple lección de primer grado hasta la más compleja de sexto grado.

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El método de análisis La unidad central de la metodología de análisis que proponemos sobre los libros de texto es la lección y, a través de este análisis, pretendemos explorar qué contenidos matemáticos cubre la enseñanza primaria y cómo lo hace; es decir, qué se entiende hoy y aquí por saber matemáticas en este nivel. Muchas variables son consideradas en el análisis de las lecciones; algunas obedecen a criterios puramente matemáticos, mientras que otras son de carácter didáctico-pedagógico. A partir de algunas de estas variables hemos construido una lista de once preguntas que consideramos esenciales para obtener la información fundamental de una lección que permita su correcta aplicación en el marco general del libro, de los contenidos y enfoques de los programas y aun para planear correcciones en caso necesario. Estas interrogantes constituyen nuestra propuesta de método de análisis. A continuación presentamos las preguntas mencionadas acompañadas de una breve explicación de cómo las entendemos y de la precisión de algunos términos que pudieran prestarse a confusión. 1) ¿Hay un contenido o contexto conductor y unificador? ¿Cuál es? En la estructura de los libros de texto gratuitos de matemáticas la lección es la unidad de desarrollo, por lo que debe existir algún elemento que la unifique, que le dé coherencia y la convierta en un todo. Este factor que le da cuerpo a una lección puede ser un contenido del programa o varios de ellos relacionados estrechamente y que son tratados a lo largo de la lección considerando sus diferentes aspectos; puede ser un contexto que se explota desde distintos puntos de vista e involucra diversos contenidos; o bien, una situación problemática que permita la entrada al terreno que se quiere abordar.


2) ¿Cuáles son los contenidos? ¿Hay algunos implícitos? ¿Cuáles son? Es de esperar que el autor de una lección tenga una intención con respecto a alguno o algunos contenidos matemáticos del programa, y que la forma de presentación y la propuesta de trabajo con esos contenidos dependa de lo que quiere lograr a través de la lección y del momento del proceso de aprendizaje para el que la diseñó. Los contenidos que se deben abordar en cada curso aparecen en los planes y programas de la SEP organizados en seis ejes temáticos: los números, sus relaciones y sus operaciones (que aquí llamaremos aritmética); medición; geometría; tratamiento de la información; procesos de cambio; y predicción y azar. La forma en que se enuncian los contenidos en los programas obedece a dos criterios: el matemático y el didáctico. Este doble criterio actúa, a nuestro modo de ver, en favor de los programas: no conviene separar los aspectos matemáticos y didácticos cuando se habla de la enseñanza de las matemáticas pues cada uno de ellos delimita el alcance del otro en el tratamiento que se hará. Conviene también señalar que los contenidos propuestos en los programas no son una lista exhaustiva de lo que se enseña en las clases de matemáticas de la escuela primaria; por ejemplo, la medición de la temperatura no está incluida ahí pero aparece en los libros de texto de la materia. Aunque un contenido no aparezca en los programas debe considerarse si aparece en una lección. En general, es fácil detectar los contenidos matemáticos explícitos, es decir aquellos que claramente son objeto de estudio en una lección, pero puede haber algunos no tan fácilmente detectables entre los que hay que considerar los contenidos matemáticos implícitos, es decir, aquellos que sin ser el objeto de trabajo de la lección están presentes en las relaciones que se establecen, en las estrategias que se ponen en juego —como una herramienta de trabajo—, en comentarios

colaterales, etc. Detectar estos contenidos es de extrema importancia en una propuesta como la actual, ya que el proceso de construcción de una noción puede comenzar con actividades en las que la noción no se menciona. Del planteamiento que ahí se haga, o de las actividades y preguntas propuestas en la lección, se podrá deducir si se está preparando el terreno para la adquisición de algún concepto. El avance programático que acompaña el material de cada grado permite una identificación de los contenidos y habilidades que supuestamente se pretende poner en juego en cada lección. Con frecuencia, en los libros de matemáticas aparecen de forma implícita contenidos no matemáticos, muchas veces integrados al contexto de una lección. Es importante revisar que tales contenidos sean correctos y que no se contradigan con lo que se presenta en los libros de texto de las otras disciplinas ni con la realidad. 3) ¿El tratamiento matemático de los contenidos es correcto? La idea de esta pregunta es analizar la lección desde un punto de vista puramente matemático, cuidando que no se le esté dando una interpretación incorrecta a algún concepto o presentando una interpretación ambigua que conduzca a posteriores errores y confusiones. En la mayoría de las lecciones de los seis libros este tratamiento es correcto. Sin embargo, hay algunas lecciones que tienen errores de este tipo; cuando esto ocurre puede ser muy grave, ya que puede llevar a confundir al alumno. 4) ¿Qué habilidades del niño se ponen en juego? Una faceta interesante de la enseñanza de las matemáticas es que no sólo agrupan un conjunto de conocimientos sino que además, su estudio permite y requiere desarrollar ciertas habilidades de pensamiento e incluso manuales. Esta pregunta señala hacia este tipo de “contenidos”

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que no se mencionan explícitamente pero que deberán ponerse en juego al trabajar la lección. En las metas para la educación primaria se incluye este aspecto; sin embargo, el término habilidades se utiliza con diferentes significados en el contexto educativo y es conveniente decir a qué se hace referencia cuando lo usamos. Sin afán de pretender que ésta sea una lista exhaustiva, aquí distinguimos las siguientes habilidades en el proceso de aprendizaje de las matemáticas: el cálculo, que puede ser mental o no, y que puede incluir lo que se conoce como mecanizaciones; la coordinación motriz fina; la percepción de formas, de tamaños relativos, de posiciones relativas y de perspectivas; la previsión, que puede manifestarse en el reconocimiento de patrones numéricos o geométricos, o en la anticipación numérica o de disposición espacial, o en la estimación de resultados numéricos o de disposición espacial; algunas habilidades relacionadas con las fórmulas, como el seguimiento de instrucciones, la lectura de fórmulas o su uso; algunas habilidades relacionadas con las estrategias, como el acomodamiento o el decantamiento de la información, los procesos de ensayo y error, el planteamiento de la pregunta adecuada y el trabajo en reversa; algunas operaciones mentales relacionadas con el pensamiento abstracto, como las analogías, las generalizaciones, el planteamiento de hipótesis y los procesos inversos; y formulaciones del tipo de expresión de procesos, planteamiento de modelos, construcción de fórmulas o planteamiento de problemas. Algunas de las habilidades mencionadas merecen un comentario particular. Por “acomodamiento de la información” entendemos el proceso mediante el cual se relacionan adecuadamente elementos de información en un problema, mientras que por “decantamiento de la información” entendemos el proceso mediante el cual se desecha la información irrelevante y se hace acopio de la información que es útil para la reso-

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lución de un problema. El “trabajo en reversa”, conocido por algunos autores anglosajones como thinking backwards, es el proceso mediante el cual la persona que está intentando darle solución a un problema se imagina que llegó ya a la solución y reconstruye de dónde debió haber partido para llegar a ella, y luego de dónde debió haber partido para llegar a ese punto, etc., hasta llegar al planteamiento inicial del problema, mientras que los “procesos inversos” apelan al concepto piagetiano de reversibilidad. 5) ¿Cómo se ubica la lección en el tratamiento de contenidos que hace el libro? El enfoque con que se han elaborado los libros de texto plantea que el aprendizaje es un proceso que implica la participación activa del sujeto que aprende y que éste, al enfrentar una serie de experiencias o problemas de uso y manejo práctico de las nociones y conceptos, se acerca progresivamente a una construcción mental de ellos, a adquirirlos, a poseerlos. Con base en estos principios, no puede abordarse un contenido en un único momento, sino que debe haber una secuencia de actividades que permitan su construcción. Es importante entonces detectar la secuencia de actividades en las que está involucrado un determinado contenido y, en cada lección, si los contenidos han aparecido previamente o si es la primera vez que aparecen, así como si posteriormente se vuelve a trabajar con ellos y, en cada caso, con qué profundidad. En el caso de un contenido que ya se ha tratado con frecuencia, es importante darse cuenta si ahora se están mostrando una o varias de sus aplicaciones u otro aspecto que no se había mencionado con anterioridad. Se quiere saber si hay un trayecto previo donde el niño ha ido adquiriendo competencia en tareas relacionadas con el mismo contenido y si lo que en la lección bajo análisis se presenta es una actividad previa para un tratamiento ulterior. En este sentido pueden ser


cruciales las primeras lecciones del proceso, en las que éste arranca con la propuesta de retos iniciales, y las últimas, en las que el proceso, o al menos una de sus etapas, es consolidado e institucionalizado. Conviene incorporar al análisis de una lección una consideración acerca de las lecciones anteriores y posteriores en las que se tratan los contenidos principales de ésta; hacerlo ayudará a ubicar el momento del proceso de construcción de cada uno de sus contenidos en la parte de la propuesta didáctica que corresponde al curso que se está impartiendo. A veces, con sólo tener presente en cuántas lecciones anteriores y en cuántas posteriores a ésta se abordan sus principales contenidos, tendremos una idea clara de su ubicación e importancia en tal proceso. 6) ¿El manejo de los aspectos gráficos es adecuado? ¿La distribución espacial de contenidos y figuras es adecuada? Los aspectos gráficos son de suma importancia en los libros de texto de la educación básica, sobre todo en los primeros grados, y muy especialmente en matemáticas donde llegan a ser parte de los contenidos. En esta disciplina la función de los dibujos, gráficas, etc., suele ser mucho más que meramente decorativa: pueden ser fuente de información, o sustituir toda una argumentación o una explicación, o estar propuestos para que el niño realice en ellos algunas operaciones, o proponer una manera de hacer las cosas, etc. Por ello, importa mucho que los dibujos sean claros, que correspondan al texto, que estén correctamente impresos, que los colores se distingan bien, que su tamaño sea apropiado, que haya un uso correcto de las escalas, que los trazos sean precisos, etc. Además, deben ser agradables e invitadores. Por otra parte, los recursos de diseño gráfico y tipográfico deben estar correctamente utilizados; por ejemplo, si

se usan recuadros o marcos para resaltar observaciones, deben utilizarse consistentemente; la simbología debe ser clara y la distribución de texto y dibujos debe ser fácil de seguir y de comprender. 7) Las situaciones problemáticas: • ¿Permiten que el niño busque procedimientos? ¿Cuáles? • ¿Ponen verdaderamente en juego el contenido? • ¿Permiten que el maestro plantee mayor trabajo con ellas del que se plantea en la lección? ¿Qué tipo de trabajo? Se considera situación problemática aquella que contiene cierta información y es generadora de preguntas y problemas. Una buena situación problemática debe permitir el planteamiento de cuestionamientos variados, ya sea por parte de los autores, del maestro o de los niños, y es fundamental en su elección dimensionar en qué medida puede resultar útil para el desarrollo del o de los contenidos y habilidades que se involucran. Identificar el potencial de una situación problemática permitirá organizar el trabajo en el aula de manera que se aproveche mejor. La situación debe poner en juego el contenido que se pretende abordar, y debe plantearse de tal forma que el alumno pueda emprender por sí solo, o con muy poca ayuda por parte del maestro, una búsqueda de procedimientos para resolverlo. Por otra parte, una situación problemática es tanto más útil y rica cuanto más permita al maestro continuar el trabajo, por ejemplo, proponiendo a los alumnos que no lograron realizarla exitosamente, experiencias similares que los lleven a dar este paso. Las situaciones problemáticas son el centro de la construcción de los conceptos y conocimientos matemáticos en el enfoque con el que están elaborados los actuales materiales de la educación primaria.

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8) ¿Qué acciones distintas debe realizar el alumno? Hemos dicho que el aprendizaje se realiza a través de la acción, en experiencias, en situaciones problemáticas. Esta acción, sin embargo, puede ser de muy diversos tipos. Puede ir desde manipular objetos o realizar actividades fuera del aula hasta plantear hipótesis y verificarlas, pasando por operar, planear, clasificar, observar, trazar, etc. Se trata con esto simplemente de identificar el tipo de acciones que debe llevar a cabo el alumno durante el desarrollo de la lección. El propósito principal de esta pregunta es que el maestro pueda planear la actividad teniendo en cuenta los materiales necesarios, el tiempo indispensable y el lugar en que debe realizarse. 9) ¿Qué ejercicios y problemas le son planteados al alumno? ¿Son variados? Entre las actividades con las que se enfrenta al niño hay ejercicios y problemas de distinto grado de dificultad, y con distintas finalidades. Si bien los ejercicios de consolidación son útiles y necesarios, los problemas adquieren un papel fundamental en el proceso de aprendizaje, no sólo como posibilidad de aplicación de lo ya aprendido sino como generadores de ese mismo proceso; como ya se ha mencionado, un problema es una situación que conflictúa al estudiante al plantearle un reto desconocido hasta ese momento. Para que un problema sea tal debe representar un obstáculo salvable por parte del niño; es decir, su nivel de dificultad lo debe hacer desafiante, pero dentro de los límites que marcan en cada momento las posibilidades del alumno de actuar sobre él. Bajo esta perspectiva es claro que una actividad que puede ser un problema para un niño de cuarto grado, en general no lo será para uno de segundo ni para uno de sexto. En el primer caso porque el nivel de dificultad demasiado alto inmovilizaría al niño, en el segundo porque dejaría

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de ser problema por no presentar ningún desafío puesto que el alumno ya sabe cómo resolverlo; en ambos casos el nivel de dificultad, por exceso o por defecto, haría que el problema dejara de serlo. La dificultad de un problema radica fundamentalmente en la obtención y discriminación de la información útil, en la búsqueda de estrategias o procedimientos y en la asignación de significados a los resultados obtenidos. Un aprendizaje importante en matemáticas es que algunos problemas no tienen solución y que algunos otros tienen más de una solución. Este aspecto se aborda en todos los libros de texto y nos parece un acierto que vale la pena hacer notar. La importancia de que los problemas sean variados —ya sea en cuanto a contenidos y tipos de actividad que deben realizar los niños o en cuanto a contextos diferentes para el mismo tipo de actividad— es que de esa forma se ofrecen al alumno experiencias diversas en las que pueda construir paulatinamente las nociones y conceptos matemáticos, pueda hacer analogías, generalizaciones, plantear hipótesis, etc. y al fin logre apropiarse de los contenidos que se trabajan. 10) ¿La lección es interesante para el alumno? ¿Le plantea un reto? Una lección debe resultar interesante y atractiva para el niño, también debe promoverle un gusto por las matemáticas. Sin embargo, aunque algo nos guste no siempre nos plantea un reto que queramos vencer, y tampoco cualquier dificultad es un reto. Para que una lección plantee un reto al alumno en primer lugar debe ser interesante para él; en segundo lugar debe tener alguna dificultad, no debe ser trivial; y por último, el alumno debe estar en condiciones de superar la dificultad, es decir, debe tener las herramientas suficientes para hacerlo.


