EM2_G8_M2_Learn_23SPAA_911673_Updated 07.23

Una historia de razones

Razones y linealidad

APRENDER ▸ Movimientos rígidos y figuras congruentes

Libro para estudiantes

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

El estadounidense Al Held fue un pintor expresionista abstracto conocido por sus pinturas geométricas de “contornos duros”. Sus paletas de colores vivos y las formas llamativas que trazaba crean un espacio tridimensional que parece tener una profundidad infinita. Held, quien a veces se inspiraba en la arquitectura, solía jugar con la percepción visual de las personas. Si bien la mayor parte de sus obras son pinturas, también trabajó con mosaicos y vitrales.

En la portada

Pan North IV, 1985

Al Held, American, 1928–2005

Acrylic on canvas

Private collection

Al Held (1928–2005), Pan North IV, 1985, acrylic on canvas, 72 x 84 in, private collection. © 2020 Al Held Foundation, Inc./Licensed by Artists Rights Society (ARS), New York

Great Minds® is the creator of Eureka Math® , Wit & Wisdom® , Alexandria Plan™, and PhD Science®

Published by Great Minds PBC. greatminds.org

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Una historia de razones

Razones y linealidad ▸

APRENDER

1

Módulo 2

Módulo 3

Módulo 4

Módulo 5

Módulo 6

Notación científica, exponentes y números irracionales

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Dilataciones y figuras semejantes

Ecuaciones lineales de una y dos variables

Sistemas de ecuaciones lineales

Funciones y estadísticas bivariadas

Contenido

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Tema A 5

Movimientos rígidos y sus propiedades

Lección 1

Movimientos en el plano

Lección 2

Traslaciones

Lección 3 . .

Reflexiones

Lección 4

Traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

Lección 5

Rotaciones

Lección 6

Rotaciones en el plano de coordenadas

7

23

39

53

Tema C

Relaciones entre ángulos

Lección 12 .

Transversales que cortan rectas

Lección 13

La suma de los ángulos de un triángulo

Lección 14

Demostrar si las rectas son paralelas

Lección 15

Los ángulos externos de los triángulos

Lección 16

65

79

Tema B 99

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Lección 7

Trabajar de atrás hacia delante

Lección 8

Crear una secuencia de movimientos rígidos

Lección 9 .

Ordenar secuencias de movimientos rígidos

Lección 10

Figuras congruentes

Lección 11

Demostrar si las figuras son congruentes

101

115

131

149

167

Hallar medidas angulares desconocidas

Tema D

Figuras congruentes y el teorema de Pitágoras

Lección 17

Probar el teorema de Pitágoras

Lección 18

Probar el recíproco del teorema de Pitágoras

Lección 19

Usar el teorema de Pitágoras y su recíproco

Lección 20

La distancia en el plano de coordenadas

Lección 21

Aplicar el teorema de Pitágoras

Lección 22

En el camino correcto

185

187

203

215

231

249

267

279

289

303

317

329

Recursos

Práctica mixta 1 341

Práctica mixta 2 345

Recursos de la sección Fluidez

Lección 3 Traslación

Lección 4 Plano de coordenadas

Lección 7 Movimientos rígidos

Lección 8 Movimientos rígidos en un plano de coordenadas

Lección 9 Secuencia de movimientos rígidos .

Práctica veloz: Relaciones entre ángulos

Práctica veloz: Aplicar las propiedades de los exponentes a los cocientes

349

351

353

355

357

359

363

Práctica veloz: Ángulos complementarios 367

Práctica veloz: Resolver ecuaciones de un paso 371

Práctica veloz: Raíces cuadradas

Créditos

Agradecimientos

375

Los pasos de baile más populares en el “Club de geometría”

REFLEXIÓN

TRASLACIÓN

¡Vaya! ¡Qué elegante! ¡Qué sutil!

Es como la caminata lunar, ¡pero más genial!

ROTACIÓN

¿PERO CÓMO ES ESO POSIBLE?

Vemos a una persona que baila en un lugar. Luego, vemos a esa misma persona bailar en otro lugar. ¿Qué sucedió? Bueno, un tipo de movimiento. De eso trata el movimiento, no en el sentido habitual, sino en el sentido matemático del movimiento rígido, que exploraremos en este tema. Es un sentido que incluye todo lo que se mencionó anteriormente y más.

Nombre Fecha

Movimientos en el plano

1. Estudia el patrón.

a. Usa cualquiera de las herramientas dadas y solo la figura A para crear el patrón.

b. ¿Qué herramientas usaste?

c. ¿Qué estrategia usaste?

Mover la transparencia

2. Para cada par de figuras, ¿cómo mueves la transparencia, de manera que la versión trazada de la primera figura quede ubicada encima de la segunda figura?

a. La figura A a la figura B

b. La figura A a la figura C

c. La figura A a la figura D

3. Completa los espacios de cada oración con uno de los movimientos rígidos: traslación, reflexión o rotación.

a. Usé una para asignar la figura A a la figura B.

b. Usé una para asignar la figura A a la figura C

c. Usé una para asignar la figura A a la figura D.

Describir con precisión

4. El diagrama muestra una figura y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido.

a. ¿Qué tipo de movimiento rígido ocurrió?

b. ¿Puedes saber qué figura es la imagen y cuál es la original?

c. ¿Cómo describirías el movimiento rígido si la figura de la izquierda fuera la original?

Exprésalo con la mayor precisión posible.

d. ¿Cómo describirías el movimiento rígido si la figura de la derecha fuera la original?

Exprésalo con la mayor precisión posible.

e. Mide y rotula cada longitud de lado de la figura original y de su imagen en centímetros.

f. Mide y rotula cada ángulo dentro de la figura original y de su imagen.

En los problemas 5 a 9, completa los espacios de cada oración.

5. Las traslaciones, las reflexiones y las rotaciones son tipos de .

6. Los movimientos rígidos son el resultado de cualquier movimiento en el plano en el que la entre dos puntos cualesquiera se mantiene .

7. Los movimientos rígidos asignan segmentos a segmentos. Los movimientos rígidos mantienen las longitudes de los segmentos.

8. Los movimientos rígidos asignan ángulos a . Los movimientos rígidos mantienen las medidas angulares.

9. Los movimientos rígidos rectas paralelas a rectas

¿Qué movimiento rígido es?

En los problemas 10 a 13, identifica el movimiento rígido que asigna la figura a la imagen dada. Luego, rotula los vértices de la imagen y las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

10. T S R Q 11. S L E 5 unidades 6 unidades J O

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 1

Identifica el movimiento rígido que asigna la figura a la imagen dada. Luego, rotula los vértices de la imagen y las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

2 unidades 3 unidades

Nombre Fecha

Movimientos en el plano

En esta lección:

• definimos movimientos rígidos en el plano;

• usamos una transparencia para identificar movimientos rígidos;

• mostramos que la distancia entre dos puntos se mantiene igual cuando se aplican movimientos rígidos;

• rotulamos los vértices y las medidas conocidas de una imagen a la que se le aplica un movimiento rígido.

Ejemplos

RESUMEN

Vocabulario

Un movimiento rígido es el resultado de cualquier movimiento en el plano en el cual la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual.

Identifica el movimiento rígido que asigna la figura a la imagen dada. Luego, rotula los vértices de la imagen y las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

Traza el △ LMN sobre una transparencia. Mueve, gira o da vuelta a la transparencia, de manera que la versión que se trazó del △ LMN quede encima de su imagen.

Da vuelta a la transparencia.

Una rotación asigna el punto L al punto L′ .

El punto L′ es la imagen del punto L. Lee el rótulo L′ como “L prima”.

Rotación

Gira la transparencia.

Traslación

Mueve la transparencia hacia arriba y hacia la derecha.

La distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual cuando se aplican movimientos rígidos, por lo que las longitudes de los segmentos y las medidas angulares se mantienen iguales.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

En los problemas 1 a 3, identifica el movimiento rígido que asigna el △ ABC a su imagen. 1. A

4. Completa la tabla con el movimiento rígido que asigna la primera figura a la segunda figura.

A

C

La figura A a la figura B

Movimiento rígido

B

La figura A a la figura C

La figura B a la figura C

Figura

Figura

Figura

En los problemas 5 a 10, identifica el movimiento rígido que asigna la figura a la imagen dada. Luego, rotula los vértices de la imagen y las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

S A 72° 4 unidades

En los problemas 11 a 13, determina si cada diagrama muestra una figura y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido. Explica.

14. Kabir dice que los dos triángulos dados muestran un movimiento rígido porque los ángulos correspondientes tienen las mismas medidas. ¿Está Kabir en lo correcto? Explica.

15. La figura P′Q′R′S′ representa la imagen de la figura PQRS cuando se aplica un movimiento rígido.

a. Rotula cada vértice de la figura PQRS.

b. Rotula todas las medidas angulares desconocidas de la figura PQRS

c. Los lados P′S′ y Q′R′ son paralelos. ¿Qué nos indica eso acerca de los lados de la figura PQRS ?

d. La figura P′Q′R′S′ es un trapecio. ¿Es la figura PQRS también un trapecio? Explica.

Recuerda

En los problemas 16 a 19, evalúa.

16. 16 + (−12) 17. 16 − (−12)

18. 16(−12) 19. 16 ÷ (−12)

20. Considera el número 0.0007.

a. Escribe el número en forma fraccionaria.

b. Escribe el número en notación científica.

21. El rectángulo ABCD tiene un perímetro de 32 unidades y un área de 48 unidades cuadradas.

a. Si las coordenadas del punto A son (−8, 2), ¿cuáles podrían ser las coordenadas de los otros tres vértices? Usa el plano de coordenadas si es necesario.

b. Explica cómo determinaste las coordenadas de los otros tres vértices.

Nombre Fecha

Traslaciones

1. Dibuja la imagen de la figura según las instrucciones de tu pareja de trabajo.

LECCIÓN 2

Sentido y distancia

2. Dibuja la imagen de la figura según las instrucciones de tu pareja de trabajo.

3. Completa los espacios de las oraciones.

Un vector es un segmento de recta orientado. Se muestran dos vectores.

El sentido del ⟶ AB está determinado por el hecho de que comienza en el punto y se extiende hasta finalizar en el punto . Este sentido se muestra mediante una punta de flecha ubicada en el punto .

La longitud de un vector es la longitud del segmento sobre el cual está ubicado.

Aplicar traslaciones

4. Marca y rotula la imagen del punto P al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ AB .

5. Traza y rotula la imagen del PQ al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ EF .

6. Considera el diagrama de las rectas secantes, ⟷ AB y ⟷ BC , y un vector, ⟶ GH . H

a. Traza y rotula las imágenes de las ⟷ AB y ⟷ BC a las que se les aplica una traslación a lo largo del ⟶ GH

b. Describe algunas relaciones que observes entre la figura y su imagen en el diagrama. Puedes hacer comentarios sobre los ángulos o las rectas.

7. Considera el diagrama del → IR y la figura MESA, que incluye el rectángulo MESA y un semicírculo con el diámetro ME .

a. Dibuja y rotula la imagen de la figura MESA a la que se le aplica una traslación a lo largo del → IR

b. Describe algunas relaciones que observes entre la figura y su imagen en el diagrama. Puedes hacer comentarios sobre las partes correspondientes, que incluyen los lados correspondientes y los ángulos correspondientes.

Propiedades de las traslaciones

En los problemas 8 a 12, determina si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Usa tu razonamiento y da un ejemplo o un ejemplo erróneo de los problemas 4 a 7 para apoyar tu afirmación.

8. Una traslación cambia la longitud de un segmento.

9. Una traslación asigna una recta a una recta paralela.

10. Una traslación asigna un ángulo a un ángulo de la misma medida.

11. Una traslación asigna una recta a una recta.

12. Una traslación asigna rectas paralelas a rectas paralelas.

Un movimiento rígido: La traslación

Una traslación a lo largo del asigna una figura a su imagen. nombre del vector

Ejemplo: Una traslación a lo largo del asigna P a P′ .

Pʹ

P A B

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 2

1. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABCD a la que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ KL

2. Cuando se aplica una traslación, el △ A′B′C′ es la imagen del △ ABC. Rotula el △ AʹB′C′ con todas las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

14.5 unidades

Nombre Fecha

Traslaciones

En esta lección:

• aplicamos traslaciones a lo largo de un vector para asignar una figura a su imagen;

• identificamos que, cuando se aplica una traslación:

▸ las rectas se asignan a rectas;

▸ los segmentos se asignan a segmentos de la misma longitud;

▸ los ángulos se asignan a ángulos de la misma medida y

▸ las rectas paralelas se asignan a rectas paralelas.

Ejemplos

1. Describe la traslación con lenguaje preciso.

La punta de flecha del ⟶ TW muestra un movimiento hacia abajo y hacia la izquierda.

Para asignar la figura A a la figura A′, el vector debe ir hacia arriba y hacia la derecha.

RESUMEN

Vocabulario

Un vector es un segmento de recta orientado. El sentido del ⟶ AB está determinado por el hecho de que comienza en el punto A y se extiende hasta finalizar en el punto B. Este sentido se muestra mediante una punta de flecha ubicada en el punto B

Una traslación es un movimiento rígido a lo largo de un vector que asigna una figura a su imagen. Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el punto P a un punto P′ con las siguientes características:

• La distancia de P a P′ es igual a la longitud del ⟶ AB

• El sentido del ⟶ PP′ es el mismo que el sentido del ⟶ AB

• Si P no está en la ⟷ AB , entonces la trayectoria de P a P′ es paralela al ⟶ AB .

• Si P está en la ⟷ AB , entonces P′ también está en la ⟷ AB .

La punta de flecha del ⟶ X M muestra un movimiento hacia arriba y hacia la derecha.

Una traslación a lo largo del ⟶ X M asigna la figura A a la figura A′ .

2. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABCD a la que se le aplica una traslación a lo largo del vector dado. Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

• Extiende el ⟶ RS

• Traza el ⟶ RS y la figura ABCD en una transparencia.

2 pulgadas 53°

2 pulgadas 53°

• Desliza la transparencia a lo largo de la ⟷ RS hasta que el punto R se ubique sobre el punto S

• Levanta la transparencia para marcar las ubicaciones de los vértices de la imagen en la página y rotula los vértices.

• Usa una herramienta de borde recto para conectar los vértices de la imagen.

Nombre Fecha

En los problemas 1 a 4, indica el vector que asigna la figura a la imagen dada. Luego, describe la traslación.

En los problemas 5 a 10, traza y rotula la imagen de cada figura a la que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ RW

En los problemas 11 y 12, traza y rotula la imagen de cada figura a la que se le aplica una traslación a lo largo del vector dado. Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

13. Cuando se aplica una traslación a lo largo de un vector, ¿se intersecarán una figura y su imagen?

14. Cuando se aplica una traslación a lo largo de un vector, ¿la imagen A′B′ es siempre paralela al AB ?

Recuerda

En los problemas 15 a 18, evalúa.

19. ¿Cuál es la longitud de lado de un cuadrado con un área de 81 unidades cuadradas?

20. Marca los puntos en el plano de coordenadas.

(3, 5), (5, 2), (6, 4), (7, 2), (9, 5)

Nombre Fecha

LECCIÓN

Reflexiones

Aplicar reflexiones

1. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABCD a la que se le aplica una reflexión sobre la recta ��.

A D C

2. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABCDE a la que se le aplica una reflexión sobre la ⟷ GH .

3. Dibuja y rotula la imagen de la figura AB a la que se le aplica una reflexión sobre la recta ��.

4. Dibuja y rotula la imagen del △ ACE al que se le aplica una reflexión sobre la ⟷ RS .

5. Dibuja y rotula la imagen de la figura SEDA a la que se le aplica una reflexión sobre la recta ��.

Otro movimiento rígido: La reflexión

Una reflexión sobre la asigna una figura a su imagen. nombre de la recta

Ejemplo: Una reflexión sobre la asigna P a P′ .

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 3

Dibuja y rotula la imagen del △ ABC al que se le aplica una reflexión sobre la recta ��

Nombre Fecha

Reflexiones

En esta lección:

• aplicamos reflexiones sobre una recta para asignar una figura a su imagen;

• identificamos que, cuando se aplica una reflexión:

▸ las rectas se asignan a rectas;

▸ los segmentos se asignan a segmentos de la misma longitud;

▸ los ángulos se asignan a ángulos de la misma medida y

▸ las rectas paralelas se asignan a rectas paralelas.

Ejemplos

1. Describe la reflexión que se muestra en el diagrama con lenguaje preciso.

RESUMEN

Dado que están sobre el eje de reflexión, los puntos A y R están en la misma ubicación cuando se aplica una reflexión. Por lo tanto, tienen dos rótulos.

Una reflexión sobre la recta �� asigna la figura VOLTE a la figura V′O′L′T′E′, el punto A al punto A′ y el punto R al punto R′ .

Vocabulario

Una reflexión es un movimiento rígido sobre la recta ��, llamada eje de reflexión, que asigna una figura a su imagen. Una reflexión sobre la recta �� asigna el punto P a un punto P′ con las siguientes características:

• P y P′ están en lados opuestos de ��.

• La distancia de P a la recta �� es igual a la distancia de P′ a ��.

• Una recta que pasa por P y P′ es perpendicular a ��.

• Si P está sobre el eje de reflexión, entonces P y P′ son el mismo punto.

2. Dibuja y rotula la imagen del △ PQR al que se le aplica una reflexión sobre la recta ��. Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

• Marca y rotula un punto O en la recta ��

6.5 unidades

6.5 unidades

• Traza la recta ��, el punto O en la recta �� y el △ PQR en una transparencia.

• Da vuelta a la transparencia.

• Alinea el punto O y la recta ��.

• Levanta la transparencia para marcar las ubicaciones de los vértices de la imagen en la página y rotula los vértices.

• Usa una herramienta de borde recto para conectar los vértices de la imagen.

Nombre Fecha

En los problemas 1 a 6, traza y rotula la imagen del punto o la figura a la que se le aplica una reflexión sobre la recta ��

En los problemas 7 a 9, describe la reflexión que asigna la figura a la imagen dada.

10. En el diagrama, se muestra una reflexión sobre la recta ��.

Figura

Figura G 3 unidades

4 unidades

a. Completa los recuadros con los rótulos que faltan.

b. Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas del diagrama.

c. ¿Cuál es la medida del ∠IJK ? ¿Y del ∠KIJ ? ¿Y del ∠ ABC ? ¿Cómo lo sabes?

d. ¿Cuál es la longitud de la imagen del FH y la longitud del IK ? ¿Cómo lo sabes?

e. ¿Cuál es la ubicación de la imagen del punto D cuando se aplica una reflexión sobre la recta �� ? Explica.

11. Describe el movimiento rígido que asigna el círculo C al círculo C ′. ¿Cómo lo sabes?

Recuerda

En los problemas 12 a 15, evalúa.

12. 2 9 + 3

2 9 · 3

2 9 − 3

2 9 ÷ 3

16. Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son 8 unidades y 10 unidades. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

17. En el diagrama dado, dos rectas se encuentran en un punto que también es el extremo de una semirrecta.

a. ¿Qué relación entre ángulos te ayudaría a hallar el valor de x ?

b. Determina la medida del ∠ EFD.

Nombre Fecha

LECCIÓN 4

Traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

Traslaciones en el plano de coordenadas

Reflexiones en el plano de coordenadas

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

1. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura ABCDE a la que se le aplica una traslación de 7 unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia arriba.

2. Representa gráficamente y rotula la imagen del △ JKL al que se le aplica una reflexión sobre el eje y.

Nombre Fecha

Traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

En esta lección:

• aplicamos traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas;

• usamos coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una traslación o una reflexión.

Ejemplos

1. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura JKLM a la que se le aplica una traslación de 6 unidades hacia abajo y 3 unidades hacia la derecha.

Cada punto de la figura se asigna a un punto de su imagen que está 6 unidades hacia abajo y 3 unidades hacia la derecha.

2. Representa gráficamente y rotula la imagen del △ ABC al que se le aplica una reflexión sobre el eje x

El punto A está sobre el eje de reflexión; entonces, se asigna al punto A′ en la misma ubicación.

7 unidades

7 unidades

Cada punto del triángulo se asigna a un punto que está a la misma distancia del eje de reflexión: el eje x

Nombre Fecha

En los problemas 1 a 4, representa gráficamente y rotula la imagen de la figura a la que se le aplica la traslación dada.

1. 6 unidades hacia la derecha

2. 3 unidades hacia abajo

3. 2 unidades hacia la izquierda y 5 unidades hacia arriba

4. 4 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha

5. Considera los cuadriláteros ABCD, EFGH e IJKL.

a. ¿Qué figura es la imagen del cuadrilátero ABCD al que se le aplica una traslación? Describe la traslación.

b. ¿Qué figura es la imagen del cuadrilátero ABCD al que se le aplica una reflexión? Describe la reflexión.

En los problemas 6 a 9, representa gráficamente y rotula la imagen de la figura a la que se le aplica una reflexión sobre la recta dada.

eje y

8. eje y

9. eje x

6. eje x

7.

10. El punto A′(7, 9) es la imagen del punto A(2, 2) al que se le aplica una traslación. ¿Cuál de las siguientes opciones describe la traslación?

A. 5 unidades hacia abajo y 11 unidades hacia la derecha

B. 5 unidades hacia la izquierda y 11 unidades hacia arriba

C. 5 unidades hacia la derecha y 11 unidades hacia abajo

D. 5 unidades hacia arriba y 11 unidades hacia la izquierda

11. Determina si el siguiente enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Explica tu razonamiento.

Cuando se aplica una reflexión sobre el eje x, la imagen del punto (x, y) tiene las coordenadas (x, y).

Recuerda

En los problemas 12 a 15, evalúa.

12. 2 3 + (−2)

14. 2 3 (−2)

13. 2 3 − (−2)

15. 2 3 ÷ (−2)

16. Si la longitud del CD es 5 unidades, ¿cuál es la longitud del C′D′ al que se le aplica una traslación?

17. Si la medida del ∠ EBA es 75°, ¿cuál es la medida del ∠ E′B′A′ al que se le aplica una rotación?

18. Los vértices de un triángulo están ubicados en ( 4, 3), ( 4, 7) y (3, 7). Marca y rotula los vértices. Luego, dibuja el triángulo.

LECCIÓN

Nombre Fecha

Rotaciones

1. Dibuja y rotula la imagen del OP al que se le aplica una rotación alrededor del punto O.

Aplicar rotaciones

En los problemas 2 y 3, dibuja y rotula la imagen de la figura a la que se le aplica la rotación dada alrededor del punto O.

2. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

3. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Un tercer movimiento rígido: La rotación

Una rotación de alrededor del asigna una figura a su imagen.

número de grados sentido centro de rotación

Ejemplo: Una rotación de alrededor del asigna P a P′ .

4. Considera el paralelogramo DEFG y el punto O.

4.5 unidades

F

116° O

a. Dibuja y rotula la imagen del paralelogramo DEFG al que se le aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O.

b. ¿Cuál es la longitud del D′G′ ? Explica tu razonamiento.

c. ¿Cuál es la medida del ∠F′? Explica tu razonamiento.

5. Considera el △ AOB

78.7°

3 unidades

a. Dibuja y rotula la imagen del △ AOB al que se le aplica una rotación de 45° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O

b. ¿Cuál es la longitud del A′B′ ? Explica tu razonamiento.

c. ¿Cuál es la medida del ∠O′A′B′? Explica tu razonamiento.

6. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. En el problema 2, el MN es paralelo al M′N′ .

b. En el problema 2, el MN tiene la misma longitud que el M′N′

c. En el problema 3, la medida del ∠D′E′F′ es mayor que la medida del ∠DEF.

d. En el problema 4, el DE tiene la misma longitud que el E′F′

e. En el problema 4, el D′E′ es paralelo al F′G′ .

f. En el problema 4, el OF tiene la misma longitud que el OF′

g. En el problema 5, la medida del ∠ A′O′B′ es igual a la medida del ∠ AOB.

h. En el problema 5, el OB tiene la misma longitud que el OB′

¿Reflexión o rotación?

7. Analiza los rectángulos de la tabla para identificar el movimiento rígido que asigna el rectángulo ABCD a su imagen.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Considera la figura ABC y el punto O

4.48 unidades

7.14 unidades

a. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABC a la que se le aplica una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O.

b. Incluye las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

c. ¿Cómo sabes que tus medidas de la imagen de la figura A′B′C′ son correctas?

RESUMEN

Nombre Fecha

Rotaciones

En esta lección:

• aplicamos rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario alrededor de un punto para asignar una figura a su imagen;

• identificamos que, cuando se aplica una rotación:

▸ las rectas se asignan a rectas;

▸ los segmentos se asignan a segmentos de la misma longitud;

▸ los ángulos se asignan a ángulos de la misma medida y

▸ las rectas paralelas se asignan a rectas paralelas.

Ejemplo

Dibuja y rotula la imagen de la figura STUV a la que se le aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

Vocabulario

Una rotación es un movimiento rígido según un número dado de grados alrededor de un punto, llamado centro de rotación, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario, que asigna una figura a su imagen. Una rotación de d° en el sentido de las manecillas del reloj (o en sentido contrario) alrededor del punto O asigna cualquier punto P que no sea O a un punto P′ con las siguientes características:

• La ubicación de P′ se obtiene mediante un giro en el sentido de las manecillas del reloj (o en sentido contrario) a partir de P en un círculo con centro O y con radio OP .

5.2 unidades

5.2 unidades

• Marca el punto O y traza la figura STUV en una transparencia.

• Mantén el punto O que marcaste alineado con el punto O de la página y rota la transparencia 90° , o un giro de un cuarto, en sentido contrario a las manecillas del reloj.

• Levanta la transparencia para marcar las ubicaciones de los vértices de la imagen en la página y rotula los vértices.

• Usa una herramienta de borde recto para conectar los vértices de la imagen.

• La medida del ∠POP ′ es d°.

• El centro de rotación O y su imagen O′ son el mismo punto. P ʹ

° En el sentido de las manecillas del reloj

En sentido contrario a las manecillas del reloj

Nombre Fecha

En los problemas 1 y 2, rotula la imagen de la figura a la que se le aplica la rotación dada alrededor del punto O.

1. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

2. 45° en sentido contrario a las manecillas del reloj

En los problemas 3 a 8, traza y rotula la imagen del punto o la figura a los que se les aplica la rotación dada alrededor del punto O.

3. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

4. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

5. 90°en sentido contrario a las manecillas del reloj

6. 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

7. 45° en sentido contrario a las manecillas del reloj

8. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

9. Considera el AB , el ∠CDE, el punto F y el punto O.

unidades

F

a. Dibuja y rotula las imágenes de las figuras y el punto a los que se les aplica una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O.

b. ¿Cuál es la longitud del A′B′?

c. ¿Cuál es la medida del ∠C ′D ′E ′ ?

10. Ethan dice que una rotación puede asignar una figura a sí misma. ¿Estás de acuerdo con Ethan? Explica.

Recuerda

En los problemas 11 a 14, evalúa.

11. 6 + 2 3

13. 6 · 2 3

6 − 2 3

6 ÷ 2 3

15. Resuelve la ecuación x2 = 17 Identifica cada solución como racional o irracional.

16. Marca los puntos en el plano de coordenadas.

(0, 4), (−4, 0), (−3, 1), (0, 0), (−1, −3), (3, 2), (2, −3)

Nombre Fecha

Rotaciones en el plano de coordenadas

1. ¿Qué movimiento rígido se muestra? Explica.

Aplicar una rotación alrededor del origen

En los problemas 2 a 5, representa gráficamente y rotula la imagen del punto o de la figura a los que se les aplica la rotación alrededor del origen dada. Luego, identifica las coordenadas del punto, los extremos o los vértices de la imagen.

2. 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

3. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

4.

en el sentido de las manecillas del reloj

270°

5. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

6. Cada una de las rotaciones de los problemas 2 a 5 se puede describir en el otro sentido. En cada problema, escribe otra manera de describir la rotación alrededor del origen.

Problema 2:

Problema 3:

Problema 4:

Problema 5:

Aplicar una rotación de 180° alrededor del origen

7. Usa el plano de coordenadas y la tabla dados con los siguientes problemas.

a. Representa gráficamente una figura con 4 vértices. Rotula los vértices.

b. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura a la que se le aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

c. Completa la tabla para la figura y su imagen.

Nombre de la figura

Coordenadas de los vértices de la figura

Coordenadas de los vértices de su imagen

d. Compara las coordenadas de los vértices correspondientes de la figura y su imagen. Haz una conjetura acerca de la relación entre las coordenadas de un punto y las coordenadas de su imagen cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

8. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de un punto (x, y) cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen?

Paralelas o no paralelas

9. Determina si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.

Una rotación de 180° alrededor del origen asigna la recta �� a una recta paralela a la recta ��.

Caso de prueba 1: La recta �� es paralela al eje x

Caso de prueba 2: La recta �� es paralela al eje y.

Caso de prueba 3: La recta �� pasa por el origen.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 6

1. Marca y rotula la imagen del punto A al que se le aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen. Luego, identifica las coordenadas de la imagen.