11) ¿Qué aporta el tratamiento de la lección a la propuesta didáctica? Aquí se analiza la lección desde el punto de vista del tratamiento didáctico, por lo que esta pregunta se puede considerar como una especie de resumen de las anteriores. Una lección es un momento puntual de una propuesta didáctica, que adquiere sentido en la secuencia de lecciones y actividades propuestas a lo largo del libro y en el caso de la educación primaria, a lo largo de los libros y materiales anexos o complementarios que conforman el material de trabajo para los seis años. Aquí restringimos la pregunta al libro de texto del grado que se analiza y consideramos que ese material es parte fundamental de la propuesta didáctica. La pregunta entonces se puede contestar considerando globalmente las preguntas anteriores. La contribución de la lección a la propuesta didáctica está en los contenidos que aborda y la ubicación de la lección en el proceso constructivo correspondiente, en las situaciones problemáticas y los ejercicios y problemas subsecuentes, en las habilidades y acciones que son puestas en juego. Todo esto permite calibrar la importancia de la lección en el libro. Esta ubicación permite detectar qué finalidad tiene la lección con respecto a los contenidos abordados en ella o a las habilidades que se desea desarrollar. Una lección puede ser el inicio de un proceso de acercamiento a una noción o el cierre de una etapa en el desarrollo de la misma; puede ser de consolidación o puede ocupar un lugar intermedio en el proceso de acercamientos sucesivos. Al ubicar la lección en la propuesta didáctica será más fácil valorarla y plantear preguntas que apoyen a los niños y les permitan hacer reflexiones que los lleven a captar aspectos esenciales del contenido que se esté trabajando. Sopesar el papel de una lección es importante, por ejemplo, cuando ésta requiere que los niños realicen actividades fuera del aula como medir una cancha o recortar y pegar cartulinas.

Podría considerarse que esto requiere demasiado tiempo para su realización pero, si la contribución de la lección a la propuesta didáctica es importante, ese tiempo puede resultar una inversión valiosa.

La aplicación del método Hemos planteado nuestra propuesta de análisis de lecciones a través de once preguntas y hemos explicado brevemente lo que para nosotras incluye cada pregunta. También hemos hecho algunas reflexiones sobre varios términos que podrían resultar poco claros. Sin embargo, el lector se podría todavía preguntar ¿cómo se aplica el método?, ¿qué se obtiene de su aplicación, otro libro? Nuestra idea es que cada maestro puede obtener de cada lección una especie de pequeña ficha que contenga sus juicios sobre los aspectos planteados y que pueda usar como guía o plan de clase. Para mostrar un poco lo que estamos proponiendo y en consideración a que los maestros suelen estar más interesados en el libro de los grados que imparten, hemos elaborado una serie de seis artículos para el Correo del Maestro, uno por cada grado escolar, en los que analizamos algunas lecciones. Para seleccionar éstas, tomamos en cuenta que cubrieran una diversidad de aspectos, ejes temáticos, contenidos, habilidades y aun errores. Los dos primeros artículos de esta colección aparecen en este mismo número de la revista y los demás se publicarán por parejas en cada uno de los dos siguientes números. Esperamos contarlo a usted entre nuestros lectores. 1

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Profesoras de la Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco. Integrantes del proyecto “Estudios sobre los procesos implicados en la enseñanza de las matemáticas y estadística”. El equipo incluyó durante un poco más de un año, hasta noviembre de 1997, etapa en la que se definieron los conceptos básicos de análisis que usaríamos, al Profr.Arturo Vilarreal, docente de la UPN; y la Profra. Mariana Sáiz se incorporó a partir de mayo de 1997.

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El libro de texto gratuito de matemáticas de primer grado* Análisis de algunas lecciones

Natalia de Bengoechea Olguín

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ste artículo es el primero de la serie anunciada en el artículo El texto gratuito de matemáticas en la educación primaria. Un método de análisis para optimizar su uso, que se encuentra en este mismo número del Correo del Maestro. Ahí se plantean los criterios de análisis que aquí se utilizan, una breve explicación de cómo se construyeron y el sentido en que usamos algunos términos. El libro de texto gratuito de matemáticas de primer grado1 inicia con una presentación que plantea de manera muy escueta cómo se hizo la renovación de los textos de primaria en 1993, una página dirigida al maestro con indicaciones generales para el manejo del libro y un índice que marca los títulos de sus 119 lecciones, sin especificar los contenidos que presumiblemente abordan. Las lecciones aparecen numeradas consecutivamente y están agrupadas en cinco partes, a diferencia del libro integrado y el de español que contienen ocho bloques. En ningún lado se hace explícito por qué el libro se organiza de esta manera ni cuál es la estructura de sus partes. El texto lleva anexo un cuaderno de material recortable que debe usarse para pegar en el libro y para realizar otras actividades. Cada una de las partes del texto contiene de 18 a 35 lecciones, que tratan diversos contenidos y ejes temáticos, e inicia con un rompecabezas que ilustra un aspecto del aseo de los niños. Los rompecabezas, como cada parte, van creciendo en dificultad y en complejidad con el avance del libro. Casi la totalidad de las lecciones son de una página, tienen poco texto y su diseño gráfico es agradable, simple y con una función específica

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en los contenidos que se abordan; sus títulos son a veces la instrucción de trabajo, otras veces hacen referencia al contexto planteado y otras veces tratan del contenido. Por lo general, en este grado, el maestro debe guiar el trabajo; las lecciones se apoyan fuertemente en las ilustraciones e involucran pocos contenidos, aproximadamente la tercera parte de ellas abordan sólo uno y otra tercera parte dos, que a veces son de distintos ejes temáticos; en algunas lecciones se integran habilidades y contenidos que se han ido trabajando previamente. En este texto se introduce a los niños a cuatro de los seis ejes temáticos de las matemáticas en la educación primaria, el mayor énfasis se hace en aritmética que se estudia en dos tercios del libro, luego en geometría que se aborda en casi el 30% de las lecciones y luego en medición y tratamiento de la información. Para este artículo se eligieron tres lecciones que consideramos interesantes por la variedad y tratamiento de sus contenidos, la riqueza de sus situaciones problemáticas, la diversidad de habilidades del niño que se ponen en juego y la posibilidad de explotarlas posteriormente. En este libro no hay lecciones que se puedan considerar globalmente malogradas o incorrectas y cuando lo son en algunos aspectos, es muy fácil corregirlas; por esta razón no se ha incluido ninguna de ellas. Del más grande al más chico es la décima lección de la tercera parte del texto (lección 63); en ella los autores trabajan con el orden inverso de los números del quince al cero a través de un juego y del uso sucesivo del concepto de antecesor de


un número. ¿Con cuánto formas cada número? es la decimosegunda lección de la quinta y última parte del libro (lección 108); aquí se tiende a la institucionalización de conceptos del sistema de numeración decimal, el alumno trabaja en diversas formas con números de dos cifras. Mosaicos y figuras es la séptima lección de la cuarta parte (lección 81), en ella los niños deben reproducir por distintos medios, motivos geométricos formados por triángulos y cuadriláteros.

Del más grande al más chico En la lección Del más grande al más chico (pág. 80) se pide al alumno que siga un laberinto de números del mayor al menor, de 15 a 0; que escriba la serie numérica que siguió en su trayecto y que acomode una colección de tarjetas, con futbolistas y cantidad de goles que han anotado, en orden inverso a la cantidad de goles. El orden inverso de los números del 15 al 0 es un contenido que unifica esta lección formada de dos problemas en contextos distintos y un ejercicio. Encontramos aquí, como contenidos explícitos del eje de aritmética, la lectura y escritura de números naturales de 0 a 15, la identificación tanto del antecesor como del sucesor de un número y el orden de la serie numérica; y del eje de geometría los desplazamientos en trayectos, caminos y laberintos. Hay también un contenido implícito del eje tratamiento de la información al tener que resolverse un problema a partir de la información contenida en una ilustración. Es conveniente hacer notar que el conteo en orden creciente inicia en uno en las series numéricas que ha presentado el libro hasta el momento, y que en esta lección, donde se construye el conteo en orden inverso, la serie termina en cero. En el tratamiento matemático de los contenidos no hay errores ni ambigüedades; es la primera vez que aparece en el curso el conteo hacia

Página 80 del libro de texto Matemáticas. Primer grado. Lección: Del más grande al más chico.

atrás; sin embargo, hay amplios antecedentes de trabajo de conteo y de orden con procedimientos informales, formales y en la serie numérica en 36 de las lecciones anteriores, aunque sólo en dos de ellas ha aparecido el cero; hay también, en dos de esas lecciones, antecedentes en el trabajo con laberintos. En este libro no se vuelve a contar en orden inverso pero sí se trabaja con orden. Los dibujos de esta lección son claros, substituyen a una larga instrucción y permiten realizar las actividades cómodamente. La situación problemática inicial, el laberinto, pone en juego el contenido específico pues obliga al niño a encontrar una estrategia para contar hacia atrás a través del antecesor o del sucesor de un número. Si conoce el número anterior a cada uno de los números del 15 al 1, puede ir avanzando un número tras otro en cada ramal del laberinto al que llega; si no conoce los antecesores de estos números, tendrá que avanzar y ver hacia atrás para ratificar o corregir su ruta después de aplicar lo que sabe del orden ascendente de los números. Con esta estrategia puede haber problema con el cero, pero el dibujo en el punto final es claro: el cero está junto al tesoro. El maestro puede reelaborar en múltiples situaciones la idea del laberinto o de las disyuntivas y selecciones reiteradas, por ejemplo, para

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impulsar una observación sistemática y organizada en las lecciones en que se trabaja con configuraciones geométricas que el niño debe reproducir. También puede retomar la idea del conteo hacia atrás y promover actividades que reafirmen el manejo de la numeración, por ejemplo, contar de dos en dos hacia atrás a partir de un número determinado, o bien, jugar al “avión” hacia atrás. Se puede considerar que los problemas y ejercicios en esta lección son variados y el hecho de plantear un juego, que no es trivial pero es alcanzable, hace interesante al alumno y convierte en un reto esta lección que contribuye a la construcción del concepto de orden.

¿Con cuánto formas cada número? En la lección ¿Con cuánto formas cada número? (pág. 131) se plantean tres actividades tendientes a la institucionalización de la notación posicional del sistema decimal. En la primera de ellas se pide al alumno que escriba números que faltan en cualquiera de las posiciones de unos esquemas en los que se debe descomponer un número de dos cifras. En la segunda actividad planteada, el niño debe discriminar cuál es mayor en pares de números de dos cifras formados por los mismos

Página 131 del libro de texto Matemáticas. Primer grado. Lección: ¿Con cuánto formas un número?

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dígitos. La tercera actividad es un juego en el que el alumno debe trazar una figura siguiendo el camino de la serie numérica de los pares y que inicia en cero y termina en setenta. Como se puede apreciar, las actividades de esta lección están unificadas por los contenidos matemáticos que se abordan y que giran alrededor del sistema de numeración decimal posicional. Los puntos específicos que se tratan son lectura y escritura de números naturales de dos cifras, agrupamiento y desagrupamiento de estos números en decenas y unidades, valor posicional, orden en la serie numérica y conteo de 2 en 2. Adicional y colateralmente se trabaja un contenido de geometría en la última actividad que es el hacer recorridos tomando en cuenta puntos de referencia. En ningún momento el tratamiento de los contenidos se presta a una interpretación equívoca y es interesante que en la segunda actividad de esta lección se proponga ejercitar sobre una confusión usual y que va al centro de la comprensión del sistema posicional . En las partes cuarta y quinta de este libro se ha venido tratando el sistema de numeración decimal como contenido central en catorce lecciones anteriores a ésta y se seguirá tratando en dos lecciones posteriores. Sin embargo, el camino para abordar el sistema decimal posicional ha sido mucho más largo e incluye a casi todas las lecciones anteriores a la que se analiza, en las que se ha contribuido a la construcción de los conceptos que aquí se abordan tratando ampliamente el conteo, el agrupamiento y desagrupamiento en decenas y unidades, la lectura y escritura de los números, el orden, las series numéricas y el valor posicional. También hay antecedentes para realizar recorridos tomando en cuenta puntos de referencia en cuatro lecciones anteriores de las partes segunda y tercera. Los esquemas iniciales de la lección substituyen una explicación larga y compleja, son claros


y permiten que se trabaje en ellos; los demás dibujos son básicamente decorativos y hacen la lección amable, en particular evitan que el conteo se convierta en una actividad tediosa. El alumno tendrá que hacer analogías para interpretar las actividades y resolverlas. Los niños tienen alternativas para realizarlas según el grado de dominio que hayan logrado en los distintos contenidos que se ponen en juego aquí: pueden realizar directamente las actividades, pueden recurrir a las diversas notaciones que han usado anteriormente para agrupar y desagrupar en decenas y unidades, pueden recurrir al caminito numérico, pueden recurrir a las fichas de colores. El maestro, a su vez, tiene la posibilidad de ofrecer estas alternativas o ejercicios adicionales en estas modalidades a los alumnos que presenten dificultad en este punto. A lo largo de la lección, los niños tendrán que operar con los números, analizar la información y hacer diferentes trazos. La diversidad de las situaciones planteadas seguramente hace interesante este trabajo y, tanto la dificultad intrínseca de la segunda actividad, como la ubicación de los números en la tercera, hacen que éstas sean un reto amable para los alumnos. Institucionalizar la escritura posicional del sistema de numeración es la culminación de un proceso y supone un camino logrado de construcción de un concepto. El trabajo que aquí se realiza tiende a tal institucionalización, a lograr la escritura formal de los números habiendo comprendido y usado el valor posicional en circunstancias diversas.

Mosaicos y figuras La lección Mosaicos y figuras (pág. 101) inicia con un cuadrado dividido en triángulos rectángulos isósceles con los que se forman diversas figuras que aparecen iluminadas; los niños deben co-

Página 101 del libro de texto Matemáticas. Primer grado. Lección: Mosaicos y figuras.

piar este mosaico en otro cuadrado con los triángulos dibujados como en el primero. La siguiente actividad consiste en reproducir con el tangram cuatro figuras geométricas que se presentan como modelo y después dibujarlas en su cuaderno. Aquí se tiene una lección unificada por los contenidos de geometría concernientes a la reproducción de motivos geométricos formados por triángulos y cuadriláteros. Los contenidos que se tratan explícitamente en esta lección son todos de geometría y se refieren a la reproducción de motivos con figuras básicas pero se pueden desglosar en ubicación relativa en el plano de objetos entre sí, resolución de problemas de ubicación en el plano, e identificación de las posiciones relativas de objetos para su representación. Esta lección tiende a la construcción de los conceptos geométricos de triángulo, cuadrilátero, cuadrado, rectángulo, romboide, trapecio y polígono, que aparecen claramente como contenidos implícitos, aunque no se mencionen en ella. En la reproducción de las figuras que se presentan se ponen en juego muchas habilidades que debe desarrollar el niño; debe percibir las formas y sus posiciones relativas, reconocer los patrones geométricos que subyacen tanto en las figuras a reproducir, como en la triangulación

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en la que trabaja, como en el tangram; deberá acomodar la información que le presentan los modelos dados y hacer analogías para lograr sus reproducciones. Antes de esta lección se han reproducido diversos modelos con el tangram en cuatro lecciones, con rompecabezas en otras cinco, con los cuadrados de colores en cuatro más; se han copiado figuras o trayectos en cuadrículas y triangulaciones en tres lecciones; y se ha iniciado la familiarización con formas geométricas diversas en otras dos. Después de esta lección se trabajará con este mismo tipo de contenidos en ocho lecciones más. La distribución gráfica de la lección es muy adecuada, ilustra perfectamente los modelos a reproducir, permite que el niño trabaje sobre el libro, los colores se distinguen bien y se ven claramente los polígonos que subyacen a los motivos que se deben copiar. Las situaciones problemáticas son claras, permiten que los niños diseñen estrategias diversas para la consecución de su trabajo, ponen en juego los contenidos explícitos y los implícitos y además son muy explotables: el maestro puede plantear una gran variedad de situaciones similares a las presentadas y jugar con ellas en trabajos manuales, viñetas, etcétera. Como las figuras que se presentan en el libro son más pequeñas que el tangram del material recortable que tienen los niños, además de manipular el tangram y dibujar deben analizar los modelos cuidadosamente y diseñar las estrategias que usarán para reproducirlos. Aunque la actividad global es reproducir figuras, la manera en que éstas se presentan, el que la reproducción sea por distintos medios y el que las acciones concretas sean diversas (iluminar, armar, dibujar) hace que los problemas sean variados. Las tres actividades que deben realizar aquí los alumnos se pueden considerar problemas, en ninguna de ellas hay una acción mecánica o un algoritmo que permita su resolución.