2. Marca y rotula la imagen del punto B al que se le aplica una rotación de 180° alrededor del origen. Luego, identifica las coordenadas de la imagen.

Nombre Fecha

Rotaciones en el plano de coordenadas

En esta lección:

• aplicamos rotaciones alrededor del origen en el plano de coordenadas;

• usamos coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una rotación.

Ejemplos

Representa gráficamente y rotula la imagen del punto o la figura a los que se les aplica la rotación alrededor del origen dada.

1. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

Traza el punto J, el origen y los ejes en la transparencia.

Después de cada giro de un cuarto, alinea los ejes trazados con los ejes de la página.

Esto ayuda a mantener con exactitud el ángulo de rotación y la ubicación de la imagen.

2. 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Una rotación de 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj asigna un punto a la misma ubicación que una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj.

3. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Las coordenadas de la imagen de un punto cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen son opuestas a las coordenadas del punto original. Por ejemplo, el punto F tiene las coordenadas (9, −7) y el punto F ′ tiene las coordenadas (−9, 7)

Una rotación de 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj asigna un punto a la misma ubicación que una rotación de 180° en el sentido de las manecillas del reloj.

Nombre Fecha

En los problemas 1 a 6, representa gráficamente y rotula la imagen del punto o la figura a los que se les aplica la rotación alrededor del origen dada.

1. 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

2. 270° en el sentido de las manecillas del reloj

3. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

4. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

5. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

6. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

7. Yu Yan lee mal el problema 6 y aplica una rotación de 180° en el sentido de las manecillas del reloj en vez de 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen de Yu Yan? Explica.

8. ¿Qué rotaciones alrededor del origen asignan el ∠ BAC al ∠ B′A′C′?

Elige todas las opciones que correspondan.

A. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

B. 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

C. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

D. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

E. 270° en el sentido de las manecillas del reloj

F. 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

9. ¿Qué rotaciones alrededor del origen asignan el cuadrilátero ABCD al cuadrilátero A′B′C ′D′? Elige todas las opciones que correspondan.

23456789 10

A. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

B. 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

C. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

D. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

E. 270° en el sentido de las manecillas del reloj

F. 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

En los problemas 10 a 13, determina las coordenadas de la imagen del punto dado cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

10. P(5, 0)

12. D(−6, −6)

Recuerda

En los problemas 14 a 17, evalúa.

11. M(8, 10)

13. B(−4, 7)

18. Traza la imagen del ∠ ABC al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ DE . Rotula tu imagen con los extremos, las longitudes de los segmentos y las medidas angulares correctas.

5 unidades 3 unidades

19. Considera el diagrama dado en el que dos rectas se encuentran en un punto.

(x –12)°

a. ¿Qué relación entre ángulos te ayudaría a hallar el valor de x ?

b. Halla el valor de x

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Gemelas congruentes

¡Oh! ¿Son gemelas idénticas?

Dos botones de la misma fábrica.

En realidad, “idénticas” suena como si fuéramos literalmente la misma persona. Preferimos decir “congruentes”.

Dos camisetas de la misma talla y el mismo estilo.

Dos tubos sin abrir de la misma pasta de dientes.

En lenguaje común, diríamos que estos objetos son idénticos. Pero las expertas y los expertos en matemáticas prefieren una palabra diferente. Es una palabra que se usa para cualquier par de figuras que se ven iguales pero que son distintas.

Esa palabra es congruentes.

¿Cómo sabemos si dos cosas son congruentes? Una manera es ver si podrías colocar una figura exactamente encima de la otra usando solo una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones. De ser así, eso significa que todas las partes deben alinearse: esquina con esquina, lado con lado y ángulo con ángulo.

Nombre Fecha

Trabajar de atrás hacia delante

CTRL+Z

En los problemas 1 a 4, describe el movimiento rígido que asigna la figura original a su imagen y el movimiento rígido que asigna la imagen de regreso a la figura original para completar la tabla.

Diagrama

Asigna la figura a la imagen

Asigna la imagen a la figura

1.

Diagrama

Asigna la figura a la imagen Asigna la imagen a la figura 3.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 7

1. Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen asigna la figura GHIJ a la figura G′H′I′J′. Describe el movimiento rígido que asigna la figura G′H′I′J′ de regreso a la figura GHIJ.

2. Una traslación a lo largo del ⟶ GO asigna el △ ABC al △ A′B′C′. Describe el movimiento rígido que asigna el △ A′B′C′ de regreso al △ ABC.

Nombre Fecha

Trabajar de atrás hacia delante

En esta lección:

• trazamos y rotulamos imágenes de figuras a las que se les aplican movimientos rígidos;

• describimos qué movimiento rígido asigna una imagen de regreso a la figura original.

Ejemplos

1. Se muestra la figura PQRS.

a. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura PQRS a la que se le aplica una reflexión sobre el eje y

b. Describe el movimiento rígido que asigna la figura P′Q′R′S′ de regreso a la figura PQRS.

Una reflexión sobre el eje y asigna la figura P′Q′R′S′ de regreso a la figura PQRS. Una reflexión sobre la misma recta asigna una imagen de regreso a la figura original.

2. En el diagrama, se muestran la figura S y el ⟶ EF .

a. Traza y rotula la imagen de la figura S a la que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ EF .

b. Describe el movimiento rígido que asigna la figura S′ de regreso a la figura S.

Una traslación a lo largo del ⟶ FE asigna la figura S′ de regreso a la figura S.

3. Se muestran el punto D, el △ ABC y el △ A′B′C′

Una traslación con la misma distancia pero en sentido opuesto asigna una imagen de regreso a la figura original.

a. Describe un movimiento rígido que asigne el △ ABC al △ A′B′C′

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto D asigna el △ ABC al △ A′B′C′ .

Una rotación de 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto D asigna el △ ABC al △ A′B′C′ .

Ambos movimientos rígidos son correctos porque la suma de las medidas de los ángulos de rotación, 90° y 270°, es 360°.

b. Describe un movimiento rígido que asigne el △ A′B′C′ de regreso al △ ABC.

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto D asigna el △A′B′C′ de regreso al △ABC.

Una rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto D asigna el △A′B′C′ de regreso al △ABC.

Nombre Fecha

1. Se muestran los puntos A, B, C y la recta ��

a. Traza y rotula las imágenes de estos puntos a los que se les aplica una reflexión sobre la recta ��.

b. Describe el movimiento rígido que asigna los puntos A′ , B′ y C′ de regreso a los puntos A, B y C

2. Se muestran la figura E y el ⟶ FG .

a. Traza y rotula la imagen de la figura E a la que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ FG

b. Describe el movimiento rígido que asigna la figura E′ de regreso a la figura E.

3. Se muestra el paralelogramo EFGH.

a. Representa gráficamente y rotula la imagen del paralelogramo EFGH al que se le aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

b. Describe el movimiento rígido que asigna el paralelogramo E′F′G′H′ de regreso al paralelogramo EFGH

4. Se muestra la curva ST.

a. Representa gráficamente y rotula la imagen de la curva ST a la que se le aplica una traslación de 1 unidad hacia abajo y 4 unidades hacia la derecha.

b. Describe el movimiento rígido que asigna la curva S′T′ de regreso a la curva ST.

5. Se muestran el punto P, el rectángulo KLMN y el rectángulo K′L′M′N′ . K

a. Describe el movimiento rígido que asigna el rectángulo KLMN al rectángulo K′L′M′N′ .

b. Describe el movimiento rígido que asigna el rectángulo K′L′M′N′ de regreso al rectángulo KLMN.

6. Se muestran la recta ��, el △LMN y el △L′M′N′ .

a. Describe el movimiento rígido que asigna el △LMN al △L′M′N′ .

b. Describe el movimiento rígido que asigna el △L′M′N′ de regreso al △LMN

7. En el diagrama, se muestran el ⟶ OX , el △LMN y el △L′M′N′ .

a. Describe el movimiento rígido que asigna el △LMN al △L′M′N′ .

b. Describe el movimiento rígido que asigna el △L′M′N′ de regreso al △LMN

8. Una rotación de 45° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P asigna el △XYZ al △X′Y′Z′. Describe el movimiento rígido que asigna el △X′Y′Z′ de regreso al △XYZ.

9. Una traslación de 3 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba en el plano de coordenadas asigna el punto F al punto F′. Describe el movimiento rígido que asigna el punto F′ de regreso al punto F.

Recuerda

En los problemas 10 a 13, multiplica.

10. 5 a(1 5 )

12. 11 b( 1 11 )

11. 6x(1 6 )

13. 15 z ( 1 15 )

14. En el diagrama, se muestran el △ABC y la recta ��

a. Traza y rotula la imagen del △ABC al que se le aplica una reflexión sobre la recta ��.

b. ¿Cuál es la medida del ∠A′B′C′ ?

c. ¿Cuál es la longitud del A ′ C ′ ?

15. Considera el diagrama dado, en el que dos rectas se intersecan en el punto B.

(x + 8)° (15x – 52)°

a. ¿Qué relación entre ángulos te ayudaría a hallar el valor de x?

b. Halla la medida del ∠ABD y la medida del ∠ABC

LECCIÓN

Crear una secuencia de movimientos rígidos

Aplicar secuencias de movimientos rígidos

Crear secuencias de movimientos rígidos

Nombre Fecha

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 8

Describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna el △ ABC al △ A′B′C′

Nombre Fecha

Crear una secuencia de movimientos rígidos

En esta lección:

• describimos una secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a otra;

• determinamos que las propiedades de los movimientos rígidos individuales también se aplican a una secuencia de movimientos rígidos.

Ejemplo

Considera la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Reflexión sobre el eje y

• Traslación de 2 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba

Imagen del △TUV cuando se aplica la reflexión

Imagen del △TUV cuando se aplica la reflexión seguida de la traslación

a. Representa gráficamente y rotula la imagen del △TUV al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos.

b. La medida del ∠TVU es 90°. ¿Cuál es la medida del ∠T″V″U″ ?

La medida del ∠T″V″U″ es 90°.

c. ¿Cómo se relaciona la longitud del T″V″ con la longitud del TV ?

La longitud del T″V″ es igual a la longitud del TV .

Las longitudes de los lados y las medidas angulares se mantienen iguales cuando se aplica una secuencia de movimientos rígidos.

1. Traza y rotula la imagen del CD al que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto C

• Traslación a lo largo del ⟶ AB

Nombre Fecha

2. Traza y rotula la imagen del △XYZ al que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Traslación a lo largo del ⟶ RS

• Reflexión sobre la recta ��

3. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura QRST a la que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

• Traslación de 3 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda

4. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura S a la que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Traslación de 2 unidades hacia arriba y 6 unidades hacia la izquierda

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

• Reflexión sobre el eje y

5. Se muestra la figura EFGH.

a. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura EFGH a la que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Reflexión sobre el eje x

• Reflexión sobre el eje y

b. ¿Puede un único movimiento rígido asignar la figura EFGH a su imagen? De ser así, describe ese único movimiento rígido.

En los problemas 6 a 8, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura a su imagen. Tu secuencia puede tener más de un movimiento rígido, aunque los vértices de la imagen estén rotulados con una prima sencilla.

6. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el △DEF al △D

7. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura ARTE a la figura A

8. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el △GOL al △G′O′L′ .

9. Usa la figura A y el punto P para responder las siguientes preguntas.

a. Describe una secuencia de rotaciones que asigne la figura A de regreso a sí misma.

b. Describe una única rotación que asigne la figura A de regreso a sí misma.

Recuerda

En los problemas 10 a 13, multiplica.

10. 5 a (2 5 )

12. 7 c (3 7 )

11. 10x ( 7 10 )

13. 4 g ( 5 4 )

14. La figura A′B′C′ es la imagen de la figura ABC cuando se aplica una rotación alrededor del punto O.

a. ¿Cuál es la medida del A ′ C ′ ?

b. ¿Cuál es la medida del ∠B′A′C′?

15. La medida del ∠ ABC es 30°.

a. Si el ∠ ABC y el ∠CBE son complementarios, ¿cuál es la medida del ∠CBE ?

b. Si el ∠ ABC y el ∠CBF son suplementarios, ¿cuál es la medida del ∠CBF ?

Nombre Fecha

Ordenar secuencias de movimientos rígidos

1. La figura X es la imagen de la figura ABC cuando se aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado.

La figura Y es la imagen de la figura ABC cuando se aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto.

Secuencia L (Lado 1)

• Reflexión sobre la recta ��

• Reflexión sobre la recta ��

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción:

Real:

Secuencia M (Lado 2)

• Traslación de 3 unidades hacia abajo y 6 unidades hacia la derecha

• Reflexión sobre el eje x

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción:

Real:

Secuencia N (Lado 1)

• Traslación a lo largo del ⟶ EF

• Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción:

Real:

Secuencia O (Lado 2)

• Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen

• Reflexión sobre el eje y ¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción:

Real:

Secuencia P (Lado 1)

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P

• Rotación de 180° alrededor del punto O

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción:

Real:

Secuencia Q (Lado 2)

• Reflexión sobre el eje x

• Traslación de 3 unidades hacia la derecha

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción:

Real:

Prueba y error

En los problemas 2 y 3, crea una secuencia de dos movimientos rígidos en la que no importe el orden.

• Usa el plano o el plano de coordenadas.

• Traza los vectores, ejes de reflexión o puntos de rotación que sean necesarios.

• Escribe las secuencias en el espacio provisto en los problemas 2 y 3.

Plano:

Plano de coordenadas:

2. Usa el mismo tipo de movimiento rígido para ambos movimientos.

• •

3. Usa un tipo diferente de movimiento rígido para cada movimiento.

• •

Lado 1

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 9

Considera la figura P y los siguientes movimientos rígidos.

• Traslación de 2 unidades hacia arriba y 6 unidades hacia la izquierda

• Reflexión sobre el eje x

a. Representa gráficamente la imagen de la figura P a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen Q.

b. Representa gráficamente la imagen de la figura P a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen R

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

Ordenar secuencias de movimientos rígidos

En esta lección:

• hallamos que, cuando una secuencia de movimientos rígidos se aplica en un orden diferente, la imagen está a menudo en una ubicación diferente;

• determinamos cuándo importa el orden en una secuencia de movimientos rígidos.

Ejemplo

Considera la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O

• Reflexión sobre la recta ��

Imagen del △R cuando se aplica la rotación seguida de la reflexión

Imagen del △R cuando se aplica la reflexión seguida de la rotación

a. Traza la imagen del △R al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen X.

Nombre Fecha

b. Traza la imagen del △R al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen Y

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

Sí, el orden importa cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, el △ X y el △Y, están en ubicaciones diferentes.