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La lección es interesante para los niños por la variedad de acciones, por lo agradable que es el diseño gráfico, por la dificultad intrínseca de cada actividad que establece un reto que se puede vencer si se han ido haciendo las actividades de otras lecciones que preparan el terreno para entrar a ésta. Aquí se promueven y desarrollan fuertemente una colección de habilidades necesarias para el trabajo ulterior en matemáticas y se prepara el terreno para la construcción de múltiples conceptos geométricos, como ya se ha mencionado. Se tocan aspectos fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas pues se incursiona en la decodificación del lenguaje gráfico que se utiliza en todos los niveles educativos como apoyo en la comprensión de los conceptos de la disciplina.

Conclusiones En este artículo se ha mostrado una manera de aplicar la metodología de análisis que hemos propuesto y se argumenta con ejemplos la riqueza de hacerlo: ubicar la lección en el trabajo general, diversificar actividades, detectar errores y corregirlos, etc. Cuando se ha hecho esto una vez, se puede usar en repetidas ocasiones. Tal vez este texto le pareció muy largo para analizar sólo tres lecciones, pero considere que hemos redactado coherentemente nuestras observaciones; usted puede hacer una pequeña ficha por lección, lo invitamos a intentarlo y a leer los siguientes artículos de esta serie. * Las páginas de las lecciones analizadas en este artículo aparecen a color en las páginas 25 y 26. 1 BLOCK SEVILLA, David F. et al. Matemáticas. Primer grado. SEP, 2a reimpresión 1995, México, diciembre de 1994. 144 págs.Tiraje: 3,400,000 ej. BLOCK SEVILLA, David F. et al. Matemáticas. Primer grado. Recortable. SEP. México, primera reimpresión revisada 1994. Tiraje: 2,818,712 ej.


El libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado* Análisis de algunas lecciones

Elsa Mendiola Sanz

E

n este segundo artículo correspondiente a la serie El texto gratuito de matemáticas en la educación primaria. Un método de análisis para optimizar su uso, se presenta el análisis de cuatro lecciones correspondientes al libro para segundo año. El libro de texto gratuito de segundo grado de primaria1 está conformado por 117 lecciones de una o dos páginas, distribuidas en cinco partes (o bloques) de 21 a 27 lecciones cada una y un anexo de material recortable. Las lecciones de cada parte se distinguen de las demás por recursos gráficos en el encabezado y pie de cada página que las conforman. En cada parte se encuentran en forma alternada lecciones que corresponden a los distintos ejes y contenidos temáticos. El libro tiene un buen diseño gráfico, con ilustraciones en general claras y agradables y un uso correcto del espacio, lo que facilita su lectura y seguimiento. Estos aspectos adquieren gran importancia si se considera que en muchos casos el dibujo permite la utilización de textos cortos y que gran parte de la información que se utilizará para realizar las distintas actividades se da gráficamente. El libro cuenta con un índice general que permite ubicar las lecciones por título o por número (tienen numeración corrida). En algunas lecciones los títulos hacen alusión al contexto en el que éstas se desarrollan, en otras a la actividad que deberá desarrollar el niño y en otras al contenido que se pretende abordar. La lección es la unidad de desarrollo y las actividades presentadas en cada una se refieren en general a un tema, aunque en algunas lecciones se

integran contenidos que corresponden a un mismo eje del programa o bien a ejes distintos. Es importante mencionar que los contenidos correspondientes al tratamiento de la información se manejan a lo largo de todo el libro, en lecciones referentes a temas de otros ejes aunque hay lecciones destinadas específicamente a estos contenidos. Al elegir las lecciones para analizarlas usando la metodología propuesta, se consideraron los siguientes aspectos: que correspondieran a los distintos ejes temáticos; que abordaran los contenidos en distintas etapas del proceso de aprendizaje; que propusieran diversas actividades para desarrollar por el niño, y por último, se pretendió mostrar alguna de las poquísimas lecciones que se consideran no bien logradas. La lección La feria del pueblo, que es la octava de la primera parte, se eligió porque propicia al mismo tiempo el desarrollo de la creatividad y de distintas habilidades en el niño; presenta riqueza de contenidos ya que integra explícitamente contenidos del primer eje y del cuarto: aritmética y tratamiento de la información; y da pie al maestro para trabajar, a partir de la situación e información presentadas, contenidos de geometría. La regla es la segunda lección de la quinta parte y se escogió para el análisis por ser la última de varias lecciones de este libro en las que se aborda explícitamente el tema de medición de longitudes; con ella se cierra una etapa en la presentación de estos contenidos y se introduce claramente al uso de instrumentos convencionales de medición; integra además contenidos de medición y de tratamiento de la información.

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mulan la silueta estilizada de un ave. Se pide al niño que use Las gallinas para construir una cara de vaca tomando como referencia la que se muestra en la ilustración pero haciendo ciertas modificaciones que se indican. Al “interrogar” las lecciones mencionadas con las preguntas que se proponen para el análisis se obtuvo, para cada una de ellas, la información que se presenta a continuación.

La feria del pueblo Página 17 del libro de texto Matemáticas. Segundo grado. Lección: La feria del pueblo.

¡La votación!, que es la lección 108 del libro y es la decimosegunda del quinto bloque, fue elegida para ser analizada por estar dedicada explícitamente a ciertos contenidos relacionados con el tratamiento de la información. En este eje se deben considerar sus dos vertientes, por un lado todo aquello que implica análisis e interpretación de información, necesarios para la resolución de problemas, y por otro los aspectos relacionados con técnicas estadísticas de registro, presentación e interpretación de información (elaboración y lectura de tablas y gráficas). En general, los contenidos correspondientes a este eje comparten lecciones con contenidos de aritmética, medición o geometría; sin embargo, en esta lección se abordan fundamentalmente aspectos relacionados con el eje de tratamiento de la información correspondientes a la vertiente mencionada en segundo término. La última lección a considerar en este artículo es la número 70, La vaca, primera del bloque cuarto que se escogió porque es un caso de lección malograda. Esta lección inicia con la indicación al niño de utilizar el material recortable denominado Las gallinas, que es una colección de figuras irregulares de contornos rectilíneos —algunas amarillas y otras anaranjadas— que si-

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En La feria del pueblo (pág. 17) se enfrenta al niño a una situación problemática a partir de la cual deberá dar respuestas tanto a las preguntas generadas por él, como a las planteadas inicialmente en la lección, considerando la información presentada a través de un dibujo sobre una feria en el que aparecen los precios de algunos juegos y productos. Esta situación supone la búsqueda de procedimientos por el niño —tanto para contestar las preguntas iniciales como para establecer qué preguntar de modo que pueda obtener respuesta—, ya que en ningún caso se sugiere cómo hacerlo, más aún, la forma misma en que se plantea el primer problema implica un reto para el alumno. El elemento unificador de esta lección es el contexto, éste se anuncia en el título, está representado gráficamente y es la fuente de información disponible para el niño. A partir de la situación problemática inicial se abordan explícita y correctamente algunos contenidos de aritmética y de tratamiento de la información. Los contenidos relacionados con el primero de estos ejes son: descomposición de un número en distintos sumandos, suma de números menores o iguales que 5 con sumandos distintos o iguales y elección de sumandos de modo que la suma sea menor que un número dado. Respecto al eje de tratamiento de la información se encuentran los


siguientes elementos: discriminación entre la información necesaria y la que no lo es, e invención de problemas que se puedan resolver con la información dada. Aun cuando no se mencionan, hay contenidos como la suma de sumandos iguales, encaminados al desarrollo de la noción de multiplicación. Además de la intencionalidad clara respecto al manejo de los contenidos, son varias las habilidades del niño que se ponen en juego en el desarrollo de esta lección: búsqueda de las estrategias que le permitirán resolver los problemas planteados, lectura de información, planteamiento de preguntas que pueda contestar con la información disponible y comunicación verbal sobre los cuestionamientos generados por los alumnos. Aunque esta lección presenta sólo tres problemas, estos son totalmente diferentes y requieren no sólo estrategias distintas sino acciones distintas de parte del niño. En el primero, los niños deben escoger los sumandos de modo que la suma sea menor que quince, esto hace que el problema admita distintas soluciones; la pregunta del segundo problema implica suma de sumandos distintos e iguales que el alumno debe extraer de la información disponible, aquí la solución es única; y en el tercero se le pide al niño que invente problemas con la información dada, por lo que se tendrán planteamientos distintos que ameriten soluciones distintas; por último se invita a los niños a socializar los problemas inventados. En esta lección, efectivamente, se ponen en juego contenidos y habilidades y además permite que el maestro plantee a partir de ella otras situaciones relacionadas con aritmética, con geometría o con tratamiento de la información; por ejemplo, pueden plantearse preguntas que impliquen restas, que correspondan a la ubicación relativa de cuerpos o comparación de tamaños relativos, o preguntas que no pueden responderse con la información disponible.

La lección está ubicada al principio del ciclo escolar. Parte del supuesto de que los niños ya conocen los números que se presentan, que pueden sumarlos y compararlos, y enfrenta al alumno a situaciones que propician la profundización de nociones abordadas en el ciclo anterior y la adquisición de conceptos que se seguirán trabajando a lo largo del curso, como la multiplicación. El desarrollo de las actividades propuestas implica que el alumno deba realizar varias acciones como reflexionar, operar, comparar, inventar, comunicar. Por todo lo comentado, puede esperarse que esta lección resulte muy interesante para el niño ya que plantea desafíos en un contexto que alude, en términos generales, a experiencias agradables.

La regla En La regla (pág. 149) se propone al niño la construcción de una regla “graduada” a partir de un palo de escoba, sobre el que se debe hacer un número entero de divisiones cuya longitud sea equivalente a la de un borrador y cortar la porción de palo sobrante. Este instrumento se usará para medir longitudes y distancias, propuestas en algunos casos y de libre elección en otros. De

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este modo la regla se convierte en el elemento unificador de la lección ya que todas las actividades giran en torno a su construcción y uso. Aunque la forma de realizar las marcas se sugiere en el dibujo y el modo de efectuar el registro se ejemplifica en el primer renglón de la tabla, la situación planteada permite la búsqueda de estrategias para efectuar las mediciones correspondientes. Si bien los contenidos correspondientes al eje de medición que explícitamente se abordan, se refieren a mediciones de longitudes con unidades arbitrarias y los niños ya han realizado esta actividad en lecciones anteriores, esta lección presenta a los alumnos una situación novedosa: el manejo de dos unidades de medida: “palo” y “borrador”, donde la primera es múltiplo de la segunda. De este modo se avanza en mediciones más finas al mismo tiempo que se acerca al niño a la posibilidad del uso de los instrumentos de medición convencionales y a valorar su utilidad social. Junto con los contenidos mencionados se trabajan otros correspondientes al eje de tratamiento de la información, en particular al registro en una tabla de los resultados obtenidos en las mediciones; además da pie al planteamiento de distintos problemas como la “cuantificación” de diferencias de longitud. Las actividades propuestas, aparentemente simples, exigen al alumno realizar varias acciones como manipular elementos concretos, realizar las operaciones necesarias para calcular la cantidad de “palos” y “borradores” que miden las longitudes en cuestión y comparar los resultados de medición; inventar preguntas relacionadas con mediciones, comunicar sus resultados y reflexionar sobre distintos aspectos involucrados en estos procesos. A través de todas estas acciones realmente se ponen en juego los contenidos que se abordan. Además se impulsa el desarrollo de habilidades diversas como las de coordinación motriz (ya que los niños deberán hacer las mar-

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cas correspondientes sobre el palo); de medición (porque con un instrumento rígido deben medir longitudes como el largo del salón, donde la longitud está limitada por las paredes y donde no necesariamente cabe un número exacto de veces la unidad de medida), de comunicación y de registro de información. A lo largo del curso escolar el libro ofrece al niño la posibilidad de enfrentar diversas experiencias de estimación, comparación y medición de longitudes con unidades arbitrarias representadas tanto en intermediarios rígidos como flexibles. De este modo, a medida que se propicia el desarrollo de la noción de longitud, se da oportunidad de reflexionar sobre la relación entre el resultado de medición y la unidad de medida, y sobre la necesidad de conocer la unidad utilizada en el proceso de medición para asignar significado al resultado de la misma. Esta lección puede resultar muy interesante para los niños ya que les ofrece la oportunidad de desarrollar acción física y de utilizar un instrumento construido por ellos mismos; cierra una etapa en el proceso de adquisición de la noción de longitud y prepara la apertura de la siguiente en el próximo curso.

La votación La votación (págs. 164 y 165) presenta al niño una gráfica con los resultados de una encuesta (aquí llamada votación) realizada en un grupo escolar con la finalidad de conocer qué animal prefieren los niños; este cuestionamiento sobre el gusto de los niños es el hilo conductor de toda la lección. A partir de esta situación problemática, se plantea una serie de preguntas cuyas respuestas implican la lectura, interpretación y comparación de la información plasmada en la gráfica de barras; posteriormente se pide a los alumnos que realicen en su grupo una votación


Página 164 del libro de texto Matemáticas. Segundo grado. Lección: La votación.

similar a la mencionada anteriormente y que registren la información obtenida. De un modo ameno e interesante para el niño, se le involucra en una situación que le va a exigir distintas acciones tanto grupales como individuales, ya que tendrá que relacionar la altura de las barras con la frecuencia correspondiente a cada animal; comparar estas frecuencias; hacer con ellas distintas operaciones como cuantificar diferencias, sumarle un número a alguna de ellas u obtener el duplo de otra; ordenar varios números de mayor a menor; participar en la realización de la votación de su grupo; registrar la información obtenida y hacer comparaciones en este caso sin indicaciones precisas sobre qué mirar o qué comparar. Cabe mencionar que todas las preguntas planteadas implican, además de la lectura de la gráfica, hacer algún tipo de operación con la información obtenida. Ésta es la segunda lección del libro que aborda registro gráfico de información. En la lección 27 del bloque 2 se presenta una situación similar y se le enseña al niño el modo de ir construyendo una gráfica de barras a medida que va recolectando la información. La novedad de esta lección es que no sólo exige la construcción de una gráfica, sino que el planteamiento implica obtener in-

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formación de otra y hacer relaciones e interpretaciones de esa información; además, propicia la elaboración de conclusiones no dirigidas respecto a la gráfica construida por los niños. Indudablemente en esta lección se ponen en juego los contenidos abordados correspondientes al eje mencionado, a la vez que se trabajan contenidos de aritmética y se propicia el desarrollo de distintas habilidades como la de extracción de información de gráficas, selección de la información útil y búsqueda de estrategias que permitan responder a cada pregunta.

La vaca La lección La vaca (pág.106) presenta el dibujo de una “cara de vaca” construido con Las gallinas del material recortable y comienza pidiendo al niño la construcción de una figura semejante de mayor tamaño. Sin duda esta lección fue pensada para trabajar contenidos de geometría tales como identificación de figuras, copia de patrones, ubicación relativa en el plano, simetrías y lateralidad; sin embargo la instrucción inicial no puede cumplirse, ya que no hay modo de aumentar el tamaño de la cara manteniendo

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El libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado

Página 106 del libro de texto Matemáticas. Segundo grado. Lección La vaca.

la misma forma del modelo original. Este hecho hace que el niño pierda todo interés por la lección; más aún, si no se tiene cuidado en su manejo puede incluso generar cierto tipo de frustración. Si bien se considera importante que el alumno se enfrente a problemas donde la falta de información impida su solución, no parece ser éste el espacio más adecuado para una situación de esa naturaleza y si así se usara, habría que ser muy cuidadoso en los comentarios y reflexiones al respecto. Cabe señalar que la lección El lobo que esconde gallinas (pág. 74), presenta la misma dificultad que la lección aquí analizada; tal vez el error se originó al repetir el enunciado de las lecciones El mantelito de Raquel (pág. 36) y La carpeta de la mesita (pág. 148), en las que sí puede efectuarse el ejercicio señalado. La siguiente actividad planteada en La vaca, propone la construcción de la misma cara ahora considerando un color para el lado izquierdo y otro para el derecho. Ésta sí puede desarrollarse y cubre los contenidos propuestos para la lección, pero hay que considerar que si el niño estuvo haciendo intentos sucesivos en la primera

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actividad, posiblemente ya no le interese esta parte. Como ya se mencionó, en lecciones anteriores el niño ya ha hecho construcciones de esta naturaleza y se presentan posteriormente propuestas de trabajo similares; por ejemplo, El mantelito de Raquel es una lección previa a la considerada y La carpeta de la mesita es posterior. Este tipo de actividades realmente pone en juego los contenidos y además promueve el desarrollo de habilidades de percepción y ubicación espacial, y de relaciones entre figuras cuyos contornos son irregulares. Permite además trabajar, a partir de ellas, otros contenidos correspondientes al eje de geometría o a otros ejes como aritmética o medición; por ejemplo, podrían relacionarse la cantidad de figuras de cada color para cuantificar diferencias, comparar ciertas áreas, etcétera. Cabe señalar que al eliminar del enunciado original la condición sobre el tamaño de la figura, esta lección cambia radicalmente y se convierte en una lección interesante y altamente explotable.

Conclusiones Con la presentación de estos reportes, se quiere mostrar los resultados que pueden obtenerse al “interrogar” lecciones con las preguntas presentadas en la metodología propuesta. Se invita a los lectores a realizar esta experiencia con otras o tal vez en primera instancia con las mismas lecciones, para familiarizarse con el método de análisis. En los siguientes números de esta revista se presentarán los artículos correspondientes a los demás grados.

* Las páginas de las lecciones analizadas en este artículo aparecen a color en las páginas 26, 35 y 36. 1 FUENLABRADA Velázquez, Irma, et al. Matemáticas. Segundo grado. SEP. México, primera edición 1994.Tiraje: 3497956 ej.


Antes del aula

La ciencia detrás de las leyendas II* ¿Cómo caen los cuerpos?

Josip Slisko

G

alileo Galilei, con su genial obra, marca el inicio de la física clásica, la que debe mucho a su visión del mundo, a su manera de pensar y a su uso de la matemática y de la experimentación. Paradójicamente, en la cultura popular su nombre se conecta casi siempre a una demostración que, según la evidencia histórica disponible, él nunca realizó (Raman, 1972). Se trata del episodio, descrito en una famosa leyenda, en que él deja caer dos cuerpos de diferente peso desde la Torre Inclinada de Pisa. Se sugiere que con esta simple demostración, en que ambos cuerpos chocan con el suelo en el mismo momento, Galileo dio un golpe mortal a la teoría aristotélica del movimiento. Pero los objetivos de Galileo fueron más ambiciosos. Su crítica a la teoría aristotélica fue más compleja que la demostración de la torre, los razonamientos que expuso y los experimentos que usó para lograr su objetivo lucirán siempre como una gran hazaña de la mente humana. A diferencia de lo que sucede con Arquímedes, de quien no se sabe qué hizo en el caso de la corona de Herón, la obra científica de Galileo se conoce bastante bien. Esto no se debe solamente a los ensayos y libros publicados sino también a las hojas sueltas con cálculos, dibujos y observaciones hechos con su propia mano. Éstos ofrecen evidencias sobre los detalles que Galileo no describe en los libros, pero que permiten entender mejor cómo avanzaba en sus investigaciones (Drake, 1989).

Galileo Galilei.

Teoría aristotélica del movimiento Es imposible apreciar lo que hizo Galileo sin conocer la visión del mundo que tuvo que desafiar y que finalmente pudo vencer. Se trata de la visión del mundo basada en las ideas de Aristóteles, según las cuales todo en el mundo está hecho de cuatro “elementos” básicos: tierra, agua, aire y fuego. Claro, no se pensaba en ellos necesariamente en forma idéntica a lo que comúnmente conocemos con tales nombres. A cada cuerpo se asignaba una cierta mezcla de tales elementos. Los movimientos de los cuerpos se explicaban según “los lugares naturales” de los elementos. El lugar más bajo era ocupado por la tierra, después lo seguían el agua y el aire y el lugar más alto le correspondía al fuego. ¿Por qué cae una piedra? Porque según su composición “terres-

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La ciencia detrás de las leyendas II

tre” tiene que ocupar su “lugar natural” que está en la superficie de la Tierra. ¿Por qué una burbuja en agua se mueve hacia arriba? Porque su “lugar natural” está arriba del agua. Hay que destacar que el propósito fundamental de esta visión del mundo fue poder “explicar” por qué ocurren los movimientos. Pero Aristóteles también tuvo ideas sobre cómo ocurren ciertos movimientos. La que más nos interesa ahora es aquella que señala que la velocidad que toman los cuerpos en caída libre depende de su peso y de la resistencia que ofrece el medio en que caen. Por un lado, mientras más pesa un cuerpo, más grande será su velocidad de caída en el mismo medio. Por otro lado, en el agua el cuerpo caerá con menor velocidad que en el aire porque el agua ofrece mayor resistencia. En esta visión se basa el “argumento” de que no puede existir el vacío. En tal medio no habría resistencia y los cuerpos lograrían una velocidad infinita, lo que es algo que parece inaceptable.

ción experimental sino, también, de cuántas evidencias razonables pudiera generar sobre las debilidades de la teoría que quería reemplazar. Antes de presentar y comentar el experimento con el plano inclinado con que Galileo logra su objetivo principal, veamos dos de los numerosos ejemplos de su crítica a la teoría de Aristóteles. Como hay muchas deformaciones de la obra de Galileo en libros de texto (Slisko, 1997), sobre los puntos importantes dejaremos que él mismo “hable” por medio de su obra maestra Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias (Galilei, 1981). Ésta está desarrollada en forma de diálogo entre tres personajes imaginarios. Las ideas de Aristóteles están presentadas por Simplicio, las nuevas visiones de Galileo las promueve Salviati, y Sagredo juega el papel de un hombre no comprometido con lado alguno pero de buena fe, de mente abierta y con ganas de aprender.

La crítica de la teoría de Aristóteles Los objetivos de Galileo Galileo, en comparación con la corriente aristotélica, puso como su objetivo principal una tarea más modesta, dejando de lado las preguntas sobre el porqué y fijándose en el cómo de los movimientos. Entonces, la pregunta crucial de su investigación no fue ¿por qué caen los cuerpos?, sino ¿cómo se mueven los cuerpos? A él le interesaba encontrar la ley matemática que describa un movimiento muy común: la caída libre. En esta perspectiva se ve que la demostración de la falsedad de las ideas de Aristóteles no le era suficiente. Sin embargo, Galileo a menudo tuvo como objetivo poner a prueba varios conceptos de la visión aristotélica. Este objetivo, aunque secundario, es importante, porque la aceptación de sus ideas dependía no solamente de su base teórica y su comproba-

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Es cierto que Galileo, criticando a Aristóteles, describe una demostración similar a la que supuestamente ha hecho en la Torre Inclinada: Salviati: ...dudo seriamente que Aristóteles haya hecho la experiencia consistente en tomar dos piedras, una de las cuales es diez veces más pesada que la otra, para dejarlas caer al mismo tiempo desde una altura, pongamos de cien brazas, y ver si descienden con velocidades tan diferentes que en el momento en que una está tocando el suelo, nos encontraremos con que la otra no ha recorrido ni siquiera diez brazas. Simplicio: De sus mismas palabras se deduce, sin embargo, que él lo ha experimentado, ya que dice: “Vemos que el más pesado”. Ahora bien, tal “verse” alude a una experiencia llevada a cabo. Sagredo: Yo, sin embargo, señor Simplicio, que he hecho la prueba, os aseguro que una bala de cañón que pese cien, doscientas o más


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Página 80 del libro de texto gratuito de matemáticas de primer grado, lección: “Del más grande al más chico”, analizada en el artículo: El libro de texto gratuito de matemáticas de primer grado. Análisis de algunas lecciones.

Página 131 del libro de texto gratuito de matemáticas de primer grado, lección:“¿Con cuánto formas un número?”, analizada en el artículo: El libro de texto gratuito de matemáticas de primer grado. Análisis de algunas lecciones.


Página 101 del libro de texto gratuito de matemáticas de primer grado, lección: “Mosaicos y figuras”, analizada en el artículo: El libro de texto gratuito de matemáticas de primer grado. Análisis de algunas lecciones.

Página 17 del libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado, lección:“La feria del pueblo”, analizada en el artículo: El libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado. Análisis de algunas lecciones.

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Página 149 del libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado, lección: “La regla”, analizada en el artículo: El libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado. Análisis de algunas lecciones.

Página 106 del libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado, lección: “La vaca”, analizada en el artículo: El libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado. Análisis de algunas lecciones.


Páginas 164 y 165 del libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado, lección:“La votación”, analizada en el artículo: El libro de texto gratuito de matemáticas de segundo grado. Análisis de algunas lecciones.

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libras, no aventajará ni siquiera en un palmo en su llegada al suelo a una bala de mosquete de media libra, aunque la altura de la caída sea de doscientas brazas. (Galilei, 1981, p.148).

Sin embargo, hay que notar que la escasa descripción de la supuesta demostración no la da Salviati sino Sagredo, lo que implícitamente muestra que tal demostración fue algo de poco peso para Galileo. No cabe duda de que alguien que hizo esfuerzos para realizar tal experimento hablaría de otro modo de él, proporcionando, por lo menos, más detalles. Mucho más elaborada es la crítica, diseñada en forma de un experimento pensado, que pretende demostrar las confusiones lógicas que pueden surgir de las ideas de Aristóteles: Salviati: Sin recurrir a otras experiencias, podremos probar claramente, sin embargo, con una demostración breve y concluyente, que no es verdad que un móvil más pesado se mueva a más velocidad que un móvil más liviano, con tal de que ambos sean de la misma materia, como es el caso, sin duda, de aquellos de los que habla Aristóteles. Pero decidme antes, señor Simplicio, si admitís que a todo cuerpo pesado en caída libre le corresponde una velocidad determinada, de modo tal que no se pueda aumentar o disminuir a no ser que le hagamos violencia o le pongamos alguna resistencia. Simplicio: Está fuera de toda duda que el mismo móvil en el mismo medio tiene una velocidad reglamentada y determinada por la naturaleza, la cual no podrá aumentarse a no ser por un impulso nuevo ni disminuirse, si no es recurriendo a algo que la obstaculice y la retarde. Salviati: Entonces, si nosotros tuviéramos dos móviles, cuyas velocidades naturales fuesen distintas, es evidente que si uniésemos ambos, el más rápido perdería velocidad por obra del más lento, mientras que éste se aceleraría debido al más rápido. ¿Estáis de acuerdo con lo que acabo de decir? Simplicio: Me parece que las cosas deben, ciertamente, suceder así.

Primera página de la edición original de Diálogos, obra de Galileo.

Salviati: Pero si esto es así, y si es verdad, por otro lado, que una piedra grande se mueve, por ejemplo, con una velocidad de ocho grados y una piedra pequeña, con una velocidad de cuatro, si las unimos, el resultado de ambas, según lo dicho, será inferior a ocho grados de velocidad. Ahora bien, las dos piedras juntas dan por resultado una más grande que la primera que se movía con ocho grados de velocidad, de lo que se sigue que tal compuesto se moverá a más velocidad que la primera de las piedras sola, lo que contradice vuestra hipótesis. Veis, pues, cómo suponiendo que el móvil más pesado se mueve a más velocidad que el que pesa menos, concluyo que el más pesado se mueve a menos velocidad. (Galilei, 1981, pp. 148-149).

Aunque el lenguaje de Galileo es claro, no sobra discutir con los alumnos la interpretación que ellos dan a estos párrafos y, aún más, su apreciación de este ejemplo de análisis lógico de una teoría física para una visión de la velocidad y el intervalo de tiempo en que ocurre este cambio. Este punto es importante para que los alumnos aprecien que los conceptos científicos son invenciones auténticas de la mente humana y no copias de algo que existe en la naturaleza y que se puede descubrir a través de las observaciones cuidadosas.

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El segundo paso fue la exploración matemática de las consecuencias que siguen de la aceptada definición de la aceleración para el caso más simple del “movimiento deformado”. Obviamente, se trata del movimiento en que la velocidad aumenta de manera uniforme con el transcurso del tiempo o, lo que es igual, cuando la aceleración es constante. Usando proporciones geométricas, Galileo muestra que en tal caso los caminos recorridos son proporcionales a los cuadrados de los tiempos transcurridos. No sobra destacar que Galileo jamás escribió fórmulas como las actuales para el movimiento con aceleración constante. Así, Galileo establece el concepto (la aceleración) indispenable para poder estudiar el “movimiento deformado”, es decir el movimiento en que la velocidad cambia. Para determinar y comparar los diferentes cambios de la velocidad es posible contrastar éstos con el camino recorrido o con el tiempo transcu-rrido. Aunque exploraba ambas posibilidades como base para dar una definición de aceleración, Galileo finalmente opta por aquella que actualmente se conoce: la aceleración media es igual al cociente entre el cambio de velocidad y el intervalo de tiempo en que ocurre tal cambio. En los primeros dos pasos Galileo repite, de hecho, los trabajos y resultados de varios científicos que vivieron antes de su tiempo. Con el tercer paso Galileo da un giro original y decisivo en el estudio de los movimientos, tratando de conectar el posible modelo matemático con los movimientos naturales. Él supone que la caída libre es un movimiento con aceleración constante y quiere demostrar experimentalmente que tiene la razón. La demostración directa, que consistía en medir en diferentes instantes las posiciones o las velocidades de un cuerpo que cae libremente no fue posible entonces, e incluso hoy