1. Considera el punto P y los siguientes movimientos rígidos.

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

• Traslación de 6 unidades hacia abajo y 4 unidades hacia la derecha

a. Marca la imagen del punto P al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen Q.

b. Marca la imagen del punto P al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen R.

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

Nombre Fecha

2. Considera el punto P, el ST , la recta �� y los siguientes movimientos rígidos.

• Reflexión sobre la recta ��

• Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto P

a. Traza la imagen del ST al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen WX .

b. Traza la imagen del ST al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen YZ

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

3. Considera el paralelogramo JKLM y los siguientes movimientos rígidos.

• Traslación de 5 unidades hacia arriba y 5 unidades hacia la izquierda

• Traslación de 1 unidad hacia abajo y 3 unidades hacia la izquierda

a. Representa gráficamente la imagen del paralelogramo JKLM al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen A.

b. Representa gráficamente la imagen del paralelogramo JKLM al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen B.

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

4. Considera la figura W, el punto P, el ⟶ YZ y los siguientes movimientos rígidos.

• Rotación de 180° alrededor del punto P

• Traslación a lo largo del ⟶ YZ

a. Traza la imagen de la figura W a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen A.

b. Traza la imagen de la figura W a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen B.

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

5. Considera el △T y los siguientes movimientos rígidos.

• Traslación de 3 unidades hacia abajo y 2 unidades hacia la izquierda

• Reflexión sobre el eje y

a. Representa gráficamente la imagen del △T al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen A.

b. Representa gráficamente la imagen del △T al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen B

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

6. Dada una descripción de una secuencia de reflexiones, identifica la imagen de la figura A.

a. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

b. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

c. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

d. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

e. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

f. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

Recuerda

En los problemas 7 a 10, divide.

7. 5 a ÷ 5 2 8. 10 x ÷ 10 7

9. 7 c ÷ 7 3

4 g ÷ − 4 5

11. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura ABCD a la que se le aplica una traslación de 7 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

12. Considera un segmento que tiene los extremos (−3, 5) y (−3, −4).

a. Marca los puntos y crea el segmento en el plano de coordenadas.

b. ¿Cuál es la longitud del segmento?

Nombre Fecha

Figuras congruentes

1. ¿Se asignará la figura ABCD a la figura EFGH si se usa la siguiente secuencia de movimientos rígidos?

• Aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto X. El punto X está ubicado directamente debajo del punto C.

• Aplica una reflexión sobre la recta ��. La recta �� es una recta vertical que está a la derecha del CD .

Figuras que se tocan

En los problemas 2 y 3, describe una secuencia de movimientos rígidos que muestre la aplicación, o cómo se asignó una figura a otra única figura correspondiente. Traza los vectores, ejes de reflexión o centros de rotación que sean necesarios.

2. Asigna el △ ABC al △ DBC.

3. Asigna el △ ABC al △ DBE.

4. Considera el △ ABC y el △ DBE. Describe una secuencia de movimientos rígidos que muestre la aplicación, o cómo se asignó una figura a la otra. Traza los vectores, ejes de reflexión o centros de rotación que sean necesarios.

a. Asigna el △ ABC al △ DBE.

b. Asigna el △ DBE al △ ABC.

Figuras que están separadas

En los problemas 5 a 8, describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a otra figura congruente. Traza los vectores, ejes de reflexión o centros de rotación que sean necesarios.

5. Figura REINA ≅ figura LUJOS

6. △ HOY ≅ △ MES

7. △ UVA ≅ △ COL

8. Figura PIE ≅ figura DRA

En el diagrama, la figura DEFG ≅ la figura WXYZ. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura DEFG a la figura WXYZ.

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Figuras congruentes

En esta lección:

• usamos un enunciado de congruencia para hallar los vértices correspondientes;

• describimos una secuencia de movimientos rígidos para asignar una figura a otra figura congruente.

Ejemplo

RESUMEN

Vocabulario

Una figura es congruente con otra si existe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra.

Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra figura congruente. Traza un vector, un eje de reflexión o un centro de rotación si es necesario.

En el diagrama, la figura BUEN ≅ la figura ARCO.

En el enunciado de congruencia se muestran estos vértices correspondientes.

B y A

U y R

E y C

N y O

Se puede usar cualquier par de vértices correspondientes como el punto de aplicación y el extremo de un vector.

Una traslación a lo largo del ⟶ EC asigna el punto E al punto C. Luego, una reflexión sobre la ⟷ RC asigna la figura BUEN a la figura ARCO.

Comprueba esta secuencia con una transparencia para asignar la figura BUEN a la figura ARCO

Nombre Fecha

En los problemas 1 y 2, identifica cuál de las secuencias de movimientos rígidos dadas asigna una figura del diagrama a la figura congruente. Elige todas las opciones que correspondan.

A. Una rotación de 180° alrededor del punto A

B. Una traslación a lo largo del ⟶ CD seguida de una reflexión sobre la recta que contiene el DE

C. Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto A seguida de una reflexión sobre la recta que contiene el AE

D. Una reflexión sobre la recta que contiene el AC seguida de una reflexión sobre la recta que contiene el AD

A. Una traslación a lo largo del ⟶ OA , una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto A y una reflexión sobre la ⟷ AL

B. Una traslación a lo largo del ⟶ OA , una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto A y una reflexión sobre la ⟷ AL

C. Una traslación a lo largo del ⟶ PT , una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto T y una reflexión sobre la ⟷ TA

D. Una traslación a lo largo del ⟶ PT , una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto T y una reflexión sobre la ⟷ TA

En los problemas 3 a 6, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la figura congruente.

3. Figura MOSCA ≅ figura VUELA

4. △ SAL ≅ △ SOL

5. Cuadrado ABCD ≅ cuadrado EFGH

6. Rectángulo MESA ≅ rectángulo PINO

7. Describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna el △ ABC al △ XYZ.

8. Las figuras del diagrama son congruentes. Tanto Maya como Ethan escriben una secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a la otra.

Maya: Una traslación a lo largo del ⟶ MS seguida de una reflexión sobre la ⟷ SO asigna la figura MAR a la figura SOL.

Ethan: Una traslación a lo largo del ⟶ OR seguida de una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto R asigna la figura SLO a la figura MAR.

L M R A O

¿Quién está en lo correcto? ¿Por qué?

9. Describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna la figura LUPA a la figura BOTE.

Recuerda

En los problemas 10 a 13, escribe una expresión equivalente.

10. 3(x 2)

11. −5(x 4)

12. −7(x + 3)

13. 8( x + 7)

14. Un movimiento rígido asigna la figura ABCD a la figura A′B′C′D′. ¿Qué movimiento rígido asigna la figura A′B′C′D′ de regreso a la figura ABCD?

15. Simplifica (5x3)(2x−4)

Demostrar si las figuras son congruentes

1. ¿Crees que los tableros de las mesas son congruentes? Usa una transparencia para comprobarlo y, luego, explica tu razonamiento.

Nombre Fecha

Si todo coincide

En los problemas 2 y 3, usa una transparencia para determinar si las figuras dadas son congruentes. De ser así, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. De no ser así, explica cómo lo sabes.

2. Figura OVNI y figura AZUL

3. △ BOA y △ PEZ

Idear un diseño

4. Encierra en un círculo dos figuras congruentes de la alfombra. Escribe una secuencia de movimientos rígidos para demostrar que las dos figuras son congruentes. Traza los vectores, ejes de reflexión o puntos de rotación que sean necesarios.

Instrucciones:

1. Aplica movimientos rígidos al patrón dado en el cuadrante I para crear un patrón congruente en el cuadrante III y el cuadrante IV.

2. Describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna el patrón de un cuadrante al patrón de otro cuadrante de tu elección.

3. Intercambia tu patrón con otra persona y comprueba sus secuencias.

Usa una transparencia para determinar si la figura GHJK y la figura WTUV son congruentes. De ser así, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. De no ser así, explica cómo lo sabes.

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Demostrar si las figuras son congruentes

En esta lección:

• identificamos dos figuras como congruentes o no congruentes;

• demostramos que dos figuras son congruentes describiendo una secuencia que asigna una figura a la otra;

• explicamos que dos figuras no son congruentes cuando las distancias entre los puntos de la figura no son las mismas que las distancias entre los puntos correspondientes de la imagen.

Ejemplos

Usa una transparencia para determinar si las figuras dadas son congruentes. De ser así, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. De no ser así, explica cómo lo sabes.

1. △ PIE y △ GOL

Halla una secuencia de movimientos rígidos que asigne el △PIE al △GOL para demostrar que los triángulos son congruentes.

El △ PIE y el △ GOL son congruentes. Una traslación a lo largo del → IO asigna el punto I al punto O. Luego, una rotación de 180° alrededor del punto O asigna el △ PIE al △ GOL

Cuenta los espacios de la cuadrícula para demostrar que EO ≠ LZ. Usa el teorema de Pitágoras para demostrar que EC ≠ LU

El △ ECO y el △ LUZ no son congruentes porque las distancias entre los puntos del △ ECO no son iguales a las distancias entre los puntos correspondientes del △ LUZ. Puedo usar mi transparencia para ver que EO ≠ LZ y EC ≠ LU. Usa una transparencia para ver que EO ≠ LZ y EC ≠ LU.

2. △ ECO y △LUZ

Nombre Fecha

PRÁCTICA

1. ¿Qué secuencia de movimientos rígidos demuestra que △ ABC ≅ △ RST ? Encierra tu respuesta en un círculo.

Primer movimiento rígido

Reflexión sobre el eje x

Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

Traslación de 2 unidades hacia arriba

Traslación de 10 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda

Segundo movimiento rígido

Traslación de 2 unidades hacia arriba

Reflexión sobre el eje x

Traslación de 10 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda

Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

2. En el diagrama, la figura E es congruente con la figura D. ¿Qué secuencias de movimientos rígidos describen cómo asignar una figura a la otra? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Una traslación a lo largo del ⟶ AB seguida de una reflexión sobre la recta �� asigna la figura E a la figura D.

B. Una traslación a lo largo del ⟶ BA seguida de una reflexión sobre la recta �� asigna la figura D a la figura E

C. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna la figura E a la figura D.

D. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una traslación a lo largo del ⟶ BA asigna la figura E a la figura D.

E. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una traslación a lo largo del ⟶ BA asigna la figura D a la figura E.

En los problemas 3 a 5, usa una transparencia para determinar si las figuras dadas son congruentes. De ser así, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. De no ser así, explica cómo lo sabes.

3. Figura ABC y figura DEF

4. Figura STUV y figura DEFG

5. △RST y △NLE

6. Se muestran las figuras J y K.

a. ¿Es la figura J congruente con la figura K ? Explica.

b. ¿Es la figura K congruente con la figura J ? Explica.

Cuadrante II

7. Una secuencia de movimientos rígidos crea el siguiente patrón. y x

Cuadrante I

Cuadrante III

Cuadrante IV

Empareja cada enunciado con la secuencia de movimientos rígidos que demuestra que los patrones son congruentes. Una secuencia se puede usar más de una vez.

Enunciado

El patrón del cuadrante I es congruente con el patrón del cuadrante II.

El patrón del cuadrante II es congruente con el patrón del cuadrante III.

El patrón del cuadrante III es congruente con el patrón del cuadrante IV.

El patrón del cuadrante IV es congruente con el patrón del cuadrante I.

El patrón del cuadrante I es congruente con el patrón del cuadrante III.

Secuencia de movimientos rígidos

Una rotación de 180° alrededor del origen

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen

Una reflexión sobre el eje y seguida de una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una reflexión sobre el eje y

Una reflexión sobre el eje x

Recuerda

En los problemas 8 a 11, escribe una expresión equivalente.

12. Marca y rotula la imagen del punto A al que se le aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen. Luego, identifica las coordenadas de la imagen.

8. 3(x + 2) 9. 7(x + 1)

10. 5(x − 5) 11. 8(x − 3)

13. Considera un segmento que tiene los extremos (5, −3) y (−4, −3).

a. Marca los puntos y crea el segmento en el plano de coordenadas.

b. ¿Cuál es la longitud del segmento?

Relaciones entre ángulos

La batalla de los triángulos

Cuando observamos el mundo de los triángulos, vemos muchas caras diferentes. Algunas son flaquitas. Otras son anchas. Algunas son simétricas y otras no lo son. Como son tan diferentes, se podría pensar que también se diferencian en la suma de sus medidas angulares. ¿Cierto?

La geometría es una fuerza poderosa que puede tomar millones de figuras distintas y unificarlas todas según la misma regla. Todos los triángulos (sean flaquitos, anchos, simétricos o lo que sea) tienen tres ángulos, y las medidas de esos tres ángulos siempre sumarán exactamente el mismo total, sin importar las diferencias.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 12

Nombre Fecha

Transversales que cortan rectas

En los problemas 1 y 2, registra qué pares de ángulos crees que son congruentes.

1. La recta ℯ se interseca con las rectas �� y ��.

2. La recta �� se interseca con las rectas �� y ��.

Relaciones entre ángulos

3. Completa la tabla de relaciones entre ángulos con toda la clase.

Descripción: Descripción:

La recta �� es paralela a la recta ��.

La recta �� es paralela a la recta ��

Descripción:

Descripción:

La recta �� es paralela a la recta ��.

La recta �� es paralela a la recta ��.

Hallar medidas angulares desconocidas

4. En el diagrama, la recta �� se interseca con las rectas paralelas �� y ��.

a. De ser posible, halla las medidas de los siete ángulos restantes. Escribe esas medidas en el diagrama.

b. Completa la tabla. Escribe la medida de cada ángulo de la parte (a). Luego, para cada medida angular, da una explicación de la relación entre ese ángulo y el ∠ ABC.

Nombre del ángulo

DBC

DBF

FBA

EFB

GFB

GFH

EFH

Medida angular

Explicación

c. Usa movimientos rígidos para explicar por qué cada ángulo es congruente con el ∠ABC.

Nombre del ángulo

DBF

EFB ∠GFH

Movimiento rígido

5. En el diagrama, la ⟷ FT se interseca con las rectas paralelas, ⟷ EK y ⟷ CR .

a. De ser posible, halla las medidas de los siete ángulos restantes. Escribe esas medidas en el diagrama.

b. Nombra todos los pares de ángulos correspondientes.

c. Nombra todos los pares de ángulos alternos internos.

d. Nombra todos los pares de ángulos alternos externos.

6. En el diagrama, se muestran las rectas ℊ, �� y ��.

a. De ser posible, halla las medidas de los siete ángulos restantes. Escribe esas medidas en el diagrama.

b. Elige un ángulo que sea congruente con el ∠VET y describe el movimiento rígido que asigna ese ángulo al ∠VET.

c. ¿Cuál es la relación entre ángulos entre el ∠VET y el ∠ ERY?

d. ¿Puedes determinar la medida del ∠ ERY? Explica.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 12

Nombre Fecha

En los problemas 1 y 2, usa el diagrama de las rectas ��, �� y ��. Supón que �� ∥ ��

1. La medida del ∠1 es 130° .

a. ¿Cuál es la medida del ∠3?