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no es un ejercicio fácil. Por eso es erróneo decir explícitamente (o sugerir implícitamente) que Galileo encontró la ley de la caída libre haciendo mediciones en el “experimento de la Torre Inclinada”. El uso del plano inclinado fue escogido por Galileo como la única posibilidad viable, aunque muy indirecta, y en la cual la caída libre es solamente un caso límite muy plausible. Ésta es la descripción del famoso experimento, en las palabras del mismo científico. En un listón o, lo que es lo mismo, en un tablón de una longitud aproximada de doce codos, de medio codo de anchura más o menos y un espesor de tres dedos, hicimos una cavidad o un pequeño canal a lo largo de la cara menor, de una anchura de poco más de un dedo. Este canal, tallado lo más recto posible, se había hecho enormemente suave y liso, colocando dentro un papel de pergamino lustrado al máximo. Después, hacíamos descender por él una bola de bronce muy dura, bien redondeada y pulida. Habiendo colocado dicho listón de forma inclinada, se elevaba sobre la horizontal uno de sus extremos hasta la altura de uno o dos codos, según pareciera, y se dejaba caer (como he dicho) la bola por dicho canal, tomando en cuenta, como en seguida he de decir, el tiempo que tardaba en recorrerlo todo. Repetimos el mismo experimento muchas veces para asegurarnos bien de la cantidad de tiempo y pudimos constatar que no se hallaba nunca una diferencia ni siquiera de la décima parte de una pulsación. Establecida exactamente esta operación, hicimos que esa misma bola descendiera solamente por una cuarta parte de la longitud del canal en cuestión. Medido el tiempo de caída, resulta ser siempre, del modo más exacto, precisamente la mitad del otro. Haciendo después el experimento con otras partes, bien el tiempo de la longitud completa con el tiempo de la mitad, con el de dos tercios, con el de tres cuartos o con cualquier otra fracción, llegábamos a la conclusión, después de repetir tales pruebas una y mil veces, que


los espacios recorridos estaban en-tre sí como los cuadrados de sus tiempos. Esto se podía aplicar a todas las inclinaciones del plano, es decir, del canal a través del cual se hacía descender la bola. Observamos también que los tiempos de las caídas por diversas inclinaciones del plano guardan entre sí de modo riguroso una proporción que es... la que les asignó y demostró el autor. En lo que a la medida del tiempo se refiere, empleamos una vasija grande llena de agua, sostenida a una buena altura y que, a través de un pequeño canal muy fino, iba vertiendo un hilillo de agua, siendo recogida en un vaso pequeño durante todo el tiempo en que la bola descendía, bien por todo el canal o sólo por alguna de sus partes. Se iban pesando después en una balanza muy precisa aquellas partículas de agua recogidas del modo descrito, con lo que las diferencias y proporciones de los pesos nos iban dando las diferencias y proporciones de los tiempos. Ocurría esto con tal exactitud que, como he indicado, tales operaciones, repetidas muchísimas veces, jamás diferían de una manera sensible.” (Galilei, 1981, pp.299-300)

En la discusión con los alumnos hay que rescatar varios detalles del razonamiento de Galileo. Denominamos con x la longitud del plano inclinado y con t el tiempo que tarda la bola en descender completamente. Si el movimiento de la bola es uniformemente acelerado, el camino recorrido debe ser proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido y esto es lo que se debe verificar en el experimento. Por eso, Galileo demuestra que al recorrer la cuarta parte de la longitud (x/4), la bola tarda la mitad del tiempo usado para recorrer toda la longitud (t/2). Demuestra también que tal relación entre el camino recorrido y el tiempo transcurrido se mantiene para diferentes ángulos al aumentar la inclinación del plano sobre el que desciende la bola (aunque los tiempos decrecerán).

Creyendo en la simplicidad de la natura-leza, Galileo afirma, sin poder verificar experimentalmente, que la misma relación debería cumplirse para el ángulo límite de 90 grados, cuando el movimiento es de caída libre. La consideración detallada del experimento con el plano inclinado, desde los pasos previos hasta las implicaciones para el caso límite que es la caída libre, dará a los alumnos la oportunidad de conocer y apreciar la verdadera contribución de Galileo a la ciencia del movimiento y la sutileza y complejidad de su razonamiento. Todo esto se pierde si la presentación escolar del trabajo del científico se reduce a la leyenda sobre la demostración dudosa en la Torre Inclinada. A los alumnos interesados se les pueden proporcionar los detalles de las disputas en la historia de la ciencia en las que se cuestionaba si Galileo había hecho el experimento del plano inclinado (Sherman, 1974). * Este trabajo se elaboró en el marco del proyecto “El papel del libro de texto en el aprendizaje de física en secundaria” financiado por CONACyT. El primer artículo de esta serie, titulado: “¿Era de oro la corona de Herón?”, se publicó en el número 29 de Correo del Maestro, en la pág. 23. Bibliografía DRAKE, S. Galileo´s Gravitational Units. The Physics Teacher, 27(6), 432-436. 1989. GALILEI, G. Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias. Segunda edición, Madrid, Editora Nacional. Edición preparada por C. Solís y J. Sadaba. 1981. RAMAN V. V. Where Credit Is Due: The Leanning Tower of Pisa Experiment. The Physics Teacher, 10(4), 196-198. 1972. SHERMAN, P. D. Galileo and the Inclined Plane Controversy. The Physic Teacher. 12(6), 343-348. 1974. SLISKO, J. Presentación de la obra de Galileo en libros de texto de física para Secundaria. II Convención Nacional de Profesores de Ciencias Naturales, Ixtapan de la Sal, Estado de México, Marzo de 1997.

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El mapa conceptual Julieta Fierro

Introducción La sociedad hace un esfuerzo enorme por educar a su población y no siempre obtiene los resultados esperados; en consecuencia, es necesario crear formas más eficaces de enseñar, que sean adecuadas a las maneras locales de percibir la realidad. En el siguiente artículo se da un ejemplo de la utilidad de usar una diversidad de técnicas así como del empleo de mapas conceptuales.

Clase tradicional.

¿Cómo enseñar? Uno de los grandes éxitos de la especie humana radica en su capacidad de educar, de transmitir de generación en generación el conocimiento útil para cualquier aspecto de la vida. A lo largo de la historia los diversos grupos humanos han buscado maneras más eficaces de enseñar. Durante décadas se pensó que la manera idónea era con clases formales. Este sistema tiene la desventaja de que el alumno permanece pasivo, y la experiencia muestra que para aprender hay que hacer: por más videos que observemos sobre la manera de andar en bicicleta, no lograremos conducir soltando el manubrio hasta que no experimentemos directamente y practiquemos. Es decir, para dominar una disciplina es necesario ejercitarse en ella. Así, se probaron otras formas de educación, permitiendo que el alumno explorara por sí mismo hasta descubrir la respuesta a sus in-

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quietudes o que investigara en la bibliografía existente la respuesta a sus preguntas. Este sistema tuvo la desventaja de que los alumnos se perdían con facilidad en el vasto mundo de la información y en ocasiones buscaban solamente los datos que corroboraran sus preconceptos. Para los docentes con grupos grandes este sistema resultó poco práctico y les era difícil llevar a cabo sus evaluaciones. Los padres de familia tenían la impresión de que sus hijos no aprendían pues estaban acostumbrados a otro tipo de trabajo. Posteriormente, se pensó que la manera óptima de enseñar era formando equipos de alumnos que discutieran entre sí los temas y aportaran, entre todos, los elementos para construir el conocimiento. Este sistema solamente funciona con grupos pequeños y para algunos directivos resulta difícil admitir que en el salón de clases continuamente se esté “platicando”.


Ahora, las tendencias pedagógicas parecen mostrar que cada persona aprende de manera distinta por lo que, para tener más éxito en la educación, lo ideal es emplear los tres métodos antes mencionados, sin descartar otros que vayan surgiendo. También se ha descubierto que hay que fomentar que cada alumno aprenda a estructurar su conocimiento por medio de la elaboración de mapas conceptuales. Para lograrlo es necesario que los alumnos conozcan la lengua, pues ésta es la que proporciona elementos para el pensamiento y ayuda a entender y a ordenar las ideas. Cuando los alumnos logren pensar en cómo piensan, es decir, que logren jerarquizar los conceptos aprendidos y extraer lo esencial, no será necesario que empleen tantas técnicas memorísticas ni que se dediquen a tratar de adivinar qué es lo que el maestro quiere que contesten para pasar los exámenes. Ellos habrán aprendido. Para que comprendamos la fuerza de este sistema evoquemos algún recuerdo, notaremos que lo asociamos con otros, así lo retenemos. Quisiera señalar que otra de las características de la pedagogía moderna es que menos es más.

Trabajo individual

La idea es que el maestro profundice en algunos temas proporcionando a sus alumnos suficiente tiempo para la experimentación, la reflexión y el trabajo en equipo de manera que entiendan. La información y los datos son fácilmente adquiribles, sobre todo con los avances electrónicos, sin embargo, es necesario poder discriminar y aprender a pensar e innovar. Para ello es necesario tener una formación sólida que permita descubrir lo que nos es útil. A continuación damos un ejemplo sobre lo que hemos descrito aplicándolo a una clase sobre la fuerza de gravedad.

Descripción El tema “fuerza de gravedad” es parte del curso de geografía de primer año de secundaria. A continuación se señalan algunas ideas que el docente podrá poner en práctica para enseñarla.

Trabajo en equipo

Clase formal Se sugiere que el docente describa brevemente lo que es la fuerza de gravedad. Esto lo podrá hacer dejando caer algunos objetos para que los alumnos observen una vez más que la Tierra nos atrae. Deberá resaltar que si otro maestro en cualquier lugar del mundo soltara un objeto, éste también caería. Se podrá auxiliar de un globo

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El mapa conceptual

La fuerza de gravedad es una fuerza central, es decir, se ejerce igual en todas direcciones.

terráqueo durante su explicación. Podrá describir que la Tierra y muchos de los astros tienen forma esférica debido a que la fuerza de gravedad es una fuerza central, es decir, que atrae igual en todas direcciones. Mencionará que la fuerza de gravedad sólo es notable en los cuerpos que tienen gran cantidad de masa (cantidad de materia), por eso no sentimos la fuerza de atracción de la gravedad de nuestro mejor amigo. La fuerza de gravedad tiene otra propiedad: disminuye rápidamente con la distancia. De esta manera, aunque haya objetos como hoyos negros en el universo —que atraen con gran fuerza todo lo que se les acerca— nosotros no sentimos su presencia. Experimentación El docente continuará explicando: Todos los planetas sienten la atracción gravitacional que el Sol ejerce sobre ellos. Los satélites de los planetas sienten, a su vez, que los mundos los atraen, ¿por qué no se caen unos sobre los otros? Para facilitar la comprensión de esta idea, puede indicar a sus alumnos hacer el siguiente experimento: “Vas a necesitar una cubeta y un vaso de agua. Si viertes el agua dentro de la cubeta caerá

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debido a la fuerza de gravedad de la Tierra. Si tomas la cubeta del asa y la haces girar sobre tu cabeza, el agua no se derramará porque gira. Es más, puedes colocar el vaso con todo y agua en la cubeta y si la haces girar sobre tu cabeza vigorosamente no se caerá.” Posteriormente, el docente puede explicar que la Luna gira en torno a la Tierra y, aunque ésta la atraiga, no se cae sobre nuestro mundo. De manera equivalente el Sol atrae a los planetas y, puesto que giran en torno suyo, no se caen sobre nuestra estrella. Búsqueda bibliográfica Posteriormente los alumnos deberán buscar en la biblioteca cuál sería la atracción gravitacional en la superficie de Marte y de la Luna y averiguar cuánto pesarían ellos en el planeta rojo y qué tan difícil sería jugar con un balón en la Luna (averiguando su peso allá). Trabajo en equipo El docente podrá contar un cuento o mostrar un video donde se ponga de manifiesto la fuerza de

Aquí en la Tierra me siento muy pesado, en cambio no percibo la atracción gravitacional de ese hoyo negro que se esta tragando a esa

La fuerza de gravedad depende de la masa y de la distancia.


Los cuerpos caigan

Los planetas sean esféricos

ES RESPONSABLE DE QUE

TIENE PROPIEDADES

Existe un fuerza universal llamada GRAVEDAD

EN CONSECUENCIA

La fuerza de gravedad es mayor entre más masa tengan lo cuerpos

IMPLICA QUE Pesaríamos lo doble si la Tierra tuviera el doble de materia y la mitad si tuviéramos la mitad de masa.

La fuerza de gravedad mantiene unido al Sistema Solar La fuerza de gravedad es menor entre más alejados estén los cuerpos que la experimentan

Cada persona tiene una manera distinta de organizar el pensamiento. He aquí un ejemplo de un mapa conceptual sobre la fuerza de gravedad.

gravedad —por ejemplo, sobre algún astronauta que logra flotar en el espacio— y permitir que los alumnos comenten al respecto. Elaboración de un mapa conceptual Cada persona puede crear sus propios mapas conceptuales, justamente a través de ellos podrá darse cuenta de cómo logra ordenar sus ideas. Una manera en que el docente puede invitar a sus alumnos a crear un mapa conceptual es la siguiente: 1. Hacer grupos de tres alumnos. Definir el tema clave, por ejemplo, la escuela. 2. Sugerirles que escriban una lista con unas 10 características relevantes de la escuela. 3. Una vez que tengan la lista completa deberán eliminar la mitad. Es decir, depurarán la lista

original de tal manera que solamente queden los conceptos relevantes. (Desde luego que el número de palabras clave variará de tema a tema). 4. Escribir las palabras elegidas y recortarlas. 5. Acomodar las palabras en torno al concepto clave y ordenarlas. Pegarlas de acuerdo con su importancia. 6. Unir las palabras al concepto clave por medio de líneas y escribir los verbos que las relacionen. Es importante que los alumnos elaboren este mapa conceptual sobre algo que conocen bien. Posteriormente podrán emplear esta misma técnica como herramienta para reflexionar sobre el resto del conocimiento, incluyendo uno sobre la fuerza de gravedad.

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El método inductivo–deductivo y Charles Darwin Román Tejeda Castillo

M

uchos investigadores han pensado que cada hombre al nacer tiene definida la inteligencia. De hecho, señalaron (algunos) que los blancos son más inteligentes que los negros, o que los negros son más inteligentes que los amarillos; otros llegaron a afirmar que los nórdicos son más inteligentes que los hombres que viven en los trópicos. Nada más falso que lo anterior; todos los hombres tenemos el mismo potencial, las mismas capacidades; lo que nos diferencia es la educación que recibimos. Si se nos educa para ser astronautas lo podemos ser, si se nos educa para ser obreros, lo seremos, etcétera. Dedicado durante muchos años a la educación, creo que si los resultados que a menudo obtenemos no son satisfactorios, el problema fundamental radica en que los profesores dedicamos mucho tiempo a enseñar al estudiante las reglas del pensamiento lógico, pero no enseñamos las reglas para producir pensamientos nuevos. Este trabajo pretende ayudar a organizar la forma de razonamiento de los estudiantes. Comencemos nuetra explicación con unas definiciones simples, pero fundamentales para entender el razonamiento.