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠3.

2. La medida del ∠2 es 50° .

a. ¿Cuál es la medida del ∠6?

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠6.

Nombre Fecha

Transversales que cortan rectas

En esta lección:

• nombramos pares de ángulos por sus relaciones;

• usamos movimientos rígidos para mostrar que un par de ángulos era congruente;

• hallamos la medida de un ángulo a partir de su relación con otro ángulo.

RESUMEN

Vocabulario

Dadas un par de rectas �� y �� en un plano, una tercera recta �� es una transversal si se interseca con la recta �� en un único punto y con la recta �� en un único punto diferente del anterior.

Si las rectas cortadas por la transversal son paralelas, entonces estos ángulos son congruentes.

Dadas las rectas �� y �� y la transversal �� que se muestran en el diagrama, hay

• cuatro pares de ángulos correspondientes: ∠1 y ∠5, ∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7, y ∠4 y ∠8;

• dos pares de ángulos alternos internos: ∠3 y ∠6, y ∠4 y ∠5; y

• dos pares de ángulos alternos externos: ∠1 y ∠8, y ∠2 y ∠7

Ejemplo

En el diagrama, la recta ℊ se interseca con las rectas paralelas �� y ��.

a. ¿Cuál es la relación entre ángulos entre el ∠1 y el ∠5?

Son ángulos correspondientes.

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el ∠1 al ∠5

Una traslación a lo largo del ⟶ DF asigna el ∠1 al ∠5.

c. ¿Cuál es la relación entre ángulos entre el ∠3 y el ∠5?

Son ángulos alternos internos.

d. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el ∠3 al ∠5.

Una traslación a lo largo del ⟶ DF seguida de una rotación de 180° alrededor del punto F asigna el ∠3 al ∠5.

e. Si la medida del ∠3 es 56°, ¿cuál es la medida del ∠7? Explica.

56°

Dado que las rectas �� y �� son paralelas, el ∠1 puede asignarse al ∠5

Eso significa que los ángulos correspondientes son congruentes.

Como las rectas �� y �� son paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes, así que miden lo mismo.

f. Si la medida del ∠4 es 124°, ¿cuál es la medida del ∠6? Explica.

124°

Como las rectas �� y �� son paralelas, los ángulos alternos externos son congruentes, así que miden lo mismo.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 12

Nombre Fecha

En los problemas 1 y 6, usa el diagrama de las rectas ��, ℊ y ��

1. Identifica todos los pares de ángulos correspondientes.

2. Identifica todos los pares de ángulos alternos internos.

3. Supón que �� ∥ ℊ y la medida del ∠4 es 72°

a. ¿Cuál es la medida del ∠2?

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠2

c. ¿Cuál es la medida del ∠5?

d. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠5.

4. Supón que �� ∥ ℊ y la medida del ∠6 es 108° .

a. ¿Cuál es la medida del ∠1?

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠1

c. ¿Cuál es la medida del ∠3?

d. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠3

5. ¿Serían las mismas tus respuestas al problema 3 si las rectas �� y ℊ no fueran paralelas? ¿Por qué?

6. Supón que las rectas �� y ℊ no son paralelas. Explica por qué la medida del ∠2 no es igual a la medida del ∠7

7. Usa el diagrama y la información dada para hallar las medidas de los ángulos en las partes (a) a (d).

• Las ⟷ AB y ⟷ CD están cortadas por la transversal ⟷ EF .

• Supón que la ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD .

• La medida del ∠EGB es 60° .

a. ∠AGH

b. ∠CHF

c. ∠GHD

d. ∠EGA

8. Las rectas ��, �� y �� son paralelas. La recta �� se interseca con cada recta como se muestra, y la medida del ∠1 es 143°

a. Halla la medida del ∠9

b. Explica las relaciones entre ángulos que verifican la medida del ∠9.

c. Usa movimientos rígidos para explicar por qué el ∠1 es congruente con el ∠12

Recuerda

En los problemas 9 a 12, escribe una expresión equivalente.

9. 3(x + 4) 10. 5(x + 3)

11. 3(x − 2) 12. 5(x − 7)

13. Una traslación a lo largo del ⟶ GH asigna la figura ABCD a la figura A′B′C′D′. Identifica el vector que asigna la figura A′B′C′D′ nuevamente a la figura ABCD.

14. ¿Qué expresiones son equivalentes a 2.1 × 106 ? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 2,100,000

B. (1.0 × 106) + (1.2 × 105)

C. (7.0 × 103) (3.0 × 103)

D. 12.6 × 108 6.0 × 102

E. (3.0 × 106) (9.0 × 105)

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 13

Nombre Fecha

La suma de los ángulos de un triángulo

Hazlo pedazos

Verificar la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo

Hallar la medida angular desconocida

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 13

BOLETO DE SALIDA

1. Eve arranca las esquinas de un triángulo y las une como se muestra en el diagrama.

¿Qué nos indica el diagrama de los ángulos de Eve sobre las medidas de los ángulos internos de un triángulo? Explica.

2. ¿Cuál es la medida del ∠ A? Explica cómo lo sabes.

C A B 61°

Nombre Fecha

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 13

Nombre Fecha

La suma de los ángulos de un triángulo

En esta lección:

• determinamos que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°;

• hallamos la medida de un ángulo interno cuando se dan las otras dos medidas de los ángulos internos de un triángulo.

Ejemplos

1. Halla la medida del ∠ ACB.

32° + 48° = 80°

180° − 80° = 100°

m ∠ ACB = 100°

Suma las medidas de los ángulos dados. Luego, resta esa suma de 180°.

Vocabulario

Un ángulo interno de un polígono es un ángulo formado por dos lados adyacentes de ese polígono. Por ejemplo, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 y ∠5 son todos ángulos internos del pentágono que se muestra en el diagrama. 1 2 3 4 5

Dadas las rectas �� y �� y la transversal �� que se muestran en el diagrama, hay dos pares de ángulos colaterales internos: ∠3 y

5,

4 y

2. Halla la medida del ∠ EFD.

90° + 63° = 153°

180° − 153° = 27°

∠ EFD = 27° m ∠ DEF = 90°

22° x° x°

Las medidas de los dos ángulos restantes son iguales. Divide la diferencia entre 2 para hallar la medida de cada ángulo.

180° 22° = 158°

158° 2 = 79°

m ∠ GHJ = 79°

Resta 22° de 180° para hallar la suma de las medidas de los otros dos ángulos.

3. Halla la medida del ∠GHJ.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 13

En los problemas 1 a 6, halla la medida del ángulo dado.

ACB

Nombre Fecha

7. Halla la medida del ∠ EFB

8. En el diagrama, el △ XYZ y el △ XYW comparten la hipotenusa XY . 34° 25°

a. Halla los valores de x y y.

b. Halla las medidas del ∠ ZXY y el ∠WYX

9. Usa el diagrama y la información dada para responder las partes (a) y (b).

• La ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD

• La medida del ∠ABC es 28°

• La medida del ∠EDC es 42°

a. Halla la medida del ∠CED.

b. Explica cómo hallaste la medida del ∠CED.

Recuerda

En los problemas 10 a 13, escribe una expresión equivalente.

14. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura ABCDE a la figura PQRST.

15. Considera la ecuación 520 · 5x = 540. ¿Qué ecuación se puede usar para determinar el valor de x ?

A. 20 x = 40

B. 20 x = 40

C. 20 ÷ x = 40

D. 20 + x = 40

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 14

Nombre Fecha

Demostrar si las rectas son paralelas

Verdadero o falso: Enunciados si... entonces

1. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. Si hoy es martes, entonces mañana es miércoles.

b. Si mañana no es miércoles, entonces hoy no es martes.

c. Si mañana es miércoles, entonces hoy es martes.

2. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. Si tengo 13 años, entonces soy adolescente.

b. Si no soy adolescente, entonces no tengo 13 años.

c. Si soy adolescente, entonces tengo 13 años.

3. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. Si me gusta el helado de chocolate, entonces me gustan todos los sabores de helado.

b. Si no me gustan todos los sabores de helado, entonces no me gusta el helado de chocolate.

c. Si me gustan todos los sabores de helado, entonces me gusta el helado de chocolate.

Enunciados si... entonces y rectas paralelas

En los problemas 4 a 6, usa el diagrama de las rectas ��, �� y �� para determinar si el enunciado es verdadero o falso.

4. Si las rectas �� y �� son paralelas, entonces los ángulos alternos internos creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes.

5. Si las rectas �� y �� son paralelas, entonces los ángulos alternos externos creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes.

6. Si las rectas �� y �� son paralelas, entonces los ángulos correspondientes creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes.

¿Qué nos indican los ángulos?

7. Considera la estructura de estos dos enunciados.

a. Si los ángulos correspondientes creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes, entonces las rectas �� y �� son paralelas.

b. Si las rectas �� y �� no son paralelas, entonces los ángulos correspondientes creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� no son congruentes.

c. Traza las rectas secantes �� y �� con la transversal ��.

¿Son paralelas las rectas?

En los problemas 8 a 11, usa el diagrama de las rectas ��, �� y �� para determinar si las rectas �� y �� son paralelas. Explica cómo lo sabes.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 14

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Determina si las rectas �� y �� son paralelas. Explica cómo lo sabes.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 14

Nombre Fecha

Demostrar si las rectas son paralelas

En esta lección:

• hallamos que, si los ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos que se forman cuando una transversal corta dos rectas son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas;

• usamos pares de medidas angulares para determinar si dos rectas son paralelas.

Ejemplos

En los problemas 1 a 3, usa el diagrama de las rectas ��, �� y ��

a. Determina si las medidas angulares dadas muestran que las rectas �� y �� son paralelas o no paralelas. Si no se da suficiente información, escribe indeterminado.

b. Explica tu respuesta de la parte (a).

Ángulos correspondientes

• ∠1 y ∠3 • ∠6 y ∠8 • ∠2 y ∠4 • ∠5 y ∠7

Ángulos alternos internos

• ∠2 y ∠6 • ∠3 y ∠7

Ángulos alternos externos

• ∠1 y ∠5 • ∠4 y ∠8

1. m∠5 = 110° , m∠7 = 110°

a. paralelas

b. Como el ∠5 y el ∠7 son ángulos correspondientes y tienen la misma medida, las rectas �� y �� son paralelas.

2. m∠3 = 118° , m∠6 = 62°

a. indeterminado

b. Como los ángulos están en una recta y están formados por la intersección de las rectas �� y ��, no hay suficiente información para determinar la relación entre las rectas �� y ��.

3. m∠2 = 43° , m∠6 = 44°

a. no paralelas

b. Como el ∠2 y el ∠6 son ángulos alternos internos que no tienen la misma medida, las rectas �� y �� no son paralelas.

4. Se muestra el diagrama de las ⟷ AB , ⟷ GF , ⟷ CH y ↔ EI .

El ∠ECD y el ∠BEF son congruentes.

a. ¿Son paralelas la ⟷ CH y la ↔ EI ? Explica.

Sí. La ⟷ CH y la ↔ EI son paralelas porque los ángulos correspondientes, el ∠ECD y el ∠BEF, son congruentes.

b. ¿Son paralelas la ⟷ AB y la ⟷ GF ? Explica.

m∠CDF + m∠ FDH = 180°

50° + m∠ FDH = 180°

m∠ FDH = 130°

El ∠CDF y el ∠ FDH son un par lineal; entonces, la suma de sus medidas es 180°

Sí. La ⟷ AB y la ⟷ GF son paralelas porque los ángulos correspondientes, el ∠ ECD y el ∠ FDH, son congruentes.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 14

Nombre Fecha

En los problemas 1 a 7, usa el diagrama de las rectas ℊ, �� y ��. Determina si las medidas angulares dadas muestran que las rectas ℊ y �� son paralelas o no paralelas. Si no hay suficiente información, elige Indeterminado.

Paralelas No paralelas Indeterminado

1. m∠4 = 56°, m∠2 = 56°

2. m∠3 = 124°, m∠6 = 124°

3. m∠8 = 124°, m∠4 = 56°

4.

8. Jonás dice que no hay suficiente información para determinar si la ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD . ¿Estás de acuerdo con Jonás? Explica.

9. ¿Son paralelas la ⟷ CT y la ⟷ DG ? ¿Por qué?

10. ¿Son paralelas la ⟷ MP y la ⟷ OA ? ¿Por qué?

11. Considera el diagrama que se muestra.

a. ¿Son paralelas la ⟷ AB y la ⟷ CD ? ¿Por qué?

b. Supón que ⟷ AB ∥ ⟷ CD . ¿Son paralelas la ⟷ CD y la ⟷ GH ? ¿Por qué?

c. ¿Son paralelas la ⟷ CD y la ⟷ EF ? ¿Por qué?

12. En el diagrama, la ⟷ AC es paralela a la ⟷ DF . Escribe las medidas angulares desconocidas en el diagrama.

13. En el diagrama, ¿cuáles deben ser los valores de x y de y para que ⟷ AB ∥ ⟷ CD y ⟷ BC ∥ ⟷ DE ? Explica.

Recuerda

En los problemas 14 a 17, escribe una expresión equivalente.

14. 2 3 (x + 6)

16. 1 2 (x + 10)

15. 3 4 (x + 8)

17. 2 5 (x + 25)

18. Considera la figura CDEF y los siguientes movimientos rígidos.

• Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen

• Una reflexión sobre el eje y

a. Traza la imagen de la figura CDEF a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen A.

b. Traza la imagen de la figura CDEF a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden contrario. Rotula la imagen B

c. ¿Importa el orden en el que se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

19. Escribe una expresión equivalente a 73 · 74 con solo una base.

A. 4912

B. 147

C. 712

D. 77

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 15

Los ángulos externos de los triángulos

1. Dadas las rectas paralelas �� y �� con la transversal ��, halla el valor de x.

Internos

y externos

2. Identifica una ubicación para un ángulo externo adyacente al ∠F.

Nombre Fecha

3. Considera el △HAT en el diagrama.

a. Nombra los ángulos externos del △ HAT.

b. Si la medida del ∠HTA es 58° y la medida del ∠THA es 86°, halla las medidas de los siguientes ángulos.

m∠HAT =

m∠GAT =

m∠OHA =

m∠CTH =

Ángulos internos no adyacentes

4. Halla el valor de x.

5. Halla el valor de y.

6. Escribe ecuaciones que representen las relaciones entre ángulos que se muestran en el diagrama.

7. Usa la relación entre un ángulo externo de un triángulo y los ángulos internos no adyacentes para hallar el valor de x.

Hallar la medida angular

En los problemas 8 a 13, halla el valor de x en el diagrama usando cualquiera de las relaciones entre ángulos que has aprendido. Rotula todas las medidas angulares adicionales que usaste para hallar el valor de x.

13. Pista: Extiende un segmento a modo de transversal.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 15

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Se pide a Dylan y Noor que hallen la medida del ∠1 en el triángulo dado.

81°

Dylan halla la medida del ∠1 de esta forma:

Noor halla la medida del ∠1 de esta forma: m∠1 + 81° = 156° m∠1 = 75°

Explica de quién es la solución correcta y por qué.

2

Student Edition: 8.° grado, Módulo 2, Tema C, Lección 15

Nombre Fecha

Los ángulos externos de los triángulos

En esta lección:

• definimos el ángulo externo y los ángulos internos no adyacentes de un triángulo;

• determinamos que la medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes del triángulo;

• resolvimos ecuaciones para hallar medidas angulares.

Ejemplos

1. Halla la medida del ∠ ACD.

El ∠ ACB es adyacente al ∠ ACD; entonces, el ∠ ABC y el ∠ BAC son los ángulos internos no adyacentes al ∠ ACD.

Vocabulario

Un ángulo externo de un triángulo es un ángulo que forma un par lineal con un ángulo interno de ese triángulo. En el diagrama, el ∠1 es un ángulo externo del triángulo.

Los ángulos internos no adyacentes de un triángulo son los dos ángulos internos que no comparten vértice con un ángulo externo dado del triángulo. En el diagrama, el ∠1 es un ángulo externo, y el ∠2 y el ∠3 son los ángulos internos no adyacentes a ese ángulo externo.

El ∠ ACD es un ángulo externo del △ ABC.

Suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes

Medida del ángulo externo

Suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes

Medida del ángulo externo

2. Halla la medida del ∠GEF.

Student Edition: 8.° grado, Módulo 2, Tema C, Lección 15

Nombre Fecha

PRÁCTICA

En los problemas 1 a 6, halla la medida del ángulo dado.

3.

ACB

En los problemas 7 a 10, halla la medida del ángulo dado. Describe todas las relaciones entre ángulos que usaste para hallar la medida angular desconocida.

5. ∠ BAD

7. ∠DAB

∠ ACD

11. Usa el diagrama y la información dada para responder las partes (a) a (d).

• La ⟷ AD y la ↔ EI son paralelas.

• La ↔ JP y la ⟷ KO son transversales.

• La medida del ∠BCQ es 67°.

• La medida del ∠QHI es 119°.

a. Halla la medida del ∠QFH.

b. ¿Cuál es la relación entre el ∠ BCQ y el ∠QFH que verifica la medida del ∠QFH?

c. Halla la medida del ∠FQH.

d. ¿Cuál es la relación entre el ∠FQH, el ∠QFH y el ∠QHI que verifica la medida del ∠FQH?

12. En el diagrama, la ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD . La medida del ∠ ABE es 56°, y la medida del ∠ EDC es 22°

a. Halla la medida del ∠BED.

Pista: Extiende el BE para que se interseque con la ⟷ CD en el punto F

b. Explica cómo hallaste la medida del ∠BED.

13. En el diagrama, la ⟷ OP es paralela a la ⟷ LN con las transversales ⟷ JM y ⟷ KM .

a. Halla la medida del ∠JMK.

b. Explica cómo hallaste la medida del ∠JMK.

Recuerda

En los problemas 14 a 17, escribe una expresión equivalente.

14. 3(x + 2) + 7x 15. 5(x + 6) + 3x

16. 7(x + 2) + 5x

17. 8(x + 4) + 8x

18. La figura ABCDEFG es congruente con la figura JKLMNPQ. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura ABCDEFG a la figura JKLMNPQ

En los problemas 19 a 20, simplifica.

19. x0 ⋅ x5

20. (ab5)4 (a2b)3

Student Edition: 8.° grado, Módulo 2, Tema C, Lección 16

Nombre Fecha

Hallar medidas angulares desconocidas

1. Usa el diagrama que se muestra.

a. Halla el valor de x.

(5x + 2)° (4x + 16)°

b. ¿Qué relación entre ángulos usaste para la parte (a)?

Buscar la relación entre los ángulos

Para cada tarjeta,

• describe todas las relaciones entre ángulos usadas y

• escribe y resuelve una ecuación para respaldar tu respuesta.

2. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

3. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

4. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

5. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

6. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

7. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

8. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

9. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

10. Relaciones entre ángulos:

Ecuación:

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 16

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Considera el diagrama.

(5x + 10)°

a. Halla el valor de x

b. Describe la relación entre ángulos que usaste para hallar el valor de x.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 16

Nombre Fecha

Hallar medidas angulares desconocidas

En esta lección:

• determinamos las relaciones entre ángulos en un diagrama dado;

• escribimos ecuaciones usando las relaciones entre ángulos para hallar valores desconocidos.

Ejemplos

En los problemas 1 y 2, escribe una ecuación y halla el valor de x. Describe todas las relaciones entre ángulos que usaste para escribir la ecuación.

1.

38°

42° x° x + 42 + 38 = 180 x + 80 = 180 x = 100

El valor de x es 100.

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180° .

Escribe una ecuación que muestre que la suma de las tres medidas de los ángulos internos es igual a 180°. Luego, halla el valor de x.

2. x° 98° 27°

98 + 27 = x 125 = x

La suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes es igual a la medida del ángulo externo, x°

El valor de x es 125.

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

3. Las rectas paralelas �� y �� están cortadas por la transversal ��. Escribe una ecuación para hallar el valor de x. Identifica todas las relaciones entre ángulos que usaste para escribir la ecuación.

Esta medida angular es 62° porque los ángulos correspondientes de las rectas paralelas miden lo mismo.

El valor de x es 118.

62 + x = 180 x = 118

Las medidas de los ángulos correspondientes son iguales porque las rectas �� y �� son paralelas. Los pares lineales tienen medidas que suman 180° .

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 16

En los problemas 1 a 3, escribe una ecuación usando las relaciones entre ángulos dadas en el diagrama. Luego, halla la medida del ∠1

3. Supón que �� ∥ ��

Nombre Fecha

En los problemas 4 a 6, escribe una ecuación usando las relaciones entre ángulos dadas en el diagrama. Luego, halla el valor de x

En los problemas 7 y 8, escribe ecuaciones usando las relaciones entre ángulos dadas en el diagrama. Luego, halla el valor de x y y

x + 24)°

x + 7)° (11y + 8)°

9. Ava resuelve este problema de forma correcta. Analiza el trabajo de Ava. Luego, halla la medida del ∠IFO usando una estrategia diferente. Explica tu trabajo.

Trabajo de Ava:

77 + 37 = y 114 = y

Dado que ↔ BI ∥ ⟷ AO , los ángulos alternos internos, el ∠ BIT y el ∠ FTO, son congruentes.

Entonces, la medida del ∠FTO es 77°. La medida del ángulo externo del triángulo, el ∠IFO, es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes, el ∠ FTO y el ∠TOF.

Entonces, la medida del ∠IFO es 114° .

Recuerda

En los problemas 10 a 13, escribe una expresión equivalente.

10. 5(x + 3) + 8(x + 2)

11. 9(x − 5) + 3(x 2)

12. −2(x 4) + 4(x + 2)

13. 3(x − 4) − 7(x − 1)

14. Las rectas paralelas �� y �� están cortadas por la transversal ��.

a. En el diagrama, ¿qué relación entre ángulos existe entre el ∠2 y el ∠6?

b. Usa movimientos rígidos para describir cómo sabes que el ∠2 y el ∠6 son congruentes.

15. Considera la ecuación 27 · 92 3n = 36. ¿Cuál es el valor de n?

Figuras congruentes y el teorema de Pitágoras

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D

El sendero deseado

¡Espera! ¿No leíste el letrero? Claro.

No se pueden prohibir las matemáticas.

Entonces, ¿por qué caminas por el césped? ¡Eso es vandalismo!

NO APLIQUE EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Considera un giro en ángulo recto en una acera. ¿Caminaste alguna vez por el césped para acortar una esquina y así ahorrar un poco de tiempo?

Claro que sí. ¿Quién no lo ha hecho?

Eso significa que has sacado provecho, de algún modo, del teorema de Pitágoras. Los dos bordes de la acera que te salteaste y el camino que tomaste por el césped forman un triángulo rectángulo. Si medimos los bordes de la acera, podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar la longitud exacta de tu atajo.

A estos atajos, algunas veces se los conoce como “senderos deseados”. Si observas dónde está dañado el césped, podrás saber por dónde desean caminar los peatones (en lugar del camino que la persona que se dedica al desarrollo urbano indicó cuando diseñó la acera).

Muchas veces, lo que las personas desean, incluso sin pensar en la geometría, ¡es una hipotenusa!

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 17

Nombre Fecha

Probar el teorema de Pitágoras

Registra los movimientos rígidos que observas.

LECCIÓN 17

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 17

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

1. ¿De qué manera usó tu pareja de trabajo los movimientos rígidos en su prueba?

2. ¿De qué manera usó tu pareja de trabajo la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo en su prueba?

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 17

Nombre Fecha

Probar el teorema de Pitágoras

En esta lección:

• analizamos una prueba del teorema de Pitágoras;

• usamos movimientos rígidos, longitudes de lado y relaciones entre ángulos para probar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Halla la longitud de la hipotenusa.

La longitud de la hipotenusa es 0.5 unidades.

+ 0.32 = c2

+ 0.09 = c2

= c2

= c

Si un triángulo rectángulo tiene catetos con longitudes a y b y la hipotenusa con longitud c, entonces a2 + b2 = c2 .

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 17

Nombre Fecha

1. Completa la tabla para describir el teorema de Pitágoras con símbolos y palabras.

El teorema de Pitágoras

Símbolos

Palabras

En los problemas 2 a 5, halla la longitud de la hipotenusa.

c 5. 5 8 c

Recuerda

En los problemas 6 a 9, escribe una expresión equivalente.

6. 1 4 ( x + 16 ) 7. 3 5 ( x + 35 )

8. 4 7 ( x − 21 ) 9. 5 9 ( x − 27 )

10. Las rectas paralelas ℓ y �� están cortadas por la transversal ��.

a. La medida del ∠1 es 45°. ¿Cuál es la medida del ∠8?

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠8.

En los problemas 11 a 16, evalúa la expresión.

132

252

202

302

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 18

Nombre Fecha

Probar el recíproco del teorema de Pitágoras

El recíproco del teorema de Pitágoras

Probar el recíproco

Usar el recíproco

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 18

BOLETO DE SALIDA

1. Determina si las longitudes de lado 6, 8 y 10 forman un triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

2. Determina si las longitudes de lado 6, 11 y 14 forman un triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

Nombre Fecha

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 18

Nombre Fecha

Probar el recíproco del teorema de Pitágoras

En esta lección:

• analizamos una prueba del recíproco del teorema de Pitágoras;

• determinamos si tres longitudes de lado dadas forman un triángulo rectángulo.

El recíproco del teorema de Pitágoras

Vocabulario

El recíproco de un enunciado si… entonces es el enunciado que se obtiene al intercambiar la parte que empieza con “si” por la parte que empieza con “entonces”.

Un triángulo tiene longitudes de lado a, b y c, donde c es la longitud del lado más largo.

Si a2 + b2 = c2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Ejemplos

1. Escribe el recíproco del enunciado. Luego, indica si el recíproco es verdadero o falso.

Si Nora come una manzana, entonces Nora come una fruta.

Si Nora come una fruta, entonces Nora come una manzana.

Falso

Intercambia la parte que empieza con “si” por la parte que empieza con “entonces”.

Nora podría comer una naranja.

2. Determina si las longitudes de lado 5, 6 y 8 forman un triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

Sea a = 5, b = 6 y c = 8. Si a2 + b2 = c2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Halla a2 + b2 : 52 + 62 = 25 + 36 = 61

c2 : 82 = 64

Como 61 ≠ 64, a2 + b2 ≠ c2

Las longitudes de lado 5, 6 y 8 no forman un triángulo rectángulo.

La longitud del lado más largo es 8 unidades. Por lo tanto, sustituye c por 8

Halla

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 18

Nombre Fecha

En los problemas 1 a 4, escribe el recíproco del enunciado. Luego, indica si el recíproco es verdadero o falso.

1. Si un avión vuela del Polo Norte al Polo Sur, el avión vuela hacia el norte.

2. Si Jonás toca el clarinete, entonces toca un instrumento.

3. Si un número es mayor que 0, entonces el número es positivo.

4. Si una figura es un cuadrado, entonces la figura tiene cuatro ángulos rectos.

5. Completa los espacios para expresar el recíproco del teorema de Pitágoras.

Un triángulo tiene longitudes de lado a, b y c, donde c es la longitud del lado más largo.

Si , entonces el triángulo es

En los problemas 6 a 9, indica si un triángulo con las longitudes de lado dadas es un triángulo rectángulo.

5, 12, 13

Recuerda

En los problemas 10 a 13, escribe una expresión equivalente.

14. ¿Es el △ ABC congruente con el △ DEF ? Explica.

En los problemas 15 y 16, usa las propiedades y definiciones de los exponentes para escribir la expresión como una sola potencia.

15. 82 ⋅ 25 16. 35 9

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 19

Nombre Fecha

Usar el teorema de Pitágoras y su recíproco

1. La longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo es 3 unidades. La longitud de otro de los lados es 4 unidades.

Determina si el siguiente enunciado sobre el triángulo rectángulo siempre, a veces o nunca es verdadero.

La longitud del tercer lado es 5 unidades.

Clasificación de tarjetas

Hallar la longitud de los catetos

En los problemas 2 a 5, halla la longitud de lado desconocida.

¿Es un triángulo rectángulo?

6. ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo? Explica.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 19

BOLETO DE SALIDA

Halla la longitud de lado desconocida.

Nombre Fecha

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 19

Nombre Fecha

Usar el teorema de Pitágoras y su recíproco

En esta lección:

• usamos el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo;

• usamos el teorema de Pitágoras para hallar una longitud de lado desconocida en un triángulo rectángulo.

Ejemplos

1. Indica si un triángulo con longitudes de lado 5, √41 y 4 es un triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

Sea a = 4, b = 5 y c = √41 .

Si a 2 + b 2 = c 2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

a 2 + b 2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41

La longitud del lado más largo es √41 unidades. Entonces, sustituye c por √41

c 2 = (√41 )2 = 41

La ecuación a2 + b2 = c2 es verdadera.