Inducción: Es un modo de razonar que nos lleva: a) De lo particular a lo general. b) De una parte a un todo. Inducir es ir más allá de lo evidente. La generalización de los eventos es un proceso que sirve de estructura a todas las ciencias experimentales, ya que éstas —como la física, la química y la biología— se basan (en principio) en la observación de un fenómeno (un caso particular) y posteriormente se realizan investigaciones y experimentos que conducen a los científicos a la generalización. Deducción: Es un tipo de razonamiento que nos lleva: a) De lo general a lo particular. b) De lo complejo a lo simple. Pese a que el razonamiento deductivo es una maravillosa herramienta del conocimiento científico, si el avance de la ciencia se diera sólo en función de él, éste sería muy pequeño. Esto se debe a que nuestra experiencia como humanos es limitada, depende de nuestros sentidos y de nuestra memoria. La inducción y la deducción no son formas diferentes de razonamiento, ambas son formas de inferencia. El proceso de inferencia inductiva consiste en exhibir la manera cómo

los hechos particulares (variables) están conectados a un todo (leyes). La inferencia deductiva nos muestra cómo un principio general (ley), descansa en un grupo de hechos que son los que lo constituyen como un todo. Ambas formas de inferencia alcanzan el mismo propósito aun cuando el punto de partida sea diferente. Cuando usamos simultáneamente los métodos de inferencia inductiva y deductiva para buscar la solución de un problema científico decimos que estamos empleando el método inductivo–deductivo, cuyas reglas básicas de operación son: a) Observar cómo se asocian ciertos fenómenos, aparentemente ajenos entre sí. b) Por medio del razonamiento inductivo, intentar descubrir el denominador común (ley o principios) que los asocia a todos. c) Tomando como punto de partida este denominador común (por inducción), generar un conjunto de hipótesis1 referidas a los fenómenos diferentes, de los que se partió inicialmente. d) Planteadas las hipótesis, deducir sus consecuencias con respecto a los fenómenos considerados. e) Hacer investigaciones (teóricas o experimentales) para observar si 1

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Una hipótesis es un juicio de posibilidad.


las consecuencias de las hipótesis son verificadas por los hechos. Hasta este momento sólo hemos explicado el método; para aclarar, hemos escogido una aplicación que pudiera ser ejemplo de claridad científica y empleo de algunos de los elementos aquí presentados. Analicemos cómo Charles Darwin, a través de tres razonamientos inductivos y dos deductivos, establece la explicación de la evolución de las especies. Inducción primera. Las poblaciones naturales son capaces de crecer rápidamente, aumentando su número en cifras muy altas. Obsérvese que ésta es una generalización muy fuerte. La mente inquisitiva de Darwin observó que un árbol produce, según la especie, miles de semillas al año. Un pez puede poner hasta cinco o seis millones de huevos. Asimismo, casi todos nosotros tenemos una idea de la numerosa progenie de los insectos. Inducción segunda. En la mayoría de los eventos, las poblaciones naturales no aumentan en número, la cantidad de éstas permanece casi constante. Esta inducción es fácil de comprender. Si todas las semillas que produce un árbol dieran origen a otros árboles, en el planeta Tierra, no habría lugar para otras especies. Si todos los huevos de un pez pudieran llegar a ser nuevos peces, la mar estaría “hirviendo de peces”. A partir de las inducciones primera y segunda, Darwin formula su primera deducción:

Deducción primera. Puesto que la capacidad de aumento del número de miembros de las especies no se lleva a efecto, como pudiera suceder, existe una lucha por sobrevivir que mantiene constante el número de las poblaciones naturales. Note que lo anterior ocurre porque, entre otras cosas, el pez grande se come al chico, las ardillas y los pájaros se comen las semillas de los árboles, los insectos se devoran entre sí, etcétera. La línea de razonamiento seguida por Darwin, usando el método inductivo–deductivo, puede ser esquematizada de la siguiente manera:

Inducción primera

Inducción segunda

Deducción primera

Ahora, de manera independiente, Darwin plantea: Inducción tercera. En la naturaleza, aparecen variaciones y algunas de ellas son heredadas por las especies. Comentarios: Aquí, en México, hemos visto aparecer nuevos tipos de aguacates o mangos, dalias con nuevos colores, diferentes tipos de manzanas, de maíz o de abejas; un tamaño más grande en algunas especies, o más pequeño en otras. Los ejemplos anteriores son muestras de cambios que pueden

producirse en la naturaleza y pueden ser transmitidos (los cambios) a miembros subsecuentes de la especie.

Inducción primera

Inducción segunda

Inducción tercera

Deducción primera

A partir del bloque anterior, usando la primera y la tercera inducción, Darwin construyó su: Deducción segunda. Si en el seno de la lucha por sobrevivir ocurren variaciones hereditarias, aquellos organismos que presenten variaciones que aumenten su potencial de supervivencia, son los que permanecerán. Comentario. La deducción última debe quedar completamente clara: ocurrirá la selección natural y esta selección, que tendrá lugar a través de las generaciones, hará acumulativos los cambios que desembocarán en la evolución de nuevas formas en las distintas especies. El diagrama final que esquematiza el método de induccióndeducción empleado por Charles Darwin, es el que exponemos a continuación:

Inducción primera

Inducción segunda

Deducción primera

Inducción tercera Deducción segunda

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Secuencias para jugar Correo del Maestro

“La ordenación se basa en la comparación. Una comparación relaciona unos objetos con otros. Los niños pequeños son capaces de comparar el tamaño o la cantidad de dos objetos a la vez; sin embargo, cuando el número de objetos aumenta o disminuye, tienen dificultad para coordinar las relaciones”.*

G

radualmente se desarrolla en el niño un sentido de orden, al llegar a la edad de siete años y medio la mayoría de los niños puede sistemáticamente construir una secuencia. La secuenciación es una operación lógica que permite establecer relaciones de comparación respecto a un sistema de referencia entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, en forma creciente o decreciente, cuidando que cada elemento de la serie cumpla una relación de “mayor que” o “menor que” con el elemento contiguo. De acuerdo con Piaget la construcción de las nociones y de las operaciones relativas a los fenómenos que evolucionan en el tiempo se presenta a grandes rasgos como paralela a la construcción del espacio. Cuando es muy pequeño, el niño es incapaz de seriar eventos sucesivos que ocurren a lo largo del tiempo y no comprende cuál es el problema en sí. Poco a poco se vuelve capaz de seriar eventos, y puede ordenar las diferentes fases de un proceso representado a través de imágenes. El material didáctico que se ofrece en este número de Correo del Maestro, permite realizar actividades en la que se enfrente al niño a diferentes eventos que evolucionan con el transcurso del tiempo.

Instrucciones En las páginas centrales de este número se incluyen tres grupos de dibujos de secuencias lógicas y numéricas. Sugerimos al maestro que recorte cada uno de los dibujos que los forman y los pegue en cartón, cartoncillo, triplay o cualquier otro material rígido, también cortado del mismo tamaño; para hacerlos más resistentes puede barnizarlos o cubrirlos con una mica. Si desea varios juegos de cada serie se recomienda trabajar con copias a color. Cada maestro podrá utilizar el material en diferentes actividades, de acuerdo con las características de sus alumnos y sus objetivos. Es posible organizar el trabajo de forma individual o en equipos y usar cada secuencia por separado o todas juntas. En todas las series aparecen objetos concretos que permiten la práctica del conteo ya sea progresiva o regresivamente. * Labinowicz, E. Introducción a Piaget. Ed.Addison-Wesley, Iberoamericana, pág. 102.

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Certidumbres e incertidumbres

Una necesaria concepción de hombre en educación Alejandrino Castañeda Vélez Introducción En plena posmodernidad y en el advenimiento del siglo XXI, nuestro país enfrenta exigencias de profundos cambios cualitativos impulsados por la política de apertura y concertación con los países desarrollados, situación que implica la competencia en el mercado internacional de bienes, servicios y recursos humanos. Condición imprescindible es contar con una educación superior que se proyecte en forma permanente hacia niveles de calidad y excelencia académica moldeando el perfil de sus egresados. Sitio prioritario ocupa la formación y actualización de docentes como reto y desafío que se transforma en la solución. Todo acto educativo es una experiencia formativa de la personalidad y, por ende, despierta una actitud crítica en el individuo. Una sociedad educada es, indefectiblemente, una sociedad crítica; es decir, una sociedad que buscará siempre modos superiores de convivencia. Tarea importante e irrenunciable de los docentes es encauzar la educación para desarrollar nuevas experiencias y actitudes analíticas, críticas, reflexivas y participativas en el sentido más positivo para los estudiantes. Nadie tiene el derecho de rehuir la obligación de actualizarse en vías de optimizar el quehacer docente cotidiano. No es aceptable en la realidad que vivimos que se presente un desenvolvimiento rígido cuya característica sea la incomprensión y la incomunicación. Tampoco es deseable que impere la anarquía, ni la demagogia, ni los intereses extraños. Ha de manifestarse

en todo momento la trascendente responsabilidad de conducir a la juventud, pues “quien se atreve a enseñar, que nunca deje de aprender” (Belén Guerrero). Ellos tienen la capacidad de guiar en el más difícil y fascinante de los caminos que cada estudiante ha de recorrer en la vida: el de la propia formación de su inteligencia, de su cultura y de su ética.

Dimensión humanística En la conducción de las nuevas generaciones es evidente que cada docente debe tener clara y precisa una concepción de hombre, educación, sociedad, historia y ciencia. Ello permite el asesoramiento integral del proceso de enseñanzaaprendizaje, el análisis concreto de su realidad y la coherente abstracción del conocimiento. Para Hobbes, “el hombre es apto para asociarse solamente gracias a la educación”. Las concepciones de hombre pueden agruparse en tres rubros: 1) Las que se sirven de la confrontación entre el hombre y Dios; son de naturaleza teológica, como la formulada a partir del dicho del Génesis cuando narra el diálogo de la Trinidad: “Hagamos al hombre a nuestra imagen conforme a nuestra semejanza”. 2) Las que expresan las características y capacidades propias del hombre, como aquélla según la cual éste es un animal racional, que expresa bien el punto de vista de la Ilustración y el espíritu de la filosofía platónica y aristotélica.

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Una necesaria concepción de hombre en educación

3) Las que expresan como propio o inherente al hombre su capacidad para autoproyectarse, dándose finalidad a sí mismo, cuyo pensamiento fue ilustrado por Scoto Erígena: “ No sin mérito, el hombre ha sido llamado la fábrica de todas las criaturas y, en efecto, todas las criaturas se contienen en él porque entiende como el ángel, razona como el hombre, siente como el animal racional, vive como el germen, consiste de cuerpo y alma y no carece de cosa alguna creada” (Abbagnano, 1987). El docente dirige, orienta y facilita el aprendizaje frente a su grupo. En el aula y fuera de ella es el eje fundamental de los cambios. Le vemos realizando una gama de funciones: guía, innovador, investigador, consejero, creador, autoridad y realizador de sí mismo, de sus alumnos, de sus compañeros, de su institución, de su sociedad de la cual es parte importante; la educación que propicia “universaliza la cultura, la difunde a través del tiempo y del espacio dentro de la sociedad humana” (Moncayo, 1986). En esta dimensión hay “una toma de conciencia de los procesos reales que ligan a los individuos entre sí para engendrar una educación que ya no sea un acto ciego sino, por el contrario, un hecho del que se ven todas las dimensiones y consecuencias” (Abraham, 1975).

Su evolución En la cosmovisión mítica de la realidad que nos circunda encontramos el origen de la ciencia actual que pretende, fundamentalmente, explicar la posición del hombre ante los diversos aspectos de la vida cotidiana. “Si la ciencia empezara a estudiar a los hombres, llegaría no sólo a dar nuevas técnicas para la educación, sino que también nos llevaría a una comprensión profunda de muchos hechos humanos y sociales” (Montessori, 1986).

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Es precisamente a través de los sistemas actuales de educación que se pretende establecer la comunicación perdida, la búsqueda de los valores que le dan sentido a la convivencia del hombre con el hombre y a las metas de superación del hombre mismo y de la sociedad con todos sus productos culturales. Fijar al hombre como domeñador de las fuerzas de la naturaleza y sus conquistas da lugar a pensar en los capítulos más importantes de la historia humana. El hombre es el único ser que posee capacidades intelectuales, afectivas y volitivas; convierte sus indigencias en fuentes de una dinámica que lo ubica en la dirección de realización para vivir en un mundo que se transforma día a día. Es sujeto y objeto de praxis histórica; realiza sus actividades de manera intencional con un propósito consciente y, además, deliberado. De la misma manera, establece una relación de interioridad con sus actos. Sólo él puede establecer una relación con la naturaleza y con la realidad social e histórica, pues se transforma a sí mismo al transformar su realidad. Víctor Guédez, asesor de la UNESCO, puntaliza: “La acción integral del hombre, tanto en su menesterosidad como en sus recursos, constituye el punto de apoyo de una concepción de la educación superior”. Además, “la educación se relaciona siempre con un proyecto de hombre y de sociedad, activamente propugnado o pasivamente aceptado” (Suárez Díaz, 1987). El tránsito del hombre por la vida y con ella, por la educación, es una continua necesidad de rectificar las inexactitudes mediante la evolución de las ideas. El hombre —antiguo y moderno— vigente por excelencia, se encuentra frente a la expectativa dual de seleccionar su destino a través de esquemas, figuras, paradigmas que lo hacen oscilar entre la afirmación existencial o la posibilidad del caos como recurso de negación y de aniquilamiento. La razón es el poder que lo encumbra sobre los demás seres. El hombre vale por lo que sabe,


además de lo que hace (Homo sapiens, homo faber). El hombre contemporáneo, que se forja en las aulas y en su entorno social, analiza el pasado y el presente y contempla el devenir histórico como una sucesión de imágenes fácilmente reconocibles. Reiteradas imágenes con el ropaje medieval lleno de sombras; ideas exaltadas, después, por la luminosidad del Renacimiento y por la incandescencia de la Ilustración; imágenes inflamadas, distorsionadas, en actitud heroica por el impulso del Romanticismo. Y todo ello, convergiendo, cayendo, concluyendo en el hombre de hoy, que es el sujeto protagónico de una nueva era en la historia de la humanidad.

Su necesidad Cada hombre manifiesta un impulso irresistible por la falta de las cosas que son menester para la conservación de su vida o, desde la perspectiva psicológica, la necesidad está presente en él como “privación de un reforzador en su organismo”. El hombre está inmerso en la realidad y en ella se desarrolla, por eso “el ser humano no sucede al sentido, durante su desarrollo ontogenético, más que cuando ha adquirido la distinción de lo anterior y de lo exterior; su sentido es lo que esclarece recíprocamente la realidad que vive...” (Anzieu, 1978). La necesidad es una categoría ontológico-social tan general, tan primaria, como el valor. Es una categoría del individuo, una exigencia interna, una constricción, un ansia de algo. “Ese algo —el objeto de la necesidad— es siempre heterogéneo (todo hombre tiene necesidades heterogéneas). Hay necesidades orientadas al consumo, a la actividad, a las relaciones, etcétera.” (Heller, 1974). Además, el hombre tiene necesidad y potencialidad. Tiene vacíos y carencias de diversa índole: necesita techo, vestido y alimento porque

es parte de la realidad físico-biológica; necesita compañía, afecto, solidaridad, seguridad y comprensión porque es parte de la realidad sociopolítica; necesita cultura, ciencia y educación porque es parte de la realidad antropológicocultural; necesita trabajo, dimensión dinámica de la vida humana y libertad, porque es parte de la realidad histórico-existencial; y, finalmente, necesita proyección espiritual e intelectual porque es parte de la realidad axiológica que lo centra en relación con lo existente, lo cual condiciona su acción, lo reta y lo desafía. El hombre trasciende el tiempo y el espacio... deja huella. El hombre es un ser existente que está sometido a las condiciones de su “aquí-ahora”. No es un ente abstracto ni una idea etérea. Se concibe como un ser ambivalente formado de cuerpo y alma y es, al mismo tiempo, la más carente y la más sobreabundante de las criaturas existentes.