Un triángulo con longitudes de lado 5, √41 y 4 es un triángulo rectángulo.

La longitud de un cateto es desconocida.

En los problemas 2 y 3, halla la longitud de lado desconocida. 2.

32 + b 2 = 102

9 + b 2 = 100

b 2 = 91

b = √91

La longitud de la hipotenusa es desconocida. 10 3 b 5 c √–1 –3 –

La longitud de lado desconocida es √91 unidades. 3. (√13 )2 + 52 = c 2 13 + 25 = c 2 38 = c 2 √38 = c

La longitud de lado desconocida es √38 unidades.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 19

En los problemas 1 a 4, indica si un triángulo con las longitudes de lado dadas es un triángulo rectángulo.

En los problemas 5 a 12, halla la longitud de lado desconocida.

Nombre Fecha

13. ¿Es el △QRS un triángulo rectángulo? Explica.

14. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es √162 unidades.

a. ¿Cuál es un posible par de longitudes de los catetos del triángulo?

b. Verifica que las longitudes de los catetos de la parte (a) tengan como resultado un triángulo rectángulo con una longitud de la hipotenusa de √162 unidades.

Recuerda

En los problemas 15 a 18, escribe una expresión equivalente. 15. 2 3 (6x + 9)

2 5 (5x + 30)

3 4 (8x − 36)

19. En el diagrama, las rectas �� y �� son paralelas, y las rectas �� y �� son paralelas. ¿Cuál es la medida del ∠5?

20. Abdul gana $12.50 por cada hora que trabaja.

a. Completa la tabla para mostrar la cantidad de dinero que gana Abdul por el número de horas que trabaja.

Número de horas trabajadas 2 4 5 8

Dinero ganado en total (dólares)

b. Abdul quiere comprarse un abrigo que cuesta $75.00. ¿Cuántas horas debe trabajar a fin de ganar suficiente dinero para comprarse el abrigo?

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 20

Nombre Fecha

La distancia en el plano de coordenadas

Hallar la longitud de los segmentos

1. Halla la longitud del AC .

2. Halla la longitud del CB .

3. Halla la longitud del AB .

4. Halla la longitud del MN .

¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo?

5. ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo? Explica.

Hallar la distancia entre dos puntos

6. ¿Qué dos puntos están más lejos uno del otro? Explica.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 20

BOLETO DE SALIDA 20

Halla la longitud del AB

Nombre Fecha

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 20

Nombre Fecha

La distancia en el plano de coordenadas

En esta lección:

• hallamos la longitud de un segmento diagonal en el plano de coordenadas;

• formamos triángulos rectángulos en el plano de coordenadas a fin de usar el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos.

Ejemplos

1. Halla la distancia entre los puntos A y B y

Traza un segmento que conecte los puntos A y B.

Sea c la longitud del AB .

La longitud del AB es √164 unidades.

Entonces, la distancia entre los puntos A y B es √164 unidades.

Traza un triángulo rectángulo con la hipotenusa AB . Luego, cuenta las unidades para hallar las longitudes de los catetos.

La longitud del AB también es la distancia entre los puntos A y B

2. ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo? Explica.

Como ninguna de las longitudes de los lados del triángulo están sobre las líneas de la cuadrícula, traza segmentos que formen triángulos rectángulos para cada par de puntos. Luego, cuenta las unidades para hallar las longitudes de los segmentos.

Usa el teorema de Pitágoras tres veces para hallar las longitudes del BC , el AC y el AB .

Sea x la longitud del BC :

32 + 32 = x 2

9 + 9 = x 2

18 = x 2

√18 = x

Sea y la longitud del AC : 22 + 22 = y 2 4 + 4 = y 2 8 = y 2 √8 = y

Sea z la longitud del AB : 12 + 52 = z 2 1 + 25 = z 2 26 = z 2

√26 = z

Según el recíproco del teorema de Pitágoras, si (√18 )2 + (√8 )2 es igual a (√26 )2 , entonces el △ ABC es un triángulo rectángulo.

(√18 )2 + (√8 )2 = 18 + 8 = 26 (√26 )2 = 26

Como 26 = 26, sabemos que (√18 )2 + (√8 )2 = (√26 )2; entonces, el △ ABC es un triángulo rectángulo.

Usa el recíproco del teorema de Pitágoras: si la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 20

Nombre Fecha

En los problemas 1 y 2, halla la longitud del AB

En los problemas 3 a 6, halla la distancia entre los puntos A y B.

y

7. ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo? Explica.

8. Considera los puntos A, B y C.

a. Halla el perímetro del triángulo que se forma al conectar los puntos A, B y C.

b. ¿Qué tipo de triángulo es el △ ABC ? Explica cómo lo sabes.

Recuerda

En los problemas 9 a 12, escribe una expresión equivalente.

9. 1 2 ( 8 x + 14 ) + 3 x 10. 3 8 ( 8 x − 64 ) + 9 11. 5 11 ( 22 x + 55 ) − 4 x

13. En el diagrama, el ∠ DGH es congruente con el ∠ EIH. Describe un movimiento rígido que asigne el ∠ DGH al ∠ EIH

14. En la cuadrícula, crea un dibujo a escala del rectángulo dado con el factor de escala 1 2

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 21

Nombre Fecha

Aplicar el teorema de Pitágoras

LECCIÓN

1. El centro de entretenimiento de Dylan tiene una abertura rectangular para un televisor. La abertura mide 50 pulgadas de ancho y 30 pulgadas de alto. El tamaño de un televisor se describe por la longitud de su diagonal.

De la lista, ¿cuál es el televisor más grande que cabe en el centro de entretenimiento de Dylan? Explica.

43 pulgadas 50 pulgadas 55 pulgadas 60 pulgadas 65 pulgadas

Resolver un problema del mundo real

2. En el libro ¿Cuál es tu ángulo, Pitágoras?, Saltos y Pepros discuten porque su escalera de 12 pies no llega hasta el techo de un templo, como se muestra. ¿Hasta qué altura de la pared del templo llega la escalera? Redondea al décimo de un pie más cercano.

12 pies

5 pies

Resolver un problema matemático

3. El área del triángulo rectángulo es 26.46 unidades cuadradas. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

Una caja bien pensada

Pregunta de enfoque

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 21

BOLETO DE SALIDA 21

Maya quiere construir una rampa para patinetas con las dimensiones que se muestran. ¿Qué longitud debe tener la madera contrachapada que necesita Maya para la parte superior de la rampa? Redondea al décimo de una pulgada más cercano.

18 in

72 in

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Aplicar el teorema de Pitágoras

En esta lección:

• aplicamos el teorema de Pitágoras para resolver problemas matemáticos y del mundo real;

• usamos una calculadora como herramienta para evaluar raíces cuadradas.

Ejemplos

1. Se apoya una escalera de 12 pies en una pared como se muestra. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera? Redondea al décimo de un pie más cercano.

La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. La escalera es la hipotenusa.

12 pies

La altura de la pared a la que llega la escalera es la longitud del cateto desconocida.

2.9 pies

Sea h la altura de la pared a la que llega la escalera en pies. 2.92 + h 2 = 122 8.41 + h 2 = 144

Usa una calculadora para hallar la raíz cuadrada.

La escalera llega a una altura de aproximadamente 11.6 pies de la pared.

2. ¿Cuál es el perímetro del triángulo? Redondea al décimo de una unidad más cercano.

Sea c la longitud de lado desconocida.

+ 82 = c 2

El perímetro del triángulo es aproximadamente 25.6 unidades.

La longitud de lado desconocida es la longitud de la hipotenusa.

Usa una calculadora para sumar las longitudes de los lados.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 21

Nombre Fecha

1. Un televisor de 80 pulgadas tiene una altura de 39.2 pulgadas. ¿Cuál es el ancho del televisor? Redondea al décimo de una pulgada más cercano. 80 in

2. Se apoya una escalera de 13 pies en una pared como se muestra. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera? Redondea al décimo de un pie más cercano.

13 pies

3.4 pies

3. Noor puede tomar dos caminos desde su casa hasta la casa de Liam. Un camino es directo. En el otro camino, Noor tiene que recorrer dos calles diferentes, como se muestra.

Casa de Noor

1.5 millas

Casa de Liam

2 millas

¿Cuánto más corto es el camino directo que el camino por dos calles diferentes?

4. Considera el diagrama de una portería de futbol portátil. Las líneas negras muestran la estructura de la portería.

¿Cuántos pies de material se necesitan para la estructura de la portería? Redondea al décimo de un pie más cercano.

5. El área del triángulo rectángulo dado es 66.5 unidades cuadradas. 9.5

a. ¿Cuál es la longitud del cateto desconocida del triángulo?

b. ¿Cuál es el perímetro del triángulo? Redondea al décimo de una unidad más cercano.

En los problemas 6 y 7, halla la longitud de la diagonal c de la caja con forma de prisma rectangular recto. Redondea tu respuesta final al décimo de una pulgada más cercano.

Recuerda

En los problemas 8 a 11, escribe una expresión equivalente. 8. 1 3 (9x + 12) + 1 6 (12x + 6)

2 5 (15x + 10) + 3 4 (16x − 40)

4 7 (21x − 7) + 1 2 (16x + 4)

12. Halla la medida del ∠3.

13. ¿Qué movimiento rígido asigna el ∠ ABC al ∠ DEF?

A. Rotación de 180° alrededor del punto P

B. Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto P

C. Reflexión sobre una recta vertical que pasa por P

D. Reflexión sobre una recta horizontal que pasa por P

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 22

Nombre Fecha

En el camino correcto

Tobogán de agua

Tazas locas

Carritos de carrera

Sillas voladoras

Carritos chocones

Entrada

Montaña rusa

Carrusel

Hora de cierre

Imagina que te quedan 1 hora y 30 minutos hasta la hora de cierre para explorar las atracciones en esta sección del parque de diversiones.

Comenzando en la entrada, usa el mapa para determinar un camino que puedas seguir para subir a 4 atracciones y regresar a la entrada antes de la hora de cierre.

Pautas:

• No puedes repetir una atracción.

• Corres entre las atracciones a 5 millas por hora.

a. Traza tu camino en el mapa.

b. ¿Cuánto tardas en regresar a la entrada?

c. ¿Te sobra tiempo antes de que cierre el parque? De ser así, ¿cuánto?

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 22

T azas locas

T obogán de agua

Carruse l

Montaña rusa

Carritos chocones

Sillas voladoras

Carritos de carrera

10 pies

Entrada

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 22

BOLETO DE SALIDA

22

Reflexiona sobre la lección.

Nombre Fecha

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 22

Nombre Fecha

PRÁCTICA 22

1. ¿Qué suposiciones hiciste sobre la situación del parque de diversiones para resolver el problema de la lección?

2. ¿Qué herramientas usaste para resolver el problema de la lección?

3. El Sr. Adams va a la tienda a comprar leche y manzanas.

a. Traza un camino que lleve al Sr. Adams desde el punto de inicio hasta los dos productos y, luego, hasta las cajas.

b. Si el Sr. Adams camina a una tasa de 3 pies por segundo, ¿aproximadamente cuánto tiempo tardará en llegar a las cajas?

c. ¿Qué suposiciones hiciste para resolver este problema?

Leche

Inicio Cajas

Manzanas

5 pies

Recuerda

En los problemas 4 a 7, escribe una expresión equivalente.

4. 1 2 ( 2 x + 9 ) + 11 2 5. 5 9 ( 9 x + 2 ) − 8 9

2 3 ( 9 x − 5 ) − 5 3

8. Halla la longitud de lado desconocida.

9. ¿Qué movimientos rígidos asignan un segmento a otro segmento de la misma longitud?

Elige todas las opciones que correspondan.

A. Traslación

B. Reflexión

C. Rotación

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Práctica mixta 1

Práctica mixta 1

Nombre Fecha

1. Henry creó una expresión equivalente para

usando los siguientes pasos. Ava piensa que Henry cometió un error. Paso

a. ¿En qué paso cometió un error Henry, si es que lo cometió? Explica.

b. Si Henry cometió un error, corrige el error. Luego, halla una expresión equivalente.

En los problemas 2 a 5, resuelve y representa gráficamente la solución de la desigualdad.

3x + 5 < 8

4. 6x + 4 ≥ 10

2.

3. −4x + 3 ≤ 7

5. −5x + 2 > 7

6. Considera el diagrama dado, en el que la ⟷ DB y la ⟷ CF se encuentran en el punto A. El punto A también es el extremo de la ⟶ AE

a. Describe una relación entre ángulos que te ayude a hallar el valor de x

b. Escribe una ecuación para hallar el valor de x. Luego, determina la medida del ∠EAD.

7. ¿Qué expresión es equivalente a 56 ⋅ 54 ?

A. 2524

B. 1010

C. 524

D. 510

8. Considera la ecuación 8 15 ⋅ 8 x = 8 30. ¿Qué ecuación se puede usar para determinar el valor de x ?

A. 15 + x = 30

B. 15 − x = 30

C. 15 ⋅ x = 30

D. 15 ÷ x = 30

9. Mientras Eve hace los cálculos para su tarea de ciencias, la calculadora muestra lo siguiente:

-17

Escribe este número en notación científica para ayudar a Eve a interpretar lo que ve en su calculadora.

10. Los expertos y las expertas en ciencias creen que Júpiter está a unos 391 millones de millas de la Tierra y que Marte está a unos 49 millones de millas de la Tierra.

a. Aproxima la distancia de Júpiter a la Tierra como un solo dígito multiplicado por una potencia de 10.

b. Aproxima la distancia de Marte a la Tierra como un solo dígito multiplicado por una potencia de 10.

c. ¿Aproximadamente cuántas veces la distancia de Júpiter a la Tierra es la distancia de Marte a la Tierra?

11. El volumen total de agua dulce de la Tierra es aproximadamente 3.5 × 107 km3. El volumen total de toda el agua de la Tierra es aproximadamente 1.4 × 109 km3. Del volumen total aproximado de agua de la Tierra, ¿cuánto no es agua dulce? Escribe tu respuesta en notación científica.

Nombre Fecha

1. Se muestra el rectángulo 2. El rectángulo 2 es un dibujo a escala del rectángulo 1, que no se muestra. El área del rectángulo 1 es 81 unidades cuadradas. ¿Qué factor de escala se usa para relacionar las longitudes de los lados del rectángulo 1 y las longitudes de los lados del rectángulo 2?

Rectángulo 2

2. Resuelve x 2 = 196 para hallar el valor de x.

3. Halla la longitud del lado de un cubo que tiene un volumen de 343 in3.

4. Usando la información de la tabla, escribe una ecuación para mostrar cómo se relacionan el costo total y el número de envases de fresas. Sea t el costo total en dólares. Sea f el número de envases de fresas.

Número de envases de fresas, f

t

5. Lily invierte $3000 en un plan de ahorros. El plan paga 1.25 % de interés simple al final de cada año. Lily no hace depósitos ni extracciones del plan de ahorros.

a. ¿Cuál es el saldo del plan de ahorros de Lily al final de 3 años?

b. ¿Al final de cuántos años el plan de ahorros de Lily tiene un saldo de al menos $3200?

6. Eve compra 3 camisetas en una tienda. Recibe un descuento del 5 % y paga un 8 % de impuesto sobre las ventas. Si cada camiseta cuesta $10, ¿cuál es el costo total de las 3 camisetas después de aplicar el descuento y el impuesto sobre las ventas?

7. Indica si la forma decimal del número es finita o periódica.

8. Considera los siguientes números:

a. Usa la aproximación para ubicar cada número en la recta numérica.

b. Clasifica cada número como racional o irracional.

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Tema A, Lección 3

1.

y

la imagen del △ ABC al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ XY

Dibuja

rotula

Edición para estudiantes: 8.o

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Tema B, Lección 7

Aplica el movimiento rígido dado.

1. Dibuja la imagen del △ A al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ XY . Rotula la imagen B.

2. Dibuja la imagen del △ A al que se le aplica una reflexión sobre la recta ��. Rotula la imagen C.

3. Dibuja la imagen del △ A al que se le aplica una rotación de 45° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O. Rotula la imagen D.

8 ▸ Movimientos rígidos en un plano de coordenadas

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Tema B, Lección 8

Usa el diagrama para aplicar el movimiento rígido dado.

1. Representa gráficamente la imagen de la figura A a la que se le aplica una traslación de 5 unidades hacia abajo y 8 unidades hacia la izquierda. Rotula la imagen B.

2. Representa gráficamente la imagen de la figura A a la que se le aplica una reflexión sobre el eje x. Rotula la imagen C.

3. Representa gráficamente la imagen de la figura A a la que se le aplica una rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen. Rotula la imagen D.

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Tema B, Lección 9

Representa gráficamente la imagen del △ A al que se le aplica la secuencia dada.

1. Aplica una reflexión sobre el eje y seguida de una traslación de 2 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la izquierda. Rotula la imagen B.

2. Aplica una rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una reflexión sobre el eje x. Rotula la imagen C.

3. Aplica una traslación de 1 unidad hacia abajo y 2 unidades hacia la derecha seguida de una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen. Rotula la imagen D.

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Práctica veloz: Relaciones entre ángulos

Práctica

veloz

Usa el diagrama y la información dada para hallar el valor desconocido. Es posible que el diagrama no esté dibujado a escala.

1. f = 60, g =

2. f = 60, e =

Número de respuestas correctas:

Usa el diagrama y la información dada para hallar el valor desconocido. Es posible que los diagramas no estén dibujados a escala. a° b° c°

1. a = 30, c =

2. a = 20, c =

3. a = 10, c =

4. a = 10, b =

5. a = 15, b =

6. a = 20, b =

7. b = 150, a =

8. b = 150, c = d° e° d°

9. e = 90, d =

10. e = 80, d =

11. e = 70, d =

12. e = 60, d =

13. d = 60, e =

14. d = 55, e =

15. d = 50, e =

17. g = 45, h =

18. g = 50, h =

19. g = 55, h =

20. g = 60, h =

21. h = 25, g =

22. h = 24, g =

23. h = 23, g =

24. h = 22, g = k° i° j°

25. i = 150, k = 150, j =

26. i = 145, k = 145, j =

27. i = 140, k = 140, j =

28. i = 140, k = 160, j =

29. i = 135, k = 165, j =

30. i = 130, k = 165, j =

31. i = 125, k = 165, j =

16. d = 45, e = g° h°

32. i = 120, k = 165, j =

BNúmero de respuestas correctas:

Progreso:

Usa el diagrama y la información dada para hallar el valor desconocido. Es posible que los diagramas no estén dibujados a escala. x° y° w°

1. w = 25, y =

2. w = 30, y =

3. w = 40, y =

4. w = 20, x =

5. w = 25, x =

6. w = 40, x =

7. x = 130, w =

8. x = 130, y = h° h° m°

9. m = 50, h =

10. m = 60, h =

11. m = 70, h =

12. m = 80, h =

13. h = 50, m =

14. h = 55, m =

15. h = 60, m =

16. h = 65, m = b° c° 17. c = 10, b = 18. c = 15, b = 19. c = 20, b = 20. c = 25, b = 21. b = 60, c = 22. b = 61, c = 23. b = 62, c =

24. b = 63, c = r° s° t°

25. t = 100, s = 100, r = 26. t = 110, s = 110, r =

27. t = 120, s = 120, r = 28. t = 120, s = 110, r = 29. t = 125, s = 105, r = 30. t = 135, s = 105, r =

31. t = 145, s = 105, r =

32. t = 155, s = 105, r =

Aplicar las propiedades de los exponentes a los

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Práctica veloz: Relaciones entre ángulos

Práctica veloz

Aplica las propiedades y definiciones de los exponentes para escribir una expresión equivalente con un exponente positivo. Supón que x y y son diferentes de cero.

ANúmero de respuestas correctas:

Aplica las propiedades y definiciones de los exponentes para escribir una expresión equivalente con un exponente positivo. Supón que x y y son diferentes de cero. 1.

BNúmero de respuestas correctas:

Progreso:

Aplica las propiedades y definiciones de los exponentes para escribir una expresión equivalente con un exponente positivo. Supón que x y y son diferentes de cero.

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Práctica veloz: Relaciones entre ángulos

Práctica veloz

Escribe la medida de un ángulo que sea complementario a un ángulo con la medida dada.

1. 20°

2. 72°

ANúmero de respuestas correctas:

Escribe la medida de un ángulo que sea complementario a un ángulo con la medida dada.

30°

BNúmero de respuestas correctas:

Progreso:

Escribe la medida de un ángulo que sea complementario a un ángulo con la medida dada. 1. 20° 2. 30° 3. 40°

50°

60° 6. 80°

75°

45°

14°

29°

7°

38°

22°

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Práctica veloz: Relaciones entre ángulos

Práctica veloz

Halla el valor de t.

1. t + 5 = 8

2. t + 5 = −8

Halla el valor de m.

1. m + 3 = 7

2. m − 3 = 7

3. m + 4 = 10

4. m − 4 = 10

5. m + 6 = 12

6. m − 6 = 12

7. m − 5 = 0

8. m + 5 = 0

9. m − 3 = 2

10. m + 3 = 2

11. m − 8 = 2

12. m + 8 = 2

13. m + 8 = −2

14. m − 8 = −2

15. m − 9 = 11

16. m + 9 = 11

17. m + 9 = −11

18. m − 9 = −11

19. m + 15 = 45

20. m − 15 = 45

21. m − 15 = −45

22. m + 15 = −45

Número de respuestas correctas:

23. 6 + m =10

24. 6 + m = −10

25. −6 + m = 10

26. −6 + m = −10 27. 12 + m = 5 28. −12 + m = 5 29. −12 + m = −5 30. 12 + m = −5

31. 4 = m − 7

32. −4 = m − 7

33. −4 = m + 7

34. 4 = m + 7

35. 19 = −8 + m

36. −19 = −8 + m

37. −19 = 8 + m

38. −20 = m − 64

39. −20 = −64 + m 40. 125 + m = −200 41. m − 125 = −200 42. m − 225 = −200

340 + m = −100

m − 340 = −200

BHalla el valor de h.

1. h + 2 = 7

2. h − 2 = 7

3. h + 5 = 10

4. h − 5 = 10

5. h + 7 = 12

6. h − 7 = 12

7. h − 6 = 0

8. h + 6 = 0

9. h − 2 = 2

10. h + 2 = 2

11. h − 9 = 2

12. h + 9 = 2

13. h + 9 = −2

14. h − 9 = −2

15. h − 10 = 11

16. h + 10 = 11

17. h + 10 = −11

18. h − 10 = −11

19. h + 10 = 55

20. h − 10 = 55

21. h − 10 = −55

22. h + 10 = −55

Número de respuestas correctas:

Progreso:

23. 8 + h = 10 24. 8 + h = −10

−8 + h = 10 26. −8 + h = −10 27. 12 + h = 7 28. −12 + h = 7 29. −12 + h = −7

30. 12 + h = −7

31. 4 = h − 10

32. −4 = h − 10

33. −4 = h + 10

34. 4 = h + 10

35. 20 = −8 + h

36. −20 = −8 + h

37. −20 = 8 + h 38. −40 = h − 64 39. −40 = −64 + h 40. 125 + h = −100 41. h − 125 = −100 42. h − 225 = −100 43. 240 + h = −100 44. h − 240 = −100

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Práctica veloz: Raíces cuadradas

Práctica veloz

Evalúa.

1. √25

2. √0.25

Número de respuestas correctas:

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Créditos

Créditos

Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module.

Cover, Al Held (1928–2005), Pan North IV, 1985, acrylic on canvas, 72 x 84ʺ, private collection. © 2020 Al Held Foundation, Inc./Licensed by Artists Rights Society (ARS), New York; page 167, “Shepard tables illusion” by Roger Shepard, courtesy Wikimedia Commons, is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International (CC BY-SA 4.0) license, https://creativecommons.org /licenses/by-sa/4.0/; page 170, RinArte/Shutterstock.com; pages 329, 330, 333, Shpadaruk Aleksei/ Shutterstock.com; All other images are the property of Great Minds.

For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/media-credits.

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Agradecimientos

Agradecimientos

Adriana Akers, Amanda Aleksiak, Tiah Alphonso, Lisa Babcock, Christopher Barbee, Reshma P Bell, Chris Black, Erik Brandon, Beth Brown, Amanda H. Carter, Leah Childers, David Choukalas, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Jill Diniz, Mary Drayer, Karen Eckberg, Dane Ehlert, Samantha Falkner, Scott Farrar, Kelli Ferko, Krysta Gibbs, Winnie Gilbert, Danielle Goedel, Julie Grove, Marvin E. Harrell, Stefanie Hassan, Robert Hollister, Rachel Hylton, Travis Jones, Kathy Kehrli, Raena King, Emily Koesters, Liz Krisher, Alonso Llerena, Gabrielle Mathiesen, Maureen McNamara Jones, Pia Mohsen, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Ben Orlin, April Picard, John Reynolds, Bonnie Sanders, Aly Schooley, Erika Silva, Hester Sofranko, Bridget Soumeillan, Ashley Spencer, Danielle Stantoznik, Tara Stewart, James Tanton, Cathy Terwilliger, Cody Waters, Valerie Weage, Allison Witcraft, Caroline Yang

Ana Alvarez, Lynne Askin-Roush, Stephanie Bandrowsky, Mariel Bard, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Rebecca Blaho, Charles Blake, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Cindy Carlone, Gina Castillo, Ming Chan, Tatyana Chapin, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Brandon Dawley, Cherry dela Victoria, Timothy Delaney, Delsena Draper, Erin DuRant, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Sagal Hassan, Kristen Hayes, Tim Heppner, Marcela Hernandez, Sary Hernandez, Abbi Hoerst, Elizabeth Jacobsen, Ashley Kelley, Sonia Khaleel, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Jenny Loomis, Antonia López, Stephanie Maldonado, Christina Martire, Siena Mazero, Thomas McNeely, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Sara Miller, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Tara O’Hare, Max Oosterbaan, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Toy Parrish, Katie Prince, Neha Priya, Jeff Robinson, Nate Robinson, Gilbert Rodriguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Aaron Shields, Madhu Singh, Leigh Sterten, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Tracy Vigliotti, Bruce Vogel, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Samantha Wofford, Howard Yaffe, Dani Zamora

Edición

Herramienta para la conversación

Compartir tu razonamiento

Estar de acuerdo o en desacuerdo

Preguntar sobre el razonamiento

Sé que...

Lo hice de esta forma porque...

La respuesta es porque...

En mi dibujo, se ve...

Estoy de acuerdo porque...

Eso es verdadero porque…

No estoy de acuerdo porque...

Eso no es verdadero porque…

¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con ?

¿Por qué?

¿Por qué has...?

¿Puedes explicar...?

¿Qué podemos hacer primero?

¿Cómo se relacionan y ?

Decirlo otra vez

Te escuché decir que... dijo que...

Otra manera de decir lo mismo es...

¿Qué significa eso?

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Herramienta para el razonamiento

Herramienta para el razonamiento

Cuando resuelvo un problema o hago una tarea, me pregunto...

Antes

¿He hecho algo parecido a esto antes?

¿Qué estrategia voy a usar?

¿Necesito alguna herramienta?

Durante

¿Está funcionando mi estrategia?

¿Debería intentarlo de otra manera?

¿Tiene sentido esto?

Después

¿Qué funcionó bien?

¿Qué haría de otra manera la próxima vez?

Al final de cada clase, me pregunto...

¿Qué aprendí?

¿Sobre qué tengo dudas?

LAS MATEMÁTICAS ESTÁN EN TODAS PARTES

¿Quieres comparar qué tan rápido corren tú y tus amigos y amigas?

¿Quieres estimar cuántas abejas hay en un panal?

¿Quieres calcular tu promedio de bateo?

Las matemáticas están detrás de muchas cosas maravillosas, de muchos acertijos y de muchos planes de la vida.

Desde tiempos remotos y hasta nuestros días, hemos usado las matemáticas para construir pirámides, para navegar los mares, para construir rascacielos, ¡y hasta para enviar naves espaciales a Marte!

Con tu curiosidad para comprender el mundo como combustible, las matemáticas te impulsarán en cualquier camino que elijas.

¿Todo listo para arrancar?

Módulo 1

Notación científica, exponentes y números irracionales

Módulo 2

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Módulo 3

Dilataciones y figuras semejantes

Módulo 4

Ecuaciones lineales de una y dos variables

Módulo 5

Sistemas de ecuaciones lineales

Módulo 6

Funciones y estadísticas bivariadas

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

El estadounidense Al Held fue un pintor expresionista abstracto conocido por sus pinturas geométricas de “contornos duros”. Sus paletas de colores vivos y las formas llamativas que trazaba crean un espacio tridimensional que parece tener una profundidad infinita. Held, quien a veces se inspiraba en la arquitectura, solía jugar con la percepción visual de las personas. Si bien la mayor parte de sus obras son pinturas, también trabajó con mosaicos y vitrales.

En la portada

Pan North IV, 1985

Al Held, American, 1928–2005

Acrylic on canvas

Private collection

Al Held (1928–2005), Pan North IV, 1985, acrylic on canvas, 72 x 84 in, private collection. © 2020 Al Held Foundation, Inc./Licensed by Artists Rights Society (ARS), New York