Conclusiones La educación tiene urgencia de elaborar un nuevo concepto de hombre: mejor en sus relaciones; mayor en sus aspiraciones sociales; promotor de generaciones nuevas con más y mejores posibilidades de vida; y, superior en analizar su realidad para transformar su sociedad. No hay esfuerzo humano, por pequeño que nos parezca, que resulte inútil en el consenso general de construir en mejores condiciones el mundo en que vivimos. El conocimiento y la difusión de las relaciones humanas en su doble aspecto de toma de conciencia y de recurso de comunicación, permite abocarnos a una necesaria concepción de hombre en educación de todos los niveles. La errática estrella que según la Iliada presagió la guerra de Troya, no debe volver a hacerse presente en el feliz alumbramiento del hombre nuevo, portador de una dinámica filosofía de vida. Contem-

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Una necesaria concepción de hombre en educación

plemos su advenimiento como un fenómeno natural, lógico en su procedencia y en su destino superior; tratemos de advertirlo, de conocerlo, de identificarnos con él para explicarlo mediante los caminos amplios y seguros de la educación. La educación es la clave del progreso. Establezcamos un puente sólido que se apoye en los afanes de búsqueda del hombre, vinculado con los ideales de realización de una sociedad más justa. Ideales que reflejen la lucha del hombre de todas las regiones de México y del mundo por alcanzar la seguridad de un mayor nivel educativo, caracterizado por la calidad y la ex-

celencia que nos proporcione posibilidades superiores de vida. Bibliografía ABBAGNANO, Nicola, Diccionario de filosofía. México, FCE, 1987, pp. 623, 624. ABRAHAM, Ada, El docente, ese desconocido, en: El mundo interior del docente. Barcelona, Promoción Cultural, 1975, p. 32. ANZIEU, D.E. El grupo y el inconsciente. Madrid, Biblioteca Nueva, 1978, p. 64. HELLER,Agnes. El valor como una de las categorías primarias de la práctica social, en: Hipótesis para una teoría marxista de los valores. Barcelona, Grijalbo, 1974, p. 116. MONCAYO, Luis Guillermo. No sólo con gis y buenos deseos. México, Hexágono, 1986, p. 19. MONTESSORI, María. Formación del hombre. México, Diana, 1986, pp. 18, 19. SUÁREZ DÍAZ, Reynaldo. La educación. México,Trillas, 1987, p 19.

INSTITUTO MEXICANO DE LA AUDICIÓN Y EL LENGUAJE Hacia el cincuenta aniversario 1951 - 2000 El objetivo principal del Instituto Mexicano de la Audición y el Lenguaje desde su fundación, ha sido formar personal cabalmente especializado para atender desde el diagnóstico integral, hasta la etapa terapéutica rehabilitatoria o la educación especial de los problemas en la comunicación lingüística. LAS CARRERAS QUE EL IMAL OFRECE SON CUATRO: Informes en la Subdirección de Enseñanza del IMAL: 277 6444 • 277 6520 Lunes a viernes de 10:00 a 14:00 hrs.

2. Licenciatura en la terapia de la audición, la voz y el lenguaje oral y escrito. (8 semestres).

Exámenes de admisión: hasta el 30 de abril, previa cita.

3. Maestría en la patología de la audición y el lenguaje. (4 semestres).

Inicio de cursos: 1o. de septiembre de 1999.

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1. Carrera profesional corta en audiometría y rehabilitación auditiva. (4 semestres).

4. Especialización en lingüística aplicada. (3 semestres).

Correo del Maestro. Núm. 33, febrero 1999.


Artistas y artesanos

La Suave Patria Ramón López Velarde

PROEMIO

Yo que sólo canté de la exquisita partitura del íntimo decoro, alzo hoy la voz a la mitad del foro, a la manera del tenor que imita la gutural modulación del bajo, para cortar a la epopeya un gajo. Navegaré por las olas civiles con remos que no pesan, porque van como los brazos del correo chuan que remaba la Mancha con fusiles. Diré con una épica sordina: la Patria es impecable y diamantina. Suave Patria: permite que te envuelva en la más honda música de selva con que me modelaste por entero al golpe cadencioso de las hachas, entre risas y gritos de muchachas y pájaros de oficio carpintero.

PRIMER ACTO

Patria: tu superficie es el maíz, tus minas el palacio del Rey de Oros, y tu cielo, las garzas en desliz y el relámpago verde de los loros. El Niño Dios te escrituró un establo y los veneros de petróleo el diablo.

Sobre tu Capital, cada hora vuela ojerosa y pintada, en carretela; y en tu provincia, del reloj en vela que rondan los palomos colipavos, las campanadas caen como centavos. Patria: tu mutilado territorio se viste de percal y de abalorio. Suave Patria: tu casa todavía es tan grande, que el tren va por la vía como aguinaldo de juguetería. Y en el barullo de las estaciones, con tu mirada de mestiza, pones la inmensidad sobre los corazones. ¿Quién, en la noche que asusta a la rana, no miró, antes de saber del vicio, del brazo de su novia, la galana pólvora de los fuegos de artificio? Suave Patria: en tu tórrido festín luces policromías de delfín, y con tu pelo rubio se desposa el alma, equilibrista chuparrosa, y a tus dos trenzas de tabaco sabe ofrendar aguamiel toda mi briosa raza de bailadores de jarabe. Tu barro suena a plata, y en tu puño su sonora miseria es alcancía; y por las madrugadas del terruño, en calles como espejos, se vacía, el santo olor de la panadería.

Correo del Maestro. Núm. 33, febrero 1999.

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La suave patria

Cuando nacemos, nos regalas notas, después, un paraíso de compotas, y luego te regalas toda entera, suave Patria, alacena y pajarera. Al triste y al feliz dices que sí, que en tu lengua de amor prueben de ti la picadura del ajonjolí. ¡Y tu cielo nupcial, que cuando truena, de deleites frenéticos nos llena! Trueno de nuestras nubes, que nos baña de locura, enloquece a la montaña, requiebra a la mujer, sana al lunático, incorpora a los muertos, pide el viático, y al fin derrumba las madererías de Dios, sobre las tierras labrantías. Trueno del temporal: oigo en tus quejas crujir los esqueletos en parejas; oigo lo que se fue, lo que aún no toco, y la hora actual con su vientre de coco. Y oigo en el brinco de tu ida y venida, oh trueno, la ruleta de mi vida.

Moneda espiritual en que se fragua todo lo que sufriste: la piragua prisionera, el azoro de tus crías, el sollozar de tus mitologías, la Malinche, los ídolos a nado, y por encima, haberte desatado del pecho curvo de la emperatriz como del pecho de una codorniz.

SEGUNDO ACTO

Suave Patria: tú vales por el río de las virtudes de tu mujerío; tus hijas atraviesan como hadas, o destilando un invisible alcohol, vestidas con las redes de tu sol, cruzan como botellas alambradas. Suave Patria: te amo no cual mito, sino por tu verdad de pan bendito como a niña que asoma por la reja con la blusa corrida hasta la oreja y la falda bajada hasta el huesito.

INTERMEDIO

CUAUHTÉMOC Joven abuelo: escúchame loarte único héroe a la altura del arte. Anacrónicamente, absurdamente, a tu nopal inclínase el rosal; al idioma del blanco, tú lo imantas y es surtidor de católica fuente que de responsos llena el victorial zócalo de ceniza de tus plantas. No como a César el rubor patricio te cubre el rostro en medio del suplicio: tu cabeza desnuda se nos queda, hemisféricamente, de moneda.

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Inaccesible al deshonor, floreces; creeré en ti, mientras una mejicana en su tápalo lleve los dobleces de la tienda, a las seis de la mañana, y al estrenar su lujo, quede lleno el país, del aroma del estreno. Como la sota moza, Patria mía, en piso de metal, vives al día, de milagro, como la lotería. Tu imagen, el Palacio Nacional, con tu misma grandeza y con tu igual estatura de niño y de dedal. Te dará, frente al hambre y al obús, un higo San Felipe de Jesús.


Suave Patria, vendedora de chía: quiero raptarte en la cuaresma opaca, sobre un garañón, y con matraca, y entre los tiros de la policía. Tus entrañas no niegan un asilo para el ave que el párvulo sepulta en una caja de carretes de hilo, y nuestra juventud, llorando, oculta dentro de ti, el cadáver hecho poma de aves que hablan nuestro mismo idioma. Si me ahogo en tus julios, a mí baja desde el vergel de tu peinado denso frescura de rebozo y de tinaja, y si tirito, dejas que me arrope en tu respiración azul de incienso y en tus carnosos labios de rompope. Por tu balcón de palmas bendecidas el Domingo de Ramos, yo desfilo lleno de sombras, porque tú trepidas. Quieren morir tu ánima y tu estilo, cual muriéndose van las cantadoras que en las ferias, con el bravío pecho empitonando la camisa, han hecho la lujuria y el ritmo de las horas. Patria, te doy de tu dicha la clave: sé siempre igual, fiel a tu espejo diario; cincuenta veces es igual el Ave taladrada en el hilo del rosario, y es más feliz que tú, Patria suave. Sé igual y fiel; pupilas de abandono; sedienta voz, la trigarante faja en tus pechugas al vapor; y un trono a la intemperie, cual una sonaja: ¡la carreta alegórica de paja! 24 de abril, 1921.

Ramón López Velarde nació el 15 de julio de 1888 en Jerez (hoy Ciudad García), Zacatecas. Estudió en los Seminarios Conciliares de Zacatecas y Aguascalientes y en el Instituto de Ciencias de esta última ciudad. En San Luis Potosí, mientras estudiaba en la Escuela de Leyes del Instituto Científico y Literario, comenzó a colaborar en algunas revistas y periódicos. La Revolución significó para López Velarde la destrucción de su pueblo, y él mismo señaló que la supremacía de la barbarie, que pulveriza y enloda todo, se la disputaban ambas partes. Hacia 1914 se trasladó a la capital donde fue profesor de literatura en la Escuela Nacional Preparatoria y en la Escuela de Altos Estudios y escribió para El Maestro, La Nación, El Nacional Bisemanal, Pegazzo,Vida Moderna, México Moderno y Revista de Revistas. A pesar de que el terruño natal sea uno de sus temas, López Velarde no es un poeta provinciano. No utiliza un lenguaje popular sino uno coloquial urbano, en el que caben los cultismos. Tiene una gran influencia del poeta argentino Leopoldo Lugones y él mismo fue inspiración para escritores de la talla de Jorge Luis Borges y Pablo Neruda.1 López Velarde nunca fue un activista político ni un ideólogo si bien siempre se preocupó por lo que sucedía en su país y en gran parte de su obra se puede apreciar una crítica a la barbarie de la lucha fratricida. Su postura era la de un liberal católico y fue, ante todo, un pacifista. Se opuso abiertamente a las dictaduras —criticando duramente a Porfirio Díaz—, pero también caricaturizó al socialismo.Apoyó a Madero y posteriormente a Carranza. El poema La Suave Patria fue escrito en ocasión del primer centenario de la Consumación de la Independencia (1921), es una voz que se levanta contra la lucha entre los mexicanos, y pinta una patria subjetiva y colorida. Este poema “tolera las complicidades sentimentales, no las ideológicas. [...] No es un canto a las glorias o desastres nacionales”.2 Esta obra se publicó por primera vez en la revista El Maestro, la cual era dirigida por el Lic. José Vasconcelos, y pertenece al libro póstumo de poesías El Son del Corazón (1923). El poeta falleció, a causa de una bronconeumonía, el 19 de junio de 1921 en ciudad de México. 1 cfr. Paz Octavio. Prólogo de: La suave Patria y otros Poemas Ramón López Velarde. FCE, México 1995. pp. 17, 18, 19. 2 op. cit. p. 28-29.

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la vasija REVISTA INDEPENDIENTE ESPECIALIZADA EN EDUCACIÓN YCIENCIAS DEL HOMBRE

la vasija

es una publicación cuatrimestral, independiente y respaldada por un directorio internacional, dirigida a los formadores de maestros, los maestros y los interesados en la educación, y que tiene como finalidad mantener un espacio de difusión e interlocución acerca de lo educativo y su relación con la cultura.

Informes y suscripciones: Tel. / fax 663 09 34

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Sentidos y significados

De la constitución o sobre las composiciones Yuriria Castro Moreno

C

onstitución es la acción de constituir y significa formar, componer o integrar. Es la representación de ciertas partes o elementos que forman otra cosa, por ejemplo: los padres y los hijos constituyen la familia. Constitución es estructura. Y a su vez estructura es la manera de estar constituido algo, es la forma en que está dispuesto, podría ser una armadura, un armazón o un esqueleto. Una estructura es un conjunto de piezas que da fuerza y sostiene algo; por ejemplo, un edificio de estructura metálica. Un ejemplo de estructura que las ciencias explican es la materia, constituida de ciertos elementos: en el caso del agua, hidrógeno y oxígeno son sus constituyentes; es decir, son los elementos que la componen. Una estructura también es la forma de estar constituido el organismo de un ser vivo, particularmente una persona; esta manera depende del desarrollo y funcionamiento de sus órganos, es su constitución física. Composición es la acción de componer, constituir o establecer, por ello es sinónimo de constitución. En gramática se considera compuesta una expresión cuando en ella se reúnen, para designar un objeto único, dos o más palabras entre las cuales no hay relación gramatical adjetival; son expresiones compuestas, carri-coche, coche-cama o pájaro-mosca, no lo son “color malva”o ”pata de gallo”. Composición es la forma que adquiere la reunión de distintos elementos. Es crear o inventar una obra; un sinónimo de componer es producir. Otro sinónimo de componer es recon-

ciliar, arreglar un asunto que presenta un mal cariz, reparar una cosa rota o descompuesta. Composición es una cosa que se prepara o que se construye, por ejemplo una obra musical. Es también el trabajo realizado por un estudiante que aprende una lengua y que mediante la combinación de palabras expresa un pensamiento. En arte, escultura o pintura, son la manera en que están dispuestos los elementos de la escena. Y además en el tema que nos atañe es el acuerdo a que llegan dos o más personas. Composición es mezcla, es mixtura, es una obra musical que resulta de la agregación de sonidos, silencios, ritmos y compás. Con todas estas relaciones, digamos que la palabra composición deja clara la idea de que se reúnen cosas diferentes en un mismo todo, que puede ser una expresión —como lo es en la gramática— o una substancia —en el caso de la química—; también se trata de incorporar diversos elementos para componer una canción o una fotografía y, ¿por qué no?, un ideal social anhelado por un universo de individuos. Si nos atenemos a la palabra composición como sinónimo de constitución, ésta nos dice que es la posibilidad de reunión de elementos diferentes en un conjunto, así que pensemos en la singularidad y la particularidad de todos los seres humanos. No existe ningún ser igual a otro, ni en su complexión corporal, su gesto, su apariencia, color de ojos y piel, estatura, ni mucho menos en su estructura subjetiva: ideas, sentimientos, proyectos, temperamento, afectos, deseos, miedos, debilidades; toda la forma de ser y estar de nosotros los humanos es una infinita variopinta.

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De la constitución o sobre las composiciones

Por eso resulta sorprendente que sea posible interrogarnos y afirmar al unísono: ¿Cómo ha-cemos para vivir juntos? Indiscutiblemente es una gran hazaña, aun con todo y sus percances. Las hormigas, las abejas y los castores no tienen este tipo de desafíos, su vida es uniforme y sus necesidades casi idénticas.

¿Cómo hacemos para vivir juntos? Continuemos nuestro examen de significados: si composición es la posibilidad de reconciliación, de arreglo de divergencias o roturas, abre camino para restaurar o recuperar la relación entre esos elementos opuestos; si composición implica trabajo, significa que la aplicación de un esfuerzo en pos de algo produce un resultado deseado; si composición es producción, se puede hacer que una cosa natural salga de sí misma y se transforme en otra, como la tierra que produce árboles, el peral, perales, o el hombre y la mujer que producen palabra, cultura y leyes y así con este puente, atraviesan el umbral de la barbarie hacia las civilizaciones. Si composición es, además, la posibilidad de creación, de hacer que empiece a existir algo, entonces una constitución es la posibilidad de hacer una cosa nueva o una nueva manera de hacer algo: algo como vivir juntas y juntos. En la Constitución se ha depositado la esperanza de crear sociedades que vivan sostenidas por valores los cuales constituyen la vía para superar la violencia. Una Constitución es una construcción acordada de ideales y valores que los seres humanos logran con base en dos invenciones fundamentales producto de su libertad: el habla y la ley. Estas dos condiciones básicas de comunicación posibilitan la superación de la violencia que genera el poder del más fuerte, la llamada “ley de la selva”. Aun así,

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la tarea es infinita pero, si lo pensamos bien, la sociedad moderna es bastante joven aunque también bastante perspicaz y peligrosa. Se llega a identificar Constitución y Estado y se dice: ¡El Estado es la Constitución! Y así es, una Constitución reúne en una composición normativa al territorio, a la población y al gobierno de un país. “Constitución” escrita con mayúscula, dice el diccionario, es la Ley fundamental que fija la organización política de un Estado y establece los derechos y obligaciones de los ciudadanos, y, efectivamente, es la forma en que hemos elegido que sea nuestra vida como mexicanos. La Constitución ha significado el esfuerzo por ordenar y normar las relaciones de los habitantes, su forma de convivencia y de gobierno, y la relación de éstos con sus riquezas naturales. Hasta ahora con esto contamos. Para finalizar, si creemos en la posibilidad de estar reunidos, de crear, de inventar, de reconciliarnos, de reparar daños, de trabajar en pos de ideales, de ponernos de acuerdo y de hacer leyes, a pesar de las diferencias que nos constituyen como seres humanos, como naciones y como humanidad, significa que en la escuela hay mucha tarea para aprender a hacer nuevas composiciones, para comprender las composiciones que hemos heredado y para festejar que nada está hecho para siempre, todo puede ser mejor. Una Constitución y los valores que postula representan un punto de referencia a un horizonte que es útil para orientar la acción de los hombres y las mujeres de las naciones; sin embargo, no podemos creer que la Constitución es una varita mágica que ipso facto hace el bien. Por eso, no podemos darnos por vencidos o perder la esperanza, sino más bien debemos pensar que para eso estamos todos juntos. Tú, todos y todas, debemos participar en los acuerdos y en los planes de nuestro país.


Problemas sin número

Una carrera loca Concepción Ruiz Ruiz-Funes Juan Manuel Ruisánchez Serra Lo más importante es no dejarse descorazonar por un fracaso inicial. Son pocos los problemas que se resuelven por medio de un golpe de inspiración. La mayoría requiere un método de pasos sucesivos; uno toma como punto de partida algo muy evidente, tal vez lo único no evidente es qué constituye el primer paso hacia la solución, como suele suceder; la verdadera dificultad está en descubrir su importancia. Una vez que uno ha podido resolver un par de problemas y comprender su mecanismo, o comprender cómo funciona la mente de su autor, los demás son un poco más fáciles. Al mismo tiempo, tendrá la gran satisfacción de avanzar desde los muy sencillos hasta los más complejos. Eric Emmet* La siguiente actividad está pensada para estudiantes de sexto grado de primaria en adelante; proponemos que se resuelva por equipos y que en la búsqueda de la solución se discuta el razonamiento que se sigue.

Es importante que los niños noten que la información que se les da es suficiente para resolver el problema; que si se omitiera alguno de los datos, no podrían encontrar la solución y que cualquier información extra no es necesaria.

Actividad: Una carrera loca En nuestra escuela, Consuelo, Mariana, Ricardo y José fueron los únicos participantes de la carrera más importante del año; como nosotros estábamos en una excursión al zoológico, no pudimos ver la carrera. Cuando llegamos nos dijeron lo siguiente: 1) Ricardo no quedó ni en primero ni en tercer lugar. 2) Mariana aventajó a José por dos lugares. 3) Consuelo quedó dos lugares detrás de Ricardo. La pregunta que nos hicieron fue: ¿En qué orden llegaron a la meta?

Solución: Como Ricardo no quedó ni en primer ni en tercer lugar, entonces quedó en segundo o en cuarto. Pero sabemos, además, que Consuelo quedó dos lugares detrás de él. Por lo tanto podemos concluir que Ricardo quedó en segundo lugar y Consuelo quedó en cuarto. Además sabemos que Mariana quedó dos lugares adelante de José, entonces Mariana tuvo, necesariamente, que quedar en primero y José en tercero. Es decir, el orden de llegada fue el siguiente: 1. Mariana 2. Ricardo 3. José 4. Consuelo * EMMET, Eric. Juegos para devanarse los sesos, Editorial Gedisa, Barcelona, 1998 (tercera edición), p.11.

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Abriendo libros

Algo pasó* Juan Manuel Ruisánchez Serra

E

stoy seguro que algo pasó, porque nunca había visto que un libro de divulgación de la ciencia desapareciera tan rápido de una librería; y menos siendo un libro sobre matemáticas. Además, no sólo se agotó una vez, sino que por lo menos tres veces he tenido que esperar a que “vuelva a llegar” (es un libro que me gusta regalar). ¿Qué pasó, entonces? ¿Será que de pronto la gente se aburrió de leer sobre “superación personal” y “éxito seguro” y está buscando alternativas? ¿O será que El diablo de los números es un libro que realmente vale la pena y se ha ido corriendo la voz? Creo que la segunda opción es muy probable, y la primera sólo muy deseable. Y lo que tiene de maravilloso este libro es que habla sobre temas de matemáticas que no son los típicos temas espinosos que nadie nunca entiende y que ni son bonitos, ni son interesantes, ni nada de nada. El efecto que se logra con esto es el de desvincular las matemáticas del ámbito escolar como el único medio para descubrirlas. Hans Magnus Enzensberger, autor del libro, lo dice claramente al asegurar que eso que vemos en la escuela no son matemáticas, que las matemáticas de verdad son otra cosa, distinta a resolver los típicos problemas de sumas y restas. Con esa afirmación, el autor ya se ganó a más de la mitad de los adolescentes que lean el libro y, seguro, a todos los matemáticos. El problema, quizás, aparece para los profesores que pudieran sentirse aludidos o, incluso, ofendidos; sin embargo, creo que es una muy buena oportunidad para recapacitar sobre la manera de tratar las matemáticas y de enseñarlas. Es posible, como al menos se concluye por la respuesta del público ante la aparición de libros como éste (entre los que también podría incluirse El mundo de Sofía de Jostein Gaarder, en el caso de la filosofía), que el rechazo hacia las matemáticas no provenga de las matemáticas por sí solas, sino de cómo las enseñamos, de lo que enseñamos de ellas. No quiere decir que no se deba enseñar lo que se enseña, sino que valdría la pena también enseñar las partes más bonitas de la materia. Además de todo, la parte de matemáticas y del conocimiento en sí, se debe reconocer la belleza de la edición y las ilustraciones de Rotraut Susanne Berner, que

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Página del lector

Fe de erratas* Estimado lector: En el número anterior a éste (No. 32, enero, 1999) tuvimos algunos errores de edición los cuales consideramos importante señalar. Ellos serán corregidos en reimpresiones posteriores. a) La figura de la pág. 17, titulada “Línea del tiempo para la historia de la vida del universo”, debe contener el siguiente crédito: Steven Weinberg,“Life in the Universe”, Scientific American,Vol 271, Number 4, october 1994, pp. 22-23. b) En el esquema de la página 25 no aparece el título ni el crédito correspondiente.

ERA

PERIODO O SISTEMA

PRINCIPALES DISCORDANCIAS

COLUMNA ESTRATIGRÁFICA

ERA

Saálica

PÉRMICO

PERIODO O SISTEMA

PRINCIPALES DISCORDANCIAS

COLUMNA ESTRATIGRÁFICA

PLEISTOGENO Discordancia O CUATERNARIO erosiva

CENOZOICO

Astúrica CARBONÍFERO

65 m. a.

DEVÓNICO

MIOCENO

Estaírica

OLIGOCENO

Pirenaica

EOCENO

Larámica

CRETÁCICO

Erica

Neoquimérica

MESOZOICO

PALEOZOICO

Ardénica

SILÚRICO

JURÁSICO

Tacónica

TRIÁSICO

Hercínica

245 m. a.

ORDOVÍCICO

Sárdica

ESTRATOS CORRESPONDIENTES A LAS DIFERENTES ETAPAS DE LA HISTORIA GEOLÓGICA DE LA TIERRA

CÁMBRICO

570 m. a.

Asíntica

Fuente: OCEANO, Grupo editorial. Historia natural [Dir. por Carlos Gispert], tomo 2,“Evolución. Paleontología”, Barcelona, 1998. pp. 198-199.

c) En el esquema de la pág. 38, se produjo un desfase entre los nombres de las categorías y el contenido de la derecha. Éste debe ser como aparece a continuación. Animal

Reino

Phylum

Chordata

Subphylum

Vertebrata

Arthropoda

Mandibulata

Aves

Insecta

Crustacea

Arachnida

Passeniforme

Díptera

Decápoda

Araneidos

Frindilidae

Drosofilidae

Portúnidae

Licósidae

Mammalia

Clase

Carnívora

Chelicerata

Orden

Primates

Familia

Hominidae

Cannidae

Felidae

Género

Homo

Cannis

Felis

Geospiza

Pymhuloxia

Drosophyla

Portunus

Tarentula

Especie

H. sapiens

C. familiaris

C. lupus

F domestica

G. fortis

P. cardinalis

D. melanogaster

P. hastatus

T.cuneata

hombre

perro

lobo

gato

pinzón de suelo

cardenal

mosca de la fruta

cangrejo cornudo

Tarántula

Nombre Común

* El error al que se hace referencia fue corregido en las reimpresiones posteriores de dicho número. Correo del Maestro. Núm. 33, febrero 1999.

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Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales Durante el año lectivo 1997-1998 el Programa Nacional de Bibliotecas Magisteriales otorgará créditos por 120 millones de pesos en condiciones preferenciales para la adquisición de materiales que incrementen el acervo bibliográfico de los trabajadores de la educación.

AUTORIDADES DEL SISTEMA NACIONAL DE EDUCACIÓN PARTICIPANTES: INST. DE EDUC. DE AGUASCALIENTES, AGS. • SRIA. DE EDUC. PÚBLICA DE BAJA CALIFORNIA SUR, B. C. S. • SRIA. DE EDUC. CULTURA Y DEPORTE DE CAMPECHE, CAM. • INST. DE SERV. EDUCATIVOS EN EL EDO., DE COAHUILA • SRIA. DE EDUC. PÚBLICA DEL EDO. DE COAHUILA, COAH. • COORD. DE LOS SERV. EDUCATIVOS EN EL EDO. DE COLIMA, COL. • SRIA. DE EDUC., CULTURAL Y DEPORTE, DURANGO GOB. DEL EDO. DE DURANGO, DGO. • SRIA. DE EDUC. DE GUANAJUATO, GTO. • UNIV. AUTÓNOMA DE GUANAJUATO, GTO. • INST. HIDALGUENSE DE EDUC., HGO. • SERV. EDUC. INTEGRADOS AL EDO. DE MÉXICO, MÉX. • SRIA. DE EDUC. Y CULTURA NAYARIT, GOBIERNO DEL EDO. DE NAYARIT, NAY. • SRIA. DE EDUC. PÚBLICA DEL EDO., DE PUE. • SRIA. DE FINAZAS DEL EDO. DE PUEBLA, PUE. • UNIDAD DE SERV. PARA LA EDUC. BÁSICA EN EL EDO. DE QUERÉTARO, QRO. • SRIA. DE EDUC. PÚBLICA Y CULTURA, SINALOA • SERV. DE EDUC. PÚBLICA DESCENTRALIZADA DEL EDO. DE SINALOA, SIN. • SRIA. DE EDUC. Y CULTURA, SONORA • SRIA. DE FINANZAS DEL EDO. DE SONORA, SON. • SRIA. DE EDUC. DEL EDO. DE TABASCO, TAB. • SERV. DE EDUC. CULTURA Y DEPORTE, TAMAULIPAS • UNIDAD DE SERV. EDUC. DE TLAXCALA, TLAX. • SRIA. DE EDUC. Y CULTURA DEL EDO. DE VERACRUZ, VER. • SRIA. DE EDUC. DEL GOBIERNO DEL EDO. DE YUCATÁN , YUC. • SECCIONES DEL SNTE PARTICIPANTES: SNTE SECCIÓN 1, AGUASCALIENTES • SNTE SECCIÓN 2, BAJA CALIFORNIA • SNTE SECCIÓN 4, CAMPECHE • SNTE SECCIÓN 5, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 6, COLIMA • SNTE SECCIÓN 7, CHIAPAS • SNTE SECCIÓN 8, CHIHUAHUA • SNTE SECCIÓN 10, DISTRITO FEDERAL • SNTE SECCIÓN 11, DISTRITO FEDERAL • SNTE SECCIÓN 12, DURANGO • SNTE SECCIÓN 13, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 14, GUERRERO • SNTE SECCIÓN 15, HIDALGO • SNTE SECCIÓN 16, JALISCO • SNTE SECCIÓN 17, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 19, MORELOS • SNTE SECCIÓN 20, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 21, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 23, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 24, QUERETARO • SNTE SECCIÓN 25, QUINTANA ROO • SNTE SECCIÓN 26, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 27, SINALOA • SNTE SECCIÓN 28, SONORA • SNTE SECCIÓN 29, TABASCO • SNTE SECCIÓN 30, TAMAULIPAS • SNTE SECCIÓN 31, TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 32, VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 33, YUCATÁN • SNTE SECCIÓN 34, ZACATECAS • SNTE SECCIÓN 35, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 36, MÉXICO • SNTE SECCIÓN 37, BAJA CALIFORNIA • SNTE SECCIÓN 38, COAHUILA • SNTE SECCIÓN 39, COLIMA • SNTE SECCIÓN 40, CHIAPAS • SNTE SECCIÓN 42, CHIHUAHUA • SNTE SECCIÓN 44, DURANGO • SNTE SECCIÓN 45, GUANAJUATO • SNTE SECCIÓN 47, JALISCO • SNTE SECCIÓN 49, NAYARIT • SNTE SECCIÓN 50, NUEVO LEÓN • SNTE SECCIÓN 51, PUEBLA • SNTE SECCIÓN 52, SAN LUIS POTOSÍ • SNTE SECCIÓN 53, SINALOA • SNTE SECCIÓN 54, SONORA • SNTE SECCIÓN 55, TLAXCALA • SNTE SECCIÓN 56, VERACRUZ • SNTE SECCIÓN 57, YUCATÁN • GRUPOS EDITORIALES PARTICIPANTES: BRANDT & SINCLAIR, S.A DE C.V. • COMERCIALIZADORA PLANETA, S.A. DE C.V. • DISTRIBUIDORA DE OBRAS PEDAGÓGICAS, S.A. DE C.V. • EDICIONES LAROUSSE, S.A. DE C.V. • EDICIONES Y DISTRIBUCIONES GEO, S.A. DE C.V. • EDILAR, S.A. DE C.V. • EDITORES MEXICANOS UNIDOS, S.A. DE C.V. • HACHETTE LATINOAMÉRICA, S.A. DE C.V. • OXFORD UNIVERSITY PRESS HARLA MÉXICO, S.A. DE C.V. • PLAZA & JANES • URIBE Y FERRARI EDITORES, S.A. DE C.V.

El programa es operado por

Atención a maestros: 01 800 31 222 00